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Cálculo diferencial III – Carlos Cidade
	1) Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que
(I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação.
(II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes.
(III) Solução Singular é toda solução que não pode ser obtida a partir da solução geral atribuindo-se às constantes valores particulares.
		
	
	(I)
	
	(I) e (II)
	
	(III)
	 
	(II)
	 
	(I), (II) e (III)
	
	2) Qual a única resposta correta como solução da ED :  dydx=yx+1 ?
		
	
	lny=ln|1-x |
	
	lny=ln|x -1|
	
	lny=ln|x|
	 
	lny=ln|x+1|
	
	lny=ln|x 1|
	
	3) Considere a equação d3ydx3+y2=x. Podemos afirmar que sua ordem e o seu grau são respectivamente:
		
	
	3 e 2
	
	2 e 3
	
	1 e 2
	
	3 e 0
	 
	3 e 1
	
	4) Resolva a equação diferencial (x+1).dydx=x.(1+y2).
		
	
	y=sen[x-ln|x+1|+C]
	
	y=sec[x-ln|x+1|+C]
	
	y=cos[x-ln|x+1|+C]
	 
	y=cotg[x-ln|x+1|+C]
	 
	y=tg[x-ln|x+1|+C]
	
5) Resolva separando as variáveis e indique a resposta correta: ey.(dydx+1)=1.
		
	
	ey =c-x
	
	y- 1=c-x
	
	lney =c
	
	ey =c-y
	 
	ln(ey-1)=c-x
	
6) Indique qual é a solução da equação diferencial: xdx+ydy=xy(xdy-ydx)
		
	
	1+y=C(1-x²)
	
	seny²=C(1-x²)
	 
	1+y²=C(1-x²)
 
	
	C(1 - x²) = 1
	 
	1+y²=C(lnx-x²)
	
	7) Indique a solução correta da equação diferencial: dydx=7x³.
		
	
	y=- 7x³+C
	
	y=7x³+C
	 
	y=275x52+C
	
	y=7x+C
	
	y=x²+C
	
8) Seja y = C1e-2t + C2e-3t  a solução geral da EDO  y" + 5y´ + 6y = 0.  Marque a alternativa que indica a solução do problema de valor inicial (PVI) considerando y(0) = 2 e y(0)=3.
		
	
	y = 3e-2t - 4e-3t
	 
	y = 9e-2t - e-3t
	
	y = 8e-2t + 7e-3t
	
	y = e-2t - e-3t
	 
	y = 9e-2t - 7e-3t
	
1) A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Com relação às equações diferenciais de primeira ordem é SOMENTE correto afirmar que
(I) A forma geral das equações diferenciais de 1a ordem é F(x,y,y´)=0 .
(II) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma: dydx=F(x,y).
(III) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma M dx+ N dy=0 onde M=M(x,y) e N=N(x,y) são continuas no intervalo considerado.
		
	
	(II)
	 
	(I), (II) e (III)
	
	(I)
	
	(I) e (II)
	
	(III)
	
2) Diversos são os sistemas cujo comportamento é descrito por equações diferenciais ordinárias. Desta forma, é importante que se estude a resolução destas equações. Com relação à resolução de equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que
(I) Resolver uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa identidade. (II) Chama-se solução da equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 toda função , definida em um intervalo aberto (a,b), juntamente com suas derivadas sucessivas até a ordem n inclusive, tal que ao fazermos a substituição de y por na equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 , esta se converte em uma identidade com respeito a x no intervalo (a,b). (III) Integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa identidade.
		
	
	(I)
	
	(III)
	
	(I) e (II)
	
	(II)
	 
	(I), (II) e (III)
	
3)Qual a única resposta correta como solução da ED :  dydx=yx+1 ?
		
	
	lny=ln|1-x |
	
	lny=ln|x -1|
	
	lny=ln|x|
	
	lny=ln|x 1|
	 
	lny=ln|x+1|
	
4) Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que
(I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação.(II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes. (III) Solução Singular é toda solução que não pode ser obtida a partir da solução geral atribuindo-se às constantes valores particulares.
		
	
	(III)
	
	(I) e (II)
	
	(I)
	 
	(I), (II) e (III)
	
	(II)
	
	
	5) Marque a alternativa que indica a solução da eq. diferencial de variáveis separáveis               xdy - (y + 1)dx = 0.
		
	 
	y = kx - 1
	
	y = kx2 + 1
	
	y = kx + 2
	
	y = kx - 2
	
	y = kx2 - 1
	
	
	6) Considere a equação x2y+xy'=x3. Podemos afirmar que sua ordem e seu grau são respectivamente:
		
	
	1 e 2
	
	3 e 2
	
	2 e 3
	 
	1 e 1
	
	2 e 1
	 
7) Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta:
ydx+(x+xy)dy = 0
		
	 
	lnxy+y=C
	
	lnx-lny=C
	
	lnx+lny=C
	
	3lny-2=C
	
	lnx-2lnxy=C
	
	8) Marque a alternativa que indica a solução geral da equação  diferencial de variáveis separáveis dx + e3x dy.
		
	
	y = (e-2x/3) + k
	 
	y = (e-3x/3) + k
	
	y = e-3x + K
	
	y = e-2x + k
	
	y = (e3x/2) + k
	
1)Considere a equação  :  Ld2Qdt2+RdQdt+Q=2-t3. Podemos afirmar que sua ordem e o seu grau são, respectivamente:
		
	
	2 e 2
	 
	2 e 1
	
	3 e 2
	
	2 e 3
	
	1 e 0
	 
2) Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta:
2rcosΘdr-tgΘdΘ=0
		
	
	rsenΘ=c
	 
	r²-secΘ = c
	
	rsenΘcosΘ=c
	
	r²senΘ=c
	
	cossecΘ-2Θ=c
	
	
	
	3 ) A equação diferencial abaixo é de primeira ordem. Qual é a única resposta correta?  cosΘdr-2rsenΘdΘ=0
 
	
	r³secΘ = c
	
	rsec³Θ= c
	 
	rcos²Θ=c
	 
	rsen³Θ+1 = c
	
	rtgΘ-cosΘ = c
	
4) Resolva separando as variáveis e indique a resposta correta: ey.(dydx+1)=1.
		
	
	y- 1=c-x
	
	lney =c
	 
	ln(ey-1)=c-x
	
	ey =c-y
	
	ey =c-x
	
5) Seja y = C1e-2t + C2e-3t  a solução geral da EDO  y" + 5y´ + 6y = 0.  Marque a alternativa que indica a solução do problema de valor inicial (PVI) considerando y(0) = 2 e y(0)=3.
		
	
	y = 8e-2t + 7e-3t
	
	y = 9e-2t - e-3t
	 
	y = 9e-2t - 7e-3t
	
	y = e-2t - e-3t
	
	y = 3e-2t - 4e-3t
	
6) Considere a equação d3ydx3+y2=x. Podemos afirmar que sua ordem e o seu grau são respectivamente:
		
	
	2 e 3
	
	1 e 2
	 
	3 e 1
	
	3 e 2
	
	3 e 0
	
7) Resolva a equação diferencial (x+1).dydx=x.(1+y2).
		
	 
	y=tg[x-ln|x+1|+C]
	
	y=cos[x-ln|x+1|+C]
	
	y=cotg[x-ln|x+1|+C]
	
	y=sec[x-ln|x+1|+C]
	
	y=sen[x-ln|x+1|+C]
	
	
	
	8) Indique qual é a solução da equação diferencial: xdx+ydy=xy(xdy-ydx)
		
	 
	1+y²=C(1-x²)
 
	
	1+y=C(1-x²)
	
	seny²=C(1-x²)
	
	1+y²=C(lnx-x²)
	
	C(1 - x²) = 1
	
1)Indique a solução correta da equação diferencial: dydx=7x³.
		
	 
	y=275x52+C
	
	y=x²+C
	
	y=7x³+C
	
	y=- 7x³+C
	
	y=7x+C
	
2) Indique qual é a solução geral correta para a solução da equação diferencial: xdx+ydy=0
		
	
	x²- y²=C
	
	-x² + y²=C
	 
	x²+y²=C
	
	x-y=C
	
	x + y=C
	3) Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que: (I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação. (II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes. (III) Solução Singular é toda solução que não pode ser obtida a partir da solução geral atribuindo-se às constantes valores particulares.
		
	
	(II)
	
	(I) e (II)
	
	(III)
	 
	(I), (II) e (III)
	
	(I)
	
4) Resolva a equação diferencialde primeira ordem e informe qual a resposta correta: ydx+(x+xy)dy = 0
		
	
	lnx-2lnxy=C
	
	3lny-2=C
	
	lnx-lny=C
	 
	lnx+lny=C
	 
	lnxy+y=C
	5) A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Com relação às equações diferenciais de primeira ordem é SOMENTE correto afirmar que: (I) A forma geral das equações diferenciais de 1a ordem é F(x,y,y´)=0 . (II) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma: dydx=F(x,y). (III) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma M dx+ N dy=0 onde M=M(x,y) e N=N(x,y) são continuas no intervalo considerado.
		
	 
	(I), (II) e (III)
	
	(I) e (II)
	
	(I)
	
	(III)
	
	(II)
	
6) Qual a única resposta correta como solução da ED :  dydx=yx+1 ?
		
	 
	lny=ln|x+1|
	
	lny=ln|1-x |
	
	lny=ln|x|
	
	lny=ln|x -1|
	
	lny=ln|x 1|
	
7) Considere a equação x2y+xy'=x3. Podemos afirmar que sua ordem e seu grau são respectivamente:
		
	
	3 e 2
	
	2 e 3
	
	1 e 2
	 
	1 e 1
	
	2 e 1
	
8) Marque a alternativa que indica a solução geral da equação  diferencial de variáveis separáveis dx + e3x dy.
		
	
	y = (e-2x/3) + k
	
	y = (e3x/2) + k
	
	y = e-2x + k
	 
	y = (e-3x/3) + k
	
	y = e-3x + K
	
1) Uma função f(x,y) é dita homogênea com grau de homogeneidade k quando f(tx,ty)=tkf(x,y)
Verifique se a função f(x,y)=x2+y2 é homogênea e,  se for, qual é o grau e indique a única resposta correta.
		
	 
	Homogênea de grau 2.
	
	Homogênea de grau 4.
	
	Homogênea de grau 1.
	
	Homogênea de grau 3.
	
	Não é homogênea.
	
2) Indique a solução da equação diferencial: dydx = 5x4+3x2+1.
 
		
	 
	y=x5+x3+x+C
	
	y=-x5-x3+x+C
	
	y=5x5-x³-x+C
	
	y=x²-x+C
	
	y=x³+2x²+x+C
	
3) Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis.
dx+e3xdy=0
		
	
	y=12e3x+C
	
	y=13e3x+C
	
	y=e3x+C
	
	y=ex+C
	 
	y=13e-3x+C
	
	
	4) Resolva a equação diferencial    exdydx=2x  por separação de variáveis.
		
	 
	y=-2e-x(x+1)+C
	
	y=12ex(x+1)+C
	
	y=-12e-x(x-1)+C
	
	y=e-x(x+1)+C
	
	y=e-x(x-1)+C
	5) Resolva a equação diferencial dada abaixo por separação de variáveis.  xy´=4y
		
	
	y=cx2
	
	y=cx
	 
	y=cx4
	
	y=cx3
	
	y=cx-3
	
	
	
	6) Indique a solução da equação diferencial: dydx = 6x²+15x²+10.
		
	 
	y=-6x+5x³+10x+C
	
	y=6x -5x³+10x+C
	
	y=6x+5x³ -10x+C
	
	y=6x+5x³+10x+C
	
	y=-6x -5x³ -10x+C
	7) "As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII."Boyce e Di Prima. Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que: (I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita. (II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação. (III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
		
	 
	(I), (II) e (III)
	
	(III)
	
	(I)
	
	(I) e (II)
	
	(II)
	
	
		1.
		Resolva a equação diferencial indicando a resposta correta: y'tgx - 2y = a. 
	
	
	
	
	
	cos²x = ac
	
	
	cos²x + sen²x = ac
	
	 
	sen² x = c(2y + a)
	
	
	secxtgy = c
	
	
	secxtgy² = c
	
	
		2.
		Resolva separando as variáveis e indique a resposta correta: ey.(dydx+1)=1.
	
	
	
	
	
	lney =c
	
	
	y- 1=c-x
	
	
	ey =c-y
	
	 
	lney-1=c-x
	
	
	ey =c-x
	
	
	
		3.
		Resolva e indique a resposta correta: rsecθdr-2a²senθdθ=0
	
	
	
	
	
	2a² sen²θ = c
	
	
	 cos²θ = c
	
	
	r + 2a cosθ = c
	
	 
	r²  - 2a²sen²θ = c
	
	
	r² + a² cos²θ = c
	
		4.
		Dada a ED xdydx=x2+3y; x>0, indique qual é o único fator de integração correto:
	
	
	
	
	
	x3
	
	 
	1x3
	
	
	- 1x2
	
	
	- 1x3
	
	
	1x2
		5.
		Resolva a equação diferencial indicando a resposta correta: xy' + y = y²
	
	
	
	
	
	x = c(1 - y)
	
	 
	y = c(1 - x)
	
	
	x - y = c(1 - y)
	
	
	x + y = c(1 - y)
	
	 
	xy = c(1 - y)
	
	
	
		6.
		Seja a equação diferencial 2dydx+3y=e-x. Qual dentre as opções abaixo não é uma solução da equação diferencial proposta, sabendo que y=f(x) ?
	
	
	
	
	
	y=e-x
	
	
	y=e-x+C.e-32x
	
	
	y=e-x+2.e-32x
	
	
	y=e-x+e-32x
	
	 
	y=ex
	
	
		7.
		Marque dentre as opções abaixo a solução da equação diferencial dydx=(1+y2).ex para x pertencente a o inervalo [-π2,π2]
	
	
	
	
	
	y=sen(ex+C)
	
	
	y=2.tg(2ex+C)
	
	
	y=2.cos(2ex+C)
	
	
	y=cos(ex+C)
	
	 
	y=tg(ex+C)
	
		1.
		Resolva a equação diferencial 2xydx+(x2-1)dy=0
	
	
	
	
	
	x2- 1=C
	
	
	x2y +y=C
	
	 
	x2y-y=C
	
	
	x2y-2y=C
	
	
	x3y +y=C
	
	
	
		2.
		Resolva a equação diferencial exata (2x-y+1)dx-(x+3y-2)dx=0.
	
	
	
	
	 
	2xy-3y2+4y+2x2 =C
	
	
	2y-3y2+4y+2x2 =C
	
	
	-2y-3y2+4y+2x2+2x=C
	
	
	-2xy-3y2 -4xy+2x2+2x=C
	
	 
	-2xy-3y2+4y+2x2+2x=C
	
	
		3.
		Verifique se a equação diferencial (2x-y+1)dx-(x+3y-2)dx=0 é exata.
	
	
	
	
	
	(δMδy)=(δNδx)=0
	
	
	(δMδy)=(δNδx)=-2
	
	 
	(δMδx)=(δNδy)=-1
	
	 
	(δMδy)=(δNδx)=-1
	
	
	(δMδy)=(δNδx)= 1
		4.
		A equação diferencial y2dx+(xy+1)dy=0 não é exata. Marque a alternativa que indica o fator integrante que torna a equação exata. 
	
	
	
	
	
	λ=-1y2
	
	
	λ=-2x
	
	 
	λ=-1y
	
	 
	λ=y
	
	
	λ=-1x
		5.
		Uma equação diferencial  Mdx+Ndy=0 é chamada de exata se:
	
	
	
	
	δM/δy = -  δN/δx
	
	
	δM/δy = 1/δx
	
	 
	δM/δy= δN/δx
	
	 
	δM/y = δN/x
	
	
	1/δy = δN/δx
	
		6.
		A equação diferencial (x2-y2)dx+2xydy=0 não é exata. Marque a alternativa que indica o fator integrante que torna a equação exata.
	
	
	
	
	 
	λ=4y2
	
	 
	λ=1x2
	
	
	λ=-1x2
	
	
	λ=1y2
	
	
	λ=2x2
	
	
		7.
		Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta: (1+x² )dy  +  (1+y2)dx  =  0
	
	
	
	
	
	y² =arctg(c(x+2)²)
	
	 
	y² +1= c(x+2)²
	
	
	y²-1=cx²
	
	
	y-1=c(x+2)
	
	 
	arctgx+arctgy =c
	
	
		8.
		Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata.
	
	
	
	
	É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=0
	
	
	É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=4
	
	 
	É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=0
	
	
	É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=5x
	
	
	É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=7