fundamentos teoricos do pensamento matematico

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Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-0159-0
Fundamentos Teóricos
do Pensamento Matemático
Fundamentos Teóricos
do Pensamento Matemático
Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho
Magna Natália Marin Pires
Marilda Trecenti Gomes
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Fundamentos Teóricos
do Pensamento Matemático
Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho
Magna Natália Marin Pires
Marilda Trecenti Gomes
2010
Mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). 
Especialista em Educação Matemática pela Universidade Estadual de 
Londrina (UEL). Licenciada em Matemática pela UEL.
Magna Natália Marin Pires
Mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). 
Especialista em Educação Matemática pela Universidade Estadual de 
Londrina (UEL). Graduada em Matemática pelo Centro de Estudos Supe-
riores de Londrina, em Química pela Fundação Faculdade Estadual de 
Filosofia, Ciências e Letras de Cornélio Procópio e em Ciências pela Univer-
sidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho.
Marilda Trecenti Gomes
Doutora em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista 
Júlio de Mesquita Filho. Mestre em Matemática pela Universidade Esta-
dual de Campinas (Unicamp). Bacharel em Matemática pela Unicamp.
Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho
Sumário
Resolução de problemas ....................................................... 15
O que é um problema? ............................................................................................................ 17
Etapas para resolução de problemas ................................................................................. 22
A construção do conceito de número .............................. 31
Classificação ................................................................................................................................ 31
Seriação......................................................................................................................................... 33
Correspondência – equivalência numérica ..................................................................... 34
Materiais que podem ser utilizados para as operações de 
 classificação e seriação ........................................................................................................... 36
Conhecimento lógico-matemático .................................... 45
Conhecimento físico ................................................................................................................ 45
Conhecimento social ............................................................................................................... 45
Conhecimento lógico-matemático ..................................................................................... 46
Abstração empírica e abstração reflexiva ......................................................................... 47
O jogo ............................................................................................................................................ 49
O desenvolvimento histórico do sistema de 
numeração decimal ................................................................. 55
A invenção da base ................................................................................................................... 57
Base 10 .......................................................................................................................................... 57
O aparecimento do zero ......................................................................................................... 60
Discussão de processos e desenvolvimento 
histórico de algoritmos de algumas 
operações fundamentais ....................................................... 69
Ideias das quatro operações fundamentais .................... 81
Ideias da adição ......................................................................................................................... 81
Ideias da subtração ................................................................................................................... 82
Método da compensação na subtração ........................................................................... 84
Processo curto da divisão ....................................................................................................... 84
Ideias da multiplicação ............................................................................................................ 86
Ideias da divisão ......................................................................................................................... 86
Compreensão dos números racionais: frações .............. 95
Operações com frações ........................................................................................................... 97
O conceito de frações aplicado a todos contínuos .....................................................100
O conceito de frações aplicado a todos discretos .......................................................101
Alguns obstáculos ...................................................................................................................102
Os decimais ..............................................................................109
Comparação entre decimais ...............................................................................................111
Operações com decimais .....................................................................................................112
A construção do pensamento geométrico ...................123
Alguns fatos históricos ..........................................................................................................123
Sentido das medidas .............................................................137
Grandezas mensuráveis e não-mensuráveis ................................................................140
As medidas nas primeiras séries do Ensino Fundamental........................................140
Área e perímetro ....................................................................149
O pensamento algébrico .....................................................159
Histórico ......................................................................................................................................159
Concepções da Álgebra ........................................................................................................160
A Álgebra nas séries iniciais do Ensino Fundamental ................................................162
Atividades que colaboram no desenvolvimento do pensamento algébrico ....163
Conceitos fundamentais da proporcionalidade .........175
Grandezas diretamente proporcionais ............................................................................177
Grandezas inversamente proporcionais .........................................................................178
A proporcionalidade nas séries iniciais ...........................................................................179
Introdução à Estatística ........................................................189
Avaliação em Matemática ...................................................201
Aprender sem medo: o relacionamento afetivo 
entre aquele que ensina e aquele que aprende .........217
O domínio afetivo ...................................................................................................................217
O significado do afeto............................................................................................................221
Desenvolver a dimensão afetiva ........................................................................................222
A linguagem matemáticae os (des)encontros 
com a linguagem cotidiana ................................................229
O problema da agência de viagens – linguagem natural versus 
linguagem matemática .........................................................................................................230
Os desencontros da linguagem matemática ................................................................232
Questões para refletir sobre a linguagem matemática .............................................234
Os problemas da solução:dificuldades 
com a metodologia da “resolução de problemas” ......243
Os desafios da metodologia da resolução de problemas ........................................243
Problemas com a metodologiada resolução de problemas ....................................244
Outras questões .......................................................................................................................248
Sugestões de problemas ......................................................................................................249
A Geometria Plana e a Geometria Espacial: 
o que vemos e o que vivemos ...........................................257
Os povos antigos já sabiam .................................................................................................257
Os problemas que encontramos hoje: 
dificuldades dos alunos e dos professores.....................................................................258
Possibilidades metodológicas e pedagógicas ..............................................................262
Por que (–1) x (–1) = 1?: 
operações com os números inteiros ...............................269
Números relativos ...................................................................................................................269
Por que (–1) x (–1) = 1? ..........................................................................................................272
Gabarito .....................................................................................283
Referências ................................................................................297
Apresentação
Caro Estudante
Essa obra aborda diversos conteúdos matemáticos que são trabalhados 
nas séries iniciais do Ensino Fundamental. A intenção das autoras é fazer uma 
reflexão, junto aos futuros professores destas séries, de forma a possibilitar a com-
preensão de conceitos e significados presentes nos referidos conteúdos. 
O livro é composto por vinte capítulos.
O primeiro capítulo intitulado Resolução de Problemas, discute uma estra-
tégia de ensino que é recomendado por currículos do mundo inteiro. 
O segundo capítulo, A Construção do Conceito de Número, apresenta as 
operações de classificação e seriação como fundamentais no processo de cons-
trução do conceito de número.
O terceiro capítulo, Conhecimento Lógico-Matemático, define conheci-
mento físico, conhecimento social e finalmente o conhecimento lógico-mate-
mático; aborda também a questão da abstração empírica e a abstração reflexiva, 
fatores importantes na construção de relações. 
O quarto capítulo, intitulado como O Desenvolvimento Histórico do Siste-
ma de Numeração Decimal, aborda o sistema de numeração que usamos fazendo 
um breve relato do seu desenvolvimento histórico. 
O quinto capítulo, Discussão de Processos e Desenvolvimento Histórico 
de Algoritmos de Algumas Operações Fundamentais, mostra algumas formas de 
somar e multiplicar utilizadas por povos da antiguidade. 
O sexto capítulo, Ideias das Quatro Operações Fundamentais, chama a 
atenção do professor para as diferentes ideias que cada operação pode assumir, 
fator importante na construção do conhecimento matemático.
 No sétimo capítulo, Compreensão dos Números Racionais: Frações, discu-
te o conceito de frações e procura justificar os procedimentos algorítmicos das 
operações realizadas com frações.
O oitavo capítulo, Os Decimais, apresenta o número com vírgula e aborda 
as operações fundamentais neste campo numérico. 
No nono capítulo A Construção do Pensamento Geométrico, são apresen-
tados alguns elementos históricos da Geometria, apresenta esse campo da Mate-
mática valorizando a exploração de objetos e ambientes naturais. 
O décimo capítulo, Sentido das Medidas, faz uma abordagem privilegiando o sig-
nificado de medir, apresenta algumas unidades básicas, associando-as com a utilização 
no dia-a-dia.
O décimo primeiro capítulo, intitulado Área e Perímetro, apresenta a diferença 
entre esses dois conceitos e explora a área de algumas figuras geométricas.
O décimo segundo capítulo, O Pensamento Algébrico, apresenta as várias fases 
do desenvolvimento da álgebra e sugere caminhos para a abordagem desse conteúdo 
desde as séries iniciais do Ensino Fundamental.
O décimo terceiro capítulo, Conceitos Fundamentais da Proporcionalidade, discu-
te várias estratégias de resolução que podem ser utilizadas para resolução de questões 
que envolvem esse conteúdo.
O décimo quarto capítulo, intitulado Introdução à Estatística, apresenta as fases 
do método estatístico assim como tabelas e gráficos, elementos essenciais na aborda-
gem desse assunto.
O décimo quinto capítulo, Avaliação em Matemática, procura fazer uma aborda-
gem construtiva da avaliação e discute vários instrumentos de avaliação.
Os cinco últimos capítulos discutem questões que, de algum modo, podem difi-
cultar o ensino-aprendizagem da Matemática. 
O décimo sexto capítulo Aprender sem Medo, discute o relacionamento afetivo 
entre aquele que ensina e aquele que aprende. O décimo sétimo capítulo, intitulado A 
Linguagem Matemática e os (Des)Encontros com a Linguagem Cotidiana, mostra como 
essas duas formas de comunicação podem ser interpretadas pelos alunos.
O décimo oitavo capítulo, Os problemas da Solução, apresenta algumas dificulda-
des com a metodologia de “resolução de problemas”.
O décimo nono capítulo, A Geometria Plana e a Geometria Espacial, apresenta pro-
blemas mais comuns encontrados por estudantes quando estudam esses conteúdos.
O vigésimo e último capítulo, Por que (-1) x (-1) =1? aborda operações com núme-
ros inteiros e discute algumas dificuldades encontradas para demonstrar alguns resulta-
dos nesse campo da matemática.
Ao tratar das questões descritas anteriormente, o objetivo é que você, futuro pro-
fessor, possa se embasar teoricamente para poder desenvolver a educação matemática 
na sala de aula.
As Autoras
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
[...] o verdadeiro prazer em estudar Matemática é o sentimento de alegria que vem da 
resolução de um problema – quanto mais difícil o problema, maior a satisfação.
Thomas Butts
Se pretendemos tornar a Matemática útil e prazerosa, acreditamos que 
a resolução de problemas, uma das tendências da educação matemática, 
é um excelente caminho para alcançarmos esse objetivo.
A resolução de problemas deve ser o ponto central de atenção do pro-
fessor de Matemática e os problemas devem ser o ponto-chave para o 
desenvolvimento dos conteúdos curriculares. Por meio dos problemas, os 
estudantes podem:
investigar e compreender os conteúdos matemáticos; �
desenvolver e aplicar estratégias para a resolução dos mesmos; �
relacionar a Matemática com situações cotidianas; �
ver a Matemática de forma atraente e desafiadora. �
Polya (1994) afirma que “a resolução de problemas foi a coluna verte-
bral da instrução matemática desde o Papiro de Rhind”.
Educadores matemáticos acreditam ser necessário que os alunos se 
tornem capazes de propor e resolver problemas, conhecer técnicas diver-
sas, compreender as implicações matemáticas de um problema, trabalhar 
em grupo para resolvê-lo, aplicar ideias matemáticas a problemas abertos, 
acreditar na importância da resolução de problemas para a real aprendiza-
gem da Matemáticae na importância desta para a vida cotidiana.
Resolução de problemas
16
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Pretende-se que os alunos aprendam a valorizar a Matemática, sentindo-se 
seguros em fazer Matemática e em resolver problemas de todas as categorias. 
Que esses alunos possam comunicar-se por meio dessa ciência, aprender a ra-
ciocinar matematicamente, formular hipóteses e argumentar a validez de uma 
hipótese. 
Resolver problemas é a razão principal de se aprender e ensinar Matemática. 
É por meio dessa prática que se inicia o aluno no exercício de pensar matemati-
camente e nas aplicações da Matemática na Educação Básica. Resolver proble-
mas é o processo de reorganizar conceitos e habilidades, aplicando-os a uma 
nova situação, atendendo a um objetivo. Ao resolver problemas, o aluno desen-
volve determinadas estratégias que, em geral, se aplicam a um grande número 
de situações. Dante (1995, p. 84) salienta que:
aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior objetivo da instrução matemática. 
Certamente outros objetivos da Matemática devem ser procurados, mesmo para atingir o 
objetivo da competência em resolução de problemas. Desenvolver conceitos matemáticos, 
princípios e algoritmos através de um conhecimento significativo e habilidoso é importante. 
Mas o significado principal de aprender tais conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na 
construção das soluções das situações-problema.
Ensinar a resolver problemas requer que o professor coloque os alunos frente 
a diferentes situações. Ele deve encorajá-los a pensar por si mesmos, a levanta-
rem suas próprias hipóteses e a testá-las, a discutirem com seus colegas como e 
por que determinada estratégia resolve ou não o problema.
É importante, também, que o professor considere dois fatores que desempe-
nham papel fundamental na resolução de problemas: os conceitos e as habilida-
des da criança para encontrar a solução. Esses fatores são construídos de acordo 
com o repertório de problemas previamente resolvidos, daí a importância dos 
alunos resolverem uma variedade de problemas.
Ao propor essas questões, o professor deve estar atento aos problemas mate-
máticos que não têm como objetivo encontrar uma resposta numérica e, mesmo 
que se encontre essa resposta, é apenas um ponto intermediário nesse processo. 
Assim, é essencial uma interpretação ou uma análise da questão a ser resolvida.
Às vezes, um problema requer simplesmente que o aluno desenvolva um sis-
tema de organização dos dados de uma forma adequada ou que se traduza uma 
situação matemática em uma linguagem mecânica eficiente. Ou então o pro-
blema exige que se crie uma unidade de medida ou um instrumento de maior 
precisão do que os dados pelos modelos usuais de medida.
Resolução de problemas
17
O que é um problema?
Saviani (1999) coloca que uma questão por si só não caracteriza um proble-
ma, mesmo que sua resposta seja desconhecida. O que caracteriza um problema 
é aquela questão cuja resposta, além de não ser conhecida, deseja-se conhecer.
Em outras palavras, para que uma situação seja um problema, é necessário 
que o sujeito:
esteja ciente dessa situação; �
esteja interessado em resolver essa situação; �
não tenha elementos necessários para proceder diretamente. �
Para o professor realizar um trabalho coerente com a proposta da resolução 
de problemas, é necessário que conheça a classificação de questões matemáticas 
a seguir, segundo Butts (1980).
Exercícios de reconhecimento
Esse tipo de exercício verifica apenas se o estudante reconhece ou relembra 
um fato, uma definição ou um teorema.
Exemplos:
a) Assinale os desenhos que representam figuras planas.
1 2
3 4
 Resposta: 1, 4.
b) Circule os números pares:
95 – 160 – 12 – 355 – 1 002 – 501 – 2
 Resposta: 160, 12, 1 002, 2.
18
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Exercícios algorítmicos
Podem ser resolvidos com um algoritmo específico ou executando-se um 
procedimento passo a passo.
Exemplos:
a) Arme e efetue:
 32,7 + 1,34 =
 Resposta: 
32,7
34,04
+ 1,34
b) Resolva a seguinte equação do 1.º grau:
 y + 4 – 8y = 23 
 Resposta: 
–7 y = 23 – 4
–7 y = 19
y = 
7
19
y = – 
7
19
Problemas de aplicação
Nessa categoria, estão os tradicionais problemas de palavras cujas soluções 
requerem que o estudante:
faça a formulação simbólica do problema; �
manipule essa formulação com algoritmos ou outros procedimentos já �
conhecidos, para então obter a resposta.
Resolução de problemas
19
Exemplos:
a) Mamãe foi à feira e gastou R$4,00 com verduras e R$5,00 com frutas. Com 
quanto voltou para casa se saiu com R$10,00?
 Resposta: 
 Estratégia 1
 R$4,00 + R$5,00 = R$9,00
 R$10,00 – R$9,00 = R$1,00
 Estratégia 2
 Chamaremos de X a quantidade de dinheiro que sobrou
x + 5 + 4 = 10
x + 9 = 10
x = 10 – 9
x = 1
 Ela voltou para casa com R$1,00.
b) O dobro de um número somado a 7 é igual a 13. Qual é esse número?
 Resposta: 
 Chamaremos o tal número de x.
2 x + 7 = 13
2 x = 13 – 7
2 x = 6
x = 
2
6
x = 3
 O número é 3.
20
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Problemas em aberto
Um problema em aberto não contém, no enunciado, uma estratégia para sua 
resolução. Porém, apresenta muitas vantagens, como a abordagem de diversos 
conteúdos matemáticos num único problema.
Exemplos:
a) Numa sala, com bancos de dois lugares, a diretora da escola reuniu um 
grupo de estudantes. Pediu que se sentassem de dois em dois nos ban-
cos. Feito isso, sobraram 15 estudantes em pé. Para que ninguém ficas-
se em pé, a diretora pediu que os estudantes se sentassem de três em 
três nos bancos. Dessa forma, nenhum estudante ficou em pé, mas cinco 
bancos ficaram vazios. Finalmente, ela pediu que os meninos se sentas-
sem de dois em dois, ocupando a metade dos bancos, e que as meninas 
ocupassem a outra metade dos bancos, sentando-se de três em três. As-
sim, nenhum estudante ficou em pé e nenhum banco ficou vazio.
Quantos são os estudantes? Quantas são as meninas? Quantos são os 
meninos? Quantos são os bancos?
Resposta: 
Chamaremos de x o número de bancos e de y o número de estudantes.
2 x + 15 = y
2 . 30 + 15 = y
60 + 15 = y
y = 75 estudantes
2 x + 15 = y
3 x – 15 = y
2 x + 15 = 3 x – 15
15 = 3x – 2x – 15
15 + 15 = x
x = 30 bancos



 Tomemos H como meninos e M como meninas.
H = 
2
2 x
H = 
2
2 . 30
H = 
2
60
H = 30
M = 
2
3 x 
M = 
2
3 . 30
M = 
2
90
M = 45
 30 meninos e 45 meninas, total de 75 alunos e 30 bancos.
Resolução de problemas
21
b) O gavião chega a um pombal e diz:
– Adeus, minhas cem pombas!
– As pombas respondem em coro:
– Cem pombas não somos nós, com mais dois tantos de nós e com você, 
meu caro gavião, cem pássaros seremos então!
Quantas pombas estão no pombal?
Resposta: 
Estratégia 1
100 – 1 = 99 (subtraímos o gavião).
99 : 3 = 33 (dividimos por 3 porque são a quantidade de pombas mais 2 
tantos, ou seja, 3).
Estratégia 2
Chamaremos de x a quantidade de pombas que estamos procurando:
x + 2 x + 1 = 100
3 x = 100 – 1
3 x = 99
x = 
3
99
x = 33
Estão no pombal 33 pombas.
É importante ressaltar que a classificação dos problemas depende também 
do conhecimento do resolvedor. O problema das pombas, que foi apresentado 
anteriormente, pode ser classificado como problema de aplicação se o resolve-
dor encontrar a solução utizando uma equação do primeiro grau, por exemplo; 
porém, se o resolvedor utilizar outra estratégia, ele pode ser considerado como 
um problema em aberto.
22
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Situações-problema
Nessa categoria não estão os problemas em si, mas situações nas quais um 
dos passosprincipais é identificar o problema inerente para, num passo se-
guinte, resolvê-lo. Outro passo importante é testar se a solução encontrada é 
satisfatória. Caso não seja, o problema deve ser retomado e revisto, ou um novo 
problema deve ser identificado, e o processo deve ter continuação até que a 
solução ideal se apresente.
Exemplos:
a) Esboce um estacionamento.
b) Apresente a distribuição de alimentos para a merenda escolar de uma 
semana.
Nota-se que as questões das duas primeiras categorias (exercícios de 
reconhecimento e exercícios algorítmicos) exigem muito pouco dos alunos, não 
permitindo a exploração dos conhecimentos que eles trazem, nem o desenvol-
vimento de sua criatividade. Dessa maneira, devem ser exploradas com menor 
intensidade, podendo ser utilizadas nos casos em que o professor deseja saber 
se o aluno conhece fatos específicos do conteúdo. 
Os problemas das três últimas categorias (problemas de aplicação, problemas 
em aberto e situações-problema) permitem uma desenvoltura maior dos 
alunos, possibilitando ao professor uma visão mais abrangente do conhecimen-
to deles. 
As categorias problemas em aberto e situações-problema são as que mais pos-
sibilitam reflexões, discussões e, consequentemente, aprendizado significativo. 
O conjunto de problemas encontrado nos livros de Matemática não é suficien-
temente extenso, nem variado o bastante para dar ao aluno um conjunto adequa-
do de questões. O professor pode complementar esses problemas com outros 
inventados por ele mesmo ou retirados de livros paradidáticos ou periódicos 
da área. Assim, pode organizar seu próprio repertório, extenso e variado, com o 
objetivo de se preparar para o trabalho com problemas criativos e reais.
Etapas para resolução de problemas
Segundo Polya (1994), para se obter sucesso na resolução de problemas 
é necessário observar as seguintes etapas:
Resolução de problemas
23
1. compreender o problema;
2. elaborar um plano;
3. executar o plano;
4. fazer a verificação ou o retrospecto.
Em cada etapa, o professor pode fazer questionamentos ou considerações 
que ajudem os alunos na resolução dos problemas, conforme os exemplos a 
seguir.
Compreender o problema:
a) O que se pede no problema?
b) Quais são os dados e as condições do problema?
c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?
d) É possível estimar a resposta?
Elaborar um plano:
a) Qual é o seu plano para resolver o problema?
b) Que estratégia você tentará?
c) Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resol-
ver este?
d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos.
e) Tente resolver o problema por partes.
Executar o plano:
a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo.
b) Efetue todos os cálculos indicados no plano. 
c) Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resol-
ver o mesmo problema.
24
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Fazer retrospecto ou verificação:
a) Examine se a solução obtida está correta.
b) Existe outra maneira de resolver o problema proposto?
c) É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhan-
tes?
Desse modo, em uma aula de resolução de problemas, o professor deve fazer 
o papel de incentivador e moderador das ideias geradas pelos alunos. Agindo 
assim, os alunos participam ativamente, “fazendo Matemática”, e não passiva-
mente, “observando” a Matemática “ser feita” pelo professor.
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de 
descoberta na resolução de qualquer problema. Este pode ser modesto, mas se desafiar 
a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios 
meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade 
susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca 
na mente e no caráter. (POLYA, 1994, p. 48)
O professor deve apresentar aos alunos problemas desafiadores, reais e 
interessantes, que não sejam resolvidos diretamente por um ou mais algoritmos. 
É necessário, também, que seja dado um tempo razoável para que leiam e compre-
endam o problema, certificando-se de que foi entendido por todos. Infelizmente, 
uma das maiores dificuldades do aluno ao resolver um problema é o momento 
de leitura e compreensão do texto. 
Deve-se criar, entre os alunos, um clima de busca, exploração e descoberta, 
deixando claro que o mais importante para obter a resposta correta é pensar 
e trabalhar no problema durante o tempo necessário para resolvê-lo.
O professor precisa trabalhar no sentido de focalizar, enfatizar e valorizar a 
análise do problema, os procedimentos que podem levar à solução e à revisão 
da solução obtida, e não, simplesmente, enfatizar a resposta correta.
Acertar a resposta não é, necessariamente, o mais importante na resolução 
de problemas. É bom para o aluno saber o que fez e como fez, e por que sua ação 
foi apropriada ou não. Isso deve ser parte integrante da etapa de retrospecto e 
verificação da resolução. 
Primordialmente, deve-se incentivar os alunos a pensar. Assim, a função de 
orientador e facilitador da aprendizagem realizar-se-á mais facilmente, poden-
do-se perceber como pensam e encaminham a solução do problema, que es-
Resolução de problemas
25
tratégias tentam usar, que dificuldades precisam superar etc. O professor, dis-
cretamente, pode propiciar aos alunos “ideias brilhantes”, fazendo com que se 
lembrem de fatos e os utilizem adequadamente. É importante proporcionar ao 
aluno a satisfação de tê-las obtido. Alunos resolvedores de problemas se sentem 
seguros e, em geral, demonstram grande interesse pela Matemática.
Texto complementar 
Sobre a resolução de problemas
(BURIASCO, 1995, p. 1)
Uma das atuais grandes tendências da Educação Matemática é a resolu-
ção de problemas, assim chamada porque considera que o estudo da Ma-
temática é resolver problemas. Segundo ela, o ensino da Matemática deve 
ser desenvolvido sempre partindo de problemas. Examinemos o quadro 
abaixo:
Esquema de aula 
na tendência tradicional
Esquema de aula 
na tendência de resolução de problemas
O professor explica a matéria 
(teoria).
O professor apresenta um problema escolhido por 
ele ou pelo(s) aluno(s).
O professor mostra exemplos. Os alunos tentam resolver o problema com o conhe-cimento que possuem.
O professor propõe “exercícios” 
semelhantes aos exemplos dados 
para que os alunos resolvam.
Quando os alunos encontram algum obstáculo (falta 
de algum conteúdo necessário para a resolução do 
problema), o professor apresenta, de alguma forma, 
esse conteúdo.
O professor (ou um aluno) resolve 
no quadro-de-giz os exercícios.
Resolvido o problema, os alunos discutem sua so-
lução; se necessário, com a ajuda do professor. Essa 
discussão envolve todos os aspectos da resolução do 
problema, inclusive os do conteúdo necessário.
O professor propõe aos alunos 
outros “exercícios” já não tão se-
melhantes aos exemplos que ele 
resolveu.
O professor apresenta outro problema escolhido por 
ele ou pelo(s) aluno(s).
26
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Esquema de aula 
na tendência tradicional
Esquema de aula 
na tendência de resolução de problemas
O professor (ou um aluno) resolve 
os exercícios no quadro-de-giz.
O professor propõe “problemas”, 
se for o caso, ou mais “exercícios”.
Correção dos “problemas” e dos 
“exercícios”.
O professor começa outro assunto.
De acordo com essa tendência, o prazer em estudar Matemática é a ale-
gria de resolver um problema, de sorte que, quanto maior a dificuldade na 
resolução, maior a satisfação.
Na proposta de ensinar Matemática por meio da resolução de problemas, 
uma das questões mais importantes é como apresentar umproblema, de 
modo que os alunos:
queiram resolvê-lo; �
compreendam e retenham o conteúdo envolvido na sua resolução. �
Se o estudo da Matemática é resolver problemas, então é incumbência 
do professor, nas aulas de Matemática, ensinar a arte de resolvê-los. 
Dicas de estudo
Ler o livro: Didática da Resolução de Problemas de Matemática
Autor: Luiz Roberto Dante.
Editora: Ática.
A obra explora um pouco sobre a teoria de Resolução de Problemas e depois 
apresenta uma coletânea de problemas interessantes que podem ser trabalha-
dos desde a pré-escola. 
Resolução de problemas
27
Atividades
1. Classifique os seguintes problemas segundo as categorias de Thomas Butts.
a) Quantas lajotas quadradas, de 30cm de lado, preciso para ladrilhar uma 
varanda de 10m de comprimento por 6m de largura?
b) Construa, em um material à parte, a maquete de um campo de futebol.
c) Utilizando medidas inteiras, encontre dez retângulos que tenham perí-
metro igual a 80cm.
d) O triângulo que possui um ângulo de 90º é chamado:
e) Quais são os valores de n para 7n + 4 > 8?
2. Dez moedas estão dispostas formando um triângulo, como na figura I. Movi-
mentando apenas três moedas, obtenha a formação triangular da figura II.
Figura I Figura II
28
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
3. O número 30 pode ser expresso por 5 x 5 + 5. Agora, expresse:
a) o número 100, usando quatro vezes o algarismo 9;
b) o número 34, usando quatro vezes o algarismo 3;
c) o número 31, usando somente o algarismo 3, quantas vezes queira.
Resolução de problemas
29
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
Os números são frequentemente utilizados no nosso dia-a-dia. Mas, 
afinal, o que é número?
As concepções de número variam de acordo com as diferentes escolas 
matemáticas. Consideremos o conceito de número como resultado da sín-
tese da operação de classificação e da operação de seriação, um número 
é a classe formada por todos os conjuntos que têm a mesma proprieda-
de numérica e que ocupam um lugar numa série considerada também 
a partir da propriedade numérica. Assim, a classificação e a seriação se 
fundem no conceito de número.
Essa análise nos permite compreender o processo por meio do qual as 
crianças constroem este conceito tão importante – o de número. A com-
preensão desse processo pode garantir aos professores as decisões didá-
ticas a serem tomadas ao ensinarem seus alunos de acordo com as suas 
necessidades e características psicológicas.
Mas o que é a operação de classificação e a de seriação?
Classificação
A classificação é uma operação lógica, fundamental no desenvolvimen-
to do pensamento, de forma que sua importância não se refere apenas à 
sua relação com o conceito de número, pois intervém na construção de 
todos os conceitos que constituem a estrutura intelectual humana.
Classificar é “juntar” por semelhanças e “separar” por diferenças.
Podemos exemplificar uma operação de classificação quando dizemos 
“gosto de cães”, pois estamos juntando animais que apresentam certas 
A construção do conceito de número
32
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
qualidades, separando-os de outros que não as têm – como os gatos. Um outro 
exemplo pode ser “cidades paranaenses”. Nesse caso, estou “juntando” cidades 
que estão localizadas no estado do Paraná, e “separando” daquelas localizadas 
em outros estados.
Nos dois exemplos acima, estamos classificando a partir de um universo, e 
esse universo já implica um ato classificatório, porque difere de outros universos 
que não são, no caso, nem de cães, nem de cidades paranaenses. Nessa exem-
plificação, o termo “separar” ou “juntar” não é de forma efetiva ou visível, mas de 
forma interiorizada, pois não juntamos realmente, tampouco separamos.
Não realizamos o ato classificatório apenas de forma interiorizada, mas de 
forma efetiva, concreta, como quando separamos em uma estante livros e revis-
tas, ou alimentos nas prateleiras da geladeira, roupas nas gavetas.
A pertinência e a inclusão são dois outros tipos de relação que aparecem 
na classificação, além das semelhanças e diferenças. A pertinência é a relação 
estabelecida entre cada elemento e a classe da qual ele faz parte. A pertinên-
cia está fundamentada na semelhança. Dizemos que um elemento pertence a 
uma classe quando se parece com os demais elementos dessa mesma classe em 
função do critério de classificação adotado.
A inclusão é a relação que se estabelece entre cada subclasse e a classe da 
qual esta é uma parte, de tal forma que se pode verificar que a classe tem mais 
elementos que a subclasse. Na inclusão hierárquica, compreende-se que inclui 
“um” em “dois”, “dois” em “três” e assim por diante. Outro exemplo de inclusão é 
que rosas e jasmins incluem-se na classe de flores.
E qual a relação das operações de classificação e seriação e o conceito de 
número?
A classificação se fundamenta na qualidade dos objetos, ou seja, nas suas 
propriedades qualitativas. Adultos quando pensam no número sete, por exem-
plo, podem estar pensando em sete casas, sete pessoas, sete balas, ou seja, sete 
“qualquer coisa”, incluindo sete coisas que podem ser diferentes entre si, como 
um homem, uma mulher, um lápis, uma flor, uma mesa, uma régua e um gato.
Ao pensar em um número, estamos fazendo classificação, ou seja, estabelecen-
do semelhanças e diferenças e, nesse caso, separando todos os conjuntos que têm 
sete elementos dos conjuntos que não têm sete elementos. No caso do número, 
buscamos semelhança entre os conjuntos e não entre os elementos. Juntamos 
os conjuntos que são equivalentes em sua propriedade numérica. Assim, não im-
A construção do conceito de número
33
porta se há ou não semelhança qualitativa entre os elementos que constituem 
o conjunto, importando apenas a equivalência numérica entre os conjuntos que 
constituem a classe que estamos pensando – a dos infinitos conjuntos de sete ele-
mentos. A classe de todos os conjuntos de sete elementos constitui o número 7.
Seriação
Seriar é ordenar diferenças, estabelecer relações entre elementos que dife-
rem em certos aspectos.
A seriação, assim como a classificação, 
constitui aspecto importante do pensamento lógico.
Normalmente, seriam os sons de acordo com o timbre, ordenando-os do mais 
agudo ao mais grave; cédulas de valores diferentes, de menor valor para a que 
vale mais; veículos com diferentes datas de produção, do mais antigo ao mais 
moderno etc. Podemos fazer isso na ordem crescente ou decrescente.
A seriação tem como propriedades fundamentais a transitividade e a recipro-
cidade. Quando se estabelece uma relação entre um elemento de uma série e o 
seguinte e deste com o posterior, pode-se deduzir a relação entre o primeiro e o 
último elemento dessa série. Dizemos que essa é uma relação de transitividade. 
Exemplo: se um veículo A é mais antigo que B, e B é mais antigo que C, então A 
é mais antigo que C. A conclusão pode ser feita a partir das relações que estabe-
lecemos anteriormente.
Na propriedade de reciprocidade, cada elemento de uma série tem uma re-
lação tal com o elemento imediato que, ao inverter a ordem da comparação, tal 
relação também se inverte. Se A é um automóvel mais antigo do que o automó-
vel B, então B é um automóvel mais moderno que o A. As seriações, assim como 
as classificações, também podem ser realizadas de forma interiorizada. 
Ao seriarmos um número, o que estamos seriando? Estamos seriando classes 
de conjuntos, e não elementos ou conjuntos particulares, estabelecendo uma 
relação entre as classes de tal forma que, se ordenadas na ordem crescente, a 
classe do quatro estará antes da classe do cinco e esta antes da classe do seis, 
que por sua vez estará antes da classe do sete e assim por diante. Se ordenadas 
na ordem decrescente, a classe do sete estaria antesda classe do seis e esta, 
antes da classe do cinco etc.
34
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
O conceito de número se deriva das operações lógicas de classificação e 
seriação, não se reduzindo apenas a uma delas. O importante é que a fusão da 
classificação e da seriação se apresenta no caso do conceito de número. No en-
tanto, no terreno qualitativo, não se seria e se classifica ao mesmo tempo.
Segundo Piaget, (apud KAMII,1986) o número é uma construção mental. Ele 
é construído pela repetida adição de “1”, e com isso a adição já está incluída na 
construção numérica pela criança. A teoria do número, segundo o autor citado, 
é entendida no contexto epistemológico no qual ele trabalhou.
Piaget percebeu elementos verdadeiros e não-verdadeiros tanto na corren-
te dos racionalistas, como na corrente dos empiristas. Para a primeira corrente, 
a razão é mais poderosa do que a experiência sensorial; para os empiristas, o 
conhecimento tem sua fonte fora do indivíduo e é interiorizado por meio dos 
sentidos.
Em seus estudos, Piaget dava importância tanto à informação sensorial como à 
razão, mas recaiu sobre o racionalismo. Nas suas pesquisas com crianças, sentiu-se 
motivado a provar a inadequabilidade do empiricismo, apresentando provas 
de conservação nas crianças, (por exemplo, prova de conservação numérica). 
Piaget é contrário à teoria que diz que o conceito de número possa ser ensinado 
por transmissão social (para mais detalhes, ver KAMII, 1986).
Correspondência – equivalência numérica
A correspondência biunívoca ou termo a termo é a operação por meio da 
qual se estabelece uma relação um a um entre elementos de dois ou mais con-
juntos com a intenção de compará-los quantitativamente.
Segundo Duhalde e Cuberes (1998), é por meio da resolução de problemas 
do cotidiano que se constrói o aprendizado significativo da Matemática. É dessa 
forma que se constrói o conceito de número. A utilidade do número está ligada 
aos seus aspectos de cardinalidade e de ordinalidade:
a quantidade de elementos de uma coleção se refere à cardinalidade, na �
qual a ação de correspondência, sem a necessidade de contagem, coloca 
esse conjunto em correspondência a outro conjunto; 
o lugar que o número ocupa dentro de uma série ordenada se refere à �
ordinalidade, sendo necessária uma ordem que permite a contagem.
A construção do conceito de número
35
O desenvolvimento do conceito de número pode se dar por meio da ação 
de contar, que tem grande importância na educação matemática das crianças, 
sendo que, para concretizar o processo de contar, é indispensável recorrer à série 
numérica oral e à série numérica escrita. Muitas são as crianças que, em idade 
pré-escolar, contam até cem. No entanto, não descobriram que cem significa 
duas vezes cinquenta, um décimo de mil, dez vezes dez etc. As crianças, nessa 
fase, segundo as autoras citadas anteriormente, passam por três etapas:
na primeira, a criança se expressa de forma oral; �
a segunda etapa se refere aos aspectos algorítmicos da escrita – a criança �
descobre as regras da sucessão oral e escrita;
na terceira, as crianças começam a construir agrupamentos de dez, perce- �
bem as regras do sistema posicional de numeração e valor posicional.
As crianças, desde muito pequenas, por volta dos dois anos de idade, são 
capazes de contar até dois, três, ou pouco mais. No entanto, às vezes, quando 
prosseguem na contagem, é comum omitirem alguns números. As crianças 
variam nessa contagem de acordo com o meio socioeconômico e cultural no 
qual vivem. Certas crianças, ao contar até vinte e nove, dizem, para o próximo 
número, vinte e dez, e assim por diante. Se forem corrigidas, poderão continuar 
dizendo trinta e um, trinta e dois e sucessivamente, assim como usam dez e um, 
dez e dois, para os números onze e doze, respectivamente.
A criança que diz que quatro é maior que três pode estar fazendo uso da série 
oral, percebendo que o que vem depois é sempre maior que o anterior, podendo 
ser capaz de comparar conjuntos próximos. A série oral também permite separar 
uma quantidade da outra. 
Quando é solicitado que separem quatro dos oito objetos de um conjunto, 
as crianças, normalmente, contam todos e nem sempre conseguem cumprir a 
tarefa, uma vez que para isso precisariam deter-se à quantidade solicitada, assinar 
um nome da série a cada um dos objetos e reter o processo no momento em que 
alcança a quantidade solicitada.
Às vezes, ao solicitar a uma criança que conte um conjunto de elementos, 
é possível que ela conte um, dois, três, e assim por diante até o último. Porém, 
quando é perguntado quantos são os objetos, ela inicia a contagem novamente 
sem dizer que são seis, por exemplo, quantificando o conjunto solicitado. Nesse 
caso, designa cada objeto com o nome de um número, não se dando conta do 
princípio de cardinalidade.
36
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Pode-se dizer que uma criança conta corretamente quando estabelece a cor-
respondência um a um, mantém a ordem das palavras numéricas, conta cada 
objeto uma só vez sem omitir nenhum e considera que o último número men-
cionado representa a quantidade total de elementos do conjunto, independen-
do da ordem em que os elementos foram enumerados.
Materiais que podem ser utilizados 
para as operações de classificação e seriação
Usualmente crianças costumam colecionar pedrinhas, conchinhas, tam-
pinhas, etc. Muitas vezes elas, naturalmente, classificam e/ou seriam algumas 
dessas coleções.
Um dos materiais adequados para a operação de classificação são os chama-
dos Blocos Lógicos.
D
iv
ul
ga
çã
o:
 T
ro
lo
lo
.
Disponível em: <http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/montesso/BLOCOLOGICO.jpg>
Blocos lógicos
As peças que constituem o material conhecido como blocos lógicos são peças 
com 4 características:
cor, �
tamanho, �
espessura e �
forma geométrica. �
A construção do conceito de número
37
Os blocos lógicos têm peças nas cores: vermelha, amarela e azul. Elas ainda 
são de dois diferentes tamanhos: a grande e a pequena. Possuem duas espes-
suras, a grossa e a fina. Relativo às formas geométricas, o conjunto dos blocos 
lógicos possui peças nas formas: retangular, circular, triangular e retangular.
Os blocos lógicos são constituídos de peças com esses 4 atributos: 3 cores, 2 
espessuras, 2 tamanhos e 4 formas; têm num total 48 peças, pois combinados 
esses atributos podemos representar o número de peças por: 
3 x 2 x 2 x 4 = 48
As crianças aprendem melhor por meio de suas próprias ações e, assim, 
podem classificar as peças dos blocos lógicos quanto a sua cor, quanto a sua 
espessura, forma e tamanho. É comum observar crianças classificando, ou seja, 
juntando as peças que têm “cantos” e separando-as das peças circulares porque 
estas não têm “cantos”, isto é, daquelas que não têm vértices.
As crianças devem ser estimuladas por professores ou adultos a classificar 
outros objetos, uma vez que a operação de classificação, assim como a opera-
ção de seriação, proporciona papel fundamental na construção do pensamento 
lógico, portanto, na construção do conceito de número.
Outros objetos já citados também podem ser utilizados para proporcionar 
às crianças a condição de realizarem a operação de classificação, como: botões, 
pedrinhas, tampinhas etc. É importante solicitar às crianças que classifiquem 
objetos e depois que expliquem qual foi o critério que utilizaram para essa clas-
sificação. As crianças podem classificar um mesmo conjunto de objetos usando 
diferentes variáveis (atributos).
As conchas, botões, pedrinhas etc. podem ser utilizadas para realizar seria-
ção. Esses materiais podem ser ordenados na forma crescente ou decrescente 
de tamanho, aspereza, ou outra propriedade. Quando as crianças estão desen-
volvendo tais atividades,têm a possibilidade de construir conhecimento social, 
ao aprender o nome do tipo de rochas; físico, ao sentir a aspereza, peso etc; e 
conhecimento lógico-matemático, ao reconhecer sua cor, por exemplo.
O que professores não devem esquecer é que as crianças, ao ingressarem na 
escola, já construíram muitos conhecimentos, que devem ser levados em conta. 
A criança traz consigo conhecimentos informais e cabe à escola estabelecer re-
lação cognitiva com esses conhecimentos previamente construídos. É papel da 
38
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
escola contribuir para que a criança construa significados, faça generalizações, 
comparações, enfim, a escola deve ser um lugar onde a criança sinta prazer, pois 
lá ela tem a possibilidade de reinventar e descobrir.
Crianças iniciam a construção do conceito de número ainda quando bem 
pequenas, e na escola esse processo tem continuidade. As oportunidades de 
realizarem as operações de classificação e seriação ofertadas pelos professores 
proporcionam às crianças uma das grandes realizações que é a de contar quan-
tidades. Sempre se observa como é enorme a alegria das crianças quando estas 
aprendem a ler e escrever, e não é diferente quando aprendem a contar.
Acreditamos que os conhecimentos relativos à Matemática são para todos 
e que eles auxiliam nas relações feitas por aqueles que os construíram com os 
demais conhecimentos das demais áreas do conhecimento.
Texto complementar 
Prova de conservação do número
Conservação do número é a habilidade de deduzir (por meio da razão) 
que a quantidade da coleção permaneça a mesma quando a aparência em-
pírica dos objetos muda1 (INHELDER; SINCLAIR; BOVET apud KAMII, 1986).
Método
Materiais1. 
20 fichas vermelhas
20 fichas azuis
Procedimento2. 
a) Igualdade
1 Pela descrição dada, as entrevistas podem parecer padroni zadas. Cada entrevista deve ser adaptada ao assunto em particular, especial-
mente com referência à compreensão dos termos usados em quantificação.
A construção do conceito de número
39
O pesquisador coloca uma fila de 8 fichas azuis (no mínimo 7)2 e pede 
à criança que ponha o mesmo número de fichas vermelhas, dizendo 
“ponha tantas fichas vermelhas quanto as azuis que coloquei (exata-
mente o mesmo número, nem mais nem menos)”.
A resposta da criança é registrada em seu relatório. Se necessário, co-
locam-se as fichas azuis e vermelhas na correspondência uma a uma e 
pergunta-se à criança se há igual número de fichas azuis e vermelhas.
b) Conservação
O pesquisador modifica a disposição diante dos olhos atentos da 
criança, espaçando as fichas de uma das filas ou pondo-as juntas, 
como mostra a figura:
Azul
Vermelho
As próximas perguntas são: “Há o mesmo número de fichas azuis e 
vermelhas, ou há mais aqui (azuis) do que aqui (vermelhas)? Como 
você sabe?”
c) Contra-argumentação
Se a criança deu a resposta certa então a pessoa diz: “Olhe como essa �
linha é comprida”. Outra criança disse “há mais fichas aqui porque essa 
fila é mais comprida”. Quem está certa, você ou a outra criança?
Se, por outro lado, a criança deu a resposta errada, a pessoa lembra �
da igualdade inicial: “Mas você não se lembra que pusemos antes as 
fichas azuis em frente de cada vermelha?” Outra criança disse que há o 
mesmo número de vermelhas e azuis agora. Quem você acha que está 
certa, você ou a outra criança?
2 Piaget se referiu a pequenos núme ros até 4 ou 5 como “números perceptuais”, porque números pequenos como “oo” e “ooo” podem facil-
mente ser diferenciados numa olhada. Contudo, quando são apresentados 7 objetos é impossível distinguir “ooooooo” só por percepção.
40
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Descobertas
No estágio I, a criança não consegue fazer um conjunto com o mesmo 1. 
número. É desnecessário dizer que ela também não consegue conser-
var a igualdade dos dois conjuntos. Algumas crianças puseram todas 
as fichas vermelhas linearmente como mostra a figura (a). Elas só pa-
raram de colocá-las porque as fichas acabaram. A figura (b) mostra a 
resposta melhor elaborada dentro do estágio I. As crianças que fazem 
isso não colocam o mesmo número, mas cuidadosamente usam as ex-
tremidades da fichas como um critério para decidir a igualdade das 
duas quantidades. Quando as crianças ainda não construíram as pri-
meiras estruturas mentais do número, usam o melhor critério no qual 
puderam pensar; no caso, as extremidades das duas filas.
a) azul
 vermelho
b) azul
 vermelho
extremidade extremidade
No estágio II, 4-5 anos de idade, a criança pode fazer um conjunto que 2. 
tem o mesmo número, mas não consegue conservar a igualdade.3 Quan-
do a pesquisadora lhe faz a pergunta sobre essa conservação ela diz, por 
exemplo: “Há mais vermelhas porque as azuis estão todas espremidas”.
No estágio III as crianças são “conservadoras”. Elas dão respostas corre-3. 
tas para todas as questões, não são influenciadas por contrassugestão 
e dão um ou mais dos seguintes argumentos para explicar por que 
acham que as duas filas têm a mesma quantidade:
3 As idades mencionadas são aproximadas. Variam com a estrutura cultural e educacional das crianças.
A construção do conceito de número
41
Há o mesmo número de fichas azuis e vermelhas que antes porque �
não tirou nenhuma ficha, elas estão apenas amontoadas (argumento-
-identidade).
Pudemos pôr todas as fichas vermelhas como estavam antes, assim �
não há nem mais azuis nem vermelhas (argumento-reversibilidade). 
Aqui as vermelhas formam uma fila mais comprida, mas há espaço en- �
tre elas; assim, dá no mesmo (argumento-compensação).
Conservação não é uma coisa que se consegue da noite para o dia e en- �
tre os estágios II e III há um estágio intermediário. Crianças nesse está-
gio dão a resposta correta a apenas uma das perguntas – quando se faz 
uma fila mais comprida e subsequentemente a outra mais comprida, ou 
eles hesitam e/ou continuam mudando de ideia (“há mais azuis..., não, 
mais vermelhas, ...há a mesma coisa...”). Mesmo quando estas crianças 
dão respostas certas, não conseguem justificá-las adequadamente.
Por que é difícil para a criança a “conservação” no estágio II e por que ela 
consegue isso mais tarde? Para responder a essa pergunta precisamos dis-
cutir a concepção de número de Piaget no contexto da distinção que ele fez 
entre três tipos de conhecimentos: físico, lógico-matemático e social (con-
vencional). Ele os classificou de acordo com suas fontes básicas e modos de 
estruturação. Número é um exemplo de conhecimento lógico-matemático. 
Discutiremos o aspecto lógico-matemático do número, primeiro comparan-
do com o conhecimento físico e depois com o social (convencional).
Conhecimento físico e lógico-matemático são os dois tipos principais de 
conhecimentos tidos por Piaget. Conhecimento físico é o conhecimento dos 
objetos na realidade externa. A cor e o peso de uma ficha são exemplos de 
propriedades físicas que fazem parte dos objetos e podem ser notadas pela 
observação. Saber que uma ficha cairá quando a jogamos no ar é também 
um exemplo de conhecimento físico.
Conhecimento lógico-matemático, por outro lado, consiste em relaciona-
mentos feitos pelo indivíduo. Por exemplo, quando nos mostram uma ficha 
vermelha e uma azul e notamos que são diferentes; essa diferença é um 
exemplo do fundamento do conhecimento lógico-matemático. Na verdade, 
podemos observar as fichas, mas a diferença entre elas não. A diferença é 
42
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
uma relação criada mentalmente pelo indivíduo que faz o relacionamento 
entre os dois objetos. A diferença não está na ficha vermelha ou na azul e se 
uma pessoa não puser os dois objetos dentro dessa relação, a diferença não 
existirá para ela.
Outros exemplos de relações que o indivíduo pode fazer entre as 
fichas: “semelhança”,“igualdade em peso” e “dois”. Tanto é certo dizer que 
as fichas são semelhantes como diferentes. A relação que um indivíduo 
faz depende dele. Sob um certo ponto de vista, as fichas são diferentes e, sob 
outro, são semelhantes. Se o indivíduo quiser comparar peso, pode dizer que 
as fichas são iguais (em peso). Se ele quiser ver os objetos numericamente 
dirá que são “dois”. Pode-se observar as duas fichas, mas não o “2”. Número é 
uma relação criada mentalmente pelo indivíduo4.
A criança segue adiante para construir o conhecimento lógico-matemáti-
co coordenando as simples relações que ela criou antes entre os objetos. Por 
exemplo, coordenando as relações “igual”, “diferente” e “mais”, a criança se torna 
capaz de deduzir que há mais fichas no mundo do que somente fichas verme-
lhas, da mesma forma que há mais animais do que vacas. Da mesma forma, 
coordenando a relação entre “2” e “2” ela deduz que 2 + 2 = 4 e 2 x 2 = 4. 
Piaget, assim, reconheceu fontes externas e internas de conhecimento. A 
fonte do conhecimento físico (assim como social) e “em parte”,5 externa ao 
indivíduo. A fonte de conhecimento lógico-matemático, ao contrário, é in-
terna. Essa afirmação será esclarecida pela discussão sobre dois tipos de abs-
tração através dos quais a criança constrói o conhecimento físico e lógico- 
-matemático.
4 Eu digo que “2” não é um bom número para ilustrar a natureza lógico-matemática do número. Piaget fez uma distinção entre números 
perceptuais e números. Números perceptuais são números pequenos, até 4 ou 5, que podem ser distinguidos por percepção, sem neces-
sitar da estrutura lógico-matemática. Até alguns pássaros podem ser treinados para distinguir entre “oo” e “ooo”. Con tudo, a distinção entre 
“ooooooo” e “oooooooo” é impossível por percepção. Números pequenos maiores do que 4 ou 5 são chamados números elementares. O tra-
balho de conservação descrito acima usa 7 ou 8 objetos e envolve número elementar. Embora “2” seja um número perceptual, também pode 
ser um número lógico-mate mático para um adulto que já construiu o sistema inteiro de nú meros lógico-matemáticos. Escolhi o número “2” 
nesse exemplo apesar do problema de números perceptuais porque, com 2 fichas, posso ilustrar outros relacionamentos simples, tais como 
“dife rente”, “igual” e “igual em peso”.
5 Meu motivo para dizer “em parte” se torna claro quando discuto os termos abstração empí rica e reflexiva.
Dicas de estudo
Ler o livro: A Criança e o Número.
Autora: Constance Kamii.
A construção do conceito de número
43
Editora: Papirus. 
A autora apresenta uma análise fundamentada na teoria de Piaget sobre as 
relações da criança com o número.
Atividades
1. Discuta como a classificação e a seriação se fundem no conceito de número. 
Registre as conclusões.
2. Quais são as propriedades fundamentais da seriação? Exemplifique cada 
uma usando o conjunto dos números naturais.
3. Qual a relação existente entre a cardinalidade e a ordinalidade dos números 
na construção do conceito de número? 
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
As crianças adquirem o conhecimento lógico-matemático por um pro-
cesso de construção, ação, de dentro para fora. Esse processo não se dá por 
internalização, de fora para dentro, e, segundo Piaget (apud KAMII,1995), 
não se dá por transmissão social. Piaget distingue três tipos de conhecimen-
tos para que se compreenda melhor o conhecimento lógico-matemático.
Conhecimento físico
Refere-se aos objetos do mundo exterior. As propriedades físicas de 
um objeto, como um botão: sua cor e seu peso são conhecimentos empí-
ricos, adquiridos por meio da observação. Saber que esse botão pode cair 
de suas mãos ao soltá-lo, também é um exemplo de conhecimento físico.
Kamii (1995) afirma que a fonte do conhecimento físico está apenas em 
parte nos objetos, porque, mesmo para ler uma cor de um objeto, faz-se 
necessária uma estrutura lógico-matemática. Para distinguir a cor verme-
lha num objeto, precisa-se de uma estrutura que faça pensar nas demais 
cores, e delas distinguir o vermelho.
Conhecimento social
Segundo Kamii e Declark (1986), o Natal, dia 25 de dezembro, é exem-
plo de um conhecimento social, pois é apenas uma das convenções esta-
belecidas socialmente. Uma cadeira chamar-se “cadeira” também é exem-
plo de conhecimento social.
A característica principal do conhecimento social, segundo o episte-
mólogo Jean Piaget, “é que sua natureza é preponderantemente arbitrá-
ria” (KAMII, 1995, p. 21). Arbitrário, porque alguns povos o comemoram, 
enquanto outros não. Portanto, não há qualquer relação de natureza física 
Conhecimento lógico-matemático
46
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
ou lógico-matemática entre o objeto e a sua denominação. Conhecimentos 
como estes são passados pela transmissão de uma pessoa para outra ou entre 
pessoas de diferentes gerações.
Para construir conhecimentos sobre o mundo físico, uma criança precisa de es-
trutura lógico-matemática, necessitando também dessa estrutura para adquirir co-
nhecimentos sociais. Não poderíamos pensar em Natal sem classificá-lo em relação 
aos demais dias do ano. Outro exemplo de construção social, citado por Kamii, é a 
distinção que as crianças fazem ao usar certas palavras, pois aprendem, pela trans-
missão social, que não são socialmente aceitas e, portanto, não devem usá-las.
Conhecimento lógico-matemático
Na concepção de Piaget, diferentemente dos outros conhecimentos, o conhe-
cimento lógico-matemático consiste em relações criadas pelo sujeito. Ele exem-
plifica esse conhecimento com a diferença constatada quando nos deparamos 
com duas contas, uma vermelha e outra azul. Essa diferença é criada mentalmente 
quando o indivíduo relaciona os objetos. A diferença não está na conta vermelha 
nem na azul. Ele percebe a diferença porque as coloca uma em relação à outra.
Pode-se dizer que essas duas contas são “parecidas”, se for levado em consi-
deração seu peso. Porém, também é possível dizer que são “diferentes”, se forem 
consideradas as cores das contas. Tanto é correto dizer que elas são parecidas 
quanto que são diferentes, dependendo das relações estabelecidas pelos sujei-
tos. Se o objetivo é numérico, observa-se que são “duas”, e número é uma relação 
criada mentalmente pelo indivíduo.
Para Piaget (apud GARDNER, 1994), todo conhecimento e, em particular, o 
conhecimento lógico-matemático, deriva das nossas ações sobre o mundo. A 
base para todas as formas lógico-matemáticas de inteligência depende inicial-
mente da manipulação de objetos. No entanto, essas ações também se realizam 
mentalmente e são internalizadas depois de algum tempo.
O objetivo das pesquisas de Jean Piaget (1896-1980), em Psicologia do Desen-
volvimento e Epistemologia Genética, segundo Brito e Garcia (2001), foi o de veri-
ficar o desenvolvimento do conhecimento. Piaget descreveu o desenvol vimento 
cognitivo em termos lógico-matemáticos, utilizando um método clínico e críti-
co. Observou, em situações experimentais e ambientes naturais, sujeitos desde 
a infância até a adolescência. Com seus estudos, Piaget percebeu que o conheci-
mento se desenvolve mediante uma construção progressiva das estruturas lógi-
Conhecimento lógico-matemático
47
cas, embora a lógica e a forma de pensar da criança e do adulto sejam diferentes. 
Todo seu estudo tem origem em pressupostos biológicos bem determinados, 
que se relacionam com os conceitos de adaptação, organização, formação de es-
trutura e a tendência de autorregulação dos seres vivos. O estudo não foi apenas 
uma analogia entre o desenvolvimento biológico e o desenvolvimento cogniti-
vo. Para Piaget, o desenvolvimento cognitivo se produz por meio da adaptação 
dos organismos ao meio. O autor utiliza o termo “invariantes” para os processos 
constantes encontrados durante o desenvolvimento, ou seja, para a adaptaçãoe a organização. Devido à tendência biológica dos seres vivos à autorregulação, 
são desenvolvidos certos mecanismos adaptativos envolvendo novas organiza-
ções, que levam a uma mudança interna, além das novas interações com o am-
biente, chamadas de assimilação e acomodação.
A assimilação é o processo por meio do qual os esquemas internos são apli-
cados sobre o objeto. Esse objeto passa a ser conhecido pelo indivíduo somente 
quando for assimilado por um ou mais esquemas. A acomodação consiste na 
modificação dos esquemas internos como resultado de uma experiência ativa 
com os objetos, levando em conta qualidades particulares destes. Não apenas 
Piaget mas também outros teóricos da cognição alegam que entre o meio e as 
respostas do indivíduo existem estruturas que determinam os comportamentos 
deste. Esquemas, operações e estruturas são conceitos estabelecidos por Piaget 
seguindo essa mesma linha. São esses três elementos que, quando mudam, 
despregam-se e se reorganizam durante o desenvolvimento, dando origem às 
nossas possibilidades intelectuais.
Piaget descreveu a sequência das etapas pelas quais os seres humanos passam 
durante seu desenvolvimento cognitivo. Essas etapas seguem as mesmas sequên-
cias em todos os seres, embora não se deem necessariamente na mesma faixa etária. 
Uma nova forma de organização cognitiva, ou seja, nova estrutura, implica numa 
mudança de etapa e também maior equilíbrio – forma superior de adaptação.
Abstração empírica e abstração reflexiva
Abstração empírica
Para Piaget, a abstração de número é muito diferente da abstração de cor dos 
objetos, chamada por ele de abstração empírica ou simples. Para a abstração de 
número, usou o termo abstração reflexiva.
48
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Na abstração empírica, a criança se concentra numa certa propriedade do 
objeto e ignora as demais. Ao centrar-se na cor, acaba deixando de lado peso, 
material do qual é feito etc.
Abstração reflexiva ou construtiva
A abstração reflexiva, diferentemente da abstração empírica, envolve a cons-
trução de uma relação entre objetos. Relações não têm uma existência na re-
alidade externa. A abstração reflexiva é uma construção verdadeira feita pela 
mente, e não uma concentração sobre um determinado objeto. No entanto, na 
realidade psicológica da criança, uma não existe sem a outra. A relação de “dife-
rente” não existe se a criança não observar diferentes propriedades nos objetos. 
O mesmo acontece com a relação “cinco”, que não poderia ser construída se a 
criança pensasse que objetos separados se comportam como gotas de água que 
juntas formam um todo novamente.
Como dito anteriormente, a construção do conhecimento físico só é possível 
porque a criança possui uma estrutura lógico-matemática que possibilita novas 
observações em relação ao conhecimento que ela já tem. Para uma criança re-
conhecer que um peixe é vermelho, ela precisa reconhecer e diferenciar o ver-
melho de outras cores e o peixe de outros objetos. Portanto, para que ela seja 
capaz de “ler” fatos da realidade externa, precisa de estrutura lógico-matemática 
construída pela abstração reflexiva ou construtiva. 
A abstração reflexiva não se manifesta independente da abstração empírica 
no período sensório-motor e pré-operacional. Mais tarde, isso se torna possível 
se ela construir o número por abstração reflexiva, podendo operar com números 
e fazer 3 + 3 e 3 x 2 também por abstração reflexiva. 
Os dois tipos de abstrações até agora apresentados podem parecer sem 
grande importância enquanto uma criança está aprendendo números pequenos 
e até dez. No entanto, quando ela aprende números como 999 e 1 000 quando já 
não dispõe desses números de objetos ou fotografias, a situação fica mais difícil. 
Assim, por meio de abstração reflexiva, a criança constrói relações, números são 
aprendidos, e então pode entender números bem maiores, apesar de não tê-los 
visto antes.
O ensino da Matemática, ao longo dos anos, vem priorizando os conheci-
mentos físicos e sociais, deixando um pouco de lado o conhecimento lógico- 
-matemático, cuja fonte é interna. Considera-se que para aprender numeração, 
Conhecimento lógico-matemático
49
basta observar quantidades e escrever os numerais correspondentes, repetidas 
vezes. O conhecimento lógico-matemático evolui quanto mais relações o indi-
víduo consegue coordenar. No caso do número, é necessária a coordenação das 
relações de ordenação mentalmente.
Por outro lado, as pesquisas mostram quanto conhecimento matemático que 
a criança traz para a escola acaba não sendo aproveitado, pelo professor, para 
fazê-la avançar. Muitas vezes, professores têm em sala alunos que trabalham 
vendendo balas ou frutas, acostumados a calcular, que esquecem sua experiên-
cia no momento de fazer exercícios mecânicos.
Por inexperiência, os adultos se esquecem de que a Matemática, como a lin-
guagem, são construções humanas de muitos anos. E é com um ambiente propí-
cio à reflexão que o aluno será capaz de tirar melhor proveito das aulas.
Para o conhecimento lógico-matemático, são grandes as vantagens do jogo 
em grupo, na sala de aula, tanto do industrializado como do produzido artesanal-
mente, e uma atividade lúdica e agradável normalmente sempre será bem-vinda 
para as crianças. Muitos professores concordam em utilizar o jogo, mas apenas 
para lazer, depois de terminados os chamados “trabalhos de aula”, esquecendo-
-se de seu lado educativo.
O jogo
Propicia diversificação na abordagem dos diferentes assuntos. Há vários �
jogos envolvendo números e as quatro operações matemáticas, possibili-
tando diversas maneiras de interagir com esses objetos do conhecimento.
Estimula o pensamento, uma vez que para participar não basta estar pre- �
sente, mas estar atento às situações que se renovam a cada momento. 
Embora a criança apresente um comportamento mais individualista, não 
deixa de ajudar os amigos, mesmo querendo chegar sempre em primeiro 
lugar, enquanto que as maiores procuram estratégias cada vez mais ela-
boradas para vencer.
Promove a socialização a partir das regras, mesmo as mais simples, desti- �
nadas a crianças com menos experiência. Durante o jogo acontecem dis-
cussões, debates, troca de ideias, confronto de opiniões, numa verdadeira 
situação de interação, e tomam-se decisões que colaboram para a cons-
trução do conhecimento.
50
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Permite avanços na construção do número, sempre que envolve quanti- �
dades variadas, contando-as, comparando-as, ordenando-as, estabele-
cendo correspondência, identificando suas formas de representação e 
fazendo operações.
Em alguns casos, obriga ao registro de pontos, permitindo que os alunos �
encontrem a melhor forma de elaborá-lo, demonstrando todo o conheci-
mento que possuem.
Texto complementar 
Os Blocos Lógicos
Os Blocos Lógicos, material pedagógico geralmente feito de madeira, é 
composto por 48 peças com as seguintes especificações: 
forma quadrada grande grossa vermelha
forma quadrada grande grossa amarela
forma quadrada grande grossa azul
forma quadrada grande fina vermelha
forma quadrada grande fina amarela
forma quadrada grande fina azul
forma quadrada pequena grossa vermelha
forma quadrada pequena grossa amarela
forma quadrada pequena grossa azul
forma quadrada pequena fina vermelha
forma quadrada pequena fina amarela
forma quadrada pequena fina azul
forma triangular grande grossa vermelha
forma triangular grande grossa amarela
forma triangular grande grossa azul
forma triangular grande fina vermelha
forma triangular grande fina amarela
forma triangular grande fina azul
forma retangular grande grossa vermelha
forma retangular grande grossa amarela
forma retangular grande grossa azul
forma retangular grande fina vermelha
forma retangular grande fina amarela
forma retangulargrande fina azul
forma retangular pequena grossa verme-
lha
forma retangular pequena grossa amarela
forma retangular pequena grossa azul
forma retangular pequena fina vermelha
forma retangular pequena fina amarela
forma retangular pequena fina azul
forma circular grande grossa vermelha
forma circular grande grossa amarela
forma circular grande grossa azul
forma circular grande fina vermelha
forma circular grande fina amarela
forma circular grande fina azul
Conhecimento lógico-matemático
51
forma triangular pequena grossa vermelha
forma triangular pequena grossa amarela
forma triangular pequena grossa azul
forma triangular pequena fina vermelha
forma triangular pequena fina amarela
forma triangular pequena fina azul
forma circular pequena grossa vermelha
forma circular pequena grossa amarela
forma circular pequena grossa azul
forma circular pequena fina vermelha
forma circular pequena fina amarela
forma circular pequena fina azul
 
Dicas de estudo
Ler o livro: Blocos Lógicos.
Autora: Ursula Marianne Simons.
Editora: Vozes.
D
iv
ul
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Vo
ze
s.
A autora apresenta muitos exercícios com os Blocos Lógicos que estimulam a 
verbalização e a argumentação lógica da criança. 
Atividades
1. Diferencie os três tipos de conhecimentos apresentados no texto, exemplifi-
cando cada um deles.
52
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
2. Em relação às peças lógicas, quantas são as formas? Quantas são as cores? 
Quantas são as espessuras? Quantos são os tamanhos? Isso auxilia na deter-
minação do número de peças?
Conhecimento lógico-matemático
53
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
Houve um tempo em que o homem não sabia contar e, ainda hoje, al-
gumas tribos indígenas contam com apenas dois nomes de números. Eles 
utilizam dois-um para expressar o três e dois-dois para expressar o quatro. 
Quando querem expressar muitos, apontam para sua cabeça como sinal 
de inúmeros, tal qual é o número de fios de cabelo da cabeça. A ideia de 
número não é concebida como abstração, e é, portanto, para eles bastante 
confusa. Tribos como essas não percebem que conjuntos de, por exemplo, 
cinco cavalos, cinco flechas, cinco peixes apresentam uma característica 
comum, que é “ser cinco”.
O homem de épocas remotas apenas percebia o espaço ocupado pelos 
seres e objetos vizinhos e, por isso, estabelecia diferença entre a unidade, 
o par e muitos. O um e o dois foram os primeiros conceitos numéricos 
concebidos pelo homem. Segundo Ifrah (1989), o um se referia ao homem 
ativo e sua obra de criação; o dois, ao feminino, ao masculino e também à 
simetria aparente do corpo humano. Outros significados eram atribuídos 
a esses dois números usados nas sociedades primitivas.
Inúmeras civilizações retratam, por meio de sua língua e escrita, as limi-
tações primitivas da contagem. O significado dos números um, dois e três 
quase sempre se referiam ao singular, a um par e a muitos, respectivamen-
te, como já mencionado anteriormente. 
Estudos do comportamento humano demonstram que, no desenvol-
vimento da criança, encontram-se essas etapas do desenvolvimento da 
inteligência da humanidade; portanto, a criança, inicialmente, também 
percebe apenas o um, o dois e a pluralidade.
Embora contar seja um atributo exclusivo do ser humano, pesquisas 
mostram que é possível notar o senso numérico de certos pássaros, como 
é o caso do corvo, o qual demonstra a percepção de até quatro objetos.
O desenvolvimento histórico do sistema 
de numeração decimal
56
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Não é difícil constatar que, quando o homem se depara com uma quantidade 
de objetos, esta é rapidamente percebida se não ultrapassar três ou quatro itens. 
Quando ultrapassa, o homem precisa fazer a contagem, porque nossa visão 
global não distingue, num golpe de vista, quantidades maiores. Dependendo da 
posição que os objetos são colocados, podem-se perceber outras quantidades, 
mas nunca muito maiores do que quatro objetos.
Várias civilizações, ao representarem quantidades, faziam traços verticais, cír-
culos, pontos e outros sinais. Algumas delas juntavam para formar grupos de 
três unidades. No entanto, quando houve a influência dos cinco dedos da mão, 
os agrupamentos passaram a ser de 
cinco em cinco. Esses agrupamen-
tos eram de um traço vertical para o 
um, dois para o dois, três para o três, 
quatro para o quatro; e quatro traços 
verticais e um horizontal cortando-
os, para indicar cinco unidades. 
Para o dez, usavam dois grupos da 
representação utilizada para o cinco. Ifrah (1989) afirma que mais uma vez fica 
clara a ideia de que a percepção do homem não vai além do número quatro.
A correspondência termo a termo auxiliou na contagem. O princípio da cor-
respondência das pedrinhas para cada ovelha utilizadas pelos pastores, o rosário 
de contas para auxiliar as pessoas a fazerem as orações, os entalhes na madeira 
para os carneiros e nós na corda já eram demonstrações do emprego da corres-
pondência biunívoca.
Eram utilizadas, também, partes do corpo para expressar quantidades duran-
te a contagem, como dedo, pulso, cotovelo, ombro etc. Essas civilizações podem 
desconhecer um determinado número; no entanto, são capazes de representar 
a quantidade correspondente quando se deparam com situações que exigem 
essa prática.
Alguns indígenas conseguiram chegar a números relativamente elevados, 
mesmo sem o conhecimento deles, porque utilizavam a associação de partes 
do corpo e objetos concretos. Exemplo: peles de animais e partes do corpo que, 
numa combinação, expressavam números maiores.
O desenvolvimento histórico do sistema de numeração decimal
57
Nesses últimos exemplos, já não se estava mais utilizando correspondência 
termo a termo, prosseguindo assim um desenvolvimento na forma de contar e 
representar a contagem por meio de agrupamentos.
A invenção da base
Foi a partir da distinção entre o número cardinal e o número ordinal que o 
homem fez a abstração dos números. Contas, conchas, pedrinhas etc. deixaram 
de ser simples instrumentos materiais para serem símbolos numéricos. A seguir, 
o homem passou a conceber conjuntos mais extensos e, dessa forma, deparou-se 
com outras e novas dificuldades, pois para representar números maiores não era 
possível multiplicar indefinidamente pedras, nós nas cordas etc. Dedos e outras 
partes do corpo não eram suficientes para representar quantidades extensivas. 
Surge, então, a ideia de bases, uma forma fácil de representar os números.
Base 10
Muito diferentes dos pastores primitivos, os pastores da África Ocidental, não 
muito tempo atrás, contavam o rebanho colocando uma concha num fio de lã 
branca até o décimo animal do rebanho. Quando chegavam ao décimo, desman-
chavam esse colar de conchas e colocavam uma concha num fio de lã azul. Isso 
se relaciona com a ideia de dezena. Recomeçavam, a partir daí, a colocar uma 
concha para cada animal na lã branca novamente, até atingir o vigésimo animal. 
Quando isso acontecia, desfaziam esse colar e colocavam a segunda concha no 
fio de lã azul. Procediam assim até obter dez conchas no fio de lã azul. Então, des-
faziam esse colar e colocavam uma concha num fio de lã vermelha (centena). 
Dessa maneira, podemos perceber que a forma de raciocinar desses pastores 
era muito diferente da forma dos pastores primitivos. A ideia básica está na uti-
lização de agrupamentos por dezenas e centenas. Assim, cada concha colocada 
no fio de lã branca representava uma unidade, cada concha colocada no fio de 
lã azul representava dez unidades (dezena) e cada concha colocada no fio de lã 
vermelha representava cem unidades, o que equivale a dez dezenas, ou uma 
centena, técnica essa, hoje, chamada de emprego da base dez.
58
Fundamentos Teóricos do Pensamento MatemáticoSão várias as línguas que, para designar os números superiores a dez, utilizam-
-se da composição correspondente a dez-um, dez-dois, dez-três e assim suces-
sivamente, até o número dezenove. Para o vinte, utilizam dois-dez; para o trinta, 
três-dez, até chegar ao noventa. Para o número duzentos usam dois-cem etc.
Atualmente, utilizamos o sistema de numeração indo-arábico, de base dez. 
Os símbolos empregados por esse sistema são 1, 2, 3, 4, 5 ,6, 7, 8, 9 e 0. Os nove 
primeiros símbolos representam as unidades e o último a ideia de ausência. É 
por isso que dez é representado por 10, o que representa uma dezena e zero 
unidades.
Vejamos outros exemplos:
Quinze é representado por 15, um grupo de 10 (ou uma dezena) e mais �
cinco unidades.
Trinta e oito é representado por 38, três grupos de 10 (ou três dezenas) e �
mais oito unidades.
 3 dezenas = 10 + 10 + 10 = 30
 30 + 8 = 38
Noventa e nove é representado por 99, nove grupos de 10 (ou nove deze- �
nas) e mais nove unidades.
 9 dezenas = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 90
 90 + 9 = 99
Se acrescentarmos 1 à quantidade 99, temos que utilizar mais uma ordem: 100.
Cem é representado por 100, um grupo de grupo de 10 (ou uma cente- �
na).
Cento e quarenta e seis é representado por 146, um grupo de grupo de �
10 (ou uma centena), mais quatro grupos de 10 (ou quatro dezenas) e seis 
unidades.
 1 centena = 100
 4 dezenas = 10 + 10 + 10 + 10 = 40
 100 + 40 + 6 = 146
O desenvolvimento histórico do sistema de numeração decimal
59
Essa mesma ideia está presente quando utilizamos outras ordens.
Segundo Ifrah (1989, p. 59), “foram mesmo os dez dedos que impuseram ao 
homem a ideia de grupos por feixes de dez”. O autor afirma que, se a natureza 
tivesse feito o homem com seis dedos em cada mão, por certo a base utilizada 
hoje seria a base doze; ou se tivéssemos quatro dedos em cada mão, como é o 
caso das rãs, nosso sistema de numeração seria fundado na base oito.
Algumas civilizações tiveram sistemas de numeração fundados em outras 
bases, como é o caso do sistema sexagesimal dos babilônios; da base vintesimal 
dos ioruba, da Nigéria, de alguns povos da África Central e outros; da contagem 
duodecimal (12) dos sumérios etc.
Desses povos, ainda restam nos nossos dias vestígios de seus sistemas de nu-
meração, como é o caso da medida de tempo – em horas, minutos, segundos – 
e das medidas de arcos e ângulos – em graus, minutos e segundos. Sumérios 
e depois babilônios utilizaram a base sessenta. Não se conhece a real origem 
desse sistema de numeração; no entanto, segundo alguns historiadores, essa 
base foi usada em função do número de dias do ano ser, aproximadamente, 360, 
dando origem à divisão do círculo em 360º, que poderia ser dividido em seis 
partes iguais, fazendo coincidir a mesma medida para o arco correspondente ao 
sexto do círculo e à medida do seu raio. 
Outra possibilidade da origem da base sessenta vem da possível combinação 
das doze falanges dos dedos da mão direita e os cinco dedos da mão esquerda, 
mas não se tem confirmação dessa hipótese.
Em uma ou outra base, a descoberta fundamental do princípio de base repre-
sentou grande importância na história das civilizações, favorecendo inúmeras 
criações, invenções e revoluções em diversos campos, como na economia, em 
trocas comerciais etc.
A invenção dos algarismos denominados arábicos foi um dos grandes aconte-
cimentos na história da humanidade, comparado ao domínio do fogo. Segundo 
Ifrah (1989), a escrita e a invenção desses algarismos contribuíram para modifica-
ções na existência humana. A invenção dos algarismos, segundo o mesmo autor,
surgiu para permitir uma notação perfeitamente coerente de todos os números e para oferecer 
a qualquer um (mesmo aos espíritos mais fechados à aritmética) a possibilidade de efetuar 
qualquer tipo de cálculo sem ter de recorrer a acessórios como a mão, contador mecânico ou 
a tábua de contar. (1989, p. 131)
60
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Vale lembrar que a invenção do zero, muito mais tarde, tornou realizável cál-
culos que até então não eram possíveis de ser feitos.
A humanidade já tinha passado por diferentes experiências para tentar repre-
sentar e manipular os números, antes de chegar aos algarismos que vieram a ser 
tão eficazes – os algarismos arábicos.
Antes do emprego de tais algarismos, o homem utilizou marcas em placas de 
argila mole, em que diferentes sinais representavam diferentes ordens de seus 
sistemas de numeração. Placas com esses registros, chamadas calculi, foram en-
contradas em muitos sítios arqueológicos do Oriente Próximo.
No entanto, essa forma de representação ainda era precária e precisava ser 
aprimorada. Muitas formas, usando sistema de base, foram empregadas pelas ci-
vilizações ao longo da história. Algumas civilizações utilizaram-se do sistema de 
numeração não-posicional, o que levava a não importar a posição dos símbolos 
para representar um número, como é o caso da civilização egípcia.
Mais tarde (séculos IX-VIII a.C.), gregos e romanos desenvolveram seus siste-
mas de numeração bem mais evoluídos, mas ainda complicados quando se pre-
tendia operar com tais representações. O sistema romano era regido pelo princí-
pio da adição, pois sua justaposição de símbolos implicava na soma dos valores 
correspondentes a esses símbolos. Posteriormente, os romanos acabaram com-
plicando o seu sistema de numeração, quando introduziram a regra segundo a 
qual todo signo numérico colocado à esquerda de um algarismo de valor supe-
rior era dele retirado. Por exemplo, o quatro era expresso por IV, ou seja, cinco 
menos um (princípio da subtração). A pouca praticidade do sistema romano o fez 
ficar em plano inferior ao sistema que surgiu muito tempo depois, na Índia.
O aparecimento do zero
Dos três povos que descobriram o princípio de posição – babilônios, chineses 
e maias, utilizando uma quantidade bem menor de símbolos – apenas os babi-
lônios e os maias inventaram o zero. Mas esse novo símbolo ainda não vinha 
representar a ausência de unidades. Fez-se, então, com que esses três sistemas 
posicionais permanecessem impróprios à prática das operações aritméticas. 
Foi na Índia, por volta do século V d.C., que nasceu o ancestral do sistema de 
numeração praticado hoje. Foi proclamado pelos árabes, mas surgiu no norte 
da Índia.
O desenvolvimento histórico do sistema de numeração decimal
61
Essa civilização já utilizava os nove primeiros algarismos, que correspondem 
hoje a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, desde o século III a.C., que, erradamente, denomina-
mos arábicos. Até que se chegasse ao sistema tal como é hoje, houve muito de-
senvolvimento. Existiu época em que, para expressarem números grandes, eles 
os exprimiam por extenso, o que os ajudou a descobrir o princípio posicional e 
o zero. Diferentemente do que fazemos hoje, para três mil, setecentos e nove, 
escreviam: nava sapata sata ca trisahasra (nove, setecentos e três mil). Para as 
potências de dez, escrevia-se o seguinte: 
10 – dasa, 100 – sata, 1 000 – sahasra, 10 000 – ayuta
Assim, para escrever 51 636, escreviam 6, 3 dasa, 6 sata, 1 sahasra, 5 ayuta. 
Porém, não era suficiente, e novos avanços eram necessários. Foi então que as-
trônomos e matemáticos, para escrever 7 629, passaram a expressar-se por meio 
de um enunciado do gênero “nove, dois, seis, sete”, e essa numeração oral os fez 
perceber uma escrita posicional, que representa 9 + 2 x 10 + 6 x 100 + 7 x 1 000. 
Assim “um, um” representava uma unidade e uma dezena – o 11 de hoje. Ao ex-
pressar o número 205, perceberam que não bastava dizer cinco, dois. Dessa ma-
neira, começaram a utilizar a palavra sunya, que quer dizer vazio. Dessa forma, 
205 era enunciado da seguinte forma: cinco, vazio, dois, pois como maias e ba-
bilônios, haviam acabado de inventar o zero. Isso se deupor volta do século V 
desta era.
Para as unidades de 1 a 9, dispunham de algarismos distintos e independen-
tes e já conheciam o princípio de posição e também o zero. Como os números 
eram expressos em sânscrito, língua hindu, precisavam agora ser representados 
apenas por símbolos.
Esse sistema de numeração foi expandido além das fronteiras da Índia e, devido 
ao comércio de seda, especiarias e marfim com a China, atingiu outros povos.
Sábios, que também eram poetas, buscaram na natureza e na mitologia ins-
piração para os símbolos, que podem enumerar grandes listas de significados 
para cada um deles. Assim, as tábuas numéricas ou astronômicas eram guarda-
das na memória com maior segurança. A forma gráfica dos algarismos hindus 
ficou ainda, durante muitos séculos, pouco precisa, e copistas cometiam erros 
ao transcrever certos símbolos. Foi então que o ritmo das palavras-símbolo em 
forma de verso ajudou a eliminar os erros da transcrição. Por outro lado, esses 
símbolos foram ganhando maior definição e, aos poucos, chegaram ao que hoje 
toda a humanidade utiliza. 
62
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Texto complementar 
A lenda de Sessa
(IFRAH, 1989, p. 288-292)
Para provar a seus contemporâneos que um monarca, por mais poderoso 
que seja, não é nada sem seus súditos, um brâmane hindu, chamado Sessa, 
inventou um dia o jogo de xadrez.
Quando esse jogo foi apresentado ao rei das Índias, este ficou tão maravi-
lhado com a sua engenhosidade e a grande variedade de suas combinações 
que mandou chamar o brâmane para recompensá-lo pessoalmente:
– Quero recompensar-te por tua extraordinária invenção – disse o rei.
– Escolhe tu mesmo a recompensa e a receberás imediatamente. Sou su-
ficientemente rico para realizar teu desejo mais absurdo.
O sacerdote pediu que o rei lhe desse um pouco de tempo para pensar 
em sua resposta. E, no dia seguinte, espantou a todos com a incrível modés-
tia de seu pedido.
– Meu bom soberano – exclamou ele –, queria que me désseis a quan-
tidade de trigo necessária para encher as 64 casas de meu tabuleiro. Um 
grão para a primeira, dois para a segunda, quatro para a terceira, oito para a 
quarta, dezesseis para a quinta, e assim por diante. Em resumo, queria que 
fosse colocado em cada casa o dobro de grãos que na casa precedente.
– Não acredito que sejas tão tolo a ponto de me fazer um pedido tão mo-
desto! – exclamou o rei, surpreso. – Poderias ofender-me com um pedido tão 
indigno de minha benevolência e tão desprezível diante do que eu poderia 
oferecer-te. Mas que seja! Se é este o teu desejo, meus servidores trarão teu 
saco de trigo antes do cair da noite.
O brâmane sorriu e deixou o palácio. 
À tarde, o soberano se lembrou da promessa e se informou com seu 
ministro para saber se o louco Sessa tinha tomado posse de sua magra 
recompensa.
O desenvolvimento histórico do sistema de numeração decimal
63
– Soberano – disse o alto dignitário –, vossas ordens estão sendo executa-
das. Os matemáticos de vossa augusta corte estão determinando o número 
de grãos que devem ser dados ao sacerdote.
O semblante do rei se obscureceu. Ele não estava habituado a uma execu-
ção tão morosa de suas ordens.
À noite, antes de se deitar, o rei insistiu uma vez mais para saber se o brâ-
mane já recebera seu saco.
– Ó rei – disse o ministro, hesitante –, os matemáticos ainda não chega-
ram ao fim de suas operações. Estão trabalhando sem descanso e esperam 
terminar sua tarefa antes do amanhecer.
É preciso notar que os cálculos se revelaram muito mais longos do que se 
pensava. Mas o rei não quis saber de nada, e ordenou que o problema fosse 
resolvido antes de seu despertar.
Mas, no dia seguinte, esta ordem ainda ficou sem efeito, o que incitou o 
monarca enfurecido a despedir os calculadores.
Nesse momento, um dos conselheiros do monarca interveio:
– Ó soberano, tendes razão de despedir estes calculadores incompeten-
tes. Eles utilizaram métodos muito antigos. Ainda estavam usando as possi-
bilidades numéricas de seus dedos e as colunas sucessivas de uma tábua de 
contar. Disseram-me que os calculadores da província do noroeste do reino 
empregam já há algum tempo um método bem superior e mais rápido que 
o deles. Parece que é mais rápido e mais fácil de guardar. Operações que 
exigiriam de teus matemáticos vários dias de trabalho difícil representariam, 
para estes de quem vos falo, um trabalho de algumas horas!
Seguindo esses conselhos, foi chamado um desses engenhosos matemá-
ticos, que, após ter resolvido o problema em tempo recorde, se apresentou 
ao rei para comunicar o resultado.
– A quantidade de trigo pedida – disse num tom grave – é imensa.
Mas o rei retorquiu que, por maior que ela fosse, seus celeiros não seriam 
esvaziados.
Estupefato, ouviu então do sábio as seguintes palavras:
64
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
– Ó soberano, apesar de toda a vossa potência e riqueza, não está em 
vosso poder oferecer uma tal quantidade de trigo. Ela está muito além do 
conhecimento e do uso de que dispomos dos números. Saibais que, mesmo 
se esvaziásseis todos os celeiros de vosso reino, o resultado obtido seria des-
prezível em comparação com esta enorme quantidade. Aliás, ela não pode 
ser encontrada nem no conjunto de todos os celeiros da Terra. Se desejais 
de fato oferecer esta recompensa, será preciso começar secando os rios, os 
lagos, os mares e os oceanos, depois derreter a neve e as geleiras que reco-
brem as montanhas e certas regiões do mundo e transformar, enfim, tudo 
em campo de trigo. E só depois de ter semeado setenta e três vezes seguidas 
o total desta superfície podereis saldar esta pesada dívida. Mas, para uma 
quantidade desta ordem, seria preciso armazenar um volume de trigo de 
quase doze bilhões e três milhões de metros cúbicos e construir um celeiro 
de cinco metros de largura, dez de comprimento e... trezentos milhões de 
quilômetros de profundidade (ou seja, uma altura igual a duas vezes a dis-
tância da Terra ao Sol)!
– Na verdade – acrescentou o sábio –, os grãos de trigo que este brâmane 
nos pediu são exatamente em número de 18 446 744 073 709 551 615.
Depois, o calculador explicou ao soberano as características da numera-
ção revolucionária dos sábios de sua região natal, ensinando-lhe em seguida 
os métodos de cálculo correspondentes, além de lhe fornecer nos seguintes 
termos a justificação de seus próprios cálculos:
– De acordo com o pedido do brâmane, seria preciso colocar:
1 grão de trigo na primeira casa;
2 grãos na segunda;
4 grãos (ou seja, 2 x 2) na terceira;
8 grãos (ou seja, 2 x 2 x 2) na quarta;
16 grãos (ou seja, 2 x 2 x 2 x 2) na quinta;
e assim por diante, multiplicando sempre por 2 de uma casa para a outra. 
Assim, na 64.ª casa seria preciso colocar tantos grãos quantas unidades há no 
resultado de 63 multiplicações sucessivas por 2 (isto é, 263 grãos). A quantida-
de pedida é, consequentemente, igual à soma desses 64 números (ou seja: 1 
+ 2 + 22 + ... + 263). 
O desenvolvimento histórico do sistema de numeração decimal
65
– Se acrescentássemos um grão a este número – prosseguiu o calculador 
–, haveria grãos na primeira e 2 vezes 2 grãos nas duas primeiras. Na terceira, 
haveria então (2 x 2 + 2 x 2) grãos de trigo, isto é, 2 vezes 2 vezes ao todo. 
Na quarta, o total seria (2 x 2 x 2 + 2 x 2 x 2 ), isto é, 2 vezes 2 vezes 2 vezes 
2 grãos. Procedendo deste modo, de um em um chegareis a um total igual 
ao resultado de 64 multiplicações sucessivas por 2 (ou seja, 264). Ora, este 
número é igual ao produto de 6 vezes o produto de 10 multiplicações suces-
sivas por 2, sendo ele mesmo multiplicado pelo número 16.
(264 = 210 x 210 x 210 x 210 x 210 x 210 x 24
= 1 024 x 1 024 x 1 024 x 1 024 x 1 024 x 1 024 x 16 
= 18 446 744 073 709 551 615).
– E – concluiu ele –, como este númerofoi obtido acrescentando uma 
unidade à quantidade procurada, o total de grãos é então igual a ele pró-
prio menos um grão. Se efetuarmos as operações precedentes segundo o 
método que vos ensinei, podereis ficar certo, ó soberano, de que a quanti-
dade de grãos pedida é exatamente de dezoito quintilhões, quatrocentos e 
quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta 
e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinquenta e um mil, 
seiscentos e quinze! 
– Decididamente – respondeu o rei, muito impressionado –, o jogo deste 
brâmane é tão engenhoso quanto é sutil o seu pedido! Quanto a teus méto-
dos de cálculo, sua simplicidade iguala à sua eficácia. Diga-me, agora, sábio 
homem, o que é preciso fazer para pagar uma dívida tão incômoda?
O outro refletiu um instante e disse:
– Fazer este brâmane esperto cair na própria armadilha. Proponha-lhe 
vir contar pessoalmente, grão por grão, toda a quantidade de trigo que ele 
teve a audácia de pedir. Mesmo se ele trabalhasse sem descanso dia e noite, 
à razão de um grão por segundo, só recolheria um metro cúbico em seis 
meses, uns vinte metros cúbicos em dez anos e... uma parte inteiramente 
insignificante pelo resto de sua vida!...
66
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Dicas de estudo
Ler o livro: Os Números – a história de uma grande invenção.
Autor: Georges Ifrah.
Editora: Globo. 
D
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G
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bo
.
Apresenta a evolução do raciocínio de nossos ancestrais desde a Pré-História, 
passando por civilizações como a dos egípcios, babilônios, fenícios, gregos, ro-
manos, hebreus, maias, chineses, hindus e árabes.
Atividades
1. Como o homem primitivo contava?
O desenvolvimento histórico do sistema de numeração decimal
67
2. Qual é a origem provável da base 10 no nosso sistema de numeração?
3. Quais são as contribuições dos hindus e dos árabes para o sistema de nume-
ração que utilizamos?
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
Neste texto queremos apresentar parte da história das técnicas com-
putacionais ao longo da história.
Segundo Piaget (apud KAMII,1995), o estudo da natureza do conheci-
mento humano deveria ser feito com a investigação científica, e não como 
muitos filósofos faziam, ou seja, por meio de especu lação e debate.
No entanto, fatos sobre a sociogênese pré-histórica e o desenvolvimen-
to do conhecimento humano ou são incompletos ou inacessíveis. Piaget 
então decidiu completar informações disponíveis, que não são muitas, 
com fatos sobre como as crianças de hoje constroem conhecimentos. 
O conhecimento do qual hoje dispomos é resultado de um processo 
de construção humana ao longo de vários séculos. O autor citado afirma 
ser possível que haja paralelos entre a maneira como a criança constrói 
seu conhecimento e a maneira como a humanidade o fez no passado.
Conhecer os paralelos entre a construção da humanidade e a constru-
ção da criança é importante, porque nos auxilia a compreender melhor a 
natureza do conhecimento lógico-matemático e os conceitos de número. 
Para que a criança aprenda as técnicas computacionais, passa por etapas 
similares àquelas pela qual passou a humanidade.
Segundo Groza (apud KAMII, 1995), os algoritmos, tais como hoje uti-
lizados, são recentes na história da humanidade. Antes deles, as pesso-
as utilizavam ábacos, pedrinhas, contas e outros. Só por volta de 1600 o 
nosso sistema de numeração decimal, indo-arábico, passou a ser aceito 
como sistema oficial de computação, tomando o lugar do sistema de nu-
meração romana.
Discussão de processos e desenvolvimen-
to histórico de algoritmos de algumas 
operações fundamentais
70
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Os romanos utilizavam uma tábua de cálculos que consistia em quatro colu-
nas, sendo a primeira a das unidades, a segunda das dezenas, a terceira das cen-
tenas e assim por diante, colocando pedras ou contas em cada coluna, conforme 
o dese nho a seguir:
Representação de 2 365.
Um sistema similar era também utilizado, no entanto, na forma horizontal:
Discussão de processos e desenvolvimento histórico de algoritmos de algumas operações fundamentais
71
As contas que se encontram na linha onde estão indicados I, X, C,M represen-
tam respectivamente unidades, dezenas, centenas, e unidades de milhar. As que 
se encontram entre estes espaços são sempre cinco vezes a quantidade da ordem 
abaixo dela. Por isso o número nesta figura representa 2 365. Dois mil representa-
do na linha superior da figura (M), o trezentos está representado na linha C, pelas 
três contas existentes nela. O sessenta está representado por 50 (5 X 10) que se 
encontra acima da linha X (das dezenas, por isso equivale a 50), mais 1, que se 
encontra na linha X (das dezenas, por isso equivale a 10) e mais 5, que é represen-
tado pela conta que está acima da ordem I (unidade), que equivale a 5 x 1.
Sempre que uma conta ou mais estiver na linha das unidades, dezenas, cen-
tenas etc., elas são multiplicadas por 1, 10, 100, ou seja, por uma potência de 
base 10 e as que estão acima desta linha representam 5 vezes a potência de dez 
a que ela está posicionada.
A figura anterior também representa 2 365, porém esse sistema utiliza o 
espaço acima da linha para representar cincos; acima da linha das unidades a 
pedra, ou conta, representa cinco unidades, acima da linha das dezenas a pedra, 
ou conta, representa cinco dezenas e assim por diante.
O fato de o homem agrupar objetos de dez em dez e colocar dez contas em 
fios de lã ou em fio de arame acabou levando-o a construir um ábaco, que ainda 
é utilizado em muitos países da Ásia. 
A figura seguinte mostra o mais moderno ábaco utilizado atualmente no 
Japão.
Temos representado na figura anterior 2 165. Cada conta acima da linha hori-
zontal vale cinco e, abaixo dela, um. Assim, 2 165 é representado por duas contas 
72
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
na coluna dos milhares, uma na das centenas, abaixando um cinco e subindo um 
um na das dezenas e, por último, descendo um cinco na das unidades.
Ainda hoje, no Japão, a adição e a subtração são realizadas no ábaco. Come-
çam das ordens maiores e seguem para a direita, até as unidades. Por exemplo: 
para fazer 1 364 + 999, soma-se primeiramente 900, depois 90, e por último 9, 
conforme mostra a figura que segue:
Exemplo (1 364 + 999)
1 364
Para adicionar 900, primeiro subtrai-se 100, abaixando uma conta da coluna 
das centenas e, a seguir, soma-se 1 000, subindo uma conta da coluna do 
milhar.
1 364 + 900 = 2 264
Para adicionar 90, primeiro subtrai-se 10, abaixando uma conta da coluna das 
dezenas e, a seguir, soma-se 100, subindo uma conta da coluna das centenas.
2 264 + 90 = 2 354
Discussão de processos e desenvolvimento histórico de algoritmos de algumas operações fundamentais
73
Para adicionar 9, primeiro subtrai-se 1, abaixando uma conta da coluna das 
unidades e, a seguir, soma-se 10, subindo uma conta da coluna das dezenas.
2 354 + 9 = 2 363
Para utilizar o ábaco, é necessário compreender o valor posicional dos 
algarismos.
Muitos contadores e ábacos foram usados antes que procedimentos compu-
tacionais com uso da escrita fossem aperfeiçoados. 
Para chegar aos algoritmos que utilizamos hoje, uma variedade de procedi-
mentos foram desenvolvidos, sendo que muitos destes se perderam na história 
e outros estão registrados. Com base em Kamii (1995) e Eves (2002), descreve-
mos alguns deles:
Adição 
 Bháskara, no século XII, utilizava pontos para representar os zeros. Veja o �
exemplo a seguir:
155 + 298
8 + 5 = 13 (13), soma das unidades
5 + 9 = 13 (14), soma das dezenas
1 + 2 = 3... (3), soma das centenas
 453 (453), soma total
O método de “crivo”, utilizado na Índia, iniciava da esquerda paraa direita, �
sendo que os resultados obtidos eram escritos acima. Vejamos o exemplo:
155 + 298
 4 4 5
3 3 4 3 4 3
1 5 5 1 5 5 1 5 5 453
2 9 8 2 9 8 2 9 8
74
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Se esse procedimento fosse feito na areia, os dígitos seriam apagados con-
forme eram usados, em vez de serem riscados. Com isso, a escrita ficava mais 
restrita, conforme mostramos abaixo: 
155 355 445 453
298 98 8 
Os indianos às vezes escreviam a adição abaixo da conta, da esquerda �
para a direita:
+
155
298
343
45
Pearson ( � apud KAMII, 1995) apresenta dois métodos: 
1 5 5
2 9 8+
3 14 13
4 5 3
155
298+
3 (para 100 + 200)
14 (para 90 + 50)
+ 13 (para 5 + 8)
453
Esse método se aproxima do algoritmo da adição que utilizamos nos dias de 
hoje.
Multiplicação 
Os egípcios, por volta de 1650 d.C., usavam o método de dobrar: �
Para 17 x 13, então fazemos 208 + 13 = 221.
17 x 13
1 x 13 = 13
2 x 13 = 26
4 x 13 = 52
8 x 13 = 104
16 x 13 = 208
Mas é 17 x 13, então fazemos 208 + 13 = 221.
Discussão de processos e desenvolvimento histórico de algoritmos de algumas operações fundamentais
75
Outro método que envolve duplicação e ainda hoje é utilizado por cam- �
poneses russos é exemplificado a seguir: 
32 x 48
32 16 8 4 2 1
48 96 192 384 768 1 536
A multiplicação dos números de cada coluna sempre será o resultado es- �
perado; então, quando chegamos a 1, na primeira linha, temos o resultado 
na segunda linha:
x x x x
32
48
1 536
16
96
1 536
8
192
1 536
4
384
1 536
x x
2
768
1 536
1
1536
1 536
Um dos primeiros trabalhos sobre métodos de multiplicações é apresen- �
tado por Bháskara no século XII. Vejam o exemplo para a multiplicação de 
24 por 35:
24 x 35 = (6 + 6 + 6 + 6) x 35 = 210 + 210 + 210 + 210 = 840 �
Esse método utiliza a decomposição do multiplicador em fatores, no caso an-
terior 6 x 4.
Vejam outros métodos diferentes de partição:
1.
 24
x 35
 700 (para 35 x 20 = 700)
 140 (para 35 x 4 = 140)
 840
2.
 24
x 35
 720 (para 30 x 24 = 720)
 120 (para 5 x 24 = 120)
 840
76
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
3.
24
35x
20
100
120
600
840
(para 5 x 4 = 20)
(para 5 x 20 = 100)
(para 30 x 4 = 120)
(para 30 x 20 = 600)
4.
24
35x
120
720
840
(para 5 x 24 = 120)
(para 30 x 24 = 720)
5.
24 x 35 = (20 + 4) x (30 + 5) = 600 + 100 + 120 + 20 = 840
O trabalho com os algoritmos nos anos iniciais deve ser conduzido de forma 
a oportunizar que as crianças elaborem seu próprio raciocínio. Não podemos 
esquecer que os algoritmos que usamos hoje são resultado de séculos de cons-
trução. Não se deve exigir que a criança se aproprie de um processo sem deixar 
que explore outros caminhos, os quais, provavelmente, facilitarão a compreen-
são dos algoritmos que queremos que ela domine. 
É muito provável, se permitirmos à criança explorar caminhos próprios para 
a realização das operações fundamentais, que elas recriem muitos procedimen-
tos já inventados por pessoas de outras épocas. O conhecimento da história da 
evolução dos algoritmos das operações fundamentais pode, também, ajudar o 
professor na compreensão do Sistema de Numeração Decimal.
Discussão de processos e desenvolvimento histórico de algoritmos de algumas operações fundamentais
77
Texto complementar 
Cálculos numéricos 
(EVES, 2002, p. 255)
Outro método de multiplicação, conhecido dos árabes, que provavel-
mente o obtiveram dos hindus e se assemelha muito ao nosso atual proces-
so, está indicado na ilustração abaixo, onde outra vez se efetua o produto de 
135 x 12. Trata-se de um diagrama em rede em que as adições se efetuam 
diagonalmente. Como se nota, o fato de cada cela estar dividida em dois 
triângulos por uma diagonal faz com que não seja necessário nenhum trans-
porte na multiplicação.
Os árabes, que posteriormente se apropriaram de alguns processos hindus, 
foram incapazes de aperfeiçoá-los, adaptando-os para trabalhos em “papel” que 
não interessavam e, sobre eles ou abaixo deles, escreviam os que convinham.
O desenvolvimento de algoritmos para nossas operações aritméticas ele-
mentares teve início na Índia, por volta do século X ou XI; esses algoritmos 
foram adotados pelos árabes e, mais tarde, transportados para a Europa Oci-
dental, onde se modificaram até chegar à sua forma atual. Esse trabalho re-
cebeu atenção considerável dos autores e aritméticos do século XV.
Dicas de estudo
Ler o livro: História Universal dos Algarismos volume 2. 
Autor: Georges Ifrah.
78
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Editora: Nova Fronteira (Grupo Ediouro). 
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O livro apresenta os números como a essência de boa parte da aventura que 
levou o homem ao domínio da natureza. Apresenta, com detalhes, a história uni-
versal dos algarismos.
Atividades
1. Realize as seguintes adições utilizando, pelo menos, dois dos algoritmos dis-
cutidos no texto:
a) 153 + 87 =
b) 25 + 145 = 
Discussão de processos e desenvolvimento histórico de algoritmos de algumas operações fundamentais
79
2. Realize as seguintes multiplicações utilizando, pelo menos, dois dos algorit-
mos discutidos no texto:
a) 125 x 34 =
b) 248 x 15 = 
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
Problemas que envolvem as experiências das crianças devem ser o ca-
minho para iniciar o trabalho com as operações. Situações como contar 
pontos em um jogo, colecionar materiais, brincadeiras e outras atividades 
podem estar envolvidas no dia-a-dia das crianças em sala de aula ou em 
casa, sendo exemplos de contextos que venham a favorecer o envolvi-
mento e a compreensão das crianças com as operações trabalhadas nos 
anos iniciais do Ensino Fundamental.
O trabalho com as quatro operações fundamentais, nos anos iniciais, 
deve privilegiar os diferentes significados de cada uma delas e as relações 
entre as mesmas. Há, ainda, um importante ponto sobre o qual os pro-
fessores hão de refletir: as várias ideias envolvidas nas quatro operações 
fundamentais. A relevância do conhecimento dessas ideias pelo profes-
sor dos anos iniciais está na possibilidade da escolha de problemas que 
possam envolver as várias ideias presentes, propiciando ao aluno o en-
frentamento de situações diversas que o prepararão para resolver tipos 
diferentes de problemas.
Ideias da adição
As ideias presentes na operação de adição são as de “juntar” e “acres-
centar”. Alguns autores não diferenciam as duas ideias. Já outros, como 
Cardoso (1998), diferenciam as ideias mencionadas.
Vejamos dois problemas que podem justificar essa diferenciação:
Marcos tem 13 figurinhas e seu irmão José tem 7. Quantas figuri-1. 
nhas possuem os dois juntos?
Marcos tem 13 figurinhas e vai jogar com seu irmão. Se ele ganhar 7 2. 
nesse jogo, com quantas figurinhas ficará?
Ideias das quatro 
operações fundamentais
82
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Os dois problemas podem ser resolvidos com a operação 13 + 7. No primeiro 
caso, a ideia presente é juntar as quantidades; no segundo, é acrescentar uma 
quantidade a outra já colocada.
Concordamos com Cardoso (1998) quando diz que a diferença entre as duas 
ideias é muito sutil e dificilmente leva o aluno ao erro. Acreditamos que essa 
diferença dificilmente é observada e não representa preocupações por parte do 
professor quanto à escolha de problemas. No entanto, há de se ressaltar que 
essas ideias se diferem muito quando observamosos procedimentos que as 
crianças pequenas realizam para efetuarem adições. Para adicionar duas quan-
tidades como 3 e 4, por exemplo, é comum observarmos crianças agindo de 
maneiras diferentes. Vejamos:
Algumas crianças representam a primeira quantidade com os dedos de �
uma das mãos e, a segunda, com os dedos da outra mão. Então, contam 
sequencialmente as duas quantidades.
Outras crianças representam apenas uma das quantidades em uma das �
mãos e realizam a contagem partindo da outra quantidade, prosseguin-
do com a indicação dos dedos que, inicialmente, representaram uma das 
quantidades.
Nessas duas situações é possível identificar mais claramente a diferença entre a 
ideia de juntar e a ideia de acrescentar. No primeiro exemplo, o aluno “junta” duas 
quantidades e, no segundo, acrescenta uma quantidade a outra já considerada. 
Ideias da subtração
Sabe-se que a operação de subtração é, para a criança, uma operação mais 
complexa do que a operação de adição. Segundo pesquisas realizadas por 
Piaget, o raciocínio das crianças direciona-se primeiro para os aspectos positivos 
da ação, da percepção e da cognição. Posteriormente, elas se voltam para os 
aspectos negativos. 
Outra questão importante a se considerar é que a operação de subtração en-
volve ideias bastante diferentes:
ideia de tirar; �
ideia de comparar; �
ideia de completar. �
Ideias das quatro operações fundamentais
83
Vejamos os três problemas que seguem:
Em uma festa estavam 45 pessoas e 23 destas foram embora. Quantas 1. 
pessoas ainda restam nessa festa?
Meu irmão tem 32 reais e eu tenho 15. Quantos reais meu irmão tem a 2. 
mais do que eu?
Para preencher seu álbum, Tales precisa de 50 figurinhas. Ele já tem 17. 3. 
Quantas figurinhas faltam para que seu álbum fique preenchido?
O primeiro problema envolve a ideia de “tirar”, conhecida também como 
ideia subtrativa. Retira-se uma quantidade de objetos de mesma espécie de 
outra quantidade. Essa é a ideia mais trabalhada nos anos iniciais. A maioria das 
pessoas recorre a ela quando se refere à operação de subtração. Um esquema 
que poderia representá-la é:
6 – 2 = 4
Temos seis objetos; retiramos dois deles, restam quatro.
O segundo problema compara duas quantidades de objetos de mesma 
espécie, ou seja, quantos reais uma pessoa tem a mais que outra. A ideia pre-
sente nesse problema é a de “comparar”. Não se deve deixar de trabalhar pro-
blemas que envolvam essa ideia. É importante que o aluno seja colocado 
em situações envolvendo ideias diferentes e, nesse caso, usa-se muito a ex-
pressão “mais que”, podendo confundir o raciocínio do aluno e encaminhá-lo 
para uma operação de adição. Um esquema que se poderia apresentar com essa 
ideia é:
6 – 2 = 4
Temos um grupo de seis objetos e outro grupo de dois.
84
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Qual é a quantidade de objetos que um grupo possui a mais que o outro?
Pode-se concluir de duas maneiras diferentes:
seis tem quatro a mais que dois; �
dois tem quatro a menos que seis. �
O terceiro problema apresenta a ideia de “completar”. Tales tem 17 figurinhas 
e quer chegar a 50. Quantas faltam? Essa ideia aparece em duas situações de 
algoritmos, um na própria subtração e outro no algoritmo do processo curto da 
divisão. Vejamos:
Método da compensação na subtração
Nesse método, a subtração desenvolve-se da seguinte forma:
50 – 17 =
5 0
1 7
3
1
 
 
Iniciando pela ordem das unidades: 7 para chegar a 10 faltam 3; como consi-
derou 10 o zero da ordem das unidades no minuendo, compensa-se acrescen-
tando uma dezena no subtraendo.
5 0
1 7
3 3
1
 
 
Tínhamos uma dezena no subtraendo, e, somada com outra da compensa-
ção, temos 2; 2 para chegar a 5 faltam 3.
Processo curto da divisão
Nesse método encaminhamos a divisão da seguinte forma:
Ideias das quatro operações fundamentais
85
74 : 2 = 
74 2
3
Sete dezenas divididas por dois é igual a três dezenas.
74 2
1 3
Três dezenas vezes dois é igual a seis dezenas. Seis dezenas para chegar a sete 
dezenas, falta uma dezena.
74 2
14 3
Juntam-se quatro unidades a uma dezena que sobrou da divisão anterior, 
tendo, assim, 14 unidades.
74 2
14 37
Quatorze unidades divididas por dois é igual a sete unidades.
74 2
14 37
0
Sete unidades vezes dois é igual a 14 unidades. 14 para chegar a 14 falta 
zero.
Para representar a ideia de “completar” na subtração, podemos apresentar o 
seguinte esquema:
Temos dois; para completar seis, faltam quatro.
6 – 2 = 4
86
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
É importante que o professor contemple em suas atividades problemas que 
envolvam todas as ideias.
Ideias da multiplicação
A operação de multiplicação envolve duas ideias básicas: a soma de parcelas 
iguais e a ideia de combinatória. Vejamos os seguintes problemas:
Um carro possui quatro rodas. Quantas rodas possuem três carros seme-1. 
lhantes ao primeiro?
Tânia possui três saias e quatro blusas. De quantas maneiras diferentes ela 2. 
pode se vestir?
O primeiro problema envolve a ideia de soma de parcelas iguais. Vejamos um 
esquema para sua solução:
4 + 4 + 4 = 12, o que equivale a 3 . 4 = 12 �
O segundo problema envolve a ideia de “combinatória”. Cada saia combinará 
com uma blusa. Assim, as possíveis maneiras de Tânia se vestir serão:
Considerando três saias, S1 S2 e S3, e quatro blusas, B1, B2, B3 e B4, Tânia 
poderá se vestir com:
S1 e B1 ou S1 e B2 ou S1 e B3 ou S1 e B4
S2 e B1 ou S2 e B2 ou S2 e B3 ou S2 e B4 
S3 e B1 ou S3 e B2 ou S3 e B3 ou S3 e B4
ou simplesmente:
3 . 4 = 12 maneiras diferentes.
É de fundamental importância que o professor não se esqueça que a multi-
plicação oferece à criança um contato com a proporcionalidade, uma das ideias 
mais importantes da Matemática. 
Ideias da divisão
A operação de divisão envolve duas ideias distintas: a de repartir e a de medir. 
Ideias das quatro operações fundamentais
87
Vejamos os problemas seguintes.
Maria tem 20 reais e quer repartir essa quantia entre seus cinco sobrinhos. 1. 
Quantos reais receberá cada sobrinho?
A professora Nair quer formar grupos de cinco alunos com os seus 20 alu-2. 
nos. Quantos grupos ela conseguirá formar?
O primeiro problema envolve a ideia de repartir igualmente e o segundo de 
medir: quantas vezes a quantidade 5 cabe em 20?
O procedimento para desenvolver a ideia presente em cada um dos proble-
mas é bem diferente. Analisemos cada caso.
Problema 1:
Para resolver essa questão, a criança pode distribuir aos sobrinhos de Maria, 
um a um, cada real da quantidade total. A resposta da questão será a quantidade 
que cada um dos sobrinhos receber.
Problema 2:
Nesse caso, a resolução pode ser encaminhada formando grupos de cinco 
alunos. Quando todos os alunos forem reagrupados, conta-se o número de 
grupos formados.
Essas duas ideias estão presentes em dois dos métodos de divisão. O método 
menos usado em nossas escolas é o método conhecido como “método america-
no”, que consiste em fazermos sucessivas estimativas. Vejamos como a ideia de 
medida se apresenta nesse método:
20 20 o 5 cabe duas vezes em 20
10 2 e ainda sobram 10
10 o 5 cabe uma vez em 10
5 1 e ainda sobram 5
5 o 5 cabe uma vez em 5
 1
45 e não resta nada.
0
–
–
88
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
O processo mais usado para efetuar divisões envolve a ideia de divisão em 
partes iguais. Vejamos:
20 5 2 dezenas divididas em 5
20 4 partes iguais resultam em 4
 0 unidades em cada parte.
–
A compreensão dessas ideias pela criança é de fundamental importância para 
que ela possa resolver problemas das mais variadas categorias e, além disso, 
possibilita a compreensão das diversas técnicas utilizadas nas quatro operaçõesfundamentais.
Texto complementar 
Processo de recurso à ordem superior
(TOLEDO; TOLEDO, 1997, p. 116-117, 119)
A concretização da ideia de subtrair por meio de uma situação fazen-
do uso do dinheiro é a que tem conduzido aos melhores resultados. Con-
siderando uma moeda criada pelos alunos (o tut), pode-se colocar a se-
guinte situação: você tem 5 notas de T$10 e 4 notas de T$1 e precisa pagar 
T$38 a uma pessoa que não tem troco nenhum. Como fazer?
Os alunos logo percebem que devem trocar uma nota de T$10 por 10 
notas de T$1, ficando com 14 notas de T$1. Assim, entregam 8 notas de 
T$1 e ainda ficam com 6 notas de T$1. Como 1 nota de T$10 já foi troca-
da, o aluno tem ainda 4 notas; entrega 3 e fica com 1. O resultado é, então, 
T$16.
Fazendo a representação no algoritmo, temos:
1=
D U
4 1014
5 4 –
3 8
1 6 
Ideias das quatro operações fundamentais
89
O mesmo pode ser realizado com o material dourado.
Emprestar: controvérsias 
O termo “emprestar” é considerado bastante inadequado, pois pede-se 
emprestado, mas não se paga o empréstimo feito. Além disso, o aluno que 
não compreende bem o processo de agrupamentos e trocas e só faz contas 
com lápis e papel, sem agir sobre materiais de contagem, não entende por 
que pede 1 emprestado e recebe 10.
Quando se usa o termo “trocar”, no entanto, fica claro que sempre se troca 
uma nota de dinheiro por outras que, somadas, representam o mesmo valor 
da primeira. Assim, no problema que acabamos de ver, trocou-se uma nota 
de T$10 por dez notas de T$1, ou seja, trocou-se 1 dezena por 10 unidades.
D U
54 14 –
3 8
1 6
1=
A subtração no século IX 
Por volta do ano 820, foi fundada, em Bagdá, a Casa da Sabedoria, onde 
se reunia um grande número de sábios vindos do mundo todo. Entre eles 
encontrava-se o grande matemático e astrônomo Mohammed ibu Musa al-
Khowarizmi, um dos responsáveis pela divulgação, na Europa, do sistema 
de numeração indo-arábico (de seu nome derivam os termos algarismos e 
algoritmo).
Eis o algoritmo que al-Khowarizmi utilizava para fazer subtrações:
inicia-se o processo da esquerda para a direita; �
os algarismos utilizados em cada subtração parcial são riscados, colo- �
cando-se o resultado acima deles;
são usados, no minuendo, os algarismos necessários para formar um �
número maior que o do subtraendo.
Veja os exemplos a seguir:
a) 7 582 – 1 936 = 5 646 
90
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
5 4
6 6 5 6
7 5 8 2
1 9 3 6
subtrações parciais:
7 – 1 = 6; 65 – 9 = 56;
8 – 3 = 5; 52 – 6 = 46.
b) 28 347 – 9 186 = 19 161
1
1 9 2 6 1
2 8 3 4 7
9 1 8 6
subtrações parciais:
28 – 9 = 19; 3 – 1 = 2;
24 – 8 =16; 7 – 6 = 1 
Dicas de estudo
Ler o livro: Materiais Didáticos para as Quatro Operações.
Autora: Virginia C. Cardoso.
Editora: USP.
D
iv
ul
ga
çã
o 
U
SP
.
Ideias das quatro operações fundamentais
91
A obra explora o trabalho com vários materiais manipuláveis e aborda as 
ideias das quatro operações fundamentais. 
Atividades
1. Qual a ideia de subtração presente em cada um dos seguintes problemas?
a) Carlos tem um livro de 135 páginas para ler, já leu 64 páginas. Quantas 
páginas faltam para ele terminar de ler o livro?
b) Uma biblioteca pública de uma cidade possuía 1 405 títulos, cedeu 250 
para a biblioteca de outra instituição. Com quantos títulos a biblioteca 
pública dessa cidade ficou?
c) Num mesmo campeonato o time de Rubens ganhou 18 jogos e o time 
de Amarildo ganhou 15. Quantos jogos o time de Rubens ganhou a mais 
que o time de Amarildo?
92
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
2. Quais são as duas ideias que a operação de divisão pode envolver?
Ideias das quatro operações fundamentais
93
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
O importante é que o aluno perceba que os números naturais, aqueles 
com os quais ele tem trabalhado até então, não são suficientes para resol-
ver determinados problemas. A história refere-se a esse fato quando men-
ciona a medição de terra que margeava os rios. O Estado cobrava impos-
tos com base na propriedade da terra. A necessidade de medição de terras 
levou à criação de padrões de medida ou unidades. O problema estava no 
fato de que raramente a unidade (ou padrão) cabe em um número inteiro 
de vezes na grandeza a medir. Podemos exemplificar isso tentando ver 
quantas vezes um metro cabe no comprimento (ou na largura) da sala de 
aula, ou então quantas vezes o comprimento de uma régua cabe em uma 
das dimensões da carteira. É bem provável que essas medidas não sejam 
inteiras, comparadas com as unidades que foram usadas para realizá-la.
As frações e os decimais representam uma ampliação significativa dos 
conhecimentos da criança sobre os números. Esse conhecimento permite 
que ela descreva o mundo real e aplique-o em problemas que envolvem 
medidas, probabilidade e estatística.
Segundo as NCTM1 (1991), nos primeiros anos de escolaridade é im-
portante que os alunos:
compreendam as frações e os decimais; �
explorem as relações entre frações e decimais; �
construam conceitos de ordem e equivalência. �
Pesquisas mostram que essas ideias são construídas gradativamente. 
É interessante que sejam usados materiais manipuláveis, diagramas e si-
tuações do mundo real nas atividades desenvolvidas com o propósito de 
construção desse conceito.
1 National Council of Teachers of Mathematics (Conselho nacional de Professores de Matemática – USA) 
Compreensão 
dos números racionais: frações
96
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Por volta do 2.º ciclo do Ensino Fundamental, 3.ª e 4.ª séries, é conveniente 
que os professores proponham problemas cujas soluções não se encontram no 
campo dos números naturais, aproximando os alunos da noção de número ra-
cional, pela compreensão de alguns de seus significados e de suas representa-
ções fracioná rias e decimais.
Quanto ao termo fração podemos associá-lo a ideia de fracionar algo. Aqui já 
está presente, então, um novo olhar para o “todo”. Antes, no campo dos naturais, 
o todo não podia ser dividido; já no campo dos racionais, ele é visto agora como 
algo fracionável – e isso é fundamental para que possamos compreender e am-
pliar o conjunto dos números. 
Para ilustrar essa ideia, podemos, por exemplo, nos referir a uma maçã: 
quando ela é vista apenas como um todo indivisível, basta-nos o conjunto dos 
números naturais. Mas encará-la como uma unidade formada por vários peda-
ços é uma visão mais ampla. Para representar essa ideia temos que nos reportar 
ao campo dos racionais. 
Os significados que as frações devem assumir nesse 2.º ciclo do Ensino Fun-
damental são: quociente, parte-todo e razão.
Parte-todo � : esse significado está presente quando um todo é dividido em 
partes, como nos casos de divisão de pizzas, chocolates e também em di-
visões de quantidades.
Quociente � : esse significado apresenta-se na divisão de um número na-
tural (nessa fase, as crianças ainda não tiveram contato com os números 
inteiros) por outro diferente de zero. 
Razão � : nessa situação, a fração é usada como índice comparativo en-
tre duas quantidades de uma grandeza. Por exemplo, 1 vaga para cada 
2 candidatos 1
2
.
Nos ciclos posteriores, um quarto significado ainda será trabalhado: a ideia 
da fração como operador.
É importante que o professor organize atividades que coloquem os alunos de 
3.ª e 4.ª séries em contato com essas três ideias principais de fração: parte-todo, 
quociente e razão.
Compreensão dos números racionais: frações
97
Operações com frações
Antes de dominarem os algoritmos das quatro operações fundamentais com 
frações, é essencial que os alunos compreendam o significado dos procedimen-
tos realizados.
Soma
Ex.: 1
22
3
+ =
Um dos procedimentos para realizarmos essa operação é acharmos o mínimo 
múltiplo comum (mmc) entre 2 e 3 (denominadores), dividirmos o número en-
contrado pelo denominador de cada fração e multiplicarmos o resultado pelo 
numerador. O resultado desse processo nos leva a encontrarmos frações equiva-
lentes às dadas, porém com denominadores iguais.
Qual o significado de cada passo desse procedimento?
Quando achamos o mmc, estamos dividindo novamente esses “pedaços” 
para que possamos expressar as duas quantidades com pedaços do mesmo 
tamanho:
 2,3 2 
 1,3 3
 1,1 6 mmc entre 2 e 3 = 6
Isso quer dizer que 
1
2
 e 
2
3
 podem ser inscritos com denominador 6:
6 6
+ =
Quantos sextos cabem em metades? Para achar essa resposta, dividimos 6 
por 2, que é igual a 3; já que tínhamos uma metade, multiplicamos 3 por 1 que 
é igual a 3.
3
6 6
+ =
98
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Agora precisamos saber quantas vezes sextos cabem em terços. Para isso, di-
vidimos 6 por 3 que dá 2; como tínhamos dois terços, 2 vezes 2 é igual a 4:
3
6
4
6
+ =
Agora temos todos os “pedaços” do mesmo tamanho, então:
3
6
4
6
7
6
+ =
A subtração pode ser justificada da mesma forma.
Multiplicação
Ex.: 
1
2
2
5
 =.
Podemos justificar essa operação utilizando representação geométrica:
Primeiro, vamos representar a segunda fração: 2
5
 
Como queremos realizar 
1
2
2
5
 =. , podemos traduzir essa operação por 
 1
2
 de 2
5
 , que geometricamente fica:
Em relação ao inteiro, temos: 
1
2
2
5
2
10
1
5
. = =
Compreensão dos números racionais: frações
99
Divisão
Vamos justificar a divisão de 2
5
 por 2
3
 , que pode ser escrito como:
2
5
2
3
2
5
2
3
: =
Se multiplicarmos 2
3
 pelo seu inverso 3
2
 , temos a divisão de uma fração por 
1:
2
5
2
3
2
5
2
3
3
2
: =
.
=
Para que o resultado dessa divisão não se altere, temos que multiplicar o nu-
merador por 3
2
 também: 
2
5
3
2
2
3
3
2
⋅
⋅
=
Como o resultado de 2
3
3
2
1⋅ = , ficamos com:
2
5
3
2
1
⋅
=
Que é igual a: 2
5
3
2
⋅ = 
Os procedimentos desenvolvidos justificam a regra:
Para dividirmos frações, repetimos a primeira fração, trocamos divisão 
por multiplicação e invertemos a segunda fração.
Então:
2
5
2
3
2
5
3
2
3
5
: = ⋅ =
100
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
O conceito de frações 
aplicado a todos contínuos
A primeira ampliação do conceito de números é feita introduzindo o conceito 
de fração. Sugerimos para esse trabalho inicial a experiência de partilha equitati-
va, o conceito de unidade e a sua divisão em partes iguais, o que é fundamental 
para compreender frações e decimais.
Para a construção do conceito de unidade e das partes de uma unidade, reco-
menda-se que se trabalhe com tiras de papel. 
1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
4
1
4
1
4
1
4
O aluno deve descrever as partes (meios, quartos, terços...) comparando, 
dessa forma, a parte com o inteiro. Pode-se também propor ao aluno que cons-
trua inteiros a partir de partes. Vejamos:
Construir o inteiro sabendo que a parte abaixo representa um quarto do in-
teiro. 
Algumas soluções possíveis:
Compreensão dos números racionais: frações
101
É importante que as crianças percebam que os inteiros podem ser represen-
tados de várias maneiras.
O conceito de frações aplicado a todos discretos
Discorremos até agora considerações sobre o conceito de frações aplica-
das a todos contínuos. É de fundamental importância que o professor propo-
nha também atividades que permitam o reconhecimento de partes de todos 
discretos.
Uma quantidade é dita discreta quando possui unidades se-
paradas umas das outras, como os alunos de uma classe, os 
selos de uma coleção etc.
O conceito de fração, aplicado a todos discretos, associa as possibilidades de 
se dividir os elementos de um conjunto em subconjuntos, com igual quantidade 
de elementos, sem que haja quebra dos elementos do conjunto.
Vejamos um exemplo: 
Retirei 
1
3
 de um grupo de 12 lápis. Quantos lápis eu retirei desse grupo?
IE
SD
E 
Br
as
il 
S.
A
.
Essa ideia utiliza os números fracionários e os números naturais, que expres-
sam as quantidades dos objetos. É necessário que o professor realize um traba-
lho bem orientado para que os alunos não estabeleçam relações errôneas. O 
material manipulável, acompanhado das devidas representações matemáticas, 
pode ser um bom caminho para que um trabalho razoável seja feito.
102
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Alguns obstáculos
É necessário considerarmos alguns fatos importantes que podem dificultar a 
aprendizagem de números racionais.
Num primeiro momento, os alunos podem querer utilizar as mesmas regras 
válidas para fazer comparações entre números naturais. O segundo obstáculo 
seria os alunos não construírem, realmente, o conceito de números racionais, 
pois em muitos casos realizam alguns cálculos corretos, porém utilizam regras 
decoradas.
Para detalhar melhor essa questão, vejamos algumas regras que funcionam 
com os naturais e que não podem ser transferidas para os racionais – frações ou 
decimais:
 Para compararmos os números naturais, é possível seguir a seguinte regra:1. 
 É maior o número que possuir o maior número de algarismos.
 Vejamos: 125 > 52
 A mesma regra não funciona para números decimais: 1,25 < 5,2.
Para escrevermos um número compreendido entre dois naturais é sufi-2. 
ciente que se considere, por exemplo, a ordem dos naturais.
 Então: entre 1 e 3 está o 2, e não existe outro.
 Um aluno pode responder que 2
3
 é um número compreendido entre 1
2
 e 3
4
 
não pelo fato de compreender que, conforme mostra a figura a seguir, 
isso realmente se verifica, mas porque 2 (numerador) está entre 1 e 3, e 3 
(denominador) está entre 2 e 4.
0 1
2
2
3
3
4
1
 
Se perguntássemos para o mesmo aluno se está correto afirmar que 4
9
 está 
entre 3
5
 e 7
10
, e ele raciocinasse na lógica dos naturais, provavelmente respon-
deria que sim. Porém, como se observa na figura a seguir, 4
9
 não é um número 
compreendido entre 3
5
 e 7
10
. 
Compreensão dos números racionais: frações
103
0 3
5
7
10
4
9
1
Parte das regras utilizadas nas operações com naturais pode ser usada nas 
operações com decimais. Um exemplo clássico seria a montagem das operações 
de adição e subtração. Vejamos:
Para adicionar ou subtrair naturais, colocamos unidade 
embaixo de unidade, dezena embaixo de dezena, e assim por 
diante. Para as mesmas operações com decimais, colocamos 
inteiro embaixo de inteiro, décimos embaixo de décimos, e 
assim sucessivamente.
Já nas operações de multiplicação e divisão, as regras válidas para os naturais 
não são suficientes para operar com os decimais. Com estes, há uma extensão 
das regras utilizadas com os naturais.
Os fatos deixam clara a importância de os alunos compreenderem os “signifi-
cados” e não apenas se basearem em “regras”, decorando-as.
Textos complementares 
Texto 1
Iceberg
(IMENES; JAKUBOVIC; LELLIS, 1993, p. 5-6)
Você sabe o que é um iceberg?
Os icebergs são blocos de gelo enormes que se desprendem das gelei-
ras nas regiões polares, flutuando pelos mares. São levados pelas correntes 
marítimas em longas viagens de milhares de quilômetros, constituindo um 
perigopara a navegação.
104
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
O perigo é bem maior do que parece à primeira vista, porque apenas 
uma pequena parte do iceberg fica fora da água. A parte visível pode ter, por 
exemplo, apenas 1/8 de seu volume total.
Para mostrar essas relações de maneira mais clara, vamos usar um recurso 
visual.
O volume do 
iceberg...
o da parte 
submersa...
e o da parte 
visível.
Este gráfico mostra a relação entre os volumes. No caso, a parte visível 
tem 1/8 do volume do iceberg.
Uma história tristemente famosa é a do naufrágio do navio Titanic. Con-
cebido para ser o transatlântico mais sofisticado da sua época, e tido então 
como inexpugnável, o Titanic não chegou a completar a sua primeira viagem: 
colidiu com um iceberg, teve seu casco perfurado e afundou.
Isso aconteceu em 1912. Entre passageiros e tripulantes, o navio transpor-
tava 2 200 pessoas, 1 500 morreram nesse acidente. Depois desse incidente, 
criou-se a Patrulha do Gelo, que, utilizando os mais modernos instrumentos 
– navios especiais, observatórios meteorológicos, satélites etc. –, anuncia a 
posição dos icebergs e, se necessário, os destrói.
Texto 2
(TOLEDO; TOLEDO, 1997, p.186-187)
Forneça aos alunos dois tangrans de mesmo tamanho. Peça que pintem 
cada parte com uma cor diferente e depois recortem um tangram somente, 
deixando o outro inteiro. A tarefa seguinte consiste em indicar a que fração 
do quadrado inteiro corresponde cada uma das partes.
Compreensão dos números racionais: frações
105
Os alunos reconhecem facilmente que as peças A e B têm a mesma 
medida, porque cada uma representa 1/4 da figura. Quanto às demais 
partes, há vários modos de raciocinar. Um deles é procurar uma peça que 
sirva como unidade de referência para medir as outras. Quando os alunos 
descobrem que as peças C e E têm a mesma medida e podem compor todas 
as outras partes, a questão está resolvida.
As peças C e E representam, cada uma, 1/16 do quadrado; as peças D, 
F e G têm a mesma medida, representando, cada uma, 2/16 (ou 1/8) do 
quadrado.
 
Dicas de estudo
Ler o livro: A Matemática das Sete Peças do Tangram.
Autoras: Eliane R. de Souza, Maria Ignez de S.V. Diniz, Rosa M. Paulo e Fusako 
H. Ochi.
Editora: USP.
D
iv
ul
ga
çã
o 
U
SP
.
A obra é composta por várias atividades com tangram e algumas delas explo-
ram o conteúdo de frações. 
106
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Atividades
1. Escreva os decimais das seguintes frações: 1
2
1
5
4
5
, e .
2. No 2.º ciclo do Ensino Fundamental, o professor deve propor questões com 
frações abordando vários significados. Quais são eles?
Compreensão dos números racionais: frações
107
3. Qual significado (de fração) está envolvido nas seguintes questões?
a) A fração 1
3
 pode ser expressa por um número decimal. Qual é esse nú-
mero?
b) Para ocuparem as 20 vagas de um curso, inscreveram-se 35 candidatos. 
Qual a relação entre vagas e candidatos desse curso?
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
As frações com denominadores 10, 100, 1 000 e as frações seguintes 
são especiais, conhecidas como “decimais”. Podem ser escritas também na 
forma de números decimais.
Em nosso cotidiano, utilizamos muito os números decimais. Estes apa-
recem quando expres samos, principalmente, medidas de comprimento, 
capacidade, massa, sistema monetário e outros.
É interessante que os professores dos anos iniciais do Ensino Funda-
mental façam um trabalho no qual os alunos percebam que as frações 
ordinárias, o número decimal e a porcentagem são formas distintas de re-
presentar os números racionais. Veja o exemplo:
15
100
 = 0,15 = 15%
A representação decimal decorre dos princípios do Sistema de Nume-
ração Decimal e da representação fracionária. 
A introdução dos decimais deve ser feita de modo que os alunos esta-
beleçam relações entre inteiro, décimo, centésimo e milésimo. Para que o 
professor obtenha sucesso com essa atividade, sugere-se a utilização do 
Material Montessori, conhecido como Material Dourado. Esse material pode 
ser utilizado tanto para o trabalho com números naturais quanto para o tra-
balho com os decimais. A mudança de campo numérico depende do inteiro 
tomado como referência. No caso do trabalho com os decimais, o cubo maior 
será considerado como inteiro e as demais peças, partes desse inteiro:
Os decimais
110
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
1 unidade
1 décimo = 
1
10
 = 0,1
1 centésimo = 
1
100
 = 0,1
1 milésimo = 1
1 000
 = 0,1
Por meio da representação posicional, é possível mostrar que essas “frações” 
podem ser expressas como os inteiros, com agrupamentos e trocas na base.
Nos anos iniciais do Ensino Fundamental, a notação de decimais pode ser 
introduzida partindo da observação das regularidades apresentadas na divisão 
de valores múltiplos de 10, como mostra a seguinte tabela:
:
:
:
:
:
: 10
: 10
: 10
: 10
: 10
Quando o aluno percebe que o 1 passa, sucessivamente, a ocupar a casa 
da direita, e chega na divisão de 1 por 10, o professor deve introduzir a 
casa dos décimos, centésimos e milésimos, informando também que a vírgula é 
uma convenção adotada para separar a parte inteira da parte decimal.
A calculadora pode ser um instrumento interessante para introduzir esse 
conteúdo nas aulas. Partindo das frações, os alunos podem realizar a divisão do 
numerador pelo denominador e analisar a escrita que aparece no visor da cal-
culadora. Dessa maneira, é possível iniciar o trabalho com os decimais fazendo 
conexões entre as duas formas de escrita.
Os decimais
111
Com a utilização do Material Dourado, o aluno fará diversas relações e cons-
truirá conceitos importantes.
Comparação entre decimais
Para comparar 2,7 com 2,56, é possível que, se as relações entre inteiros, dé-
cimos, centésimos, milésimos não estiverem claras, muitos alunos digam que 
2,56 é maior que 2,7, considerando 7 e 56 como inteiros. Essa questão deve ser 
discutida levando em conta que se trata de sete décimos, comparados com 56 
centésimos.
Veja algumas relações:
um décimo é igual a dez centésimos: 0,1 = 0,10; �
um centésimo é igual a dez milésimos: 0,01 = 0,010. �
Esses e outros exemplos mostram como o material manipulável favorece o 
entendimento de que 0,3 = 0,30 = 0,300, ou seja, o zero colocado à direita não 
altera a quantidade.
A compreensão desse fato é fundamental para que se reconheça, entre diver-
sos decimais, o maior ou o menor. 
112
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Pode-se, dessa forma, fazer o aluno compreender que 2,7 é maior que 2,56, 
pois 7 décimos é maior que 56 centésimos; e mais, pode-se representar a com-
paração da seguinte forma: 2,70 > 2,56.
Podemos observar o seguinte:
Inteiros Décimos Centésimos
2, 7
2, 5 6
Operações com decimais
Soma e subtração
Para somar e subtrair com decimais, basta estender as regras usadas para as 
mesmas operações com números naturais, ou seja, colocar inteiros embaixo de 
inteiros, décimos embaixo de décimos, centésimos embaixo de centésimos e 
assim por diante. Veja os exemplos:
a) 2,4 + 0,75 =
 2,4 – dois inteiros e quatro décimos;
 0,75 – zero inteiro, sete décimos e cinco centésimos.
 Então: 2,40
0,75
+
 Ou, como sabemos, 2,4 equivale a 2,40. Para facilitar o processo, pode-se 
usar a seguinte notação: 
2,40
0,75
+ .
 Realizando a operação temos: 
zero centésimo mais cinco centésimos é igual a cinco centésimos: �
5
2,40
0,75
+
Os decimais
113
quatro décimos mais sete décimos é igual a 11 décimos, que podem ser �
trocados por um inteiro e sobra um décimo:
15
2,40
1
0,75
+
um inteiro, obtido da troca anterior, mais dois inteiros, mais zerointeiro é �
igual a três inteiros:
3,15
2,40
0,75
+
b) 1,3 – 0,271 = 
 1,3 – um inteiro e três décimos;
 0,271 – zero inteiro, dois décimos, sete centésimos e um milésimo.
 Então: −
1 3
0 271
,
,
.
 Ou, como sabemos, 1,3 equivale a 1,30 e também a 1,300:
 −
1 300
0 271
,
,
 Realizando a operação temos: 
 como não é possível retirar um milésimo de zero milésimo e nem sete cen- �
tésimos de zero centésimo, trocamos um décimo por dez centésimos:
−
1 3 0 0
0 2 7 1
2 1,
,
 
 
 podemos, agora, trocar um centésimo por dez milésimos: �
-
1, 3 0 0
0, 2 7 1
2 1
9
1
114
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
 Agora pode-se fazer a operação ordem por ordem:
 dez milésimos menos um milésimo é igual a nove milésimos: �
-
1, 3 0 0
0, 2 7 1
 9
2 1
9
1
 nove centésimos menos sete centésimos é igual a dois centésimos: �
-
1, 3 0 0
0, 2 7 1
 2 9
2 1
9
1
 dois décimos menos dois décimos é igual a zero: �
−
1 3 0 0
0 2 7 1
0 2 9
2 1
9
1,
, 
 
 um inteiro menos zero inteiro é igual a um inteiro: �
−
1 3 0 0
0 2 7 1
1 0 2 9
2 1
9
1,
,
,
 
 
Multiplicação
A regra prática para a multiplicação de números decimais é multiplicar os dois 
fatores, sem a vírgula, e depois separar com a vírgula, no resultado, o número 
total de casas decimais correspondente aos dois fatores. Veja o exemplo:
x
1 52
1064
,
0 7,
,
Os decimais
115
Duas casas decimais no primeiro fator, mais uma casa 
decimal no segundo fator, resultam em três casas decimais 
no resultado.
O professor deve preparar uma sequência didática que leve o aluno a utilizar 
essa regra. A sequência deve partir de situações que facilitem a compreensão 
dos significados envolvidos na multiplicação e caminhar por outros exemplos 
que propiciem a observação de regularidades para que, dessa forma, o aluno 
possa elaborar a regra prática. Os exemplos que seguem ajudam na compreen-
são de alguns significados:
0,2 x 0,11. 
 Nessa situação, podemos dizer que queremos dois décimos de um déci-
mo. Com o auxílio do Material Dourado, pode-se representar:
0,2 de 
 Temos, então: , ou seja,
De acordo com as representações anteriores: 0,2 x 0,1 = 0,02.
 0,2 x 10 2
x 0,1 x 10 x 1
 2 
Como multiplicamos os fatores por 100 (cada um por 10, 10 x 10 =100), para 
compensar dividimos o resultado por 100, então 2 : 100 = 0,02.
116
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
 0,3 x 0,012. 
 Nesse exemplo, queremos três décimos de um centésimo, que pode ser 
representado da seguinte forma:
0,3 de 
 Temos, então: , ou seja,
 De acordo com as representações anteriores: 0,3 x 0,01 = 0,003. 
 Depois de uma sequência de exercícios como esses, o professor pode or-
ganizar as operações e os resultados de forma que os alunos observem o 
que acontece quando multiplica-se, por exemplo:
a) décimos por décimos;
b) décimos por centésimos;
c) décimos por milésimos;
d) décimos por inteiro;
e) centésimos por décimos; 
f) centésimos por inteiro.
Divisão
A divisão com decimais pode ser encaminhada multiplicando o dividendo e 
o divisor por uma potência de 10, de forma a obtermos somente números natu-
rais. Isso só é possível porque quando multiplicamos dividendo e divisor por um 
mesmo número, qualquer que seja ele, o quociente não se modifica. Vejamos:
Os decimais
117
15 3 = 5
 
 x3
 
 9 = 5
:
:
x 3
45
↓ ↓
↓ ↓
Dessa forma, para realizarmos a divisão de 1,95 por 1,3, podemos proceder 
da seguinte maneira: 1 95, 1,3 
Para termos um número natural partindo de 1,95, podemos multiplicá-lo por 
100, e para que o quociente da divisão não se altere, temos que multiplicar 1,3 
também por 100, assim teremos: 195 130 
Temos duas divisões equivalentes: 1 95, 1,3 e 195 130: : .
Esse processo justifica o procedimento de igualar as casas decimais do divi-
dendo e do divisor na divisão de decimais. A partir daí deve-se proceder como 
no algoritmo da divisão com inteiros. 
Texto complementar 
Transformando frações em números decimais
(SMOOTHEY, 1997, p. 48-50)
Qualquer fração pode ser transformada em decimal.
A fração 1
2
 significa 1 dividido por 2. A linha de fração tem o mesmo 
significado do sinal de divisão – se você colocar um ponto em cima e um 
embaixo, significa o mesmo.
1
2
 significa 1 2÷
Para converter a fração em decimal, efetuamos a divisão:
1 0, 2 
118
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Podemos escrever 1,0 no lugar do 1 porque significa a mesma coisa – 
uma unidade e nada mais.
“Uma unidade não é divisível por 2, então coloque zero para unidades e 
divida 10 décimos por 2. Dez dividido por dois dá cinco.”
1 0, 2 
 0,5
Você pode verificar sua resposta com uma calculadora. Coloque 1 no 
visor, pressione ÷ e então 2 e = .
Quando não há uma parte inteira, coloque um zero antes da vírgula.
Escreva 0,5, e não somente 5.
 Tente converter estas frações em decimais, primeiramente sem usar �
calculadora. Depois use-a para verificar a resposta.
1
5
1
10
2
10
2
5
3
5
, e , ,
 
Às vezes, é necessário mais de um 0 após a vírgula. Para converter 
1
4
 em 
decimal, efetue a divisão:
 1 0, 4 
que dá 
 
1 0
2
, 4 
 0,2
com resto 2. Para continuar, colocamos mais um 0 no resto e transporta-
mos o 2.
Fazendo isso, temos:
1 00
20
, 4 
 0,25
 0
Os decimais
119
 Coloque quantos zeros forem necessários para transformar estas fra- �
ções em decimais:
3
4
1
8
5
8
1
100
3
100
, , , e 
Verifique suas respostas com uma calculadora.
O que acontece quando você tenta transformar 
1
3
 em decimal?
1 0000 3
0 3333
,
, ...
 
 
Você descobre que não importa quantos zeros use, continua tendo 1 
como resto.
0,3333... é uma dízima periódica, que representamos com uma linha sobre 
o 3 para indicar que se repete infinitamente:
1
3
 = 0, 3
Escrever 
1
3
 = 0, 3 parece não ser uma resposta muito precisa.
Mas lembre-se de que a linha significa ÷ e há tantos 3 quantos você quiser 
escrever. O segundo 3, após a vírgula, representa 
3
100
. É uma pequeníssima 
parte de um centímetro, por exemplo.
Na maioria das vezes, duas casas após a vírgula nos dão precisão suficien-
te. Podemos ir tão longe quanto quisermos, se for necessário.
Como seriam essas frações em decimais?
2
3
1
6
, (Coloque a linha sobre o dígito que se repete).
1
9
 (Agora você pode ver por que a posição da linha é importante).
5
6
5
9
, 
1
7
 (Você vai precisar ir longe com este aqui! Coloque uma linha sobre 
todos os dígitos que se repetem).
120
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Dicas de estudo
Pesquise sobre números decimais no site: <http://pessoal.sercomtel.com.br/
matematica/fundam/fracoes/fracdec.htm>.
O site, construído pelo professor Ulysses Sodré, explora várias propriedades e 
relações das frações e decimais.
Atividades
1. Qual a função da vírgula nos números decimais?
2. Quando utilizo a calculadora para fazer cálculos com decimais, não encontro 
uma tecla com a vírgula. Qual é o sinal, no teclado da calculadora, que tem a 
função da vírgula? 
Os decimais
121
3. Efetue as seguintes operações e depois confira os resultados que você en-
controu com uma calculadora:
a) 1,25 + 0,9 =
b) 3 – 1,125 =
c) 2,05 . 0,12 =
d) 2,625 : 2,5 = 
MagnaNatália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
Alguns fatos históricos
A Geometria, enquanto área da Matemática, deve ser reconhecida 
como um corpo de conhecimentos social e politicamente construídos ao 
longo da história, a partir da ação humana transformadora da natureza 
e da sociedade. A natureza ofereceu materiais para os primeiros passos 
em direção aos conceitos geométricos. Sendo assim, o homem encon-
trou nela objetos das mais variadas características: cor, tamanho, forma. 
Quando iniciou o cultivo da terra, foi necessário ao homem avaliar com 
mais precisão o espaço. Historiadores contam que desse fato surgiram as 
primeiras ideias de medida, o passo inicial da Geometria.
A história diz que a Geometria teve início no Egito Antigo, com as medi-
ções das terras às margens do rio Nilo, após suas enchentes. No entanto, na 
Grécia, já antes de Cristo, muitas descobertas matemáticas envolviam a 
Geometria. A palavra geometria vem do grego, geo = terra e metria = medida.
Na Mesopotâmia, região entre os rios Tigre e Eufrates, no atual Iraque, 
povos cultivaram as margens desses rios, criaram vastos impérios, cons-
truíram templos e monumentos. As culturas que por ali passaram deixa-
ram suas marcas e, por influência das investigações da Astrologia e da As-
tronomia, trouxeram contribuições à Geometria atual.
Analisando outras culturas, podemos perceber o desenvolvimento da 
Geometria por meio de várias atividades, como as navegações, as cons-
truções, a agricultura etc. Nomes como os de Heródoto, Tales, Pitágoras, 
Hippasus, Platão, Plutarco, Euclides, Hipócrates, Demócrito, Apolônio e 
outros tantos destacam-se em toda essa história da Geometria na Anti-
guidade Clássica. 
A construção do pensamento geométrico
124
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Natureza e Geometria
As ideias geométricas partem do homem ao colocar a natureza exterior a ser-
viço de seus interesses por meio das transformações dessa mesma natureza. Se-
gundo Paulus Gerdes (1992), o conceito de número foi muito mais investigado 
do que o desenvolvimento da Geometria, pelo primeiro estar mais vinculado ao 
aparato linguístico e constituir, mais facilmente, um objeto de reflexão.
Observando a natureza – como a superfície de um lago, o contorno do Sol e 
da Lua, um raio de luz –, o homem pôde refletir e gradualmente elaborar con-
ceitos, como os de círculo, retas e outros. Com isso, pôde-se perceber na cela de 
uma colmeia ou numa teia de aranha formas geomé tricas que lhe inspiraram. 
Para satisfazer suas necessidades diárias, o homem produziu objetos com formas 
cada vez mais regulares. “A relação dialética entre a vida ativa e o pensamento 
abstrato é o ‘motor’ do desenvolvimento da Geometria” (GERDES, 1992, p. 18).
Como a humanidade construiu os conceitos de paralelas, ângulos retos, espi-
rais e outros? Em que contextos, possivelmente, eles surgiram? Para os historia-
dores, provavelmente surgiram das atividades de entrelaçamento de cestarias 
praticadas no Paleolítico. Assim como estas, outras ideias geométricas surgiram 
das atividades do homem, de acordo com suas necessidades.
A multiplicidade de formas na natureza é tão grande que propiciou ao homem 
a possibilidade de observar e perceber nela determinadas formas. Nas suas ativida-
des é que se formou a capacidade de reconhecer, na natureza e nos seus produtos, 
formas geométricas. “A regularidade é o resultado do trabalho criativo do homem 
e não o seu pressuposto” (GERDES, 1992, p. 100). A atividade social desempenha 
um papel importante na formação e na elaboração das formas geométricas.
A Geometria na escola
O tangram tem sido utilizado nas aulas de Matemática para o desenvolvimen-
to do raciocínio geométrico, percebendo formas, representando figuras geomé-
tricas, construindo e criando. Jogos como esse permitem promover a compre-
ensão de um conceito, seu processo de construção e de habilidades envolvidas 
nessa construção. Há várias versões sobre a invenção do tangram, jogo chinês 
milenar. Uma delas é que essa palavra vem de Tchi Tchiao Pan, que significa “sete 
peças da sabedoria”, o que faz acreditar que seu criador tivesse algum propósito 
religioso ou místico ao empregar as suas sete peças para descrever o mundo.
A construção do pensamento geométrico
125
A Geometria permite desenvolver o senso espacial, dando a capacidade de 
comparar, classificar, identificar e descrever figuras geométricas. Por ser um 
tópico natural, pode encorajar a resolução de problemas e ter muitas aplicações 
no mundo real, sendo por si só forte para justificar seu trabalho na escola. Além 
disso, auxilia a construção do conhecimento matemático. É rica em oportunida-
des para que se alcancem metas como a de fazer explorar, representar, construir, 
discutir, investigar, descobrir, descrever e perceber propriedades. E mais, a Geo-
metria faz com que o sujeito adquira habilidades importantes para perceber de 
forma mais acurada o mundo que o cerca. Tais habilidades o levam à percepção 
e à visualização espacial, ao reconhecimento de formas, à abstração de formas e 
à capacidade de representá-las por meio de desenho ou construção do que foi 
idealizado. Também é possível, por meio dessas habilidades, sintetizar proprie-
dades numa definição ou critérios de classificação, sendo necessárias as ações 
de intuir, conjeturar, abstrair, generalizar e comprovar o raciocínio dedutivo.
Segundo Ochi et al. (1997), a Geometria proporciona o pensamento ligado 
às relações espaciais e à capacidade de síntese. Assim, por meio dela, podem-se 
construir e desenvolver capacidades geométricas, caminhando em direção ao 
pensamento que vai do que pode ser percebido ao que pode ser concebido.
O ensino de Geometria é importante para melhorar a formação intelectual 
e matemática do indivíduo e para desenvolver o aprendizado da Aritmética e 
da Álgebra; por isso não deve ficar relegado ao segundo plano. Nesses termos, 
desde cedo a criança deve ter acesso às atividades de construção, concepção, 
comparação, descrição e transformação de figuras.
A presença de uma estruturação do espaço nos currículos dos anos iniciais 
é indispensável para que as crianças compreendam, interpretem e apreciem o 
mundo que as rodeia.
A estruturação do espaço está intimamente ligada à Geometria; o desenvol-
vimento de atividades que propiciem o contato com questões que envolvem a 
estruturação do espaço deve começar o mais cedo possível, inclusive nos jar-
dins-de-infância, sendo importante para a formação do espírito de observação, 
da experimentação e da intuição espacial. E mais, é indispensável proporcionar 
ao aluno uma participação ativa nessa aprendizagem, valorizar suas descobertas 
e trabalhar com elas.
126
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
A Geometria favorece, também, a ligação entre a linguagem habitual e a lin-
guagem formalizada da Matemática. O pensamento geométrico faz parte do 
desenvolvimento normal das atividades do homem.
Para o aprendizado da Geometria, a criança precisa pesquisar e explorar ob-
jetos comuns e outros materiais. Os primeiros contatos desta com o mundo que 
a rodeia são de origem sensorial, particularmente centrados na visão e no tato. 
Exercícios em que possa visualizar, desenhar e comparar formas em várias posi-
ções ajudarão o seu desenvolvimento. Discutindo ideias e testando hipóteses, o 
jovem desenvolve seu talento, raciocínio, memória, concentração e criatividade. 
O objetivo do ensino da Geometria é ajudar a criança a adquirir habilidades 
que serão, mais tarde, usadas na descrição, na comparação, na representação e 
no desenvolvimento de problemas. O desenvolvimento dessas habilidades de-
pende do tipo de experiências que a criança tem e a maneira como ela responde 
a essas experiências.
Segundo Imenes (1993), há indícios de que crianças, mesmo as bem peque-
nas, que trabalham com formasgeométricas tornam-se mais organizadas, de-
senvolvem a coordenação motora e visual, melhoram a leitura e compreendem 
mais rapida mente gráficos e mapas.
A criança vive num mundo de objetos tridimensionais que ela visualiza e 
manipula. O desenvolvimento de conceitos geométricos pode ser obtido como 
uma consequência de suas experiências mais precoces, desenvolvendo capaci-
dades como observação, análise, raciocínio, comparação e interpretação. Pode-
se justificar, dessa forma, a importância do aprendizado da Geometria a partir 
dos primeiros anos de escolaridade.
Segundo o casal van Hiele (apud DINIZ; SMOLE, 1998), há progresso na apren-
dizagem de Geometria por meio de diferentes níveis de entendimento sobre as fi-
guras geométricas. No início, percebe-se uma figura como um todo e, aos poucos, 
passa-se a perceber suas relações e propriedades. Mais tarde, o desenvol vimento 
leva a operar com tais relações em diversas situações, e os alunos parecem pro-
gredir no raciocínio geométrico por meio de uma sequência de cinco níveis: 
visual; �
descritivo/analítico; �
dedução informal; �
dedução formal; �
A construção do pensamento geométrico
127
rigor. �
De acordo com os autores citados anteriormente, a aprendizagem de con-
ceitos geométricos parte de um pensamento mais global para um pensamento 
analítico.
Segundo esses mesmo autores, os níveis de pensamento são sequenciais e 
hierárquicos; os conceitos intrínsecos em um nível aparecem extrínsecos nos 
níveis seguintes, e cada nível possui sua própria linguagem. O avanço, isto é, 
passagem de um nível para outro, não depende da faixa etária, mas do conteúdo 
em relação aos métodos de instrução. Para que um aluno atinja o nível três, ele 
deve passar, primeiramente, pelo nível um (visual), depois pelo nível dois (des-
critivo/analítico), para só então atingir o terceiro nível (dedução informal). 
Um aluno do nível um precisa das propriedades para dar nome a uma figura; 
no entanto, ele não possui essa noção, que passará a ser vista no nível dois. Sendo 
a linguagem própria de cada nível, a relação entre um quadrado e um retângulo 
pode fazer com que pessoas de diferentes níveis não se entendam, pois no nível 
um o aluno não consegue compreender que o quadrado é um retângulo espe-
cial, sendo isso compreensível para alguém do nível dois.
As características dos cinco níveis acima citados são:
no primeiro nível, o conceito geométrico é percebido no plano da aparên- �
cia. As figuras, embora observadas, não são conceituadas como quadra-
do, triângulo etc. A criança reconhece as figuras pelas suas semelhanças 
e diferenças físicas, não identificando as partes que as compõem e suas 
propriedades. Ao responder quais são as diferenças entre losango e retân-
gulo, a criança normalmente diz que o retângulo é mais largo e o losango 
é mais bicudo. Não dão respostas baseadas em paralelismo, ângulos retos 
ou outras características;
no nível dois, a criança começa a diferenciar as propriedades das figuras �
para analisá-las. Nesse nível, ela analisa o quadrado identificando os seus 
lados e ângulos com mesmas medidas. Reconhece que os lados opostos 
são paralelos etc. Apresenta as propriedades elementares; porém, ainda 
não estabelece relações entre elas. Por meio de experimentação, reco-
nhece certos elementos da figura e faz generalizações. Reconhece que as 
diagonais de um losango são perpendiculares e, com isso, conclui que as 
diagonais dos outros losangos também são. A criança, nesse nível, não faz 
classificações adequadas de muitos polígonos;
128
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
no nível três, a criança estabelece relações e implicações entre as figuras, �
tem argumentação lógica informal e ordenação de classes e figuras ge-
ométricas. Classifica-as a partir de suas propriedades ou das relações já 
compreendidas; todavia, ainda não pode estabelecer relações relativas 
aos passos formais de uma demonstração. Exemplo: reconhece o retân-
gulo como um paralelogramo por ter lados opostos paralelos;
no quarto nível, o indivíduo já possui um domínio do processo dedutivo e �
de demonstrações. Realiza demonstrações formais das propriedades que 
já compreendeu e descobre novas propriedades. Por exemplo: compreen-
de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º e 
que a de um quadrilátero é 360º;
no nível cinco, o indivíduo compreende a abstração geométrica não-eu- �
clidiana, compara sistemas, desenvolve sistemas axiomáticos e relações 
topológicas mais complexas. Exemplo: o indivíduo é capaz de estabelecer 
e demonstrar teoremas em uma Geometria finita. 
Embora esses sejam os níveis de desenvolvimento do pensamento geométri-
co apresentados pelo casal van Hiele (PURIFICAÇÃO, 1999), existem autores que 
apresentam outras variações.
Para van Hiele (LOPES, 1999), as fases de aprendizagem, para que um aluno 
passe de um nível para o outro imediatamente superior, são:
interrogação; �
orientação dirigida; �
explicação; �
orientação livre; �
integração. �
Na fase da interrogação, também conhecida como fase da problematização 
oral, os alunos e o professor discutem, fazem observações, introduzem vocabu-
lário específico do nível e fazem as atividades. Por meio disso, o professor pode 
avaliar os conhecimentos do aluno, que toma conhecimento da direção de seus 
estudos. 
Na fase da orientação dirigida, com auxílio de material didático, o aluno ex-
plora o conteúdo do nível selecionado e ordenado pelo professor. 
A construção do pensamento geométrico
129
Na terceira fase da explicação, o aluno expressa e modifica seus pontos de 
vista sobre o que observou. 
Na fase da orientação livre, os alunos realizam sozinhos atividades mais com-
plexas, ganhando autoconfiança. 
Na fase da integração, o aluno sintetiza o que aprendeu formando nova rede 
de conhecimentos e suas relações.
De acordo com Lorenzato (1995), para resolver problemas de Geometria é 
necessário ter percepção geométrica, linguagem geométrica, raciocínio geomé-
trico, que são bastante diferentes dos da Aritmética e da Álgebra. Daí a impor-
tância do ensino de Geometria nas escolas: o pensar geométrico e o raciocínio 
visual auxiliam o aluno a resolver muitas situações cotidianas, ampliando a leitu-
ra do mundo e a comunicação das ideias.
A Geometria é também um apoio às outras disciplinas. Como exemplo, pode-
se citar a interpretação de um mapa, de gráficos estatísticos etc.
Ainda segundo Lorenzato (1995), é na pré-escola que o pensamento geo-
métrico deve ser estimulado, desenvolvendo uma geometria intuitiva e natural, 
de forma a conduzir a criança a observar e explorar as formas presentes no seu 
meio. Atividades com seu próprio corpo, com objetos e com imagens favore-
cem o desenvolvimento do senso espacial das crianças. Outras atividades como 
dobra duras, recortes, montagens, fazer sombras, decomposição etc. podem 
contribuir para o desenvolvimento do pensamento geométrico. As crianças pre-
cisam de noções espaciais posicionais de direção, sentido, atrás, em cima, perto 
etc. Essas noções, junto com algumas noções lógicas, são fundamentais para a 
identificação, distinção e representação de formas geométricas elementares.
Contribuições de Piaget
Piaget realizou muitas pesquisas sobre a criança e o mundo em que ela vive. 
Essas pesquisas separam, em fases, as etapas pelas quais as crianças passam.
1.ª fase �
 As primeiras propriedades que as crianças observam são as de natureza 
topológica: aberto, fechado, dentro, fora, próximo, longe etc.
130
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
2.ª fase �
 A seguir, por volta dos 5 ou 6 anos, a criança passa a observar as proprie-
dades de ordem projetiva: antes de, depois de, o último etc.
 3.ª fase �
 Por volta dos 7 anos, a criança percebe o que está na direita ou na esquer-
da. Nessa fase,as formas dos objetos são mais bem definidas para ela.
4.ª fase �
 As dimensões dos objetos, como medidas de lados e aberturas de ângu-
los, começam a interessar as crianças a partir dos 9 ou 10 anos.
As diferentes geometrias
A Geometria, no Egito, nasceu de forma intuitiva. Os gregos, particular mente 
Euclides, deram a ela uma estrutura de ciência e um método próprio – o axiomá-
tico. Essa geometria se chamou Geometria Euclidiana. Duhalde e Cuberes (1998) 
explicam as geometrias como: a Geometria Euclidiana, a Projetiva e a Topológica.
A Geometria Euclidiana se refere às transformações que somente mudam a 
posição do objeto; assim, seu tamanho, distâncias e direções se conservam.
A Geometria Projetiva, conhecida como Geometria das Sombras, trabalha 
com as propriedades espaciais que se conservam ao projetar um objeto, ou 
quando observado em diferentes posições. Nessa geometria se conserva a re-
titude e não a medida: um trapézio e um retângulo são equivalentes, porque o 
retângulo pode ser visto como um trapézio dependendo da posição de que for 
observado; num quadro, linhas paralelas são vistas como linhas convergentes, 
porque é assim que os espectadores as veem.
Na Geometria Topológica, também chamada Geometria da Lâmina, as figuras 
são submetidas a transformações violentas, que as levam a perder suas proprie-
dades métricas e projetivas, com a condição de que não se produzam cortes, 
conservando a proximidade ou aproximação, separação, ordem ou sucessão es-
pacial, continuidade de linhas e superfícies e clausura (uma figura fechada con-
tinuará sendo fechada). Pode ser exemplificada com um quadro pintado num 
balão que depois é inflado.
A construção do pensamento geométrico
131
Texto complementar 
As propriedades geométricas nos corpos 
(DUHALDE; CUBERES, 1998, p. 66-67)
A professora pode planejar atividades que propiciem o estabelecimento 
de relações espaciais. Para isto proporá:
com os objetos cotidianos � – realizar atividades de armar e desarmar, 
o que lhe permitirá estabelecer relações inversas. Por outro lado, pode-
rão agrupar objetos por semelhança, estabelecendo ao mesmo tempo 
relações de diferença. As crianças chegarão então a comparar objetos 
de seu entorno em função de suas qualidades físicas, descobrindo as 
propriedades dos mesmos, tais como a cor, a textura, o sabor, o que 
serve para comer, vestir, entre tantas outras. Logo que as atividades se 
centralizem em atributos como a forma e o tamanho, haverão ingres-
sado no âmbito da Geometria. Até então, a exercitação não implica 
conteúdos dos corpos. É importante que as crianças manipulem cor-
pos da mesma forma, mas de diferentes tamanhos, e logo verbalizem 
o que fizeram. A experiência nos diz, muito frequentemente, que as 
crianças costumam identificar a embalagem de chiclé como um cilin-
dro. Raras vezes, em compensação, reconhecerão um cilindro em uma 
moeda ou em um bloco lógico, por causa de sua pequena altura.
com os corpos geométricos � – o cilindro, o cone, a pirâmide, o prisma, 
o cubo e a esfera. Com isto poderão realizar atividades exploratórias e 
de deslocamentos como com o resto dos objetos acima mencionados. 
Inclusive pode-se [sic] planejar atividades de modo que o grupo tra-
balhe ao mesmo tempo com corpos geométricos e objetos cotidianos 
que tenham a forma dos primeiros. A apresentação dos corpos geo-
métricos favorece a centralização na forma como atributo.
A exploração as leva a observar, por exemplo, que alguns corpos têm 
pontas e outros não, que alguns são achatados e outros não. Os deslocamen-
tos se provocam ao deslizar os objetos sobre a superfície de uma mesa, chu-
tando uma bola e de muitas outras maneiras. Advirtamos que não se trata 
132
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
aqui de as crianças transportarem os objetos de um lado para o outro, mas 
de efetuarem ações para que os objetos se desloquem.
A partir destas experiências distinguirão os que rolam dos que não o 
fazem e, posteriormente, que alguns rolam às vezes, e outros, sempre. Como 
você estará pensando, muitas destas situações vinculam-se com o campo 
das explorações em ciências e tecnologia, e também darão lugar a verbali-
zações onde se analisem e debatam causas e consequências. Na busca das 
explicações acerca destes fatos poderão chegar ao conceito de faces planas 
e curvas. É provável que, inicialmente, as crianças chamem de redondas as 
faces curvas: será a docente quem lhes fará observar a base de um cilindro ou 
de um cone para que estabeleçam a diferença entre redondo e curvo. A base 
de um cilindro é plana e redonda, ou, propriamente falando, plana e circular. 
É fundamental a intervenção apropriada das professoras como uma forma 
de evitar a fixação de ideias prévias que obstaculizem novos aprendizados.
As propriedades geométricas nas figuras planas
Chamamos de figura bidimensional ou plana a forma plana das faces dos 
corpos. Devemos saber que, se não houvesse um corpo, tais faces não exis-
tiriam na realidade. As atividades de carimbar, contornar e as projeções de 
sombras permitem a passagem do espaço ao plano; deste modo propicia-
se seu reconhecimento. Consequentemente, as crianças poderão realizar a 
diferenciação entre corpo e figura. Os jogos com os corpos, blocos lógicos, 
tijolinhos ou blocos de construção devem levar à diferenciação entre a forma 
dos corpos e a forma de suas faces. Isto é, a folha de papel na linguagem co-
tidiana é chamada de “retângulo” e os blocos são chamados de “círculos” ou 
“quadrados”. No entanto, tal como vínhamos explicando, para a linguagem 
matemática trata-se de corpos.
Seguindo este caminho, o reconhecimento das arestas – “beiras” – permi-
te diferenciar linhas retas ou curvas, que representam as fronteiras das su-
perfícies. Os vértices – “quinas” ou “pontas” – dos corpos aproximam a ideia 
de ponto como fronteira das linhas. Você pensará que estamos empenhados 
em utilizar a linguagem apropriada e, na verdade, não se enganou. Nova-
mente as atividades de demarcação – neste caso das arestas e dos vértices 
dos corpos – constituem um meio eficaz para o tratamento destes temas.
A construção do pensamento geométrico
133
Em relação a este tema é importante observar que o ensino de Geometria 
teve forte destaque sobre as figuras planas ou bidimensionais, esquecendo 
que nosso entorno é tridimensional. A respeito disso, Piaget afirmava que 
as crianças que trabalham com o desenvolvimento dos corpos superavam, 
até em três anos, as que não haviam feito. Na mesma linha, Lappan e Winter 
ressaltam:
Apesar de vivermos em um mundo tridimensional, a maior parte das experiências 
matemáticas que proporcionamos às nossas crianças são bidimensionais. Valemo-nos de 
livros bidimensionais para apresentar a Matemática às crianças, livros que contêm figuras 
bidimensionais de objetos tridimensionais. Sem dúvida, tal uso de “desenhos” de objetos 
lhes supõe uma dificuldade adicional no processo de compreensão. É, porém, necessário 
que as crianças aprendam a lidar com as representações bidimensionais de seu mundo...
Uma boa relação entre estas duas dimensões pode-se obter a partir do desenvolvimento 
de um corpo em uma figura plana e sua posterior armação.
Dentro do terreno das propriedades geométricas, as figuras classificam-
-se em côncavas e convexas. Estas ideias poderão ser trabalhadas mediante 
jogos de regiões marcadas no chão, por exemplo, uma região circular – con-
vexa – e outra com a forma de um rim. 
Dicas de estudo
Ler o livro: Os Poliedros de Platão e os Dedos da Mão.
Coleção: Vivendo a Matemática.
Autor: Nilson José Machado.
Editora: Scipione.
D
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ul
ga
çã
o 
Sc
ip
io
ne
.
A obra faz uma exploração sobre as formas geométricas e justifica a existên-
cia de apenas cinco poliedros regulares. 
134
Fundamentos Teóricos do Pensamento MatemáticoAtividades
1. Por que é importante ensinar e aprender Geometria?
2. Discuta a Geometria como um saber historicamente construído.
A construção do pensamento geométrico
135
3. Esquematize os níveis de entendimento sobre as figuras geométricas segun-
do van Hiele.
4. Relate as características que diferem as geometrias: Euclidiana, Projetiva e 
Topológica.
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
Desde muito pequenas, as crianças já se encontram envolvidas com as 
medidas, mesmo que informalmente. Isso se verifica quando comparam 
suas alturas ou investigam quem entre elas tem o lápis maior, por exem-
plo. É importante que o professor faça um trabalho a partir do qual a crian-
ça perceba que as noções de pequeno, médio e grande são relativas. Para 
isso, é necessário que os objetos, animais e outros sejam “comparados”. A 
partir de pequenas experiências, o professor deve propor atividades nas 
quais há necessidade de medidas mais precisas.
Medir é comparar grandezas de mesma espécie.
O ato de medir envolve dois componentes.
Inferência transitiva � : ao usarmos uma régua na comparação de 
dois comprimentos, por exemplo, é necessário compreender que 
esses comprimentos podem ser comparados por meio de uma me-
dida comum. Para isso, é preciso ser capaz de fazer inferências; se x 
é igual a y e y é igual a z, então x é igual a z.
Compreensão de unidades � : ao medirmos, estamos preocupados 
com quantidades reais. As unidades de medida devem ser constan-
tes, um centímetro é sempre o mesmo; não seria útil medirmos dois 
comprimentos em palmos se a mesma mão não fosse aplicada a 
ambas as quantidades.
Antes de iniciarmos o trabalho de medição, é necessário escolher a uni-
dade mais adequada à situação. Pode-se medir a largura de uma carteira, 
por exemplo, usando o comprimento de um palito de sorvete; porém, não 
seria viável usar a mesma referência, o comprimento do palito de sorvete, 
para medirmos a largura de um terreno.
Sentido das medidas
138
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
O processo de medir algo se dá em três etapas:
escolhe-se um objeto para funcionar como unidade de medida;1. 
verificam-se quantas vezes a unidade de medida escolhida cabe no objeto 2. 
a ser medido;
tenta-se encontrar um número que possa expressar o resultado da medição. 3. 
A necessidade de medir é muito antiga, e talvez seja tão antiga quanto a ne-
cessidade de contar.
A história nos revela que o homem teve grandes problemas com as unidades 
de medidas. Antiga mente, utilizava partes do corpo como referência para medir 
distâncias, objetos e outros. A polegada, o palmo, a braça e o pé são exemplos 
de algumas dessas referências.
Os egípcios, há cerca de 4 mil anos, utilizavam como padrão de medida o 
cúbito, que é a medida do cotovelo à ponta do dedo médio. Porém, as pessoas 
têm tamanhos diferentes, então o cúbito variava de pessoa para pessoa, ocasio-
nando diferenças nos resultados das medidas. Isso acontecia também em outras 
civilizações com as medidas como palmos, passos, polegadas, pés etc. Esses pro-
blemas levaram o homem a criar unidades de medida padronizadas.
Para fazer medições mais precisas, é necessário um modelo de referência fixa, 
ou seja, um instrumento de medida que será utilizado como medida-padrão. O 
modelo-padrão deve ser invariável em função de tempo e de lugar.
Durante a Revolução Francesa, no século XVIII, tomou-se a iniciativa de unifi-
car mundialmente os padrões de medidas. Devido aos problemas das variâncias, 
era preciso escolher um sistema simples de unidade, baseado em padrões fixos, 
imutáveis. A Academia de Ciências, em 1799, criou o metro. O metro é definido 
como a quarta parte do meridiano terrestre dividida em 10 milhões de partes 
iguais, ou seja:
1 metro = 
1
10 000 000 
 do arco que corresponde a 90º.
Como os meridianos não são rigorosamente iguais, foi escolhido, como re-
ferência para o metro, o meridiano que passa em Paris. Essa medida foi então 
gravada em uma barra de platina. A platina foi escolhida por ser um metal que 
não se dilata muito com o calor nem se contrai muito com o frio.
Sentido das medidas
139
Hoje, segundo Toledo e Toledo (1997), utiliza-se o criptônio – gás nobre pre-
sente na atmosfera –, em proporção muito pequena, para determinação do 
metro. O metro passou então a se caracterizar como um múltiplo do compri-
mento de onda do criptônio.
A partir do metro, definem-se outras medidas, umas mais utilizadas que 
outras. Vejam:
mil metros (1 000 metros) = 1 quilômetro (km); �
cem metros (100 metros) = 1 hectômetro (hm); �
dez metros (10 metros) = 1 decâmetro (dam); �
a décima parte do metro (0,1 metro) = 1 decímetro (dm); �
a centésima parte do metro (0,01metro) = 1 centímetro (cm); �
a milésima parte do metro (0,001metro) = 1 milímetro (mm). �
Dessas medidas padronizadas, além do metro, as mais usadas são o quilô-
metro, utilizado para medir extensões de estradas, por exemplo; o centímetro 
e o milímetro, usados para medir extensões relativamente pequenas, como o 
compri mento e a largura de uma folha de papel.
A partir do metro são definidos padrões para a medida de área e de volume. 
Vejam:
A superfície quadrada definida pelas dimensões 1 metro por 1 metro ocupa 
um espaço que chamamos de 1 metro quadrado (1m2).
1m2 1m
1m
O volume ocupado por um cubo de arestas 1m ocupa um espaço tridimen-
sional de 1 metro cúbico (1m3).
140
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
1m3
1m
1m
1m
Grandezas mensuráveis e não-mensuráveis 
As grandezas podem ser mensuráveis ou não-mensuráveis. Quando é possí-
vel definir a soma de dois valores de uma mesma grandeza, essa grandeza é dita 
mensurável. Como exemplos de grandezas mensuráveis há:
o comprimento; �
a superfície; �
o volume; �
a massa. �
As grandezas não-mensuráveis são apenas marcáveis. Como exemplo, pode-
-se citar a temperatura e o tempo. Essas grandezas são marcadas e ordenadas 
segundo uma escala numérica que é tomada como referência. Ao contrário das 
grandezas mensuráveis, não faz sentido somarmos valores. Se misturarmos, por 
exemplo, água a 100ºC com água a 50ºC, não teremos água a 150ºC.
As unidades-padrão para medir comprimento, área, volume, massa, capaci-
dade e temperatura baseiam-se no Sistema de Numeração Decimal. Já as uni-
dades-padrão para medir tempo e ângulo utilizam o Sistema de Numeração Se-
xagesimal, de origem babilônica. Por exemplo: uma hora tem 60 minutos e um 
minuto tem 60 segundos.
As medidas nas primeiras séries 
do Ensino Fundamental
As crianças estão incluídas num mundo onde utilizam muito outras unidades 
de medidas. 
Sentido das medidas
141
Usualmente pedem por um copo de água, uma lata de refrigerante, questio-
nam sobre sua massa, ou seja, “peso”. Perguntam sobre quão grande são deter-
minados objetos, ambientes (dessa forma estão se referindo a volume), pergun-
tam por preços, já se preocupam se falta muito tempo etc.
Quando pedem por um copo de água, podem se dar conta que este tem a 
mesma capacidade da lata de refrigerante ou de uma caixinha de suco, isto é, de 
250ml de líquido.
Ao trabalhar as unidades de medida com as crianças, os professores devem 
propiciar condições para que elas percebam que vários desses sistemas de 
medida são decimais.
Exemplos:
o agrupamento de 10 moedas de 1 centavo equivale a 1 moeda de 10 �
centavos;
10 moedas de 10 centavos equivalem a um real; �
10 moedas de um real equivalem a uma cédula de 10 reais; �
10 cédulas de 10 reais equivalem a uma cédula ou nota de 100 reais. �
Já no sistema de medida de tempo, a base é sexagesimal, ou seja, a base é 60: 
60 segundos equivalem a 1 minuto; �
60 minutos equivalem a 1 hora. �
Atividades como a de verificar quantos copos cheios de líquido são necessá-
rios paracompletar um litro proporcionam aos alunos a compreensão de que 
250ml corresponde a 1
4
 de um litro, pois um litro tem 1 000ml e 250 ml corres-
ponde exatamente a quarta parte de 1 000ml. Podem ainda fazer uma relação 
semelhante a essa ao perceberem que uma moeda de 25 centavos corresponde 
também a quarta parte de 1 real, por essa razão se dão conta de que precisam de 
4 moedas dessas para obter um real que, no nosso sistema monetário, equivale 
a uma moeda ou uma cédula de um real.
D
om
ín
io
 p
úb
lic
o.
= =
142
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
É importante que os alunos percebam que:
1
4
 � de um real é 25 centavos, pois 100 : 4 = 25;
1
4
 � de um litro é 250ml, pois 1litro = 1 000ml e 1 000 : 4 = 250.
No entanto:
1
4
 � de uma hora é 15 minutos, porque 60 : 4 = 15.
Devem-se, ainda, apresentar diferentes situações cotidianas aos alunos para 
que percebam as unidades de medidas de temperatura, de giro (dada em graus 
– que nesse caso também é sexagesimal), de superfície, de volume, e de outras 
mais. Atividades de giro utilizando ângulos de determinadas medidas são opor-
tunas às crianças desde muito cedo. Elas podem ser solicitadas para que girem 
para a direita, para a esquerda, e assim fazem giros de 90º para direita ou esquer-
da conforme solicitado. Nesse caso pode-se chamar atenção para perceberem 
que fizeram um giro de uma volta completa. Outras medidas de ângulos podem 
ser solicitadas conforme seu nível de compreensão. Ex.: ângulo de meia-volta 
(180º), giro de uma volta completa (360º).
Texto complementar 
Situações que envolvem medições
(FONSECA et al., 2001, p. 99-107)
O propósito desta atividade é despertar os professores em formação para 
a importância de se promover o desenvolvimento da capacidade de medir 
desde o primeiro segmento do Ensino Fundamental, considerando-se a fre-
quência com que situações, envolvendo as medições, surgem na vida diária, 
ou seja, levando-se em conta a relevância social dos conhecimentos a elas 
referentes. Assim, propomos aos professores questões que pretendem cha-
mar-lhes a atenção não somente para a necessidade de resolver esse tipo 
Sentido das medidas
143
de situação, mas também para a diversidade de estratégias que podem ser 
usadas para sua resolução, como a simples comparação, o raciocínio espa-
cial, o emprego de padrões de medição ou a realização de cálculos.
As situações selecionadas são propositadamente abertas, de modo a 
enriquecer a discussão proposta pela necessidade de nela se considerarem 
outros aspectos – práticos, econômicos, estéticos – que, embora não ligados 
diretamente às medições, apresentam-se muito frequentemente nos con-
textos que as envolvem.
Descrição 
O formador propõe a cada grupo de três ou quatro professores uma das 
questões que se seguem. Caso seja necessário, o formador esclarece os pro-
fessores a respeito da abertura proposital dessas questões. Os grupos discu-
tem as possíveis soluções para a situação que lhes couber e escolhem um 
relator que registre, junto com essas soluções, as considerações feitas para 
obtê-las.
Em seguida, cada grupo apresenta à plenária sua questão e as manei-
ras que propuseram para solucioná-las. É fundamental que os professores, 
nessa reunião, procurem contribuir com comentários relativos às questões 
que não tiveram oportunidade de abordar na primeira parte da atividade, 
realizada nos grupos pequenos.
Finalmente, será proveitoso que o formador proponha a cada grupo pe-
queno a produção de um texto que sistematize o conteúdo das considera-
ções tecidas em relação à sua questão original, durante toda a atividade.
 1. Numa sala retangular há apenas uma tomada na parede oposta 
àquela em que você quer encostar seu televisor. Como determinar quanto 
de fio será necessário para ligá-lo?
 2. Como se pode desenhar um quadrado de 4cm de lado exatamente 
no centro de uma folha de papel A4?
 3. Como se pode determinar quanto de plástico será preciso para enca-
par os cadernos e livros de um aluno?
144
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Comentários
Como se pode perceber imediatamente, as situações presentes na ativi-
dade referem-se a medições de comprimento, superfície e capacidade que, 
entre as várias grandezas a serem focalizadas no primeiro segmento do 
Ensino Fundamental, são as diretamente ligadas a ideias geométricas.
A primeira questão apresenta uma situação bastante comum no dia-a-dia, 
que é, em geral, resolvida mediante o uso de uma extensão conectada ao fio 
do aparelho que deve ser ligado. Evidentemente, há extensões de compri-
mentos variados que possibilitam a conexão do televisor à tomada e, por-
tanto, o problema não tem solução única. Ao examinar a situação, os profes-
sores podem responder que basta medir a distância entre a tomada e o lugar 
onde o televisor deve ficar e usar um fio cujo comprimento seja essa medida. 
No entanto, essa situação tão simples dá margem a diversas considerações. 
Por exemplo, os professores poderão discutir duas possibilidades: na primei-
ra, o fio fica solto no chão; na segunda, fica preso ao rodapé e deverá então 
percorrer uma parte do contorno da sala. Em ambos os casos, mais comu-
mente o televisor não será colocado no chão e, sim, sobre um móvel a certa 
distância do solo; também a tomada está a uma certa altura do chão e assim 
essas distâncias devem ser levadas em conta.
Um outro aspecto a ser discutido é o que diz respeito ao instrumento a ser 
utilizado para medir o comprimento que o fio deve ter. Os professores pode-
rão propor que se use uma trena, uma fita métrica ou mesmo uma régua, isto 
é, que se trabalhe com uma unidade padrão de medida. Porém, é interessan-
te também discutir como se pode resolver o problema no caso de nenhum 
desses instrumentos estar disponível. Assim, é possível utilizar comparação 
com comprimentos não-padronizados, ou seja, vale medir com barbante ou 
um cinto, por exemplo. Essa discussão chama a atenção para os três aspectos 
fundamentais da medição: a comparação entre grandezas de mesma natu-
reza, a realização dessa comparação com uma unidade-padrão, e a medida, 
que é o número que expressa o resultado dessa última comparação.
A resposta à segunda questão são os valores das distâncias que devem 
existir entre cada lado do quadrado e o lado da folha de papel que será para-
lelo a ele. Pode-se chegar a tais valores por meio de um cálculo simples para 
o qual é necessário conhecer as dimensões da folha de papel A4, que não 
são dadas na questão para chamar a atenção dos professores para dimen-
Sentido das medidas
145
sões padronizadas, em geral, apresentadas nas embalagens dos produtos ou 
para que eles mesmos as meçam.
Contudo, outra solução interessante é aquela que se obtém usando do-
braduras muito simples para localizar o centro de uma folha de papel A4 e 
de um quadrado recortado em papel. Fazendo coincidir os dois centros, o 
quadrado estará exatamente no centro da folha de papel e poderá ser dese-
nhado conforme se pede. Nesse caso, as distâncias desejadas são encontra-
das por uma medição direta.
Uma situação, como a abordada nessa segunda questão, ocorre frequen-
temente na prática: por exemplo, muitas vezes é necessário apresentar um 
texto estando fixadas as dimensões da “mancha” que o mesmo deve ocupar 
numa página de determinado tipo de papel. Nesse caso, é por meio de um 
cálculo das margens (que essencialmente é o mesmo feito para resolver a 
segunda questão) que se pode fazer uso das instruções de um processador 
de textos como o Word.
Situações como a da terceira questão ocorrem na prática para o professor 
quando elabora a lista de material escolar dos alunos ou quando alguém 
encapa os próprios livros e cadernos ou os de seus filhos. Como a questão 
não contém dados numéricos, os professores podem proporsua solução 
com valores hipotéticos para a largura do plástico e o número e as dimen-
sões dos livros e cadernos, e efetuar ou descrever os cálculos corresponden-
tes, naturalmente considerando as dobras que serão feitas ao encapar o ma-
terial. Podem, ainda, propor uma solução empírica envolvendo uma simples 
comparação – dispõem-se todos os livros e cadernos sobre o rolo de plástico 
aberto e toma-se a medida do comprimento necessário, mais uma vez levan-
do as dobras em consideração. É interessante que os professores comparem 
essas duas soluções entre si ou com outras que podem ser eventualmente 
propostas, discutindo a sua praticidade e conveniência.
Para finalizar estes comentários, reforçamos nossa posição de desacordo 
com certas abordagens do tema, ainda presentes na prática escolar do pri-
meiro segmento da Escola Fundamental, as quais destacam, desnecessaria-
mente, o estudo das unidades e subunidades de medidas e as conversões 
das mesmas e/ou insistem na apresentação ou dedução de fórmulas para 
o cálculo da área e do volume de algumas figuras e sólidos geométricos. 
Reconhecemos o valor social do conhecimento de unidades de medidas 
146
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
usuais e de suas relações com seus múltiplos e submúltiplos “mais famosos”, 
bem como das fórmulas e procedimentos para o cálculo de áreas e volumes. 
No entanto, é fundamental que a abordagem da questão da medida não se 
reduza a um treinamento de técnicas, em detrimento dos aspectos históri-
cos e epistemológicos que lhe são essenciais. 
Dicas de estudo
Ler o livro: Medindo Comprimentos. 
Coleção: Vivendo a Matemática.
Autor: Nilson José Machado.
Editora: Scipione.
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io
ne
.
A obra aborda várias questões de medidas, explora o surgimento do metro e 
trás atividades interessantes incluindo várias formas de medir.
Atividades
1. Qual foi o motivo que levou à criação do metro?
Sentido das medidas
147
2. Qual é o sentido de medir?
3. Quais são os componentes que envolvem o ato de medir? Explique-os.
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
São muito antigas as primeiras considerações que o homem fez a res-
peito da Geometria. Eves (2002) ressalta que, provavelmente, a Geometria 
originou-se de observações simples que possibilitaram reconhecer confi-
gurações físicas, comparar formas e tamanhos. O mesmo autor destaca, 
ainda, que a noção de distância deve ter sido um dos primeiros conceitos 
geométricos a serem desenvolvidos pelos homens primitivos.
Boyer (1996) relata que Heródoto subestimou a idade da Geometria e 
acreditava que ela teria surgido da necessidade prática de fazer novas me-
didas de terra após as inundações no vale do rio Nilo, e essa necessidade 
fez com que aparecessem os “mensuradores”.
Os conceitos de área e perímetro surgiram, provavelmente, por causa 
de problemas relacionados a medições de terra. Segundo Eves (2002), a ne-
cessidade de delimitá-la levou a noções de algumas figuras geométricas, 
tais como retângulos, quadrados e triângulos, mas a Geometria, no senti-
do mais amplo, surgiu em tempos mais antigos que a arte de escrever. 
A história da Matemática nos indica que as civilizações antigas desco-
briram algumas fórmulas para o cálculo de área de várias figuras, sendo 
algumas com precisão e outras aproximadas. 
Segundo Baldini (2003), os problemas de medida de terra e cálculo 
aproximado de área de terrenos estão presentes ainda hoje no cotidiano, 
e são de muita relevância tanto nas práticas rurais quanto nas urbanas. 
Como exemplo temos a situação do agricultor que, ao fazer o plantio, 
muitas vezes precisa estimar a área do terreno, o qual, em muitos casos, é 
de forma irregular. Pode-se citar também como exemplo o Imposto Predial 
e Territorial Urbano (IPTU) que, entre outros fatores, é cobrado em função 
da área do terreno e da área construída. Outros profissionais, como os da 
construção civil, também lidam com muita frequência com os cálculos de 
área, perímetro e tantos outros.
Área e perímetro 
150
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
As grandezas geométricas são abordadas em todos os ciclos do Ensino Fun-
damental. Noções de comprimento e capacidade são introduzidas no primeiro 
ciclo; as de área e perímetro, no segundo ciclo; e as de volume, no terceiro. 
O conceito de área e o processo de medir área, do ponto de vista da estrutura 
matemática, segundo Bellemain e Lima, “tem como ponto de partida a definição 
de uma função (f ), dita função área, num conjunto de superfícies, assumindo 
valores no conjunto dos números reais não-negativos” (2001, p. 2). Esses autores 
relatam, ainda, que existem três propriedades julgadas essenciais para caracteri-
zar a grandeza área, que são:
Positividade1. – uma figura que possua interior não-vazio tem área positiva.
Aditividade2. – se duas figuras A e B têm em comum pontos de suas fron-
teiras, então a área da figura AuB (A união com B) é a soma da área A com 
a área B.
A
B
Invariância por isometrias3. – se uma figura plana A é transformada em 
outra, B, de modo que a distância entre dois pontos quaisquer de A fica 
inalterado em B, então A e B têm a mesma área.
A
E
D
D’
E’
C
C
B
Área e perímetro
151
Diante dessas propriedades, é preciso verificar quais superfícies são mensu-
ráveis pela função área, uma vez que não é possível medir todo o plano utilizan-
do somente a Matemática escolar (no Ensino Fundamental), sendo necessário 
limitar uma região contida nesse plano. Para abordar o conceito de área, faz -se 
necessário pressupor conhecimentos referentes ao conceito de comprimento e 
também assumir uma outra superfície, que será tomada como unidade de área 
para comparar com a superfície da qual se deseja saber a área. Essa é uma ques-
tão muito importante e precisa estar clara para os alunos:
Medir é comparar.
Medir a área de uma superfície é compará-la à área de outra superfície.
As experiências de trabalho realizadas com os conteúdos de área e períme-
tro, e também as avaliações de rendimento escolar feitas por órgãos públicos, 
indicam que as crianças fazem grande confusão entre área e perímetro. Nas re-
soluções de problemas que envolvem esses conteúdos, as crianças, e mesmo 
os adolescentes, utilizam relações incorretas como, por exemplo, equivalência 
entre área e perímetro. As unidades também são empregadas de forma errada. 
Muitas vezes expressam área com unidades lineares (cm, m, km etc.) ou unida-
des cúbicas (cm3 , m3 , km3 , mm3). As unidades de área devem se expressar por 
cm2 , m2 , km2 e outras.
Baltar (1993) classificou as diferenças entre área e perímetro sob quatro 
pontos de vista diferentes.
Topológico � : os conceitos de área e de perímetro correspondem a objetos 
geométricos distintos, a área sendo associada à superfície e o perímetro, 
ao contorno.
Figura 1 Figura 2
Vejam: foi destacada, na figura 1, a sua superfície, que corresponde à área da 
figura. Na figura 2, o destaque foi dado ao seu contorno, o perímetro da figura.
Dimensional � : uma superfície e seu contorno são objetos matemáticos de 
naturezas distintas no que diz respeito às dimensões, o que traz conse-
152
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
quências imediatas sobre o uso das unidades adaptadas à expressão das 
medidas de área e perímetro.
Figura 3 Figura 4
A figura 3 é bidimensional, ou seja, tem duas dimensões adequadas ao cál-
culo de áreas. A figura 4 é unidimensional, ou seja, possui uma única dimensão, 
adequada ao cálculo de perímetro.
Computacional � : corresponde à aquisição das fórmulas de área e períme-
tro de figuras usuais.
h
b
Área = b . h
Perímetro = b + b + h + h = 2b + 2h
Variacional � : consiste na aceitação de que área e perímetro não variam 
necessariamente no mesmosentido, e de que superfícies de mesma área 
podem ter perímetros distintos e vice-versa.
u
u
u
u
Área = 12u2 
Perímetro = 16u Área = 12u2 
Perímetro = 14u
As figuras apresentadas possuem mesma área e perímetros diferentes.
As questões de área devem ser tratadas tanto do ponto de vista geométrico 
quanto do numérico. A articulação entre essas abordagens tornará o estudo de 
área mais significativo para o aluno, favorecendo dessa forma a ausência das 
Área e perímetro
153
dificuldades conceituais, muito observadas nas pesquisas relacionadas com área 
e perímetro. 
Nos anos iniciais do Ensino Fundamental, não é aconselhável a introdução 
das fórmulas no início do trabalho com área e perímetro. É bom evitá-las e é in-
teressante que se faça um trabalho conceitual que permita aos alunos construir 
o significado de área e perímetro. No entanto, pode-se introduzi-las no final do 
2.º ciclo, desde que seja trabalhada, cuidadosamente, a sua justificativa.
Vejamos a seguir a justificativa para a fórmula da área de alguns dos princi-
pais polígonos.
Área do quadrado: – é dada pela multiplicação da medida de um lado por 
ele mesmo. Vejam:
u
u
No exemplo, temos 4 unidades quadradas (u2) em uma das dimensões e 
outras 4 na outra.
u
u
Para preenchermos toda a sua superfície, teremos 4 + 4 + 4 + 4 ou, simples-
mente, 4 x 4. Para generalizar essa ideia, para todo quadrado teremos A = I x I ou, 
ainda, se já tiver sido introduzido o conceito de potência, A = I2, em que I indica 
a medida do lado do quadrado.
154
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Área do retângulo – para justificarmos a fórmula, podemos utilizar a mesma 
ideia usada para o quadrado. A área do retângulo é dada pela multiplicação da 
medida de uma das suas dimensões pela outra, ou seja, a medida da base multi-
plicada pela medida da altura. Vejam:
u
u
No exemplo, temos 5 unidades quadradas (u2) na medida de sua base e 3 
unidades quadradas na medida de sua altura.
u
u
Para preenchermos toda a superfície, teremos 5 + 5 + 5 ou, simplesmente, 5 
x 3. Generalizando essa ideia para todo retângulo, teremos A = b x h, em que b 
indica a medida da base e h indica a medida da altura.
Área do triângulo – pode ser facilmente justificada utilizando-se da área do 
retângulo. É dada pela multiplicação da medida da base pela medida da altura, 
dividindo-se o resultado obtido por 2. Vejam:
Se fizermos b x h, teremos a área do retângulo todo. O retângulo está dividi-
do em duas partes iguais, uma destacada e outra não. Como as duas áreas são 
Área e perímetro
155
iguais, para saber a área do triângulo não-destacado basta calcular a área do 
retângulo e dividi-la por 2. Logo, a área do triângulo pode ser dada por:
A
b h
 = 
.
2
Acreditamos que a compreensão das fórmulas dessas três figuras geométri-
cas é um grande passo rumo à compreensão de outras fórmulas em Geometria.
Texto complementar 
Da convenção do metro ao criptônio
(TOLEDO; TOLEDO, 1997, p. 279)
Em 1799, a França tomou a iniciativa de estabelecer um sistema de me-
didas com padrões invariáveis. Para unidade de comprimento foi definido o 
metro, palavra derivada do grego metron que significa “medida”. Para que o 
metro fosse válido em qualquer local do mundo, não podia depender de um 
padrão substituível (como as medidas do rei). Assim, a Academia de Ciências 
francesa usou, para estabelecer o metro, a quarta parte do comprimento do 
meridiano terrestre, dividida por 10 milhões.
Fez-se uma barra de platina com esse tamanho, que foi guardada para 
servir de modelo. Como a platina é um metal que apresenta elevado ponto 
de fusão, não sofre variações de comprimento em temperatura ambiente.
Aos poucos, várias nações foram adotando esse padrão. Em 1875, deze-
nove países, entre eles o Brasil, assinaram a Convenção do Metro, no Bureau 
Internacional de Pesos e Medidas, em Paris. Cada um levou uma cópia da 
barra original, passando a adotar esse padrão em todas as medições de com-
primento utilizadas nas transações dentro de seu território e com os países 
signatários da convenção.
Daí em diante, mais e mais países também foram aderindo à Convenção 
do Metro, nas reuniões periódicas feitas no Bureau Internacional de Pesos e 
Medidas, em Paris.
156
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
A partir de 1960, a definição do metro deixou de se apoiar na medida 
do meridiano (que não pode ser feita diretamente), passando a se caracte-
rizar como um múltiplo do comprimento da onda do criptônio – gás nobre 
presente na atmosfera em proporção muito pequena. Esse comprimento de 
onda pode ser obtido em qualquer país e é perfeitamente fixo. 
Dicas de estudo
Ler o livro: O Ensino de Geometria na Escola Fundamental: três questões para a 
formação do professor dos ciclos iniciais. 
Autoras: Maria da Conceição F. R. Fonseca, Maria da Penha Lopes, Maria das 
Graças Gomes Barbosa, Maria Laura Magalhães Gomes, Mônica Maria Machado 
S. S. Dayrell.
Editora: Autêntica.
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Destinado a educadores em formação inicial ou continuada e a formadores 
de professores do primeiro segmento do Ensino Fundamental, esse livro foi ela-
borado para discutir questões que emergem no e do trabalho com o ensino de 
Geometria, mas que em geral extrapolam o contexto específico de seus conteú-
dos e permeiam toda a Educação Matemática nesse nível de ensino. 
Atividades
1. Coloque A para situações que envolvem área e P para situações que envol-
vem perímetro,
a) ( ) Pavimentar o chão de uma cozinha.
b ( ) Comprar arame para a construção de uma cerca.
Área e perímetro
157
c) ( ) Espaço para construção de uma garagem.
d) ( ) O preço da venda de um sítio.
e) ( ) Trocar o rodapé de uma sala.
2. Calcule a área de um quadrado cujo lado mede 12cm.
3. Baltar classificou a diferença entre área e perímetro sob quatro pontos de 
vista diferentes. Quais são eles? Explique cada um com suas palavras.
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
Segundo Davis e Hersh (1985), a criança, desde muito cedo, aprende os 
algarismos de 1 a 9 e as formas de relacioná-los, de trabalhar com núme-
ros decimais, elevá-los a uma potência etc. Símbolos especiais constituem 
parte do registro escrito da Matemática e do grande número de símbolos 
das linguagens naturais. Ela também aprende símbolos que representam 
as operações com +, –, x, :, , e outros tantos. Ainda aprende símbolos 
de agrupamentos como ( ), { } etc.; símbolos de interpretações especiais, 
como 45º; símbolos de relações, como =, > etc. Esses símbolos acabam 
“emprestando” à Aritmética uma qualidade mística e secreta, conduzindo 
à Álgebra, na qual as letras ordinárias reaparecem num contexto como 
incógnitas ou variáveis. 
Muitos símbolos criados não são mais utilizados, criando-se outros. As 
principais funções de um símbolo, em Matemática, são de designar com 
precisão, clareza e também abreviar. Isso poupa trabalho numa notação. 
Quando nos deparamos com símbolos, calculamos e os interpretamos. 
Todo cálculo operacional deriva para o desenvolvimento da Álgebra.
Histórico
A Álgebra se caracteriza por seus métodos, que convergem ao uso de 
letras e expresões literais sobre as quais se realizam operações.
A história da Matemática nos mostra que a Álgebra passou por várias 
fases de desenvolvimento. 
A primeira foi a fase retórica ou verbal. Nela, o pensamento algébrico 
era expresso com palavras, sem uso de abreviações ou símbolos. Egípcios, 
babilônios e gregos (antes de Diofanto) utilizaram essa forma de expressar 
pensamentos algébricos.
O pensamento algébrico
160
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
A segunda fase, a sincopada, surgiu no século III com o grego Diofanto (325-
409), de Alexandria, queutilizou a letra grega “sigma” para representar a incóg-
nita numa equação. Os hindus também utilizaram abreviações para representa-
ções algébricas.
A terceira e última fase, conhecida como simbólica, utiliza somente símbolos. 
Um dos matemáticos que se destacou nessa fase foi Viète (1540-1603), que utilizou 
vogais e consoantes para representar constantes e incógnitas, respectivamente.
No processo de ensino-aprendizagem de Álgebra, o professor deve propor 
atividades que permitem ao aluno registrar seu pensamento algébrico utilizan-
do-se das características das três fases, e não diretamente numa fase de puro 
simbolismo.
Normalmente, o trabalho da Álgebra tem sido apresentado de forma frag-
mentada, abordando a Álgebra ora num aspecto, ora em outro, sem se preocu-
par em fazer uma ligação entre eles ou com sua contextualização.
Quando se afirma que, numa festa, a quantidade de meninas era de dois 
terços da quantidade de meninos, não importa a quantidade de meninos; a 
razão entre a quantidade de meninas e meninos será sempre de dois terços. 
Da mesma forma, se afirmamos que 20% dos alunos de uma escola foram re-
provados em Matemática, a ideia de função é evidente e, por trás disso, está 
um pensamento algébrico. Não importa a quantidade de meninos na festa ou a 
quantidade de alunos da escola, sempre serão dois terços ou 20% para os dois 
casos, respectivamente.
Um dos caminhos para introduzir o estudo da Álgebra na escola é por meio 
da observação de regularidades a partir de sequências e padrões.
Concepções da Álgebra
Algumas concepções da Álgebra, segundo Coxford e Shulte (1995), são: 
como Aritmética generalizada; �
como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de proble- �
mas;
como estudo de relações entre grandezas; �
como estudo das estruturas. �
O pensamento algébrico
161
Na Álgebra como Aritmética generalizada, as variáveis são generalizadoras 
de modelos como: 
5 + 2 = 2 + 5 como a + b = b + a
Dessa forma, pode-se generalizar essa ideia de modo a tirar propriedades. 
Num nível mais avançado, a noção de variável como generalizadora de mode-
los é fundamental em modelagem matemática. Nessa concepção de Álgebra, 
as instruções-chave são traduzir e generalizar. Não são técnicas importantes 
apenas para a Álgebra, mas também para a Aritmética. A notação algébrica é 
invenção atribuída a François Viète (1564). A descrição algébrica assemelha-se à 
descrição numérica por causa da similaridade de suas sintaxes.
Na concepção da Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver 
certos tipos de problemas, quando escrevemos, por exemplo, 5x + 3 = 40 para 
um problema que diz “adicionando 3 ao quíntuplo de um certo número, a soma 
é de 40”, estamos apenas começando.
Ao somar (– 3) a ambos os membros temos:
5x + 3 + (–3) = 40 + (–3), que simplificado fica:
5x = 37, e então dividindo todos os termos por 5 temos:
5
5
37
5
x
 = 
x = 7,4 
Nessa concepção de Álgebra, as variáveis são incógnitas ou constantes. Nesse 
caso, as instruções-chave são simplificar ou resolver, o que, às vezes, é uma única 
ideia.
Numa terceira concepção, temos a Álgebra como estudo de relações entre 
grandezas. Por exemplo, quando escrevemos A = b . h para a área de um retân-
gulo, expressamos relações entre grandezas. Nesse caso, não se tem a impressão 
de trabalhar com uma incógnita, embora se possa pensar em uma fórmula como 
uma forma especial de generalização. A diferença entre essa concepção e a ante-
rior é que, nesse caso, temos variáveis e não incógnitas.
A característica da quarta concepção – a Álgebra como estudo das estrutu-
ras – é a manipulação de variáveis como símbolos arbitrários, sem relação com 
162
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
o problema ou função ou ainda padrão a ser generalizado. Nessa concepção, a 
variável é tratada como símbolos manipuláveis seguindo regras e propriedades 
da Aritmética. Como exemplo, podemos citar a fatoração de um polinômio. Se-
gundo Usiskin (1995), a ênfase exagerada no ensino da Álgebra na concepção 
de estudo das estruturas trouxe problemas. O “simbolismo extremado” leva o 
aluno a uma manipulação automática, não permitindo que ele compreenda as 
ideias essenciais da Álgebra.
A Álgebra nas séries iniciais 
do Ensino Fundamental
A Álgebra é uma forma específica de pensamento para estabelecer padrões e 
expressar relações. Devemos compreendê-la como uma linguagem, cuja princi-
pal função é comunicar ideias gerais. 
A fala precede a escrita assim como o pensamento algébrico precede a lin-
guagem algébrica. Qual o momento de iniciar o pensamento algébrico no aluno? 
Os currículos indicam que o desenvolvimento de noções algébricas deve ocorrer 
nas séries iniciais; essas atividades são chamadas de pré-álgebra. 
O professor das séries iniciais deve propor ao aluno atividades que 
permitam:
observar e comparar padrões geométricos e numéricos; �
observar e expressar regularidades; �
desenvolver uma linguagem que permita se expressar matematicamente. �
Escrever matematicamente, fazendo uso da simbologia adequada, é ponto 
importante na construção do raciocínio algébrico.
A linguagem simbólica tem papel muito importante no raciocínio algébrico, 
mas deve ser trabalhada de forma que o aluno consiga construir significados. 
As atividades de classificação e seriação, trabalhadas na pré-escola, podem 
ser aproveitadas para explorar o pensamento algébrico, buscando regularida-
des e desenvolvendo a estrutura de generalização. Para isso, é necessário que o 
professor conheça a importância das regularidades, invariância e generalização. 
Nesse tipo de atividade, o aluno pode, segundo Consalter (1994), estabelecer 
O pensamento algébrico
163
relações entre os objetos. Essa é a condição básica para a construção do pensa-
mento algébrico, que é elaborado a partir da criação e coordenação dessas re-
lações, construídas não apenas por meio do mero manuseio da linguagem, mas 
também por meio de situações e experiências com materiais manipuláveis.
O professor deve permitir que o aluno registre suas conclusões da forma 
como preferir e ajudá-lo, posteriormente, na construção/apropriação de uma 
linguagem significativa. Isso evitará que o aluno mecanize os conteúdos e passe 
pelo ensino da Álgebra sem que este tenha sentido, desmistificando-o.
Atividades que colaboram 
no desenvolvimento do pensamento algébrico
Sequência de desenhos
Essa atividade pode ser explorada no Ensino Fundamental em várias séries. 
Na pré-escola ou na primeira série, por exemplo, podem-se perguntar:
Qual é a próxima figura?
Resposta: coração. 
Como você pensou para dar a resposta? 
Resposta: o aluno pode dizer que observou que sempre dois corações estão 
juntos. 
Essa é uma questão que exige que as crianças observem a regularidade e en-
contrem uma “regra” geral para poderem explicar como acharam a resposta.
Atividades dessa natureza colaboram muito quando o foco do trabalho está 
voltado para o desenvolvimento do raciocínio algébrico.
Nas séries posteriores, podem-se perguntar:
164
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Qual é a próxima figura?
Resposta: coração.
Qual figura ocupará a décima quinta posição?
Resposta: carinha.
E a trigésima posição?
Resposta: coração.
Explique como você fez para chegar às suas respostas. 
Resposta: o aluno pode dizer que foi desenhando a sequência, até encontrar 
a décima quinta e a trigésima. 
Sequência de números
Observe a seguinte sequência e responda as questões a seguir:
4 8 12 16 4 8 12 16 4 8 12 16 4 8 12 16 ...
Essa sequência numérica tem uma regra? Qual?
Resposta: sim, começa pelo número quatro e depois aumenta de quatro em 
quatro, até chegar ao quarto número. Esses quatro termos encontrados vão se 
repetindo.
Quaissão os próximos dois números dessa sequência? 
Resposta: são 4 e 8.
Você consegue encontrar o 40.° termo sem continuar escrevendo a 
sequência?
Resposta: o 40.° termo é o 16.
Explique como você fez para achar a resposta da questão anterior.
Resposta: para chegar ao 40º termo eu preciso ter 10 sequências de 4 termos, 
como a sequência é 4 8 12 16, o 40.° termo também será 16.
O pensamento algébrico
165
Sequência geométrica
 
Quantos quadrados possuem cada figura da sequência apresentada?
Resposta: 1.ª – 1, 2.ª – 4, 3.ª – 9, 4.ª – 16.
Quantos quadrados brancos possuem cada figura da sequência?
Resposta: 1.ª – 0, 2.ª – 2, 3.ª – 6, 4.ª – 12.
Quantos quadrados pretos possuem cada figura da sequência?
Resposta: 1.ª – 1, 2.ª – 2, 3.ª – 3, 4.ª – 4.
Sem desenhar a figura, você pode dizer quantos quadrados, quantos qua-
drados brancos e quantos quadrados pretos possui a próxima figura dessa 
sequência?
Resposta: a próxima figura tem 25 quadrados, sendo que 5 são pretos e 20 
são brancos.
O professor pode ainda perguntar aos alunos como eles chegaram nessa res-
posta, explorar números quadrados perfeitos, fazê-los perceber que a soma do 
número de quadrados brancos mais o número de quadrados pretos é sempre 
igual ao total de quadrados que a figura possui. 
Um próximo passo seria desenvolver com os alunos tarefas em que eles 
tenham que criar símbolos para representar fatos. Um bom exemplo seria criar 
uma sequência de sons; os alunos mesmo podem inventar e, depois de definida 
a lógica da sequência, eles podem registrar essa sequência. A princípio é possí-
vel que os alunos queiram escrever usando palavras, e o professor deve condu-
zir a tarefa de forma que os mesmos façam abreviações e posteriormente utili-
zem símbolos para representar os sons. Essa seria uma mostra de que a história 
das fases do desenvolvimento da Álgebra se reconstrói na sala de aula. Fazer os 
alunos vivenciarem essas fases pode ajudá-los a dar sentido para os símbolos 
que utilizamos em Matemática.
166
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Texto complementar 
“Vida danada...”
(PARATELLI, 2001)1
Sou coordenadora de Matemática de um Programa2 Piloto em Campinas 
– SP, que tem como objetivo a Formação de Professores da Rede Pública de 
1.ª a 4.ª séries do Ensino Fundamental, visando à melhoria da qualidade no 
ensino. Esse programa tem duração prevista de quatro anos, em cinco es-
colas de periferia, com pretensão de ampliação à medida que se mantêm e 
conseguem recursos com empresas privadas da região. 
Ao mesmo tempo, participo aos sábados, desde 1999, do Grupo de Pes-
quisa Ação em Álgebra Elementar – GPAAE, da Faculdade de Educação da 
Universidade Estadual de Campinas, onde busco ampliar minha formação te-
órico-metodológica ligada à Matemática, em especial à Álgebra elementar.
Em um de nossos encontros realizado em abril de 2000, decidimos aplicar 
uma atividade em diversos níveis, para compreender as dificuldades apre-
sentadas pelos alunos diante da conservação de uma sequência até a gene-
ralização algébrica.
Essa atividade foi elaborada pelo grupo, a partir de uma reflexão sobre 
uma publicação do CAEM3. Exploraria a Conservação de Sequência, confor-
me quadro abaixo, aplicando para uma 4.a série do Ensino Fundamental, com 
a colaboração de uma das professoras de uma das escolas onde trabalho.
Observe a sequência de figuras abaixo:1. 
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4
1 Conceição Aparecida Paratelli, coordenadora de Matemática do programa Qualidade na Escola.
2 Programa Qualidade na Escola.
3 Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da USP. SOUZA, E.R.; DINIZ, M.I.S.V. Álgebra: 
das variáveis às equações e funções. São Paulo: CAEM – IME – USP, 1994.
O pensamento algébrico
167
Qual a próxima figura da sequência? Desenhe.a. 
E a seguinte? Desenhe.b. 
Explique como seria a sétima figura desta sequência.c. 
Com isso estaria explorando a habilidade dos alunos para Conservação de 
Sequência, para analisar as dificuldades encontradas nas séries seguintes.
A atividade foi realizada com a colaboração da professora da 4.ª série de 
uma escola estadual da periferia da cidade.
A professora Alessandra costuma trabalhar em grupos, utilizando como 
eixo para o ensino da Matemática a Resolução de Problemas.
A turma é constituída de alunos na faixa etária entre 9 e 12 anos e são, na 
maioria, de famílias que vivem em assentamentos.
No dia da aplicação da atividade, fui até a sala de aula, conversei com as 
crianças sobre o objetivo daquela atividade e perguntei se elas sabiam o que 
era uma sequência. 
Em coro responderam: – “É colocar em ordem’’.
Fiquei satisfeita com a resposta e achei que entenderiam a proposta da 
atividade. Após a distribuição, solicitei que lessem, com muita atenção, que 
discutissem em grupo e, depois, entregassem à professora.
O entusiasmo das crianças era tanto que lamentei voltar para o meu tra-
balho e não poder acompanhar a atividade até o fim. Orientei a professora 
que deixasse os alunos à vontade.
Quando a professora trouxe o pacote com atividades, fui logo verifican-
do como tinham realizado. A maioria entendeu a proposta e desenhou as 
figuras corretamente, mas na hora da explicação, seguiu o padrão numérico, 
ou seja, respondeu que a sétima figura teria 20 quadradinhos brancos e 7 
quadradinhos pintados, ou que os quadradinhos brancos aumentavam de 
dois em dois, os quadradinhos pintados aumentavam de dois em dois e os 
quadrinhos pintados aumentavam de 1 (um) em 1 (um).
Além disso, tive uma surpresa com algumas respostas ou representações 
e levei para o GPAAE no sábado seguinte.
168
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Analisando as respostas/representações dos alunos dessa classe, encon-
tramos algo relevante que nos surpreendeu: 30% dos alunos não mantêm o 
padrão geométrico, mas o padrão numérico e as explicações são semelhan-
tes aos que seguiram o padrão geométrico.
Fig. 6
Representação 
de Daniely
Fig. 5
Fig. 5
Fig. 6
Representação 
de Laynara
Fig. 5
Fig. 6
Representação 
de Márcia
Essas representações causaram surpresa, pois esperávamos que conser-
vassem o padrão geométrico, embora houvesse uma lógica no pensamento 
numérico.
Fiquei inquieta, pois a princípio me pareciam erradas, mas como só nessa 
escola obtive esse tipo de resposta, refleti melhor e verifiquei que tinham 
coerência. Isso nos levou a levantar as seguintes hipóteses:
O pensamento algébrico
169
Ausência de um trabalho com Geometria nas séries iniciais. �
 O trabalho de formação que desenvolvo com professores de 1.ª a 4.ª 
séries tem mostrado que esse conteúdo é praticamente esquecido nas 
séries iniciais, justamente pela lacuna existente na formação inicial do 
professor.
 Eles não têm segurança para trabalhar Geometria com as crianças, 
como acontece no trabalho com números, portanto, enfatizam esse 
conteúdo.
 Também, ao buscarem apoio nos livros didáticos, até pouco tempo 
atrás, esse conteúdo era tão cheio de definições e técnicas, além de 
se encontrarem nas páginas finais, que não davam o embasamento 
teórico e prático que o professor necessitava. 
O mundo sociocultural e histórico interfere no mundo escolar. �
 As crianças são de assentamento, onde a ocupação dos espaços foge 
do padrão urbanístico usual, o que nos leva a acreditar que transferem 
essa realidade para as representações geométricas. 
 Por outro lado, acreditamos que diante dessas dificuldades tornam-se 
mais criativas para sobreviverem, levando-as a múltiplas interpreta-
ções e resoluções. 
 Diante dessa última hipótese, peguei as atividades dessas crianças e 
fui falar com a coordenadora pedagógica da escola (a professora tinha 
entrado de licença gestante), para me certificar se a hipótese levanta-da tinha algum fundamento.
 De fato, as estórias de vida dessas crianças são basicamente as seguin-
tes, segundo a coordenadora:
“Vida danada” – a família veio do Nordeste e não tiveram parada em �
lugar algum, a cada tempo em um lugar.
Moram em assentamento – barracos – e têm que lutar para sobreviver �
(moradia, alimentação, saúde etc.). A merenda na escola é fundamen-
tal para essas crianças4. 
4 Histórias de aulas de Matemática Grupo de Pesquisa – Ação em Álgebra Elementar Campinas, SP: Garf. FE CEMPEM, 2001, p. 31-37.
170
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Dos 13 alunos que resolveram a atividade conservando sequência de quan-
tidade de quadradinhos pintados e não-pintados, sem seguir o padrão geo-
métrico, somente quatro alunos têm vida considerada “regular”; mas como o 
trabalho foi feito em grupo, acreditamos que tenha havido influência.
Essa hipótese foi levantada porque essa mesma atividade havia sido apli-
cada em outra escola, num bairro mais próximo do centro de Campinas, com 
crianças de vida regular, onde o padrão geométrico de respostas permane-
ceu de acordo com o que eu esperava.
Muitas vezes, nós professores não levamos em consideração as hipóteses 
levantadas pelos alunos e adotamos como certas apenas as respostas por 
nós esperadas. Senti a falta de oportunidade de voltar à sala de aula, fazer a 
socialização das respostas e concluir o trabalho.
Esse trabalho levou-me a refletir sobre a importância de ter outros olha-
res, que a princípio nos parecem errados, ou seja, diagnosticar as dificulda-
des para fazer inferências e o aluno chegar a hipóteses mais coerentes.
Tudo isso foi possível a partir das discussões no GPAAE. Foi no grupo que 
levantamos essas hipóteses, ao perceber que as respostas dos alunos tinham 
algum sentido e era importante uma análise; que a atividade levava a outras 
hipóteses como essas e o quanto é importante esse tipo de trabalho nas 
séries iniciais, a articulação numérica/geometria/medidas como início de um 
trabalho progressivo para o ensino da Álgebra nas séries mais avançadas do 
Ensino Fundamental. 
Dicas de estudo
Pesquise sobre Educação Algébrica no site: <http://www.tvebrasil.com.br/
SALTO>.
O site explora questões importantes da alfabetização algébrica que são refe-
rentes às séries iniciais do Ensino Fundamental
O pensamento algébrico
171
Atividades
1. Qual é a diferença entre incógnita e variável?
2. Cite as três fases de desenvolvimento pelas quais a Álgebra passou e relate 
as características principais de cada uma.
172
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
3. O texto cita quatro concepções da Álgebra, segundo Coxford e Shulte. Esco-
lha uma dessas concepções e relacione com uma atividade que poderia ser 
trabalhada nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
O pensamento algébrico
173
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
Mas afinal o que é razão? E o que é proporção?
Quando dizemos que para cada vaga do curso de Matemática temos 
10 candidatos temos a relação entre duas grandezas que, para esse exem-
plo, são o número de candidatos e o número de vagas. Para essa situação 
podemos escrever 1:10 ou 1
10
 , e lê-se 1 para 10. Essa é uma razão. 
Quando temos a igualdade entre duas razões, temos uma proporção. 
Exemplo 1
10
2
20
= . Isso também pode ser escrito 1:10 = 2:20, e lê-se 1 está 
para 10, assim como 2 está para 20. 
Podemos reduzir ou ampliar fotos, e elas continuam proporcionais. 
Uma fotografia 3 por 4, ou seja, de 3cm de comprimento por 4cm de lar-
gura, pode ser ampliada para 6cm por 8cm, respectivamente. 
Como as razões entre comprimento e largura são 3
4
 na primeira foto 
e 6
8
 na segundo foto, e estas são equivalente, podemos escrever mate-
maticamente isso por meio de uma igualdade entre elas, ou seja, 3
4
6
8
= , 
formando assim uma proporção.
Nesse caso, como as duas fotos tiveram comprimento e largura duplica-
das, elas se tornam proporcionais, mantendo a semelhança entre elas. O que 
acontece nesses casos é que as fotografias apenas mudaram de tamanho.
Exemplo:
Conceitos fundamentais 
da proporcionalidade
176
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
 
Is
to
ck
 P
ho
to
.
 
Is
to
ck
 P
ho
to
.
A representação de números proporcionais pode ser feita de forma algébrica 
e então temos os números substituídos por letras.
Numa proporção a
b
c
d
= , dizemos que: a, b, c, e d são termos da proporção. 
 b e c são chamados de meios.
 
a
b
c
d
=
 a e d são chamados de extremos, e então podemos perceber 
porque são assim denominados:
meios
a : b = c : d
extremos
Numa proporção, o produto (resultado da multiplicação) dos meios é igual ao 
produto dos extremos, ou seja: a
b
c
d
= . Isso implica que a x d = b x c (essa proprie-
dade é tida como a propriedade fundamental da proporção).
Vejamos o problema seguinte:
Com 1 litro de concentrado de certa fruta, preparam-se 5 litros de refresco.
Qual é a razão entre a quantidade de concentrado e a quantidade de suco obtido?
Nesse caso, a razão é de 
1
5
 ou 1: 5.
Para obter 15 litros de refresco, quanto de concentrado será necessário?
Podemos pensar que:
1 litro de concentrado faz 5 litros de refresco;
Conceitos fundamentais da proporcionalidade
177
2 litros de concentrado fazem 10 litros de refresco;
3 litros de concentrado fazem 15 litros de refresco.
Podemos também utilizar a propriedade fundamental de proporcionalidade:
1
5 15
= x
multiplicando os meios, ou seja, 5 vezes x, e igualando ao produto dos extre-
mos, ou seja, 1 vezes 15, teremos:
 5x = 15
 x = 15 : 5
 x = 3
Resposta: para fazer 15 litros de refresco, nessa concentração, necessita-se de 
3 litros de concentrado da fruta.
Grandezas diretamente proporcionais
Tempo e distância são duas grandezas diretamente proporcionais. Exemplo: 
um carro a uma velocidade de 80km/h percorre uma distância de 80 quilômetros 
em uma hora. Para percorrer 160 quilômetros, ou seja, para o dobro da distância, 
também vai precisar do dobro do tempo, portanto levará 2 horas para percorrer 
essa distância; se triplicar a distância, também triplicará o tempo gasto. 
Grandezas como essas (nesse caso, tempo e distância) são chamadas de gran-
dezas diretamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra aumenta 
na mesma razão; e se uma diminui, a outra também diminui na mesma razão.
Distância (km)
40
80
160
240
120
x3
x2
Tempo (h)
0,5
1
2
3
x
x2
x3
178
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Observa-se que quando a distância foi reduzida para a metade (80 : 2= 40), o 
tempo também foi reduzido para a metade (1 : 2 = 0,5).
Grandezas inversamente proporcionais
Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Exemplo: 
Problema 1
Um carro a uma velocidade de 80km/h percorre uma distância de 80 quilô-
metros em uma hora. Se sua velocidade for duplicada e passar a ser 160km/h, 
o tempo para mesmo percurso será a metade, ou seja, 0,5h (meia hora). Se sua 
velocidade for reduzida para a metade, o tempo gasto para o mesmo percurso 
será o dobro, ou seja, 2 horas.
Velocidade (km)
40
80
160
Tempo (h)
1
2
0,5
Grandezas como essas (nesse caso, velocidade e tempo) são chamadas de 
grandezas inversamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra é 
reduzida na mesma razão; e se uma diminui, a outra aumenta na mesma razão.
Problema 2
Observe o movimento das engrenagens representadas no desenho abaixo. 
Note que elas giram em sentido contrário. Imagine que a menor tenha 8 dentes 
e a maior tenha 16 dentes.
IE
SD
E 
Br
as
il 
S.
A
.
Conceitos fundamentais da proporcionalidade179
Responda:
a) Enquanto a engrenagem pequena dá 4 voltas, quantas voltas dá a engre-
nagem grande?
Resposta: 2 voltas, pois o seu número de dentes é o dobro, então o número 
de voltas será a metade do número de voltas dadas pela engrenagem pequena.
b) Preencha a tabela abaixo.
Engrenagem Número de dentes Número de voltas
Grande 10
Pequena
Resposta: para a engrenagem grande, 16 dentes – 10 voltas. Para a engrena-
gem pequena, 8 dentes – 20 voltas.
Várias são as situações do dia-a-dia que utilizam proporcionalidade (direta 
ou inversa). A proporcionalidade pode ser utilizada em situações de cálculo de 
porcentagem, de utilização de escala, de juros e tantas outras.
Exemplos:
Escala = Comprimento no desenho
Comprimento do real
Nos mapas, os comprimentos devem ser diretamente proporcionais aos com-
primentos reais. Se a escala de um mapa for de 1cm : 540km, isso quer dizer que 
cada 1 centímetro do mapa equivale a 540km na realidade. 
Porcentagem – ao se trabalhar com razões, é muito comum aquelas cujo de-
nominador é 100. Daí se denomina essas razões como porcentagem.
A proporcionalidade nas séries iniciais
Atividades em que as noções de grandezas proporcionais ou grandezas in-
versamente proporcionais são exploradas apresentam-se sempre bastante inte-
ressantes, uma vez que encontramos situações de tal “natureza” facilmente em 
nosso dia-a-dia. No entanto, muitas vezes, ao se ensinar tal conteúdo, o professor 
180
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
acaba não levando em conta o conhecimento prévio do aluno. Na maioria das 
vezes, são subestimados os conceitos desenvolvidos pela criança no decorrer 
das suas atividades práticas, de suas interações sociais, partindo para um trata-
mento escolar de forma esquemática, privando-a da riqueza de conteúdo advin-
do da sua experiência pessoal.
As noções de razão, proporção, número racional, medida, regra de três, por-
centagem, probabilidades, semelhança de figuras, escalas e outras são constitu-
ídas a partir da ideia de proporcionalidade.
A partir dos primeiros anos de vida, a criança já utiliza, de forma prática, as rela-
ções de proporcionalidade. Nessa fase, ela avalia a realidade visualizada de forma 
qualitativa. Por exemplo, uma criança pode imaginar o tamanho de um objeto que 
está distante, interpretar desenhos, estimar o espaço por onde quer passar etc.
Mais tarde, a criança faz suas tentativas de natureza quantitativa, podendo 
comparar a altura de um edifício e de um adulto utilizando seus dedos. Nesse 
caso, pode fazer uma equivalência da altura do adulto à largura de seu dedo 
indicador e enumerar o número de vezes que o edifício corresponde à largura 
do seu dedo.
Segundo Toledo e Toledo (1997), Freudenthal concluiu em suas pesquisas 
que desde muito cedo as crianças adquirem capacidade de identificar:
objetos ou signos que se diferenciam por suas dimensões; �
um mesmo objeto, a distâncias diferentes; �
um objeto e sua imagem; �
duas imagens de um mesmo objeto em diferentes escalas. �
Situações simples podem contribuir para que as crianças estabeleçam rela-
ções e descubram propriedades que as levem ao conceito de proporcionalidade. 
Proporção é um conceito muito rico que aparece nos mais diversos contextos da 
vida. Aparecem na compra e venda, nas diversas situações da construção civil, 
em atividades da ciência e tecnologia etc. No entanto, na escola, na maioria das 
vezes, esse conceito é trabalhado de forma limitada.
Schliemann e Carraher (1997) têm mostrado, por meio de seus estudos, valio-
sos recursos para trabalhar esses conceitos em sala de aula. Para compreender 
melhor a aprendizagem, elas têm comparado estratégias de resolução de pro-
blemas de crianças de rua envolvendo esse conceito, ou seja, comparar estraté-
Conceitos fundamentais da proporcionalidade
181
gias de crianças que aprendem tal conceito fora de sala de aula com estratégias 
de crianças que aprendem proporcionalidade na escola. 
As autoras esclarecem que, em grande parte, muitos conceitos matemáticos – 
entre eles razão e proporção – são adquiridos com base na reflexão sobre si-
tuações vividas pelos alunos, e para que estes aprendam proporcionalidade é 
necessário que tenham oportunidade de discutir as relações proporcionais em 
diversos contextos.
Elas têm percebido que a compreensão de proporcionalidade tem se torna-
do mais fácil quando trabalhada em situações de transação comercial, porque 
desde cedo os alunos vivenciam situações de compra e venda de mercadorias, 
quando têm variáveis as quantidades de itens comprados e o preço pago. Por 
meio dessa razão, podem-se construir tabelas de relação multiplicativa e encon-
trar valores proporcionais a serem pagos para outras quantidades de itens. 
Veja o exemplo:
Quantidade de cadernos Preço a pagar
1 3 reais
2 6 reais
3 9 reais
Segundo Vergnaud (apud SCHLIEMANN; CARRAHER, 1997), um problema que 
envolve relações proporcionais pode ser resolvido por meio de três estratégias 
principais:
Estratégia escalar1. – a solução é encontrada a partir da análise das rela-
ções numéricas no interior de uma mesma variável. Nesse caso, as variá-
veis permanecem independentes umas das outras. Então, são realizadas 
transformações paralelas em cada uma dessas variáveis, mantendo-se a 
relação proporcional. 
Veja o problema:
“Se 4 peras custam 6 reais, qual o preço de 20 peras?”
Para resolvê-lo, utilizando a estratégia escalar, temos: como 20 peras corres-
pondem a 5 vezes mais que 4 peras, então também seria multiplicado o valor 6 
reais por 5, obtendo-se um valor de 30 reais a serem pagos pela nova quantida-
de 5 vezes maior de peras.
182
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Peras Preço a pagar
4
20
6 reais
30 reais
5x
Estratégia funcional2. – enfoca as relações entre as duas variáveis e con-
siste em encontrar a razão que liga as duas variáveis e em utilizá-la na re-
solução do problema. Para o mesmo problema anteriormente citado, a 
solução funcional seria: como cada pera corresponde a 1,50 real, então 20 
peras corresponderiam a 30 reais, o que equivale a 20 vezes ou, como 6 é 
1,5 vezes 4, então multiplica-se 20 por 1,5 e obtém-se 30.
Peras Preço a pagar
4
20
6 reais
30 reais
x 1,5
x 1,5
Estratégia da regra de três3. – essa é uma estratégia usada na escola e uti-
liza as propriedades de razões equivalentes. Novamente, para o problema 
acima, há duas razões equivalentes:
x = (20 . 6) : 4, ou seja,
20
4
=
6 , então
x
20
4
=
6 , então
x
4 . x = 20 . 6
4x = 120
x = 
4
120
x = 30
Conceitos fundamentais da proporcionalidade
183
Por meio desses estudos, as autoras observaram que a estratégia mais utili-
zada por crianças e também por adultos com pouca ou nenhuma escolaridade 
tem sido a estratégia escalar, aplicada por meio do uso de adições sucessivas, ou 
seja, aquela na qual segue o raciocínio abaixo:
1 turma 50 alunos
2 turmas 100 alunos
4 turmas 200 alunos
6 turmas 300 alunos
Nos seus estudos, as autoras citadas perceberam que quando as crianças 
utilizam as estratégias escalares, partindo de uma unidade para encontrar um 
número maior de unidades, não apresentam dificuldade. No entanto, quando 
se deparam com um problema, com uma situação inversa, apresentam muita 
dificuldade, isto é, quando têm o preço de uma quantidade de itens e precisam 
calcular o valor a pagar por um número de itens menores como: o preço de 12 
laranjas é 2 reais, qual é o preço de 4 laranjas? Há dificuldade, também, quando 
o número de itens a serem comprados não é múltiplo do número inicial do qual 
se conhece o preço.
Perceberam, também, como os problemas que envolvem os mesmos núme-
ros são considerados mais difíceis se o número de itens é maior que o número 
correspondente ao seu preço. Porexemplo, o problema “se 30 laranjas custam 6 
reais, qual é o valor a ser pago por 2 laranjas?” é considerado mais difícil que o 
problema “se 6 laranjas custam 30 reais, qual o valor a ser pago por 2 laranjas?”.
Com esse estudo, as pesquisadoras constataram que as crianças que resol-
vem problemas de proporcionalidade no contexto de compra e venda podem 
não conseguir resolver problemas semelhantes se estes envolverem conteúdos 
de medida de tempo, porque elas não têm experiência suficiente para perceber 
se a relação entre as variáveis é de mesma natureza que a relação entre o preço 
de um item e o preço de vários itens.
Por meio desse trabalho, Schliemann e Carraher apresentam ainda outras ob-
servações. Entre elas citamos que: 
mesmo as crianças escolarizadas, que tenham trabalhado com regra de �
três, acabam não utilizando essa estratégia ao resolver os problemas de 
proporcionalidade;
184
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
O que é pensamento proporcional?
(SCHLIEMANN, 1997)
O pensamento proporcional refere-se basicamente à habilidade de es-
tabelecer relações. Dois tipos de relações estão envolvidas na resolução de 
tarefas e problemas de proporção: relação de primeira ordem e relação de 
segunda ordem. Alguns exemplos podem ser apresentados, nos quais é pos-
sível identificar estas relações.
Sr. Altão e sr. Baixinho1. 
Karplus e Peterson (1970) criaram essa tarefa para explorar diferentes pro-
cessos de resolução por parte de crianças, sendo também utilizada em diver-
sas outras pesquisas (e.g., CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 1986). Dois 
bonecos eram apresentados, sr. Altão e sr. Baixinho, cujas alturas podiam ser 
crianças e adultos resolvem problemas com relativa facilidade se o con- �
texto for de compra e venda;
a escola costuma dizer que, às vezes, as crianças erram o problema não �
por não compreenderem a ideia de proporcionalidade, mas porque não 
sabem o algoritmo da divisão. As autoras chamam, então, a atenção para 
o que defende Vergnaud, que a divisão também tem em si a ideia de pro-
porcionalidade;
as crianças desenvolvem uma compreensão de razão e proporção fora da �
escola, mas é na escola que podem aprender a analisar situações, como a 
de expressar relações e a de derivar valores, e que o educador deve rela-
cionar o conhecimento adquirido fora da escola com aquele que ele deve 
constituir ao ensinar.
Embora Piaget e seus colaboradores apresentem a ideia de que a aquisição 
da compreensão de proporção seja tardia, ou seja, por volta de 10-11 anos, os es-
tudos acima e outros, como o de Spinillo (1997), apontam que muito mais cedo, 
a partir dos seis anos, crianças podem aprender sobre esse conceito.
Texto complementar 
Conceitos fundamentais da proporcionalidade
185
medidas em botões e em clipes. A altura do sr. Baixinho era de quatro botões 
ou de seis clipes. A altura do sr. Altão era de seis botões. A tarefa da criança 
consistia em determinar qual seria a altura do sr. Altão em clipes.
As relações de primeira ordem são aquelas entre o número de clipes e 
botões em cada um dos bonecos, o que permite inferir a altura do sr. Altão 
em clipes. A relação de segunda ordem consiste em comparar estas duas 
relações para verificar se são equivalentes ou não.
Esse tipo de tarefa é chamado de Tarefa de Incógnita, em que três valores 
são dados, sendo necessário determinar o valor da incógnita, mantendo-se 
no segundo par de valores a mesma relação proporcional verificada no pri-
meiro par (relação de primeira ordem).
Comparando recipientes com água2. 
Essa tarefa foi criada por Bruner e Kenney (1966) para investigar o de-
senvolvimento do conceito de proporção em crianças, sendo apresentada 
também em outros estudos (e.g., CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN; 
RUIZ, 1986). Nessa tarefa, a criança tinha que determinar qual, dentre dois 
recipientes com água, era o mais cheio.
As relações de primeira ordem seriam aquelas entre o espaço ocupado 
por água e o espaço vazio em cada recipiente. A relação de segunda ordem 
consistia em comparar as relações água/espaço vazio entre eles.
Esse tipo de tarefa é chamado de Tarefa de Comparação, em que os quatro 
valores são dados e o sujeito precisa determinar se existe ou não uma equi-
valência (relação de segunda ordem) entre o primeiro e o segundo par de 
valores (relações de primeira ordem).
Segundo alguns autores (e.g., KARPLUS; PULOS; STAGE, 1983), tarefas de 
incógnita são mais difíceis que as de comparação, por envolver cálculos nu-
méricos complexos e provocar o surgimento das conhecidas estratégias adi-
tivas de resolução.
Apesar das diferenças entre os dois tipos de tarefas apresentadas acima, 
ambas têm um aspecto em comum: para resolvê-las é preciso estabelecer re-
lações de segunda ordem, ou seja, relações entre relações de primeira ordem. 
A importância das relações de segunda ordem para o pensamento propor-
cional é amplamente reconhecida e apontada como a causa das dificuldades 
186
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Dicas de Estudo
Assista a um vídeo no site: <http://revistaescola.abril.com.br/multimidia/
pag_video/gal_video_276188.shtml>.
O vídeo mostra uma atividade sobre proporcionalidade, desenvolvida com 
crianças do 1.º Ciclo do Ensino Fundamental
Atividades
1. O seguinte problema envolve relações proporcionais:
 Quatro caixas de leite custam R$8,00. Quanto custa uma caixa do mesmo 
leite?
 Resolva esse problema utilizando as três estratégias de resolução citadas no 
texto.
das crianças. Entretanto, raramente tem-se atentado para a importância do 
ponto de partida desta relação – as relações de primeira ordem, que alguns 
estudiosos consideram como uma das possíveis causas destas dificuldades. 
Conceitos fundamentais da proporcionalidade
187
2. Escreva duas grandezas que não se relacionam proporcionalmente.
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
A Estatística é um ramo da Matemática Aplicada, e durante algum 
tempo só era ensinada no Ensino Superior. Esse termo é antigo. E a in-
trodução do ensino desta é de grande relevância para todos os níveis de 
ensino.
A Estatística provavelmente tenha tido seu início como um estado 
aritmético. Na Antiguidade já se registrava número de habitantes, de nas-
cimentos, de mortes, fazia-se estimativa de posses sociais e individuais. 
Impostos eram cobrados; exemplo: César Augusto (27 a.C. – 14 d.C.), im-
perador romano, decretou que todas as pessoas deveriam ser cadastradas 
na época e que as mesmas deveriam pagar impostos. Desde muito tempo, 
realizavam-se inquéritos quantitativos, que hoje são chamados de esta-
tística. Foi num desses cadastramentos que se descobriu que Jesus tinha 
nascido em Belém e não em Nazaré.
Com o objetivo de cobrar impostos e serviços militares que o conquis-
tador inglês Willian ordenou vistoria a toda Inglaterra, originando assim o 
Domesday, livro de registro de direito de posse, valores etc. das terras da 
Inglaterra.
Foi no século XVI que apareceram as primeiras tábuas, tabelas e nú-
meros relacionados a batizados, casamentos e outros acontecimentos 
sociais.
Na metade do século XVII surgiram os jogos de Chances de Chevalier 
de Méré, que deram origem à Teoria da Probabilidade.
Em 1733, Moivre anunciou a equação da curva normal de erros, de 
grande importância para desenvolvimento da Estatística, consistindo em 
estudos que, depois em 1924, foram ampliados por Karl Pearson. Esses 
mesmos resultados foram também obtidos pelos astrônomos e matemá-
ticos Laplace (1749-1827) e Gauss (1777-1855).
Introdução à Estatística
190
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
No século XVIII, Godofredo Achenwall dá o nome Estatística à essa ciência ou 
método, pois esses estudos já haviam adquirido feição científica.
A partir daí a Estatística ganhou ímpeto com participaçãode trabalhos desen-
volvidos por biólogos como Charles Darwin, pelo matemático Gosset, e outros 
tantos.
Na atualidade, uma grande quantidade de informações apresentada por re-
vistas, jornais e outros meios de comunicação tem sido demonstrada por meio 
de tabelas ou de gráficos estatísticos. Por essa razão, currículos básicos, parâme-
tros curriculares e outros documentos têm sugerido fortemente a introdução da 
Estatística no ensino de Matemática desde os anos iniciais.
Os “Standards” da NCTM1 (apud GOMES, 1995) apresentam pontos impor-
tantes, aos quais os currículos escolares deveriam dar ênfase. São a análise de 
dados, a probabilidade e a exploração estatística em situações do mundo real do 
aluno, com o objetivo de torná-lo capaz de:
reconhecer, organizar e descrever dados; �
construir, ler e interpretar dados representados de maneira organizada; �
formular e resolver problemas que impliquem coleta e análise de dados; �
explorar o conceito de casualidade; �
reconhecer, organizar e analisar dados de forma sistematizada; �
elaborar, ler e interpretar tabelas e outras representações gráficas; �
formular inferências e argumentos convincentes que se baseiem nas aná- �
lises desses dados;
avaliar argumentos baseados em análise de dados; �
apreciar os métodos estatísticos como meios eficientes para a tomada de �
decisões.
Assim, para o processo ensino-aprendizagem de Estatística, é importante que 
se faça o levantamento das mais diversas questões, conjecturas, buscando re-
lações durante a formulação e resolução de problemas do mundo real; ou seja, 
o ensino de Estatística deve estar impregnado de um espírito de investigação e 
exploração.
1 National Council of Teachers of Mathematics.
Introdução à Estatística
191
Deve também ter como objetivo, além de ensinar o aluno a ler e interpretar 
representações gráficas, descrever e interpretar o mundo em que vive – e, por 
meio dele, construir ferramentas para resolver problemas, perceber as ligações 
entre áreas como Ciências Sociais e Naturais – auxiliá-lo a tornar-se autônomo 
para tomar decisões acertadas.
No ensino de Estatística dos anos iniciais do Ensino Fundamental, é impor-
tante que os alunos explorem as ideias básicas, reconheçam dados, organize-os 
em tabelas e gráficos e leiam informações por meio de representações gráficas. 
Nas séries mais avançadas, espera-se que façam desde a coleta de dados até 
a comunicação dos resultados. Alunos dessa faixa etária sentem-se fortemente 
motivados por temas como música, moda, cinema, esportes, problemas sociais, 
questões de saúde e curiosidades a respeito deles próprios.
Mas, afinal, o que é Estatística? Quais são as fases do método estatístico? De 
acordo com Crespo (1984, p. 13), “a Estatística é uma parte da Matemática Apli-
cada que fornece métodos para a coleta, a organização, a descrição, análise e 
interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para a tomada 
de decisões”.
As fases do método estatístico são quatro:
coleta de dados; �
crítica desses dados; �
exposição ou apresentação dos dados; �
análise de resultados. �
1.ª fase – coleta de dados estatísticos
Nessa fase é necessário que se conheça a natureza desses dados e as razões 
para estudá-los. A coleta pode ser direta ou indireta; os seus dados podem ser 
de uma população (conjunto de entes portadores de pelo menos uma caracte-
rística comum) ou de uma amostra (subconjunto de uma população). No caso 
de analisar dados de uma amostra, esta deve ser significativa, ou seja, possuir 
características básicas da população no que se refere ao fenômeno que se pre-
tende pesquisar.
192
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Coleta direta é aquela que é feita sobre elementos informativos como regis-
tros de nascimento, casamento, óbitos etc., ou quando os dados são coletados 
pelo próprio pesquisador. A coleta indireta é inferida de elementos conhecidos, 
como de coleta direta ou do conhecimento de fenômenos2 ligados a esse co-
nhecimento que se pretende estudar.
2.ª fase – crítica dos dados
Os dados coletados devem sofrer críticas para evitar falhas e imperfeições, 
pois estas serão responsáveis por significativas mudanças nos resultados.
3.ª fase – exposição ou apresentação dos dados
A apresentação dos dados deve ser na forma de tabelas e gráficos adequa-
dos, para que facilite o exame do que se está pesquisando. 
Os gráficos podem ser do tipo diagramas, isto é, gráfico de curva ou de linha, 
gráfico de coluna, de barras, de setores etc.; do tipo cartogramas e de pictogra-
mas, que serão exemplificados posteriormente.
4.ª fase – análise de resultados
Essa é a fase mais importante, porque é a fase na qual são feitas as inferências 
que permitem tirar conclusões que transcendem os dados iniciais.
A exposição ou apresentação de dados pode se dar por meio de tabelas e 
gráficos, os quais proporcionam grande poder de comunicação visual. Os dados 
devem ser apresentados de maneira que se tornem mais facilmente compre-
endidos. Por isso, existem tabelas e gráficos mais apropriados que outros, de 
acordo com o assunto em estudo.
Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações. É composta 
das seguintes partes: corpo, cabeçalho, coluna indicadora, linhas, casas ou cé-
lulas, título. Há também a fonte, as notas e as chamadas, que geralmente apare-
cem no rodapé.
2 Entende-se por fenômeno o estudo estatístico.
Introdução à Estatística
193
Exemplo:
26,0
22,8
23,1
21,9
21,3
20,7
20,0
19,7
18,9
18,8
Dados gerais
Número de analfabetos e taxa de analfabetismo
na faixa etária de 15 anos ou mais
BRASIL: 1980-89
título
Coluna
indicadora
Rodapé e notas
Célula
Linha
Fonte: IBGE – Censo Demográfico, 1980 Pesquisa Nacional por Amostra de Domicí-
lios, 1980-89.
Obs: Essa tabela foi retirada de: MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO.
A Educação no Brasil na Década de 80. Brasília, 1990.
Co
rp
o
População 15
anos ou mais
N.º de analfabetos
de 15 anos ou mais
Taxa de
analfabetismo
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
74 436 482
74 679 449
76 534 782
78 504 410
81 140 959
83 541 724
86 454 036
88 816 170
91 320 205
93 642 547
19 330 254
16 992 500
17 685 985
17 204 041
17 273 309
17 284 056
17 320 725
17 456 348
17 269 042
17 587 580
Ano
Ca
be
ça
lh
o
Toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos, 
em função da época, do local, ou da espécie, é chamada de Série Estatística.
Se for organizada em função da época, é chamada de Série Histórica; se 
em função do espaço, Série Geográfica; e de Série Específica, se em função de 
espécie.
Gráfico estatístico é uma das formas de apresentação dos dados estatísticos, 
com objetivo de produzir uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em 
estudo.
Para se obter a representação gráfica, faz-se uma correspondência entre os 
termos da série (tabela) de determinada figura geométrica, de forma que cada 
elemento da série seja representado por uma figura proporcional. O gráfico deve 
apresentar simplicidade, clareza e veracidade.
194
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Os principais tipos de gráfico são diagrama, cartograma e pictograma.
a) Diagrama: gráfico geométrico de, no máximo, duas dimensões. Para sua 
construção, em geral, fazemos uso do sistema cartesiano. Os diagramas 
podem ser apresentados de diversas formas. Seguem as mais comuns:
Gráfico de linha ou curva � – para construção desse gráfico, determi-
nam-se os pontos referentes aos pares ordenados da característica em 
estudo e, então, ligam-se os pontos por uma linha. O que garante a 
impressão visual desse gráfico são as subidas e as descidas da linha.
Gráfico de colunas � – é formado por retângulos dispostos verticalmen-
te, sendo suas bases todasde mesma medida e suas alturas proporcio-
nais aos respectivos dados.
Gráfico de barras � – representação feita por retângulos dispostos na 
horizontal. Nesse gráfico, as alturas de todos os retângulos são iguais e 
os comprimentos são proporcionais aos respectivos dados.
Gráfico em (ou de) setores � – nesse gráfico, um círculo é dividido em 
setores com medidas de ângulos proporcionais à frequência dos res-
pectivos dados.
b) Cartograma: é uma representação sobre uma carta geográfica.
c) Pictograma: é constituído de figuras. É um dos processos gráficos que me-
lhor fala ao público, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. 
Medidas de posição são elementos típicos da distribuição quanto à posição 
desta em relação ao eixo horizontal. Entre as medidas de posição, as mais impor-
tantes são de tendência central, que tendem a agrupar-se nos valores centrais. 
São elas a média aritmética simples, a moda e a mediana.
Média aritmética simples é o quociente da divisão da soma dos valores da va-
riável pelo número desses valores. Exemplo: a média das idades de três pessoas, 
com 45, 52 e 50 anos, é:
45 52
3
 + + 50
 = 49 anos
Moda é o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores.
Por exemplo, se em 45 famílias temos: 
Introdução à Estatística
195
2 famílias que não têm filhos;
9 famílias que têm um filho;
24 famílias que têm 2 filhos;
7 famílias que têm 3 filhos; e
3 famílias que têm 4 filhos.
O valor modal ou moda do número de filhos desse grupo de família é 2 filhos, 
pois é o número que ocorre com maior frequência; das 45 famílias, 24 delas têm 
2 filhos. Podemos ter uma série amodal (não apresenta moda), isto é, quando 
não existe na série um número que apareça mais vezes que os demais. Podemos 
também ter uma série bimodal (dois valores modais).
Mediana é o número que se encontra no centro de uma série de valores, sendo 
que estes devem estar dispostos em ordem crescente ou decrescente. No exem-
plo da série 2, 5, 7, 9, 14, o número 7 é a mediana dessa série de valores. Caso o 
número de elementos de uma série seja par, a mediana será a média dos dois 
números centrais. Exemplo: em 2, 5, 7, 9, 14, 16, a mediana é 8, pois 7 9
2
8
+ = .
O ensino de Estatística nas escolas depende de quanto os professores estão 
conscientes da importância desse tema na vida dos alunos nos dias atuais, assim 
como do preparo desses professores para ensinar tal conteúdo.
É conveniente que os professores conheçam Estatística Aplicada e softwares 
pedagógicos que auxiliem os alunos na compreensão de certos conceitos rela-
cionados à Estatística.
Até na Educação Infantil já se pode introduzir o ensino de Estatística. Nesse 
caso, o professor pode utilizar caixinhas (de palito de fósforo, de pasta de dente 
etc.) para representar as colunas. Exemplo: no caso de verificar o número de filhos 
de uma família, o aluno pode por sua caixa na coluna previamente elaborada pela 
professora, de acordo com o número de filhos que seus pais têm. Assim os alunos 
poderão verificar que o número mais comum de filhos entre os pais desses alunos 
é representado pela maior coluna, ou seja, aquela que tem mais caixinhas.
É importante que o professor trabalhe conceitos de probabilidades relacio-
nando-os à própria Estatística. Os professores devem trabalhar tais conceitos e 
fazer, com seus alunos, as devidas inferências, discutindo questões filosóficas, 
éticas, políticas etc., relativas ao objeto de estudo estatístico. 
196
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
No trabalho com Estatística se percebe que essa parte da Matemática está 
muito ligada a outras áreas de conhecimento como Geografia, Biologia, Quími-
ca, Linguística, Economia, Psicologia etc. Esse fato indica uma boa possibilidade 
para o trabalho interdisciplinar.
Texto complementar
Do uso do álbum
(GOMES, 1995, p. 74-76)
Após os alunos terem feito o levantamento estatístico de suas alturas, 
eles passaram a fazer seus próprios trabalhos utilizando o Álbum do Mun-
dial de Futebol de 1994, da Editora Abril Panini S/A, que trazia informações 
sobre os times que participaram da Copa do Mundo, cidades que sediaram 
o campeonato, capacidade dos estádios.
Cada aluno, de posse do álbum, escolheu grupos de dados de acordo 
com seu interesse para fazer o cálculo da média aritmética e construir tabe-
las e gráficos.
Os grupos de dados mais escolhidos foram: peso, idade, altura dos joga-
dores dos times que participariam do Mundial e capacidade dos estádios 
que sediariam a Copa.
Acredito que a escolha tenha recaído sobre os dados dos times que os 
alunos acreditavam ser os favoritos, prováveis adversários do Brasil ou times 
de um jogador de renome mundial.
Esta atividade foi desenvolvida em sala de aula, onde cada aluno fazia o 
seu trabalho, pois tinham escolhido grupos de dados diferentes, de acordo 
com seu interesse particular.
Alguns alunos concluíram partes do trabalho em suas casas, principal-
mente as ilustrações que fizeram, o que deu ao trabalho um bonito visual.
O fato de ilustrarem seus trabalhos também fez com que eles se sen-
tissem muito envolvidos e, enquanto isso, descontraídos, trabalhavam a 
Matemática.
Introdução à Estatística
197
Comentei com eles suas ilustrações, e discutimos alguns pontos como o 
desenho da Bandeira Brasileira.
Muitos dos alunos haviam desenhado a Bandeira Brasileira com o losan-
go tocando o retângulo, o que não é correto.
Eles ficaram à vontade para ilustrar seus trabalhos e para terminar ou não 
em casa.
Durante o trabalho, houve necessidade de fazer algumas etapas nova-
mente, pois alguns alunos apresentaram dificuldade.
Nesse momento, tomei outros dados, e refizemos juntos a etapa na qual 
apresentavam dificuldade.
Os novos exemplos vieram esclarecer as dúvidas, e foi importante tê-los 
feito, pois pude observar casos que tínhamos citado quando fizemos pela 
primeira vez, como o caso de intervalos intermediários com frequência zero, 
o que fez com que, no gráfico de colunas, houvesse espaço em branco entre 
as colunas, como no gráfico que segue:
Altura dos alunos da 6.ª série M1
198
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Pude então perceber que isso não tinha ficado tão claro como pare-
cia, quando alguns alunos tinham feito a sugestão de deixar o espaço em 
branco.
Os alunos concluíram, então, que o número de colunas do gráfico deveria 
ser o mesmo que o número de setores do gráfico de setores.
Foi estipulada uma data de entrega e, nesse dia, todos os trabalhos foram 
recolhidos.
Depois que analisei os trabalhos, devolvi-os aos alunos com comentários 
e, então, mais uma vez, tivemos discussões sobre os pontos que ainda pode-
riam ter dúvidas.
Dicas de estudo
Ler o artigo: ”Uma proposta de formação de professores para o ensino dos 
gráficos e tabelas”.
Autoras: Elizangela Gonçalves de Araújo e Cláudia Regina Flores.
Disponível em: <http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/Trabalhos/
PO02436001944T.doc>.
O artigo aborda o assunto de Estatística nas séries iniciais do Ensino Funda-
mental, dando ênfase aos gráficos e tabelas.
Atividades
1. Qual a importância da Estatística?
Introdução à Estatística
199
2. Procure em jornais ou revistas tipos diferentes de gráficos e classifique-os.
3. Para situações específicas, alguns gráficos são mais apropriados. Por que um 
gráfico de setores não deve ter um número grande de setores?
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
A avaliação guia; a avaliação não pune. 
Vianna
A avaliação escolar tem assumido novas dimensões, objetivando 
orientar a ação do professor e do aluno durante todo processo de ensino 
e aprendizagem. Para Martins (1996), a avaliação também deve ser enca-
rada como um processo de recolhimento de informação, que se utiliza de 
observações,entrevistas, situações problemáticas, relatórios e ensaios es-
critos, portfolios, assim como testes escritos de diversos tipos. Nesse caso, 
assume a função reguladora e orientadora durante o processo de ensino 
e aprendizagem.
Nessa perspectiva, a avaliação surge como meio educativo, como ins-
trumento que visa orientar a atividade pedagógica para promover o suces-
so dos alunos (objetivo formativo), de modo que estes também tenham 
o direito de intervir, participando na orientação e regulação da aprendi-
zagem e no próprio processo de formação. Assim, a avaliação deverá ser 
constante no cotidiano da sala de aula de forma a orientar e ajustar o pro-
cesso de ensino e aprendizagem, proporcionando ao professor a possibi-
lidade de melhorar a sua prática pedagógica e, ao aluno, de envolver-se 
no próprio processo.
A avaliação também deve ser considerada como parte integrante do 
processo de aprendizagem, cujo objetivo é a aprendizagem e não a ava-
liação em si mesma. Não é nem o objetivo, nem o fim de um processo, e 
a relevância das situações de aprendizagem não depende das possibili-
dades de avaliação imediata. Ela tem como tarefa gerar novas oportuni-
dades de aprendizagem e fornecer dados essenciais para o professor e 
para o aluno. Objetivando que a avaliação seja fonte de aprendizagem, é 
necessário que as atividades sejam significativas, que proporcionem aos 
alunos novas oportunidades para aprender, para melhorar seu desempe-
Avaliação em Matemática
202
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
nho e para refletir sobre o seu próprio trabalho. Sob o aspecto de informação, a 
avaliação deve fornecer elementos que auxiliem os alunos na reflexão e regula-
ção relativa ao seu processo de aprendizagem.
Hadji (2001) considera que a avaliação deveria ser prognóstica, formativa e 
cumulativa. Segundo esse autor, a avaliação prognóstica é aquela que precede 
a ação de formação. Também chamada de diagnóstica, tem a função de permi-
tir um ajuste recíproco aprendiz/programa de estudos. A avaliação cumulativa 
ocorre depois da ação, e tem a função de verificar se as aquisições visadas pela 
formação foram efetivadas. A avaliação formativa situa-se no centro da forma-
ção. É chamada de formativa porque sua função principal é contribuir para uma 
boa regulação da atividade de ensino. Desse modo, é contínua e levanta infor-
mações indispensáveis à regulação do processo de ensino e aprendizagem.
Ainda segundo Hadji (1994), avaliar pode significar: verificar o que foi apren-
dido, julgar o nível de um aluno em relação ao restante da turma, estimar o nível 
de competência de um aluno, situá-lo em relação ao nível geral, representar o 
aluno por um número, representar o grau de sucesso de uma produção escolar 
em relação a critérios que variam de acordo com o nível da turma e segundo os 
exercícios, determinar o nível de uma produção, dar uma opinião sobre os sabe-
res ou saber-fazer de um indivíduo, entre outras possibilidades.
O autor mostra ainda que todos os verbos utilizados para definir avaliação se 
reportam a uma situação pedagógica. Há, portanto, três palavras-chave: verificar 
a presença de qualquer coisa que espera, competência, conhecimento; situar 
um indivíduo, uma produção, em relação a um alvo; julgar o valor de algo. “Ava-
liar é mesmo tomar posição sobre o valor de qualquer coisa que existe”. (HADJI, 
1994, p. 35, grifo do autor).
As instituições exigem um professor que avalie os trabalhos de seus alunos 
e divulgue os resultados. O professor deve ter clara a filosofia subjacente ao ato 
de avaliar e não pode esquecer para que serve essa atividade, uma vez que ela, 
a avaliação, pode ter a função de:
inventário dos conhecimentos e das aquisições, “medir as aprendizagens �
realizadas”, por meio, entre outros, de testes de rendimento;
diagnóstico, que situa o aluno no seu processo de aprendizagem, das la- �
cunas e das suas dificuldades em relação aos saberes e ao saber-fazer que 
deveriam ser adquiridos;
Avaliação em Matemática
203
prognóstico, permitindo guiar o aluno e orientá-lo nas escolhas escolares �
e profissionais.
Em outras palavras, esses três objetos consistem, em primeiro lugar, em situar 
o aluno no momento de um determinado balanço, depois em compreender a 
sua situação e, posteriormente, em orientá-lo.
Quando a avaliação assume o objetivo de guiar e orientar, é possível distin-
guir três objetivos:
certificar – fornecer documento em que se atesta o nível de conhecimen- �
to, outorgar um diploma;
regular – guiar frequentemente o processo de aprendizagem; �
orientar – escolher as vias e modalidades de estudo mais apropriadas, ten- �
do como objetivo ater-se às aptidões, interesses, capacidades e compe-
tências para futuras aquisições.
Para que a avaliação oriente, regule e certifique, é necessário falar de avalia-
ção diagnóstica (ou preditiva), de avaliação formativa e de avaliação somativa. 
A avaliação diagnóstica explora, ou identifica, características de um aluno re-
lativas ao que ele já adquiriu e ao que deve adquirir.
A avaliação formativa tem, antes de tudo, uma finalidade pedagógica. Deve 
ser integrada ao ato de formação. Tem o objetivo de contribuir para a melho-
ria da aprendizagem, informando ao professor as condições de aprendizagem, 
assim como instruindo o aluno sobre o seu percurso no conhecimento.
A avaliação somativa é aquela que faz um balanço depois de um período 
de formação. É, portanto, muitas vezes pontual. Quase sempre os alunos são 
comparados uns com os outros (avaliação normativa) e os resultados são anun-
ciados à administração e aos encarregados de educação.
Não há como conceber a função da avaliação como qualquer coisa de unidi-
mensional na qual se encerra todo o sentido de uma prática. Por isso, entendo 
que os diversos tipos de avaliação têm várias funções. A avaliação formativa é 
importante para:
esclarecer o professor das lacunas e dificuldades do aluno por meio de um �
inventário;
204
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
permitir um ajuste didático, por intermédio de uma harmonização méto- �
do/aluno;
guiar o aluno dando-lhe segurança; �
facilitar a aprendizagem, promovendo reforço e correção. �
Facilitar a aprendizagem é a essência da atividade do professor; daí a função 
da avaliação regular a aprendizagem. O professor também deve pôr a avaliação 
a serviço da melhor gestão da ação, do funcionamento de unidades escolares e 
do fluxo de alunos no conjunto do campo escolar.
Assim, como um jogo com finalidade pedagógica otimiza a ação pedagógica, 
ajudando na aprendizagem, a avaliação ajuda na regulação da vida escolar e é 
um elemento de comunicação social entre indivíduos desse ambiente (alunos, 
pais, professores, administradores). A avaliação serve para regulação do jogo 
que acontece no espaço da apreciação social, porque a escola é um espaço de 
posicionamento social (BERTHELOT, apud HADJI, 1994).
Nas escolas, embora a ideia de avaliação esteja próxima da ideia de medida, 
não é fácil situar cada uma separadamente. Ainda que próximas, parece que a ava-
liação implica a medida. “Medir é atribuir um número a um objeto ou a um acon-
tecimento segundo uma regra logicamente aceitável” (GUILFORD apud HADJI, 
1994, p. 273). Ao medir, colocam-se em correspondência objetos e sistemas de 
unidades definíveis com objetivos determinados. Na avaliação, algo similar não é 
possível. As matemáticas qualitativas tornam possíveis operações sobre relações 
entre elementos descontínuos. Surge do quantitativo o qualitativo, constituindo-se 
o ato de avaliar em quebrar a continuidade da cadeia quantitativa.
Para que haja avaliação, é necessária a interpretação de informações, isto é, a 
avaliação é uma nova forma de afirmar que indicadores só podem indicar ou signi-
ficar alguma coisa de acordo com critérios. Embora as duas operações ponhamem 
correspondência um referente ou um sistema de grandezas e um objeto, a palavra 
final sobre avaliação e medida não foi dada. Assim, avaliação e medida são polos 
opostos das operações de leitura da realidade, e se essas operações são da mesma 
estrutura, os instrumentos de leitura não são da mesma natureza.
A avaliação, como prática de investigação, difere da avaliação na perspec-
tiva da classificação; configura-se pelo reconhecimento dos saberes múltiplos, 
lógicas e valores que permeiam o conhecimento. Dessa forma, a avaliação vai 
sendo constituída como um processo que questiona os resultados apresenta-
dos, os percursos feitos, os previstos, as relações estabelecidas entre pessoas, 
Avaliação em Matemática
205
saberes, informações, fatos e contextos. Não para quando há erro ou acerto, não 
faz relações superficiais entre o que se observa e os processos que o atravessam. 
Busca discutir o visível e procura pistas do que é conduzido à invisibilidade. O 
que ainda não sabe é indício da necessidade e da possibilidade de ampliação do 
conhecimento já consolidado (ESTEBAN, 2001).
A avaliação é pertinente quando, numa situação de tomada de decisão, 
deixa claros os eixos de questionamento do produto e se organiza oferecendo 
elementos fundamentados de respostas a questões propostas com clareza. Se 
o avaliado sabe sobre o que é questionado, pode tirar proveito disso e, assim, 
compreender que a avaliação é diálogo. O mais importante, numa avaliação, é o 
fato de ela ser verdadeiramente informadora. É pertinente quando proporciona 
boa comunicação. A avaliação deve oferecer ao aluno informação compreensí-
vel e útil. Muitas vezes, a informação é implícita.
Lacueva (1997) propõe que a avaliação esteja centrada em uma ajuda para 
que os alunos continuem aprendendo mais; que a escola seja um mundo cul-
tural rico, oferecendo múltiplas experiências formativas e avaliando-os em con-
textos naturais como apoio para a aventura de aprender. A avaliação deve dar 
conta dos logros dos alunos, contribuindo para que estes tomem consciência 
de seus êxitos, do que sabem, do que dominam; base fundamental para seus 
futuros esforços. Também deve conscientizá-los de suas lacunas, erros e insufici-
ências, porém considerando esse fato normal, esperado e natural de alunos em 
aprendizagem. Os erros, lacunas e outras ocorrências devem ser considerados 
superáveis e trabalhados para que realmente o sejam. A avaliação deve ser des-
vinculada da ideia de prêmios, castigos, seleção de bons e ruins, da ideia de uma 
hierarquização cristalizada. Deve centrar-se sobre os trabalhos e ações concretas 
dos alunos, e não sobre sua pessoa como tal.
A excessiva preocupação com o produto da avaliação leva ao mito da nota 
verdadeira. Esse problema só é resolvido se deixarmos de dar tanta atenção ao 
produto e centrarmos nosso interesse no processo de produção para conhecê-
-lo, melhorando-o e ajudando o produtor. A avaliação ainda tem desviado sua 
função diagnóstica e se voltado, quase exclusivamente, para a função classifi-
catória, pela competição incentivada pelo modo de vida da sociedade. Assim, 
a avaliação tem frequentemente definido a trajetória escolar do aluno, às vezes 
pela sua retenção, pela sua eliminação da escola, e até pela escolha do tipo de 
profissão que exercerá no futuro (BURIASCO, 2000).
Se a avaliação for libertada da tentação objetivista da medição, poderá nutrir 
um diálogo permanente que permitirá ao aluno-aprendente cogerir as suas 
206
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
aprendizagens e, com a ajuda do professor, perceber o estado em que se en-
contra. O avaliador deve evitar as armadilhas do objetivismo, do autoritarismo, 
do tecnicismo, do excesso interpretativo. Ele, na qualidade de formador, aprecia, 
não decreta, e perceber isso é uma virtude. 
Nessas condições, o avaliador determina objetivos, constrói sistemas de 
referência e de interpretação, reúne e utiliza instrumentos adequados como 
situações-problema, instrumento de observação, de comunicação e auxilia no 
desenvolvimento de um processo. Portanto, o avaliador precisa de sobriedade 
para evitar abuso de poder, de humildade e respeito pelos outros, de modéstia 
para não achar que sabe e compreende tudo e não criar modelo à sua imagem 
(HADJI, 1994). O avaliador não deve acrescentar elementos em excesso, deve 
usar da simplicidade e da economia de meios: “enxergar” apenas o que existe.
A avaliação tem ainda como papel ajudar a melhorar o ensino, ou seja, tra-
balhar em função de melhorar a aprendizagem. A conversa do professor com o 
aluno sobre os seus erros e acertos contribui para a conscientização dos pontos 
fortes e fracos, contribuindo também para a aprendizagem e superação de 
falhas. Esse diálogo propicia ao aluno a familiaridade com as formas de avaliar 
com critérios, contribuindo, por sua vez, para que ele se torne mais independen-
te do professor e responsável pela sua própria aprendizagem. Assim, orientado 
pelo professor, cada vez mais o aluno passa a ser o proponente das medidas de 
intervenção (LACUEVA, 1997).
Porém, ainda hoje,
[...] o erro é considerado, pela maioria das pessoas, uma espécie de disfunção, uma anomalia, 
portanto, o ideal é a ausência de erro. [Os erros] são tomados como um tipo de índice de que 
o aluno não sabe fazer, não estuda, e não como um índice no qual o aluno sabe alguma coisa 
parcialmente, talvez de forma incorreta, e que, portanto, é preciso trabalhar com ele para, a 
partir daí, construir um conhecimento correto. (BURIASCO, 2000, p. 10)
Ainda segundo Buriasco (2000), é necessário distinguir as categorias dos 
erros, em qualquer perspectiva, e utilizar condutas pedagógicas apropriadas já 
existentes, na busca da superação dos mesmos.
Para preparação de uma avaliação criteriosa, diagnóstica e reguladora, Hadji 
(1994) apresenta os seguintes ensinamentos:
pôr a avaliação a serviço da regulação da ação pedagógica; �
não apenas situar, mas dar ao aluno elementos de análise e compreensão �
da sua situação, a fim de progredir em direção ao objetivo pretendido;
Avaliação em Matemática
207
para avaliar corretamente, não é necessário esperar que se torne especia- �
lista no domínio da aprendizagem; o avaliador se esforça para determinar 
e propor alvos claros;
a avaliação está a serviço da regulação, mas não se confunde com ela. O �
avaliador está como intermediário ou mediador entre aquele que sabe 
como se aprende e o que imagina como se poderia levar a aprender;
apesar das dificuldades, devem-se fazer tentativas de realizações das prá- �
ticas, porque não é preciso estar convicto do sucesso para iniciar uma 
atividade e porque a reflexão sobre o risco permite compreender trajeto 
pertinente à avaliação formativa.
A avaliação não se reduz a uma produção de informações: não se trata so-
mente de ordenar procedimentos e elaborar instrumentos para coletar dados; é 
necessário tratá-los e prever modalidades de tratamento de informação, quan-
titativa ou qualitativamente. É uma leitura da realidade a partir de uma matriz 
de referência para estabelecer uma relação, de onde vem o juízo que a define. É 
somente após os níveis e tipos de comparação referente/referido que se podem 
decidir as modalidades de recolha de informação, ainda que estas se provem 
inúteis. Portanto, para que haja um dispositivo, é necessário um plano prévio, e 
para o levantamento de informações é preciso saber quais informações coletar.
Como o ato de ensinar é um ato de formação, qualquer avaliação dos alunos é 
também avaliação das ações de formação realizadas pelo professor. Desse modo, 
não tem sentido uma avaliação de um aluno da qual o professor não tire para 
si nenhum ensinamento, exceto se este não estiver em situação de formação. 
Um instrumento é um utensílio que facilita uma práxis. Para se avaliar o aluno, 
normalmente utilizam-se exercíciosou problemas com os quais ele será con-
frontado. A observação-análise-interpretação desse comportamento do aluno é 
o que temos chamado de avaliação. São postos em jogo outros instrumentos de 
análise ou de interpretação.
Uma tabela desempenha o papel de instrumento de análise, de modelo de 
competência cognitiva, de instrumento de interpretação. A avaliação das ações 
de formação conduz à utilização de instrumentos em diferentes níveis. O ques-
tionário é um instrumento de observação indireta a quente quando é utiliza-
do no final de uma sequência de formação e, a frio, depois de algum tempo. 
O questionário suscita um discurso que deverá ser analisado e interpretado. É 
necessário passar de uma linguagem de observação para a da teoria, ou seja, 
um modelo ou paradigma que orienta a ação do observador. Para comunicar a 
avaliação, utilizam-se pauta, caderneta, relatórios etc.
208
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Os instrumentos apropriados às avaliações preditiva, formativa e somativa se 
organizam essencialmente em torno de instrumentos destinados à orientação 
dos alunos ou dos formandos, instrumentos destinados a facilitar a regulação 
das aprendizagens e instrumentos de certificação. Não há nenhum instrumento 
que não pertença à avaliação formativa. Todo instrumento que permitir com-
preender e gerir os erros dos alunos será adequado a esse tipo de avaliação. “O 
que é formativo é a decisão de pôr a avaliação a serviço de uma progressão do 
aluno e de procurar todos os meios susceptíveis de agir nesse sentido” (HADJI, 
1994, p. 165). Todos os instrumentos que servem para provocar atividades são, 
ao mesmo tempo, instrumentos de aprendizagem e avaliação. O ideal seria dia-
logar com o aluno enquanto efetua sua aprendizagem. 
Hadji (1994) classifica os instrumentos segundo o seu papel no processo de 
ensino ou formação/avaliação em:
instrumentos ou meios de retenção e informações; �
instrumentos de trabalho ou de ajuda ao trabalho do aluno; �
instrumentos de comunicação social dos resultados da avaliação. �
Os professores poderão conduzir os alunos a se beneficiarem de instrumen-
tos de autoanálise e autoavaliação, fazendo um esforço para formalizar as suas 
próprias regras e critérios de produção e de juízo. Para o instrumento de trabalho 
ou de ajuda ao aluno, poderão ser utilizadas fichas de trabalho, um documento 
escrito que mencionará o objetivo pedagógico, a tarefa concreta a efetuar, as 
condições de realização e os critérios de avaliação.
Há uma boa hipótese de que o aluno aprende melhor quanto maior for a 
sua autonomia, hipótese na qual se fundamenta a ideia de avaliação formadora. 
Hadji (1994, p. 172) lembra que “a mais radical insuficiência de uma nota bruta é, 
sem dúvida, a de nada dizer de concreto ao aluno, para além de uma indicação 
de ordem em relação aos outros alunos”.
Observar, prescrever e avaliar implica em responder respectivamente o que é 
ou o que há, o que deveria haver ou fazer, e o que isso vale (não o quanto vale). 
Assim, o encontro do ser e do dever se manifesta sobre o valor do ser, isto é, distin-
gue-se do medir, pois medir é apreender um objeto físico, adotando uma escala 
numérica. Uma medição é traduzida por números; uma avaliação, por palavras.
Os instrumentos de informação têm três funções principais, conforme des-
taca Hadji (1994). São elas: desencadear, observar e comunicar. Desencadear o 
Avaliação em Matemática
209
comportamento significativo que será observado, de permitir recolher informa-
ções e permitir transcrever e comunicar a avaliação efetuada. Sendo que “[...] o 
critério último do valor de um estudo da avaliação é o seu efeito sobre a prática 
cotidiana” (STUFLEBEAM, apud HADJI, 1994, p. 177). É papel do avaliador ser o 
mediador que estabelece ligação entre um observador e um prescritor. 
O avaliador precisa entregar uma mensagem que faça sentido para aqueles 
que a recebem e, ao responder à pergunta “por que avaliamos”, caracterizam-se 
filosofias da avaliação definidas com intenções de um especialista que sonha 
aferir a realidade; de um juiz que deseja apreciar a realidade; e de um filósofo ou 
intérprete que gostaria de compreender melhor o que se passa ou se passou, 
construindo um referente [sistema de interpretação] (HADJI, 1994).
Ainda de acordo com Hadji (1994), avaliamos porque o nosso conhecimento 
é imperfeito. Julgamos porque não nos contentamos com o próprio ser e porque 
temos uma ideia de uma perfeição possível da qual precisamos nos aproximar. 
Interpretamos porque não nos satisfazemos com um saber positivo e porque 
queremos, além de conhecer, compreender.
O avaliador precisa se interrogar sobre o uso social real da sua atividade de 
avaliação, precisa refletir sobre os perigos da avaliação e das suas competências, 
pois medir não é a essência da avaliação, mas criar distanciamento em relação à 
ação cotidiana para fazer “o ponto da situação” em relação às intenções ou aos 
projetos (HADJI, 1994).
Para avaliar a aprendizagem de forma mais significativa, o avaliador deve 
considerar o erro como um vigoroso objeto de estudo. A educação matemática 
tem discutido a importância de se tratar adequadamente o erro para que este 
passe a ser uma possibilidade e uma realidade permanente na construção do 
conhecimento.
Se a pretensão é a de trabalhar o erro cometido nas resoluções de problemas 
nas aulas de Matemática como um elemento importante para se ensinar a maté-
ria, o professor deve estar atento aos diferentes tipos de erros cometidos pelos 
alunos e proporcionar-lhes condição de percebê-los e de superá-los. Só assim 
estará tratando do erro na perspectiva de um “acontecimento” que é natural no 
processo de aprendizagem.
O erro quase sempre foi tratado como um fracasso, conduzindo a punições. 
A cultura do erro enquanto fracasso tem aos poucos perdido espaço para uma 
cultura que o admite como elemento; e, ao contrário do que muito tempo se 
pensou, ajuda na construção do conhecimento. 
210
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Para Bodin (apud BURIASCO, 2000, p. 11), é possível lidar com o erro em quatro 
patamares.
(1) Erros de saber: o aluno não sabe uma definição, uma regra, um algoritmo 
etc.
(2) Erros de saber-fazer: o aluno não sabe utilizar corretamente uma técnica, 
um algoritmo etc.
(3) Erros ligados à utilização adequada ou não dos saberes ou do saber-fazer. 
Por exemplo, o aluno não reconhece que a utilização da relação de Pitágo-
ras seria adequada para a resolução de um certo problema.
(4) Erros de lógica ou de raciocínio: o aluno confunde hipótese e conclusão, 
encadeia mal os cálculos, tem dificuldade em lidar com os diferentes da-
dos do problema proposto. 
Buriasco (2000) lembra que as duas últimas perspectivas podem ser utilizadas 
em análise/interpretação de uma avaliação do rendimento daquelas de grande 
porte, e que não subsidiam uma análise/interpretação das causas do erro no 
nível de cada aluno e de sua concepção do saber em relação aos fatores que in-
terferem ou influenciam essa mesma concepção. Portanto, não são as mais ade-
quadas para a análise/interpretação dos erros da avaliação da aprendizagem.
Ainda de acordo com essa autora, estudos atuais em educação matemática 
indicam uma perspectiva com base na situação didática explicada por meio de 
relações existentes no triângulo que segue:
Professor
SaberAluno
Então, segundo essa ideia, a análise dos erros pode ser conduzida em relação 
ao desenvolvimento psicogenético, em relação às dificuldades internas próprias, 
às expectativas recíprocas professor-aluno, ou em relação a escolhas didáticas, 
podendo-se ter interpretações diferentes de um mesmo erro.
Avaliação em Matemática
211
Segundo Piaget (apud PINTO, 2000, p. 39), não interessa o erro, mas a ação 
mental; erro e acerto são detalhes dessa ação mental. Para ele,as respostas dos 
alunos são apresentadas, ordenadas e classificadas em três níveis: 
1. no primeiro nível, o aluno é indiferente ao erro;
2. no segundo, o da tentativa, o erro aparece como um problema a ser re-
solvido;
3. no terceiro nível, o erro passa a fazer um sentido ao aluno, e este adquire 
uma certa autonomia na construção do conhecimento.
Assim, ao avaliar os erros matemáticos, não se pode, pelo fato de os alunos 
cometê-los, considerar estes incapazes. Ao contrário, deve-se tomar esses erros 
para orientar e direcionar o processo de ensino e aprendizagem.
Para melhor compreender os erros cometidos nas aulas de Matemática, é im-
portante que o professor ofereça aos seus alunos tipos diferentes de atividades 
e que também, ao avaliá-los, utilize-se dos mais diversos tipos de instrumentos 
ou recursos.
Texto complementar
Avaliar: ato tecido pelas imprecisões do cotidiano
(ESTEBAN, 2004)
Relato uma das cenas que presenciei numa sala de aula:
A professora vai dar um ditado. Distribui as folhas e pede às crianças que a 
acompanhem dobrando a folha para fazer os vincos que demarcam o espaço 
destinado a cada palavra. Divide a folha em 8 partes, reproduz a folha dividi-
da no quadro-negro enumera cada uma das partes, pedindo sempre que as 
crianças façam com suas folhas o mesmo que ela está mostrando.
Começa o ditado e vai observando como cada criança escreve a palavra 
e, depois de verificar todos os exercícios, escreve a palavra no quadro-ne-
gro. Após a segunda palavra, vai à mesa de Gabriel e pergunta: – Você está 
colando? 
212
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Gabriel havia escrito corretamente as duas palavras. A professora manda 
que ele mude de lugar. Dita a terceira palavra. Aproxima-se de Gabriel, olha 
sua folha, esta palavra estava escrita errada. A professora desta vez afirma: – 
Você estava colando.
A partir da quarta palavra, pergunta quem gostaria de ir ao quadro para 
escrevê-la. Na sexta palavra Gabriel pede para ir ao quadro, a professora per-
mite e em vez de dizer a palavra que deveria ser escrita, pergunta a Gabriel 
que palavra ele gostaria de escrever. Ele diz: sapo. A professora dita sapo para 
toda a turma e ele, com ajuda da professora, escreve sapo corretamente no 
quadro.
A professora dá um grande sorriso e pede aplausos.
Vejo neste fato duas situações contraditórias que mostram como os recor-
tes e colagens feitos no processo de avaliação produzem resultados parciais 
e conclusões provisórias. No primeiro momento, poderíamos afirmar que a 
atitude da professora dá indícios de sua descrença na capacidade de Gabriel, 
a quem desqualifica, deixando evidente que ele não sabe fazer o exercício cor-
retamente. A avaliação pode ser vista como um impedimento à aprendizagem 
de Gabriel, pois se limitando à classificação da resposta da criança, segundo 
o padrão previsto, a professora destaca que a criança não sabe. Saber e não 
saber são interpretados como opostos e excludentes, sendo ao não-saber atri-
buído um valor negativo; sequer se estabelece a relação entre acerto e saber, 
erro e não-saber. Gabriel tantas vezes mostrou seus erros, sua dificuldade, e 
agora, mesmo acertando, sua resposta confirma sua incapacidade, seu desco-
nhecimento, evidenciado na conclusão da professora: “você está colando”.
Olhando para este fragmento, e sempre o que vemos são fragmentos, con-
firmamos que a avaliação é um instrumento de classificação e exclusão, não 
contribuindo para a dinâmica ensino/aprendizagem. Mesmo fornecendo in-
formações para a professora sobre o movimento de aprendizagem/desenvol-
vimento infantil, o tipo de informação que disponibiliza e o modo como ela 
é interpretada, consolidam o olhar da falta, mostrando apenas o que Gabriel 
não sabe e sua impossibilidade de aprender. Só acerta porque está colando. 
No entanto, esta história não começa, nem termina, aí. Aliás, nenhuma 
história começa e termina nos pontos que presenciamos ou elegemos como 
princípio e fim. A dinâmica da sala de aula traz um momento seguinte e 
Avaliação em Matemática
213
coloca em discussão todas as conclusões que acabei de apresentar. A profes-
sora, que parecia convencida da avaliação negativa feita de Gabriel, aceita 
quando o menino se apresenta para ir ao quadro-negro. Mais do que isso, 
permite que ele escolha a palavra do ditado e o ajuda a escrevê-la.
Neste momento, a avaliação adquire novo sentido, se insere de outro 
modo no processo ensino/aprendizagem e a relação entre professora e 
aluno se reveste com novos matizes. Tomando como referência a primeira 
cena, a autorização da professora para que a criança fosse ao quadro-negro 
sugere que este momento seria usado para ela expor e confirmar ao menino, 
e para todo o grupo, seu não-saber. Porém, sua ação rompe com o que seria 
previsível e ela se coloca em parceria com Gabriel para ajudá-lo a concluir 
satisfatoriamente a atividade. 
Compartilhando a escrita com Gabriel, a professora abandona, pelo 
menos naquele momento, a dicotomia acerto/erro, saber/não-saber, tecida 
a partir de um padrão fixo e predefinido de conhecimento, desenvolvimento 
e aprendizagem, que caracteriza a avaliação classificatória, realiza uma ava-
liação que informa sobre os conhecimentos e desconhecimentos de Gabriel, 
informação para ajudá-lo. Quando Gabriel erra pela primeira vez na escri-
ta da palavra, a professora não ressalta seu erro e paralisa a atividade. Jo-
gando com os conhecimentos revelados, aos quais potencializa, e com os 
desconhecimentos, que mostram as informações que se fazem necessárias, 
a professora ensina o que o menino demonstra precisar/querer aprender. 
Possivelmente vai aprendendo como melhor ensinar a Gabriel e se tornar 
melhor professora.
No diálogo, a avaliação que a professora faz de cada movimento do 
menino lhe dá pistas sobre qual deve ser sua intervenção para favorecer o 
processo ensino/aprendizagem. A avaliação, como prática de classificação, 
revelada no primeiro momento desta história, foi substituída, no segundo 
momento, pela avaliação como um processo de investigação, como meio 
para a reflexão docente sobre sua ação e sobre a atividade infantil e como 
parte significativa do processo de construção de conhecimentos da criança 
e da professora. Cada resposta do menino ia sendo apreendida pela profes-
sora imersa na tensão conhecimento/desconhecimento, cada resposta indi-
cava simultaneamente seu saber e seu ainda não-saber.
214
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Dicas de estudo
Ler o livro: Avaliação - uma prática em busca de novos sentidos.
Autora: Maria Teresa Esteban.
Coleção: O Sentido da Escola.
Editora: DP&A.
A obra discute a reconstrução do sentido da avaliação. Explora a questão da 
importância de a avaliação deixar de ser instrumento de classificação, seleção 
e exclusão social e se tornar uma ferramenta para professores comprometidos 
com a construção coletiva de uma escola de qualidade para todos.
Atividades
1. Quando a avaliação assume o objetivo de guiar e orientar, é possível distin-
guir três objetivos. Quais são eles?
Avaliação em Matemática
215
2. Segundo Hadji, o que é uma avaliação formativa?
3. Cite três exemplos de instrumentos de avaliação.
Aprender sem medo: 
o relacionamento afetivo entre 
aquele que ensina e aquele que aprende
Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho
O movimento de Educação Matemática trouxe ao ensino dessa disci-
plina muitas descobertas, novos desafios e novas perspectivas sobre o 
que é o aprender Matemática, como esse aprender acontece e como as 
diversas pessoas envolvidas – professores, alunos, pais, diretores escolares 
– relacionam-se e encaram novas possibilidades.
O fato de que os resultados afetivos, procedentes da metacognição e 
da dimensão afetiva dos alunos e professores, interferem e podem deter-
minar aqualidade da aprendizagem, foi, por muito tempo, ignorado.
No final da década de 1980 e durante os anos 1990, esse quadro sofreu 
profundas alterações, principalmente influenciado pelos trabalhos do 
educador matemático McLeod (1988; 1989; 1992), que mostraram a influ-
ência dos aspectos afetivos no processo educacional, determinando que 
as questões afetivas têm um papel crucial no ensino e na aprendizagem 
de Matemática.
Algumas questões passaram a ser consideradas mais atentamente:
O que é a dimensão afetiva em Matemática? �
Qual o significado dos afetos em Matemática? �
Há algum tipo de ensino melhor do ponto de vista da dimensão �
afetiva?
Qual o papel do professor nessa dimensão? �
O domínio afetivo
Não há uma definição clara sobre o que é afeto ou domínio afetivo. De 
fato, definir claramente o afeto seria inserir uma racionalidade no emo-
218
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
cional. Para Chacón (2003), a definição mais utilizada é a de equipe de educado-
res de taxonomia dos objetivos da Educação que aceita como domínio afetivo 
tudo o que se refere ao âmbito da afetividade. Nessa definição, estão inclusas as 
crenças, atitudes, considerações, gostos e preferências, emoções, sentimentos e 
valores.
McLeod (1989) toma o termo “afeto” de maneira geral e usa a expressão “do-
mínio afetivo” para se referir a um conjunto extenso e não bem delimitado de 
sentimentos e de humor (estados de ânimo) que diferem da pura cognição.
Os descritores do domínio afetivo são as crenças, as atitudes e as emoções.
As crenças
As crenças matemáticas fazem parte do domínio subjetivo e estão ao redor de 
todos os que são relacionados com a Matemática, seu aprendizado e seu ensino: 
professores, alunos e pais.
Considera-se que há fatores conscientes e inconscientes atuando no estabe-
lecimento das crenças que os sujeitos trazem, sendo que os fatores inconscien-
tes parecem mais relevantes no domínio afetivo por serem mais complexos e 
marcantes ao sujeito.
As crenças do estudante são classificadas em crenças sobre a Matemática (sobre 
o objeto), sobre si mesmo, sobre o ensino da Matemática e sobre o meio no qual 
a educação matemática acontece (contexto social e cultural) (MCLEOD, 1992). São 
consideradas crenças sobre a Matemática como disciplina (os alunos desenvolvem) 
e crenças dos estudantes (e do professor) sobre si mesmos e sua relação com a Mate-
mática. Esse último eixo possui um forte componente afetivo, incluindo crenças re-
lativas à autoconfiança, ao autoconceito e às causas do sucesso ou fracasso escolar. 
São crenças relacionadas à noção de metacognição e autoconsciência.
As atitudes
A atitude é considerada como uma pré-avaliação (positiva ou negativa) que 
determina as intenções pessoais e influi no comportamento (HART, 1989). A ati-
tude constitui-se de três componentes: um cognitivo, que se manifesta nas cren-
ças implícitas; um afetivo, que se manifesta na aceitação ou repúdio das tarefas 
propostas ou da matéria; e um intencional, que representa a tendência a um 
certo tipo de comportamento.
Aprender sem medo: o relacionamento afetivo entre aquele que ensina e aquele que aprende
219
Se o objeto em questão é a Matemática, duas grandes categorias são distin-
guidas (CHACÓN, 2003):
atitudes em relação à Matemática; �
atitudes matemáticas. �
As atitudes em relação à Matemática referem-se ao destaque dado à disci-
plina, bem como ao interesse por essa matéria e ao seu aprendizado. O aspecto 
afetivo é central nessas questões e, usualmente, mais intenso do que o cogni-
tivo. O afetivo manifesta-se em termos de interesse, curiosidade, respeito pelo 
professor, satisfação, angústia, medo, tédio, pressa e ansiedade. 
As atitudes matemáticas, ao contrário, restringem-se aos aspectos cognitivos 
e referem-se ao modo de se utilizarem capacidades gerais como flexibilidade e 
agilidade de pensamento, espírito crítico, objetividade, generalização etc.
As atitudes não se restringem ao campo consciente; muitas delas, ao contrá-
rio, pertencem à ordem do inconsciente e podem ser encaradas sob a perspec-
tiva psicanalítica.
O papel do professor e suas atitudes: aspectos in-
conscientes
Ao mostrar que os fenômenos da sala de aula envolvem aspectos subjetivos, 
ou seja, referem-se aos fatores humanos muito mais do que aos técnicos, o para-
digma da Psicanálise abre um caminho novo e frutífero aos professores: o da 
busca pela compreensão dos desejos, de boas relações do indivíduo consigo 
mesmo e com o outro. A preocupação com as pessoas apresenta-se como uma 
forma mais humanitária, considerando os fatores culturais e sociais.
Blanchard-Laville (1992) explora ideias da Psicanálise, que aborda fatores da 
ordem do inconsciente, visando às aplicações para o treinamento de professores 
de Matemática. A autora está preocupada com a pesquisa de metodologias para 
ajudar professores a melhorar a prática efetiva e a buscar uma compreensão de 
suas atitudes em sala de aula. Baseada nas próprias experiências, percebeu as-
pectos de dimensão psíquica e de relações humanas presentes em classe, consi-
derando que professores e alunos são, antes de mais nada, seres humanos.
A autora caracteriza o professor como líder em sala, aquele que é responsável 
pela atmosfera, pelo ambiente criado, no qual a reação dos alunos diante de 
220
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
determi nadas circunstâncias é mais consequência das atitudes do professor do 
que propria mente pertencente aos alunos.
Explorando os processos subjetivos inerentes à sala de aula, tomados por 
meio da centralidade na figura do professor que, por intermédio da linguagem 
e de atitudes, faz suas colocações, defende que esse profissional sofre diversos 
tipos de pressões ou tensões internas. Para Blanchard-Laville, o professor impõe 
a si mesmo ou, ainda, seu inconsciente impõe diversos tipos de pressões inter-
nas, mesmo que ele não tenha pleno conhecimento (consciente) disso, o que em 
Psicanálise é chamado de repetições compulsivas. 
O professor sofre, dessa maneira, grande influência sobre as decisões e esco-
lhas que toma diante das diversas situações vivenciadas em sala. A elaboração 
de uma análise interna do sujeito, visando modificar as condições psíquicas que 
causam esses desconfortos, seria necessária e foi objeto de pesquisa da autora 
durante vários anos. 
O trabalho envolve a identificação não somente das atitudes do mestre em 
sala, mas também dos motivos, principalmente de ordem emocional, como 
ansiedade, medo ou satisfação que determinam tais atitudes. Para a autora, o 
professor cria uma imagem a si e aos alunos, por exemplo, de competência, se-
gurança etc., que, gerando um certo equilíbrio psíquico, torna-se difícil de ser 
modificada, diminuindo as tensões internas desse profissional. Lidar com esses 
objetos, que podem ser tomados como pertencentes à ordem do inconsciente, 
leva a uma modificação interna do sujeito e à descoberta de si e de sua relação 
com a fantasia.
As emoções
As emoções são respostas organizadas, além da fronteira dos sistemas psi-
cológicos, incluindo o fisiológico, o cognitivo, o motivacional e o sistema expe-
rimental. Surgem como resposta a um acontecimento interno ou externo, que 
possui uma carga de significados positivo ou negativo para o indivíduo.
As crenças dos alunos e professores sobre o papel que cada um desem penha 
na estruturação da realidade social da sala de aula – dentro da qual se ensina 
e se aprende – dão consistência ao significado dos atos emocionais (CHACÓN, 
2003).
Aprender sem medo: o relacionamento afetivo entre aquele que ensina e aquele que aprende
221
O significado do afeto
Os aspectos mais destacados que se referem às consequências dos afetos 
são:
o impacto que existe em como os alunos aprendem e utilizam a Mate- �
mática; os afetos determinamos aspectos pessoais em que funcionam os 
recursos, as estratégias e o controle ao trabalhar as tarefas matemáticas;
a influência na estrutura do autoconceito como aprendiz de Matemática; �
as interações produzidas com o sistema cognitivo; �
a influência na estruturação da realidade social da sala de aula; �
o obstáculo que representa para um aprendiz eficaz – os alunos que pos- �
suem crenças rígidas e negativas sobre a Matemática e sua aprendizagem 
são, em geral, aprendizes passivos e trabalham mais a memória do que a 
compreensão.
Para Chacón (2003), a relação que se estabelece entre afetos – crenças, atitu-
des e emoções – e aprendizagem é cíclica: por um lado, a experiência do estu-
dante ao aprender Matemática provoca diferentes reações e influi na formação 
de suas crenças. Por outro, as crenças defendidas pelo sujeito têm consequência 
direta em seu comportamento, em situações de aprendizagem e em sua capa-
cidade de aprender.
Atitudes positivas 
e/ou negativas 
para a 
Matemática
O ensino de Matemática não está alheio às concepções sobre o que é o co-
nhecimento matemático; muitas ideias sobre essa disciplina baseiam-se nas di-
222
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
ferentes visões da filosofia da Matemática. Por isso, cabe aos professores con-
frontarem-se com as próprias visões que têm da Matemática e que, sem dúvida, 
influenciam as práticas de ensino.
Desenvolver a dimensão afetiva
A maioria das pesquisas que explora a dimensão afetiva em educação mate-
mática restringe-se a mostrar quais as crenças, as atitudes e as emoções que os 
sujeitos envolvidos na sala de aula de Matemática experimentam. Pouco ainda 
se conhece sobre estratégias metodológicas que incorporem a dimensão emo-
cional do sujeito e ofereçam possibilidades de uma intervenção mais produtiva.
Chacón considera que a prática escolar, no que se refere às competências 
emocionais, melhoraria significativamente se o currículo abordasse os seguintes 
aspectos:
fatores afetivos e crenças sobre a natureza da Matemática; �
Matemática e cultura – a Matemática como conhecimento cultural; �
a influência na história pessoal, nas atitudes e considerações; �
interação entre cognição e afeto; �
o autoconceito do aluno como aprendiz de Matemática. �
O desenvolvimento de dimensão afetiva na sala de aula de Matemática requer 
que situações sejam exploradas para permitir descobrir e liberar crenças limita-
tivas dos alunos, incorporar a emoção e o afeto como instrumentos facilitadores 
e limita dores do conhecimento matemático.
Mapa de humor de problemas
O mapa do humor é um instrumento que, copiando os mapas do tempo, es-
tabelece uma correspondência entre um conjunto de códigos para expressar di-
ferentes reações emocionais experimentadas pelos estudantes e um problema 
previamente estabelecido.
Escolhe-se um conjunto de emoções que aparecem com frequência durante 
a aula de Matemática, especialmente diante da tarefa de resolver um problema.
Aprender sem medo: o relacionamento afetivo entre aquele que ensina e aquele que aprende
223
Por exemplo:
Tipo da emoção Símbolo
Curioso N
Animado 
Desesperado N
Tranquilo b
Apressado 
Aborrecido L
“Quebrando a cabeça” M
Desorientado õð
Prazer Y
Indiferente K
Divertido J
Confiante A
Bloqueado Ï
Texto complementar
Génese e natureza do saber matemático
(PONTE, 1997, p. 10-11)
Natureza dos objectos matemáticos
Qual a natureza dos entes matemáticos, ou seja, a Matemática estuda o 
quê? Esta questão é abordada através de dois prismas de análise. Um, rela-
cionado com a imaterialidade dos objectos matemáticos. Outro, que procura 
olhar estes objectos na sua relação com o sujeito que os conhece ou procura 
conhecer.
224
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Imaterialidade dos objectos matemáticos
Os textos antigos, provenientes das primeiras civilizações orientais do 
Egipto e Babilónia, são demasiado fragmentários para permitir seguir, ao 
pormenor, o processo de constituição de uma aritmética e de uma geo-
metria. No entanto, mostram claramente que os conceitos que aí intervêm 
“dizem respeito apenas a objectos concretos: enumeração de objectos de 
um amontoado, medida de grandezas susceptíveis de adição e subtracção, 
como comprimento, área, volume, peso, ângulo, para cada uma das quais se 
toma uma unidade e muitas vezes os seus múltiplos ou submúltiplos”.
Mais tarde, a partir do século V, surgem, com os pensadores gregos, as 
primeiras demonstrações e com elas a necessidade de precisar noções como 
figura, posição, grandeza, quantidade e medida. Platão mostra claramente 
que estas palavras não designam noções da experiência sensível, referindo que 
os matemáticos se servem de figuras visíveis para estabelecerem raciocínios, 
pensando, contudo, não nelas mas naquilo com que se parecem. Aristóteles 
não deixa de apoiar a ideia da imaterialidade dos objectos matemáticos, re-
ferindo, em particular, que as investigações dos matemáticos incidem sobre 
coisas atingidas por abstracção, de que são eliminadas todas as qualidades 
sensíveis como o peso, leveza ou dureza. Também Euclides, em quem vemos 
pela primeira vez desenvolvidas, segundo o método dedutivo, as proprieda-
des dos objectos matemáticos concebidos por Platão e Aristóteles, não deixa 
qualquer dúvida quando ao facto de ter atribuído a ponto, recta, ângulo, cír-
culo e polígono, o carácter de objectos de pensamento.
Constata-se assim que, pelo menos desde Platão, os matemáticos têm 
consciência de que os objectos sobre os quais raciocinam, embora tendo 
nomes idênticos aos que intervêm em cálculos práticos (números, figuras 
geométricas, grandezas) são seres completamente diferentes, seres imate-
riais obtidos por abstracção, a partir de objectos acessíveis aos sentidos, mas 
de que deles são apenas “imagens”. Esta foi, aliás, uma das grandes ideias 
originais dos gregos: a atribuição às noções matemáticas do carácter de ob-
jectos de pensamento.
Até ao século XVIII, os matemáticos, apesar de reconhecerem a imateriali-
dade e o carácter ideal dos seres com que trabalhavam, tinham deles imagens 
acessíveis aos sentidos. No entanto, a partir dessa altura, para conseguirem 
Aprender sem medo: o relacionamento afetivo entre aquele que ensina e aquele que aprende
225
novos progressos, necessitaram introduzir novos objectos matemáticos que 
deixaram de apoiar-se em “imagens” sensíveis. Aos poucos vai-se delineando 
uma ideia que será aprofundada no século XX: a ideia de estrutura na base 
de uma teoria matemática. Esta ideia relaciona-se com a constatação de que 
numa teoria matemática mais importante do que a natureza dos objectos 
que aí figuram, são as relações entre esses objectos, podendo acontecer que 
em teorias diferentes haja relações que se exprimam da mesma maneira.
Dicas de estudo
Ler o artigo: 
PAROLIN, I. C. H.; SALVADOR, L. H. S. Odeio Matemática – um olhar psicopedagó-
gico para o ensino da Matemática e suas articulações sociais. In: Revista Psicope-
dagogia da Associação Brasileira de Pedagogia, v. 19, n. 59, 2002. p. 31-42.
Atividades
1. Quando o autor McLeod utiliza a expressão “domínio afetivo” , a que está se 
referindo?
226
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
2. De acordo com Chacón, as competências emocionais melhorariam se o cur-
rículo abordasse quais aspectos?
Aprender sem medo: o relacionamento afetivo entre aquele que ensina e aquele que aprende
227
 
228
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho
Os professores e os alunos têm encontrado mais uma dificuldade a ser 
acres centada às já conhecidas, quando o assunto são as aulas de Matemá-
tica: a comunicação1.
A linguagem das aulas de Matemática é bastante específica, com regras 
bem definidas e, por isso, muitosalunos encontram dificuldades não so-
mente com os conceitos matemáticos envolvidos, mas também com os 
desencontros entre os conceitos matemáticos e os termos usados no co-
tidiano dos alunos, com os significados que trazem para a sala de aula de 
Matemática – significados, muitas vezes, oriundos de experiências prévias.
Walkerdine (1990) já alertava para as dificuldades inerentes às opera-
ções aritméticas elementares envolvendo a ideia de “mais” e “menos”. Para 
essa autora, os significados dos sinais utilizados em Matemática (+ e –) são 
produzidos por meio de práticas específicas e estas são sempre discursi-
vas, isto é, instalam-se por meio de processos comunicativos, principal-
mente via linguagem.
A autora comenta, ainda, um estudo em que analisou o significado 
das palavras “mais” e “menos” em situações domésticas cotidianas, en-
volvendo 30 meninas de quatro anos de idade e suas mães. Tomou-se 
como pressuposto que a Educação elementar considera a operação de 
subtração mais complexa do que a de adição, isto é, que “menos” é mais 
complexo que “mais” e que, juntas, essas operações constituem um par, 
um contraste opositivo para descrever a comparação de quantidades. A 
análise das situações, envolvendo mães e filhas, revelaram que, embora 
exemplos de comparações aconteçam em grande número, essas com-
parações não são feitas usando o par “menos/mais”. De fato, a palavra 
“menos” é raramente utilizada, enquanto que “mais” é frequentemente 
aceita em um contexto restritivo, em que a mãe procura regular o consu-
1 O verbete comunicação recebe o seguinte significado: “1. Ato ou efeito de comunicar(-se). 2. Ato ou efeito de emitir, transmitir e rece-
ber mensagens por meio de métodos e/ou processos convencionados, quer por meio da linguagem falada ou escrita, quer de outros 
sinais, signos ou símbolos, quer de aparelhamento técnico especializado, sonoro e/ou visual” (FERREIRA, 1986, p. 443).
A linguagem matemática e os 
(des)encontros com a linguagem cotidiana
230
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
mo de suas filhas. Por exemplo, a mãe tem o hábito de dizer que a filha não pode 
ter “mais” de um produto particular de preço elevado, ou que não pode colocar 
“mais” comida no prato sem ter consumido a já existente (WALKERDINE, 1990, 
p. 53). Para essa autora, o par operatório que é geralmente desenvolvido é “mais” 
e “não-mais” e não, como poderia parecer desejável a um professor de Matemá-
tica, “mais” em contraste com “menos”. Lima (1991, p. 151) comenta:
Os nomes das coisas em Matemática não são geralmente escolhidos de modo a transmitirem 
uma ideia sobre o que devem ser essas coisas. Os exemplos abundam: um número 
“imaginário” não é mais nem menos existente que um número “real”; “grupo” é uma palavra 
que não indica nada sobre seu significado matemático.
Além de termos matemáticos que não têm o mesmo significado que os empre-
gados na linguagem cotidiana, o inverso também ocorre, ou seja, algumas palavras 
de uso diário têm outro sentido no contexto matemático. Bacquet analisa alguns 
desencontros que experimentou com alunos. Um deles se refere a um aluno 
que demonstra espanto ao se deparar com um problema de Aritmética que se inicia 
por “Paul exige ser pago à vista, em dinheiro vivo”. O aluno mostra-se atônico porque 
não entende o que a expressão “à vista” pode significar, associa “à vista” com “vista”, 
“visão”, caso em que o dinheiro passa a ter uma propriedade humana: a visão, ca-
pacidade de enxergar. Outro aluno argumenta, diante de um problema de divisão: 
“Quando eu tenho uma divisão com centésimos eu os risco sempre: o que você quer 
que as pessoas façam com alguns centésimos?” (BACQUET, 2001, p. 38).
Esses exemplos iniciais sugerem que o professor deve atentar para o linguajar 
da sala de aula, que se tornando demasiadamente técnico (como quando do uso 
de expressões utilizadas em Matemática, como “número imaginário”, “número 
real” etc.) não permite a compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos 
ou, por outro lado, sendo demasiado simples, empregando palavras cotidianas, 
perdem o sentido “matemático” que o aluno procura.
O problema da agência de viagens – linguagem 
natural versus linguagem matemática
Falcão (2003, p. 48) argumenta que os processos psicoló gicos envolvidos na 
conceitualização não podem ser descritos como um processo de extração de 
indícios, o qual permitiria uma reprodução mental do mundo empírico. Nesse 
sentido, a formação de conceitos e as respectivas representações simbólicas de-
pendem das características dos meios de simbolização, com especial destaque 
para a linguagem. Inversamente, a simbologia está imersa em um mundo de 
A linguagem matemática e os (des)encontros com a linguagem cotidiana
231
conceitualização: “[...] o mundo não é construído pela linguagem, e sim com a 
linguagem, que é precedida pela ação, pelo gesto e pela imagem mental.” 
Esse autor apresenta uma pesquisa realizada com alunos franceses, com 14 
anos, cursando o equivalente ao último ano do Ensino Fundamental, o 9.º ano 
(antiga 8.ª série) do sistema brasileiro de ensino. Aos alunos foi proposta a tarefa 
de proposição de fórmulas gerais para modelar a sistemática de pagamento de 
salários em agências de viagens fictícias. O salário era calculado em função do 
número de horas trabalhadas (que, variando, constituíam uma parte variável do 
salário) a que se somava o ganho em função do número de passagens aéreas 
vendidas, mais uma parte fixa. 
Falcão estabeleceu parâmetros específicos para cada agência considerada, 
ou seja, o ganho referente ao número de horas dependeria da agência em ques-
tão, bem como do ganho em função do número de passagens aéreas vendidas, 
que deveria ser tomado considerando-se o percentual médio a ser pago por de-
terminada agência de viagem. 
Dessa forma, a fórmula geral, modelo matemático para o problema da agên-
cia de viagens, é dada por S = (Hh) + (Bb) + f, em que S representa o salário 
total a ser recebido; H, o parâmetro salário/hora pago por determinada agên-
cia; h, a variável: número de horas trabalhadas; B, o parâmetro percentual pago 
por bilhete vendido; b, a variável: número de bilhetes vendidos; e, finalmente, f, 
a parte fixa do salário (FALCÃO, 2003, p. 49).
O resultado da pesquisa mostrou que os alunos eram capazes de lidar com 
o problema considerando apenas o salário a ser pago ao funcionário de deter-
minada agência. Porém, quando solicitados a produzir uma fórmula geral, como 
acima, muitos alunos apresentaram enormes dificuldades. 
O quadro abaixo apresenta aspectos das dificuldades encontradas pelo autor 
ao analisar os trabalhos dos alunos na elaboração da fórmula geral descrita 
acima (FALCÃO, 2003, p. 52).
Tipo de dificuldade Descrição
1. Suporte simbólico misto. Utilização de elementos de representação simbólica 
oriundos da linguagem natural e formal.
2. Distinção entre variáveis e parâme-
tros.
Dificuldades de diferenciação entre variáveis e parâ-
metros na proposição de fórmulas genéricas ou equa-
ções correspondentes a dados empíricos modelizados 
ou problemas a pôr em equação.
3. Generalidade da expressão. Dificuldades para trabalhar com entidades literais, pro-
pondo-se frequentemente valores numéricos específi-
cos para os parâmetros da expressão.
232
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Tipo de dificuldade Descrição
4. Caráter sintético da expressão. Dificuldade em propor expressão única, capaz de su-
marizar todas as relações pertinentes ao problema ou 
modelo.
5. Gestão da ordem de prioridade 
das operações indicadas pela expres-
são.
Ausência de marcadores formais que auxiliem a expli-
citação da ordem de prioridade de operações, como 
parênteses, colchetes, barras em expressões fracioná-
rias.
Tais dificuldades, como bem observa o autor, não podem ser consideradas res-
tritas aos conteúdosalgébricos, como o exemplo em questão, nem a problemas 
operatórios envolvidos em Aritmética ou relacionados a operadores lógicos.
Há, nesses fatores, dificuldades imbricadas referentes à modelização matemáti-
co-algébrica e que se relacionam tanto com representação simbólica das relações 
detectadas como também com os aspectos conceituais relacionados à Álgebra 
(noções de variável e parâmetro, ordem de operações, sumarização etc.).
A língua corrente apoia-se numa quantidade considerável de meios auxiliares, tanto 
prosódicos quanto pragmáticos-contextuais, como a flexão, a pontuação, melodia, ritmo; 
a notação matemática, por sua vez, busca expressar estruturas por meios exclusivamente 
formais. Do ponto de vista conceitual matemático, a passagem de um código a outro implica 
uma atividade mediadora que abrange a identificação de variáveis (conhecidas e a calcular), 
parâmetros e relações, mobilização de conceitos matemáticos os mais diversos (proporcio-
nalidade, números negativos, por exemplo), mobilização de algoritmos e, somente então, 
consideração de regras sintáticas específicas para, por exemplo, codificação de ordem de 
operações no âmbito de expressões complexas (FALCÃO, 2003, p. 53).
Existem estudos (LINS; GIMENEZ, 1997; LIMA, 1996) comprovando que a pas-
sagem da linguagem natural à linguagem algébrica, simultaneamente, exige 
conceitos preestabelecidos na criança e auxilia a construção dos mesmos. Os 
procedimentos didáticos para efetuar tal passagem podem ser abordados con-
siderando-se de forma conjunta a Álgebra e a Aritmética desde os anos iniciais 
do Ensino Fundamental. Na verdade, tal atitude encontra suporte no âmbito da 
educação matemática.
Os desencontros da linguagem matemática
Uma alternativa ao professor que percebe as dificuldades de comunicação 
inerentes à sala de aula de Matemática é possibilitar aos estudantes que inte-
rajam, que discutam significados, que resolvam problemas de maneira grupal 
e compartilhem impressões. É bem conhecido (MAHER; MARTINO; PANTOZZI, 
1995) que os estudantes ouvem os colegas, prestam atenção ao que dizem, refle-
A linguagem matemática e os (des)encontros com a linguagem cotidiana
233
tem sobre esses dizeres e sobre os próprios e, finalmente, compartilham os pró-
prios pensamentos. Nesses momentos de interação social, o professor assume o 
papel de guia, daquele que orienta o desenvolvimento de seus alunos.
Dessa forma, o aprendizado dirigido permite a criação de um ambiente 
escolar que prima pelo aprendizado sob uma perspectiva qualitativa, no qual 
os estudantes são encorajados a desenvolver o conhecimento matemático por 
meio de questiona mentos, de dúvidas, de percepções.
Não se trata de, procurando desenvolver um ensino mais significativo, con-
siderar como válidas, na sala de aula de Matemática, atividades do cotidiano do 
aluno com seus significados próprios. Nem, ao contrário, apenas restringir-se aos 
formalismos matemáticos de todos os problemas advindos da comunicação. A 
via é de mão-dupla; tanto um lado, como o outro, precisam ser considerados.
Para Meira (1993, p. 27), a linguagem utilizada na sala de aula de Matemática 
pode ser considerada sob uma perspectiva de prática matemática, como ativi-
dade cotidiana.
A atividade matemática escolar constitui uma prática cultural que pode 
encontrar em si mesma os conteúdos e mecanismos para a construção de 
significados. Para tanto, é necessária uma “engenharia didática” que pesquise 
situações verda deiramente problemáticas para a investigação em sala de aula 
e realize etnografias do contexto escolar, no sentido de descrevê-lo e explicá-
-lo exaustivamente. Essa engenharia pode incluir, por exemplo, a elaboração 
de discussão em que os alunos experienciem a construção e comunicação de 
argumentos matemáticos sólidos, na defesa de ideias matemáticas familiares 
ou em exploração. Esse processo de comunicação e argumentação em sala de 
aula torna explícita a ideia da prática matemática escolar como uma ativida-
de real e cotidiana, na medida em que sua linguagem e seus procedimentos 
tornam-se familiares aos outros.
A Matemática não pode ser concebida como um saber pronto e acabado, mas 
como um saber vivo, dinâmico que está sendo construído a cada aula, única em 
si mesma. A língua e a linguagem também são dinâmicas, sofrem modificações 
cotidianas. A sala de aula é o espaço em que interações acontecem, significados 
são produzidos e, por isso, podem e devem ser explorados.
234
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Questões para refletir 
sobre a linguagem matemática
O problema dos selos (BACQUET, 2001, p. 39. Adaptado.).
“Jacqueline tem uma coleção de 145 selos do correio. Paulo lhe diz: – Se eu 
lhe desse 20 dos meus selos, eu teria, então, três vezes mais do que você. Quan-
tos selos Paulo tem?”
Discuta, entre as soluções abaixo, qual expressa o problema matematicamente.
1.a solução: 3 x (145 + 20) = 495 selos.
2.a solução: 3 x 145 + 20 = 445 selos.
3.a solução: 3 x (145 + 20) + 20 = 515 selos.
Jacqueline = 145
Paulo = x – 20
x – 20 = 3 (145 + 20)
x – 20 = 435 + 60
x – 20 = 495
x = 495 + 20
x = 515
Portanto, a resposta correta é:
3.ª solução: 3 (145 + 20 ) + 20 = 515 selos
A professora propõe aos alunos: “Quantos quadrados podem ser feitos com 
10 palitos de fósforos?”
E um aluno responde: “Posso fazer três quadrados”.
Qual foi um possível significado atribuído pelo aluno à tarefa que originou a 
resposta por ele oferecida? Existem outras interpretações possíveis?
A linguagem matemática e os (des)encontros com a linguagem cotidiana
235
O aluno pode ter respondido que poderia fazer três quadrados, pensando 
das seguintes maneiras:
No entanto, existem outras formas de resolver o problema se admitirmos que 
se pode sobrepor os palitos. Assim como mostra a figura abaixo, então ele pode-
ria dizer que se podem construir 30 quadrados, contando os quadrados peque-
nos, médios e o quadrado grande.
16 (1 x 1)
9 ( 2 x 2)
4 (3 x 3)
1 (4 x 4)
totalizando 30.
Observando a figura podemos ver os quadradinhos de dimensão 1 X 1, que 
são 16. Os quadrados de dimensão 2 x 2 são 9:
236
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Os quadrados de dimensão 3 x 3 são 4:
A linguagem matemática e os (des)encontros com a linguagem cotidiana
237
E finalmente 1 quadrado de 4 x 4:
Somando todos temos: 16 + 9 + 4 + 1 = 30 
Texto complementar
A ansiedade na aprendizagem da Matemática e a 
passagem da Aritmética para a Álgebra
(LOOS; FALCÃO; ACIOLY-RÉGNIER, 2001)
Reconciliando cognição e afeto
O fenômeno da aprendizagem humana não se limita ao funcionamento 
das estruturas cognitivas, pois envolve também a dimensão social e afetiva. Tal 
princípio decorre da concepção da existência de profundas inter-relações e in-
terdependência entre todos dos fenômenos (físicos, biológicos, psicológicos, 
sociais e culturais), visão esta que tem buscado transcender as atuais fronteiras 
disciplinares e conceituais, contrapondo-se à forte compartimentalização que 
238
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
ainda reina em nossas teorias científicas, resquícios da era Cartesiana (CAPRA, 
1982). Assim sendo, torna-se necessário aceitar como área legítima de investi-
gação não somente aqueles aspectos da experiência que possam parecer es-
sencialmente racionais, mas também os fenômenos considerados subjetivos, 
pois a emoção e a cognição coexistem em um mesmo indivíduo e interferem 
amplamente em sua vida mental e em seu comportamento.
A leitura das contribuições de alguns dos grandes teóricos da Psicologia, 
como Piaget, Freud, Vygotsky e Wallon, por exemplo, permitiu constatar que 
todos chegam a supor uma relação indissociável e complementar entre a 
cognição e afetividade. No entanto, a maioria deles desenvolve seu trabalho 
centrando-seem apenas um destes dois aspectos, e as noções de indisso-
ciabilidade e complementaridade acabam por se perder ao longo de suas 
teorias. Wallon (1968) foi um dos autores que vigorosamente salientou a im-
portância da dimensão afetiva na construção do conhecimento, bem como 
na formação do próprio indivíduo.
Novas perspectivas de estudo que enfocam, primordialmente, a relação 
entre estas duas instâncias vêm se desenvolvendo nos últimos anos. Temos, 
por exemplo, as contribuições de Zajonc (1984) Mandler (1985), Weiner 
(1982), Leventhale Scherer (1987), Le Doux (1989) e Steine Levine (1989). 
Entre os autores citados, diferentes posições são adotadas acerca de algumas 
relações funcionais e temporais entre a cognição e a afetividade. Entretanto, 
não é possível ainda dispor de teorizações que ofereçam um desenho com-
pleto e detalhado sobre o tema. Na prática, porém, tem se tornado cada vez 
mais notório que vários dos componentes do domínio afetivo, tais como as 
atitudes e os valores, as emoções e os sentimentos, a motivação, a confiança 
em si, e ainda, a atmosfera relacional, desempenham papéis fundamentais 
na atividade mental dos indivíduos.
A Matemática como objeto de aprendizagem
A Matemática é comumente considerada a mais abstrata, racional, formal, 
universal e descontextualizada das disciplinas. Enquanto corpo de conheci-
mentos que responde a problemas práticos e teóricos propostos pela hu-
manidade no curso da história (com diversas ferramentas conceituais e ope-
racionais criadas para tal fim), a matemática pode ser concebida como uma 
forma particular de organizarmos os eventos e objetos do mundo. É, nesse 
A linguagem matemática e os (des)encontros com a linguagem cotidiana
239
sentido, entendida enquanto atividade humana. Assim sendo, deve-se não 
só procurar compreender o que é essa Matemática realizada pelos indivídu-
os, mas também como estes se relacionam com ela. A representação social 
que a envolve, bem como sua natureza e linguagem, predispõem-na a diver-
sos tipos de investimento emocional.
Três aspectos merecem ser tomados em consideração nesse momento: a 
linguagem, a representação social e as especificidades do conteúdo.
A linguagem é enfocada sob o ponto de vista de Walkerdine (1988), que 
analisou os eixos metafóricos e metonímico do discurso matemático, sugerin-
do que a descontextualização e a impessoalização são obtidas pela predomi-
nância do eixo metonímico e supressão do eixo metafórico. Poder-se-ia vis-
lumbrar tal processo relacionado à transformação da linguagem matemática 
em objeto de pensamento, tal como concebe Douady (1986). Para esta autora, 
a dialética instrumento/objeto aplica-se aos papéis alternadamente desem-
penhados pela matemática: enquanto instrumento – para colocar questões e 
resolver problemas; ou enquanto objeto – que toma um lugar na construção 
de um saber organizado, no savoir-savant de um dado momento histórico.
[...]
Dicas de estudo
Ler o livro:
DIAS, Maria da Graça; SPINILLO, Alina G (Orgs.). Tópicos em Psicologia Cognitiva. 
Recife: Editora Universitária da UFPE, 2005, p. 337.
O livro é composto de 4 partes. A primeira parte apresenta estudos sobre 
raciocínio dedutivo e da argumentação. A segunda parte apresenta pesquisas 
sobre habilidades linguísticas, analisando os conhecimentos que as crianças têm 
sobre a estrutura narrativa de histórias. A terceira trata de conceitos matemáti-
cos em uma perspectiva psicológica, enfatizando a construção de significados 
gerados pelo indivíduo em situações específicas. A quarta parte faz uma reflexão 
acerca da importância dos aspectos sociológicos e da interação na investigação 
e análise de habilidades cognitivas em adultos e crianças.
240
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Atividades
1. Além dos conceitos matemáticos, a linguagem específica e as regras mate-
máticas, quais são outros fatores que podem também colaborar para que os 
alunos encontrem dificuldades na aula de matemática?
2. O que o linguajar, demasiadamente técnico, usado para expressar conceitos 
matemáticos pode causar?
A linguagem matemática e os (des)encontros com a linguagem cotidiana
241
Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho
A história da Matemática nos mostra grandes feitos e grandes desco-
bertas. Em qualquer época, os povos estiveram, e estão, preocupados com 
as necessidades primárias e urgentes ligadas à alimentação, ao vestuário, à 
habitação, ao transporte e ao desenvolvimento de instrumentos bélicos. 
Por trás dessas questões, encontram-se os problemas matemáticos e os 
pensadores que se depararam com eles. Infelizmente, a maioria dos livros di-
dáticos utilizados em todos os níveis de ensino, desde os mais elementares 
até os superiores, apresentam uma Matemática pronta, com uma teoria defi-
nitiva e bem delineada, com todos os conceitos estruturados de forma linear 
e contínua, um após o outro, hierarquicamente embasados e distribuídos. 
Apresentada dessa forma, a Matemática se mostra como ciência da 
exatidão por excelência, de problemas com solução única que pode ser 
determinada por uma única forma correta.
Todavia, essa apresentação deixa uma das principais características da 
Matemática imersa em obscurantismo: o desafio intelectual e o prazer da 
descoberta.
Esse desafio e esse prazer de descobrir podem ser resgatados com a me-
todologia da resolução de problemas. Esse é um dos motivos pelo qual essa 
maneira de ensinar atrai, cada vez mais, inúmeros professores e alunos.
Mas... toda solução apresenta problemas!
Os desafios da metodologia 
da resolução de problemas
Pires e Gomes (2004) definem que um indivíduo encontra-se diante de 
um problema quando encara uma situação de forma compreensiva, não 
Os problemas da solução: 
dificuldades com a metodologia 
da “resolução de problemas”
244
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
encontra uma solução óbvia para essa situação, percebe a necessidade de uma 
ação e se propõe a agir.
Na sala de aula, professores e alunos devem estar envolvidos na resolução de 
problemas. Ao professor não cabe apenas a tarefa de propor o problema, mas 
também a de direcionar o aluno para que este perceba a necessidade da ação 
para solucioná-lo e se proponha a agir diante desse problema. 
A metodologia da resolução de problemas requer do professor um conhe-
cimento matemático abrangente. Do aluno, curiosidade e vivacidade e que o 
ambiente escolar seja propício a uma certa maleabilidade curricular. 
Esses fatores restritivos podem afetar a aplicabilidade dessa metodologia ou 
mesmo dar margem a um engano: não se trata da simples resolução de problemas 
sequenciais. O fato de muitos problemas ou exercícios serem resolvidos não signi-
fica que a metodologia da resolução de problemas esteja sendo empregada.
É preciso que um certo tópico matemático esteja por trás dos problemas abor-
dados, seja adequadamente tratado pelo professor e explorado pelos alunos. 
A metodologia da resolução de problemas prevê que conteúdos matemáti-
cos sejam estudados por esse método. Este constitui, certamente, um de seus 
grandes desafios e também uma de suas conquistas, porque dá ao aluno, desde 
os anos iniciais, a possibilidade de aprender descobrindo, de formular questões 
sobre os problemas e de procurar caminhos alternativos para resolvê-los.
Problemas com a metodologia 
da resolução de problemas
Cain (2003) apresenta questões e preocupações acerca da resolução de pro-
blemas que se apresentam de forma natural aos professores, pais, alunos e à 
própria comunidade escolar como um todo. 
As crianças estão realmente aptas a explorar 
problemas e chegar a soluções sensíveis?
A metodologia da resolução de problemas prevê que lecionar por meio de seus 
métodos implica em começar a aula com a proposta da utilização de um problema.
Os problemas dasolução: dificuldades com a metodologia da “resolução de problemas”
245
Os problemas utilizados geralmente são mais “abertos” e permitem uma 
certa variedade de respostas corretas e de maneiras para resolvê-los. São, ao 
mesmo tempo, um ponto de estímulo e de fonte organizacional, mas também 
se constituem em uma maneira de o estudante explorar conceitos matemáticos. 
Na verdade, o fato de os estudantes “explorarem” o problema é um componente 
essencial nessa metodologia. O professor age como guia e incentivador. 
No entanto, uma questão crucial permanece: os estudantes são realmen-
te capazes de explorar os problemas e encontrar ou inventar estratégias para 
resolvê-los?
Para Cain (2003), as pesquisas indicam que sim. Para exemplificar, cita uma 
pesquisa realizada cuja tarefa era somar 38 + 26. As seguintes estratégias foram 
utilizadas:
“trinta mais vinte são cinquenta; e o oito torna essa soma cinquenta e oito. �
Então, mais seis a torna sessenta e quatro”;
“trinta mais vinte são cinquenta. Oito mais seis são quatorze; então cin- �
quenta mais quatorze são sessenta e quatro”;
“trinta e oito mais vinte e seis é como quarenta mais vinte e quatro, logo �
perfaz sessenta e quatro”.
As estratégias diferentes requerem que o professor esteja preparado para dis-
cutir com os alunos as diversas possibilidades de solução, demonstrando que há, 
na Matemática, flexibilidade na maneira de encarar e solucionar um problema.
Como os professores podem aprender 
a lecionar por meio da resolução de problemas?
O sucesso dos professores que lecionam por meio da metodologia da reso-
lução de problemas envolve fatores como o estímulo e o encorajamento que 
recebem dos colegas quando começam a trabalhar com ela. O papel do profes-
sor de Matemática muda de mero transmissor de informações para observador, 
organizador, consultor, mediador, interventor, controlador.
Os professores descobrem que certas habilidades são necessárias para aplicar 
essa metodologia. Por exemplo, sob o ponto de vista matemático, o professor 
deve estar apto a perceber e criticar as soluções propostas pelo aluno. Individu-
246
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
almente, sob o ponto de vista pedagógico, deve decidir quando e como intervir. 
Sob uma perspectiva pessoal, o professor de Matemática estará na posição inco-
mum e incômoda de não saber ou trabalhar sem saber todas as respostas, o que 
requer experiência, confiança e autoconhecimento.
O fato é que trabalhar dentro desse espírito demanda muito, tanto do profes-
sor quanto dos alunos, sendo, por outro lado, muito recompensador. 
Duas tarefas exigidas do professor são essenciais: selecionar problemas ade-
quados e organizar o andamento das tarefas em classe. 
Qual o problema adequado? 
Para Dante (1995), o bom problema é aquele que se apresenta como desafio, 
interessante para o aluno, com nível adequado de dificuldade e que não é mera 
aplicação direta de operações aritméticas. Essas características precisam ser con-
sideradas pelo professor quando propõe problemas.
Permitir que os alunos se envolvam com a procura da solução, manifestem-
-se, apresentem respostas inesperadas e tenham tempo para resolver o proble-
ma constitui parte das características organizacionais da sala de aula.
Em que os estudantes acreditam 
quando buscam a resolução de problemas?
Quando a metodologia da resolução de problemas é utilizada, os estudantes 
participam ativamente do processo de construção do conhecimento e, dessa 
forma, fazem um sentido próprio da Matemática. Em outras palavras, os estu-
dantes tornam-se participantes ativos da criação do conhecimento mais do que 
simples “recebedores” de regras e procedimentos. 
A maioria dos estudantes que se depara com a resolução de problemas, 
como a metodologia de ensino, já traz crenças prévias sobre a Matemática. 
Muitos, por exemplo, acreditam que há apenas uma maneira “correta” de um 
determinado problema ser abordado. Muitos estudantes não veem a Matemá-
tica como atividade que precisa de envolvimento intelectual e criatividade, mas 
apenas como um grande conjunto de procedimentos e regras a serem seguidas 
e memorizadas.
Essas crenças devem ser modificadas à medida que as atividades acontecem. 
Os problemas da solução: dificuldades com a metodologia da “resolução de problemas”
247
Outra preocupação dos alunos relaciona-se com a expectativa que eles 
pensam que os professores têm sobre eles. Quando, repetidas vezes, um pro-
blema é proposto pelo professor e o aluno não consegue resolvê-lo, o fato pode 
gerar no estudante angústia e falta de confiança. 
Nesses casos, o professor poderia modificar os problemas propostos, reven-
do as habilidades dos alunos e os níveis de dificuldade dos problemas. Para que 
se possa empregar essa metodologia, é necessário um professor atento e sensí-
vel aos alunos.
Se a metodologia da resolução de problemas 
é adotada, os estudantes perdem habilidades 
básicas e essenciais?
Quando se leciona por meio da resolução de problemas e os estudantes têm 
oportunidade de explorar as situações-problema e resolvê-las, são encorajados 
a usar diferentes estratégias. 
Utilizando a metodologia da resolução de problemas, a ênfase está no pensa-
mento matemático, em suas ideias. Valoriza-se mais o entendimento conceitual 
do que o conhecimento de procedimentos e técnicas algorítmicas.
No entanto, muitos professores e mesmo pais de alunos se preocupam 
quando a resolução de problemas é empregada como estratégia de ensino, 
porque acreditam que técnicas e algoritmos matemáticos não são aprendidos 
pelos estudantes.
Assim, considerando-se que essas preocupações são legítimas, algumas pes-
quisas têm sido realizadas na tentativa de responder se os estudantes perdem 
habilidades essenciais quando a resolução de problemas é considerada. Para 
Cain (2003), essas perguntas ainda não estão satisfatoriamente respondidas. 
Esse autor considera possível afirmar, em um primeiro momento, que os estu-
dantes que aprendem determinado tópico matemático, por meio da resolução 
de problemas, saem-se tão bem quanto aqueles que o aprenderam por meio do 
ensino tradicional, quando se trata de cálculos aritméticos básicos e entendi-
mento conceitual.
Dessa forma, parece que utilizar a metodologia da resolução de problemas 
como estratégia de ensino pode ser mais trabalhoso ao professor e mais recom-
248
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
pensador para o aluno, porque torna a Matemática mais atraente, mas não sig-
nifica necessariamente que o aluno aprenda “mais” Matemática ou que esta seja 
de melhor qualidade.
Outras questões
No Brasil, foram criados os Parâmetros Curriculares Nacionais: 
PCN – Matemática – 1.º e 2.º ciclos – 1.ª a 4.ª séries – 1997. �
PCN – Matemática – 3.º e 4.º ciclos – 5.ª a 8.ª séries – 1998. �
PCN – Matemática – Ensino Médio – 1999. �
Os objetivos gerais da área de Matemática, nos PCN, são abrangentes e en-
volvem diferentes aspectos da educação matemática. Esses objetivos procuram 
encarar o desenvolvimento educacional do aluno como um todo, o que é dese-
jável. Utilizar a metodologia de resolução de problemas para o ensino da Mate-
mática, desenvolvendo no aluno a capacidade de explorar problemas, solucio-
ná-los e até inventá-los, a partir de problemas prévios conhecidos, é altamente 
recomendado.
Paralela a essas colocações, existe a realidade brasileira na qual muitos pro-
fessores da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino 
Médio) trabalham com um número cada vez maior de alunos na sala de aula: 30 
ou 40 estudantes. 
Nesse contexto, várias questões permanecem sem resposta.
Como escolher um problema que desafie a todos os alunos, simultanea- �
mente, e seja, ao mesmo tempo, capaz de ser resolvido por todos?
Como escolher problemas que permitam que os conceitossejam desen- �
volvidos de acordo com um currículo mínimo exigido?
Todas as ideias e conceitos matemáticos podem ser introduzidos por meio �
de problemas?
Responder, ou ao menos encaminhar essas questões, são ainda desafios para 
o professor.
Os problemas da solução: dificuldades com a metodologia da “resolução de problemas”
249
O que podemos considerar, sem sombra de dúvidas, é que utilizar a resolu-
ção de problemas como estratégia de ensino traz inúmeros benefícios, como 
também uma grande variedade de questões que ainda precisam ser debatidas e 
analisadas. Tanto o professor de Matemática quanto o aluno enfrentarão novas 
situações em âmbitos que vão desde o cognitivo até os que envolvem fatores de 
metacognição e da dimensão afetiva.
Sugestões de problemas
Discuta qual o nível de conhecimento é necessário para resolvê-los, indican-
do em qual(is) ciclo(s) o problema poderia ser oferecido.
Adivinhando números (DANTE, 1995, p. 84. Adaptado.).
0 1 2 3 4 5 �
Estou pensando em um número que representa a quantidade de narizes que 
eu tenho. 1, pois tenho apenas um nariz.
6 8 10 12 �
É maior que oito e vale menos do que uma dúzia. 10, pois 10 é maior que 8, e 
é menor que 12, que representa uma dúzia.
1 6 7 10 �
Não é ímpar e é maior que seis. Da lista dada, 10 é o único número par (não 
ímpar) maior que 6.
Uma viagem (PIRES; CURI; PIETROPAULO, 2002, p. 122. Adaptado.).
Observe o esquema que indica as estradas existentes entre as cidades A e B. 
Quantos e quais são as maneiras possíveis de ir da cidade A para a cidade B?
O número de maneiras possíveis de se ir da cidade A para a cidade B é 9.
250
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
São elas: 
ACEDB
ACEB
ACEGB
AEDB
AEB
AEGB
AFEDB
AFEB
AFEGB
Gastando pouco
A e B são locadoras de automóvel. A cobra R$1,00 por quilômetro rodado 
mais uma taxa de R$100,00 fixa. B cobra R$0,80 mais uma taxa de R$200,00. Dis-
cuta a vantagem de se alugar um carro em A ou em B se a viagem que será feita 
tem 360km.
Consideremos x = 360km (o número de quilômetros percorridos nas 
situações):
A = R$1,00 . x + R$100,00 B = R$0,80 . x + R$200,00
A = R$1,00 . 360 + R$100,00 B = R$0,80 . 360 + R$200,00
A = R$360,00 + R$100,00 B = R$288,00 + R$200,00
A = R$460,00 B = R$488,00
Então na situação A sai mais barato se o número de quilômetros rodados for 
360.
Os problemas da solução: dificuldades com a metodologia da “resolução de problemas”
251
Texto complementar
Sobre resolução de problemas
(BURIASCO, 1995)
Primeiro significado: resolver problemas como meio para alcançar de-
terminados fins.
Na concepção que adota este significado, os problemas são utilizados 
como veículos a serviço de outros objetivos curriculares, servindo para di-
ferentes fins.
Como justificativa � : problemas da vida real como justificativa para en-
sinar Matemática – alguns problemas relacionados com a vida cotidia-
na são incluídos nas aulas para mostrar para que serve a matemática.
Como motivação para certos conteúdos � : os problemas são utiliza-
dos para introduzir conteúdos, na tentativa de promover o conven-
cimento implícito ou explícito de que facilitarão a aprendizagem de 
determinado conteúdo.
Como atividade recreativa � : mostram que a matemática pode ser “di-
vertida” e que existem usos “divertidos” para os conhecimentos mate-
máticos. 
Como meio para desenvolver novas habilidades � : se acredita que, 
cuidadosamente sequenciados, os problemas podem proporcionar 
aos estudantes novas habilidades e prover o contexto para discussões 
relacionadas com algum conteúdo.
Como prática � : a maioria das tarefas matemáticas na escola caem nes-
ta categoria. Ensina-se uma técnica e em seguida uma lista de proble-
mas para que pratiquem a técnica aprendida.
Em qualquer uma das formas, os problemas são utilizados como meio 
para alguma das metas aqui apresentadas. Isto é, a resolução de problemas 
não é vista como uma meta em si mesma, e sim, como estratégia na busca de 
alcançar outros objetivos, outras metas.
252
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Segundo significado: resolver problemas como habilidade.
A maioria das propostas curriculares sob a tendência da Resolução de Pro-
blemas é deste tipo. A Resolução de Problemas é, muitas vezes, vista como 
uma das tantas habilidades a serem ensinadas na Matemática escolar. Isto é, 
resolver problemas não rotineiros é caracterizado como uma habilidade de 
nível superior, a ser desenvolvida logo depois de ter resolvido muitos pro-
blemas rotineiros. 
É de se destacar que, ainda que neste segundo significado, a resolução 
dos problemas é vista como habilidade em si mesma, os problemas apare-
cem como um conteúdo, ao final de outro determinado conteúdo, para que 
as técnicas, os algoritmos, deste último possam ser dominados. Então a reso-
lução de problemas acaba se tornando um instrumento para ”adquirir”:
1.° conceitos matemáticos básicos;
2.° capacidade de resolver problemas rotineiros;
3.° capacidade de resolver problemas não rotineiros (não para todos).
Terceiro significado: resolver problemas como “fazer matemática”. 
Deste ponto de vista, o trabalho dos matemáticos é resolver problemas 
e portanto aprender Matemática é aprender a resolver problemas. O ma-
temático que sustenta essa ideia da atividade matemática é George Polya 
(1887-1985), que no seu livro How to Solve It – 1954 (POLYA. G. A Arte de 
Resolver Problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Ja-
neiro: Interciência,1978) introduz o termo heurística para descrever a arte 
da resolução de problemas, conceito que desenvolve em seus outros livros 
Matemática e Raciocínio Plausível (1957) e A Descoberta Matemática (1981).
Referência: Notas de aula da disciplina Resolução de problemas 
e Atividades de Investigação.
Profª. Drª. Regina Luzia Corio de Buriasco/ Curso de Especialização 
em Educação Matemática
Os problemas da solução: dificuldades com a metodologia da “resolução de problemas”
253
Dicas de estudo
Ler o capítulo “Estudo sobre a solução de problemas aritméticos de multipli-
cação do tipo isomorfismo de medidas”, encontrado em:
TAXA, Fernanda de Oliveira Soares; FINI, Lucila Diehl Tolaine. In: BRITO, M. R. F. 
(Org.). Psicologia da Educação Matemática (Teoria e Pesquisa). Florianópolis: 
Insular, 2001. p. 280.
Com base no referencial de Piaget, o capítulo apresenta um estudo dos pro-
cedimentos utilizados por crianças da escola elementar, durante a solução de 
problemas aritméticos de estrutura multiplicativa.
Atividades
1. Enumere algumas preocupações que se apresentam acerca da metodologia 
da resolução de problemas.
254
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
2. Quais os benefícios que a resolução de problemas pode trazer?
Os problemas da solução: dificuldades com a metodologia da “resolução de problemas”
255
 
Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho
Os povos antigos já sabiam
Cyrino (2003, p. 56) considera tanto a arte quanto a Matemática como 
formas de se representar a realidade, pois tanto uma quanto a outra “am-
pliam a realidade do imaginário na busca da transcrição do concreto para 
o abstrato na constituição do conhecimento”. 
Ampliar a realidade na busca do concreto para o abstrato e, inversa-
mente, do abstrato para o concreto sempre foi uma das principais caracte-
rísticas do pensamento geométrico. Parece ser comum o pensamento de 
que a Geometria, como muitos outros ramos da Matemática, foi utilizada 
primeiramente para a resolução de problemas práticos advindos das ne-
cessidades humanas e muito do conhecimento geométrico de que temos 
notícia, como formas regulares e padrões, relaciona-se com a religião de 
povos antigos. 
As pinturas em cavernas da França e da Espanha (com mais de 15 mil anos) deviamter 
algum significado ritual; elas revelam, sem dúvida, uma notável compreensão da forma; 
matematicamente falando, revelam uma compreensão do espaço bidimensional dos 
objetos no espaço. (STRUIK, 1989, p. 29)
Os conhecimentos matemáticos revelados por obras gigantescas de 
povos absolutamente extraordinários – como os gregos, os egípcios, os 
hindus, os maias – constituem ainda hoje fonte de admiração para os 
pesquisadores. Nas pirâmides do Egito, nos templos gregos, nas cidades 
maias, nos templos sagrados da Índia, abundam formas geométricas, 
razões e proporções.1
 Um exemplo notável é a razão áurea, que pode ser encontrada no Parthenon, na Grécia. A razão áurea foi tratada em Os Elementos, de 
Euclides. Atualmente, sabemos que a razão áurea é o número irracional ∅ = +1 5
2
.
A Geometria Plana e 
a Geometria Espacial: 
o que vemos e o que vivemos
258
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Descobriu-se muito sobre a Geometria analisando-se obras, templos e gravu-
ras antigas. As civilizações possuíam conhecimentos elevados de perspectivas, 
de planificação, de representação geométrica e, ainda, conhecimentos de áreas, 
volumes e de perspectiva.
Hoje, muitos professores encontram dificuldades para tratar dessas questões 
com seus alunos. Por que a área é expressa em cm2? Por que o perímetro é 
expresso em cm? Por que o volume é expresso em cm3? As respostas que pare-
cem simples ao professor causam espanto aos alunos. Lidar com questões de 
dimensão não é tão simples.
Os problemas que encontramos hoje: 
dificuldades dos alunos e dos professores
Gálvez (1996, p. 249) aponta uma série de problemas encontrados quando a 
questão é o ensino de Geometria.
Como preparar a passagem da Geometria de observação, de comprova- �
ção empírica de relações, para a Geometria dedutiva, na qual a validade 
das proposições é sustentada pela coerência do raciocínio? Por exem-
plo, como verificar se ao justapor três ângulos internos de um triângulo 
se obtém um ângulo de 180º? A conclusão é de que isso deve acontecer 
necessa ria mente em qualquer triângulo?
Como compatibilizar o caráter variável, aproximado, dos resultados ob- �
tidos empiricamente, com o caráter único, exato, dos resultados obtidos 
por meio do cálculo? Por exemplo, os valores obtidos para a área de um 
triângulo, contando quadradinhos, com o valor obtido aplicando a fórmu-
la a partir de medidas dadas de base e altura?
Como garantir a compreensão de procedimentos algoritmizados que os �
alunos devem aprender? É evidente que a repetição de sua execução, até 
memorizar as sequências de ações que contêm tal procedimento, não é 
suficiente. Porém, como substituir essa estratégia de ensino?
Como coordenar a conceitualização dinâmica dos objetos geométricos �
(vinculados, por exemplo, ao traçado de figuras) com sua conceitualização 
estática (vinculada à sua apresentação)?
A Geometria Plana e a Geometria Espacial: o que vemos e o que vivemos
259
Como organizar a passagem da linguagem natural, para referir-se às rela- �
ções espaciais, até a linguagem matemática, sem gerar rupturas violentas 
pos sibilitando a apropriação sintática e semântica da linguagem matemá-
tica, de modo que os alunos possam utilizá-la para expressar seus conhe-
cimentos?
Como relacionar as aquisições no âmbito das relações espaciais com �
as aquisições no domínio das relações numéricas? Em que medida os 
progressos em um desses âmbitos podem facilitar ou pôr obstáculos à 
 aprendi za gem dos outros?
Bacquet (2003) relata alguns dos problemas mais comuns encontrados no 
aprendizado de estudantes do Ensino Fundamental: a questão de área de super-
fície e perímetro.
Trabalhando com uma aluna (Eva) de 10 anos, o que corresponde à última 
série do nosso Ensino Fundamental, isto é, à antiga 4.ª série do primário, Bacquet 
percebeu que ela conhecia as fórmulas:
P = (comprimento + largura) x 2, para perímetro. 
Área = comprimento x largura, para área.
(Relativas ao retângulo)
P = lado x 4.
Área = lado x lado. 
(Relativas ao quadrado)
Embora Eva tivesse, provavelmente, escutado muitas explicações sobre o 
porquê de essas formas assim se apresentarem, Bacquet se surpreende: “Eva 
aplicava essas duas fórmulas absolutamente por acaso e as áreas são dadas re-
gularmente em metros, os perímetros sendo, é claro, em metros quadrados” 
(BACQUET, 2003, p. 80).
O professor se angustia, muitas vezes, quando vê que as explicações que for-
neceu não foram assimiladas pelo aluno. Você já parou para pensar em quantas 
vezes o professor deixa a sala de aula pensando em que poderia modificar sua 
pedagogia, em como motivar seus alunos, em como fazer com que aprendam 
mais e se sintam mais interessados? Como lidar com alunos como Eva? 
260
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Bacquet descreve os procedimentos que utilizou. A primeira atitude da pro-
fessora foi trabalhar a definição de metro: metros rígidos de madeira ou metal, 
metros dobráveis e metros de fita foram utilizados. Objetivava dar a Eva a noção 
de medida, considerada como “comparação”. A mesma unidade deve produzir a 
mesma medida.
Medir é comparar, utilizando uma certa unidade como padrão. Este é o pri-
meiro passo e trata-se de um passo árduo, porque já estamos imersos em metros 
prontos, em réguas que vêm milimetradas, comprados nas papelarias. O aluno 
não percebe que, se mudássemos nosso padrão de medida, mudaríamos o valor 
numérico daquilo que estamos medindo. É natural encontrar estudantes que 
imaginam que a medida é uma qualidade invariante, o que de fato é verdade, 
desde que tenhamos fixado a priori uma “unidade-padrão”.
Bacquet comenta que, junto com a aluna, dividiu um metro de fita em dez 
partes, para obter um decímetro, e dividiu o decímetro em dez partes, para obter 
o centímetro. Essas operações feitas em material “concreto” fornecem ao aluno a 
noção de medida como comparação e possibilitam que as igualdades 1 metro = 
10 decímetros = 100 centímetros deixem de ser apenas relações a serem memo-
rizadas, pois o material é manipulado, é visualizado. Trabalhado dessa forma, o 
metro deixa a característica abstrata, pode ser percebido.
Gálvez considera que a métrica é, para Piaget, a característica fundamental 
do espaço euclidiano, pois possibilita a estruturação de sistema tridimensional 
de coordenadas, o que conduz à matematização do espaço.
A métrica envolve a utilização de duas operações que determinam a passagem da manipulação 
qualitativa do espaço à manipulação quantitativa: a partição do todo em suas partes, para 
construir uma unidade de medida, e o deslocamento, para aplicar esta unidade de medida de 
maneira reiterada, cobrindo a extensão do objeto. (GÁLVEZ, 1996, p. 243)
Após a noção de metro, pode-se seguir para metro quadrado e metro 
cúbico.
O metro quadrado pode ser obtido por meio de jornal. Cortando-se um metro 
quadrado de jornal, pode-se forrar a mesa do professor, o chão da sala, a porta. A 
noção de metro quadrado será associada à área de forma natural e os cm2 farão 
mais sentido aos estudantes.
Quando se trata de encontrar a área de um retângulo do qual se diz, por 
exemplo, que o comprimento mede 7 centímetros e a largura 4 centímetros, 
A Geometria Plana e a Geometria Espacial: o que vemos e o que vivemos
261
perguntamo-nos onde estão os centímetros quadrados [...]? Como admitir que 
“multiplicando o comprimento pela largura” medidas em centímetros vamos, por 
alguma alquimia misteriosa, encontrar “quadrados”? (BACQUET, 2003, p. 81).
O professor busca alternativas para ensinar. Então, depois de várias tentativas, 
encontra mais uma vez o aluno aplicando fórmulas e algoritmos que parecem 
não fazer nenhum sentido para ele.
Diversos problemas e dificuldades do aluno não são culpa do professor, que 
não deveria se sentir culpado porque seu aluno não aprende.Buscar novas me-
todologias, novas formas de ensinar, são sempre atitudes esperadas do professor 
consciente de seu papel de educador, de formador. Todavia, há a responsabilidade 
do aluno em todo e qualquer sistema educacional. Há outros fatores que interfe-
rem no âmbito escolar e que fogem à alçada do professor (CABRAL, 1998).
Gálvez (1996, p. 241) salienta que desde cedo a criança percebe o espaço que 
a circunda e as ações de deslocamento e coordenação são associadas a esses 
espaços. “O espaço é exteriorizado, aparece como o ambiente imóvel no qual 
se situam tanto o sujeito como o objeto”. Somente mais tarde o sujeito passa a 
conceber a si próprio como outro objeto, um objeto a mais, dentro de um certo 
espaço homogêneo, percebendo seus próprios deslocamentos como desloca-
mentos em relação a outros e às posições de outros objetos. Considerando a obra 
de Piaget e outros, A Representação do Espaço na Criança2, a autora argumenta 
que, no âmbito geométrico, a ordem genética de aquisição das noções espaciais 
é inversa à ordem histórica do progresso da ciência. Em síntese, embora Euclides 
(século III a.C.), com Os Elementos, apresente uma Geometria Plana axiomatizada 
e, ainda, o que é mais notável, fundamentada em demonstrações que ainda hoje 
encontrem suporte na formalização matemática, o conhecimento infantil con-
sidera primeiro o espaço tridimensional e suas relações intrínsecas. Primeiro as 
noções de vizinhança, separação, ordem, contorno e continuidade, noções que 
tornam possível distinguir figuras abertas de fechadas; espaço interior e espaço 
exterior. É possível afirmar que, em primeiro lugar, vivemos a Geometria para, 
somente depois, a vermos.
“A criança considera primeiro as relações topológicas de uma figura, e só pos-
teriormente as projetivas e as euclidianas, que são construídas quase de maneira 
simultânea” (GÁLVEZ, 1996, p. 242).
2 PIAGET, J; INHELDER, B. (1947). La Représentation de L´espace Chez L´enfant. Paris, P.U.F. In: GÁLVEZ (1996, p. 257).
262
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Possibilidades metodológicas 
e pedagógicas
Kaleff (2003) tece considerações para a ação pedagógica acerca do ensino de 
Matemática como um todo e da Geometria em particular. Essas ações podem 
nortear o professor de Matemática.
Exploração de diferentes materiais concretos para o desenvolvimento do �
significado das noções geométricas elementares.
Exploração da simulação de situações de investigação, como auxílio ao �
desenvolvimento do significado das noções geométricas elementares e 
não somente o treinamento da memorização de técnicas operatórias.
Incentivo à capacitação do aluno para o estabelecimento de conjecturas, �
para a formulação e resolução de problemas e não para a procura meca-
nicista de respostas.
Reconhecimento, pelo aluno, das conexões entre as ideias e aplicações �
matemáticas e não apenas da percepção da Matemática, particularmente 
da Geometria, como um corpo de conceitos e procedimentos isolados do 
cotidiano e de outras áreas do conhecimento.
Busca da formação integral do educando, levando-o a se estabelecer �
como ser crítico, a se encontrar como ser humano e cidadão, consciente da 
sua condição de ser em transformação, integrado a sua natureza interior 
e participante ativo na construção de seu destino e de sua história.
Nessa perspectiva, o aluno de Matemática é pensado como um ser que pode 
participar socialmente e de forma ativa de uma comunidade específica, a sala 
de aula de Matemática. Assim, essa sala torna-se muito mais do que um simples 
espaço em que o conhecimento – em particular o conhecimento matemático – é 
adquirido, pois torna-se meio de formação individual e coletiva, e os indivíduos 
que dela participam adquirem possibilidade de desenvolvimento crítico e ob-
servação de conexões entre os diversos conteúdos.
Essas ações podem e devem ser consideradas, pois o professor faz parte do pro-
cesso de desenvolvimento do aluno, sendo, sem dúvida, uma das peças fundamen-
tais desse intricado “jogo” de conhecimento que toma lugar nas salas de aula.
A Geometria Plana e a Geometria Espacial: o que vemos e o que vivemos
263
A complexa passagem das propriedades constatadas empiricamente à sua in-
tegração a um sistema dedutivo formal, como a Matemática apresenta, deve ser 
buscada por meio de reiteradas experiências de verificação de propriedades.
Surpresas como essas, nas quais os professores sentem por que não consi-
deram que os alunos podem simplesmente não estar fazendo ideia do que se 
pede, a que o enunciado do problema proposto se refere, são comuns quando 
se ensina Geometria e Matemática.
O professor deve escutar o aluno, pois ouvindo-o pode-se ensinar mais, com 
melhor qualidade, do que apenas falando o que o aluno deve fazer. “É ouvindo 
que se ensina, é falando que se aprende!” (CABRAL, 1998, p. 212). Esse aforis-
mo de Cabral retrata uma desmistificação do ensino de Matemática: o professor 
deixa de ser aquele que fala o tempo todo, passando a ser aquele que orienta, 
seguindo não o currículo ou o livro didático, mas aquilo que o aluno conhece. 
O foco do ensino passa a ser o aluno e o conteúdo matemático a ser explorado, 
desenvolvido, para, finalmente, ser conhecido.
Texto complementar
Figuras de Linguagem 
[...]
(FONSECA, 2001)
Sociedade Piramidal: A referência primeira de professores e alunos, 
quando se fala em pirâmides, é, em geral, a imagem das pirâmides do Egito, 
grandes construções, túmulos dos Faraós. Essa é, afinal, uma associação con-
sagrada, o que faz Garcia (1974, p. 2827) atribuir à palavra “piramidal” o senti-
do (figurado) de colossal, importante, muito grande, notável, extraordinário, 
monumental, como nas expressões “trabalho piramidal” ou “disparate pira-
midal”. Como o termo “sociedade piramidal” já não é de uso tão corriqueiro 
como era o caso das expressões anteriores (pessoa quadrada, círculo vicioso, 
triângulo amoroso), não raro acontece de os professores se deterem apenas 
no adjetivo “piramidal” que compõe a expressão, associando-o a sentidos 
que remontam à grandiosidade das construções egípcias.
264
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Acontece, também, que, sugeridas ainda pela associação com as “pirâmi-
des do Egito”, as interpretações arrisquem uma correlação com os modos de 
organização das sociedades egípcias, ou com aqueles que cultuam a vida 
após a morte.
A expressão “sociedade piramidal”, no entanto, vale-se de outras metá-
foras que se reportam antes à classe de sólidos geométricos (denominados 
de pirâmides) do que aos monumentos egípcios (que são construções cuja 
forma é a de uma pirâmide de base quadrada). Nesse sentido é que se podem 
estabelecer associações entre a relação alto-baixo e uma situação social ou 
mais ou menos privilegiada, e entre uma área maior ou menor de uma seção 
plana paralela à base e a quantidade de pessoas em cada situação. Assim, 
uma pirâmide representaria uma sociedade em que a maior parte das pesso-
as estaria numa situação menos privilegiada (a base), diminuindo o número 
de pessoas na medida em que se avança pelas classes mais privilegiadas 
(correspondendo ao movimento de “subir” na pirâmide a partir da base), até 
encontrarmos no topo, em situação privilegiada em termos sociais, econô-
micos ou políticos (em geral nos três), um número bastante reduzido, que a 
metáfora reduz a um ponto (o vértice).
Mas, como vimos, é comum que os professores em formação e/ou seus 
alunos professores tomem o termo “pirâmide” não como uma designação 
de sólidos geométricos, mas como se referisse somente aos monumentos 
egípcios. Ou, ainda, se o reconhecem como designação de um certo tipo de 
figuras geométricas espaciais restringem o conceito apenas àquelas de base 
quadrada e vértice oposto à base equidistante dos vértices da base ao invés 
de classificar como pirâmide todafigura geométrica espacial formada por 
um polígono (que é a base da pirâmide) e por triângulos que devem possuir 
um vértice comum, como rezam os manuais de Geometria Espacial. Por isso, 
é possível que, ao discutir essa expressão, tenhamos também a oportunida-
de de proceder a um esforço de alargamento das possibilidades de sen-
tido do termo pirâmide. Dizemos alargamento, porque partimos de um sentido 
mais restrito, que não será descartado, mas sobre o qual se trabalhará no 
sentido de relacioná-lo a outras possibilidades de interpretação em contex-
tos diferenciados, em particular no contexto da linguagem matemática.
A Geometria Plana e a Geometria Espacial: o que vemos e o que vivemos
265
Dicas de estudo
Ler o artigo:
“O ensino de Geometria no Ensino Fundamental: reflexões sobre uma experi-
ência de formação envolvendo professores e alunos”.
Autores: Saddo Ag Almouloud, Ana Lúcia Manrique, Maria José Ferreira da 
Silva, Tânia Maria Mendonça Campos
Disponível em: <www.anped.org.br/rbe/rbedigital/RBDE27>. 
O artigo apresenta resultados de uma pesquisa que teve por objetivo investi-
gar questões relacionadas à aprendizagem de Geometria no Ensino Fundamen-
tal e reconhecer as representações dos professores no que se refere ao papel da 
Geometria no processo de formação do aluno.
Atividades
1. Considere sua caneta como unidade de medida. Quanto mede a diagonal do 
seu livro? 
2. Considere a unidade abaixo como unidade de medida.
a) E, agora, quanto mede a diagonal do seu livro? 
266
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
b) Essas medidas são iguais? Por que isso acontece?
3. Por que, fixado um objeto, sua medida pode variar?
A Geometria Plana e a Geometria Espacial: o que vemos e o que vivemos
267
Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho
Números relativos
O problema da conta bancária
Extrato é um documento que mostra a movimentação bancária de um 
cliente, durante um determinado período de tempo. Maria foi ao banco e 
retirou um extrato de sua conta.
A seguir, a reprodução do extrato de Maria.
SIB – Sistema de Informações Banco KKK
07/05/2004 Autoatendimento 10.20.58
Extrato de conta corrente para simples conferência
Agência: 9998-0 Conta: 0007-99
Cliente: Maria H. Irreal
Data Bal. Histórico Docum. Valor
3003 Saldo Ant. 3,06 D
0804 Pg salário 865 357,63 C
0904 CPMF 4,77 D
0904 TRF. Online 0076 170,00 D
2504 Saq. Cartão 5644 150,00 D
3004 Saq. Cartão 8543 50,00 D
3104 S A L D O 20,20 D
Qual o significado da letra D, após alguns valores?
Por que (–1) x (–1) = 1?: 
operações com os números inteiros
270
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Esse problema, típico dos livros didáticos de Matemática do 7.º ano (antiga 6.ª 
série), é utilizado para introduzir os números negativos como uma extensão dos 
números naturais. Problemas como esse são motivadores para que se “amplie” o 
conjunto dos números conhecidos passando a considerar os “números relativos”, 
isto é, o conjunto dos números inteiros, positivos e negativos.
Caraça (2002) parte da consideração de grandezas que podem ser tomadas 
em dois sentidos ou em sentidos opostos.
O interessante exemplo oferecido pelo referido autor é a escala do tempo. No 
nosso calendário, por exemplo, toma-se o nascimento de Cristo como “ano zero” 
e, a partir dessa origem preestabelecida, datam-se os acontecimentos “para lá”, 
isto é, antes do nascimento de Cristo, e “para cá”, isto é, depois de Cristo. Então, 
dizer que o matemático Arquimedes foi um matemático da Antiguidade que es-
tudou questões relacionadas a áreas de figuras planas e volumes de corpos sóli-
dos e que nasceu em 287 a.C. e morreu em 212 a.C. significa dizer que Arquime-
des nasceu 287 anos antes de Cristo e morreu 212 anos antes de Cristo nascer.
Essas são maneiras de o professor introduzir naturalmente uma nova classe 
de números, estendendo o conjunto dos números naturais. Colocando o as-
sunto dessa maneira, lança mão de informações cotidianas, às quais os alunos 
estão acostumados, o que é pedagogicamente aceito como correto. Em geral, os 
alunos já conhecem expressões como “saldo devedor” ou “temperatura negati-
va” e não sentem dificul dades em reconhecer quantidades inferiores a zero.
Para Caraça (2002, p. 91), uma boa maneira de os números negativos serem 
abordados é tentar calcular a diferença de dois números, a – b, na qual b > a, por 
exemplo, no cálculo de 5 – 8. Para que essa conta seja possível, “temos que nos 
libertar da impossibilidade da subtração”.
Então, definimos assim uma operação chamada diferença: 
sejam a e b dois números quaisquer. À diferença � a – b chamaremos o 
número relativo, que diremos positivo, nulo ou negativo, conforme for 
a > b, a = b ou a < b.
Considerando-se a diferença sempre possível de ser realizada, os números 
negativos são introduzidos, e apenas considerou-se uma operação aritmética 
básica, a diferença, muito utilizada pelos alunos desde os anos iniciais do Ensino 
Fundamental. Sem problemas até aqui. 
Por que (–1) x (–1) = 1?: operações com os números inteiros
271
A seguir, o professor explica a posição desses números na reta numérica. Esta 
serve para representar uma bijeção entre os números positivos e negativos e os 
pontos de uma linha imaginária, que representaria todos o números. Fixamos 
uma distância-padrão. O número zero funciona como marco, como ponto de 
referência. À direita do zero, colocamos os números positivos, e à esquerda, os 
números negativos.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
As dificuldades surgem quando os alunos iniciam os cálculos aritméticos. As 
quatro operações fundamentais devem, então, ser consideradas: soma, subtração, 
multiplicação e divisão, realizadas nesse novo conjunto de números relativos.
O professor deve estar atento para que os alunos percebam o que é somar, 
subtrair, multiplicar e dividir com os números relativos, porque essas operações 
fundamentais e básicas serão utilizadas em todo o resto do aprendizado em Mate-
mática. Não é necessariamente verdade que um bom começo tem um bom final, 
mas um mau começo será, provavelmente, muito mais difícil de ser remediado.
Operações com os números relativos: 
soma e subtração (regras de sinais)
Para definir a soma e a subtração de números relativos, parte-se do conceito 
de módulo ou valor absoluto do número. O valor absoluto de um número a, de-
notado por |a|, refere-se à distância que o número possui do ponto de referência 
da reta real que é o zero. Logo, |+ a| = |– a| = a.
A soma e a subtração de números relativos será dada a partir disso.
Dados dois números a e b, então, a soma de a + b, será:
a soma dos módulos com a permanência do sinal, se a e b tiverem o mes- �
mo sinal;
a diferença dos módulos com a permanência do sinal do número de maior �
módulo, se a e b tiverem sinais diferentes.
O professor pode justificar essas regras de forma intuitiva. A soma de dois nú-
meros positivos é ainda positiva, como anteriormente; nada muda. Para a soma 
de dois negativos, o argumento que é usado com frequência é que se “deve-
272
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
mos” algo, a, e depois “devemos” mais um pouco, b, então a dívida aumenta, 
isto é, passamos a dever a + b. Isso justifica os casos em que os sinais de a e b 
coincidem.
Para o caso em que a e b têm sinais diferentes também pode-se usar o argu-
mento de “dívidas”: se temos a e devemos b, por exemplo, então, ao final, tere-
mos a – b (esse é o caso em que a > b, a positivo e b negativo). 
O problema “real” aparece quando passamos à multiplicação. Algo que os alunos 
não compreendem acontece e essa dificuldade passa a ser também do professor 
que sempre está preocupado com o aprendizado dos alunos. Por que a multiplica-
ção de dois números relativos, de sinais negativos, produz um número positivoao 
final? Esse ponto é difícil de se justificar de maneira intuitiva e deixa alguns profes-
sores em uma posição desconfortável, não sabendo o que responder.
Por que (–1) x (–1) = 1?
Regras de sinais para a multiplicação e divisão:
se dois números relativos têm o mesmo sinal, o resultado será positivo; �
se dois números relativos têm sinais contrários, o resultado será negativo. �
Então (–1) x (–1) = 1, porque os números que estamos multiplicando, –1 e –1, 
têm ambos sinal negativo. Mas, por que (–1) x (–1) = 1?
Lima (1991, p. 151) aborda essa questão de uma maneira interessante. Se-
gundo esse autor, o professor Benedito de Morais costumava explicar a “regra 
de sinais” para a multiplicação e divisão de números relativos aos seus alunos da 
seguinte forma:
1.°) o amigo de meu amigo é meu amigo, ou seja, (+) (+) = +;
2.°) o amigo de meu inimigo é meu inimigo, ou seja, (+) (–) = – ;
3.°) o inimigo de meu amigo é meu inimigo, ou seja, (–) (+) = – ;
4.°) o inimigo de meu inimigo é meu amigo, ou seja, (–) (–) = +.
O autor comenta que a justificativa da 4.a regra é passível de crítica porque é 
possível imaginar três pessoas inimigas entre si.
Por que (–1) x (–1) = 1?: operações com os números inteiros
273
Alguns professores continuam a usar esse artifício como prática pedagógica. 
Vários alunos compreendem a explicação, passam a decorar a regra e não come-
tem mais erros, ou passam a cometê-los em menor número, na avaliação escrita.
Porém, e se alguém perguntar: “mas, professor, por que é assim?”
A explicação, nesse ponto, é formal e não intuitiva. Esse é o problema. De fato, 
às vezes, é preciso aceitar que em alguns pontos a Matemática utiliza-se de sua 
formalidade. Esse é um deles.
Desse modo, a pergunta natural é também feita por Lima: “[...] é possível de-
monstrar que (–1) x (–1) = 1?”. 
Bem, o que é demonstrar? O que é uma demonstração, em Matemática? 
Esse objeto nomeado “demonstração”, com o qual o matemático lida tão 
bem, pode ser encarado como a resposta a um “por quê?”1 sobre um enunciado 
matemático. Por isso, não produz no aluno o efeito de naturalidade que produz 
no matemático experimentado. Essa resposta a um “por quê” funda-se na pers-
pectiva da busca pela “verdade”; desde os primórdios da Matemática fala-se em 
“verdadeiro” e “falso” (DOMINGUES, 2002) e essa “verdade matemática” é enca-
rada, muitas vezes, na fundamentação das proposições em um sistema axiomá-
tico-dedutivo, ou seja, um conjunto de afirmações aceitas como verdadeiras, 
funcionando como um ponto de partida. O primeiro exemplo desse método de 
dedução é encontrado na obra Os Elementos, de Euclides (c. 300 a.C.)2, o que 
permite afirmar que a prova há muito tempo vem sendo considerada e, até hoje, 
é importante na Matemática e nos currículos de Matemática, desde o Ensino 
Fundamental até o Superior. 
Entretanto, a vivacidade da prova não garante facilidade para engendrá-la; 
não significa que o aluno perceba sua importância como oportunidade para 
aprendizado; não extingue a possibilidade de que seja a representação de certas 
convenções socialmente adotadas e aceitas como “naturais” ou de que seja a per-
petuação de uma ideologia excludente que sustenta concepções de Matemática 
baseadas em ideias de dominação e privilégios para poucos que demonstram 
habilidades em reproduzi-las.
Pode-se dar aos alunos a oportunidade de trabalhar com demonstrações. 
Uma outra possibilidade é, desde o Ensino Fundamental, nos primeiros contatos 
1 Hanna e Jahnke enfatizam que o “significado original (da prova) é fornecer um meio para se procurar respostas à questão por quê?” (2002, p. 44).
2 Os Elementos, de Euclides (300 a.C.), apresentavam uma Geometria especulativa, de inspiração platônica, e preocupação com o rigor das 
demonstrações. 
274
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
com a Matemática, colocá-los diante de uma problemática que experimenta as 
provas rigorosas, oferecer-lhes oportunidade de conjecturar, errar, decidir sobre 
a validade e a necessidade de hipóteses, de termos. Se a demonstração é uma 
das bases de sustentação em Matemática, então seria natural e desejável trazê- 
-la à tona em cada possível oportunidade. 
Vamos demonstrar que (–1) x (–1) = 1, porque esse fato não é intuitivo, é uma 
consequência das bem-definidas propriedades e operações formais dos números 
relativos. Esse fato decorre da lei distributiva da multiplicação em relação à adição.
Demonstração3 de (–1) x (–1) = 1
Para demonstrar que (–1) x (–1) = 1, vamos primeiro observar os seguintes 
fatos:
Fato 1: – a + a = a + (– a) = 0
Em palavras, a adição do elemento a com seu simétrico – a é igual ao elemen-
to neutro da adição, o zero.
No conjunto dos números relativos, cada elemento possui um inverso adi-
tivo ou elemento simétrico. Quer dizer que para todo elemento a existe outro 
elemento, denotado por – a, então – a + a = a + (–a) = 0. Por exemplo, 5 + (– 5) 
= 0. Vale notar que estamos dizendo que o simétrico de 5 é – 5 e também que o 
simétrico de – 5 é 5. Ou seja, o simétrico de – a é – (– a) = a.
Fato 2: a x 0 = 0
Em palavras, qualquer elemento do conjunto dos números relativos vezes 
zero é igual a zero. 
De fato, 
a + a x 0 = a x 1 + a x 0 = a x (1 + 0) = a = a + 0
Na primeira igualdade, usamos o fato de que 1 é o elemento neutro da multi-
plicação, isto é, qualquer elemento vezes 1 é igual a si mesmo. A segunda igual-
dade é a lei distributiva da multiplicação em relação à adição. A terceira usa o 
fato de que o zero é o elemento neutro da adição, logo 1 + 0 = 1 e, depois, que o 
3 Essa demonstração segue os passos apre sentados em Lima (1991, p. 152). Procurou-se cla rear algumas passagens, inserindo justificativas e 
detalhes.
Por que (–1) x (–1) = 1?: operações com os números inteiros
275
1 é o elemento neutro da multiplicação. A quarta usa novamente o fato de que 
zero é o elemento neutro da adição. 
Agora, comparamos somente os dois extremos das igualdades.
a + a x 0 = a + 0
Pela lei do cancelamento, se somamos a mesma quantidade a ambos os mem-
bros de uma igualdade, a igualdade continua válida. Se, na igualdade acima, so-
mamos o simétrico de a, que é – a, temos que a + a x 0 + (– a) = a + 0 + (– a), ou 
seja, a x 0 = 0.
Fato 3: (–1) x a = – a
Em palavras, multiplicar um número relativo qualquer por –1 é igual a tomar 
o negativo do número multiplicado.
De fato,
a + (–1) x a = 1 x a + (–1) x a = [1 + (–1)] x a = 0 x a = 0
A primeira igualdade usa o fato de que 1 é o elemento neutro da multipli-
cação. A segunda igualdade se verifica por causa da lei distributiva com relação 
à adição. A terceira decorre do fato 1 que mencionamos, 1 + (–1) = 0. A última 
desigualdade vale pelo fato 2.
Logo, estamos dizendo que (–1) x a é o simétrico de a, e como o simétrico é 
único e já sabemos que – a é simétrico de a, decorre que (–1) x a = – a.
Agora podemos ver que (–1) x (–1) = – (–1) = 1. Tomando-se a igual a 
–1 no fato 3, e lembrando que o simétrico de –1 é 1, obtivemos o resultado que 
procurávamos.
De maneira geral, utilizamos esse resultado para provar a regra dos sinais 
para a multiplicação, valendo-nos da propriedade comutativa dos núme-
ros relativos, isto é, que “a ordem dos fatores não altera o produto”; pois 
(–a) x (–b) = [(–1) x a] x [(–1) x b] = [(–1) x (–1)] x (a x b) = 1 x (a x b) = ab.
O que fizemos foi demonstrar que (–1) x (–1) = 1. Para muitos alunos, de-
monstrar algo pode ser difícil ou simplesmente inútil. Alguns alunos argumen-
tam que, se o professor disse que algo é verdadeiro, então é verdadeiro, ou seja, 
a palavra dele é suficiente. Claro que, se um professor faz uma certa afirmação 
em sala de aula, podemos esperar que o que foi dito seja de fato válido; no en-
276
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
tanto, sob o ponto de vista da Matemática formal,a palavra do professor não é 
suficiente, como também não o seria um argumento intuitivo. Demonstrar re-
sultados pode ser tarefa desafiadora para alunos e professores; porém, é o meio 
pelo qual a resposta do porquê que procurávamos pode ser encontrada.
Texto complementar
A regra dos sinais é assim tão difícil?
(GLAESER, 1985)
A introdução conceitual dos números relativos foi um processo surpre-
endentemente lento. Durou mais de 1 500 anos, da época de Diofantes aos 
nossos dias! Durante todo esse tempo, os matemáticos trabalharam com nú-
meros relativos, tendo deles apenas uma compreensão parcial, com espan-
tosas lacunas.
A amplitude deste fenômeno parece haver escapado a sagacidade dos 
historiadores, mais afeitos a estabelecer fatos isolados do que projetar uma 
visão de conjunto sobre um processo tão demorado.
Muitos professores não percebem que a aprendizagem da regra dos sinais 
possa comportar dificuldades.
“É claro, pensam eles, que, se um aluno não entende nada de Matemática, 
fracassará aí como em todos os outros pontos. Mas os números relativos não 
têm nada de particularmente difícil”.
Há muitos trabalhos didáticos sobre a análise dos conceitos numéricos. 
Hans Freudenthal, por exemplo, dedicou 160 páginas de sua obra clássica 
(FREUDENTHAL, 1973) ao exame das numerosas dificuldades observadas na 
aprendizagem dos números. Todavia, ele mal se refere à regra dos sinais. A 
leitura das páginas 279-281 de seu livro nem sequer sugere que ele se tenha 
apercebido do extraordinário fenômeno aqui estudado.
Esse estranho esquecimento é facilmente explicável. À época em que es-
creveu o livro, Freudenthal escolhia os temas de suas análises didáticas entre 
suas observações pessoais. Ora, nenhum matemático da sua geração (nem 
Por que (–1) x (–1) = 1?: operações com os números inteiros
277
da nossa) se lembra de haver sido confundido pela regra dos sinais1. Vinte 
anos antes, as coisas eram diferentes. 
Jean Piaget, ao contrário, embora baseando sua didática em uma filosofia 
pessoal, mostrou-se sensível às observações feitas sobre crianças. Por isso 
mesmo, a dificuldade concernente aos números relativos não lhe escapou. 
Da p. 110 à 115 (PIAGET, 1949), ele consagra um denso comentário às difi-
culdades provocadas pelos números relativos. Cita também o surpreenden-
te texto de d’Alembert que examinaremos adiante. Sua admiração provoca 
uma reflexão didática. Ele se espanta com o fato de que o matemático - en-
ciclopedista “viesse a julgar obscura a noção de quantidade positiva”, sem 
notar que isto ocorreu com todos os matemáticos até o século XIX! Limita-
se a afirmar que a única dificuldade se prenderia ao caráter fixo do número, 
como se o concebia então. Tal obstáculo desapareceria, para Piaget, ao se 
entender que um número simboliza uma ação, não um estado.
Tais hesitações do grande d’Alembert são particularmente instrutivas quanto à natureza 
ativa e não estática do número negativo e do número inteiro em geral. De fato, está claro 
que, se concebermos toda noção matemática como resultante da percepção, o número 
negativo não seria justificável, pois corresponderia a uma ausência de percepção, ou 
ainda menos, e percepções nulas não são suscetíveis de gradação. Espantoso é que essa 
contradição entre a interpretação sensualista do conhecimento e a realidade matemática, 
não tenha levado um espírito tão voltado para o concreto e pouco dado às considerações 
mecânicas como d’Alembert a entender que a natureza essencial do número não é nem 
estática nem perceptiva e, sim, muito dinâmica e ligada a própria ação, interiorizada em 
operações.
A explicação de Piaget comporta uma grande dose de verdade, porém 
não esgota o assunto. Citaremos muitos autores que constantemente insis-
tem no caráter dinâmico do número positivo, relacionado sobretudo a ativi-
dades de medição.
Tais matemáticos, todavia, têm dificuldade em adotar a mesma atitude 
diante dos números relativos. Perturbam-se com outros obstáculos não 
mencionados por Piaget, entre os quais destacamos o que chamamos a am-
biguidade dos dois zeros. Durante séculos os matemáticos se impressionaram 
com o zero absoluto, abaixo do qual nada se poderia conceber. Isto os im-
pediu de manejar com facilidade o zero origem, marcado arbitrariamente 
sobre um eixo orientado. Esta confusão surge, aliás, no curto trecho citado 
de Piaget, sobre “ausência de percepção” e “gradação de percepções nulas”.
1 Há um ano, eu poderia jurar que jamais havia encontrado a menor dificuldade quanto aos números relativos. Atualmente, vejo que o 
meu primeiro contato com uma prova totalmente formal da regra dos sinais ocorreu por volta de meus 25 anos, quando do surgimento 
dos primeiros volumes de Bourbaki. Escrevendo este artigo, vaguei de surpresa em surpresa, ao tomar conhecimento das numerosas 
sutilezas de entendimento sobre o tema que, antes, me passaram despercebidas.
278
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Muitos são os autores a afirmar que “nada poderia ser mais imóvel que a 
imobilidade”. Para descobrir, a partir daí, o conceito de velocidade negativa, 
foi necessária toda uma construção intelectual, que só seria verdadeiramen-
te possível muito depois.
[...]
Dicas de estudo
Ler o livro: Números Negativos.
Coleção: Pra Que Serve Matemática?
Autores: Imenes, Jakobo e Lellis. 
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Esse volume apresenta a noção de número negativo por meio de diversas 
aplicações práticas: os termômetros e a medição da temperatura, o cálculo da 
inflação, dos balancetes e dos saldos bancários, as oficinas mecânicas e a cam-
bagem das rodas, entre outros. Traz também muitas brincadeiras: jogo de dados; 
computação gráfica, desenhos no microcomputador; quebra-cabeças numéri-
cos etc. 
Atividades
1. Problema dos bens (adaptado de Luiz Alberto S. Brasil (1977). Aplicações 
da Teoria de Piaget ao Ensino da Matemática. Rio de Janeiro: Forense Uni-
versitária).
 Após um balanço de seus bens, Paulo verificou que havia esquecido de 
incluir três prestações de R$5.000,00 por pagar. Ao resultado encontrado 
(R$35.000,00) deveria acrescentar três vezes o número negativo 5 000. 
Qual é o valor dos bens de Paulo?
Por que (–1) x (–1) = 1?: operações com os números inteiros
279
2. Ganhos e perdas (adaptado de Luiz Alberto S. Brasil (1977). Aplicações da 
Teoria de Piaget ao Ensino da Matemática. Rio de Janeiro: Forense Univer-
sitária).
 Considere o seguinte enunciado: “Um ganho será representado por um nú-
mero positivo e a perda por um número negativo. Igualmente, o tempo no 
futuro será um número positivo e, no passado, um número negativo”.
 Expresse as situações abaixo na forma algébrica e indique quais foram as 
regras de sinais utilizadas.
a) Se você perde R$5,00 por dia, então daqui a três dias terá perdido 
R$15,00.
280
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
b) Se perde R$5,00 por dia, há três dias você estava R$15,00 mais rico.
Por que (–1) x (–1) = 1?: operações com os números inteiros
281
 
Resolução de problemas
1. 
a) Problema de aplicação.
b) Situação-problema.
c) Problema em aberto.
d) Exercício de reconhecimento.
e) Exercício algorítmico.
2. Movimentando moedas da figura I:
1.º) retire as duas moedas das extremidades da primeira linha e le- �
ve-as uma do lado de uma das moedas da penúltima linha e outra 
ao lado da outra moeda da penúltima linha.
2.º) retire a única moeda da última linha e leve-a acima do espa- �
ço intermediário entre as duas moedas que restaram na primeira 
linha.
3. 
a) 100
9
9
99= +
b) 34
3
3
33= +
c) 31 33
3
3
3= + −
A construção do conceito de número
1. Ao classificar, agrupamos por semelhanças e separamos por diferenças; 
e ao seriar, ordenamos diferenças. Isso é percebido ao compreenderGabarito
284
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
um número como o 6. Agrupamos conjuntos de objetos que tenham essa 
quantidade de elementos e os separamos dos que não o têm. Pela ordenação, 
colocamos o 6 depois do 5 e antes do 7, ou seja 5 < 6 < 7. 
2. As propriedades fundamentais da seriação são:
 Transitividade – se 3 é menor que 4, e 4 é menor que 5, então 3 é menor que 5.
 Reciprocidade – 7 é menor que 10, então 10 é maior que 7.
3. Para a construção do conceito de número é necessário compreender que a 
cardinalidade se refere à quantidade de elementos de uma coleção. Exem-
plo: 5 blusas. A ordinalidade se refere ao lugar que esse determinado núme-
ro ocupa numa sequência ordenada. Exemplo: 5.º andar.
Conhecimento lógico-matemático
1. Conhecimento físico: refere-se a objetos do mundo exterior, como identificar 
características de um objeto (cor, tamanho etc.) ou saber que, se um objeto 
está em nossas mãos e o soltarmos, ele pode cair.
 Conhecimento social: diz respeito ao saber sobre coisas estabelecidas social-
mente, como nomes de objetos, dias em que se comemoram determinadas 
datas.
 Conhecimento lógico-matemático: refere-se às relações criadas pelo sujei-
to.
2. São 4 formas, 2 tamanhos, 2 espessuras e 3 cores.
 Se multiplicarmos 4 x 2 x 2 x 3 = 48 peças.
O desenvolvimento histórico 
do sistema de numeração decimal
1. Homens de diferentes civilizações contavam de maneiras diversas. Alguns 
usavam apenas dois nomes e com esses dois expressavam várias quantida-
des fazendo associações. Outros representavam as quantidades por traços 
285
Gabarito
em pedras ou madeira. Outros usavam partes do corpo, como dedos, braços, 
ombros e outros.
2. É provável que foram os 10 dedos das mãos.
3. Os hindus criaram o sistema que utilizamos hoje e os árabes divulgaram. Por 
isso o nome: números hindu-arábicos.
Discussão de processos e desenvolvimento histórico 
de algoritmos de algumas operações fundamentais
1. 
a) 153 + 87
1 5 3
+ 8 7
1 13 10
2 4 0
7 + 3 = 10
8 + 5 = 13•
0 + 1 = 1••
240
b) 25 + 145
 25 → 125 →165→ 170
 145 → 45 → 5
286
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
2 5 +
1 4 5
1 (para 100)
6 (para 20 + 40)
+ 1 0 (para 5 + 5)
1 7 0
2. 
a) 125 x 34
1 x 34 = 34
2 x 34 = 68
4 x 34 = 136
8 x 34 = 272
16 x 34 = 544
32 x 34 = 1 088
64 x 34 = 2 176
128 x 34 = 4 352
 Como queremos 125 x 34, fazemos 
4 352 – 34 = 4 318
4 318 – 34 = 4 284
4 284 – 34 = 4 250
 (25 + 25 + 25 + 25 +25) x 34 = 850 + 850 + 850 + 850 + 850 = 4 250
b) 248 x 15
2 4 8
x 1 5
3 0 0 0 (para 15 x 200 = 3000)
6 0 0 (para 15 x 40 = 600)
1 2 0 (para 15 x 8 = 120)
3 7 2 0
287
Gabarito
2 4 8
x 1 5
4 0 (para 5 x 8 = 40)
2 0 0 (para 5 x 40 = 200
1 0 0 0 (para 5 x 200 = 1 000)
8 0 (para 10 x 8 = 80)
4 0 0 (para 10 x 40 = 400)
2 0 0 0 (para 10 x 200 = 2 000)
3 7 2 0
Ideias das quatro operações fundamentais
1. 
a) Ideia de completar.
b) Ideia de tirar.
c) Ideia de comparar.
2. Ideia de repartir e ideia de medir.
Compreensão dos números racionais: frações
1. 
1
2
0 5= , 
1
5
0 2= , 
4
5
0 8= ,
2. Parte do todo, quociente e razão.
3) 
a) Quociente
b) Razão
288
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Os decimais
1. A função da vírgula nos números decimais é separar o inteiro das partes.
2. A tecla da calculadora com o ponto tem a função da vírgula.
3. 
a) 2,15
b) 1,875
c) 0,246
d) 1,05
A construção do pensamento geométrico
1. Por vários motivos, entre eles:
 a Geometria permite desenvolver o senso espacial, dando capacidade de �
comparar, classificar, identificar e descrever figuras geométricas;
 auxilia na construção do conhecimento matemático; �
 proporciona o pensamento ligado às relações espaciais e à capacidade de �
síntese;
 favorece a ligação entre a linguagem habitual e a linguagem formalizada �
da Matemática.
2. A Geometria é um corpo do conhecimento social e politicamente construído 
ao longo da história. A história diz que a Geometria teve início no Egito anti-
go, com as medições das terras às margens do rio Nilo, após suas enchentes. 
Com o conhecimento da Geometria foi possível desenvolver outros campos 
como navegação, construção, agricultura e outros. Importantes matemáti-
cos estão ligados ao desenvolvimento da Geometria: Tales, Pitágoras, Eucli-
des, Platão e muitos outros.
3. Os níveis de entendimento são:
visual; �
descritivo/analítico; �
289
Gabarito
dedução informal; �
rigor. �
4. A Geometria Euclidiana se refere às transformações que somente mudam a 
posição do objeto; seu tamanho, distâncias e direções se conservam. A Ge-
ometria Projetiva trabalha com as propriedades espaciais que se conservam 
ao projetar um objeto; conserva-se a retitude e não a medida. Na Geometria 
Topológica, as figuras são submetidas a transformações violentas que as le-
vam a perder suas propriedades.
Sentido das medidas
1. Para se fazer medições mais precisas é necessário um modelo de referência 
fixa, ou seja, um instrumento de medida que seja utilizado como medida-pa-
drão. O modelo-padrão deve ser invariável em função do tempo e do lugar. 
Devido a isso, tomou-se a iniciativa de unificar mundialmente os padrões de 
medidas. 
2. Medir é comparar grandezas de mesma espécie.
3. São eles:
 Inferência transitiva – ao medirmos uma parede com uma fita métrica, preci-
samos entender que a medida tanto da fita quanto da parede são compara-
das por uma medida comum, por exemplo, o metro e os centímetros. 
 Compreensão de medidas – as unidades de medidas devem ser constantes, 
um centímetro é sempre igual; não seria útil medir dois comprimentos em 
palmos se utilizássemos mãos de tamanhos diferentes.
Área e perímetro
1. 
a) (A)
b) (P)
c) (A)
290
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
d) (A)
e) (P)
2. área = 12 x 12 = 144cm2.
3. 
 1.º) Topológico: a área está associada à superfície; e o perímetro, ao contor-
no. Portanto o conceito de área e perímetro correspondem a objetos geomé-
tricos distintos.
 2.º) Dimensional: a unidade para medir perímetro é unidimensional (possui 
apenas uma dimensão) e a unidade para medir área é bidimensional.
 3.º) Computacional: corresponde à aquisição das fórmulas de área e períme-
tro. Exemplo: para um quadrado de lado a, a área será a2 e o perímetro será 
 a + a + a + a = 4a.
 4.º) Variacional: área e perímetro não variam necessariamente no mesmo senti-
do, e superfícies de mesma área podem ter perímetros distintos e vice-versa.
O pensamento algébrico
1. Numa equação, o símbolo ou a letra que representa um número é uma in-
cógnita porque possui valor sem depender de outras condições. Numa fun-
ção, os símbolos ou letras que representam números são chamados variá-
veis, pois seus valores estão condicionados aos valores de outras variáveis. 
Por exemplo: para calcular o perímetro de um quadrado podemos escrever 
que P = 4 . a (sendo a o valor do lado do quadrado). Nessa expressão, o valor 
de P depende do valor de a, então P e a são variáveis.
2. 
 1.ª) Retórica ou verbal: o pensamento era expresso com palavras.
 2.ª) Sincopada: surgiu com o grego Diofanto, que usava a letra grega “sigma” 
para representar a incógnita numa equação. Os hindus utilizavam abrevia-
ções para representações algébricas.
 3.ª) Simbólica: utiliza somente símbolos.
3. Exemplo para resolver a questão:
291
Gabarito
 O gavião chega a um pombal e diz:
 – Adeus, minhas cem pombas!
 As pombas respondem em coro:
 – Cem pombas não somos nós, com mais dois tantos de nós e com você, meu 
caro gavião, cem pássaros seremos então!
 Quantas pombas estão no pombal?
 Podemos utilizar p para