Estatica para Engenharia - Unidade III

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Estática para Engenharia 
Unidade III 
 
 
Prof. Rogério Todeschini, Eng. Civil, Esp. 
Engenharia Civil 
UNISUL 
 
Tubarão –SC 
 
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1 0 Forças Distribuídas – Centroides e Baricentros 
 
 
10.1. Introdução 
 
Centro de Gravidade ou baricentro: É o ponto que localiza a posição do peso resultante de um 
corpo. A palavra "baricentro" é de origem grega (bari = peso) e designa o centro dos pesos. 
 
Ainda, o Centro de Gravidade pode ser entendido como um ponto em relação ao qual é nulo o 
somatório dos momentos dos pesos das partículas que constituem o sólido (ou sistema). 
 
Centroide (Centro Geométrico): É um ponto que defini o centro geométrico. Este apenas 
coincide com o centro de gravidade ou centro de massa se o material do corpo for uniforme e 
homogêneo. 
 
 
 
Os cálculos da área de uma superfície ou do volume de um sólido estão diretamente 
ligados à determinação do centroide da curva ou da superfície usada para gerar a superfície 
ou o sólido. A determinação do centroide de uma superfície simplifica a análise de vigas 
sujeitas a cargas distribuídas e o cálculo das forças exercidas em superfícies 
retangulares. 
 
 
 
10.2. Centroides de figuras planas 
 
A posição do centroide de uma figura plana é uma importante propriedade 
geométrica. 
 
 
10. 3 Momentos de primeira ordem 
 
No sistema de coordenadas x y, a área da figura geométrica é definida pela integral a seguir: 
 
 
 
𝐴 = ∫ 𝑑𝐴 
 
Sendo: dA um elemento de área diferencial das 
coordenadas x y e A é a área total da figura. 
 
 
 
 
3 
O Momento de primeira ordem é definido como 𝑀𝑥 = �̅�. 𝐴 e 𝑀𝑦 = �̅�. 𝐴 
 
 
Os momentos de primeira ordem (Momento Estático - 𝑄𝑥 𝑒 𝑄𝑦) representam as somas 
dos produtos das áreas diferenciais pelas suas respectivas coordenadas. 
 
 𝑄𝑥 = 𝑦𝐴 𝑄𝑦 = 𝑥𝐴 𝑥 =
𝑄𝑦
𝐴
 𝑦 =
𝑄𝑥
𝐴
 
 
O momento de primeira ordem da área em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 é definido, 
respectivamente pelas integrais: 
 
𝑄𝑥 = ∫ 𝑦. 𝑑𝐴 - Momento de primeira ordem em relação ao eixo x 
𝑄𝑦 = ∫ 𝑥. 𝑑𝐴 - Momento de primeira ordem em relação ao eixo y 
 
A localização do centroide (ponto C) dar-se-á através das coordenadas 𝑥 e 𝑦, que serão 
obtidas através da relação entre o respectivo Momento Estático de superfície e a área total desta. 
 
𝑥 =
𝑄𝑦
𝐴
=
∫ 𝑥.𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
 e 𝑦 =
𝑄𝑥
𝐴
=
∫ 𝑦.𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
 
 
Se as fronteiras da área forem definidas por expressões matemáticas simples, podemos 
calcular as integrais que aparecem nas equações acima e literalmente obtermos fórmulas para 𝑥 
e 𝑦. As coordenadas 𝒙 e 𝒚, podem ser positivas ou negativas, dependendo da posição do 
centroide em relação aos eixos de referência. 
 
Em engenharia, raramente precisamos localizar centroides através de integrações, 
porque os centroides de figuras geométricas comuns (retângulos, triângulos, círculos, 
semicírculos, etc.) já são conhecidos e tabulados, conforme mostrado no item “Centroides 
de figuras conhecidas”, então, as integrais podem ser definidas como: 
 
∫ 𝑥. 𝑑𝐴 = ∑ 𝑥𝐴 ∫ 𝑦. 𝑑𝐴 = ∑ 𝑦𝐴 ∫ 𝑑𝐴 = ∑ 𝐴 
 
Logo, obtemos as seguintes equações das coordenadas do centroide de uma figura plana: 
 
𝑥 =
∑ 𝑥𝐴
∑ 𝐴
 𝑦 =
∑ 𝑦𝐴
∑ 𝐴
 
 
Centroide de uma linha 
 
Se o segmento de linha (ou barra) estiver no plano x-y-z, então o centroide é determinado por: 
 
𝑥 =
∑ 𝑥𝐿
∑ 𝐿
 𝑦 =
∑ 𝑦𝐿
∑ 𝐿
 𝑧 =
∑ 𝑧𝐿
∑ 𝐿
 
 
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10.4. Centroides de figuras planas compostas 
 
Os corpos feitos de várias partes ou formas diferentes são chamados corpos 
compostos (figuras planas compostas). 
 
Observe que o centro geométrico (Centroide) de figuras simples (retângulos, 
triângulos, círculos, semicírculos, etc.) já é conhecido, pois foram obtidas através de integrais. 
Contudo, estas coordenadas devem ser tomadas em relação à origem do sistema dado. 
 
 
 
 
10.5. Centroides de figuras comuns 
 
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Exemplo: 
1 - Localize centro de geométrico e/ou o centroide da área da placa abaixo. 
 
Solução 
Dividimos a área da placa em três figuras conhecidas.
 
 A área da figura 3 precisqa ser subtraída da área da figura 2. 
O centroide de cada figura está localizado como indicado. Utiliza-se a tabela dos “centroides 
de figuras conheciadas” para determinarmos os 𝑥 e 𝑦 de cada uma das figuras. 
Observe que as coordenadas X das figuras 2 e 3 são negativas. 
 
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2. Localize o centroide do fio mostrado abaixo. 
 
 
 
 
 
Solução 
 
 
 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
 
 
Exercício Proposto 
Localize as coordenadas do centro de gravidade das figuras. 
1) 
 
8 
2) Localize o centroide ( �̅�, �̅� e 𝑧̅ ) do fio dobrado abaixo, 
Resp. �̅� = 265 𝑚𝑚 �̅� = 323 𝑚𝑚 𝑧̅ = −61,5 𝑚𝑚 
 
 
 
11. Definição dos momentos de inércia de áreas 
 
Momento de inércia é a grandeza física associada à inércia de rotação. Assim como um 
corpo massivo apresenta sua tendência de permanecer em seu estado inicial de movimento 
com uma velocidade constante, que inclusive pode ser zero, no caso em que o somatório 
das forças atuantes é nulo, também existe uma resistência à mudança no movimento 
rotacional. Esta resistência à mudança em sua velocidade angular é conhecida como 
momento de inércia do respectivo corpo. 
 
Momento de inércia é sempre a rotação em relação a um eixo e não a um ponto. 
 
Calculando o momento de inércia 
 
 
 
Momento de inércia ou momento de 2ª ordem em relação ao eixo do X e Y é por definição 
respectivamente 
 dAyI x ²  dAxI y ² 
Foi elaborada uma tabela que já está calculado os momentos de inércia de figuras 
geométricas comuns. 
http://www.infoescola.com/mecanica/momento-de-inercia/
http://www.infoescola.com/fisica/velocidade-angular/
http://www.infoescola.com/mecanica/momento-de-inercia/
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11.1 Teorema dos eixos paralelos 
 
O teorema dos eixos paralelos torna possível a determinação do momento de inércia em 
relação a um dado eixo, se conhecer o momento de inercia desta área em relação ao eixo 
centroidal de mesma direção. Então, o momento de inercia para uma área em relação a um 
eixo é igual a seu momento de inércia em relação a um eixo paralelo passando pelo 
centroide da área mais o produto da área e o quadrado da distância perpendicular entre os 
eixos. 
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2
'' AdII BBAA  
 
 
'AAI Momento de inercia da superfície em relação ao eixo X (AA’) 
'BBI Momento de inercia em relação ao eixo Centroidal (BB’) - Tabela 
A Área 
d Distância entre os eixos 
 
Exercício 1 
 
Determinar o momento de inercia em relação ao eixo X’ que passa pelo centroide da figura. 
 
 
 
 
 
Exercício 2 
 
Determinar o momento de inercia em relação aos eixos x e y que passam pelo centroide da 
superfície abaixo. Valores em cm. A área com hachura é um furo. 
 
 
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Exercício 3 
 
 
Calcular o momento de inercia da figura abaixo em relação ao eixo x do centroide. Valores 
em mm. 
 
 
 
 
Exercício 4 
 
Calcular o momento de inercia da figura do exercício 3 em relação ao eixo y do centroide. 
 
 
Exercício 5 
 
Calcular o momento de inercia da figura abaixo em torno dos eixos x e y do centroide. 
Valores em mm.