Determinação Incerteza Medição - Calibração (Rev 12)

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Processo de Calibração de 
Instrumentos + Determinação 
Incerteza de Medição
Prof. Leonel Poltosi
1
Objetivos
 Apresentar o processo de calibração de um instrumento de 
medição, isto e determinação da exatidão.
 Apresentar o processo de determinação da incerteza de 
medidas conforme G.U.M – Inmetro.
 Exercitar alguns exemplos de calibração de instrumentos com 
variáveis não correlacionadas e correlacionadas.
2
Processo de Calibração - Glossário
• MP = medidor padrão (referencia com exatidão inferior a 1/10 
da pretendida.
• MC = medidor em calibração
• K = fator de abrangência = coeficiente t de Student para 95% 
de certeza.
• IM = incerteza de medição.
• Erro Total = | erro | + | IM |
• Uc = incerteza padrão ou combinada
• U = incerteza expandida = k. Uc = IM; este é o valor que deve 
ser correlacionado com a exatidão.
• Resultado = VM +/- U normalmente para 95% de confiança. 
3
Processo de Calibração - Glossário
• Cc = Correção Combinada = Σ erros sistemáticos de todas as 
incertezas de medição.
• Veff = graus de liberdade efetivo = combinação dos graus de 
liberdade (tamanho das amostras para tipo A) de todas as 
incertezas.
• SMC = Sistema de Medição a calibrar
• SMP = Sistema de Medição Padrão (referência)
• VVC = Valor Verdadeiro Convencional.
4
Nomeclatura em Metrologia
• O Inmetro foi signatário da norma 
JCGM 200-2008 emitindo uma 
Portaria com a versão luso-
brasileira desta norma em 2012.
• Denominada como “VIM”, trata do 
Vocábulo Internacional de 
Metrologia.
• Toda e qualquer publicação técnica 
na área de metrologia deve estar 
alinhada com a nomenclatura 
convencionada nesta norma.
5
G.U.M.
• O Inmetro é signatário da norma 
G.U.M. - JCGM 100:2008
 Guia para Expressão da Incertezas 
de Medição.
 Disponível no site do Inmetro.
 Esta norma que define a 
metodologia adotada neste tópico.
6
Nomeclatura
7
Inmetro 1996
Aferição Calibração
Calibração Ajuste
Alguns conceitos:
 Erro (E) é a diferença do valor da Indicação do Sistema de 
Medição ( I) e o Valor Verdadeiro (VV).
E = I - VV
• Na prática o valor verdadeiro é desconhecido, então adota-se 
o Valor Verdadeiro Convencional (VVC), isto é, uma valor 
conhecido com um erro menor de 1/10 do valor esperado.
E = I - VVC
8
Critérios de Arredondamento:
• Incerteza deve ser expressa com o mesmo número de 
algarismos significativos que a leitura feita – o método não pode 
melhorar matematicamente a resolução.
• Os cálculos devem ser efetuados com maior número possível de 
casas decimais. No mínimo dois algarismos significativos a mais 
que os que aparecerão no resultado final.
• O arredondamento é no final do cálculo da incerteza:
= 5, soma +1 se o número significativo imediato for impar apenas
<5, não se efetua a soma de +1.
>5, soma +1 sempre.
Exemplos: 534,532 -> 523,5 ; 327,551 -> 327,6 ; 224,457 -> 
224,4 ; 485,473 -> 485,5
9
Medição
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Medição - Propagação de Erros
Para leituras indiretas, isto é, que empregam vários
instrumentos para obtenção do valor a partir dos valores
experimentais e de uma equação de definição, emprega-se o
método de Kleine e McClintock para obtenção da estimativa
do erro resultante.
O resultado do cálculo do erro é uma função das variáveis
independentes Xi, ou seja:
Xi representa as variáveis que determinam o valor de medição
Z. ΔZ trata da incerteza da medição correspondente.
Medição - Propagação de Erros
• O que são variáveis independentes ?
• São independentes quando podem variar sem se
correlacionar alterações das demais variáveis.
• Num espaço de domínio n dimensional são representadas por
eixo ortogonais ( 90o). A projeção de um eixo com relação aos
outros é nula.
• A contribuição de cada variável independente é considerado
um cateto num espaço n dimensional.
• A soma dos quadrados dos catetos é o quadrado da
hipotenusa.
ΔU2 = ΔX12 + ΔX22 + ΔX32 ...
Medição - Propagação de Erros
.
Medição - Propagação de Erros
Chamando de ΔZ o erro do resultado e sendo ΔXi os erros da
variáveis independentes, tem-se:
Chamada de Equação de Kleine e McClintock
O termo (
𝜕𝑍
𝜕𝑥𝑖
) é chamado de coeficiente de sensibilidade de
cada variável xi que influencia na incerteza da medição.
 A sensibilidade de um transdutor é a inclinação da curva de
transferência, logo a derivada de primeira ordem.
Calibração
15
Alguns conceitos:
 Calibração: Conjunto de operações que estabelece, sob 
condições específicas, a relação entre valores indicados por 
um instrumento ou sistema de medição, ou dos valores 
representados por um material de referência ou de medição, 
e dos valores correspondentes de uma grandeza determinada 
por um padrão de referência. Depende:
• das incertezas envolvidas.
• das condições de reprodutividade (ambiente, operador, 
técnica de medição).
• do tamanho da amostragem.
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Método de Calibração
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Número de Medições-Comparações 
(amostragem) e Pontos :
• Deve-se se efetuar o maior numero de medições possíveis 
numa mesma condição (ponto de calibração) para que o grau 
de liberdade (N) seja significativo. 
• Recomenda-se 30 medições por ponto de calibração. 
• Um baixo número de graus de liberdade irá incorrer a uma 
maior incerteza de medição, devido a ao grau de confiança 
atribuído pela distribuição t de Student.
• O item 7.1.1 do DOQ-CGCRE-018 (INMETRO, 2011) 
recomenda “pelo menos” três pontos de calibração bem 
distribuídos dentro da faixa, como por exemplo, 10%, 50% e 
95% do valor da faixa. 
18
Método de Calibração Direta
19
Método de Calibração Indireta
20
Método de Calibração Indireta
21
• Equipamento para calibração de manômetros com método de 
calibração indireta, utilizando manômetro de referencia, 
disponível na UNISINOS:
• Uma das fontes de incerteza trata da
exatidão do instrumento do SMP –
Sistema de Medição Padrão.
Incertezas de Medição : Propagação
Variáveis de entrada Uc = incerteza padrão combinada
associadas a incertezas
• Padrões de transferência são variáveis com incertezas associadas.
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Xi
Yi Uc
Incertezas de Medição
• Incertezas tipo A: avaliadas por análise estatística de uma 
série de observações (tipo de distribuição, desvio padrão, 
número amostras). 
Exemplo: diâmetro de parafusos obtidos em 25 amostras.
• Incertezas tipo B: avaliação por julgamento cientifico baseado 
em outros métodos não estatísticos (dados de medições, 
especificações fabricantes, experiências ou conhecimento 
gerais. 
Exemplo: variação da aceleração da gravidade no Brasil. 
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Incertezas de Medição : Propagação
Variáveis de entrada Uc = incerteza padrão combinada
associadas a incertezas
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Xi, tipo A
Yi, tipo B
Uc
Variáveis Associadas a Incerteza.
• Por um diagrama de causa e efeito (espinha de peixe), busca-se relacionar 
todas as variáveis associadas ao mensurando. 
• A cada uma das variáveis é correlacionado a incerteza (tipo A ou tipo B) e 
o grau de liberdade associado (número de amostras representativas)
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Exemplo de Incertezas (1)
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• Calibração de Balança de Pressão:
• Usa-se uma bancada de calibração de pressão do tipo
estático, onde a pressão é obtida por um conjunto de pesos. 
Os pesos são postos em movimento para evitar o atrito
estático. 
Exemplo de Incertezas (2)
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Variáveis Associadas a Incerteza.
• Exemplo de componentes de incerteza de medidas com 
micrometro de contato:
 Alinhamento do instrumento: a incerteza pode ser obtida de 
várias medidas de espessura de um mesmo ponto.
 Corte da peça: a incerteza pode ser obtida do desvio padrão 
de varias medidas de espessura de pontos diferentes.
 Repetitividade das medidas.
 Coeficiente de Temperatura: espessura corrigida pelo 
coeficiente de dilatação da peça.
 Gradiente de temperatura: variação de temperatura ao longo 
da peça.
 Resolução da leitura.
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Determinação da Incerteza das variáveis
• A quantificação de uma fonte de incerteza inclui a fixação de 
um valor e a determinação da distribuição a qual se refere este 
valor. 
• As distribuições mais comuns são :
 Normal (N)
 Retangular (R) 
 Triangular (T)
Estas incertezas podem ser do tipo A (estatísticas) ou tipo B.
Por exemplo: a variação da temperatura em Porto Alegre pode ser 
caracterizada por uma distribuição triangular com valor mínimo de 
0oC; média em 20oC e valor máximo em 40oC. (tipo B)
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Normal (N)
• A distribuição normal (N) expressa com boa aproximação os 
resultados de uma medição influenciada por variações 
aleatórias. A distribuição normal geralmente abrange a 
incerteza indicada em certificados de calibração. 
• A incerteza é obtida pelo desvio padrão:
30
Normal (N)
• Esta é calculada dividindo a incerteza padrão (desvio) pela raiz 
quadrada de “n”, o número de medições repetidas usadas 
para cálculo do desvio padrão:
𝒖 𝒚 =
𝒔(𝒚)
𝒏
31
Retangular (R) 
• A distribuição de probabilidade retangular (R) expressa para 
cada valor em um intervalo a mesma probabilidade. No caso 
de ser conhecido somente o limite superior e inferior da 
variabilidade da grandeza de entrada, considera-se uma 
distribuição retangular. 
• A incerteza padrão baseada na distribuição de probabilidade 
retangular é dada por : 
32
Retangular (R) 
• De onde vem a relação da incerteza da distribuição retangular
𝑢 𝑥𝑖 = 𝑎/ 3 ?
Foi acordado que para distribuição retangular existe 100% da 
probabilidade de xi estar dentro do intervalo [-a,+a] e nula de 
estar fora deste intervalo. 
Então: média = 𝑥 =
𝑎−+𝑎+
2
;
Variança estimada : 𝑠2 𝑥𝑖 =
(𝑎−+𝑎+)2
12
=
𝑎2
3
;
Incerteza padrão será : 𝑠 𝑥𝑖 =
(2.𝑎)2
12
=
𝒂
𝟑
onde a = erro 
máximo.
33
Exemplo Distribuição Retangular (R) 
 A resolução de um instrumento: trata do menor 
valor representativo que pode ser feita a leitura. 
Na figura ao lado a resolução é “1”. O valor do 
ponteiro pode está numa faixa de 3 a 4 
-> (4-3)=1.
 Numa distribuição retangular -> 2.a = 1 -> a =1/2
 Então a incerteza será:
𝑈𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 =
𝑎
3
=
1/2
3
 O mesmo raciocínio é feito para medição digital. 
Definir a resolução; dividir por 2; dividir por raiz 
de 3.
 Incerteza tipo B é claro !!
34
3
4 5
6
Triangular (T)
• A distribuição de probabilidade triangular (T) pode ser 
utilizada para basear a estimação de incerteza em casos onde 
a probabilidade é mais alta para valores no centro do 
intervalo e se reduz próximo ao limite superior e inferior.
• A incerteza é dado por: 
35
Exemplo de Distribuição Triangular (T)
• Um frasco volumétrico grau A de 10 ml é certificado em uma 
faixa de +/- 0,2 ml, mas as verificações internas de rotina 
mostram que os valores extremos são raros. Então 
considerando uma distribuição triangular, a incerteza padrão 
é de: 
𝑢 𝑥𝑖 = 0,2/ 6 ml.
36
Como enquadrar uma distribuição Tipo A?
• Como não se sabe o formato da distribuição (normal, 
triangular ou quadrada), deve-se plotar o histograma dos 
resultados de medição obtidos. Dele será possível efetuar a 
identificação e calcular a média e desvio padrão.
• Histograma está disponível no Excel e no MatLab.
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Histograma
• Na abscissas, distribua as 
classes 
• Na ordenada da esquerda, as 
frequências absolutas 
• Construa um gráfico de 
barras para as frequências.
• O histograma nos indica a 
forma de distribuição da 
população de resultados –
tipo A.
• Tanto o Excel quanto o 
MATLAB possuem recursos 
para plotar o histograma.
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Como enquadrar uma distribuição Tipo B?
• As variáveis tipo B, não obtidas de experimentos estatísticos, 
podem ser enquadradas no tipos Normal, Retangular ou 
Triangular.
• A Normal será obtida caso haja algum certificado de 
calibração do instrumento utilizado como padrão de 
referencia. Neste caso a incerteza será a incerteza expandida 
(U) publicada no certificado, dividida pelo fator de 
abrangência K, também publicado no certificado: μ = U/K.
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Números de Grau de Liberdade
• Número de Graus de Liberdade: para incertezas tipo A , o 
numero de graus é N -1.. Se N>= 30, a amostragem torna-se 
estatisticamente representativa e pode-se considerar o 
número de graus de liberdade = N.
• Tratando-se de uma função continua, as incertezas tipo B, 
tem o grau de liberdade infinito (∞).
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Incertezas de Medição : Propagação
Variáveis de entrada Uc = incerteza padrão combinada
associadas a incertezas
• Todas as incertezas das variáveis são expressas para um
desvio padrão e na unidade da incerteza do mensurando (Uc).
41
Xi, u(xi), tipo A, N
Yi, u(yi), tipo B, ∞ 
Uc
Erro Sistemático 
 O erro sistemático (Ci) é obtido dos certificados de calibração 
de todas as fontes de incertezas.
 O erro sistemático combinado (Cc) é a soma de todos os 
erros sistemáticos de todas as fontes de incerteza, incluído o 
padrão de comparação. Cuidar com o sinal do erros 
sistemático ( + ou -).
𝐶𝑐 = 
𝑖=1
𝑛
𝐶𝑖
42
Correção Combinada (Cc)
• A correção combinada resulta da ação simultânea de todas as 
fontes de incerteza, deve ser calculada a partir da soma 
algébrica de todas as correções das variáveis, individualmente 
determinadas para cada fonte de n incertezas (variáveis), 
quando existirem.
𝑪𝒄 = 𝑪𝟏+ 𝑪𝟐+ 𝑪𝟑 + …+ 𝑪𝒏
• A Correção Combinada trata do erro sistemático. Deve ser 
publicada no certificado de calibração. 
• Quando tratarmos de um padrão ou instrumento de 
referencia, o erro sistemático deve ser colhido no certificado 
de calibração do mesmo.
• Muitas vezes o erro sistemático está referenciado nem 
certificados de calibração como “correção”.
43
Incertezas de Medição : Propagação
Variáveis de entrada Uc = incerteza padrão combinada
associadas a incertezas e Correções
• Todas as incertezas das variáveis são expressas para um
desvio padrão e na unidade da incerteza do mensurando (Uc).
• Cx e Cy são as correções sistemáticas das variáveis, quando 
existirem.
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Xi, u(xi), tipo A, N, Cx
Yi, u(yi), tipo B, ∞, Cy
Uc
Incerteza Combinada (Uc) para variáveis não 
correlacionadas
• Efeito da Incerteza:
𝑦 = 𝑓 𝑥1± 𝑢1, 𝑥2 ± 𝑢2, … , 𝑥𝑘 ± 𝑢𝑘,…
ui = incerteza de cada variável (desvio padrão)
• Expandindo a função pela Série de Taylor em torno de sua 
esperança
• 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑓′ 0 . 𝑥 +
𝑓′′(0)
2!
. 𝑥2 +⋯+
𝑓𝑛(0)
𝑛!
. 𝑥𝑛
• 𝑦 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … + 𝑘
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑘
|𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, . . . (±𝑢𝑘) +...
O segundo termo (Σ) é a Uc , ou incerteza combinada.
Geralmente a Série de Taylor é truncada na primeira derivada, 
apenas para variáveis não correlacionadas e para funções que 
não tenham grandes não linearidades.
45
Incerteza Combinada (Uc) para variáveis não 
correlacionadas
• O que é um sistema com variáveis não correlacionadas? Trata 
de um sistema que a alteração do valor de uma variável não 
altera o valor de outra variável. Neste caso, vamos considerar 
com variável uma fonte de incerteza.
46
Incerteza Combinada (Uc) para variáveis não 
correlacionadas
• A incerteza padrão combinada uc(y) é o resultado da 
combinação de incerteza de todas as fontes.
• O coeficiente de sensibilidade ci é um coeficiente relacionado 
com a estimativa de entrada xi. Este coeficiente representa a 
influência que as variações da estimativa de entrada xi
exercem sobre a estimativa de saída y. O coeficiente de
sensibilidade é expresso por:
• A incerteza padrão combinada é determinada pela equação 
47
Incerteza Combinada (Uc) para variáveis não 
correlacionadas
- As condições para que a expansão por Taylor até a primeira 
ordem da derivada é que os termos de 2ª em diante sejam 
desprezíveis.
- As derivadas devem ser calculadas para o ponto central Xk
- As derivadas 
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
são denominadas de coeficientes de 
sensibilidade.
48
Incerteza Combinada (Uc) para variáveis não 
correlacionadas
• A incerteza combinada é:
𝑈𝑐2 𝑦 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
. 𝑢 𝑥𝑖 )2
𝑈𝑐 𝑦 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
. 𝑢 𝑥𝑖 )2
Lembram? Equação de Kleine & McClintock!!
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
. 𝑢 𝑥𝑖 deve estar na mesma unidade física que o necessitamos
determinar a incerteza de uma medição ou classe de exatidão de um
instrumento.
49
Incerteza Combinada (Uc) para variáveis não 
correlacionadas
• Para estimar a incerteza combinada (Uc) de n fontes de 
incerteza, estatisticamente independentes (não 
correlacionadas) deve ser utilizado a equação abaixo:
𝑢𝑐
2 = 𝑢1
2 + 𝑢2
2 + 𝑢3
2 + …+ 𝑢𝑛
2
ou 
𝑢𝑐 = 𝑢1
2 + 𝑢2
2 + 𝑢3
2 + …+ 𝑢𝑛
2
Quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos 
catetos, considerando que estamos navegando num espaço n
dimensional.
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Determinação da Incerteza de Medição
• A incerteza de uma estimativa de entrada, xi, é denotada por 
u(xi). 
• A incerteza padrão de uma estimativa de saída, y, determinada 
pela propagação da incerteza, é chamada de incerteza padrão 
combinada, e é denotada por Uc(y). 
• Uc(y) considera apenas um desvio padrão na incerteza de cada 
variável.
• Multiplique a incerteza padrão combinada, Uc(y), por um 
número k, chamado fator de cobertura para obter a incerteza 
expandida, U. Ou U = K. Uc
• K é chamado de coeficiente de abrangência, ele considera os 
graus de liberdade de todas as variáveis, o coeficiente de 
confiança (65%, 95% ou 99% por exemplo) e graus de liberdade
51
Incertezas de Medição Expandida
Uc = incerteza padrão combinada 
K = coeficiente de abrangência 
Variáveis de entrada U = incerteza expandida
associadas a incertezas
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Xi, u(xi), tipo A, N, Cx
Yi, u(yi), tipo B, ∞, Cy
Uc . K = U
Veff – Graus de Liberdade Efetivo
• Incertezas tipo A (estatísticas) possuem grau de liberdade 
igual ao numero de amostras consideradas.
• Incertezas tipo B possuem grau de liberdade infinito, pois são 
normalmente continua (não amostradas).
• Graus de Liberdade Efetivo (Veff) é obtido pela equação de 
Welch-Satterthwaite, que relaciona o peso da incerteza de 
cada n variável (Ui) com seus graus de liberdade (vi) e a 
incerteza combinada (Uc).
•
𝑈𝑐4
𝑣𝑒𝑓𝑓
=
𝑢1
4
𝑣1
+
𝑢2
4
𝑣2
+
𝑢3
4
𝑣3
+ … .+
𝑢𝑛
4
𝑣𝑛
• Lembrando : vi é a incerteza da variável i = desvio padrão da 
curva de distribuição.
53
Veff – Graus de Liberdade Efetivo
• Representa o peso na Incerteza Combinada Uc devido a 
amostragem das incertezas individuais tipo A e tipo B
• Número de graus de liberdade de incertezas tipo A é N – 1 
• Número de graus de liberdade de incertezas tipo B é ∞.
• Veff = número de graus de liberdade da Incerteza Composta 
Uc, dado pela equação de Welch-Satterthwaite:
𝑈𝑐4 𝑦
𝑉𝑒𝑓𝑓
=
𝑈14
𝑣1
+⋯+
𝑈𝑖4
𝑣𝑖
• O que é Veff : é o número de graus de liberdade (N) 
considerando todas as variáveis tipo A e B incidentes na 
incerteza de medição. Veff que deve definir o “t “ de Student.
54
Veff – Graus de Liberdade Efetivo
• Graus de Liberdade Efetivo (Veff)
• Assim a equação de Welch-Satterthwaite simplifica-se para: 
𝑉𝑒𝑓𝑓 =
𝑈𝑐4 𝑦
 
𝑈𝑖4
𝑣𝑖
• Observe na equação a influência na determinação dos Graus 
de liberdade efetivo para incertezas do tipo B, com Vi = 
infinito = ∞ é nula. O que pesa trata das incertezas tipo A. 
Desta forma, para a penalidade não ser grande na 
determinação da incerteza para dois desvios padrões, o 
número de medições das incertezas tipo A deve ser o maior 
possível.
55
K – Coeficiente de Expansão (ou fator de cobertura)
• Ele aumenta o valor da incerteza combinada Uc, considerando 
o intervalo de confiança desejado e o número de graus de 
liberdade efetivos Veff . O valor de K é obtido na tabela da 
distribuição t-Student. Determina-se o intervalo de confiança 
desejado (normalmente 95% ou 2 sigmas) e o grau de 
liberdade efetivo N = Veff
• Na verdade a determinação da incerteza combinada Uc é 
obtida considerando ± 1 (um) desvio padrão. A incerteza 
combinada considera a representatividade do número de 
amostras de cada variável. Para tipo A é o numero de 
amostras (N) utilizadas para determinação da incerteza 
estatística. Para tipo B o número de amostras é considerado 
infinito (ꝏ)
56
Intervalo de Confiança
• A probabilidade que o intervalo y ±U contém o valor do 
mensurando é chamada de nível de cobertura ou nível de 
confidência ou de confiança. 
• A probabilidade que o intervalo y ±U contém o valor do 
mensurando é chamada de nível de cobertura ou nível de 
confidência ou de confiança. 
• P(L1 <ϕ < L2)
• Distribuição Normal ->
57
K – Coeficiente de Expansão
Tabela t-Student para diferentes 
Graus de Confiança: K=t Student
Graus de Liberdade = Graus de 
Liberdade efetivo = Veff
O Inmetro obriga a publicação da 
incerteza expandida e o coeficiente 
de expansão K nos certificados de 
calibração. 
Caso o grau de liberdade não esteja 
definido na tabela, faça interpolação 
linear (não é regra de três). 
Nota : ver tabela na página 78 do 
G.U.M. 2008 
58
Incerteza Expandida
• A incerteza padrão expandida (U) é a multiplicação da 
incerteza padrão combinada (Uc) por um coeficiente de Student
chamado fator de abrangência (k). A incerteza padrão 
combinada é apenas um desvio padrão da combinação de 
várias fontes de incerteza e a multiplicação pelo fator (k) é 
necessária para a incerteza garantir um determinado nível de 
confiança.
• Incerteza Expandida U é o intervalo dentro do qual para uma 
probabilidade de 95% espera-se encontrar a componente 
aleatória dos erros de um processo de medição, portanto ± dois 
desvios padrões
• Incerteza Expandida: 𝑼 = 𝑲.𝑼𝒄
Esta é a incerteza do SM no ponto determinado.!!!
59
Resultado da Calibração
• A norma GUM exige a publicação das seguintes informações no 
certificado de calibração:
 1- Condições ambientais da calibração, visando obter 
repetitividade.
 2- Incerteza Expandida (U).
 3- Coeficiente de Expansão ou fator de cobertura (K)
 4- Erro sistemático quando houver.
 As informações 2, 3 e 4 devem ser apresentadas numa tabela 
para cada ponto de calibração.
 Opcionalmente pode ser informado o numero de graus de 
liberdade (Veff) efetivo resultante da análise.
60
Roteiro para Determinação da Incerteza
 Passo 1 – Análise do Processo de Medição e levantamento de 
todas os fenômenos envolvidos e fatores que podem ter alguma 
influência. (ver manuais, catálogos). Diagrama de espinha de 
peixe (causa e efeito).
 Passo 2 – Identificar as fontes de incerteza. Na duvida, deve-se 
incluir uma fonte de incerteza. O símbolo e a descrição clara 
devem ser escritos nos campos corresponde da tabela.
 Passo 3- Quantificar os efeitos sistemáticos na unidade de 
medida do mensurando.
 Passo 4- Quantificar os efeitos aleatórios (incertezas) na unidade 
do mensurando, tipo de distribuição, e graus de liberdade.
61
Roteiro para Determinação da Incerteza
 Passo 4 continuação – Na duvida deve-se adotar o tipo de 
distribuição mais rigorosa (retangular).
 Passo 5 – efetuar o cálculo da correção combinada dos erros 
sistemáticos (passo 3).
 Passo 6 – calcular a incerteza combinada (Uc) e o número de 
graus de
liberdade efetivo (Veff).
 Passo 7 – cálculo da incerteza expandida: para o grau de 
confiança determinado (geralmente 95%) buscar na tabela t-
Student o coeficiente de expansão (k) e multiplica-lo pela 
incerteza combinada (Uc) para obtenção da incerteza expandida 
(U): U = Uc . K
62
Roteiro para Determinação da Incerteza
 Passo 8 – Calcular a Correção combinada (Cc) pela soma de todas 
as correções devido a erros sistemáticos observadas. 
 Passo 9 - Apresentar o resultado da incerteza de medição. Deve 
ser apresentado tanto o resultado-base quanto a incerteza de 
medição (incerteza expandida U). Quando erros sistemáticos são 
compensados, a correção combinada deve ser somada à 
indicação ou à média das indicações.
63
Organizando os processo de determinação da 
Incerteza
 Todo o processo de determinação da incerteza de medição pode 
ser facilmente organizado numa tabela como a do slide seguinte.
 Todas as informações são desta forma apresentadas de forma 
objetiva e transparente.
 Com a tabela não é necessário a apresentação de todos os 
cálculos do desenvolvimento. 
64
Tabela 
Incertezas de entrada
Fonte Estimativa 
xi
Tipo Distribuição Divisor Incerteza
Ui (y)
GL
Repetibilidade Valor medio A ou B Normal/Retangula
r/Triangular ou 
outra.
(N-1) ou 
infinito
Incerteza 1 A ou B “
Incerteza 2 A ou B “
Incerteza 3 A ou B “
Incerteza do 
Sistema 
Padrão
B Retangular 
Incerteza Combinada (Uc)
Graus de Liberdade Efetivo (Veff)
Fator de Abrangência (K) = t Student para Veff graus 
liberdade e confiabilidade de 95% ( 2 sigmas).
Incerteza Expandida (U) = K. Uc
Correção Combinada (Cc)
65
Incertezas Comumente Verificadas (1) 
 Repetibilidade : dispersão da leitura feita num padrão de 
medição ou instrumento de referência.
 Tolerância de valores de componentes e sensibilidade com 
variação da temperatura ambiente (ppm). Muitas vezes é possível 
simular utilizando o método de Monte Carlo, disponível no 
Altium.
 Incerteza do padrão ou do instrumento de referência: neste caso 
adota-se a incerteza publicada em certificado de calibração, 
porém para um desvio padrão (dividir por K publicado)
 Variação de temperatura ambiente.
 Variação da aceleração da gravidade.
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Incertezas Comumente Verificadas (2) 
 Dilatação Térmica.
 Incerteza da referencia de tensão do conversor AD.
 Incerteza da base de tempo com a temperatura (Cristal).
 ...
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Exemplo (1)
A massa de uma peça foi determinada em uma balança eletrônica. 
Foram realizadas 12 medições, obtendo-se os seguintes valores 
(grama):
19,85 ; 20,00 ; 20,05 ; 19,95 ; 20,00 ; 19,85
19,90 ; 20,05 ; 19,95 ; 19,85 ; 19,90 ; 20,05
A balança tinha um certificado de calibração com os seguintes 
dados:
-Tcalibração = 20 °C;
-Estabilidade Térmica: 0,025 g/°C; 
-Estabilidade Temporal: ± 0,02 g/mês; 
(-Calibração foi realizada há 5 meses.)
68
Exemplo (2)
Certificado de Calibração da balança:
Balança com indicação digital: Resolução R = 0,05 g;
Temperatura de medição: 24,0 ≤ T ≤ 26,0 0C;
 Qual a incerteza de medição na determinação da massa?
69
Indicação Correção U (K=2,00)
0 0 ± 0,05
5,00 -0,015 ± 0,06
... ... ...
20,00 -0,12 ± 0,08
Exemplo (3)
 Identificação das variáveis de causa e efeito para medição de 
massa:
70
Exemplo (4)
1- Incerteza da Repetitividade na Medição das Amostras:
• Trata-se de uma distribuição normal. Ver histograma
• N =12
• Média = 19,95 g
• δ2 = 0,00636
• δ = 0,07977
• 𝑢 𝛿 =
0,07977
12
= 0,02302
Nota: consultar a bibliografia de referencia pois existem diversas 
formas de determinar a incerteza amostral, conforme cada caso. 
Por exemplo, a incerteza obtida de amostras que representam n 
medições é dada por: 𝑢 𝛿 = δ / 𝑛
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Exemplo (5)
2- Incerteza da Variável Térmica: 
A balança foi calibrada a 20oC. Tem-se a informação da variação da 
temperatura ambiente entre 24 e 26oC. A estabilidade térmica é de 
+/- 0,025 g/oC. A deriva da indicação da massa em decorrência da 
temperatura é dada por:
Considerando uma distribuição retangular com temperaturas entre 
24 e 26 oC ; Temperatura média da temperatura de medição = (26 
+ 24) / 2 = 25oC; Erro sistemático devido a tendência = +/-0,025 
g/oC x desvio temperatura da temperatura média da faixa = 0,025 
g/oC . (25 – 20) oC = +/- 0,125 g 
Erro aleatório (distribuição retangular) 
𝑈𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑐𝑜 =
0,125
3
= 0,07217 𝑔
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Exemplo (6)
3 – Incerteza da Variável Temporal
Estabilidade temporal = +/- 0,02 g/mês.
Considerando que a calibração foi realizada há cinco meses.
δtempo = +/- 0,02 g/mês . 5 meses. = +/- 0,1 g
Considerando uma distribuição retangular:
𝑈𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 =
0,1
3
= 0,05773 g
Note, estamos empregando um farta resolução, números significativos após a 
virgular, para facilitar o processo final de arredondamento. 
73
Exemplo (7)
4 – Incerteza da Resolução do Instrumento 
Resolução R = 0,05 g
A incerteza devido a resolução finita da escala, numa distribuição 
retangular é dada por:
𝑈𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 =
0,05
2
3
= 0,01443g
5 – Incerteza Calibração do Instrumento 
Conforme certificado de calibração da balança para 20 g:
Ue = 0,08 com K = 2 -> U = 0,04 g 
74
Exemplo (8)
Incertezas de entrada
Fonte Estimativa 
xi
Tipo Distribuição Divisor Incerteza
Ui (y)
GL
Repetibilidade 19,95
(média)
A Normal 1 0,02302g (12-1) = 
11
Estabilidade 
Temporal (3)
0 B Retangular 3 0,05773 g infinito
Calibração (5) -0,12 B Normal 1 0,04000 g infinito
Estabilidade 
Termica (2)
0 B Retangular 3 0,07217 g infinito
Resolução (4) 0 B Retangular 3 0,01443 g infinito
Incerteza Combinada (Uc) 0,1043 g
Graus de Liberdade Efetivo (Veff) 4.636
Fator de Abrangência (K) = t Student para Veff graus 
liberdade e confiabilidade de 95% ( 2 sigmas).
2
Incerteza Expandida (U) = K. Uc 0,2086
Correção Combinada (Cc) - 0,12 g
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Exemplo (9)
Incerteza Combinada: 𝑈𝑐 = 𝑈12 + 𝑈22…+ 𝑈𝑁
2 = 0,1043 g 
Graus de Liberdade: estimados pela equação de Weich-
Satterhwaite:
𝑉𝑒𝑓𝑓 =
𝑈𝑐4 𝑦
 𝑖=1
𝑁 𝑈𝑖
4 𝑦
𝑣𝑖
= 4.636 K95% = t(4.636) = 2 ; onde 95% é o 
nível de confiança
U = K95% . Uc = 2 . 0,1043 -> 0,2086 g portanto 0,21 g
Aplicando a correção combinada: massa 19,95 – 0,12 = 19,83 g
Resultado: a massa possui : 19,83 ± 0,21 g 
A resolução do resultado deve ser a mesma de medição.
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Na Calibração
Deve ser desenvolvido uma tabela para cada ponto de calibração 
elencado.
Para cada ponto, deve ser publicado:
- Correção (C) 
- Incerteza Combinada (U)
- Fator de Abrangência (K)
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Mais exemplos?
O livro “Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial” de 
Armando Albertazzi Jr, disponível em 
• http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfeIQAE/fundamento
s-metrologia-cientificaindustrial-armando-albertazzi 
• https://drive.google.com/open?id=0B5tUIJh9trZCUmdheEtsek
tuVVE
possui diversos exemplos de determinação de incertezas de 
medição nas páginas 209 a 228. São eles:
6.8.1 Exemplo de determinação da incerteza de uma calibração.
6.8.2 Exemplo de determinação do resultado de medição de uma 
pedra preciosa.
6.8.3 Exemplo de determinação do resultado da medição de um 
mensurando variável.
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Quando saber se um instrumento está OK?
Um instrumento foi selecionado para ser utilizado num processo 
pois a exatidão do mesmo, na escala de trabalho, é inferior a 
1/10 da tolerância do processo.
Desta forma, mesmo que o instrumento não atenda o requisito 
de exatidão publicado originalmente pelo fabricante, mas atenda 
este requisito, ele pode ser liberado para utilização.
Caso haja uma exceção como a mencionada,
que habilite o uso 
de um determinado instrumento apenas para uma escala 
especifica, cabe incluir na etiqueta de “validade de calibração” 
do instrumento, instruções quanto a escala liberada para uso.
79
Variáveis Correlacionadas
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• O grau de correlação entre duas variáveis é caracterizado pelo 
coeficiente de correlação estimado r(xi,yi).
𝑟𝑥𝑦 =
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − 𝑋 . (𝑦𝑖 − 𝑌)
 𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖 − 𝑋)2. 𝑖=1
𝑛 (𝑦𝑖 − 𝑌)2
Onde X e Y são medias de xi e yi.
Variáveis Correlacionadas
81
Exemplo: Tabela H.2 do G.U.M
Incerteza de Medições com Variáveis 
Correlacionadas.
 Valores na tabela do slide anterior, considerando par de 
variáveis “q” e “r”.
 Desvio padrão experimental da média = 𝑆 𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
𝑠(𝑣)2
𝑛
 Covariância = 
𝑠 𝑞, 𝑟 =
1
𝑛(𝑛 − 1)
. 
𝑖=1
𝑛
𝑞𝑖 − 𝑞𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 . (𝑟𝑖 − 𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜)
 Coeficiente de correlação = 𝑟 𝑞, 𝑟 =
𝑠(𝑞,𝑟)
𝑠 𝑞 .𝑠(𝑟)
-1 < r(q,r) < +1
82
Incerteza de Medições com Variáveis 
Correlacionadas.
 Conforme visto anteriormente, as variáveis de entrada do 
processo de medição não sendo correlacionadas, a incerteza 
de medida é definida por:
 Onde a função f descrita no modelo que define a propagação 
da incerteza.
 Com as variáveis correlacionadas, a incerteza é definida por:
83
Incerteza de Medições com Variáveis 
Correlacionadas.
 O que é isto?
 Quando expandimos a equação da função na Série de Taylor 
(ver slide Incertezas Combinadas para variáveis não 
correlacionadas), a mesma foi truncada para o termo de 
derivada de primeiro grau. Para variáveis correlacionadas, a 
equação é truncada na derivada de segundo grau. 
84
Incerteza de Medições com Variáveis 
Correlacionadas.
 Um exemplo de cálculo da incerteza combinada com duas 
variáveis correlacionadas u(x1) e u(x2)
𝑢𝑐
2 𝑦 = 1
2(
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
)2 . 𝑢 𝑥𝑖 +
2. 𝑖=1
1 𝑗=2
2 (
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
.
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑗
. 𝑢 𝑥𝑖 . 𝑢 𝑥𝑗 . 𝑟(𝑥𝑖, 𝑥𝑗)
 O primeiro termo trata das incertezas individuais, o segundo 
termo trata do número de variáveis correlacionadas.
85
O que fazer quando os resultados da 
determinação da incerteza for pior que esperado?
 O método do GUM é racional. Não se deve manipular os 
critérios para obter bons resultados. Nunca altere a 
distribuição elencada para variáveis do tipo B. O critério deve 
ser o mais conservador possível: na dúvida considerar a pior 
distribuição (retangular).
 Para incertezas do tipo A, pode-se aumentar o número de 
amostras de forma a diminuir o peso do coeficiente de 
abrangência, obtido na tabela t-Student para um grau de 
liberdade Veff. Aumentando o número de amostras, o valor 
da informação será mais representativo. Por sinal, o emprego 
de número de amostras grande (>30) sempre foi a 
recomendação dada.
86
O que fazer quando os resultados da 
determinação da incerteza for pior que esperado?
 Retorne para a etapa de “ajuste”; a que deve ser efetuada 
antes da etapa de “calibração”. Faça uma análise crítica. 
Fontes de não linearidades? Possibilidade de compensar não 
linearidades com “curvas de ajuste”. Quando um instrumento 
não possui recursos de eletrônica analógica ou digital para 
ajustes da resposta, o projetista pode adotar curvas de ajustes 
desenhadas e impressas, disponibilizadas no manual do 
instrumento. Também pode empregar equações de ajustes. 
Lembre-se que a nível de usuário, esta interface de leitura é 
indesejável... mas se for para uso acadêmico...pode ser 
empregado.
87
Procedimento Geral de Calibração (1)
• Desenvolvido em oito etapas :
• Etapa 1 : Definição dos Objetivos: 
 Ajustes e regulagens: apenas alguns poucos pontos.
 Levantamento da curva de erros: grande número de pontos.
 Verificação: número intermediário de pontos definido por 
normas.
 Avaliação completa do Sistema de Medição a Calibrar (SMC): 
compreende a verificação completa em diferentes condições 
operacionais.
88
Procedimento Geral de Calibração (2)
• Etapa 2 : Identificação do Sistema de Medição a Calibrar: 
 Identificar as características metrológicas.
 Conhecer o modo de operação do Sistema de Medição.
 Documentar o Sistema de Medição (marca, modelo, número 
de série ).
• Etapa 3 : Selecionar o Sistema de Medição Padrão (SMP)
 Verificar a incerteza do SMP ( máximo 1/10 do SMC).
 Faixa do SMP... se necessário empregar vários SMP para cobrir 
a faixa do SMC.
89
Procedimento Geral de Calibração (3)
• Etapa 4 : Preparação do Experimento: 
 Executar calibração conforme norma especifica.
 Na inexistência de normas, fazer estudos junto laboratórios e 
fabricantes.
 Estudo do SMP para correta operação.
 Especificar a montagem a ser realizada.
 Preparar planilha apropriada.
 Montagem do experimento.
90
Procedimento Geral de Calibração (4)
• Etapa 5 : Execução dos Ensaios: 
 Seguir o roteiro estabelecido.
 Registrar as condições de ensaios (condições ambientais e 
operacionais).
• Etapa 6 : Processamento e Documentação dos Dados
 Fazer uso de tabelas e gráficos, mantendo registro de todos 
dados e resulta
• Etapa 7: Analise dos Resultados. 
 Determinam-se os parâmetros para comparação com os 
fornecidos pelo fabricante. Atesta ou não a conformidade e 
restrições para uso do SMC.
91
Procedimento Geral de Calibração (5)
 Etapa 8 : Emissão do Certificado de Calibração: 
92
Roteiro para Calibração – Registros (1)
• Identificação e descrição individual do item a ser calibrado 
(marca, modelo, número de série, etc.);
• Data da calibração;
• Descrição das faixas e grandezas a serem calibradas;
• Definição dos pontos de medição dentro da faixa de 
calibração;
• Identificação e descrição individual do padrão utilizado 
(marca, modelo, número de série e demais características), 
bem como data e entidade executora da sua calibração, sua 
incerteza e demais aparatos;
• Descrição com detalhes das ligações e dispositivos utilizados
93
Roteiro para Calibração – Registros (2)
• Identificação do método de medição e do princípio de 
calibração empregados;
• Condições ambientais (temperatura e umidade) no início e no 
fim da calibração, que devem ser obtidas de um equipamento 
com certificado de calibração.
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Condições Ambientais.
• As normas DOQ-CGRE-018 (INMETRO, 2011) e ABNT NBR 
ISO/IEC 17025:2005 (ABNT, 2006) não especificam 
exatamente quais são as condições de temperatura e 
umidade do ambiente onde devem ser calibrados os 
instrumentos de medições elétricas. Apenas sugerem que 
estas grandezas sejam monitoradas e controladas. Os 
laboratórios acreditados pelo INMETRO efetuam as 
calibrações com temperatura de 23°C ± 3°C e umidade relativa 
do ar de 55% ± 15% para fins de comparações 
interlaboratoriais. As condições ambientais por ocasião da 
calibração devem ser registradas. O impacto na incerteza de 
medição deve ser correlacionado se necessário.
95
Frequência de Calibração
96
Frequência de Calibração
97
Frequência de Calibração (1)
98
• Calibração de instrumentos é um processo que representa um 
custo ($) considerável e a indisponibilidade do instrumento 
durante um periodo de tempo.
• O aumento da periodicidade mitiga este desconforto.
• Alguns métodos são empregados para justificar o aumento do 
periodo entre calibração de instrumentos. O mais conhecido é 
o Método de Schumacher. 
• O Método de Schumacher consiste na utilização de alguns 
conceitos e tabelas que relacionam o comportamento do 
instrumento em calibrações anteriores e o seu intervalo de 
calibrações.
Frequência de Calibração (2)
99
• Pelo método necessita-se classificar os instrumentos 
conforme a condições em que se encontram, levando-se em 
consideração
a ficha histórica onde são registradas as 
condições da revalidação.
• A (Avaria): designa problema que possa prejudicar um ou 
mais parâmetros do instrumento.
• C (Conforme): designa a conformidade comprovada durante a 
revalidação.
• F (Fora de Exatidão – Não Conforme): o instrumento funciona 
bem mas fora da exatidão especificada.
Frequência de Calibração (3)
100
• Fica intuitivo notar que uma sequencia de registro C
(Conforme) indica que periodicidade da calibração deve ser 
aumentada.
• Também pode-se intuir que sequencias de A (Avaria) ou F 
(Fora de Exatidão) deve ser diminuída a periodicidade de 
calibração. 
Frequência de Calibração (4)
101
• Inicialmente considera-se as condições de recebimento do 
equipamento e suas duas ou três calibrações anteriores.
• D : indica que o período deve diminuir;
• E : indica que o período deve aumentar (estender). 
• P : indica que o caso é duvidoso e o período não deve ser 
alterado (permanecer).