Conceitos iniciais da Cinemática

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Física 
 
 
 
 
CONCEITOS INICIAIS DA CINEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .......................................................................................................................................2 
Objetivos ..........................................................................................................................................2 
Conceitos .........................................................................................................................................2 
Definição ..........................................................................................................................................3 
Conceitos iniciais da Cinemática ..................................................................................................3 
Exercícios .........................................................................................................................................7 
Gabarito ...........................................................................................................................................8 
Resumo ............................................................................................................................................8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
 
Ao estudar as leis que regem a natureza, nos deparamos com a análise do 
movimento dos corpos e sua relação com a observação e a medição. Tanto o tempo, 
quanto o espaço nos permite avaliar e permitir certas grandezas que interpretação no 
meandro dos estudos do movimento, também conhecida como mecânica. 
Desde a Grécia Antiga, o conceito de movimento e espaço percorrido já era 
explorado por cientistas e filósofos como Aristóteles, que através da observação como 
ferramenta científica, buscavam interpretar as características de objetos em 
movimento e a partir disso, relatar as grandezas envolvidas nesses sistemas. 
 Contudo, somente no período moderno da revolução científica que a ciência 
se tornara majoritariamente exata e se desenvolveu a partir de uma perspicácia mais 
matemática e pragmática, através do método científico e da exatidão dos cálculos 
que envolviam os princípios da mecânica. 
 Nomes como Galileu Galilei, Isaac Newton, Johann Bernoulli, Evangelista 
Torricelli e Leibniz, foram relevantes para o surgimento dos postulados matemáticos 
e físicos que descreviam os movimentos dos corpos para determinados tipos de 
referenciais, tais cientistas foram os responsáveis por desenvolver a base da mecânica 
geral. 
 
Objetivos 
 
• Compreender a definição dos conceitos iniciais da cinemática; 
• Desenvolver a habilidade de aplicação dos conceitos abordados; 
• Adquirir capacidade de compreensão e desenvolvimento de exercícios; 
• Aprender a aplicação dos conceitos iniciais. 
 
Conceitos 
 
Neste material será apresentado de maneira sucinta a abordagem primária do 
estudo da cinemática a partir do recurso do cálculo variacional, não aprofundando 
para os conceitos do cálculo diferencial e integral. Abordaremos também, as 
definições gerais de espaço, velocidade e aceleração, além de descrever tais 
grandezas vetoriais no domínio do tempo. E em seguida, aplicar os conhecimentos 
básicos na resolução de exercícios e na prática de exemplos gerais que explanam a 
teoria. 
 
3 
 
Definição 
 
 Quando analisamos o movimento no plano, relacionamos grandezas vetoriais e 
escalares. Contudo, ao definir uma grandeza como vetorial e escalar, estamos 
admitindo uma série de regras e demonstrações matemáticas que são aplicadas 
nessas entidades. Uma entidade vetorial é caracterizada por sempre apresentar 
módulo, direção e sentido no plano cartesiano, contrária à grandeza escalar, que 
somente apresenta módulo. 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
 
Conceitos iniciais da Cinemática 
 
Definimos um vetor como um eixo orientado no plano que descreve um 
sentido e uma direção, então se denominamos o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵 − 𝐴, tal que B e A são 
pontos no plano que apresentam coordenadas em suas bases canônicas. 
Graficamente representamos um vetor (𝑎 ), como: 
 
 
Figura 1 – Representação de um vetor. 
 
De forma geral abordaremos a representação vetorial pois a característica 
fundamental do movimento é herdar grandezas vetoriais, que emitem movimento e 
transgressão de energia num intervalo de tempo. Conforme tais grandezas, um vetor 
Um vetor em módulo é um escalar, contudo um escalar não 
apresenta de forma alguma uma estrutura vetorial. 
 
4 
 
no plano é orientado a partir de suas coordenadas canônicas e cartesianas, sendo 
representado como: 
i j ka ax ay az= + +
 
 
Sendo o módulo do vetor calculado como: 
 
² ² ²a ax ay az= + +
 
 
Dessa forma definimos a grandeza do tipo de análise que estamos fazendo, a 
partir das características gerais do movimento. Quando mencionamos grandezas 
escalares, estamos falando em propriedades que apenas apresentam quantidade, 
como por exemplo, espaço percorrido. Na mecânica, definimos espaço percorrido 
como espaço onde ocorre a eminência do movimento e trajetória como, percurso 
total que o corpo traçou o movimento no plano de coordenadas definido, retomando 
este a definição de deslocamento que é a menor distância entre a posição inicial e 
final da trajetória, dada em metros. 
 
 
Figura 2 – Representação da trajetória de uma partícula. 
 
Definimos velocidade, como a variação do espaço num intervalo de tempo. De 
forma geral, quando estamos num instante inicial (𝑡0) em tal posição inicial (𝑥0) e 
deslocamos para um instante final (𝑡1), numa posição final (𝑥1), obtemos a velocidade 
a partir da equação geral: 
 
1 0
1 0
x
v
t
x x
v
t t

=

−
=
−
 
5 
 
 
No SI, a velocidade é dada em m/s. Essa equação nos permite calcular a 
velocidade numa trajetória a partir de um intervalo de tempo, permitindo a 
abordagem variacional numa trajetória total, sendo essa velocidade distinta da 
velocidade instantânea, definida num instante determinado. 
 
 
Figura 3 – Representação do vetor velocidade. 
 
Nesse sentido, podemos definir também outra grandeza vetorial relevante na 
abordagem de mecânica, a qual representa analogamente uma condição de 
movimento, podendo ele estar ou não a partir do referencial e da velocidade do corpo. 
Define-se aceleração como a variação da própria velocidade num intervalo de tempo, 
ou seja, caso o corpo apresente velocidade constante durante a trajetória, a 
aceleração é nula. De forma geral, dizemos que se o corpo apresenta uma velocidade 
inicial v0 num instante inicial t0, e este varia para uma velocidade final v1 num instante 
final t1, calculamos a aceleração por: 
 
1 0
1 0
v
a
t
v v
a
t t

=

−
=
−
 
 
No SI, a aceleração é dada em m/s². Essa equação nos permite calcular a 
aceleração de um corpo a partir de um intervalo de tempo, analisando a variação da 
velocidade na trajetória. Por outro lado, quando queremos abordar o conceito de 
velocidade e aceleração instantânea, definimos uma função que descreve tal 
movimento e a partir dos recursos do cálculo infinitesimal, definimos as relações 
entre derivadas e integrais como condições de dependência para o movimento. 
 
6 
 
 
Figura 4 – Representação da aceleração. 
 
Com base na imagem, percebemos as características do vetor na abordagem 
do movimento, caso o sinal da aceleração seja contrário ao da velocidadereferencialmente, dizemos que o movimento é retardado, caso contrário ele está 
acelerado. Sendo assim, relacionamos a aceleração como condição de existência da 
velocidade, havendo a interdependência de ambas grandezas vetoriais, na eminência 
de certos movimentos onde ambas variam ou são nulas, introduzindo o estudo de 
movimentos uniformes e variados no domínio do tempo. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 Para a solução, temos que, S=12m e t=6s, utilizando a equação da velocidade 
temos que: 
 
 
12
6
2m/s
x
v
t
v
v

=

=
=
 
 
Um macaco que pula de galho em galho em um zoológico 
demora 6 segundos para atravessar sua jaula, que mede 12 
metros. Qual a velocidade média dele? 
7 
 
Portanto, a velocidade média do macaco é de 
2m/sv =
. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 Para a solução, temos que, a velocidade v=108 m/s e o tempo é t=0,6 s, 
utilizando a equação da velocidade, e isolando a distância, temos que: 
 
 
.
108.0,6
64,8m
x
v
t
x v t
x
x

=

 = 
 =
 =
 
 
Portanto, a distância entre o arremessador e o rebatedor
64,8mx =
. 
 
Exercícios 
 
1. Um automóvel a 90 km/h passa por um guarda num local em que a velocidade 
máxima é de 60 km/h. O guarda começa a perseguir o infrator com a sua 
motocicleta, mantendo aceleração constante até que atinge 108 km/h em 10s 
e continua com essa velocidade até alcançá-lo, quando lhe faz sinal para parar. 
Pode-se afirmar que: 
a) o guarda levou 15s para alcançar o carro. 
b) o guarda levou 60s para alcançar o carro. 
c) a velocidade do guarda ao alcançar o carro era de 25m/s 
d) o guarda percorreu 750m desde que saiu em perseguição até alcançar 
motorista infrator. 
e) nenhuma das respostas anteriormente é correta. 
Uma bola de basebol é lançada com velocidade igual a 
108m/s, e leva 0,6s para chegar ao rebatedor. Supondo que a 
bola se desloque com velocidade constante. Qual a distância 
entre o arremessador e o rebatedor? 
8 
 
2. (UELONDRINA-PR) Em 1984, o navegador Amyr Klink atravessou o Oceano 
Atlântico em um barco a remo, percorrendo a distância de, aproximadamente, 
7000 km em 100 dias. Nessa tarefa, sua velocidade média foi, em km/h, igual a: 
a) 1,4 
b) 2,9 
c) 6,0 
d) 7,0 
e) 70 
3. Uma composição ferroviária com 1 locomotiva e 14 vagões desloca-se à 
velocidade constante de 10m/s. Tanto a locomotiva quanto cada vagão medem 
12 m. Então, quanto tempo ela demorará para atravessar um viaduto com 200m 
de comprimento? 
 
Gabarito 
 
1. Utilizando as equações abordadas no decorrer do módulo, usando os dados 
obtidos pelo enunciado, e isolando x, temos que a distância para o guarda 
alcançar é de 750 m, resposta certa alternativa D. 
2. Temos que 1 dia = 24 h, logo 100 dias = 2400. Como Vm = ΔS/Δt, podemos dizer 
que Vm = 7000 km/ 2400h, então: Vm = 2,9 km/h. Alternativa B. 
3. O comprimento total do trem é 15m x 12m = 180m. Devemos levar em 
consideração além do comprimento do trem, a extensão da ponte do viaduto. 
Nesse caso, esses dois valores devem ser somados: ΔS = 180 + 200, logo ΔS = 
380 m. O tempo necessário para que o trem atravesse a ponte será: Δt = ΔS/Vm. 
Então: Δt = 380/10 = 38. Portanto, o tempo necessário para o trem atravessar o 
viaduto será igual a 38s. 
 
Resumo 
 
Definição 
 
 Ao analisar o movimento no plano, relacionamos grandezas vetoriais e escalares. 
Ao definir uma grandeza como vetorial e escalar, estamos admitindo uma série de 
regras e demonstrações matemáticas que são aplicadas nessas entidades. Uma 
entidade vetorial é caracterizada por sempre apresentar módulo, direção e sentido no 
plano cartesiano, contrária à grandeza escalar, que somente apresenta módulo. 
 
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Conceitos iniciais da Cinemática 
 
Para calcularmos o módulo de um vetor, basta lembrarmos que: 
 
² ² ²a ax ay az= + +
 
 
Para o cálculo da velocidade: 
 
1 0
1 0
x
v
t
x x
v
t t

=

−
=
−
 
 
Já para a aceleração, consideraremos que: 
 
1 0
1 0
v
a
t
v v
a
t t

=

−
=
−