Aula 03 - Análise de Redes em CA

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Análise de Redes em CA
Prof. Eduardo Bonamini
Números Complexos
O cálculo dos parâmetros para estruturação de um circuito desse tipo, contendo resistores, indutores e capacitores é facilitado quando se utilizam, para isso, números complexos.
Número complexo é o número que exprime uma grandeza medida em unidades que não guardam entre si relações decimais, como, por exemplo, horas, minutos e segundos.
Os números complexos, além de representarem números reais, representam números imaginários. A aplicação dessa particularidade no âmbito da montagem de redes de CA, ocorre na definição de valores para ângulos de fase.
O que é um número complexo?
Como surge um número complexo?
Como surge um número imaginario?
Números Complexos
Números Complexos
1) Forma Retangular: z = a + b i
2) Forma Polar: z 
|z|= ρ = r
φ = θ
3) Forma Trigonométrica: z = ρ.(cos φ + i. sen φ) 
4) Forma Exponencial: z = ρ. e iφ
Um número complexo possui quatro formas diferentes de representação:
Números Complexos
Forma Retangular
O numero complexo a + bj, pode ser representado graficamente:
 Z = a + bj
  
Onde: a e b, são números reais, e j representa a unidade imaginária.
Re
Im
0
2
3
z1 = 2 + 3 i
z2 = - 4 + 2 i
z3 = 1 - 3 i
2
- 2
- 4
- 3
- 1
3
4
5
- 5
1
4
-4
-1
-2
-3
1
z = a + b i
Re (z) = a
Im (z) = b
z = (a ; b)
Forma Retangular
Forma Retangular
Exemplos
Representar os números complexos a seguir, no plano cartesiano.
Z1 = 4 + 3j
Z2 = 5
Z3 = 3j
Z4 = - 3+2j 
Z5 = - 4 - 3j 
Z6 = - 2j
Z7 = 3 – 4j
Forma Retangular
Observação:
Um numero complexo pode representar, U ou I. 
Z1= U = 4+3j ou Z1= I = 4 + 3j, para t =O
Forma Polar
Consideremos o número complexo Ż = a + bj .
Na forma polar, o segmento de reta OW = Z o módulo do representa número complexo Z e j representa o argumento (ângulo ou fase) de Z, tomando como referência a parte positiva do eixo real.
Assim, a forma polar é representada abaixo: Z = Z < j
O ângulo j pode ser dado em graus (°) ou em radianos (rd).
A conversão de uma unidade para outra é dada por uma regra de três simples.
Re
Im
0
2
3
z = 4 + 3 i
2
- 1
3
4
5
1
4
-1
1
|z| = ρ = r
φ = θ
Ângulo φ = θ
Módulo = |z|= ρ = r
z = (ρ ; φ) = (5 ; 36,9º)
Forma Polar
Forma Polar
Escreva o valor dos graus que você quer converter em radianos. Vamos usar alguns exemplos para você realmente entender o conceito. Aqui vão os exemplos que vamos usar:
Exemplo 1: 120°
Exemplo 2: 30°
Exemplo 3: 225°
Forma Polar
2. Multiplique o número por π/180. Para entender por que você deve fazer isso, você deve saber que 180 graus é igual a π radianos. Portanto, 1 grau é equivalente a π /180 radianos. Agora que sabe isso, tudo que tem para fazer é multiplicar o valor dos graus usados por π /180 para convertê-los em radianos. Você pode remover o símbolo de graus, já que sua resposta será em radianos. Aqui está como montar as contas:
Exemplo 1: 120 x π/180
Exemplo 2: 30 x π/180
Exemplo 3: 225 x π/180
Forma Polar
3. Faça as contas. Simplesmente continue com o processo de multiplicação, multiplicando o valor dos graus por π /180. Pense nisso como multiplicar duas frações: a primeira tem o valor dos graus no numerador e “1” no denominador, e a segunda fração tem π no numerador e 180 no denominador. Aqui está como fazer as contas:
Exemplo 1: 120 x π/180 = 120π/180
Exemplo 2: 30 x π/180 = 30π/180
Exemplo 3: 225 x π/180 = 225π/180
4. Simplifique. Agora você deve transformar as frações para seus termos mais baixos para conseguir a resposta final. Encontre o maior número pelo qual numerador e denominador de cada fração possam ser divididos sem sobrar resto e use-o para simplificar cada fração. O maior número para o primeiro exemplo é 60; para o segundo é 30 e 45 para o terceiro. Mas você não precisa saber disso imediatamente; você pode experimentar primeiro tentando com 5,2,3, ou o que funcionar. Aqui vai como resolver os exemplos:
Exemplo 1: 120 x π/180 = 120π/180 ÷ 60/60 = 2/3π radianos
Exemplo 2: 30 x π/180 = 30π/180 ÷ 30/30 = 1/6π radianos
Exemplo 3: 225 x π/180 = 225π/180 ÷ 45/45 = 5/4π radianos
Forma Polar
Transformação da Forma Retangular para Polar
 
Dependendo do quadrante em que está localizado o seguimento 0Z, o cálculo do ângulo j precisa ser corrigido para que o seu valor tenha como referência parte positiva do eixo real.
 
No ciclo trigonométrico:
Anti-horário (positivo)
Horário (negativo)
Transformação da Forma Retangular para Polar
 
Exemplos:
Segmento 0Z no 2º quadrante:
j' = arc tg 3/-4 = 37º
logo: j = 18O - j' = 18O - 37 =143º
Segmento 0Z no 3º quadrante:
j' = arc tg -3/-4 = 37º
logo: j = 18O + j' = 18O + 37 = 217º
j = j' - 18O = 37 - 18O = -143º 
Segmento OZ no 4º quadrante:
j' = arc tg -3/4 = 37º
logo: j = 36O - j' = 36O - 37 =323º
j = -j' = -37º 
Transformação da Forma Retangular para Polar
 
Transformação da Forma Retangular para Polar
 
Z2= 5 (não tem parte imaginária) 
Z2= 5
j2= Oº
\ Z2= 5 0º
Transformação da Forma Retangular para Polar
 
Z3= 3j (não tem parte real) 
Z3= 3
j 3= 9Oº
\ Z3= 3 9Oº
 Z4 = - 4 + 3j
Z4 =	(-4²) + 3² = 5
j 4 = arc tg 3/4 @ 37º logo; j 4= 18O - 37= 143º
\ Z4= 5 143º
Transformação da Forma Retangular para Polar
 
Transformação da Forma Polar para Retangular
A transformação da forma polar para retangular obtém-se, por trigonometria, as expressões de a e b.
a = Z . cos j	 e	b = Z . sen j
Forma Polar/Retangular e Retangular/Polar
Polar/Retangular
Retangular/Polar
Forma Trigonométrica do Número Complexo
Estas expressões podem ser utilizadas para a transformação da forma polar para a retangular. Portanto, um número complexo pode também ser representado na forma trigonométrica, como segue:
Z = Z.(Cos j + j Sen j)
 Exemplos
Transformar os números complexos a seguir, da forma polar para a forma retangular representando-os no plano cartesiano.
z = a + b i
z = ρ cos φ + ρ sen φ i
z = ρ (cos φ + i sen φ)
z = 3 (cos 30º + i sen 30º)
z = 3 (0,866 + i 0,5)
z = 2,60 + 1,5 i
Tem os mesmos parâmetros da forma Polar: “ρ” y “φ”
Forma Trigonométrica do Número Complexo
Forma Trigonométrica do Número Complexo
Z1= 5 3Oº
a = 5.cos 3Oº = 5 . O,87 = 4,33 
b = 5.sen 3Oº = 5 . O,5 = 2,5
\ Z1= 4,33 + 2,5j
Z2 = 1OO 18Oº
a = 1OO.cos 18Oº = -1OO
b = 1OO.sen 18Oº = O
\ Z2 = -1OO
Forma Trigonométrica do Número Complexo
Z3 = 1O 3Oº
a = 1O.cos 3Oº = 8,66
b = 1O.sen -3Oº = -5
\ Z3 = 8,66 - 5 j
Z4 = 15 45º
a = 15.cos 45º = 15 . O,7O7 = 1O,61 
b = 15.sen 45º = 15 . O,7O7 = 1O,61
\ Z4= 1O,61 + 1O,61j
Forma Exponencial ou de Euler
Z =|Z|e jf
A forma trigonométrica é também obtida da forma exponencial. Exemplo: seja o número: 
Z = 5 e j36,87
Z =5 (cos 36,87º + 0,6 j) ou 4+3j
Assim, podemos obter a forma polar através da forma de onda polar através da forma trigonométrica.
Z = |Z| e j.arc (b/a)
Chama-se Fórmula de Euler à expressão:
eix = cosx +isenx 
onde x é um número real qualquer e o número i √−1 é a unidade imaginária
Forma Exponencial dos Números Complexos
Z = a + bi = ρ (cos φ + i sen φ) = ρ . e iφ 
e iφ = cos φ + i sen φ 
Exemplo com: Z = 1 + i
a =1
b = 1 
φ: 
= 
=
=
=
=
=
Forma Trigonométrica
Forma Exponencial
z = ρ (cos φ + i sen φ)
Tem os mesmos parámetros da forma polar forma Polar: “ρ” y “φ”
z = ρ eiφ
z = 3 ei 30º
eiφ = cos φ + i sen φ
Fórmula de Euler
e = Base dos logaritmos
naturais ≈ 2,718 28…
Forma Exponencial ou de Euler
Plano de Argand-Gauss (plano dos complexos)
Operações Matemáticas com Números Complexos
Por questões de facilidade, a adição e subtração de complexos são feitas na forma retangular, e o produto ou quociente na forma polar. Sejam os números complexos: Z1= a1+b1j , Z2= a2+b2j e Z3 = a3+b3j
Adição
Z = (a1+ a2 + a3) + (b1+ b2 + b3) j
Subtração
Z = [(a1-a2)-a3] + [b1-b2)-b3] j
Nota
Faz-se, a adição ou subtração da partereal de um número com o real do outro e a parte imaginária com imaginária.
Operações Matemáticas com Números Complexos
Exemplos
Sejam os números complexos: Z1= 5+8j; Z 2 = 4+3j e Z 3 = -5-4j
Obter:
Z1 + Z2 = (5+4) + (8+3) j = 9 + 11j 
Z1 - Z2 = (5-4) + (8-3) j = 1 + 5j
Z2 + Z3 = [4 + (-5)] + [3 + (-4)] j = -1 -1j
Z3 - Z2 = [(-5) -4] + [(-4) -3] j = -9 -7j
Z1 - Z3 = [5 - (-5)] + [8 - (-4)] j = 1O +12j
Z2 - Z3 = [4 - (-5)] + [3 - (-4)] j = 9 +7j
Para multiplicar ou dividir, a forma polar é mais prática. Sejam os números complexos:
Z1 = Z1 j1 e Z2 = Z2 j2
Operações Matemáticas com Números Complexos
Multiplicação
Z1 . Z 2 = Z1 . Z2 j1 + j 2
Divisão
Z1 = Z1 j1 - j2
Z2 Z2 
 
 
Nota
Produto
Multiplicam-se os módulos.
Somam-se os ângulos 
 Divisão
Dividem-se os módulos.
Subtraem-se os ângulos.
 
Z1 j1 
Z2 j2 
Sendo:
e
Conjugado de um Número Complexo
 Dado um número complexo genérico Z = a + bj, ou Z = Z j , o seu conjugado Z * é: Z *= a - bj ou Z* = –j 
 
A multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado tem a qualidade de eliminar a parte imaginária do mesmo, pois:
Z. Z *= (a + bj) . (a - bj) = a² + b² (resultado somente com parte real).
 
 
Converter Radianos em Graus
1. Saiba que π radianos é igual a 180 graus. Antes de começar o processo de conversão, você precisa saber que π radianos = 180°, o que é equivalente a meia volta em um círculo. Isso é importante porque você usará 180/π como uma conversão métrica. Isso é porque 1π radiano é igual a 180/π graus.
Converter Radianos em Graus
2. Multiplique os radianos por 180/π para converter em graus. É simples assim. Digamos que você esteja trabalhando com π/12 radianos. Então, você precisa multiplicar esse valor por 180/π e simplificar quando for necessário. Aqui está como você faz isso:
π/12 x 180/π =
180π/12π ÷ 12π/12π = 15°
π/12 radianos = 15°
Converter Radianos em Graus
Pratique com alguns exemplos. Se você realmente quiser pegar a prática, então converta de radianos para graus com mais alguns exemplos. Aqui estão alguns problemas que você pode resolver:
Exemplo 1: 1/3π radianos = π/3 x 180/π = 180π/3π ÷ 3π/3π = 60°
Exemplo 2: 7/4π radianos = 7π/4 x 180/π = 1260π/4π ÷ 4π/4π = 315°
Exemplo 3: 1/2π radianos = π /2 x 180/π = 180π /2π ÷ 2π/2π = 90°
Converter Radianos em Graus
4. Lembre-se de que há uma diferença entre "radianos" e "π radianos". Se disser 2π radianos ou 2 radianos, você não está usando os mesmos termos. Como você sabe, 2π radianos é igual a 360 graus. Porém, se estiver trabalhando com 2 radianos e quiser converter esse valor em graus, você terá que calcular 2 x 180/π. Você obterá 360/π, ou 114.5°. Essa é uma resposta diferente porque, se você não estiver trabalhando com π radianos, o π não é cancelado na equação e resulta em um valor diferente.
Exercícios
Pratique convertendo os números complexos abaixo, veja em qual das quatro formas ele está e faça a conversão para as outras três formas de expressão:
Resposta dos Exercícios