Lista_4_Mat2_2013-2_T02

Prévia do material em texto

UFRRJ - ICE - DEMAT
Prof.a Aline
4a Lista de Exerc´ıcios de Matema´tica II - 2013-2
1. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem fxx, fxy, fyx e fyy de cada func¸a˜o
dada a seguir:
(a) f(x, y) = 5x4y3 + 2xy
(b) f(x, y) = ex
2y
(c) f(x, y) =
√
x2 + y2
2. Uma lata de refrigerante e´ um cilindro de altura H e raio R; o volume da lata e´
dado por V = piR2H. Uma certa lata tem 12 cm de altura e 3 cm de raio. Use
os me´todos de ana´lise marginal para estimar a variac¸a˜o de volume se o raio for
aumentado de 1 cm e a altura mantida em 12 cm.
3. Em uma certa fa´brica, a produc¸a˜o dia´ria e´ Q(K,L) = 60K1/2L1/3 unidades, onde
K e´ o capital imobilizado em milhares de reais e L o volume de ma˜o-de-obra em
homens-horas. O capital imobilizado atual e´ de R$ 900.000,00 e o volume de ma˜o-
de-obra e´ de 1.000 homens-horas por dia. Use os me´todos de ana´lise marginal para
estimar o efeito de um investimento adicional de R$ 1.000,00 sobre a produc¸a˜o
dia´ria se o volume de ma˜o-de-obra permanecer constante.
4. Um revendedor de bicicletas constatou que, se as bicicletas de 10 marchas forem
vendidas por x reais a unidade e o prec¸o da gasolina for y centavos o litro, o nu´mero
de bicicletas vendidas por meˆs sera´ dado por
F (x, y) = 200− 24
√
x + 4(0, 1y + 3)3/2.
No momento, as bicicletas esta˜o sendo vendidas por R$ 324,00 e a gasolina custa
R$ 2,20 o litro. Use os me´todos de ana´lise marginal para determinar a variac¸a˜o de
demanda de bicicletas de 10 marchas se o prec¸o da gasolina diminuir em 1 centavo
por litro e o prec¸o das bicicletas na˜o for alterado.
5. Usando x horas de ma˜o-de-obra especializada e y horas de ma˜o-de-obra na˜o-especia-
lizada, um fabricante e´ capaz de produzir Q(x, y) = 10xy1/2 unidades. No momento,
30 horas de ma˜o-de-obra especializada e 36 horas de ma˜o-de-obra na˜o-especializada
esta˜o sendo usadas. Suponha que o fabricante reduza de 3 horas a quantidade de
ma˜o-de-obra especializada e aumente de 5 horas a quantidade de ma˜o-de-obra na˜o-
especializada. Use os me´todos do ca´lculo para determinar o efeito aproximado
destas mudanc¸as sobre a produc¸a˜o.
1
6. O dono de uma editora estima que se investir x milhares de reais na produc¸a˜o e y
milhares de reais em publicidade, aproximadamente Q(x, y) = 20x3/2y exemplares
de um novo livro sera˜o vendidos. A ideia inicial e´ investir R$ 36.000,00 na produc¸a˜o
e R$ 25.000,00 em publicidade. Use os me´todos do ca´lculo para estimar de que
forma as vendas sera˜o afetadas se a quantia investida na produc¸a˜o for aumentada
em R$ 500,00 e a quantia investida em publicidade for reduzida em R$ 1.000,00.
7. Uma lata de refrigerante tem H cent´ımetros (cm) de altura e um raio de R cm. O
custo do material da lata e´ de 0,0005 centavos por cm2 e o refrigerante custa 0,001
centavo por cm3.
(a) Escreva a func¸a˜o C(R,H) que expressa o custo de uma lata cheia de refrigerante,
lembrando que a superf´ıcie da lata tem uma a´rea S = 2piR2 + 2piRH e o volume
da lata e´ dado por V = piR2H.
(b) As latas teˆm atualmente 12 cm de altura e 3 cm de raio. Use os me´todos do
ca´lculo para estimar o efeito sobre o custo de um aumento de 0,3 cm no raio e uma
diminuic¸a˜o de 0,2 cm na altura.
8. Para cada func¸a˜o a seguir, use a regra da cadeia para determinar ft. Expresse a
resposta em termos de x, y e t.
(a) f(x, y) = 2x + 3y; x(t) = t2, y(t) = 5t.
(b) f(x, y) =
3x
y
; x(t) = t, y(t) = t2.
(c) f(x, y) = xy; x(t) = e2t, y(t) = e−3t.
9. A demanda de um certo produto e´
Q(x, y) = 200− 10x2 + 20xy
unidades por meˆs, onde x e´ o prec¸o do produto e y e´ o prec¸o de um produto
concorrente. Estima-se que daqui a t meses o prec¸o do produto sera´
x(t) = 10 + 0, 5t
reais, enquanto o prec¸o do produto concorrente sera´
y(t) = 12, 8 + 0, 2t2
reais.
(a) Qual sera´ a taxa de variac¸a˜o da demanda do produto com o tempo daqui a 4
meses?
(b) Qual sera´ a taxa de variac¸a˜o percentual 100Q′(t)/Q(t) da demanda do produto
com o tempo daqui a 4 meses?
2
10. Suponha que, quando mac¸a˜s sa˜o vendidas por x centavos o quilo e os padeiros
ganham y reais por hora, o prec¸o da torta de mac¸a˜ em uma certa rede de super-
mercados e´
p(x, y) =
1
4
x1/3y1/2
reais. Suponha tambe´m que daqui a t meses o prec¸o das mac¸a˜s sera´
x = 129−
√
8t
centavos o quilo e o sala´rio dos padeiros sera´
y = 15, 60 + 0, 2t
reais por hora. Se a rede de supermercados pode vender Q =
4184
p
tortas por
semana quando o prec¸o da torta e´ p reais, qual sera´ a taxa de variac¸a˜o da demanda
semanal Q de tortas daqui a 2 meses?
Gabarito:
1. (a) fxx = 60x
2y3, fxy = 2(30x
3y2 + 1), fyx = 2(30x
3y2 + 1), fyy = 30x
4y;
(b) fxx = 2y(2x
2y + 1)ex
2
y, fxy = 2x(x
2y + 1)ex
2
y, fyx = 2x(x
2y + 1)ex
2
y, fyy = x
4ex
2
y;
(c) fxx =
y2
√
(x2 + y2)3
, fxy =
−xy
√
(x2 + y2)3
, fyx =
−xy
√
(x2 + y2)3
, fyy =
x2
√
(x2 + y2)3
.
2. O volume aumentara´ de 72pi cm3.
3. A produc¸a˜o dia´ria aumentara´ aproximadamente em 10 unidades.
4. A demanda mensal de bicicletas diminuira´ de aproximadamente 3 unidades.
5. O nu´mero de unidades produzidas diminui de aproximadamente 55.
6. As vendas diminuira˜o em aproximadamente 2000 livros.
7. (a) C(R,H) = 0, 001pi(R2 + RH + R2H); (b) O custo aumentara´ de 0,08 centavos por lata.
8. (a) ft = 4t + 15; (b) ft =
3
y
−
6xt
y2
; (c) ft = 2ye
2t − 3xe−3t.
9. (a) 424 unidades por meˆs; (b) 16,31%.
10. −3; a demanda estara´ diminuindo a` taxa de 3 tortas por semana.
3