5 Lançamento de Projéteis

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Física Geral e Experimental I 
Engenharia Civil
Prof. Dr Jorge Domínguez
Lançamento de 
Projéteis
UNASP-EC 2019
Lançamento Horizontal
Lançamento Oblíquo 
Nesta aula aprenderemos a independência dos
movimentos na vertical e na horizontal e as
diferenças entre lançamento horizontal de
lançamento oblíquo.
Link 01 Link 02
http://www.fisica.ufpb.br/~romero/objetosaprendizagem/Rived/02aProjeteisMovimento/site/index.htm
https://phet.colorado.edu/sims/html/projectile-motion/latest/projectile-motion_en.html
Lançamento Horizontal
Quando lançamos horizontalmente um corpo, com uma
velocidade inicial ( Ԧ𝑣0) a partir de uma certa altura do solo,
notamos que ele descreve uma trajetória curva em seu vôo até
o solo. Se a resistência do ar for desprezível, esta curva será
um arco de parábola.
Galileu decifrou este movimento usando o artifício da
composição de movimentos. Observe seu raciocínio:
a) se no local do lançamento não houvesse gravidade e
nem resistência do ar, o corpo seguiria horizontalmente
em movimento retilíneo uniforme, percorrendo distâncias
iguais em intervalos de tempo iguais.
b) como há gravidade, o corpo cairá simultaneamente em
queda livre, ou seja, realizará um M.U.V. vertical, e ao
mesmo tempo, um M.U. horizontal. A composição desses
dois movimentos gera o movimento parabólico.
Considere um objeto disparado de uma altura h com
velocidade horizontal Ԧ𝑣0 . Sob a ação exclusiva da
gravidade (g), o objeto toca o solo após um certo tempo de
queda (𝑡𝑞) cumprindo um alcance horizontal (D).
Tempo de Queda
Este alcance corresponde ao deslocamento do movimento
uniforme que ocorre na horizontal, com 𝒗𝒙 = 𝒗𝟎 , ao mesmo
tempo que o objeto despenca em queda livre vertical
descendo h. A partir disso, temos:
ℎ =
𝑔
2
∙ 𝑡𝑞
2 ⟹ 𝒕𝒒 =
𝟐𝒉
𝒈
𝐷 = 𝑣𝑥 ∙ 𝑡𝑞 ⟹ 𝑫 = 𝒗𝟎 ∙
𝟐𝒉
𝒈
A velocidade que o móvel atinge em seu vôo parabólico, 
após um certo tempo (t) do disparo, é obtida pela adição 
vetorial de suas velocidades componentes, isto é:
Em módulo, temos: 𝒗 = 𝒗𝒙
𝟐 + 𝒗𝒚
𝟐
A partir da borda de uma mesa de altura h = 0,80 m, lança-se
horizontalmente duas pequenas esferas A e B, que cumprem
até o solo os alcances indicados na figura abaixo.
Considere g = 10 m/s2 e despreze o efeito do ar. Calcular
Exemplo
a) o tempo da queda de cada esfera até o solo;
b) o módulo da velocidade de lançamento de cada esfera.
Resolução
a) As esferas chegam ao solo gastando o mesmo tempo, pois 
desceram a mesma altura (0,80 m).
𝑡𝐴 = 𝑡𝐵 =
2ℎ
𝑔
=
2 ∙ 0,80
10
⇒ 𝑡 = 0,40 𝑠
b) Através de seus alcances e do tempo comum de queda,
temos:
𝑣𝐴 =
𝐷𝐴
𝑡
=
1,2 𝑚
0,40 𝑠
⇒ 𝑣𝐴 = 3,0 Τ𝑚 𝑠
𝑣𝐵 =
𝐷𝐵
𝑡
=
2,4 𝑚
0,40 𝑠
⇒ 𝑣𝐴 = 6,0 Τ𝑚 𝑠
Lançamento Oblíquo 
Quando lançamos obliquamente um corpo, com uma
velocidade inicial ( Ԧ𝑣0 ), inclinada de um ângulo  com a
horizontal, notamos que ele descreve uma trajetória parabólica
em relação ao solo, caso a resistência do ar seja desprezível.
https://interna.coceducacao.com.br/ebook/animation.htm#2002-31-121-17-a001
Para estudar esse movimento, procuramos dividi-lo em
dois: um movimento horizontal e outro vertical. Como
ponto de partida, fazemos a decomposição de sua
velocidade inicial 𝒗𝟎, descobrindo as intensidades de suas
componentes horizontal 𝒗𝟎𝒙e vertical 𝒗𝟎𝒚.
𝒗𝟎𝒙 = 𝒗𝟎𝒙𝒄𝒐𝒔 𝜶 Ԧ𝒊
𝒗𝟎𝒚 = 𝒗𝟎𝒚𝒔𝒆𝒏 𝜶 Ԧ𝒋
Observando-se que a aceleração da gravidade local atua
na vertical e, portanto, afeta apenas a velocidade
vertical, o móvel passa a executar simultaneamente
dois movimentos: uniforme na horizontal
e uniformemente variado na vertical (típico de um
lançamento vertical para cima).
Lançamento Horizontal de Projéteis
Ao lançarmos um projétil horizontalmente, ele terá dois
movimentos simultâneos, um na vertical de queda livre sujeito
à aceleração da gravidade (MUV) e um na horizontal com
velocidade constante (desprezando a resistência do ar – MU).
𝒗𝒙 não varia
𝒗𝒚 vai aumentando.
Os quadros a seguir resumem as características desses
movimentos componentes.
Movimento Horizontal
MU
Movimento Vertical
MUV
𝑎𝑥 = 0 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥(𝑐𝑡𝑒) 𝑎𝑦 = −𝑔 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔 ∙ 𝑡
𝑥 = 𝑣0𝑥 ∙ 𝑡 𝑦 = 𝑣0𝑦 ∙ 𝑡 −
𝑔
2
∙ 𝑡2
Cálculos Usuais
❑ Considere um objeto disparado do solo com velocidade 
𝒗𝟎, inclinação de um ângulo  com a horizontal. 
❑ Sob a ação exclusiva da gravidade (g), o objeto atinge 
uma altura máxima (H) quando sua velocidade vertical 
se anula , ou seja, quando sua velocidade é horizontal 
(𝒗𝒙). 
❑ Retorna ao solo com velocidade de módulo 𝒗𝟎 , após ter 
cumprido um alcance horizontal (D) durante um tempo 
de vôo (T).
O estudo de seu movimento vertical (MUV) permite obtermos a 
altura máxima e o tempo de vôo, em função de 𝒗𝟎,  e 𝒈.
Lembrando que no final da subida a velocidade vertical se
anula (𝒗𝒇𝒚 = 𝟎), temos:
𝒗𝒇𝒚
𝟐 = 𝒗𝟎𝒚
𝟐 + 𝟐𝒂𝒚∆𝒚
0 = 𝒗𝟎𝒚
𝟐 − 𝟐𝒈H
H =
𝒗𝟎𝒚
𝟐
𝟐𝒈
=
𝒗𝟎∙𝒔𝒆𝒏𝜶
𝟐
𝟐𝒈
Altura Máxima
⟹
Como o tempo de subida (𝑡𝑠) é igual ao de descida, basta
dobrarmos o tempo de subida para obtermos o tempo de vôo
(T). Ou seja:
𝒗𝒇𝒚 = 𝒗𝟎𝒚 − 𝒈 ∙ 𝒕
0 = 𝒗𝟎𝒚 − 𝒈 ∙ 𝒕𝒔 ⟹ 𝒕𝒔 =
𝒗𝟎𝒚
𝒈
T = 𝟐 ∙ 𝒕𝒔 ⟹ 𝑻 =
𝟐∙𝒗𝟎𝒚
𝒈
=
𝟐∙𝒗𝟎∙𝒔𝒆𝒏𝜶
𝒈
Tempo de Vôo
O alcance horizontal (D) corresponde ao deslocamento do
movimento horizontal uniforme, durante o tempo de vôo.
Assim:
Alcance Horizontal
𝑫 = 𝒗𝒙 ∙ 𝑻
𝑫 = 𝒗𝟎 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶 ∙
𝟐∙𝒗𝟎∙𝒔𝒆𝒏𝜶
𝒈
𝑫 =
𝒗𝟎
𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝜶 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒈
𝑫 =
𝒗𝟎
𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶
𝒈
⟹
Observe que, −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ≤ 1, então o seu máximo 
valor, igual a 1, acontece quando 2 for 90°, ou seja, 
quando  = 45°. 
Devido a isso, o alcance horizontal máximo para uma 
velocidade inicial (𝒗𝟎) dada, é obtido por:
1. Um rifle cuja velocidade de disparo é de 550 Τ𝑚 𝑠 é usado 
para atirar em um alvo distante de 45 m. Para que altura 
acima do centro do alvo o rifle deverá ser apontado, de 
modo que a bala atinja o alvo?
Exemplos
Resolução: Previamente, determinaremos o valor do ângulo 
 de lançamento, utilizando a expressão do alcance:
𝑅 =
𝑣0
2𝑠𝑒𝑛2𝛼
𝑔
⟹ 45 =
(550)2𝑠𝑒𝑛2𝛼
9,8
sen2𝛼 =
441
302500
⟹ 𝐬𝐞𝐧𝟐𝜶 = 0,0015
Poderíamos utilizar as relações trigonométricas, mas vamos 
recorrer a uma calculadora e determinar :
2𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−10,0015 ⟹ 𝜶 ≅ 𝟎, 𝟎𝟒𝟐°
Com o valor de  e do alcance, poderemos determinar a 
altura:
𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑦
𝑅
⟹ 𝑦 = 𝑅𝑡𝑎𝑛𝛼
𝒚 = 𝟒𝟓 𝒕𝒂𝒏(𝟎, 𝟎𝟒𝟐°) ≅ 𝟎, 𝟎𝟑𝟑𝒎 = 𝟑, 𝟑 𝒄𝒎
Então:
2. Ao bater um tiro de meta, um goleiro imprime à bola uma
velocidade de módulo 𝒗𝟎 = 𝟐𝟓 Τ𝒎 𝒔 inclinada de um
ângulo  com a horizontal, tal que 𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝟎, 𝟖 e cos𝜶 =
𝟎, 𝟔 . Admita que no local a resistência do ar seja
desprezível e adote 𝒈 = 𝟏𝟎 Τ𝒎 𝒔𝟐.
a) a altura máxima (H) atingida por ela;
b) a velocidade da bola no ápice do vôo;
c) o seu tempo total de vôo (T) ;
d) o seu alcance horizontal (D).
Supondo que a bola 
retorne ao solo sem ser 
interceptada por qualquer 
jogador, determine:
Resolução
a) Para esse cálculo é necessário obtermos, inicialmente, a 
componente vertical de 𝒗𝟎 . Ou seja:
𝒗𝟎𝒚 = 𝒗𝟎 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝟐𝟓 Τ𝒎 𝒔 ∙ 𝟎, 𝟖 = 𝟐𝟎 Τ𝒎 𝒔
Lembrando que no final da subida a velocidade vertical da bola 
se anula, podemos determinar sua altura máxima
H =
𝒗𝟎𝒚
𝟐
𝟐𝒈
=
𝟐𝟎𝟐
𝟐 ∙ 𝟏𝟎
⇒ 𝑯 = 𝟐𝟎𝒎
b) No ponto mais alto do vôo parabólico, a velocidade da 
bola é horizontal, isto é, corresponde à componente 
horizontal (𝒗𝟎𝒙) de sua velocidade inicial ( Ԧ𝑣0). Ou seja:
c) Calculemos o tempo de subida:
𝒗 = 𝒗𝟎𝒙 = 𝒗𝟎 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝟐𝟓 Τ𝒎 𝒔 ∙ 𝟎, 𝟔 = 𝟏𝟓 Τ𝒎 𝒔
𝒗𝒚 = 𝒗𝟎𝒚 −𝒈 ∙ 𝒕
0 = 𝒗𝟎𝒚 − 𝒈 ∙ 𝒕𝒔 ⟹ 𝒕𝒔 =
𝒗𝟎𝒚
𝒈
=
𝟐𝟎 Τ𝒎 𝒔
𝟏𝟎 Τ𝒎 𝒔𝟐
= 𝟐 𝒔
Como a altura subida é a mesma descida, 
𝑻 = 𝟐 ∙ 𝒕𝒔 ⟹ 𝑻 = 𝟒 𝒔
Pode-se também obter o tempo de vôo duplicando-se o tempo 
de queda, ou seja:
𝑇 = 2 ∙ 𝑡𝑞 = 2 ∙
2𝐻
𝑔
= 2 ∙
2 ∙ 20
10⟹ 𝑻 = 𝟒 𝒔
d) O alcance horizontal representa o deslocamento total do 
movimento horizontal uniforme. Logo:
D = 𝑣0𝑥 ∙ 𝑇 = (15 Τ𝑚 𝑠) ∙ 4 𝑠 ⇒ 𝑫 = 𝟔𝟎𝒎
1. Um corpo é lançado horizontalmente do alto de um prédio de 20 𝑚
de altura e atinge o solo a uma distância de 60 𝑚 medidos na
horizontal a partir do ponto de lançamento. Adotando-se 𝑔 =
9,8 Τ𝑚 𝑠2, determine o tempo de queda e a velocidade inicial de
lançamento. Desprezando-se a resistência do ar.
2. Após uma enchente, um grupo de pessoas ficou ilhado numa
região. Um avião de salvamento, voando horizontalmente a uma
altura de 20 𝑚 e mantendo uma velocidade de 50 Τ𝑚 𝑠 ,
aproxima‐se do local para que um pacote com medicamentos
e alimentos seja lançado para as pessoas isoladas. A que
distância, na direção horizontal, o pacote deve ser abandonado
para que caia junto ás pessoas? Despreze a resistência do ar e
adote 𝑔 = 9,8 Τ𝑚 𝑠2.
Problemas Propostos
3. Um canhão dispara projéteis com velocidade 𝑣0 =
200 Τ𝑚 𝑠, a partir do solo horizontal. Considere que no 
local de disparos a aceleração da gravidade seja de 
10 Τ𝑚 𝑠2 despreze a resistência do ar.
a) Qual o ângulo de disparo, com a horizontal, que 
permite o maior alcance horizontal de um projétil?
b) Qual o maior alcance horizontal, em quilômetros, que 
um projétil disparado por esse canhão pode atingir? 
A figura a seguir mostra a trajetória parabólica de um jato 
d’água, disparado do solo segundo um ângulo de 30°, numa 
operação de combate ao incêndio localizado num 
apartamento a 5,0 m de altura do solo. 
4. A figura a seguir mostra a trajetória parabólica de um 
jato d’água, disparado do solo segundo um ângulo de 
30°, numa operação de combate ao incêndio localizado 
num apartamento a 5,0 m de altura do solo. 
Sabendo-se que o jato d’água penetra no apartamento
horizontalmente e adotando-se g = 10 m/s2, pede-se:
a) a intensidade da velocidade (𝑣0) com que a água sai da
mangueira;
b) a distância (d) entre o bocal da mangueira e o prédio.
5. A figura a seguir mostra em escala a velocidade ( Ԧ𝑣) 
adquirida por uma bola, t segundos após ocorrer seu 
disparo horizontal da janela de um prédio. Adote 𝑔 =
10 Τ𝑚 𝑠2 e despreze a resistência do ar.
Determine:
A intensidade da velocidade (𝒗𝟎 ) com que a bola foi
lançada da janela; o tempo t decorrido; a altura (h) descida
pela bola; a distância D em que se afastou do prédio.