doc matematica 1360302069 (1)

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INDICE
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Em matemática, o conceito de conjunto é considerado primitivo e não se dá uma definição deste, portanto, a palavra CONJUNTO deve aceitar-se logicamente como um termo não definido.
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Um conjunto se pode entender como uma coleção ou agrupamento bem definido de objetos de qualquer classe. Os objetos que formam um conjunto são chamados membros ou elementos do conjunto. 
Exemplo:
Na figura ao lado temos um Conjunto de Pessoas
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NOTAÇÃO
Todo conjunto se escreve entre chaves { } e se denota mediante letras maiúsculas A, B, C, ..., seus elementos se separam mediante ponto e vírgula.
Exemplo:
O conjunto das letras do alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. Se pode escrever assim: 
L = {a; b; c; ...; x; y; z} 
*
Exemplo:
A = {a; b; c; d; e} seu cardinal n(A) = 
B = {x; x; x; y; y; z} seu cardinal n(B) =
Na teoria de conjuntos não precisa repetir os elementos, por exemplo:
O conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }.
Ao número de elementos que tem um conjunto Q chamamos CARDINAL DO CONJUNTO e se representa por n(Q).
5
3
ÍNDICE
*
Para indicar que um elemento pertenece a um conjunto se usa o símbolo:
Se um elemento não pertenece a um conjunto se usa o símbolo:
Exemplo:
Seja M = {2; 4; 6; 8; 10}
... se lê 2 pertenece ao conjunto M
... se lê 5 não pertenece ao conjunto M
ÍNDICE
*
I) POR EXTENSÃO
Há duas formas de determinar um conjunto, por Extensão e por Entendimento.
É aquela forma mediante a qual se indica cada um dos elementos do conjunto.
Exemplos:
 O conjunto dos números pares maiores que
 5 e menores que 20.
A = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 }
ÍNDICE
*
B) O conjunto de números negativos ímpares
 maiores que -10.
B = {-9; -7; -5; -3; -1 }
II) POR ENTENDIMENTO
É aquela forma mediante a qual se dá uma propriedade que caracteriza a todos os elementos do conjunto.
Exemplo:
Se pode entender que o conjunto P está formado pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
P = {os números dígitos }
*
Outra forma de escrever é: P = { x / x = dígito } se lê “P é o conjunto formado pelos elementos x tal que x é um dígito”.
Exemplo:
Expressar por extensão e por entendimento o conjunto de dias da semana.
Por Extensão: D = {segunda; terça; quarta; quinta; sexta; sábado; domingo }
Por Entendimento: D = { x / x = dia da semana }
ÍNDICE
*
Os diagramas de Venn que se devem ao filósofo inglês John Venn (1834-1883) servem para representar conjuntos de maneira gráfica mediante desenhos ou diagramas que podem ser círculos, retângulos, triângulos ou qualquer curva fechada.
A
M
T
7
2
3
6
9
a
e
i
o
u
(1;3)
(7;6)
(2;4)
(5;8)
8
4
1
5
ÍNDICE
*
A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio” ou “A é o conjunto nulo “
CONJUNTO VAZIO
É um conjunto que não tem elementos, também se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos símbolos: ou { }
Exemplos:
M = { números maiores que 9 e menores que 5 }
P = { x / }
*
CONJUNTO UNITÁRIO
É o conjunto que tem um só elemento.
Exemplos:
F = { x / 2x + 6 = 0 }
G =
CONJUNTO FINITO
É o conjunto com limitado número de elementos.
Exemplos:
E = { x / x é um número impar positivo 
 menor que 10 }
N = { x / x2 = 4 }
;
*
CONJUNTO INFINITO
É o conjunto com ilimitado número de elementos.
Exemplos:
R = { x / x < 6 }
S = { x / x é um número par }
CONJUNTO UNIVERSAL
É um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação particular, geralmente se representa pela letra U
Exemplo:
O universo ou conjunto universal
;
de todos os números é o conjunto dos NÚMEROS COMPLEXOS.
ÍNDICE
*
INCLUSÃO
Um conjunto A está incluso em outro conjunto B, se e somente se, todo elemento de A for também elemento de B.
NOTAÇÃO :
Se lê : A está incluso em B, A é subconjunto de B, A está contido em B , A é parte de B.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA :
B
A
*
PROPRIEDADES:
I) Todo conjunto está incluido em si mesmo. 
II) O conjunto vazio se considera incluido em 
 qualquer conjunto. 
III) A está incluido em B ( ) equivale a dizer
 que B contém A ( )
IV) Se A não está incluido em B ou A não é subconjunto de B significa que pelo menos um elemento de A não pertence a B. ( )
V) Simbolicamente: 
*
CONJUNTOS COMPARÁVEIS
Um conjunto A é COMPARÁVEL com outro conjunto B se entre esses conjuntos existe uma relação de inclusão.
A é comparável com B se A U B = B U A
Exemplo:
A = { 1; 2; 3; 4; 5 } e B = { 2; 4 }
1
2
3
4
5
A
B
Observe que B está incluso em A, portanto, A e B são COMPARÁVEIS 
*
IGUALDADE	 DE CONJUNTOS
Dos conjuntos são iguais se têm os mesmos elementos.
Exemplo:
A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }
Resolvendo a equacão de cada conjunto se obtém em ambos os casos que x é igual a 3 ou -3, ou seja: A = {-3; 3} y B = {-3; 3}, portanto A = B
Simbolicamente :
*
CONJUNTOS DISJUNTOS
Dois conjuntos são disjuntos quando não têm elementos comuns.
REPRESENTACÃO GRÁFICA :
A
B
1
7
5
3
9
2
4
8
6



Como podemos observar os conjuntos A e B não têm elementos comuns, portanto são CONJUNTOS DISJUNTOS
*
CONJUNTO DE CONJUNTOS
É um conjunto cujos elementos são conjuntos.
Exemplo:
F = { {a}; {b}; {a; b}; {a; b; c} }
Observe que os elementos do conjunto F também são conjuntos.
{a} é um elemento do conjunto F então {a} F 
É correto dizer que {b} F ?
NÃO
Porque {b} é um elemento do conjunto F, o correto é {b} F 
*
CONJUNTO POTÊNCIA
O conjunto potência de um conjunto A denotado por P(A) ou Pot(A) é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.
Exemplo: Seja A = { m; n; p }
Os subconjuntos de A são:
{m},
{n},
{p},
{m;n},
{n;p},
{m;p},
{m;n;p},
Φ
Então o conjunto potência de A é:
P(A) = { {m}; {n}; {p}; {m; n}; {m; p}; {n; p}; {m; n; p}; Φ }
QUANTOS ELEMENTOS TEM O CONJUNTO POTÊNCIA DE A ?
*
Observe que o conjunto A tem 3 elementos e seu conjunto potência ou seja P(A) tem 8 elementos.
PROPRIEDADE:
Dado um conjunto A cujo número de elementos é n, então o número de elementos de seu conjunto potência é 2n.
Exemplo:
Dado o conjunto B ={ x / x é um número par e
5 < x < 15 }. Determinar o cardinal de P(B).
RESPOSTA
Se 5 < x < 15 e é um número par então 
B = { 6; 8; 10; 12; 14 }
Observe que o conjunto B tem 5 elementos então:
Card P(B) = 2n 
P(B) = 25 = 32
ÍNDICE
*
*
N
Z
Q
I
R
C
*
EXEMPLOS:
Expressar por extensão os seguintes conjuntos:
A ) 
B )
C )
D )
E )
P={3}
Q={-3;3}
F = { }
RESPOSTAS
INDICE
*
7
6
5
5
6
A
B
O conjunto “A unão B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertenecem a A, a B ou a ambos os conjuntos.
Exemplo:
9
8
7
3
1
4
2
*
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA UNÃO DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis
Se A e B são comparáveis
Se A e B são conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A
B
B
B
AUB
AUB
*
PROPRIEDADES DA UNIÃO DE CONJUNTOS
1. A U A = A
2. A U B = B U A
3. A U Φ = A
4. A U U = U
5. (AUB)UC = AU(BUC)
6. Se A U B = Φ  A = Φ e B = Φ
ÍNDICE
*
7
6
5
5
6
A
B
O conjunto “A intersecção B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e pertencem a B.
Exemplo:
9
8
7
3
1
4
2
*
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis
Se A e B são comparáveis
Se A e B são conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A
B
B
A  B
A  B = B
B
A  B = Φ
*
PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
1. A  A = A
2. A  B = B  A
3. A  Φ = Φ
4. A  U = A
5. (A  B)  C =A (B  C)
6. A U (B  C) =(A U B)  (A U C)
 A  (B U C) =(A  B) U (A  C)
ÍNDICE
*
7
6
5
5
6
A
B
O conjunto “A menos B” que se representa é o conjuntoformado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B.
Exemplo:
9
8
7
3
1
4
2
*
7
6
5
5
6
A
B
O conjunto “B menos A” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a B e não pertencem a A.
Exemplo:
9
8
7
3
1
4
2
*
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA DIFERENÇA DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis
Se A e B são comparáveis
Se A e B são conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A
B
B
A - B
A - B
B
A – B = A
ÍNDICE
*
7
6
5
5
6
A
B
O conjunto “A diferença simétrica B ” que se representa
 é el conjunto formado por todos os elementos que pertencem a (A - B) ou (B - A).
Exemplo:
9
8
7
3
1
4
2
*
Também é correto afirmar que:
A
B
A - B
B - A
A
B
*
Dado um conjunto universo U e um conjunto A, se chama complemento de A ao conjunto formado por todos os elementos do universo que não pertencem ao conjunto A.
Notacão: A’ ou AC 
Exemplo:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
A = {1; 3; 5; 7; 9}
e
Simbolicamente:
A’ = U - A
*
1
2
3
4
5
6
7
8
9
U
A
A
A’ = {2; 4; 6; 8}
PROPRIEDADES DO COMPLEMENTO
1. (A’)’ = A
2. A U A’ = U
3. A  A’ = Φ
4. U’ = Φ
5. Φ’ = U
ÍNDICE
*
PROBLEMA 1
PROBLEMA 2
PROBLEMA 3
PROBLEMA 4
PROBLEMA 5
FIM
*
Dados os conjuntos:
 A = { 1; 4; 7; 10; ... ; 34} 
 B = { 2; 4; 6; ...; 26}
 C = { 3; 7; 11; 15; ...; 31}
a) Expressar B e C por entendimento
b) Calcular: n(B) + n(A)
c) Achar: A  B , C – A
SOLUÇÃO
*
Os elementos de A são:
Primeiro analisemos cada conjunto
A = { 1+3n / nZ / 0  n  11}
Os elementos de B são:
B = { 2n / nZ / 1  n  13}
n(B) = 13
n(A) = 12
*
Os elementos de C são:
C = { 3 + 4n / nZ / 0  n  7 }
a) Expressar B e C por entendimento
B = { 2n / nZ / 1  n  18}
C = { 3+4n / nZ / 0  n  7 }
b) Calcular: n(B) + n(A)
n(C) = 8
n(B) + n(A) = 13 +12 = 25
*
A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34} 
B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}
C = {3;7;11;15;19;23;27;31}
c) Achar: A  B , C – A
A  B = { 4; 10; 16; 22 }
C – A = { 3; 11; 15; 23; 27 }
Sabemos que A  B é formado pelos elementos comuns de A e B, então:
Sabemos que C - A é formado pelos elementos de C que não pertencem a A, então:
*
Se : G = { 1; {3}; 5; {7;10}; 11 }
Determinar se é verdadeiro ou falso:
a) Φ  G
b) {3}  G
c) {{7}; 10}  G
d) {{3}; 1}  G
e) {1; 5; 11}  G
SOLUÇÃO
*
Observe que os elementos de A são:
1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11
es VERDADERO
Então:
é VERDADEIRO porque Φ está
incluso em todos os conjuntos 
é VERDADEIRO porque {3}
é um elemento de G
é FALSO porque {{7};10} 
não é elemento de G 
é FALSO 
a) Φ  G ....
b) {3}  G ...
c) {{7}; 10}  G ...
d) {{3}; 1}  G ...
e) {1; 5; 11}  G ...
*
Dados os conjuntos:
P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 }
M = { x/4N / -4 < x < 21 } 
T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 }
a) Calcular: M - ( T – P )
b) Calcular: Pot(M – T )
c) Calcular: (M U T) – P
 
SOLUÇÃO
*
P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 }
Analisemos cada conjunto:
2x2 + 5x – 3 = 0
(2x-1)(x+3)=0
2x - 1 = 0  x = 1/2
x + 3 = 0  x = -3
 Observe que xZ , então:
P = { -3 }
M = { x/4N / -4 < x < 21 }
Como x/4  N então os valores de x são: 4; 8; 12; 16; 20 porém os elementos de M se obtêm dividindo x entre 4, portanto :
M = {1; 2; 3; 4; 5 }
*
T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 }
Igualamos cada fator a zero e calculamos os valores de x
x – 4 = 0  x = 4
x2 – 9 = 0  x2 = 9  x = 3 ou x = -3
Portanto:
T = { -3; 3; 4 }
a) Calcular: M - ( T – P )
T – P = { -3; 3; 4 } - { -3 }  T – P = {3; 4 }
M - (T – P)= {1; 2 ;3 ;4 ;5 } - {3; 4 }
M - (T – P)= {1; 2; 5 }
*
b) Calcular: Pot( M – T )
M – T = {1; 2; 3; 4; 5 } - { -3; 3; 4 } 
M – T = {1; 2; 5 }
Pot( M – T ) = { {1}; {2}; {5}; 
{1;2};
{1;5};
{1;2;5};
{2;5};
Φ }
c) Calcular: (M U T) – P
M U T = {1; 2; 3; 4; 5 } U { -3; 3; 4 } 
M U T = { -3; 1 ; 2 ; 3; 4; 5 }
(M U T) – P = { -3; 1; 2; 3; 4; 5 } - { -3 }
(M U T) – P = {1; 2; 3; 4; 5 }
*
Expressar a região sombreada em termos de operações entre os conjuntos A, B e C.
SOLUÇÃO
*
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
[(AB) – C]
[(BC) – A]
 [(AC) – B]
U 
U
*
A
B
A
B
C
Observe como se obtém a região sombreada
Toda a zona de amarelo é AUB
A zona de verde é AB
Então, restando se obtém a zona que se vê na figura: (AUB) - (AB)
C
Finalmente, lhe agregamos C e se obtém:
[ (AUB) - (AB) ] U C
( A  B ) U C
=
*
Segundo as preferências de 420 pessoas que assistem os canais A, B ou C se observa que 180 assistem o canal A, e 240 assistem o canal B e 150 não assistem o canal C, os que assistem pelo menos 2 canais são 230. Quantos assistem os três canais?
SOLUÇÃO
*
O universo é: 420
Assistem A: 180
Assistem B: 240
Não assistem C: 150
Então, se assistem o canal C: 420 – 150 = 270
A
B
C
a
d
(I) a + e + d + x = 180
b
e
x
f
(II) b + e + f + x = 240
c
(III) d + c + f + x = 270
Fato: Assistem por lo menos dos canales 230, entonces: 
 (IV) d + e + f + x = 230
*
(I) a + e + d + x = 180 
(II) b + e + f + x = 240
(III) d + c + f + x = 270
Somamos as equações (I), (II) e (III)
Sabemos que: a + b + c + d + e + f + x = 420

230
então: a + b + c = 190
a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690


190
230
190 + 560 + x =690

x = 40
Isto significa que 40 pessoas assistem os tres canais
*