Aula 4_5_Transformada Laplace

Prévia do material em texto

Disciplina: Sistemas de Controle I 
 
 
 
Prof. John Reis 
 
Aulas 04 e 05: Revisão de Transformadas de Laplace 
e Equações Diferenciais. 
1 
Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais: 
2 
Resumo da aula: 
 Transformadas Diretas e Inversas de Laplace 
 Técnicas de Frações Parciais 
 Transformadas de Laplace de Derivadas 
 Soluções de Equações Diferenciais Utilizando Transformadas de 
Laplace 
3 
Uma Breve História da Matemática ... 
O número surgiu com a necessidade de contar objetos há mais de 
30.000 anos. 
4 
Antigo Egito ... 
 Nômades começam a povoar a partir de 6.000 a.C.; 
 Condições perfeitas para a agricultura; 
 Inundação do Rio Nilo Anualmente; 
 Necessidade de contar os dias e medir as terras (palmo, cúbito); 
 Necessidade de anotar, contagem na base 10 com símbolos; 
 1600 a.C. – Problemas Escritos - multiplicação usando “números binários”, 
problemas de área, volumes, séries, fração, equações lineares, trigonometria; 
 Teorema de Pitágoras, antes de Pitágoras, para criar ângulos retos; 
5 
Babilônia – Rival matemático do Antigo Egito ... 
 Mestre em administrar e manipular 
números; Escolas de escribas; 
 Tábuas de argila para documentar; 
 Resolução de problemas práticos para 
medir e pesar; 
 Equação Matemática, usando a balança; 
 Usava contagem usando na base de 60; 
 Usamos esse sistema até hoje nas horas; 
 Medição angular; 
 Primeira ideia do zero (0), espaço branco; 
 Usaram matemática para criar métodos 
engenhosos para encontrar água e canalizar até as plantações; 
 Primeira vez registrado o surgimento da equação quadrática (2º grau) usado 
para calcular áreas; 
 Conhecimento do triangulo retângulo antes dos gregos, usado para resolver 
alguns problemas; 
 Ideia dos números irracionais x²= 2; 
6 
Império Grego (330 a.C.) ... 
 Conhecimento matemático para construir estruturas com formas geométricas 
perfeitas; Criação da prova para dedução matemática; 
 Pitágoras, teoremas e criação de escolas; Incluía as mulheres; 
 Criação do Teorema de Pitágoras com prova; 
 Descobertas das séries harmônicas na música; 
 Só usavam números racionais, não aceitavam x²=2, por causa do Pitágoras; 
 Platão - criação das academias, grande matemático também; 
7 
Império Grego ... 
 Euclides de Alexandria – Escreveu o primeiro livro mais 
importante da matemática - 300 a.C – “Os Elementos” - 
Uma revolução da matemática; 
 Os conceitos e teoremas são os mesmos até hoje; 
 Arquimedes - 287 a.C. – 212 a.C; 
 Grande matemático grego, estudou muito sobre os 
polígonos, sólidos, centros de gravidade, espirais. 
 Era grande engenheiro e inventor; 
 Produziu as formulas para calcular áreas; 
 O primeiro a se aproximar do valor de Pi (π); 
 Cálculos de volumes de esferas aproximado. 
 Meados do século 1 – Domínio do Império Romano – Sem interesse na 
matemática; 
8 
Evolução Matemática no Oriente ... 
 China Imperial - 220 a.C. - Construção da grande muralha; Engenharia e 
matemática; 
 Contagem e somas com varas de bambus em sistemas decimais; 
 Resolução de equações com pesos; essas resoluções no Ocidente só apareceu no 
começo do século 19, em 1809, com Gauss; 
 
 
 
 
 
 Grande contribuição da Índia; Os Indos usavam os sistemas decimais desde o século 
3 d.C.; Criaram os ancestrais dos 9 algarismo usado até hoje; 
 Foram os indianos que apresentaram o número 0 e deram o símbolo para ele no 
século 9, mais já estavam em uso antes; 
 Agora são 10 dígitos, perfeitos para capturar números altamente grandes; 
 No século 12, Bhaskara II explica o infinito, divisão por 0; 
 Os indianos começaram a ideia de números negativos (débitos); 
 Resolução de equações de 2º Grau (2 soluções) podendo ser negativa; Brahmagupta 
o principal matemático, começou a usar as icognitas; 
 Descobertas da trigonometria, calculava as distancias da Terra, Lua e Sol; Encontrou 
o Pi (π) com muita precisão, 2 séculos antes que no Ocidente. 
 Al-Khwarizmi cria a Álgebra, o funcionamento dos números; Sociedade islã. 
9 
Volta dos avanço matemáticos para a Europa... 
 Em 1202 - Na Itália, o matemático Leonardo Fibonacci começa a utilizar os algarismo 
Indos-arábicos, no começo proibição, mas ao longo do tempo foi adotado na Europa; 
 Em 1591 - O francês François Viète começa a representar as equações 
matemáticas, utilizando letras do alfabeto; 
 Busca pela resolução da equação cúbica (3º Grau), 1541, pelo método de Cardano-
Tartaglia, 2 grandes matemáticos italianos, porém em algumas como tirar raízes 
negativas, ainda era sem solução; 
 Começou a corrida pela matemática em 
movimento; 
 René Descartes, grande matemático Francês 
1596 – 1650; 
 Serviu o exército, depois da descoberta 
matemática mudou para a Holanda; 
 Unificou a Álgebra com a Geometria; Ter 
figuras com fórmulas; 
 Inventou a ideia do plano cartesiano; E obteve 
as Equações das curvas, um grande passo; 
 
10 
 Grande matemático Inglês, Isaac Newton (1642 – 1727); 
 Grandes Descobertas na área da física, gravidade, aceleração, 
entre outras, desconhecem um pouco sua matemática; 
 Grande descoberta da matemática, o cálculo. Em um esboço 
mostrou como calcular velocidade média e como seria a 
instantânea exata no ponto em que se quer, assim como a 
distância percorrida em qualquer instante de tempo; 
 Levou 200 anos para o entendimento de seus cálculos, pois 
ele não publicava, só circulava entre os amigos; 
 Preferia pensar em alquimia e teologia, até ouvir falar de seu rival; 
 Grande matemático Alemão, Gottfried Wilhelm Leibniz 
(1646 – 1716); Era rival de Newton, e estudava no mesmo 
seguimento; 
 Escreveu muitos artigos que estão nos cofres até hoje; 
 Descobriu o milagre do cálculo logo depois de Newton, 
escreveu aos 29 anos sobre os cálculos diferencial e o 
integral em apenas 2 meses; 
 Criação do termo “função”, foi destinada a ele; 
 Inventou as primeiras máquinas de calcular em 1705, 
usando o sistema de numeração binário; 
 Publicava tudo, o que irritou Newton , acusando ele de 
plágio, porém sua teoria matemática que triunfou; 
11 
 Grande matemático Suíço, Leonhard Paul Euler (1707 – 
1783); celebre aluno do grande matemático Johann 
Bernoulli; Que era da Basileia de uma família famosa; 
 Criou muitos teoremas e resolveu muitos problemas da 
época, cristalizando muitas ideias e criou uma matemática 
moderna como topologia e a analise, que usamos até hoje; 
 Conseguiu definir logaritmos para números negativos e 
complexos, criou o número e, deu o símbolo ao Pi (π); 
Definiu a função exponencial para números complexos: 
 
 
 Matemático e Físico Francês, Jean-Baptiste Joseph Fourier 
(1768 – 1830); 
 Iniciou a investigação sobre a decomposição de funções 
periódicas em séries trigonométricas; 
 Criou as séries de Fourier; 
 Mostrou que qualquer sinal pode ser representado por 
somas de senos e cossenos; 
 Desenvolveu as transformadas de Fourier para resolução de 
problemas específicos; 
 
12 
 Por fim chegamos a outro grande matemático da época, 
Pierre Simon Marquis de Laplace, (1749 – 1827); 
 Desenvolveu vários artigos sobre tópicos em calculo 
integral, diferenças finitas, equações diferenciais e 
Astronomia; 
 Formulou a equação de Laplace; 
 Desenvolveu a famosa Transformada de Laplace, usada 
para a resolução de sistemas de controle; 
Para a resolução de Equações Diferenciais: 
As propriedades desta transformada tornam-na útil para a análise de sistemas 
dinâmicos lineares. A vantagem mais interessante desta transformada integral é que 
a integração e a derivação tornam-se multiplicações e divisões, da mesma maneira 
que o logaritmo transforma a multiplicação em adição. Ela permite levar a resolução 
de equações diferenciais à resolução de equações polinomiais, que são muito mais 
simples de resolver. 
13 
Transformadas de Laplace – Facilita a resolução de Equações 
Diferenciais Lineares. 
Domínio do 
Tempo 
Domínio dos Nº 
Complexos 
Equação 
DiferencialOrdinária 
Equação 
Algébrica 
Solução da 
Equação 
Algébrica 
Solução da 
Equação 
Diferencial 
14 
Transformadas de Laplace – Facilita a resolução de Equações Diferenciais Lineares. 
15 
16 
17 
Técnicas das Frações Parciais 
18 
19 
20 
21 
22 
Transformadas de Laplace de Derivadas 
23 
Equações Diferenciais: 
24 
Equações Diferenciais: 
25 
Soluções de Equações Diferenciais pelo método da Transformada de 
Laplace: 
26 
27 
28 
29 
30 
31