Aula 7- Elementos Geométrico

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Infraestruturas de vias 
Terrestres
Aula 7-Elementos Geométrico 
-CIV 256-
Prof. Ms. Marina Bedeschi
Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas – DECIV
Elementos Geométrico
Elementos 
Geométricos
Axiais
Planimétricos
Tangentes
Curvas 
horizontais
Altimétricos
Greides retos
Curvas 
Verticiais
Transversais
Seções em 
aterro
Seções em 
corte
Seções mistas
Elementos Geométricos Axiais Planimétricos
Os principais elementos que formam a geometria do traçado em
planta são:
a) Diretriz, Azimute e ângulo de deflexão
b) Tipo de Concordância horizontal e seus elementos
Elementos Geométricos Axiais Planimétricos
a) Diretriz, Azimute e ângulo de deflexão
1. Extensão: obtido através do 
estaqueamento e suas 
coordenadas retangulares. 
2. Posição absoluta: 
determinado pelo Azimute 
ou Rumo (Az). 
3. Posição relativa: 
determinado pelo ângulo de 
deflexão (∆).
Elementos Geométricos Axiais Planimétricos
b) Tipo de Concordância horizontal e seus elementos
• Curva circular simples simétrica.
• Curva circular composta
• Curva circular com transição.
Curvas de Concordância Horizontal
As curvas de concordância são elementos utilizados para concordar
os alinhamentos retos.
Curva circular simples: quando se emprega apenas um arco de
círculo
Curvas de Concordância Horizontal
Composta com transição: quando são empregados as radióides na
concordância dos alinhamentos
Curvas de Concordância Horizontal
Composta sem transição: quando são empregados dois ou mais
arcos de círculos de raios diferentes
• Adapta o traçado a uma topografia acidentada.
Curvas de Concordância Horizontal
• Curvas reversão: quando duas curvas se cruzam em sentidos
opostos com o ponto de tangencia em comum.
Características Geométricas das Curvas 
Circulares Simples Horizontais Simétricas
• MAB - Sentido do caminhamento
• PC - Ponto de concordância de curva
• PI - Ponto de intercessão entre as tangentes
• PT - Ponto de tangencia
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais Simétricas
NOMENCLATURA:
• R – Raio da curva
• ÂC – Ângulo central
• T– Tangente externa
• D – Desenvolvimento ou comprimento do
arco AC
• E – Afastamento
• ∆ ou Î - Ângulo de deflexão entre as
tangentes
Características Geométricas 
das Curvas Horizontais 
Simétricas
NOMENCLATURA:
• G – Grau da curva
• c- corda
• d- deflexão sobre a tangente
• F –afastamento da curva à corda de PC à
PT
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais Simétricas
a) Determinação do raio R e ângulo central AC
• Obtidos graficamente durante a elaboração do projeto em planta
• R em metros
• AC em graus
É um elemento selecionado por ocasião do projeto, de acordo
com as características técnicas da rodovia e a topografia da região.
A escolha do valor do raio pode ser feita também por meio de
gabaritos, que representam, na escala da planta, trechos de curvas
circulares de diversos raios, de valores convenientemente
escalonados.
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais Simétricas
b) - Relação entre ∆ e AC
∆+x=180°
x=180°- ∆
A soma dos ângulos internos do quadrilátero PC, PI, PT, O vale:
𝑥 + 90° + 𝐴𝐶 + 90° = 360°
180° − ∆+ 𝐴𝐶 + 180° = 360°
∆ = 𝐴𝐶
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais Simétricas
c) Tangente Externa (T)
• Triangulo (O, PC, PI ) é retângulo
𝑡𝑔
𝐴𝐶
2
=
𝑇
𝑅
T=R.𝑡𝑔
𝐴𝐶
2
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais Simétricas
d) - Afastamento ( E )
𝑠𝑒𝑛
𝐴𝐶
2
=
𝑇
(𝐸 + 𝑅)
cos
𝐴𝐶
2
=
𝑅
(𝐸+𝑅)
E= 𝑇. ta𝑛
𝐴𝐶
4
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais Simétricas
f) Grau de curvatura (G ou G20)
É o ângulo correspondente a uma determinada corda de comprimento c.
O grau independe do ângulo central.
𝐺
𝑐
=
 𝐴𝐶
𝐷
𝐺 =
𝑐. 𝐴𝐶
𝐷
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais Simétricas
f) Grau de curvatura (G ou G20)
sen
𝐺
2
=
𝑎𝑑
𝑅
=
𝐶
2𝑅
Considerando o estaqueamento (20m)
 𝑎𝑏=𝑎𝑏=c=20m 
sen
𝐺
2
=
20
2𝑅
sen
𝐺
20
2
=
10
𝑅
𝐺20 =2.arcsen(
10
𝑅
)
c
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais Simétricas
f) Grau de curvatura (G ou G20)
𝐺𝑐 =
c. AC
𝐷
𝐺20 =
 AC.20
𝐷
𝐺𝑐 =2.arcsen(
𝑐
2𝑅
) 𝐺20 =2.arcsen(
10
𝑅
)
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais Simétricas
g) Desenvolvimento do trecho circular (D)
É o comprimento do arco de círculo compreendido entre os pontos PC e PT .
D=
2.𝜋.𝑅.Â𝐶
360°
D=
𝜋.𝑅.Â𝐶
180°
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais Simétricas
g) Desenvolvimento do trecho circular (D)
Expresso em função de G e c
𝐺
𝐴𝐶
=
𝑐
𝐷
D=
𝑐.Â𝐶
𝐺
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais Simétricas
h) Deflexão (d)
dT - Ângulo de deflexão total do ponto B em relação a tangente
Triangulo OAd é retângulo
OÂB= G
x+ dT=90° x=90°- dT
x+
𝐺
2
+90°=180° (soma dos ângulos internos)
90°-dT +
𝐺
2
+90°=180° dT=
𝐺
2
ou dT=
∆
2
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais Simétricas
h) Deflexão por metro (dm)
Normalmente se busca uma deflexão unitária ou deflexão por metro (dm). A deflexão
por metro é o ângulo do segmento que corresponde a uma corda de 1 metro, que parte
de PC 𝐴𝐶
𝐺/2
=
𝐴𝐶1
𝐺1
AC=
𝑐
2
AC1=1m
G1=2.dm
Considerando: Substituindo temos:
𝑐/2
𝐺/2
=
1
2. 𝑑𝑚
𝑑𝑚 =
𝐺
2.𝑐
ou 𝑑𝑚 =
𝐺
20
40
Considerando o 
estaqueamento!!
Corda
ângulo
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais Simétricas
i) Estacas do PC e PT
Est.(PC)= Est (PI)-T
Est. (PT)=Est.(PC)+D
Curvas Horizontais Simétricas
Itens usuais de projeto:
• Numeração das estacas múltiplas de 5;
• A indicação de PC e PT com o número das respectivas estacas são escritos ao
longo dos raios extremos das curvas;
• Na parte interna coloca se os valores dos principais elementos da curva.
Curvas Horizontais Simétricas
Costuma se também indicar corte e
aterros, e enquadrar o eixo da estrada
entre dois traços paralelos, cujo o
afastamento é a largura da plataforma. E
os elementos principais são colocados
no rodapé da folha de projeto.
Curvas horizontal circulares
Execução da concordância da curva circular simples:
Conhecendo se R e AC, o roteiro para o cálculo dos demais elementos da curva é:
1. Determinação da tangente (T);
2. Cálculo do desenvolvimento (D);
3. Cálculo do afastamento (E);
4. Calculo da deflexão por metro (dm)
5. Tendo o valor da estaca de PI, tem se a estaca de PC;
6. Determinação da estaca PT;
Exercício
1)Em uma curva horizontal circular, temos: ∆=45,5°, R=171,98m e
E(PI)=180+4,12m.
Determine os elementos T, D, E, G20, dt, dm e E(PC) e E (PT)
Locação de curvas circulares
Tipos de processo para locação das curvas:
• Transversais ou de interseção
• Ordenadas sobre a tangente
• Ordenadas sobre a corda
• Deflexão sobre a tangente é o processo empregado no Brasil que iremos
estudar
Locação de curvas circulares
Deflexão sobre a tangente
Consiste na locação dos pontos da curva por
meio de deflexões sucessivas combinadas com
cordas de 20 m. O processo baseia-se no
principio do ângulo de deflexão.
Locação de curvas circulares
Deflexão sobre a tangente
Suponhamos que o PC está localizado na
estaca 6, temos que marcar a estaca 7, 8, etc.,
que são equidistantes 20 metros. A curva é
definida pelo seu grau G (grau da curva é o
ângulo central da curva que subtende uma
corda determinada – 20 m).
Locação de curvas circulares
Deflexão sobre a tangente
Com o teodolito, ou estação total, em
PC, faremos a deflexão a, ângulo da
tangente com a visada para a estaca 7, de
valor igual a metade do grau da curva.
Assim sendo, sobre a visada PC-7, mede-
se a distância de 20 metros e tem-se a
estaca 7.
Locação de curvas circulares
Deflexão sobre a tangente
A estaca 8 será dada pelo ângulo b e pela
medição da corda 7-8 (que neste caso é de 20
metros). Para a estaca 9 teríamos
analogamente, distância 8-9 (20 metros),
situado sobre a visadaPC-9.
20m
a =1/2 G  ângulo G
b = G ângulo 2G
c = 3/2 Gângulo 3G
Locação de curvas circulares
Deflexão sobre a tangente
Neste caso, seguindo o conceito de deflexão, teríamos:
𝑑𝑡 = 𝑑1+
𝐺20
2
+
𝐺20
2
+...
d1=L.dm
d2=20.dm ...
Exemplo de cálculo de locação
1)Qual a deflexão necessária para locar a 1ª e a
2ª estacas da curva, pelo processo das
deflexões, sabe-se que o PC encontra-se:
• E(PC) = 25 + 9 m.
• G20=8°
• Raio=143,36m
Exemplo de cálculo de locação
Resolução:
Estaca 26
Distância PC- Est 26= 11m
Deflexão para 1° est. será:
dm=
𝐺
40
=
8°
40
= 0,2°= 12’
Deflexão para corda de 11m
d11: L*dm
d1=d11=11*12’=132’= 2°12’  d11= 2°12’
Exemplo de cálculo de locação
Resolução:
Estaca 27
d2=d11+d20
Deflexão para 20 m:
d20=
𝐺
2
=
8°
2
= 4°
d2= 2°12’+4°
d2= 6°12’
Exercício
2) Seja uma tangente cujo azimute é de 42° 10’. Na estaca 125 + 1,30m está o
PC de uma curva à direita que termina na estaca 133 + 4,94m (PT), de raio
312,58m, grau 3° 40’. A segunda tangente faz com a primeira um deflexão de
30°. Calcule a deflexão total da curva.
Exercício
3) Considerando os resultados do exercício abaixo (passado na aula anterior),
encontre as deflexões sucessivas (d1, d2,...) existentes entre PC e PT e a
deflexão total (dt)
Em uma curva horizontal circular, temos: ∆=45,5°, R=171,98m e
E(PI)=180+4,12m. Determine os elementos T, D, E, G20, d, dm e E(PC) e E
(PT)
Exercício- respostas
1) T=72,12m; D=136,55m; E=14,51m; G20=6,67°; d=3°20’; dm=10’
E(PC)=176+12m
E(PT)=183+8,55m
2) dt=15°
3) dm= 0,166671°; d1=1,334°; d2=3,335°; d7=1,4257°
dt=22,76°
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais de Transição (simétricas)
Um veículo ao passar de um alinhamento reto para uma curva circular, sofre
uma variação instantânea do raio infinito da reta para o raio finito da curva
circular, surgindo bruscamente uma força centrífuga que tende a desviar o
veículo de sua trajetória.
Assim, para assegurar o conforto e a segurança na curva e reduzir o incômodo
causado por essa variação brusca, intercala-se entre a tangente e a curva
circular uma curva de transição, na qual o raio de curvatura passe gradualmente
do valor infinito do trecho reto ao valor do raio da curva circular.
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais de Transição (simétricas)
Acima dos seguinte raios, é dispensável a implantação das curvas com transição
Vp
(km/h)
30 40 50 60 70 80 90 100
R (m) 170 300 500 700 950 1200 1550 1900
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais de Transição (simétricas)
Esta curva de transição deverá cumprir as seguintes funções:
a) Permitir uma variação progressiva da superelevação, teoricamente
nula nos trechos retos e de valor constate nos trechos circulares.
b) Possibilitar uma variação contínua de aceleração centrífuga na
passagem da tangente para o trecho circular.
c) Proporcionar um traçado fluente, sem impressão de descontinuidade
da curvatura e esteticamente agradável, graças à variação suave da
curvatura.
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais de Transição (simétricas)
TE ou TS
SC ou EC CS ou CE
ST ou ET
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais de Transição (simétricas)
Tipo de curvas usadas para a transição
Qualquer curva contínua cujo raio instantâneo varie de ponto para ponto
poderá ser usada como curva de transição, segundo os projetistas mais
experientes, algumas curvas especiais oferecem vantagens no seu uso, ou
pela maior facilidade de cálculo ou porque atendem melhor às exigências
de um bom traçado.
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais de Transição (simétricas)
Curvas usuais:
a) Clotóide ou Espiral (Espiral de Cornu,
Radióide aos Arcos ou Espiral Van Leber)
b) Lemniscata de Bernouilli
• maior facilidade de cálculo dos elementos da curva;
• facilidade no preparo dos elementos para as cadernetas
de locação
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais de Transição (simétricas)
Curvas usuais:
c) Parábola cúbica
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais de Transição (simétricas)
Para pequenos valores do ângulo de transição (caso normal dos traçados de
estradas) as três curvas relacionadas apresentam valores semelhantes. Devido a
maior facilidade de cálculo dos elementos da curva e preparo de elementos para
as cadernetas de locação muitas vezes são usadas a lemniscata ou a parábola
cúbica como curva de transição, porém, embora trabalhosa a espiral é a
curva que melhor atende as exigências de um traçado racional.
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais de Transição (simétricas)
Com o advento dos computadores que hoje permitem o rápido cálculo dos
diversos elementos da transição, bem como, a elaboração direta de cadernetas
de locação, o uso das espirais vem sendo cada vez mais generalizado.
Considerando a conveniência técnica do uso da espiral trataremos
apenas desse tipo de curva.
Características 
Geométricas das 
Curvas de 
Transição 
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais de Transição (simétricas)
a) Clotóide ou Espiral (Espiral de Cornu, Radióide aos Arcos
ou Espiral VanLeber)
A espiral é a curva descrita por um veículo que trafega a uma velocidade
constante, enquanto o motorista gira o volante a uma velocidade angular
constante.
A figura mostra esquematicamente uma espiral de equação: R . L = k² 
Para um ponto P genérico,
L = comprimento da curva desde a origem até o ponto P.
R = raio instantâneo no ponto P;
K² = parâmetro da espiral (constante).
Características Geométricas das Curvas 
Horizontais de Transição (simétricas)
a) Clotóide ou Espiral (Espiral de Cornu, Radióide aos Arcos ou Espiral VanLeber)
Clotóide ou Espiral
Por definição, a clotóide é uma curva tal que os raios de curvatura em qualquer
um dos seus pontos é inversamente proporcional aos desenvolvimentos dos seus
respectivos arcos.
Chamando L o comprimento do arco e R o raio,
temos que a lei de curvatura da clotóide é:
R*L=K²
Clotóide ou Espiral
A determinação da constante K está relacionada ao valor do comprimento de
transição (Ls) a ser adotado para a curva. Definido o valor de Ls a condição
necessária à concordância da transição com a circular impõe:
Rc . Ls = K² 
Rc = raio da curva circular;
Ls = comprimento de transição adotado.
Conhecido o valor do raio da curva circular (Rc) e adotado um valor conveniente
para o comprimento de transição (Ls) o valor da constante estará definido.
Clotóide ou Espiral
Valores Mínimos e Máximos do Comprimento de Transição
A determinação do comprimento mínimo de transição (Lsmin) é feita de forma
que a variação da aceleração centrípeta (ac) que atua sobre um veículo que
percorra a transição com uma velocidade (V) constante, não ultrapasse valores
confortáveis.
A variação confortável da aceleração centrípeta por unidade de tempo (J) não
deve ultrapassar o valor de 0,6 m/s³
Clotóide ou Espiral
Valor do Comprimento de Transição
Para um veículo que percorra a curva de transição com velocidade constante em
um tempo (ts), a variação da aceleração centrípeta será:
Clotóide ou Espiral
Valores Mínimos e Máximos do Comprimento de Transição
Adotando-se um Jmáx = 0,6 m/s³, podemos definir o valor do comprimento de
transição correspondente a essa variação máxima de aceleração centrípeta:
Lsmin = comprimento mínimo de transição (m);
Rc= raio do trecho circular (m);
V= velocidade de projeto (km/h).
𝐿𝑠𝑚í𝑛 = 0,036.
𝑉³
𝑅𝑐
Ls mín
Clotóide ou Espiral
Valores Mínimos e Máximos do Comprimento de Transição
A condição para chegarmos ao máximo comprimento de transição é (Lsmáx)
δ = 0.
δ = AC - 2θs
AC = 2θs ou θsmáx= AC/2
θsmáx = máximo valor do ângulo de transição.
AC-ângulo central, 
considera a curva toda
δ -é o ângulo do trecho 
circular
θ- é ângulo de transição
Ls máx
Clotóide ou Espiral
Valores Mínimos e Máximos do Comprimento de Transição
a) Valor máximo do comprimento de transição Ls:
Lsmáx= Rc . 2 . θsmáx
Lsmáx = Rc . AC 
• Rc = raio do trecho circular (m);
• AC = ângulo central (rad.).
Para AC em graus :
𝐿𝑠𝑚á𝑥 =
𝑅𝑐. 𝐴𝐶. 𝜋
180°
Clotóide ou Espiral
Valores Mínimos e Máximos do Comprimento de Transição
b) Escolha do Valor de Ls
A escolha de comprimentos de transição muito grandes geram grandes valores de E
(afastamento da curva circular), criando um deslocamento do trecho circular, em
relação à sua posição primitiva muito grande. Para chegarmos a um Ls desejável a
ser adotado no projeto, podemos utilizar um dos vários critérios abaixo:
O valor do comprimento de transição Ls
a ser adotado será necessariamente um
valor compreendido entre os limites:
Lsmin e Lsmáx.
Características 
Geométricas das 
Curvas de 
Transição 
Cálculo dos 
elementos 
necessários à 
definição da curva
Deduções no livro Glauco Filho
θs- ângulo variável, de acordo com Ls, sua 
representação deve ser a abertura das estacas 
TS a SC ou CS a ST
Cálculo dos 
elementos 
necessários à 
definição da curva
Se integrarmos temos:
substituindo K²
Deduções no livro Glauco Filho
𝑑𝐿 = 𝑅. 𝑑𝜃 =
𝐾²
𝐿
. 𝑑𝜃
𝑑𝜃 =
𝐿 𝑑𝐿
𝐾²
𝜃 =
𝐿²
2𝐾²
𝜃 =
𝐿²
2𝑅𝑐.𝐿𝑠
(rad)
Cálculo dos elementos necessários à definição 
da curva
Através da figura podemos obter as 
seguinte expressão:
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑑𝑥
𝑑𝐿
Podemos desenvolver cos𝜃 em uma 
série de potencias:
𝑑𝑥 = 1 −
𝜃2
2!
+
𝜃4
4!
−
𝜃6
6!
−⋯ 𝑑L
Cálculo dos elementos necessários à definição 
da curva
Deduções no livro Glauco 
Filho
Na prática podemos usar:
𝑋𝑠 = 𝐿𝑠. 1 −
𝜃𝑠2
10
+
𝜃𝑠4
216
Y𝑠 = 𝐿𝑠.
𝜃𝑠
3
−
𝜃𝑠3
42
De maneira análoga faz para:
senθ=dy/dL
Depois de integrar, obtemos as coordenadas dos 
pontos notáveis SC e CS: 
Cálculo dos elementos 
necessários à definição da 
curva
(θs em rad.)
𝑋𝑠 = 𝐿𝑠. 1 −
𝜃𝑠2
10
+
𝜃𝑠4
216
Y𝑠 = 𝐿𝑠.
𝜃𝑠
3
−
𝜃𝑠3
42
Coordenadas Xs e Ys:
Cálculo dos elementos necessários à 
definição da curva
Para introduzir as curvas espirais de
transição em uma curva circular, é
necessário que haja um afastamento (p).
É a distância do ponto se
continuássemos com a curva circular
e a tangente.
Cálculo dos elementos necessários à 
definição da curva
Para isso utilizamos o método dos raios
conservados, de forma que o R seja
constante e o centro O, mude de posição
para O’
PC
PT
O’
Cálculo dos elementos 
necessários à definição da 
curva
Para o cálculo de p (afastamento) e o
cálculo da abscissa do centro O’. Vamos
considerar:
Xs=k+a k=Xs-a
Ys=p+b p=Ys-b
Cálculo dos elementos 
necessários à definição da 
curva
Calculando Xs, Ys e θs e considerando
os elementos da figura:
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑎
𝑅𝑐
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑅𝑐 − 𝑏
𝑅𝑐
𝑡𝑔
∆
2
=
𝑇𝑇−𝑘
𝑅𝑐+𝑝
cos
∆
2
=
𝑅𝑐 + 𝑝
𝑅𝑐 + 𝐸
Cálculo dos elementos 
necessários à definição da 
curva
Mesclando as equações mostradas
anteriormente, temos:
𝑘 = 𝑋𝑠 − 𝑅𝑐. 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠
p = 𝑌𝑠 − 𝑅𝑐 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠
θs- em graus
Rc- em metros
Xs e Yx – em metros
k- é a coordenada do centro O’ em 
relação ao inicio da curva TS
Cálculo dos elementos 
necessários à definição da 
curva
Resultante da equação abaixo, obtemos a
tangente total (TT):
𝑡𝑔
∆
2
=
𝑇𝑇 − 𝑘
𝑅𝑐 + 𝑝
TT = 𝑘 + (𝑅𝑐+p). tg(
∆
2
)
Cálculo dos elementos 
necessários à definição da 
curva
(rad)
(δ em rad) D = 𝑅𝑐. δ.
𝜋
180
(δ 𝑒𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠)
Desenvolvida a partir: 
cos
∆
2
=
𝑅𝑐 + 𝑝
𝑅𝑐 + 𝐸
(Lembrando: ∆=Ac)
𝐸 =
𝑅𝑐 + 𝑝
cos
∆
2
− 𝑅𝑐
Exercício
Em uma curva de rodovia, temos os seguintes elementos:
V=80km/h
AC=35°
Rc=500m
E(PI)= 228+17m
Determine Lsmin, Lsmáx, θs, Xs, Ys, δ, D, k, p, TT, E, Estacas nos
pontos TS, SC, CS, ST. Adote Ls=3.Lsmin
Exercício
Resposta
Ls=110,6m
Estacas:
TS=218+3,76m
SC=223+14,36m
CS=233+8,86m
ST=238+19,46m
25,32m
Muito Obrigada!