exerccicos port 1.GE2

Prévia do material em texto

02º) Prove que duas retas distintas ou não intersectam-se ou intersectam-se em um único ponto.
Resolução
Sejam m e n duas retas distintas. Se m e n possuem pelo menos dois pontos distintos em comum então, pelo Axioma de Incidência 1, m e n coincidem, que é uma contradição com o fato que m e n são retas distintas. Logo, m e n ou possuem um ponto em comum ou nenhum. Portanto a Proposição diz que se duas retas distintas não são paralelas, então elas têm um ponto em comum.
03º) Para todo ponto P existe pelo menos uma reta l que não passa por P.
Resolução;
Pelo Axioma de Incidência 3, existe um ponto Q distinto de P. Pelo Axioma de Incidência 1 existe uma única reta l que passa por P e Q. Pelo Axioma de Incidência 3 existe um ponto R que não pertence a l. Novamente pelo Axioma de Incidência 1, existe uma reta r distinta de l que contém os pontos P e R.
05º) Sejam dois pontos A e B e um terceiro ponto C entre eles. É possível provar que C pertencente a reta que passa por A e B utilizando somente os 5 postulados de Euclides?
06º) É possível provar a partir dos 5 postulados de Euclides que para toda reta l existe um ponto pertencente a l e um ponto que não pertence a l?
07º) Demonstre que "Três retas, duas a duas concorrentes, não passando por um mesmo ponto, estão contidas no mesmo plano".
Resolução:
Sejam r, s e t as retas tais que
r ∩ s = {C},r ∩ t = {B}, s ∩ t = {A} e A, B e C 
pontos não-colineares
•Pelo postulado P4 (determinação), existe o plano 
= (A, B, C);
•Pelo postulado da inclusão, temosque (A ≠ B; A,B ) 
t 
•Analogamente temos s e r C
09º) Demonstrar que "duas retas concorrentes r e s determinam um plano.
Resolução:
Desenhando duas retas concorrentes (duas retas que se cruzam). Vamos chamar uma de reta p e outra de reta Q, vamos também dizer que o ponto em comum dessas duas retas é representado por A. 
Logo, vc tem uma reta “P” concorrente a uma reta “Q” que “Q” interseccionado com P dá {A}. Agora, pegamos um ponto B em r tal que B é diferente de A. Ou seja, temos um ponto qualquer da reta “P” e chamá-lo de B, mas este ponto B não pode ser o mesmo que A (ponto coincidente). 
De mesmo modo, vc pega um ponto C em “Q”, tal que C é diferente de A. 
Logo, temos os três pontos A, B e C não colineares, determinando um único plano . 
agora, verifiquemos que contém dois pontos distintos dois a dois, isto é,percebemos que contém A e B, isto é, que contém a reta “P”. Também, contém A e C, isto é, contém a reta “Q”. E como sabemos que este é único, pois existe um único plano que passa por três pontos não colineares, provamos que as duas retas determinam um plano qq.