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UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA CAMPUS DE JOAÇABA VICE-REITORIA DE GRADUAÇÃO ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. Joaçaba, 15 de Abril de 2011 Resistência dos Materiais I ii Prof. Douglas Roberto Zaions Este material foi elaborado para a disciplina de Resistência dos Materiais I do curso de Engenharia de Produção Mecânica oferecido pela Universidade do Oeste de Santa Catarina Campus de Joaçaba O trabalho apresenta citações dos autores pesquisados e referências bibliográficas, constituindo- se em uma ótima fonte para aprofundamento do conhecimento sobre resistência dos materiais. No mesmo são tratados assuntos como: “Solicitações internas. Reações, solicitações, diagramas. Tensões e Deformações: Estados de tensão, Lei de Hooke, trabalho de deformação. Solicitações Axiais. Flexão simples. Cisalhamento em vigas longas. Torção. Solicitações compostas: Flexão desviada. Análise de tensões em um ponto. Círculo de Mohr. Teorias de colapso para materiais frágeis e dúcteis. Tem a finalidade de proporcionar aos acadêmicos o conteúdo básico da disciplina, com o intuito de melhorar o aproveitamento dos mesmos, principalmente em sala de aula. No entanto não deve ser usado como única fonte de estudo. Qualquer sugestão com referência ao presente trabalho, serão aguardadas, pois assim pode-se melhorá-lo com futuras modificações. Prof. Eng. Douglas Roberto Zaions, MSc. DOUGLAS ROBERTO ZAIONS Engenheiro Mecânico formado pela Universidade Federal de Santa Maria em 1993. Em 1994 iniciou o curso de especialização em Engenharia Mecânica na Universidade Federal de Santa Catarina obtendo o grau de Especialista em Engenharia Mecânica. Em 2003 concluiu o curso de Mestrado em Engenharia de Produção na Universidade Federal do Rio Grande do Sul na área de concentração de Gerência, desenvolvendo o trabalho intitulado Consolidação da Metodologia da Manutenção Centrada em Confiabilidade em uma Planta de Celulose e Papel. Atualmente é doutorando do curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina na área de concentração de Projeto de Sistemas Mecânicos. Foi Coordenador do Curso de Engenharia de Produção Mecânica de março/2000 até março/2006 e do Curso de Tecnologia em Processos Industriais – Modalidade Eletromecânica de março/2000 até Junho/2002 da UNOESC – Joaçaba. Conselheiro Estadual e membro da Câmara Especializada de Engenharia Industrial do Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia do Estado de Santa Catarina, CREA – SC no período de janeiro de 2001 até dezembro de 2003. Também foi Diretor do CREA – SC no período de janeiro de 2002 até dezembro de 2002. Quinze anos de docência em cursos técnicos, tecnológicos, engenharia e especialização na área mecânica. Professor de várias disciplinas da área de projetos nos cursos Técnico em Mecânica e Eletromecânica do SENAI – CET Joaçaba. É Professor do curso de Engenharia de Produção Mecânica da UNOESC – Joaçaba onde atua nas disciplinas de Resistência dos Materiais, Elementos de Máquinas, Mecanismos, Processos de Usinagem e Comando Numérico, Pesquisa Operacional, Projeto de Sistemas Mecânicos e Manutenção Mecânica. É também pesquisador nas áreas de Projeto e Manutenção Industrial. Professor dos cursos de Especialização em Engenharia de Manutenção Industrial e Engenharia de Produção da Universidade do Oeste de Santa Catarina ministrando respectivamente a disciplina de Manutenção de Elementos de Máquinas, Técnicas e Procedimentos de Mantenção e Gestão da Manutenção. No curso de Especialização em Projetos de Sistemas Mecânicos atua nas disciplinas de Metodologia de Projeto de Sistemas Mecânicos e Projeto para a Confiabilidade e Mantenabilidade. É perito técnico judicial, desenvolvendo trabalhos nas áreas automotiva e industrial na busca de causa raiz de falhas. Contato: Universidade do Oeste de Santa Catarina – Campus de Joaçaba e-mail: douglas.zaions@unoesc.edu.br Fone/Fax: (49) 3551 - 2216 Resistência dos Materiais I iv Prof. Douglas Roberto Zaions ÍNDICE 1 TENSÕES ....................................................................................................................................................................... 7 1.1 INTRODUÇÃO A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ......................................................................................................... 7 1.2 TIPOS DE CARGAS .................................................................................................................................................... 8 1.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO DEFORMÁVEL ................................................................................................................ 9 1.4 CARREGAMENTO RESULTANTE INTERNO ............................................................................................................... 10 1.5 TENSÃO ................................................................................................................................................................. 14 1.5.1 Tensão normal ............................................................................................................................................ 14 1.5.2 Tensão cisalhante........................................................................................................................................ 14 1.5.3 Estado geral de tensões .............................................................................................................................. 15 1.5.4 Tensão normal média .................................................................................................................................. 16 1.5.5 Tensão cisalhante média ............................................................................................................................. 19 1.6 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 20 2 DEFORMAÇÕES ........................................................................................................................................................ 23 2.1 DEFORMAÇÃO NORMAL ........................................................................................................................................ 23 2.2 DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO ...................................................................................................................... 26 2.3 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 29 3 PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS ............................................................................................. 30 3.1 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO ...................................................................................................................... 31 3.1.1 Ductilidade .................................................................................................................................................. 34 3.1.2 Maleabilidade ............................................................................................................................................. 35 3.1.3 Dureza .........................................................................................................................................................35 3.1.4 Resiliência ................................................................................................................................................... 35 3.1.5 Tenacidade .................................................................................................................................................. 35 3.2 LEI DE HOOKE ....................................................................................................................................................... 36 3.3 COEFICIENTE DE POISON ....................................................................................................................................... 37 3.4 LEI DE HOOKE GENERALIZADA ............................................................................................................................. 39 3.5 PROPRIEDADES MECÂNICAS DE ALGUNS MATERIAIS ............................................................................................. 40 3.6 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 41 4 CARGA AXIAL ........................................................................................................................................................... 45 4.1 TENSÃO NORMAL MÉDIA ....................................................................................................................................... 45 4.2 PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT ............................................................................................................................... 46 4.3 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM ELEMENTO SUBMETIDO A CARGA AXIAL ............................................................. 47 4.3.1 Deformação em barras de área de seção transversal constante e carga constante ................................... 48 4.3.2 Fórmulas para deslocamento total para alguns casos ............................................................................... 49 4.4 TENSÕES TÉRMICAS............................................................................................................................................... 52 4.4.1 Peça livre para deformar ............................................................................................................................ 53 4.4.2 Peça impedida de deformar ........................................................................................................................ 53 4.5 CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES ............................................................................................................................... 55 4.5.1 Efeito da Concentração de Tensões em materiais dúcteis .......................................................................... 56 4.5.2 Efeito da Concentração de Tensões em materiais frágeis .......................................................................... 57 4.6 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS E ESTRUTURAS CARREGADAS AXIALMENTE PELO CRITÉRIO DA RESISTÊNCIA ........ 61 4.7 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS E ESTRUTURAS CARREGADAS AXIALMENTE PELO CRITÉRIO DA RIGIDEZ ............... 62 4.8 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 63 4.8.1 Tensão e deformação .................................................................................................................................. 63 4.8.2 Tensões térmicas ......................................................................................................................................... 65 4.8.3 Concentração de Tensões ........................................................................................................................... 67 5 SOLICITAÇÕES CORTANTES ............................................................................................................................... 69 5.1 CISALHAMENTO SIMPLES ...................................................................................................................................... 69 5.1.1 Dimensionamento de peças submetidas ao cisalhamento simples .............................................................. 70 5.2 ESMAGAMENTO - PRESSÃO DE CONTATO (TENSÃO NORMAL) ................................................................................ 71 5.3 EXERCÍCIOS CISALHAMENTO SIMPLES E ESMAGAMENTO ...................................................................................... 72 6 FLEXÃO ....................................................................................................................................................................... 77 6.1 CLASSIFICAÇÃO DA FLEXÃO .................................................................................................................................. 77 6.2 CONVENÇÃO DE SINAIS DA FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR ...................................................................... 78 6.3 CÁLCULO DA FORÇA CORTANTE „V‟ E DO MOMENTO FLETOR „M‟ ........................................................................ 79 6.3.1 Força cortante ‘V’ ...................................................................................................................................... 79 6.3.2 Momento fletor ‘M’ ..................................................................................................................................... 79 6.4 FLEXÃO PURA E SIMPLES ...................................................................................................................................... 80 6.4.1 Flexão Pura ................................................................................................................................................ 80 6.4.2 Flexão Simples ............................................................................................................................................ 81 6.5 TENSÃO GERADA NA FLEXÃO ............................................................................................................................... 81 6.6 FATORES DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES NA FLEXÃO ........................................................................................ 83 6.7 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS SUBMETIDAS A FLEXÃO PELO CRITÉRIO DA RESISTÊNCIA ...................................... 86 6.7.1 Tensões admissíveis .................................................................................................................................... 86 6.8 FLECHA PRODUZIDA NA FLEXÃO ........................................................................................................................... 87 6.9 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 90 7 TORÇÃO ...................................................................................................................................................................... 94 7.1 FATORES DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES NA TORÇÃO ........................................................................................ 96 7.2 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS SUBMETIDAS A TORÇÃO PELO CRITÉRIO DA RESISTÊNCIA ..................................... 98 7.3 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS SUBMETIDAS A TORÇÃO PELO CRITÉRIO DA RIGIDEZ ............................................. 98 7.4 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 99 8 TRANSFORMAÇÕES DE TENSÕES .................................................................................................................... 103 8.1 TENSÕES EM SEÇÕES INCLINADAS .......................................................................................................................103 8.1.1 Estado uniaxial de tensões ........................................................................................................................ 103 8.1.2 Estado biaxial de tensões .......................................................................................................................... 104 8.1.3 Estado plano de tensões ............................................................................................................................ 105 Resistência dos Materiais I vi Prof. Douglas Roberto Zaions 8.2 EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................... 106 8.2.1 Estado plano de tensões ............................................................................................................................ 106 9 TENSÕES PRINCIPAIS ........................................................................................................................................... 109 9.1 SÍNTESE DAS PRINCIPAIS SOLICITAÇÕES E SUAS TENSÕES .................................................................................... 109 9.1.1 Tensão Normal de Tração ou Compressão ............................................................................................... 109 9.1.2 Tensão de Corte devido ao Cisalhamento Simples ................................................................................... 110 9.1.3 Tensão Normal na Flexão ......................................................................................................................... 111 9.1.4 Tensão de Cisalhamento na Torção .......................................................................................................... 111 9.1.5 Tensão de Cisalhamento na Flexão .......................................................................................................... 112 9.2 ANÁLISE DE TENSÕES ......................................................................................................................................... 113 9.2.1 Tensões Principais .................................................................................................................................... 115 9.2.2 Círculo de Mohr ........................................................................................................................................ 118 9.3 EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................... 119 10 TEORIAS PARA FALHAS ESTÁTICAS .......................................................................................................... 122 10.1 PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO ......................................................................................... 122 10.2 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................................... 122 10.3 TEORIA DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA .............................................................................................................. 124 10.4 TEORIA DA TENSÃO MÁXIMA DE CISALHAMENTO .............................................................................................. 126 10.5 TEORIA DE HUBER-VON MISES - HENCKY OU DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO ......................................... 130 10.5.1 Comparação entre as três teorias aplicadas a materiais Dúcteis ............................................................ 132 10.6 TEORIA DE COULOMB MOHR .............................................................................................................................. 132 10.7 TEORIA DE MOHR MODIFICADA .......................................................................................................................... 133 10.8 EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................... 137 11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................................ 140 UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 7 Prof. Douglas Roberto Zaions 1 TENSÕES 1.1 INTRODUÇÃO A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo. Esse assunto abrange também o cálculo da deformação do corpo e o estudo de sua estabilidade, quando ele esta submetido a forças externas. No projeto de qualquer estrutura ou máquina é necessário primeiro usar os princípios da estática para determinar as forças que atuam tanto sobre como no interior de seus vários membros. As dimensões dos elementos, sua deflexão e sua estabilidade dependem não só das cargas internas como também do tipo de material do qual esses elementos são feitos. Assim, a determinação precisa e a compreensão do comportamento do material são de vital importância para o desenvolvimento das equações usadas na resistência dos materiais. O principal objetivo da Resistência dos Materiais é propiciar ao Engenheiro os meios que o habilitem para a análise e projeto de várias estruturas de máquinas, sujeitas a diferentes carregamentos. A Resistência dos Materiais visa a determinar as dimensões dos elementos de uma construção e que lhes possibilitem suportar os carregamentos ou forças a que provavelmente estarão sujeitos. Figura 1.1 – Objetivos da resistência dos manteriais Resistência dos Materiais I 8 Prof. Douglas Roberto Zaions Muitas fórmulas e procedimentos de projeto, definido nas normas técnicas de engenharia e usados na prática, baseiam-se nos fundamentos da resistência dos materiais e, por essa razão, compreender os princípios dessa matéria é extremamente importante. A Resistência dos Materiais I estuda o comportamento dos materiais sob esforços considerando como típicos: tração, compressão, flexão e torção. A Figura 1.2 ilustra a evolução da Resistência dos Materiais. Figura 1.2 – Origem da Resistência dos Materiais 1.2 TIPOS DE CARGAS Um corpo pode estar sujeito a diferentes tipos de forças externas (Figura 1.3). As cargas podem ser: (i) Cargas concentradas; (ii) cargas distribuídas linearmente; e (iii) cargas distribuídas em uma superfície. Força de superfície: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Força de concentrada: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Força de distribuída: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Força resultante (FR): _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 9 Prof. Douglas Roberto Zaions Idealização de uma força concentrada Idealização de uma carga distribuída linear Idealização de uma força de superfície FRFigura 1.3 – Forças externas O que se pretende na Engenharia é projetar e construir estruturas que resistam aos esforços externos. 1.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO DEFORMÁVEL Na resistência dos materiais chamamos de vínculo, apoio ou ligação a qualquer elementos que impeça de alguma forma o livre movimento de um ou mais pontos de uma estrutura. Os apoios podem ser simples, duplos ou triplos (engaste perfeito). O apoio simples (a) impede a translação na direção normal da reta de vinculação. O apoio duplo (b) impede a translação nos eixos cartesianos x e y e o apoio triplo(c) ou engaste impede os movimentos de translação e também a rotação. (a) Apoio simples (c) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (b) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Figura 1.4 – Tipos de apoios Reações de apoio: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Resistência dos Materiais I 10 Prof. Douglas Roberto Zaions O vínculo, impedindo uma translação numa direção, deve ser capaz de introduzir pelo menos uma força que anula a componente da resultante final na mesma direção. O equilíbrio de um corpo requer: 1 – Equilíbrio de forças; 2 – Equilíbrio de momentos Matematicamente significa que : 0F 0 oM As equações de equilíbrio requerem a especificação completa de todas as forças que atuam sobre o corpo. “A melhor maneira de considerar essas forças é desenhando o diagrama de corpo livre” 1.4 CARREGAMENTO RESULTANTE INTERNO Para obtermos as forças internas atuantes em uma região específica dentro de um corpo, é necessário utilizar o método das seções. Este método requer que um corte imaginário seja feito onde as forças internas devam ser determinadas. A (Figura 1.5) ilustra um corpo mantido em equilíbrio por quatro forças externas. Sob uma seção do corpo é então realizada um corte imaginário (Figura 1.5a) e então as duas partes são separadas e sobre uma delas é realizado o diagrama de corpo livre(Figura 1.5b). Este diagrama ilustra que existe, na realidade, uma distribuição das forças internas atuantes sobre a área da seção exposta. Estas forças representam os efeitos do material da parte superior do corpo atuantes sobre o material adjacente da parte inferior F1 F2 F3 F4 F1 F2 (a) (b) Diagrama de Corpo Livre F1 F2 (d) F1 F2 (c) MRO F FR O A F Fy Fx (e) Figura 1.5 – Método das seções No caso de um sistema coplanar de forças (plano x-y) as condições de equilíbrio são: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 11 Prof. Douglas Roberto Zaions O método das seções é usado para determinar a resultante das cargas internas em um ponto localizado na seção de um corpo. A aplicação do método das seções requer os seguintes passos para obter tais resultantes: Para o caso de cargas coplanares, Hibbler (2004) apresente o seguinte procedimento para avaliar o carregamento interno: 1 - Reações de Apoio - Decidir primeiro qual segmento do corpo será considerado. Se esse segmento tiver um apoio ou elemento de ligação com outro corpo (tipo rótula), então antes de secionar o corpo será necessário determinar as reações que atuam sobre o segmento escolhido. Desenhar o diagrama livre de todo o corpo e aplicar então as equações de equilíbrio requeridas para obter as reações de apoio no segmento escolhido. 2 - Diagrama de corpo livre - Manter todas as cargas externas distribuídas, momentos binários, torques e forças que atuam sobre o corpo em suas localizações exatas; traçar então uma seção imaginária através do corpo no ponto em que a resultante das cargas internas será determinada. - Se o corpo representa o elemento de uma estrutura ou dispositivo mecânico, a seção é, em geral, perpendicular ao eixo longitudinal do elemento. - Desenhar o diagrama de corpo livre de um dos elementos „cortados‟, indicando as resultantes desconhecidas N, V, M e T na seção. Essas resultantes normalmente são colocadas no ponto que representa o centro geométrico ou centróide da área secionada. - Se o elemento esta submetido a um sistema de forças coplanares, somente N, V e M atuam sobre o centróide. - Definir os eixos de coordenadas x, y, z com origem no centróide e mostrar os componentes da resultante que atuam ao longo dos eixos. Equações de equilíbrio Existirão esse componentes Figura 1.6 – Método das seções aplicado a cargas coplanares Resistência dos Materiais I 12 Prof. Douglas Roberto Zaions Para o caso de cargas tridimensionais, a Figura 1.7 ilustra o procedimento. Neste caso os componentes de FR e MRo atuam tanto normal como no plano da área. Figura 1.7 – Método das seções aplicado ao caso de forças tridimensinais Fonte: Hibbler (2004) São definidos 4 tipos diferentes de cargas: Força normal “N”: atua perpendicularmente a área (empurram ou puxam as duas partes); Força de cisalhamento “V”: localiza-se no plano da área e tende a provocar um deslizamento das duas partes; Momento de torção, ou Torque “T”: este efeito é criado quando as cargas externas tendem a torcer uma parte do corpo em relação a outra; Momento Fletor “M”: é provocado pelas cargas externas que tendem a fletir o corpo em relação ao eixo localizado no plano da área. Exemplo 1: Hibbeler (2004) Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal em C do eixo de uma máquina (Figura 1.8). O eixo é apoiado por rolamentos em A e B. Figura 1.8 – Exemplo 1. Fonte: Hibbeler (2004) a) Reações de apoio: A Figura 1.8b mostra um diagrama de corpo livre do eixo inteiro. Determinaremos a reação em A e posteriormente em B UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 13 Prof. Douglas Roberto Zaions Equilíbrio de forças na direção y Convensão de sinais de forças na direção y: + - Para cima (+) Para baixo (-) 0 yF 0225120 NBNA yy NBA yy 345 (1) Equilíbrio dos momentos Convensão de sinais de momentos: + - Anti-horário (+) Horário (-) 0 BM 0)100,0(225)125,0(120)400,0( mNmNmAy NAy 75,18 (2) Substituindo a resposta (2) “ NAy 75,18 ” na equação (1) “ NBA yy 345 ” temos: NBy 34575,18 NBy 75,363 b) Diagrama de corpo livre em C Se passarmos uma região imaginária perpendicular a linha de centro do eixo em C, obteremos o diagrama de corpo livre do segmento AC mostrado na Figura 1.8c ou repetida ao lado. Equilíbrio de forças na direção x Convensão de sinais de forças na direção x: + - Para direita (+) Para esquerda (-) 0 xF 0CN Equilíbrio de forças na direção y Convensão de sinais de forças na direção y: + - Para cima (+) Para baixo (-) 0 yF 04075,18 CVNN NVC 75,58 Equilíbrio de momentos Convensão de sinais de momentos: + - Anti-horário (+) Horário (-) 0 CM 0)259,0(75,18)025,0(40 mNmNMC mNMC 69,5 Obs.: Os sinais negativos para VC e MC indicam que agem em sentidos opostos às mostradas no diagrama de corpo livre. O sinal negativo para Ay indica que Ay age no sentido contrário ao mostrado no diagramade corpo livre (Figura 1.8b) Como a equação (1) já havia sido definida anteriormente com o sentido de Ay para cima, simplesmente substituimos a resposta obtida Ay =-18,75N (com sinal negativo) em (1) Resistência dos Materiais I 14 Prof. Douglas Roberto Zaions 1.5 TENSÃO Considere que a seção da área seja subdividida em áreas pequenas (A). Supõe-se duas hipóteses( material contínuo e material coeso). A força F subdivide-se nas três componentes (x, y e z). F1 F2 F A F Fz Fy z y x z x y Fx Figura 1.9 – Componentes da força F Quando 0A , 0F mas finito A F . A relação entre a força e a área é chamada tensão 1.5.1 Tensão normal A intensidade da força por unidade de área que atua no sentido perpendicular a A, é definida como tensão normal, (sigma). Visto que Fz é normal à área, então: A Fz A z 0 lim 1.5.2 Tensão cisalhante A intensidade da força por unidade de área que atua no sentido tangente a A, é definida como tensão de Cisalhamento, (tau). Os componentes de tensão de cisalhamento são: A Fx A zx 0 lim A Fy A zy 0 lim O índice z é usado para indicar a direção que afasta da reta normal, a qual especifica a orientação da área A. O eixo z especifica a orientação da área enquanto x e y referem-se às retas de direção das tensões de cisalhamento UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 15 Prof. Douglas Roberto Zaions 1.5.3 Estado geral de tensões Se o corpo for secionado por planos paralelo ao plano x-z e ao plano y-z podemos então cortar um elemento cúbico do volume do material que representa o estado de tensão. Figura 1.10 - Estado geral de tensões Fonte: Hibbeler (2004) O índice z é usado para indicar a direção que afasta da reta normal, a qual especifica a orientação da área A. O eixo z especifica a orientação da área enquanto x e y referem-se às retas de direção das tensões de cisalhamento Figura 1.11 - Estado geral de tensões Fonte: Hibbeler (2004) As unidades de tensão são ilustradas na Figura 1.12. Resistência dos Materiais I 16 Prof. Douglas Roberto Zaions Unidades de Tensão No sistema internacional de unidades: Usam-se prefixos k – quilo (103) M – mega (106) G – giga (109) Na indústria: No sistema inglês: Pa m N 2 2cm kgf 2mm kgf psi in lb 2 ksi in lb 2 1000 quilolibra 11000 kiplb 2mm N Na mecânica: MPammN 11 2 Figura 1.12 – Unidades de tensão 1.5.4 Tensão normal média Freqüentemente há elementos mecânicos ou estruturais que são submetidos a cargas axiais. P P P P Figura 1.13 – Barra submetida a força axial Visto que a barra esta submetida a uma deformação uniforme constante, a deformação é o resultado de uma tensão normal constante . Caso todas as seções transversais da barra sejam iguais a barra é denominada prismática Hipóteses para determinação da distribuição média de tensões - A barra deve permanecer reta (antes e depois da aplicação da carga; - A seção transversal deve permanecer plana Se as duas hipóteses ocorrerem então _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 17 Prof. Douglas Roberto Zaions Figura 1.14 – Tensões. Fonte: Hibbeler (2004) O resultado que cada área A esta submetida a uma força F=.A, e o somatório destas forças deve ser equivalente a P. Se: dAA e dFF Admitindo que é constante: dAdF A AP A P O equilíbrio no elemento de volume só é conseguido quando os dois componentes da tensão normal devem ter intensidade igual mas sentidos opostos (Figura 1.15a). Essa condição é denominada tensão uniaxial e se aplica tanto a a tração como a compressão (Figura 1.15a). (a) (b) Figura 1.15 – Equilíbrio no elemento de volume (elemento infinetesimal). Fonte: Hibbeler (2004) Resistência dos Materiais I 18 Prof. Douglas Roberto Zaions Exemplo (Tensão normal média) A barra mostrada na Figura 1.16 tem uma largura constante de b = 40 mm e uma altura constante de h = 10 mm. Determine a tensão média máxima atuante na barra quando esta submetida ao carregamento indicado. Figura 1.16 – Barra submetida a um carregamento axial Solução: Assim temos que: A PBC xBC )m010,0m040,0( N000.28 xBC Pa1070 6xBC MPa70xBC O primeiro passo para a solução do problema é construir o diagrama de força axial. Neste caso poderemos adotar que forças com o sentido orientado para a esquerda são positivas ( +) e forças com o sentido orientado para a direita são negativas ( -). O diagrama de forças axiais irá em cada seção somar ou subtrair as forças aplicadas. Assim temos que: A região da barra que apresenta a máxima força de tração é a região BC. Assim, uma vez que a área da seção transversal reta da barra é constante, a maior tensão média também ocorrerá nesta região da barra. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 19 Prof. Douglas Roberto Zaions 1.5.5 Tensão cisalhante média A tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área secionada que desenvolve a força de cisalhamento (V=F/2) é definida por: A V méd Onde: V – resultante interna da força de cisalhamento; A – Área da seção. Figura 1.17 – Tensão de cisalhamento média. Fonte Hibbeler (2004) O equilíbrio é realizado na direção y e x (F=0) chegando ao ilustrado na Figura 1.18. Para que ocorra o equilíbrio as quatro tensões de cisalhamento devem ter intensidades iguais, e ser direcionadas no mesmo sentido ou em sentido contrário uma da outra nas bordas opostos do elemento Figura 1.18 – Equilibrio de tensões cisalhantes. Fonte Hibbeler (2004) Resistência dos Materiais I 20 Prof. Douglas Roberto Zaions Exemplo 2 (Tensão de cisalhamento média) A escora de madeira está suportada por uma haste de aço de 10 mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma carga de 5 kN. Qual a tensão de cisalhamento médio na haste? NA HASTE Figura 1.19 – Figura do exemplo 2. Fonte: Hibbeler (2004) Como mostra o diagrama de corpo livre da Figura 1.19, a haste resiste à força de cisalhamento de 5 kN no local onde esta presa à parede. Assim, a tensão de cisalhamento média na haste é: A V méd 4 )01,0( 5000 2m N méd 2 24,63661977 m N méd MPaméd 7,63 1.6 EXERCÍCIOS 1) Considerando que g = 9,81 m/s 2 ou seja 1 kgf = 9,81 N, transforme faça as transformações de unidade solicitadas abaixo: a) 1 m para mm: b) 1 mm para m: c) 75 MPa para N/mm 2 : d) 75 MPa para kgf/cm 2 : e) 123.000.000 N/m 2 para kgf/mm 2 : UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 21 Prof. Douglas Roberto Zaions 2) Faça uma análise dimensional da seguinte expressão: JTF tv X 2 . sabendo-se que as unidades das variáveis são: F(N), J(m 4 ), T(N.m), t(s), v(m/s). 3) (A) Identifique na figura (a) qual a tensão normal () aplicada em cada uma das faces do elemento de volume (elementos infinitesimal). (B) Identifique na figura (b) qual a tensão cisalhante () aplicada em cada uma das faces do elemento de volume (elementos infinitesimal). z y x A B C (a) z y x A B C D F E (b) 4) Se a peça ilustrada na figura abaixo, apresenta um diâmetro d = 30 mm e seção constante determine: a) Faça o diagrama de esforço axial; b) Calcule a tensão média aplicada na seção DE. e) Calcule a tensão média máxima aplicada sobre a barra. 10kN 5kN 10kN 5 kN A B C E 10 kN D Diagrama de esforço axial 5) Para a prensa esquematizada na figura abaixo, determine a força axial e a tensão normal aplicada sobre a barra CB que apresenta um diâmetro dCB = 5 mm = 0,005 m. Resistência dos Materiais I 22 Prof. Douglas Roberto Zaions 6) O guindaste da figura abaixo é composto pela viga AB e roldanas acopladas, além do cabo e do motor. (a) Calcule as reações de apoio em B se o motor levanta a carga W de 2000N com velocidade constante; (b) Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal em C se o motor levanta a carga W de 2000N com velocidade constante; (c) Se a velocidade de içamento da carga deve ser de v = 3m/s, calcule o torque, a potência e a rotação do motor necessária para o acionamento. Fórmulas necessárias para este item: 60 )()( )/( rpmnmd smv )()().( mrNFmNT T rpmn WN mNT 5493,9 . 2 1 1 2 1 2 n n z z d d i WHP 7461 1,0 m 1,5 m 0,5 m r =125 mm r =100 mm 125 mm W = 2000 N N = ? (potência) Nmotor = ? (rotação) z1 = 20 dentes z2 = 60 dentes rE = 100 mm mm FT vT Redutor i = ? UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 23 Prof. Douglas Roberto Zaions 2 DEFORMAÇÕES Quando uma força é aplicada a um corpo, tende a mudar a forma e o tamanho dele. Essas mudanças são denominadas de deformação. Deformação Perceptível Uma borracha submetida a uma carga Praticamente imperceptível A estrutura de um prédio submetida ao carregamento das pessoas pode ser pode ser provocada Força pode ser provocada Mudança de Temperatura Expansão e contração de peças, telhados, estruturas Figura 2.1 – Deformação 2.1 DEFORMAÇÃO NORMAL O alongamento ou contração de um segmento de reta por unidade de comprimento é denominado deformação normal. Após deformação Considere a reta AB contido no interior do corpo Os pontos A e B são deslocados para as posições A‟ e B‟ e a reta torna-se curva com comprimento S‟ A mudança de comprimento da reta é S‟ - S Figura 2.2 – Deformação normal em um corpo. Adaptado de Hibbeler (2004) Resistência dos Materiais I 24 Prof. Douglas Roberto Zaions A partir da Figura 2.2, a deformação normal média é: S SS méd ' Como o ponto B é escolhido cada vez mais próximo do ponto A, o comprimento da reta torna-se cada vez menor de modo que S→0. Além disso, isso faz com que B‟ se aproxime cada vez mais de A‟ tal que S‟→0 Como conseqüência, no limite, a deformação no ponto A e na direção de n é: S SS Lim AB ' n eixo Se a deformação normal for conhecida, podemos usar a equação anterior para obter o comprimento final aproximado de um segmento de reta menor, na direção de n depois da deformação: SS )1(' Se é positivo a reta inicial alonga-se; Se é negativo a reta inicial contrai-se; As unidades principais de deformação normal utilizadas são: No SI: m/m – metro/metro; Como na maioria das aplicações é muito pequeno usa-se: m/m - micrometro/metro; Exemplo 1: Fonte: Hibbeler (2004) A haste delgada mostrada na Figura 2.3 é submetida a um aumento de temperatura ao longo de seu eixo o que cria uma deformação normal na haste de z = (40x10 -3 ).z 1/2 , onde z é dado em metros. Determine: (a) o deslocamento da extremidade B da haste devido ao aumento da temperatura; e (b) a deformação normal média da haste. Figura 2.3 – Figura do exemplo 1. Fonte: Hibbeler (2004) UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 25 Prof. Douglas Roberto Zaions (a) o deslocamento da extremidade B da haste devido ao aumento da temperatura. Visto que a deformação normal é dada em cada ponto ao longo da haste, um segmento diferencial dz, localizado na posição z, terá um comprimento deformado que pode ser determinado pela eq. SS )1(' , isto é: dzzdz ))1040(1(' 2/13 A soma total desses segmentos ao longo do eixo da como resultado o comprimento deformado da haste, isto é: dzzz m 2,0 0 2/13)1040(1 2,0 0 2/33 ) 3 2 ()1040( zzz mz 20239,0 Portanto, o deslocamento da extremidade da haste é: mmAB 2,020239,0 mAB 00239,0 mmAB 39,2 (b) a deformação normal média da haste. A deformação normal média da haste é determinada pela expressão S SS méd ' , a qual considera que a haste ou “segmento de reta” tem um comprimento original de 200 mm e uma mudança no comprimento de 2,39 mm. Assim, S SS méd ' mm mm méd 200 39,2 mmmmméd 0119,0 Exemplo 2: Fonte: Hibbeler (2004) Uma força que atua na empunhadura do cabo da alavanca mostrada na Figura 2.4 provoca uma rotação no cabo da alavanca de = 0,002 rad em sentido horário. Determine a deformação normal média desenvolvida no cabo BC. Figura 2.4 – Figura do exemplo 2. Fonte: Hibbeler (2004) Visto que = 0,002 rad é um ângulo pequeno, o alongamento do cabo CB é BB´= (0,5m)., ou seja BB´= (0,5m).0,002rad = 0,001m e desta forma, a deformação normal média no cabo é: CB BB méd ' mm m m méd /001,0 1 001,0 Resistência dos Materiais I 26 Prof. Douglas Roberto Zaions 2.2 DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO A mudança de ângulo ocorrida entre dois segmentos de reta originalmente perpendiculares entre si (Figura 2.5) é denominada de deformação por cisalhamento. O ângulo é designado por (gama) e é medido em radianos. Define-se a deformação por cisalhamento no ponto A associada aos eixos n e t como: ' 2 teixo n eixo Lim AC AB nt Considere a reta AB e AC com origem no mesmo ponto A de um corpo e direcionados ao longo dos eixos perpendiculares n e t Após a deformação, as extremidades das retas são deslocadas e as próprias retas transformam-se em curvas de modo que o ângulo entre elas em A é ‟ Figura 2.5 - Deformação por cisalhamento Se ‟ é menor que /2 , é positivo. Se ‟ é maior que /2 , é negativa. A Figura 2.6 ilustra as componentes cartesianas da deformação; UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 27 Prof. Douglas Roberto Zaions Contêm dimensões não deformadas x, y e z É formado por vários elementos iguais a: Supondo que suas dimensõessejam muito pequenas, seu formato deformado será um paralepípedo , uma vez que segmentos de reta muito pequenos permanecem aproximadamente retos após a deformação do corpo OBS.: A deformação normal muda os comprimentos do elemento retangular e A deformação por cisalhamento muda o ângulo de cada lado Figura 2.6 – Componentes cartesianas da deformação. Adaptado de Hibbeler (2004) Usando-se a expressão: SS )1(' em relação as retas x, y e z temos o comprimento aproximado dos lados do paralepípedo: xx )1( yy )1( zz )1( Os ângulos aproximados entre os lados, originalmente definidos pelos lados x, y e z são: xy 2 yz 2 xz 2 Observações: 1-Deformações Normais provocam mudança de volume do elemento retangular; 2-Deformações por Cisalhamento provocam mudança no formato do elemento retangular Obs.: Ambos os efeitos ocorrem simultaneamente durante a deformação Resumindo, o estado de deformação em um ponto do corpo, requer a especificação de três deformações normais x, y e z e três deformações por cisalhamento xy, yz e xz . Resistência dos Materiais I 28 Prof. Douglas Roberto Zaions Exemplo 3: Fonte: Hibbeler (2004) A chapa é deformada até a forma representada pela Figura 2.7a. Se, nessa forma deformada, as retas horizontais na chapa permanecerem horizontais e seus comprimentos não mudarem, determine (a) a deformação normal ao longo do lado AB; e (b) a deformação por cisalhamento média da chapa em relação aos eixos x e y. Figura 2.7 – Figura do exemplo 3. Fonte: Hibbeler (2004) (a) a deformação normal ao longo do lado AB A reta AB, coincidente com o eixo y, torna-se a reta AB‟ após a deformação, como mostra a Figura 2.6b. O comprimento desta reta é 22 32250´ AB mmAB 018,248´ Portanto, a deformação normal média para AB é AB ABAB médAB ' )( mm mmmm médAB 250 250018,248 )( mmmmmédAB /1093,7)( 3 O sinal negativo indica que a deformação causa uma contração de AB (b) a deformação por cisalhamento média da chapa em relação aos eixos x e y. Como observamos na Figura 2.6c, o ângulo BAC entre os lados da chapa, em relação aos eixos x, y que antes era de 90 o , muda para ´devido ao deslocamento de B para B´. Visto que xy=/2-´, então xy é o ângulo mostrado na figura. Assim, rad mmmm mm tgxy 0121,0 2250 31 UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 29 Prof. Douglas Roberto Zaions 2.3 EXERCÍCIOS 1) A viga rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a deformação normal admissível máxima em cada cabo for max=0,002 mm/mm, determine o deslocamento vertical máximo da carga P. Resposta= lP = 14 mm 2) Os dois cabos estão interligados em A. Se a força P provocar um deslocamento vertical de 2 mm no ponto A, determine a deformação normal desenvolvida em cada cabo. Resposta: a) lAB = 1,73mm; b) = -,00433mm/mm 3) A chapa retangular é submetida à deformação mostrada pela linha tracejada. Determine a deformação por cisalhamento média xy da chapa. Resistência dos Materiais I 30 Prof. Douglas Roberto Zaions 3 PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar a carga sem deformação excessiva ou ruptura. As propriedades mecânicas dos materiais são obtidas a partir de ensaios de tração ou compressão. O corpo de prova ilustrado na Figura 3.1 com dimensões padronizadas é submetido a uma tração na máquina de tração Figura 3.2. Figura 3.1 – Corpo de prova Figura 3.2 – Máquina para ensaio de tração UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 31 Prof. Douglas Roberto Zaions 3.1 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO Quando um corpo de prova é submetido a um ensaio de tração a máquina de ensaio fornece um gráfico (Figura 3.3) que mostra as relações entre a força aplicada e as deformações ocorridas durante o ensaio. Para determinar as propriedades do material o que interessa é a relação entre tensão e deformação. Figura 3.3 - Diagrama Tensão x Deformação No gráfico tensão x deformação, os valores de deformação estão representados pela letra grega no eixo das abscissas (x) e os valores de tensão ou força indicados no eixo das ordenadas (y). Com os dados registrados, determina-se a tensão nominal dividindo-se a carga aplicada P pela área da seção transversal inicial do corpo. 0A P Da mesma forma, calcula-se a deformação nominal, obtida diretamente pela leitura do extensômetro, ou dividindo-se a variação no comprimento de referência, , pelo comprimento de referência Lo. 0L A curva de Tensão x Deformação de um dado material é obtida, submetendo corpos de prova (Figura 3.1) padronizados deste material a um ensaio de tração em uma máquina de ensaio (Figura 3.2), que possui um sistema de processamento o qual por meio de sensores/transdutores mede a força aplicada no Resistência dos Materiais I 32 Prof. Douglas Roberto Zaions corpo de prova e a respectiva deformação, processa essas informações e emite um gráfico Tensão x Deformação. A curva resultante apresenta certos pontos características que são comuns a diversos tipos de materiais usados na área engenharia mecânica(Figura 3.4). A A‟ B Limite de Elasticidade Limite de Proporcionalidade Limite de Resistência Escoamento Limite de Ruptura Fase Elástica Fase Plástica Sut Sy Tensão Deformação C Figura 3.4 - Diagrama Tensão x Deformação Os pontos comuns ilustrados na Figura 3.4 são: Limite de Proporcionalidade: A lei de Hooke só vale até um determinado valor de Tensão, denominado Limite de Proporcionalidade, que é o ponto representado na figura 6 pela letra A, a partir do qual a deformação deixa de ser proporcional à carga aplicada. Exemplo: Se aplicarmos uma tensão de 10 MPa e a peça se alongar 0,1%, quando aplicamos uma tensão de 100 MPa, a peça se deformará 1%. Limite de Elasticidade: O limite elástico representado no diagrama acima pela letra A‟. Este ponto representa a tensão máxima que pode ser aplicado a uma barra sem que apareçam deformações residuais, ou permanentes, UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 33 Prof. Douglas Roberto Zaions após a retirada integral da carga externa. Para muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e proporcionalidade são praticamente iguais e esses termos são então empregados como sinônimos. Nos casos em que são diferentes, em geral o limite de elasticidade é maior do que o de proporcionalidade. Fase Elástica: O trecho da curva tensão-deformação, compreendido entre a origem e o limite de elasticidade recebe o nome de fase elástica ou região elástica. Fase Plástica: Chama-se de fase plástica ou região plástica o trecho do diagrama compreendido entre o limite de elasticidade e o ponto correspondente à ruptura do material. Resistência ao Escoamento: Terminada a fase elástica, tem início a fase plástica, na qual ocorre uma deformação permanente no material, mesmo que se retire a força de tração. Em um ponto pouco acima do limite de elasticidade, aumentam as deformações sem que se altere, praticamente o valor da tensão. Quando se atinge o limite de escoamento,diz-se que o material passa a escoar. Durante o escoamento, a carga ou a tensão oscila entre valores muito próximos uns dos outros. Este ponto do gráfico é simbolizado por Sy e chamado Resistência ao Escoamento por tração, quando o respectivo ensaio é o de tração. Sy Strength (Resistência) Yield ( Escoamento) Limite de Resistência: Após o escoamento ocorre um encruamento que é um endurecimento causado pela quebra dos grãos que compõem o material quando deformado a frio. O material resiste cada vez mais a tração externa, exigindo uma tensão cada vez maior para se deformar. Nessa fase, a tensão recomeça a subir, até atingir um valor máximo num ponto chamado de limite de resistência caracterizado no gráfico pelo ponto B. Este ponto do gráfico é simbolizado por Sut e chamado Limite de Resistência a Tração, quando o respectivo ensaio é o de tração. Resistência dos Materiais I 34 Prof. Douglas Roberto Zaions Sut Strength (Resistência) Ultimate Tensile ( Limite de Tração) Limite de ruptura Continuando a tração, chega-se à ruptura do material, que ocorreu num ponto chamado de Limite de ruptura caracterizado no gráfico pelo ponto C. Note que a tensão no limite e ruptura é menor que no limite de resistência, devido à diminuição da área que ocorre no corpo de prova depois que se atinge a carga máxima. Estricção: É a redução percentual da área da seção transversal do corpo de prova na região onde vai se localizar a ruptura. A estricção determina a ductilidade do material. Quanto maior for a percentagem de estricção, mais dúctil será o material. Módulo de Elasticidade: Na fase elástica, se dividirmos a tensão pela deformação, em qualquer ponto obteremos sempre um valor constante. Este valor constante é chamado módulo de elasticidade. Quando relacionado com tensões normais, é chamado de módulo de elasticidade longitudinal e simbolizado pela letra E. Quando relacionado com tensões tangenciais, é chamado módulo de elasticidade transversal e simbolizado pela letra G. O módulo de elasticidade é a medida da rigidez do material. Quanto maior for o módulo, menor será a deformação elástica resultante da aplicação de uma força ou tensão e mais rígido será o material. 3.1.1 Ductilidade Ductilidade é a propriedade que apresentam certos materiais de absorverem sobrecargas por um tempo maior que o normal, a custa de uma maior deformação plástica, antes de haver ruptura. A ductilidade é medida pela percentagem de elongação (deformação) que o material apresenta no momento da ruptura. Materiais são ditos frágeis para elongação até 5%. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 35 Prof. Douglas Roberto Zaions Materiais são ditos dúcteis para elongação maior que 5%. Esta propriedade é muito importante nos casos em que trabalhamos o material a frio (Trefilação, Forjamento, etc..). T Deformação T Deformação (a) Frágil (b) Dúctil Fratura Fratura Figura 3.5 - Exemplo de materiais de mesma dureza e resistência 3.1.2 Maleabilidade Quando a ductilidade é referida em função da carga de compressão, passa a ser chamada de maleabilidade. 3.1.3 Dureza Quando o material é resistente ao desgaste, a erosão, a deformação plástica é dito duro. Os testes de dureza mais usados são: BRINELL, ROCKWELL, VICKERS e SHORE. 3.1.4 Resiliência A resiliência de um material é sua capacidade de absorver energia no campo elástico das deformações, ou seja, é a energia armazenada por um corpo solicitado até o seu limite elástico. 3.1.5 Tenacidade Tenacidade é a habilidade de um material de absorver energia no campo plástico. A maioria das autoridade no assunto estão de acordo com esta definição, mas há muito desacordo a respeito de como se pode medir a tenacidade. Alguns dizem que a resistência ao impacto do material é a melhor medida, outros preferem usar o diagrama tensão - deformação de várias maneiras. O diagrama, contudo é uma Resistência dos Materiais I 36 Prof. Douglas Roberto Zaions avaliação das propriedades estáticas, enquanto tenacidade é uma propriedade desejável em peças sujeitas a choques e impactos, o que implicaria em ser ela medida dinamicamente. A Figura 3.6 ilustra um diagrama tesnão-deformação convencional e real para um material dúctil e a respectiva terminologia adotada por Hibbeler (2004). Figura 3.6 – Diagrama tensão-deformação convencional e real para material dúctil (aço) (sem escala). Fonte Hibbeler (2004) 3.2 LEI DE HOOKE O diagrama tensão deformação, para a maioria dos materiais de engenharia apresenta relação linear entre tensão e deformação na região de elasticidade. Esse fato foi descoberto por Robert Hooke em 1676: E E Onde E = Módulo de Young (de elasticidade longitudinal) e representa a inclinação da reta e para todos os aços de maneira geral E=200GPa A A‟ B Limite de Elasticidade Limite de Proporcionalidade Limite de Resistência Escoamento Limite de Ruptura Fase Elástica Fase Plástica Sut Sy Tensão Deformação C Figura 3.7 – Módulo de Young (E). UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 37 Prof. Douglas Roberto Zaions 3.3 COEFICIENTE DE POISON Quando um corpo é submetido a uma força axial de tração, ele se alonga e também se contrai. Se uma força de compressão atua sobre um corpo, o corpo se contrai na direção da força e se expande lateralmente Figura 3.8 – Alongamento e contração de um corpo. Adaptado de Hibbeler (2004). Quando uma carga P é aplicada à uma barra circular, ocorre uma deformação no seu comprimento e ‟ no seu raio. Figura 3.9 – Deformações longitudinais e transversais em uma barra. Adaptado de Hibbeler (2004). As deformações percentuais são: Deformação longitudinal L long L Deformação lateral (transversal): r transv ´ r t ´ No século XIX, Poisson percebeu que na faixa de elasticidade, a razão entre as deformações percentuais era constante. A esta razão chamou-se Coeficiente de Poisson, representado por (nu): long transv t Sinal (-) é usado para alongamento longitudinal, provocando contração lateral e vice-versa. Em geral, para a maioria dos materiais varia entre ¼ a 1/3 Resistência dos Materiais I 38 Prof. Douglas Roberto Zaions Quando um material é submetido a um ensaio com tensão de cisalhamento simples apresentará um gráfico semelhante ao identificado na Figura 3.10. Sys Strength (Resistência) Yield ( Escoamento) Shear ( Corte, cisalhamento) Sus Strength (Resistência) Ultimate ( última) Shear ( Corte, cisalhamento) Distorção angular Distorção angular Figura 3.10 – Gráfico tensão-deformação para cisalhamento simples Para a maior parte dos materiais de engenharia, o comportamento elástico é linear e desse modo a lei de Hooke para o cisalhamento é expressa por: G G Onde G também é conhecido por módulo de rigidez ou módulo de elasticidade transversal. [GPa]. A relação entre o Módulo de elasticidade longitudinal, Módulo de elasticidade transversal e Coeficiente de Poisson pode ser expressa pela seguinte fórmula: 12 E G onde: G – Módulo de elasticidade transversal [Pa];E – Módulo de elasticidade longitudinal [Pa]; - Coeficiente de Poisson [adimensional]. A Tabela 3.1 apresenta o coeficiente de Poisson para alguns tipos de materiais comuns em engenharia. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 39 Prof. Douglas Roberto Zaions Tabela 3.1 – Coeficiente de Poisson Material Módulo de Elasticidade [GPa] Coeficiente de Poisson Aço ao Carbono 207 0,292 Aço Inoxidável 180 0,305 Aço Níquel 207 0,291 Alumínio 71 0,334 Bronze 111 0,349 Cobre 119 0.326 FoFo Cinzento 100 0,211 Latão 106 0,324 Magnésio 44,8 0,350 Concreto ~0,200 3.4 LEI DE HOOKE GENERALIZADA Na Figura 3.11, observa-se o caso de tensões uniaxiais. Nesta figura verifica-se a tensão x, aplicada no eixo x. Esta tensão provoca um alongamento no eixo x, e contrações nos eixos y e z. y y y z x Figura 3.11 – Estado uniaxial de tensões As deformações para a situação da Figura 3.11 são: eixo y (alongamento) - E y eixo x (contração) - E x t eixo z (contração) - E x t Na Figura 3.12, observa-se o caso de tensões triaxiais. Nesta figura verifica-se a tensão x, aplicada no eixo x, y, aplicada no eixo y e z, aplicada no eixo z. Resistência dos Materiais I 40 Prof. Douglas Roberto Zaions y y y z x z z x x Figura 3.12 - Estado triaxial de tensões As tensões aplicadas x, y, e z, provocam deformações x, y e z. As deformações para a situação da Figura 3.12 são: eixo x - EEE zyx x eixo y - EEE zxy y eixo x - EEE yxz z As expressões acima podem ser rearranjadas na seguinte forma: )(1 zyxx E )(1 zxyy E e )(1 yxzz E Obs.: As expressões acima são válidas para tensões de tração. Caso forem de compressão, deve-se usar sinal negativo. 3.5 PROPRIEDADES MECÂNICAS DE ALGUNS MATERIAIS A Tabela 3.2 apresenta as propriedades mecânicas de alguns materiais utilizados na engenharia mecânica. Tabela 3.2 - Propriedades Mecânicas dos Aços Comuns Classificação SAE/ANSI Estado Limite de Resistência à Tração Sut MPa Resistência ao Escoamento Sy MPa Alongamento em 50,0 mm (%) Estricção (%) Dureza Brinell HB 1015 Laminado 420,6 313,7 39,0 61,0 126 Normalizado 424,0 324,1 37,0 69,6 121 Recozido 386,1 284,4 37,0 69,7 111 1020 Laminado 448,2 330,9 36,0 59,0 143 As expressões abaixo constituem- se na lei de Hooke generalizada. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 41 Prof. Douglas Roberto Zaions Normalizado 441,3 346,5 35,8 67,9 131 Recozido 394,7 294,8 36,5 66,0 111 1030 Laminado 551,6 344,7 32.,0 57,0 179 Normalizado 520,6 344,7 32,0 60,8 149 Recozido 463,7 341,3 31,2 57,9 126 1040 Laminado 620,5 413,7 25,0 50,0 201 Normalizado 589,5 374,0 28,0 54,9 170 Recozido 518,8 353,4 30,2 57,2 149 1050 1050 Laminado 723,9 413,7 20,0 40,0 229 Tabela 3.1 - Continuação Normalizado 748,1 427,5 20,0 39,4 217 Recozido 636,0 365,4 23,7 39,9 187 1095 Laminado 965,3 572,3 9,0 18,0 293 Normalizado 1013,5 499,9 9,5 13,5 293 Recozido 656,7 379,2 13,0 20,6 190 1118 Laminado 521,2 316,5 32,0 70,0 149 Normalizado 477,8 319,2 33,5 65,9 143 Recozido 450,2 284,8 34,5 66,8 131 3140 Normalizado 891,5 599,8 19,7 57,3 262 Recozido 689,8 422,6 24,5 50,8 197 4130 Normalizado 668,8 436,1 25,5 59,5 197 Recozido 560,5 360,6 28,2 55,6 156 4140 Normalizado 1020,4 655,0 17,7 46,8 302 Recozido 655,0 417,1 25,7 56,9 197 4340 Normalizado 1279,0 861,8 12,2 36,3 363 Recozido 744,6 472,3 22,0 49,9 217 6150 Normalizado 939,8 615,7 21,8 61,0 269 Recozido 667,4 412,3 23,0 48,4 197 8650 Normalizado 1023,9 688,1 14,0 48,4 302 Recozido 715,7 386,1 22,5 46,4 212 8740 Normalizado 929,4 606,7 16,0 47,9 269 Recozido 695,0 415,8 22,2 46,4 201 9255 Normalizado 932,9 579,2 19,7 43,4 269 Recozido 774,3 112,3 70,5 41,1 229 3.6 EXERCÍCIOS 01 - Um cubo de aço com 50 mm de lado é submetido a uma pressão uniforme de 200.000 kN por m 2 agindo sobre todos as faces. Determinar a variação da dimensão entre duas faces paralelas do cubo. Admitir: E = 200 x 10 6 KN/m 2 e = 0,25 Resistência dos Materiais I 42 Prof. Douglas Roberto Zaions Resposta: a) x= -5x10 -4 mm/mm MPa; b) x = y = z = -2,5x10 -5 m 02 - Uma peça constituída por uma placa de aço de 50 mm x 250 mm x 10 mm acha-se sujeita as forças Px = 100 kN e Py = 200 kN a. Que variação de espessura ocorre em conseqüência da aplicação destas forças? b. Para provocar a mesma variação de espessura (a mesma que em “a”) pela ação isolada de Px, qual deve ser o seu valor? E = 200.000 MN/m 2 e = 0,25 250mm Py Py Px Px 50 mm Resposta: a) z= -3,5x10 -4 mm/mm; b) z = -3,5x10 -6 m c) Px = 140 KN 03 - Um bloco retangular de aço tem as seguintes dimensões : a = 50 mm b =75 mm c = 100 mm. As faces deste bloco estao sujeitas as forças Px = 180 kN (tração) Py = 200 kN (tração) Pz = 240 kN (compressão). Determinar o valor de um único sistema de forças agindo somente na direção y que provocaria a mesma deformação na direção y que o sistema de forças iniciais. Adotar: = ¼ e E = 200 GPa Resposta: a) x = 24 MPa; b) y = 40 MPa; c) z = -64 MPa; y= 2,5x10 -4 mm/mm (Agindo as três cargas juntas) b) (para a condição z = 0 MPa e x = 0 MPa) y = 50 MPa e então Py = 250 KN Dica: Calculem x, y, z para as três cargas. Depois calculem y usando a lei de Hooke generalizada. Em seguida usem a mesma expressão de y considerando x=0 e z=0. Encontrarão y. Então Py=y.A . UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 43 Prof. Douglas Roberto Zaions 04 - Um cilindro A de borracha de diâmetro d = 5 cm é comprimido em uma forma cilíndrica B de aço por uma força P. Determinar a tensão sigma entre a borracha e o aço quando P = 500 Kgf e = 0,45 Resposta: a) z = -20,83 MPa; b) y = -20,83 MPa; 05 - Determinar as tensões x e y para um elemento em estado duplo de tensão (Biaxial) se x = 0,001 e y = 0,0007 E = 21.000 kgf/mm 2 0,3 Resposta: a) z = 18,23 kgf/mm 2 ; b) y = -9,23 kgf/mm 2 ; Resistência dos Materiais I 44 Prof. Douglas Roberto Zaions 06 - Dado o bloco de dimensões a = 18 cm b = 12 cm c = 10 cm encaixado na peça conforme a figura submetido a uma tensão = 400 Kgf/cm2 de compressão, pede-se: x;z; e a variação total das arestas a e b. E = 2 x 10 5 MPa e = 0,33 a b c Resposta: a) x = -132 Kgf/cm 2 ; b) b = 1,053x10 -5 m; 07 - Um bloco retangular de aresta 0,4 cm; 0,2cm; 0,3 cm deforma-se de modo que seus comprimentos chegam a valer 0,4004 cm; 0,020006 cm e 0,29985 cm. Achar a dilatação cúbica total. Resposta: a) V=0,0000192 cm3; UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 45 Prof. Douglas Roberto Zaions 4 CARGA AXIAL Antes de iniciarmos este capítulo é importante fazer algumas considerações: - Tensão é um meio para medir a distribuição de força no interior de um corpo; - Deformaçãoé a maneira de medir a modificação na geometria do corpo; - A relação entre tensão e deformação depende do tipo de material do qual o corpo é feito; - Aplicando-se a lei de Hooke há uma relação proporcional entre tensão e deformação. 4.1 TENSÃO NORMAL MÉDIA Quando os elementos mecânicos ou estruturais estão submetidos a cargas axiais, surge a tensão normal média (conforme já estudada): A P Onde: P – Força (N); A – Área da seção transversal (m2); - Tensão normal média (N/m2) P P P P Figura 4.1 – Barra submetida a força axial Resistência dos Materiais I 46 Prof. Douglas Roberto Zaions 4.2 PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT Considere como o corpo ilustrado na Figura 4.2 se deforma elásticamente quando submetido a uma força P aplicada o longo de seu centróide. Devido ao carregamento, a barra deforma-se como indicam as distorções das linhas da grade desenhadas sobre a barra, que antes eram horizontais everticais. Observe a deformação localizada que ocorre em cada extremidade. Esse efeito tende a diminuir conforme as medições são feitas mais distante das extremidades. Além disso, as deformações vão se nivelando e tornam-se uniformes em toda a seção média da barra. Barra retangular deforrmando-se elásticamente quando submetida a uma carga P Barra fixada rigidamene Deformação diminui nas regiões mais distantes Em geral a seção c-c é igual a largura da peça A partir daí a tensão é aproximadamente constante A partir de observação experimental Figura 4.2 – Princípio de Saint-Venant. Fonte: Adaptado de Hibbeler (2004) Observem que a tensão é proporcional a deformação. Assim, regiões que apresentam maior deformação apresentarão maior tensão. Observem na Figura 4.2 (lado direito), as seções a-a, b-b e c-c, com a distribuição de tensões. O fato de a tensão e a deformação comportarem-se dessa maneira é denominado princípio de Saint- Venant, observado pela primeira vez pelo cientista francês Barré de Saint-Venant. O princípio de Saint-Venant diz que a tensão e a deformação produzidas em pontos do corpo suficientemente distantes da região de aplicação da carga (geralmente a largura) serão as mesmas UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 47 Prof. Douglas Roberto Zaions produzidas por quaisquer cargas aplicadas que tenham a mesma resultante equivalente e que sejam aplicadas na mesma região do corpo (Figura 4.3) Mesma resultante a b c Mesma tensão e deformação Os efeitos localizados provocados por qualquer carga que atua sobre o corpo dissipam-se ou ajustam-se nas seções suficientemente distantes da carga Figura 4.3 – Princípio de Saint-Venant. Fonte: Adaptado de Hibbeler (2004) 4.3 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM ELEMENTO SUBMETIDO A CARGA AXIAL Usando a lei de Hooke e as definições de tensão e deformação, desenvolve-se uma equação que pode ser usada para determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais. Para generalizar, considere a barra ilustrada na Figura 4.4. que apresenta uma variação gradual da seção ao longo do comprimento L. A barra esta sujeita a cargas concentradas em suas extremidades e a uma carga variável distribuída (atrito ou peso próprio) ao longo de seu comprimento. Figura 4.4 – Barra com variação gradual da seção ao longo do comprimento. Fonte: Hibbeler (2004) Resistência dos Materiais I 48 Prof. Douglas Roberto Zaions Quer-se determinar o deslocamento relativo (delta) de uma extremidade da barra em relação ao outra. Usando o método das seções, isola-se um elemento diferencial da barra de comprimento dx e área de seção transversal A(x) em uma posição arbitrária x. o qual é mostrado na Figura 4.4b. A força axial interna é denotada por P(x). Essa carga deformará o elemeto até a forma indicada pela linha tracejada e portanto o deslocamento de uma extremidade do elemento em relação à outra extremidade será . A tensão e a deformação no elemento diferencial são: )( )( xA xP dx d Contanto que essas quantidades não ultrapassem o limite de proporcionalidade, podemos relacioná-las usando a lei de Hooke: E dx d E xA xP )( )( ExA dxxP d )( )( Para o comprimento total da barra, L, devemos integrar essa expressão para determinar o deslocamento da extremidade exigido: L ExA dxxP 0 )( )( Onde: - deslocamento de um ponto na barra relativo a outro ponto; L – distância original entre dois pontos; P(x) – força axial interna na seção, localizada a distância x de uma extremidade; A(x) – área da seção transversal da barra, expressa em função de x; E – Módulo de elasticidade longitudinal para o material. 4.3.1 Deformação em barras de área de seção transversal constante e carga constante Muitos casos apresentam seção transversal constante A; material homogêneo, logo E é constante. Figura 4.5 – Barra com seção transversal constante A e material homogêneo. Fonte Hibbeler (2004) UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 49 Prof. Douglas Roberto Zaions O resultado da integração da expressão anterior fornece: AE PL Se a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes, ou se a área da seção transversal ou módulo de elasticidade mudar, de uma seção para outra, a expressão anterior poderá ser aplicada para cada segmento, e posteriormente realizando a adição algébrica dos deslocamentos. Para esse caso geral: AE PL Convenção de sinais: 1 - Considera-se força e deslocamento positivos se provocarem respectivamente tração e alongamento 2 - Considera-se força e deslocamento negativos se provocarem respectivamente compressão e contração Figura 4.6 – Convesões de sinal para o deslocamento. Fonte: Hibbeler (2004) 4.3.2 Fórmulas para deslocamento total para alguns casos As estruturas e peças carregadas axialmente podem apresentar ao longo de seu comprimento seções (áreas) diferentes, serem confeccionadas de materiais diferentes bem como estarem submetidas a cargas internas diferentes. Assim, a deformação total será proporcional a seus comprimentos, seções, cargas e materiais. 4.3.2.1 – Deslocamento em peças com comprimento e seções diferentes Para o caso de uma barra de mesmo material e seções e comprimentos diferentes tal como ilustrado na Figura 4.7 teremos que: 21 Total ou 2 2 1 1 AE LP AE LP Total L1 1 P L2 2 Figura 4.7 – Barra transversal com seções e comprimentos diferentes Resistência dos Materiais I 50 Prof. Douglas Roberto Zaions 4.3.2.2 Deslocamento total em peças com comprimento, seções diferentes e materiais diferentes Quando temos materiais diferentes bem como seções e comprimentos diferentes tal como mostrado na Figura 4.8, tem-se: AlumínioAçoTotal ou AlumínioAlumínio Alumínio AçoAço Aço AE LP AE LP Total Laço aço P Lalumínio alumínio Aço Alumínio Figura 4.8 - Barra com seções transversais diferentes e materiais diferentes 4.3.2.3 Deslocamento total em peças com comprimento, seções diferentes e esforços internos diferentes Quando temos peças ou estruturas com comprimentos, seções e esforços internos diferentes tal como mostrado na Figura 4.9, usaremos as seguintes expressões para determinar o deslocamento