Quantificadores Diagramas e Negacao

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(3) Quantificadores , Diagramas e Negação 
 
 Temos dois tipos de quantificadores o UNIVERSAL(  ) e o EXISTENCIAL(  ) . 
 
(3.1) QUANTIFICADOR UNIVERSAL: é representado pelo símbolo “  “, um A invertido, nos 
transmite uma idéia geral, sem restrição. Usa-se o quantificador universal quando a condição 
ou propriedade é estendida a todos os elementos do conjunto, ou seja, o conjunto verdade 
é igual ao universo considerado. Existem várias palavras e expressões na Língua Portuguesa que 
representam um quantificador universal tais como: todo, nenhum, cada um, qualquer que seja, 
ninguém, para cada, dentre outras. Vejamos alguns exemplos: 
 
1) “ todos os beija-flores voam rapidamente ”. 
2) “ para cada x, (x + 2) > 7 ” . 
3) “ (x)(xIR) (x + 3 = 7) “. 
 
Cabe destacar que duas palavras da Língua Portuguesa, todo e nenhum, podem ser representadas 
por diagramas da seguinte forma : 
 
- Todo A é B : a idéia é de que “ todos os elementos de A são elementos de B “, agora a 
informação dada é sobre A, não sabemos se B é “ maior “ ou “ igual “ a A, ou seja, nada podemos 
afirmar sobre B. 
 
- Nenhum A é B : a idéia é de que “ não temos elementos de A que sejam elementos de B 
“, A e B são disjuntos, a representação é a da Fig. 03 . 
 
 
(3.2) QUANTIFICADOR EXISTENCIAL ou PARTICULARIZADOR: é representado pelo símbolo 
“  “, um E rebatido, nos passa uma idéia de parte, com restrição. O quantificador existencial 
traduz a ideia de existência de condições para a validade de uma proposição, ou seja, a 
validade da condição ou da propriedade é obtida apenas sobre uma parte do universo U. 
Existem várias palavras e expressões na Língua Portuguesa que representam um quantificador 
existencial tais como: nem todo, algum, alguém, existe um, pelo menos um, dentre outras. Vejamos 
alguns exemplos: 
 
1) “Alguns filósofos são matemáticos” 
2) “existe x  { 1, 2, 3, 4, 5 }, (x + 6) > 4” 
3) “ há médicos que não sabem física “. 
 
 
 
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De todas as palavras da Língua Portuguesa que representam o quantificador existencial, cabe 
destacar o algum, que pode ser representado por um diagrama da seguinte forma, Fig. 03: 
 
 
Quando dizemos “ Algum A é B “ estamos declarando algo sobre A em relação a B, não sabemos 
quem é B em relação a A, por isso é que podemos representar B de duas formas, ver Fig. 03. 
Cuidado, não podemos afirmar que “ Algum B é A “, a não ser que anteriormente tenha sido dito 
algo sobre B. Por exemplo, sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 3, 4, 5, 6 } , neste caso 
“ Algum A é B “ implica em “ Algum B é A “ . Você irá perceber que quando formos resolver 
as quentões, iremos utilizar, de forma genérica, o 1º desenho para representar “ Algum A é B “, 
mas você terá que ter em mente que podemos ter as duas formas. 
Também temos “ Algum A não é B “, que pode ser representado assim : 
 
 
Note que “ Algum A é B “ e “ Algum A não é B “ não representam os mesmos objetos, não são 
equivalentes, um é a consequência do outro. 
 
(3.3) Negação dos Quantificadores: é unânime na literatura que a negação dos quantificadores é 
feita com as seguintes equivalências, chamadas de Segundas Leis de De Morgan: 
 
( 3.3.1 ) ~ [  x, P(x)]   x ~P(x) : o quantificador universal é trocado pelo existencial e 
negamos o predicado P(x). 
 
(3.3.2) ~ [  x, P(x) ]   x ~P(x) : o quantificador existencial é trocado pelo universal e 
negamos o predicado P(x). 
 
MUITO CUIDADO!!! Alguns autores e algumas bancas dão para a negação de “ Todo o aluno fez 
a prova “ a sentença “Algum aluno fez a prova “, e vice-versa. Você irá raciocinar da seguinte 
forma na hora da sua prova : 
1º ) se aparecer a negação de “ Todo o aluno fez a prova “, ou algo parecido, você irá utilizar a 
equivalência ~ [  x, P(x)]   x ~P(x), ou seja, “Algum aluno não fez a prova “. 
2º ) Se você não encontrar esta opção, aí irá procurar “ Algum aluno fez a prova “, agora se 
estiverem as duas opções, ÂNIMO , você irá optar pela primeira, ou seja, “Algum aluno não fez a 
prova “. Vamos resolver alguns exercícios para que você tenha uma ideia concreta. 
 
Ex. : A negação de “Nenhum músico é surdo” é: 
a) Há, pelo menos, um músico surdo. b) Alguns surdos são músicos. 
c) Todos os músicos são surdos. d) Todos os surdos são músicos. 
e) Todos os músicos não são surdos. 
 
 
 
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QUESTÕES APLICADAS 
 
(01) Qual é a negação da proposição “Alguma lâmpada está acesa e todas as portas estão 
fechadas”? 
a) Todas as lâmpadas estão apagadas e alguma porta está aberta. 
b) Todas as lâmpadas estão apagadas ou alguma porta está aberta. 
c) Alguma lâmpada está apagada e nenhuma porta está aberta. 
d) Alguma lâmpada está apagada ou nenhuma porta está aberta. 
e) Alguma lâmpada está apagada e todas as portas estão abertas. 
 
(02) Considere a afirmação “Todas as pessoas inteligentes gostam de matemática”. Assinale a 
afirmativa abaixo que corresponde a uma violação desta afirmação. 
A) “Existem pessoas que gostam de matemática e não são inteligentes”. 
B) “Nenhuma pessoa que goste de matemática é inteligente”. 
C) “Nenhuma pessoa que é inteligente gosta de matemática”. 
D) “Existem pessoas que gostam de matemática e não são inteligentes”. 
E) “Existem pessoas inteligentes que não gostam de matemática”. 
 
(03) A negação de “Todos os caminhos levam a Roma” é: 
(A) “Todos os caminhos não levam a Roma”. 
(B) “Nenhum caminho leva a Roma”. 
(C) “Pelo menos um caminho leva a Roma”. 
(D) “Pelo menos um caminho não leva a Roma”. 
(E) “Não há caminhos para Roma” 
 
(04) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, 
equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: 
a) pelo menos um economista não é médico. 
b) nenhum economista é médico. 
c) nenhum médico é economista. 
d) pelo menos um médico não é economista. 
e) todos os não médicos são não economistas. 
 
(05) Considere a afirmação: “Todo corintiano é feliz.” A partir dessa afirmação, pode-se concluir 
que: 
a) todo homem feliz é corintiano. 
b) todo palmeirense é infeliz. 
c) toda pessoa que não é corintiano não é feliz. 
d) um infeliz certamente não é corintiano. 
e) existem infelizes que são corintianos. 
 
(06) Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras: 
“Alguma mulher é vaidosa.” 
“Toda mulher é inteligente.” 
 
Assim sendo, qual das afirmações seguintes é certamente verdadeira? 
a) Alguma mulher inteligente é vaidosa. 
b) Alguma mulher vaidosa não é inteligente. 
c) Alguma mulher não vaidosa não é inteligente. 
d) Toda mulher inteligente é vaidosa. 
e) Toda mulher vaidosa não é inteligente. 
 
 
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(07) Considerando as seguintes proposições: “Alguns filósofos são matemáticos” e “não é verdade 
que algum poeta é matemático”, pode-se concluir apenas que: 
a) algum filósofo é poeta. 
b) algum poeta é filósofo. 
c) nenhum poeta é filósofo. 
d) nenhum filósofo é poeta. 
e) algum filósofo não é poeta. 
 
(08) Considere as seguintes sentenças: 
 
I. Nenhum maratonista é gordo. 
II. Carlos é comilão. 
III. Todos os comilões são gordos. 
 
Admitindo que as três sentenças sejam verdadeiras, verifique qual das sentenças a seguir será, 
necessariamente, verdadeira. 
 
(A) Todos os gordos são maratonistas. 
(B) Algum maratonista é gordo. 
(C) Alguns comilões são maratonistas. 
(D) Carlos não é maratonista. 
(E) Carlos não é gordo. 
 
(09) Considere verdadeira a declaração: “Toda criança gosta de brincar”.Com relação a essa 
declaração, assinale a opção que corresponde a uma argumentação correta. 
 
(A) Como Marcelo não é criança, não gosta de brincar. 
(B) Como Marcelo não é criança, gosta de brincar. 
(C) Como João não gosta de brincar, então não é criança.(D) Como João gosta de brincar, então é criança. 
(E) Como João gosta de brincar, então não é criança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
(01)B (02)E (03)D (04)A (05)D (06)A (07)E (08)D (09)C