Relatório Momento de Inércia

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
 
 
 
 
 
 
 
 
LABORATÓRIO DE FÍSICA II 
Momento de Inércia de uma Partícula 
05/09/2019 
Momento de Inércia de um Disco 
12/09/2019 
 
 
 
 
 
Benício Nacif Ávila RA: 191010774 
Gabriel Filkauskas de Melo RA: 191011371 
João Guilherme Lalla RA: 191011291 
Matheus de Souza Rodrigues RA: 191010278 
Matheus Vive RA: 191011266 
Stasys Antonio S. Linkevicius RA: 191011584 
 
 
 
 
 
 
Profª: Larisa B. Arruda 
 
 
 
 
Bauru - SP 
2019 
OBJETIVO 
Estudar o momento de inércia de uma partícula e de um disco em relação a um determinado 
eixo de rotação, a fim de confrontar os valores obtidos experimentalmente com os valores calculados 
pelas equações. 
 
INTRODUÇÃO 
Esse experimento tem como objeto de estudo o momento de inércia, ou inércia rotacional, que 
é definido como uma grandeza física relacionada à resistência de um corpo ao movimento rotacional. 
Para exemplificar melhor o momento de inércia, suponhamos uma lâmina circular executando 
um movimento de rotação. Como ela este em movimento, conclui-se que ela possui energia cinética, 
porém devido a natureza do movimento rotacional não é possível calculá-la através da expressão: 
(1) 
,pois ela se aplica a partículas, e as partículas da lâmina, a medida em que se localizam mais distantes 
do eixo de rotação da lâmina, possuem mesma velocidade angular porém diferentes velocidades 
lineares,de acordo com a equação: 
(2) 
,consequentemente, as partículas distribuídas ao longo do raio R da lâmina não possuirão a mesma 
energia cinética. 
Considerando que cada partícula constituinte da lâmina possui massa M​i e velocidade linear 
V​i​, a energia cinética para um corpo com n partículas é dada por: 
(3) 
(4) 
,substituindo (4) em (3): 
(5) 
O produto [M​i​.(R​i​)^2] indica como a massa de um corpo em rotação se distribui ao longo do 
raio do corpo em relação ao eixo e , portanto, uma medida da inércia do sistema que representa a 
resistência que o sistema oferece quando tenta-se alterar seu estado de movimento (parar ou 
movimentar). A esta quantidade denomina-se de momento de inércia I do corpo em relação ao eixo de 
rotação, que pode ser expresso pela seguinte equação: 
(6) 
,substituindo (6) em (5) obtemos: 
(7) 
No caso de um corpo rígido composto por partículas discretas de massa dm e a distribuição de 
massas for contínua, a definição de momento de inércia é expressa por: 
 (8) 
Com o auxílio da equação (8), possível determinar a expressão do momento de inércia em 
relação a um eixo fixo de corpos com formas específicas. 
 
Momento de inércia de um anel em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa (CM): 
(9) 
M: massa do anel; 
R​ext ​: raio externo do anel; 
R​int​: raio interno do anel; 
 
Momento de inércia de um disco em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa: 
(10) 
M: massa do disco; 
R​d​: raio do disco; 
 
Momento de inércia de um disco em relação a um eixo que passa por seu diâmetro: 
(11) 
M: massa do disco; 
R​d​: raio do disco; 
 
(12) 
Y: distância entre sensores; 
a: aceleração do sistema; 
(13) 
C: constante; 
M​A​: momento de atrito; 
IC: momento de inércia experimental do conjunto; 
r: raio da polia; 
(14) 
A: coeficiente linear da reta; 
(15) 
B: coeficiente angular da reta; 
(16) 
D%: desvio percentual; 
I​Pt ​: ​momento de inércia teórico da partícula; 
I​Pexp ​.: ​momento de inércia experimental da partícula; 
 
MATERIAIS UTILIZADOS 
Nos experimentos de Momento de Inércia foram utilizados os seguintes materiais: 
❖ Cronômetro com sensores (marca PASCO scientific, modelo ME-8930, precisão 0,1 ms); 
❖ Plataforma rotacional (marca PASCO scientific, modelo ME-8951); 
❖ Kit acessório de inércia rotacional (marca PASCO scientific, modelo ME-8953); 
❖ Balança de precisão (marca GEHAKA, modelo BG 2000, precisão 0,01g); 
❖ Paquímetro (marca Mitutoyo, precisão 0,05 mm); 
❖ Trena de 3m (marca TRAMONTINA MASTER, precisão 1,0 mm); 
❖ Haste de fixação dos sensores; 
❖ Porta - massas; 
❖ Cabos e conexões; 
❖ Massas diversas. 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
Momento de Inércia de uma Partícula 
Ao se iniciar o experimento, primeira ação foi medir a massa da partícula M e a massa do 
porta-massas. Em seguida, a partícula foi presa na plataforma a uma distância, escolhida pelo grupo, 
que seria o Raio (no caso deste grupo, a distância foi de 18 cm) e o cordão do porta-massas foi 
devidamente amarrado na polia da plataforma, de modo que quando atingisse o anteparo não haveria 
uma Força de Tração agindo sobre a polia (como ilustrado na figura 1). de distância entre si. 
 
Figura 1 
Fonte: material disponibilizado pela professora 
Com os sensores do cronômetro posicionados a 50 cm de distância um do outro e com o 
mesmo configurado no modo “Two Gates”, com o objetivo de medir o intervalo de tempo entre a 
passagem do porta massas por cada sensor, foi adicionada uma massa de 10g e definido um ponto de 
partida padrão, então o sistema foi solto e o tempo foi medido quatro vezes. Foi então adicionado 
massa de 10g em 10g e medido 4 vezes o tempo de cada configuração do sistema. O experimento foi 
repetido 4 vezes e os dados foram anotados na tabela. 
 
Momento de Inércia de um Disco 
Para esta segunda parte do experimento, a primeira ação a ser tomada foi a medir a massa M 
do disco e determinar o diâmetro do disco D com o auxílio de um paquímetro (possibilitando o 
cálculo de seu raio R). Em seguida, a plataforma rotacional foi retirada e em seu lugar o disco foi 
devidamente posicionado no centro de rotação do equipamento. O cordão do porta-massas foi 
devidamente amarrado na polia da plataforma, de modo que quando atingisse o anteparo não haveria 
uma Força de Tração agindo sobre a polia (como ilustrado na figura 2), garantido que o porta-massas 
atinja o anteparo após passar pelos sensores do cronômetro que estavam a 50 cm de distância entre si. 
 
Figura 2 
Fonte: material disponibilizado pela professora 
Com os sensores do cronômetro a 50 cm de distância e configurados no modo “Two Gates”, a 
fim de medir o intervalo de tempo entre a passagem do porta massas por cada sensor, foi adicionada 
uma massa de aproximadamente 10g e definido um ponto de partida padrão. O sistema foi solto e o 
tempo foi medido quatro vezes para então se calcular a média. Em seguida, foram adicionadas massas 
de 10g em 10g e medido 4 vezes o tempo de cada configuração do sistema. O experimento foi 
repetido 4 vezes e os dados foram anotados na tabela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
DADOS E RESULTADOS 
Momento de Inércia de uma Partícula 
Colhendo os dados de massa e dimensões dos aparatos constrói-se a tabela 1: 
Tabela 1 - Medidas iniciais do sistemas (não variáveis) 
 
Fonte: Autoria Própria 
Com os dados obtidos na tabela 1, inicia-se o procedimento experimental para abastecer uma 
segunda tabela, onde serão apresentados os tempos gastos para o porta-massas percorrer os 50 cm que 
distam os sensores. 
Tabela 2 - Massasde tração (m), tempos (t) e aceleração (a). 
 
Fonte: Autoria própria 
As acelerações apresentadas pela tabela 2, a e a’ são respectivamente do sistema rotacional 
mais partícula, e sistema rotacional isoladamente, essa aceleração é calculada com o auxílio da 
equação (12). 
Tendo os valores de aceleração em mãos pode-se construir um gráfico da massa pela mesma, 
para a e a’. 
Gráfico 1 - Massa por aceleração (Sistema rotacional + Partícula) 
 
Fonte: Autoria própria 
Gráfico 2 - Massa por aceleração (sistema rotacional) 
 
Fonte: Autoria própria 
Com os coeficientes e os dados fornecidos pelos gráficos trabalha-se na construção de uma 
terceira tabela onde serão apresentados os valores momentos de inércia e torque de atrito, onde serão 
apresentados também os erros percentuais obtidos no experimento: 
 
Tabela 3 - Momentos de inércia experimentais, teóricos, erros percentual torque de atrito 
 
Fonte: Autoria própria 
Com os gráficos 1 e 2, e seus respectivos coeficientes angulares, por meio da equação (15), 
pode-se calcular uma constante C e C’, e por intermédio destas constantes e a equação (14), chega-se 
aos momentos inerciais experimentais do sistema rotacional com partícula, e isoladamente, realizando 
uma subtração obtém-se o valor experimental do momento inercial da partícula. 
Utilizando-se da equação (6), determina-se o valor teórico de momento de inércia da partícula 
e com a equação (16), encontra-se o erro percentual encontrado no experimento. 
É sabido também que sobre um corpo em movimento rotacional atua um torque resultante do 
atrito, o mesmo pode ser calculado através da equação (13). 
 
Momento de Inércia de um Disco 
Se tratando de um disco maciço, a forma de realização do experimento não se altera, 
primeiramente colhe-se os dados de massa e dimensões dos aparatos constrói-se a tabela 4: 
Tabela 4 - Medidas iniciais do sistemas (não variáveis) 
 
Fonte: Autoria própria 
Com os dados obtidos na tabela 4, inicia-se o procedimento experimental para abastecer uma 
quinta tabela, onde serão apresentados os tempos gastos para o porta-massas percorrer os 50 cm que 
distam os sensores. 
Tabela 5 - Massas de tração (m), tempos (t) e aceleração (a) 
 
Fonte: Autoria própria 
As acelerações apresentadas pela tabela 5, a e a’ são respectivamente do sistema rotacional 
mais o disco, e sistema rotacional isoladamente, essa aceleração é calculada com o auxílio da equação 
(12). 
Tendo os valores de aceleração em mãos pode-se construir um gráfico da massa pela mesma, 
para a e a’: 
Gráfico 3 - Massa por aceleração (Sistema rotacional + Disco) 
 
Fonte: Autoria própria 
Gráfico 4 - Massa por aceleração (sistema rotacional) 
 
Fonte: Autoria própria 
Com os coeficientes e os dados fornecidos pelos gráficos trabalha-se na construção de uma 
sexta tabela onde serão apresentados os valores momentos de inércia e torque de atrito, onde serão 
apresentados também os erros percentuais obtidos no experimento, porém relacionados ao disco: 
Tabela 6 - Momentos de inércia experimentais, teóricos, erros percentual torque de atrito 
 
Fonte: Autoria própria 
Com os gráficos 3 e 4, e seus respectivos coeficientes angulares, por meio da equação (15), 
pode-se calcular uma constante C e C’, e por intermédio destas constantes e a equação (14), chega-se 
aos momentos inerciais experimentais do sistema rotacional com disco, e isoladamente, realizando 
uma subtração obtém-se o valor experimental do momento inercial do disco. 
Utilizando-se da equação (10), determina-se o valor teórico de momento de inércia do disco e 
com a equação (16), encontra-se o erro percentual encontrado no experimento. 
E assim como na partícula sobre um disco em movimento rotacional atua um torque resultante 
do atrito, o mesmo pode ser calculado através da equação (13). 
DISCUSSÃO 
Nota-se nos resultados obtidos a ocorrência de uma considerável variação, tanto de se 
tratando do momento inercial da partícula quanto do disco, essa variação pode ser justificada por 
eventos como a movimentação da base sobre a bancada mudando o ponto de referência para liberação 
da força de tração e a folga presente no eixo de rotação do sistema, além de erros simples como 
paralaxe no momento de verificação das medidas de diâmetro e distâncias entre sensores. 
 
CONCLUSÃO 
Ao final do experimento, conclui-se que o estudo do momento inercial de uma partícula e de 
um disco, possibilitou verificar e analisar experimentalmente o momento de inércia de um corpo em 
relação a um eixo de rotação. 
 Diante disso, verifica-se ainda, que embora o experimento realizado, tenha obtido valores de 
desvios consideráveis e expressivos, seja para a partícula, seja para o disco, este estudo proporcionou 
ainda a construção e interpretação dos gráficos do experimento, além do conhecimento de novas 
equações, como o cálculo do momento de atrito. 
 
REFERÊNCIAS 
ARRUDA, Larisa B., Apostila Laboratório de Física II, UNESP Campus Bauru, material didático 
(2019).