MATERIAL_ESTATÍSTICA_01

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Período letivo: 2º Sem/2019 Componente Curricular: Estatística 
Professor (a): Cassia Bordim Santi 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
Medidas de Posição 
 
 As medidas de posição, também chamadas de medidas de tendência central, 
fornecem um valor que representa a posição central do conjunto de dados, com os 
demais dados dispostos em torno deste. As medidas de posição são: média aritmética, 
mediana e moda. 
 
• Média 
A média aritmética simples de um conjunto de valores numéricos é calculada 
somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos 
somados, que é igual ao número de elementos do conjunto. 
n
x
x
i
n
x 1=
Σ
= 
xi = valores da variável X 
n = número de dados 
 
No cálculo da média ponderada, é calculada pelo somatório das multiplicações 
cada valor do conjunto por seu peso, isto é, sua importância relativa, e dividida pelo 
somatório dos pesos. 
 
x =
Σ
x=1
n
xi ⋅ pi
Σ
x=1
n
pi
 
 
xi = valores da variável X 
pi = peso associado ao valor xi 
n = número de dados 
 
• Mediana 
Mediana (Md) é uma medida de tendência central que indica exatamente o valor 
central de uma amostra de dados. 
Ø Dessa forma, podemos resumir o cálculo da mediana da seguinte forma: 
 
Os valores da amostra devem ser colocados em ordem crescente ou decrescente; 
Ø Calcular a posição da mediana, pode ser pela fórmula: P(Md) = 
2
1+n 
Encontrar o valor localizado nesta posição, que corresponderá à mediana, 
considerando que: 
	
  
	
  
	
  	
  
	
  
• se a quantidade de valores da amostra for ímpar, a mediana é o valor 
central da amostra. Nesse caso, há a mesma quantidade de valores acima e 
abaixo desse valor; 
• se a quantidade de valores da amostra for par, é preciso tirar a média dos 
valores centrais para calcular a mediana. 
 
• Moda 
É o valor que mais aparece no conjunto de dados, isto é, utilizamos para 
representar o valor típico de um conjunto de dados. É representada por Mo. 
 
Exemplo 1: Foram selecionadas oito medidas do diâmetro (em mm) interno de anéis 
forjados de pistão de um motor de um automóvel. Os dados codificados são: 1, 3, 15, 0, 5, 
2, 5 e 4. Calcule: média, mediana e moda. 
 
Exemplo 2: Considere uma população de 40 profissionais liberais que foram, 
questionados sobre o número de revistas e/ou jornais que os mesmos são assinantes, 
obteve-se a seguinte tabela: 
 
Nº de Publicações Nº de Profissionais 
0 6 
1 8 
2 12 
3 10 
4 4 
∑ 40 
 
Pede-se: 
a) A percentagem de profissionais que tem menos de 3 revistas e/ou jornais 
(publicações). 
b) O valor da moda, da mediana e da média de publicações. 
 
Exemplo 3: Em certo dia foi realizado um levantamento a respeito das idades dos alunos 
de um curso noturno, obtendo-se a tabela abaixo: 
 
Idades (anos) Nº de Alunos 
16 |- 20 8 
20 |- 24 16 
24 |- 28 12 
28 |- 32 4 
∑ 40 
	
  
	
  
	
  	
  
	
  
 
Considerando esta turma como uma população, determine: 
a) A percentagem de alunos com menos de 24 anos. 
b) O valor da médio das idades e a moda das idades. 
 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
As medidas de dispersão, também chamadas de variabilidade, fornecem um valor 
que quantifica a distância dos valores em torno do valor central, ou seja, são utilizadas 
para verificar se existe grande ou pequena variabilidade de valores no conjunto de dados. 
As medidas de dispersão são: variância, desvio padrão e coeficiente de variação. 
 
• Variância 
É a média dos desvios quadráticos de cada valor em relação à média. 
 
A variância amostral é dada por: 
 
s2 =
Σ
i=1
n
(xi − x)2
n−1 
Em que: 
xi = valores de variável x 
n = número de dados 
x = média aritmética 
 
 
A variância populacional é dada por: 
 
σ 2 =
Σ
i=1
n
(xi − x)2
N 
Em que: 
xi = valores de variável x 
N = número da população 
x = média aritmética 
 
 
• Desvio-padrão 
É a raiz quadrada da variância. 
 
Desvio-padrão populacional: σ = σ 2 
Desvio-padrão amostral: s = s2 
	
  
	
  
	
  	
  
	
  
 
• Coeficiente de variação 
É a divisão do desvio-padrão pela média multiplicado por 100. É sempre dado em 
percentual. O coeficiente de variação fornece a dispersão dos dados em torno da média 
em percentual, constituindo uma medida alternativa ao desvio-padrão. Quando se deseja 
comparar a variabilidade entre dois conjuntos de dados, o coeficiente de variação é a 
medida de dispersão indicada. 
 
Coeficiente de variação amostral: cv = Sx ⋅100 
 
Coeficiente de variação populacional: cv = σx ⋅100 
 
 
Exemplo 4: Os dados referem-se a uma amostra de salários semanais de funcionários de 
uma determinada indústria: R$ 780,00, R$ 1.200,00, R$ 550,00, R$ 600,00, R$ 1.500,00, 
R$ 750,00, R$ 980,00. Determine o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
 
Média 
 
57,908
7
980,00 750,001.500,00 600,00 550,001.200,00 780,00
=
++++++
=
x
x
 
 
Variância 
61,117547
17
)57,908980()57,908750()57,9081500()57,908600()57,908550()57,9081200()57,908780(
2
2222222
2
=
−
−+−+−+−+−+−+−
=
S
S
 
Desvio padrão 
85,342
61,117547
=
=
S
S 
 
Interpretamos que: a média do conjunto de dados é R$ 908,57 com um desvio-padrão 
para baixo e para cima de R$ 342,85. Assim, utilizamos o desvio-padrão acompanhando 
a média, pois esta fornece um valor central e o desvio-padrão a dispersão em torno desse 
valor central. 
 
Coeficiente de variação 
cv = 342,85908,57 ⋅100 cv = 37,7% 
 
Interpretação do coeficiente de variação: tem-se uma variabilidade média de 37,7% para 
mais e para menos do salário médio dos funcionários. 
 
 
	
  
	
  
	
  	
  
	
  
Exercícios 
 
1. Foram feitas oito medidas do diâmetro (em mm) interno de anéis forjados de pistão de 
um motor de um automóvel. Os dados codificados são: 1, 3, 15, 0, 5, 2, 5 e 4. Calcule o 
desvio- padrão. R.: 4,658 
2. Em Applied Life Data Analysis (Wiley, 1982), Wayne Nelson apresenta o tempo de 
esgotamento de um fluido isolante entre eletrodos a 34 kV. Os tempos, em minutos, são: 
0,19; 0,78; 0,96; 1,31; 2,78; 3,16; 4,15; 4,67; 4,85; 6,50; 7,35; 8,01; 8,27; 12,06; 31,75; 
32,52; 33,91; 36,71 e 72,89. Calcule a média e o desvio-padrão da amostra. 
3. Sete medidas da espessura de óxido em pastilhas são estudadas para verificar a 
qualidade em um processo de fabricação de semicondutores. Os dados (em angstroms) 
são: 1.264, 1.280, 1.301, 1.300, 1.292, 1.307 e 1.275. Calcule a média e o desvio-padrão 
da amostra. R.: 1288,4, 15,8 
4. Um artigo no Journal of Structural Engineering (Vol. 115, 1989) descreve um 
experimento para testar a resistência resultante em tubos circulares com calotas soldadas 
nas extremidades. Os primeiros resultados (em kN) são: 96; 96; 102; 102; 102; 104; 104; 
108; 126; 126; 128; 128; 140; 156; 160; 160; 164 e 170. Calcule a média e o desvio- 
padrão da amostra. 
5. Um artigo em Human Factors (junho de 1989) apresentou dados sobre acomodação 
visual (uma funçã do movimento do olho), quando reconhecendo um padrão de mancha 
em um vídeo CRT de alta resolução. Os dados são: 36,45; 67,90; 38,77; 42,18; 26,72; 
50,77; 39,30 e 49,71. Calcule a média e o desvio-padrão da amostra. R.: 43,975, 12,294 
6. Os seguintes dados são medidas de intensidade solar direta (watts/ m2), em dias 
diferentes, em uma localização no sul da Espanha: 562; 869; 708; 775; 775; 704; 809; 
856; 655; 806; 878; 909; 918; 558; 768; 870; 918; 940; 946; 661; 820; 898; 935; 952; 957; 
693; 835; 905; 939; 955; 960; 498; 653; 730 e 753. Calcule a média e o desvio-padrão da 
amostra. 
 
7. Os dados da Tabela 2-2 referem-se a resistência à compressão de uma liga. 
 
 
Calcule a média, mediana e desvio-padrão. 
 
Referência 
 
MONTGOMERY, Douglas C., RUNGER, George C., HUBELE, Norma Faris. EstatísticaAplicada à Engenharia, 2ª edição.. [Minha Biblioteca].