Nota de Aula I(Modelagem )

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Pontifícia Universidade Católica de Goiás 
–
 
PUC Goiás
 
Cursos de Educação à Distância PUC Goiás 
-
 
ENGENHARIAS
 
Escola de Engenharia
 
NOTA DE AULA I
OBS: Este é um material de apoio e não deve substituir o livro texto. Portanto, os alunos devem complementar seus estudos usando o livro texto (tanto na teoria quando aos exercícios). 
MEDIDAS
	NOTAÇÃO CIENTÍFICA
	Para expressar grandezas muito grandes ou muito pequenas, geralmente usamos a notação científica, que emprega potências de 10.
	Nesta notação, o número é expresso como o produto de um número compreendido entre 1 a 10 por uma potência de 10 adequada.
	
Exemplos:
52300 = 5,23 × 104
			0,00003 = 3 × 10-5
ORDEM DE GRANDEZA
	A ordem de grandeza de um número está relacionada à potência de 10 que aparece quando este número está escrito em notação científica. Quando estamos interessados apenas em estimar o valor de uma grandeza, ou seja, ter apenas uma noção do valor desta grandeza, podemos usar a ordem de grandeza mais próxima do valor desta grandeza. A ordem de grandeza mais próxima de um número é a potência de 10 mais próxima deste número.
	Exemplos:
		A ordem de grandeza mais próxima de 2,4 × 104 é 104
		A ordem de grandeza mais próxima de 8,9 × 104 é 105
MEDINDO GRANDEZAS
	As grandezas físicas devem ser medidas através de comparação com um padrão – por exemplo, metro para o comprimento.
	Os padrões fundamentais devem ser acessíveis e invariáveis. Se definirmos o padrão de comprimento como a distância entre o nariz da pessoa e o seu dedo indicador mantendo um braço estendido, temos certamente um padrão acessível que irá, obviamente variar de pessoa para pessoa.
	Antigamente, as unidades de comprimento eram quase sempre derivadas das partes do corpo do rei de cada país: a jarda, o pé, a polegada.
	
O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (Sistema Métrico)
	Em 1971, a 14ª conferência geral sobre pesos e medidas escolheu sete grandezas como fundamentais formando desta maneira a base do Sistema Internacional de Unidades (S.I).
	GRANDEZA 
	UNIDADE NO SI
	Comprimento
	metro (m)
	Massa
	quilograma (kg)
	Tempo 
	segundo (s)
	Corrente Elétrica
	ampére (A)
	Temperatura 
	kelvin (K)
	Quantidade de Matéria
	mol (mol)
	Intensidade Luminosa
	candela (cd)
	As outras grandezas físicas são definidas em termos das grandezas fundamentais.
	A seguir vamos citar o padrão das três grandezas fundamentais (comprimento, massa e tempo) que usaremos neste curso.
	COMPRIMENTO: A unidade de comprimento – o metro – é definida como a distância percorrida pela luz durante um intervalo de tempo precisamente especificado.
	TEMPO: A unidade de tempo – o segundo – é definida tem termos das oscilações de luz emitida por uma fonte atômica (Césio – 133).
MASSA: A unidade de massa – o quilograma – é definida em termos de um protótipo particular de platina iridiada mantida próxima a Paris na França.
Quando lidamos com grandeza muito grande ou muito pequena é comum usarmos alguns prefixos como fator de multiplicação. Na tabela a seguir temos alguns destes prefixos. 
....................................................................
Fator Prefixo Símbolo
.....................................................................
109 giga G
106 mega M
103 quilo k
10-2 centi c
10-3 mili m
10-6 micro µ
10-9 nano n
10-12 pico p
 Algumas unidades são nomeadas por meio do nome de pessoas, tal como newton e joule. Nestes casos o nome da unidade é escrito com a letra inicial minúscula, mas os símbolos usados para sua representação são letras maiúsculas.
Exemplos: newton (N); joule (J)
 Quando temos o valor de uma grandeza com sua respectiva unidade é importante tentar visualizar fisicamente o valor desta grandeza. Uma boa maneira de visualizar estas grandezas é fazendo comparação com modelos conhecidos. Podemos comparar o comprimento de uma vigota de madeira com a altura de uma pessoa conhecida, ou seja, quantas vezes o comprimento da vigota é maior ou menor que a altura desta pessoa. Podemos comparar a área de um terreno com a área de outro terreno conhecido, ou a massa de um corpo com a massa de um objeto conhecido. Observe que esta comparação não necessita de precisão, o importante é que se tenha uma ideia da dimensão da grandeza. 
Exercícios:
1. Escreva os números seguintes em notação científica, e indique a ordem de grandeza mais próxima de cada número.
a) 12300000 = d) 0,0000038 =
b) 0,000072 = e) 290.106 =	
c) 157000 = f) 0,008 . 10-2 = 
2. Cite pelo menos duas unidades usadas com frequência em sua vida diária, para medir as seguintes grandezas:
a) Comprimento b) Área c) Volume d) Tempo
3. Se uma planta cresce 1,2 cm por dia, quantos metros ela cresce em 7 semanas e 1 dia? 
4. Uma máquina produz 10 cm de fita magnética por segundo. Então no mesmo ritmo de produção quantos quilômetros de fita são produzidos em 1h 20mim 30s? 
5. Calcule o número de quilômetros que existem em 20 milhas, usando apenas os seguintes fatores de conversão: 1 milha = 5280 pés , 1pé = 12 polegadas, 1 polegada = 2,54 cm, 1m = 100 cm e 1km = 1000m. 
6. Usando a notação de potência de 10, expressar:
a) Uma área de 5km2 em cm2.
b) Um volume de 5cm3 em m3.
c) Uma massa de 8 gramas em kg.
7. Uma unidade de área frequentemente utilizada para expressar áreas de terra é o hectare, definido com 104 m2 . Uma mina de carvão a céu aberto consome 75 hectares a uma profundidade 26m por ano. Calcule o volume de terra retirada neste tempo em km3. 
8. Suponha que a densidade (massa/volume) da água seja exatamente 1g/cm3, calcule a densidade da água em quilogramas por metro cúbico (kg/m3). (b) suponha que são necessárias 10h para esvaziar um recipiente com 5700 m3 de água. Com que rapidez a água está escoando, em quilogramas por segundo? 
9. Depois de começar uma dieta, uma pessoa passou a perder 2,3 kg por semana. Expresse esse número em miligramas por segundo. 
10. Colocando-se cuidadosamente, sobre a superfície de um tanque d’água, uma gota de óleo, cujo volume é V = 6 . 10-2 cm3, ela se espalha, formando uma camada muito fina, cuja área é A = 2 . 104 cm2. Calcule a espessura desta camada de óleo. R: 3.10-6 cm.
11. A Terra tem a forma aproximada de uma esfera com 6,37 × 106 m de raio. Com base nesta informação, determine: a ) O comprimento da circunferência da Terra em quilômetros. b) A área da superfície da Terra em quilômetros quadrados. c) O volume da Terra em quilômetros cúbicos.
12. Certa marca de tinta informa que são necessários 3 litros desta tinta para pintar 60 m2 de parede. Qual é a área de parede (em metros quadrados) que se pode pintar usando uma lata de 18 litros desta tinta?
13. Uma questão que merece ser discutida é a degradação do meio ambiente. Preservar o que não está degrado e recuperar o que já está comprometido deve ser um objetivo permanente. Uma medida que pode ser tomada para recuperar determinadas áreas é o reflorestamento por meio de plantio de árvores nativas da região. Considerando que em cada 7000 m2 (aproximadamente a área do gramado de um campo de futebol) devem ser plantadas 15 árvores, determine a quantidade de árvores que devem ser plantadas numa área de 120 hectares. Dado: 1 hectare = 10000 m2.
14. (a) Quantos metros cúbicos de concreto são gastos para construir uma coluna cilíndrica com 80 cm de diâmetro e 3m de altura? Despreze o volume da ferragem, ou seja, considere que todo o volume da coluna é composto por concreto. (b) Quantos metros quadrados de papel parede seriam necessários para revestir esta coluna?
15. Em determinadasvias temos limite máximo para velocidade. Expresse as velocidades abaixo em m/s. a) 40 km/h. b) 60 km/h. c) 80 km/h. d) 110 km/h.
16. Considere uma piscina retangular cujas dimensões das bordas são 4m e 5m. Sabendo-se que a sua profundidade é de 90 cm determine o volume de água (em litros) necessário para encher completamente esta piscina. Dado: 1 m3 = 1000 litros.
 MOVIMENTO RETILÍNIO 
 No estudo do movimento retilíneo, movimento que ocorre ao longo de uma linha reta, lidamos com algumas grandezas vetoriais: deslocamento, velocidade e aceleração. Estas grandezas possuem módulo, direção e sentido, mas no caso do movimento retilíneo em uma dimensão a direção das grandezas já é determinada e devemos preocupar apenas com o seu módulo e sentido, portanto não é necessário o uso de notação vetorial. O módulo da grandeza é dado por seu valor e o sentido é indicado por um sinal positivo ou negativo.
	CINEMÁTICA: No estudo da cinemática, procuramos descrever os movimentos sem nos preocuparmos com suas causas.
	PARTÍCULA: Dizemos que um corpo é uma partícula quando suas dimensões podem ser desprezas em relação ao fenômeno estudado, ou seja, o corpo pode ser considerado como um objeto pontual. Pode-se considerar que um objeto se move como uma partícula, quando todas as partes deste objeto se movem na mesma direção e com a mesma rapidez.
O MOVIMENTO É RELATIVO: O movimento de um corpo visto por um observador depende do referencial no qual o observador está situado.
	POSIÇÃO: Localizar um objeto significa determinar a sua posição em relação a algum ponto de referência, frequentemente a origem (ou ponto zero) de um eixo. A posição é indicada com um sinal positivo ou negativo de acordo com o lado da origem em que a partícula está, ou zero se a partícula está na origem. Não é necessário colocar explicitamente o sinal positivo, ou seja, quando não aparece o sinal, ele é positivo. 
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
sentido negativo
sentido positivo
DESLOCAMENTO O deslocamento é um grandeza vetorial (possui módulo, direção e sentido) que representa a mudança de posição. No eixo x, temos que
onde: 
x1 é a posição 1 e x2 é a posição 2
· O aluno não deve confundir o deslocamento (grandeza vetorial) com a distância percorrida (grandeza escalar). O deslocamento de um objeto está relacionado à variação da posição deste objeto, sem levar em consideração a sua trajetória. A distância percorrida por um ojeto está relacionada ao comprimento da trajetória seguida pelo corpo. 
VELOCIDADE MÉDIA (Vm): A velocidade média é uma grandeza vetorial que está relacionada ao deslocamento Δx em um intervalo de tempo Δt. Na direção x, pode ser dada por:
onde: é o deslocamento ocorrido no intervalo de tempo 
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA (rapidez): Em nosso cotidiano geralmente estamos interessados em saber a rapidez com que um objeto percorre uma trajetória. Essa rapidez, que em alguns livros é chamada de velocidade escalar média, pode ser dada por
· O aluno não deve confundir velocidade média (grandeza vetorial relacionada ao deslocamento) com rapidez (grandeza escalar relacionada com a distância percorrida). No caso de um movimento retilíneo sem inversão de sentido, o valor das duas grandezas é o mesmo.
VELOCIDADE INSTANTÂNEA: A velocidade é uma grandeza vetorial. A velocidade em qualquer instante é obtida a partir da velocidade média, encolhendo o intervalo de tempo t, fazendo-o tender a zero.
· A velocidade instantânea é a taxa com que a posição da partícula x está variando com o tempo em um dado instante; ou seja, a velocidade instantânea é a derivada de x em relação a t. A leitura indicada no velocímetro de um carro representa o valor da velocidade do carro num determinado instante, portanto, o velocímetro dos carros indicam apenas o módulo de sua velocidade. É comum nos referirmos à velocidade instantânea apenas como velocidade.
UNIDADE DE VELOCIDADE: A unidade de velocidade no SI é o metro/segundo (m/s)
Cálculo da velocidade, usando o gráfico x x t (posição contra o tempo).
	Em um gráfico x x t, a velocidade média para um intervalo de tempo t é o coeficiente angular da reta que liga os pontos sobre a curva que representam os extremos do intervalo. No mesmo gráfico, a velocidade em qualquer instante é a declividade da curva (ou coeficiente angular da reta tangente a curva) no ponto que representa aquele instante.
	ACELERAÇÃO MÉDIA (am): A aceleração é um grandeza vetorial. 
	Quando a velocidade de um partícula varia, diz-se que a partícula sofre uma aceleração. Para um movimento ao longo de um eixo, a aceleração média em um intervalo de tempo t é 
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA: A aceleração instantâneaé a taxa de variação da velocidade com o tempo (derivada da velocidade com o tempo) ou a derivada segunda da posição em relação ao tempo. É comum chamar a aceleração instantânea apenas de aceleração. 
· Em um gráfico v x t, a aceleração a em qualquer tempo t é a declividade da curva no ponto que representa t.
UNIDADE DE ACELERAÇÃO: A unidade de aceleração no SI é m/s2.
Observe que o seu corpo geralmente reage a mudanças na velocidade (acelerações) e não a própria velocidade. Portanto nosso corpo pode ser considerado um bom acelerômetro e não um bom velocímetro. Quando você está em um carro viajando a 110 km/h ou em um avião viajando a 900 km/h, você pode não ter consciência corporal do movimento. Entretanto, se o carro ou o avião variar rapidamente sua velocidade, você provavelmente percebe bem está variação.
Exercícios:
17. Em t=0, uma partícula que se move ao longo de um eixo x está na posição x0 = - 2,0 m. os sinais da velocidade inicial da partícula v0 (no tempo t0) e da aceleração constante a são, respectivamente, para quatro situações: (1) +, +; (2) +, -; (3) -, +; (4) -, -. Em qual situação a partícula (a) sofrerá uma parada momentânea, (b) com certeza passará pela origem (desde que seja dado tempo suficiente),e (c) com certeza não passará pela origem?
18. Se um lançador de beisebol lança uma bola rápida a uma velocidade horizontal média de 160 km/h, quanto tempo a bola leva para alcançar a base principal distante 18,4 m?
19. Um carro trafega em uma estrada reta por 40 km a 30 km/h. Depois ele continua no mesmo sentido por outros 40 km a 60 km/h. (a) Qual a velocidade média do carro durante esta viagem de 80 km? (Suponha que ele se move no sentido positivo da direção x.) (b) Qual é a sua velocidade escalar média? (c) Faça o gráfico de x contra t e indique como se determina a velocidade média no gráfico.
20. Calcule a sua velocidade média nas duas seguintes situações: (a) você caminha 73,2 m a uma velocidade de 1,22 m/s e depois corre 73,2 m a uma velocidade de 3,05 m/s ao longo de uma pista reta. (b) Você caminha durante 1,00 mim à velocidade de 1,22 m/s e depois corre durante 1,00 mim a 3,05 m/s ao longo de uma pista reta. (c) faça o gráfico de x contra t para os dois casos e indique como se determina a velocidade média no gráfico.
21. Uma pessoa caminhando em um pista retangular cujos lados medem L1 = 400 m e L2 = 200 m percorre 3 voltas em 45 minutos. Considerando que a pessoa inicie e termine seu percurso no mesmo local determine.
a) A distância percorrida nas 3 voltas, em km.
b) O valor do vetor deslocamento total após as 3 voltas, em km.
c) O valor da velocidade escalar média (rapidez) nas 3 voltas, em km/h. 
d) O Valor do vetor velocidade média nas 3 voltas, em km/h.
22. Uma pessoa caminhando em um pista circular com 0,7km de raio percorre 4 voltas em duas horas. Considerando que a pessoa inicie e termine seu percurso no mesmo local determine.
a) A distância percorrida em 4 voltas.
b) O valor do vetor deslocamento total após as 4 voltas.
c) O valor da velocidade escalar média (rapidez) nas 4 voltas. 
d) O Valor do vetor velocidade média nas 4 voltas.
23. Um automóvel sai de Goiânia às 7 horas e chega em Brasília às 10 horas depois de percorrer 210 km. Considerando que a distância em linha reta entre o ponto de saída e a chegada é de 175 km determine.
a) O valorda velocidade escalar média (rapidez) desta viagem.
b) O valor do vetor velocidade média desta viagem.
c) Quando nos referimos à velocidade média de uma viagem, geralmente nos referimos à velocidade escalar média (rapidez) ou ao módulo do vetor velocidade média? 
24. (a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 4 – 12t + 3t2 (onde t está em segundos e x está em metros), qual é a sua velocidade e aceleração em t = 1 s? (b) Ela está se deslocando no sentido positivo ou negativo de x neste exato momento? (c) qual o módulo da sua velocidade neste mesmo instante? (d) o módulo da velocidade é maior ou menor em instantes posteriores? (tente responder às próximas duas perguntas sem fazer nenhum outro cálculo.) (e) Existe algum instante em que a velocidade chega a se anular? (f) existe um tempo após t = 3 s no qual a partícula esteja se deslocando no sentido negativo de x?
25. Uma partícula tinha uma velocidade de 18 m/s em um certo tempo, e 2,4 s depois sua velocidade era de 30 m/s no sentido contrário. Quais eram o módulo e o sentido da aceleração média da partícula durante este intervalo de 2,4 s?
MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE: 
 Em nosso cotidiano é comum nos depararmos com movimentos nos quais a aceleração não permanece constante, mas temos também movimentos com a aceleração constante ou aproximadamente constante frequentemente chamados de movimento uniformemente variando (MUV). No estudo do movimento de um corpo, podemos analisar sua posição, velocidade e aceleração usando equações que relacionam estas grandezas. Para o MUV temos as seguintes equações:
 Equação da velocidade no MUV
Onde:
	v é a velocidade no instante t
	v0 é a velocidade inicial
	a é a aceleração (constante)
Equação de posição do MUV
 
 Onde:
	x é a posição no instante t
	x0 é a posição inicial
	a é a aceleração (constante)
 
 Podemos determinar outra equação isolando o tempo t, na equação da velocidade e substituindo na equação de posição
 Equação de Torricelli
 
Para o caso particular de movimento sem aceleração (a = 0), a velocidade permanece constante e o movimento será uniforme (MU). A equação de posição, para este caso é 
 Equação de Posição no MU.
Podemos demonstrar estas equações usando o Cálculo integral. Portanto estas demonstrações se destinam aos alunos que têm este conhecimento.
 Para um movimento com aceleração constante temos que:
 Equação da velocidade no MUV
Temos também que:
Equação de posição do MUV
 
 
Exercícios:
26. A cabeça de uma cascavel pode se acelerar a 50 m/s2 ao golpear uma vítima. Se um carro pudesse ter esta aceleração, quanto tempo levaria para ele atingir uma velocidade de 100 km/h partindo do repouso?
27. Um avião partindo do repouso deve alcançar uma velocidade de 360 km/h na pista para decolar. Qual a aceleração constante mínima necessária para a decolagem em uma pista de 1,80 km?
28. Os freios do seu carro são capazes de criar uma desaceleração de 5,2 m/s2. Se você estiver a 137 km/h e subitamente avistar um policial rodoviário, qual o tempo mínimo no qual você consegue reduzir a velocidade do seu carro baixo do limite de velocidade a 90 km/h? (A resposta mostra como é inútil frear para impedir que a sua alta velocidade seja detectada por um radar ou pistola de laser.) 
29. Um carro trafegando a 56,0 km/h está a 24,0 m de uma barreira quando o motorista pisa com força nos freios. O carro bate na barreira 2,00 s depois. (a) qual é a desaceleração constante do carro antes do impacto? (d) com que velocidade o carro está se deslocando quando sofre o impacto?
30. È comum vermos batidas na qual um veículo está parado ou com velocidade baixa e outro, que por um determinado motivo não consegue frear em tempo, acaba atingindo este veículo. Temos alguns fatores que devem ser levados em conta para evitar estes acidentes: a distância entre os veículos, a velocidade relativa entre os dois veículos e também a capacidade de desaceleração. Considere que durante a frenagem a desaceleração permaneça constante para responder as questões.
a) Se para uma determinada velocidade necessitamos de uma distância D1 para parar um veículo, qual será a distância necessária se a velocidade for à metade da anterior?
b) Se para uma determinada desaceleração necessitamos de uma distância D1 para parar um veículo, qual será a distância necessária se a desaceleração for o dobro da anterior?
c) Com base nas respostas anteriores, qual dos fatores (velocidade ou desaceleração) você considera que devemos observar melhor para evitar este tipo de acidente? Observe que não adianta apenas saber a teoria de como evitar um acidente, o que vale é a prática desta teoria. 
 
31. ) No instante em que o sinal de trânsito fica verde, um automóvel inicialmente em repouso parte com uma aceleração constante de 3 m/s2. No mesmo instante uma motocicleta, trafegando com uma velocidade constante de 22 m/s, ultrapassa este automóvel.
a ) Após o sinal ficar verde, depois de quanto tempo o automóvel ultrapassará a moto?
b ) A que distância além do sinal de transito o automóvel ultrapassará a moto? 
c ) Qual será a velocidade do automóvel nesse instante?
32. No instante em que o sinal de trânsito fica verde, um automóvel parte com uma aceleração a de 2,2 m/s2. No mesmo instante um caminhão, trafegando com uma velocidade constante de 9,5 m/s, alcança e ultrapassa o automóvel. (a) A que distância além do sinal de trânsito o automóvel ultrapassará o caminhão? (b) Qual será a velocidade do automóvel nesse instante?
ACELERAÇÃO DE QUEDA LIVRE
	Se você arremessasse um objeto verticalmente para cima ou para baixo e pudesse de alguma maneira eliminar os efeitos do ar no seu vôo, o objeto terá uma aceleração constante para baixo. Essa aceleração é chamada de aceleração de queda livre, e seu módulo é representado por g. Neste caso a aceleração independe das características do objeto, ela é a mesma para todos os objetos, independente de sua forma ou massa.
	O movimento em queda livre é um movimento retilíneo uniformemente variado na direção vertical. Para obter as equações para este movimento devemos substituir a aceleração (a = - g) nas equações do MUV. Após a substituição, as equações se tornam
O módulo da aceleração de queda livre nas proximidades da superfície da terra é g = 9,8 m/s2.
Quando substituímos a aceleração (a = - g), estamos considerando o sentido positivo de y para cima e o sentido negativo para baixo. Lembre-se que o sinal serve apenas para indicar o sentido das grandezas vetoriais.
Exercícios:
33. Gotas de chuva, inicialmente em repouso, caem 1700 m de uma nuvem até o chão. (a) se elas não fossem retardadas pela resistência do ar, com que velocidade (em km/h) as gotas estariam se movendo quando atingissem o solo? (b) Seria seguro caminhar a céu acerto durante uma tempestade com chuva?
34. Em um canteiro de obras uma chave de cano bate no chão com uma velocidade de 24 m/s (86,4 km/h). (a) de que altura deixaram ela cair por negligência? (b) quando tempo durou a queda? 
Despreze a resistência do ar. 
35. (a) com que velocidade uma bola deve ser lançada verticalmente a partir do nível do chão para subir até uma altura máxima de 50 m? (b) quando tempo ela ficará no ar até voltar novamente ao solo? Despreze a resistência do ar.
36. Deixa-se cair uma pedra de um penhasco de 100 m de altura. Quanto tempo ela leva para cair (a) os primeiros 50 m e (b) os 50 m seguintes? Despreze a resistência do ar.
37. Um modelo de foguete inicialmente em repouso é disparado verticalmente do chão se elevando com uma aceleração vertical constante de 4,00 m/s2 por 6,00 s. Seu combustível então se esgota e ele continua se deslocando para cima como uma partícula em queda livre e depois volta caindo. (a) qual a altitude máxima alcançada? (b) Qual o tempo total percorrido da decolagem até o foguete bater no chão?
38. Um balão de ar quente está subindo a uma velocidade vertical de 12 m/s e está80 m acima do chão quando se solta um pacote pela lateral. (a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o chão? (b) Com que velocidade ele bate no chão. Despreze a resistência do ar.
39. Um elevador sem teto está subindo com uma velocidade constante de 10 m/s. Um garoto no elevador dispara uma bola para cima bem na direção vertical, de uma altura de 2,0 m acima do piso do elevador, exatamente quando piso do elevador está a 28 m acima do chão. A velocidade inicial da bola em relação ao elevador é de 20 m/s. (a) qual a altura máxima acima do chão que a bola alcança? (b) quando tempo a bola leva para voltar para o piso do elevador? Despreze a resistência do ar.
 VETORES 
GRANDEZAS VETORIAIS E ESCALARES
As grandezas escalares ficam totalmente determinadas por um valor numérico e sua unidade.
Exemplos de grandezas escalares: temperatura, massa, comprimento, carga elétrica, trabalho, energia e potencial elétrico.
 	As grandezas vetoriais só ficam completamente determinadas quando são conhecidos o seu módulo, a sua direção, o seu sentido e sua unidade.
Exemplos de grandezas vetoriais: deslocamento, velocidade, aceleração, força, campo elétrico e campo magnético.
Cálculos com grandezas escalares envolvem operações da aritmética comum, mas os cálculos com grandezas vetoriais são diferentes. Como utilizaremos algumas grandezas vetoriais em nosso curso, apresentaremos, agora, um estudo sobre a representação e soma vetorial.
Para representar as grandezas vetoriais é necessário indicar a intensidade e também a direção e sentido desta grandeza. Esta indicação pode ser feita por meio de um vetor, o qual pode ser representado por um segmento de reta orientado (uma seta). A reta que contém o vetor indica a direção deste vetor e a ponta da seta indica o sentido deste vetor. A representação de uma grandeza vetorial (módulo, direção e sentido) geralmente é indicada com uma seta sobre o símbolo que representa esta grandeza (observe que esta seta não indica direção nem sentido do vetor). Quando nos referimos apenas ao módulo do vetor usamos o símbolo sem a seta por cima.
Não devemos apenas decorar as regras usadas nas operações vetoriais, é importante que tenhamos uma visão espacial da representação e operações com as grandezas vetoriais. Para facilitar esta visualização podemos relacionar as operações vetoriais com grandezas vetoriais próximas do nosso cotidiano, como é o caso do vetor deslocamento.
Num deslocamento = 20 m horizontalmente para a direita temos que:
d = 20 m é o módulo (valor) do deslocamento, sua direção é horizontal e seu sentido é para a direita. 
SOMA DE VETORES
Para encontrar, graficamente, a resultante, , da soma de dois vetores e , traçamos o vetor de modo que sua origem coincida com a extremidade do vetor . Unindo a origem do vetor com a extremidade do vetor , obtemos a resultante . Para encontrar a resultante da soma de vários vetores, traçamos os vetores de modo que a extremidade de um coincida com a origem do seguinte, e o vetor resultante é o vetor que une a origem do primeiro vetor com a extremidade do último. A ordem em que os vetores são desenhados não faz diferença, tente verificar esta propriedade. 
Como exemplo, representamos o vetor soma, , dos vetores , e .
, a
 b
c
, a
b
.c
 = + + 
 
Para o caso particular de dois vetores, e , de mesma direção e mesmo sentido, a soma, , é um vetor na mesma direção e sentido dos vetores dados e o seu modulo é igual à soma dos módulos de e (s = a + b). Se, e têm a mesma direção e sentidos contrários, o módulo do vetor soma é dado pela diferença dos módulos de e (s = a - b) sendo a sua direção e sentido, as mesmas do vetor de maior módulo. Estes casos estão representados nas figuras abaixo.
 a
 b
 a
b
 = + 
 = + 
s = a + b
 
 
Se dois vetores não possuírem a mesma direção, a soma dos vetores pode ser dada pela regra do paralelogramo, que consiste em juntar as origens dos vetores e fechar um paralelogramo, o vetor resultante será dado pela diagonal deste paralelogramo, como está representado na figura abaixo. a
 a
 b
 b
,s
O módulo do vetor resultante da soma entre os dois vetores e , pode ser calculado pela seguinte formula:
 b
 a
onde: 
 
s, a, b são os módulos dos vetores , e .
 é o angulo entre os vetores e . 
Quando = 90o (vetores perpendiculares), temos que:
COMPONENTES DE UM VETOR 
A componente de um vetor, segundo uma direção, é a projeção (ortogonal) do vetor naquela direção. Por exemplo, x é a componente do vetor sobre o eixo x e y é a componente ao longo do eixo y.
DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR
Ao determinarmos as componentes retangulares de um vetor , encontramos dois vetores x e y que, em conjunto, podem substituir o vetor , pois , = x + y .
 y VY
x VX
 V
y
x
 
 
Temos que:
sen = Vy / V Vy = V sen 
 
cos = Vx / V Vx = V cos 
tg = Vy / Vx
Estas relações nos permitem calcular os valores das componentes x e y quando conhecemos o módulo do vetor e o ângulo que ele forma com o eixo OX.
Quando conhecermos os valores das componentes x e y, o módulo do vetor poderá ser obtido por.
VETORES UNITÁRIOS:
Um vetor unitário é um vetor que possui um módulo exatamente igual a um e que aponta uma direção particular. O vetor unitário não possui unidade, e seu único propósito é especificar uma direção e sentido. Os vetores unitários nos sentidos positivos dos eixos x, y e z são chamados de , e . A disposição dos eixos da figura abaixo é chamada de sistema de coordenadas dextrogiro. O sistema permanece dextrogiro se ele for girado rigidamente até uma nova orientação. Usaremos exclusivamente tal sistema de coordenadas nesta disciplina. 
y
x
z
 j
. k
 
Os vetores podem ser escritos em função dos vetores unitários. Por exemplo, um vetor pode ser escrito como: = Vx + Vy + Vz 
A soma de dois vetores e , cada um representado por seus componentes, pode ser escrita em termos dos vetores unitários da seguinte forma:
 = ( Ax + Bx ) + (Ay + By ) + ( Az + Bz ) .
Observação:
As componentes de um vetor podem ser positivas ou negativas.
EXERCÍCIO:
40. 
Quais são (a) a componente x e (b) a componente y de um vetor localizado no plano xy se a sua direção está a 250º no sentido anti-horário do sentido positivo do eixo x e o seu módulo é igual a 7,3 m?
41. 
A componente x do vetor é igual a – 25,0 m e a componente y é igual a + 40,0 m. (a) Qual é o módulo de ? (b) qual o ângulo entre a direção de e o sentido positivo de x?
42. 
Um vetor deslocamento no plano xy tem um comprimento igual a 15 m e tem a orientação mostrada na figura. Determine (a) a componente x e (b) a componente y do vetor.
43. (a) Na notação de vetor unitário, qual é a soma de 
 e 
quais são (b) o módulo e (c) a direção de + (relativa a )?
44. 
Ache as componentes (a) x, (b) y e (c) z da soma dos deslocamentos e , cujas componentes em metros ao longo dos três eixos são cx = 7,4 , cy = -3,8 , cz = -6,1; dx = 4,4 , dy = -2,0 e dz = 3,3.
45. São dois vetores:
 e 
quais são (a) o módulo e (b) o ângulo (relativo a ) de ? Quais são (c) o módulo e (d) o ângulo de ? Quais são (e) o módulo e (f) o ângulo de ; (g) o módulo e (h) o ângulo de ; e (i) o módulo e (j) o ângulo de ? (k) qual é o ângulo entre as direções de e ?
46. A componente horizontal de um deslocamento é dx = 5m e a componente vertical deste deslocamento é dy = - 7m. (a) Represente este vetor deslocamento no plano xy. (b) Determine o módulo e o ângulo θ que este deslocamento faz com o eixo x positivo
47. Para cada um dos itens abaixo represente o vetor no plano xy, determine o módulo e indique o ângulo θ que o vetorfaz com o um dos eixos (x ou y).
a) = ( 4cm) + ( – 9cm ) 
b) = ( - 6cm) + ( 2cm ) 
c) = (- 4cm) + ( – 7cm ) 
d) = ( 3cm) + ( 5cm ) 
48. Na figura abaixo estão representados os vetores e . Sendo seus módulos A = 7cm e B = 15cm, determine:
a ) Os valores das componentes de cada um dos vetores ( Ax , Ay, Bx , BY ).
b ) O módulo, a direção e o sentido do vetor resultante = + .
49. Na figura abaixo estão representados os vetores e . Sendo seus módulos A = 9cm e B = 17cm, determine:
a )Os valores das componentes de cada um dos vetores ( Ax , Ay, Bx , By ).
50. 
Os dois vetores e da figura possuem o mesmo módulo de 10,0 m. Ache (a) a componente x e (b) a componente y da sua soma vetorial , (c) o módulo de e (d) o ângulo que faz com o sentido positivo do eixo x.
51. Na figura abaixo estão representadas os vetores deslocamentos , e . Determine, em termos de vetores unitários, e como um módulo, direção e sentido os vetores resultantes: Dados: A = 9 cm; B = 8 cm; C = 6 cm
y
x
30°
70°
60°
a) + 
b) + 
c) + 
d) + 
– Movimento em duas e três dimensões 
	Vetor posição 
	A localização de uma partícula em relação à origem de um sistema de coordenadas é dada por um vetor posição , que na notação de vetor unitário é 
VETOR DESLOCAMENTO 
	Quando uma partícula se move de tal forma que o seu vetor posição muda de para , então o deslocamento da partícula é 
	VELOCIDADE MÉDIA 
	Se uma partícula sofre um deslocamento no tempo , a sua velocidade média para este intervalo de tempo é
	VELOCIDADE INSTANTÂNEA 
Sendo, e 
Temos que: 
A velocidade instantânea de uma partícula em cada ponto está sempre na direção tangente à trajetória da partícula naquele ponto.
ACELERAÇÃO MÉDIA 
Quando a velocidade de uma partícula varia de para em um intervalo de tempo , sua aceleração média durante este intervalo de tempo é 
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA 
Se a velocidade variar em módulo, direção ou sentido (ou em mais de um), a partícula terá uma aceleração.
Exercícios:
52. 
Vetor posição para um elétron é . (a) ache o módulo de . (b) Faça um esboço deste vetor em um sistema de coordenadas destrógiro.
53. 
Vetor posição de um íon é inicialmente , e 10s mais tarde é , todos em metros. Qual é sua velocidade média durante os 10 s? Na notação de vetor unitário.
 
54. 
A posição de um elétron é dada por , com t em segundos e em metros. (a) Qual é a expressão para a velocidade do elétron ? Em t = 2,00 s, quanto vale (b) na notação de vetor unitário e como (c) um módulo e (d) um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x?
55. 
Uma partícula se move de tal forma que a sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é . Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) a sua aceleração em função do tempo.
56. 
Um próton possui inicialmente e então 4,0s mais tarde possui (em metros por segundo). Para aqueles 4,0s, qual é a aceleração média do próton (a) na notação de vetor unitário e (b) com um módulo, uma direção e um sentido?
57. 
A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por , com em metros e t em segundos. Determine para t = 2 s, em função dos vetores unitários (a) a posição, (b) a velocidade e (c) a aceleração .
58. Nos itens abaixo temos a equação de posição de três partículas em movimento num plano xy, com r em metros e t em segundos. Para cada um destes itens determine o módulo, a direção e o sentido dos vetores velocidade e aceleração da partícula no instante t = 2 s:
a ) = - 3 t 4 + 7 t3 .
b ) = ( 7 t 2 + 5) + ( 5 t3 – 2 t2 +8 ) .
c ) = ( 4 t 3 + 3 t2 - 10) + ( - 5 t4 + 2 t3 +8 ) .
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
	Estudaremos agora o movimento de uma partícula lançada com uma velocidade inicial num ângulo com a horizontal. Durante seu vôo, desprezando a resistência do ar, a aceleração horizontal da partícula é nula e a sua aceleração vertical é a aceleração de queda livre – g (o sentido positivo é escolhido para cima).
No movimento de um projétil, o movimento horizontal e o movimento vertical são independentes um do outro, ou seja, um não afeta o outro. Esta característica nos permite decompor um problema envolvendo movimento bidimensional em dois problemas unidimensionais separados e mais fáceis de serem estudados, um movimento horizontal (com aceleração nula) e um movimento vertical (com a aceleração constante para baixo).
	Na figura abaixo está representada a trajetória de uma partícula com velocidade inicial , num ângulo com a horizontal, considerando e .
A velocidade inicial , pode ser escrita como 
onde as componentes e são
 e 
Agora vamos analisar o movimento de um projétil separadamente na horizontal e vertical.
O MOVIMENTO HORIZONTAL
	Na direção horizontal a aceleração é nula , portanto, a componente da velocidade nesta direção permanece constante durando todo o movimento . O movimento horizontal é um movimento uniforme, e a equação de posição para este caso é
 .
O MOVIMENTO VERTICAL
	Na direção vertical a aceleração é constante , portanto, o movimento vertical é o mesmo de uma partícula em queda livre (já estudado anteriormente), e as equações do movimento ao longo do eixo vertical y são 
A EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA 
	Isolando o tempo t, na equação de posição horizontal e substituindo na equação da posição vertical, podemos obter a equação da trajetória para e 
Está é uma equação do 2º grau , indicando que a trajetória é parabólica.
O ALCANCE HORIZONTAL
	O alcance horizontal R do projétil é a distância horizontal que o projétil percorreu ao retornar à sua altura inicial. Usando as equações de posição nos eixos x e y, podemos mostrar que o alcance é dado por 
Observe que alcance R possui seu valor máximo para um ângulo de lançamento de 45º.
Exercícios:
59. Um avião voando na horizontal com uma velocidade constante de 350 km/h sobrevoando um terreno plano, solta um fardo de alimento. Ignore o efeito do ar sobre o fardo. Quais são as componentes (a) vertical e (b) horizontal da velocidade inicial do fardo? (c) qual é a componente horizontal da sua velocidade imediatamente antes de bater no chão? (d) Se, em vez disso, a velocidade do avião fosse de 450 km/h, o tempo de queda seria maior, menor ou o mesmo?
60. Uma carabina é apontada na horizontal para um alvo distante 30 m. A bala acerto o alvo 1,9 cm abaixo do ponto visado. Quais são (a) o tempo de vôo da bala e (b) o módulo da sua velocidade ao sair da carabina?
61. Uma bolinha rola horizontalmente para fora do lado do tampo de uma mesa que está a uma altura de 1,20 m. Ela toca o piso em um ponto a uma distância horizontal de 1,52 m do lado da mesa. (a) quanto tempo a bola fica no ar? (b) Qual é a sua velocidade escalar no instante em que ela sai da mesa?
62. Uma pedra é atirada por uma catapulta no tempo t = 0, com uma velocidade inicial de módulo igual a 20 m/s fazendo um ângulo de 40 º acima da horizontal. Para t = 1,1 s determine os módulos das componentes (a) horizontal e (b) vertical do seu deslocamento a partir do local da catapulta. Repita os cálculos para t = 1,8 s (c) deslocamento horizontal e (d) vertical.
63. Você arremessa uma bola em direção a uma parede com uma velocidade de 25,0 m/s fazendo um ângulo de 40,0º acima da horizontal (Fig. 07). A parede está a 22,0 m do ponto de lançamento da bola. (a) a que distância acima do ponto de lançamento a bola bate na parede? (b) quais são as componentes horizontal e vertical da sua velocidade quando ela bate na parede? (c) quando ela bate, ela já passou do ponto mais alto da sua trajetória?
Fig. 07
64. 
Uma bola é atirada do chão no ar. Em uma altura de 9,1 m, observa-se que a sua velocidade é em metros por segundo ( horizontal, para cima). (a) até que altura máxima a bola sobe? (b) qual a distância horizontal total que a bola percorre? Quais são (c) o módulo, e (d) a direção e sentido da velocidade da bola imediatamente antes dela bater no chão?65. Uma bola rola na horizontal para fora do alto de uma escadaria com uma velocidade de 1,52 m/s. Os degraus têm 20,3 cm de altura e 20,3 cm de largura. Em que degrau a bola bate primeiro?
66. Uma bola está parada sobre o gramado de um campo horizontal. Um jogador chuta a bola para cima, imprimindo-lhe uma velocidade inicial de 15 m/s, num ângulo de 50o com a horizontal. A bola sobe e desce atingindo novamente o solo. Desprezando a resistência do ar, determine:
a ) As componentes horizontal e vertical da velocidade inicial. 
b) A altura máxima atingida pela bola.
c ) A distância horizontal percorrida pela bola, até atingir o solo.
MOVIMENTO RELATIVO EM DUAS DIMENSÕES
	O movimento de uma partícula depende do sistema de referência de quem quer que esteja observando este movimento. 
	Na figura abaixo, estão representadas dois sistemas de referência A e B, sendo que o sistema de referência B se move com velocidade constante em relação ao sistema de referência A.
Os vetores posições podem ser relacionados por 
onde: é o vetor posição da partícula P em relação ao referencial A.
 é o vetor posição da partícula P em relação ao referencial B.
 é o vetor posição do referencial B em relação ao referencial A.
Derivando a equação acima em relação ao tempo, teremos a relação entre as velocidades 
Onde: é a velocidade da partícula em relação ao referencial A.
 é a velocidade da partícula em relação ao referencial B.
 e a velocidade do referencial B em relação ao referencial A.
Derivando as velocidades em relação ao tempo, teremos a relação entre as acelerações. Observe que é constante e sua derivada em relação ao tempo é nula, portanto, observadores que se movem com velocidades constantes entre si medirão a mesma aceleração para uma partícula em movimento.
	onde: 
 são, respectivamente, as acelerações da partícula P em relação ao referencial A e ao referencial B.
Exercícios:
67. Um barco está viajando rio acima a 14 km/h em relação à água deste rio. A água está escoando a 9 km/h em relação às margens. (a) qual é a velocidade do barco em relação às margens? (b) uma criança no barco caminha da frente para a parte de trás a 6 km/h em relação ao barco. Qual é a velocidade da criança em relação às margens?
68. Está caindo neve na direção vertical a uma velocidade constante de 8,0 m/s. Com que ângulo medido a partir da vertical os flocos de neve parecem estar caindo quando vistos pelo motorista de um carro que viaja em uma estrada reta e sem desníveis a uma velocidade de 50 km/h?
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
3. 0,6m.
4. 0,483 km.
5. 32,19 km.
6. a) 5 . 1010 cm2; b) 5 . 10 - 6 m3 ; c) 8 . 10 -3 kg.
7. 1,95 . 10 – 2 km3.
8. (a) 103 kg/m3 ; (b) 158,33 kg/s.
9. 3,8 mg/s.
10. 3. 10 – 6 cm.
11. a) 4,00 × 104 km. b) 5,096 × 108 km2 . b) 1,08 × 1012 km3.
12. 360 m2.
13. 2571 árvores.
14. A) 1,51 m3; b) 7,54 m2.
15. a)40 km/h = 11,11 m/s; b)60 km/h = 16,67 m/s; c)80 km/h = 22,22 m/s; d) 110 km/h = 30,55 m/s.
16. 18000 litros de água.
17. (a) 2 e 3; (b) 1 e 3; (c) 4.
18. 0,414 s.
19. (a) 40 km/h ; (b) 40 km/h.
20. (a) 1,74 m/s ; (b) 2,135 m/s.
21. a) 3,6 km; b) zero; c) 4,8 km/h; d ) zero.
22. a) 17,584 km; b) zero; c) 8,792 km/h; d) zero. 
23. a) 70 km/h. b) 58,33 Km/h. c) velocidade escalar média.
24. (a) v = – 6 m/s e a = 6 m/s2 ; (b) no sentido negativo de x; (c) 6 m/s; (d) primeiro é menor, depois se anula e depois é maior; (e) sim (t = 2s); (f) não.
25. 20 m/s2, no sentido contrário à sua velocidade inicial.
26. 0,55 s .
27. 36000 km/h2.
28. 2,5 s .
29. (a) 3,56 m/s2 ; (b) 8,43 m/s.
30. a) Se a velocidade for reduzida à metade, a distância de frenagem será quatro vezes menor. b) Se a desaceleração for dobrada, a distância de frenagem será duas vezes menor. c) pensamos que deve ser a velocidade, devemos observar que a desaceleração pode não depender só do condutor e/ou do veículo, podemos ter uma pista molhada ou suja de óleo por exemplo.
31. a) 14,67 s; b) 322,74 m; c) 44,01 m/s.
32. (a) 82 m ; (b) 18.41 m/s.
33. 659 km/h.
34. (a) 29,39 m ; (b) 2,45 s.
35. (a) 31 m/s ; (b) 6,4 s.
36. (a) 3,2 s ; (b) 1,3 s.
37. (a) 101,37 m ; (b) 13 s.
38. (a) 5,4 s ; (b) 41 m/s.
39. 
 (a) 76 m ; (b) 4,2 s.
40. (a) – 2,5 m ; (b) – 6,9 m.
41. (a) 47,2 m ; (b) 122º.
42. (a) 13 m ; (b) 7,5 m.
43. 
 (a) ; (b) 13 m ; (c) 132º.
44. rx = 12 ; ry = - 5,8 ; rz = -2,8.
45. (a) 5 m ; (b) – 37º ; (c) 10 m; (d) 53º ; (e) 11 m ; (f) 27º ; (g) 11 m ; (h) 80º ; (i) 11 m; (j) 260º ; (k) 180º.
46. b) 8,6m; θ = -54,46o
47. a)9,85 cm; θ = - 66,04o com o eixo x positivo. b) 6,32 cm; θ = - 18,43o com o eixo x negativo. c) 8,06 cm; θ = 60,25o com o eixo x negativo. d) 5,83 cm; θ = 59,04o com o eixo x positivo.
48. a) Ay = 3,5 cm; Ax = 6,06 cm; By = - 9,64 cm; Bx = 11,49 cm. b) 18,59 cm; O vetor resultante está no quarto quadrante num ângulo θ = -19,28o com o eixo x positivo.
49. a) Ay =- 4,5 cm; Ax = - 7,79 cm; By =- 10,93 cm; Bx =13,02 cm. b) 16,29 cm; o vetor resultante está no quarto quadrante num ângulo θ = - 71,27o com o eixo x positivo 
50. (a) 1,59 m ; (b) 12,1 m ; (c) 12,2 m ; (d) 82,5º.
51. 
a). 
y
x
87,87º
b). 
y
x
8,3º
c). 
y
13,16º
x
d). 
y
36,77º
x
52. (a) 6,16 m.
53. 
.
54. 
 (a) ; (b) ; (c) 16,3 m/s; (d) – 79,4º.
55. 
a) ; (b) .
56. 
 (a) m/s2 ; (b) 1,58 m/s2 num ângulo de 161,6º com x positivo.
57. 
 (a) m ; (b) m/s ; (c) m/s2 ; (d) – 85,2º em relação a + x. 
58. a) v = 127,56 m/s; o vetor velocidade está no segundo quadrante com um ângulo de - 41,10o com o eixo x negativo. a = 166,71 m/s2 ; o vetor aceleração está no segundo quadrante com um ângulo de - 30,26o com o eixo x. 
b) v =61,59 m/s; o vetor velocidade está no primeiro quadrante com um ângulo de 57,42o com o eixo x positivo. a = 57,72 m/s2 ; o vetor aceleração está no primeiro quadrante com um ângulo de 75,96o com o eixo x positivo.
c) v =148,65 m/s; o vetor velocidade está no quarto quadrante com um ângulo de -66,19o com o eixo x positivo. a = 222,65 m/s2 ; o vetor aceleração está no quarto quadrante com um ângulo de -75,96o com o eixo x positivo.
59. (a) 0 ; (b) 350 km/h ; (c) 350 km/h ; (d) o mesmo.
60. (a) 0,062 s ; (b) 483,87 m/s.
61. (a) 0,49 s ; (b) 3,1 m/s.
62. (a) 16,9 m ; (b) 8,21 m ; (c) 27,6 m ; (d) 7,26 m.
63. (a) 12 m ; (b) Vx = 19,15 m/s e Vy = 4,8 m/s ; (c) não.
64. (a) 11 m ; (b) 23 m ; (c) 17 m/s ; (d) 63º para baixo da horizontal.
65. No terceiro.
66. a) v0x = 9,64 m/s; v0y = 11,49 m/s. b) 6,73m. c ) 22.56 m.
67. (a) 5 km/h, rio acima ; (b) 1 km/h, rio abaixo.
68. 66º.
OBS: Este é um material de apoio e não deve substituir o livro texto. Portanto, os alunos devem complementar seus estudos usando o livro texto (tanto na teoria quando aos exercícios). 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA NOTA DE AULA I
3) o tempo é de 7 semanas e 1 dia = 7.7 + 1 = 50 dias. O crescimento da planta é 50 . 1,2 = 60 cm = 0,6 m.
4) inicialmente vamos transformar o tempo para segundos. 1h20min30s = 3600s +1200s + 30s = 4830s. A produção é: 4830 . 10 = 48300 cm = 483 m = 0,483km.
5) 20 milhas = 20 . 5280 pés = 20 . 5280. 12 polegadas = 20 . 5280. 12 . 2,54 cm = 20 . 5280. 12 . 2,54. 10 -2 m = = 20 . 5280. 12 . 2,54. 10 -2 . 10 -3 km = 32,19 km.
7) área = 75 hectare = 75 . 10 4 m2
Volume de terra = 75 . 10 4 . 26 m3 = 1,95 . 10 7 m3 = 1,95 . 10 7 . 10 – 9 km3 = 1,95 . 10 – 2 km3.
8) a) 1 g/cm3 = 10 -3 kg / 10 - 6 m3 = 10 3 kg / m3. b) rapidez = massa / tempo = 5700 . 10 3 kg / 10 . 3600 s = 158,33 kg/s.
9) 2,3 kg/semana = 2,3 . 10 3 g / 7 . 24 h = 2,3 . 10 6 mg / 7 . 24 . 3600 s = 3,8 mg/s.
10 ) V = A . h → 6 . 10 -2 = 2.10 4 . h → h = 3 . 10 – 6 cm. 
11) Inicialmente vamos transformar de metros para quilômetros a unidade do raio da Terra.
R = 6,37 × 106 m = 6,37 × 103 km
a) C = 2 π R = 2 π 6,37 × 103 = 4,00 × 104 km
b) A = 4 π R2 = 4 π (6,37 × 103 )2 = 5,096 × 108 km2
b) V = π R3 = = π (6,37 × 103 )3 = 1,08 × 1012 km3
12) 3 litros para pintar 60 m2, portanto com 1litro pinta-se 20 m2.
 Com 18 litros pinta-se 18 . 20 = 360 m2.
13) área = 120. 10 4 m2. N = 15 . 120 . 10 4 / 7000 = 2571 árvores. 
14) Inicialmente vamos determinar o raio da coluna, em metros.
Como o raio é a metade do diâmetro temos que: R = 40 cm = 0,4 m
(a) O volume do cilindro é dado pelo produto da área da base (circular) pela altura.
V = π R2 h = π 0,42 . 3 = 1,51 m3 (tente visualizar esta coluna para ter uma ideia da quantidade de concreto em cada m3). 
(b) A área da superfície lateral do cilindro é equivalente a área de um retângulo cujos lados são: o comprimento circular do cilindro e sua altura
A = 2 π R h = 2 π . 0,4 . 3 = 7,54 m2.
15) Para transformar km/h para m/s basta dividir o valor por 3,6. Portanto temos que: a)40 km/h = 11,11 m/s; b)60 km/h = 16,67 m/s; c)80 km/h = 22,22 m/s; d) 110 km/h = 30,55 m/s.
16) Inicialmente vamos transformar a unidade da profundidade de cm para metro. H = 90 cm = 0,9m.
O volume da piscina é dado pelo produto da área da superfície pela profundidade, portanto.
V = 4 . 5 . 0,9 = 18 m3 = 18000 litros de água (observe que mesmo em uma piscina relativamente pequena temos uma quantidade considerável de água). 
17)
a) 
(2) e (3)a aceleração e velocidade com sentidos opostos
b) 
(1) e (3)aceleração positiva
c) 
(4)Velocidade e aceleração negativas
18) Vm = 160 km/h = 160/3,6 = 44,44 m/s.
Vm = deslocamento/tempo → 44,44 = 18,4/ Δt → Δt = 18,44/ 44,44 = 0,414s
 
19) e 
a) 
 e 
 	 
 	 
 	 
b) 
Para este caso, a distância percorrida tem o mesmo valor do deslocamento
c) 
t (h)
x (km)
80
40
0
1
4/3
2
 		
20) a) e 
 e 
 
 
 	
 b) , 
 	, 
 	
	
 	
c) ver o gráfico do exercício 19.
21) a) basta multiplicar o comprimento da pista por 3. D = 3. (400 + 400 + 200 +200) = 3600 m = 3,6 km. b) como a posição final é a mesma inicial, o vetor deslocamento é nulo. c) inicialmente devemos transformar a unidade do tempo, t = 45 minutos = 0,75. vm = distância percorrida/tempo = 3,6/0,75 = 4,8 km/h. d) Como o deslocamento é nulo o vetor velocidade média também é nulo.
22) a) basta multiplicar o comprimento da pista por 4. D = 4. 2π . 0,7 = 17,584 km. b) como a posição final é a mesma inicial, o vetor deslocamento é nulo. c) vm = distância percorrida/tempo = 17,584/2 = 8,792 km/h. d) Como o deslocamento é nulo o vetor velocidade média também é nulo.
23) a) vm = 210/3 = 70 km/h. b) vm = 175/3 = 58,33 Km/h. c)velocidade escalar média.
24) , 
 a) , derivando a função da velocidade temos a = 6 m/s2. 
 b),
 c) 
d) 
para o módulo da velocidade diminui
para o módulo da velocidade é nulo
para o módulo da velocidade aumenta
 e) , em 
 f) , para a velocidade é sempre positiva
25) 
 
 
 
26) (constante)
 
 
 
27) 
 
28) a) 
 
29) 
	
a) 
b) 
30) a)Como o movimento tem aceleração constante, podemos usar a equação do MUV para estudar esta questão.
v2 = v02 – 2 aΔx. Sendo v =0 e Δx = D (distância necessária para parar o veículo) temos que 
D = v02 /(2 a), portanto a distância é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade e inversamente proporcional à desaceleração. Se a velocidade for reduzida à metade, a distância de frenagem será quatro vezes menor.
b) Se a desaceleração for dobrada, a distância de frenagem será duas vezes menor.
c) pensamos que deve ser a velocidade, devemos observar que a desaceleração pode não depender só do condutor e/ou do veículo. Podemos ter uma pista molhada ou suja de óleo por exemplo.
31) a) Devemos montar a equação de posição para o automóvel e para a motocicleta. No momento da ultrapassagem a posição do automóvel é a mesma da motocicleta, portanto devemos igualar estas posições.
Para o automóvel temos que: v0a = 0, aa = 3 m/s2 , xoa = 0
Substituindo estes dados na equação de posição para o MUV temos que
x = x0 + v0t + a t2 → xa = 3 t2 → xa = 1,5 t2
Para a motocicleta temos que: v0m = 22 m/s (constante), am = 0 , xom = 0
Substituindo estes dados na equação de posição para o MUV temos que
x = x0 + v0 t + a t2 → xm = 22 t 
xa = xm→ 1,5 t2 = 22 t. Resolvendo esta equação do segundo grau teremos t1 = 0 (no inicio, portanto não é o que estamos procurando) e t2 = 14,67 s. Portanto o automóvel ultrapassara a moto 14,67 s após o sinal ficar verde. 
b) Substituindo o tempo t2 em uma das equações de posição temos
xm = 22 . 14,67 = 322,74 m
c) Substituindo o tempo t2 na equação de velocidade para o automóvel temos
v = v0 +a t→ va = 3. 14,67 = 44,01 m/s
32) 
 a) 
 
 No ponto de encontro, temos que:
 
 
 b) 
33) 
 a) 
 b) Não.
34) 
 a) 
 b) 
35) 
 a) 
 b) tempo de subida
 o tempo de subida é igual ao tempo de descida.
36) a) 
 
 b) 
 velocidade inicial na segunda metade do percurso.
 
37) a) de A até B, temos que:
 
 
 
 de B até C (altura máxima), temos que:
 
 
 
 b) de C até A (queda), temos que:
 
 
38) A velocidade inicial do pacote é a mesma do balão
 a) 
 
 b) 
 
39) a) para a bola, temos que:
 
 
 para o elevador, temos que:
 
 
 
 Quando a bala volta para o piso do elevador, temos que:
 
 70º
250º
y
x
40) 
 a) 
 b) 
41) y
x
 a) 
 b) 
42) 
 
y
x
43) , 
 a) 
 b) 
 c) 
44) a) 
 b) 
 c) 
45) a) 
 b) 
 c) e (d) semelhante aos itens (a) e (b)
 e) 
 f) semelhante ao item (b)
 (g), (h), (i) ,(j) semelhantes aos itens (e) e (f)
 k) o ângulo é de 
46) a) O vetor deslocamento está no quarto quadrante. b) O módulo é dado por d = = 8,6m. Para determinar o ângulo temos que tg θ = - 7/5 → θ = - 54,46o.
47) a) O módulo é dado por A = = 9,85cm
O vetor está no quarto quadrante num ângulo θ com o eixo x positivo. Para determinar o ângulo temos que tg θ = -9/4 → θ = - 66,04o.
b) O módulo é dado por B = = 6,32cm
O vetor está no segundo quadrante num ângulo θ com o eixo x negativo. Para determinar o ângulo temos que tg θ = -2/6 → θ = - 18,43o.
c) O módulo é dado por C = = 8,06cm
O vetor está no terceiro quadrante num ângulo θ com o eixo x negativo. Para determinar o ângulo temos que tg θ = -7/-4 → θ = 60,25o.
d) O módulo é dado por D = = 5,83cm
O vetor está no primeiro quadrante num ângulo θ com o eixo x positivo. Para determinar o ângulo temos que tg θ = 5/3 → θ = 59,04o.
48) a) Ay = A sen30o = 7 sen30o = 3,5 cm
Ax = A cos30o = 7 cos30o = 6,06 cm
By = - B sen40o = - 15 sen40o = - 9,64 cm
Bx = B cos40o = 15 cos40o = 11,49 cm
b) Vamos inicialmente calcular o vetor resultante.
 = ( Ax + Bx) + ( Ay + BY ) = ( 6,06 + 11,49) + ( 3,5 – 9,64 ) 
= ( 17,55 cm) + ( - 6,14 cm ) 
O modulo é R = = 18,59 cm
Vamos determinar o ângulo que o vetor resultante faz com o eixo x
tg θ = - 6,14/ 17,55 → θ = -19,28o. O vetor resultante está no quarto quadrante num ângulo θ = -19,28o com o eixo x positivo.
49) a) Ay = - A sen30o = - 9 sen30o = - 4,5 cm
Ax = - A cos30o = - 9 cos30o = - 7,79 cm
By = - B sen40o = - 17 sen40o = - 10,93 cm
Bx = B cos40o = 17 cos40o = 13,02 cm
b) Vamos inicialmente calcular o vetor resultante.
 = ( Ax + Bx) + ( Ay + BY ) = ( - 7,79 + 13,02) + ( - 4.5 – 10,93 ) 
= ( 5,23 cm) + ( - 15,43 cm ) 
O modulo é R = = 16,29 cm
Vamos determinar o ângulo que o vetor resultante faz com o eixo x
tg θ = - 15,43/ 5,23 → θ = - 71,27o. O vetor resultante está no quarto quadrante num ângulo θ = - 71,27o com o eixo x positivo
50) y
45º
x
105º
30º
45º
30º
30º
 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
51) Inicialmente vamos determinar as componentes de cada vetor na direção x e y.
Ax = 9 cos30o = 7,79 cm; Ay = 9 sen30o = 4,5cm
Bx = - 8 sen70o = - 7,52 cm; By = 8 cos70o = 2,74 cm
Cx = - 6 cos60o = - 3 cm; Cy = - 6 sen60o = - 5,19 cm
a )Cálculo do vetor resultante. 
 = ( Ax + Bx) + ( Ay + BY ) = (7,79 -7,52) + (4.5 + 2,74 ) = ( 0,27 cm) + ( 7,24 cm ) 
O modulo é R1 = = 7,25 cm
Para determinar o ângulo que o vetor resultante faz com o eixo x temos que
tg θ = → θ = 87,87o, portanto o vetor resultante está no primeiro quadrante com um ângulo de 87,87o com o eixo x positivo, ver figura.
y
x
87,87º
b) = ( Ax + Cx) + ( Ay + CY ) = (7,79 - 3) + (4.5 – 5,19 ) = ( 4,79 cm) - ( 0,7 cm ) 
O modulo é R2 = = 4,84 cm
tg θ = → θ = 8,3o, portanto o vetor resultante está no quarto quadrante com um ângulo de 8,3o com o eixo x positivo, ver figura.
y
x
8,3º
c) = ( Bx + Cx) + ( By + CY ) = (-7,52 - 3) + (2,74 – 5,19 ) = (-10,52 cm) - ( 2,45 cm ) 
O modulo é R3 = = 10,80 cm
tg θ = → θ = 13,1o, portanto o vetor resultante está no terceiro quadrante com um ângulo de 13,1o com o eixo x negativo, ver figura.
y
13,1º
x
d ) = (Ax + Bx + Cx) + (Ay + By + CY ) = (7,79 -7,52 - 3) + ( 4,5 + 2,74 – 5,19 ) = 
(- 2,73 cm) - ( 2,05 cm ) 
O modulo é R4 = = 3,41 cm
tg θ = → θ = 36,9o, portanto o vetor resultante está no segundo quadrante com um ângulo de 36,9o com o eixo x negativo, ver figura.
y
36,9º
x
52) 
 a) 
53) , , 
 
54) 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
55) 
 a) 
 b) 
56) , , 
 a) x
y
 b) 
 
57) , 
 a) 
 b) 
 c) 
58) a) Para determinarmos a velocidade devemos derivar o vetor posição em relação ao tempo e depois substituir o tempo t = 2s na expressão da velocidade.
 = - 12 t 3 + 21 t2 = - 12 . 2 3 + 21 . 22 = - (96 m/s) + (84 m/s) 
O módulo da velocidade é dado por v = = 127,56 m/s
Para determinar o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo x temos que
tg θ = → θ = - 41,10o, portanto o vetor velocidade está no segundo quadrante com um ângulo de - 41,10o com o eixo x negativo.
 Para determinarmos a aceleração devemos derivar o vetor velocidade em relação ao tempo e depois substituir o tempo t = 2s na expressão da aceleração.
 = - 36 t 2 + 42 t = - 36 . 2 2 + 42 . 2 = - (144 m/s2) + (84 m/s2) 
O módulo da aceleração é dado por a = = 166,71 m/s2
Para determinar o ângulo que o vetor aceleração faz com o eixo x temos que
tg θ = → θ = - 30,26o, portanto o vetor aceleração está no segundo quadrante com um ângulo de - 30,26o com o eixo x negativo.
b) Derivando a equação de posição temos a equação da velocidade, portanto 
 = ( 14 t + 5 ) + ( 15 t2 – 4 t ) = ( 14 . 2 + 5 ) + ( 15 . 22 – 4 .2) = (33 m/s) + (52 m/s) 
O módulo da velocidade é v = = 61,59 m/s
tg θ = → θ = 57,6o, portanto o vetor velocidade está no primeiro quadrante com um ângulo de 57,6o com o eixo x positivo.
Derivando a equação da velocidade temos a equação da aceleração, portanto 
 = ( 14 ) + ( 30 t – 4 ) = ( 14 ) + ( 30 . 2 – 4) = (14 m/s2) + (56 m/s2) 
O módulo da aceleração é dado por a = = 57,72 m/s2
tg θ = → θ = 75,96o, portanto o vetor aceleração está no primeiro quadrante com um ângulo de 75,96o com o eixo x positivo.
c) De maneira semelhante aos itens anteriores teremos
A velocidade é = ( 12 t2 + 6 t ) + ( -20 t3+ 6 t2 ) = ( 12 .22 + 6 . 2 ) + ( -20 . 23+ 6 . 22 ) 
= (60 m/s) - (136 m/s) 
O módulo da velocidade é v = = 148,65 m/s
tg θ = → θ = - 66,19o, portanto o vetor velocidade está no quarto quadrante com um ângulo de -66,19o com o eixo x positivo.
A aceleração é = ( 24 t + 56 ) + ( - 60 t2+ 12 t ) = ( 24. 2 + 56 ) + ( - 60 . 22+ 12 . 2 ) 
= (54 m/s2) - (216 m/s2) 
O módulo da aceleração é a = = 222,65 m/s2
tg θ = → θ = - 75,96o, portanto o vetor aceleração está no quarto quadrante com um ângulo de -75,96o com o eixo x positivo.
59) a)
 b) 
 c) é constante 
 d) O mesmo, o tempo de queda depende somente das componentes verticais do movimento.
60) a) Na vertical, temos que: 
 
 
 b) Na horizontal, temos que:
 
 
61) a) Na vertical, temos que: 
 
 
 b) Na horizontal, temos que:
 
 
62) 
 
 
 a) 
 b) 
 c) e (d) basta substituir o tempo , nas equações anteriores
63) 
a) Na horizontal, temos que:
 
 
 Na vertical, temos que:
 
 
b) 
 
c) Não, é positivo a bola ainda sobe.
64) 
 de B até C, temos que:
 a) 
 
b) Cálculo do tempo de queda (C até D)
 
 
 o tempo de subida é igual ao tempo de descida
 constante
 
 c) 
 
 
 
65) 
 
 
 isolando t, em x e substituindo em y, temos que:
 
 não bateu
 não bateu
 já bateu
 Como a bola bate no terceiro degrau
66) a) v0x = v0 cos 50o = 15 cos 50o = 9,64 m/s
v0y = v0 sen 50o = 15 sen 50o = 11,49 m/s
b) Inicialmente vamos calcular o tempo gasto para a bola atingir a altura máxima usando a equação da velocidade para o movimento vertical.
vy = v0y – g t, no ponto altura máxima vy = 0 → 0 = 11,49 – 9,8 t→ t = 1,17 s
Substituindo este tempo na equação de posição para o movimento vertical, considerando y0 = 0, temos que
y = y0 + v0y t - g t2 → y = 11,49 . 1,17 - . 9,8 . 1,172 → hmáx = 6,73 m
c)
Cálculo do tempo total
Como o tempo de subida é igual ao tempo de descida o tempo total é:
t = 2 . 1,17 = 2,64 s. 
 Substituindo o tempo total na equação de posição para o movimento horizontal, considerando x0 = 0, temos que
x = x0 + v0x t→ x = 9,64 . 2,64 =22,56 m.
67) Como as velocidades estão na mesma direção, basta considerar os sentidos.
 a) 
 Rio acima
 b) 
 Rio abaixo
68) 
 
 
21
xxx
D=-
 y 
 𝐴
Ԧ
 
 30
o
 x 
 40
o 
 
 𝐵
ሬԦ
 
 y 
 
 30o x
 40o
 
b )O módulo , a direção e o sentido do vetor resultante 𝑅
ሬԦ
 = 𝐴
Ԧ
 + 𝐵
ሬԦ
 . 
 y 
 x 
 30
o
 40
o 
 𝐴
Ԧ
 𝐵
ሬԦ
 
 
b )O módulo , a direção e o sentido do vetor resultante = + .
 y 
 x
 30o 40o
 
r
r
(
)
r
r
r
r
ˆ
ˆˆ
rxiyjzk
=++
r
(
)
r
D
r
21
m
xx
x
v
tt
-
D
==
DD
1
r
r
2
r
r
21
ˆ
ˆˆ
rrrxiyjzk
D=-=D+D+D
rrr
(
)
m
v
r
r
D
r
m
v
r
m
r
v
t
D
=
D
r
r
(
)
v
r
0
ˆ
ˆˆ
lim
t
rdrdxdydz
vijk
tdtdtdtdt
D®
D
===++
D
r
r
r
x
D
,
x
dx
v
dt
=
y
dy
v
dt
=
,
z
dz
v
dt
=
ˆ
ˆˆ
xyz
vvivjvk
=++
r
()
m
a
r
1
v
r
2
v
r
m
a
r
m
v
a
t
D
=
D
r
r
t
D
(
)
a
r
0
ˆˆ
ˆˆˆˆ
lim
y
x
z
xyz
t
dv
dv
dv
vdv
aijkaiajak
tdtdtdtdt
D®
D
===++=++
D
rr
r
ˆ
ˆˆ
r
r=(5,0m)i-(3,0m)j+(2,0m)k
ˆ
ˆˆ
r
r=5,0i-6,0j+2,0k
ˆ
ˆˆ
r
r=-2,0i+8,0j-2,0k
ˆ
ˆˆ
r
2
r=3,00ti-4,00tj+2,00k
()
vt
r
v
r
ˆ
ˆˆ
r
2
r=i+4tj+tk
ˆ
distancia percorrida
tempo
m
=
v
ˆ
ˆˆ
r
v=4,0i-2,0j+3,0k
ˆ
ˆˆ
r
v=-2,0i-2,0j+5,0k
med
a
r
ˆˆ
r
34
r=(2,00t-5,00t)i+(6,00-7,00t)j
r
v
0
v
r
0
q
0
lim
t
xdx
v
tdt
D®
D
==
D
0
0
x
=
0
0
y
=
000
ˆˆ
xy
vvivj
=+
r
0
x
v
0
y
v
000
cos
x
vv
q
=
000
y
vvsen
q
=
(0)
x
a
=
0
()
xx
vv
=
21
21
m
vv
v
a
ttt
-
D
==
D-
00000
cos
x
xxvtxxvt
q
=+Þ=+
()
y
ag
=-
22
00000
11
22
y
yyvtgtyyvsentgt
q
=+-Þ=+-
000
yyy
vvgtvvsengt
q
=-Þ=-
2222
000
2()2
yyy
vvgyvvsengyq
=-DÞ=-D
2
0
2
00
()
2(cos)
gx
ytgx
v
q
q
=-
00
(,saoconstantes)
veg
q
%
2
0
0
2
v
Rsen
g
q
=
2
2
dvdx
a
dtdt
==
ˆˆ
r
v=7,6i+6,1j
ˆ
i
ˆ
j
PAPBBA
rrr
=+
rrr
PA
r
®
r
PB
r
®
r
BA
r
®
r
PAPBBA
vvv
=+
rrr
PA
v
®
r
PB
v
®
r
0
vvat
=+
BA
v
®
r
AB
v
r
PAPB
aa
=
rr
AB
PP
aea
®
rr
ˆˆ
(-9m)i+(10m)j
ˆˆ
r
R=(0,27i+7,25j)cm;7,25cm
1
r
R
1
r
R
1
ˆˆ
r
R=(4,79i-0,7j)cm;4,84cm
2
r
2
R
2
00
2
at
xxvt
=++
r
2
R
ˆˆ
r
R=(-10,52i-2,46j)cm;10,80cm
3
r
3
R
r
3
R
ˆˆ
r
R=(-2,73i+2,04j)cm;3,41cm
4
r
4
R
r
4
R
ˆ
ˆˆ
(-0,7i+1,4j-0,4k)m/s
ˆˆ
(3i-8tj)m/s
ˆˆ
(3i-16j)m/s
ˆ
ˆ
(8tj+k)m/s
ˆ
2
8jm/s
ˆˆ
(-1,5i+0,5j)
22
0
2
vvax
=+D
ˆˆ
(6i-106j)
ˆˆ
(19i-224j)
ˆˆ
(24i-336j)
®
1
40
xKm
D=
1
30/
VKmh
=
2
40
xKm
D=
2
60/
Vkmh
=
11
11
11
404
303
xx
Vth
tV
DD
=ÞD===
D
0
.
xxvt
=+
2
2
2
402
603
x
th
V
D
D===
12
12
4040
40/
42
33
m
xx
x
VKmh
ttt
D+D
D+
====
DD+D
+
40/
m
VKmh
Þ=
q
q
80
40/
2
m
tgVKmh
q
===
1
73,2
xm
D=
1
122/
Vms
=
2
73,2
xm
D=
2
3,05/
Vms
=
11
11
11
73,2
60
1,22
xx
Vts
tV
DD
=ÞD===
D
0
'''
00
00
vtt
v
dv
advadtvvadtvvat
dt
=Þ=Þ-=Þ-=
òòò
2
2
2
73,2
24
3,05
x
ts
V
D
D===
12
12
73,273,2
1,74/
6024
m
xx
x
Vms
ttt
D+D
D+
====
DD+D+
1
1min60
ts
D==
1
1,22/
Vms
=
2
60
ts
D=
111
1,226073,2
xVtm
D=D=×=
222
3,05.60183
xVtm
D=D==
12
12
73,2183
2,135/
6060
m
xx
x
Vms
ttt
D+D
D+
====
DD+D+
2
4123
xtt
=-+
1
ts
=
12612616/
dx
VtVVms
dt
==-+×Þ=-+×Þ=-
negativo
0
V
<
6/
Vms
=
0
''''
00
00
()
xtt
x
dx
vdxvdtxxvatdt
dt
=Þ=Þ-=-
òòò
12,
t
<<
2,
ts
=
2,
ts
>
Sim
2
ts
=
Nao
3
ts
>
2,4
Ats
=
0
18/
Vms
=
30/
Vms
=-
2
00
2
at
xxvt
Þ-=+Þ
0
3018
20/
2,4
m
VV
V
ams
tt
-
D--
====-
DD
2
50/
ams
=
0
0
V
=
100/27,78/
VKmhms
==
0
27,78500,55
VVattts
=+Þ=×Þ=
minmax0
360/,1,8,0
VKmhaxKmV
=ÞD==
2222
0minmin
236021,83600/
VVaxaaKmh
=+DÞ=××Þ=
2
0
5,2/,137/38,05/,90/25/
amsVKmhmsVKmhms
=-====
0
2538,055,22,5
VVattts
=+Þ=-Þ=
00
56/15,55/,0,24
VKmhmsxxm
====
222
00
11
2415,55223,55/
22
xxVtataams
=++Þ=×+×Þ=-
0
15,553,5528,45/
VVatVVms
=+Þ=-×Þ=
2
0000
2,2/,0,9,5/,0,0
AACACc
amsVVmsxxa
=====
222
00
11
2,21,1
22
AAAAA
xxVtatxtt
=++Þ=×=×
0
9,5
CCCC
xxVtxt
=+Þ=×
2
00
1
2
y
yyvtgt
=+-
2
1,19,58,64
AC
xxttts
=Þ×=×Þ=
(
)
2
2
1,11,18,6482
A
xtm
Þ=×=×=
0
2,28,6419/
AAAAA
VVatVVms
=+Þ=×Þ=
00
1700,0,0
ymyV
===
222
0
229,8(01700)183/659/
VVgyVVmsKmh
=-DÞ=-××-Þ==
0
24/,0,0
VmsVy
===
222
000
22429,8(0)29,39
VVgyyym
=-DÞ=-××-Þ=
0
249,82,45
VVgttts
=-×Þ=×Þ=
0
0,50,0
yymV
===
0
yy
vvgt
=-
2222
000
2029,8(500)31/
VVgyVVms
=-DÞ=-××-Þ=
0
0319,83,16
VVgttts
=-×Þ=-×Þ=®
''
223,166,33
ttts
=×=×Þ=®
00
100,0,50
ymVym
===
22
0011
19,8
501003,2
22
yyVtgttts
=+-Þ=-×Þ=
''
0
50,0
ymy
==
'
00
9,83,231,36/
VVgtmsV
=-×=×=-=®
'''22
0022222
19,8
05031,361,3
22
yyVtgtttts
=+-Þ=-×-×Þ=
2
0
0,0,4/,6
AAABAB
VVyamsts
=====
22
0
2
yy
vvgy
=-D
22
11
4672
22
BAAABABABB
yyVtatym
=++Þ=××=
4624/
BAABAB
VVatms
=+×=×=
0
C
V
=
0249,82,45
CBBCBCBC
VVgttts
=-×Þ=-×Þ=
22
19,8
72242,45(2,45)101,38
22
CBBBCBCC
yyVtgtym
=+-Þ=+×-=
22
19,8
0101,384,55
22
ACCCACACACA
yyVtgttts
=+-Þ=-Þ=
62,454,5513
ABBCCA
ttttts
=++=++Þ=
00
12/,80,0
Vmsymy
===
22
00
19,8
080125,4
22
yyVtgtttts
=+-Þ=+×-×Þ=
0
129,85,441/
VVgtVVms
=-×Þ=-×Þ=-
q
00max
28230,102030/,0
BBB
ymVmshV
=+==+=Þ=
222
0max
203029,8(30)76
BBBBB
VVgyyyhm
=-DÞ=-××-Þ==
00
28,10/,0
eee
ymVmsa
===
00
2810
eeee
yyVtyt
=+Þ=+
22
00
19,8
3030
22
BBBB
yyVtgtytt
=+-Þ=+-
q
2
281030304,9
eB
yyttt
=Þ+=+-
a
r
a
r
2
4,920204,2
ttts
Þ--=Þ=
7,3
am
=
cos707,3cos702,5
X
aam
=-°=-°=-
222
s = a + b + 2ab cos 
q
707,3706,9
y
aasensenm
=-°=-°=-
a
A
r
a
A
r
25,40
Xy
AmAm
=-=
2222
254047,2
Xy
AAAm
=+=+=
40
58122
25
y
X
A
tgtg
A
qqqa
=Þ=Þ=°Þ=°
cos3015cos3013
X
rrm
=°=°=
3015307,5
y
rrsensenm
=°=°=
r
r
ˆˆ
(4)(3)
amimj
=+
r
ˆˆ
(13)(7)
bmimj
=-+
r
22
s = a + b + 2ab cos 
q
ˆˆˆˆ
(413)(37)(9)(10)
rabijmimj
=+=-++=-+
r
rr
22
91013
rm
=+=
10
48132
9
tg
qqa
=Þ=°Þ=°
7,44,411,8
XXX
rcdm
=+=+=
3,825,8
yyy
rcdm
=+=--=-
6,13,32,8
zzz
rcdm
=+=-+=-
22
435
am
=+=
3
37
4
tg
qq
=Þ=°
ˆˆˆˆ
(46)(38)(10)(5)
rabijmimj
=+=++-+=+Þ
r
rr
22
10511,18
rm
=+=
22
s = a + b
()
baab
-=--Þ
rr
rr
180
°
b
r
x
y
Û
b
r
x
y
Û
10
abm
==
cos30cos4510cos3010cos451,59
X
rabm
=°-°=°-°=
3045103010cos4512,1
y
rasenbsensenm
=°+°=°+°=
r
r
22
xy
V = V + V 
x
y
q
2222
(1,59)(12,1)12,2
Xy
rrrm
=+=+=
12,1
82,5
1,59
y
X
r
tgtg
r
qqq
=Þ=Þ=°
ˆ
ˆˆ
(5)(3)(2)
=-+
r
rmimjmk
222
5326,16
=++=
rm
1
ˆ
ˆˆ
562
=-+
r
rijk
2
ˆ
ˆˆ
282
rijk
=-+-
r
10
ts
D=
21
(25)(86)(22)
ˆ
ˆˆ
(0,71,40,4)/
10
m
rr
r
Vijkms
tt
-
D--+++--
====-+-
DD
rr
r
r
2
ˆ
ˆˆ
342
rtitjk
=-+
r
a
r
v
r
v
r
ˆˆ
(38)/
dr
Vitjms
dt
==--
r
r
ˆˆˆˆ
2382(316)/
tsVijijms
=Þ=-×=-
r
22
31616,28/
Vms
=+=
16
79,4
3
tg
qq
=Þ=°
2
ˆ
ˆˆ
4
ritjtk
=++
r
ˆ
ˆ
(8)/
dr
Vtjkms
dt
==+
r
r
2
ˆ
(8)/
dV
ajms
dt
==
r
r
1
ˆ
ˆˆ
423
Vijk
=-+
r
4
ts
D=
r
A
2
ˆ
ˆˆ
225
Vijk
=--+
r
2
21
ˆ
ˆˆˆˆ
(24)(22)(53)62
ˆ
ˆ
(1,50,5)/
44
mm
VVVijkij
aaikms
tt
D---+-++--+
====Þ=-+
DD
rrr
rr
222
1,50,51,58/
ams
=+=
0,5
18,4161,6
1,5
tg
qqa
=Þ=°Þ=°
34
ˆˆ
(25)(67)
rttitj
=-+-
r
34
ˆˆˆˆ
(2252)(672)(6106)
rijijm
=×-×+-×=-
r
2323
ˆˆˆˆˆˆ
(65)28(625)282(19224)/
dr
Vtitjijijms
dt
==--=×--×=-
r
r
222
ˆˆˆˆˆˆ
1284122842(24336)/
dV
atitjijijms
dt
==-=×-×=-
r
r
0
0
y
V
=
0
350/
X
Vkmh
=
0
XX
aV
=Þ®
0
350/
XX
VVkmh
Þ==
2
00
0,1,91,910,0
y
Vycmmy
-
===×=
222
00
19,8
01,9100,062
22
y
yyVtgttts
-
=+-Þ=×-×Þ=
000
0,30,0,
xx
xxmaVV
====
000
300,062483,87/
ox
xxVtVVms
=+×Þ=×Þ=
00
0,1,2,0
y
Vymy
===
22
00
19,8
01,20,49
22
y
yyVtgttts
=+-Þ=-×Þ=
000
0,1,52,0,
xx
xxmaVV
====
r
r
000
1,520,493,1/
ox
xxVtVVms
=+×Þ=×Þ=
000
20/,0,0
Vmsxy
===
00
cos4020cos4015,32/
x
VVms
=°=×°=
00
40204012,85/
y
VVsensenms
=°=×°=
1001
15,321,116,85
x
xxVtm
=+=×=
22
10011
19,8
12,851,1(1,1)8,21
22
y
yyVtgtm
=+-=×-=
2
1,8
ts
=
0
25/
Vms
=
000
0,0,22,cos4025cos4019,15/
xx
axxmVVms
====×°=×°=
0
2219,151,15
ox
xxVttts
=+×Þ=×Þ=
000
0,40254016,07/
y
yVVsensenms
==×°=×°=
22
00
19,8
16,071,15(1,15)12
22
y
yyVtgtm
=+-=×-×Þ
0
19,15/
xx
VVms
==
0
16,079,81,154,8/
yy
VVgtms
=-=-×=
y
V
ˆˆ
7,66,1
Vij
=+
r
max
0,6,1/
ycyb
yVVms
Þ==
2222
37,21
20(6,1)29,81,898
29,8
ycyb
VVgyyym
=-DÞ=-××DÞD==
×
max
9,11,89810,89811
b
yyymm
=+D=+=@
ˆˆ
(4,0)(3,0)
amimj
=+
r
00
0,11,0
Dcc
yyyymVV
======
22
00
19,8
0111,5
22
y
yyVtgttts
=+-Þ=-×Þ=
'
23,7,6/
x
ttsVms
===®
0
7,6322,8
ox
xxVtxm
=+×Þ=×Þ
7,6/
x
Vms
=
09,81,514,7/
yDyc
VVgtms
=-=-×=-
2222
(7,6)(14,7)16,55/
xy
VVVms
=+=+-=
14,7
63
7,6
tg
qq
=Þ=°
00
1,52/,0
xy
VmsV
==
22
00
1
4,9
2
y
yyVtgtyt
=+-Þ=-
ˆˆ
(13)(7,0)
bmimj
=-+
r
0
1,52
ox
xxVtxt
=+×Þ=
2
2,12
yx
=-
22
11
/20,3108,7410
pxmym
--
=×Þ=-×®
22
22
/40,61034,9410
pxmym
--
=×Þ=-×®
22
33
/60,91078,6310
pxmym
--
=×Þ=-×®
33
yx
>®
14/,9/
BAAM
VKmhVKmh
==-
1495/
BMBAAMBM
VVVVKmh
=+Þ=-=®
rrr
6/
CB
VKmh
=-
651/
CMCBBMCM
VVVVKmh
=+Þ=-+=-®
rrr
ˆˆˆ
(8/),(50/)(13,89/)
NSSM
VmsjVKmhimsi
=-=-=-
rr
r
V
NM
r
V
SM
r
V
NS
r
V
NM
r
V
SM
r
V
NS
ˆˆ
(8/)(13,89/)
NMNSSM
VVVmsjmsi
=+=--
rrr
b
r
13,89
60
8
tg
qq
=Þ=°
i
r
c
r
d
r
ˆˆ
r
a=(4,0m)i-(3,0m)j
ˆˆ
r
b=(6,0m)i+(8,0m)j
ˆ
i
r
a
r
b
r
r
a+b
r
r
b-a
r
r
a-b
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r
b-a