RESOLUÇÃO LISTA 1 PIRÂMIDE

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LISTA 1 - PIRÂMIDES – GABARITO 
 
1. Calcular a medida da altura de um tetraedro regular sabendo que o perímetro da base mede 9cm. 
 
SOLUÇÃO. 
 
O tetraedro regular é a pirâmide triangular regular com todas as faces sendo triângulos equiláteros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE 
 
 
 
O apótema, g, da pirâmide é a altura do triângulo equilátero. 
 
2
33
=
2
3l
=g
 → 
cm
2
33
=g
 
 
CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE 
 
O apótema da base, ab, é a terça parte da altura da base (também mediana). 
 
2
3
=
6
33
=)
2
33
(.
3
1
=)
2
3l
(.
3
1
=ap
 → 
cm
2
3
=ap
 
 
CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE 
 
 
Aplicando PITÁGORAS, teremos: 
4
3
-
4
3.9
=h→)
2
3
(+h=)
2
33
(→ap+h=g 2222222
 
 
→
4
24
=h→
4
24
=h→
4
3
-
4
27
=h 22 cm6=h
 
2. Determinar a área lateral e total de uma pirâmide triangular regular de 7cm de apótema, sendo 2cm o 
raio do círculo circunscrito à base. 
 
Solução. 
 
 
 
CÁLCULO DA ARESTA DA BASE 
 
 O apótema da pirâmide é a altura da face. A aresta da base pode ser calculada em função do raio. 
Utilizando essas informações, temos: 
 
 
 
cm32=a→3r=a
 
 
CÁLCULO DA ÁREA BASE 
 
A pirâmide triangular regular possui a base como um triângulo equilátero. 
 
 
 
4
3a
=A
2
equiláterotriângulo
 
 
4
3a
=A
2
b
 → ( )
4
332
=A
2
b
 → 
4
33.4
=A
b
 → 
4
312
=A
b
 → 
2
b
cm33=A
 
 
CÁLCULO DA ÁREA LATERAL 
 
Num pirâmide triangular regular, sabemos que as faces laterais são triângulos, e como temos 3 faces no 
tetraedro regular, a área lateral será 6 vezes a área de um triângulo, logo: 
 
2
h.b
=A
tiângulo
 
retângulol
A.3=A
 → 
→)
2
7.32
(.3=A→)
2
g.a
(.3=A→)
2
h.b
(.3=A
lll
cm321=A
l
 
 
CÁLCULO DA ÁREA TOTAL 
 
A área total de uma pirâmide triangular regular é calculada somando-se a área lateral com a área da 
base. 
 
 
 
blt
A+A=A
 → 
33+321=A
t
 → 
2
t
cm324=A
 
 
3. O volume de uma pirâmide quadrangular regular é 144m³ e a altura é o dobro da aresta da base. 
Calcule a altura dessa pirâmide. 
 
Solução. 
 
A base da pirâmide quadrangular regular é um quadrado. 
 
2
quadrado
a=A
 → 
2
b
a=A
 
 
3
h.A
=V
b
 → 
432=a2→a2=3.144→
3
a2.a
=144 33
2 
→216=a→216=a→
2
432
=a 333 cm6=a
 
→6.2=h→a2=h cm12=h
 
 
5. Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base medindo 8 cm e área lateral igual a 
5
3
 da 
área total. Calcular a altura e a área lateral desta pirâmide. 
 
Solução. 
 
A área total é a soma da área lateral com a área da base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DA ÁREA BASE 
 
A pirâmide quadrangular regular possui a base um quadrado. 
 
2
quadrado
a=A
 → 
2
b
a=A
 → 
2
b
8=A
 → 
2
b
cm64=A
 
 
 
 
CÁLCULO DA ÁREA LATERAL 
 
Numa pirâmide quadrangular regular, sabemos que as faces laterais são triângulos, e como temos 4 
faces, a área lateral será 4 vezes a área de um triângulo, logo: 
 
2
h.b
=A
tiângulo
 
triângulol
A.4=A
 → 
→
2
g.32
=A→)
2
g.8
(.4=A→)
2
g.a
(.4=A→)
2
h.b
(.4=A
llll
 
g16=A
l
 
 
CÁLCULO DA ÁREA TOTAL 
 
A área total é calculada efetuando-se a soma da área lateral com a área da base. 
 
g16+64=A→A+A=A
tblt
 
 
CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE 
 
Do enunciado tiramos que a área lateral é 
5
3
 da área total, logo: 
→g48+192=g80→)g16+64(.3=5.g16→
5
3
.)g16+64(=g16→
5
3
.A=A
tl
 
→
32
192
=g→192=g32→192=g48g80→g48+192=g80 cm6=g
 
 
CÁLCULO DO APÓTEMA DA BASE 
 
O apótema da base é igual à metade do lado do quadrado. 
 
→
2
8
=a→
2
l
=a
bb
cm4=a
b
 
 
CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE 
 
Aplicando PITÁGORAS, teremos: 
 
 
→5.4=h→20=h→20=h→16-36=h→)4(+h=)6(→ap+h=g 22222222
 
 
cm52=h
 
 
6. Sendo 192m² a área total de uma pirâmide quadrangular regular e 
m23
 o raio do círculo inscrito na base, 
calcule a altura da pirâmide. 
 
Solução. 
 
A aresta da base quadrada pode ser calculada em função do raio. 
 
 
 
CÁLCULO DA ARESTA DA BASE 
 
 
 
A aresta da base é igual ao diâmetro da circunferência, logo: 
 
→)23(.2=a→r2=d=a m26=a
 
 
CÁLCULO DA ÁREA BASE 
 
 
 
A pirâmide quadrangular regular possui a base um quadrado. 
 
2
quadrado
a=A
 → 
2
b
a=A
 → 
2
b
)26(=A
 → 
2.36=A
b
→ 
2
b
m72=A
 
CÁLCULO DA ÁREA LATERAL 
 
Numa pirâmide quadrangular regular, sabemos que as faces laterais são triângulos, e como temos 4 
faces, a área lateral será 4 vezes a área de um triângulo, logo: 
 
 
 
 
2
h.b
=A
tiângulo
 
triângulol
A.4=A
 → 
→)
2
g.26
(.4=A→)
2
g.a
(.4=A→)
2
h.b
(.4=A
lll
 
→
2
g.224
=A
l
g.212=A
l
 
 
CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE 
 
A área total de uma pirâmide quadrangular regular é calculada somando-se a área lateral com a área da 
base. 
 
blt
A+A=A
 → 
→g212=120→g212=72-192→72+g.212=192
 
→
2
210
=g→
2.12
2120
=g→.
)2(12
2120
=g→
2
2
.
212
120
=g.→
212
120
=g
2
 
→ 
2m25=g
 
 
CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE 
 
 
 
Aplicando PITÁGORAS, teremos: 
→32=h→81-50=h→81-2.25=h→)23(+h=)25(→r+h=g 222222222
 
→2.16=h→32=h→32=h m24=h
 
 
7. Calcule o volume de uma pirâmide de 12cm de altura, sendo a base um losango cujas diagonais 
medem 6cm e 10cm. 
 
Solução. 
CÁLCULO DA ÁREA BASE 
 
A pirâmide possui a base um losango, logo: a área do losango é calculada como a metade do produto de 
suas diagonais. 
 
2
d.D
=A
losango
→
losangob
A=A
→
2
d.D
=A
b
→
2
60
=A→
2
6.10
=A
bb
→
2
b
cm30=A
 
 
CÁLCULO DO VOLUME 
 
4.30=V→
3
12.30
=V→
3
h.A
=V
b
→
3cm120=V
 
 
8. Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros 
de lado 4, em centímetros quadrados. 
 
Solução. 
 
 
 
CÁLCULO DO APÓTEMA DA BASE 
 
 
 
O apótema da base é igual à metade do lado do quadrado. 
 
→
2
4
=a→
2
l
=a
bb
cm2=a
b
 
 
CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE 
 
Se as faces laterais da pirâmide são triângulos equiláteros, então o apótema da pirâmide, g, será a altura 
desse triângulo. As arestas da base possuem a mesma medida do lado do triângulo. Temos: 
 
 
 
2
34
=g→
2
3l
=g→h=g
 →
cm32=g
 
 
CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE 
 
Aplicando PITÁGORAS, teremos: 
 
 
→2.4=h→8=h→8=h→4-12=h→)2(+h=)32(→ap+h=g 22222222
 
 
cm22=h
 
 
CÁLCULO DA ÁREA BASE 
 
A pirâmide quadrangular regular possui a base um quadrado. 
 
2
quadrado
a=A
 → 
2
b
4=A
 → 
2
b
cm16=A
 
 
 
 
CÁLCULO DO VOLUME 
 
→
3
22.16
=V→
3
h.A
=V
b 3cm
3
232
=V=V