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Aulão Tópicos UDESC
Matemática
Prof. Armstrong
24 de outubro de 2009
leonelbini@gmail.com
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Geometria Analítica: Circunferência 
	Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P d(C,P) é o raio dessa circunferência. Então:
 
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Equação geral
  
	Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
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	Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
	A equação reduzida da circunferência é:
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	Desenvolvendo os quadrados dos binômios (x – a)² e (y – b)², temos: 
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Posição de um ponto em relação a uma circunferência 
a) P é exterior à circunferência 
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b) P pertence à circunferência 
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P é interior à circunferência 
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Elipse
Definição:	
	Considerando, num plano α , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano α tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
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Elementos 
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Elementos
Focos: os pontos F1 e F2  
Centro: o ponto O, que é o ponto médio de 
Semi-eixo maior: a 
Semi-eixo menor: b 
Semidistância focal: c 
Vértices: os pontos A1, A2, B1, B2 
Eixo maior: 
Eixo menor: 
Distância focal: 
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Relação fundamental 
Excentricidade
    Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
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Equações
	Vamos considerar os seguintes casos:
Elipse com centro na origem e eixo maior horizontal
	Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):
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	Aplicando a definição de elipse, obtemos a equação da elipse:
 
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b) Elipse com centro na origem e eixo maior vertical
  
Nessas condições, a equação da elipse é:
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Hipérbole 
Definição:
	Considerando, num plano α, dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano α tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. 
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Elementos 
Focos: os pontos F1 e F2 
Vértices: os pontos A1 e A2 
Centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de 
Semi-eixo real: a 
Semi-eixo imaginário: b 
Semidistância focal: c 
Distância focal: 
Eixo real: 
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Eixo imaginário: 
Excentricidade
	Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
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Equações 
Vamos considerar os seguintes casos:
Hipérbole com centro na origem e focos no eixo x
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Aplicando a definição de hipérbole:
Aplicando a definição de hipérbole:
                                                                                                                                                                                                   
Obtemos a equação da hipérbole:
                                            
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b) Hipérbole com centro na origem e focos no eixo y.
    Nessas condições, a equação da hipérbole é:
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Exercícios
1-Determine a distância entre o centro da circunferência de equação 
	e o foco da elipse que tem abscissa positiva, de equação 
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Resolução
Equação da Circunferência:
C(– 4, 3)
	
	Pela equação dada, temos que a elipse tem centro na Origem do Sistema de Coordenadas (0, 0) e como 25 >16, seu eixo maior está contido no eixo das abscissas (x). 
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		Desta forma: a = 5 e b =4. 
		Fazendo , teremos c = 3. 
		Então, o foco da Elipse que tem 	abscissa positiva é F1(3, 0).
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Logo:
Portanto: 
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2)(UDESC – 2008.2) Se as retas de equações x + 2y = –6 e 6x + y = 8 se interceptam no centro de uma circunferência de raio unitário, a equação dessa circunferência é:
a) x2+ y2+ 8x- 4y- 1= 0 .
b) x2+ y2+4x -8y +19 =0 .
c) x2+ y2-4x+ 8y- 19 =0 .
d) x2+ y2+ 4x- 8y- 1= 0 .
e) x2+ y2 -4x +8y -19= 0 .
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Resolução
Resolvendo o sistema
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	Substituindo na equação 1 sai que
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	Dados da circunferência: C(2,-4) R=1
	Equação reduzida:
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3)Determine os focos e os vértices no eixo real da hipérbole cuja equação é 25x² - 4y² = 100.
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Resolução
Dividindo a equação por 100,temos:
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Para calcularmos a semi-distância focal, fazemos
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Os focos são os pontos
Os vértices são os pontos 
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Exercícios
1)Determine a equação da elipse cujo centro coincide com o centro da circunferência 
	passa pelo ponto , tem excentricidade e cujo eixo maior é paralelo ao eixo y .
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2)Calcule a área do triângulo ABC, em que os vértices A e B são os focos da hipérbole de equação
	
	e o vértice C é o centro da circunferência de equação .
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3) Os pontos A (3,0) e B (0,3) são vértices de um triângulo; o terceiro vértice é o ponto M, interseção das retas de equações
2x – 3y + 9 =0
7x – 3y – 21 = 0.
	Encontre a equação da elipse cujo centro é o ponto C(0,0) , o semi-eixo maior é a altura do triângulo ABM relativa ao lado AB, e a excentricidade
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VALEU, GALERA!
	GRANDE ABRAÇO A TODOS E UM ÓTIMO FINAL DE SEMANA!
Prof. Armstrong