Semana 4 - Texto-base 3 - Física III FEG001_rev

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O Magnetismo e a Magnetosta tica 
1- Magnetismo e Campo Magnético 
Referimo-nos ao magnetismo como sendo a ciência que estuda os fenômenos associados à geração de 
campos magnéticos, bem como sua utilização para efeitos práticos. É uma área do conhecimento bastante 
ativa ainda hoje. A área de grande interesse tecnológico é aquela que estuda e desenvolve materiais 
magnéticos. Uma das aplicações desses materiais é o armazenamento de informações. 
Campos magnéticos têm o caráter vetorial dos campos elétricos, mas em alguns aspectos são radicalmente 
diferentes destes. Esse é o caso dos campos magnéticos gerados pelos imãs, os quais têm uma origem 
distinta dos campos elétricos. No entanto, noutras duas formas de gerar campos magnéticos fica bastante 
evidente a inter-relação entre os dois campos (o elétrico e o magnético). 
Campos magnéticos podem ser percebidos por meio das forças, ditas magnéticas, que eles acarretam. No 
entanto, esse não é o único efeito do campo magnético. Por exemplo, a mera presença de um campo 
elétrico numa determinada região do espaço leva à existência de uma energia magnética nesta região. 
Os materiais exibem o fenômeno do magnetismo. Ele se manifesta na medida em que certos materiais são 
capazes de produzir, gerar, campos magnéticos. Estes campos, por outro lado, geram forças capazes de 
atrair pequenos pedaços de ferro, forças entre fios e, mais importante, forças que colocam elétrons em 
movimento, gerando uma corrente elétrica. São muitas as forças de origem magnética. 
Na pesquisa científica, o magnetismo ocupa um papel essencial no confinamento de um plasma. Essa nova 
fase da matéria é uma promessa para geração de energia a partir da fusão controlada. 
 
Figura 1. Campos magnéticos não uniformes são utilizados para confinar plasma. 
2- A DESCOBERTA DO MAGNETISMO 
Interessante notar que praticamente ao mesmo tempo em que se descobriu o fenômeno da eletricidade, 
numa região da cidade grega de nome Magnésia, alguns habitantes perceberam um fenômeno de certa 
forma parecido com o da eletricidade. No caso, o fenômeno consistia no fato de que alguns materiais, que 
hoje denominamos materiais ferroelétricos (na verdade se tratava de um mineral dotado de tal propriedade), 
exibiam a propriedade, análoga ao âmbar, de atrair pequenos pedaços de ferro, só que sem a necessidade 
de atritá-lo. 
A descoberta do magnetismo é muito antiga. Ocorreu na região da Magnésia (daí o nome), quando se 
verificou que a magnetita (um mineral) exibia a capacidade de atrair pequenos pedaços de ferro. 
A magnetita é um material ferroelétrico semelhante aos imãs. Dizemos que esses materiais geram campos 
magnéticos. Os objetos atraídos por eles (como pregos) também são ferroelétricos. Esses materiais são 
influenciados pelo campo magnético produzido por ímãs. Trata-se da interação entre dois materiais bastante 
semelhantes em relação a suas propriedades magnéticas. 
 
 
Figura 2. A magnetita, um mineral ferromagnético como os imãs. 
Assim, o início do interesse pelo magnetismo tem lugar com a descoberta das forças magnéticas geradas por 
certos materiais. 
É curioso constatar que, na realidade, nesse início, os gregos estavam descobrindo um fenômeno 
inteiramente associado ao que nós hoje chamamos de propriedades, ou atributos, dos constituintes da 
matéria. Esse reconhecimento só ocorreu cerca de 2500 anos depois da descoberta desses materiais. 
Sabemos hoje que o ferromagnetismo, em suas múltiplas formas, ocorre por conta do atributo denominado 
spin, um dos atributos dos constituintes da matéria. 
Tendo em vista o atributo spin, se pode pensar no elétron e no próton como sendo pequenos imãs. O nêutron 
também, mas por não possuir carga elétrica, o efeito do spin é bem menos acentuado. 
O fato é que a ciência do eletromagnetismo se iniciou quando tomamos conhecimento de dois atributos dos 
constituintes da matéria os quais hoje denominamos carga elétrica e spin. 
3- O Magnetismo terrestre 
A segunda descoberta importante, relativa ao magnetismo, é que a Terra gera um campo magnético. E este 
exerce influência, por meio de forças, sobre materiais ferroelétricos localizados sobre todos os pontos na 
superfície terrestre (e pontos acima dela). Não existe uma boa teoria para explicar o magnetismo terrestre. 
Sabemos, no entanto, como inferira William Gilbert em 1600, que o campo magnético tem linhas de força 
semelhantes àquelas produzidas por um imã. Esse campo magnético tem a capacidade de influenciar agulhas 
imantadas e essa é a base para a primeira utilização do campo magnético terrestre: a construção de bússolas. 
Essa iniciativa data de aproximadamente 1100 anos depois de Cristo. 
É possível nos orientarmos utilizando uma bússola que aponta para o polo norte ou para o polo sul. Daí a 
ideia de polos de um imã. Um polo norte do imã-Terra, que a rigor se encontra no Sul geográfico, e um polo 
Sul no outro extremo (vide figura 3) 
O fato é que relativamente cedo se encontrou uma utilidade para o magnetismo. O mesmo não aconteceu 
com a eletricidade. Sua utilidade só se revelou em sua inteireza quando foi descoberta a pilha, por Alessandro 
Volta; o que aconteceu depois de 600 anos depois da descoberta da bússola. 
 
Figura 3. O campo magnético da Terra e a bússula. 
4- Forças Magnéticas 
Os efeitos mais perceptíveis da geração de campos magnéticos são as forças a eles associadas. É a maneira 
mais simples de determinarmos a existência de um campo magnético numa determinada região do espaço. 
Para tal, basta utilizarmos magnéticos (como imãs e bússolas), os quais se deixam influenciar pelos campos 
magnéticos. Existem, essencialmente, dois tipos de forças magnéticas: 
1 - Forças resultantes da interação entre momentos de dipolo magnéticos (como as forças exercidas pelos 
imãs). 
2 - Forças de Lorentz. 
A interação entre dipolos magnéticos gera forças que em geral são difíceis de serem calculadas. 
Num dipolo podemos identificar duas regiões a que denominamos polos. Polos de mesmo nome se repelem, 
enquanto que polos de nomes opostos se atraem. 
Por conta do mecanismo de formação dos imãs, cada pedaço se constitui num novo imã quando eles são 
divididos. 
 
Figura 4. Ilustração das forças entre os polos. 
Quando cortamos um imã, encontramos dois imãs em seu lugar. Esse é um resultado assaz curioso. 
Quando um imã se encontra sob o efeito de um campo magnético, ele se orienta de acordo com a Figura 5 
abaixo. 
 
Figura 5. Quando sujeito a um campo externo, o polo norte procura se movimentar no sentido do campo 
magnético externo. O polo sul se orienta de forma oposta. 
As forças de Lorentz foram estudadas no capítulo anterior. 
5- Não existem monopolos magnéticos 
A diferença mais relevante do magnetismo, em relação à eletricidade, é que os constituintes da matéria 
não têm um atributo mediante o qual eles possam exercer forças magnéticas. 
 
Não existindo tal atributo, a carga magnética, cabe a pergunta: 
Como são gerados os campos magnéticos? 
Sabemos hoje que os campos magnéticos podem ser gerados de três formas distintas: 
1- Quando os spins do elétron se alinham. 
Não existem atributos denominados cargas magnéticas, isto é, não existem monopolos 
magnéticos. No entanto, para gerar campos magnéticos, é essencial que os constituintes da 
matéria, como os elétrons, prótons e nêutrons, exibam momentos de dipolo magnético. Quanto 
ao átomo ou à molécula como um todo, a questão é mais complexa, pois envolve um somatório 
de momentos de dipolo. 
dede todos eles. 
Essa é a origem do magnetismo dos imãs. É um fenômeno bastante surpreendente e dificílimo de ser 
explicado. Só a teoria quântica pode prevê-lo, desde que determinadas circunstâncias possam ocorrer. 
2- Um campo magnéticopode resultar, de forma preponderante, do movimento de cargas elétricas. 
Portanto, a ação da força magnética sobre um determinado corpo só acontece se este for dotado de carga 
e estiver numa região em que as cargas estejam em movimento. Nessas circunstâncias, um corpo 
carregado experimentará a ação de duas forças: a força elétrica e a força magnética. 
3- Campos elétricos variando com o tempo geram campos magnéticos. 
Essa foi uma descoberta feita por Maxwell, em 1863. 
O magnetismo dos materiais, por outro lado, está associado, regra geral, a dois efeitos. O primeiro efeito 
diz respeito a um tipo particular de movimento: o movimento dos elétrons em torno dos átomos. Esse 
movimento leva-nos a caracterizar um elétron, para efeito do magnetismo exibido por ele, como um ente 
físico que definimos como dipolo magnético. 
O segundo efeito tem a ver com o spin do elétron. A essa grandeza física também associamos um momento 
de dipolo elétrico. Assim, mesmo que um elétron não esteja em movimento, ele se comporta como um 
diminuto ímã. Como veremos em seguida, alguns tipos de magnetismo dos materiais resultam de um 
somatório de dipolos magnéticos numa escala macroscópica. Não por acaso, dizemos que o material está 
magnetizado. 
O magnetismo da matéria resulta de uma distribuição de momentos de dipolos magnéticos, sendo que 
cada átomo exibe um momento de dipolo magnético que lhe é próprio. Os momentos de dipolo podem ser 
tanto permanentes quanto induzidos. 
Campos eletromagnéticos, por outro lado, podem existir mesmo onde não existe matéria (no vácuo). 
6- MAGNETIZAÇÃO E OS IMÃS 
O conceito central do magnetismo da matéria é o conceito de momento de dipolo magnético. Esse 
conceito, no caso do movimento de cargas elétricas, será apresentado ao final deste capítulo. No 
momento, queremos lembrar que um elétron, um próton, ou uma partícula dotada de massa m e carga q, 
tem um momento de dipolo magnético dado por: 
qS
m
 
 8.1 
Onde 
S
 é o spin da partícula. Assim, essa grandeza física está relacionada ao spin e à carga elétrica, dois 
atributos dos constituintes da matéria. 
 
Figura 6. Por conta do seu spin, um elétron também é um pequeno imã. 
Magnetização é um fenômeno que ocorre quando o material adquire uma distribuição de dipolos 
magnéticos. Os imãs são materiais que exibem a magnetização em caráter permanente. Dessa forma, 
definimos o vetor magnetização 
M
 como sendo o momento de dipolo por unidade de volume. Ou seja: 
d
M
dV

=
 8.2 
Os materiais ferromagnéticos exibem uma magnetização por conta da orientação dos spins, ou seja, por 
conta da orientação dos pequenos imãs aos quais damos o nome, hoje, de elétrons. 
 
Figura 7. Em alguns materiais, pode-se ter a orientação de spins na mesma direção. Ou seja, os pequenos 
imãs se orientam de forma a gerar um campo magnético que é a soma dos campos magnéticos gerados por 
cada um dos pequenos imãs associados aos elétrons. 
 
A primeira forma de magnetismo a ser descoberta é aquela exibida pelos materiais ferroelétricos. Os imãs, 
bem como os materiais ferromagnéticos de forma geral, resultam de um fenômeno de alinhamento, muito 
raro, dos pequenos imãs associados aos elétrons. Assim, imãs são materiais ferroelétricos que possuem uma 
magnetização em caráter permanente. Entender como são formados os imãs é uma tarefa muito difícil, pois 
requer conhecimentos de mecânica quântica. Sabe-se, no entanto, que os materiais ferromagnéticos são 
formados por conta de forças ditas de Exchange, que promovem um alimento dos pequenos imãs associados 
aos elétrons. Cada imã tem dois polos, denominados norte e sul, refletindo as propriedades de momentos 
de dipolo. 
 
Figura 8. Imãs exibem propriedades distintas nas suas extremidades. Por razões históricas, essas 
extremidades são denominadas polos norte e sul. 
7- Linhas de Campos Magnéticos 
Uma linha de campo magnético é uma curva orientada no espaço. A partir delas, podemos inferir a direção 
e o sentido do campo magnético. A direção é aquela de uma reta tangente às linhas de campo. Seu sentido 
é indicado pela orientação da curva que passa por esse ponto. 
As linhas de campo, quando desenhadas, não têm a pretensão de que se possa determinar, a partir delas, a 
intensidade (o módulo do campo magnético) em cada ponto do espaço. No entanto, quanto maior o 
adensamento das linhas de campo, maior a intensidade do mesmo. O campo magnético, por exemplo, é 
mais intenso nos polos do que no equador. Isso pode ser entendido a partir da figura 9. 
 
 
Figura 9: As figuras ilustram “as linhas de força do campo magnético” ou, simplesmente, linhas do campo 
magnético da Terra e de um ímã sob a forma de uma barra. 
8- AS LEIS DA MAGNETOSTÁTICA 
Neste tópico, apresentaremos duas leis do eletromagnetismo: as leis da magnetostática. 
O fato é que, além do magnetismo dos imãs, dois fenômenos distintos dão origem a campos magnéticos: 
cargas em movimento (fenômeno já discutido no tópico anterior) e campos elétricos variando com o 
tempo. Temos, assim, duas formas de gerar campos magnéticos. Nenhuma delas faz referência ao conceito 
de monopolos magnéticos. 
A magnetostática é regida por duas leis. Ambas se referem a taxas de variação do campo magnético com 
respeito às coordenadas do espaço. Note-se que o tempo não é levado em conta, daí o nome. 
Na magnetostática, escrevemos: 
( , ) 0
( , )
B r t
t
J r t
t

=



 8.3 
A primeira lei da magnetostática estabelece que os campos magnéticos não resultam da existência de 
cargas magnéticas (que seriam, se existissem, um atributo análogo à carga elétrica), ela expressa o fato de 
que as partículas que constituem a matéria não são dotadas do atributo carga magnética. Não existem, 
portanto, monopolos magnéticos. Essa lei se escreve assim: 
( ) 0B r =
 8.4 
Seu significado será discutido a seguir. Essa lei, no entanto, é bastante geral. Isto é, ela vale mesmo no caso 
em que o campo magnético varia com o tempo: 
( , ) 0B r t =
 8.5 
A segunda lei procura estabelecer uma relação entre as taxas de variação do campo magnético e a 
densidade de corrente. A essa lei damos o nome de Lei de Ampère. Ela estabelece que cargas em 
movimento geram um campo magnético cujas taxas de variação se relacionam de uma forma simples 
(linear) com a densidade de corrente. Inicialmente, procuraremos apresentar uma formulação mais geral 
da lei de Biot-Savart para estabelecer uma relação entre as causas (cargas em movimento) e os efeitos 
(geração do campo magnético). A segunda lei estabelece que: 
0( ) ( )B r J r = 
 8.6 
Essa lei é denominada Lei de Ampére. Ela especifica que cargas elétricas em movimento geram campos 
magnéticos. 
8.1- Não existem monopolos magnéticos 
Primeiramente lembramos que, de acordo com a lei de Gauss, uma carga elétrica dá origem a um campo 
elétrico. A carga elétrica é um atributo que gera um campo elétrico no espaço. Esse campo, por outro lado, 
é tal que a soma das taxas de variação pontual do mesmo se relacionam com a distribuição de cargas, de 
forma que: 
0
yx z E
EE E
E
x y z
  
+ +   =
   
 8.7 
Em que 
E
 é a densidade de cargas elétricas. 
Sempre nos perguntamos se as partículas elementares não teriam outro atributo ao qual denominamos 
carga magnética, ou seja, se as partículas se comportam como monopolos magnéticos. Se isso ocorresse, 
escreveríamos: 
0
yx z M
BB B
B
x y z
  
+ +   =
   
 8.8 
Em que agora, em analogia com 8.8, 
M
 representaria a densidade de monopolos magnéticos (ou cargas 
magnéticas). Ocorre que até hoje não observamos a existência desse atributo em qualquer um dos objetos 
analisados.Portanto, a conclusão é que: 
Não existem cargas magnéticas 
Fato esse que podemos expressar como: 
0B =
 8.9 
Essa é uma das quatro leis fundamentais do eletromagnetismo. Ela expressa o fato de que o atributo carga 
magnética não existe. Como resultado da lei resumida em 8.9, as linhas de força do campo magnético são 
sempre fechadas (veja Figuras 9 e 10). 
 
Figura 10. As linhas de campo magnético se iniciam no polo norte e se dirigem ao polo sul. Suas linhas de 
campo são sempre fechadas. 
9- O POTENCIAL VETOR 
Além dos campos elétricos e magnéticos, fazemos uso no eletromagnetismo de dois outros campos: o 
potencial eletrostático (ao qual, de agora em diante, nos referimos como potencial eletromagnético) e o 
potencial vetor. 
A existência do potencial vetor é uma consequência do fato de que monopolos magnéticos não existem. O 
potencial vetor, como o nome bem indica, é um campo vetorial. Esse campo está relacionado ao campo 
magnético. 
O uso do potencial vetor introduz uma nova metodologia para a solução de problemas no 
eletromagnetismo. Além disso, ele faz com que a solução desses problemas tenha certa semelhança com a 
solução de problemas na eletrostática. 
Monopolos magnéticos não existem e esse fato pode ser traduzido em termos de propriedades do campo, 
como a propriedade do campo magnético ter um divergente nulo: 
( ), 0B r t =
 8.10 
Segue dessa propriedade que o campo magnético pode ser expresso como o rotacional de um campo 
vetorial. Esse campo vetorial é conhecido como potencial vetor (e representado por
( ),A r t
). Escrevemos: 
( ) ( ), ,B r t A r t= 
 8.11 
É importante frisar que o potencial vetor não é univocamente determinado. Dados dois potenciais vetores 
( ),A r t
 e 
( ),A r t
 que difiram pelo gradiente de um campo escalar: 
( ) ( ) ( ), , ,A r t A r t r t = +
 8.12 
Em que 

 é uma função escalar qualquer e lembrando que: 
( )( ), 0r t  =
 8.13 
Propriedade essa válida para qualquer função escalar. Então se conclui que os dois potenciais vetores 
levam a mesma expressão para o campo magnético: 
( ) ( ) ( ), , ,B r t A r t A r t=  = 
 8.14 
Assim, dois potenciais distintos (diferindo pelo gradiente de uma função escalar) são equivalentes e, 
portanto, o campo vetorial não é univocamente determinado. Como se requer que grandezas físicas sejam 
univocamente determinadas, a conclusão é que o potencial vetor é uma grandeza física não observável. 
À transformação da forma: 
( ) ( ), ,A r t A r t→
 8.15 
com 
( ),A r t
, dado pela expressão (8.12), damos o nome de Transformação de Gauge. 
À invariância do campo magnético por uma transformação de Gauge damos o nome de invariância de 
Gauge. 
10- EQUAÇÕES PARA O POTENCIAL VETOR 
O uso do potencial vetor faz com que as equações fundamentais da magnetostática fiquem muito 
semelhantes às equações da eletrostática. Para entendermos isso, vamos escrever as equações da 
magnetostática para o vácuo. Essas equações são as duas equações de Maxwell: 
( ), 0B r t =
 8.16 
( ) ( )0, ,B r t J r t =
 8.17 
A substituição de (8.11) em (8.16) nos leva à equação: 
( )( ) ( )0, ,A r t J r t  =
 8.18 
Lembrando a identidade entre operadores de campo: 
( )( ) ( )( ) ( )( )2, , ,A r t A r t A r t  =  −
 8.19 
Chegamos a seguinte equação para o potencial vetor: 
( )( ) ( )( ) ( )2 0, , ,A r t A r t J r t  − =
 8.20 
Lembrando, no entanto, da enorme liberdade que temos para escolher os campos vetoriais, da qual 
fazemos uso para escolher o potencial vetor de maneira a satisfazer a condição: 
( ), 0A r t =
 8.21 
A condição acima tem o nome de condição da transversalidade. A razão para esse nome só ficará mais clara 
depois, quando estudarmos as ondas eletromagnéticas. 
Dentre todas as infinitas possibilidades de escolha do potencial, agora ficamos com apenas uma. Ou seja, 
um potencial vetor que leve à mesma expressão para o campo magnético e que ao mesmo tempo satisfaça 
a condição da transversalidade é único. 
De fato, dois potenciais vetores que satisfaçam a condição da transversalidade: 
( )
( )
, 0
, 0
A r t
A r t
  =
 =
 8.22 
Podem agora diferir entre si apenas por uma função escalar tal, que: 
( )( ) ( )2, , 0r t r t   = =
 8.23 
Uma função escalar que satisfaça a equação acima e a condição de ser nula no infinito tem que ser 
necessariamente nula, isto é: 
( ), 0r t =
 8.24 
E com a condição da transversalidade, o potencial fica inteiramente determinado. 
Adotando a condição da transversalidade, as equações básicas da magnetostática se reduzem a: 
( ) ( )2 0, ,A r t J r t = −
 8.25 
Em que, na equação acima: 
2 =
 8.26 
Dessa forma, as duas leis da magnetostática levam a uma única equação, sendo que esta, no entanto, 
envolve derivadas parciais. 
2 2 2
2
02 2 2
( , ) ( , ) ( , )A r t A r t J r t
x x x
   
 = + + = − 
   
 8.27 
Assim, do ponto de vista puramente matemático, o que conseguimos foi transformar um conjunto de duas 
equações de primeira ordem em uma equação de segunda ordem nas derivadas com respeito às 
coordenadas do espaço. 
11- RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DA MAGNETOSTÁTICA 
A equação acima é, na realidade, um conjunto de três equações, já que o campo é um campo vetorial. 
Portanto, temos uma equação para cada uma das componentes: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
0
2
0
2
0
, ,
, ,
, , , 
x x
y y
z z
A r t J r t
A r t J r t
A r t J r t



 = −
 = −
 = −
 8.28 
Cada uma dessas equações é uma equação de Poisson, cujas soluções têm a mesma forma aplicadas a 
qualquer uma das componentes. Para a coordenada x, por exemplo, a solução é: 
( )
( ) 3
0
x
x
J r
A r d r
r r


=
−
 8.29 
A solução para o potencial vetor pode então ser escrita sob a forma: 
( )
( ) 3
0
J r
A r d r
r r


=
−
 8.30 
Lembrando que na eletrostática a solução para o potencial eletrostático, dada a densidade de carga 

, é 
da forma: 
( )
( ) 3
0
1 r
V r d r
r r

=
 −
 8.31 
Pode-se agora notar um paralelismo entre os problemas da eletrostática e aqueles da magnetostática. 
Em alguns casos, basta a simples substituição da solução de um problema da eletrostática: 
0
0
J

→

 8.32 
Isso pode ser exemplificado por meio da solução de problemas. 
12- Dedução da Equação, ou lei, de Biot-Savart. 
A lei de Biot-Savart pode ser deduzida a partir da equação (8.14). De fato, tomando o rotacional do 
potencial vetor dado em (8.31), obtemos: 
30 ( )( , ) ( , ) ´
4 ´
J r
B r t A r t d r
r r
 
=  =    − 

 8.33 
Utilizamos agora a identidade: 
( )´( )´( )
´ ´ ´
1 1
( )´ ( )´
´ ´
´ ´
( )´ ( )´
´ ´
yz
x
z y
z y
J rJ rJ r
r r y r r z r r
J r J r
y r r z r r
y y z z
J r J r
r r r r
      
 = −          −  −  −     
    
= −       −  −   
   − −
= −      − −   
 8.34 
Lembrando que: 
2 2 2 1/2´ (( )´ ( )´ ( )´ )r r x x y y z z−  − + − + −
 8.35 
Obtemos para a componente 
x
, o seguinte resultado: 
3
( )´ ´
( )´
´ ´
x x
J r r r
J r
r r r r
   −
 =       − −   
 8.36 
Expressões análogas valem para as demais componentes. Como resultado, o campo magnético se escreve 
como uma integral sobre todo o volume do espaço no qual existem correntes. Ou seja: 
3
0 3
´
( , ) ( )´ ´
´
r r
B r t J r d r
r r
−
=  
−

 8.37 
Que é a lei de Biot-Savart. 
No caso em quea corrente se reduz àquela associada a um fio, escrevemos formalmente: 
3 ´Jd r JSdl Idl= =
 8.38 
Portanto, o potencial vetor associado a um fio percorrido por uma corrente 
I
 é obtido pela integral ao 
longo de uma curva (associada ao fio), expressa por: 
0 1( ) ´
4 ´
I
A r dl
r r

=
 −
 8.39 
Enquanto que o campo magnético é obtido por meio da integral de caminho: 
0
3
´
( , ) ´
4 ´
I r r
B r t dl
r r
 −
= 
 −

 8.40 
Em que 
´dl
é um vetor tangente à curva, tem o sentido da corrente e módulo igual ao elemento de 
comprimento da curva. Isto é: 
´dl dl=
 8.41 
13- Momento de dipolo Magnético 
Definiremos com melhor precisão o conceito de momento de dipolo magnético. Comecemos pelo potencial 
vetor, que pode ser escrito da seguinte forma: 
( )
( )
0
1/2
2
2
2 2
4
1
V
J r
A r dV
r r r
r
r r



=
  
− + 
 

 8.42 
Para grandes distâncias da fonte (ou seja, de onde estão as cargas em movimento), especificaremos como: 
1
r
r

 8.43 
O comportamento dos potenciais a grandes distâncias pode ser inferido com bastante precisão, a partir da 
aproximação: 
1/2 2
2
2 2
1
1
2
1
r r
rr r r
r r

 +
  
− + 
  8.44 
E, portanto, o potencial vetor pode ser determinado substituindo-se (8.44) em (8.42), com bastante 
precisão. Depois de algumas manipulações matemáticas, como uma soma de dois termos: 
( ) ( )0 02 3
1
4 4
V
r
A r J r dV
r r
 
 = + 
 
 8.45 
Em que o vetor 

 é denominado momento de dipolo magnético, dado pela integral: 
( )
1
2
V
r J r dV   = 
 8.46 
No caso de uma corrente circulando num fio: 
2
I
r dl

 = 
 8.47 
A expressão (8.45) é válida desde que estejamos considerando o potencial vetor a grandes distancias. 
O primeiro termo se anula. Assim, podemos escrever: 
( ) 0 34
r
A r
r

= 

 8.48 
Cargas elétricas que se movimentem em órbitas fechadas produzem, a grandes distâncias de onde elas se 
localizam, um campo com características especiais. Ele é definido, por conta dessas características, como o 
campo de um dipolo magnético.