Aula 22

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Campos vetoriais
Um campo vetorial no plano e´ uma func¸a˜o que associa a cada
ponto P do plano um vetor F (P) no plano. Se P = (x , y) ∈ R2,
escrevemos
F (P) = F (x , y) = f (x , y)i + g(x , y)j = (f (x , y), g(x , y))
onde f (x , y) e g(x , y) sa˜o func¸o˜es reais de duas varia´veis.
Analogamente definimos campos vetoriais no espac¸o.
Exemplo.
Exemplo.
Campos de quadrado inverso
De acordo com a lei de gravitac¸a˜o de Newton, part´ıculas de
massa m e M atraem uma a` outra com uma forc¸a F de grandeza
‖F‖ = GMm
r2
onde r e´ a distaˆncia entre as part´ıculas e G e´ uma constante.
Supondo que o objeto de massa M esta´ localizado na origem de
um sistema de coordenadas xyz , e que r e´ o vetor posic¸a˜o do
objeto de massa m, enta˜o r = ‖r‖ e a forc¸a F (r) exercida pela
part´ıcula de massa M sobre a part´ıcula de massa m tem a direc¸a˜o
e o sentido do vetor unita´rio −r/‖r‖ (fac¸a a figura).
‖F‖ = GMm
r2
Portanto,
F (r) = −GMm‖r‖2
r
‖r‖ = −
GMm
‖r‖3 r
Se M e m sa˜o constantes, e escrevendo c = −GMm, temos
F (r) =
c
‖r‖3 r (∗)
Campos desta forma sa˜o ditos campos de quadrado inverso.
Exerc´ıcio. Mostre que a fo´rmula (*) pode ser escrita como
F (x , y) =
c
(x2 + y2)3/2
(x i + y j)
Obtenha a expressa˜o ana´loga para R3.
F (r) =
c
‖r‖3 r (∗)
Exemplo. A lei de Coulomb afirma que a forc¸a eletrosta´tica
exercida por uma part´ıcula carregada sobre outra e´ diretamente
proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao
quadrado da distaˆncia entre elas. Logo, temos um campo de
quadrado inverso. Se uma part´ıcula de carga Q estiver na origem
de um sistema de coordenadas e se r for o vetor posic¸a˜o de uma
part´ıcula de carga q, enta˜o a forc¸a F (r) que a part´ıcula de carga Q
exerce sobre a outra e´
F (r) =
qQ
4pi�0‖r‖3 r
Campos gradiente e conservativos
Se φ for uma func¸a˜o de 2 varia´veis, enta˜o o gradiente de φ e´
∇φ = ∂φ
∂x
i +
∂φ
∂y
j =
(∂φ
∂x
,
∂φ
∂x
)
Analogamente para func¸o˜es de 3 ou mais varia´veis. Mas para cada
ponto do dom´ınio de φ, ∇φ fornece um vetor. Dizemos que ∇φ e´
o campo gradiente de φ.
Exemplo. Se φ(x , y) = x + y enta˜o ∇φ = (1, 1), ou seja, e´ o
mesmo em todos os pontos do plano. Desenhe tal campo.
Note que: se φ e´ uma func¸a˜o de 2, 3 ou mais varia´veis que e´
deriva´vel, enta˜o ∇φ e´ um campo vetorial, que podemos chamar,
digamos, de F ,
F = ∇φ (∗∗)
Pergunta: Sera´ que todo campo e´ da forma (**)? Ou seja, dado
um campo G no plano, qualquer, sera´ que existe uma func¸a˜o β tal
que
∇β = G ??????
Isto nem sempre ocorre. Quando isto for verdade, diremos que o
campo e´ conservativo.
Definic¸a˜o. Se um dado campo F : R2 → R2 e´ tal que existe
φ : R2 → R tal que
F = ∇φ
em um certo dom´ınio R ⊂ R2, enta˜o dizemos que F e´ um campo
conservativo em R. Analogamente para func¸o˜es do Rn, n ≥ 3. A
func¸a˜o φ e´ dita potencial para F na regia˜o R.
Exemplo. Considere um campo de quadrado inverso
F (r) = F (x , y) =
c
‖r‖3 r =
c
(x2 + y2)3/2
(x i + y j)
E´ conservativo? Para isto, devemos obter φ : R2 → R tal que
∇φ = F . Existe tal φ?
F (r) = F (x , y) =
c
‖r‖3 r =
c
(x2 + y2)3/2
(x i + y j)
Defina
φ(x , y) = − c
(x2 + y2)1/2
Vale que ∇φ = F em para qualquer regia˜o que na˜o contenha a
origem. De fato,
∇φ(x , y) =
( cx
(x2 + y2)3/2
,
cy
(x2 + y2)3/2
)
=
c
(x2 + y2)3/2
(x i + y j) = F (x , y)
Nem todo campo e´ conservativo, mas quando isso for va´lido,
teremos teoremas muito u´teis a` nossa disposic¸a˜o.
Exerc´ıcio. Confirme que φ e´ uma func¸a˜o potencial de F em
alguma regia˜o, e determine a regia˜o:
φ(x , y) = 2y2+3x2y−xy3, F (x , y) = (6xy−y3)i+(4y+3x2−3xy2)j
Exerc´ıcio. V ou F. Seja F (x , y) = x2i− y j.
1 ‖F (x , y)‖ → 0 se (x , y)→ (0, 0).
2 Se (x , y) estiver no eixo y positivo, o vetor aponta da direc¸a˜o
e sentido do eixo y negativo.
3 Se (x , y) estiver no primeiro quadrante, enta˜o o vetor aponta
para baixo e para a direita.