4 - Exercícios de dimensionamento de eixos

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ME5510/NM7510: Elementos de Máquinas I 
Departamento de Engenharia Mecânica do Centro Universitário da FEI 
 
Professores: Alberto Vieira Jr., Djalma de Souza, Renato Marques e William Maluf Exercícios 
 
 
Dimensionamento de eixos de 
transmissão de potência 
 
 
 
Vista esquemática x foto da transmissão Ricardo GT (www.ricardo.com) 
 
 
Exemplo de software integrado de projeto, simulação e otimização de um sistema de transmissão (www.simulationX.com) 
 
 
Conteúdo da lista: Diagrama de corpo livre de elementos de transmissão, diagrama de concentração de tensão, 
cálculo de reações de apoio e momento resultante na flexão oblíqua, critérios de projeto (rigidez à torção, Soderberg 
e ASME para solicitação dinâmica com flexão alternada e torque constante) 
 
Publicação: 2013, Out/9. 
 
Alterações: a rugosidade (do enunciado e do gabarito) do exercício 8 foi alterada para 10µm (de: 4µm). No exercício 
1: a interferência C (antes era A), geometria do eixo foi modificada, aço classe 8.8 (antes era 9.8). Resposta alterada. 
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1) Cálculo de eixos: determinação de esforços 
O eixo da figura abaixo foi usinado com aço classe de resistência 8.8. As engrenagens cilíndricas de dentes retos 
(ECDRs) são fixadas por interferência do tipo C. O módulo da engrenagem maior é 4mm (Z=98). Já o da engrenagem 
menor (Z=32) é 5mm. O acoplamento é ideal ou seja transmite apenas momento torçor. A confiabilidade do projeto é 
99,99%. Rolamentos fixados por ajuste deslizante. Adote Rt=0,25°/m. A potência de entrada é 25 hp e a consumida 
no acoplamento é 12 hp. Despreze perdas e considere os dados fornecidos no desenho. Determine os esforços 
transmitidos pelos elementos montados. As dimensões estão em mm e figuras fora de escala. Adote choques médios. 
Calcule o diâmetro na seção na qual a ECDR Z=98 dentes está fixada. Adotar coeficiente de segurança 1,2. G=81GPa. 
 
 
 
 
Respostas: na engrenagem motora T=49,4Nm. Ft=1235,1N e Fr=449,54N. Na engrenagem movida: i=4,9. T=242,1Nm. 
nmovida=734,7 rpm. Segundo par de ECRDs: T=125,9Nm. Ft=786,9N e Fr=286,4N. Acoplamento: T=116,2 Nm. Fluxo de potência: 
25hp entram pela ecdr Z=20, passam para ecdr Z=98, seguem pelo eixo até ecdr Z=32. Nesse ponto 13hp são consumidos (6,5hp 
para cada ecdr Z=80) e 12hp seguem até o acoplamento. Kffgeometria=2,1. Kfffixação=2,5. Kffcombinado=3,6. Reações de apoio no 
rolamento da esquerda: H=1079N; V=393N. O ponto de interesse está à 30mm para a direita do centro da ECDR2. 
M=58177,5Nmm. dpré-projeto=51,29mm. Snreal=102,7MPa. dASME=28,8mm. 
Motora Z=20 
P=25hp 
n=3600rpm 
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2) Cálculo de eixos: determinação de esforços 
Os elementos da transmissão mecânica da figura abaixo foram dimensionados para uma potência de 46cv. Os 
elementos montados no eixo (pinhão e polia maior) foram fixados por interferência forma C. Os rolamentos mostrados 
no desenho são considerados pontos de apoio. As engrenagens tem módulo m=5mm, α=20o e as polias tem µ=0,24 
e a=33o e são fabricadas em alumínio. As dimensões estão em mm e figuras fora de escala. Rt=0,3◦/m e G=81GPa. 
a) obtenha o diagrama de esforços para o eixo e os diagramas de torque e de momento fletor nos dois planos. 
b) calcule o momento fletor resultante e o torque nas seções A e B. 
 
Respostas: 
 
 Rolamento A: esquerda do eixo. Rolamento B: direita do eixo. 
MA=777,7x10
3 Nmm; MB=972,8x10
3 Nmm. F1=2890,2N; F2=327,8N; Fp=3090,6N; Fs=713,8N; Ft=5951,7N; 
Fr=2166,2N. PV: Va=3636,6N; Vb=5405,7N. PH: Ha=72N; Hb=1524,4N. 
Fluxo de potência: 46cv são fornecidos pela polia motora (menor) para a polia maior que está no eixo. Essa potência 
segue até a ecdr Z=31. Daí é transmitira para a ecdr Z=96. 
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 3) Cálculo de eixos: fatores de concentração de tensão combinados 
Um eixo é trefilado a frio utilizando-se aço com σσσσR=580MPa. Os raios de concordâncias são 
usinados com r/d=0,05. Uma polia é montada ao eixo por interferência FORMA C. Determine o 
fator de concentração de tensão combinado na região de montagem da polia. 
 
Resposta: O fator KFF para o adoçamento é obtido da tabela VIII por interpolação, obtendo-se KFF=1,79. Para ajuste 
sob pressão FORMA C, o fator KFF é obtido na figura 8 para σR=580 MPa, ou seja KFF=2,1. O fator combinado: ( ) ( )=−+−+= 111 FixaçãoFFGeometriaFFcombinadoFF KKK ( ) ( ) =−+−+ 110,2179,11 2,89 
 
4) Diagramas de concentração de tensão – modificado da apostila 
Determine o diagrama de concentração de tensão para a ponta do eixo na qual a polia de transmissão é 
fixada. As dimensões estão em mm e as figuras fora de escala. O acoplamento e a polia são fixados ao eixo 
através de uniões ranhuradas DIN 5463. Suponha que o eixo tenha 100mm de diâmetro em ambas 
extremidades. Os alojamentos de anel elástico tem r/d=0,6. Os rolamentos são montados por interferência 
da forma D. Todos adoçamentos são feitos com r/d=0,05 com exceção do ponto marcado com r/d=0,1. O 
material do eixo é aço com σR=1000 MPa. Rt=0,5
◦/m e G=81GPa. 
 
Projeto 
Diagrama de concentração de tensão da ponta 
de eixo onde a polia está montada 
 
Respostas parciais: 
Fixação: rolamento (interferência forma D;σR=1000MPa;KFF fixação=1,9). Polia (ranhuras;σR=1000MPa;KFF fixação =2,6). 
Geometria: Adoçamentos (r/d=0,05;σR=1000MPa;KFFgeometria=2,3). Anel elástico (r/d=0,6;σR=1000MPa;KFFgeometria=1,17). 
Fuxo de potência: a energia entra na polia motora, é transmitida para a movida, daí segue pelo eixo até ser consumida no 
acoplamento. 
 
 
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5) Diagramas de corpo livre 
Suponha que as figuras abaixo representam alguns elementos montados em eixos de transmissão de potência. As 
linhas são a representação esquemática do diâmetro primitivo das engrenagens cilíndricas de dentes retos ou do 
diâmetro das polias. Para cada caso, determine (se possível) o sentido do torque, rotação, as forças trocadas e suas 
projeções ortogonais conforme descrito abaixo: 
• Forças para ECDRs: F perpendicular ao ponto de contato entre os dentes. Forças para polias: F1, F2. 
• Projeções para ECDRs: F, Ft e Fr. Projeções para polias: F1, F2, Fp, FS. 
Para os itens a, b, c e d faça os diagramas desses elementos considerando que são Ecdrs. Depois refaça os diagramas 
dos itens a, b, c e d considerando que os elementos ilustrados são polias. 
 
 
Respostas: 
a) Ecdr esquerda: rotação horária (dada), Ft vertical para cima, Fr horizontal para esquerda, torque anti-horário. Ecdr 
direita: rotação anti-horária, Ft vertical para baixo, Fr horizontal para direita, torque anti-horário. 
b) Ecdr esquerda: rotação anti-horária (dada), Ft vertical para baixo, Fr horizontal para esquerda, torque horário. Ecdr 
direita: rotação horária, Ft vertical para cima, Fr horizontal para direita, torque horário. 
c) Ecdr esquerda: rotação horária (dada), Ft vertical para baixo, Fr horizontal para esquerda, torque horário. Ecdr 
direita: rotação anti-horária, Ft vertical para cima, Fr horizontal para direita, torque horário. 
a) Poliaesquerda: rotação horária (dada), F1 na parte de baixo da correia (para baixo e para direita), F2 na parte de 
cima da correia (para cima e para direita), FP horizontal para direita, Fs vertical para baixo, torque anti-horário. Polia 
direita: rotação horária, F1 para cima e para esquerda, F2 para baixo e para esquerda, FP horizontal para esquerda, Fs 
vertical para cima, torque horário. 
h) Ecdr esquerda: Ft vertical para cima, Fr horizontal para esquerda, torque anti-horário. Ecdr direita: Ft vertical para 
baixo, Fr horizontal para direita, torque horário (dado). Não é possível determinar o sentido das rotações. 
 
Comentários: nos itens f, g, h, i não é possível determinar o sentido das rotações dos elementos. Foi fornecido 
somente o torque de um dos elementos. E isso é suficiente para determinar o sentido das forças. 
 
 
 
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6) Cálculo de eixos: 
O eixo da figura abaixo transmite 16 hp de potência por meio de uma polia (que usa correia trapezoidal) e 
uma ECDR. Determine d1 segundo o critério da ASME. Adotar coeficiente de segurança 1,8. Considere que 
as polias são montadas por ajuste forçado a=40° e µ=0,32, a ECDR tem m=4mm. O eixo é construído com 
aço classe de resistência 6.8 (dúctil) e com G=80,8GPa. Todas superfícies foram usinadas. Os rolamentos 
foram montados por ajuste forçado (forma A), Rt=0,25°/m, confiabilidade = 99,99%. Nos 
arredondamentos considere r/d=0,025. As dimensões estão em mm e as figuras estão fora de escala. 
Adote valores intermediários e choques fortes. Considere o ângulo de pressão das ECDRs de 20°. 
 
 
 
 
Respostas parciais: dc=412,5mm; θ=2,208rad; θc=6,46rad; F1=1975,4N; F2=250N; T1=94,9Nm; T2=427,1Nm;i=4,5; 
FP=1987,3N; FS=776,5N; FT=11240N; FR=4091N; VB=12988N(↓); VA=3735,3N (↑); MXY=601,8Nm; M XZ=1665Nm; 
M=1770,4Nm; T=427,1Nm; d=59mm (pré-cálculo); Snreal=62,8MPa; KF12=4 e d=127,4mm. 
Fuxo de potência: 16hp são fornecidos para a polia movida (menor). Essa energia vem da polia maior que está no 
eixo. Portanto a maior é motora. Essa energia vem pelo eixo através da ecdr movida. Essa por sua vez é acionada 
pela ecdr motora que está fora do eixo. 
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7) Cálculo de eixos: torque constante e flexão alternada 
Obtenha o fator de segurança pelo critério ASME para o diâmetro de 35mm do eixo do conjunto 
mecânico ilustrado na figura abaixo. Considere que o torque aplicado é unidirecional e constante. 
São dados: polias: d=200mm (motora), D=500mm, µ=0,30; a=36o, torque na polia motora: 200 
Nm, material: aço 6.8 (dúctil) e SnREAL = 85 MPa. Cotas estão em mm e as figuras fora de escala. 
Adote valores intermediários. Rt=1,5
◦/m e G=81GPa. 
 
Respostas: no ponto A nF=4,61 e no ponto B nF=1,62 
 
 
 
=+= 2A
2
AA MHMVM 7,94 Nm e =+=
2
B
2
BB MHMVM 115,1 Nm. Em A KFF=1,5. Em B KFF=1,8. 
Fluxo de potência: mesmo do exerício 4 dessa lista. 
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8) Cálculo de eixos: exercício 1 da apostila – modificado 
O eixo central da figura abaixo, sujeito a um torque de 400Nm conforme indicado, deve ser 
dimensionado a flexo-torção segundo os critérios de fadiga. 
Determine os diâmetros d1, d2 e o fator de segurança da parte central do eixo (∅40mm). Adote 
valores intermediários. 
 
 
 
Considere os seguintes dados adicionais: 
• material do eixo: aço dúctil 12.9 
• acabamentos: retificado nos assentos dos 
rolamentos e na parte central com 
R=10µm; usinado nas superfícies de d1 e d2 
• choques leves, RT=0,25
o/m; Gaço=80,8 GPa. 
• confiabilidade de 99% 
• temperatura normal 
• nf=2,2 
• Pinhão: m=7mm; 19 dentes; α=20 o 
• Coroa: m=6mm; 112 dentes; α=20 o 
• Dimensões estão em mm 
• Figuras estão fora de escala 
 
 
 
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Respostas parciais do exercício 8: não é necessário (nem possível) determinar o sentido da 
rotação nas engrenagens. 
 
Forças nos elementos: No 1o par de ecdrs: N6015
2
19710004
2
T 11
31
=→
⋅⋅
=×→
⋅
= T
TT FFdF e 
( ) NFF tr 3,2189)20tan(6015tan 11 === oα . No 2o par de ecdrs: N5,11902
112610004 223 =→
⋅⋅
=× T
T FF 
( ) NFF tr 3,433)20tan(5,1190tan 22 === oα . 
 
Reações de apoio: HA=569,8N; HB=2325,8N; VA=964,1N; VB=6241,4N. 
 
Cálculo do dpré-projeto: para as regiões nas quais o diâmetro é desconhecido torna-se necessário sua 
determinação. Utilizando-se o torque do eixo 400Nm, a rigidez à torção Rt=0,25
◦/m (deve-se 
utilizar o valor em rad/mm). 
mm
RG
Td
t
projetopré 2,58104,4108,80
104003232
4
63
3
4 =
×⋅×⋅
×⋅
=
⋅⋅
⋅
=
−
− pipi
 
 
Cálculo de Sn real: o limite de fadiga real depende do local do eixo. Para cálculo de d1 e d2 temos: 
Sn teórico=600 MPa; Cconfiabilidade=0,814; Ctemperatura=1; Ccarga=1; Cdiv=0,714; Ctamanho=
8,02,58189,1 097,0 =⋅ − ; Cacabamento superficial= 689,0120051,4 265,0 =⋅ − (usinado); 
MPaSCCCCCCS
realn 193ndivconftempsuptamcarga =⋅⋅⋅⋅⋅⋅= . 
Para cálculo de nf temos: Ctamanho= 831,040189,1 097,0 =⋅ − ; Cacab.sup.=0,76 (gráfico com R=10µm). 
MPaS
realn 220= . 
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Cálculo de KFF: os elementos fixados ao eixo tem KFF=2,35 (chaveta e ranhura; 
d=58,2mm;σr=1200MPa). As variações de geometria apresentam KFF=2,8 (r/d=0,05;σr=1200MPa) 
e KFF=1,7 (r/d= 6/40=0,15;σr=1200MPa). Combinados: KFF d1 e d2=4,15 e KFF nf=1,7. 
 
Cálculo do momento fletor nos pontos de interesse: 
Para o cálculo de d1 deve-se determinar a flexão oblíqua resultante no ponto distante 30 mm à 
direita do centro da ECDR fixada em d1. 
NmmMNmmFMNmmFM dtVdrHd 4,38007 . 3571530 e 1300030 12121 ==⋅==⋅= . 
 
Para o cálculo de d2 deve-se determinar a flexão oblíqua resultante no ponto distante 25 mm à 
esquerda do centro da ECDR fixada em d2. 
NmmMNmmFMNmmFM dtVdrHd 160026 . 15037552 e 5,5473252 21212 ==⋅==⋅= . 
 
Para o cálculo de nf deve-se determinar qual é a seção crítica (aquela com a maior flexão oblíqua 
resultante). Por isso calcula-se a flexão no ponto distante 50 mm à direita do centro do rolamento 
da esquerda e a flexão no ponto distante 50 mm à esquerda do centro do rolamento da direita. 
Lado esquerdo: 
( )
( ) NmmMNmmVFM
NmmHFM
AtV
ArH
6,72382 . 7084550502030
 1484050502030
2
2
==⋅−++⋅=
=⋅−++⋅=
 
Lado direito: 
( )
( ) NmmMNmmVFM
NmmHFM
BtV
BrH
243083 . 229280505040
 80747505040
1
1
==⋅−+⋅=
=⋅−+⋅=
 
 
Então utiliza-se o momento fletor maior na seção de estudo que é do lado direito. 
 
Aplicando-se o critério da ASME: d1=27mm ; d2=42,6mm e nf=3,3 (não ocorre falha por fadiga). 
 
3,3
1080
104001
4
3
220
102437,13240
6,42
1080
104001
4
3
193
1016015,42,232
27
1080
104001
4
3
193
103815,42,232
3
1
2
1
2323
3
1
2
1
2323
2
3
1
2
1
2323
1
=→






















 ×⋅
⋅+




 ×⋅
⋅
⋅
=
=























 ×⋅
⋅+




 ×⋅
⋅
⋅
=
=























 ×⋅
⋅+




 ×⋅
⋅
⋅
=
f
f
n
n
mmd
mmd
pi
pi
pi
 
 
 
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9) Cálculo de eixos: exercício 2 da apostila – modificado 
O acoplamento mostrado na figura abaixo transmite 40 hp a 660 rpm para o eixo. Esse deve ser 
dimensionado segundo os critérios de fadiga da ASME. Considere: material do eixo: aço classe 8.8 
(dúctil) acabamentos: R=4µm nos assentos dos rolamentos e R=12µm nas demais superfícies, 
choques médios, confiabilidade de 50%, temperatura normal, nf=2. Para as polias admita correias 
trapezoidais com a=44o e µ=0,30. Cotas estão em mm e as figuras fora de escala. Adote valores 
intermediários. Considere condições de momento fletor severo (Rt=0,5
◦/m) e G=81GPa. 
Rolamento A (esquerda) montado por interferência da forma A e rolamento B (direita) montado 
por interferência da forma C. O torque mostrado na figura indica o sentido do torque na polia 
menor (fixada ao eixo de estudo). Considere r/d=0 para todas regiões. Pede-se: 
a) determinar os diâmetros d1 (distante 40mm pra direita da polia) e d2 (distante 10mm pra direita 
do rolamento B, localizado à direita do eixo); 
b) verificar o dimensionamento da seção localizada exatamente no centro do eixo (d=30mm); 
c) o rolamento da esquerda tem largura de 25mm e é montado por interferência. Determine qual 
deve ser o diâmetro interno deste rolamento; 
d) o rolamento da direita (auxiliar) tem largura aproximada de 20mm. Se o rolamento escolhido for 
o 6307 (d = 35mm), montado com ajuste deslizante, determine o fator de segurança à fadiga para 
o eixo no assento desse rolamento. 
 
 
 
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Respostas parciais do exercício 9 
 
Forças nos elementos: a distância entre centros foi fornecida no enunciado. Na polia menor 
calcula-se: rad
d
dD
c
742,2
500
200400
=
−
−=
−
−= pipiθ . rad
sen
a
sen
c 319,7
2
44
742,2
2
=






=






=
o
θθ . 
 
NmmT 431165
60
2660
7451040 3
=
⋅
⋅×
=
pi
. ( ) ( ) Need
TF
c
5,4851
1200
4311652
1
2
319,73,0
1
1 =
−⋅
⋅
=
−⋅
⋅
=
⋅−−µθ .
( ) ( ) Need
TF
c
9,539
1200
4311652
1
2
319,73,0
1
2 =
−⋅
⋅
=
−⋅
⋅
=
⋅µθ . 
( ) ( ) NFFFp 15,52842
742,2
cos9,5395,4851
2
cos21 =




 −
⋅+=




 −
⋅+=
piθpi
 
( ) ( ) NFFFs 7,8552
742,2
sen9,5395,4851
2
sen21 =




 −
⋅−=




 −
⋅−=
piθpi
 
 
 
Diagrama de corpo livre: não é necessário 
muito menos possível determinar o sentido de 
rotação dos elementos. 
Cálculo das reações de apoio: ambos os planos 
estão equilibrados estaticamente. 
 
Então no plano vertical pode-se afirmar que: 
↓=∴=
↑=⋅=∴=
∑
∑
NVF
NFVM
By
P
AB
25,15850
4,6869
200
2600
 
 
No plano horizontal pode-se afirmar que: 
↓=∴=
↑=⋅=∴=
∑
∑
NHF
NFHM
By
S
AB
7,2560
4,1112
200
2600
 
 
Flexão oblíqua e torque: O torque para todo o eixo é 431165Nmm. As seguintes posições são 
usadas para os cálculos. Item a: d1 (20mm para a esquerda do rolamento A) e d2 (10mm para a 
direita do rolamento B). Para o item b nf (exatamente no centro do eixo). Para o item c (12,5mm 
para a direita do centro do rolamento A). Para o item d (190mm para a direita do centro do 
rolamento A). Dessa forma calculam-se os seguintes momentos fletores. 
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( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) NmmVFHFM
NmHFVFM
NmmVHM
VVFHHFM
NmmFFM
APASitemd
ASAPitemc
BBnf
ABPABSd
SPd
16059190250190250
3,302999
2
25
2
252040
2
25
2
252040
160590100100
02101027021010270
5,2141194040
22
22
22
22
2
22
1
=⋅−⋅+⋅−⋅=
=











⋅−





++⋅+











⋅−





++⋅=
=⋅+⋅=
≈⋅−⋅+⋅+⋅−⋅+⋅=
=⋅+⋅=
 
Cálculo do dpré-projeto: para as regiões nas quais o diâmetro é desconhecido torna-se necessário sua 
determinação. Utilizando-se o torque do eixo 431165Nmm, a rigidez à torção Rt=0,5
◦/m (deve-se 
utilizar o valor em rad/mm). 
mm
RG
Td
t
projetopré 501073,81081
4311653232
4 634 =×⋅×⋅
⋅
=
⋅⋅
⋅
=
−
− pipi
 
 
Cálculo de KFF: os elementos fixados ao eixo tem KFF=2,11 (polia fixada com chaveta forma A; dpré-
projeto=50mm;σr=800MPa), KFF=3,25 (rolamento A por interferência forma A; σr=800MPa), KFF=2,5 
(rolamento B por interferência forma C; σr=800MPa), KFF=2,1 (acoplamento por entalhes, 
dpré-projeto=50mm;σr=800MPa). As variações de geometria apresentam KFF=3,4 
(r/d=0;σr=800MPa). Combinados: para os itens a e b KFF d1 e d2=4,5 (combinação entre 2,1 e 3,4)e 
KFF nf=1 (não tem fator de concentração de tensão nessa região). Para o item c KFF =5,65 
(combinação entre 3,25 e 3,4). Para o item d o KFF=3,4. 
 
Cálculo de Sn real: o limite de fadiga real depende do local do eixo. Para cálculo de d1 e d2 temos: 
Sn teórico=400 MPa; Cconfiabilidade=1; Ctemperatura=1; Ccarga=1; Cdiv=0,6; Ctamanho= 81,050189,1 097,0 =⋅ − 
(para d1 e d2); Ctamanho= 855,030189,1 097,0 =⋅ − (para d=30mm) Cacabamento superficial=0,9 (rolamentos 
com rugosidade de 4µm); Cacabamento superficial=0,8 (outros partes com rugosidade de 12µm);
MPaeixoS
realn 155= (para d1 e d2) ; MParolamentoS realn 175= (para item c e d) e ;
MPacentroeixoS
realn 163= (para item b) 
 
Critério da ASME: os valores da tabela abaixo foram usados na fórmula da ASME. 
 
Cálculo nf KFF Sn real MPa M Nmm KTT T Nmm 
σe 
MPa Resposta 
Item a: d1 2 4,5 155 214119,5 1 431165 640 50,3mm 
Item a: d2 2 4,5 155 0 1 431165 640 22,8mm 
Item b: nf d=30 1 163 160590 1 431165 640 2,3 
Item c: d 2 5,65 175 302999,3 1 431165 640 58,5mm 
Item d: nf d=35 3,4 175 16059 1 431165 640 6,4 
 
 
 
 
 
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10) Cálculo de eixos: exercício 3 da apostila – modificado 
A transmissão por correias trapezoidais da figura abaixo foi projetada para transmitir 32hp. As 
dimensões estão em mm e as figuras fora de escala. Para as polias admita a=40o e µ=0,32. O 
eixo é feito com aço classe 4.6, retificado nos assentos dos rolamentos e rugosidade de 20µm nas 
demais superfícies. Adote choques fortes, confiabilidade de 99,99%, material dúctil; nf=2,5; para 
os arredondamentos considere r1/d1 = r2/d2 = r3/d3 =0,25. Os rolamentos são montados por 
ajuste deslizante. Adote valores intermediários. Dimensione o eixo obtendo os valores de d1, d2 e 
d3 segundo o critério da ASME. Sabe-se que a polia motora tem rotação de 1200 rpm (sentido 
indicada no desenho). Os diâmetros das polias estão indicados no desenho.Considere o rolamento 
A aquele montado no trecho da esquerda do eixo e o rolamento B aquele montado no trecho da 
direita. Rt=0,1
◦/m e G=81GPa. 
 
 
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Fluxo de potência: a polia menor d=280mm é a motora e transmite 32hp para a maior D=680mm 
que está no eixo. Essa potência é transmitida pela extensão do eixo até a polia menor d=320mm. 
Daí a energia segue para a polia maior D=720mm que está fora do eixo. A potência que entra é 
igual a potência que sai. Não são considerados os rendimentos das transmissões feitas pelos 
elementos citados. 
 
Forças nos elementos: as distâncias entre centros não foram fornecidas no enunciado. 
Nas polias 1 e 2 com d=280mm e D=680mm calcula-se mmdc 7602
2803680
=
⋅+
= 
Realizam-se os cálculos na polia menor: NmmTI 189700
60
21200
7451032 3
=
⋅
⋅×
=
pi
. 43,2
280
680
===
d
Di 
 
rad
d
dD
c
615,2
760
280680
=
−
−=
−
−= pipiθ . rad
sen
a
sen
c 646,7
2
40
615,2
2
=






=






=
o
θθ . 
( ) ( ) Need
TF
c
43,1483
1280
1897002
1
2
646,732,0
1
1 =
−⋅
⋅
=
−⋅
⋅
=
⋅−−µθ . ( ) ( ) Need
TF
c
43,128
1280
1897002
1
2
646,732,0
1
2 =
−⋅
⋅
=
−⋅
⋅
=
⋅µθ . 
( ) NFFFP 31,15562cos2121 =



 −
⋅+=
−
θpi ( ) NFFFS 7,3522sen2121 =



 −
⋅−=
−
θpi
 
Nas polias 3 e 4 com d=320mm e D=720mm calcula-se mmdc 840= . Na polia menor: 
NmmT 46070043,21897003 =⋅= . rad665,2=θ . radc 792,7=θ . NFNF 3,259 7,3138 21 == . 
NFNF SP 7,679 3302 4343 == −− . 
Cálculo das reações de apoio: ambos os planos estão equilibrados estaticamente. Considere o 
rolamento A montado na esquerda e o rolamento B montado na direita. 
 
Então no plano vertical pode-se afirmar que: 
↓=∴=
↑=⋅−⋅=∴=
∑
∑ −−
NVF
NFFVM
By
SP
AB
21,10160
81,1892
420
2506200 4321
 
No plano horizontal pode-se afirmar que: 
↑=∴=
↑=⋅+⋅=∴=
∑
∑ −−
NHF
NFFHM
By
PS
AB
57,11680
13,2486
420
2506200 4321
 
 
Cálculo do dpré-projeto: para as regiões nas quais o diâmetro é desconhecido torna-se necessário sua 
determinação. Utilizando-se o torque T3 no eixo 460700Nmm, a rigidez à torção Rt=0,1
◦/m (deve-
se utilizar o valor em rad/mm). 
mm
RG
Td
t
projetopré 761075,11081
4607003232
4 634 =×⋅×⋅
⋅
=
⋅⋅
⋅
=
−
− pipi
 
 
Diagramas de corpo livre: os elementos fixados ao eixo de interesse estão marcados com um 
círculo vermelho para melhor identificação. 
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Flexão oblíqua e torque: para determinar d1 utiliza-se o ponto A do desenho, para d2 utiliza-se o 
ponto B do desenho e para d3 utiliza-se o ponto C do desenho. Assim: 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ] NmmFFM
NmmFHFVM
NmmFHFVM
PSC
PBSBB
PBSBA
5,957466060
2996872075201534020752015340
30897175153407515340
2
21
2
21
2
43
2
43
2
43
2
43
=⋅+⋅=
=+⋅−+−⋅++⋅−+−⋅=
=⋅−−⋅+⋅−−⋅=
−−
−−
−−
 
Critério da ASME: os valores da tabela abaixo foram usados na fórmula da ASME. 
Cálculo nf KFF Sn real MPa M Nmm KTT T Nmm 
σe 
MPa d 
d1 2,5 2,25 43,8 308971 1 460700 240 74mm 
d2 2,5 1,25 48,4 299687 1 460700 240 58,6mm 
d3 2,5 2,25 43,8 95746,5 1 460700 240 50,94mm 
 
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11) Cálculo de eixos: exercício 4 da apostila – modificado 
O eixo da figura abaixo deve ser dimensionado para a elevação de uma carga máxima de 1600 kg 
a 1,2 m/s (constante) pelo cabo de aço acoplado ao tambor de ∅700mm. 
Pede-se determinar os diâmetros d1, d2 e d3 pelo critério da ASME. Considere ainda que a tanto a 
força quanto o torque aplicado no tambor se distribuem igualmente entre as duas chavetas de 
fixação. Admita g=10 m/s2. As dimensões estão em mm e as figuras fora de escala. 
POLIAS: a = 40o (ângulo de abertura do canal) e µC = 0,22 (coeficiente de atrito correia/polia) 
EIXO: aço classe 8.6, acabamentos: retificado nos assentos dos rolamentos, R=4µm nas demais 
superfícies choques fortes, confiabilidade de 99.99%, considerar material dúctil, nf=3. Para os 
arredondamentos considere r/d=0,15. Os rolamentos são montados por ajuste deslizante. Adote 
valores intermediários. Rt=2◦/m e G=81GPa. 
 
 
 
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12) Cálculo de eixos: exercício 5 da apostila – modificado 
O eixo que compõe o sistema mecânico da figura seguinte deve ser dimensionado para a 
transmissão de um torque constante de 500 Nm. A transmissão por correia trapezoidal tem polias 
de 200mm e 400mm enquanto que as ECDR´s tem 23 dentes, 31 dentes e módulo de 4mm. A 
distância entre os centros das polias é de 360mm. As dimensões estão em mm e figuras fora de 
escala. Considere a temperatura de trabalho próxima de 30o. As chavetas usadas são da forma A. 
POLIAS: a = 43o e µC=0,25. ENGRENAGENS: α=18o. 
EIXO: material do eixo: aço classe 12.9 (dúctil), G=81GPa. Acabamentos: R=40µm nos assentos 
dos rolamentos, usinado nas demais superfícies, choques fortes, confiabilidade de 90%, nf=2,5; 
para todos arredondamentos considere r/d=0,05. Adote valores intermediários e considere o 
momento fletor como sendo muito leve. Os rolamentos são fixados por ajuste deslizante. O 
rolamento A está posicionado à esquerda e o B à direita do eixo. 
Determine os diâmetros d1 , d2 e d3 pelo critério ASME e normalize pela DIN3. 
 
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Respostas parciais do exercício 12 
 
De maneira esquemática pode-se considerar que os elementos estão dispostos conforme figura a seguir. Para facilitar 
os cálculos, os mesmos foram marcados de acordo com a numeração abaixo: 
Polia 1 (polia menor na qual o torque é fornecido), polia 2 (polia maior, montada no eixo de estudo), Ecdr 3 
(engrenagem cilíndrica de dentes retos, também montada no eixo de interesse) e Ecdr 4 (roda dentada que está 
engrenada com a 3). Como o sentido do torque no elemento 1 foi dado, pode-se afirmar que a força no lado mais 
tracionado da correia só pode ser no sentido e direção do vetor F1 marcado no desenho. Dessa forma por ação e 
reação marcam-se os vetores F1 e F2 na polia 2 e torna-se possível determinar T2. No eixo só existem dois elementos 
que transmitem potência. Como o eixo deve ser estaticamente equilibrado, pode-se afirmar que T3 é de mesma 
magnitude porém sentido contrário à T2. Por isso sabe-se determinar a direção e sentido de Ft pois é essa força que 
gera o torque na ecdr3. Por ação e reação marcam-se as forças no elemento 4. Note que nesse exerício não é 
possível (nem preciso) determinar o sentido das rotações, muito menos afirmar quais são os elementos motores e 
movidos. Note também que na polia atuam somente as forças F1 e F2. Porém por razões didáticas utilizam-se as 
somatórias vetorias nos eixos principal (aqueleque une as polias) e secundário (normal ao principal). Dessa forma na 
figura ficam representadas quatro vetores de força mas apenas existem os dois citados acima. Nesse exercício as 
polias se encontram defasadas angularmente. Então por questão de melhor visualização dos planos, foi feita a 
decomposição vetorial das forças FP e FS nos eixos clássicos x e y. 
 
Posição dos elementos: 
os elementos montados no eixo 
estão posicionados como segue. 
 
d1: 90mm à direita do centro da 
polia 2. 
 
d2: 130mm à direita do d1 
 
d3: 270mm (160+120-10) à 
direita do centro do d1. 
 
 
 
 
Forças nos elementos: a distância entre centros foi fornecida no enunciado (360mm). Na polia 
menor calcula-se: rad586,2
360
200400
=
−
−= piθ . rad
sen
c 04,7
2
43
586,2
=






=
o
θ . 
( ) ( ) NeFNeF 10391200
5000002
;6039
1200
5000002
04,725,0204,725,01 =
−⋅
⋅
==
−⋅
⋅
=
⋅⋅−
 
( ) ( ) NsenFNF SP 6,13852
58,210396039;8,6800
2
58,2
cos10396039 =




 −
⋅−==




 −
⋅+=
pipi
 . 
( ) ( ) ( ) ( ) )(25,6655286,1385628,6800);(4,196928cos6,138562cos8,6800 ↑=⋅+⋅=→=⋅−⋅= NsensenFNF YX oooo
 
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Na polia maior calcula-se: 32 100025002200
400 TNmTi ==⋅=→== .Nas engrenagens pode-se 
determinar: N16129
2
234100001
2
T 333 =→
⋅⋅
=×→
⋅⋅
= T
TT FFZmF e NFr 63,5240)18tan(161291 =⋅= o . 
 
Reações de apoio: devido ao posicionamento dos pontos de interesse, não é necessário o cálculo 
das reações de apoio. De qualquer maneira foi calculado nesse exercício apenas para que o 
estudante possa exercitar novamente os conhecimentos de resistência dos materiais. Por razões 
didáticas, separam-se as forças nos planos vertical e horizontal. 
 
Então no plano vertical pode-se afirmar que: 
↑==∴+=+∴=
↓−=
+⋅−++⋅
=∴=
∑
∑
NVVFVFF
VNV
FF
VM
BArBYy
AA
rY
AB
32490
 diagrama no sentido o errado está então 7,4663
380
)380120()380120160(0
 
 
No plano horizontal calcula-se: 
↓=∴=++∴=
↑=
⋅−+⋅
=∴=
∑
∑
NHHHFFF
NH
FFHM
AABtXy
B
tX
BA
9,246420
5,6544
380
)120()120160(0
 
 
Cálculo do dpré-projeto: para as regiões nas quais o diâmetro é desconhecido torna-se necessário sua 
determinação. Utilizando-se o torque do eixo 1000Nm, a rigidez à torção Rt=2
◦/m (deve-se utilizar 
o valor em rad/mm). 
mm
RG
Td
t
projetopré 6,431049,31081
1010003232
4
53
3
4 =
×⋅×⋅
×⋅
=
⋅⋅
⋅
=
−
− pipi
 
 
Cálculo de Sn real: o limite de fadiga real depende do local do eixo. Sn teórico=600 MPa. Muitos 
fatores de conversão são comuns. Nesse exercício são: Cconfiabilidade=0,897; Ctemperatura=1; Ccarga=1; 
Cdiv= 465,0
2
5,28,1
1
=
+
=0,454; Ctamanho= 824,06,43189,1 097,0 =⋅ − ; Cacabamento superficial=0,65 (rolamentos 
com rugosidade de 40µm e σr=1200MPa); Cacabamento superficial= 689,0120051,4 265,0 =⋅ − (outros partes 
usinadas); MPaS ddrealn 26,1422;1 = e MPaS drealn 2,1343 = . 
 
Cálculo de KFF: os elementos de transmissão de potência (polia 2 e ecdr3) fixados ao eixo tem 
KFF fixação=2,1 (estimativa gráfica: chaveta forma A/ranhuras; dpré-projeto=50mm;σr=1200MPa) e 
devido as variações de geometria apresentam KFF geometria=2,8 (r/d=0,05;σr=1200MPa). 
Combinados: para os itens d1 e d2:KFF d1 e d2=3,9. 
Como os rolamentos são montados por ajuste deslizante KFF fixação=1 e devido as variações de 
geometria apresentam KFF geometria=2,8 (r/d=0,05;σr=1200MPa). Combinado para o d3:KFF d3=2,8. 
 
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Flexão oblíqua e torque: 
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] NmmVVHHM
NmmFFFFM
NmmFFM
BABAd
tXrYd
XYd
4,26089373901039010
8,18123746022060220
6246529090
22
3
22
2
22
1
=⋅−⋅+⋅−⋅=
=⋅+⋅+⋅−⋅=
=⋅+⋅=
 
O leitor pode se perguntar se a afirmação feita anteriormente no texto é correta. Pois afirmou-se 
que não era necessário o cálculo das reações de apoio e as mesmas foram usadas na flexão 
oblíqua para o cálculo de d3. Porém a afirmação é correta. O momento fletor combinado no d3 
poderia ter sido obtido pelo método dos cortes descartando-se a parte à direita de d3 e utilizando-
se as cotas da esquerda. Porém já que havia sido feito o cálculo das reações, foi utilizado somente 
como curiosidade. As respostas devem ser as mesmas uma vez que o eixo está em equilíbrio 
estático. 
 
Critério da ASME: os valores da tabela abaixo foram usados na fórmula da ASME. 
Cálculo nf KFF Sn real MPa M Nmm KTT T Nmm 
σe 
MPa dcalculado dDIN3 
d1 2,5 3,9 144,26 624652 1 1000000 1080 75,85mm 78 mm 
d2 2,5 3,9 144,26 1812374,8 1 1000000 1080 108,2mm 110 mm 
d3 2,5 2,8 134,2 2608937,4 1 nulo 1080 111,5mm 115 mm 
 
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 13) Cálculo de eixos: 
O eixo da figura aciona os dispositivos 1 (localizado à direita mas não representado na figura) e 2 
(localizado à esquerda mas não representado na figura) que consomem respectivamente 20 e 6 
hp. Essa conexão é feita por acoplamentos ideais. A polia maior é fixada ao eixo por meio de 
chaveta. Determine (ASME) se ocorrerá fadiga no assento da polia de diâmetro 30 mm. 
POLIAS: a = 44o e µ=0,36. As dimensões estão em mm e as figuras fora de escala. 
EIXO: material do eixo: aço classe 6.8 (dúctil), G=80,8GPa. Acabamentos retificado nos rolamentos 
e usinado nas demais superfícies, choques leves, confiabilidade de 99%. Para os arredondamentos 
considere r/d=0,05. Adote valores intermediários e condição do momento fletor leve. 
 
 
 
 
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Respostas parciais do exercício 13: 
 
Análise do fluxo de potência: a polia motora é a menor e transmite energia através da correia para 
a polia maior que está no eixo. Solidário ao eixo tem dois acoplamentos. A energia de 26hp é 
então dividida no centro da polia. O dispositivo 1 (localizado à direita) consome 20hp. Já o 2 
(localizado à esquerda) consome 6hp. Acoplamentos ideais transmitem apenas torque. A potência 
de entrada é igual à potência de saída. Entram 26hp e saem 20hp na direita e 6hp na esquerda. 
Não são considerados os rendimentos das transmissões feitas pelos elementos citados. 
 
Forças nos elementos: a distância entre centros foi fornecida no enunciado. Na polia menor 
calcula-se: rad
d
dD
c
661,2
500
80320
=
−
−=
−
−= pipiθ . rad
sen
a
sen
c 103,7
2
44
661,2
2
=






=






=
o
θθ . 
4
80
320
===
d
Di .Na maior a rotação vale 450 rpm. NmmTmaior 411040
60
2450
7451026 3
=
⋅
⋅×
=
pi
.
Nmm
i
TT maiormenor 102800== 
NmmT odispositiv 316000
60
2450
7451020 3
1 =
⋅
⋅×
=
pi
e NmmT odispositiv 95000
60
2450
745106 3
2 =
⋅
⋅×
=
pi
 
( ) ( ) Need
TF
c
2786
180
1028002
1
2
103,736,0
1
1 =
−⋅
⋅
=
−⋅
⋅
=
⋅−−µθ . ( ) ( ) Need
TF
c
216
180
1028002
1
2
103,736,0
1
2 =
−⋅
⋅
=
−⋅⋅
=
⋅µθ . 
( ) ( ) NFFFp 7,29152
661,2
cos2162786
2
cos21 =




 −
⋅+=




 −
⋅+=
piθpi
 
( ) ( ) NFFFs 6,6112
661,2
sen2162786
2
sen21 =




 −
⋅−=




 −
⋅−=
piθpi
 
 
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Professores: Alberto Vieira Jr., Djalma de Souza, Renato Marques e William Maluf Exercícios 
 
 
Cálculo das reações de apoio: rolamento A (esquerda) e B (direita) 
Plano vertical: ∑ ↑=⋅=→= NFVM PBA 3,1166200
800 . ∑ ↑=→= NVF Ay 4,17490 
Plano horizontal: ∑ ↑=⋅=→= NFHM sBA 6,244200
800 . ∑ ↑=→= NHF Ay 3670 
 
Cálculo do momento fletor no ponto de interesse: para o cálculo deve-se determinar a flexão 
oblíqua resultante no ponto distante 90 mm à esquerda do centro do rolamento B (fixado à 
direita). 
NmmMMMNmmHMNmmVM HVBVBH 107251 Assim . 2201490 e 10496709 22 =+==⋅==⋅= . 
 
Cálculo de KFF: os elementos fixados ao eixo tem KFF=1,8 (chaveta; d=30mm;σr=600MPa). As 
variações de geometria apresentam KFF=1,8 (r/d=0,05;σr=60MPa). Combinado: KFF =2,6. 
 
Cálculo de Sn real: o limite de fadiga real depende do local do eixo. Sn teórico=300 MPa; 
Cconfiabilidade=0,814; Ctemperatura=1; Ccarga=1; Cdiv=0,714; Ctamanho= 855,030189,1 097,0 =⋅ − ; 
Cacabamento superficial= 823,060051,4 265,0 =⋅ − ; 
MPaSCCCCCCS
realn 7,122ndivconftempsuptamcarga =⋅⋅⋅⋅⋅⋅= . 
 
Aplicando-se o critério da ASME: nf=1,16 (não ocorre falha por fadiga). Deve-se usar o torque que 
é consumido pelo dispositivo 1 pois a região de interesse está à direita do centro da polia. 
 
 
 
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14) Cálculo de eixos: P2 do primeiro semestre de 2004 
A figura abaixo representa uma transmissão por ECDR´s. Sabendo-se que a engrenagem motora 
transmite 20cv a 1760 rpm no sentido de giro indicado pela figura. Determine: 
a) as reações (cargas radiais) nos rolamentos em A e B 
b) o diâmetro d, necessário para o encaixe do rolamento B. 
Fator de segurança ASME: 1,60, aço com classe de resistência 6.8 (dúctil), engrenagens com 
α=20o , rigidez a torção para o pré-projeto: RT=1,5
 o/m e Gaço=80,8 GPa. Utilize Snreal=150 MPa 
r/d= 0,2 e rolamentos montados por interferência (FORMA D). Figuras fora de escala e dimemsões 
em mm. Adote valores intermediários. 
 
engrenagem motora
n=1760rpm
giro
Z=19
Z=41
Z=23
Z=47
Z=número de dentes
65150 70
m=4mm
A
m=2.5mm
B
18mm
d
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Análise do fluxo de potência: a ecdr motora (Z=19) é a menor e transmite energia através da maior (Z=41) para o eixo. Solidário 
ao eixo tem outra ecdr (Z=23). A energia é então transmitida para Z=47. A potência de entrada é igual à potência de saída. 
 
 
NFFN
d
TF
NmT
d
d
T
TNm
n
PT
trt 1223tan; 3360195,2
108,7922
2,172 ; 8,79
17602
6073520
3
1
1
2
2
1
2
1
1
1
=⋅==
⋅
×⋅
=
⋅
=
=∴==
⋅
⋅×
==
α
pi
 
NFFN
d
TF
NmTT
trt 1363tan;3744234
102,17222
2,172
3
3
3
32
=⋅==
⋅
×⋅
=
⋅
=
==
α
 
1° par de ECDR’s (α = 20°) 2° par de ECDR’s (α = 20°) 
 
)( 1936122313630
)( 20667013631501223135 0
horizontal Plano 
)( 8896336037440
)( 17921503360703744135 0
 verticalPlano 
↑=∴+=+∴=
↓=∴⋅+⋅=⋅∴=
↑=∴++=∴=
↓=∴⋅=⋅+⋅∴=
∑
∑
∑
∑
NHHHF
NHHM
NVVVF
NVVM
ABA
BBA
ABA
BBA
 
Esforços presentes no eixo Cálculo das reações nos apoios 
a) Esforços na seção de estudo (encaixe do rolamento B): 
NmMMMNmMNmM HV 7,24 :então 6,18009,02066 e 2,16009,01792
22
horizontalvertical =+==⋅==⋅= . 
Torque: nulo pois a região do assento do rolamento (nesse exercício) não tem torque! T=0. Analise o fluxo 
de potência para desenhar o diagrama de torque e chegar nessa conclusão. 
b) Fatores de concentração de tensão: Ajuste forçado: Kf=1,4 (página 11-19, forma D, 600 MPa) 
Arredondamento: Kf=1,3 (página 11-22, r/d=0,2, 600 MPa). ( ) ( ) 7,113,114,1112 =−+−+=FK . 
c) Cálculo do diâmetro: 
3
1
2
1
223
3
1
2
1
22
480
01
4
3
150
107,247,16,132
4
332























 ⋅
⋅+




 ×⋅
⋅
⋅
=

























 ⋅
⋅+







 ⋅
⋅
⋅
=
piσpi e
t
n
ff TK
S
MKn
d
real
= 16,6mm 
 
 
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15) Cálculo de eixos: P2 do primeiro semestre de 2005 
A figura abaixo representa uma transmissão mecânica composta de um par de polias e um par de 
ECDR´s. No eixo ilustrado na figura, a engrenagem é montada via interferência moderada (forma 
B) enquanto que a polia maior é fixada por ranhuras DIN 5462. Todos os outros ajustes são 
deslizantes. O valor das forças nos vários elementos está indicado a seguir: 
 Fr = 1500 N ; Ft = 4600 N ; FP = 2500 N ; Fs = 800 N 
engrenagens: Z1 = 16 dentes ; Z2 = 48 dentes ; m= 3mm 
eixo: fabricado em aço SAE 1340 com σR= 800 MPa e σe= 680 MPa (dúctil), simplesmente 
usinado, confiabilidade de 99% , choques médios, carga III, temperatura de trabalho 120oC, 
valores intermediários. As dimensões estão em mm e as figuras fora de escala. Rt=0,1
◦/m e 
G=81GPa. 
 
Determine: 
 
a) o diagrama de concentração de tensão com os valores (utilize o desenho fornecido) 
b) as reações em ambos os mancais 
c) o fator de segurança ASME para o ∅25mm do eixo 
 
 
 
120
100
T
45
°
1
100 100
230
Ø
25
r5
120
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GABARITO da questão 15 – P2 do primeiro semestre de 2005 
1) Forças nos elementos e no eixo de interesse: vetores ilustrativos e fora de escala! 
 
 
 
 
2) Reações de apoio: rolamento A entre polia e ECDR / rolamento B á direita da ECDR 
Plano horizontal: 
)( N 114505765460023100
)( N 576502,01,046003,023100
↓=⇒=−−+⇒=
↓=⇒=×−×+×⇒=
∑
∑
BBx
AAB
HHF
HHM
 
Plano vertical: 
)( N 15502535150011900
)( N 253502,01,015003,011900
↓=⇒=−−+⇒=
↓=⇒=×−×+×⇒=
∑
∑
BBy
AAB
VVF
VVM
 
 
3) Limite de resistência à fadiga real: Sn=0,5x800=400 MPa 
( ) ( )
 MPa128400
7,1
1180051,4814,025189,1 1 265,0097,0
ndivconftempsuptamcarga
=××××××=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
−−
REAL
realn
Sn
SCCCCCCS
 
Plano 
Horizontal + 
F1 
F1 
F2 
F2 
FP 
FS 
T2 
T3 
Ft 
Fr 
Plano 
Vertical + Devido à polia: 
Plano vertical: 
 
)( N 119007,08007,02500
45sen45sen
↑∴=×−×
=×−× YsP FFF
oo
 
Plano horizontal: 
 
)( N 231007,08007,02500
45cos45cos
↑∴=×+×
=×+× XsP FFF
oo
 
 
Devido à ECDR: 
Plano vertical: )( N 1500 ↑=rF . Plano horizontal: )( N 4600 ↑=tF 
 
5) Critério da ASME 
 Torque no eixo 
Nm4,110
2
3164600
22eixo
=
×
×=
×
×=×=
mZF
d
FT t
p
t 
Flexão oblíqua no eixo 
 ( ) ( ) Nm1566060 22 =×+×= YX FFM 
 
)fadiga! (ocorre 6,0
680104,1101
4
3
128
1015615,23225
4
332
2
1
2323
3
1
2
1
22
=























 ×⋅
⋅+




 ×⋅
⋅
⋅
=

























 ⋅
⋅+







 ⋅
⋅
⋅
=
f
f
e
t
n
ff
n
n
TK
S
MKn
d
real
pi
σpi
 
4) Fatores de concentração de tensão 
 
 
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16) Cálculo de eixos: P3 do segundo semestre de 2006 
As forças mostradas na figura auxiliar correspondem aos esforços de laminação atuando sobre o 
cilindro na distância média entre os mancais. Sabe-se que: 
 
• As engrenagens possuem ângulo de pressão α = 20o e m=6 mm 
• Os rolamentos A e B são montados por interferência leve (tipo D). 
• Fadiga: Ctemp=1; acabamento polido, confiabilidade=95%. Use Sn real=190MPa. 
• Cilindro tem ∅300mm e é fabricado em aço classe 8.8. r/d=0,25; nF=3 e KT=2. 
Utilizando o critério ASME determine o diâmetro "d" necessário para o ajuste do rolamento B. 
Normalize pela DIN3 na página 1-1 da apostila. Use valores intermediários. As dimensões estão 
em mm e as figuras fora de escala. Rt=1,4
◦/m e G=81GPa. 
 
 
 
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Professores: Alberto Vieira Jr., Djalma de Souza, Renato Marques e William Maluf Exercícios 
 
GABARITO da questão 16: P3 do segundo semestre de 2006 
 
a) Esforços nos elementos montados: 
No rolo de laminação (ponto A): Nm252
2
3005,1
2
T :Então kN. 5,1 kN, 6,10 A =
⋅
=
⋅
===
dFFF HHV 
Nas engrenagens: N 1120
6x67
10x225x2
d
T2F
3
p
t === e ( ) N 407)20(tg 1120tg FF tr ==α= 
b) Esforços na seção crítica do eixo: 
 
 plano horizontal: plano vertical: 
 MH = 70.6 Nm MV = 299.4 Nm 
Os esforços na seção estudada são: Nm 6,30722 =+= HV MMM e T=225 Nm 
 
c) Fatores de concentrações de tensão: 
- Devido ao adoçamento com r/d = 0,25 e σr=800 MPa ⇒ KF1=1,3 
- Devido ao ajuste por interferência leve (tipo D) e σr=800 MPa ⇒ KF2=1,6 
Fatores combinados: ( ) ( ) 9,1111 2112 =−+−+= FFF KKK 
 
d) Critério ASME para dimensionamento com nf=3. 
 
 Normalizando pela DIN 3 (página 1-1 da apostila) ⇒ d = 46 mm 
30
0
300
120
1500 N
10600 N 1120 N
407 N
3956 N
262 N
32.5
1120 N3956 N
120
299.4 Nm
32.5
407 N262 N
120
70.6 Nm
 mm7,45
640
102252
4
3
190
106,3079,132x3d
3
1
2
1
2323
=























 ××
+




 ××
=
pi