FUNDAMENTOS DA MATEMATICA

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Leide Albergoni
Soraia Carise Prates 
Fundamentos da
matemática
Superintendente
Reitor
Pró-Reitor Acadêmico
Coordenadora Editorial
Coordenadora Pedagógica
Autoria
Supervisão Editorial
Análise de Conteúdo
Análise de Qualidade
Edição de Texto
Design Instrucional
Design de Atividades
Layout de Capa
Imagem de Capa
Edição de Arte
Diagramação
Design Gráfico
Estágio de Design Gráfico
Revisão
Prof. Paulo Arns da Cunha
Prof. José Pio Martins
Prof. Carlos Longo
Profa. Manoela Pierina Tagliaferro
Profa. Adriana Pelizzari
Profa. Leide Albergoni e Profa. Soraia Carise Prates
Josiane Cristina Rabac Stahl
Gilmar Tsalikis
Betina Dias Ferreira
Caroline Chaves de França e Igor Debiasi 
Luana Przybylovicz, Lucelí de Souza Fabro 
e Wagner Gonçalves da Silva
Ana Carolina Ciampi
Valdir de Oliveira
Ana Luiza Fernandes Marques 
Denis Kaio Tanaami
Regiane Rosa
Ana Luiza Fernandes Marques e Juliano Henrique
Guilherme Rufatto e Larissa Pires
Ana Raquel Cruz, Elizabeth Pinheiro, Fabiani Matos, 
Joanice de Moura Andrade, Júlia Laufer Barcellos 
e Marcos Ganzert
* Todos os gráficos, tabelas e esquemas são creditados às autoras, salvo quando indicada a referência.
Informamos que é de inteira responsabilidade das autoras a emissão de conceitos. Nenhuma parte desta publicação poderá 
ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem autorização. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido pela 
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Ícones
Afirmação
Contexto
Biografia
Conceito
Esclarecimento
Dicas
Assista
Curiosidade
Exemplo
Sumário
Apresentação ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������8
As autoras ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������9
Capítulo 1
Conjuntos ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������11
1�1 Conjunto de números ������������������������������������������������������������������������������������������������11
1�2 Representações dos conjuntos ����������������������������������������������������������������������������������15
1�3 Subconjuntos �������������������������������������������������������������������������������������������������������������18
1�4 Igualdade �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������19
1�5 Operações com conjuntos �����������������������������������������������������������������������������������������20
1�5�1 União de conjuntos ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 20
1�5�2 Diferença entre conjuntos ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 21
1�6 Resolução de situações-problema�����������������������������������������������������������������������������23
1�7 Organização de elementos de um conjunto em representações estatísticas ������������26
1�7�1 Média aritmética, moda e mediana ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 26
1�7�2 Frequência e intervalos de classes ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 30
Referências ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������34
Símbolos e fórmulas ��������������������������������������������������������������������������������������������������������35
Capítulo 2
Operações matemáticas ��������������������������������������������������������������������������������������������������37
2�1 Operações básicas ������������������������������������������������������������������������������������������������������37
2�1�1 Adição e subtração ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 38
2�1�2 Multiplicação e divisão ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 40
2�2 Operações com frações ���������������������������������������������������������������������������������������������42
2�2�1 Adição e subtração de frações ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 43
2�2�2 Multiplicação de frações ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 49
2�2�3 Divisão de frações ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������51
2�3 Porcentagem e aplicações �����������������������������������������������������������������������������������������52
2�3�1 Descontos �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 56
2�3�2 Fator de aumento X Fator de diminuição �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 57
2�3�3 Acréscimos ou reduções sucessivos ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 63
2�4 Expressões numéricas �����������������������������������������������������������������������������������������������67
2�5 Potenciação e radiciação �������������������������������������������������������������������������������������������69
2�5�1 Potenciação ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 71
2�5�2 Radiciação ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������74
Referências ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������83
Símbolos e fórmulas ��������������������������������������������������������������������������������������������������������84
Capítulo 3
Conceitos fundamentais e expressões algébricas �����������������������������������������������������������85
3�1 Operações com expressões algébricas ���������������������������������������������������������������������88
3�1�1 Adição e subtração ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 88
3�1�2 Multiplicação e divisão ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 91
3�2 Produtos notáveis ������������������������������������������������������������������������������������������������������95
3�3 Fatoração �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������103
3�4 Simplificação �����������������������������������������������������������������������������������������������������������106
Referências ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������110
Símbolos e fórmulas ������������������������������������������������������������������������������������������������������111
Capítulo 4
Equações e inequações, frações e funções ��������������������������������������������������������������������113
4�1 Equações de 1�º grau �����������������������������������������������������������������������������������������������115
4�1�1 Equações literais ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 120
4�2 Inequações de 1�º grau ��������������������������������������������������������������������������������������������125
4�3 Equações de 2�º grau �����������������������������������������������������������������������������������������������129
4�4 Inequações de 2�º grau ��������������������������������������������������������������������������������������������141
4�5 Funções �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������150
45�1 Funções de 1�º grau (ou função afim) ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������153
45�2 Funções quadráticas (ou função polinomial do 2�º grau) ����������������������������������������������������������������������������������160
Referências ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������171
Símbolos e fórmulas ������������������������������������������������������������������������������������������������������172
A Matemática é uma invenção humana para compreender e expressar o mundo 
que nos cerca. Ela estuda quantidades, medidas, espaços, estruturas, entre outros, 
por meio do estabelecimento de padrões e deduções para precisar o mundo e aparece 
desde os primeiros registros da escrita no apontamento de quantidades, proporção de 
figuras, entre outros.
Em nosso cotidiano, ela está presente em cada ação, como na medição do tempo, 
na definição de nossas horas de sono, na medida de nossas roupas, na quantidade de 
alimentação, no preço de produtos, nos nossos movimentos físicos.
Nós somos objetos matemáticos, pois temos tamanho, forma, peso, massa, faze-
mos movimentos geométricos, somamos, subtraímos, dividimos, multiplicamos...
O objetivo deste livro é abordar as operações básicas da Matemática no cotidia-
no, com o intuito de desenvolver o raciocínio matemático nos leitores.
Apresentação
As autoras
A professora Leide Albergoni é Mestre em Política Científica e Tecnlógica pela 
Universidade Estadual de Campinas (2006), Especialista em Educação à Distância pela 
Universidade de Brasília (2008) e Bacharel em Ciências Econômicas pela Universidade 
Federal do Paraná (2004). 
Currículo Lattes:
<http://lattes.cnpq.br/2120747348796109>
Aos nossos pais e familiares pelo 
apoio e dedicação, que sempre nos 
impulsionam em direção à superação 
dos nossos desafios.
Aos nossos alunos, com os quais 
aprendemos e atualizamos 
constantemente a arte de ensinar.
As autoras 
A professora Soraia Carise Prates é Mestre em Educação nas Ciências pela 
Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (2005), Especialista 
em Tecnologia do Ensino de Matemática (2010) e Graduada em Licenciatura de 
Matemática (2001) e em Ciências Naturais (1994).
Currículo Lattes: 
<http://lattes.cnpq.br/1054513142043555>
Cada uma dessas seções pode ser chamada de conjunto, expressão utilizada para 
designar uma coleção de elementos, que podem ser números, objetos, nomes, adjeti-
vos etc. Os conjuntos têm como objetivo organizar elementos com características em 
comum e está presente em várias situações de nosso cotidiano.
Neste capítulo, vamos compreender os conceitos e as propriedades dos conjuntos.
1�1 O conjunto de números
Ao longo da história das civilizações, 
os seres humanos buscaram símbolos para 
representar certas situações, como os nú-
meros e as letras.
Inicialmente, os números surgiram 
com o estabelecimento de tribos em locais 
fixos, isto é, o fim dos grupos nômades, que 
passaram a criar animais e cultivar plantas. 
Um exemplo bastante abordado é a conta-
gem de animais em pastagem: o pastor colocava uma pedrinha em sua bolsa para cada 
ovelha do rebanho. Ao voltar do campo, para conferir se o rebanho estava completo, 
bastava tirar uma pedra da bolsa para cada ovelha identificada. Se sobrasse alguma pe-
dra, havia-se perdido uma ovelha. Se acabassem as pedras, o rebanho estava completo.
1 Conjuntos
Você já percebeu como os supermercados organizam os produtos nos corredo-
res ou nas seções? Podemos listar as seções de limpeza, produtos de higiene pessoal, 
grãos, temperos, hortifruti, carnes, utilidades domésticas, entre outros.
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Fundamentos da matemática 12
Com o início das civilizações e a com-
plexidade da contagem, os símbolos nu-
méricos foram inseridos nas mais diversas 
culturas, como chinesa, maia e árabe. Os 
números naturais foram os primeiros a ser 
criados e tinham como objetivo represen-
tar quantidades e substituir a operação das 
pedrinhas.
Conforme as sociedades realizavam 
transações comerciais, a necessidade de 
cálculos se intensificou e novos símbolos 
surgiram para atender às necessidades de 
operações de compra e venda. Assim, os 
números foram agrupados em um conjunto numérico, dos números inteiros, que tinha 
como objetivo indicar situações de ganho e perda. Os números positivos, acompanha-
dos do sinal de + (mais), representavam ganhos, e os números negativos, acompanha-
dos do sinal de – (menos), indicavam perdas.
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Um pastor levou 50 ovelhas para o campo pela manhã, mas voltou com apenas 30. Logo, per-
deu 20 ovelhas, isto é, das 50 ovelhas originais, 30 foram resgatadas e 20 perdidas.
José recebeu o salário de R$ 1.000,00, pagou contas no valor de R$ 750,00 e comprou um 
tênis novo no valor de R$ 300,00. Qual o saldo da conta de José? 1.000 – 750 – 300 = –50, ou 
seja, está devendo R$ 50,00 ao banco (–50).
Porém, as operações nem sempre re-
sultavam em números inteiros, e então foi 
criado o conjunto dos números racionais, 
que representavam tanto números inteiros 
quanto números decimais, isto é, partes de 
um inteiro com resultados decimais.
Uma caixa com 12 barras de chocolate deverá ser dividida entre 8 pessoas. Quantas barras se-
rão distribuídas para cada pessoa? A conta seria 12/8 = 1,5 barras. Ou seja, cada pessoa pega 
uma barra inteira e as 4 restantes são divididas ao meio.
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Fundamentos da matemática 13
Porém, algumas divisões não inteiras resultam em casas decimais com série in-
finita de algarismos que se repetem ou seguem uma sequência, finalizada com reti-
cências para indicar que há mais algarismos. A esses números com casas decimais se 
repetindo indefinidamente damos o nome de dízima periódica.
Uma laranja dividida entre 3 pessoas resultará em uma dízima de 0,33333333333... Doze barras 
de chocolate divididas em 11 partes resultam em 1,09090909...
Com o desenvolvimento científico, matemáticos como Pitágoras, começaram a 
explorar as propriedades numéricas e identificaram outra categoria de números, deno-
minada de números irracionais, aqueles com dízimas não periódicas, ou seja, números 
infinitos que não formam períodos de números ou sequências iguais.
Pitágoras (570-500 a.C.) foi um matemático grego que nasceu em Samos, uma ilha na costa 
que hoje é a Turquia. Pitágoras aprendeu Matemática com Tales (624-546 a.C.), considerado o 
fundador da Matemática grega. Embora tenha dado muitas contribuições, a mais famosa é o 
Teorema de Pitágoras, utilizado para calcular os lados de um triângulo.
O exemplo mais conhecido é o π (pi), 
que representa adivisão entre uma circun-
ferência e seu diâmetro, com o valor apro-
ximado de 3,1415926. Com a ajuda dos 
computadores, conhecemos 10 milhões de 
casas, mas há muito mais. A relação cir-
cunferência/diâmetro é igual para todas as 
circunferências, já que há uma proporcio-
nalidade entre essas medidas.
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 S
ha
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p
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Circunferência
Circunferência
Diâmetro
Diâmetro
π =
Representação do π�
D
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 P
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Fundamentos da matemática 14
Para representar e organizar todos os números em um único conjunto, foi criado 
o conjunto dos números reais, que engloba todos os tipos de números. 
O conjunto dos números reais contém o dos números irracionais e o dos números 
racionais, que por sua vez contém o conjunto dos números fracionários e o dos núme-
ros inteiros, o qual contém o conjunto dos inteiros negativos, o conjunto formado pelo 
zero e o dos números naturais (positivos).
Para maior entendimento, observe a imagem a seguir, que representa a dimensão 
de cada classificação de número.
Representação dos conjuntos numéricos�
William Shanks, matemático amador inglês, calculou 707 casas decimais do pi à mão, em 1873, 
porém cometeu um erro na 527.ª casa, que só foi descoberto em 1944 (MEC, 2004).
D
es
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G
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R (reais) 
inteiros – Z
naturais – N 
3 110
–2 –35
racionais – Q
1,7324... é 
um número 
irracional e real.
34
10
I – irracionais 
1,7324...
√2
√6
π
– 0,333...
0,5
– 0,333... é 
um número 
racional e real.
– 35 é um 
número inteiro, 
racional e real.
110 é um 
número 
natural, inteiro, 
racional e real.
Fundamentos da matemática 15
a Loja de peças de automóveis
e Loja de eletrodomésticos
i Loja de informática
o Loja de objetos de decoração
u Loja de utilidades domésticas
Em nosso cotidiano, podemos observar as classificações em:
• um quilo de carne é um número natural, inteiro, racional e real;
• 1,67 m de altura é um número racional e real;
• o saldo negativo de uma conta-corrente em reais é um número inteiro, racional 
e real e pode ser representado, por exemplo, por –R$ 150,00 (menos cento e 
cinquenta reais).
Na prática, fazemos pouco uso das classificações dos números, porém as usamos 
constantemente.
1�2 Representações dos conjuntos
Para expressar um grupo de elementos 
em forma de conjuntos, utilizamos símbolos 
e taxonomias padronizadas.
Esses símbolos passaram a ser cada vez 
mais utilizados a partir da segunda metade 
do século XX, com a chamada Matemática 
Moderna, que se apoiava na linguagem dos 
conjuntos, criada por Georg Cantor. 
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 m
ad
pi
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Georg Cantor (1845-1918), criador da linguagem dos conjuntos, nasceu na Rússia, embora seus 
pais fossem dinamarqueses. Passou a maior parte de sua vida na Alemanha, onde estudou 
Filosofia, Física e Matemática.
Vamos começar com um exemplo: na Rua X, há o seguinte grupo de lojas:
Para representar o conjunto de lojas da rua, usamos uma letra maiúscula para 
identificá-lo, neste caso X, que é o nome da rua, e os elementos em letras minúsculas, 
neste caso a inicial do tipo de loja, conforme modelo:
Lojas da Rua X = (automóveis, eletrodomésticos, informática, objetos, utilidades)
X = {a,e,i,o,u}
Fundamentos da matemática 16
Certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si algumas 
características comuns são denominados conjuntos numéricos.
Os elementos que fazem parte de um conjunto pertencem a esse conjunto.
Agora, vamos considerar alguns conjuntos formados por números. Chamamos de 
A o conjunto dos divisores de 24, de B o conjunto dos divisores de 40 e de C o conjunto 
dos divisores de 12.
A = {1,2,3,4,6,8,12,24} 
B = {1,2,4,5,8,10,20,40} 
C = {1,2,3,4,6,12}
Quando um número é elemento de um conjunto, dizemos que esse número per-
tence ao conjunto:
• 3 é divisor de 24  3 pertence ao conjunto A ou 3  A.
• 8 é divisor de 40  8 pertence ao conjunto B ou 8  B.
Do mesmo modo, dizemos que um número não pertence ao conjunto quando 
esse número não faz parte de um conjunto:
• 3 não é divisor de 40  3 não pertence ao conjunto B ou 3  B.
• 8 não é divisor de 12  8 não pertence ao conjunto C ou 8  C.
Veja como podemos representar os conjuntos A, B e C por meio de diagramas, 
chamados de Diagramas de Venn.
Fundamentos da matemática 17
Note que todos os elementos do conjunto C são também elementos do A. Nesse 
caso, dizemos que o conjunto C está contido no A ou C  A.
Podemos notar também que, embora o conjunto C possua elementos comuns 
com o B, nem todos os elementos de C são elementos de B. Nesse caso, dizemos que C 
não está contido em B ou C  B.
Representação de conjuntos no Diagrama de Venn�
O conjunto C está contido no conjunto A se todos os elementos de C fazem parte de A.
O conjunto formado pelos elementos comuns a dois ou mais conjuntos recebe o 
nome de conjunto intersecção. De acordo com o diagrama, podemos observar que os 
números 1, 2 e 4 estão tanto no conjunto B como no conjunto C, ou seja, 1, 2 e 4 per-
tencem à intersecção de B com C, que pode ser representada da seguinte forma:
B  C = {1,2,4}
Considerando todos os elementos do conjunto A e todos os elementos de B, po-
demos formar um conjunto chamado união de A com B, que pode ser representado da 
seguinte forma:
A intersecção entre dois conjuntos é formada pelos elementos que pertencem a ambos.
A  B = {1,2,3,4,5,6,8,10,12,20,24,40}
A união entre os conjuntos A e B é formada por todos os elementos de A e de B.
12
3
1
8
5
10
2024
B
A
C
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Fundamentos da matemática 18
Observe a representação das relações entre os conjuntos.
Relações entre conjuntos�
12
3
1
8
5
10
B  C
A  B
24  B
C  A
2024
B
A
C
40
2
4
6
Embora pareça estranho, na Matemática há um conjunto especial que não possui 
nenhum elemento. Esse conjunto é chamado conjunto vazio e é representado por  
ou { }. Logo, uma cesta de pães vazia é .
1�3 Subconjuntos
Quando um grupo de elemen-
tos faz parte de um conjunto, que 
por sua vez, juntamente com ou-
tros elementos ou grupo de outros 
elementos, forma outro conjunto, 
chamamos os grupos menores de 
subconjuntos. 
Se todos os elementos de um 
conjunto A pertencem a um segun-
do conjunto B, então o primeiro conjun-
to está contido no segundo conjunto, isto 
é, A é um subconjunto de B. A relação só é 
verdadeira se todos os elementos de A fizerem 
parte de B.
Exemplo: todo paranaense é brasileiro�
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Fundamentos da matemática 19
Considere P conjunto dos paranaenses e B conjunto dos brasileiros.
B
P
Indicação: P está contido em B ou P é subconjunto de B  P  B. 
Por outro lado, se temos um grupo de elementos de um conjunto C que não faz 
parte do conjunto P, então temos uma negação.
Negação: cariocas não são paranaenses, ou seja, cariocas não estão contidos no 
conjunto de paranaenses  cariocas  paranaenses. 
A é subconjunto de B se todos os elementos de A fizerem parte de B.
1�4 Igualdade
Podemos fazer algumas relações entre dois conjuntos diferentes e entre um con-
junto e o elemento de outro conjunto. Essas relações apresentam características espe-
cíficas e representações próprias. Consideremos a seguinte situação:
Considere os conjuntos M = {1, 2} e N = {1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2}. 
Observe que os dois conjuntos têm apenas dois elementos cada 
um, e exatamente iguais(1 e 2). A quantidade de vezes que o ele-
mento aparece no conjunto não é levada em consideração. Então, 
temos que M = N.
Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresentam os mesmos elementos, em qualquer 
ordem, independentemente da quantidade de vezes que se repetem em cada conjunto.
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G
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Fundamentos da matemática 20
Observe outro exemplo.
Cesta A = {maçã, banana, maçã, maçã, banana, banana, banana}
Cesta B = {maçã, banana}
Logo, o conjunto da cesta B é igual ao conjunto da cesta A, pois ambos têm banana 
e maçã: cesta A = cesta B. No caso, não importa quantas vezes o elemento se repete no 
conjunto, desde que sejam os mesmos.
1�5 Operações com conjuntos
Em determinadas situações, precisamos realizar operações de conjuntos de ele-
mentos diferentes. Veremos a seguir as operações de união e diferença de conjuntos.
1�5�1 União de conjuntos
Sejam os conjuntos A = {boneca, urso, carrinho, robô} e B = {bicicleta, skate, patins, 
prancha}.
Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A, 
ou a B ou a ambos:
O conjunto C, assim formado, é chamado união de A e B, que contém todos os 
elementos que pertencem a A e B.
Designamos a união de A e B por A  B (lê-se: A união B).
A  B = {x I x  A ou x  B}
O conjunto A  B é formado por elementos presentes no conjunto A e no conjunto B.
A união de B é igual a x, tal que x pertence a A ou x pertence a B.
A = {boneca, urso, 
carrinho, robô}
B = {bicicleta, skate, 
patins, prancha}
C = {boneca, urso, 
carrinho, robô, bicicleta, 
skate, patins, prancha}
D
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Fundamentos da matemática 21
1�5�2 Diferença entre conjuntos
A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que perten-
cem a A, mas não pertencem a B, isto é: A – B = {x I x  A e x  B} (lê-se: A menos B é 
igual a x, tal que x pertence a A e x não pertence a B).
Designamos a diferença entre A e B por A – B (lê-se: A menos B).
Consideremos os conjuntos A – vegetais com vitamina C = {pepino, aspargo, 
couve, cenoura, alho} e B – vegetais com os quais se pode fazer suco = {couve, cenoura, 
alface, tomate}.
Vamos formar um conjunto C com os elementos que pertencem a A, mas não 
pertencem a B, ou seja, vegetais com vitamina C com os quais não se pode fazer suco.
O conjunto C, assim formado, é chamado diferença entre A e B.
Em diagrama:
A – B é formado pelo conjunto de elementos presentes somente em A, e ausentes em B.
A = {pepino, aspargo, 
couve, cenoura, alho}
B = {couve, cenoura, 
alface, tomate}
C = {pepino, aspargo, 
alho}
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Pepino
Aspargo
Alho
Couve
Cenoura
Alface
Tomate
A – B
D
es
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G
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co
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Fundamentos da matemática 22
Observação:
Se B  A (está contido em A), a diferença A – B determina-se complementar de 
B em relação a A, e se indica CAB (lê-se complemento de B em relação a A).
Exemplo:
CAB = A – B
Vamos considerar o conjunto de disciplinas da segunda-feira como A = 
{Matemática, Ciências, História, Português, Geografia} e B o conjunto de disciplinas da 
terça-feira B = {Português, Matemática}.
Nesse caso, o complemento de B em relação a A, isto é, as disciplinas que faltam 
na terça-feira para completar a grade são {Ciências, História, Geografia}. Nesse caso, 
CAB = A – B. 
O total de disciplinas CAB = A – B =
Por diagrama, temos:
Ciências
História
Geografia
Matemática
B
A
Português
CAB é a área sombreada
O complementar de B em relação a A é o que falta para o B ficar igual ao A.
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 P
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es
Fundamentos da matemática 23
1�6 Resolução de situações-problema
Certa universidade apresenta 560 alunos no curso de Processos Gerenciais. 
Sabendo-se que 230 deles estudam Matemática Financeira, 120 estudam Raciocínio 
Lógico e 40, as duas matérias, responda às questões.
Resolução
Observe que:
n (PG) = número total de alunos = 560.
n (MF) = número de alunos que estudam Matemática Financeira = 230.
n (RL) = número de alunos que estudam Raciocínio Lógico = 120.
n (MF  RL) = número de alunos que estudam Matemática Financeira e Raciocínio 
Lógico = 40.
Quantos alunos estudam apenas Matemática Financeira 
(estudam Matemática Financeira, mas não Raciocínio 
Lógico)?
A
 
Quantos alunos estudam apenas Raciocínio Lógico 
(estudam Raciocínio Lógico, mas não estudam Matemática 
Financeira)?
B
Quantos alunos estudam Matemática Financeira ou 
Raciocínio Lógico?
C
Quantos alunos não estudam as duas matérias?D
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: L
ar
is
sa
 P
ir
es
Fundamentos da matemática 24
Representação da situação-problema com diagrama:
Respostas
a. Se 230 alunos estudam Matemática Financeira e 40 deles estudam Matemática 
Financeira e Raciocínio Lógico, então o número de alunos que estudam apenas 
Matemática Financeira é 230 – 40 = 190.
b. Se 120 alunos estudam Raciocínio Lógico e 40 alunos estudam Matemática 
Financeira e Raciocínio Lógico, então o número de alunos que estudam 
Raciocínio Lógico é 120 – 40 = 80.
c. Se 190 alunos estudam apenas Matemática Financeira, 80 estudam apenas 
Raciocínio Lógico e 40 estudam Matemática Financeira e Raciocínio Lógico, 
então o número de alunos que estudam Matemática Financeira ou Raciocínio 
Lógico é 190 + 80 + 40 = 310.
d. Se o curso de Processos Gerenciais tem 560 alunos e 310 deles estudam 
Matemática Financeira ou Raciocínio Lógico, então o número de alunos que 
não estudam as duas matérias é: 560 – 310 = 250.
Sejam os conjuntos 
A = {0,1,2, 3, 4, 5} e 
B = {1, 3, 5, 7, 9} 
Sendo n (A) = número de elementos de A; n (B) = número de elementos de B; 
n (A  B) = número de elementos de A  B e n (A  B) = número de elementos de A  B, 
mostre que: 
n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B)
Número de elementos de A união de B = número de elementos de A + número de 
elementos de B – número de elementos de A intersecção de B.
230 – 40 = 190 40 120 – 40 = 80
MF RL
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: L
ar
is
sa
 P
ir
es
Fundamentos da matemática 25
Resolução
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}  n (A) = 6, isto é, A tem 6 elementos.
B = {1, 3, 5, 7, 9}  n (B) = 5, isto é, B tem 5 elementos.
A  B = {1, 3, 5}  n (A  B) = 3. Em comum, ambos têm os elementos 1, 3 e 5.
A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}  n (A  B) = 8. Unindo os dois conjuntos sem repetir 
elementos, temos 8 elementos.
Então:
Número de elementos da união de A e B = número de elementos de A + número 
de elementos de B – número de elementos de A interseção de B.
Podemos generalizar essa relação por meio da observação do diagrama.
n (A  B) n (A)= + n (B) n (A  B)
A
A
B
B
(A  B)
A B
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: L
ar
is
sa
 P
ir
es
n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B)
8 = 6 + 5 – 3
8 = 11 – 3
 8 = 8
Fundamentos da matemática 26
Note que n (A  B) foi somado duas vezes: uma quando tomamos n (A) e outra 
quando tomamos n (B). Daí a necessidade de subtrair uma vez n (A  B).
1�7 Organização de elementos de um conjunto em 
representações estatísticas
Em muitos casos, além das operações que realizamos com os conjuntos, preci-
samos extrair dados do conjunto de elementos e representá-los de forma organizada. 
Para isso, fazemos uso de operações estatísticas simples, que são média, moda, me-
diana, gráficos e intervalo de classes e de frequência.
1�7�1 Média aritmética, moda e mediana
Nos textos a seguir, estão representadasalgumas informações coletadas de revis-
tas de circulação nacional.
À espera de justiça
No Brasil, um processo já demora em média doze anos para terminar.
LIMA, M. À Espera de Justiça. Veja, ed. 1836. São Paulo: Abril, 2004.
O preço da água
No semiárido brasileiro, chove 600 milímetros por ano, média idêntica à da cidade 
de Berlim, na Alemanha.
BAHÉ, M. O Preço da Água. Época, ed. 322. Rio de Janeiro: Globo, 2004.
Notas do Enem
O Programa Universidade para Todos (ProUni) e a maioria dos vestibulares e pro-
cessos seletivos do Brasil são feitos por meio do Sistema de Seleção Unificada 
(SiSU). No caso do ProUni, para concorrer às bolsas de estudo, é preciso que a 
média seja pelo menos de 400 pontos, sem que a redação seja zerada, além dos 
pré-requisitos de renda. A média simples é calculada somando as notas das cinco 
provas, incluindo a redação, e dividindo por cinco. A complexa é quando uma uni-
versidade estabelece peso para cada uma das provas, assim a média seria a soma 
das cinco notas dividida pela soma dos pesos.
LESME, A. Como Calcular a Média do Enem? Brasil Escola. Disponível em: <http://
vestibular.brasilescola.com/enem/como-calcular-media-enem.htm>. Acesso em: 
26/08/2014. (Adaptado).
Fundamentos da matemática 27
Muitas vezes, encontramos informações como as mostradas anteriormente, que 
apresentam média aritmética, com o objetivo de resumir informações e apresentar 
alguns valores que representam um conjunto de dados. 
Para entendermos melhor o conceito de média, vamos utilizar como exemplo o 
rol a seguir. Nele, está indicada a massa, em quilograma, dos alunos de uma turma de 
Educação Física.
42,8 43,8 45,0 45,8 49,3 59,8
42,9 44,3 45,1 46,1 49,4 60,3
43,1 44,3 45,3 48,3 49,8 61,4
43,2 44,3 45,3 48,3 49,8 63,0
43,5 44,3 45,5 48,3 52,0
43,6 44,3 45,6 48,5 53,3
43,8 45,0 45,7 49,0 55,0
A média aritmética (Me) é o quociente obtido ao se dividir a soma dos valores da 
variável pela quantidade de valores, ou seja:
A média aritmética (Me) das massas dos alunos de Educação Física pode ser 
calculada somando todas as massas indicadas no rol (sequência ordenada dos dados) e 
dividindo o resultado pela quantidade de alunos.
Assim, podemos concluir que a massa média dos alunos de Educação Física é 47,9 kg.
Observando o rol referente à massa dos alunos, podemos notar também que o va-
lor que ocorreu com maior frequência foi 44,3 kg, que aparece 5 vezes na lista. Esse valor 
é chamado moda (Mo).
Quando há duas modas na amostra, chamamos de bimodal. Se não há moda, a amostra é 
amodal. Ao se ter mais de duas modas em algumas amostras, chamamos de multimodal.
 soma dos valores da variável 
quantidade de valores
Me =
S = 42,8 + 42,9 + 43,1 + 43,2 + 43,5 + 43,6 + 43,8 + 43,8 + 44,3 + 44,3 + 44,3 + 44,3 + 44,3 + 45 + 45 + 45,1 + 45,3 + 45,3 + 45,5 + 
45,6 + 45,7 + 45,8 + 46,1 + 48,3 + 48,3 + 48,3 + 48,5 + 49 + 49,3 + 49,4 + 49,8 + 49,8 + 52 + 53,3 + 55 + 59,8 + 61,4 + 63,0
ME = 
S
39
= = 47,9
1868,1
39
Fundamentos da matemática 28
Também podemos encontrar o valor que ocupa a posição central desse conjunto 
de dados, chamado de mediana. A mediana (Md) é o valor que ocupa a posição central 
em uma sequência de valores quando estes estão organizados em ordem crescente ou 
decrescente.
Para encontrar a posição da mediana em um conjunto com quantidade ímpar de 
elementos, pode ser efetuado o cálculo a seguir.
Usamos a letra n para indicar a quantidade de elementos de um conjunto de da-
dos. Logo, podemos expressar a posição da mediana como:
No conjunto de dados das massas, a posição da mediana é dada por:
O valor que está na posição 20 é 45,6 kg, lendo a tabela coluna a coluna.
Se a quantidade de valores é par, podemos calcular a mediana por meio da média 
aritmética dos dois valores centrais. Se, por exemplo, no rol de massas da academia ti-
véssemos mais um valor ao final da lista, por exemplo, 64 kg, a mediana seria:
42,8 43,8 45,0 45,8 49,3 59,8
42,9 44,3 45,1 46,1 49,4 60,3
43,1 44,3 45,3 48,3 49,8 61,4
43,2 44,3 45,3 48,3 49,8 63,0
43,5 44,3 45,5 48,3 52,0 64,0
43,6 44,3 45,6 48,5 53,3
43,8 45,0 45,7 49,0 55,0
 quantidade de valores + 1 
2
Posição da mediana =
 n + 1 
2
Posição da mediana =
 39 + 1 
2
= 20
Md = = 45,65
 45,6 + 45,7 
2
Fundamentos da matemática 29
Outro conceito bastante utilizado é a amplitude, que representa a diferença en-
tre o primeiro e o último elemento da amostra e tem como objetivo mostrar quanto os 
elementos extremos da amostra se afastam da média. 
Vamos verificar o conjunto a seguir, que representa a idade dos alunos de um gru-
po de estudos.
A = {19, 20, 21, 22, 22, 23, 52}
Nesse caso, a média de idade é 179 ÷ 7 = 25,57.
Ocorre que essa idade não representa corretamente a idade do grupo, já que a 
maior parte dos alunos tem em torno de 21 anos. Assim, uma informação importante 
seria informar que a amplitude da idade do grupo é de 52 – 19 = 32 anos.
Nesse caso, temos então uma média inferior à amplitude, o que nos ajuda a com-
preender melhor as características do grupo.
Um uso bastante frequente do conceito de amplitude é na comparação de temperaturas míni-
mas e máximas de um mesmo dia, isto é, a amplitude térmica. Em Curitiba, por exemplo, é co-
mum a amplitude térmica ser o dobro da mínima, ou seja, mínima de 6ºC e máxima de 16ºC, 
com amplitude térmica de 10ºC.
A seguir, a representação dessas medidas de tendência central encontradas na ta-
bela original.
42,8 43,8 45,0 45,8 49,3 59,8
42,9 44,3 45,1 46,1 49,4 60,3
43,1 44,3 45,3 48,3 49,8 61,4
43,2 44,3 45,3 48,3 49,8 63,0
43,5 44,3 45,5 48,3 52,0
43,6 44,3 45,6 48,5 53,3
43,8 45,0 45,7 49,0 55,0
Sendo: 
Me
Mo
Md
Fundamentos da matemática 30
1�7�2 Frequência e intervalos de classes
Além de calcular as informações resumidas de um conjunto, organizamos os da-
dos em rol, em intervalo de classes e calculamos frequência de ocorrência de cada ele-
mento, para representar o conjunto de elementos de forma mais abrangente.
Uma empresa realizou uma pesquisa com o objetivo de verificar o nível de escola-
ridade de seus funcionários.
Na tabela, estão indicados os resultados.
Nível de escolaridade dos funcionários da empresa
Nível de escolaridade Quantidade de funcionários
Ensino Fundamental 9
Ensino Médio 24
Ensino Superior 21
Pós-Graduação 6
Total 60
A primeira coluna dessa tabela apresenta o nível de escolaridade dos funcionários 
da empresa. Nessa pesquisa, “nível de escolaridade” é chamado variável estatística.
A segunda coluna apresenta a quantidade de funcionários referentes aos níveis de 
escolaridade. Cada um desses números é chamado frequência absoluta ou simplesmen-
te frequência (f).
Quando os dados são apresentados dessa forma, recebem o nome de distribuição 
de frequência.
Podemos completar essa tabela, calculando a porcentagem da frequência absolu-
ta em relação ao total de funcionários dessa empresa. Cada um desses valores é cha-
mado frequência relativa (fr) e pode ser calculado da seguinte forma:
©
 s
cu
si
 / 
/ F
ot
ol
ia
• fr é a frequência relativa
• f é a frequência absoluta
• n é o número total de ocorrências
 f 
 n 
fr = . 100
Fundamentos da matemática 31
Nível de escolaridade dos funcionários da empresa
Nível de escolaridade Frequência (f) Frequência relativa (fr)
Ensino Fundamental 9 15%
Ensino Médio 24 40%
Ensino Superior 21 35%
Pós-Graduação 6 10%
Total 60 100%
Podemos também representar os dados graficamente, em gráfico de pizza, no 
qual a soma de cada parte totaliza 100%.
Para obter essa frequência, partimos de um conjunto de dados brutos, conforme 
o exemplo a seguir.
A professora de Educação Física de uma escola mediu a altura, em metros, de 41 
alunos. No quadro, estão indicados os dados obtidos.
1,451,48 1,47 1,53 1,56 1,67
1,50 1,47 1,56 1,59 1,50 1,62
1,62 1,60 1,67 1,65 1,63 1,57
1,70 1,51 1,68 1,54 1,58 1,71
1,58 1,64 1,62 1,62 1,69 1,59
1,59 1,59 1,59 1,56 1,58 1,62
1,60 1,53 1,69 1,50 1,60
Nível de escolaridade dos funcionários da empresa
Ensino Médio 
40%
Ensino Superior 
35%
Ensino 
Fundamental 
15%
Pós- 
-graduação 
10%
D
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ig
n 
G
rá
fi
co
: L
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is
sa
 P
ir
es
Fundamentos da matemática 32
Em seguida, esses dados foram organizados em ordem crescente, a fim de facili-
tar a comparação entre eles.
1,45 1,51 1,57 1,59 1,62 1,67
1,47 1,53 1,58 1,59 1,62 1,68
1,47 1,53 1,58 1,60 1,62 1,69
1,48 1,54 1,58 1,60 1,63 1,69
1,50 1,56 1,59 1,60 1,64 1,70
1,50 1,56 1,59 1,62 1,65 1,71
1,50 1,56 1,59 1,62 1,67
Os dados apresentados foram organizados em uma tabela na qual estão indica-
das as frequências absolutas e relativas. Para isso, eles foram agrupados em intervalos 
de 5 cm, caso contrário, a tabela ficaria muito grande, pois seria necessária uma linha 
para cada medida.
Altura dos alunos da escola
Altura (em metros) Frequência (f) Frequência relativa (fr)
1,45 1,50 4 9,76 %
1,50 1,55 7 17,07 %
1,55 1,60 12 29,27 %
1,60 1,65 10 24,39 %
1,65 1,70 6 14,63 %
1,70 1,75 2 4,88 %
Total 41 100 %
A notação 1,45 1,50 refere-se ao intervalo que inclui todas as alturas de 1,45 m a 1,50 m, 
exceto 1,50 m. Caso utilizássemos a notação 1,45 I I 1,50, estaríamos nos referindo às alturas 
de 1,45 m a 1,50 m, inclusive 1,50 m. No caso da notação 1,45 1,50, estaríamos excluindo 
medida 1,45 m.
Logo, no intervalo de altura 1,45 1,50 há 4 alunos, o que representa 9,76% do 
total de 41 alunos.
Podemos complementar a tabela com a frequência acumulada (fa) e a frequên-
cia acumulada relativa (far).
A frequência acumulada nos fornece dados referentes à soma das frequências 
absolutas até determinado dado. A frequência acumulada relativa é a porcentagem da 
frequência acumulada em relação ao total da frequência absoluta. Observe a tabela.
Fundamentos da matemática 33
Altura dos alunos da academia de ginástica
Altura 
(em metros)
Frequência (f)
Frequência 
relativa (fr)
Frequência 
acumulada (fa)
Frequência 
acumulada 
relativa (far)
1,45 1,50 4 9,76% 4 9,76%
1,50 1,55 7 17,07% 11 26,83%
1,55 1,60 12 29,27% 23 56,10%
1,60 1,65 10 24,39% 33 80,49%
1,65 1,70 6 14,63% 39 95,12%
1,70 1,75 2 4,88% 41 100%
Total 41 100%
A frequência acumulada do intervalo 1,55 1,60 é a quantidade de alunos que 
têm altura até 1,60, ou seja, desde 1,45 até 1,60, isto é, dos dois intervalos. Nesse caso 
é 23, pois é a soma de 4 + 7 + 12.
A frequência acumulada relativa desse mesmo intervalo é 56,10%, pois é a quan-
tidade de alunos com altura até 1,60 dividida pelo total de alunos, isto é, 23 ÷ 41.
Assim, podemos dizer que o principal intervalo de altura é de 1,55 1,60, já que 
29,27% da turma se encaixam nesse intervalo. Também podemos dizer que mais da 
metade da turma (56,10%) tem altura inferior a 1,60 m.
Para completar a análise dos dados, podemos extrair a média, a moda e a media-
na da altura dos alunos:
É um conjunto de 
dados que tem a maior 
frequência, mas nesse 
caso é um conjunto 
bimodal, pois tem duas 
modas, isto é, os valores 
1,59 e 1,62 (eles aparecem 
5 vezes cada rol).
1,59
Considerando que 
temos 41 elementos, 
a mediana é
 41 + 1 
2
= 21
Ou seja, o 
valor de 1,59.
Média Moda Mediana
Sendo 1,59, o valor das três medidas (média, moda e mediana) é mera casualida-
de, pois nem sempre os dados se comportam dessa maneira.
Fundamentos da matemática 34
Referências
BRASIL. Explorando o Ensino da Matemática. Brasília: MEC, 2004, v. 1. Disponível 
em: <portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf>. Acesso em: 
12/12/2014.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. Ensino médio e preparação para a 
educação superior. 2. ed. São Paulo: Ática, 2002.
IEZZI, G., et al. Matemática: ciência e aplicações. 6. ed. v. 1. São Paulo: Saraiva, 2010.
PAIVA, M. Matemática – Paiva. v. 1. São Paulo: Moderna, 2009.
Fundamentos da matemática 35
Símbolos e fórmulas
Representação de conjuntos: X = {a, e, i, o, u}
 pertence
 não pertence
 está contido
 não está contido
 intersecção
 união
 conjunto vazio
 igualdade
 diferença 
CAB complemento de B em relação a A.
fr = f n . 100
fr frequência relativa
f frequência absoluta
n número total de ocorrências
x I y contém os elementos de x a y
x y contém os elementos de x a y, exceto y
x y contém os elementos de x a y, exceto x
Média
 
 soma dos valores da variável 
quantidade de valores
Moda elemento que aparece mais vezes no conjunto
Posição da mediana para 
conjuntos de elementos 
ímpares
 número de elementos + 1 
2
Mediana para conjuntos de 
elementos pares
 elemento central 1 + elemento central 2 
2
R$ ???
O objetivo deste capítulo é revisar operações matemáticas básicas usadas em 
nosso cotidiano.
2�1 Operações básicas
As operações básicas da 
Matemática são adição (soma), 
subtração (diminuição), multi-
plicação e divisão.
Desde crianças, temos 
a percepção de quantidades, 
embora não as saibamos expres-
sar corretamente. Diariamente realizamos 
operações sem perceber:
• Acordei atrasado às 8h e levo 40 minutos para che-
gar ao trabalho. Que horas chegarei?
• Se o preço do lanche é R$ 8,00, quanto sobrará de R$ 10,00 
para comprar o refrigerante?
• Se cada meia custa R$ 12,00, quanto pagarei por 5 meias?
• Abasteci o carro com 40 litros de combustível e andei 420 km. 
Qual o rendimento do carro?
©
 k
im
 / 
/ F
ot
ol
ia
2 Operações matemáticas
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 R
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Fundamentos da matemática 38
São operações que realizamos automaticamente, sem pensar que é Matemática, 
e constituem em adição, subtração, multiplicação e divisão.
2�1�1 Adição e subtração
As operações de adição e subtração podem resultar em valores positivos (+) 
ou negativos (–) e, ainda, podem ser realizadas com números com sinais iguais 
(+ e +; ou – e –) ou sinais diferentes (+ e –).
Vamos ver alguns exemplos com essas características.
1. Tinha 23 páginas de texto para ler e o professor passou mais 16. Quantas terei 
que ler?
 23 páginas
+ 16 páginas
 39 páginas
 23 
 16
 39
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 Il
ya
 Z
ay
ts
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Trata-se de uma operação de adição (soma) com sinais iguais (+).
2. Do material de leitura passado pelo professor, já li 12 páginas. Quantas ainda 
tenho para ler?
 39 páginas
– 12 páginas
 27 páginas
 39 
 12
 27
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 Il
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 Z
ay
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Fundamentos da matemática 39
Trata-se de uma operação de subtração (diminuição), com sinais iguais (–).
3. Tenho R$ 100,00 na conta bancária e comprei um produto de R$ 110,00. Qual é 
meu saldo?
R$ 100
– R$ 110
– R$ 10
Trata-se de uma operação de subtração (diminuição), com sinais diferentes, mas 
cujo resultado é negativo, pois o maior valor modular (R$ 110,00) é negativo.Nesse 
caso, significa que estou devendo R$ 10,00 ao banco.
4. Estava devendo R$ 10,00 ao banco e comprei um lanche de R$ 20,00 no cartão 
de débito. Qual é meu saldo?
– R$ 10
– R$ 20
– R$ 30
+
Trata-se de uma operação de adição (soma), com sinais iguais, porém negativos 
(–), cujo resultado continua negativo.
5. Estava devendo R$ 30,00 ao banco e depositei R$ 120,00. Qual é meu saldo?
– R$ 30
+ R$ 120
R$ 90
Nesse caso, são operações de adição com sinais diferentes (– e +), sendo que o 
maior valor modular tem sinal positivo (120). Sendo assim, o resultado é positivo.
Fundamentos da matemática 40
Logo:
Adição com sinais iguais
+ e + somar e manter o sinal
– e – somar e manter o sinal
Adição com sinais diferentes
+ e – diminuir e manter o sinal do maior valor
– e + diminuir e manter o sinal do maior valor
2�1�2 Multiplicação e divisão
No caso da multiplicação, trata-se de simplificar uma operação de adição que se-
ria repetido o mesmo elemento na mesma operação.
Em vez de 2 + 2 + 2, no qual o número 2 aparece 3 vezes, podemos fazer simples-
mente 2 . 3 e obtemos o mesmo resultado. Nas operações de multiplicação e divisão, 
também podemos ter números positivos (+) e negativos (–).
Operações com sinais iguais resultam na mesma operação iniciada, mantendo-se o sinal. 
Operações com sinais diferentes resultam em subtração, mantendo-se o sinal do maior valor.
D
es
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G
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 F
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nd
es
 M
ar
qu
es
Já quando precisamos resolver uma subtração, note que podemos transformar a 
operação em uma adição, por exemplo: 4 – 5 = 4 + (– 5), aí basta considerarmos as 
dicas da adição.
Fundamentos da matemática 41
Vamos ver alguns exemplos.
1. Comprei 5 camisetas por R$ 25,00. Quanto gastei?
Nesse caso, poderíamos somar 25 + 25 + 25 + 25 + 25 e 
obteríamos R$ 125. Fazendo a operação de multiplicação, sim-
plificamos a conta:
R$ 25,00
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B
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20
09
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R$ 25
x 5
R$ 125
2
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No caso de números com dois ou mais algarismos, começamos a multiplicar o úl-
timo algarismo pelo multiplicador (5 . 5 = 25), registramos apenas o último algarismo 
da operação (5) e “guardamos” o primeiro (2) para somar com a multiplicação no pri-
meiro algarismo ((5 . 2) + 2 = 10 + 2 = 12), o que resulta em 125.
A divisão é a operação inversa da multiplicação, isto é, encontramos um número 
que, multiplicado pelo divisor, resulte no dividendo.
Uma operação básica de divisão é composta de:
10 2
0 5
dividendo divisor
resto quociente
Basicamente, o que fizemos na operação foi encontrar um número que, multipli-
cado por 2, resultasse em 10.
Além dessa forma básica de expressão de divisão, usamos também as notações a 
seguir:
10 ÷ 2
10 : 2
10/2
 10 = 5
 2
Fundamentos da matemática 42
2. O garçom entregou a conta do restaurante para Carlos, Fernando e Manoel no 
valor de R$ 75,00. Os três amigos pretendem dividir a conta igualmente em 3. 
Quanto cada um vai pagar?
Temos a seguinte divisão:
1. Como 7 é maior que 3, podemos separar em duas partes, encontrando um valor 
que, multiplicado por 3, totalize 7 ou menos. O valor é 2, que resulta em 6.
2. Diminuindo 6 de 7, sobra 1. Ainda temos o 5, que baixamos junto ao 1, totali-
zando 15. 
3. Agora procuramos um número que multiplicado por 3 resulte em 15, que no 
caso é 5, e colocamos ao lado do 2. Logo, cada amigo pagará R$ 25,00.
2�2 Operações com frações
O que quer dizer fração? 
A palavra fração vem do la-
tim fractione e quer dizer “di-
vidir, quebrar, rasgar”. Fração, 
no Dicionário Aurélio (2009), 
também quer dizer “par-
te de um todo” e podemos 
nos referir também à porção. 
Observe alguns exemplos que 
usamos no cotidiano:
Meia pizza napolitana e meia 
de atum.
Tomei 1 copo de leite 
(lê-se meio).
2
Minha blusa tem manga 3 
(lê-se três quartos).
4
A receita pede 1 de xícara 
de óleo (lê-se um quarto). 
4
 1 dos jogadores da seleção brasileira 
atuam em times estrangeiros 
(lê-se um terço).
3
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 75 3
– 6 25
 15
Fundamentos da matemática 43
As frações pertencem ao conjunto dos números racionais e o uso delas está pre-
sente em diversas situações matemáticas. Uma fração é representada por um nume-
rador, que são as partes “tomadas” (ou coloridas) do inteiro e um denominador, que 
representa em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.
Desafio
Quantos exemplos mais você pode dar em que se usem frações? Para você 
pensar, sem se cansar: em um inteiro há quantas metades?
Uma fração é, basicamente, uma operação de divisão do numerador pelo deno-
minador, isto é, 1 ÷ 4 = 0,25.
Assim como para números inteiros, também realizamos as operações básicas 
com frações. Vamos aprender as técnicas adequadas de resolução de operações de 
adição, subtração, multiplicação e divisão de frações.
2�2�1 Adição e subtração de frações
As operações de adição e subtração podem ser realizadas com denominador igual 
ou diferente. Vamos explorar primeiro a adição com as duas opções para, em seguida, 
explorar a subtração.
Adição
1. João, Marcelo e Fernanda compraram uma pizza 
de 8 fatias. Se Fernanda comeu 1 fatia, Marcelo 
comeu 2 fatias e João, 3 fatias, quanto da pizza 
foi consumido?
Numerador  
Denominador 
1 
4
Observe a imagem da fração.
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Fundamentos da matemática 44
Observe que temos as frações:
Fernanda: 1 
 8
 (um oitavo), isto é, consumiu 1 de 8 pedaços;
Marcelo: 2 
 8
 (dois oitavos), isto é, consumiu 2 de 8 pedaços;
João: 3 
 8
 (três oitavos), isto é, consumiu 3 de 8 pedaços.
Logo, nossa operação é: 1 
 8
 + 2 
 8
 + 3 
 8
 
Como se trata do mesmo denominador, basta so-
marmos os valores dos numeradores e manter o valor do
denominador, isto é: 1 + 2 + 3
 8
 = 6 
 8
 
Ou seja 6 
 8
 (seis oitavos) da pizza foram consumidos,
isto é, 6 de 8 pedaços. Veja a imagem ilustrativa.
Porém, podemos ter operações com denominado-
res diferentes, conforme exemplo a seguir.
2. Uma das funções do sangue é transportar oxigênio e substâncias nutritivas 
para as células do corpo. Além disso, ele é responsável pelo recolhimento do 
gás carbônico e dos resíduos produzidos por essas células.
Os tipos ou grupos sanguíneos podem ser classificados em A, B, AB ou O. Veja no 
gráfico a fração da população mundial de acordo com cada grupo sanguíneo. 
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Ocorrência de cada grupo sanguíneo
23
50
2
5
1
10
1
25
Grupo A 
Grupo B 
Grupo AB 
Grupo O 
Fonte:HERLIHY; MAEBIUS, 2002. (Adaptado).
Que fração da população possui os grupos sanguíneos A ou B?
D
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Fundamentos da matemática 45
De acordo com o gráfico, 2 
 5
 (dois quintos) têm o sangue A e 1 
10
 (um décimo) tem
o sangue B. Portanto, precisamos efetuar o cálculo 2 
 5
 + 1 
10
 .
As frações 2 
 5
 e 1 
10
 possuem denominadores diferentes. Assim, é necessário obter
frações equivalentes com mesmo denominador. 
Frações equivalentes são frações que possuem a mesma medida, isto é, equivalem-se.
Observe as frações equivalentes 1 
 2
 = 2 
 4
 = 8
 16
.
Acompanhe:
1
2
2
4
 8 
16
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Também podemos encontrar frações equivalentes utilizando outros métodos. Há 
duas opções.
a. Encontrarmos um número cuja multiplicação do menor denominador resulte 
no maior denominador. No caso, o número que multiplicado por 5 resulta em 
10 é 2 (2 × 5 = 10). Logo, a fração equivalente a 2 
 5
 (dois quintos) é:
 2x2 
 5x2
 4 
 10
=
Assim, podemos somar as duas frações, que agora têm o mesmo denominador.
 4 
 10
+
 1 
 10
=
 5 
 10
Fundamentos da matemática 46
Em seguida, simplificamos o resultado dividindo por um número comum, o maior 
possível, obtendo uma fração irredutível.
Podemos definir como fração irredutível aquela fração em que não é mais possível simplificar o 
numerador e o denominador pelo mesmo número.
Neste caso, o maior divisor possível é 5:
 5÷5 
10÷5
 1 
 2
=
b. Também podemos realizar esse cálculo utilizando o mínimo múltiplo comum 
(mmc) para encontrar frações equivalentes com mesmo denominador; nesse 
caso, mmc (5,10).
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo 
múltiplo comum desses números. Podemos calcular o mmc de dois ou mais números utilizando 
a fatoração.
Agora dividimos o mmc pelo denominador da fração e multiplicamos o resultado 
pelo seu numerador, conforme a imagem:
5, 10 2  o número 2 é o menor divisor para o denominador 10, e fazemos a opera-
ção apenas para este denominador, já que 5 não é divisível por 2.
5, 5 5  o número 5 é o próximo menor divisor, que resulta em 1 e 1, chegando 
então ao final da operação.
1, 1 10  o mínimo múltiplo comum é a multiplicação dos dois divisores (2 x 5).
2 + 1 = 4 + 1 = 5
5 10 10 10 10
(10 ÷ 5 ) × 2 = 4
(10 ÷ 10 ) × 1 = 1
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Fundamentos da matemática 47
O próximo passo é obter a fração irredutível. Nesse caso, o divisor comum pode 
ser 5:
5 = 1
10 2
÷5
÷5
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O resultado obtido, 1 
 2
 (meio), representa a fração da população que possui os
grupos sanguíneos A ou B, isto é, o mesmo resultado do primeiro método.
Subtração
No caso da subtração de frações, o método é semelhante ao de adição, conforme 
exemplo a seguir.
Um trem faz um percurso todos os dias até determinada cidade do estado de São
Paulo. Desse trajeto diário, ele já percorreu 7 
10
 da distância. Que fração falta para que
ele tenha percorrido 3 
 4
 da distância?
Para resolver esse problema, devemos calcular 3 
 4
 – 7 
10
 .
3
4
7
10
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Fundamentos da matemática 48
Vamos usar o método de mínimo múltiplo comum, sendo:
7 
10
15 
20
14 
20
1 
20
 3 
 4 – = – =
4, 10 2  o número 2 é o menor divisor para o denominador 4 e 10.
2, 5 2  novamente o número 2 é o próximo menor divisor, que resulta em 1 e 5.
1, 5 5  Agora utilizamos o 5 para dividir por 5 e chegamos em 1 e 1.
1, 1 20  o mínimo múltiplo comum de 4 e 10 é 20.
Agora fazemos a conversão das frações de acordo com o resultado do mmc.
Observe que as novas frações são:
Sendo assim, consideramos que calcular 3 
 4
 – 7 
10
 é o mesmo que calcular 15 
20
 – 14 
20
 .
Então:
7 
10
15 
20
14 
20
1 
20
 3 
 4 – = – =
Assim, falta percorrer 
1 
20
 (um vinte avos) da distância.
Para adicionar ou subtrair números representados por frações que têm denominadores dife-
rentes, encontramos frações equivalentes às frações dadas e que tenham um denominador co-
mum. Em seguida, efetuamos a adição ou a subtração com essas frações.
15
 – 
14
 = 
1
20 20 20
D
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A
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Fundamentos da matemática 49
2�2�2 Multiplicação de frações
Na multiplicação de fração, podemos ter operação com uma fração e um número 
inteiro, ou duas frações. Observe o exemplo:
1. Na fazenda de Armando, foram produzidos 135 litros de leite. Ele vendeu 2 
 3
 dessa produção para João, distribuídos em três recipientes: A, B e C. No 
 recipiente A, ele colocou 2 
 5
 dessa quantidade, no recipiente B, 1 
 5
, e no 
 recipiente C, a mesma quantidade do recipiente A. 
a. Quantos litros Armando vendeu para João?
Resolução
Podemos responder a essa pergunta calculando 2 
 3
 de 135.
Quando estamos lidando com um número inteiro, podemos dizer que ele repre-
senta uma fração cujo denominador é 1, isto é, podemos representar 135 na fração 135 
 1
.
Em qualquer operação de fração, multiplicamos numerador por numerador e de-
nominador por denominador. Logo, usamos esta operação:
135
1
 2 
 3
. = 270
3
= 90
Então, Armando vendeu um total de 90 litros de leite para João.
b. Que fração da produção representa a quantidade de leite colocada em cada 
um dos recipientes?
Resolução
Como os recipientes A e C ficaram com a mesma quantidade de leite, consegui-
mos calcular a quantidade de cada um por meio da multiplicação de 2 
 3
 da produção to-
tal vezes 2 
 5
 da venda realizada para João. 
 2 
 3
. = 2 5
 4 
15
Logo, foram colocados 4 15 da produção de leite no recipiente A e 
 4 
15 no recipiente C.
Para o recipiente B, precisamos calcular 1 
 5
 de 2 
 3
 , ou seja:
 1 
 5
. = 2 3
 2 
15
Fundamentos da matemática 50
Logo, o recipiente B tinha 2 
15
 da quantidade de leite produzida.
c. Quantos litros havia em cada recipiente?
Resolução
Ficamos com a seguinte distribuição de leite em litros:
Armazenados: 
135
1
 2 
 3
. = 270
3
 = 90 litros, que foram distribuídos nos recipientes 
A, B e C.
Recipiente A e C = 
 4 
15 de 135 litros ou 
 2 
 5
 de 90 litros, sendo:
 4 
15 
. 135 = 540
15
 = 36 litros, ou ainda:
 2 
 5
 . 90 = 180
5
 = 36 litros
Recipiente B = 
 2 
15 de 135 litros ou 
 1 
 5
 de 90 litros, sendo:
 2 
15 
. 135 = 270
15
 = 18 litros, ou ainda:
 1 
 5
 . 90 = 90
 5
 = 18 litros
2. Carolina está preparando uma receita de bolo que pede 3 
 4
 de xícara de óleo.
 A receita toda serve 8 pessoas, mas Carolina deseja preparar somente para 4 
pessoas. Nesse caso, qual deve ser a quantidade de óleo na receita de Carolina?
©
 P
at
ry
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 / 
/ F
ot
ol
ia
Fundamentos da matemática 51
Resolução
Nesse caso, temos uma multiplicação de duas frações, pois se a receita é para 8
pessoas e Carolina deseja adaptá-la para 4, então temos uma fração de 4 
 8
 (isto é, 4partes de 8, ou quatro oitavos). 
Se a quantidade de óleo é de 
 3 
 4 , precisamos multiplicá-la pela proporção da re-
ceita. Logo:
 3 
 4
. = 4 
 8
 3 . 4 
 4 . 8 =
 12 
 32
Precisamos transformar essa fração em uma fração irredutível. O maior número 
divisível pelo numerador e denominador é 4, sendo:
 12 ÷ 4 
 32 ÷ 4 =
 3 
 8
Ou seja, a quantidade de óleo na receita será de 3 
 8
 .
Para encontrar o resultado da multiplicação de um número inteiro por um número fracionário, 
ou vice-versa, multiplicamos esse número pelo numerador da fração e mantemos o denomina-
dor. Para encontrar o resultado da multiplicação de duas ou mais frações, multiplicamos o nu-
merador pelo numerador e o denominador pelo denominador.
2�2�3 Divisão de frações
Na divisão de frações, invertemos uma das frações e multiplicamos pela outra, ou 
ainda, fazemos uma multiplicação cruzada de numerador por denominador, conforme 
exemplo a seguir.
Vera programou um bate-papo com 
seus amigos. Para o lanche, ela comprou 
4 pães para fazer canapés, calculando que
 2 
 5
 de pão por pessoa seriam suficientes.
Quantas pessoas havia nesse bate-papo?
©
 v
pa
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 / 
Fo
to
lia
Fundamentos da matemática 52
Resolução
Como são 4 pães e Vera calculou 
 2 
 5 de pão para cada pessoa, então teremos que
dividir esses pães pela fração indicada por ela. Temos:
 4 
 1
 2 
 5
÷ =
 4 
 2
5
Vamos inverter a segunda fração. O inverso de 
 2 
 5 é 
 5 
 2 , portanto 
 4 
 1
 . 
 5 
 2
 = 20 2 . 
Como se trata de uma fração com denominador maior que o numerador e que 
forma um número inteiro, dividimos e obtemos o resultado de 10, isto é, havia 10 
pessoas nesse bate-papo.
Para dividir uma fração por outra fração, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda.
2�3 Porcentagem e aplicações
O símbolo de porcentagem (%) foi criado por comerciantes para simplificar a lin-
guagem nas transações comerciais.
Quando estamos usando a porcentagem, cada número é dividido em 100 partes e expressa em 
fração de 100.
A porcentagem representa uma fração de 100, isto é, x% (lê-se x por cento). É 
outra forma de representar 
x
100 . Uma fração representa uma padronização de números 
em partes de 100.
Por exemplo, 25% são equivalentes a 
25
100 . Se dividirmos essa fração, temos 0,25.
Os registros dos primeiros cálculos percentuais são do século I a.C., quando o im-
perador romano decretou a cobrança de impostos como uma parte obtida na venda de 
mercadorias. Um dos impostos era chamado centésimo rerumvenalium e representava 
um centésimo (1/100) pela venda de cada mercadoria, sem usar o símbolo de porcen-
tagem. Sobre a venda de escravizados, incidia imposto de 1/25 (um vinte e cinco avos). 
Fundamentos da matemática 53
O conceito de porcentagem passou a ser aplicado a partir do século XV, com a pa-
dronização da divisão por 100. Naquela época, utilizava-se o símbolo “p. cento” ou “p.c.” 
e somente mais tarde foi inserido o símbolo % para simplificar as representações.
Observe alguns exemplos a seguir sobre porcentagem.
1. José fez um planejamento finan-
ceiro e resolveu poupar 20% de sua 
renda mensalmente. Considerando 
que neste mês a renda de José foi 
de R$ 3.600, qual o valor que ele 
poupará?
Resolução
Nesse caso, temos uma multiplica-
ção de porcentagem por um número intei-
ro. Precisamos descobrir quanto é 20% de 
3.600.
A forma indicada é a regra de três:
Se R$ 3.600 = 100% da renda
Quantos R$ (x) = 20%
Fazemos uma multiplicação cruzada 
dos valores:
©
 G
st
ud
io
 G
ro
up
 / 
/ F
ot
ol
ia
Então: 3.600 . 20 = 72.000
E 100 x
 Assim, 72.000 = 100 x
Para achar o valor de x, basta dividir 72.000 por 100, isto é, 72.000 ÷ 100 = 720.
Logo, neste mês José deverá poupar R$ 720.
Conceitualmente, o que estamos fazendo é dividindo a renda de José em 100 par-
tes e guardando 20 partes dela, isto é, a renda dividida em 100 partes  3600 ÷ 100 = 36. 
Considerando que queremos 20 partes dela, temos 36 . 20 = 720.
3600 = 100
x = 20
Fundamentos da matemática 54
Outra forma de resolver seria simplesmente multiplicando 20%, isto é, 20 ÷ 100 = 0,20, 
por 3.600, cujo resultado é R$ 720.
2. Uma loja deseja vender um home theater com lucro equivalente a 40% do cus-
to. Se o equipamento custou R$ 6.000,00, por quanto deve ser vendido?
Resolução
Esta questão refere-se a uma transação com lucro, então temos:
C = custo, PV = preço de venda e L = lucro.
C + L = PV
O lucro deve ser equivalente a 40% do custo. Nesse caso, estamos dividindo o va-
lor de R$ 6.000 em 100 partes e queremos descobrir quanto representam 40 partes.
Assim, lucro = 40% do custo = 40 ÷ 100 = 0,40 do custo.
Sendo, C = 6.000,00.
Então, L = 0,40 . 6.000 = 2.400
Portanto, PV = 6.000 + 2.400 = 8.400.
O equipamento será vendido por R$ 8.400,00.
3. Um comerciante deseja ter um lucro de 20% sobre o preço de venda de seus 
produtos. Qual deve ser o acréscimo, em porcentagem, que ele precisa incluir 
no custo de seus produtos para que isso aconteça?
Resolução
Pelos dados do problema, concluímos que, para cada R$ 100,00 recebidos, 
ele deseja ganhar R$ 20,00. Isso só acontece se o custo for R$ 80,00, pois R$ 100,00 – 
R$ 20,00 = R$ 80,00, isto é, quando P = 100, L = 20 e C = 80.
Relacionando o lucro com o custo, obtemos a seguinte taxa percentual:
L 
C
 20 
 80
= = 0,25 = 25%
Essa taxa corresponde ao acréscimo que o comerciante deve dar ao custo. Assim, 
para ter um lucro de 20% do preço de venda, é necessário vender o produto por 25% a 
mais do que ele custou.
Fundamentos da matemática 55
Por exemplo, se o custo do produto é de R$ 40, o lucro acrescido deve ser de 
R$ 40 × 0,25 = R$ 10. Logo, o preço de venda é de R$ 40 + R$ 10 = R$ 50.
Assim, o lucro de R$ 10 representa 20% do preço de R$ 50.
4. O custo de um aparelho eletrônico é de R$ 12.000,00. Ele vai ser vendido com 
um prejuízo de 10% do custo. Qual deve ser o preço de venda desse aparelho?
Resolução 
Prejuízo = 10% de C, isto é, prejuízo = 0,10 . 12.000 = 1.200.
Logo, o preço de venda desse aparelho é dado por:
P = 12.000 – 1.200 = 10.800
O preço de venda será de R$ 10.800,00.
5. Vendi um terreno por R$ 320.000,00, com ganho de 20%. Quanto eu havia pa-
gado pelo terreno?
Resolução
Ganho = 20% do preço de venda
Custo = preço de venda – 20%
Ganho = 0,20 . 320.000 = 64.000
Custo do terreno = 320.000 – 64.000 = 256.000
6. Ana tinha 80 kg e, após um regime, passou a pesar 60 kg. Qual é o percentual 
de peso que Ana perdeu?
Resolução
Nesse caso, temos uma variação numérica (80 – 60) de 20 kg, e queremos calcu-
lar a variação percentual. A referência é em relação ao número inicial, isto é, 80. Nesse 
caso, usamos a regra de três: se 80 = 100%, quanto representa 20?
Basta, então, dividir 20 ÷ 80 = 0,25 = 25%, ou seja, Ana perdeu 25% de seu peso 
original.
Fundamentos da matemática 56
Portanto, nas transações comerciais podem ocorrer lucro ou prejuízo. Observamos 
que os exemplos trouxeram situações de:
a. transação com lucro.
Sendo C = custo, P = preço e L = lucro, temos:
C + L = P
b. transação com prejuízo. 
Sendo C = custo, P = preço e J = prejuízo, temos:
C – L = P
Então, uma pessoa pode comprar determinado produto por um valor de 
R$ 500,00 (preço de custo), por exemplo, e este pode ser revendido com um lucro de 
50%. Isso quer dizer que nesta operação o lucro em espécie da operação é de R$ 50,00 
(lucro) para cada valor de R$ 100,00 do preço do custo.
Observe que:
Custo Lucro
R$ 100,00 R$ 50,00
R$ 100,00 R$ 50,00
R$ 100,00 R$ 50,00
R$ 100,00 R$ 50,00
R$ 100,00 R$ 50,00
Custo total: R$ 500,00 Lucro total: R$ 250,00
Por meio da regra de três simples, temos:
R$ 500,00 100%x 50%
x = R$ 250,00 (valor do lucro total na operação).
2�3�1 Descontos
Em diversas situações de compras, podemos obter um desconto sobre o valor do 
produto. Esse desconto é um percentual do preço original e pode ser calculado confor-
me exemplo a seguir.
Fundamentos da matemática 57
O preço de um notebook é de 
R$ 2.000,00. Por causa de uma promo-
ção, esse aparelho foi colocado à venda 
por R$ 1.900,00. Qual desconto está sendo 
oferecido?
Resolução 
O desconto é dado por:
©
 jp
go
n 
/ /
 F
ot
ol
ia
D = 2.000 – 1.900 = 100
Sendo P o preço, a taxa percentual é:
D 
P
100 
2.000
= = 0,05 = 5%i =
Portanto, está sendo concedido desconto de 5% sobre o preço original.
2�3�2 Fator de aumento X Fator de diminuição
Em certas operações, precisamos calcular o crescimento, ou aumento, de deter-
minada magnitude, como o aumento do faturamento de uma empresa, o crescimento 
da população ou da renda das pessoas. Para isso, usamos o fator de aumento.
Também temos operações em que há redução da magnitude, como redução de 
defeitos na produção e redução da mortalidade infantil. Nesse caso, usamos o fator de 
diminuição ou redução.
Usamos o fator de aumento para calcular a variação positiva de um valor, enquanto o fator de 
redução é usado para calcular a variação negativa de certo valor.
Vamos ver a seguir como calcular essas variações.
1. A empresa X produz dois tipos de computadores: XR e XQ. No ano passado, ela 
produziu 20 mil unidades do modelo XR. Neste ano, ela pretende aumentar sua 
produção em 15% em relação ao ano anterior. 
Sendo assim, responda às questões:
Fundamentos da matemática 58
a. Qual é o fator de aumento dessa produção?
b. Quantas unidades do modelo XR devem ser produzidas neste ano?
c. Sabendo que neste ano serão produzidos 46.000 computadores do modelo XQ, 
quantas unidades foram produzidas no ano passado?
d. A empresa X projeta uma queda de 10% na produção para o terceiro ano, em 
relação ao ano anterior. Qual será a produção de cada modelo de computador?
Resolução
a. Fator de aumento
Vamos considerar o ano passado como o ano 1, e este ano como ano 2.
Temos um valor no ano 1 (XR1) que sofre um aumento (i), que é um percentual em 
relação ao valor inicial.
Logo, podemos dizer que a quantidade de computadores no ano 2 (XR2) é a quan-
tidade produzida no ano anterior mais a variação (i . XR1). 
Assim: XR2 = XR1 + (i . XR1)
Observe que XR1 aparece duas vezes: uma somando e outra multiplicando. 
Podemos então dizer que XR1 multiplica uma vez por 1 e uma vez por i, isto é:
XR2 = XR1 + (i . XR1)
XR2 = (1 . XR1) + (i . XR1)
Logo, podemos simplificar multiplicando XR1 por (1 + i), pois assim estamos con-
siderando a soma de XR1 com a variação de XR1. 
Já que ao multiplicar o número de computadores atuais por (1 + i) obtemos uma 
produção maior, isto é, obtemos o crescimento da produção, podemos então dizer que 
(1 + i) é o fator de aumento da operação.
XR1 . 1
XR2 = XR1 . (1 + i)
 XR1 . i
Fundamentos da matemática 59
Logo, para obter o resultado da questão a. (fator de aumento da produção), basta 
substituir os valores nessa parte da equação, isto é:
Fator de aumento = (1 + i)
Considerando que i foi de 15% = 15 ÷ 100 = 0,15, então:
Fator de aumento = (1 + 0,15)
Fator de aumento = 1,15
O fator de aumento é a taxa de aumento dividida por 100 e somada a 1, isto é (1 + i).
b. Produção de XR no ano 2
Considerando que XR1 é a produção do ano atual, isto é, 20.000, e o i é a taxa de 
acréscimo da produção, ou seja, 15% = 15 ÷ 100 = 0,15, logo:
XR2 = 20.000 . (1 + 0,15)
XR2 = 20.000 . 1,15  Fator de aumento
XR2 = 23.000
Ou seja, a produção do ano 2 será de 23.000 computadores.
Para obter o resultado de um aumento de determinada variável, basta multiplicá-la pelo fator 
de aumento, isto é, XR2 = XR1 . (1 + i).
c. Produção de XQ no ano 1
Nesse caso, temos a produção do ano 2 para XQ, isto é, temos XQ2 = 46.000 e 
queremos descobrir XQ1. Sabemos que XQ2 é 15% maior que XQ1, isto é, sofreu um au-
mento de 15%. Podemos então utilizar a mesma equação para a questão anterior.
XQ2 = XQ1 . (1 + i)
Substituindo os valores, temos:
46.000 = XQ1 . (1 + 0,15)
46.000 = XQ1 . (1,15)
Fundamentos da matemática 60
Como existe a incógnita multiplicando o fator de aumento, podemos trocar os 
valores de lado da equação e inverter a operação, ou seja, transformar a multiplicação 
em divisão:
Quando queremos descobrir o valor inicial de uma magnitude que sofreu um aumento, basta 
dividir o valor aumentado pelo fator de aumento, isto é, XQ1 = XQ2 ÷ (1 + i).
d. Produção de XR e XQ no ano 3
Nesse caso, a produção sofreu uma redução de 10% em relação ao ano 2, ou seja, 
a XR3 é 10% menor que XR2 e XQ3 é 10% menor em relação a XQ2.
Nesse caso, podemos dizer que há um fator de redução, isto é:
XR3 = XR2 – (XR2 . i)
Se aplicarmos o mesmo raciocínio de simplificação da equação de fator de au-
mento, temos que:
Podemos considerar que o fator de diminuição é (1 – i).
O fator de diminuição é a taxa de aumento dividida por 100 subtraída de 1, ou seja, (1 – i).
46.000 = XQ1 . (1,15)
46.000 = XQ1
 1,15
Logo:
XQ1 = 40.000
XR3 = (1 . XR2) – (XR2 . i)
XR3 = XR2 . (1 – i)  fator de diminuição
 XR2 . 1
 XR2 . i
Fundamentos da matemática 61
Nesse caso, nosso fator de diminuição é (1 – 0,1), isto é, 0,90.
Sendo assim, para obter a produção esperada do ano 3, basta multiplicar o fator 
de redução pela produção no ano 2:
XR3 = 23.000 . 0,90  XR3 = 20.700
XQ3 = 46.000 . 0,90  XQ3 = 41.400
Para obter o resultado da diminuição de uma variável, multiplicamos seu valor pelo fator de 
diminuição.
Podemos aplicar o fator de aumento e o fator de diminuição nas operações a 
seguir.
2. “IBGE prevê aumento de 122,2% na produção de feijão no Pará”. 
“Em 2013, a primeira safra somou 4 mil toneladas de grãos”. (FOLHA DO 
PROGRESSO NEWS, 2014).
Qual será a produção de feijão em 2014?
Resolução
Nesse caso, queremos aplicar um fator de aumento.
Temos: 
Quantidade produzida em 2013 (Q2013) = 4 mil toneladas
Aumento da produção (i) = 122,2% = 122,2 ÷ 100 = 1,222
Queremos descobrir a quantidade produzida em 2014 (Q2014), isto é:
(Q2014) = (Q2013) . (1 + i)
Logo, aplicando os valores na equação de fator de aumento, temos:
(Q2014) = 4.000 . (1 + 1,222)
(Q2014) = 4.000 . (2,222)
(Q2014) = 8.888
Fundamentos da matemática 62
Ou seja, a produção de feijão em 2014 será de quase 9.000 toneladas.
Observe que a taxa de aumento é superior a 100% e, nesse caso, o fator de aumento ficou 
maior que 2, ou seja, mais que dobrou.
3. “Inflação oficial fecha 2013 em 5,91%, diz IBGE”. (GLOBO.COM, 2014).
Ana paga R$ 500,00 de aluguel, que será reajustado pela inflação. Qual será o 
novo valor de aluguel?
Resolução
Nesse caso, o fator de aumento é (1 + 0,0591) = 1,0591.
Multiplicando pelo valor atual do aluguel = 1,0591 × 500, temos o novo valor de 
aluguel: R$ 529,55.
4. Leia o excerto a seguir: 
 “Em queda em quase todo o mundo, a taxa de novas infecções pelo vírus da 
Aids teve aceleração de 11% entre 2005 e 2013 no Brasil, revela o relatório “The 
Gap Report”, do Programa Conjunto das Nações Unidas HIV/Aids (Unaids), 
divulgado ontem. No planeta – onde o total de pessoas infectadas está está-
vel em cerca de 35 milhões –, houve diminuição de 28% no número de novos 
casos.” (GLOBO.COM, 2014).
Quantas pessoas estavam infectadas no mundo em 2005?
Resolução
Nesse caso, temos um valor atual que sofreu redução em relação ao valor origi-
nal. Podemos então usar a equação do fator de diminuição. Vamos considerar V2005 a 
quantidade de pessoas infectadas em 2005 e V2013 a quantidadede pessoas infectadas 
em 2013. Logo:
V2013 = V2005 × (1 – i)
Substituindo os valores, temos:
35.000.000 = V2005 . (1 – 0,28)
35.000.000 ÷ (0,72) = V2005
V2005 = 48.611.111
Fundamentos da matemática 63
Logo, podemos dizer que em 2005 havia 48,6 milhões de pessoas infectadas por 
HIV no mundo.
5. “Produção de motocicletas cai 8,37% no semestre, diz Abraciclo”.
“No mesmo período de 2013, foram produzidas 839.945 motocicletas”. (GLOBO.
COM, 2014).
Qual foi a produção do primeiro semestre de 2014?
Resolução
Nesse caso, temos também um fator de diminuição. Vamos chamar M2013 a produ-
ção de motocicleta em 2013 e M2014 a produção em 2014. Logo:
M2014 = M2013 . (1 – i)
M2014 = 839 . 945 . (1 – 0,0837)
M2014 = 839 . 945 . (0,9163)
M2014 = 769 . 641
Logo, foram produzidas 769.641 motocicletas no primeiro semestre de 2014.
2�3�3 Acréscimos ou reduções sucessivas
É comum observarmos aumentos ou reduções sucessivas de valores, como uma 
empresa crescer 10% ao ano nos últimos 3 anos ou a aplicação da inflação anual no 
reajuste de preços.
Nesse caso, aplicamos o conceito de fator de aumento e diminuição. Observe os 
exemplos.
1. Em fevereiro, a loja de eletrodomésticos ZZ aumentou seus preços em 10% e, 
em maio, mais 20%.
a. Se em janeiro uma TV custava R$ 5.000,00, qual seu novo preço?
b. Se o preço atual de um home theater é de R$ 13.200,00, quanto ele custava em 
janeiro?
Resolução
Temos dois fatores de aumento, F1 e F2, sendo:
F1 = 1 + i1 e F2 = 1 + i2
Fundamentos da matemática 64
Logo, 
F1 = 1 + 0,10 = 1,10 e 
F2 = 1 + 0,20 = 1,20
a. Novo valor da TV.
Multiplicamos o valor inicial da TV pelos dois fatores de aumento. 
TVatual = TVjaneiro . F1 . F2
TVatual = 5.000 . 1,10 . 1,20
TVatual = 5.000 . 1,32
TVatual = 6.600
Logo, o preço atual da TV é de R$ 6.600,00.
a. Valor do home theater (HT) em janeiro
Aplicamos o mesmo raciocínio, sendo que agora temos o valor atual e queremos 
descobrir o valor de janeiro.
HTatual = HTjaneiro . F1 . F2
13.200 = HTjaneiro . 1,10 . 1,20
13.200 = HTjaneiro . 1,32
13.200
 1,32
 = HTjaneiro
HTjaneiro = 10.000
Logo, em janeiro o preço do home theater era R$ 10.000,00.
2. Um comerciante vende 100 litros de refrigerantes sabor guaraná e framboesa. 
No ano 50% do total das vendas de refrigerantes são do tipo guaraná e 50%, 
do tipo framboesa. O comerciante observa que, anualmente, as vendas do re-
frigerante guaraná estão diminuindo em 20% e as do refrigerante framboesa, 
aumentando em 20%. Dois anos depois, qual é o percentual de venda de cada 
tipo de refrigerante?
Fundamentos da matemática 65
Resolução
Para cada 100 litros vendidos no primeiro ano, 50 litros eram do tipo guaraná e 50 
do tipo framboesa.
Anualmente, as vendas do tipo guaraná diminuem em 20%. Logo, aplicamos o 
fator de diminuição duas vezes nesse tipo:
Fator de diminuição do refrigerante de guaraná 
(FG) = (1 – i)
FG = (1 – 0,2)
Então, FG = 0,8
Como houve redução em 2 anos, temos que:
Vendas atuais = 50 . 0,8 . 0,8
Vendas atuais = 50 . 0,64
Vendas atuais = 32 litros
O refrigerante de framboesa tem aumentos sucessivos de 20%. Logo, aplicamos 
o fator de aumento duas vezes:
Fator de aumento do refrigerante de framboesa (FF) = (1 + i)
FF = (1 + 0,2)
FF = 1,20
Aplicando o fator de aumento em 2 anos:
FF = 50 . 1,20 . 1,20
FF = 50 . 1,44
FF = 72 litros
Nesse caso, hoje a empresa vende 32 litros do refrigerante de guaraná e 72 do re-
frigerante de framboesa, totalizando 104 litros.
Fundamentos da matemática 66
Então as novas taxas de participação nas vendas são:
• Refrigerante de guaraná: 32 litros para 104 litros vendidos. Basta dividir a
 quantidade de litros de guaraná (32) pelo total vendido (104): 32 
104
 0,308, ou 
seja, 30,8%;
• Refrigerante de framboesa: 72 litros para cada 104 litros do total vendido. 
Dividindo a quantidade de litros de refrigerante de framboesa pelo total vendido
 (104), temos: 72 
104
 0,692, ou seja, 69,2%.
O símbolo  significa aproximadamente. Ele é usado para apresentar valores que são arredon-
dados, ou seja, o resultado não é exatamente igual ao representado, mas em valor próximo.
3. Um comerciante paga 20% de imposto sobre o preço de venda de uma merca-
doria. Do restante, 60% correspondem ao custo e 40%, ao lucro. Se o custo de 
uma mercadoria foi de R$ 960,00, qual o preço de venda?
Resolução
Para cada R$ 100,00 do preço de venda de qualquer mercadoria, esse comercian-
te paga R$ 20,00 de imposto. 
Restam-lhe, portanto, R$ 80,00, pois R$ 100,00 – R$ 20,00 = R$ 80,00, ou seja, 
80 ÷ 100 = 0,8. 
Desses R$ 80,00, 60% correspondem ao custo, isto é, 60% de R$ 80,00 = 0,60 . 
R$ 80,00 = R$ 48,00, ou ainda, 0,6 . 0,8 = 0,48.
Logo, considerando que o custo é de R$ 960,00 e corresponde a 48% do preço, 
podemos considerar que:
Fazemos a regra de três, isto é, multiplicamos o primeiro valor da coluna 1 pelo se-
gundo valor da coluna 2 e o segundo valor da coluna 1 pelo primeiro valor da coluna 2.
Custo Venda
48% 100%
960 P
Fundamentos da matemática 67
Então, 
P . 48 = 100 . 960
P . 48 = 96.000
P = 
96.000
48
 = 2.000
O preço é R$ 2.000,00.
2�4 Expressões numéricas
Frequentemente realizamos operações com multiplicações, divisões, adição e 
subtração em uma mesma operação.
Então, pode-se dizer que a expressão numérica é uma forma de expressar, tra-
duzir ou descrever matematicamente uma situação.
Essa descrição envolve números, associados por operações, que podem ou não 
estar agrupados por meio de sinais de associação, quais sejam parênteses, colchetes 
e chaves. No que se refere às quatro operações, resolvem-se, na ordem em que apare-
cem, primeiramente multiplicações e divisões e, depois, adições e subtrações. 
Observe o exemplo a seguir.
1. Uma universidade comprou várias caixas de pincéis para quadro branco, para 
serem distribuídas entre 6 salas de aula. Cada sala de aula recebeu 6 caixas 
com 6 pincéis pretos, 8 caixas com 12 pincéis vermelhos e 1 caixa com 24 pin-
céis azuis. Quantos pincéis cada sala recebeu?
Resolução
Para descobrir quantos pincéis cada sala de aula recebeu, fazemos os seguintes 
cálculos:
6 caixas de 6 pincéis pretos
8 caixas de 12 pincéis vermelhos
1 caixa de 24 pincéis azuis
 6 . 6 = 36
 8 . 12 = 96
 1 . 24 = 24
36 + 96 + 24 = 156
Podemos expressar de uma forma mais simplificada:
Pretos + vermelhos + azuis
6 . 6 + 8 . 12 + 1 . 24 = 36 + 96 + 24 = 156
Fundamentos da matemática 68
Portanto, cada sala de aula recebeu 156 pincéis.
Na expressão 6 . 6 + 8 . 12 + 24 aparecem multiplicações e adições. Observe que, 
para calcular o resultado, efetuamos as multiplicações antes das adições.
Nas expressões em que aparecem as operações de multiplicação, adição e subtração, efetuamos 
as operações na seguinte ordem: primeiro as multiplicações e divisões, na ordem em que apare-
cem; depois as adições e subtrações, na ordem em que aparecerem, da esquerda para a direita.
Porém, em alguns casos precisamos efetuar primeiro as operações de soma ou 
subtração, para somente depois as operações de multiplicação. Nesse caso, usamos os 
sinais de ( ) parênteses, [ ] colchetes e { } chaves para ordenar as operações.
2. Pablo, Roberto e Vando são estudantes que moram juntos e dividem as des-
pesas referentes a aluguel, água, luz e telefone. Pablo é mecânico. Ele ganha 
R$ 800,00 fixos e mais comissões sobre os trabalhos realizados. Em média, o 
valor mensal ganho em comissões equivale a 50% de seu salário. Roberto é 
mestre de obras e recebe R$ 2.130,00 por mês. Vando trabalha na prefeitura 
e seu salário mensal corresponde à terça parte do salário de Roberto. Do total 
da renda dos três amigos, um quinto equivale às despesas fixas mensais de alu-
guel, águaluz e telefone. Quanto é essa despesa fixa?
Analisando os dados da situação-problema, temos:
Pablo = R$ 800,00 + comissão média de 50% = R$ 800,00 + R$ 400,00 = R$ 1.200,00
Roberto = R$ 2.130,00
Vando = 1 
 3
 de R$ 2.130,00 = R$ 710,00
A despesa mensal é 1 
 5
 do total da renda. Logo, os dados podem ser organizados
em forma de expressão numérica:
Despesas = (Pablo + Roberto + Vando) . 1 
 5
 
Despesas = [(800 + 400) + 2.130 + ( 1 
 3
 . 2.130)] . 1 
 5
 
Despesas = [(1.200) + 2.130 + (710)] . 1 
 5
 
Despesas = [4.040] . 1 
 5
 
Despesas = 4.040 . 0,2
Despesas = R$ 808,00
Fundamentos da matemática 69
A despesa mensal é de R$ 808,00.
Nas expressões em que aparecem sinais de associação, eles devem ser eliminados na seguinte 
ordem: 1.º  parênteses ( ); 2.º  colchetes [ ]; 3.º  chaves { }.
3. Por mês, Maria, João, Carlos e Inês gastam, cada um, 120 folhas de papel sulfi-
te na escola. Considerando que compram 500 folhas por mês para os quatro e 
que já se passaram 6 meses, quantas folhas ainda restam, se tinham 215 folhas 
do ano passado? 
Resolução
Nesse caso, temos que encontrar o total de folhas consumidas por mês pelos 4, 
diminui-lo do total de folhas compradas e multiplicar pelo número de meses. Vamos 
usar parênteses, colchetes e chaves para organizar a ordem da operação.
Sendo assim, temos:
Sobra = folhas do ano passado + {6 meses . 
[folhas compradas – (folhas usadas por pessoa . 4)}
Sobra = 215 + {6 . [ 500 – (120 . 4)]}
Sobra = 215 + {6 . [500 – (120 . 4)]}
Vamos resolver pela ordem de símbolo:
Sobra = 215 + {6 . [500 – (480)]}  Folhas gastas por mês pelos 4
Sobra = 215 + {6 . [20]}  Sobras de folhas por mês
Sobra = 215 + {120}  Sobras das folhas compradas nos últimos 6 meses
Sobra = 335 folhas
2�5 Potenciação e radiciação
A potenciação apresenta inúmeras aplicações no cotidiano: os cálculos envolven-
do juros compostos são desenvolvidos baseados na potenciação das taxas de juros, a 
função exponencial, a notação científica a utiliza no intuito de representar números 
muito grandes ou pequenos. 
Fundamentos da matemática 70
A radiciação nada mais é que uma operação inversa à potenciação, sendo assim, 
ela é utilizada para representar, de maneira diferente, uma potência com expoente 
fracionário.
Um pouco de história���
O xadrez é um dos jogos mais antigos 
do mundo e foi criado há muitos séculos, na 
Índia, por um professor chamado Sessa. A 
história do jogo conta que um rei chamado 
Sheram ficou muito entusiasmado pela cria-
ção do jogo e prometeu uma recompensa 
pelo invento, à escolha de Sessa. O inventor 
era uma pessoa muito humilde e pediu en-
tão um grão de trigo pela primeira casa do 
tabuleiro, o dobro (2) pela segunda casa, o dobro (4) pela terceira, o dobro (8) pela quar-
ta e assim sucessivamente, até completar as 64 casas do tabuleiro. O rei, então, pediu 
aos sábios que calculassem a quantidade de grãos e entregassem em um saco para o in-
ventor. Porém, ficou espantado ao saber que o número total de grãos era tão grande 
que não caberia dentro de um saco, nem dentro de todos os sacos existentes na Terra. 
Como foi realizado o cálculo para se chegar à quantidade de grãos?
Primeira casa do tabuleiro: 1 grão.
Segunda casa do tabuleiro: 1 × 2 = 2 grãos.
Terceira casa do tabuleiro: 2 × 2 = 4 grãos.
Quarta casa do tabuleiro: 2 × 2 × 2 = 8 grãos.
Quinta casa do tabuleiro: 2 × 2 × 2 × 2 = 16 grãos.
E assim por diante, até completar as 64 casas do tabuleiro de xadrez, chegando 
ao resultado gigantesco de 18.446.744.073.709.551.600 de grãos.
Essa operação é tipicamente de potenciação, como veremos a seguir.
©
 c
ar
lo
fo
rn
it
an
o6
6 
/ /
 F
ot
ol
ia
23
4
= 23/4 5 = 51/2
Fundamentos da matemática 71
2�5�1 Potenciação
A potenciação é utilizada para representar uma multiplicação de fatores iguais, 
isto é, um mesmo número que se multiplica várias vezes. Observe o exemplo.
Luísa pretende comprar uma máquina de 
lavar roupa que custa R$ 930,00. Ela planeja 
economizar uma quantia semanal para pagar à 
vista, no seguinte plano:
Na 1.ª semana, economizar R$ 3,00.
Na 2.ª semana, economizar R$ 9,00.
Na 3.ª semana, economizar R$ 27,00, e as-
sim por diante, triplicando a cada semana a 
quantia da semana anterior.
Ela quer saber se com esse plano consegui-
rá comprar a máquina em seis semanas.
Resolução
Podemos resolver essa questão verificando quantos reais Luísa economizou em 
cada uma dessas seis semanas, considerando que ela sempre triplica o valor da semana 
anterior.
©
 fo
to
ka
lle
 / 
/ F
ot
ol
ia
1.ª semana: R$ 3,00
2.ª semana: 3 . 3 = 9  R$ 9,00
3.ª semana: 3 . 9 = 27  R$ 27,00
4.ª semana: 3 . 27 = 81  R$ 81,00
5.ª semana: 3 . 81 = 243  R$ 243,00
6.ª semana: 3 . 243 = 729  R$ 729,00
Total economizado: 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = R$ 1.092,00.
Portanto, depois de seis semanas, teria dinheiro suficiente para comprar a máqui-
na de lavar roupas.
Fundamentos da matemática 72
Se considerarmos que:
3 . 9 = 3 . 3 . 3
e
3 . 27 = 3 . 3 . 3 . 3
Podemos expressar as operações na forma de potência, isto é, elevamos o núme-
ro-base pela quantidade de vezes que ele é multiplicado. 
Logo:
3 . 9 = 3 . 3 . 3 equivale a 33, já que o 3 se repete 3 vezes.
3 . 27 = 3 . 3 . 3 . 3 equivale a 34, já que o 3 se repete 4 vezes.
Então, podemos expressar novamente o plano de poupança de Luísa com essa 
potência.
1.ª semana: R$ 3,00
2.ª semana: 3 . 3 = 3² = 9  R$ 9,00
3.ª semana: 3 . 9 = 3³ = 27  R$ 27,00
4.ª semana: 3 . 27 = 34 = 81  R$ 81,00
5.ª semana: 3 . 81 = 35 = 243  R$ 243,00
6.ª semana: 3 . 243 = 36 = 729  R$ 729,00
Os elementos de uma potenciação são:
D
es
ig
n 
G
rá
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co
: A
na
 L
ui
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 F
er
na
nd
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 M
ar
qu
es
32 = 9
Expoente: indica a 
quantidade de vezes 
que o fator se repete.
Base: é o fator que 
se repete.
Potência: é o resultado 
da multiplicação do 
fator que se repete.
1 2 3
1 2 3 4
Fundamentos da matemática 73
No caso da história do tabuleiro de xadrez, tendo em vista que o número de grãos 
dobra 64 vezes, poderíamos elevar 2 (dobro) à potência de 64, ou seja, número de 
casas de xadrez = 264 e obteríamos o resultado já apresentado.
Observe um exemplo de potenciação.
1. A empresa M aumenta sua produção em 10% em cada ano, nos últimos cin-
co anos. Considerando que no primeiro ano sua produção foi de 450 unidades, 
quantas unidades ela produz hoje?
Resolução
Nesse caso, aplicamos o fator de aumento a partir de uma taxa de 10%, ou seja, 
fator de aumento anual = (1 + i) = (1 + 0,1).
Considerando que a produção aumenta 10% ao ano em relação ao ano anterior, 
a produção do primeiro ano é a produção inicial multiplicada pelo fator de aumento; 
a produção do segundo ano é a do primeiro ano multiplicada pelo fator de aumento e 
assim sucessivamente, conforme representado a seguir.
Ano 1 = 450 . 1,1 
Ano 2 = 450 . 1,1 . 1,1
Ano 3 = 450 . 1,1 . 1,1 . 1,1
Ano 4 = 450 . 1,1 . 1,1 . 1,1 . 1,1
Ano 5 = 450 . 1,1 . 1,1 . 1,1 . 1,1 . 1,1
Para simplificar, podemos considerar 1,1 como base e elevar a potência do núme-
ro de anos, isto é, 5. Logo:
Produção atual = 450 . (1,1)5
Produção atual = 450 . 1,61051
Produção atual = 724,73 unidades (aproximadamente)
Em planilhas eletrônicas, como o Microsoft Excel®, para calcular potência yx usamos a fórmula 
= y^x. Por exemplo, para calcular 1,15, digita-se = 1,1^5. Na calculadora financeira HP12C, po-
demos digitar 1,1 ENTER 5 yx.
Fundamentos da matemática 74
Essa forma de aplicação de potência a partir de um fator de aumento é utiliza-
da para operações de cálculo de juros compostos, já que os juros incidem sobre o valor 
principalacrescido dos juros do mês anterior. 
Considerando um depósito de R$ 300,00, quanto será resgatado ao final de 24 
meses se a taxa de juros mensal é de 0,5%?
Resolução
Nesse caso, temos:
Resgate = depósito . (fator de aumento)número de meses
Resgate = 300 . (1 + 0,5 ÷ 100)24
Resgate = 300 . (1 + 0,005)24
Resgate = 300 . (1,005)24
Resgate = 300 . 1,127
Resgate = 338,10
Logo, será resgatado um total de R$ 338,10. 
2�5�2 Radiciação
A origem do símbolo (radical) é controversa. Alguns atribuem sua criação ao 
matemático árabe Al-Qalasadi, no século XIV, mas os primeiros registros de seu uso 
em resolução de problemas são dos hindus, que utilizavam inicialmente as regras de 
extração de raízes quadradas e cúbicas, o que na época já representava um grande 
avanço na Matemática.
A radiciação é uma operação matemática, sendo a raiz uma forma de se repre-
sentar a potenciação com expoente fracionário.
Vamos ver as aplicações a seguir.
1. Cristiane está construindo em sua casa um jardim na forma de um quadrado 
com 49 m² e precisa colocar uma cerca em uma das laterais. Qual seria o com-
primento dessa cerca?
Resolução
Considerando que o jardim é um quadrado de 49 m2, significa que todos os lados 
são iguais e, portanto, podemos encontrar o comprimento do lado desse jardim sem 
realizar medições, pois temos um comprimento e uma largura idênticos:
Fundamentos da matemática 75
Observe que para calcular a área multiplicamos a largura pelo comprimento, isto é, 
A = L × C. Já que ambos são iguais (x), então basta elevarmos ao quadrado, ou seja, x2. 
Logo, podemos calcular a área de um quadrado por:
Largura = x metros
Comprimento = x metros
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 M
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es
A = l²
Em que A é a área e l é a medida do lado.
Substituindo os dados do problema na fórmula, temos:
A = l²  49 = l²
Desse modo, é necessário encontrar o número que, multiplicado por ele mesmo, 
ou seja, elevado ao quadrado, tem como resultado 49.
Esse número pode ser 7 ou – 7, pois 7² = 49 e (– 7)² = 49. 
Como estamos procurando o comprimento do lado do jardim, consideramos ape-
nas o número positivo 7, pois não existe comprimento negativo.
Para resolver esse problema, basta calcular 492 , que representa o número que, 
elevado ao quadrado, tem como resultado 49.
492 = 7, pois 7² = 49.
O comprimento do lado desse jardim é de 7 m. Logo, Cristiane precisa comprar 7 
metros de cerca.
Fundamentos da matemática 76
Veja a seguir o nome dos elementos da radiciação.
índice
radical
radicando
raiz quadrada
No caso de raiz de índice 2, isto é, 49
2 , usualmente não colocamos o número do 
índice, usando 49 e denominando simplesmente de raiz quadrada.
Como raiz é o inverso da potenciação, em todas as operações nas quais temos o 
resultado de uma potência podemos aplicar a radiciação para descobrir o radicando, 
ou seja, o valor que originou o resultado da potência.
2. Qual é o comprimento da aresta de uma caixa em forma de cubo, cujo volume 
é de 64 cm³?
Resolução
Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula do volume do cubo.
V = a³, em que V é o volume e a é a aresta.
Substituindo os dados do enunciado na fórmula, temos: 64 = a³ ou a³ = 64.
Dessa forma, para sabermos o comprimento da aresta, é necessário encontrar 
um número que, elevado ao cubo, tem como resultado 64, ou seja, é necessário calcu-
lar a raiz cúbica de 64, que indicamos por 64
3
.
Esse número é 4, pois:
4 . 4 . 4 = 43 = 64
Desse modo:
64
3
 = 4, pois 43 = 64 
Portanto, o comprimento da aresta da caixa é 4 cm.
O volume de um cubo depende da medida de sua aresta. Consideramos apenas uma medida, 
pois o cubo tem todas as arestas de tamanhos iguais, portanto o volume de um cubo é deter-
minado por meio do produto da área da base pela altura.
49
2 = 7
Fundamentos da matemática 77
Raiz quadrada por aproximação
É possível calcular a raiz quadrada de um número por tentativa. Veja, por exemplo, 
como calcular a raiz quadrada de 2.116.
Sabemos que é necessário encontrar o número que, elevado ao quadrado, dê 
2.116. Para encontrar esse número, vamos construir uma tabela com os quadrados das 
dezenas exatas de 10 a 90.
Número 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Quadrado 
do número
100 400 900 1.600 2.500 3.600 4.900 6.400 8.100
Observando esse quadro, percebemos que 2.116 está entre 1.600 e 2.500, ou seja, 
sua raiz quadrada está entre 40 e 50, pois 40² = 1.600 e 50² = 2.500.
Como a raiz quadrada de 2.116 é um número entre 40 e 50, vamos calcular o qua-
drado dos inteiros entre esses dois números.
41² = 1.681 44² = 1.936
42² = 1.764 45² = 2.025
43² = 1.849 46² = 2.116
Desse modo:
2.116 = 46, pois 462 = 2.116
Outra maneira de calcular a raiz quadrada de um número é decompondo-o em 
fatores primos. Veja, por exemplo, como calcular a raiz quadrada do número 324.
324
162
81
27
9
3
1
2
2
3
3
3
3
22
22
22
324 = 22 . 32 . 32 = (2 . 3 . 3)² = (18)²
Assim, temos:
324 = 18, pois 18² = 324
Fundamentos da matemática 78
Quando um número não é quadrado perfeito, sua raiz quadrada não é um número 
natural, ou seja, ele não tem raiz quadrada exata.
Nesse caso, podemos calcular a raiz quadrada aproximada desse número.
Veja, por exemplo, como calcular a raiz quadrada aproximada do número 11.
Primeiramente, devemos verificar entre quais números quadrados perfeitos o nú-
mero 11 se encontra. Nesse caso, 11 está entre 9 (3²) e 16 (4²), ou seja, sua raiz quadra-
da está entre 3 e 4.
Em seguida, calculamos o quadrado de alguns números entre 3 e 4.
(3,1)² = 9,61
(3,2)² = 10,24 Esses resultados são menores que 11.
(3,3)² = 10,89
(3,4)² = 11,56 Esse resultado é maior que 11.
Desse modo, 11 é maior que 3,3 e menor que 3,4. Como estamos procurando 
um resultado aproximado, optamos pelo menor deles:
11  3,3  Lê-se: raiz quadrada de onze é aproximadamente 3,3.
Até o momento, encontramos a raiz quadrada aproximada de 11 com uma casa 
decimal, ou seja, com aproximação até os décimos. Podemos calcular essa aproxima-
ção até os centésimos.
Nesse caso, calculamos o quadrado de alguns números entre 3,3 e 3,4.
(3,31)² = 10,9561  Esse resultado é menor que 11.
(3,32)² = 11,0224  Esse resultado é maior que 11.
Assim, temos:
11  3,31
O cálculo da raiz quadrada aproximada também pode ser feito, da mesma manei-
ra, com três, quatro ou mais casas decimais.
Potência de base 10 e notação científica 
Alguns cientistas trabalham com números que têm muitos algarismos e que cor-
respondem a algo muito grande ou muito pequeno, que o cérebro humano tem difi-
culdade de ler. Nesse caso, para simplificar a expressão, usamos potência de base 10 
multiplicada pelo valor principal. Vamos compreender o que é uma potência de base 
10. Acompanhe o exemplo.
Fundamentos da matemática 79
1. A professora de Matemática, a fim de representar algumas multiplicações de 
fatores iguais, escreveu na lousa algumas potências de base 10.
10 . 10 . 10 = 10³ = 1.000
10 . 10 = 10² = 100
 1 
10 = 10
–1 = 0,1
 1 
10 
. 
 1 
10 = 10
–1 . 10 –1 = 10–2 = 0,01
 1 
10 
. 
 1 
10 
. 
 1 
10 = 10
–1 . 10 –1 . 10 –1 = 10 –3 = 0,001
De acordo com os resultados indicados na imagem, podemos verificar que, em 
uma potência de base 10 com expoente positivo, a quantidade de zeros do resultado é 
igual ao expoente.
Dessa forma, para calcular 106 e 109, basta acrescentar respectivamente seis ze-
ros e nove zeros à direita do algarismo 1.
106 = 1 000 000 109 = 1000 000 000
No caso da potência de base 10 com expoente negativo, contam-se as casas deci-
mais correspondentes ao expoente negativo.
Dessa forma, para calcular 10 –5 e 10 –8, basta acrescentar zeros à esquerda do al-
garismo 1 até completar respectivamente cinco casas e oito casas, após a vírgula, in-
cluindo o algarismo 1.
10–5 = 0,00001 10–8 = 0,00000001
Para simplificar, podemos expressar as magnitudes a seguir com base 10:
Milhão = 106
Bilhão = 109
Trilhão = 1012
Quatrilhão = 1015
Quintilhão = 1018
Sextilhão = 1021
Fundamentos da matemática 80
Ao expressar um número muito grande por meio de uma potência de base 10, es-
tamos fazendo uso da notação científica.
A notação científica é uma maneira de representar um número usando potências de base 10.
Nessa notação, os números são escritos da seguinte forma: a . 10n, em que a é um 
número entre 0 e 10 e n é o expoente inteiro.
Vamos ver a seguir exemplos de números muito grandes representados por nota-
ção científica.
Acredita-se que a temperatura 
aproximada no centro do Sol 
é de 20 000 000 °C.
20 000 000 = 2 ∙ 10 000 000 = 2 ∙ 107 
notação científica
Em média, uma bactéria tem 0,000005 g. 
0,000005 = 5 = 5 ∙ 1 = 5 ∙ 10–6
notação científica 
1 000 000 106
No ano de 2002, a população mundial era 
de aproximadamente 6 200 000 000 de 
habitantes.
6 200 000 000 = 6,2 ∙ 1 000 000 000 = 6,2 ∙ 109 
notação científica
“PIB brasileiro cresce 2,3% em 2013 e chega 
a R$ 4,8 trilhões”. (TERRA, 2014).
4,8 trilhões = 4 800 000 000 000 = 
4,8 ∙ 10 000 000 000 000 = 4,8 ∙ 1012
notação científica
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Fundamentos da matemática 81
Operações com potência
Podemos ter operações entre duas bases elevadas a um expoente, conforme 
exemplos a seguir.
1. Em 2008, devido à hiperinflação, o Zimbábue emitiu a nota de 100 bilhões de 
dólares zimbabuanos, conforme imagem a seguir. Na época, esse valor era 
suficiente para comprar 3,6 quilos de feijão. Em 2009, o valor era suficiente 
para comprar 3 ovos, e o governo, então, cortou vários zeros para transformar 
1 trilhão em nota de 1 dólar zimbabuano. Quantos zeros foram cortados?
Note que 100 trilhões é:
100 000 000 000 000 = 100 . 1 000 000 000 000 = 100 . 1012 
Logo, foram cortados 12 zeros.
Se considerarmos que 3 ovos custavam 100 bilhões e a população é de 13,72 
milhões de pessoas, e se cada pessoa consumisse em média 3 ovos por mês, qual seria 
o faturamento mensal do setor de ovos?
100 bilhões = 100 000 000 000 = 100 . 109
Faturamento do setor de ovos: (100 . 109) . (13,72 . 106)
Nesse caso, como temos dois números multiplicando potência de base 10 com ex-
poentes diferentes, simplesmente somamos os expoentes e repetimos a base, isto é:
Faturamento do setor de ovos = (100 . 13,72) . 109+6
Faturamento do setor de ovos = (100 . 13,72) . 1015
Faturamento do setor de ovos = (1.372) . 1015
Expressamos esse valor em 1.372.000.000.000.000.000 (lê-se: um quintilhão e 
trezentos e setenta e dois quatrilhões).
A representação pode ser observada em um quadro de valores.
Sextilhões
Quintilhões ou 
Quinquilhões
Quatrilhões Trilhões Bilhões Milhões Milhar Unidades
1 372 000 000 000 000 000
Na época da simplificação, estima-se que a inflação anual fosse de 231 milhões por cento 
(231 000 000 %). Com dificuldades de se realizar operações pela quantidade de zeros, as tran-
sações eram feitas em 8 moedas diferentes, permitidas pelo Banco Central do país (sem a cir-
culação dessas moedas).
Fundamentos da matemática 82
2. Estima-se que, em 2011, o PIB dos BRICS, grupo de países formado por Brasil, 
Rússia, Índia, China e África do Sul foi de US$ 13,652 trilhões. Considerando 
que o número de trabalhadores empregados naquele ano era de 1,501 bilhões 
de pessoas, qual a produção média por trabalhador?
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Resolução
Para calcular a produção média por trabalhador, basta dividir o PIB pelo número 
de trabalhadores.
Para simplificar a operação, vamos expressar os valores em potência de base 10:
PIB = 13,652 . 1012
Trabalhadores = 1,501 . 109
Logo = PIB ÷ trabalhadores = (13,652 . 1012) ÷ (1,501 . 109)
Simplificando, temos (13,652 ÷ 1,501) . (1012 ÷ 109)
Se na multiplicação de potências nós somamos os expoentes, na divisão nós sub-
traímos. Então:
Produção média = 9,08 . (1012 – 9)
Produção média = 9,08 . 103
Isto é, a produção média por trabalhador é de US$ 9,080.
Fundamentos da matemática 83
Referências
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BOYER, C. B. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher LTDA, 1996. 
EVES, H. W. Introdução à História da Matemática. 2. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 
1997.
IBGE prevê aumento de 122,2% na produção de feijão no Pará. Folha do Progresso News, 
10 jul. 2014. Disponível em: <folhadoprogresso.com.br/ibge-preve-aumento-de-1222- 
na-producao-de-feijao-no-para/>. Acesso em: 09/01/2014.
FRAÇÃO. In: FERREIRA, A. B. de. Novo Dicionário Eletrônico Aurélio. Curitiba: Positivo, 
2009.
GIOVANNI, C.; GIOVANNI JR., J. R. A Conquista da Matemática. 1. ed. São Paulo: FTD, 
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GLOBO.COM. Brasil teve aumento de 11% nos casos de infecções por HIV entre 2005 
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Acesso em: 14/12/2014.
O GLOBO. Inflação oficial fecha 2013 em 5,91%, diz IBGE. Globo.com, 10 jan. 2014. 
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O GLOBO. Produção de motocicletas cai 8,4% no semestre, diz Abraciclo. Globo.com, 
16 jul. 2014. Disponível em: <g1.globo.com/carros/motos/noticia/2014/07/producao-de-
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HERLIHY, B.; MAEBIUS, N. K. Anatomia e Fisiologia do Corpo Humano Saudável e 
Efêmero. Barueri: Manole, 2002.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e Realidade. 4. ed. São Paulo: Atual 
Editora, 2000. 
SANTOS, J. P.; dos S. Introdução à Teoria dos Números. 2. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 
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TERRA. PIB brasileiro cresce 2,3% em 2013 e chega a 4,8 trilhões. Terra, 27 fev. 2014. 
Disponível em: <economia.terra.com.br/pib-brasileiro-cresce-23-em-2013-e-chega-a-
-r-48-trilhões,9629af8624274410VgnCLD2000000ec6eb0aRCRD.html>. Acesso em: 
14/12/2014.
Fundamentos da matemática 84
Símbolos e fórmulas 
Adição com sinais iguais
+ e +  somar e manter o sinal
– e –  somar e manter o sinal
Adição com sinais diferentes
+ e –  diminuir e manter o sinal do maior valor
– e +  diminuir e manter o sinal do maior valor
Subtração com sinais iguais
+ e +  diminuir e manter o sinal
– e –  somar e manter o sinal
Subtração com sinais diferentes
+ e –  subtrair e manter o sinal do maior valor
– e +  subtrair e manter o sinal do maior valor
Fator de aumento: a . (1 + i)
Fator de redução: a . (1 – i)
Ordem de resolução de expressões numéricas: 1.º: ( ); 2.º: [ ]; 3.º: { }
Potência de base 10:
10 –1 = 0,01
10 –2 = 0,001
10 –3 = 0,0001
10 –4 = 0,00001
103 = 1.000
106 = 1.000.000
109 = 1.000.000.000
1012 = 1.000.000.000.000
Operações com potência:
am + an = am + an
am – an = am – an
am . an = am+n
am ÷ an = am–n
3 Conceitos fundamentais e expressões algébricas
Na era da comunicação, surgem novas linguagens.
– EaewAle
– Hj acordei muito :-} porque tive 
uma :-O
– Ganhei aquele skate que eu 
tava querendo, tá ligado?
– Falow Aê.. Té
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Você já escreveu uma carta? As pessoas distantes entre si comunicam-se por diversos 
meios, como cartas, memorandos etc. (mais tradicionais) e e-mail, SMS, mensagem on-line 
etc. (mais atuais), e neles usam o que você conhece bem: as letras. Mas os jovens da era di-
gital vêm inovando: criaram uma linguagem constituída de símbolos e palavras próprias.
De acordo com Lisbôa (2003), ao escrever, os jovens omitem letras, pontuação, 
acentuação gráfica e acrescentam vogais de acordo com a entonação que querem dar ao 
modo de se expressar em e-mails e mensagens, o que se tornou “muuuuito” comum. 
Na Matemática, também fazemos uso de códigos ao substituirmos os números 
que não conhecemos ou queremos descobrir por letras chamadas de incógnitas.
A área que estuda a representação de letras no lugar de números é chamada de 
álgebra. Esse nome surgiu da expressão al-jabr, do livro Al-Jabrwa’lmugabalah, publica-
do por volta do ano de 830 pelo matemático árabe al-Khowarizmi, considerado o pai 
da Álgebra.
As letras podem aparecer em expressões, fórmulas e equações.
Mohamed ibn Musa al-Khwarizmi foi um matemático e astrônomo que viveu no século IX, nas-
cido provavelmente na Ásia Central. Al-Khwarizmi viveu em Bagdá, situada no atual Iraque, 
onde trabalhou na Casa da Sabedoria, um centro de pesquisas científicas, estudando as obras 
de sábios árabes, gregos e indianos.
Fundamentos da matemática 86
A linguagem algébrica é uma grande ferramenta para generalizar propriedades 
matemáticas e sistematizar muitos fenômenos físicos, biológicos etc., bem como ser uti-
lizada em resoluções, por exemplo, de equações, inequações e sistemas de equações.
Durante muito tempo, a Matemática teve caráter recreativo, com jogos e desa-
fios para estimular a mente dos jovens. Acompanhe um jogo de adivinhação que utiliza 
o raciocínio algébrico. 
Vamos representar o número escolhido por uma letra, já que ele pode ser qual-
quer um. Realize todos os cálculos pedidos usando o x.
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Pense em um número x
Some-o com seu antecessor x + (x – 1) = 2x – 1
Some 3 ao resultado 2x – 1 + 3 = 2x + 2
Divida por 2 (2x + 2) ÷ 2 = x + 1
Que número deu? x + 1
Podemos utilizar as expressões algébricas para expressar diversas relações. Vamos 
ver um exemplo. 
1. Carmem vende pastel a R$ 3,50 em uma das barraquinhas da feira municipal. 
Como podemos representar algebricamente o faturamento diário obtido com a 
venda de pastéis nessa barraquinha?
Fundamentos da matemática 87
O faturamento diário de Carmem é a quantidade de pastéis multiplicada pelo seu 
preço. Sendo assim, se considerarmos que a quantidade vendida é x, podemos dizer 
que o faturamento diário de pastéis é 3,5x.
As expressões algébricas também podem ser chamadas de expressões literais, e 
as letras que aparecem na expressão são chamadas de variáveis e podem ser substituí-
das por qualquer valor numérico. O número que acompanha a letra é chamado de coe-
ficiente e é um fator de multiplicação do valor que a variável pode assumir.
D
es
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G
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co
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sa
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• 2 termos algébricos = binômio  3x + 4
• 3 termos algébricos = trinômio  3x + 4 + 2y
• 4 ou mais termos algébricos = polinômio  3x + 4 + 2y + x2
Logo, na expressão do faturamento, o valor obtido será 3,5 vezes qualquer quan-
tidade de pastel vendida.
Uma expressão que apresenta apenas um termo algébrico é chamada de monô-
mio. Se apresentar dois ou mais termos algébricos, é denominada polinômio, sendo:
Observe mais alguns exemplos de expressões algébricas.
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 in
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 Faturamento = 3,5x
valor numérico da expressão coeficiente parte literal
Fundamentos da matemática 88
2. O carro de Fabiano percorre 9 km, em média, com um litro de álcool. Qual é a 
expressão algébrica que representa a distância que o carro pode percorrer de 
acordo com a quantidade de álcool no tanque? 
Nesse caso, podemos considerar o rendimento por litro como x. Sendo assim, 
para obter a distância que pode ser percorrida, basta multiplicar a quantidade de litros 
pelo seu rendimento: 
Distância = 9x
Ou seja, um monômio.
3. Para uma demonstração de ginástica, o professor de Educação Física formou 
20 grupos, colocando x alunos em cada grupo. Sabendo que outros 7 alunos 
iriam servir como guias para os grupos, a expressão algébrica que melhor re-
presenta a quantidade de alunos que vão participar dessa demonstração será: 
20x + 7
Ou seja, um binômio com uma variável e um termo constante.
Na Matemática, uma constante é um valor fixo que pode ou não ser especificado e é utilizada 
conjuntamente com funções matemáticas a um ou mais argumentos (ou parâmetros) variáveis. 
Esses argumentos, ou variáveis, são normalmente chamados x, y ou z, usando-se letras minús-
culas do final do alfabeto.
3�1 Operações com expressões algébricas
Frequentemente nos deparamos com duas expressões algébricas que precisam 
ser somadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas. Veremos a seguir como utilizamos 
essas operações para obter determinados resultados.
3�1�1 Adição e subtração
1. Os três paralelepípedos retângulos a seguir representam os modelos possíveis 
de embalagens que a empresa Pinte Bem pode utilizar para armazenar tinta.
Fundamentos da matemática 89
a
b
4
a
b
7
a
b
3
A B C
De acordo com as medidas indicadas, observe o volume dos três paralelepípedos 
retângulos, isto é, as faces são perpendiculares às bases e estas são retangulares.
Considere que as arestas de todos os paralelepípedos, representadas por a, têm 
o mesmo valor, assim como as arestas representadas pela letra b também têm o 
mesmo valor. 
Então, os paralelepípedos A, B e C têm arestas a de mesma medida e arestas b 
também de mesma medida.
VA= 4 . a . b VB= 3 . a . b Vc= 7 . a . b
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Considerando a possibilidade de vender kits com três cores de tinta, qual seria a 
expressão algébrica que representaria o volume de tinta no kit?
Resolução
Nesse caso, queremos somar os três volumes.
VA + VB + VC = (4 . a . b) + (3 . a . b) + (7 . a . b)
Quando uma expressão algébrica apresenta monômios semelhantes, podemos 
simplificá-la, adicionando ou subtraindo os coeficientes e mantendo a parte literal. 
Chamamos essa operação de propriedade distributiva da multiplicação. Aplicando a pro-
priedade na operação, simplificamos por:
Fundamentos da matemática 90
O volume dos três paralelepípedos é 14 . a . b.
Veja outros exemplos da aplicação da propriedade distributiva da multiplicação:
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• 10ab + 7ab + 5ab = (10 + 7 + 5) . ab = 22ab
• 22y² – 8xy² + xy² = (22 – 8 + 1)xy² = 15xy²
2. Juliano separou uma parte de sua chácara para o plantio de algumas hortaliças. 
No esquema a seguir, estão representadas as dimensões de cada uma das partes.
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sa
 P
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esPlantio de alface Plantio de 
couve Plantio de 
repolho
x
x
y
y
y
De acordo com as indicações da figura, a expressão que representa a área total 
que Juliano reservou para o plantio de hortaliças corresponde a:
Plantio de alface Plantio de couve Plantio de repolho
x . x x . y y . y
x² xy y²
Áreatotal: x² + xy + y²
Fundamentos da matemática 91
3�1�2 Multiplicação e divisão
1. Antônio comprou um terreno retangular em que a medida do comprimento é o 
dobro da largura.
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2x
x
De acordo com a figura, vamos calcular a área do terreno que Antônio comprou.
Primeiro precisamos multiplicar o monômio que representa o comprimento do 
terreno pelo monômio que representa sua largura.
A = x . 2x
A = 2 . x . x
A = 2x²
A área do terreno que Antônio comprou é igual a 2x².
Em uma multiplicação de monômios, calculamos o produto dos coeficientes e 
o das partes literais. Na multiplicação de duas potências nós somamos os expoentes: 
am . an = am+n.
Observe alguns exemplos.
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Fundamentos da matemática 92
Note que, para simplificar os resultados, utilizamos a propriedade da multiplica-
ção de potências de mesma base: am . an = am+n, ou seja, conservamos a base e soma-
mos os expoentes.
2. Rosana recortou alguns pedaços de papelão em forma de retângulos e montou 
uma caixa.
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3x
x
x + 4
x
3x x + 4
Qual é o polinômio que representa o volume da caixa que Rosana montou?
Resolução
Podemos responder a essa pergunta multiplicando a medida do comprimento (C), 
da largura (L) e da altura da caixa (A).
C . L . A
3x . x . (x + 4)
Vamos eliminar os parênteses, aplicando a propriedade distributiva da multiplica-
ção em relação à adição.
3x² . (x + 4)
Sendo:
3x² . x = 3x3
3x² . 4 = 12x2
Fundamentos da matemática 93
Então, temos que o polinômio que representa o volume da caixa é 3x³ + 12x².
3. Leia a pergunta que Leandro está fazendo para Paulo.
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. (
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).
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6x2
Qual é o monômio 
que, ao ser multiplicado 
por 2x3, tem como 
resultado 12x5?
Será que a resposta de Paulo está correta? Para verificar, vamos utilizar a opera-
ção inversa da multiplicação, ou seja, a divisão.
Resolução
O monômio que satisfaz estas condições é 6x².
Assim, a resposta de Paulo está correta.
Em uma divisão de monômios, dividimos coeficiente por coeficiente e partes 
literais por partes literais, e na divisão de duas potências subtraímos os expoentes: 
am ÷ an = am – n.
2x³ . ? = 12x5
x5 ÷ x³ = x5–3 = x²
12x5 ÷ 2x³ = 6x²
 12 ÷ 2 = 6
Fundamentos da matemática 94
Acompanhe os exemplos:
5x4 ÷ x2 = (5 ÷ 1) . (x4 ÷ x2) = 5 . x 4-2 = 5x2
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Na expressão, consideramos que o coeficiente de x2 era 1, isto é, quando o coefi-
ciente é 1, não aparece ao lado da parte literal.
Nesse exemplo eliminamos o y, pois qualquer base elevada a zero é igual a 1, ou 
seja, y0 = 1. Assim, como o coeficiente 1 não aparece na expressão algébrica (já que 
1 ∙ 2 = 2), o resultado contém apenas x2.
Note que, para simplificar o resultado, utilizamos a propriedade da divisão de po-
tência de mesma base: am ÷ an = am – n, ou seja, conservamos a base e subtraímos os 
expoentes.
Assim como dividimos monômio por monômio, dividimos polinômios por monômio.
Veja, por exemplo, como podemos simplificar a expressão (8x³ – 4x²) ÷ 2x.
Considerando que cada um dos monômios dentro do parêntese está sendo dividi-
do por 2x, vamos separar em dois monômios divisíveis por 2x.
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(8x3 – 4x2) ÷ 2x = (8x3 ÷ 2x) – (4x2 ÷ 2x)
Se 8 ÷ 2 = 4
 4 ÷ 2 = 2 
x3 ÷ x = x3-1 = x2 
x2 ÷ x = x2-1 = x1 
 
Então temos: 4x2 – 2x Des
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Fundamentos da matemática 95
Note que, simplificando a expressão (8x³ – 4x²) ÷ 2x, obtemos o polinômio 4x² – 2x.
Na divisão de um polinômio por um monômio não nulo, dividimos cada termo do 
polinômio pelo monômio. 
Veja mais um exemplo.
(12x³ – 4x² + 8x) ÷ 4x = (12x³ ÷ 4x) – (4x² ÷ 4x) + (8x ÷ 4x)
3x² – x + 2
O cálculo anterior também pode ser representado da seguinte forma:
= =– +
12x3 – 4x2 + 8x
4x 4x
12x3 4x2 
4x 4x
8x 3x2 – x + 2
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3�2 Produtos notáveis
Alguns produtos, resultados da multiplicação de binômios, são chamados de pro-
dutos notáveis, por serem muito utilizados nos cálculos algébricos.
Os produtos notáveis permitem realizar cálculos de forma bem simples, até 
mentalmente.
Observe o cálculo da área do quadrado de lado 1 001.
A maioria das pessoas faria o cálculo da forma mais usual:
Área = 1 001² = 1 001 . 1 001 = 1 002 001
Fundamentos da matemática 96
Agora, observe outra forma de fazer o mesmo cálculo:
1 000 + 1 = 1 001
1 000 
1 0002
1 000 . 1 
1 000 . 1 1 000 
1
1
12
1 0012 = (1 000 + 1)2 = (1 000 + 1) + (1 000 + 1) = 1 0002 + 1 000 + 1 000 + 12 =
1 000² + (2 . 1 000 . 1) + 12 =
1 000 000 + 2 000 + 1 =
1 002 001 
Esse mesmo raciocínio se aplica à álgebra. Com o auxílio de quadrados, desenvol-
vem-se os produtos notáveis.
Um dos produtos notáveis é o quadrado da soma de dois termos. Podemos indi-
cá-lo da seguinte forma:
(a + b) (a + b) ou (a + b)², assim como 2 . 2 é 22, ou 3 . 3 é 32
1.º termo 2.º termo
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Fundamentos da matemática 97
Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, temos:
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Essa expressão é chamada de trinômio quadrado perfeito.
Também podemos desenvolver a expressão (a + b)² geometricamente. Para isso, 
calculamos a área de um quadrado cuja medida de seu lado é a + b. Vamos supor que 
esse quadrado represente uma quadra de um loteamento com três tamanhos diferen-
tes. Observe que cada terreno tem medida a e/ou b de largura ou comprimento.
Primeiro, queremos descobrir a área total da quadra.
a
a
a + b
a + b
b
b
A = Largura x Comprimento 
Largura = a + b
Comprimento = a + b
A = (a + b) (a + b) = (a + b)2
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Fundamentos da matemática 98
Se dividirmos a quadra nos quatro terrenos, obtemos as medidas de cada um dos 
terrenos.
a
a
b
b Terreno 1 = a ∙ b = ab
Terreno 2 = b ∙ b = b2
Terreno 3 = a ∙ b = ab
Terreno 4 = a2
ab
1 2
34
aba2
b2
Somando as medidas dos quatro terrenos, obtemos a seguinte expressão:
A = a² + ab + ab + b²
A = a² + 2ab + b²
Note que, tanto no desenvolvimento algébrico quanto no geométrico, obtivemos 
a mesma expressão, ou seja, o mesmo trinômio quadrado perfeito.
(a + b)² = (a + b) (a + b) = a² + 2ab + b²
Então, o quadrado da soma de dois termos pode ser obtido calculando o quadrado 
do primeiro termo (a2), mais duas vezes o primeiro pelo segundo termo (2ab), mais o 
quadrado do segundo termo (b2).
Outro produto notável que aparece com frequência é o quadrado da diferença 
de dois termos. Podemos indicá-lo por:
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(a – b) (a – b) ou (a – b)²
 1.º termo 2.º termo
Fundamentos da matemática 99
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração, 
temos:
Essa expressão também é um trinômio quadrado perfeito.
Podemos desenvolver a expressão (a – b)² geometricamente calculando a área de 
um quadrado cujo lado mede (a – b). Vamos supor que o quadrado na sequência repre-
sente um edifício residencial com quatro apartamentos por andarde três tamanhos di-
ferentes (verde, vermelho e azul). Cada andar tem largura a e comprimento a, isto é, a 
área (A) é a2. 
Foram definidas as áreas dos apartamentos menores, ou seja, o tamanho mínimo 
de três áreas (duas vermelhas e uma azul). Sendo assim, qual a área que restou para o 
quarto apartamento (verde)?
a – b
a
b
a – b
a
b
Observe que a largura do apartamento verde é a – b e seu comprimento 
também é a – b.
A = ?
b2
b(a – b)
b(a – b)
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Fundamentos da matemática 100
Temos duas opções para encontrar sua área:
1. Já que LxC = (a – b) . (a – b), então temos um produto notável. Ele é conhecido 
como o quadrado da diferença de dois termos. Utilizando a propriedade distribu-
tiva da multiplicação em relação à subtração, temos que:
2. Podemos calcular a área total do andar e depois disso subtrair os três outros 
apartamentos para obter a área do apartamento verde. 
Para encontrar a área do quadrado com lado medindo a – b, determinamos a área 
do quadrado maior e subtraímos a área dos dois retângulos vermelhos e a área do qua-
drado azul.
As áreas são:
• Apartamentos vermelhos = b (a – b) cada um
• Andar (ou área total): a ∙ a = a2
• Apartamento verde = b2
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Fundamentos da matemática 101
Juntando em uma equação, temos:
Então, o quadrado da diferença de dois termos pode ser obtido calculando o qua-
drado do primeiro termo (a2), menos duas vezes o primeiro pelo segundo termo (–2ab), 
mais o quadrado do segundo termo (b2).
Também podemos desenvolver a expressão (a + b) (a – b), conhecida como pro-
duto da soma pela diferença de dois termos, geometricamente. Nesse caso, vamos cal-
cular a área de um retângulo cujos lados medem (a + b) e (a – b).
Vamos supor que o retângulo a seguir represente um apartamento de um quarto, 
um banheiro e uma sala integrada com cozinha.
a + b
a − b
a
a
 b
 b
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Fundamentos da matemática 102
Foram definidos a área total do apartamento (A) e o tamanho da sala-cozinha 
(azul). Para encontrar a área que resta para construir o quarto e o banheiro (amarelo), 
cujos lados medem (a + b) e (a – b), determinamos a área total do apartamento (A) e 
subtraímos a área da sala-cozinha (retângulo azul).
A área total do apartamento (A) é a . (a + b), isto é, a(a + b).
A área total da sala-cozinha (S) é b . (a + b), ou seja, b(a + b).
Subtraindo a área da sala-cozinha da área do apartamento, temos que:
área total do apartamento a(a + b) – b(a + b) área da sala-cozinha
Multiplicando cada uma das partes, temos:
a . a = a2
a . b = ab
–b . a = –ab
–b . b = –b2
Logo, temos
a² + ab – ab – b²
ab – ab = 0
Assim, a área restante para o quarto e o banheiro é:
a² – b²
Portanto, (a + b) . (a – b) = a² – b²
O produto da soma pela diferença de dois termos pode ser obtido calculando o 
quadrado do primeiro termo (a2) menos o quadrado do segundo termo (b2).
Observe as demonstrações numéricas das características de um trinômio quadra-
do perfeito. 
Exemplo 1: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro 
termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais o quadrado do segun-
do termo. 
(x + 3)² = 0
(x + 3) . (x + 3) = 0
x² + 2 . x . 3 + 3² = 0
x2 + 6x + 9 = 0
Fundamentos da matemática 103
Exemplo 2: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do pri-
meiro termo, menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais o quadrado 
do segundo termo.
(x – 3)² = 0
(x – 3) . (x – 3) = 0
x² – 2 . x . 3 + 3² = 0
x² – 6x + 9 = 0
Exemplo 3: O produto da soma pela diferença de dois termos pode ser transforma-
do em uma diferença de quadrados, ou seja, o produto da soma pela diferença de dois 
termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.
(x + 3) . (x – 3) = x² – 3x + 3x – 3² = x² – 3², ou seja:
(x + 3) . (x – 3) = x² – 9
3�3 Fatoração
Os biólogos costumam acompanhar o processo de reprodução das bactérias por 
meio de microscópio. Ocorre mais ou menos assim:
No início do processo, que 
chamaremos de dia zero, há só 
uma bactéria. No fim do dia ela 
começa a mudar...
...e acaba bipartindo-se. No dia 
seguinte, há duas.
Passa-se mais um dia e elas já 
são quatro.
E, no outro dia, já são oito.
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Fundamentos da matemática 104
As bactérias podem causar doenças como cárie ou meningite, mas podem ser 
também muito úteis, ajudando no crescimento das plantas. Em qualquer caso, é im-
portante que os biólogos saibam como cresce uma população de bactérias.
Já que o número de bactérias dobra a cada dia, observe a relação entre o número 
de dias e a quantidade de bactérias.
Dias 0 1 2 3 4 5 6 7
Bactérias 1 2 4 8 16 32 64 128
Se os cientistas quiserem saber em que dia houve 128 bactérias, é só fatorar utili-
zando a multiplicação de 2 em 2, conforme se segue:
1 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128
Consideramos que no primeiro dia havia 1 e nos demais foi se multiplicando por 2. 
Como temos 7 multiplicações de dobro, no sétimo dia haverá 128 bactérias.
Então, quando se desfaz um produto, escrevendo os fatores da multiplicação, dizemos ter rea-
lizado a fatoração da expressão.
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A fatoração é um recurso da Matemática 
para facilitar os cálculos algébricos; por meio 
dela conseguimos resolver situações mais com-
plexas. Por exemplo:
Carlos tem dois jardins. Em uma parte de 
cada um vai construir uma calçada revestida de 
pedra e em outra colocará flores. Veja a seguir 
as medidas (em metros) de cada jardim.
Jardim A Jardim B 
9x2
4
6yx2
y2
xy
xy 6y
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es
Fundamentos da matemática 105
A área total de cada jardim pode ser representada na forma fatorada:
Jardim A: x² + xy + xy + y², logo temos x² + 2xy + y²
Jardim B: 9x² + 6y + 6y + 4, logo temos 9x² +12y + 4
Na fatoração por fator comum em evidência, utilizamos a ideia de fazer grupos 
de polinômios. Ao fatorar, escrevemos a expressão na forma de produto de expressões 
mais simples.
Em alguns casos, é necessário escrever um polinômio na forma de um produto de 
polinômios. Nesses casos, estamos realizando uma fatoração.
Veja como podemos fatorar o polinômio 5x² + 15x.
Inicialmente, decompomos cada termo do polinômio em um produto de fatores com 
um termo comum. Nesse caso, podemos evidenciar 5x, já que 5x2 = 5x . x e 15x = 5x . 3.
5x² + 15x = 5x . x + 3 . 5x
Então, transformamos 5x em fator comum aos dois termos do polinômio. Assim, 
podemos escrever esse fator multiplicando os outros fatores que não são comuns. 
Nesse caso, dizemos que 5x foi colocado em evidência.
Portanto, a forma fatorada de 5x² + 15x é 5x(x + 3).
Podemos verificar se a fatoração está correta utilizando a propriedade distribu-
tiva da multiplicação e observando se o resultado obtido é o mesmo polinômio inicial.
Existem várias maneiras de fatorar um polinômio. Uma delas é colocar o fator co-
mum em evidência. Outro modo de fatorar um polinômio é utilizar a fatoração por 
agrupamento.
5x . x + 3 . 5x
5x(x + 3)
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: L
ar
is
sa
 Pir
es
Fundamentos da matemática 106
Podemos fatorar o polinômio 2x + xy + 2a + ay utilizando esta técnica:
• O polinômio não apresenta fatores comuns a todos os termos. Por isso, vamos 
agrupar os termos que têm algum fator comum entre si e depois fatorá-los.
2x + xy + 2a + ay
= x(2 + y) + a(2 + y)
• Assim, verificamos que o fator (2 + y) é comum na expressão, por isso vamos 
colocá-lo em evidência.
= x (2 + y) + a (2 + y)
= (2 + y) (x + a)
Assim, a forma fatorada de 2x + xy + 2a + ay é (2 + y) (x + a).
3�4 Simplificação
A simplificação, como o próprio nome diz, é uma maneira de tornar a fração 
mais simples. Usamos tanto para frações numéricas quanto para frações algébricas. 
Inicialmente, fatoram-se os números; depois, simplificam-se os que são iguais no nu-
merador e denominador.
Com frações algébricas, utilizam-se os mesmos passos para torná-las mais simples.
Utilizando a simplificação de frações e os casos de fatoração, teremos a simplifi-
cação das frações.
10
 6
2 . 5
2 . 3
5
3
= =
 6x2 
4xy
5x2 – 15x 
4x2 – 12xe
 6x2 
4xy
Fundamentos da matemática 107
Vamos encontrar um divisor comum para 6 e 4, que é 2. Além disso, vamos separar 
as incógnitas para realizar a simplificação destas:
Temos que: 6 ÷ 2 = 3
4 ÷ 2 = 2
xx = x . x
xy = x . y
Aplicando na fração: 
6x2
= =
2 . 3 . x . x 3 x
2 . 2 . x . y 2y 4xy
2/2 = 1 x/x = 1
Nesse caso, decompomos os termos e dividimos os fatores comuns.
Vamos simplificar a segunda fração algébrica:
 5x2 – 15x 
4x2 – 12x
Encontramos um termo comum em cada linha, sendo:
5x2 = 5x . x
15x = 5 . 3 . x
4x2 = 4x . x
12x = 4 . 3 . x
Aplicando, temos:
 5x2 – 15x 
4x2 – 12x
5 . x . x – 3 . 5 . x 
4 . x . x – 3 . 4 . x=
Podemos considerar que 5 . x . x – 5 . 3 . x = 5x . (x – 3)
E que: 4 . x . x – 3 . 4 . x = 4x . (x – 3)
Sendo assim, nossa fração fica: 
5 . x . (x – 3) 
4 . x . (x – 3) 
Fundamentos da matemática 108
Nesse caso, para simplificar a fração algébrica, fatoramos o numerador e denomi-
nador e, em seguida, dividimos os fatores comuns.
Para simplificar as frações algébricas a
2 + 3a
 a2 – 9
 e a
2 – 1
a2 – 2a + 1
, podemos utilizar a 
fatoração de polinômios.
5 . x . (x − 3)
4 . x . (x − 3)
(x − 3)/(x − 3) = 1
x/x = 1
Observe a simplificação a seguir:
Logo, como resultado, temos:
5
4
a2 + 3a
 a2 – 9
Podemos escrever a2 + 3a como a(a + 3). Colocamos a em evidência porque ele se 
repete nos dois termos, e a2 – 9 como (a – 3) . (a + 3), pois temos o quadrado do primei-
ro termo menos o quadrado do segundo termo.
Assim, aplicamos na fração:
a(a + 3)
(a – 3) (a + 3)
Observe a simplificação a seguir:
Isto é, dividimos (a + 3) ÷ (a + 3) = 1. Como resultado, nossa fração algébrica irredutível é:
a(a + 3)
(a – 3) (a + 3)
a
a – 3
Para a
2 – 1
a2 – 2a + 1
, também decompomos o numerador e o denominador antes de
simplificar a fração. Observe a forma resumida:
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: L
ar
is
sa
 P
ir
es
Fundamentos da matemática 109
Existem duas regras para somar e subtrair frações.
I. Frações de mesmo denominador: somam-se ou subtraem-se os numeradores e 
mantém-se o denominador.
a2 – 1
a2 – 2a + 1 =
(a – 1) (a + 1)
(a – 1) (a – 1)
(a + 1)
(a – 1)=
5
7
3
7
8
7=+
II. Frações com denominadores diferentes: calcula-se o mmc dos denominadores, 
transformando as frações em frações equivalentes de mesmo denominador. 
Depois, somam-se ou subtraem-se os numeradores das frações equivalentes.
3
4
 9
12=–
2
3 –
 8
12 =
 1
12 mmc (3,4) = 12
Para somar ou subtrair frações algébricas, as regras são as mesmas.
Para efetuar a expressão 
3
2xy
2
5x2a
+ , inicialmente se calcula o mínimo múltiplo 
comum de 2xy e 5x²a.
Observe:
2xy
xy
y
y
y
y
;
;
;
;
;
;
5x²a
5x²a
5xa
xa
a
1
2
x
5
x
a
y
(2 = primeiro número primo)
(x = incógnita semelhante entre os termos)
(5 também é um número primo)
(simplifica-se por x)
(simplifica-se por a)
(simplifica-se por y)
Multiplicamos todos os números e as incógnitas: 2 . x . 5 . x . a . y.
Então, o mmc (2xy; 5x²a) = 2 . 5 . x² . y . a = 10x²ya, isto é, precisamos igualar os 
denominadores das duas frações, então, entre o 2 e 5 o mmc é 10, e entre as incógni-
tas xy e x²a, teremos x²ya. Veja:
3
2xy
2
5x2a
3 . 5xa + 2 . 2y
10 x2ya
15xa + 4y
10 x2ya+ = =
Fundamentos da matemática 110
Referências
AL-KHWARIZMI. Britannica Escola Online. Enciclopédia Escolar Britannica. Disponível 
em: <escola.britannica.com.br/article/481649/Khwarizmi,%20Al->. Acesso em: 20/07/2014.
BIANCHINI, E. Matemática. 5. ed. São Paulo: Moderna, 2002. 
BOYER, C. B. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. 
EVES, H. W. Introdução à História da Matemática. 2. ed. Campinas: Editora da 
Unicamp, 1997.
IEZZI, G., et al. Matemática: ciência e aplicações. 6. ed. v. 1. São Paulo: Saraiva, 2010.
LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A Matemática do 
Ensino Médio, vol. 1, SBM. Revista do Professor de Matemática (RPM), n. 39, p. 54.
LISBÔA, R. Língua Cifrada. Folha de S. Paulo, 01 set. 2003. Disponível em: <1.folha.
uol.com.br/fsp/folhatee/fm0109200311.htm>. Acesso em: 10/08/2014.
SILVA, E. M., SILVA, S. M. Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: 
Atlas, 2002.
Fundamentos da matemática 111
Símbolos e fórmulas 
1 termo algébrico = monômio  3x
2 termos algébricos = binômio  3x + 4
3 termos algébricos = trinômio  3x + 4 + 2y
4 ou mais termos algébricos = polinômio  3x + 4 + 2y + x2
Quadrado da soma de dois termos: (a + b) . (a + b) = (a + b)² = a² + 2ab + b²
Quadrado da diferença de dois termos: (a – b) . (a – b) = (a – b)² = a² – 2ab + b
Soma pela diferença de dois termos: (a + b) . (a – b) = ab – ab
4 Equações e inequações, frações e funções
Observe o que Daniel está perguntando à Leonora.
©
 R
ud
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A
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do
).
D
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ui
lh
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m
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R
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at
to
24 anos.
O dobro da minha 
idade mais 20 anos é 
igual a 68 anos. Qual 
é a minha idade?
Para verificar se a resposta de Leonora está correta, podemos escrever uma 
equação e resolvê-la.
Vamos chamar de x o número corresponde à idade de Daniel e escrever a seguin-
te equação:
O dobro (2) da idade (x) + 20 = 68
2x + 20 = 68
 1.º membro 2.º membro
Fundamentos da matemática 114
O estudo de equações pode ter relação com o nosso cotidiano, ou seja, pode ser 
utilizado para resolver determinado problema, como na Física, para descrever a traje-
tória de movimento, na Educação Física e nas Ciências, para calcular o Índice de Massa 
Corpórea (IMC). 
Toda equação é composta dos seguintes elementos:
D
es
ig
n 
G
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fi
co
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ui
lh
er
m
e 
R
uf
at
to
• um sinal de igualdade (=);
• dois membros na forma de expressão 
algébrica separados pelo sinal de igualdade;
• uma ou mais incógnitas representadas por 
letras (geralmente x e y), que indicam valores 
desconhecidos que precisamos descobrir.
Nessa equação, 2x + 20 corresponde ao 1.º membro e 68, ao 2.º membro.
Quando temos uma expressão algébrica e precisamos identificar o valor da in-
cógnita, como proposto por Daniel e Leonora, usamos os métodos de resolução de 
equações, que consistem no estabelecimento de igualdade entre duas expressões ma-
temáticas, ou dois membros.
Agora, vejamos como Leonora chegou à resposta, ou seja, como encontrou o 
valor desconhecido da incógnita 2x + 20 = 68.
Temos duas opções para solucionar:
a) Vamos isolar a incógnita. Para isso, primeiro passamoso 20 para o lado do se-
gundo membro invertendo a operação, ou seja, já que está somando, ele passa 
diminuindo:
2x = 68 – 20
2x = 48
Fundamentos da matemática 115
Continuando a isolar a incógnita, vamos passar o 2 para o segundo membro. Já 
que está multiplicando, passa para o outro lado dividindo, desse modo:
x = 
48
2 
x = 24
Assim, x = 24, ou seja, Daniel tem 24 anos.
b) Considerando que os dois membros representam uma igualdade, qualquer 
operação que fizermos em um lado da equação precisa ser realizada em am-
bos. Assim, começamos a subtrair 20 de cada lado da equação:
2x + 20 = 68
2x + 20 – 20 = 68 – 20 
Já que 20 – 20 = 0 e 68 – 20 = 48, temos 2x = 48
Agora, precisamos isolar a incógnita (x). Para isso, basta dividirmos os dois lados 
da equação por 2:
2x
2 = 
48
2 
Considerando que 2x/2 = x e 48/2 = 24, temos: x = 24.
Portanto, a idade de Daniel é 24 anos.
No problema da idade de Daniel, estabelecemos uma relação de igualdade para 
encontrar uma incógnita. Veremos a seguir os métodos de solução das equações.
Além das equações, temos também inequações, que não estabelecem uma re-
lação de igualdade que resulta em um valor preciso, e sim possíveis valores para a in-
cógnita. Veremos a seguir como resolver cada uma delas.
4�1 Equações de 1�º grau
Podemos definir uma equação do 1.º grau como aquela que apresenta apenas 
uma incógnita, qualquer equação que possa ser reduzida à forma ax = b, em que x é a 
incógnita e a e b são números reais, com a  0 (a e b são coeficientes da equação).
Fundamentos da matemática 116
Vamos ver algumas representações simplificadas: 
©
 m
ilo
sd
iz
aj
n 
/ /
 F
ot
ol
ia
1. Em um elevador com capacidade para até 300 kg, há 4 pessoas mais 1 mala de 
20 kg. Sabendo que o elevador está com a carga máxima que pode suportar, 
qual o peso médio de cada pessoa?
Podemos representar na forma de uma balança, que equilibra dois pesos: da 
carga e da capacidade máxima do elevador:
300 kg20 kg
©
 m
ilo
sd
iz
aj
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 F
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. (
A
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G
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lh
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m
e 
R
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to
Fundamentos da matemática 117
Considerando que 4 pessoas de x kg + 20 kg equivalem a 300 kg, podemos repre-
sentar a equação na forma de: 4x + 20 = 300.
A equação está na forma ax + b = c, sendo:
a = 4
b = 20
c = 300
Como queremos isolar a incógnita x, vamos eliminar os valores numéricos que o 
acompanham. Em primeiro lugar, vamos deduzir 20 de cada lado da equação. Lembrando 
que se trata de uma balança equilibrada, devem ser deduzidos em ambos os lados.
4x + 20 – 20 = 300 – 20
Sendo assim, ficamos com 4x = 280.
Agora, queremos remover o 4 que acompanha o x. Logo, podemos dividir por 4 
ambos os lados.
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
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m
e 
R
uf
at
to
4x/4 280/4=
D
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G
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R
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at
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Fundamentos da matemática 118
Como resultado, temos x = 70.
Logo, o peso médio de cada pessoa no 
elevador é de 70 kg.
2. Um comerciante paga 20% de im-
posto sobre o preço de venda de 
um jogo de rodas para carro. Do 
restante, 60% correspondem ao 
custo e 40%, ao lucro. Se o custo de 
um jogo de rodas foi de R$ 960,00, 
qual o preço de venda?
Resolução
O preço é composto de: preço = custo + lucro + impostos.
Sabemos que, de cada R$ 1,00 vendido, 20% são impostos, isto é, impostos = 
0,20 vezes o preço. Vamos considerar o preço como x. Então, impostos = 0,20x.
Para cada R$ 1,00 vendido, sobram então R$ 0,80 para dividir entre lucro e custo, 
sendo que o lucro corresponde a 40% desse valor e o custo, a 60% do valor. Então, po-
demos dizer que:
©
 d
as
ha
di
m
a 
/ /
 F
ot
ol
ia
Lucro = 0,4 × 0,80
Lucro = 0,32 do preço do produto, ou 0,32x
Custo = 0,6 × 0,80
Custo = 0,48 do preço do produto ou 0,48x
Juntando, temos que:
Preço = custo + lucro + impostos
x = 0,48x + 0,32x + 0,20x
Observe que, se somarmos 0,48 + 0,32 + 0,20, temos 1, isto é, 100% do preço.
Temos a informação de que o custo da mercadoria é de R$ 960. Logo, substituí-
mos esse valor na parte correspondente ao custo:
x = 960 + 0,32x + 0,20x
Fundamentos da matemática 119
Vamos usar o método de isolar a incógnita passando todos os termos que contêm 
a variável x para o mesmo membro da equação. Vamos isolar para o membro esquerdo. 
Lembramos que, se está somando em um membro, passa para o outro lado subtraindo:
x – 0,32x – 0,20x = 960
Subtraindo 0,32 e 0,20 de 1, temos:
0,48x = 960
Observe que 0,48 é exatamente a proporção do preço que representa o custo.
Isolamos x, passando 0,48 dividindo para o membro direito:
x = 
 960 
0,48 
x = 2.000
©
 ts
ir
ik
 / 
/ F
ot
ol
ia
Logo, o preço do jogo de rodas é de R$ 2.000,00.
3. Joaquim é taxista, e o preço de suas cor-
ridas é calculado com base em dois cri-
térios: há um valor fixo de bandeirada, 
cobrado quando o carro é ligado, no va-
lor de R$ 5,00, e há o valor por quilômetro 
rodado, que é de R$ 2,65. Beatriz entrou 
no carro de Joaquim para ir até o aero-
porto e pagou R$ 58,00. Qual equação 
representa o preço da corrida? Qual a dis-
tância da casa de Beatriz ao aeroporto? 
Resolução
Temos tipicamente uma equação de 1.º grau composta de uma constante (b) e 
uma variável (a), na forma de c = ax + b.
Nesse caso, a bandeirada de R$ 5,00 é b, enquanto, se considerarmos a equação 
com a variável quilômetros rodados, o valor por quilômetro (2,65) é a. 
Assim, temos: c = 2,65x + 5.
Fundamentos da matemática 120
Há ainda a informação de que Beatriz pagou R$ 58,00 pela corrida, isto é, c = 58. 
Queremos descobrir quantos quilômetros ela percorreu, que é x. Nesse caso, basta 
substituir o valor de c na equação:
c = 2,65x + 5
58 = 2,65x + 5
Passando 5 para o lado esquerdo da equação, temos:
58 – 5 = 2,65x
53 = 2,65x
x = 
 53 
2,65 
x = 20
Portanto, Beatriz mora a 20 quilômetros do aeroporto.
4�1�1 Equações literais
Observe o enunciado do problema.
1. O preço de um produto somado com o troco que o cliente recebeu é igual a 
R$ 50,00. Qual é o preço do produto?
Resolução
Representando por x o preço do produto e t o troco, tem-se a equação do proble-
ma: x + t = 50.
Para determinar o preço do produto, isola-se x na equação. Dessa forma, tem-se: 
x = 50 – t.
Observe que há duas letras na equação e apenas uma (x) é a incógnita, isto é, te-
mos uma equação literal.
Denomina-se equação literal toda equação que apresenta, além da incógnita, uma ou mais le-
tras denominadas parâmetros, que representam valores reais.
Fundamentos da matemática 121
Exemplo: 
Para resolvermos as equações literais, isolamos x no primeiro membro e deixa-
mos o parâmetro no segundo membro, conforme a seguir:
5a + x = 7a
Vamos isolar x:
x = 7a – 5a
x = 2a
O valor de x dependerá do valor do parâmetro a.
Veja outro exemplo:
6x + 5m = x + 10m 
6x – x = 10m – 5m 
5x = 5m 
x = 
 5m 
5 
x = 1m (também podemos escrever, x = m)
No caso a seguir:
6b + 2x = 3 – 4b
Isolando x, temos:
2x = 3 – 4b – 6b
2x = 3 – 10b
x = 
3 – 10b
2 
As equações literais são usadas quando o valor que a incógnita assume é proporcio-
nal a um parâmetro variável. As regras para resolver equações também se aplicam à re-
solução de uma equação literal, em ordem a qualquer uma das letras que nela figuram.
Fundamentos da matemática 122
Observe:
x
Perímetro = 370 m
y
Um campo de futebol tem aproximadamente 370 m de perímetro. Vamos calcularas medidas da largura e do comprimento desse campo de futebol.
Lembre-se de que perímetro é o contorno de uma figura. No caso da imagem, te-
mos um campo retangular com duas medidas diferentes representadas por x e y, então 
teremos o perímetro: x + x + y + y = 2x + 2y.
A imagem sugere a seguinte equação: 2x + 2y = 370 m.
Como a equação tem duas variáveis (x e y), podemos resolvê-la em relação a x ou 
em relação a y. 
Vamos resolver em relação a x (a forma de resolução para y seguiria os mesmos 
procedimentos):
2x + 2y = 370
2x = 370 – 2y
x = 
370 – 2y
2
x = 
2(185 – y)
2
x = 185 – y
Se atribuirmos valores para y, teremos o valor de x. Vamos considerar, por exem-
plo, y = 110:
x = 185 – 110
x = 75
©
 v
g-
de
si
gn
 / 
/ F
ot
ol
ia
Fundamentos da matemática 123
Se pretendermos determinar o comprimento do campo de futebol com base em 
uma largura determinada, então interessa resolver a equação em ordem y. Por outro 
lado, se pretendermos saber a largura, neste caso, já interessa resolver a equação em or-
dem x. Para conferir, vamos substituir o valor da largura (x = 75) encontrado com a atri-
buição de um valor de comprimento (y = 110) para verificar se a resolução está correta:
2x + 2y = 370
2(75) + 2y = 370
150 + 2y = 370
2y = 370 – 150
2y = 220
y = 
220
2
y = 110
Portanto, as medidas do campo são 110 m de comprimento e 75 m de largura.
Agora observe o enunciado deste problema.
2. A empresa Pratos Limpos produz diver-
sos tamanhos de pratos circulares, cuja 
circunferência é definida em função de 
seu diâmetro, isto é, tendo em vista que 
a relação circunferência/diâmetro resulta 
em π, a empresa define o tamanho dos 
pratos da seguinte forma:
©
 k
ar
an
da
ev
 / 
/ F
ot
ol
ia
Circunferência = π × diâmetro
Considerando circunferência = x e diâmetro = d, a equação que define o tamanho 
dos pratos é: x = π . d.
Sabemos que π representa um número irracional com milhões de casas decimais. 
Para facilitar, a empresa trunca o valor em 3,1415926.
Logo, a equação literal que define o tamanho dos pratos é: x = 3,1415926 . d.
Truncar um número com casas decimais consiste em cortar casas decimais sem arredondar a 
última, ou seja, um valor de 85,1616 truncado na primeira casa decimal ficaria em 85,1, já se 
fosse arredondado passaria para 85,2.
Fundamentos da matemática 124
A equação é muito importante para a empresa, pois define a quantidade de ma-
téria que será utilizada. Considerando que a equação que define a quantidade de cerâ-
mica em relação à circunferência do prato é de 3 g por centímetro, qual a equação que 
representa a quantidade de material em relação ao diâmetro dos pratos?
Resolução
Nesse caso, temos duas equações literais: a da circunferência e a da matéria-prima. 
Vamos usar y para definir a quantidade de matéria-prima. Logo, y = 3 . x.
Considerando que x = 3,1415926 . d, podemos substituir na equação de matéria-prima:
y = 3 . (3,1415926 . d)
y = 9,4247778 × d
Se quiséssemos expandir a equação para calcular o custo de produção de cada 
prato em função de seu diâmetro, poderíamos definir uma equação de custo por gra-
ma de cerâmica utilizada. Por exemplo:
Custo = quantidade de matéria-prima . preço da matéria-prima.
Vamos usar z para representar o custo, y para quantidade de matéria-prima e p 
para representar o preço da matéria-prima. Logo, nossa equação de custo seria: 
z = y . p
Vamos substituir y pela equação de custo: y = 9,4247778 . d
z = (9,4247778 . d) . p
Logo, podemos expressar o custo de produção em função do diâmetro:
z = 9,4247778 . d . p
Então temos uma equação do custo em função de dois parâmetros: diâmetro e 
preço da matéria-prima. Assim, o custo varia de acordo com esses itens.
Fundamentos da matemática 125
4�2 Inequações de 1�º grau
Em nossa sociedade, no mercado formal de trabalho, há uma exigência em rela-
ção ao salário. Todo trabalhador com carteira assinada deve receber importância men-
sal idêntica ao salário mínimo ou maior que ele.
Vamos supor que o salário mínimo seja de R$ 700,00. Essa informação pode ser 
representada por símbolos matemáticos.
Salário = s
s  700,00
Desigualdades como s  700,00 são denominadas inequação.
Inequação é uma sentença matemática expressa por uma desigualdade ( maior;  menor;  maior 
ou igual; e  menor ou igual), em que há pelo menos uma letra que representa um número desco-
nhecido. Cada letra que representa um número desconhecido é chamada incógnita.
Veja outros exemplos:
4x + 1  8 –a + 5  9b
a + 14  2a 2x + 9  18
5x – 4  2y x – y  –2
Podemos dizer que inequação é toda sentença que apresenta variável(eis) e seus 
membros estão ligados por um dos quatro sinais de desigualdade.
Sinais de desigualdade
 menor
 maior
 menor ou igual
 maior ou igual
Para diferenciar os sinais de maior (>) e menor (<), basta gravar que a parte aberta do sinal está 
aberta sempre para o elemento maior e a parte fechada, para o elemento menor. Logo 4 < 6, já 
que a parte fechada (menor) está virada para o 4 e a parte aberta (maior), para o 6.
Fundamentos da matemática 126
Vamos ver problemas com inequações:
1. Observe o retângulo e o quadrado a seguir com suas dimensões. Sabendo que 
a área do retângulo é maior que a área do quadrado, qual é a sentença que re-
presenta essa situação?
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: G
ui
lh
er
m
e 
R
uf
at
to
X
2 cm
4 cm
4 cm
Para responder a essa pergunta, vamos encontrar, inicialmente, a área das figuras.
Área do retângulo  2 . x = 2x
Área do quadrado  4 . 4 = 16
Como a área do retângulo é maior que a área do quadrado, podemos escrever a 
seguinte sentença:
2x  16 (lê-se: 2x é maior que 16)
Podemos representar todas as soluções de uma inequação resolvendo-a. Isso sig-
nifica isolar a incógnita num de seus membros. Veja a solução da inequação:
3x + 10 > 40
3x + 10 > 40
3x + 10 – 10 > 40 – 10 (em ambos os membros subtraímos 10)
3x > 30
3x ÷ 3 > 30 ÷ 3 (em ambos os membros dividimos por 3)
x > 10
Fundamentos da matemática 127
Todos os números inteiros maiores que dez 
representam solução da inequação. Dessa forma, 
fica mais fácil concluir que essa inequação tem in-
finitas soluções inteiras.
2. Imaginando que todas as regras da igual-
dade (equação) fossem válidas para resol-
ver uma inequação, Marlene cometeu um 
erro. Acompanhe os passos da solução e 
veja o que ela fez. © n
op
py
vi
va
 / 
/ F
ot
ol
ia
–2x + 5 > 7
–2x > 2
x > –1
Segundo a solução de Marlene, todo número maior que –1 deve ser solução da 
inequação. Ao substituir x por zero, entretanto, ela obtém uma expressão falsa:
–2 . 0 + 5 > 7
5 > 7 (entretanto, 5 é menor que 7)
Veja o que acontece com a desigualdade quando a multiplicamos ou dividimos 
por um número negativo:
D
es
ig
n 
G
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lh
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m
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R
uf
at
to
–4 ÷ (–2) 6 ÷ (–2)
–4 < 6
2 > –3
A relação de desigualdade inverte: 2 é maior que – 3.
–4 . (–1) 6 . (–1)
–4 < 6
4 > –6
A relação de desigualdade inverte: 4 é maior que –6.
D
es
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G
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R
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to
Fundamentos da matemática 128
Na multiplicação ou divisão de inequação por um número negativo, temos que in-
verter o sinal da desigualdade. Observe a solução correta da inequação de Marlene:
–5
÷ (–2) ÷ (–2)
–5
–2x + 5 > 7
–2x > 2
x < –1
A desigualdade deve ser invertida.
Podemos aplicar a inversão de membros na inequação para verificar essa situação:
–2x + 5 > 7
Vamos passar o 5 para o segundo membro da inequação, lembrando que passa 
com sinal invertido (de + para –):
–2x > 7 – 5
–2x > 2
Agoratransferimos o 2 para o membro direito:
–x > 2/2
–x > 1
Se substituíssemos 1 na inequação, teríamos:
–2x > 7 – 5
–2(1) > 7 – 5
–2 > 2
Veja que –2 não pode ser maior que 2. Logo, precisamos transferir o sinal para o 
outro lado da equação. Para isso, precisamos que o sinal de desigualdade acompanhe, 
isto é, invertemos o sinal de maior para menor:
x  –1
D
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G
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R
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Fundamentos da matemática 129
4�3 Equações de 2�º grau
Crescimento da população: uma função do tempo
Relatório da ONU mostra população mundial cada vez mais urbanizada, mais de metade vive 
em zonas urbanizadas ao que se podem juntar 2,5 mil milhões em 2050
[...]
A edição de 2014 do relatório “Perspectivas da 
Urbanização Mundial” (World Urbanization Prospects) 
produzida pela Divisão das Nações Unidas para a 
População do Departamento dos Assuntos Econó-
micos e Sociais (DESA) concluiu que o maior cres-
cimento urbano terá lugar na Índia, na China e na 
Nigéria. Esses três países contarão com 37% do cres-
cimento urbano projetado a nível da população mun-
dial entre 2014 e 2050. Para 2050, espera-se que a Índia acrescente 404 milhões de habitantes 
nas cidades, a China 292 milhões e a Nigéria 212 milhões. 
A população urbana a nível mundial tem crescido rapidamente passando de 746 milhões em 
1950 para 3,9 mil milhões em 2014, A Ásia, apesar baixo nível de urbanização, aloja 53 por cen-
to da população urbanizada a nível mundial, seguida da Europa com 14% e a América Latina e nas 
Caraíbas com 13%.
Fonte: UNRIC, 2015.
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De acordo com o Almanaque Abril (2003), em 2002, a população mundial era de 
6,20 bilhões de pessoas, e crescia à taxa anual de 1,23%, ou seja, aumentava em torno 
de 77 milhões a cada 365 dias. De acordo com estimativas da Organização das Nações 
Unidas (ONU), o planeta terá cerca de 9,3 bilhões de habitantes em 2050, mas tal 
cifra é apenas uma projeção média. A ONU desenha também outros cenários possí-
veis. Dependendo dos elementos considerados, a população, em 2050, oscilará entre 
7,9 bilhões e 10,9 bilhões de indivíduos. 
As funções têm muitas aplicações e auxiliam na resolução de problemas práticos, 
como na estimativa da população mundial, que varia em função do tempo. Por isso se 
diz que população é função do tempo.
Observando o gráfico, que mostra as populações durante décadas, percebe-se 
a formação de uma reta. O crescimento dessa reta permite estimar a população em 
2070. Basta prolongá-la, acompanhando o crescimento apresentado em outros anos. 
Assim, supõe-se que o crescimento da população entre 2050 e 2070 vá acompanhar o 
mesmo de 2030 a 2050.
Fundamentos da matemática 130
O matemático que definiu a forma de resolução de equações do 2.º grau utilizan-
do métodos algébricos foi Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi, que viveu no século 
IX, considerado o pai da Álgebra. Antes dele, gregos, egípcios e babilônicos utilizavam 
apenas métodos geométricos.
Veremos nos problemas a seguir as aplicações do raciocínio de Al-Khwarizmi.
1. Observe a planta parcial de um escritório.
Crescimento da população mundial
12 
10
8
6
4
2
0
1950 1970 1990 2010 2030 2050 2070 2090
(em bilhões)
Mundo
Fonte: ALMANAQUE ABRIL, 2003.
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G
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X
1 m
Corredor
Sala 1 Sala 2
D
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G
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R
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to
Fundamentos da matemática 131
As duas salas quadradas e o corredor retangular têm, juntos, 40 m² de área. Cada 
sala tem x metros de lado, e o corredor tem 1 metro de largura. Qual é a medida x do 
lado de cada sala quadrada?
Resolução
De acordo com a figura e os dados do problema, podemos concluir que:
A área de cada sala é x².
A área do corredor é dada por 1 . 2x ou 2x.
A equação que representa o problema é: 2x² + 2x = 40
Área do corredor
Área das duas salas
Obtivemos uma equação que não é do 1.º grau na incógnita x, pois existe um ter-
mo em que a incógnita x se apresenta com expoente 2 (quadrado).
Equações desse tipo são denominadas equações do 2.º grau com uma incógnita.
Denomina-se equação do 2.º grau na incógnita x toda equação da forma ax² + bx + c = 0, em 
que a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Assim:
2x² + 2x – 40 = 0 é uma equação do 2.º grau na incógnita x, em que a = 2, b = 2 e c = –40. 
x² – 7x + 10 = 0 é uma equação do 2.º grau na incógnita x, em que a = 1, b = – 7 e c = 10.
x² – 25 = 0 é uma equação do 2.º grau na incógnita x, em que a = 1, b = 0 e c = –25.
6x² – 9x = 0 é uma equação do 2.º grau na incógnita x, em que a = 6, b = –9 e c = 0.
Fundamentos da matemática 132
Nas equações do 2.º grau com uma incógnita, os números reais a, b e c são 
chamados coeficientes da equação. Assim, se a equação for na incógnita x:
• a será sempre o coeficiente do termo x²;
• b será sempre o coeficiente do termo em x;
• c será o coeficiente sem variável ou o 
termo independente de x.
Pela definição, devemos ter sempre a ≠ 0. Entretanto, podemos ter b = 0 ou c = 0.
Assim:
• quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a 
equação do 2.º grau se diz incompleta.
• quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2.º 
grau se diz completa;
Exemplos:
• 5x² – 8x + 3 = 0 é uma equação completa 
(a = 5, b = – 8 e c = 3);
• 5y² = 0 é uma equação incompleta 
(a = 5, b = 0 e c = 0).
Resolver uma equação significa determinar o conjunto solução dessa equação em 
um conjunto universo. Na resolução das equações incompletas do 2.º grau, usaremos a 
fatoração.
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G
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G
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to
Fundamentos da matemática 133
Se x e y são dois números reais quaisquer e x . y = 0, então, x = 0 ou y = 0.
Se x e y são dois números reais quaisquer e x² = y, então, x = + y ou x = – y , já 
que a operação inversa de potenciação é a radiciação.
Vamos resolver a equação x² – 49 = 0 no conjunto IR:
x² – 49 = 0
x² = 49
x = + 49 ou x = – 49 
x = + 7 ou x = –7
Podemos escrever x = 7.
Logo, os números 7 e –7 são as raízes da equação. Assim, S = {–7, 7}.
Com base na interpretação geométrica dada pelos gregos à expressão (a + b)², o 
matemático Al-Khwarizmi estabeleceu um processo geométrico para a resolução de 
equações do 2.º grau com uma incógnita.
Vamos supor que o quadrado a seguir represente um terreno com largura (a + b) e 
comprimento (a + b). Logo, a área total do terreno é (a + b)²:
a
a2
a
ab
ab
b2 b
b
b
b
a a
D
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G
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R
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to
Aplicando a propriedade dos números reais já citada, temos:
Fundamentos da matemática 134
Pela figura, vemos que:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
A interpretação geométrica é:
a² + 2ab + b²
 área do quadrado de lado b.
 área de um dos retângulos de lado a e b.
 área do quadrado de lado a.
Utilizando essa interpretação, vamos acompanhar os exemplos a seguir, que 
mostram como Al-Khwarizmi desenvolveu seus estudos.
Exemplo 1: Para resolvermos a equação x² + 6x + 8 = 0, vamos considerar primeiro 
a expressão x² + 6x.
x² + 6x = x² + 2(3x)
 área de um retângulo cujos lados medem 3 e x.
 área de um quadrado cujo lado mede x.
x2
(3)23x3
3
x
x
3x
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G
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R
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to
Fundamentos da matemática 135
Pela figura,observamos que é necessário acrescentar o número (3)², ou seja, 9, 
à expressão x² + 6x, para obter um quadrado.
Descoberto geometricamente o valor que devemos acrescentar à expressão 
x² + 6x, voltamos à equação dada:
x² + 6x + 8 = 0
Como nosso quadrado perfeito é x² + 6x + 9, precisamos equilibrar a equação adi-
cionando 9 em ambos os lados, isto é:
x² + 6x + 8 = 0
x² + 6x + 9 + 8 = 0 + 9
 quadrado perfeito
Vamos manter o quadrado perfeito em um só membro da equação e transferir o 8 
para o segundo membro, que passa então diminuindo. Esse é o princípio da equivalên-
cia das equações:
x² + 6x + 9 = 9 – 8
Note que, ao acrescentarmos 9 à expressão x² + 6x do primeiro membro da equa-
ção, acrescentamos 9 também ao segundo membro, para obter uma equação equiva-
lente à anterior.
Teremos, então, o seguinte:
x² + 6x + 9 = 1
Considerando que 9 = 32, temos então tipicamente, um produto notável na forma 
de: a² + 2ab + b²  x² + 2 . 3x + 32 = 1.
Fatorando o trinômio quadrado perfeito obtido no primeiro membro, temos a 
equação:
Se a² + 2ab + b² = (a + b)2, temos:
(x + 3)² = 1
Fundamentos da matemática 136
Então, se invertermos a potência quadrada do primeiro membro para o segundo 
membro, transformamos em raiz quadrada de 1:
(x + 3) = + 1 ou (x + 3) = – 1
x + 3 = 1 x + 3 = –1
x = 1 – 3 x = –1 – 3
x = –2 x = –4
Logo, os números reais –4 e –2 são as raízes da equação dada.
No século XII, o matemático hindu Bhaskara baseou-se em estudos de Al-
Khwarizmi para apresentar um processo algébrico que permitia resolver qualquer 
equação do 2.º grau. Usando o processo de Bhaskara e partindo da equação escrita 
na sua forma reduzida, foi possível determinar, de maneira mais simples, as raízes de 
qualquer equação do 2.º grau com uma incógnita.
Para resolver a equação de 2.º grau, podemos utilizar a fórmula 
x = 
–b  b2 – 4ac
2a
, 
chamada de fórmula resolutiva da equação completa do 2.º grau ax² + bx + c = 0.
A expressão b² – 4ac (que é um número real) é usualmente representada pela le-
tra grega Δ (delta) e é chamada discriminante da equação. 
Então, a fórmula resolutiva pode ser escrita assim:
–b  Δ
2a
x =
A fórmula resolutiva recebeu, também, o nome de fórmula de Bhaskara, em homenagem ao 
grande matemático hindu.
Usando a fórmula resolutiva, vamos calcular as raízes da mesma equação do pro-
cesso anterior: x² + 6x + 8 = 0.
Lembramos que os coeficientes são a = 1; b = 6 e c = 8.
Fundamentos da matemática 137
Nesse caso, começamos a resolver pelo discriminante da equação:
Vamos resolver a equação: x² + 4x – 12 = 0, cujos coeficientes são a = 1, b = 4 e c = –12.
Δ = b² – 4ac = (4)² – 4 . (1) . (–12) = 16 + 48 = 64
–b  Δ
2ax =
–(4)  64
2(1)
–4  8
2= =
x = 
–4 + 8
2
 = 
4
2
 = 2
x = 
–4 – 8
2
 = 
–12
2
 = –6
Observe que podemos encontrar valores de x que não são reais, já que depende-
mos do cálculo de uma raiz quadrada. Assim, os tipos de raízes que vamos encontrar 
podem ser estudados com base no discriminante Δ da equação dada.
Δ = b² – 4ac
Δ = (6)2 – 4 . (1) . (8)
Δ = 36 – 32
Δ = 4
–b  Δ
2a
Aplicando na fórmula x =
–6  4
2 . 1
Temos: x = = x = –6  2
2
x = 
–6 + 2
2
 = 
–4
2
 = 
–4
2
  = –2
x = 
–6 – 2
2
 = 
–8
2
  = –4
Fundamentos da matemática 138
Temos, então, três casos a considerar:
1.º caso: Δ é um número real positivo (Δ > 0).
Nesse caso, Δ é um número real e existem dois valores reais diferentes para a 
incógnita x, sendo costume representar esses valores por x’ e x’’, que constituem as 
raízes da equação.
–b  Δ
2a
x =
–b  Δ
2a
x’ =
–b  Δ
2a
x’’ =
2.º caso: Δ é zero (Δ = 0).
Nesse caso, é igual a zero e ocorre:
–b  Δ
2a
x = = x =
– b  0
2a
= x =
– b  0
2a
=
–b
2a
Observamos, então, que existe um único valor real para a incógnita x, embora 
seja costume dizer que a equação tem duas raízes reais e iguais, ou seja:
x’ = x’’ =
–b
2a
3.º caso: Δ é um número real negativo (Δ < 0).
Nesse caso, Δ não é um número real, pois não há no conjunto dos números 
reais a raiz quadrada de um número negativo.
Dizemos, então, que não há valores reais para a incógnita x, ou seja, a equação 
não tem raízes reais.
No terceiro caso, as raízes da equação pertencem a outro conjunto numérico, 
chamado conjunto dos números complexos.
Como acabamos de ver, a existência ou não de raízes reais, bem como o fato de 
elas serem duas ou uma única, depende, exclusivamente, do discriminante Δ = b² – 4 ac.
e
Fundamentos da matemática 139
Na equação ax² + bx + c = 0, temos Δ = b² – 4ac e consideramos:
• Δ > 0 (duas raízes diferentes);
• quando Δ ≥ 0, a equação tem raízes reais; 
• Δ = 0 (uma única raiz);
• quando Δ < 0, a equação não tem raízes reais.
Vamos, agora, determinar as raízes de algumas equações do 2.º grau com uma 
incógnita, usando a fórmula resolutiva ou fórmula de Bhaskara.
• Resolvendo a equação x² + 2x –8 = 0 no conjunto IR.
a = 1, b = 2 e c = –8
Δ = b² – 4ac = (2)² – 4 . (1) . (–8) = 4 + 32 = 36 > 0
Como Δ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes dadas por:
x’ = x = 
–2 + 6
2
 = 
4
2
 = 2
x” = x = 
–2 – 6
2
 = 
–8
2
 = –4
– b  Δ
2a
x =
– (2)  36
2(1)
– 2  6
2
= x = = x =
Os números –4 e 2 são as raízes reais da equação dada.
D
es
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G
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co
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R
uf
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to
e
Fundamentos da matemática 140
• Calculando a equação x² – 14x + 49 = 0 no conjunto IR.
Nessa equação, temos:
a = 1 b = –14 c = 49
Δ = b² – 4ac = (–14)² – 4 . (1) . (49) = 196 – 196 = 0
Como Δ = 0, a equação tem uma única raiz real, que é dada por:
–b
2a
x =
–(–14)
2(1)
=
14
2
= = 7
O número 7 é a única raiz real da equação dada.
Então: S = {7}.
• Resolvendo a equação x² – 5x + 8 = 0 no conjunto IR.
Observamos que a = 1, b = –5 e c = 8.
Δ = b² – 4ac = (–5)² – 4 . (1) . (8) = 25 – 32 = –7
Como Δ < 0, a equação dada não tem raízes reais.
Logo, S = ∅.
• Para determinar, no conjunto IR, a solução da equação 
 3x(x + 1) – x = 33 – (x – 3)², precisamos escrever a equação dada na sua forma 
reduzida:
3x (x + 1) – x = 33 – (x – 3)²
3x² + 3x – x = 33 – (x² – 6x + 9)
3x² + 3x – x = 33 – x² + 6x – 9
3x² + 2x = – x² + 6x + 24
3x² + x² + 2x – 6x + 24 = 0
4x² – 4x + 24 = 0 
x² – x – 6 = 0 (dividimos todos os termos 
por 4 para simplificar a equação)
Fundamentos da matemática 141
Nessa equação reduzida, temos:
a = 1, b = –1 e c = –6 
Δ = b² – 4ac = (–1)² – 4 . (1) . (– 6) = 1 + 24 = 25
Como Δ  0, a equação tem duas raízes, que são dadas por:
x’ = 1 + 5
2
 = 6
2
 = 3
x” = 1 – 5
2
 = –4
2
 = –2
–b  Δ
2a
x =
– (–1)  25
2(1)
= x = = x =
1  5
2
=
Os números 3 e –2 são as raízes reais da equação dada.
Logo, S = {–2, 3}.
4�4 Inequações de 2�º grau
As inequações do 2.º grau podem ser resolvidas utilizando o teorema de Bhaskara. 
O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o 
conjunto solução.
A inequação é uma das seguintes desigualdades:
f(x)  0 – a função deve ser maior que 0.
f(x)  0 – a função deve ser igual ou maior que 0.
f(x)  0 – a função deve ser menor que 0.
f(x)  0 – a função deve ser igual ou menor que 0.
Considere a função real y = f(x) na variável real x.
Resolver uma inequação é achar os valores reais da variável x para os quais ocorre 
uma das desigualdades apresentadas.
Esses valores podem ser obtidos pela análise do gráfico, esboçado com base nas 
raízes (se existirem) da função dada.
e
Fundamentos da matemática 142
Observeum exemplo:
1. Inês quer construir um banheiro novo em sua casa com igual largura e compri-
mento, que vamos considerar como x. Ela não tem ainda ideia do tamanho do 
banheiro, mas quer que a área total seja inferior a 4 m2. Qual deve ser a medida 
de largura e comprimento (x)?
Resolução
Temos então uma inequação. Considerando que a área do banheiro é l . c e cada 
um tem medida de x, temos área igual a x . x, isto é, x2. Já que ela quer que essa área 
seja inferior a 4 m2, temos então a inequação x² < 4, isto é, queremos descobrir os 
números reais x que representam a medida da área, tais que x² < 4. Nossa inequação 
de 2.º grau tem a = 1, b = 0 e c = 4.
Considerando valores de uma reta numérica, poderíamos atribuir números 
inteiros à equação. Assim percebemos que:
Números menores que 0:
(–4)² = 16, 
isto é, > 4
(–3)² = 9, 
isto é, > 4
(–2)² = 4, 
portanto não atende à condição
(–1)² = 1, 
que é < 4
Zero:
0² = 0, ou seja, < 4
Números maiores que 0:
1² = 1, 
ou seja, < 4
2² = 4, logo, não 
atende à condição
3² = 9, 
ou seja, > 4
4² = 16, 
que é > 4
E com números racionais e irracionais, isto é, com os outros números reais?
Neste caso não é tão fácil. É bom tentar outro caminho.
Observe que x² > 4 ⇔ x² – 4 > 0. Logo, resolver a inequação x² > 4 é equivalente a 
resolver a inequação x² – 4 > 0.
Para resolver a inequação x² – 4 > 0, devemos procurar os valores reais de x para 
os quais a função f(x) = x² – 4 seja positiva.
Encontrando as raízes, vamos esboçar o gráfico da função f(x) = x² – 4. As raízes 
correspondem aos valores de x para os quais f(x) = 0. Resolvendo a equação x² – 4 = 0, 
obtemos as raízes –2 e 2. Como o coeficiente a de x² é positivo (a = 1), a concavidade 
da parábola está voltada para cima. Veja:
Fundamentos da matemática 143
Assim, f(x) = x² – 4 > 0 quando x > –2 ou x < 2.
Ou seja, pelos cálculos, x pode assumir qualquer valor maior que –2 e menor 
que 2, desde que não seja 2. Porém, como se trata de uma medida de comprimento, o 
valor deve ser positivo, já que não há comprimento negativo.
Observação
Para resolver uma inequação a partir do gráfico da função, é fundamental que o 
esboço do gráfico contenha as raízes da função.
As inequações envolvendo uma função do 1.º grau também podem ser resolvidas 
sem auxílio do gráfico. Por exemplo, resolver a inequação 2x – 10 > 0.
Resolução
–4 4–3 3–2 2–1 10
y
–2 2
x
Se 2x – 10 > 0, então 2x > 10.
Se 2x > 10, então x > 10
2
, isto é, x > 5.
Assim, 2x – 10 > 0 quando x > 5.
Os conhecimentos sobre equações são utilizados na análise de domínios de fun-
ções e na resolução de alguns problemas práticos.
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G
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R
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Fundamentos da matemática 144
Exemplos:
1. Um terreno vai ser loteado. Os lotes, todos iguais, devem ter área superior 
a 400 m² e a largura de cada um deve ter 30 m a menos que o comprimento. 
Determine as dimensões desses lotes que satisfazem as condições exigidas.
Resolução
Considere x (em metros) a medida do comprimento do lote. Logo, a largura será 
dada por x – 30 (metros).
X – 30
X
Assim, a área de cada lote em função de x é dada por:
A = x (x – 30) = x² – 30x (metros quadrados).
A condição exigida é que a área de cada lote seja superior a 400 m². Logo, 
x² – 30x > 400 ou, o que é equivalente, x² – 30x – 400 > 0. 
Considerando f(x) = x² – 30x – 400, o problema consiste em determinar quais os 
valores reais de x para os quais f(x) > 0.
As raízes de f(x), dadas por x² – 30x – 400 = 0, são x’ = –10 e x” = 40. Como o coe-
ficiente a de x² é positivo (a = 1), a concavidade da parábola está voltada para cima. 
Veja o esboço do gráfico:
y
x
40–10
D
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Fundamentos da matemática 145
Com base no gráfico, temos x² – 30x – 400 > 0 quando x < –10 ou x > 40. Porém, 
só estamos interessados em números positivos. Logo, x > 40 m.
2. Qual é o domínio da função f(x) = – x2 + 4 ?
Resolução
Domínio é o conjunto dos valores reais de x para os quais a expressão, no caso 
–x2 + 4 , tenha significado.
No conjunto dos reais, uma raiz quadrada existe somente se o radicando é maior 
ou igual a zero. Neste exemplo, –x² + 4  0.
Assim, para encontrar o domínio da função f(x), basta resolver a inequação do 
2.º grau –x² + 4  0.
Considerando f(x) = –x² + 4, temos: raízes de f(x): –x² + 4 = 0. Logo, x’ = –2 e x” = 2.
No esboço do gráfico, temos como o coeficiente de x² um número negativo 
(a = –1). A concavidade da parábola está voltada para baixo:
y
x
2–2
Com base no gráfico, temos: –x² + 4  0 quando –2  x  2.
Portanto, o domínio da função f(x) = –x2 + 4 é o conjunto dos números reais x 
tais que –2  x  2 ou, simplesmente, é o intervalo fechado [–2, 2].
Outros exemplos:
• Tereza precisa resolver as seguintes inequações:
A = –2x² – x + 1 ≤ 0.
D
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Fundamentos da matemática 146
Vamos começar localizando a raiz da inequação, calculando Δ:
Δ = b2 – 4ac
Δ = (–1)2 – 4* (–2)*1
Δ = 1 + 8
Δ = 9
Vamos substituir para localizar x:
x = 
– (–1)  9
2*(–2)
x = 
1  3
–4
x’ = 
1 + 3
–4
= –
4
4
= –1
x” =
1 – 3
–4
=
2
4
=
1
2
Como solução, temos:
S = {x  R / x  –1 ou x  ½}, isto é, x pode assumir valores entre –1 e ½, conforme 
o gráfico: 
+–1 12
_ _
A) (x – 1) . (x + 2)  0
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Fundamentos da matemática 147
Vamos fazer a raiz de (x – 1) e ( x + 2) e estudar os seus sinais.
Cada um dos fatores (x – 1) ∙ (x + 2) representa uma função do 1.º grau. Assim, 
iniciamos pelo estudo dos sinais dessas expressões, que chamaremos de y e z, respec-
tivamente. Para y = x – 1 e z = x + 2, temos:
Se y = x – 1, então sua raiz é obtida fazendo x – 1 = 0 ⇔ x = 1.
Se z = x + 2, então sua raiz é obtida fazendo x + 2 = 0 ⇔ x = –2.
+
_
x – 1 = 0
1
a > 0
x = 1
+
_ –2
a > 0x – 2 = 0
x = –2
Observe o estudo dos sinais. Percebemos que antes do –2 era sinal negativo e, 
depois dele, sinal positivo. Também podemos observar que antes do 1 era negativo e, 
depois dele, era positivo.
A solução da “inequação produto” é obtida pela integração das análises das varia-
ções de sinais de y e z, representadas anteriormente. Após, aplicamos a regra de sinais 
do produto dos números reais e analisamos o resultado final encontrado.
Solução procurada
_
_
_
_+
+ +
+
+
–2 1
–2 1
Solução procurada
Observe que:
• Antes do –2 temos dois sinais negativos: (–) e (–). Sabemos que menos com 
menos dá positivo, por isso o sinal positivo antes do – 2.
• Entre –2 e 1 temos dois sinais, um deles negativo e o outro positivo: (–) e (+). 
Sabemos que mais com menos dá sinal negativo, por isso o sinal entre –2 e 1 é 
negativo.
• Depois do 1 temos dois sinais positivos: (+) e (+). Sabemos que mais com mais 
dá sinal positivo. Por isso depois do 1 temos um sinal positivo.
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Fundamentos da matemática 148
Então, analisando a inequação, temos (x – 1) . (x + 2)  0 e consideramos os valo-
res de x que dê MAIOR ou IGUAL a zero.
Portanto, S = {x e R/ x  –2 ou x  1}.
Outra maneira de dar a resposta é: S = ] – ∞; –2] ∪ [1; + ∞[ (lembre-se de que ∪ é 
o símbolo da união).
A) x² –3x – 4 > 0
x2 – 3x –  0
Δ = b2 – 4 . a . c
Δ = (–3)2 – 4 . 1 . (–4) = 9 + 16 = 25
– (–3)  25
2 . 1
3  5
2
x = =
–b  Δ
2 . a
x =
3 – 5
2
x1 = =
– 2
2
= –1
3 + 5
2
x2 = =
8
2
= 4
Lembrete: x¹ = x’ e x² = x”
Então: x² – 3x – 4 > 0, em que x > 4 ou x > –1.
Graficamente, essa expressão, em função de x, é uma parábola, uma função do 
2.º grau. Se estudarmos o sinal da função do 2.º grau, descobriremos para quais valo-
res de x essa expressão é positiva.
Fundamentos da matemática 149
Seu gráfico é:
–1
–1
1
1
 –2
–2
2
2
–3
–3
3–4
–4
4–5
–5
–6
–7
Estudando o sinal da função, temos:
–1 4
+ +
–
Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são:
x < −1 ou x > 4, e o conjunto solução da inequação é S = {x  R | x < –1 ou x > 4}.
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4�5 Funções
O preço que se paga por uma ligação telefônica é 
dado em função do tempo que se fala ao telefone�
O consumo de combustível de um veículo 
é dado em função do percurso percorrido�
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Com bastante frequência, nos deparamos com situações que envolvem relações 
entre duas grandezas variáveis. Acompanhe algumas dessas situações.
1. Uma caneca custa 30 reais. Se representarmos por x o número de canecas 
iguais a essa que queremos comprar e por y o preço que pagaremos, em reais, 
podemos organizar a seguinte tabela:
Número de canecas (x) Preço a pagar (y)
1 1 . 30 = 30
2 2 . 30 = 60
3 3 . 30 = 90
4 4 . 30 = 120
... ...
10 10 . 30 = 300
11 11 . 30 = 330
... ...
Observando a tabela, você percebe que o preço y a pagar depende do número x 
de canecas que forem compradas. Entre as grandezas y e x existe uma relação expressa 
pela sentença matemática y = x . 30 ou y = 30x.
Fundamentos da matemática 151
Você pode notar também que:
o número x de canecas é uma grandeza 
que varia de forma independente;!
o preço y a pagar é uma grandeza que varia de 
acordo com a grandeza número de canecas;!
a todos os valores de x estão associados 
valores de y;!
para cada valor de x está associado um 
único valor de y.!
Nessas condições, podemos dizer que:
O preço y a pagar é dado em função do número x de canecas adquiridas, e a 
sentença y = 30x é chamada lei de formação da função.
A variável x é chamada variável independente e a variável y, dependente da variável x. 
Uma vez estabelecida a relação entre as grandezas número de canecas e preço a 
pagar, podemos responder à seguinte questão:
Quanto vou pagar por 50 canecas iguais a essa?
Lei de formação da função é a regra matemática que define como tal função deve ser repre-
sentada, isto é, y = f(x) = ax + b, sendo a e b valores constantes.
y = 30x  y = 30 . 50  y = 1.500
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Fundamentos da matemática 152
Logo, vou pagar R$ 1.500,00 por 50 canecas.
Quando relacionamos duas variáveis por meio de uma função, devemos estar 
atentos aos valores que as variáveis podem assumir.
O perímetro y de um quadrado, por exemplo, é dado em função da medida do seu 
lado x pela lei de formação y = 4x. Nesse caso, x tem de ser um número real positivo, 
ou seja, x  IR*+ , pois não existe medida de lado nula ou negativa. Assim, x nunca po-
derá assumir o valor –2, por exemplo.
Como já vimos, os valores que y assumirá dependem dos valores de x. Para cada 
valor de x, teremos um valor correspondente de y.
Na função dada pela fórmula y =
 1 
x , por exemplo, a variável x não pode assumir o
valor zero, pois a fração 1 
0
 (divisão por zero) não existe. Assim, a variável x pode assumir
qualquer valor real, menos o zero, ou seja, x  IR*.
De modo geral, em uma função:
O conjunto de valores que a variável x pode assumir se chama domínio da função e 
é indicado por D. O valor da variável y correspondente a determinado valor de x é 
chamado imagem do número x dado pela função. O conjunto formado por todos os 
valores de y que correspondem a algum x do domínio é chamado conjunto imagem 
da função e é indicado por Im.
Veremos outras situações a seguir.
2. O perímetro de um triângulo equilátero é dado em função da medida do seu 
lado. Sendo x a medida do lado e y o perímetro do triângulo equilátero, essa 
função é representada pela seguinte sentença matemática: y = 3x.
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 c
ut
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ce
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Fundamentos da matemática 153
Com base no que vimos anteriormente, o domínio da função é D = IR*+ ou 
D = {x  IR I X > 0}.
Veja as imagens de alguns possíveis valores de x do domínio dessa função:
• se x = 3, então y = 3 . (3) = 9. O número 9 é a imagem do número 3 pela função 
dada;
• se x = 2,5, então y = 3 . (2,5) = 7,5. O número 7,5 é a imagem do número 2,5 pela 
função dada;
• se x = 10 , então y = 3 . ( 10 ) = 3 10 . O número 3 10 é a imagem do número 
10 pela função dada.
Uma função pode ser de 1.º grau ou quadrática.
4�5�1 Funções de 1�º grau (ou função afim)
Acompanhe as seguintes situações:
1. Uma empresa de construção de barcos segue um modelo básico, com peças de 
formato-padrão com proporcionalidade entre as partes. Cada barco deve ser 
construído com base no molde e no tamanho das peças calculadas de acordo 
com o comprimento desejado do barco, dado pela distância entre a popa e a 
proa, em uma linha que corta o fundo, chamada risco-guia central (em azul).
costado – E
costado – D
fundopopa
pr
oa
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Fundamentos da matemática 154
Vamos supor, simplificadamente, que para calcular a quantidade de madei-
ra necessária para construir um barco, que vamos definir como y, multiplicamos o 
comprimento da risca dessa linha (x) por 8. Sendo assim, a função que representa a 
quantidade de madeira, em metros quadrados, para a construção do barco é y = 8x.
Dizemos que y é função de x, isto é, y = f(x).
A empresa de barco tem seis tamanhos de barco com medida do risco-guia cen-
tral conforme a figura a seguir. Qual a quantidade madeira usada para cada barco? 
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A = 6,3 m B = 5,0 m C = 4,2 m D = 3,7 m E = 2,5 m
Podemos calcular a quantidade de madeira para cada barco de acordo com a ta-
bela a seguir, aplicando os valores do risco-guia central na equação y = 8x.
Uma função é chamada função polinomial do 1.º grau quando é definida pela 
sentença matemática y = ax + b, com a  IR, b  IR e a ≠ 0. Nossa função é tipicamente 
polinomial, sendo a = 8 e b = 0.
Modelo do barco
Comprimento do 
risco-guia central (x)
Equação
Quantidade de 
madeira (em m2) (y)
A 6,3 y = 8 . (6,3) 50,4 m2
B 5,0 y = 8 . (5,0) 40,0 m2
C 4,2 y = 8 . (4,2) 33,6 m2
D 3,7 y = 8 . (3,7) 29,6 m2
E 2,5 y = 8 . (2,5) 20,0 m2
Fundamentos da matemática 155
Podemos representar graficamente a função de quantidade de madeira em rela-
ção ao comprimento do barco plotando os valores de y em um eixo vertical e os va-
lores de x em um eixo horizontal. Usamos os valores de y e x como coordenadas, na 
forma de (x, y), que representam cada ponto no gráfico.
0 1 5432 6 7
10
20
30
40
50
60
Comprimento do risco guia central
(x)
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 m
ad
ei
ra
 (e
m
 m
2 )
(y
)
A = (6,3; 50,4)
B = (5; 40)
C = (4,2; 33,6)D = (3,7; 29,6)
E = (2,5; 20)
Qualquer função pode ser representada graficamente. Seu formato dependerá do 
tipo de função. No caso da função de 1.º grau, o gráfico assume formato de uma reta, 
que pode ter inclinação positiva (crescente), se o sinal de a for positivo, ou negativa 
(decrescente), se o sinal for negativo.
Quando a > 0, a será positivo, como no exemplo da quantidade de madeira do 
barco. Observe mais um exemplo.
2. O custo total de produção da empresa Redde Bonés é a soma de custos fixos, 
que independem da quantidade produzida, e custos variáveis, que são função 
da quantidade de bonés que serão produzidos (q). O gerente financeiro definiu o 
custo total na seguinte função: CT = 10.000 + 15q, sendo 10.000 o custo fixo, ou 
a constante a da equação; e 15 o custo por boné, ou o coeficiente b da equação.
O diretor pediu para que fosse calculado o custo total com base nestas quantidades:
q1 q2 q3 q4 q5 q6
10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000
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Fundamentos da matemática 156
Resolução
Vamos aplicar a função de custo total com base nos valores de q definidos pelo 
diretor.
Opção q CT 
A 10.000 10.000 + 15 . (10.000) = 10.000 + 150.000 = 160.000
B 20.000 10.000 + 15 . (20.000) = 10.000 + 300.000 = 310.000
C 30.000 10.000 + 15 . (30.000) = 10.000 + 450.000 = 460.000
D 40.000 10.000 + 15 . (40.000) = 10.000 + 600.000 = 610.000
E 50.000 10.000 + 15 . (50.000) = 10.000 + 750.000 = 760.000
F 60.000 10.000 + 15 . (60.000) = 10.000 + 900.000 = 910.000
Podemos representar a função de produção graficamente, conforme a imagem na 
sequência. Vamos reduzir a quantidade de zeros para facilitar a plotagem no gráfico, isto 
é, dividir todos os valores por 1.000 e cortar três zeros.
(10; 160)
(20; 310)
(30; 460)
(40; 610)
(50; 760)
(60; 910)
0 10 50403020 60 70
100
200
300
400
500
q (em mil unidades)
600
700
800
900
1000
CT
 (R
$)
Logo, temos uma função com inclinação positiva, já que x é positivo.
Quando a < 0, isso indica que a será negativo. 
3. O gerente comercial da mesma empresa está tentando estabelecer o preço 
dos bonés por meio de observações do mercado. Ele fez pesquisa com os con-
sumidores e descobriu que o preço que eles estão dispostos a pagar varia ne-
gativamente em função da quantidade de bonés que adquirem. Ele chegou à 
seguinte função para estabelecer o preço: p = 65 – 5q. Por meio dessa função, 
calculou o preço com base nas quantidades que os clientes comumente adqui-
rem do produto em uma compra.
D
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 M
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qu
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Fundamentos da matemática 157
q Função P
1 p = 65 – 5 . (1) 60
2 p = 65 – 5 . (2) 55
3 p = 65 – 5 . (3) 50
4 p = 65 – 5 . (4) 45
5 p = 65 – 5 . (5) 40
6 p = 65 – 5 . (6) 35
7 p = 65 – 5 . (7) 30
8 p = 65 – 5 . (8) 25
9 p = 65 – 5 . (9) 20
10 p = 65 – 5 . (10) 15
Podemos observar que, conforme o valor de x aumenta, o valor de y diminui, en-
tão dizemos que quando a < 0 a função é decrescente.
Com os valores de q e p, formamos as coordenadas que são pares ordenados que 
colocamos no plano cartesiano para formar a reta, sendo q = x e p = y. Veja:
O gerente então representou em um gráfico para apresentar ao diretor da empresa:
(1; 60)
(2; 55)
(3; 50)
(4; 45)
(5; 40)
(6; 35)
(7; 30)
(8; 25)
(9; 20)
(10; 15)
0 2 864 10 12
10
20
30
q (em unidades)
40
50
60
P
 (R
$)
70
Portanto, temos:
a > 0 (+a)  gráfico com reta crescente.
a < 0 (–a)  gráfico com reta decrescente.
D
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G
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Fundamentos da matemática 158
Para simplificar a representação gráfica de uma função do 1.º grau, basta indicar 
apenas dois valores pra x, pois o gráfico é uma reta, e uma reta é formada por, no mí-
nimo, dois pontos:
Apenas um ponto corta o eixo x, que teria y = 0.
Apenas um ponto corta o eixo y, que teria x = 0.
Vamos aplicar essa propriedade à função de preço dos bonés. Para descobrir o 
valor do eixo y, queremos a coordenada (0, p), isto é, basta substituir q por 0 e desco-
briremos por qual preço o consumidor não compraria nenhuma unidade de boné:
p = 65 – 5 . (0)  p = 65
Também queremos descobrir qual seria a quantidade de bonés demandada caso o 
preço fosse 0, ou seja, encontrar a coordenada (q, 0). Para isso, basta substituir p por 0:
0 = 65 – 5q  5q = 65  q = 13
Portanto, podemos traçar uma reta somente com os dois pontos:
0 2 864 10 14
10
20
30
q
40
50
60
P 
(R
$)
70
12
(0; 65)
(13; 0) 
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: A
na
 L
ui
za
 F
er
na
nd
es
 M
ar
qu
es
Fundamentos da matemática 159
Se o domínio da função é um intervalo, o gráfico é representado por uma linha 
contínua.
Uma função deve associar a cada elemento x do conjunto domínio um único ele-
mento y do contradomínio, portanto nem todo desenho feito em um plano cartesiano 
é gráfico de função. Observe os exemplos:
y
x
Intervalo
Os gráficos 1 e 2 representam funções, pois cada elemento x se relaciona a um 
único elemento y. Os gráficos 3 e 4 não representam funções, já que há elementos em 
x, como o representado pela reta pontilhada, que se relacionam com mais de um ele-
mento de y.
O domínio e a imagem de uma função podem ser representados por eixos de um 
plano cartesiano. Assim, representam-se os pares ordenados que verificam a função 
por pontos nesse plano cartesiano e, juntos, formam o gráfico da função.
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: A
na
 L
ui
za
 F
er
na
nd
es
 M
ar
qu
es
y
x
Gráfico 1
y
x
Gráfico 2
y
x
Gráfico 3
y
x
Gráfico 4
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: A
na
 L
ui
za
 F
er
na
nd
es
 M
ar
qu
es
Fundamentos da matemática 160
4�5�2 Funções quadráticas (ou função polinomial do 2�º grau)
Podemos observar na natureza, ou mesmo nas construções arquitetônicas, a re-
presentação de uma parábola. A função quadrática tem como representação geomé-
trica uma parábola com concavidade voltada para cima ou para baixo, de acordo com o 
valor do coeficiente a.
©
 s
bo
ri
so
v 
/ /
 F
ot
ol
ia
©
 R
aw
pi
xe
l /
 / 
Fo
to
lia
. (
A
da
p
ta
do
).
A função quadrática está presente em inúmeras situações cotidianas. Na Física, 
ela tem um papel importante na análise dos movimentos uniformemente variados 
(MUV), pois, em razão da aceleração, os corpos variam a velocidade e o espaço em 
função do tempo. Na economia, temos a aplicação da função quadrática para estabe-
lecer o custo adicional de cada unidade produzida, chamada de custo marginal.
Observe o exemplo:
©
 M
ar
iu
sz
 Ś
w
it
ul
sk
i /
 / 
Fo
to
lia
1. A função a seguir representa uma pista de skate em função do espaço disponí-
vel para construção da pista, dado por x . y = x² – 4. Consideramos que o pon-
to 0 (x = 0) seja o ponto central da pista, isto é, o momento de curvatura = 0. 
Nesse caso, dividimos a pista em duas metades, uma de comprimento positivo 
e outra de comprimento negativo, que se afasta à esquerda do ponto de reta.
Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função, sendo x qualquer nú-
mero real.
Fundamentos da matemática 161
Inicialmente, vamos atribuir alguns valores reais arbitrários para x, como os valores 
–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3.
Compondo a tabela para determinar os pares (x, y), temos:
x y
–3 5
–2 0
–1 –3
0 –4
1 –3
2 0
3 5
Agora, precisamos localizar esses pontos no plano cartesiano.
A pista de skate é representada pelafunção y² = x² – 4. Podemos esboçar o grá-
fico indicando o conjunto de todos os pontos (x, y) e considerando os números reais. 
Chamamos de parábola a curva formada por esses pontos. O ponto V, que você obser-
va na figura, chama-se vértice da parábola.
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
6
–1 0 1 2 3 4–2–3–4
V
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: A
na
 L
ui
za
 F
er
na
nd
es
 M
ar
qu
es
Fundamentos da matemática 162
A concavidade da parábola será voltada para cima se o valor de a for positivo, e 
para baixo se o valor de a for negativo.
2. Vamos representar a função f(x) = 2x² + 3x – 2:
Portanto, para construir o gráfico de uma função quadrática no plano carte-
siano, é necessário:
• determinar as coordenadas de vértice: V (x, y);
• organizar uma tabela atribuindo à variável x alguns valores menores que x, e 
alguns valores maiores que x;
• marcar, no plano cartesiano, os pontos (x, y) determinados;
• unir esses pontos e construir a parábola.
–2.5 –2.0 –1.5 –1.0 –0.5 0.5 1.0 1.5
x
y
–1
–2
–3
Como o valor do coeficiente a é positivo (a = 2), a concavidade da parábola está 
voltada para cima. Podemos concluir também que a parábola tem ponto de mínimo, 
sem olhar o gráfico, já que a concavidade da parábola está voltada para cima (a > 0). 
Para calcular os pontos onde a parábola corta o eixo y, consideramos que x = 0, 
então:
• 2x² + 3x – 2 = 0 (substituímos o x por 0).
• 2 (0)² + 3 (0) – 2 = –2 (valor onde a parábola corta o eixo y).
• Os pontos são (0, –2), ou seja, 0 para x e –2 para y.
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: A
na
 L
ui
za
 F
er
na
nd
es
 M
ar
qu
es
Fundamentos da matemática 163
Para calcularmos as coordenadas do vértice V (xv, yv) da parábola, usaremos as 
fórmulas:
xv = – 
 b 
2a e
yv = – 
 Δ 
4a, em que Δ = b
2 – 4ac.
O ponto médio será:
– b Δ
2a
x1 = e x2 =
– b – Δ
2a
x1 + x2
2xv =
xv = 2
– b + Δ
2a
+
– b + Δ
2a
 xv = 2
2a
– b + Δ – b – Δ
xv =
– 2b
2a
2
 xv =
–2b
2
1
2
.  xv = – 
b
2a
yv = a . (xv)
2 + b . xv + c  yv = a . 
2a
–b
2
 + b . 
2a
–b + c
yv = a . 
4a2
b2 + 
2a
–b2 + c  yv = 
4a
b2 + 
2a
–b2 + c
yv =
b2 – 2b2 + 4ac
4a
 yv =
–b2 + 4ac
4a
yv =
–(b2 + 4ac)
4a
Assim,
Assim, encontramos o xv. Para encontrar o valor do yv basta aplicarmos o valor do 
xv na lei da função quadrática:
f(x) = ax2 + bx = c
Fundamentos da matemática 164
xv = –
b
2a
= 3
2(2)
= 3
4
= 0,75
yv = –
Δ
4a
= – 25
4(2)
= – 3,125
yv =
–Δ
4a
Como Δ = b2 – 4ac, temos:
O vértice da parábola é calculado a partir de xv e yv utilizando as fórmulas:
Para calcular o yv teremos que calcular o Δ, então Δ = b
2 – 4ac, substituindo com 
os valores da função Δ = 32 – 4(2)(–2) = 25. O delta (Δ) é 25.
Substituindo na fórmula a seguir:
Então, os valores xv e yv são, respectivamente, 0,75 e –3,125.
O vértice da parábola é (0,75; –3,125).
3. g(x) = –2x² + 3x – 2
–2.0 –1.5 –1.0 –0.5 0.5 1.0 1.5
x
y
–1
–2
–3
2.0 2.5
Como o valor do coeficiente a é negativo (a = –2), a concavidade da parábola está 
voltada para baixo. Podemos concluir também que a parábola tem ponto máximo, sem 
olhar o gráfico, já que a concavidade da parábola está voltada para baixo (a < 0).
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: A
na
 L
ui
za
 F
er
na
nd
es
 M
ar
qu
es
Fundamentos da matemática 165
Para calcular os pontos onde a parábola corta o eixo y, consideramos que x = 0, 
então:
• –2x² + 3x – 2 = 0 (substituímos o x por 0).
• –2 (0)² + 3 (0) – 2 = –2 (valor onde a parábola corta o eixo y).
• Os pontos são (0, –2).
O vértice da parábola é calculado a partir de xv e xy utilizando as fórmulas:
xv = –
b
2a
= 3
2(–2)
= 3
–4
= –0,75
Para calcular o yv teremos que calcular o Δ, então Δ = b
2 – 4ac, substituindo com 
os valores da função, Δ = 32 – 4(–2)(–2) = –7. Quando o delta (Δ) é negativo, não temos 
raízes, então Δ = ∅.
Se Δ < 0, a parábola não intercepta o eixo x, pois a função não tem raiz real.
4. Veja no gráfico em que a ordenada do ponto de interseção do gráfico da fun-
ção f(x) = x² + 6x + 9 com o eixo y é o valor de c, ou seja, 9. 
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
9
–1 1–2–3–4–5–6
x
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: A
na
 L
ui
za
 F
er
na
nd
es
 M
ar
qu
es
y
8
Fundamentos da matemática 166
Para calcular os pontos onde a parábola corta o eixo y, consideramos que x = 0, 
então:
• x² + 6x + 9 = 0 (substituímos o x por 0).
• (0)² + 6 (0) + 9 = 9 (valor onde a parábola corta o eixo y).
• Os pontos são (0, 9).
O vértice da parábola é calculado a partir de xv e yv utilizando as fórmulas:
xv = –
b
2a
= 6
2(1)
= 6
2
= –3
Para calcular o yv, teremos que calcular o Δ, então Δ = b
2 – 4ac, substituindo com 
os valores da função Δ = 62 – 4(1)(9) = 0. O delta (Δ) é 0.
Substituindo na fórmula a seguir:
yv = –
Δ
4a
= – 0
4(2)
= 0
Então os valores xv e xy são, respectivamente, –3 e 0.
O vértice da parábola é (–3, 0).
O coeficiente c da função f(x) = ax² + bx + c é a ordenada do ponto de interseção 
da parábola com o eixo y. O valor de c é de grande importância para traçarmos um grá-
fico, além de nos fornecer, em alguns problemas, os valores iniciais de uma função. Por 
exemplo, na função velocidade de um móvel, temos que quando t = 0 (no tempo igual 
zero, ou seja, no início) a velocidade é dada pelo valor do coeficiente c.
A parábola pode interceptar o eixo x de três maneiras diferentes. Para cada uma 
delas, existem duas possibilidades: a concavidade pode ser voltada para cima ou para 
baixo. Logo, as parábolas que representam os gráficos de funções quadráticas têm seis 
configurações diferentes:
Fundamentos da matemática 167
Se Δ > 0, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes, x1 e x2:
y
x
x1 x2
0
a > 0
y
x
x1 x2
0
a < 0
Exemplo: y = 2x² – x – 3. Se a = 2 (a > 0), então Δ = (–1)² – 4 . 2 . (–3) = 25, portanto Δ > 0.
Se Δ > 0 = 0, a parábola intercepta o eixo x em um único ponto, x1 = x2:
y
x
x1 = x2
0
a > 0
y x
0
a < 0
x1 = x2
Exemplo: y = –x² + 2x – 1. Se a = –1 (a < 0), então, Δ = (2)² – 4 . (–1) . (–1) = 0, 
portanto Δ = 0.
Se Δ < 0, a parábola não intercepta o eixo x, pois a função não tem raiz real:
y
x
0
a > 0
y x
0
a < 0
Exemplo: y = –x² + x – 2. Se a = –1 (a < 0), então, Δ = (1)² – 4 . (–1) . (–2) = –7, 
portanto Δ < 0.
D
es
ig
n 
G
rá
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 L
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 F
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nd
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 M
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 M
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 L
ui
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 F
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na
nd
es
 M
ar
qu
es
Fundamentos da matemática 168
Outros tipos de funções
As funções estão em todas as partes para representar diversas relações. Na eco-
nomia, uma função muito utilizada é a cúbica, que representa a função de produção 
em relação à quantidade de insumos de produção, geralmente o trabalho.
Observe uma função tipicamente de produção: y = x3 + x2 + 2x, sendo y a quanti-
dade produzida e x a quantidade de horas de trabalho. 
Veja na sequência a representação gráfica da função de produção.
0 2 64 8 10 12
x
200
400
600
800
1000
1200y
Representamos, nessa função, apenas valores iguais ou maiores que 0, já que não 
existem horas negativas. Poderíamos então dizer que, nesse caso, y = {f(x)| x ≥ 0}. 
Para ver a função tipicamente cúbica, vamos supor que essa equação se refira a 
outra representação, por exemplo, à textura de determinado componentequímico em 
função da temperatura externa. Nesse caso, teríamos:
0
–500
–1000
–1500
500
1000
1500
x
y
–10–15 15105
D
es
ig
n 
G
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 L
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 F
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nd
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 M
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G
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co
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na
 L
ui
za
 F
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na
nd
es
 M
ar
qu
es
–5
0
Fundamentos da matemática 169
Observe que, nesse caso, x pode assumir valores negativos, já que existe tempe-
ratura negativa. Sendo assim, não há restrição aos valores, desde que façam parte do 
conjunto de números reais (R). 
Matematicamente podemos dizer que as funções cúbicas têm sempre um zero, 
(tomam valores que vão de –∞ a + ∞), mas podem ter até três zeros distintos.
As curvas cúbicas não têm nenhum eixo de simetria. Vamos ver a seguir três fun-
ções consideradas como três protótipos:
f(x) = x3
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 
g(x) = x3 + x h(x) = x3 – x
Se um ponto (x, y) está em uma destas curvas, também está o ponto (–x, –y) si-
métrico em relação à origem. Estas três funções são chamadas ímpares.
Cada um dos gráficos das figuras 1 e 2 atravessa o eixo do x exatamente em um 
ponto, mesmo que o gráfico se mova para cima ou para baixo. 
Na figura 3, o gráfico atravessa o eixo do x em três pontos distintos. Movendo-o 
para cima ou para baixo, não se altera sua forma, mas o número de zeros da função 
pode mudar para 2 ou 1.
A determinação exata dos zeros de uma função cúbica é equivalente à determina-
ção das raízes de uma equação do 3.º grau.
Outro tipo de função bastante utilizado na economia é a função exponencial, na 
forma de y = y = ax, que é utilizada, por exemplo, para definir a função de produção 
chamada Cobb-Douglas, em função de produção de longo prazo com as variáveis capi-
tal (K) e trabalho (L), considerando-se o capital constante, isto é, a quantidade produ-
zida varia em função da quantidade de trabalho empregada: F(L) = K . Lx, sendo K uma 
constante.
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: A
na
 L
ui
za
 F
er
na
nd
es
 M
ar
qu
es
Fundamentos da matemática 170
A forma de funções exponenciais é ax, sendo a uma constante. Veja o gráfico a se-
guir para a função 2x:
1200
1000
800
600
400
200
0 2 4 6 8 10 12
Nesse caso, dizemos que a função cresce exponencialmente em função de x infi-
nitamente, com variação de y cada vez maior em relação ao domínio anterior. 
Veja a seguir as formas típicas de uma função exponencial:
y
x0
a > 0
y
x0
0 < a < 1
1 1
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: A
na
 L
ui
za
 F
er
na
nd
es
 M
ar
qu
es
D
es
ig
n 
G
rá
fi
co
: A
na
 L
ui
za
 F
er
na
nd
es
 M
ar
qu
es
Fundamentos da matemática 171
Referências
ALMANAQUE Abril. Mundo. 29. ed. São Paulo: Abril, 2003. p. 57.
BIANCHINI, E. Matemática. 5. ed. São Paulo: Moderna, 2002. 
BOYER, C. B. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. 
EVES, H. W. Introdução à História da Matemática. 2. ed. Campinas: Editora da 
Unicamp, 1997.
IEZZI, G., et al. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2010, v. 2.
LIMA, E. L. A Equação do Terceiro Grau. Revista Matemática Universitária, n. 5, jun. 
1987.
LIMA, E. L., et al. A Matemática do Ensino Médio. SBM. Revista do Professor de 
Matemática (RPM), n. 39, p. 54. v. 1.
LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A Matemática do 
Ensino Médio, v. 1, SBM. Revista do Professor de Matemática (RPM), n. 39, p. 54.
SILVA, E. M., SILVA, S. M. Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: 
Atlas, 2002.
RELATÓRIO DA ONU mostra população cada vez mais urbanizada, mais da metade 
vive em zonas urbanizadas ao que se podem juntar 2,5 mil milhões em 2050. UNRIC. 
Disponível em: <http://www.unric.org/pt/actualidade/31537-relatorio-da-onu-mostra-
-populacao-mundial-cada-vez-mais-urbanizada-mais-de-metade-vive-em-zonas-urba-
nizadas-ao-que-se-podem-juntar-25-mil-milhoes-em-2050>. Acesso em: 13/01/2015.
Fundamentos da matemática 172
Símbolos e fórmulas 
Equações e inequações
Equação de primeiro grau: y = ax + b
Inequação de primeiro grau: y < ax + b
y > ax + b
y ≤ ax + b
y ≥ ax + b
Equação de segundo grau: y = ax2 + bx + c
Fórmula de Bháskara  
–b  b2 – 4ac
2a
x = 
–b + Δ
2a
x' =
–b – Δ
2ax" =
Inequação de primeiro grau: y < ax2 + bx + c
y > ax2 + bx + c
y ≤ ax2 + bx + c
y ≥ ax2 + bx + c
y ≠ ax2 + bx + c
Fórmula de Bháskara  
–b  b2 – 4ac
2a
x > 
–b + Δ
2a
x' >
–b – Δ
2a
x" >
Obs.: Substitui-se o sinal de > pelo da inequação na fórmula para encontrar os valores.
Fundamentos da matemática 173
Funções e frações
Função de primeiro grau: y = a + bx
b < 0 = função decrescente
b > 0 = função crescente
Função de segundo grau ou quadrática: y = ax2 + bx + c
a < 0 = concavidade para baixo 
a > 0 = concavidade para cima
Vértice da parábola:
xv = –
b
2a
e
yv = –
b2 – 4ac
4a
Pontos médios: 
–b Δ
2a
x1 = e 
–b – Δ
2a
x2 =
Função cúbica: y = ax3 + bx2 + cx
Função exponencial: y = ax
Fundamentos da matemática 174