Crivo eratóstenes

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA BAHIA
CAMPUS BARREIRAS
CURSO SUPERIOR DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ZACARIAS SILVA DE MATOS JÚNIOR
RESUMO: CRIVO DE ERATÓSTENES 
Este resumo será apresentado para a avaliação da disciplina de Álgebra Elementar I do curso superior de Licenciatura de Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia, Campus Barreiras, orientado pela professora Emanuelle Romero.
BARREIRAS – BA
JULHO DE 2017
CRIVO DE ERATÓSTENES
 Eratóstenes foi um matemático grego que viveu entre os anos 276 a.C. até 194 a.C. Ele desenvolveu uma tabela, chamada de "Crivo de Eratóstenes", onde ele conseguiu determinar, não com uma fórmula (pois é este um dos desafios do instituto Clay de matemática, como você pode ler na minha postagem do dia 07/05/2013), mas com uma tabela os números naturais primos, no nosso exemplo do 0 até o 100; mas que na teoria pode ser feito para todos os números primos; porém, o inconveniente é que quanto maior for o nº primo, mais difícil de aplicar o Crivo de Erastóstenes, pois o esforço aliado ao tempo gasto começará a aumentar incrivelmente.
Escrevem-se, na ordem natural, todos os números naturais entre 2 e n. Em seguida, eliminam-se todos os inteiros compostos que são múltiplos dos primos p tais que p ≤ , isto é: primeiro elimine todos os múltiplos 2k de 2, com k ≥ 2; a seguir, todos os múltiplos 3k de 3, com k ≥ 2; depois os múltiplos 5k de 5, com k ≥ 2; e assim sucessivamente, para todo primo p ≤ . Os números que sobrarem na lista são todos os primos entre 2 e n.
Exemplo: Vamos construir a tabela de todos os primos menores que 100.
Como = 10, pelo crivo de Eratóstenes devemos eliminar da lista dos números naturais de 2 a 100 todos os múltiplos dos primos p tais que p ≤ 10, ou seja, os múltiplos de p = 2, 3, 5 e 7.
	Segue-se então, do crivo de Eratóstenes, que os primos entre 1 e 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97. 
Desde os tempos de Euclides, problemas envolvendo os números primos têm fascinado os matemáticos. Naquela época, muitos resultados sobre os números primos haviam sido compilados, mas muitos foram perdidos. Uma das demonstrações mais antigas em teoria de números que chegou até nós foi a prova da infinitude dos números primos.
Muitas questões interessantes sobre números primos não foram respondidas até hoje. Por exemplo, dizemos que dois primos são gêmeos se eles são números ímpares consecutivos. Assim, 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13 são números primos gêmeos. Um antigo problema que até hoje não foi resolvido é se existe ou não um número infinito de primos gêmeos. Sabendo-se que existem infinitos números primos, coloca-se também a questão de como eles são distribuídos na sequência dos números naturais.