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CCE0159- Teoria Eletromagnética 1
Aula 21: Campo Magnético Estacionário
Torque sobre uma espira percorrida por corrente – Momento magnético
Momento de uma força (𝑴𝑶)
𝑴𝑶 é o torque em relação a um ponto específico P.
O braço de alavanca, 𝒓, é orientado do ponto em relação ao qual o torque
será calculado até o ponto de aplicação da força (ver figura).
𝑇 = 𝑟 × 𝐹 (𝑁.𝑚)
AULA 21: Campo Magnético Estacionário
Campo Magnético Estacionário
Eletromagnetismo
O torque (𝑇) é produto vetorial do braço de alavanca até “P pela força F”.
A força em P produz um torque, em 
relação a origem.
Define-se o valor do momento de uma força em relação a um ponto O,
como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a
linha de ação da força (ponto P).
As forças que atuam sobre uma espira
colocada na região de um campo magnético,
tendem a fazê-la girar em relação a um eixo.
Seja uma espira retangular de lados L (comp.) e d (largura).
𝑑𝐹 = 𝐼 𝑑𝐿 × 𝐵 (𝑁)
Torque e Momento de uma força sobre uma espira
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Eletromagnetismo
𝐹𝑡
𝐹 𝜃
𝐹 = 𝐼𝐿𝐵𝑠𝑒𝑛90°
𝐹𝑡 = 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃
= 𝐼𝐿𝐵
𝐹𝑡 = 𝐼𝐿𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 (𝑁)
Do triângulo da fig.:
𝐹𝑡 = 𝐼(𝐿 × 𝐵)
𝑭𝒕 é a componente da força magnética F, sendo normal à espira.
𝑭𝒕 irá gerar o torque para rotacionar a espira no campo magnético.
As forças que atuam sobre uma espira
colocada na região de um campo magnético,
tendem a fazê-la girar em relação a um eixo.
𝐹𝑡 = 𝐼𝐿𝐵𝑠𝑒𝑛θ (𝑁)
A componente 𝑭𝒕 da força magnética 𝑭 multiplicada pela distância
d/2 ao eixo de rotação da espira é denominado Torque, T (N.m).
𝑇 = 𝐼. 𝐿. 𝐵. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛θ (𝑁.𝑚)
𝑇𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑞 = 𝐹𝑡 .
𝑑
2
𝑇𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑜 = 𝐹𝑡 .
𝑑
2
𝑇 = 𝑇𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑞 + 𝑇𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑜 = 𝐹𝑡 .
𝑑
2
+ 𝐹𝑡 .
𝑑
2
𝑇 = 2𝐼𝐿𝐵𝑠𝑒𝑛θ .
𝑑
2
Torque e Momento de uma força sobre uma espira (Cont.)
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Eletromagnetismo
= 2𝐹𝑡
𝑑
2
∴
Sendo A a área da espira (A = L.d): 𝑇 = 𝐼𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛θ (𝑁.𝑚)
𝑇 = 𝑚𝐵𝑠𝑒𝑛θ (𝑁.𝑚)
Se uma bobina é composta de N espiras, o momento magnético total sobre a bobina será: 𝑚 = 𝑁𝐼𝐴 (𝐴.𝑚2)
𝐓 = 𝐦 × 𝐁 (𝑁.𝑚)
O momento magnético poderá ser representado vetorialmente como: 𝐦 = 𝑚𝐚𝑛 (𝐴.𝑚2)
De modo geral, o torque é expresso pelo produto vetorial:
𝑇 = 𝐼. 𝐿. 𝐵. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛θ
Torque e Momento de uma força sobre uma espira (Cont.)
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Eletromagnetismo
O produto I.A (corrente x área) é o momento magnético (m) da espira:
(o torque será máximo quando 𝜃 = 90°).
EXEMPLO 1 – Uma bobina retangular com 200 espiras de 0,3 × 0,15 𝑚2 com uma corrente de 5,0 A, está em um campo
uniforme de 0,2 T. Encontre o momento magnético e o torque máximo na bobina.
Solução:
𝐴 = 0,3 × 0,15 = 0,045𝑚2
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑚 = 𝑛𝐼𝐴 = 200 × 5 × 0,045 = 𝟒𝟓 𝑨𝒎𝟐
𝑇𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜: 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝐵𝑠𝑒𝑛90° = 45 × 0,2 = 𝟗 𝑵.𝒎
AULA 21: Campo Magnético Estacionário
Campo Magnético Estacionário
Eletromagnetismo
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑚 = 𝑛𝐼𝐴
Exercício resolvido 1 – Um medidor de corrente de d´Arsonval, cuja descrição do instrumento é mostrada na figura abaixo, é
constituído por uma bobina capaz de girar em torno de um eixo numa região onde existe um campo radial com intensidade
uniforme de 0,1 Wb/m2. Uma mola (espiral) de torção oferece um torque resistente 𝑇𝑚 = 5,87 × 10
−5𝜃 (𝑁.𝑚), com 𝜃 em
radianos, contra o movimento de rotação da bobina. Sabe-se que o enrolamento da bobina é formado por 35 espiras retangulares
de dimensões 23 mm × 17 𝑚𝑚. Qual é o ângulo de rotação que resulta pela passagem de uma corrente de 15 mA na bobina?
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
AULA 21: Campo Magnético Estacionário
Campo Magnético Estacionário
Este medidor de corrente é um instrumento de bobina móvel e que
deve apresentar o mesmo torque independente da posição angular.
Para tal, o enrolamento com as espiras é montado ao redor de um
núcleo de forro doce de formato cilíndrico. Dessa forma, ele conduz o
fluxo magnético no sentido radial de modo que a força magnética
sempre produza o mesmo torque em qualquer posição angular.
Eletromagnetismo
AULA 21: Campo Magnético Estacionário
Campo Magnético Estacionário
Solução:
O campo magnético, ao qual a bobina é expostas, tem
suas linhas de campo distribuídas radialmente, sendo
dado por
𝐓 = 𝐦× 𝐁 (𝑁.𝑚)
𝑇 = 𝑚𝐵𝑠𝑒𝑛θ (𝜃 = 90°)
O ângulo 𝜃=90°indica uma configuração radial do
campo magnético presente no núcleo da bobina.
cuja magnitude é
O momento magnético na bobina é: 𝑚 = 𝑁𝐼𝐴 (𝐴.𝑚2)
𝑚 = 35 × 15 × 10−3 23 × 10−3 × 17 × 10−3
𝑚 = 0,205 × 10−3𝐴.𝑚2
O torque: 𝑇 = (0,205 × 10−3) × 0,1 = 2,05 × 10−5 𝑁.𝑚
No equilíbrio, este torque encontrará reação no torque mecânico
𝑇𝑚 de resistência da mola do medidor.
Dessa forma: 𝑇 = 𝑇𝑚
2,05 × 10−5 = 5,87 × 10−5 × 𝜃
𝜃 = 0,35 𝑟𝑎𝑑 𝜃 ≅ 20°
Eletromagnetismo
Exercício resolvido 2 – Um condutor retilíneo localizado em 𝑥 = 0,4 𝑚; 𝑦 = 0 e com comprimento de 2,0 m no
sentido positivo do eixo z, transporta uma corrente de 5,0 A no sentido dado pelo unitário 𝒂𝑧. Havendo a existência de
um campo magnético uniforme 𝑩 = 2,5𝒂𝑥 (T) ao longo de todo o condutor, calcule o torque em relação ao eixo z.
Solução:
𝑇 = 𝑟 × 𝐹 (𝑁.𝑚)
𝑇 = 10𝒂𝑧 (𝑁.𝑚)
AULA 21: Campo Magnético Estacionário
Campo Magnético Estacionário
Eletromagnetismo
𝑥
𝑦
𝑧
0
0,4
2
𝐿 = 2,0𝒂𝑧 (m) 𝐵 = 2,5𝒂𝑥 (T) 𝑟 = 0,4𝒂𝑥 (m)
Cálculo de F: 𝐹 = 𝐼(𝐿 × 𝐵)
𝐹 = 5,0 2,0𝒂𝑧 × 2,5𝒂𝑥 = 25𝒂𝑦 (𝑁)
𝑇 = 𝑟 × 𝐹 = 0,4𝒂𝑥 × 25𝒂𝑦
𝑇 =? ? ?
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
0 0 2
2,5 0 0
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
0 0 2
= 5𝑎𝑦
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
0,4 0 0
0 25 0
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
0 25 0
= 10𝑎𝑧
2,0𝒂𝑧 × 2,5𝒂𝑥 =
0,4𝒂𝑥 × 25𝒂𝑦 =
Exercício Proposto 1
EXERCÍCIO PROPOSTO 1 – Um condutor com 4m de comprimento está ao longo do eixo y com uma corrente de 10,0 A
na direção ay . Calcular a força sobre o condutor, se o campo na região é B = 0,05ax T.
Resposta: −0,2𝑎𝑧 (𝑁)
Exercício Proposto 2
EXERCÍCIO PROPOSTO 2 – Determine o torque máximo sobre uma bobina retangular com 85 espiras, dimensões 0,2 m
por 0,3 m, conduzindo uma corrente de 2,0 A em um campo de 𝐵 = 6,5 𝑇.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
AULA 21: Campo Magnético Estacionário
Campo Magnético Estacionário
Eletromagnetismo
Resposta: 66,3 (𝑇)
Assuntos da próxima aula:
Continuação da aula 22: campo magnético 
estacionário.