SUPERFÍCIES QUÁDRICAS

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INTRODUÇÃO
A equação geral do 2º grau nas três variáveis x, y e z:
Onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e, ou f é diferente de zero, representa uma superfície quádrica, ou simplesmente, uma quádrica. Se a superfície quádrica dada pela equação acima for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica denominada de Traço.
Desenvolvimento
Superfícies Quádricas
Uma equação geral do segundo grau com três variáveis (x, y e z), onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f é diferente zero, representa uma superfície quádrica, ou simplesmente, uma quádrica.
Se a superfície quádrica, for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. A interseção de uma superfície com um pano é chamada de traço da superfície no plano. A redução da equação geral das quádrica ás sua forma mais simples exige cálculos laboriosos.
Superfícies de Revolução:
É a superfície gerada por uma curva plana (chamada geratriz) que gira 360º em torno de uma reta (eixo) situada no plano da curva. Neste caso, a tração da superfície num plano perpendicular ao eixo é uma circunferência e a equação da superfície de revolução é obtida através da geratriz.
Elipsóide 
Ao girarmos uma elipse em torno de um eixo, obtemos uma elipsóide de revolução, cuja equação será obtida da equação da elipse. 
Obs.: O coeficiente “ a” sempre estará no denominador do eixo de simetria.
Quando a=b=c, temos uma esfera.
Hiperbolóide de uma folha 
• Hiperbolóide de uma folha: A rotação de um hiperbolóide em torno de um eixo, resulta numa hiperbolóide de uma folha, cuja equação será obtida da equação da hipérbole. 
• Obs.: quem tiver o sinal negativo na fórmula, terá o denominador “c” e será o próprio eixo de rotação.
Hiperbolóide de duas folhas 
• Hiperbolóide de duas folhas: A rotação da hipérbole em torno de um eixo resulta numa hiperbolóide de duas folhas.
• Obs.: Na fórmula, quem está positivo possui o denominador “ c” e será o eixo de simetria. Sinal negativo acompanhando a quadratura, não intercepta o eixo.
Superfícies cônicas
Consideremos num plano uma reta(geratriz), a rotação desta em torno de um eixo resulta numa superfície de revolução cônica circular
Parabolóides
Na parabolóide não aparece quadratura para todos os valores.
Parabolóide (Caso particular do parabolóide elíptico) 
Parabolóide elíptico 
• Parabolóide elíptico: a rotação de uma parábola em torno de um eixo resulta numa parabolóide de revolução, cuja equação será obtida através da equação de uma parábola, a arabolóide elíptico, resulta dessa rotação, onde existe uma elipse.
Parabolóide Hiperbólico ou Sela 
• Parabolóide hiperbólico: nesta parabolóide, falta uma quadratura na equação e o sinal negativo, isso implica numa hipérbole. Mais conhecida também como sela, um caso particular das parabolóides.
Paraboloide Degenerado 
Neste caso duas parábolas e uma reta.
Cilindro 
São originados das cônicas, mas em dimensão 3.
Superfícies cilíndricas
Seja C uma curva plana e “ r” uma reta fixa não paralela ao plano ‘c. Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta g que se move paralelamente à reta fixa r em contato permanente com a curva plana C.
A reta g que se move é denominada geratriz e a curva C é a diretriz da superfície cilíndrica. Esta superfície pode ser vista como um conjunto de infinitas retas paralelas que são as infinitas posições da geratriz. A diretriz é uma curva que se encontra num dos planos coordenados e a geratriz é uma reta paralela ao eixo perpendicular ao plano da diretriz.
Conforme a diretriz seja uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, a superfície cilíndrica é chamada circula, elíptica, hiperbólica ou parabólica.
4.1 Aplicação na Construção civil
O hiperbolóide de uma folha é amplamente utilizado na construção civil. Utilizado nas torres de refrigeração das usinas nucleares e como elementos de arquitetura. Como o hiperbolóide de uma folha é uma superfície duplamente regrada, ou seja, para cada um dos seus pontos existem duas retas distintas que se interceptam na superfície, ela pode ser construída por vigas de aço retas, permitindo assim uma minimização dos ventos transversais, mantendo a integridade estrutural com uma utilização mínima de materiais de construção. O estudo sobre o tema faz com possamos entender que as hiperbolóides possuem certas características e propriedades que permitem que elas sejam utilizadas com grande êxito em aplicações práticas, bastante importantes no dia-a-dia no ramo da tecnologia e engenharia. O estudo sobre o tema faz com possamos entender que as hiperbolóides possuem certas características e propriedades que permitem que elas sejam utilizadas com grande êxito em aplicações práticas, bastante importantes no dia-a-dia no ramo da tecnologia e engenharia.
Conclusão
Nesse trabalho foi apresentado o tema superfícies quádricas e suas equações. Também foi especificado cada subtítulo mostrando as variações dentro do tema e para cada variação de superfície uma equação diferente. E mostrado também suas aplicações na construção civil e exemplo de construções pelo mundo.
Anexos
Referências 
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2a ed. São Paulo: McGraw- Hill, 1987. Cap. 8. Pág. 275 a 292.
NB005 ÁLGEBRA E GEOMETRIA ANALÍTICA CAP. 4 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS. Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/ABAAAArqAAG/superficies-quadricas>. Acessado em: 14/06/2017.
Superfícies Quádricas. Disponível em: < http://www.basica2.ufba.br/apostilas/aula_de_quadricas_07-1.pdf>. Acessado em: 14/06/2017.
Winterle, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, São Paulo: Pearson Makron, 2000.
Fatos Matemáticos. Disponível em:<http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/12/superficies-quadricas-o-hiperboloide-de.html,>. Acessado em: 14/06/2017