Aula 10- Visão Clássica-Frequentista-Axiomática de Probabilidade

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PROBABILIDADE 
 
AULA 10 
 
Visão Clássica, Frequentista e Axiomática de Probabilidade 
 
Algumas Definições Importantes 
 
Espaço Amostral ou Espaço Amostral Universal 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, 
geralmente denotado por S, E, Ω ou U (de "universo"). 
 
OBS1: O espaço amostral é um conjunto finito ou infinito enumerável. 
OBS2: Cada resultado do espaço amostral é considerado um ponto amostral. 
 
Ex: E = jogar um dado e observar a face de cima 
 S = {1,2,3,4,5,6} 
 
Ex1: 
Em um jogo de dados são lançados dois dados honestos simultaneamente. Para que 
um jogador ganhe, um dos seguintes eventos deve ocorrer: "soma das duas faces 
deve ser igual a 7", ou que o "maior valor obtido nos dois dados seja no máximo 3". 
Qual das duas possibilidades ele deve escolher? Primeiramente vamos analisar o 
nosso espaço amostral, que é dado pela tabela abaixo: 
 
 
 
 Note que o número de elementos do nosso espaço amostral é de . Seja 
, esses pares aparecem na diagonal 
secundária na tabela acima. 
As células na diagonal secundária representam o conjuntos dos pares tais que 
a soma é igual a 7. 
A={(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)} 
Observe que o número de elementos do conjunto é igual a 6, ou seja, 
existem 6 pares para os quais a soma é . Assim, a probabilidade que procuramos é 
dada por: 
 
 
 
Desta forma, a probabilidade de um jogador ganhar neste jogo é de caso ele 
escolha a possibilidade da soma ser igual 7. Vamos agora calcular a probabilidade de 
o jogador vencer no caso em que o maior valor obtido nos lançamentos dos dados 
seja 3. Seja . Na tabela acima, 
observa-se que atende a estes requisitos, apenas as células pertencentes até a 
terceira linha e terceira coluna, consequentemente os pares pertencentes a B são: 
B={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} 
Pela tabela podemos observar que B tem 9 elementos, logo 
 
 
. 
Ex2: 
Três jogadores A, B e C disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga com B e o 
vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha 
duas vezes seguidas ou quando são disputadas, ao todo, quatro partidas. Quais são 
os resultados possíveis do torneio? 
Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica 5ª edição, pág 105. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Espaços Equiprováveis 
É o espaço amostral em que cada evento\elemento tem a mesma 
probabilidade de ocorrência. Neste caso, a probabilidade que ocorra um evento é igual 
ao quociente do número de casos favoráveis sobre o número total de casos possíveis 
do experimento. 
Exemplos: 
No lançamento de um dado honesto, os elementos do espaço amostral 
 são equiprováveis, pois cada elemento do espaço amostral tem a 
mesma probabilidade de ocorrer, ou seja, a probabilidade de sair 1 é a mesma de sair 
2, que é a mesma de sair 3, e assim por diante. Portanto, 
 
 
De acordo com a propriedade da união, temos que, se é o evento sair 
número par no lançamento de um dado, então: 
 
 
Com isso, obtemos que a probabilidade de ocorrer o evento é igual ao 
número de elementos favoráveis a A={2,4,6}, que é 3 (pois tem 3 elementos), dividido 
pelo número de elementos no espaço amostral A, que é 6. 
Espaços Não-Equiprováveis 
É o espaço amostral em que cada evento\elemento não tem a mesma 
probabilidade de ocorrência. 
Ex: Se eu lanço uma moeda 3 vezes, a probabilidade de sair cara 3 vezes é: 
Ω={0,1,2,3} este espaço amostral não é equiprovável, pois: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evento 
É qualquer subconjunto do espaço amostral, ao qual é associado um valor de 
probabilidade, ou seja, é o acontecimento ou realização do espaço amostral e deve 
ser sempre representado por letras maiúsculas do alfabeto (A,B,C,...). 
Ex: 
E: lançar um dado e observar o número de pontos na face voltada para cima. 
S: { 1,2,3,4,5,6 } , espaço amostral finito. 
A: ocorrer resultado maior do que 4, onde A: { 5,6 } Como todos os eventos são 
conjuntos, são escritos habitualmente entre chaves (ex: {1, 2, 3}). 
Onde E é o experimento e S é espaço amostral. 
 
OBS: Todo modelo probabilístico tem 3 ingredientes 
-Espaço Amostral 
-Conjunto de Eventos (Subconjuntos do espaço amostral) 
-Função de Probabilidade - Atribui uma probabilidade a cada evento. 
 
Tipos de eventos 
 
 Evento Simples 
É aquele formado por um único elemento do espaço amostral. 
Ex: No lançamento de uma moeda, temos 2 eventos simples: 
E1={K} e E2={C} 
 
 Evento Composto 
É aquele formado por dois ou mais elementos do espaço o amostral. 
Ex: No lançamento de um dado podemos considerar, entre outros, os seguintes 
eventos: 
E1={2,4}, E2={1,3,5}, E3={2,4,6,5} 
 
 
 Evento Certo 
É aquele que ocorre sempre, isto é, em todas as realizações da experiência. 
O evento representado pelo próprio conjunto que define o espaço amostral. 
Ex: 
E = Lançamento de um dado 
S = {1,2,3,4,5,6} 
A = sair qualquer das faces de 1 a 6 no lançamento de um dado 
A = S →P(A) = 1 
 
 Evento Impossível 
São os eventos que não possuem elementos no espaço amostral, ou seja, nunca 
ocorrem. 
Ex: 
A = Ocorrer o número 7 na face de um dado. 
Este evento é impossível, pois o número 7 não figura no espaço amostral dos 
números possíveis na face de um dado, logo evento A =ϕ e P(ϕ)=0. 
OBS: A probabilidade de ocorrer um evento impossível é sempre nula, mas, sendo 
a probabilidade de ocorrer um evento igual a zero, nem sempre o evento será 
impossível. 
 
 Evento Soma (ou União): 
É o evento que consiste na realização de pelo menos um dos eventos. 
 
E1 e E2 → (E1 + E2) = (E1 U E2) 
Ex: A retirada de uma carta de um baralho, quer-se que ocorra uma carta de ouro 
ou uma carta de Ás. O evento soma é um evento composto, e se constitui de 
elementos comuns aos dois eventos e de elementos não comuns a ambos. 
 
 Evento Produto (ou Intersecção) 
É o evento que consiste na realização de ambos (um e outro) os eventos E1 e E2, 
isto é 
(E1 * E2)= (E1 ∩ E2) 
 
Na retirada de uma carta de um baralho, quer-se que ocorra uma carta Ás e de 
ouro. 
 
 Evento Condicionado 
É o evento que consiste na realização do evento E1 sob as condições de ter-se 
realizado o evento E2, isto é, com a informação adicional de que o evento E2 
já ocorreu (E1/E2). São aqueles em que o acontecimento de um está condicionado 
ao acontecimento de outro (acontece um se o outro já aconteceu), ou seja, a 
ocorrência de um evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro. 
 
Ex1: Retirar um Ás de um baralho completo e um REI sem reposição. Neste caso 
não poderei retirar a carta REI se já houve retirado do baralho a carta de ÁS. 
 
Ex2: Uma moeda é lançada duas vezes, calcule a probabilidade de obtermos cara no 
segundo lançamento sabendo que obtivemos cara no primeiro lançamento. Temos 
dois eventos a considerar: cara no primeiro lançamento, B = {(C,C) , (C,K)}, e cara 
no segundo lançamento, A = {(C,C) , (K,C)}. Como sabemos que ocorreu o evento 
B, temos que o evento A só pode ter ocorrido na intersecção de A e B: 
 ( ) 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 Eventos Independentes 
São aqueles que podem ocorrer ao mesmo tempo, acontece um e acontece o 
outro simultaneamente (um e o outro), porém a ocorrência de um não depende da 
ocorrência do outro. 
P(E1 / E2) = P(E1) e P(E2 / E1) = P(E2) 
Logo P(E1 ∩ E2) = P(E1)*P(E2) 
 
Ex: Supomos que duas pessoas atiram numa caça; os eventos que consistem em 
que cada uma das pessoas acerte são independentes, pois o fato da primeira 
pessoa acertar em nada influencia no fato da outra também acertar. 
 
Ex: Uma moeda é lançada duas vezes. Calcule a probabilidade de obtermos cara 
no segundo lançamento. Indicamos por C e K asfaces cara e coroa, 
respectivamente, temos que o espaço amostral E é: 
 
E = {(C,C) , (C, K) , (K,K) , (K,C) }, n(E) = 4. 
O evento que queremos é: 
A = {(C,C) , (K,C) }, n(A) = 2 
Logo ( ) 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
Evento Mutuamente Exclusivo 
Dois eventos E1 e E2 são mutuamente exclusivos, se eles não puderem ocorrer 
simultaneamente (é um ou o outro), ou seja, a ocorrência de um impede a ocorrência do 
outro. São eventos que tem interseção vazia. Em probabilidade quando os espaços 
são equiprováveis, esse problema se reduz a dois problemas de contagem, você conta 
o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. O que é probabilidade 
em espaços equiprováveis é o quociente entre o número de casos favoráveis pelo 
número de casos possíveis. 
 
E1 ∩ E2 = ϕ; logo P(E1 ∩ E2) = 0 
Ex: 
E = jogar um dado e observar o resultado 
S = {1,2,3,4,5,6} 
Eventos: 
A = Ocorrer o número par 
B = Ocorrer o número ímpar 
A = {2,4,6} e B = {1,3,5} logo A ∩ B = ϕ 
 
Evento Complementar 
São os eventos que se completam em relação ao espaço amostral. O evento 
complementar A, associado a uma experiência aleatória, só ocorre se A deixar de 
ocorrer, isto é, é o evento formado por todos os elementos do espaço amostral que não 
pertencem a A. 
A e ̅ (é o complementar, lê-se não A) 
A U ̅ = Ω → P(A U ̅) = P(Ω) = 1 
Seja Ω = {1,2,3,4,5,6,7} 
 
A = números maiores ou iguais a 4; 
 ̅= números menores que 4; 
A = {4,5,6,7} e ̅ = {1,2,3} → A U ̅ = Ω → P(Ω) = 1 
 
Experimento 
É todo o fenômeno que acontece ou toda ação que será feita. 
Da análise dos experimentos verifica-se o seguinte: 
 Cada experimento poderá ser repetido sob as mesmas condições 
indefinidamente; 
 O resultado particular de cada experimento aparecerá ao acaso, mas pode-se 
descrever todos os possíveis resultados; 
 Quando o experimento se repetir um grande número de vezes aparece uma 
regularidade; 
 
Experimento aleatório 
De acordo com Morgado et. al. (1997), um experimento aleatório é aquele que, 
se repetido sob as mesmas condições não produz necessariamente o mesmo 
resultado. Portanto, a previsão lógica dos resultados torna-se impossível determinar a 
priori. Este conceito pode ser interpretado da seguinte forma: mesmo que se conheça 
todas as variáveis envolvidas em um experimento e se tenha controle sobre elas, o 
resultado final poderá não ser o mesmo, ainda que o experimento seja repetido sob 
condições idênticas. Assim, Quando as condições físicas (ambientais, trajetórias, 
emoções) não são possíveis de serem mantidas teremos um experimento aleatório. 
 
 Um Experimento Aleatória apresenta as seguintes características: 
1. Não se conhece o resultado do experimento antes de realizá-lo; 
2. É possível listar um conjunto com todas as possibilidades do experimento 
aleatório- espaço amostral (Ω); 
3. Ao realizar um grande número de repetições do experimento aleatório uma 
regularidade poderá surgir. 
Ex: 
-Jogar uma moeda para cima e observar o resultado, eu não sei o que vai ocorrer, se 
cara ou coroa. 
-lançamento de um dado e a observação do número da face de cima. 
-sortear uma bolinha no bingo e verificar o número. 
-encontrar um semáforo em condições normais de funcionamento, e observar qual é a 
cor que ele está indicando. 
 
Experimentos Determinísticos 
Experimentos que ao serem repetidos várias vezes, em condições 
semelhantes, apresentam resultados constantes, isto é, os resultados podem ser 
previstos. Nestes experimentos existe a possibilidade de se fazer a previsão lógica e 
precisa de qual será o resultado do experimento. 
Ex: 
-lançamento de uma moeda 
-lançamento de um dado 
-lançamento de um dado e verificar a velocidade com que ele atinge o solo 
-verificar a que temperatura um determinado tipo de leite ferve 
-abandonar um corpo em queda livre a partir de uma altura conhecida e determinar o 
tempo gasto para este corpo atingir o solo. 
OBS: Dizemos que as condições de realização de um experimento são semelhantes, 
quando as variações das condições que não são levadas em conta não modificam as 
características da experiência. Podemos dizer ainda que as condições de realização 
de um experimento são semelhantes, quando estas condições permanecem 
essencialmente inalteradas. 
 
OBS: Nn → Fornece o número total de eventos do Ω 
N → é o número de casos favoráveis 
n → é o número de elementos 
 
Maneiras de Executar um Experimento Aleatório 
 
Retiradas com Reposição 
Retira-se o primeiro elemento examina-se, recoloca-se na urna, retira-se o 
segundo elemento examina-se e recoloca-se na urna e assim sucessivamente, desta 
maneira o numero de elementos do espaço amostral será conservado. 
 
Retiradas sem Reposição 
Retira-se um elemento após o outro ou juntamente da urna sem que este 
retorne a urna, ficando o espaço amostral reduzido do número de elementos 
subtraídos dele. 
 
Visões de Probabilidade 
O problema fundamental da probabilidade consiste em atribuir um número a 
cada evento E, o qual avaliará as probabilidades de ocorrência de E. 
 
Aplicações de probabilidade 
 Previsão da demanda; safras agrícolas; avaliação dos impactos dos 
aumentos dos impostos sobre a inflação; 
 Avaliar as chances de alunos serem aprovados; 
 Médicos determinam se (e quando) determinado doente deveria estar 
recuperado; 
 Estabelecer as chances de determinada categoria entrar em greve; 
 O governo determine até quando será capaz de manter os preços 
congelados ou tabelados; 
 Jogos, rifas, sorteios, bingos, loterias, pesquisas eleitorais, 
características hereditárias, condições meteorológicas, estudos 
populacionais, previsões em campeonatos esportivos, etc; 
 Avaliação de estratégias de ação. 
 
Clássica ou Laplaciana (Pascaliana ou Subjetiva) 
A teoria da probabilidade se apresenta como um estudo teórico de fenômenos 
envolvendo a incerteza utilizando ferramentas básicas do cálculo matemático. Esses 
fenômenos, conhecidos como aleatórios, estocásticos ou não determinísticos são 
aqueles que a sua repetição, em condições idênticas, produzem resultados 
diferenciados, isto é, não é possível determinar com exatidão qual o resultado. 
Os principais entusiastas desta visão foram Pascal e Fermat, principalmente 
quanto à aplicação em jogos de azar. 
A utilização desta abordagem para se estabelecer probabilidade é bastante 
simples e direta, mas só pode ser usada em espaços amostrais equiprováveis. 
Considere P(A), a probabilidade de ocorrer o evento A. Utilizando o conceito Clássico, 
a probabilidade de ocorrer A é dada por: 
 
n(A) - É o número de resultados favoráveis ao evento; 
n(Ω) - É o número total de resultados em Ω. 
 
Aqui a noção de probabilidade é determinada por considerações não 
experimentais. Ela necessita de se reduzir a um universo no qual todos os eventos 
elementares são equiprováveis: é uma apresentação restrita que não permite tratar os 
casos que não podem se reduzir a esse esquema. Essa aproximação reduz o cálculo 
das probabilidades ao das “Contagem”, destinada a aplicar a fórmula de Laplace, onde 
a combinatória acaba por ocupar o lugar central. Essa aproximação não realiza a 
confrontação sobre a realidade, o que é constantemente verificável no modelo 
matemático. 
 
Acaso 
A complexidade de acaso já pode ser deduzida da quantidade de palavras que 
surgem em nosso cotidiano e que se relacionam ou se confundem com ele: sorte, 
azar, coincidência, acidente, contingência, determinação, destino, causa fortuita, 
aleatoriedade. 
 
Visão Frequentista ou de Caráter objetivo 
Um ponto a favor da concepção frequentista é que por ser empírica ela é 
calculada a posteriori. 
O suiço Jacques Bernoulli (1.654-1.705) inicia a visão frequentista de 
probabilidade em sua obra ArsConjectandi (1.713), na qual aproxima a probabilidade 
de um evento pela sua frequência observada quando a experiência é repetida um 
grande número de vezes. Desse modo, Bernoulli propõe um problema (Lei dos 
Grandes Números ou Teorema de Bernoulli) no qual a probabilidade de um evento 
ocorrer tende a um valor constante quando o número de ensaios desse evento tende 
para o infinito. 
O conceito frequentista estabelece o cálculo de probabilidade por meio de 
observações sucessivas de um experimento aleatório. A probabilidade é estimada de 
maneira empírica experimental, podendo ser encontrada quando o número de 
experimentações n tende ao infinito. 
OBS: Ao trabalharmos com espaços amostrais não-equiprováveis, isto é, espaços 
amostrais nos quais seus eventos elementares não são igualmente prováveis, o 
estudo experimental nos mostra que a definição Laplaciana não é aplicável. Temos de 
recorrer à definição frequentista para estabelecermos a probabilidade de ocorrência de 
um determinado evento. No entanto, há que se considerar a importância da definição 
Laplaciana, pois essa nos permite o cálculo da probabilidade de um evento (em um 
espaço amostral equiprovável) sem a necessidade da realização prática do 
experimento. 
A probabilidade de ocorrência do evento A pode ser definida como um limite. 
1- experimento é repetido n vezes; 
2- observa-se a frequência relativa de ocorrência de um determinado resultado A: 
 
 
 
 
 
n(A) - É o número de vezes que ocorre o resultado A em n realizações do 
experimento; 
 
3 – Probabilidade como limite: 
 ( ) 
 
 ( )
 
 
 
Neste contexto pode-se definir a probabilidade como o limite da frequência 
relativa de ocorrência do evento quando aumentamos o número de sorteios. 
 
Ex: Se existirem 100 balas num pacote com 85 balas claras, então a probabilidade de 
retirar uma bala clara é 85\100=0.85. 
Suponha que balas sejam sorteadas com reposição do pacote e as cores 
sejam anotadas. Após um grande número de sorteios, espera-se obter uma frequência 
relativa de balas claras de aproximadamente 0.85. 
No caso do exemplo, soma das faces dos dados, é possível, antes mesmo de 
estimar através das frequências, determinar as probabilidades dos eventos, desse 
modo, pode-se verificar que realmente há uma tendência natural das frequências 
relativas a se aproximarem das probabilidades, pois podemos comparar os resultados 
experimentais com os teóricos, ou seja, associando a realidade com o modelo 
matemático. 
É importante lembra que nem sempre dispõe-se dos resultados teóricos, e 
somente podemos estimar as probabilidade através das frequências obtidas em 
experimentos ou simulações com o auxílio da estatística. Na maioria das situações 
práticas, os eventos simples do espaço amostral não são equiprováveis e não 
podemos calcular probabilidades usando a definição clássica. Neste caso, vamos 
calcular as probabilidades como a frequência relativa de um evento. 
 
Exemplo 1: Uma amostra de 6800 pessoas de uma determinada população foi classificada 
quanto à cor dos olhos e à cor dos cabelos. Os resultados foram: 
 
Considere o experimento aleatório que consiste em classificar um indivíduo quanto à 
cor dos olhos. O espaço amostral é Ω={A, V, C}, em que: 
A={a pessoa tem olhos azuis} 
V={a pessoa tem olhos verdes} 
C={a pessoa tem olhos castanhos} 
Os eventos acima são claramente não equiprováveis. Então vamos calcular a 
probabilidade de ocorrer um evento como a frequência relativa deste evento: 
 
 
O valor obtido é na verdade uma estimativa da probabilidade. A qualidade desta 
estimativa depende do número de replicações do experimento, ou seja, do tamanho da 
amostra. À medida que o tamanho da amostra cresce, a estimativa aproxima-se mais do 
valor verdadeiro da probabilidade. Vamos, no entanto, assumir que o número de 
replicações é suficientemente grande para que a diferença entre a estimativa e o valor 
verdadeiro da probabilidade seja desprezível. 
As probabilidades dos eventos V e C são: 
e 
Observe que . Este resultado é geral, uma vez que a união 
destes eventos corresponde ao espaço amostral. 
 
Visão Axiomática 
Andrei kolmogorov (1.903-1.987), russo, que em 1.933, deu início ao 
desenvolvimento da teoria moderna de probabilidade que evoluiu de tal forma que no 
século XX possui uma axiomática própria dentro da teoria matemática. Os trabalhos 
de Norbert Wiener, Henri Lebesgue e Andrei Kolmogorov, entre outros matemáticos, 
serviram para aplicar leis probabilísticas precisas na interpretação de fenômenos 
atômicos da física e tiveram influência decisiva na estruturação da mecânica quântica, 
que estuda o fenômeno ocorrido no interior dos átomos, onde não se pode determinar 
com precisão a posição de uma partícula, mas somente a do espaço. 
Se considerarmos P(A) como a probabilidade de ocorrência do evento A, 
associada ao espaço amostral S, P(A) deverá satisfazer os seguintes axiomas: 
 
Axioma 1: 
 ( ) 
Axioma 2: 
 ( ) 
Axioma 3: 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Os axiomas de Kolmogorov tornaram a teoria da probabilidade como uma parte 
autônoma dentro da matemática e possibilitaram grande avanço científico nesta área, 
especialmente do ponto de vista teórico. Apesar de ser uma forma diferente de 
encarar a probabilidade, não existe incompatibilidade entre as ideias de Kolmogorov e 
os conceitos clássicos e frequentistas. 
A base axiomática de Kolmogorov é fundamentada na teoria dos conjuntos. Ele 
notou que seria possível, através da associação de probabilidade e medida, utilizar 
todo o conjunto de resultados conhecidos neste domínio.