MecStruturas1_2019_v02

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ANOTAÇÕES DE AULA 
 
MECÂNICA DAS ESTRUTURAS I 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ 
CTC/DTC CAMPUS DE UMUARAMA 
CURSO: ENGENHARIA CIVIL 
DISCIPLINA: 6590 - MECÂNICA DAS ESTRUTURAS I 
PROF. GERMANO ROMERA 
UMUARAMA-PR / 2019 
1 
1. Introdução 
1.1 Conceitos Básicos e Definições 
Estrutura é uma composição de um ou mais componentes (ou elementos 
estruturais) ligadas entre si e ao meio exterior (Terra) de modo a formar 
um sistema em equilíbrio. 
Equilíbrio pode ser: 
• Estático 
• Dinâmico 
Mecânica das Estruturas I estuda apenas Estruturas Isostáticas 
(equilíbrio estaticamente determinado). 
Estrutura tem o papel de receber carregamentos externos ativos (forças, 
momentos, cargas distribuídas), absorver internamente estes 
carregamentos e os transmitir até seus vínculos (apoios fixos, móveis, 
engastamentos…), onde estes carregamentos externos encontram um 
sistema de carregamentos reativos equilibrantes. 
Esforços externos ativos também podem ser indiretos (temperatura, 
recalque, montagem). 
Os componentes estruturais precisam ter boas propriedades de 
resistência e rigidez. 
Resistência é capacidade de transmitir os esforços internamente 
(molécula a molécula) desde os pontos de aplicação dos carregamentos 
externos até os vínculos de fixação, sem que ocorra a falha da peça. 
Rigidez é a capacidade de não se deformar excessivamente ao receber 
os carregamentos externos, de forma a não comprometer o 
funcionamento da estrutura. 
pku 
)(tpkuucum  
p: carregamento 
m: massa 
c: amortecimento 
k: rigidez 
u: deslocamento (linear ou angular) 
2 
 Alguns elementos estruturais em estruturas da engenharia civil... 
1.2 Classificação das Estruturas 
A. Elementos Unidimensionais: são aqueles em que uma dimensão é 
bem maior que as outras duas. 
Elementos Unidimensionais podem ser do tipo: 
• Barras: função de transmitir forças axiais aplicadas em suas 
extremidades. 
 
 F F’ F F’ 
3 
as dimensões da seção 
transversal são muito 
inferiores à dimensão 
longitudinal 
b << L 
h << L b 
L 
seção transversal direção longitudinal 
h 
4 
• Tirantes: elemento 
estrutural unidimensional 
linear que transmite apenas 
carga longitudinal de tração. 
 
• Cabos: elemento estrutural 
unidimensional curvo que 
transmite apenas carga 
longitudinal de tração. 
• Vigas: elemento estrutural unidimensional que projetados para 
suportar diversos tipos de carregamentos ao longo de toda sua 
extensão. 
• Escora: elemento estrutural unidimensional projetado para transmitir 
carregamento longitudinal de compressão. 
3,0m 2,0m
MC=7kNm
A
C
B
w=2kN/mP=7kN 
• Pilar: viga na posição vertical. 
5 
• Vigas Gerber: estrutura de vigas simples rotuladas convenientemente 
introduzidas na estrutura de forma a torná-la isostática. 
colunas: pilares com 
adereços 
B. Estruturas Reticuladas: são estruturas planas compostas de 
elementos unidimensionais unidos entre si. 
• Pórticos planos: estrutura linear plana constituída por vigas retas 
ligadas entre si e submetidas a cargas coplanares. 
6 
nós barras 
sistema de treliças planas 
nós 
barras 
sistema de treliças planas em arco 
• Arcos: pórticos com vigas curvas. 
• Treliças planas: estrutura plana de sistemas triangulares formada por 
barras retas interligadas entre si por articulações (ou nós) apenas nas 
extremidades (lembrando que barras transmitem apenas esforços longitudinais 
e que os carregamentos atuam no plano da estrutura da treliça). 
as forças são 
aplicadas nos nós 
das barras. 
• Grelhas: estrutura plana composta por vigas submetidas a 
carregamentos perpendiculares ao plano da estrutura. 
carregamento pode ser aplicado em 
qualquer ponto da estrutura 
7 
• Treliças Espaciais: estrutura composta de barras vinculadas no 
espaço (3D). 
• Pórticos Espaciais: estrutura composta de vigas dispostas no espaço 
(3D). 
conexões entre barras 
representadas por nós 
articulados (não restringe 
a rotação) 
C. Estruturas de Superfície: são estruturas em que uma das dimensões 
(espessura t ) é bem menor que as outras duas. 
Transmite qualquer carregamento e a geometria da superfície e o 
material utilizado determinam a maneira como a estrutura se deforma e 
distribui internamente os esforços quando submetida a carregamentos. 
• Placas: carregamento perpendicular 
ao plano da estrutura (e.g. laje) 
• Chapas: carregamento na 
direção do plano da estrutura 
(e.g. placa cimentícia de 
fechamento) 
• Abóbada: estrutura curva 
com carregamento aplicado 
em qualquer direção 
Catedral de Florença, Toscana, Itália 
• Membrana: estrutura de superfície 
que trabalha tracionada. 
8 
t 
a 
b 
t << a 
t << b 
b 
h t 
D. Estruturas de Volume: são estruturas em que as dimensões tem a 
mesma ordem de grandeza. 
E. Combinação de Vários Tipos: os diversos componentes são utilizados 
juntamente para construir uma estrutura complexa. 
9 
 A) Carregamentos externos ativos: esforços externos aplicados na 
estrutura em análise. 
• Força: representando a ação de um corpo sobre outro. 
• representada por vetor (tem módulo, direção, sentido e ponto de aplicação) 
• Momento: representando a ação de um corpo sobre outro. 
• representada por vetor (tem módulo, direção, sentido e ponto de aplicação) 
• Carregamento distribuído: força aplicada por unidade de comprimento 
(estruturas planas) ou de área (estruturas espaciais). 
Podem representar: 
• peso próprio do elemento 
estrutural 
• carregamento de vento 
• reação de contato com solo 
• carregamento em barragens 
10 
1.2) Condições de Contorno 
11 • Variação de temperatura: causa alteração dimensional no elemento 
estrutural: 
• expansão linear longitudinal (Δl=a∙l0∙ΔT) 
 
 
 
 
 
 
• abaulamento (curvatura, flexão) 
• Recalque nos apoios: deslocamento prescrito nos vínculos e que causa 
deformações na estrutura (gerando tensões se a estrutura for 
hiperestática). 
recalque no apoio D 
B) Vínculos: são apoios ou articulações pelos quais os elementos 
estruturais são unidos entre si ou à Terra. 
EXEMPLO: A viga AB no plano é solicitada por um carregamento concentrado no ponto C 
Grau de Liberdade é a possibilidade de um ponto de uma estrutura se 
deslocar em uma determinada direção. 
12 
A B 
P 
Y 
X 
• Um ponto no sistema espacial 
(3D) possui seis graus de 
liberdade: três translações e 
três rotações. 
Y 
X Z 
• Um ponto no sistema plano 
(2D) possui três graus de 
liberdade: duas translações e 
uma rotação. 
Os vínculos impedem a movimentação de um ponto da estrutura em 
uma determinada direção ao aplicar um carregamento reativo 
equilibrante (reação) referente ao grau de liberdade que está sendo 
restringido. 
• A força P pode ser decomposta 
em componente horizontal (PX) e 
vertical (PY) C 
A B 
PY 
C 
PX 
• É preciso que hajam vínculos na viga 
que restrinjam os movimentos de 
translação e rotação para que a viga 
permanece em equilíbrio. Os vínculos 
exercem esses esforços de REAÇÃO 
sobre a estrutura. 
A B 
PY 
C 
PX 
RA 
HA 
RB 
A B 
PY 
C 
PX 
RA 
HA 
MA 
ou... 
Nome do 
Vínculo 
Símbolo 
No de Graus 
de Liberdade 
Restringidos 
Reações 
apoio móvel ou 
de 1º gênero 
1 
apoio fixo ou de 
2º gênero 
 
2 
engastamento 3 
engastamento 
móvel 
2 
F 
direção da força 
perpendicular ao 
plano do apoio 
duas 
componentes 
de força 
FY 
FX 
uma componente de 
força e uma de 
momento 
FY 
M 
duas componentes 
de força e um 
momento 
FY 
FX 
M 
Elementos estruturais presos entre si por rótulas (pinos que não 
transmitem momento ou união cuja junta tem rigidez desprezível em 
relação à rigidez dos elementos) transmitem apenas força, sendo estas 
representados por componentes de forças para fins de cálculo. Os 
esforços são representados como ação em um elemento e reação no 
outro elemento. 
Vínculos mais comuns na engenharia (para estruturas planas) 
FY 
FX 
FY 
FXrótula 
13 
Os vínculos são na verdade representações dos vínculos reais existentes 
na estrutura. 
apoio móvel ou de 1º gênero 
apoio fixo ou de 2º gênero 
Elementos estruturais presos entre si por nós rígidos transmitem 
componentes de forças e momentos na juntas entre os elementos 
FY 
FX FY 
FX 
nó rígido 
M M 
14 
engastamento 
rótula 
engastamento 
móvel 
15 
nó rígido 
• Em uma estrutura espacial, um vínculo pode chegar a retirar 6 
graus de liberdade (três translações e três rotações). 
16 
17 Vínculos mais comuns na engenharia (p/ estruturas espaciais) 
Obs: algumas 
vezes essas 
reações de 
momento são 
desprezadas se 
a rigidez da 
dobradiça for 
pequena 
18 
→ nó rígido transmite 
forças e momentos 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
Consideraremos a partir de agora o eixo 
das ordenadas do momento fletor como 
positivo para baixo. 
Ao definir o eixo das ordenadas com positivo 
para baixo, o diagrama de momento fletor M 
terá o desenho do gráfico do esforço interno M 
no lado da fibra que está sendo tracionada. 
21
1
2
2
2
2
0
)(
CxCM
C
dx
dM
dx
Md
xw
dx
Md




CV
dx
dV
xw
dx
dV



0
)(
sendo w(x) = 0 
no trecho em que o carregamento 
distribuído w for nulo, o diagrama 
de momento fletor (M) será uma 
reta. 
sendo w(x) = 0 
no trecho em que o carregamento 
distribuído w for nulo, o diagrama de 
força cortante (V) será constante. 
dxdx
dx
Md
x
 
0
2
2
0 01 C
dx
dM
dxCdx
dx
dM
x
 
0
1
xCCM  12
dxdx
dx
dV
x
 
0
0 0CV
constante de 
integração 
25 
26 
27 
w
dx
Md
xw
dx
Md


2
2
2
2
)(
CxwV
w
dx
dV
xw
dx
dV


 )(
sendo w(x) = w 
no trecho em que o carregamento 
distribuído w é constante, o 
diagrama do momento fletor (M) 
será um polinômio de 2º grau. 
sendo w(x) = w 
no trecho em que o carregamento 
distribuído w é constante, o diagrama da 
força cortante (V) será linear (reta). 
 dxCxwdx
dx
dM
x
 
0
1 xC
x
wCM  1
2
2
2
dxwdx
dx
Md
x
 
0
2
2
xwC
dx
dM
 1
constante de 
integração 
1Cxw
dx
dM

21
2
2
CxC
x
wM 
dxwdx
dx
dV
x
 
0
xwCV 
28 
29 
30 
31 
32 
33 
34 
35 
36 
37 
estes símbolos de apoio aqui representados servem apenas 
para dizer que a porção da estrutura está em equilíbrio 
estático (não são os vínculos reais da estrutura). 
38 
estes não são os vínculos reais 
da estrutura (apenas 
representam o equilíbrio estático) 
vínculo 
real vínculo 
real 
39 
40 
41 
42 
43 
44 
45 
46 
47 
48 
49 
50 
VDE: cortante em D à esquerda 
VDD: cortante em D à direita 
VDE = VDD 
VBE: cortante em D à esquerda 
VBD: cortante em D à direita 
VBE = VBD 
vínculo real 
vínculos que 
representam o 
equilíbrio estático 
vínculo 
real 
vínculo que representa o 
equilíbrio estático 
51 
52 
53 
54 
55 
g=3∙(l+EngElas)+2∙(p+Jelas)+s-3∙n 
g=3∙(1+0)+2∙(0+1)+1-3∙2 
g=0 (isostática) 
 
56 
57 
58 
59 
60 
A 
61 
62 
63 
B 
64 
65 
66 
67 
68 
69 
70 
71 
72 
73 
74 
Obs: o gráfico do momento 
fletor tem o sentido positivo 
apontado na direção da 
fibra tracionada e o gráfico 
da força normal e cortante 
tem o positivo no sentido 
oposto ao gráfico do 
momento fletor. 
75 
76 
O software ftool utiliza a seguinte convenção para orientação da fibra tracionada: 
força normal força cortante 
momento fletor 
obs1: mudar o lado da fibra 
tracionada não altera o lado em que 
é desenhado o diagrama de 
momento fletor, sendo que o lado 
em que se encontra o desenho do 
gráfico é sempre o lado tracionado. 
obs2: mudar o lado da fibra 
tracionada não altera o valor da 
força cortante, embora o seu 
traçado tenha o lado em que é 
desenhado o diagrama de força 
cortante trocado. 
77 
78 
79 
80 
81 
82 
83 
84 
F1 aplicar F1 torna viga BG 
um mecanismo 
85 
86 
87 
força cortante 
momento fletor 
força normal 
88 
• representação das junções: 
• realidade: barras unidas por conexões soldadas ou parafusadas. 
• representação: junções representadas por “pinos”. 
 
2.4 Treliças 
• são estrutura de sistemas triangulares formada por barras retas 
interligadas entre si apenas nas extremidades por articulações (ou nós). 
• nas treliças ideais, os carregamentos são aplicados apenas nos nós 
(barras transmitem apenas esforços axiais de tração ou compressão). 
• carregamento fora dos nós da treliça faz com que o elemento estrutural 
carregado se comporte como uma viga (esforços internos cortantes e 
momento fletor). 
• nesse caso é necessário utilizar carga nodal equivalente para calcular 
as forças axiais na barra e aplicar a reação da carga equivalente para 
calcular os esforços na viga da treliça (detalhes mais adiante...). 
• peso próprio das barras (quando relevante) é aplicado nos nós da barra 
(metade para cada nó da barra). 
89 
r = 3 j = 6 
b = 9 
r + b = 2j 
F 
configuraçã
o deformada 
instável 
devido F na 
vertical 
Estaticidade de treliças : condição necessária para estabilidade, mas não suficiente: 
 
noinc = r + b 
noequ = j ∙ n 
 
se noinc = n
o
equ (isostática) 
se noinc > n
o
equ (hiperestática) 
se noinc < n
o
equ (hipostática) 
 
r : número de reações 
b : número de barras 
j : número de nós 
n : número de equ. de equil. n=2 treliça plana 
n=3 treliça espacial 
• Se noinc < n
o
equ a estrutura é hipostática e instável (dependendo da direção do 
carregamento). 
• Ter noinc ≥ n
o
equ não significa necessariamente que treliça seja estável (não se 
comporte como mecanismo). 
• Algumas condições podem causar instabilidade: 
A) forma geométrica crítica: barras arranjadas de forma inadequada. 
B) apoios: apoios incorretos (linhas de ação de todas as reações passam por um ponto em 
comum ou são todas paralelas). 
C) Instabilidade parcial em algum trecho e outros trechos hiperestáticos. 
Para todas as treliças acima: 
treliça no plano: n=2 
número de nós: j=4 
número de reações r=3 
 b=4 b=5 b=6 
90 
Análise de Treliça Ideal pelo Método dos Nós 91 
obs: nesse exemplo RAX=0 
Exemplo de treliça 
ideal 
92 
93 
94 
Análise de Treliça Ideal pelo Método das Seções (método de Ritter) 
▪ se o sinal de F for positivo significa que o sentido convencionado 
para a força está realmente tracionando o nó (e também a barra). 
▪ se o sinal de F for negativo significa que o sentido convencionado 
está invertido (o nó está sendo comprimido, e também a barra). 
95 
Exemplo 96 
97 
Treliça com cargas FORA dos nós 
▪ carga distribuída w e força F3 aplicadas 
fora dos nós. 
▪ substituir por carga nodal equivalente 
aplicada nos nós da treliça e por carga 
de reação na viga carregada da treliça. 
w 
Princípio da superposição: solução final = treliça ideal (forças nos nós apenas 
utilizando carga nodal equivalente) + ajuste nas vigas (com carregamentos 
externos fora dos nós e reações da carga nodal equivalente). 
Ajuste localizado na viga 7 
diagrama de esforços internos na viga 7 
Ajustes locais na 
viga 7 carregada 
98 
= + 
Calcula-se inicialmente os esforços normais em todas as barras da treliça ideal. 
Feito isso, calcula-se em seguida os esforços internos de momento fletor, força 
cortante e força normal em cada elemento de viga que tenha carregamento fora dos 
nós. Considera-se nessa segunda etapa os esforços longitudinais atuando nas 
pontas das vigas identificados no cálculo da treliça ideal. 
Exemplos de cargas nodais equivalentes aplicadas nos nós. 
Exemplo 
carregamentos 
equivalentes de 5tf 
análise da viga com 
carregamento distribuído 
diagrama de força normal 
diagrama de força 
cortante 
diagrama de momento 
fletor 
99 
Exemplo: trace 
os diagramas de 
normal, cortante 
e momento fletor 
da treliça100 
101 
102 
103 
104 
105 
106 
107 
108 
109 
110 
111 
(utilizando seta dupla) 
112 
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114 
115 
116 
117 
obs: em alguns casos em que o 
eixo local (xyz) do elemento é 
paralelo ao eixo global da 
estrutura (XYZ) pode-se utilizar 
o eixo global para analisar o 
elemento estrutural. Entretanto, 
é recomendado habituar-se a 
analisar os esforços no elemento 
em relação ao sistema local p/ já 
estar familiarizado quando o eixo 
local não coincidir com o global. 
118 
119 
120 
121 
122 
obs: em alguns casos em que o eixo 
local (xyz) do elemento é paralelo ao eixo 
global da estrutura (XYZ) pode-se utilizar 
o eixo global para analisar o elemento 
estrutural, embora seja recomendado 
habituar-se a analisar os esforços no 
elemento em relação ao sistema local. 
123 
124 
125 
126 
127 
128 
129 
y=f(x) 
130 
Cataratas Multnomah, Oregon-USA 
131 
132 
133 
134 
135 
136 
137 
138 
139 
140 
141 
R
e
s
o
lu
ç
ã
o
 e
n
tr
e
 p
o
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 C
 e
 E
 u
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m
a
 r
e
ta
 d
e
 s
u
b
s
ti
tu
iç
ã
o
 X
) 
142 
143 
144 
145 
146 
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149 
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151 
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153 
154 
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157 
158 
159 
obs: para o perfil retangular vazado e para o perfil em I, o ftool considera a altura h como 
sendo a altura total do perfil e não a altura com início e término nas “metades” das 
espessuras das paredes finas quando calcula o fator de cisalhamento fy referente a 
propriedade da seção transversal no cálculo da contribuição do cisalhamento. 
160 
161 
160 
160 
162 
no ftool é o AS 
163 
164 
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168 
169 
170 
171 
172 
Obs: diferentes estados de carregamento virtual unitário podem 
ser utilizados dependendo da deformação que se deseja medir. 
173 
174 
verificando no ftool ... 
175 
176 
177 
178 
ponto de máximo 
179 
180 
181 
182 
183 
184 
185 
186 
187 
160 
160 
188 
189 
0
dx
dM
190 
160 
191 
192 
193 
194 
195 
196 
197 
198 
(ou qualquer outra condição de 
carregamento virtual dado na Tabela 1 
da página 173, dependendo da 
deformação que se deseja calcular) 
199 
200 
OBS2: conceito sobre deformações devido a temperatura é válido apenas para 
seções em que o gradiente de temperatura é linear, com seção de altura h, que 
pode ser utilizado para qualquer tipo de estrutura (pórtico, viga, treliça, grelha, 
arco). 
201 
202 
203 
204 
205 
206 
(ou qualquer outra condição de carregamento 
virtual dado na Tabela 1 da página 173, 
dependendo da deformação que se deseja 
calcular) 
207 
208 
209 
210 
211 
212 
relação entre força 
e deformação 
condição geométrica 
da deformação 
condição de equilíbrio estático 
213 
214 
215 
216 
217 
218 
219 
220 
221 
222 
223 
•SE HOUVER TAMBÉM VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 
ACRESCENTA-SE NA EQUAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 
OS TERMOS DA EQUAÇÃO (1.41) DA PÁGINA 199 
224 
225 
* Se houvesse também variação de temperatura na viga horizontal 
TS=+30°C 
TI= -10°C 
Dados: 
226 
215 
216 
227 
228 
229 
230 
231 
O diagrama de LINHA DE INFLUÊNCIA de um efeito linear E 
(pode ser momento fletor, força cortante, reação de apoio...) 
em uma dada seção S (localizada em uma posição x0 ) é a 
representação gráfica ou analítica do valor deste efeito, 
naquela seção S, produzido por um carregamento concentrado 
unitário ortogonal (P=1), de cima para baixo, em uma posição 
x, que se move ao longo da estrutura. 
232 
4.2.1) Procedimentos para Traçado de Linhas de Influência 
a) 
233 
234 
235 
236 
LB x0=LA 
237 
b) 
238 
239 
240 
241 
242 
243 
244 
245 
246 
247 
4.2.2) Cálculos dos Efeitos devido à Trem-Tipos 
248 
249 
245 
250 
251 
252 
253 
254 
255 
256 
257 
258 
259 
4.2.3) Disposição do Trem-Tipo de Forças Concentradas p/ Obtenção 
de Máximo Efeito 
260 
261 
262 
263 
264 
265 
4.2.4) 
( é a coordenada do 
“centroide” da resultante R 
das forças concentradas Pi , 
tendo como referência inicial 
o ponto de aplicação da P1) 
266 
267 
268 
269 
270 
4.2.5) 
271 
272 
273 
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275 
276 
277 
278 
279 
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281 
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284 
285 
exemplo 4 no ftool (LIMs) 
exemplo 6 no ftool (LIVs) 
286 
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289 
290 
291 
287 292 
293 
Método alternativo de efetuar a integral do produto das cortantes do 
exemplo de viga bi-apoiada com carregamento distribuído da página 172