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Exerćıcios de Análise Matemática II D
Ano Lectivo 2009/2010 - 1o Semestre
1. Rectas, planos e superf́ıcies quádricas
1.1 Considere a equação x = 2.
(a) Em R, represente geometricamente o conjunto dos pontos que verificam a equação.
(b) Em R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos que verificam a equação.
(c) Em R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que verificam a equação.
1.2 Considere a equação y = x + 1.
(a) Em R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos que verificam a equação.
(b) Em R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que verificam a equação.
1.3 Considere os pontos (1, 0, 2) e (1, 1, 3) em R3. Escreva, de três formas diferentes, as
equações da recta que passa pelos pontos dados.
1.4 Considere os pontos P = (1, 0, 2), Q = (1, 1, 3) e R = (−1, 1, 0) em R3.
(a) Determine
−→
PQ ×−→PR
(b) Escreva a equação do plano que passa pelos pontos P , Q e R.
1.5 Considere a equação x2 + y2 = 2.
(a) Em R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos que verificam a equação.
(b) Em R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que verificam a equação.
1.6 Esboce em R3 as superf́ıcies quádricas:
(a) x2 + 2y2 + z2 = 1
(b) x2 + z2 = 9
(c) x2 + y2 = z2
(d) z = x2 + y2
1
(e) z = x2 + y2 − 6
(f) z = x2 − y2
(g) x2 − y2 − z2 = 9
(h) x2 + y2 − z2 = 9
1.7 Esboce a região englobada pelas superf́ıcies de equação x2 = y2 + z e x2 = 4 − 2y2 − 2z e
descreva a sua intersecção.
2
2. Coordenadas polares, esféricas e ciĺındricas
2.1 Escreva em coordenadas polares e represente geometricamente os conjuntos definidos pelas
seguintes equações:
(a) x2 + y2 > 1, x2 + y2 ≤ 4, x > 0, y ≥ 0;
(b) 0 < x2 + y2 ≤ 1, −
√
3 x ≤ y ≤
√
3
3
x.
2.2 Escreva em coordenadas cartesianas e represente geometricamente os conjuntos definidos
em coordenadas polares por:
(a) θ =
π
4
;
(b) −π < θ ≤ −π
3
e 1 < ρ ≤ 3.
2.3 Escreva em coordenadas esféricas ou ciĺındricas os seguintes conjuntos:
(a) {(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y2 + z2 < 2, z ≥ 0, y ≥ 0, x > 0};
(b) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 4, −y ≤ x ≤ y};
(c) {(x, y, z) ∈ R3 : z2 ≤ x
2 + y2
2
, 0 < z < 2};
(d) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 2, 0 < z < 8 − y}.
2.4 Represente geometricamente a região do espaço limitada pelos parabolóides z = x2 + y2 e
z = 2 − x2 − y2. Descreva essa região em coordenadas ciĺındricas.
2.5 Descreva em coordenadas cartesianas as superf́ıcies dadas pelas equações:
(a) ϕ =
3π
4
;
(b) 0 ≤ ϕ ≤ π
6
e ρ ≤ 3;
(c) z = ρ;
(d) θ =
π
6
;
(e) ρ sen(ϕ) = 4.
2.6 Escreva em coordenadas esféricas a equação do hiperbolóide x2 + y2 − z2 = 4.
2.7 Represente geometricamente a região do espaço limitada pelas superf́ıcies e z =
√
x2 + y2
z = 1 −
√
1 − x2 − y2. Descreva essa região em coordenadas ciĺındricas.
3
2.8 Represente geometricamente a região do espaço limitada pelas superf́ıcies z =
√
x2 + y2 e
z =
√
1 − x2 − y2. Descreva essa região em coordenadas esféricas.
4
3. Noções topológicas em Rn
3.1 Determine o interior, o fecho e a fronteira de cada um dos seguintes conjuntos:
(a)
{
1
n2
: n ∈ N
}
;
(b) Q;
(c) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 4};
(d)
{
(x, y) ∈ R2 : x
2
4
+
y2
9
> 1
}
.
3.2 Para os seguintes conjuntos dê uma interpretação geométrica e indique o seu interior, a
sua fronteira e o seu exterior. Indique ainda se o conjunto é aberto, fechado ou limitado.
(a) A = N × N.
(b) B = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 < 4}.
(c) C = {(x, y) ∈ R2 : y > 2x}.
(d) D = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}.
(e) E =
{
(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤
√
4 − (x2 + y2)
}
.
(f) F = {(x, y) ∈ R2 : 3x2 + 2y2 < 6}.
(g) G = {(x, y) ∈ R2 : y > x2 e |x| < 2}.
(h) H = {(x, y) ∈ R2 : (x2 + y2 − 1)(4 − x2 − y2) > 0}.
(i) I =
{
(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ y
x
≤ 1 ∧ x ∈ R\{0} ∧ y cos(x) ≥ 0
}
.
(j) J = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < 4 + z2 ∧ |z| < 3}.
(k) K = {(x, y) ∈ R2 : (x − 2y)(2x + y) ≥ 0 ∧ sen(x2 + y2) 6= 0 ∧ xy > 0}.
3.3 Determine o domı́nio de cada uma das funções e dê uma interpretação geométrica. Indique
também o interior, fronteira, aderência e derivado de cada um dos conjuntos. Diga ainda
se o conjunto é aberto, fechado ou limitado.
(a) f(x, y) =
√
x2 + y2 − 4 − log(−x2 − y2 + 9).
(b) f(x, y, z) =
√
1 − x2 − y2 − z
2
4
.
(c) f(x, y) =
(
log(y + x + 1),
√
xy,
1
√
4 − x2 − y2
)
.
5
(d) f(x, y) =
(
arcsen
(y
x
)
,
√
y sen x
)
.
(e) f(x, y) =
1
log(x2 + y − 2) +
√
y −
√
x.
(f) f(x, y) =
(
√
(x − 2y)(2x + y)
cos(x2 + y2)
, log(xy)
)
.
(g) f(x, y) =
√
y4 − x2 + log(4 − y
2)
x
.
3.4 Considere os conjuntos
A = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x2 + y − 2 ∧ x 6= 1} e B = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ R+0 ∧ y −
√
x ≥ 0}.
(a) Dê uma interpretação geométrica de cada um dos conjuntos.
(b) Indique o interior, a fronteira e o exterior de cada um dos conjuntos dados. Indique
ainda se cada um desses conjuntos é aberto, fechado ou limitado.
(c) Considere o conjunto C = A ∩ B e dê uma interpretação geométrica desse conjunto.
(d) Em relação a C indique o interior, a fronteira e o exterior desse conjunto. Indique
ainda se C é aberto, fechado ou limitado.
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