Cálculo de Derivadas

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Derivadas
É ^^ yarnáovo n letn se tolr\|er no reilor rLo §ci
e n igun ser constitnít{n por rLois gnses
alt auente i n (lntu ôv ei s.
f wránáe cientí(icn í se,+ryre nu ynrnÃouo,
se iulgnán yela evyeritncia cotiÁinna
/ne se lt7ltrnt à nynrtncin eftruera d,ns coisa.s.
Karl Marx (1818-1883 t.
filósofo e economista alemà.-
. Derivada de uma função
em um ponto
O desenvolvimento dos estudos matemáticos acompanhou a necessidade do homem de
melhor o universo fisico que o cerca. Particularmente, o cálculo teve sua aplica@o
ida aos fenômenos fisicos mensuráveis como, por exemplo, eletricidade, ondas de údio'
,luz, calor e gtavitaçío.
A seguir, estudaremos as derivadas, parte fundamental do cálculo.
Considerando uma função 
-f dadr-poÍ y : f(x), contÍrua e definida num intervaloá, e xo
elemento desse intervalo, represenfada no grâfico:
Ay
Acréscimo ou
incremento da
função
^xAcréscimo ou
incremento da
variâvel x
Se à variável x for acrescentado Ax a partfu do ponto xo, tefemos: xo * Âx : x ou
: x 
- 
xo (incremento da vartâvelx).
Logo, à função f(x) também será acrescentado Ây a pattft de f(xo). Então,
) + Ây : f(x) ou Ày : f(x) - f(Ç (incremento da função).
Chamamos de razío incremental da função f(x), a partir do ponto xo, a razío entre esses
f(x)-f(xo)_Ây
X-Xo 
^x
Ay e Âx.
Dizemos que a função f(x) é derivável no ponto x0, se o timite da nzío incremental
* 
(=] 
- 
5Ç ou tim S existir e for finito.r++ X 
- 
Xo -- t-oÂx
Nesse caso, a derivada da função f(x) no ponto xo será determinada pelo valor desse
e nepresentada por f '(xJ.
fíx) _ f(xo)f'(x^) : lim
xJxo X 
- 
Xn
Resolvidos
{ Calcular a derivada da função (x) : x2 no ponto Xo : 3.
Sef(x):x2 
= 
(3):32:9
Í,/.,\-,,* f(x)-f(xo)r (x^) :
.v' X_.xo X-XO
,.9f,(3):tim x'- 9 (xr-3).U-gx-3 x-g:X[r---a;g-
f '(3) : lin(x + 3) : 6
x--J
A funçõo f(x) : yz ederivável no ponto xo : 3,sendo f,(3) : 6.
2 Determinar a derivada da funçõo (x) : px3 
- 
1 no ponto xo : 
-2.
Sef(x) : 2x' 
- 
1 
= 
f(*9): 2 . (-9f 
- 
1 : 
-17
F,,..\_,_ f(x)-f(x") 9*_1_(_1-t\I(xô): ltm # 
= 
f'(-2): li6 -" ' , '., "r
' r,,o X- XO 
"--_p X-(-9)
t'(-2):.r,m"9f-*9 
- 
tim 2' G 4-)' (x1- 2x' 4) : tim 2. (x2 
- 
9x+ 4) : 24,"i-z (x + 2) *-'ls &+-91 -x+.ZS.L)t+9
A funçõo f(x) : 2x3 * 1 é derivável no ponto Xo: 
-2, sendo f ,(-2) : 24
opostos
flr,ll: "'::- i:' , '" - ".,, hX 'Í, illt)l"titl
Calcule a derivada da funçõo f(x), no ponto xo,
nos seguintes itens:
a) f(x) : x2 + 1, no ponto xo : 5
b) (x) : 3xe, no pontoxo : P
c) (x) : t', no ponto xo : 1
d) f(x) : 9x3 
- 
9, no ponto Xo : 3
e) f(x) : x3 + 4x, no ponto Xo = g
Dada a função f, ú P grau, por f(x) : 5. 
-
calcule,
a) f'(2)
b) f(5)
c) f(-1)
d) f(k), onde ké uma constante real
ffi
ffi
'lit:::,i,
Determine, se existir, a derivada da frmçfu (x)
no ponto xo, em cada item:
a) (x) : lxl, no Ponto xo : 2
b) (x) : Jf , no Ponto xo : 1
c) f(x) : Vf , no Pontoxo: 1
d) (x) : lxl, no ponto xo : 0
e) (x) : Jç, no Ponto xo : 0
f) (x) :3JV, no Ponto Xo : 0
Sabe-se qr.re a derivada da função I dada por(x) : f, rP Ponto \ : k é 12. Qual é ovalor
*,R
Ay
. Significado geométrico
da derivada
Para entender o significado geométrico da derivada, é iryc|zÍlm rtRsEr o conceito de
angtúar dateÍa, abordado na GeometriaÂnalítica- t
Considerandoafunçãoy:f(x)contínuaedefinidanointermloá,crrpgráficoércplese*
pela curva C, sendo ff e x0 elementos desse intervalo' comx + \'
Se a reta s, secante à curva C, é determinada pelos pontos Po (\, (xo)) e Kx' (x))' Pode-
dizer que o coeficiente angular de s é tg cr : Qf , 9u€ corresl»onde à Í'Áo
de f(x) no Ponto xo.
Observe que Se Ax tende a O, ou seia, se x tende a xo, o ponto P se aproxima de Po eLtÊtA
s tenderá à rcta t, tafigente à curva C no ponto P0'
SrcNtRc,roo GEoMíRlco DA DERIVADÁ
Se a reta s tende à reta t, entáo c tende a B. portanto,
Então, concluímos que: f'(xo) : tg B
A derivada da função f(x) no ponto xo é igual ao coeflciente angular (tg B) da reta t,
te ao grâfrco da função f(x) no ponto p(x, f(xo)).
Aequação daretalpodeserassimrepfesentada: f(x) 
- 
f(xo): f,(xo).(x 
- 
xo),oua
se f(x) : y, temos:
y 
- 
f(xo) : f'(xo) . (x 
- 
xo)
* 
f(x) 
- 
f(xo) 
_ 
Âv
x-)xo X-Xo =^HÉ:tgB
ffi"- ' d,6L: -- 
-
qil" 
-
ffi;
D
e
p
a
b
c.
d
e)
fl
5)
fiitffi
a) Sendo f(x) : *e, temos f(9) : 22 :4. Logo, o ponto P de tangência tem coordenadas p(2, 4)
o coeficiente angular da reta tangente à curva e dado por f ,(xo) : ri, f(? 
_ f('o) . Então,
. ,2 , '-*ot'(2): lim ^ -=*
w .ô w 
- 
(,
 Z
r(2):1i, §1j)-$:e : ax)y \Á:-Z)
b) A equaÇão da reta té dada por:
y 
- 
f(xo) : f'(xo) . (x 
- 
xo)
y-4:4.(x-2)
ou aindo
Y:4x-4
ft
y'
;;i:ti
SÊ.lrúrrc 
€0Fdr-o DÂ DERvÁDA
Resolvidos
í Considerando a reta f, tangente à curva definida por (x) : xp, no ponto de abscissa e, delerminar,
a) o coeficiente angular da reta ú b) a equaÇõo da reta f
tgB:f'(xo):4
Er Considerando a reta f tangente à curva definida por (x) : Ji , no ponto de abocissa l, deEnir.
a) o coeficiente angular da reta Í b) a equação da reta f
a) sendo f(x) : rç, temos (1) : J1 : 1. Logo, o ponto de tangência p tem coorderndc ryl -,
O coeficiente angular da reta f, no ponto de abscissa 1, á:
Í,t
t,
bu
f '(1) :
b) A equaçõo da reta f é dada por,
y 
- 
f(xo): f'(xo)'(x 
- 
xo)
1
2
lim
x+1
*"*t
I
t
;
t
I
l.
t
l
ropostos
Determine, em cada item, o coeficiente angular
e a equação da reta q, tôngente à curva definida
por f(x), no ponto de abscissa xo.
a) (x) : x3, sendo xo : 2
b) f(x) = W, sendo xo : 1
c) f(x) : 3x2, sendo xo : 1
d) (x) : xe + x, sendo.xo: 2
e) f(x) : 
-x2 * óx, sendo xo : 2
f) (x): 
-xe + óx, sendoxo: 3
s) (x) : 
-xe + óx, sendo xo:4
. Função derivada
Considemndo a função y : f(x),
ua e definida num intewalo A, e
lo  C A, podemos dizer que,
: f(x) é derivâvelparurodo x C A',
Ji 
- 
r i_ lç-=-rt .1
x 
-'l \-1 Çm.(fi + r)
..i"1!. r
.,6
:'
-r t:. 
':r: 
,
:i1/:i.::1,..,'1:;
i:.É=r
(UFPA) A equação da reta tangente à curva de
equaçãoy :2x2 
- 
1, no ponto de abscissa 1, é,
a)y:4x-3 d)y: 
-2x+1
b)y:4x-1 e)y:3x+2
c)Y:2x+3
Determine o coeficiente angular e a equação
da reta t, tangente à curva definida por
f(x) : 2ra 
- 
1, no ponto de abscissa xo : 1.
Considere que a reta t tangencia ô curva defini-
da por (x) : xe no ponto P. Determineas coor-
denadas de P, sabendo que ô reta t é paralela à
reta definida pory: x 
- 
2.
f(x + 
^x)
'{
y : f(x) é derivâvel emÂ.
-;rl{fr; Imur@p
Chamamos de função derivada de f(x), ou simplesmente de derivada de f(x), à funÇão
f'(x) ou y', para todo x € A. podemos obtêLa da seguinte forma:
Ây 
_ ,,_-- f(x + Âx) - f(x)Y' : f'(x) : lim T- : rm 
-------:-tr6-eg l\X Âx-+O AX
5Y
-lx
ll.
-lx
4. Derivadas de funções
elementares
Vamos calcular as derivadas das principais funções elementares, utilizando a definiçío f
vista, de tal forma que a sistematização dos resultados obtidos facilitem o nosso estudo.
Funçd,o artm
Considerando a função f(x) : ax * b, sendo a e breais e u s O,temos:
Ây_f(x+Ax)-f(x)
^x ^x
Ây 
_ 
[a(x + 
^x) + b] - [ax + b]
^x: 
:a,(VxeR)
Âvf'(x; : lim ;=: lim a: a
try--eQ AX Àx-+o
Portanto: f(x):ax*b 
=â f'(x):2
Exemplos:
a) se f(x) : 7x, então f '(x; : 7
b) se f(x) 
- 3x + 5, então f '(x) : 3
c) se f(x) : 
-2x * 9, então f'(x1 : -2
O se f(x) : 4 + 2x, entáo f ,(x) : 2
> Quando a : I e b : 0, temos a função identidade f(x) : x. portanto, a derivada
funçãoéf'(x):1.
-': ,: -_'.-_:: :-:l':'. :1-\
Consi
Logo:
Exeml
a)seÍ
b)sef
Consid
L-tilizeÍ
ã'1§i
Aplican
Funçã,o constante
Considerandoa função constante f(x) : b, temos:
Logo: f(x):b+f'(x):g
Exemplos:
a) se f(x) : J6, então f'(x) : I
-2b) se f(x) : -T, então f'(x) : 6
Função potência de expoente natural
Considerando a função f(x) : f, n € [.,]*, arazio incremental de f(x) é dadapor:
Ay 
_ 
f(x + Âx) 
- 
f(x) 
_ 
4I _ (x * Âx)" - x"
^x ^x 
-^x 
^x
Utilizando o binômio de Newton, temos:
Ay 
_ l|)n-.(?)""-1 ax. (;)-"-' '(a*)z + . (l),*,n -r
*: (t)-"-r +(;)-"-2'^x.(;)""-r (Âx)2 + *(i)<l*>"-'
Àplicando a definição de função derivada:
(?)
w
Âvf'(x) : lim -! :Âx-+O AX x'-l : n ' xt-1
DEWACÀS E 1i(aÉj 
=juE{:rrE
Iogo:
Exemplos:
a) se f(x) : x2, eÍ1táo f '(x) : 21
b) se f(x) : x5, então f '(x) : 5x4
c) se f(x) : x7, então f '(x) : 7x6
f'(x) :
Logo:
f(x): xn + f'1x;: n.x'*1, n € [.{*
Âr
^x
Considerando a função f(x) : sen x, a tazáo incremental de f(x) é dada por
Ày f(x + Âx) 
- 
f(x) Ay sen (x + Âx) 
- 
sen x
Ax Âx ---Ax 
^x
Lembrando que sen p 
- 
sen q: z. ,.r, f . .o, gf 
'
^ 2sen 
a* 
. 
.o, í* * 4r)Ay_ 2 \ 2)
^*- 
A*
( 
^x\'cos[x" 2)
Aplicando o limite trigonométrico fundamental lim §19 : t'Âx-+0 CI
Ax
: lim 
o-"^T 
. lim .o, í* + 41)Âx+o AX Âx-+o \ 2 )
Funçã,o seno
2
Âv
.J
Ax
Âx
sen 
-
2
Ax
2
lim Ây
^x-+0 
ÂX
cos x
f(x): senx + f'(x): cosx
Funçã.o cosseno
Ânalogamente com a função f(x) : cos x, obtemos a deúvada de f(x), fazendo:
Ay f(x * Âx) 
- 
f(x) cos (x * Âx) 
- 
cos x
a) f(x)
b) f(x)
c) f(x)
obtenha
ü+
^x-
lç ' . ,;*s t€ :-.,11-= :-rií;N-:ARES
Av
-\ ----:-
-^x
ffi
^x
Ax b) s'(x)
Como cos p 
- 
cos q : 
-2ser=" t.r, f , temos:
Ây
Âx
f'(x; : li-
Âx__+O
Âr
^x 
tr+o
Logo:
f" *.
Resolvido
J
Sendo (x) : t, determinar a derirada de f
-sen x
(x):co§x 
= 
f'(x): 
-seÍrx
-x3 + 3x2lx + 3x(lx)2 + (^x)3 
-xa,t'Ay
Ax
Ây
AX
l3x2+3x1x- \.
Ax 3À{
Lntôo, I(x)' l-n 
.. 
:
fr-rl --IÀ
Usando a fórmula, temcs,
Então,f'(x):y2
ropostos
Determine as derivadas das seguirÊes frrçÕ€s:
. 
(Âx)2
3
"3
a) f(x) : 
-x
b) f(x): 
-5x
c)f(x):7x-4
d) (x): 
-9x * I
e) (x): a+
f ) (x): 
-ie
Considere as funções (x) : xe e g(x) :
obtenha,
1
a) 
, 
.f(x)
b) s(x)
Considerando a função f(x) : run x, delermine
«or.r,(â)
/\
Determiner (;) * 2 . r'(â), *o",do que
f(x) : .or r.
Delermine o coeficiente angular e a equação da
reta (, tôngente ao gráfico de f(x) : sen x, no
ponto de abscissa *o : ã
t'
2','
Denrvaoas DE FUNÇÕES ELEr,{ENTARÊs
(Santa Casa-SP) A equação da reta tangente à curva, definida pela função (x) : cos x no ponto de abscissa
,:!,e,
ô)v-;:f(,-ã)
b)y-ã:-f(,-+)
c)v-á:-f(,-ã)
d)Y-
e) n.d.a
x 
-h(.. 1\3- 2t"-rJ
Exer
a) se
b) st
c) se
f
s
5. Propriedades operatórias
das derivadas
As propriedades operatórias facilitam a obtenção de novas funções derivadas, como a
derivada da soma, da diferença, do produto e do quociente das funções u(x) e v(x), deriváveis
no ponto r. Elas estão fundamentadas nas propriedades de limites.
Deriaada da sotnq, de funções: f(x) - u(x) + a(x)
f(x*Ax)-f(x)
Ax
lu(x * 
^x) + v(x * ^x)l - [u(x) + v(x)]
v(x*Ax)-v(x)
Ây
Âx
Ây
Âx
Ây
a)
b)
c)
^x
^x
_ 
u(x + Ax) 
- 
u(x)
Âx
+
Âu
^*
^x
Âv
A"
r'(x) :*To 
* 
:Á,ry, 
* 
.;g| 
* 
: u'(x) r v'(x)
Logo: f(x) : u(x) * v(x) + f'(x) : u'(x) * v'(x)
> Considerando fr(x), fr(x), ..., f,,(x), deriváveis no ponto.r, temos:
(x): f,(x) + fr(x) * ...+ f"(x) 
= 
f'(x): fl(x) + f](x) +...+ fi(x)
fo=qp.;es gnç.À-aÊ.'.s 
--.Ês l:R./ÁDAs ffi
Exemplos:
a) se f(x) : x2 + x, então f '(x) : 2x * 1
b)sef(x) :x2 + 4x* 4,entãof'(x): 2x* 4 * O: 2x* 4
:ãof'(x):-3x2*12x*8c) se f(x) : 
-x3 + 6* * 8x - l, enl
Deriaade de diferença de funções:Í(x):u(x)-a(x)
Usando procedimento análogo ao que foi rcalizado nas derivadas da soma de funções,
obtemos:
f(x) : u(x) 
- 
v(x) + f'(x) : u'(x) 
- 
v'(x)
Exemplos:
a) se f(x) : x3 
-
i b) se f(x) : *x2
i .>sef(x):xr-
t
3x, então f'(x) : 3* - 3
- 
x * l,entãof'(x) = -Zx- I - O : -2x- t
3vJ + 5, entãof'(x; : 3i - 6x * o : 3x2 - 6x
Resolvido
ConsidereasfunçÕesfegdadaspor(x):xe-cosxeg(x):senx+x.Calcularovalordaexpressõo
' 
(;) + g'(n)
Determinando inicialmente as funçÕes derivadas f ' e g', temos:
f'(x): u'(x) 
- 
v'(x) - 2x - (-senx) = f'(x):2x * senx
S'(x) : u'(x) +v'(x) : cosx + 1 = g'(x) : cosx + 1
Calculando o valor da expressão,
-.ír\ (^ n n)t [ô, +s'(r): [e Ç+ sen'2) * {rotn+'1) : n* 1 - 1 - 1 : n * 1
DeÍtermine as derivadas de (x), nos seguintes
itens:
a)(x):xe+x+9
b)(x):x2-3x+2
c) f(x): x3 + x2 + 4x
d) f(x) : x3 
- 
27x + 10
e) f(x) :9x2 
- 
Bx + 5
f) f(x): x3 
- 
óxe + 7x
s)(x):-7:lc+2xe+5x+ó
h) (x): x3 
- 
óxs 
- 
15x 
- 
B
Considere f(x) : 2x3 + 15xe + 19xe determine
f'(1 ).
Considere f(x) : 2x3 
- 
15x2 + 3óx 
- 
7 e
s(x): x3 - óx2 +11x - 6edetermine
f'(0) 
- 
2. s'().
Determine f'(0), sabendo que
f(x):r"nx+cosx.
Considere f(x) : Z . cos x 
- 
sen x e delermine
.,í ,,)
'Is/
Dadas as funçÕes f(x) : 5un x e g(x) : cos x,
calcule o valor da expressão
cosx . f'(x) 
- 
sen x . g'(x).
-ffi
I
b;
Deriaad,a do produto defunções:
Í(x):u(x).a(x)
Ây
^x
f(x*Âx)-f(x) u(x * Âx) .v(x + 
^x) - u(x) 
.v(x)
u(x + Âx) . v(x + Âx) 
- 
u(x) . v(x) 
- 
u(x + Âx) . v(x) * u(x + Âx) . v(x)
^x
u(x * Âx) . [v(x + 
^x) - v(x)] * v(x) [u(x + Âx) - u(x)]
Av
'^x rol
Ccr
a)
b)
c)
d)
e)
f ) r
s)l
h)t
Ây
^x
Ây
Âx
Âvf'(x) : lim ;:: lim u(x + Ax) . limÂx-+o AX Âx-+o ' 
-- a-*-»b
- 
víx) 
,_ u(x + Ax) - u(x)+ lim (x)Âx-+O'-Âx--+0 
^X
v(x + Ax)
u(x)
\__vJ
v(x)
f(x) : u(x) 'v(x) + f'(x) : u(x) . v'(x) * u,(x) . v(x)Logo:
Exemplos:
a) f(x) : 6x2
f'(x) : u(x) ' v'(x) * u'(x) .v(x)
f'(x) : 6' 2x * O' x2
f'(x) : 12*
Note que se k e R e f(x) : k . v(x), enrão f,(x; : L
hclqBÀE Grj\TosÀs DAs DERMpoAs
v'(x).
-'7 e
L.mr-
b) Se f(x) : (x3 
- 3x) . (-t' - x - t), então:
f'(x) : u(x)' v'(x) f u'(x) . v(x)
f'çx;: (x3 
- 
3x). (-2x- l) + (3x2 
- 
3) . (-x2 
- 
x 
- 
t)
f'qx;: 
-2xa -x3 + 6x2 +3*- 3*n _ 3x3 
-3x2 -t 3x2 *3x* 3
f'1x; : 
-5xa - 4x3 + 6* + 6x + 3
sen 2xc)Í(x): 2 :senx.cosx
f'(x) : u(x) . v'(x) * u'(x) . v(x)
f '(x) : seÍl x .(-sen x) * cos x . cos x
f '(x) : cos2 x 
- 
sen2 x
u(x)
Propostos
9í Conhecendo f(x), determine f'(x):
a) f(x) :3 '(x2 + 9x + 1)
b) f(x) : 
-4 '(sen x)
c) f(x):3.cosx
d) f(x): (x +'1).(xe + ex+ 4)
e) f(x) : (-qx + 4) . (4x2 + 4x + l)
f)f(x)=x?1x2+x+'1)
S) f(x) : 
-x(5x3 + 2x +'1)
h) f(x) : 
-5x2(3x2 + 4x) a)\:n b) x :2r
Deriaada do quociente de furrções:
u(x) ;u(x)*Oa(x)
Procedendo de modo anâlogo ao desenvoh-imento das derilzdas do produto de funções,
f(x): fP-
v(x) = f'(x):
Determine as derivadas de (x):
a) f(x) : 
-x3 . cos x
b) f(x) : 
-x2 ' sen x
Considere (x) : 
-sen x . cos x e
S(x) : 9cos2 x. Demonstre que f '(x) + g(x) : 1.
Sendo (x) : x sen x, calcule a derivada de
f(x), no ponto xo : 22.
Determine o coeficiente angular rn e a equô_
çõo da retô tangente à curva definida por
f(x) : 2 ' cos x no ponto de abscissa,
Pnopnteoaoes opERAToRtAS DAS DERtvADAs
kemplo:
-2 
- 
<--
se f(x): f - T, então:'2x-5'
6. 1
C(
derivar
Ây
^r
Fu
m-+-(
Caso
Resol
Deten
,. 
ô) (x
a) f'(r
b) ser
f '(x
f '(x',
f'1x; :
f?(x; :
f'(x; =
(2x- 5),(2x* 3) 
- 
(x2 
- 
5x).2
4x2-6x-10x+15-2t'+tox
4x2-lzx*9
-,,.,,rr",,11""",Ífi;lr.::l".,"".:. ', iit
Resolvido
Sendo (x) : tg x, obter f '(x).
. SCNXConstderandotg x : ff u, arnda, u(x) : sen xer(x) : cot )i I i.:. t,,irlLU5X
f,ív)_u'(x)v(x)-u(x)v'(x) r Í,/.,\_ cosx.cosx- ser ,y ( ,., ,, \/\/ . 9 + I \^/(v(x))' (cos;<;'
o(,/,,\_ cos'x+sen2x 1 n|\^./-- o 
-:------------a-:SeC 
XCoS. X CoS. X
Portanto: f(x) : tg x + f'(x) : sec2x.
Propostos
I Conhecendo (x), determine a derivada f ,(x), nos
,:. seguintes côsos:
"l a) (x) : 9x; 1
0,
b) f(x):++
', t' «'>: \11
d) (x) 
- o5x'=x'+ 3
,: 
, (x): §ql!
f)(x)-1+cosx
SCN X
f,íx):2x2-6x*154x'-lzx*9
§?,r Sendo f(x) : ço1t (x), obtenha f '(x).
(UFPA) O coeficiente angular da reta tôngerc
A
à curva f(x) : 
* _ 1, no pontoondex : g, c
iguala:
a) 
-4
b) 
-e
c)0
d)e
e)4
Determinz as derivadas de f(x), nos seguirm
itens'
a) f(x) : sec x
b) (x) : cossec x
Der""qm, hraoas
6. Função logarítmica
Fazendo IÂx
-à 
-oo
b) (x): f ' log, x
Considerando a função (x) : log.x onde x ) 0 e o ( 
^ 
s l, podemos determinar a
f'(x) do seguinte modo:
: m, temo, fl : t"q (t . *I e quando ax -+ 0, então m -+ *oo, ou
-'''' 
, 
'
s'1x):*$*:gn**"(r.*)-
L1
f'1x) : mqd ou f'(x) : i . log" e, ou ainda:
(x): loqx â f'(x) : Ix'lna
Caso a base do logaritmo seia e,nímmo de Euler:
(x): Inx + f'1x; :1
x
Mffi ffi- ffi
-:
lvido
Determinar as derivadas das seguintes furções:
a) (x) = log, x
a) f'(x): 
* .+T
b) Sendo u(x) : x2 e v(x) : loSs x, então f'(x) : u(x)v'(x) + u'(xXx)
f'(x) : ><' . t+T + 2x . logs* : # + 9x . togux = x. (togse + togrx)
f '(x) : log, (e ' xel'
I
FultçÃo LocnnÍlurca
Propostos
fl, Ddemineas derivadas das seguintes funçÕes:
a)(x)=x'logx
b) f(x) = x3 ' logu x
c) f(x) - ln x
COS X
d) f(x) : 2ln x ' cotg x
7. Função composta
Eí, Consideref(x): xa 
- 
lnxedeterminef'(1).
Determine o coeficiente angular e a equação da
retô que tangencia o gráfico de f(x) : ln x, no
ponto de abscissa Xo = 1.
Calcule a derivada de
f(x) : ln x ' (x2 * 5x + 5), no ponto xo : 1.
a)
b)
c)
a) -
a)
b)
c)(
considerando as funções g e Í, de tal forma que g seja derivável no ponto x e f selederivável no ponto u : g(x), podemos demonstrar que a função compos tay :f(g(x)) tambémé derivâvel em r.
Inicialmente, escrevemos a identidade:
Ây_Ây.ÂuÂx Âu Ax
Devemos observar que a função y : f(g(x)) sendo defivâvel, é contínua no ponto.r; logo-se Âx 
-> 0, então, Âu + 0. portanto:
rfG(x))r, :*s 
*:J,,r, ff xgl f,}
;.r-;õ
tfG(x))l' : f'(u) . g,(x), sendo u : g(x), temos:
tfG(x))l': f'G(x)) . g'(x)
d)
e)
8.F
Co
Õ segu
Logo:
C'
solvido
Determinar a derivada das seguintes funções compostas:
a) (x) : ln (xe + 1)
b) f(x) : sen (3x * 1)
c) (x) = (x2 * 9x + 10)2
a) Fazendo 5(x) : x2 + 1 ef(s(x)) : ln(xe * 1), temos:
y' : I(s(x))l' : f '(s(x)) ' 5'(x) = Y' :7+ a": fu
b) Fazendo g(x) : 3x + 1 e f(g(x)) : sen (Sx + 1), temos:
y' : I(g(x))l' : f'(g(x))' g'(x) = Y' : cos (3x + 1) ' 3
c) FazendoS(x): x2 + 9x + 10e(S(x)):1x2 + 2x + 10)2, temos:
Y' : tfG(x))l' :9(x2 + 9x + 1o) ' (2x + 2)
y' :2(9x3 + 9f + 4x2 + 4x + 20x + 20)
Y' :4x3 + 12xe + 4Bx + 4o
§{1)-
iÉoôhlçmt
t
Il:n
l.- r'
',/
I
t
t
ropostos
Obtenha a derivada das funções:
a) f(x) : sen 2x f) (x) : cos x3
b) f(x) : cos 3x S) (x) = tg(xe + 1)
c) f(x) : sen2 x h) i1x; : (x2 - 1)4
d) (x) : s€n Xe i) (x) : ln(sen x)
e) f(x) : cos2 x j) f(x) : ln(-cos x)
Considerando f(x) : sen (cos x), obtenha
,,ín\
'\.s/'
Determine a derivada de f(x) : sen x3 ' tg x.
Obtenha o coeficiente angular e a equação da
reta tangente à curya (x) : ln(x2 - 3), no ponto
de abscissa xo : 2.
Funçío potência de expoente real
Considerando a função f(x) : Xo, x € Rl e n € R, a derivada f'(x) pode ser determinada
te modo:
f(x) :;n
f(x) > O patatodo r real positivo, podemos escrever:
ln f(x) : lrL x'
ffi
I
estudo dos logaritÍnos, vem:
Ft;xr:ÂC oO-=<.r ]É elrcE{= EIL
observe que o segundo termo da igualdade é uma função composta.
Derivando os membros da igualdade, temos:
lr
q§' f'çx; : n' : e, sendof(x) : *".
f '(x) f'(x):"'+ 
=+ f'(x)=n.f -lx
:ffiH--ryil wffij::::::X: ffi-*'- ffi:_ ,,ft,il__.::-:_
f'(x): 
-3x-3-1 - 
-3x-a = f,(x) = _+
15r: 
-=+ =+ f,(x): lx5Vx" 5x
tos
Determineas derivadas das seguintes funçÕes com domínio Rf :
n
xf
itrffi
a) f(x;: 
-1-
b)(x)=+
c) f(x) = 
",Ã
d) f(x) = Vx
e) f(x) = 3.fi
f) f(x) = Vf + x3
s) (x): JPIJ
h) f(x) = xú *'J2+1
Calcule as derivadas das seguintes funções:
a) (x) = Jsenl b) f(x) : Vi .cos x
Sabendo que f(x) = VF, calcule f,(.1).
fi
b) f(x): W =+ f(x) : xÍ
Ftrçrro eora8a DE D@oENIE REAI
c) f(x) :
sen x
9. Função inversa
--§8** 
"f
éF -%*
-\
-\
\
considerando a função invertível y : f(x), derivável no ponto ff' onde f '(x) + 0'pfu
demonstrarqueafunçãoinversax:f-r(y)tambéméderivávelnopontoy,ondey:(x)'
Escrevemos a identidade:
^x1
-:-Âv Âv
^x
Devemos observar que y : f(x) é derivável e contínua no ponto x; logo, se Àx -> 0,
km-se Ày + 0.
Então, [f-l(Y)]' : J]S
Âx
^y
: lim
Ax-+0
1
f '(x)
c)Y:(x)=arccosx
Portanto:
Determlnar a derivada das seguintes funções:
a)y = f(x) = fi b)Y: (x):arcsenx
a)x:yo 
= 
x'1y;=4r'
111y (x) : (y) :4: 4 .w
x : f-r(y) 
= tf 
-l(y)r' : #
rrff",ilil
Observe que poderíamos ter aplicado a derivada de função potância de expoente reai
tEg"g\_
9. Função inversa
--§8** 
"f
éF -%*
-\
-\
\
considerando a função invertível y : f(x), derivável no ponto ff' onde f '(x) + 0'pfu
demonstrarqueafunçãoinversax:f-r(y)tambéméderivávelnopontoy,ondey:(x)'
Escrevemos a identidade:
^x1
-:-Âv Âv
^x
Devemos observar que y : f(x) é derivável e contínua no ponto x; logo, se Àx -> 0,
km-se Ày + 0.
Então, [f-l(Y)]' : J]S
Âx
^y
: lim
Ax-+0
1
f '(x)
c)Y:(x)=arccosx
Portanto:
Determlnar a derivada das seguintes funções:
a)y = f(x) = fi b)Y: (x):arcsenx
a)x:yo 
= 
x'1y;=4r'
111y (x) : (y) :4: 4 .w
x : f-r(y) 
= tf 
-l(y)r' : #
rrff",ilil
Observe que poderíamos ter aplicado a derivada de função potância de expoente reai
tEg"g\_
it::''
b)y:ôrcsenx (+ x:sefiy
x'(Y) : cos Y
-'-v'r'v): 1 
- 
1
cos y J1 _ ,.rrn ,t1 _7
y: ôrC Sen X + y' : 
-=-l-
"n-r,
Observe que a funÇõo y : ôrc sen x se define zm l_ 1, 1) e lem imagens em [- n n1
- L'z'z)eea
inversa da função x : sen y. Logo, teremos x'(y) : cos y, sendo x'(g * O em ] -;,tl
c)y:ôrccosx <+ x:cosy
x'(Y) : 
-sen Y
..,r/.,\1_ 11
" t \"' 
-seny 
-ú _ãF, ,tt _.,
Y:ATCCOSX 
= 
Y': __L
"t1=
observe que a funçõo y : arc cos x se deÍine em[-1,1] com imagens no intevalo [0, rc].
tos D eter mine as derivadas :
a) y: (x): V2x - t
b)y:(x;= fi+W
c) Y : f(x) = arc sec x
d) y = (x) : arc cossec x
I
b
Determine as derivadas nas funções seguintes:
ô) y: (x): fi
b) y: f(x) : lfi'
c)y=f(x):6t 1t*
d) y: f(x) : 6t cotg x
10. Funçáo exponencial
1r:-.i'(x)
' f(x) . log. a '
f'1x; : f(x) ' log. a
a)
a)
Considerando afunçãof(x) = a*, onde 0 ( a r 1, podemosdeterminaradeivadaf,(x)
seguinte modo:
f(x) : a*
) Lembre-se que a função logarítmica é inversa da função exponencial.
x = 1og, f(x)
) observe que o segundo membro daigualdade é uma função composta.
Derivando os membros da igualdade, temos:
Foçro m,ancm
Sendo f(x) : ax, temos:
f'(x): L' 'logra
(x) : * + f'(x) : a* ' log. a: a* 'laa
Paru afunção exponencial (x) : ef temos f '(x; : e* ' [og. e : e'.
(x)': er =+ f'(x) = çx
) Caso f(x) : asG), temos: f'(x) : díà' g'(x) ' log. a
:
i
a
IL
Í:,
f
!iig
G:
*r,t
Exemplo:
Se f(x) - 9x, então, f'G) - lF ' hg" 9
jr-
lvido
Obter as derivadas das funções'
ô) (x) : 3ex b) (x): $
a) Sendo S(x) : 2x, temos:
f '(x) : ôs(x) . g'(x) . log"a
f'(x):3e*'9'logu3
Observe que'
9' . logu Ç : 3zx' logu3? : 3*' 9' logi3
tos
Calcule as derivadas das funçÕes seguintes:
a)f(x) : 4x
b) f(x) : 2e*
c) (x) - 
-sx I s-x
d) f(x) : 3senx
{*d:_=_
b) Sendo u : e* eY : x', temos:
t,,.\ u'(x)v(x)- u(x)v'(x)| (x.i: 
----- 
"t(x)
*
=
;i-êê
Delermine as derivadas das seguintas fuçÕes,
a) (x):6sx c)(x):4.'cosx
b) f(x) 
- 
53"-' d) (x) : 5s'
Sabendo que f(x) = esen x - Gt, determine
,ría\
' IEJ
F$(Ãc Éec\3.CiÂi-
lz.Vari açáo das funções
Paru fazq o estudo davariaçáo de uma função f(x) é importante conhecer os intervalos
nos quais ela é crescente ou decrescente, os seus extremos e os pontos de inÍlexão.Vamos,
então, conceituar estes itens:
Funçã.o crescente e decrescente
Considerando a função y : f(x) contínua e derivável num intervalo á, e um ponto genérF
co P(xo; f(xo) do seu gráfico, xo € À e lembrando que o valor da derivada nesse ponto é du&.
pelo coeflciente angular da rcta r, tangente à curva que representa essa função, no ponto &
abscissa xo, temos:
R
I
r';I''r:r':r':rl
'l+isasbi oo(s(9oo
Se o valor atribuído a .r aumenta e o cor-
respondente valor de f(x) também, então a fun-
ção é crescente no intervalo á.
2acaeol 90o < cr ( lgoo
f '(xJ : tg d ) 0 c+ f(x) é crescente emz{
f '(xJ = tg cr ( 0 er f(x) é decrescente emá
Se o valor atribuído a.x aumenta e o corres-
lrcndente valor de f(x) diminui, então a função
é deqescente no intervalo 24.
f(x )
'u-
f(xr)
f(xr)
}€
a)
b)
VnnrnçÃo D/s ruNçÕEs
Xo Xt X,
lvidos
Conhecendoafunção(x):f-5x+4,determinarosintervalosnosquaiselaécrescenteedecrescente.
Determinando f '(x): f'(x) : 9x 
- 
5
Determinandoa raizdef'(x): f'(x) : 0 
= 
2x 
- 
5 : 0 
=
Estudando os sinais de f '(x), temos:
f(x)>0 
= 
2x-5>0 + x>|,toSo, f(x)écrescente
:+ x < f ; toso, Kx) é decrescenle
5
*:,t/
tq}C
m
f'(x) < o
= 
2x-5<0
Portanto, f(x) é crescente em [á, *- l. aecrescente em
Conhecendo a funçõo (x) : t' 
- 
Sf + 8x 
- 
4, determinar os intervalos nos quais ela é, crescenle e
decrescente.
f '(x): 3xe 
- 
10x + B
I sl
I - *,Dl
i
r
l
I
-x':2f'(x):0 
= 
3x2-10x+ B:O {
--.\
---r- 
-" : +
Estudando os sinais de f (x), temos:
f(x) > 0 
= 
x. {ou x } 2; logo, (x)écrescente
f(x)<o 
= á 1x12,logo,f(x) édecrescente
Portanto, f(x) é crescente em ]- -,+] ou 12, +oo1 e decrescent " l{ , Z).
roposto
Determine os intervalos nos qmis c furções seguintes são cr-escentes ou decrescentes:
a)(x):3xe-6x+3
b)(x):9xe+2x+1
c)(x):x3-3xe-9x-2
d)f(x):3x3-óxe+3x-1
JrA.\:t ]Â::-trü(ÉE
Extremos de uma,função
Considerando as funções representadas nos gráÍicos seguintes, temos que a rreta t,tangeÊ
te a esses gráficos no ponto de abscissa xn, é paralela ao eixo ff, portanto:
I
\co
i
lsreâso f'(xo) : tg o( : 0
xo é um ponto de máximo relativo
de f(x).
f(x) é um valor extremo da função.
Caso a função f(x) possua xo como ponto de
avizinham de xo, encontramos:
2a caso f'(x) : tg o( : 0
tponto crítico
. Xo é um ponto de mínimo relatiuo
de f(x).
. f(xJ é um valor extremo da função.
máximo relativo, para os valores que
. para x, ( x? temos tgar> tgaz
eaindaf'(xr) > f,(xr).
. pataxrl x4, temos, tga3> tg0-4
e ainda f'(xr) > f'(x).
Logo, f'(x) é decrescente neste intervalo
e f"(xp é negativo.
No caso de ponto de máximo relativo, temos, resumidamente:
xl x2 xO xa x4
Se f'(x) : 0 e f"(xo) ( O, então,
xo é ponto de máximo relativo da função f(x).
.;-
-,2--
i--
.- 
-,L
ix^tu
I
I
I
I
I
I
I
I
I
r"r,eÀits: }s.-l\(E ry
posto
Determine o móximo elou o mínimo rerativos das seguintes funçÕes:
:i:"' '_ _ ..*
a)(x):xe+2x+4
b) (x): 
-2xe + 3x + 1
c)(x):x3-4xe+4x+16
d)f(x):2x3-5xe+4x+1
a reta r, Ang€nte a es§e gráfico no ponto de
,I
-T
--]_0l
-i
- 
rt-
i
I
. PaÍa valores imediatamente à esquerda de xn, temos:
x, ( A =+ tg o, ) tg d2, e, portanto, f ,(xr) > f ,(xr)
Iogo, f'(x) é decrescente.
. Fara valores imediatamente à direita de xo, temos:
a ( x< =+ tg ol ( tg a4, e, portanto, f ,(xr) < f ,(xn)
Iogo, f'(x) é crescente.
vimos que no ponto de abscissa xo, a função f '(x) passa de decrescente para crescente,
#ffiLT,t*. sendo ponto crítico dê f '(x),-não é áàsiderado ponto máximo relatirro, o
d. á3:", 
a derivada f"(xJ se anula e o ponto (xo, f(x) é considerado ponto de
Ânalogamente, temos um ponto de inflexão com abscissa xo se f,(x) for crescente
HTf:diaamente à esqueida de xo e f'(x) for decrescenre para valores imediatame
ropost
Daermine
a) (x):;
b) (x): r
Considerei
pontos críí
Pontos de inJlexão
Considerando o gráfico da função f(x) e
abscissa xo, podemos perceber que:
dircita d. \.
,,";,I_>:-
lvido
Determinar a abscissa do ponto de infl«ão da função f(x) : vs - óxe + 9x - 1.
f'(x): 3xe 
-12x + 9 e f"(x) :6x- 12
Vemos que f'(x) é uma função quadrática com a > 0
(concavidade para cima) u r" : 
-* 
: 9. Logo, imedia-
tamente à esquerda dex: I ela é decrescente eimedi-
atamente à direita de x : I ela é crescenfe.
Alám disso, temos:
f"(x):0=óx-12:0+x:2
Então, f"(2): 0. Sendof"(x) < 0 parax <2,eÍ"(x)> 0
para x > 9, concluímos que x : 2 é abscissa do ponto P
de inflexão de f(x).
f(9):93-6'22+9'2-1:3
Portanto,P:(9,3).
tos
Determine a abscissa do ponto de infla<ão das funçÕes:
a) f(x): x3 
- 
3xe 
- 
9
b)(x):x3-3x*2
considerea função(x): f - 4xe + 5x - 3 edelermineo intervaloem que f(x)êcrescente, decrescente, c
pontos críticos e o ponto de infla«ão.
lt;íl
'{l
.x+
:
t
gronto de
c8escente,
iclativo,
ode
Ílescente
diatamente
icha--resurrao
Dqiaada de uma funçã,o Í(x) num ponto
f'(x^) = yl- = tiro f(x) - f(*,x-+xo X 
- 
Xo
Significado geométrico da deriuada
f'(xJ : tg Ê
'fiqUaç&r,da:reta,Í,
Y-f(>il:f'(xJ.(x-xJ
Funçã,o deriuad.a
;
;
y': f'(x) : 1i,, g
6;-;9 AX
ou
f'(x) :1- fG + A*) - f(*)Âx-+o 
^x
[«,.
'1
Der
Fun
loga
uã
exp0
Deveoes
Propriedades operatórias das deriuad,as
f(x) : u(x) * v(x) + f'(x) : u'(x) * v'(x)
f(x) : u(x) 
- 
v(x) + f'(x) : u'(x) - v'(x)
f(x):u(x)'v(x) + f'(x) =u(x)'v'(x) * u'(x)'v(x)
f(x) : k' v(x) + f'(x) : k' v'(x)
Defivada
f1(s)e,,0, , '
f'(x) : a
,t:
f'(x):fl'xo-l
1
x.lna
1f'(x)::x
f'(x) = aI ' ln a
f '(x) : .x
I+
Função cornposta
Função inuersa
y: fGG)) 
= 
y'- [fGG))]' : f'GG)) ' g'(x)
x:f-r(y) + tf-10)l':?à
(x): b
f(x):ex*b,t+O
(x):x ,l'
f(x):f,x€Rieo€R
f(x):lo&rx€Rieo(a+1
f(x) : ln x
f(x) = ar
f(x) : s"
Deriuadas de funções particulares
Função (respeitadas as condições de existência)
. ii,i ttt,:t,r' i
cp{rstrdütei"," ,
afim
identidade
potência
' ;l;'ii,'l,r r,l, I r 
" 
rr r
:i: ,.' l'l','t li'ltogaffi,,.
logarítmica
,expoggqcial r
exponencial
x+
Frcua-ngsurc
Goo
co§seno
r2ngente
cotangente
secante
cossecante
afco-seno
f(x) = sen x
f(x) : cos x
f(x) = 1* *
f(x) = cotg x
f(x) = ss. x
f(x) = cossec x
f(x) = arc sen x
afco-cosseno f(x) : arc cos x
afco-tangente f(x) : arc tg x
arco-cotangente f(x) : arc cotg x
arco-§ecante f(x) = arc sec x
arco-cossecante f(x) : arc cossec x
f'(x) 
= çqs 1ç
f'(x) = 
-Sen x
f'(x) : sec2 x
f'1x; : 
-cossecz x
f'(x):tgx.secx
f '(x) : 
-cotg x . cossec x
f'(x) :
f'(x) = l*x2
f '(x; : 
--fl*xz
rar
ten
rela
riat
pas[
sívd
gerÍ
perÍ
OS
que
M
que,
que
po
f'G) = pl
pi
con
f'íX): 
---L
x.Jx2-t
riaçã.o das funções
f'(xJ: oef"(xp ( 0 + (xo,f(x))épontodemáximorerarivo de f(x).
f'(xJ : 0 e f"(xp ) 0 =r (xo,f(x)) é ponto de mínimo relarivo de f(x).
f"(xp : g
f '(x) é decrescente parax < xo
f'(x) é crescente para x ) xo
ou vice-versa
=+ (xo, (xD é ponto de inflexão de f(x).