Matematica EAD Pimentel

Prévia do material em texto

P
ro
f. 
P
im
en
te
l
Rua João Nutti, 2195 Pq. Bandeirantes Ribeirão Preto - SP
(16) 3235-2900
Matemática
Material produzido para uso e divulgação exclusivos da 
Escola Prof. Pimentel
Autor:
Prof.º Hélio Pimentel
ÍNDICE 
1 Matemática • PP
Módulo 01 - Números decimais �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������5
 Exercícios ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 16
Módulo 02 - Números não decimais ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 23
 Exercícios ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 32
Módulo 03 - Múltiplos e Divisores ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 37
 Exercícios ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 45, 49, 55
Módulo 04 - Média �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������59
 Exercícios ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 63
Módulo 05 - Frações ou Números Racionais ����������������������������������������������������������������������������������������������������������71
 Exercícios ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 83
Módulo 06 - Potenciação e Radiciação �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������89
 Exercícios ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������93 e 102
Módulo 07 - Regra de Três ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 105
 Exercícios ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 108, 115
Módulo 08 - Razão ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 117
 Exercícios ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 119
Módulo 09 - Proporção ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 121
 Exercícios ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 132
Módulo 10 - Geometria ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 137
 Exercícios ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 150
Módulo 11 - Álgebra ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 163
 Exercícios ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 174
Módulo 12 - Porcentagem ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 183
 Exercícios ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 194
Módulo 13 - Juros Simples ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 205
 Exercícios ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 214
Anotações
Prof. Pimentel
01 Módu
lo
Matemática • PP5
Números Decimais
O sistema numérico que mais utilizamos no dia a dia é o sistema decimal. Desta 
forma temos 10 algarismos para representar os números.
Algarismos: São os símbolos que representam os números, assim sendo, 
os algarismos são representados por 10 símbolos.
Os números são escritos obedecendo à seguinte formação:
O último algarismo representa a casa das unidades;
O penúltimo, a casa das dezenas;
O antepenúltimo, a casa das centenas;
O anterior, ao antepenúltimo da casa do milhar e assim por diante.
0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, e 9 
10 unidades formam uma dezena;
10 dezenas formam uma centena;
10 centenas formam um milhar;
10 milhares formam uma dezena de milhar;
10 dezenas de milhar formam uma centena de milhar;
Exemplo: 
O número 4837
4 8 3 7
4 milhares + 8 centenas + 3 dezenas + 7 unidades
VALOR ABSOLUTO × VALOR RELATIVO
Em relação ao número, o algarismo possui dois valores distintos:
Valor absoluto: é o valor do símbolo.
Valor relativo: é o valor que ele representa dentro do número.
Exemplo: No número acima (4837):
O valor absoluto do 8 é 8 (mesmo valor do símbolo).
O valor relativo do 8 é 800 (como falamos ao ler o número).
Todo número é a soma dos valores relativos dos algarismos que o compõe.
Exemplo: 
No número 4.837 o valor relativo de cada um seus algarismos é: 
4 é 4.000
8 é 800
3 é 30
7 é 7
Somando 4.837
Prof. Pimentel
Matemática • PP6
AnotaçõesPodemos também escrever o número 4.837 na forma de adição:
4 × 1.000 + 8 × 100 + 3 × 10 + 7 × 1
Quando dividimos um algarismo por 10, o resultado será um décimo desse alga-
rismo, quando dividimos por 100 será um centésimo, por mil, milésimo e assim por 
diante. 
Os números que estão a esquerda da igualdade recebem o nome de fração de-
cimal e os da direita número decimal. Todo número decimal pode ser representado 
através de uma fração decimal e vice versa.
Lendo um número decimal:
Podemos ler o número 0,725 das seguintes formas:
 • setecentos e vinte e cinco milésimos.
 • sete décimos, 2 centésimos e cinco milésimos.
 • setenta e dois centésimos e 5 milésimos.
Qualquer número é igual a soma dos valores relativos de seus algarismos.
1.000 100 10 1 1 10
 1 
 100
 1 
 1.000
3 8 2 5 8 3 4
3 milhares 3.000
8 centenas 800 
2 dezenas 20
5 unidades 5
8 décimos 0,8
3 centésimos 0,03
4 milésimos 0,004
Somando 3.825,834
OPERAÇÕES
Por ser a base de quase todos os exercícios de Matemática, serão apresentadas 
as operações com números decimais. Não com o intuito de se ensinar a somar, sub-
trair, multiplicar ou dividir, mas sim com a ideia de trabalhar estas operações de uma 
maneira rápida e eficiente.
Soma ou Adição
A adição é a operação aritmética que “junta” dois ou elementos (parcelas) de 
uma mesma espécie, formando um novo número (soma ou total).
Propriedade: se aumentarmos (ou diminuirmos) uma das parcelas de um deter-
minado valor, o total ficará aumentado (ou diminuído) daquele valor.
15
13 parcelas
45
soma ou total73

+ 
→
Propriedade comutativa: Na adição a ordem das parcelas não altera o valor da soma.
Exemplo: 
Na adição 49 + 63, obtemos o mesmo resultado se alterarmos a ordem das par-
celas. Observe:49 + 63 = 112
63 + 49 = 112
Matemática • PP7
Anotações
Prof. Pimentel
Propriedade associativa: A operação adição pode ser resolvida por partes, essa 
propriedade permite dividir a soma em duas ou mais partes, assim achamos o total 
de cada uma das partes e depois efetuamos a adição dos resultados encontrados.
Exemplo: 47 + 23 + 52 = (47 + 23) + 52 = 70 + 52 = 122
Propriedade: Se aumentarmos um parcela de um determinado valor e dimi-
nuirmos a outra deste mesmo valor o resultado não altera.
Essa propriedade facilita muito os cálculos, permitindo que seja feito mentalmente. 
Fazendo uso da propriedade
Para efetuar a seguinte soma: 243 + 198 = 441, podemos fazer algumas trans-
formações, tiramos duas unidades do número 243 e acrescentamos ao 198 . 
(243 + 198) = (241 + 200) = 441
Resumindo, O segundo membro da igualdade permite que a conta seja feita 
mentalmente. 
Neste momento é importante praticar, faça o exercício abaixo utilizando este 
método.
EXERCÍCIOS
154 + 497 = 151 + 500 = 651 (emprestamos 3 unidades do 154 para o 497)
247 + 694 = 241 + 700 = 941 (emprestamos 6 unidades do 247 ao 694)
394 + 298 =
149 + 192 =
448 + 894 =
154 + 204 =
206 + 407 =
826 + 387 =
1.257 + 385 =
2.321 + 493 =
Subtração
A subtração é a operação aritmética inversa à adição. Nesta operação o primei-
ro termo (minuendo) é reduzido de uma quantidade (subtraendo), o que sobra é o 
resto ou diferença.
178 Minuendo
37 Subtraendo
141 Resto
→
− →
→
 Por ser a operação inversa da adição podemos escrever a seguintes igualdades:
•	 Minuendo	–	subtraendo	=	resto	
•	 Resto	+	subtraendo	=	minuendo		(conhecida como prova real)
•	 Minuendo	–	resto		=	subtraendo	
Exemplo
Propriedades: numa subtração, se aumentarmos (ou diminuirmos) o minuendo 
de um determinado valor, o resultado aumentará (ou diminuirá) deste valor.
Prof. Pimentel
Matemática • PP8
Anotações
178	–	37	=	141					→					141	+	37	=	178 
Ou ainda:
178	–	141	=	37					→					37	+	141	=	178
No exemplo anterior se aumentarmos o minuendo de 15 teremos:
 178 
− 37 
 141
Subtraindo 15 de 178
 163 
− 37 
 126
O resto ficou diminuído de 15.
Em uma subtração, se aumentarmos (ou diminuirmos) o subtraendo de um de-
terminado valor o resultado diminuirá (ou aumentará) deste valor.
 178 
− 37 
 141
Aumentando 3 no 37
 178 
− 40 
 138
O resto ficou diminuído de 3 unidades.
A propriedade a seguir tem uma aplicação prática muito útil para o cálculo mental. 
Observe
Numa subtração se aumentarmos (ou diminuirmos) o Minuendo e o Subtraendo 
de um determinado valor o resultado não sofrerá alteração.
 178 
− 37 
 141
Aumentando 3 tanto no 
178 como 37
 181 
− 40 
 141
O resultado permaneceu inalterado. 
Fazendo uso das propriedades 
 945
−	178 
 767
Aumentando 22 ao 178
 945 
− 200 
 745
O nosso resto esta diminuído de 22, portanto devemos adicionar 22 ao resto 
encontrado.
Assim nossa resposta será (745 + 22) = 767 
 873 
− 218 
 655
Aumentando 2 ao 218
 875 
− 220 
 655
O nosso resto esta diminuído de 2, portanto devemos adicionar 2 ao resto en-
contrado.
Assim nossa resposta será (653 + 2) = 653 
Observação: esse método só é interessante para quem deseja resolver 
as contas mentalmente.
Caso o aluno não tenha esse interesse, deverá continuar a fazer pelo mé-
todo tradicional. Lembrado que quanto mais intimidade tivermos com as 
operações mais prazeroso será resolver os exercícios de matemática. 
 
Matemática • PP9
Anotações
Prof. Pimentel
EXERCÍCIOS
942	–	397	= 945	–	400	=545 (somamos 3 unidades no 942 e no 397)
674	–	296	= 678	–	300	=	378 (somamos 4 unidades no 674 e no 296)
1231	–	725 1206	–	700	=	506 (subtraímos 25 de 1231 e de 725)
3.284	–	1.268	= 3.216	–	1200	=2.016 (subtraímos 68 de 3.284 e de 1.268)
EXERCÍCIOS PARA PRATICAR
873	–	194	=
695	–	187	=
438	–	279	=
495	–	187	=
315	–	78		=
763	–	227	=
578	–	199	=	
1456	–	792	=
2.311	–	2.198	=
1.880	–	2.387	=
EXERCÍCIOS PARA PRATICAR (DAR SOMENTE O RESULTADO DIRETO):
743	–	114	=
995	–	327	=
438	–	239	=
395	–	187	=
378	–	115		=
878	–	199	=
2.311	–	2.078	=
1.880	–	987	=
Multiplicação
A multiplicação é a operação aritmética que soma determinada quantidade de 
parcelas iguais. Quando fazemos A × B estamos somando o A por B vezes, ou so-
mando o B por A vezes. A e B são os fatores e o resultado desta operação é chamado 
de produto.
Exemplo: 
5 × 8 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 40
ou
5 × 8 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40
Nas duas situações, o resultado é o mesmo: 40.
Prof. Pimentel
Matemática • PP10
AnotaçõesPropriedade comutativa: Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o va-
lor do produto.
Veja:
4 × 12 = 48
e
12 × 4 = 48
Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição: Multiplicar um 
número por uma soma é igual a soma dos produtos deste número por cada uma das 
parcelas.
8 × (10 + 5) = 8 × 15 = 120
8 × (10 + 5) = 8 × 10 + 8 × 5 = 80 + 40 = 120
De maneira análoga, temos a Propriedade distributiva da multiplicação em rela-
ção à subtração.
8 × (18 – 3) = 8 × 15 = 120
8 × (18 – 3) = 8 × 18 – 8 × 3 = 144 – 24 = 120
Essa propriedade tem uma aplicação prática muito útil para o cálculo mental.
Exemplo
Para efetuar a seguinte multiplicação: 32 × 21 
Sendo 21 = (20 + 1), a multiplicação poderá ser escrita 32 × (20 + 1)
Resolvendo temos: (32 × 20) + (32 × 1) = 640 + 32 = 672 
EXERCÍCIOS
43 × 25 = (40 + 3) × 25 = (40 × 25) + (3 × 25) = 1.000 + 75 = 1.075
52 × 18 = 52 ×		(20	–	2)	= (52 ×	20)	–	(52	× 2) = 1.040	–	104	=	936
38 × 45 = 45 ×		(40	–	2)	= (45 ×	40)	–	(45	× 2) = 1.800	–	90	=	1.710
245 × 99 = 245 ×		(100	–	1)	= (245 ×	100)	–	(245	× 1) = 24.500	–	245	=	24.255
270 × 202 = 270 × (200 + 2) = (270 × 200) + (270 × 2) = 54.000 + 540 = 54.540
EXERCÍCIOS PARA PRATICAR (RESOLVER CONFORME MODELO ACIMA)
Sem preencher a coluna sombreada
32 × 25 = 
43 × 22 =
72 × 39
97 × 34 =
72 × 41 =
63 × 33 =
102 × 18 =
351 × 220 =
125 × 98 =
Matemática • PP11
Anotações
Prof. Pimentel
EXERCÍCIOS PARA PRATICAR (COLOCAR SOMENTE O RESULTADO)
82 × 33 = 
91 × 73 =
122 × 55 =
151 × 22 = 
37 × 41 =
320 × 99 =
132 × 25 =
861 × 99 =
Para melhorar seu desempenho o ideal é que essa série seja repetida mais de 
uma vez, em horários diferentes, o mais interessante é cronometrar o tempo gasto 
para resolver e tentar baixa-lo a cada série resolvida.
Multiplicação com vírgula
A conta deverá ser feita normalmente, como se não houvesse vírgula. Depois conta-
remos o número de casas a direita da vírgula em cada um dos fatores. A quantidade de 
casas decimais no produto (resultado) será a soma das quantidades de casas decimais 
dos fatores.
Exemplo: 2,4 x 1,52
Efetuando a multiplicação como se não houvesse vírgula: 
24 × 152 = 3.648.
Neste caso o fator 2,4 possui uma casa decimal e o segundo fator tem duas ca-
sas decimais, totalizando 3 casas decimais. 
Após efetuarmos a multiplicação, colocamos a vírgula contando as casas deci-
mais da direita para a esquerda. Chegamos ao seguinte resultado: 3,648.
Divisão
A divisão é a operação aritimética que calcula a quantidade de vezes que uma quan-
tidade se contém em outra. A divisão é a operação inversa à multiplicação.
dividendo  47 11  divisor
resto  3 4  quociente
Prova Real:
Dividendo = divisor × quociente + resto
O resto obrigatoriamente será menor ao divisor.
O conceito de prova real da divisão é muito importante para resolução dos exer-
cícios uma vez que o aluno consegue transformar um problema que envolve divisão 
numa equação matemática.Propriedade: se multiplicarmos ou dividirmos o dividendo e o divisor por um 
mesmo número, o resultado não se altera.
Essa propriedade nos permite, o cancelamento do mesmo números de zeros do 
(divisor e dividendo) quando estamos efetuando a conta (nesse caso estamos dividindo 
ambos por um mesmo número) ou igualar o número de casas decimais entre o divisor 
e dividendo e cortar a vírgula (neste caso estamos multiplicando).
Prof. Pimentel
Matemática • PP12
AnotaçõesExemplo: 48 000 : 200 =
 48 000 200 
 0 240
Observação: Nós aprendemos que: quando o divisor e o dividen-
do forem múltiplos de potência de 10, podemos cancelar a mesma 
quantidade de zeros nos dois termos que o resultado não altera. Po-
rém apesar do quociente não alterar, o resto ficará dividido, vejam o 
exemplo abaixo:
 Exemplo: Dividir 200 bolinhas entre 30 meninos
Sem cancelamento
 200 30
20 6
Neste caso: cada menino recebeu 6 boli-
nhas e sobraram 20.
Com cancelamento
 2 0 0/ 3 0/ 
1 8 6
2
Neste caso porém não podemos afir-
mar que sobraram 2 bolinhas, o resto 
ficou dividido por 10.
MACETES
Quando forem feitas as seguintes divisões:
Exemplo 1 (divisão por 5, “dobra-dobra”)
7 7 2 14
1,4
5 5 2 10
×
= = =
×
Neste exemplo utilizamos o caso: dobra-dobra, ou seja, dobramos o valor do nume-
rador e o valor do denominador, pois a divisão fica simplificada quando o divisor é um 
número múltiplo de 10, já que podemos somente mudar a posição da vírgula.
Exemplo 2: (divisão por 25, “dobra-dobra”, “dobra-dobra”)
56 56 2 112 2 224
2,24
25 25 2 50 2 100
× ×
= = = =
× ×
Neste exemplo utilizamos o caso: dobra-dobra, dobra-dobra, ou seja, dobramos o 
valor do numerador e o valor do denominador duas vezes, pois a divisão fica simplifi-
cada quando o divisor é um número múltiplo de 10, já que podemos somente mudar 
a posição da vírgula.
Divisão sem vírgula uma forma segura
Muitas vezes ao ser feita a conta a seguir a pessoa que esta fazendo se perde, 
principalmente quando ao baixar um algarismo do dividendo e ao juntar este asso-
ciado ao resto anterior o número formado for menor que o divisor.
Nesse caso, basta colocar zero na chave e continuar a conta normalmente.
 . . .
62.515 25 
Um macete legal para sabermos com antecedência quantas casas decimais antes da 
vírgula o quociente terá basta contar uma vez o arco que faremos para separar os algaris-
mos para iniciar a divisão a adicionar a quantidade de algarismos que sobraram. 
No exemplo acima, podemos afirmar que ao baixar o último algarismo de 62.515, 
deveremos ter 4 (quatro) algarismos formando o quociente.
Matemática • PP13
Anotações
Prof. Pimentel
Divisão com vírgula uma forma fácil, rápida e segura.
Para efetuarmos a divisão, usaremos o mesmo conceito da multiplicação de 
dois números com vírgula, ou seja, faremos a conta normalmente ignorando a vír-
gula e posteriormente apuramos a diferença entre o número de casas decimais do 
dividendo e divisor e voltaremos o nº de casas igual ao valor determinado.
Exemplo: 0,64272 ÷ 0,52
Casas decimais da resposta (quociente)
Devemos contar o número de casas depois da vírgula do dividendo e do divisor. 
Se na multiplicação somamos, na divisão devemos SUBTRAIR.
 2 casas 
 
 0,64272 0,52 
 
5 casas
Assim : ignoramos a vírgula e faremos a divisão :
Inicialmente já sabemos que após abaixarmos o último algarismo do dividendo, 
termos 4 algarismos na chave 
 * * * * *
6 4 2 7 2 5 2 
* * * *
Como o dividendo tem 5 casas após a vírgula e o divisor apenas 2:
5	casas			–		2	casas		=		3	casas	(é	o	número	de	casas	que	devermos	voltar	para	
colocação da vírgula).
O resultado, sem fazer a conta será:
 * * * * *
6 4 2 7 2 5 2 
* ,* * *
Fazendo a divisão passo a passo:
3 8 8 2 9, 5 3 2 4 7, 8 
1º Passo: Contar quantas casas decimais existem após a vírgula, para fazemos 
a diferença e determinarmos quantas casas decimais voltaremos ao fina da conta. 
(Nesse	acaso,	temos		3	–	1),	portanto	voltaremos	2	casas.
 . . . .
3 8 8 2 9, 5 3 2 4 7, 8 
2º Passo: Ignoramos as vírgulas, passamos o arquinho para iniciarmos a conta 
e contarmos quantos algarismos farão parte do quociente, Nesse caso o quociente 
terá 5 algarismos que corresponde a um do arco + 4 referentes aos que estão fora 
do arco, como no primeiro passo detectamos que vamos voltar 2 casas podemos 
afirmar que nossa resposta será do tipo: 
. . . , . .
Desta forma, sem fazer a conta, já sabemos que o resultado será: três casas 
antes da vírgula e duas após.
Prof. Pimentel
Matemática • PP14
Anotações3º passo: Para iniciar, vamos pegar o primeiro nº formado no arquinho da es-
querda para direita que seja maior que 4. Nesse caso o nº formado é o 38, agora 
vamos descobrir por quem eu devo multiplicar o algarismo quatro que está chave 
cujo produto seja o mais próximo de 38, lembrando que ao multiplicarmos devemos 
somar o a quantidade vinda uma multiplicação do número por 7.
Nesse caso é o 8 (oito) pois 8 × 4 = 32 que aumentado das cinco unidade prove-
niente da operação (8 × 7 = 56) é menor que 38.
 
3 8 8 2 9, 5 3 2 4 7, 8 
8
4º passo: Multiplicamos o nº 478 por 8 e o resultado colocamos abaixo de 3.882 
fazendo em seguida a subtração
 
 
 3 8 8 2 9, 5 3 2 4 7, 8 
 −	3 8 2 4 
 0 5 8
8
 5º passo: Baixamos o algarismo 9, que é o primeiro algarismo após 3.882, e o 
colocamos a direita do 058 (resto da conta anterior, formando assim o nº 589 que 
será dividido por 478 .
 
  
 3 8 8 2 9, 5 3 2 4 7, 8 
	−	3 8 2 4 
 0 5 8 9
8
6º passo: Vamos repetir aqui os passos 3 , 4 e 5.
 
 
 3 8 8 2 9, 5 3 2 4 7, 8 
 −	3 8 2 4 
 0 5 8 9
 	−	4 7 8 
 1 1 1 
8 1
A partir de agora, vamos repetir a operação até final:
 
  
 3 8 8 2 9,5 3 2 4 7, 8 3 8 8 2 9, 5 3 2 4 7, 8
 −	3 8 2 4 
 0 5 8 9
 	−	4 7 8 
 1 1 1 5 
 	−	9 5 6 
 1 5 9 3
 −	1	4 3 4
 1 5 9
8 1 2 3 −	3 8 2 4 
 0 5 8 9
 −	4 7 8 
 1 1 1 5 
 	−	9 5 6 
 1 5 9 3
 −	1	4 3 4
 1 5 9 2
 −	1 4 3 4 
 1 5 8
8 1 2, 3 3
Inicialmente já sabía-
mos que deveríamos 
colocar a vírgula, vol-
tando duas casas da 
direita para esquerda.
Matemática • PP15
Anotações
Prof. Pimentel
EXERCÍCIOS: EFETUAR AS DIVISÕES
1) 1421 ÷ 7 203
2) 104104 ÷ 26 4.004
3) 111,15 ÷ 45 2,47
4) 10241 ÷ 32 320,031
5) 2.706 ÷ 22 123
6) 783 ÷ 58 13,5
7) 324 ÷ 24 13,5
8) 760 ÷ 16 47,5
9) 845 ÷ 14 60,35
10) 2456 ÷48 51,16
11) 7568 ÷ 87 86,988
12) 35981 ÷ 324 111,05
13) 4786,26 ÷ 45 106,36
14) 27014 ÷ 2352 11,485
15) 8745,478 ÷ 22 397,52
16) 698,745 ÷ 58 12,047
17) 2.658 ÷ 117 22,717
18) 654,723 ÷ 26 25,181
19) 875,175 ÷ 245 3,572
20) 7125,172÷ 267 26,686
21) 85642 ÷ 422 202,94
22) 6251 ÷ 25 250,04
23) 8289,2 ÷ 224 37,005
24) 354,456 ÷ 216 1,641
25) 1723,1 ÷ 14 123,078
26) 23,135 ÷ 7,8 2,966
27) 104.104 ÷ 26,45 3,935
28) 0,0087452 ÷ 0,0127 0,688
29) 0,3775 ÷ 0,00175 214,28
30) 12,706 ÷ 2,45 5,186
31) 0,00125 ÷ 0,075 0,0166
32) 4365,24÷ 13,24 329,70
33) 85,32 ÷ 0,16 533,25
34) 17,563 ÷ 27,02 0,65
35) 136,536 ÷0,0048 28.445
36) 3.521,25 ÷0,75 4695
37) 138,907÷ 0,23 603,94
38) 428,655 ÷ 3,485 123
39) 418,84 ÷ 112,5 3,723
40) 2,7048 ÷ 0,322 8,4
41) 0,783 ÷ 1,58 0,495
42) 0,1421 ÷ 35 0,00406
43) 1278,432 ÷ 15,8 80,913
44) 111,15 ÷ 0,45 247
45) 116,775 ÷ 2,75 42,463
46) 312,65 ÷ 1,85 169
47) 878,3 ÷ 4,58 191,768
48) 0,00324 ÷ 0,00024 13,5
49) 7681,4 ÷ 24 320,058
50) 9613,1 ÷ 31 310,1
Prof. Pimentel
Matemática • PP16
AnotaçõesRegras de Sinais
Adição:
a) sinais iguais: somam-se as parcelas e conserva-se o sinal.
(+3) + (+5) = +8
(–7)	+	(–5)		=	–12
b) sinais diferentes: subtrai-se um do outro e conserva-se o sinal do maior.
(–8)	+	(+3)	=	–	5
(+10)	+	(–2)	=	+	8
Subtração:
Troca-se	o	sinal		(–)	por	(+),	inverte-se	o	sinal	do	2°	termo	da	subtração	e		efetua-
se a regra acima.
(+10)	–	(–3)	=	(+10)	+	(+3)		=	+13
(–8)	–	(–3)	=	(–8)	+	(+3)	=	–	5
(–7)	–	(+4)	=	(–7)	+	(-4)		=	–11
Multiplicação e Divisão 
a) sinais iguais: faz-se a operação normalmente e o resultado será positivo.
(+24) ÷ (+2) = + 12
(–10)	×	(–5)	=	+	50
b) sinais diferentes: faz-se a operação normalmente e o resultado será negativo.
(–40)	÷	(+8)	=	–	5	
(+3)	×	(–2)		=	–	6
QUESTÕES DE CONCURSOS
1)	 VUNESP-	2014	-	Analista	Administrativo	-	Emplasa
Um jogo é constituído de quatro cartas: uma carta azul de número 1, uma carta azul 
de número 2, uma carta verde de número 1 e uma carta verde de número 2. Três 
cartas foram sorteadas e colocadas lado a lado, da esquerda para a direita. Cada carta 
tem uma pontuação que é o próprio número nela impresso, somado com 3 ou 5, caso 
a carta seja azul ou verde, respectivamente, somado com 10, 15 ou 20, conforme a 
carta esteja na esquerda, no meio ou na direita, respectivamente. A primeira carta à 
direita do número 1 é uma carta com o número 2. À esquerda desse número dois está 
um número 2. À esquerda da carta azul está pelo menos uma carta verde. Há uma 
carta verde imediatamente à direita de uma outra carta verde. A soma das pontua-
ções das três cartas sorteadas vale:
(A) 58. (B) 59. (C) 60. (D) 62. (E) 63.
2) VUNESP Assistente Adm. e Téc. Emplasa
 Sabe-se que x requerimentos protocolados em determinado período foram reparti-
dos igualmente entre todos os n funcionários de certo setor, para análise e providên-
cias. Se o número de requerimentos que cada funcionário recebeu foi igual ao triplo 
do número de funcionários desse setor, então o número total de requerimentos re-
partidos pode ser corretamente expresso por:
(A) 3 n 
(B) 3 n2 
(C) 3 x n 
(D) 3 x2 n 
(E) 3 x n2
Matemática • PP17
Anotações
Prof. Pimentel
3)	 VUNESP	–	2014	-		Oficial	de	Manutenção	-	Prefeitura	de	Sorocaba
Uma Secretaria de Saúde destinou, do seu orçamento, R$ 660.000,00 para a compra de 
ambulâncias. O preço de uma ambulância UTI é R$ 55.000,00 e socorre, em média, cinco 
pessoas por dia. Se com o valor desse orçamento forem adquiridas essas ambulâncias, o 
número de pessoas que, em média, serão socorridas diariamente será:
(A) 60. (C) 75. (E) 90. 
(B) 70. (D) 80. 
4)	 VUNESP	2014		Oficial	de	Manutenção	Prefeitura	de	Sorocaba
Em 36 dias, uma família consumiu 54.000 litros de água. Em média, o consumo de 
água dessa família, por semana, em m3, é:
(A) 8,5. (C) 9,5. (E) 10,5. 
(B) 9. (D) 10. 
5) VUNESP – Motorista – Câmara de Sertãozinho – 2014 
Em um dia do mês de junho, na cidade de Urupema, localizada na Serra Catarinen-
se,	os	termômetros	registraram	8	°C	abaixo	de	zero.	Nesse	mesmo	dia,	na	capital	
paulista,	a	temperatura	foi	de	17	°C	acima	de	zero.	Então,	a	diferença	entre	as	tem-
peraturas das duas cidades brasileiras, nesse dia, foi de
(A) 25º C. (C) 19º C. (E) 9º C.
(B) 21º C. (D) 15º C.
6) VUNESP – Motorista – Prefeitura Ribeirão Preto – 2014
No extrato bancário de Juvenal, alguns campos não foram impressos.
Data Histórico Valor
05/06 Saldo + 1.260,00
06/06
Depósito + 300,00
Cheque –	400,00
Saldo //////////////
07/06
Depósito //////////////
Retirada –	500,00
Saldo + 1.160,00
08/06
Cheque –	99,00
Saldo //////////////
09/06
Depósito + 100,00
Retirada /////////////
Saldo + 661,00
O valor da retirada feita no dia 09/06 foi de
(A) R$ 500,00. (C) R$ 325,00. (E) R$ 200,00.
(B) R$ 450,00. (D) R$ 250,00.
7) VUNESP – Motorista – Prefeitura Ribeirão Preto – 2014 
Um estádio de futebol tem as arquibancadas distribuídas em três pisos diferentes 
(o inferior, o intermediário e o superior). No piso inferior, a arquibancada comporta 
22 360 pessoas sentadas e o piso superior tem lugar para 16 690 pessoas a mais do 
que na arquibancada inferior. Sabendo que a capacidade total de público sentado 
nas arquibancadas dos três pisos, desse estádio, é de 70 824 pessoas, o número de 
pessoas que podem se sentar na arquibancada do piso intermediário é
(A) 11 305. (C) 9 024. (E) 6 716.
(B) 9 414. (D) 8 305.
Prof. Pimentel
Matemática • PP18
Anotações08) VUNESP – Educador – Prefeitura Ribeirão Preto – 2014
Um jogo tem o seguinte tabuleiro:
Para mover a peça no tabuleiro, é utilizado um dado especial que possui os seguintes 
valores:	−6,	5,	−4,	3,	−2,	1.
A tabela mostra 5 lançamentos sucessivos do dado com seus respectivos valores, 
bem como o movimento da peça.
Lançamento Valor do dado Movimento da peça
1º 5 Avança 5 casas
2º –2 Retrocede 2 casas
3º 3 Avança 3 casas
4º –4 Retrocede 4 casas
5º ? ?
Sabendo que a peça encontra-se inicialmente no ponto de partida e que a cada lan-
çamento ela se move a partir de onde parou no lançamento anterior, então, se após 
o 5.º lançamento a peça parou na letra E, o valor obtido nesse lançamento foi:
(A)	−6.	 	 	 (C)	−2.	 	 	 (E)	5.
(B)	−4.	 	 	 (D)	3.
09)	 VUNESP	2011	-	Oficial	Administrativo	-	Secretaria	de	estado	da	Educação	-	SP	
 Nas contas de adição e subtração indicadas a seguir, A3B e D14 representam núme-
ros inteiros de três dígitos, e C6, um número inteiro de dois dígitos. Além disso, A, B, 
C e D são algarismos de 0 a 9.
A3B 
+ C6 
D14
D14
–			 A3B
 ? 
Resolvendo corretamente as contas, pode-se concluir que o resultado da subtração 
indicada é:
(A) 66 (C) 76 (E) 86
(B) 67 (D) 78 
10) VUNESP 2012 Agente de Organização Escolar Secretaria de estado da Educação - SP
Se o resto da divisão de um número inteiro positivo por 14 é igual a 6, o resto da 
divisão do dobro desse número por 7 será sempre igual a
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7 
Matemática • PP19
Anotações
Prof. Pimentel
11) VUNESP 2012 Agente de Organização Escolar Secretaria de estado da Educação-SP 
A operação indicada a seguir é uma multiplicação de dois números decimais (não 
inteiros), que estão escritos como 5,A e B,3. Nesses números, e nos demais que 
aparecem ao longo da operação, A e B representam algum algarismo de 0 a 9, sen-
do que A é diferente de B.
 5,A 
 B,3 ×
16B
 1080 + 
1B,AB
Nas condições dadas, A + B é igual a:
(A) 4 (C) 8 (E) 12 
(B) 6 (D) 10 
12)	 VUNESP		2013	Analista	Administrativo		Câmara	Municipal	de	São	Carlos
Certa câmara municipal remunera seus vereadores de forma diferente da habitu-
al: cada vereador recebe pelo número de horas trabalhadas em cada sessão e por 
projeto aprovado. Cada hora de sessão é remunerada por R$ 20,00, e cada projeto 
aprovado rende R$ 1.000,00 a seu autor. As sessões são semanais e, em um mês em 
que houve 4 sessões, o número de vereadores presentes, o número de horas por 
eles trabalhadas e o de projetos aprovados estão na tabela.
Sessão Vereadores Presentes
Horas 
Trabalhadas
ProjetosAprovados Total
1ª 10 3 2
2ª 12 3 2
3ª 12 4 3
4ª 15 3 3
Total
Nesse mês, a despesa gerada por essas atividades dos vereadores aos cofres da 
prefeitura desse município foi, em reais, mais próxima de:
(A) 11.000 (C) 13.000 (E) 15.000
(B) 12.000 (D) 14.000 
13)	 VUNESP		2013	Analista	Administrativo		Câmara	Municipal	de	São	Carlos
A biblioteca municipal de certa cidade possui uma videoteca com fitas de videocas-
sete e dvd’s que ficam dispostos na posição vertical em uma estante, de tal modo 
que os títulos em suas lombadas sejam visíveis, como mostram as figuras. As ares-
tas das caixas que embalam as fitas medem 19 cm por 13,5 cm por 2,5 cm (Figura 
1), e as de dvd’s medem 19 cm por 10,5 cm por 1,5 cm (Figura 2), todas em forma 
de paralelepípedo reto retângulo.
Cada compartimento da estante, com profundidade 
e altura suficientes para abrigar as caixas, mede 1,50 
m e abriga ou somente fitas ou somente dvd’s. Em 
cada compartimento cabe uma quantidade máxima 
de fitas ou dvd’s, respectivamente, de
(A) 50 e 100. 
(B) 60 e 100. 
(C) 60 e 150. 
(D) 90 e 100.
(E) 90 e 150.
Prof. Pimentel
Matemática • PP20
Anotações14) VUNESP 2013 AUXILIAR PROCON-SP
A capacidade de uma jarra é de 8 copos de 200 mL. Dona Anna despejou 300 mL de suco 
concentrado dentro dessa jarra, que estava vazia, e completou com água até encher total-
mente a jarra. A quantidade de água, em litros, que ela colocou nessa jarra foi:
(A) 1,3 (D) 1,45
(B) 1,35 (E) 1,5
(C) 1,40 
15) CCPP – 2014 
 Ao efetuar a multiplicação abaixo, onde A; B; C e D são algarismos.
 Determinar a soma (A + B + C )
 B A
 × C 9
 A D 7
 D 6 +
 1 C B 7
(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11 
16) CCPP - 2014
Ao dividir um determinado número x por 42 obteve-se o quociente e o resto igual, o 
resto da divisão de x por 43 será:
(A) ZERO 
(B) 1 
(C) 21 
(D) 23
(E) 41
17) CCPP - 2014
Quando efetuamos a divisão de 6.251 por x obtemos o quociente igual a 25, pode-
mos afirmar que x vale:
(A) 25,4 
(B) 25,04 
(C) 25,004 
(D) 250,4
(E) 250,04
18) CCPP - 2014
 Abigail fez uma compra no supermercado, ao conferir os preços cobrados percebeu 
que o caixa numa das mercadorias digitou invertendo os valores da unidade com os 
da dezena e consequentemente foi lhe cobrado a mais a importância de R$ 36,00. 
Um possível valor original desta mercadoria é:
(A) R$ 175,00 
(B) R$ 139,00 
(C) R$ 248,00 
(D) R$ 362,00 
(E) R$ 238,00
Matemática • PP21
Anotações
Prof. Pimentel
19) CCPP - 2014
Multiplicando o número x por y obteve-se um resultado, porém se acrescentarmos 
3 unidades a cada um desses fatores o produto ficará aumentado em 54 unidades. 
Assim sendo ( x + y) vale:
(A) 12 
(B) 13 
(C) 15 
(D) 18 
(E) 21
20) FCC 2013 Analista Judiciário TRT5 
 Nas somas mostradas a seguir, alguns dígitos do nosso sistema de numeração fo-
ram substituídos por letras. No código criado, cada dígito foi substituído por uma 
única letra, letras iguais representam o mesmo dígito e letras diferentes represen-
tam dígitos diferentes.
 P + P = S H + H = U
 S + S = H M + M = PS
Utilizando o mesmo código, pode-se deduzir que o resultado da soma S + H é igual a:
(A) P 
(B) M 
(C) U 
(D) PH 
(E) SM
21) FCC 2014 Assistente Adm Junior Metrô
 Quatro números inteiros serão sorteados. Se o número sorteado for par, ele deve ser 
dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o número sorteado for ímpar, 
ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 15. Após 
esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os 
números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a:
(A) 87 
(B) 59 
(C) 28 
(D) 65
(E) 63
22) FCC 2014 Assistente Adm Junior Metrô
O algarismo da milhar do resultado da soma
6 + 66 + 666 + 6666 + 66666 + 666666 + 6666666 + 66666666 + 666666666 é igual a:
(A) 0 
(B) 6 
(C) 4 
(D) 8
(E) 7
Prof. Pimentel
Matemática • PP22
Anotações23) FCC – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO JÚNIOR/METRÔ 2014 
O resultado da expressão:
(4	–	7)2	.	(4	–	6)3	.	(4	–	5)4	–	(5	–	8)2	.	(5	–	7)3	.	(5	–	6)5 é igual a
(A) 144.
(B)	–192.
(C) 0.
(D)	–144.
(E) 192.
24) (FCC – SABESP – TÉCNICO ESTÁGIÁRIO - 2014) 
Cláudia e Plínio nasceram no mesmo dia. Hoje, no aniversário de ambos, Cláudia 
completou 9 anos e Plínio completou 13 anos. Para que a soma de suas idades seja 
igual a 108 anos, a partir de hoje deverá se passar
(A) 38 anos.
(B) 43 anos.
(C) 86 anos.
(D) 56 anos.
(E) 46 anos.
25) (FCC – SABESP – TÉCNICO ESTÁGIÁRIO - 2014) 
Com o tanque de combustível vazio, o proprietário de um veículo completou a ca-
pacidade máxima do tanque com 60 litros de gasolina, gastando R$ 156,00. Com o 
tanque cheio, ele iniciou viagem do posto de combustível até a cidade A. No percurso 
de ida, o veículo teve que pagar um pedágio de R$ 6,00 na estrada. No mesmo dia o 
veículo voltou, percorrendo exatamente o mesmo caminho da ida, tendo novamente 
que pagar o pedágio. Seu destino final foi o posto em que havia abastecido no início 
da viagem, e lá o proprietário do veículo completou a capacidade do tanque de com-
bustível com o que faltava, o que correspondeu a 52 litros de gasolina. De acordo 
com as informações, o gasto total de gasolina e pedágio no trecho de ida da viagem, 
foi de 
(A) R$ 68,40.
(B) R$ 26,80.
(C) R$ 81,00.
(D) R$ 84,00.
(E) R$ 73,60.
Gabarito:
1) E 14) A
2) B 15) C
3) A 16) A
4) E 17) E
5) A 18) C
6) A 19) C
7) B 20) B
8) D 21) B
9) C 22) A
10) C 23) D
11) B 24) B
12) C 25) E
13) B
Anotações
Prof. Pimentel
M
ó
d
ul
o
Matemática • PP23
02 Números Não Decimais
A base decimal não é a única utilizada em nosso cotidiano. Para tratarmos 
de problemas que envolvem, por exemplo, tempo ou ângulos, é necessário um trata-
mento diferente do utilizado anteriormente.
Trataremos das transformações entre números decimmais em não decimais 
e vice-versa além das operações de soma, subtração, multiplicação e divisão, pois 
diferem da maneira tradicional utilizada com os números decimais.
Introdução
Precisamos definir algumas regras no tratamento dos números não decimais. 
Exemplo: 
Quero dividir 200 bolinhas entre 30 meninos. Quantas bolinhas receberá 
cada um e quantas bolinhas sobrarão? 
Basta dividir ? Então vamos lá ! Muitos imaginam a divisão:
200
30
ou após cancelamento (por 10) a divisão 20
3
Vamos então resolver das duas maneiras e comparar as duas contas:
 2 0 0 3 0 2 0 0/ 3 0/ 
2 0 6 2 6
Na primeira cada menino recebe 6 bolinhas, sobram 20.
Na segunda cada menino recebe a mesma quantidade, porém não podemos 
afirmar que sobraram 2 bolinhas, o resto ficou dividido por 10.
Através do exemplo acima podemos concluir:
Toda vez que precisarmos do resto de uma divisão é aconselhável não usar o 
cancelamento, pois o resto também ficará dividido.
Fique atento!
Dividiu bolinhas! O resto é bolinha!
Dividiu horas! O resto é hora!
Dividiu minutos! O resto é minuto!
E assim por diante, sempre usando a mesma unidade.
Conversão de formatos
Em diversas situações precisaremos fazer a transformação entre os números 
decimais em não decimais e vice-versa. Abaixo vamos apresentar os principais casos 
de conversão. 
Anotações
Prof. Pimentel
Matemática • PP24
AnotaçõesNúmerodecimal para número misto (não decimal)
Quando vemos números do tipo 3,4 horas, 135,4º ou 2,5 caixas, estamos 
diante de números decimais (possuem vírgula). Um erro básico e um tanto comum é 
pensar em 3,4 horas como 3 horas e 4 minutos ou quem sabe 3 horas e 40 minutos. 
Estes precisam ser transformados. Veja os exemplos:
Exemplo: 
TEMPO:
Transforme 3,40 horas para número misto (em horas, minutos, etc.)
Atenção: 3,40 h não são 3 horas e 40 minutos.
ou
= 3 horas + 0,40 horas (separe parte inteira da decimal)
= 3 horas + 0,4 x 60 min (se prefere conta com vírgula faça 0,4 x 60)
= 3 horas + 40 x 60 min
 100
(se prefere fração faça 40 x 60)
 100
 Nos dois casos temos: = 3 horas + 24 min
 
ÂNGULOS
Um aluno mediu um ângulo com o transferidor e obteve a medida de 135,4°. 
A professora pediu ao menino que passasse esse valor para um número misto. Como 
ficaria esse número?
Solução: 
É necessário ressaltar que ângulos são medidos em graus e seus submúlti-
plos são dados em minutos e segundos. 
ou
= 135° + 0,4° (separe parte inteira da decimal)
= 135° + 0,4 x 60' (se prefere conta com vírgula faça 0,4 x 60)
= 135° + 40 x 60'
 100
(se prefere fração faça 40 x 60)
 100
 Nos dois casos temos: = 135° + 24’
Número misto para Número decimal
Vamos reforçar uma ideia para facilitar este tipo de transformação. A conclu-
são é simples e pode ser verificada com a pergunta: 
Quantos dias são 3 meses? 
Se respondeu 90 dias, repare qual conta fez: a multiplicação 3 x 30 dias. 
E quando perguntamos: 
Quantos minutos são 240 segundos?
Se respondeu 4 minutos, repare que fez a divisão 240 ÷ 60= 4 minutos.
Matemática • PP25
Anotações
Prof. Pimentel
Resumindo: Quem sobe, divide. Quem desce, multiplica:
Ano ÷ 
sobe: divide12 Mês
30 Dia
24 Hora
× 
desce: multiplica
60 Minuto
60 Segundo
Exemplo: 
Um Caso Genérico
Uma fábrica de fraldas embala seu produto de seguinte maneira: Cada caixa 
possui 23 embalagens, cada embalagem possui 15 pacotes, que por sua vez possui 
25 fraldas.
Desejo comprar 1 caixa de fraldas, quantas fraldas estarei comprando no total?
Solução: 
÷ 
sobe: dividecaixa
23 embalagem
15 pacote
× 
desce: multiplica
25 fralda
1 × 23 × 15 × 25 = 8.625 fraldas
 
Exemplo com tempo:
Transformar 4 horas e 15 minutos em horas.
Solução: (escrevemos o número na menor unidade e depois efetuamos a 
divisão)
4 horas e 15 min = 240 min + 15 min = 255 min
 255,00 60 
 −240 
 150 
 − 120 
 300 
 − 300 
0
4,25
 Assim, temos: 4 horas e 15 minutos = 4,25h
Exemplo: 
ANO COMERCIAL = (12 meses x 30 dias) = 360 dias
Transformar em anos (forma decimal) o número misto 1 ano 4 meses e 15 dias
Prof. Pimentel
Matemática • PP26
Anotações1 ano = 360 dias (desce, multiplica: 1 × 12 × 30)
4 meses = 120 dias (desce, multiplica: 4 × 30)
15 dias = 15 dias + 
Total = 495 dias
X = 495 = 1, 375 anos
 360
Atenção: Se tivéssemos trabalhado com 1 ano = 365 dias, estaríamos traba-
lhando com ano exato e não comercial (12 meses de 30 dias).
Exemplo: 
Quantos dias, horas, minutos e segundos correspondem 829.565 segundos?
Quem sobe, divide. Vamos começar dividindo por 60 para descobrir quanto 
minutos temos, depois por 60 novamente para descobrir quantas horas, depois por 
24 para descobrir o número de dias.
829.565 
seg 60
5 seg 13.826 min 60
26 min 230 horas 24
 14 horas 9 dias
Portanto, 829.565 segundos corresponde a 9 dias, 14 horas, 26 minutos e 5 
segundos.
Operações com números não decimais
As operações com números não decimais divergem das operações com nú-
meros decimais. Possuem detalhes específicos e os veremos a seguir.
Somando números não decimais
Para somar números não decimais inicialmente somamos cada uma das uni-
dades separadamente. Caso os valores ultrapassem dos valores limites, transforma-
mos estes valores. 
Exemplo: 
Efetuar: (5 h, 45 min e 50 seg. ) + (7 h, 38 min e 47 seg.)
Total
Horas
5
 + 7
12 h
Min.
45
 + 38
83 min
 Seg.
 50
 + 47 
97 seg
A
 J 
U
S
T
E
S





12
+ 1
13
+ 1
84
– 60
24
– 60
37
 
37
 Solução: 13 horas, 24 minutos e 37 segundos
Matemática • PP27
Anotações
Prof. Pimentel
Subtraindo números não decimais:
A subtração deve ser efetuada de forma análoga à adição, ou seja, vamos 
separar as unidades por colunas e depois efetuar as operações separadamente.
Quando o minuendo for menor que o subtraendo, devemos emprestar uma 
unidade na casa da unidade imediatamente superior e transformá-la na unidade que 
estamos operando adicionando-a ao minuendo, como mostra o exemplo abaixo.
Exemplo: 
Efetuar: (8 h 12 min e 15 seg.) – (3 h 45 min e 50 seg.)
Horas
 8
– 3
Min.
 12
– 45
Seg.
 15
– 50
Como na coluna dos segundos não é possível tirar 50 de 15, vamos até a 
coluna dos minutos, emprestamos um minuto que corresponde a 60 segundos e adi-
cionamos aos 15 seg. 
Horas
 8
– 3
Min.
 (12 – 1) 
– 45
Seg.
(15 + 60)
– 50
Como na coluna dos minutos não é possível tirar 45 de 11, vamos até a colu-
na das horas, emprestamos uma hora que corresponde a 60 minutos e adicionamos 
aos 11 que já estão nessa coluna.
Horas
 (8 – 1)
– 3
Min.
(11 + 60) 
– 45
Seg.
 75
– 50
Agora podemos efetuar a subtração
Horas
 7
– 3
 4 
Min.
 71
– 45 
 26 
Seg.
 75
– 50
 25 
Solução: 4 horas, 26 minutos e 25 segundos
Nas operações com data é aconselhável usarmos o formato (ANO – MÊS – DIA).
Por exemplo, o dia 12 de outubro de 1972 deve ser escrito : 1972 anos, 10 
meses e 12 dias.
Exemplo:
O Sr. Epaminondas nasceu no dia 25 de setembro de 1949. Quanto tempo de 
vida ele tinha no dia da sua aposentadoria que ocorreu em 12 de março de 2005?
Para efetuar a operação, devemos subtrair da data mais recente a data mais 
antiga, assim tem:
Ano Mês Dia
 2005 03 12
– 1949 – 09 – 25
1º passo: Como os valores referente ao mês e ao dia na primeira linha é menor 
dos da segunda, devemos acrescentar 30 na coluna Dia e subtrair 1 na coluna mês.
Prof. Pimentel
Matemática • PP28
AnotaçõesAno Mês Dia
 2005 03 – 01 12 + 30
– 1949 – 09 – 25
2º passo: Vamos subtrair uma unidade na coluna Ano a adicionar 12 na coluna mês.
Ano Mês Dia
 2005 – 1 02 + 12 42
– 1949 – 09 – 25
 
Agora podemos efetuar a subtração
Ano
 2004
– 1949
 55 
Mês
 14
– 09 
 05 
Dia
 42
– 25
 17 
O Sr. Epaminondas aposentou aos 55 anos 5 meses e 17 dias.
Multiplicando números mistos por um número inteiro:
Para efetuar a multiplicação basta multiplicar cada uma das unidades pelo 
número inteiro. 
Quando necessário, devemos extrair as unidades maiores das menores.
Exemplo 1: 
57 dias corresponde a 1 mês + 27 dias;
394 dias corresponde a 13 meses e 4 dias que corresponde a 1 ano, 1 mês 
e 4 dias.
Uma maneira pratica para extrair as unidades maiores basta fazer a divisão, 
por exemplo,
497 dias, extraindo a quantidade de meses: 
 497 30 
17 16
Assim 497 dias corresponde a 16 meses e 17 dias, que corresponde a 1 ano 
4 meses e 17 dias
Exemplo 2: Efetuar a multiplicação (2 anos, 4 meses e 16 dias) por 6
2 anos 
× 6
 12 anos 
 4 meses
 × 6
 24 meses 
16 dias
× 6
 96 dias 
Fazendo as transformações, e ajustando as unidades da menor para maior 
temos:
96 dias corresponde:
 96 30 
6 3
Corresponde as3 meses e 6 dias.
Matemática • PP29
Anotações
Prof. Pimentel
Ajustando:
12 anos 24 meses 96 dias
12 anos (24 + 3) meses 6 dias
12 anos 27 meses 6 dias
(12 + 2) anos 3 meses 6 dias
14 anos 3 meses 6 dias
Dividindo números não decimais por inteiro:
Para efetuar a divisão basta dividir cada uma das unidades observando que:
• O quociente deve ser um número inteiro. 
• O resto deve ser adicionado à unidade imediatamente inferior após a 
transformação.
• A última unidade permite uma subdivisão decimal. 
Dividir (15 h, 26 min e 44 seg.) por 8
1º passo: dividimos as horas por 8, o que sobra passamos para minuto e 
adicionamos ao minutos.
Horas Minutos Segundos 8
 15
– 8 
 7 
× 60
 420 
 26 44 1 h
 2º passo: dividimos a quantidade de minutos 8, o que sobra passamos para 
segundos e adicionamos ao segundos.
Horas Minutos Segundos 8
 15
– 8 
 7 
× 60
 420 
 26
 + 420 
 446 
 – 440
 6 
× 60
 360 
 44 1 h 55 min. 
 3º passo: dividimos os segundos por 8, e continuamos com o resto na forma 
decimal.
Horas Minutos Segundos 8
 15
– 8 
 7 
× 60
 420 
 26
 + 420 
 446 
 – 440
 6 
× 60
 360 
 44
+ 360 
 404 
– 400
 40 
 – 40
 0 
1 h 55 min. 
 
Solução: 1hora 55 minutos e 50,5 segundos
Prof. Pimentel
Matemática • PP30
AnotaçõesDividindo números não decimais por números não decimais:
Neste caso reduzimos os dois nº a menor unidade e em seguida efetuamos a 
divisão, o resultado será um nº puro.
Exemplo: dividir 2 dias e 18 horas por 1 hora e 15 min
2 d 2 × 24 × 60 2.880 min. 2d e 18 horas = (2.880 + 1.080) = 3.960 min.
18 horas 18 × 60 1.080 min.
1 hora e 15 min. (60 + 15) = 75 min.
 3.960 75 
0 52,8
Resposta: 52, 8 
Exemplo de exercício:
Um satélite da uma volta ao redor da terra em 6 horas e 50 minutos, após 
exatamente 5 dias, quanto tempo 
Quanto tempo faltara para completar a volta em curso.
5 d 5 × 24 × 60 7.200 min.
06 horas e 50 min. 6 × 60 + 50 410 min.
 
 7.200 410 
230 17
Observação: Nesta divisão não podemos cancelar os zeros do dividendo e 
do divisor uma vez que estamos precisando do resto, e este ficara dividido por 10.
Resposta: faltará exatamente 230 min que corresponde a 3 horas e 50 min.
EXERCÍCIOS
1) Faça as conversões 
forma não decimal Inteira Fracionária Decimal
(A) 5 dias e 6 horas 126 horas 126 dias
24
5,25 dias
(B) 4 anos e 3 meses meses anos anos
(C) 7 horas e 45 min minutos horas horas
(D) 8 meses e 12 dias dias meses meses
(E) 2 anos e 15 dias dias meses meses
(F) 4horas e 30 segundos segundos minutos minutos
(G) 1 ano 3 meses 20 
dias
dias ano ano
(H) 8 meses 15 dias dias ano ano
(I) 6 meses 20 dias dias ano ano
(J) 18 horas e 30 
min
segundos dias dias
Resolução do item a: (5 dias e 6 horas) = (5 × 24 horas + 6 horas) = 126 horas. 
Para passar para forma fracionária basta dividir 126 por 24 (o dia tem 24 horas). 
Finalmente para passar para forma decimal , basta efetuar a divisão. 
Matemática • PP31
Anotações
Prof. Pimentel
2) Faça as conversões
forma 
decimal
1º Passo 2º Passo 3º Passo
(A) 7,4 horas (7 h + 0,4h) 7 h + 0,4 × 60 min 7 h e 24 min
(B) 6,125 anos (6 a + 0,125 a) 6 a + 0,125 a × 12 meses 6 a + 1,5 m = 6 a 1 m e 15 dias
(C) 3,25 anos
(D) 38 meses
(E) 1243 horas
(F) 9,7 horas
(G) 4,725 horas
(H) 2,30 meses
(I) 0,60 dias
(J) 11,25 meses
 
3) Efetue as seguintes operações:
(A) 3 a 4 m 25 d + 5 a 9 m 18 d
(B) 12 h 35 min 22 seg + 9 h 26 min 49 seg
(C) 22 d 13 h 10 min + 7 d 10 h 50 min
(D) 18 h 57 min 18 seg + 13 h 15 min 28 seg
(E) 21 h 42 min 52 seg + 19 h 48 min 17 seg
(F) 8 a 9 m 21 d + 10 a 5 m 9 d
(G) 3 a 4 m 15 d – 2 a 9 m 28 d
(H) 21 h 12 min 2 seg – 15 h 46 min 34 seg
(I) 15 d 11 h 10 min – 7 d 10 h 50 min
(J) 16 h 21 min 12 seg – 13 h 45 min 28 seg
(K) 18 h 12 min 11 seg – 12 h 48 min 37 seg
(L) 8 a 2 m 8 d – 6 a 9 m 13 d
(M) 8 h 21min 16 seg × 4
(N) 4 meses 14 dias 9 h × 12
(O) 21 dias 15 min × 32 
(P) 2 a 7 m 18 dias × 40
(Q) 21 h 12 min 18 seg × 22
(R) 12 h 25 min 15 seg × 35
(S) 18 h 31min 16 seg ÷ 7
(T) 14 meses 15 dias 9 h ÷ 6
(U) 13 dias 15 min ÷ 12
(V) 2 a 3 m 18 dias ÷ 8
Prof. Pimentel
Matemática • PP32
Anotações(W) 21 h 2 min 18 seg ÷ 12
(X) 10 h 25 min 12 seg ÷ 4
(Y) 6 dias e 10 horas ÷ 1 hora e 20 min
(Z) 4 horas e 25 min ÷ 15 min e 40 seg
(XY) 2 meses e 18 dias ÷ 6 horas e 30 min
(YZ) 15 horas ÷ 18 min e 20 seg
(ZZ) 2 dias 15 horas 40 min. ÷ 2 horas e 30 min
QUESTÕES DE CONCURSOS
1) VUNESP - Oficial de Manutenção - Prefeitura de Sorocaba - 2014
Um ciclista treina diariamente uma hora e quarenta minutos, preparando-se para 
uma competição. Ao final de 16 dias, ele terá treinado:
(A) menos de 22 horas.
(B) exatamente 22 horas e 40 minutos.
(C) exatamente 24 horas.
(D) exatamente 26 horas e 40 minutos.
(E) mais de 28 horas.
2) VUNESP - Assistente Operacional - UNESP - 2013
 A soma das idades de três amigos, João, Carlos e Antonio, é de 46 anos e 3 meses. 
João e Antonio juntos têm 31 anos e 11 meses. Conclui-se que a idade de Carlos é
(A) 13 anos e 5 meses.
(B) 13 anos e 9 meses.
(C) 13 anos e 11 meses.
(D) 14 anos e 2 meses.
(E) 14 anos e 4 meses.
3) VUNESP - Agente de Segurança Penitenciária - Secretaria da Administração 
Penitenciária - 2013
Uma competição de corrida de rua teve início às 8h 04min. O primeiro atleta cruzou 
a linha de chegada às 12h 02min 05s. Ele perdeu 35s para ajustar seu tênis durante 
o percurso. Se esse atleta não tivesse tido problema com o tênis, perdendo assim 
alguns segundos, ele teria cruzado a linha de chegada com o tempo de
(A) 3h 58min 05s. 
(B) 3h 57min 30s. 
(C) 3h 58min 30s. 
(D) 3h 58min 35s. 
(E) 3h 57min 50s.
Matemática • PP33
Anotações
Prof. Pimentel
4) (VUNESP – Motorista – PMRP- 2014) 
Em um dia da semana, um trabalhador entra no serviço às 7h 45 min e sai às 15h 15 min. 
Sabendo que ele tem 90 minutos para o almoço, a jornada de trabalho, nesse dia, 
desse trabalhador, será de
(A) 8 h e 30 min.
(B) 8 h.
(C) 7 h e 30 min.
(D) 6 h.
(E) 5 h e 45 min.
5) VUNESP - SECRETARIO - PROCON-SP - 2013
Um estudante precisou transcrever a gravação do áudio de um seminário. Esse áu-
dio teve início quando o marcador do gravador indicava 8h 38min 52s e terminou às 
15h 32min 36s. Durante a gravação, ocorreu uma interrupção de 58min 03s em que 
as pessoas saíram para almoçar e o gravador ficou ligado. Sendo assim, o tempo do 
áudio que esse estudante teve de transcrever, com exceção do intervalo do horário 
do almoço, foi de
(A) 7h 51min 16s.
(B) 6h 52min 13s.
(C) 6h 53min 40s.
(D) 5h 55min 41s.
(E) 5h 57min 16s.
6) (VUNESP – Agente de Administração – Prefeitura Ribeirão Preto – 2014)
O primeiro filme de uma trilogia tem duração de 2 horas e 20 minutos e o tempo de 
duração do segundo filme corresponde a 4/5 do tempo do primeiro. Se o terceiro 
filme tem 26 minutos a mais que o segundo, então o tempo total de duração dos três 
filmes juntos é
(A) 5 horas e 23 minutos.
(B) 5 horas e 35 minutos.
(C) 5 horas e 52 minutos.
(D) 6 horas e 17 minutos.
(E) 6 horas e 30 minutos.
7) (VUNESP – Auxiliar Administrativo – SAAE – São Carlos – 2014)
Três irmãos, André, Beto e Caio estão colaborando com a economia de água e por 
isso reduziram o tempo de duração de seus banhos, de modo que a soma do tempodos três banhos juntos é 18 minutos. O tempo de duração do banho de Beto é a me-
tade da soma dos tempos dos banhos de André e de Caio. Sabendo que o banho de 
Caio dura 1 minuto a menos que o de Beto, então a duração, em minutos, do banho 
de André é
(A) 4.
(B) 5.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 8.
Prof. Pimentel
Matemática • PP34
Anotações8) (VUNESP – Câmara de Sertãozinho – Motorista - 2014)
Um funcionário da Prefeitura Municipal de Sertãozinho aproveita o horário do almo-
ço, de 2.ª a 6.ª feira, para fazer uma caminhada, de ida e volta, da Prefeitura até o 
Estádio Municipal Frederico Dalmaso. Sabe-se que a distância entre os dois lugares é 
de 950 m e que o tempo para fazer esse percurso a pé, é de, aproximadamente, 11 
min. Nessas condições, pode-se afirmar que esse funcionário, ao final dos cinco dias, 
percorreu
(A) 4,75 km em, aproximadamente, 55 min.
(B) 6,65 km em, aproximadamente, 1 h 17 min.
(C) 8,5 km em, aproximadamente, 1 h 05 min.
(D) 9,5 km em, aproximadamente, 1 h 50 min.
(E) 13,3 km em, aproximadamente, 2 h 34 min.
9) (VUNESP – Educador Social – PMRP- 2014) 
Um CD de música clássica possui apenas quatro músicas e o tempo de duração de 
cada uma delas está registrado na seguinte tabela:
Música Tempo de duração
1.ª 7 minutos e 25 segundos
2.ª 8 minutos e 30 segundos
3.ª 6 minutos e 53 segundos
4.ª ????
Sabendo que a duração das quatro músicas juntas é de 28 minutos e 30 segundos, 
então, a duração da 4.ª música é
(A) 5 minutos e 53 segundos.
(B) 5 minutos e 42 segundos.
(C) 5 minutos e 28 segundos.
(D) 4 minutos e 42 segundos.
(E) 4 minutos e 28 segundos.
Matemática • PP35
Anotações
Prof. Pimentel
10) (VUNESP – Motorista – PMRP- 2014) 
João fez uma viagem de Ribeirão Preto a Uberlândia, como mostra o roteiro, man-
tendo uma velocidade média de 80 km/h. O tempo gasto para ir de Ribeirão Preto a 
Uberlândia, considerando que não houve nenhuma parada, foi
(A) mais do que 4 h.
(B) aproximadamente 3 h 30 min.
(C) exatamente 3 h.
(D) aproximadamente 2 h 40 min.
(E) menos do que 2 h 20 min.
11) VUNESP - 2013 
No último domingo, Maria resolveu assistir à 2 filmes que havia retirado na locadora, 
o tempo total de duração dos dois filmes era de 3,20 horas, porém o primeiro filme 
tinha uma duração de 20 min a mais que que o segundo. Se ela começou assistir o 
filme às 19 horas e 30 min e não houve nenhuma interrupção, que horas ela termi-
nou a assistir este filme.
(A) 21horas e 10 min
(B) 21horas e 16 min
(C) 21horas e 20 min
(D) 21horas e 6 min
(E) 21 horas e 18 min
12) (FCC – Assistente Administrativo Júnior – Metrô - 2014) 
Um operador de composições do Metrô faz o trajeto de treinamento em 1 hora, 56 
minutos e 40 segundos. Após uma semana de treinamento, esse operador diminuiu 
o seu tempo em 5%. Sob a orientação de um novo técnico, esse operador diminuiu o 
seu tempo, aquele já melhorado, em 10%. Desta forma, o tempo inicial para percor-
rer o trajeto diminuiu, após as duas medições, em
(A) 14 minutos e 21 segundos.
(B) 17 minutos e 30 segundos.
(C) 15 minutos e 35 segundos.
(D) 18 minutos e 48 segundos.
(E) 16 minutos e 55 segundos.
Prof. Pimentel
Matemática • PP36
Anotações13) (FCC – Técnico Judiciário – TRT 2ª Região - 2014) 
No dia 21 de dezembro de 2013, o Atlético Mineiro venceu a equipe chinesa do 
Guangzhou pelo placar de 3 a 2, conquistando a terceira colocação do Campeonato 
Mundial de Clubes. O resumo dos gols marcados na partida é dado a seguir.
Atlético Mineiro 3 X 2 Guangzhou
Diego Tardelli (2 min − 1º tempo)
Ronaldinho Gaúcho (45 min − 1º tempo)
Luan (45 min − 2º tempo)
Muriqui (8 min − 1º tempo)
Conca (15 min − 1º tempo)
Considerando que o primeiro tempo durou 46 minutos e que o segundo tempo du-
rou 48 minutos, o total de minutos em que essa partida esteve empatada é igual a
(A) 55.
(B) 53.
(C) 54.
(D) 52.
(E) 56.
14) FCC - Assistente Adm Junior - Metrô - 2014
Um painel de operação do Metrô necessita 24 horas diárias de monitoramento. 
Um turno de trabalho de Lúcia no monitoramento desse painel é das 22:38 do dia 
08/10/2013 até 02:46 do dia 09/10/2013. Durante esse turno de trabalho Lúcia é 
obrigada a parar para descanso, sendo substituída por Marisa por 10 minutos. Se a 
parada de descanso de Lúcia divide seu tempo de trabalho no monitoramento em 
duas metades idênticas, então a parada se inicia no dia 09/10/2013 às:
(A) 00:42 
(B) 02:04 
(C) 01:59 
(D) 01:02 
(E) 00:37
15) FCC - Analista Judiciário - TRT1 - 2013
Em um planeta fictício X, um ano possui 133 dias de 24 horas cada, dividido em 7 meses de 
mesma duração. No mesmo período em que um ano terrestre não bissexto é completado, 
terão sido transcorridos no planeta X, exatamente,
(A) 1 ano, 6 meses e 4 dias.
(B) 2 anos e 4 dias.
(C) 2 anos e 14 dias.
(D) 2 anos, 5 meses e 14 dias.
(E) 2 anos, 5 meses e 4 dias.
Gabarito:
1) D 9) B
2. E 10) B
3) B 11) B
4) D 12) E
5) D 13) A
6) E 14) E
7) D 15) E
8) D
Anotações
Prof. Pimentel
M
ó
d
ul
o
Matemática • PP37
Múltiplos e Divisores03
Muitas vezes quando estamos trabalhando com problema que envolve nº 
inteiro os conceitos de divisor e de múltiplo são muito úteis para ganharmos tempo.
A palavra divisor significa que a divisão o quociente será um número inteiro 
e não sobrará resto.
Por exemplo: o número 5 é um divisor de 40 uma vez que a divisão de 40 
por 5 é igual a 8 e o resto é zero.
Como consequência o número 40 é considerado um múltiplo de 8. 
Apesar de terem significados diferentes as palavras divisor e múltiplos es-
tão entre si com pai está para filho.
Assim quando afirmamos que b é múltiplo de a, devemos entender que a 
é divisor de b, e vice versa.
Definição:
O número a é chamado divisor de b, se a divisão de b por a for exata.
Assim sendo surgirá um terceiro c de tal maneira que podemos dizer:
8 ou b = a × c 2
 
Desta forma o nº b também será divisível por c.
Dicas:
a) não confundir a palavra divisível (conta exata) com a palavra dividido (a conta 
pode não ser exata).
b) Se a é divisor de b então b é múltiplo de a.
c) Se b é múltiplo de a então a é divisor de b.
As questões de concursos relacionadas ao tema concentram-se nos con-
ceitos do MDC e do MMC. Serão abordados tópicos elementares para construção 
destes conceitos.
Números primos:
São aqueles que admitem apenas dois divisores distintos, ele mesmo e o 
número 1.
Exemplos:
7 13 31 47 53 
Importante: o número 1 não é primo, ele não tem dois divisores distintos.
Números primos entre si:
São aqueles que têm como divisor comum apenas o número um (1).
Prof. Pimentel
Matemática • PP38
AnotaçõesExemplo:
- Os divisores do número 9 são { 1, 3, 9 }
- Os divisores do número 8 são { 1, 2, 4, 8 }
Conclusão:
Os números 8 e 9 não são primos, porém são considerados primos entre si, 
pois o único divisor comum entre eles é o número 1.
Propriedade:
Se dois divisores de um nº forem primos entre si, esse nº será divisível pelo 
produto dos dois divisores;
Exemplo: 
O número 45 é divisível por 3 e por 5, portanto ele é divisível por (3 × 5) = 15
Números compostos:
São aqueles que vêm da multiplicação de dois ou mais números primos.
Exemplo: 
6 = 2 × 3
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
 
Decomposição de um número em fatores primos:
Todo número inteiro pode ser decomposto em fatores primos. É o que cha-
mamos de fatoração. Uma maneira simples de se fatorar um número é dividi-lo su-
cessivamente pelo menor número primo possível até que se encontre o resultado 1.
Exemplo:
120 2
O número 120 na forma fatorada é 120 = 23 × 31 × 51
60 2
30 2
15 3
5 5
1
No processo da fatoração é fundamental a percepção rápida dadivisibili-
dade dos números.
Para tal seguem alguns critérios de divisibilidade que ajudarão neste pro-
cesso.
Critérios de Divisibilidade:
Por 2 Os números pares são divisíveis por 2, ou seja quando o último algarismo 
que compuser o número for: 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplos: 12 24 108 412 7.796
Por 3 Os números são divisíveis por 3 quando a soma de seus algarismos for 
múltiplo de 3.
Exemplos: 27 → (2 + 7) = 9 
 132 → (1 + 3 + 2) = 6
Matemática • PP39
Anotações
Prof. Pimentel
Por 4 Números divisíveis por 4 ou terminam em 00 ou o número formado pe-
los dois últimos algarismos são divisíveis por 4.
Exemplos: 8.016 6.500 8.532
Por 5 Números divisíveis por 5 terminam em 0 ou 5.
Exemplos: 1853.175 99.99.990
Por 6 Números divisíveis por 6 são números divisíveis por 2 e 3 ao mesmo tem-
po.
Exemplo: O nº 6.144 
a) termina em 4, é divisível por 2; 
b) somando os algarismos 6 + 1 + 4 + 4 = 15, é divisível por 3.
Como 2 e 3 são primos entre si, o nº 6.144 será divisível por (2 × 3) = 6
Por 8 Números divisíveis por 8 terminam em 000 ou o número formado pelos 
três últimos algarismos é divisível por 8.
Exemplos: 105.432 432 é divisível por 8
 87.000 termina em 000
Por 9 Números são divisíveis por 9 quando a soma dos algarismos for múltiplo 
de 9 (semelhante a regra do 3).
Exemplos: 27.873 → 2 + 7 + 8 + 7 + 3 = 27 
 27 é múltiplo de 9; portanto, 26.873 é divisível por 9
Por 10 Números divisíveis por 10 são números que terminam em 0.
Exemplos: 23.840 48.150 87.131.720
Por 11 Números são divisíveis por 11 quando a diferença da soma entre os al-
garismos que ocupam as casas de ordem par com a soma dos algarismos 
que ocupam as casas de ordem ímpar for zero ou múltiplo de 11.
Exemplos: 8.734 1° + 3° → 4 + 7 = 11 2° + 4° → 3 + 8 = 11
 11 – 11= 0
 91.839 1° + 3° + 5° → 9 + 8 + 9 =26 
 2° + 4° → 3 + 1 = 4 
 26 – 4 = 22
 
Exercícios: 
Usando as regras acima determinar alguns divisores do número 3.960.
Resolvendo:
O último algarismo é par → divisível por 2
60 (dois últimos algarismos) é múltiplo de 4 divisível por 4
3 + 9 + 6 + 0 = 18 → divisível por 3 e 9.
termina com zero → divisível por 5 e 10.
(3 + 6) – (9 + 0) = 0 → divisível por 11.
Podemos afirmar que 3960 é divisível por:
2 e 3 → ele será divisível por 2 × 3 = 6
2 e 5 → ele será divisível por 2 × 5 = 10
2 e 9 → ele será divisível por 2 × 9 = 18
2 e 11 → ele será divisível por 2 × 11 = 22
Prof. Pimentel
Matemática • PP40
Anotações3 e 4 → ele será divisível por 3 × 4 = 12
3 e 5 → ele será divisível por 3 × 5 = 15
3 e 10 → ele será divisível por 3 × 10 = 30
3 e 11 → ele será divisível por 3 × 11 = 33
5 e 4 → ele será divisível por 5 × 4 = 20
5 e 9 → ele será divisível por 5 × 9 = 45
5 e 11 → ele será divisível por 5 × 11 = 55
9 e 10 → ele será divisível por 9 × 10 = 90
9 e 11 → ele será divisível por 9 × 11 = 99
Regra geral: Se um número a for divisível por dois ou mais números, ele 
será divisível pelo m.m.c. destes números (brevemente veremos como se determi-
na o m.m.c. de dois ou mais números)
Divisores de um número:
Para obtermos o conjunto dos divisores de um determinado número, va-
mos seguir os passos:
Primeiro passo Fatoramos os números:
120 2 48 2
60 2 24 2
30 2 12 2
15 3 6 2
5 5 3 3
1 1
120 = 23 × 31 × 51 48 = 24 × 31
Como todos os números primos na segunda coluna (fatores) são divisores, 
qualquer combinação entre eles também será divisor.
Exemplo:
Os números 2, 3 e 5 são divisores de 120. Qualquer combinação entre eles tam-
bém será: 6 (combinação de 2 × 3), 30 (combinação de 2 × 3 × 5), e assim por diante.
Os números 2 e 3 são divisores de 48. Qualquer combinação entre eles também 
será: 8 (combinação de 2 × 2 × 2), 12 (combinação de 2 × 2 × 3), e assim por diante.
Segundo passo: traçamos um linha vertical ao lado dos divisores encontra-
dos na fatoração, em seguida escrevemos o nº 1 na linha acima do primeiro divisor.
Terceiro passo: multiplicamos o primeiro divisor (no caso é o primeiro 2) por 1 
e o resultado escrevemos na mesma linha que contém esse número. Em seguida vamos 
multiplicar todos os demais divisores primos pelos números que aparecem nas linha aci-
ma onde está o referido divisor, escrevendo o resultado em sua frente.
Não há necessidade de repetir os números que já existem.
1 1
120 2 2 48 2 2
60 2 4 24 2 4
30 2 8 12 2 8
15 3 3, 6, 12, 24 6 2 16
5 5 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120 3 3 3, 6, 12, 24, 48
1 1
Matemática • PP41
Anotações
Prof. Pimentel
Quantos divisores tem um número:
Uma forma pratica para descobrirmos quantos divisores tem um número, 
sem fazer todos os cálculos apresentados acima; após a decomposição escrevemos 
o nº na forma fatorada.
O número de divisores corresponderá ao produto de todos os expoentes 
adicionados de uma unidade.
Exemplo 1: Quantos divisores tem o nº 120
120 = 23 × 31 × 51 → nº de divisores = (3 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 4 × 2 × 2 = 16
Exemplo 2: o número X = 2a × 3b × 5c × 6d, determinar o nº de divisores de X
 nº de divisores = (a + 1) × (b + 1) × (c + 1) × (d + 1) 
Divisores comuns de dois ou mais números:
Inicialmente determinamos os divisores dos nº conforme acima depois é 
só selecionar aqueles que são comuns.
1 1
120 2 2 48 2 2
60 2 4 24 2 4
30 2 8 12 2 8
15 3 3, 6, 12, 24 6 2 16
5 5 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120 3 3 3, 6, 12, 24, 48
1 1
O conjunto dos divisores comuns entre 120 e 48 é {1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 8 – 12 – 24}.
O número 24 é o maior divisor comum dos nº 120 e 48.
DICA: Os divisores do M.D.C de dois ou mais números serão também divisores 
comuns dos números.
Determinando os divisores do nº 24:
1
24 2 2
12 2 4
6 2 8
3 3 3, 6, 12, 24
1
 
Observem que os números apurados são iguais ao conjunto determinado acima.
Forma rápida para se determinar o m.d.c.
Os números são fatorados simultaneamente por um divisor comum. Não 
há necessidade de começarmos pelos menores divisores primos, basta chegarmos 
a conclusão que os números são divisíveis por determinado número.
O m.d.c. será o produto dos divisores comuns.
Exemplo 1: Determinar o m.d.c. de 2100, 1800 e 750.
2.100 – 1.800 – 750 10 todos são divisíveis por 10
210 – 180 – 75 5 todos são divisíveis por 5
42 – 36 – 15 3 todos são divisíveis por 3
14 – 12 – 5 Não há mais divisores comuns, exceto o 1.
primos entre si m.d.c. = 10 × 5 × 3 = 150
Prof. Pimentel
Matemática • PP42
AnotaçõesExemplo 2:
Determinar o m.d.c. dos números 480, 144 e 600
Tente dividir todos os números pelo maior divisor possível.
480 – 144 – 600 4 todos são divisíveis por 4
120 – 36 – 150 6 todos são divisíveis por 6
20 – 6 – 25 Não há mais divisores comuns
primos entre si m.d.c. = 4 × 6 = 24
Com o intuito de se ganhar tempo poderíamos tentar a divisão por um nú-
mero maior. Quem visualiza o 4 e o 3, divide todos os números por 12. Esta escolha 
depende da intimidade com os números, da facilidade de enxergar as divisões.
Daí teríamos:
480 – 144 – 600 12 todos são divisíveis por 12
40 – 12 – 50 2 todos são divisíveis por 2
20 – 6 – 25 Não há mais divisores comuns
primos entre si m.d.c. = 12 × 2 = 24
De qualquer maneira, chegamos a um mesmo resultado.
Quando temos dificuldades de identificar os divisores comuns, vamos de-
compor os números simultaneamente pelos menores divisores primos e para deter-
minar o m.d.c. pegaremos somente aqueles que dividem todos aomesmo tempo.
Exemplo: determinar o m.d.c. dos números 780 - 936 - 1248
780 – 936 – 1.248 2
390 – 468 – 624 2
195 – 234 – 312 2
Vamos descartar esses fatores, eles não 
dividem todos os números simultanea-
mente
195 – 117 – 156 2
195 – 117 – 78 2
195 – 117 – 39 3
 65 – 39 – 13 3
 65 – 13 – 13 5
 13 – 13 – 13 13
O m.d.c. é: 2 × 2 × 13 = 52
 1 – 1 – 1
Problemas envolvendo o Máximo Divisor Comum:
Uma vez que já entendemos a ferramenta (m.d.c.), vamos para prática.
As situações problemas onde devemos usar o m.d.c. nós só descobriremos 
através a interpretação dos textos que nos são apresentados. Além disso temos a 
obrigação de sabermos o que significa o m.d.c. dentro do problema e também o 
que estamos procurando.
Exemplo 1 
Qual é a maior quantidade de pacotes iguais que poderei fazer se tenho 
840 livros, 600 cadernos e 960 canetas ?
Antes de resolver o problema, veja as dicas:
Matemática • PP43
Anotações
Prof. Pimentel
1º O problema passou um ideia de divisão exata Divisor
2º O problema fala em quantidades iguais Comum
3º O problema fala na maior quantidade Máximo
Fique atento: 
É a ideia de divisão exata é aquela nos levará a concluir que o proble-
ma é de divisor.
Nos exercícios tanto as palavras maior como menor significa máxi-
mo. (lembre-se a menor quantidade de alguma coisa nos levará ao 
máximo de outra).
Exemplo quando eu divido uma certa quantia em partes iguais entre 
várias pessoas, quanto menor for o nº de pessoas maior será o valor 
que cada uma receberá 
Mesmo descobrindo que a ferramenta adequada é o m.d.c., precisamos 
responder a 3 perguntas:
1º O que representa o m.d.c.?
2º O que estamos procurando?
3º E agora o que faço?
Respostas para esse exercício:
1º O m.d.c. representa a maior quantidade de pacotes
2º nº de pacotes.
3º A resposta é o próprio m.d.c.
Resolvendo:
840 – 600 – 960 10 todos são divisíveis por 10
84 – 60 – 96 12 todos são divisíveis por 12
 7 – 5 – 8 Não há mais divisores comuns, exceto o 1.
primos entre si m.d.c. = 10 × 12 = 120
 
Exemplo 2 
Quanta canetas devo colocar em cada pacote se pretendo fazer o máximo 
de pacotes iguais se tenho 840 livros, 600 cadernos e 960 canetas ?
1º O problema passou um ideia de divisão exata Divisor
2º O problema fala em quantidades iguais Comum
3º O problema fala na maior quantidade Máximo
1º O que representa o m.d.c.?
2º O que estamos procurando?
3º E agora o que faço?
Prof. Pimentel
Matemática • PP44
AnotaçõesRespostas para este exercício:
1º O m.d.c. representa a maior quantidade de pacotes
2º nº quantidade de canetas.
3º divido a quantidade de canetas pelo o m.d.c. .
Resolvendo:
840 – 600 – 960 10 todos são divisíveis por 10
84 – 60 – 96 12 todos são divisíveis por 12
 7 – 5 – 8 Não há mais divisores comuns, exceto o 1.
primos entre si m.d.c. = 10 × 12 = 120
Para sabermos o número de canetas basta efetuar a divisão: 
(960 ÷ 120) = 8
Resposta: 8 canetas
Exemplo 3
Um jardineiro dispõe de 1500 mudas de rosas vermelhas, 1200 amarelas e 
900 brancas. Qual a menor quantidade de mudas que deverá colocar em cada can-
teiro de modos que cada um deles tenha o mesmo número de plantas de cada tom.
1º Dividir em canteiros iguais ideia de divisão  divisor
2º Mesmo número de plantas Comum
3º Menor número de plantas  máximo de 
canteiros
Máximo
1º O que representa o m.d.c.?
2º O que estamos procurando?
3º E agora o que faço?
Respostas para este exercício:
1º O m.d.c. representa a maior quantidade de canteiros
2º Números plantas.
3º Divido a quantidade de plantas pelo o m.d.c. .
Resolvendo:
1.500 – 1.200 – 900 100 todos são divisíveis por 10
15 – 12 – 9 3 todos são divisíveis por 3
 5 – 4 – 3 Não há mais divisores comuns, exceto o 1.
primos entre si m.d.c. = 100 × 3 = 300
 
Dica: como não houve descarte na decomposição, podemos somar o 
número da última linha.
(5 + 4 + 3) = 12
Matemática • PP45
Anotações
Prof. Pimentel
Exemplo 4 
Uma ONG recebeu 4500 Kg de arroz, 1.800 Kg de feijão; 3.600 Kg de batata 
e 2.400 latas de leite em pó, que serão distribuídos entre a comunidade carente por 
ela assistida. A secretaria recebeu ordem de transformar tudo em cestas básicas 
de modo que elas fossem todas iguais e que ainda atendesse o maior número de 
pessoas possíveis. Desta forma quantas cestas foram distribuídas, e o que continha 
em cada uma.
1º Dividir em canteiros iguais ideia de divisão  divisor
2º Mesmo número de plantas Comum
3º Menor número de plantas  máximo de 
canteiros
Máximo
1º O que representa o m.d.c.?
2º O que estamos procurando?
3º E agora o que faço?
Respostas para este exercício:
1º O m.d.c. representa a maior quantidade de cestas
2º Número de cestas e quantidade em cada cesta.
3º O m.d.c. é o nº de cestas - divido cada o total de cada produto pelo nº de cestas.
Resolvendo:
4.500 – 1.800 – 3.600 – 2.400 100
45 – 18 – 36 – 24 3
15 – 6 – 12 – 8
primos entre si m.d.c. = 100 × 3 = 300
Resposta: foram distribuídas 300 cestas contendo 15 Kg de arroz, 6Kg de feijão; 12 Kg 
de batata e 8 latas de leite.
QUESTÕES DE CONCURSOS
1) VUNESP - Assistente Adm. e Téc. - Emplasa - 2014
Três tábuas de espessura igual a 3 cm, cujos comprimentos são iguais a 2,4 m, 3,6 m e 
3 m, respectivamente, deverão ser totalmente cortadas em pedaços iguais e do maior 
comprimento possível, de modo que não haja sobras. Os pedaços cortados devem ser 
sobrepostos, formando uma única pilha, cuja altura, em centímetros, deverá ser igual a 
(A) 30. (B) 35. (C) 45. (D) 50. (E) 55.
2) VUNESP - Tesoureiro - Câmara Municipal de São Carlos - 2013
 Uma pessoa precisa quadricular uma placa retangular de papelão de 1,80 m de 
comprimento por 92 cm de largura. A figura mostra uma parte do quadriculado.
 
 
 
Prof. Pimentel
Matemática • PP46
Anotações Sabendo-se que todos os quadradinhos são iguais e de maior lado possível, e que 
a placa toda foi quadriculada, sem que ocorresse nenhuma sobra, então, o número 
total de quadradinhos desenhados nessa placa foi
(A) 1.035. (B) 1.050. (C) 1.300. (D) 1.350. (E) 1.500.
3) VUNESP - Agente de Trânsito - Detran - 2013
Uma coleção de miniaturas de brinquedos é formada por 328 carrinhos, 256 mo-
tos e 192 caminhões. Os brinquedos serão organizados em grupos com a mesma 
quantidade, de modo que cada grupo seja formado pelo mesmo tipo de miniatura. 
Desejando-se que cada grupo tenha o maior número possível de miniaturas, então 
o número de brinquedos em cada grupo e a quantidade de grupos formados com 
motos são, respectivamente,
(A) 6 e 67. (B) 8 e 41. (C) 6 e 53. (D) 8 e 32. (E) 6 e 41.
4) VUNESP - Oficial administrativo - IMESC - 2013
Necessita-se dividir duas verbas, uma de R$ 60.000,00 e outra de R$ 22.500,00, para 
que possam ser aplicadas apenas em projetos que serão desenvolvidos. Mas para 
essa divisão existem algumas exigências: (1º) essas verbas não podem ser juntadas; 
(2º) cada projeto deverá receber o mesmo valor e nada mais, além disso; (3º) cada 
parte decorrente da divisão deverá ter o maior valor possível. Obedecendo a essas 
exigências, o número de projetos que serão desenvolvidos com essas verbas será
(A) 11. (B) 15. (C) 22. (D) 25. (E) 33.
5) VUNESP - SECRETÁRIO - PROCON-SP - 2013
Uma costureira tem quatro