Sistemas de Numeração

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Sistemas de Numeração
Professor: Claudio Fico
E-mail: claudio.fico@uva.br
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Introdução
Um sistema de numeração é um sistema que permite a representação de números através da utilização de certos símbolos (algarismos/dígitos).
Algarismos Arábicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 
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Os sistemas de numeração são úteis aos sistemas computacionais, servindo para questões de representação de endereçamento, armazenamento, processamento e transmissão de dados.
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Bit (simplificação para dígito binário, "BInary digiT" em inglês) – menor unidade de dados que um computador pode processar, armazenar ou transmitir. 
				0 ou 1 
Nibble – conjunto de 4 bits
Byte – conjunto de 8 bits.
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Algumas Bases
Binária (2)
0, 1
Octal (8)
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Decimal (10)
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Hexadecimal (16)
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
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Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, e o sistema de numeração binário é adequado para representá-los.
As bases Octal e Hexadecimal (múltiplos de 2 e… 8) são também especialmente interessantes aos Sistemas Computacionais, pois permitem uma representação mais compacta dos números tratados.
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1011012 - 101101 na base 2 (binária)
7528 - 752 na base 8 (octal)
651 - 651 na base 10 (decimal)
Quando não é indicada a base, a base é decimal. Mas poderia ser representado como: 65110
42316 - 423 na base 16 (hexadecimal)
Representação nas bases
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Representação de binário na base 10 
11010012
11010012 = 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 
 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20
11010012 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1
11010012 = 10510
Representação em polinômio genérico
Número = bn2n + bn-12n-1 + ... b121 + b020
Base Binária (2)
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7484
7484 = 7 x 1000 + 4 x 100 + 8 x 10 + 4
7484 = 7 X 103 + 4 X 102 + 8 X 101 + 4 X 100
Representação em polinômio genérico
Número = dn10n + dn-110n-1 + ... d1101 + d0100
Base Decimal (10)
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Representação de octal na base 10 
546218
546218 = 5 x 84 + 4 x 83 + 6 x 82 + 2 x 81 + 
 1 x 80
546218 = 20480 + 2048 + 384 + 16 + 1
546218 = 2292910
Representação em polinômio genérico
Número = on8n + on-18n-1 + ... o181 + o080
Base Octal (8)
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Representação de hexadecimal na base 10 
3974116
3974116 = 3 x 164 + 9 x 163 + 7 x 162 + 4 x 161 + 
 1 x 160
3974116 = 196608 + 36864 + 1792 + 64 + 1
3974116 = 23532910
Representação em polinômio genérico
Número = hn16n + hn-116n-1 + ... h1161 + h0160
Base Hexadecimal (16)
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	715 |_2_
 1 357 |_2_ 
 1 178 |_2_ 
 0 89 |_2_ 
 1 44 |_2_
 0 22 |_2_
 0 11 |_2_
 1 5 |_2_
 1 2 |_2_
 0 1 |_2_
						 1 0 
715 = 10110010112
Conversão Decimal  Binário
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715 |_8_
 3 89 |_8_ 
 1 11 |_8_ 
 3 1 |_8_ 
			 1	 0
715 = 13138
Conversão Decimal  Octal
*
715 |_16_
 11 44 |_16_ 
 12 2 |_16_ 
			 2	 0
715 = 2CB16
Hexadecimal
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
A=10 , B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15
Conversão Decimal  Hexadecimal
*
10110010112
 		1 x 20 = 1
					 	1 x 21 = 2
						 0 x 22 = 0
					 	1 x 23 = 8
						 0 x 24 = 0
						 0 x 25 = 0
						 1 x 26 = 64
						 1 x 27 = 128
						 0 x 28 = 0
						 1 x 29 = 512
= 1+2+0+8+0+0+64+128+0+512 = 715
Conversão Binário  Decimal
*
		
	 13138
 3 x 80 = 3
					 1 x 81 = 8
					 3 x 82 = 192
					 1 x 83 = 512
					
= 3+8+192+512 = 715
Conversão Octal  Decimal
*
	
		2CB16
 B x 160 = 11 x 160 = 11
					 C x 161 = 12 x 161 = 192 
					 2 x 162 = 512
					
= 11+192+512 = 715
Conversão Hexadecimal  Decimal
*
Outras Conversões
Binário  Octal;
Binário  Hexadecimal;
Octal  Binário;
Hexadecimal  Binário;
Octal  Hexadecimal;
Hexadecimal  Octal.
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1 011 001 0112
 		
					 	
Conversão Binário  Octal
1 x 20 = 1
1 x 21 = 2
0 x 22 = 0
10110010112
1 x 20 = 1
0 x 21 = 0
0 x 22 = 0
1 x 20 = 1
1 x 21 = 2
0 x 22 = 0
1 x 20 = 1
1 + 2 + 0 = 3
1 + 2 + 0 = 1
1 + 2 + 0 = 3
1 + 0+ 0 = 1
13138

*
Conversão Binário  Hexadecimal
Segue o mesmo princípio da conversão de binário para octal, só que agora agrupando de quatro em quatro bits.
10110010112
10 1100 1011
8 + 0 + 2 + 1 = 11
8 + 4 + 0 +0 = 12
0 + 0 + 2 + 0 = 2
2
C
B
16
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Conversão Octal  Binário
Simplesmente pega-se cada algarismo na base Octal e converte-se seu valor decimal para a base Binária, representado-se cada um dos algarismos da base Octal com três bits, mantendo-se a ordem original (operação inversa à conversão de Binário para Octal):
13138

1 011 001 0112
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Conversão Hexadecimal Binário
Da mesma forma, simplesmente pega-se cada algarismo na base Hexadecimal e converte-se seu valor decimal para a base Binária, só que agora representado-os com quatro bits (operação inversa à conversão de Binário para Hexadecimal):
2CB16

10 1100 10112
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Demais Conversões
Octal  Hexadecimal;
Hexadecimal  Octal.
Fica como Exercício…
Dica: é necessária a conversão intermediária para uma base comum, binária, ou decimal… Escolha a mais simples…
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Exercícios
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