AULA 05

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Calculo Diferencial Integral 
Aula 6: Integrais Indefinidas 
 
 
 
Professor Guilherme Lemermeier Rodrigues 
 
 
CONVERSA INICIAL 
 
Olá! Seja bem-vindo à sexta e última aula de Cálculo Diferencial e Integral! 
 
Nela, falaremos sobre as Integrais Definidas. 
 
Pronto para começar? 
 
 
 
 
 
 
CONTEXTUALIZANDO 
 
Na aula anterior, consideramos o cálculo de uma integral indefinida em que procuravámos a antiderivada 
de uma função de forma genérica. 
 
Por exemplo: calcule a integral da função f(x)=2x+4. Nesse caso, utilizando as técnicas de integração, 
temos que, se f’(x)=2x+4, então: 
 
 
 
Nesta aula, estudaremos a integração definida, ou seja, com um começo e um fim. Por isso, não teremos 
mais o emprego da constante de integração C. Nesse caso, iremos voltar de uma função derivada para 
uma função primitiva de forma definida. 
 f(x)=x²+4x+C 
 
Podemos citar o conceito de Riemann como referência de aplicação da integral definida. 
 
 
 
 
Para minimizar os erros que possam ocorrer, aumenta-se a quantidade de retângulos e consequentemente 
diminui-se Δxi, e usando a notação de limite (pois, Δxi → 0) temos como resultado uma área exata para 
a região em análise. Então, esta área é calculada pela integral definida, pois integrar é somar. 
 
 
 
 
 
lim
∆𝑥→0
∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑛
𝑖=1
 
Para Riemann, a integral definida é explicada como uma área abaixo de um gráfico, entre os extremos a 
e b, calculada como sendo a soma de muitas pequenas áreas de retângulos, onde a altura é o valor da 
função (f(xi)) e a base é uma variação de x (Δxi). 
 
 
 
Agora é com o professor Guilherme Lemermeier Rodrigues! Assista à explicação dele sobre este conteúdo 
no vídeo a seguir! 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT
170012-A06-P01.mp4 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT170012-A06-P01.mp4
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ROTA PESQUISE 
 
Tema 1: Teorema Fundamental do Cálculo 
Tema 2: Aplicação Exemplos 
Tema 3: Aplicação Exemplos 
Tema 4: Cálculo de Áreas 
Tema 5: Volume de Sólidos 
 
 
 
 
 
 
TEMA 1: Teorema Fundamental do Cálculo 
 
 
 
 
 
 
O teorema fundamental do cálculo relaciona a determinação de uma área pelo cálculo de uma integral 
onde os extremos de integração são definidos (a e b), através do cálculo da função primitiva tomada no 
extremo superior (b), subtraindo o valor da função primitiva tomada no extremo inferior (a), ou seja: 
 F (b) – F (a). O resultado obtido é sempre um valor numérico e representa a área. 
 
Observe como a função, a seguir, é integrada em relação a x. 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= F(𝑥)|
𝑏
𝑎
= F(b) − F(a) 
Portanto, 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= F(b) − F(a) 
 
Exemplo 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule: 
 ∫ (2x + 2)dx
1
0
. 
∫ (2x + 2)dx
1
0
 = 
=(x²+2x) |
1
0
 = 
= (12 + 2 ∙ 1) − (02 + 2 ∙ 0) = 
= 3 
 
Exemplo 2: Exemplo 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule: 
 ∫ (2x)dx
3
1
. 
∫ (2x)dx
3
1
= 
= (x²)|
3
1
= 
= (32) − (12) = 8 
 
Calcule: 
 ∫ (𝑥)𝑑𝑥
4
−2
. 
∫ (𝑥)𝑑𝑥
4
−2
= (
𝑥²
2
) |
4
−2
= 
= (
4²
2
)-(
(−2)²
2
) = 6 
 
 Que tal conferir a resolução dessas funções, passo a passo? Assista à explicação do professor Guilherme 
L. Rodrigues no vídeo a seguir. 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT
170012-A06-P02.mp4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TEMA 2: Aplicação Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Exemplo 5: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule: 
 ∫ (𝑥 − 1)²𝑑𝑥
3
−3
. 
∫ (𝑥 − 1)²𝑑𝑥
3
−3
= 
=∫ (𝑥² − 2𝑥 + 1)𝑑𝑥
3
−3
 = 
= (
𝑥³
3
− 2
𝑥2
2
+ 𝑥) |
3
−3
 = 
= (
𝑥3
3
− 𝑥2 + 𝑥) |
3
−3
= 
=(
33
3
− 32 + 3)-(
(−3)3
3
− (−3)2 +
(−3)) = 
= 
27
3
− 9 + 3 +
27
3
+ 9 + 3 = 
= 24 
 
Calcule: 
 ∫ [
(𝑥+1)²
𝑥²
] 𝑑𝑥
3
1
. 
∫ [
𝑥2+2𝑥+1
𝑥²
] 𝑑𝑥
3
1
= 
=∫ (1 +
2
𝑥
+ 𝑥−2) 𝑑𝑥 =
3
1
 
=[𝑥 + 2ln (𝑥) −
1
𝑥
] |
3
1
= 
=[3 + 2ln (3) −
1
3
]-[1 + 2. ln (1) −
1
1
]= 
=
8
3
+ 2 ln(3) 
 
Quer saber como esses exemplos foram resolvidos? É isso o que o professor Guilherme L. Rodrigues 
demonstra no vídeo a seguir. Não perca! 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT
170012-A06-P03.mp4 
 
 
 
 
 
 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT170012-A06-P03.mp4
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TEMA 3: Aplicação Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule 
∫ [
tgx
secx
] dx
π
0
. 
∫ (
1
secx
. tgx) dx =
π
0
 
= ∫ (cosx.
senx
cosx
) dx
π
0
= 
=∫ [senx]dx
π
0
= 
=[−cosx] |
π
0
= 
= (−cosπ) − (−cos0) = 
= (-(-1)) - (-(1)) = 
= 2 
 
 
 
Exemplo 7 – Por Substituição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule ∫ (√2x + 5)dx
2
−2
. 
Fazendo a substituição: 
u = 2x + 5 
du
dx
= 2 , du=2dx 
Detalhe importante: 
x = 2 ∴ u = 9 
x = -2 ∴ u = 1 
Desta forma: 
1
2
∫ (√2x + 5)2dx
2
−2
, integrando, 
1
2
∫ (√u)du
9
5
= 
= 
1
2
∫ (𝑢
1
2)du =
9
5
 
 
=
1
2
∙
(u)
1
2+1
1
2
+1
|
9
1
= 
=
1
2
∙
(u)
3
2
3
2
|
9
1
= 
=
1
2
∙
2
3
√u3|
9
1
= 
=
1
3
(√93 − 1) =
1
3
(9√9 − 1) = 
1
3
(9 . 3 − 1) =
26
3
 
 
 
Exemplo 8: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule ∫ e5x
1
0
dx. 
∫ e5x
1
0
dx 
u = 5x 
du = 5dx 
{
x = 1 ∴ u = 5
x = 0 ∴ u = 0
 
 
Temos que: 
1
5
∫ e5x5
5
0
dx = 
= ∫ eu
5
0
du = 
= eu|
5
0
= 
= (e5- 1) 
 
Esses exemplos complicaram o seu raciocínio? Não desanime, tudo ficará mais claro depois que você 
assistir à explicação do professor Guilherme L. Rodrigues, no vídeo a seguir. 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT
170012-A06-P04.mp4 
 
 
 
 
 
 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT170012-A06-P04.mp4
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TEMA 4: Cálculo de Áreas 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinar áreas com o emprego de integrais, duas situações são possíveis: 
a) Cálculo de área abaixo de uma curva (ou função): 
 
 
 
 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
b) Cálculo de área entre duas ou mais curvas (ou funções). 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Exemplo 9: 
Calcule a área sob a função f(x)=x no intervalo [0,2]. 
Segundo Riemann, a área dessa figura é definida pela A = ∫ x dx 
2
0
. Portanto, usando o Teorema 
Fundamental do Cálculo, temos: 
 
 
 
 
A= (
x²
2
)|
2
0
 = 
2²
2
− 
0²
2
 = 2 
 
Exemplo 10: 
Calcule a área sob da curva y = - x² + 4x e acima do eixo das abscissas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo das raízes y=0, 
0 = x (4-x) 
 
Logo, x = 0 e x = 4. 
𝐴 = ∫ (−x2 + 4x) =
4
0
 
= (−
𝑥3
3
+2x²) |
4
0
= 
= (−
43
3
+2∙ 4²) -(−
03
3
+2∙0²) =10,67 
 
 
Exemplo 11 
Calcule a área delimitada pelos gráficos 𝑦 = 𝑥² e 𝑦 = √𝑥.Cálculo dos pontos de intersecções: 
𝑥² =√𝑥 
𝑥4 = 𝑥 
𝑥4 − 𝑥 = 0 
𝑥(𝑥3 − 1) = 0 
𝑥 = 0 
ou 
𝑥3 − 1 = 0 
𝑥 = 1 
 
Note que a função que ficar com o corte acima em relação à linha de referência será a primeira a ser 
posta no cálculo da área. O mesmo acontece se usarmos como referencial o eixo y, só que nesse caso a 
função a ser posta será a primeira mais à direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos mais algumas atividades para você! Veja outros exemplos: 
http://172.16.0.8/dev/designer/daniel/ccdd_grad/nucleoComum/calcDifIntegral/a6/temas/4/includes/pdf
/PDF1.pdf 
Cálculo da área: 
A = ∫ (√x − x2)
1
0
dx 
A = ∫ (x
1
2⁄ − x2) dx
1
0
 
𝐴 = [
2√𝑥³
3
−
𝑥³
3
]
0
1
 
𝐴 = [
2√1³
3
−
1³
3
] − [
2√0³
3
−
0³
3
] 
𝐴 =
1
3
 
 
http://172.16.0.8/dev/designer/daniel/ccdd_grad/nucleoComum/calcDifIntegral/a6/temas/4/includes/pdf/PDF1.pdf
http://172.16.0.8/dev/designer/daniel/ccdd_grad/nucleoComum/calcDifIntegral/a6/temas/4/includes/pdf/PDF1.pdf
 
 
 
 
TEMA 5: Volume de Sólidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como exemplos, temos o cilindro (obtido pela rotação de um retângulo em torno da reta que passa por 
um de seus lados), o cone (obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus 
catetos) e a esfera (obtida pela revolução de um semicírculo em torno do diâmetro). 
 
 
 
Sólidos são corpos tridimensionais. Como exemplos: esfera, cone circular reto, cilindro, cubos, etc. 
Chamamos de Sólidos de Revolução aqueles que são gerados a partir da rotação de uma área plana 
em torno de um eixo do seu plano, denominado eixo de rotação ou de revolução. 
 
Volume de sólidos de Revolução. 
 
1º Caso: Método dos Discos Circulares. 
Considere a região plana limitada pelo gráfico de uma função contínua y= f (x), pelo eixo x, e pelas retas 
x = a e x = b, girando em torno do eixo x (eixo horizontal). 
 
 
 
Sendo que ela resultará no seguinte sólido de revolução. 
 
 
 
Considerando um plano perpendicular ao eixo x seccionando o sólido de revolução, a secção transversal 
da região plana pode ser representada por circunferências com raios iguais aos valores da função f(x) em 
cada ponto do intervalo =(a;b), com área igual a 𝐴(𝑥) = 𝜋. 𝑟𝑎𝑖𝑜2 = 𝜋. 𝑓(𝑥)2. O volume do sólido será a 
soma de círculos com espessura ∆𝑥. 
 
Considerando que as espessuras sejam infinitesimais, ou seja ∆𝑥 → 0, vem: 
 
 
 
Se o eixo de giro for vertical, o processo é similar, com emprego de x= f (y) como representando o raio 
de cada disco, resultando: 
 
 
 
 
 
 
 
𝑉 = lim
∆𝑥→0
∑ 𝜋. 𝑓(𝑥)2. ∆𝑥 = ∫ 𝜋. 𝑓(𝑥)2. 𝑑𝑥 = 𝜋. ∫ 𝑓(𝑥)2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 
 
𝑉 = lim
∆𝑦→0
∑ 𝜋. 𝑓(𝑦)2. ∆𝑦 = ∫ 𝜋. 𝑓(𝑦)2. 𝑑𝑦 = 𝜋. ∫ 𝑓(𝑦)2𝑑𝑦
𝑑
𝑐
𝑑
𝑐
 
2º Caso: Método das Arruelas. 
Em casos gerais, a região que sofre a revolução não é limitada por um eixo, nas por duas funções (não 
negativas). 
 
Quando isso ocorre, as regiões das seções transversais são arruelas (circunferência com um furo no meio). 
 
 
A área da seção transversal é dada por 𝐴(𝑥) = 𝜋. 𝑓(𝑥)2 − 𝜋. 𝑔(𝑥)2 = 𝜋(𝑓(𝑥)2 − 𝑔(𝑥)2). O volume do sólido 
gerado pelo giro em torno do eixo x, é dado por: 
 
 
 
Similarmente, quando o eixo de giro for vertical, deve-se utilizar a variável y no processo de cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
𝑉 = ∫ 𝜋(𝑓(𝑥)2 − 𝑔(𝑥)2)𝑑𝑥 = 𝜋. ∫ 𝑓(𝑥)2 − 𝑔(𝑥)2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 
𝑉 = ∫ 𝜋(𝑓(𝑦)2 − 𝑔(𝑦)2)𝑑𝑦 = 𝜋. ∫ 𝑓(𝑦)2 − 𝑔(𝑦)2 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
𝑑
𝑐
 
 
3º Caso: Método das Cascas Cilíndricas 
O Método das Cascas Cilíndricas pode ser usado em substituição aos dois métodos anteriores, ou seja, 
quando houver dificuldade na integração das funções que representam os raios das variáveis de um 
trabalho correspondente. Este método, como o próprio nome diz, considera as cascas ou invólucros 
cilíndricos (como os anéis de crescimento anual das árvores), tais como o da figura a seguir. 
 
 
Por exemplo, considere uma determinada região plana em rotação em torno do eixo y (vertical). Observe 
que há várias cascas cilíndricas no sólido gerado, tomadas de dentro do sólido para fora. 
 
 
 
Cada casca cilíndrica pode ser considerada como uma tira de comprimento igual ao perímetro da casca 
2𝜋𝑥, altura com valor de 𝑓(𝑥) e espessura ∆𝑥 . O produto destas três dimensões resulta no volume de 
cada casca. 
 
 
 
 
 
 
A soma (ou integral) de todos os volumes de cada casca, resulta no volume do sólido. 
 
 
 
Similarmente, em caso de eixo de giro na horizontal, a variável da integração será feita em y, resultando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑉 = ∑ 2𝜋. 𝑟𝑎𝑖𝑜. 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎. 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 =
𝑛
𝑖=1
∫ 2𝜋𝑥 . 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
𝑉 = ∑ 2𝜋. 𝑟𝑎𝑖𝑜. 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎. 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 =
𝑛
𝑖=1
∫ 2𝜋𝑦 . 𝑓(𝑦). 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
4º Caso: Fatiamento 
A ideia central é considerar o corte do sólido em fatias, de maneira que a seção transversal possa variar 
em tamanho, mas não em forma. Observe o exemplo: 
 
 
O volume do sólido será dado pela soma dos volumes de cada fatia, que é calculado pela área da face 
multiplicando a espessura. 
 
 𝑉 = lim
∆𝑥→0
∑ 𝐴(𝑥𝑖). ∆𝑥𝑖 =
𝑛
𝑖=1
∫ 𝐴(𝑥). 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
Quer saber mais sobre este conteúdo? Clique no link, a seguir, e acesse um resumo sobre o círculo de 
volumes de sólidos de revolução. 
http://www.dma.uem.br/kit/arquivos/arquivos_pdf/revolucao.pdf 
 
 
 
Temos mais algumas atividades envolvendo este conteúdo para você! 
Veja outros exemplos: 
http://172.16.0.8/dev/designer/daniel/ccdd_grad/nucleoComum/calcDifIntegral/a6/temas/5/includes/pdf
/PDF2.pdf 
 
http://www.dma.uem.br/kit/arquivos/arquivos_pdf/revolucao.pdf
http://172.16.0.8/dev/designer/daniel/ccdd_grad/nucleoComum/calcDifIntegral/a6/temas/5/includes/pdf/PDF2.pdf
http://172.16.0.8/dev/designer/daniel/ccdd_grad/nucleoComum/calcDifIntegral/a6/temas/5/includes/pdf/PDF2.pdf
Referências 
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo – 7ª.ed.: Cengage Learning, 2010. 
Silva, Cláudio Xavier da. Matemática aula por aula, Vol.3. São Paulo: FTD, 2009. 
 
Bibliografia Básica 
 
DEMANA, F. D.; WAITS, B.W.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D.; Pré-Cálculo. São Paulo - 2ª.ed.: Pearson, 
2013. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed.; rev. 
e ampl. São Paulo: Pearson, 2007. 
CASTANHERIA, N. P.; Matemática Aplicada. Curitiba - 3ª ed.: Ibpex, 2010. 
 
Bibliografia Complementar 
THOMAS, G. B.; Cálculo. São Paulo - 10ª ed.: Pearson, 2006. 
SWOKOWSKI, E. W.; Cálculo com geometria analítica. São Paulo - 2ª ed. vol. 1: Makron Books, 1994. 
LEITHOLD, L.; Cálculo com geometria analítica. São Paulo - 3ª. ed. vol. 1: Editora Harbra, 1994. 
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B.; Cálculo A: Função de uma variável. São Paulo - 2ª ed.: Pearson, 
2007. 
BOULOS, P.; Cálculo diferencial e integral. São Paulo - vol. 1: Makron Books, 1999.