cadernão raciocinio lógico Polícia Federal 2018

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Lógica Proposicional e Sentencial 
de 1° Ordem. 
 
 
INTRODUÇÃO 
 A Lógica é uma ciência com características 
matemáticas, mas está fortemente ligada à 
Filosofia. Ela cuida das regras do bem pensar, ou 
do pensar correto, sendo, portanto, um 
instrumento do pensar humano. 
 Aristóteles, filósofo grego (384?-322a.C) em 
sua obra "Órganon", distribuída em oito volumes, 
foi o seu principal organizador. 
 Através da Lógica pode-se avaliar a validade 
ou não de raciocínios que têm por base premissas 
(afirmações supostamente verdadeiras) iniciais. 
 Os exemplos abaixo mostram 
desenvolvimento de raciocínios lógicos: 
Raciocínio I – 
(1ª premissa) Todo homem é mortal. 
(2ª premissa) Sócrates é mortal. 
 Conclusão: Sócrates é homem. 
 
Raciocínio II- 
(1ª premissa) Todo homem é mortal. 
(2ª premissa) Sócrates é homem. 
 Conclusão: Sócrates é mortal. 
 
À primeira vista, todos os dois raciocínios parecem 
verdadeiros. Entretanto, o primeiro é falso, pois: 
Sócrates pode perfeitamente ser o gatinho da 
minha vizinha. Já, o segundo raciocínio é 
universalmente verdadeiro. 
 Quais são as regras para a validação de uma 
conclusão a partir de afirmações anteriores? Este é 
um dos principais objetivos deste curso. 
 
 George Boole (1815-1864), em seu livro "A 
Análise Matemática da Lógica", estruturou os 
princípios matemáticos da lógica formal, que, em 
sua homenagem, foi denominada Álgebra 
Booleana. 
 No século XX, Claude Shannon aplicou pela 
primeira vez a álgebra booleana em interruptores, 
dando origem aos atuais computadores. 
 
 Desde 1996, nos editais de concursos já 
inseriam o "Raciocínio Lógico" em suas provas. 
Hoje, a maioria dos concursos apresenta questões 
de Raciocínio Lógico, entre eles os concursos para 
Auditor-Fiscal e Técnico da Receita Federal, Fiscal 
do Trabalho, Analista e Técnico de Finanças e 
Controle, Tribunal de Contas da União (TCU) e 
Tribunais de Contas Estaduais, Especialista de 
Políticas Públicas e Gestão Governamental (MPOG), 
Analista de Planejamento e Orçamento (MPOG), 
Assistente de Chancelaria (MRE), Auditor de 
Tributos Estaduais e Municipais, Analista do Serpro, 
Analista e Técnico do MPU, Banco do Brasil, IBGE, 
Caixa Econômica Federal, Polícia Federal 
(Delegado, Perito, Escrivão, Agente e 
Papiloscopista). 
 
 Pode, à primeira vista, parecer complexa a 
disciplina "Raciocínio Lógico". Entretanto, ela está 
ao alcance de toda pessoa que memorize as regras 
e exercite bastante. Portanto, mãos à obra. 
 
1 - Proposição 
Denomina-se proposição a toda sentença, 
expressa em palavras ou símbolos, que exprima 
um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo 
contexto, somente um de dois valores lógicos 
possíveis: verdadeiro ou falso. 
Somente às sentenças declarativas pode-
se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que 
ocorre quando a sentença é, respectivamente, 
confirmada ou negada. De fato, não se pode 
atribuir um valor de verdadeiro ou falso às demais 
formas de sentenças como as interrogativas, as 
exclamativas e outras, embora elas também 
expressem juízos. 
São exemplos de proposições as seguintes 
sentenças declarativas: 
O número 6 é par. 
O número 15 não é primo. 
Todos os homens são mortais. 
Nenhum porco espinho sabe ler. 
 
1.1 - Proposição Simples 
Uma proposição é dita proposição 
simples ou proposição atômica quando não 
contém qualquer outra proposição como sua 
componente. Isso significa que não é possível 
encontrar como parte de uma proposição simples 
alguma outra proposição diferente dela. Não se 
pode subdividi-la em partes menores tais que 
alguma delas seja uma nova proposição. 
Exemplo: 
A sentença “Cíntia é irmã de Maurício” é uma 
proposição simples, pois não é possível identificar 
como parte dela qualquer outra proposição 
diferente. 
 
1.2 - Proposição Composta 
Uma proposição que contenha qualquer 
outra como sua parte componente é dita 
proposição composta ou proposição 
molecular. Isso quer dizer que uma proposição é 
composta quando se pode extrair como parte dela, 
uma nova proposição. 
 
2 - Conectivos Lógicos 
Existem alguns termos e expressões que 
estão freqüentemente presentes nas proposições 
compostas, tais como não, e, ou, se ... então e 
se e somente se aos quais denominamos 
conectivos lógicos. Os conectivos lógicos agem 
sobre as proposições a que estão ligados de modo 
a criar novas proposições. 
Exemplo: 
A sentença “Se x não é maior que y, então 
x é igual a y ou x é menor que y” é uma proposição 
composta na qual se pode observar alguns 
conectivos lógicos (“não”, “se ... então” e “ou”) que 
estão agindo sobre as proposições simples “x é 
maior que y”, “x é igual a y” e “x é menor que y”. 
Uma propriedade fundamental das 
proposições compostas que usam conectivos 
lógicos é que o seu valor lógico (verdadeiro ou 
falso) fica completamente determinado pelo valor 
lógico de cada proposição componente e pela forma 
como estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos 
utilizados. 
1 
 
 
3 - Conjunção: P e Q 
Denominamos conjunção a proposição 
composta formada por duas proposições quaisquer 
que estejam ligadas pelo conectivo “e”. A 
conjunção P e Q pode ser representada 
simbolicamente como: 
A ∧ B 
 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
P: Alberto fala espanhol. 
Q: Alberto é universitário. 
 
Uma conjunção é verdadeira somente 
quando as duas proposições que a compõem forem 
verdadeiras, Ou seja, a conjunção ”P ∧ Q” é 
verdadeira somente quando P é verdadeira e Q 
é verdadeira também. Por isso dizemos que a 
conjunção exige a simultaneidade de condições. 
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos 
observar os resultados da conjunção “P e Q” para 
cada um dos valores que P e Q podem assumir. 
P Q P ∧ Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
 
Se as proposições p e q forem 
representadas como conjuntos, por meio de um 
diagrama, a conjunção " p e q " corresponderá à 
interseção do conjunto p com o conjunto q. 
Teremos: 
 
4 - Disjunção: P ou Q 
Denominamos disjunção a proposição 
composta formada por duas proposições quaisquer 
que estejam ligadas pelo conectivo “ou”. A 
disjunção P ou Q pode ser representada 
simbolicamente como: P ∨ Q 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
P: Alberto fala espanhol. 
Q: Alberto é universitário. 
A disjunção “P ou Q” pode ser escrita como: 
P ∨ Q: Alberto fala espanhol ou é universitário. 
 
Uma disjunção é falsa somente quando as 
duas proposições que a compõem forem falsas. Ou 
seja, a disjunção “P ou Q” é falsa somente quando 
P é falsa e Q é falsa também. Mas se P for 
verdadeira ou se Q for verdadeira ou mesmo se 
ambas, P e Q, forem verdadeiras, então a 
disjunção será verdadeira. Por isso dizemos que, 
ao contrário da conjunção, a disjunção não 
necessita da simultaneidade de condições para 
ser verdadeira, bastando que pelo menos uma de 
suas proposições componentes seja verdadeira. 
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos 
observar os resultados da disjunção “P ou Q” para 
cada um dos valores que P e Q podem assumir. 
 
P Q P V Q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
Se as proposições p e q forem 
representadas como conjuntos por meio de um 
diagrama, a disjunção "p ou q" corresponderá à 
união do conjunto p com o conjunto q, 
 
 
5 - Disjunção Exclusiva é a proposição que tem 
o formato “OU proposição p OU proposição q”. 
Na disjunção exclusiva, o cumprimento de 
uma parte da promessa exclui o cumprimento da 
outra parte. A tabela-verdade de uma disjunção 
exclusiva será, portanto, a seguinte: 
P q p q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
6 - Condicional: Se P então Q 
Denominamos condicional a proposição 
composta formadapor duas proposições quaisquer 
que estejam ligadas pelo conectivo “Se ... então” 
ou por uma de suas formas equivalentes. 
A proposição condicional “Se P, então Q” 
pode ser representada simbolicamente como: 
P →Q 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
P: José é alagoano. 
Q: José é brasileiro. 
A condicional “Se P, então Q” pode ser escrita 
como: 
P →Q: Se José é alagoano, então José é brasileiro. 
 
Na proposição condicional “Se P, então Q” 
a proposição P, que é anunciada pelo uso da 
conjunção “se”, é denominada condição ou 
antecedente enquanto a proposição Q, apontada 
pelo advérbio “então” é denominada conclusão 
ou conseqüente. 
As seguintes expressões podem ser 
empregadas como equivalentes de “Se P, então 
Q”: 
Se P, Q. 
Q, se A. 
2 
 
Todo P é Q. 
P implica Q. 
P somente se Q. 
P é suficiente para Q. 
Q é necessário para P. 
Uma condicional “Se P então Q” é falsa 
somente quando a condição P é verdadeira e a 
conclusão Q é falsa, sendo verdadeira em todos os 
outros casos. Isto significa que numa proposição 
condicional, a única situação que não pode ocorrer 
é uma condição verdadeira implicar uma conclusão 
falsa. 
Na tabela-verdade apresentada a seguir 
podemos observar os resultados da proposição 
condicional “Se P então Q” para cada um dos 
valores que A e B podem assumir. 
 
P Q P → Q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 
Se as proposições p e q forem 
representadas como conjuntos, por meio de um 
diagrama, a proposição condicional "Se p então q" 
corresponderá à inclusão do conjunto p no 
conjunto q (p está contido em q): 
 
 
7 - Bicondicional 
É a proposição composta do formato 
“proposição p SE E SOMENTE SE proposição 
q”. Nesta estrutura, as duas partes componentes 
estão, por assim dizer, amarradas: 
Se uma for VERDADEIRA, a outra também 
terá que ser VERDADEIRA; se uma for FALSA, a 
outra também terá que ser FALSA. 
Será, portanto, válida a estrutura 
bicondicional se esta característica se verificar: 
ambas as proposições verdadeiras, ou ambas 
falsas. A tabela-verdade de uma bicondicional será, 
portanto, a seguinte: 
P Q P ↔Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
 
Se as proposições p e q forem 
representadas como conjuntos, por meio de um 
diagrama, a proposição bicondicional "p se e 
somente se q" corresponderá à igualdade dos 
conjuntos p e q. 
 
 
8 - Negação: Não A 
Dada uma proposição qualquer A 
denominamos negação de A à proposição 
composta que se obtém a partir da proposição A 
acrescida do conectivo lógico “não” ou de outro 
equivalente. A negação “não A” pode ser 
representada simbolicamente como: ~A. Podem-
se empregar, também, como equivalentes de “não 
A” as seguintes expressões: 
 
Não é verdade que A. 
É falso que A. 
 
Uma proposição A e sua negação “não A” 
terão sempre valores lógicos opostos. 
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, 
podemos observar os resultados da negação “não 
A” para cada um dos valores que A pode assumir. 
 
A ~A 
V F 
F V 
 
9 - Contradição 
Uma proposição composta formada pelas 
proposições A, B, C, ... é uma contradição se ela 
for sempre falsa, independentemente dos valores 
lógicos das proposições A, B, C, ... que a 
compõem. 
 
Exemplo: 
A proposição “A se e somente se não A” é uma 
contradição, pois é sempre falsa, 
independentemente dos valores lógicos de A e de 
não A, como se pode observar na tabela-verdade 
abaixo: 
 
A ~A A ←→~A 
V F F 
F V F 
 
O exemplo acima mostra que uma 
proposição qualquer e sua negação nunca poderão 
ser simultaneamente verdadeiras ou 
simultaneamente falsas. 
 
 
10 - TAUTOLOGIA: 
Uma proposição composta formada por 
duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma 
Tautologia se ela for sempre verdadeira, 
independentemente dos valores lógicos das 
proposições p, q, r, ... que a compõem. Em 
palavras mais simples: para saber se uma 
proposição composta é uma Tautologia, 
construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a 
última coluna da tabela-verdade só apresentar 
verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos 
diante de uma Tautologia. Só isso! 
 
 
3 
 
 
Exemplo: A proposição (p ∧ q) → (p ∨ q) é uma 
tautologia, pois é sempre verdadeira, 
independentemente dos valores lógicos de p e de 
q, como se pode observar na tabela-verdade 
abaixo: 
P Q P ∧ Q P ∨ Q (P ∧ Q) → (P ∨ Q) 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Observemos que o valor lógico da 
proposição composta (p ∧ q) → (p ∨ q) que 
aparece na última coluna, é sempre verdadeiro. 
 
11 - CONTINGÊNCIA: 
Uma proposição composta será dita uma 
contingência sempre que não for uma tautologia 
nem uma contradição. Somente isso! Você pegará 
a proposição composta e construirá a sua tabela-
verdade. Se, ao final, você verificar que aquela 
proposição nem é uma tautologia (só resultados 
V), e nem é uma contradição (só resultados F), 
então, pela via de exceção, será dita uma 
contingência! 
 
Exemplo: 
A proposição "p ↔ (p ∧ q)" é uma contingência, 
pois o seu valor lógico depende dos valores lógicos 
de p e q, como se pode observar na tabela-verdade 
abaixo: 
P Q (p ∧ q) p ↔ (p ∧ q) 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Lógica Proposicional lista 1 
 
Exercícios de Revisão 
1) Estabelecer o resultado lógico das operações 
representadas na tabela-verdade. 
p q pq pvq pVq p→q p↔q 
 
 
 
 
 
2) Comparar o resultado lógico das operações 
representadas na tabela-verdade. 
p ¬p q ¬q p→q ¬q→¬p 
 
 
 
 
 
3) Julgue os argumentos a seguir, se as orações 
refletem a realidade: 
I. Lisboa é a capital de Portugal se, e somente se 
Tiradente foi enfocado; 
II. Se o mês de maio tem 31 dias, então a terra é 
plana; 
III. Belém é a capital do Pará e o ano tem 9 meses; 
IV. 5 é impar ou Curitiba é a capital de são Paulo 
V. Ou 5 é impar ou Belém é a capital do Pará 
 
Os valores lógicos dos itens acima são: 
a) V,F,F,V,V 
b) V,F,V,F,F 
c) V,V,F,V,V 
d) V,F,F,V,F 
 
4) Considere as proposições simples: 
P: Augusto não é feio 
q: vinte é par. 
 
Escreva cada uma das proposições abaixo na forma 
simbólica: 
a) Augusto é feio, então vinte é par. 
b) Augusto é feio se, e somente se vinte é par. 
c) Augusto não é bonito mas vinte é par. 
d) Augusto é feio e Vinte é impar, 
conseqüentemente Vinte é par. 
e) Se Augusto não é bonito, então ou Vinte é par 
ou Augusto é bonito. 
f) Se Augusto é feio ou é bonito, então Vinte é par. 
 
 
INSS 2016 
Julgue o item a seguir, relativos a raciocínio 
lógico e operações com conjuntos. 
 
1. A sentença “Bruna, acesse a Internet e verifique a data 
da aposentadoria do Sr. Carlos!” é uma proposição 
composta que pode ser escrita na forma p ∧ q. 
 
2. A sentença “A crença em uma justiça divina, imparcial, 
incorruptível e infalível é lenitivo para muitos que 
desconhecem os caminhos para a busca de seus direitos, 
assegurados na Constituição” é uma proposição lógica 
simples. 
 
3. A sentença “O reitor declarou estar contente com as 
políticas relacionadas à educação superior adotadas pelo 
governo de seu país e com os rumos atuais do movimento 
estudantil” é uma proposição lógica simples. 
 
(CESPE – STF) 
• Filho meu, ouve minhas palavras e atenta 
para meu conselho. 
• A resposta branda acalma o coração irado. 
• O orgulho e a vaidade são as portas de 
entrada da ruína do homem. 
• Se o filho é honesto então o pai é exemplo 
de integridade. 
 
Tendo como referência as quatro frases acima, 
julgue os itens seguintes. 
4. A primeira frase é composta por duas proposições 
lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção.5. A segunda frase é uma proposição lógica simples. 
4 
 
6. A terceira frase é uma proposição lógica composta. 
7. quarta frase é uma proposição lógica em que 
aparecem dois conectivos lógicos. 
 
Entende-se por proposição todo conjunto de 
palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de 
sentido completo, isto é, que afirmam fatos ou exprimam 
juízos a respeito de determinados entes. Na lógica 
bivalente, esse juízo, que é conhecido como valor lógico 
da proposição, pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), sendo 
objeto de estudo desse ramo da lógica apenas as 
proposições que atendam ao princípio da não contradição, 
em que uma proposição não pode ser simultaneamente 
verdadeira e falsa; e ao princípio do terceiro excluído, em 
que os únicos valores lógicos possíveis para uma 
proposição são verdadeiro e falso. Com base nessas 
informações, julgue os itens a seguir. 
 
8. Segundo os princípios da não contradição e do terceiro 
excluído, a uma proposição pode ser atribuído um e 
somente um valor lógico. 
 
9. A frase “Que dia maravilhoso!” consiste em uma 
proposição objeto de estudo da lógica bivalente. 
 
 
Texto para os itens de 10 a 17 
Considere que as letras P, Q, R e T representem 
proposições e que os símbolos ¬,, v e → sejam 
operadores lógicos que constroem novas proposições e 
significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica 
proposicional, cada proposição assume um único valor 
(valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), 
mas nunca ambos. 
Com base nas informações apresentadas no 
texto acima, julgue os itens a seguir. 
 
10. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, 
então a proposição (¬ P) V (¬ Q) também é verdadeira. 
 
11. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é 
falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa. 
 
12. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a 
proposição R é falsa, então a proposição (P  R) → (¬ Q) 
é verdadeira. 
 
Considere as sentenças abaixo. 
I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. 
 
II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. 
 
III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. 
 
IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que 
muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. 
 
V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é 
falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente, 
muitos europeus fumam. 
 
Considere também que P, Q, R e T representem 
as sentenças listadas na tabela a seguir. 
 
Com base nas informações acima e considerando 
a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 
 
13. A sentença I pode ser corretamente representada por 
P  (¬ T). 
 
14. A sentença II pode ser corretamente representada 
por (¬ P)  (¬ R). 
 
15. A sentença III pode ser corretamente representada 
por R → P. 
 
16. A sentença IV pode ser corretamente representada 
por (R  (¬ T)) → P. 
 
17. A sentença V pode ser corretamente representada 
por T→ ((¬ R)  (¬ P)). 
 
Uma empresa bancária selecionou dois de seus 
instrutores para o treinamento de três estagiários durante 
três dias. Em cada dia apenas um instrutor participou do 
treinamento de dois estagiários e cada estagiário foi 
treinado em dois dias. As escalas nos três dias foram: 1.o 
dia: Ana, Carlos, Helena; 2.º dia: Helena, Lúcia, Márcio; 
3.º dia: Ana, Carlos, Lúcia. Considerando que um dos 
instrutores era mulher, julgue os itens que se seguem. 
18- Carlos era estagiário. 
19 - Um estagiário era Lúcia ou Márcio. 
20 - Os dois instrutores eram mulheres. 
 
 
Argumento 
Denomina-se argumento a relação que associa um 
conjunto de proposições P1, P2, ... Pn, chamadas 
premissas do argumento, a uma proposição C a 
qual chamamos de conclusão do argumento. No 
lugar dos termos premissa e conclusão podem 
ser usados os correspondentes hipótese e tese, 
respectivamente. Os argumentos que têm somente 
duas premissas são denominados silogismos. 
Assim, são exemplos de silogismos os seguintes 
argumentos: 
 
P1: Todos os artistas são apaixonados. 
P2: Todos os apaixonados gostam de flores. 
C: Todos os artistas gostam de flores. 
 
P1: Todos os apaixonados gostam de flores. 
P2: Míriam gosta de flores. 
C: Míriam é uma apaixonada. 
 
ARGUMENTO 
Chama-se argumento a afirmação de que um grupo 
de proposições iniciais redunda em uma outra 
proposição final, que será conseqüência das 
primeiras! 
Dito de outra forma, argumento é a relação que 
associa um conjunto de proposições p1, p2, ... pn 
, chamadas premissas do argumento, a uma 
proposição c, chamada de conclusão do 
argumento. 
No lugar dos termos premissa e conclusão 
podem ser também usados os correspondentes 
hipótese e tese, respectivamente. 
 
EXEMPLOS: 
P1: Todos os artistas são apaixonados. 
P2: Todos os apaixonados gostam de flores. 
C: Todos os artistas gostam de flores. 
 
P1: Todos os apaixonados gostam de flores. 
5 
 
P2: Míriam gosta de flores. 
C: Míriam é uma apaixonada 
 
# ARGUMENTO VÁLIDO: 
Dizemos que um argumento é válido (ou ainda 
legítimo ou bem construído), quando a sua 
conclusão é uma conseqüência obrigatória do 
seu conjunto de premissas. 
Para testar a validade de um argumento, devemos 
considerar as premissas como verdadeiras, mesmo 
quando o conteúdo da premissa é falso. 
 
# ARGUMENTO INVÁLIDO: 
Dizemos que um argumento é inválido – também 
denominado ilegítimo, mal construído, 
falacioso ou sofisma – quando a verdade das 
premissas não é suficiente para garantir a 
verdade da conclusão. 
Exemplos 
a) A seguinte argumentação 
P1: Todos os Paraenses são brasileiros 
P2: Pedro é Paraense 
C: Pedro é brasileiro 
É válida, pois sabemos que todos os paraenses são 
brasileiros 
 
b) A seguinte argumentação 
P1: Todos os artistas são bonitos 
P2: Carla é bonita 
C: Carla é artista 
 
É inválida, pois sabe-se que todos os artistas são 
bonitos mas nem todas as pessoas bonitas são 
artistas. 
 
c) 
P1: Todos os administradores são inteligentes 
P2: Carlos é administrador 
C: Carlos é inteligente 
 
 
d) 
P1: Todo País exportador é emergente 
P2: O Brasil não é emergente 
C: O Brasil não é exportador 
 
e) 
P1: Todos os matemáticos são filósofos 
P2: Paulo é filósofo 
C: Paulo é matemático 
 
f) 
P1: Todos os apaixonados gostam de flores. 
P2: Míriam gosta de flores. 
C: Míriam é uma apaixonada. 
 
Equivalências lógicas: 
Diz-se que duas proposições são 
equivalentes quando a ordem dos valores lógicos 
de suas colunas são iguais. 
A tabela a seguir mostra as equivalências 
mais comuns para alguma proporções compostas: 
 
13.1) Dupla negação(~~p = p) 
a) É falso que não está frio 
R = 
 
b) É falso que a porta não está aberta 
R = 
 
c) Não é falso que a janela não está fechada 
R = 
 
13.2) Regras de Negação 
a) Marta é Alta ou Bonita 
NEGAÇÃO: 
 
b) Carlos é Baixo e Feio 
NEGAÇÃO: 
 
c) Alguma lâmpada está acesa 
NEGAÇÃO: 
 
d) Todas as médicas são bonitas 
NEGAÇÃO: 
 
e) Todas as portas estão fechadas 
NEGAÇÃO: 
 
f) Todos os alunos passaram 
NEGAÇÃO: 
13.3) Regras da Condicional 
13.3.1) Equivalências lógicas 
Proposição Equivalências 
P → Q 
~Q → ~ P(contra-positiva) 
~PVQ 
Exemplos 
a) P → Q 
Equivalências: 
 
b) ~P → Q 
Equivalências: 
 
c) P → ~Q 
Equivalências: 
 
d) ~P → ~Q 
Equivalências: 
 
e) Se Paulo é paraense, então ele é brasileiro. 
Equivalência: 
 
f) Se penso logo existo. 
Equivalência: 
 
g) Se beber, não dirija. 
Equivalência: 
 
13.3.2) Negação de uma Proposição 
Condicional 
Exemplos: 
a) Se penso logo existo 
NEGAÇÃO: 
 
13.3.3) Condições Necessárias e Suficientes 
 Em uma proposição condicional da forma 
A→B 
Temos que: 
A é condição SUFICIENTE paraB 
B é condição NECESSÁRIA para A 
Exemplos: 
a) Se Carlos estuda então ele passa de ano 
lê-se: 
6 
 
✓ Carlos estudar é condição SUFICIENTE 
para ele passar de ano 
 
✓ Carlos passar de ano é condição 
NECESSÁRIA para ele estudar 
 
RESUMO: 
Propriedade Proposição Equivalência 
Dupla negação ¬¬p p 
Leis 
Idempontentes 
p^p 
pvp 
P 
P 
Leis 
comutativas 
 
pvq qvP 
p^q q^p 
 
Condicional 
 
p→q 
¬q→¬p 
¬pvq 
Negação de 
uma 
Proposição 
Condicional: 
~(p→q) 
¬ (p→q) P^¬Q 
Leis de Morgan 
 
¬(p^q) 
 
¬pV¬q 
¬(pvq) ¬p^¬q 
 
Resumo(regras de negação) 
Conectivo Trocar por Regra 
E Ou Contrariar 
Ou E 
PARTE 
(algum, pelo 
menos um...) 
TODO 
(Nenhum, 
Todos...) 
Contrariar 
TODO 
(Nenhum, 
Todos...) 
PARTE 
(algum, pelo 
menos um...) 
Contrariar 
Se....Então e Manter a 1° e 
Negar a 2° 
 
EXERCÍCIOS 
1. A implicação “Se chover, pedras irão rolar” é falsa. 
Então 
(A) não choveu. 
(B) pedras rolam na chuva. 
(C) não choveu e as pedras não rolaram. 
(D) chove e as pedras não rolam. 
(E) a chuva faz as pedras rolarem. 
2. Assinale a alternativa que apresenta a negação 
da proposição: 
 
“Mauro gosta de rock ou João gosta de samba”. 
a) Mauro gosta de rock ou João não gosta de rock. 
b) Mauro gosta de rock se João não gosta de 
samba. 
c) Mauro não gosta de rock ou João não gosta de 
samba. 
d) Mauro não gosta de rock se, e somente se João 
não gosta de samba. 
e) Mauro não gosta de rock e João não gosta de 
samba. 
3. A negação de “Paulo é botafoguense e gosta de 
cinema” é: 
a) Paulo não é botafoguense e não gosta de cinema 
b) Paulo não é botafoguense mas gosta de cinema 
c) Paulo não é botafoguense ou não gosta de 
cinema 
d) Paulo não gosta de cinema 
4. A negação de “se Joaquim passa no concurso 
então faz uma viagem” é: 
a) Joaquim não passa no concurso e não viaja 
b) Joaquim passa no concurso e não viaja 
c) Joaquim não passa no concurso ou não viaja 
d) se Joaquim não passa no concurso então não 
viaja 
5. Qual é a negação de “Todos os alunos gostam 
de matemática”? 
a) Nenhum aluno gosta de matemática. 
b) Existem alunos que gostam de matemática. 
c) Existem alunos que não gostam de matemática. 
d) Pelo menos um aluno gosta de matemática. 
e) Apenas um aluno gosta de matemática 
6. Se a sentença “João é engenheiro ou professor” 
é uma sentença verdadeira, então uma sentença 
obrigatoriamente falsa será 
A) João não é engenheiro e João é professor 
B) João é engenheiro e João não é professor 
C) João não é engenheiro ou João não é professor 
D) João não é engenheiro e João não é professor 
E) João é engenheiro e professor 
 
7. A negação de Hoje é segunda feira e amanhã 
não choverá é: 
A) Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá 
B) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá 
C) Hoje não é segunda-feira, então amanhã 
choverá 
D) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá 
E) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá 
 
8. A seguinte argumentação é inválida. 
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os 
impostos devidos. 
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. 
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta. 
7 
 
U 
1 
2 
3 
4 
Conjunto universo 
 
9. (SUDAN 2012) Considere os argumentos 
assumindo as premissas como verdadeiras. 
 
I. 
Todo rio corre para o mar 
O Rio Negro é um rio 
Logo, o Rio Negro corre para o mar 
 
 
II. 
Toda arara é papagaio. 
Existe papagaio que mergulha. 
Logo, toda arara mergulha. 
 
 
III. 
Se eu sou brasileiro, então eu não falo 
português. 
Eu falo Português. 
Logo, eu não sou brasileiro. 
 
A classificação correta quanto à validade ou não 
validade dos argumentos, respectivamente é: 
a) válido, não válido, válido 
b) válido, válido, não válido 
c) válido, não válido, não válido 
d) válido, válido, válido 
e) não válido, válido, válido 
10. A negação de “se hoje chove então fico em 
casa” é: 
(A) hoje não chove e fico em casa. 
(B) hoje chove e não fico em casa. 
(C) hoje chove ou não fico em casa. 
(D) hoje não chove ou fico em casa. 
(E) se hoje chove então não fico em casa. 
11. A negação de "2 é par e 3 é ímpar" é: 
a) 2 é par e 3 é par. 
b) 2 é par ou 3 é ímpar. 
c) 2 é ímpar e 3 é par. 
d) 2 é ímpar e 3 é ímpar. 
e) 2 é ímpar ou 3 é par. 
12. (AFRFB 2010) Considere a seguinte 
proposição: 
 “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. 
 Sendo assim, pode-se afirmar que: 
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. 
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. 
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. 
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não 
nevou. 
e) Se o chão está seco, então não choveu e não 
nevou. 
13. A negação de “Todos os filhos de Maria gostam 
de quiabo” é 
(a) nenhum dos filhos de Maria gosta de quiabo. 
(b) nenhum dos filhos de Maria desgosta de quiabo. 
(c) pelo menos um dos filhos de Maria gosta de 
quiabo. 
(d) pelo menos um dos filhos de Maria desgosta de 
quiabo. 
(e) alguns filhos de Maria gostam de quiabo. 
14. Sempre que chove, Augusto dorme. Com base 
nessa informação, pode-se concluir que: 
(A) se Augusto está dormindo, então está 
chovendo. 
(B) se Augusto está dormindo, então não está 
chovendo. 
(C) se Augusto não está dormindo, então não está 
chovendo. 
(D) se não está chovendo, Augusto está dormindo. 
(E) se não está chovendo, Augusto não está 
dormindo. 
15. Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q, 
respectivamente, as suas negações. A negação da 
proposição composta p →~q é 
a) ~p →~q 
b) ~p →q 
c) p →q 
d) p ^ ~q 
e) p ^ q 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS(REAIS) 
Entende-se que o conjunto é uma coleção, 
lista, reunião de objetos, pessoas, números, etc. 
Cada membro do conjunto recebe o nome de 
elemento e para estabelecer uma relação de 
elemento com conjunto, utilizamos a relação de 
pertinência, representada pelos símbolos: 
 pertence 
 não pertence 
 
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
✓ Conjunto dos números naturais 
 .0,1,2,3,..Ν =
 
 
✓ Conjunto do números naturais não nulos 
 1,2,3,...Ν* =
 
 
✓ Conjunto dos números inteiros 
 ...1,0,1,2,3,2,3,...,Ζ −−−=
 
 
✓ Conjunto dos inteiros não nulos 
 .1,1,2,3,..2,3,...,Ζ* −−−=
 
 
✓ Conjunto dos inteiros não – negativos 
 .0,1,2,3,..Ζ =
+
 
 
✓ Conjunto dos inteiros não – positivos 
 1,02,3,...,Ζ −−−=
−
 
 
✓ Conjunto dos números racionais 






== *Zb e Za;
b
a
x/xQ
 
 
✓ O conjunto I dos números irracionais é 
formado por números cujas formas 
decimais não são exatas e nem periódicas 
como, por exemplo: 
2
=1,414...; 
3
 = 
1,732...; 
 
Obs.: O asterisco representa que o conjunto não 
possui o elemento zero 
 
2. REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 
Um conjunto pode ser representado de três 
maneiras: 
a) Entre chaves e separados por vírgulas. 
Ex.: A = {a, e, i, o, u} 
b) Elementos com características próprias. 
Ex.: A = {x/ x é par positivo} = {2, 4, 6, ...} 
c) Diagrama de Venn 
 
8 
 
 
 
3. TIPOS DE CONJUNTOS 
3.1) Conjunto Unitário: É formado por apenas 
um elemento. 
Ex.: A = {2} 
 
3.2) Vazio: Não possui elementos. 
Ex.: B = {x/ 0.x = 2} = { } ou  
3.3) UNIVERSO (U): É o conjunto que possui 
todos os elementos dos conjuntos considerados. 
3.4) Finito: É aquele que tem fim 
 Ex.: Conjunto das vogais 
3.5) Infinito: É aquele que não tem fim 
 Ex.: 
 .0,1,2,3,..Ν =
 
3.6. Subconjuntos: Dados os conjuntos A e B, A 
é subconjunto de B se para todo elemento 
pertencente a A também pertence a B. 
Utilizamos a condição de Inclusão para 
estabeleceruma relação entre conjuntos. 
 está contido 
 não está contido 
 contém 
 não contém 
Exemplo1: Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = 
{1,2,3,4}, podemos concluir que todos os 
elementos de A também pertencem a B, logo, A 
está contido em B 
A  B (A está contido em B) 
 
Exemplo2: Dados os conjuntos A = {0,2,3} e B = 
{2,3,4}, podemos dizer que A é subconjunto de B? 
 
Resposta: Não. Percebemos que nem todos os 
elementos de A pertencem ao conjunto B. 
 
4. CÁLCULO DO NÚMERO DE SUBCONJUNTOS 
4.1: Conjunto das partes de um conjunto: 
Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, 
e indica-se por P(A), o conjunto cujos elementos 
são todos os subconjuntos de A. Os elementos de 
P(A) também são conjuntos. 
Exemplo: Sendo A = {a, b, c}, temos que os 
subconjuntos de A são: 
, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c} 
logo, o conjunto das partes do conjunto A é: 
 
P(A) = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, 
{a, b, c}} 
 
NOTA: O número de subconjuntos formados é 
dado por 2n, onde n representa o número de 
elementos de um conjunto e o resultado de 2n 
representa o número de subconjuntos. 
 
No caso acima é dado por 23 = 8 subconjuntos 
(elementos) 
 
Exemplos 1: Represente na forma tabular os 
seguintes conjuntos: 
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑧/ − 4 ≤ 𝑥 < 1} 
b) 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍 / − 6 ≤ 𝑥 ≤ −1} 
c) 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑧/ 𝑥2 = 25 } 
d) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑁/ 𝑥2 = 25 } 
e) 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝑧/ 𝑥 > 25 } 
 
 
5. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
5.1 - União(): A união A e B é o conjunto 
formado por todos os elementos pertencentes 
a A ou a B. 
 
A  B = {x/ x  A ou x  B} 
Exemplo: A = {2, 3, 5} e B = {1, 2, 3} 
 
A  B = {1,2,3,5} 
 
5.2 - Intersecção(): A intersecção A e B, é 
conjunto formado pelos elementos que são comuns 
aos dois A e B. 
 
A ∩ B = {x/ x  A e x  B} 
 
Exemplo: A = {2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 7, 10} 
A  B = {4,5} 
 
Diferença( - ): A diferença é o conjunto formado 
pelos elementos que pertencem ao 1° e não 
pertencem ao 2°. 
A - B = {x/ x  A e x ∉ B} 
Exemplo 1: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = { 2, 4, 6, 
8} 
 
A – B = {0,1,3,5} 
 
B – A = {6,8} 
Exemplo 2: São dados os seguintes conjuntos: 
 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑧/ − 4 ≤ 𝑥 < 1} 
 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍 / − 6 ≤ 𝑥 ≤ −1} 
 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑧/ 𝑥2 = 25 } 
 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑁/ 𝑥2 = 25 } 
 
Determine: 
 
a) 
BA
 
b) 
BA
 
c) 
DB
 
d) 
DCA  
 
Exemplo 3: Sabendo que 𝐴 ∩ 𝐵 = {3,8}, 𝐵 = {3,8,10} 
e 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,3,8,9,10}, represente no diagrama os 
conjuntos A e B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE 
CONJUNTOS 
6.1) De dois conjuntos 
 
 
A B 
A B 
U 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
nA representa o números de elementos de A; 
nB representa o números de elementos de B; 
nA B representa o números de elementos de A  B; 
nA  B representa o números de elementos de A  
B; 
 
( ) ( ) ( ) ( )BAnBnAnBAn −+=
 
 
6.2) De três conjuntos 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn +−−−++=
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
01. Desejando verificar o jornal preferido pelos 
estudantes, uma pesquisa apresentou os 
resultados constantes da tabela abaixo: 
Jornais Leitores 
A 300 
B 250 
C 200 
A e B 70 
A e C 65 
B e C 105 
A, B e C 40 
Nenhum 150 
 
a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A? 
b) Quantas pessoas lêem o jornal A ou B? 
c) Quantas pessoas não lêem o jornal C? 
d) Quantas pessoas foram consultadas? 
 
2) Na tentativa de elevar os índices de audiência 
de seus programas, uma emissora de radio decidiu 
realizar uma pesquisa para conhecer a preferência 
musical dos moradores de diferentes bairros de 
Belém. “Pagode”, ”Axé” e ”Brega” foram as opções 
mais citadas pelos 1000 entrevistados, conforme 
indicam os dados tabelados a seguir, determine 
quantos são os que não preferem nem Brega nem 
Axé. 
 
a) 75 b) 130 c) 260 d) 265 e) 345 
03. Em um processo de seleção para uma vaga de 
emprego, observou-se entre todos os candidatos 
que: 
➢ 5 tinham experiência profissional, mas não 
falavam inglês; 
➢ 3 falavam inglês, mas não tinham 
experiência profissional; 
➢ Ao todo, 9 candidatos tinham experiência 
profissional; 
➢ Ao todo, 7 candidatos não falavam inglês. 
O total de candidatos a esta vaga era. 
A) 14 B) 15 C) 17 D) 19 E) 
21 
 
04. O resultado de uma pesquisa com os 
funcionários de uma empresa sobre a 
disponibilidade para um dia de jornada extra no 
sábado e/ou no domingo, é mostrado na tabela 
abaixo: 
Disponibilidade Número de 
funcionários 
Apenas no sábado 25 
No sábado 32 
No domingo 37 
 
Dentre os funcionários pesquisados, o total que 
manifesta a disponibilidade para a jornada extra 
“apenas no domingo” é igual a: 
A) 7 B) 14 C) 27 D) 30 (E) 37 
05. Uma empresa dividi-se unicamente nos 
departamentos A e B. Sabendo-se que 19 
funcionários trabalham em A, 13 trabalham em B e 
existem 4 funcionários que trabalham em ambos os 
departamentos. O total de trabalhadores dessa 
empresa é: 
A) 36 B) 32 C) 30 D) 28 E) 
24 
 
06. Se A= {X E IR / -2 < X < 4}, B= { X E IR / -
3 < X < 2} e C={ X E IR / 0 ≤ X ≤ 5}, então, o 
conjunto (A^ B) U C é dado por: 
a) {X E IR / -2 < X < 5} 
b) {X E IR / -2 < X ≤ 5} 
c) {X E IR / -3 < X < 5} 
A B 
U 
C 
10 
 
d) {X E IR / -2 ≤ X < 5} 
e) { X E IR / -3 ≤ X ≤ 5} 
 
07. Calcule o número de elementos do conjunto A 
 B, sabendo que A, B e A  B são conjuntos com 
90, 50 e 30 elementos, respectivamente. 
a)70 b)100 c)110 d)120 e)130 
 
08. Se A = 1,2,3,4 e B = 2,3,4,5,6, o número 
de subconjuntos não vazios de P(A  B) é igual a: 
a)64 b)63 c)32 d)31 e)16 
09. Em uma escola de 200 alunos, tem-se que 120 
jogam futebol, 100 jogam basquete e 60 jogam 
futebol e basquete. Sabendo-se que não existe 
outra modalidade de esporte nesta escola, é 
correto afirmar que o número de alunos que não 
praticam futebol ou basquete é: 
A) 100 B) 80 C) 60 D) 40 E) 20 
 
10. Uma classe de 48 alunos, cada aluno 
apresentou um trabalho sobre ecologia, tendo sido 
indicados dois livros sobre o assunto. O livro A foi 
consultado por 26 alunos e o livro B, por 28 alunos. 
Sabendo-se que cada aluno consultou pelo menos 
um dos livros, pergunta-se quantos alunos 
consultaram os dois livros? 
a)6 b)25 c)32 d)3 e)26 
 
11) Fez-se em uma população, uma pesquisa de 
mercado sobre o consumo de sabão em pó de três 
marcas distintas A, B e C. Em relação à população 
consultada e com o auxílio dos resultados da 
pesquisa tabelados abaixo: 
 
Determine: 
a) O número de pessoas consultadas. 
b) O número de pessoas que não consomem as 
marcas A ou C. 
c) O número de pessoas que consomem pelo 
menos duas marcas. 
d) A porcentagem de pessoas que consomem as 
marcas A e B, mas não consomem a marca C. 
e) A porcentagem de pessoas que consomem 
apenas a marca C. 
 
12) Objetivando conhecer a preferência musical 
dos seus ouvintes, certa emissora de rádio realizou 
uma pesquisa, dando como opção três 
compositores: M, B e S. Os resultados são: 
 
Considerando esses dados, podemos classificar em 
verdadeiras(V) ou falsas(F) as seguintes 
afirmações: 
a) ( ) 42 não gostam de B. 
b) ( ) 18 gostam de M e não gostam de B. 
c) ( ) 20 gostam exclusivamente de S. 
d) ( ) 24 gostam de exatamente dois dos 
compositores. 
e) ( ) 25 não gostam de M. 
 
13) Num grupo de estudantes, 80% estudam 
Inglês, 40% estudam Francês e 10% não estudam 
nenhumadessas duas línguas. Nesse grupo, a 
porcentagem de alunos que estudam ambas as 
línguas é: 
a) 25% b) 15% c) 33% 
d) 50% e) 30% 
 
14) Os editores das revistas MTV e Jovem Pan 
fizeram uma pesquisa entre os 400 alunos de uma 
escola. A pesquisa revelou que, desses alunos, 210 
leem a revista Jovem Pan, 190 leem a revista MTV 
e 50 não leem revistas. O número de alunos que 
leem somente a revista: 
a) Jovem Pam é 160 b) MTV é 150 
c) Jovem Pam é 170 d) MTV é 130 
e) Jovem Pam é 180 
 
15) Um professor de Matemática, ao lecionar 
Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou 
uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de 
seus n alunos, tendo chegado ao seguinte 
resultado: 
• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club; 
• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo; 
• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco 
da Gama; 
• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; 
• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. 
Se designarmos por A o conjunto dos torcedores 
do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do 
Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, 
todos da referida turma, teremos, evidentemente, 
A  B = Ø. 
Concluímos que o número n de alunos desta turma 
é 
A) 49 B) 50 C) 47 D) 45 E) 46 
 
 
11 
 
PROCESSOS DE CONTAGEM 
 
1) Princípio Fundamental da Contagem 
 Se um evento pode ocorrer de n1 
maneiras distintas e, a seguir, um segundo 
evento pode ocorrer de n2 maneiras distintas, 
e assim sucessivamente, até um k-ésimo 
evento que pode ocorrer de nk maneiras 
distintas, então o número de maneiras 
distintas em que os k eventos podem ocorrer 
sucessivamente é n1.n2.....nk 
 
Resolva os seguintes problemas: 
1) Para o Campeonato Carioca, o time do Vasco 
dispõe de dois modelos de camisa e três de calção, 
para se diferenciar do time adversário. Então é 
correto afirmar que com essas camisas e calções, 
o time do Vasco dispõe de exatamente 6 uniformes 
distintos. 
 
2)Na final dos 100 metros rasos da Olimpíada de 
2008, 7 atletas disputavam as três primeiras 
posições para obter uma medalha. É correto 
afirmar então que existem exatamente 21 
maneiras diferentes se organizar o pódio com os 
três primeiros colocados 
 
O almoxarifado de uma empresa adotou 
um código para classificar os produtos em estoque. 
O código é formado por uma letra do nosso alfabeto 
e três algarismos, sendo que o primeiro algarismo 
tem de ser par. Com base nesse dados analise os 
itens seguintes: 
 
3) Existem exatamente 10400 códigos. 
 
 
4) Se não for permitida a repetição é possível obter 
exatamente 45627 códigos. 
 
 
5) Em um questionário composto por 10 perguntas 
que só pode receber a resposta sim ou não, 
existem exatamente 1024 maneira de responder 
esse questionário. 
 
6) Chamamos de anagrama a um agrupamento de 
letras formado a partir de um conjunto de letras, 
tendo ou não sentido a palavra formada por esse 
agrupamento. Desta forma é correto afirmar que o 
número de anagramas da palavra UFMG é igual a 
24. 
 
2) PERMUTAÇÃO 
Chamaremos de Permutação a todos 
agrupamentos de n elementos formados com os n 
elementos de um conjunto. O número de 
permutações será calculado como na questão 
acima, ou seja, 
Pn = n.(n-1).(n-2).....3.2.1 
 
Seis pessoas, sendo três homens e três 
mulheres, formam uma fila. Com base nessa 
informações julgue os itens seguintes: 
 
7) Se não houver qualquer restrição é possível 
arrumar essas pessoas de 6! Maneiras 
 
8) Se as mulheres forem as primeiras da fila, é 
possível arrumar essa fila de 36 maneiras 
 
9) Se duas determinadas pessoas sempre 
estiverem juntas, então existem 240 maneira de 
dispor essa fila 
 
10) Se as mulheres ficarem todas juntas, logo 
existirá 142 maneiras de dispor essa fila. 
 
Um banco pede que cada cliente crie uma 
senha com 5 algarismos para se utilizar de seu 
sistema informatizado. Com base nessas 
informações julgue os itens seguintes. 
 
11) Neste caso são as possíveis um total de 30240 
senhas. 
 
12) Se pudesse haver repetição, total de senhas 
possíveis seria igual a 90000. 
 
13) Usando-se as 26 letras do alfabeto: 
A,B,C,D,...,Z é possível serem montados 15600 
arranjos distintos com 3 letras. 
 
14) Em nosso sistema de trânsito, se em todas as 
placas devem aparecer 3 letras seguidas por 4 
números. Logo é correto afirmar que o total de 
placas é igual a 175760000. 
 
15) A quantidade de números com três algarismos 
sem repetição que podem ser formados com os 
algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo 
sempre o algarismo 4 é igual a 56. 
 
2.1 - PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS: 
O número de permutações possíveis com n 
elementos, dentre os quais um certo elemento se 
repete  vezes, é igual ao fatorial de n dividido pelo 
fatorial de ”. 
 
!
!

 nPn =
 
Se tivermos n elementos, dos quais:  são iguais a 
A,  são iguais a B, e  são iguais a C, o número de 
permutações distintas dos n elementos será: 
 
!!!
!,,

 nPn =
 
 
EXEMPLOS: 
a) Quantos anagramas têm a palavra NATÁLIA? 
 
b) Quantos anagramas têm a palavra ARITMÉTICA? 
 
c) Quantos são os anagramas da palavra 
MATEMÁTICA que começam por vogal? 
 
 
3) COMBINAÇÃO 
12 
 
Chamaremos de Combinação a todos os 
agrupamentos com p elementos, onde a ordem dos 
elementos não importa, ou seja serão combinação 
de n elementos, p a p. 
C
n
n p p
n p,
!
( )! !
=
−
 
 
 
16) O número combinações com 4 elementos que 
podem ser montadas com as 10 primeiras letras 
do alfabeto, de tal forma que sempre comecem 
pela letra A é igual a 84 
 
 
17) Com um grupo de 10 homens e 10 mulheres, 
um homem pretende formar comissões de 5 
pessoas composta por exatamente 3 homens e 2 
mulheres. Com base nessas informações é correto 
afirmar que o número de comissões possível a 
serem montadas é igual a 540. 
 
 
18) Um químico dispõe de 9 substâncias para 
realizar três experimentos (A, B e C). Logo é 
correto afirmar que é possível criar exatamente 
1260 maneiras esses experimentos colocando 
sempre 4 substâncias no experimento A, 3 
substâncias no experimento B e 2 substâncias no 
experimento C. 
 
19) Num hospital existem 2 portas de entrada que 
dão para um amplo saguão, no qual existem 5 
elevadores. Um visitante deve se dirigir ao 6° andar 
utilizando-se de um dos elevadores. Então é correto 
afirmar que existe 10 maneiras diferentes do 
visitante chegar ao 6° andar. 
 
Uma universidade realiza seu Processo 
Seletivo em dois dias. As oito disciplinas, Língua 
Portuguesa- Literatura Brasileira, Língua 
Estrangeira Moderna, Biologia, Matemática, 
História, Geografia, Química e Física, são 
distribuídas em duas provas objetivas, com quatro 
disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2, a 
distribuição é a seguinte: 
 
- Primeiro Dia: Língua Portuguesa-Literatura 
Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia e 
Matemática; 
 
- Segundo Dia: História, Geografia, Química e 
Física. 
 
20) A universidade poderia distribuir as disciplinas 
para as duas provas objetivas, com quatro por dia 
de 70 modos diferentes. 
 
21) Um químico possui 10 tipos de substâncias. Em 
relação a esta informação é correto afirmar que o 
número de modos possíveis que o químico poderá 
associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, 
duas somente não podem ser misturadas porque 
produzem mistura explosiva é igual a 78. 
 
22) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se 
formar uma comissão constituída de quatro 
integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e 
Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o 
outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se 
que esses dois, juntos, não deveriam participarda 
comissão a ser formada. Nessas condições, é 
correto afirmar que o número de maneiras distintas 
que se pode formar essa comissão é igual a 55. 
 
23) Numa cidade, os números dos telefones têm 7 
algarismos e não podem começar por 0. Os três 
primeiros constituem o prefixo. Sabendo-se que em 
todas as farmácias os quatro últimos dígitos são 
zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então o 
número de telefones que podem ser instalados nas 
farmácias é igual a 648. 
 
 Em relação a palavra EDITORA julgue os 
itens seguintes: 
 
24) O número de anagramas que começam com A 
é igual a 720 
 
25) O número de anagramas que começam com A 
e terminam com E é igual 60. 
 
PROBABILIDADES 
 
1 – Introdução 
Chama-se experimento aleatório aquele 
cujo resultado é imprevisível, porém pertence 
necessariamente a um conjunto de resultados 
possíveis denominado espaço amostral. 
Qualquer subconjunto desse espaço amostral é 
denominado evento. 
Se este subconjunto possuir apenas um 
elemento, o denominamos evento elementar. 
Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso 
espaço amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Exemplos de eventos no espaço amostral U: 
A: sair número maior do que 4: A = {5, 6} 
B: sair um número primo e par: B = {2} 
C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5} 
Trataremos aqui dos espaços amostrais 
equiprováveis, ou seja, aqueles onde os eventos 
elementares possuem a mesma chance de 
ocorrerem. 
Por exemplo, no lançamento do dado acima, 
supõe-se que sendo o dado perfeito, as chances 
de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos 
então um espaço equiprovável. 
Normalmente existem diversas 
possibilidades possíveis de ocorrência de um 
fenômeno 
aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência 
de cada uma dessas possibilidades, denominada 
Probabilidade. 
Consideremos uma urna que contenha 49 
bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, 
teremos duas possibilidades: bola azul ou bola 
branca. Percebemos entretanto que será muito 
mais freqüente obtermos numa retirada, uma bola 
azul, resultando daí, podermos afirmar que o 
evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de 
ocorrer, do que o evento "sair bola branca". 
 
2 – Conceito elementar de Probabilidade 
13 
 
Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e 
A um determinado evento ou seja, um subconjunto 
de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento 
A será calculada pela fórmula 
 
p(A) = n(A) / n(U) 
 
Onde: 
 
n(A) = número de elementos de A 
n(U) = número de elementos do espaço de prova 
U. 
 
Vamos utilizar a fórmula simples acima, 
para resolver os seguintes exercícios introdutórios: 
 
1.1 - Considere o lançamento de um dado. 
Calcule a probabilidade de: 
a) sair o número 3: 
Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} 
[n(A) = 1]. p(A) = 1/6. 
b) sair um número par: agora o evento é A = {2, 
4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade 
procurada será p(A) = 3/6 = 1/2. 
c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 
6} com 2 elementos; logo a probabilidade 
procurada será p(A) = 2/6 = 1/3. 
d) sair um número menor do que 3: agora, o 
evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto, 
p(A) = 2/6= 1/3. 
 
1.2 - Considere o lançamento de dois dados. 
Calcule a probabilidade de: 
a) sair a soma 8 
É evidente que teremos 36 pares ordenados 
possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, 
o mesmo ocorrendo com j. 
As somas iguais a 8, ocorrerão nos 
casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o 
evento "soma igual 
a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade 
procurada será igual a p(A) = 5/36. 
b) sair a soma 12 
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). 
Portanto, a probabilidade procurada será igual a 
p(A) = 1/36. 
 
1.3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas 
vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se 
uma bola com reposição, calcule as 
probabilidades seguintes: 
a) sair bola azul 
p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30% 
b) sair bola vermelha 
p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50% 
c) sair bola amarela 
p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20% 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Consideremos o experimento aleatório do 
lançamento de uma moeda perfeita. Qual é a 
probabilidade de sair cara? 
a) 60% 
b) 50% 
c) 32% 
d) 24% 
e) 35% 
 
2) No lançamento de um dado perfeito, qual é a 
probabilidade de sair número maior que 4? 
a) 1/3 
b) 2/7 
c) 1/6 
d) 3/7 
e) 2/45 
 
3) Qual é a probabilidade de sair um “dois” ao 
retirar, ao acaso, uma carta de um baralho com 52 
cartas? 
a) 4/13 
b) 1/26 
c) 1/13 
d) 23/56 
e) 8/13 
 
4) Considere todos os números naturais de 4 
algarismos que é possível formar com os 
algarismos 1, 2, 3, 4, 7, 8 e 9. Escolhendo um deles 
ao acaso, qual é a probabilidade de sair um número 
que comece por 3 e termine em 7? 
a) 1/46 
b) 1/49 
c) 1/45 
d) 1/48 
e) 1/56 
 
5) Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, 
esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 
30 gostam de música e leitura; 22 gostam de 
esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 
gostam somente de esporte; e 5 jovens gostam 
somente de leitura. Qual é a probabilidade de, ao 
apontar ao acaso um desses jovens, ele gostar de 
música? 
a) 44/75 
b) 6/75 
c) 34/75 
d) 9/75 
e) 4/75 
 
6) Numa caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas 
vermelhas. Qual é a probabilidade de, ao acaso 
retirar: 
a) uma e ela ser vermelha? 
b) uma e ela bola branca? 
 
7) Numa enquete foram entrevistados 100 
estudantes. Setenta deles responderam que 
frequentavam um curso de microcomputadores, 28 
responderam que frequentavam um curso de inglês 
e 10 responderam que frequentavam ambos. Qual 
a probabilidade de um desses estudantes, 
selecionado ao acaso estar frequentando somente 
o curso de microcomputadores? 
a) 70% 
b) 78% 
c) 34% 
d) 45% 
e) 60% 
 
8) No lançamento simultâneo de dois dados 
perfeitos distinguíveis, qual a é probabilidade de 
sair a soma 5? 
14 
 
a) 1/9 
b) 1/8 
c) 3/8 
d) 4/7 
e) 3/8 
 
9) No lançamento de dois dados perfeitos, qual é a 
probabilidade de se obter soma 8 ? 
a) 5/36 
b) 3/36 
c) 5/6 
d) 23/37 
e) 1/12 
 
10) Numa população de 500 pessoas 280 são 
mulheres e 60 pessoas exercem a profissão de 
advogado sendo 20 do sexo feminino. Tomando ao 
acaso uma dessas pessoas, qual é a probabilidade 
de que, sendo mulher, seja advogada? 
a) 1/25 
b) 1/14 
c) 1/34 
d) 1/89 
e) 1/45 
 
MATRIZES 
Definição: Uma matriz do tipo m x n (lê – se m por n); 
m, n  1, é uma tabela formada por m . n elementos 
dispostos em m linhas e n colunas. 
 FORMA GERAL – As matrizes são por letras 
maiúsculas e seus termos são representados pela 
mesma letra da matriz, só que em minúsculo. 
 
Exemplos: 
a) 
3 x 2
1005
782
A 





=
 
 
b) 
3 x 3
7310
965
142
B










=
 
 
( )
n x mj i
aA =
 , onde m e n pertencem a N* 
 
i – Posição da linha 
j – Posição da coluna 
 
n x mmnm3m2m1
3n333231
2n232221
1n131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
















=





 
 
Exemplo1: Montar a matriz 
( )
3 x 2j i
aA =




=
j i se 2,
ji se 5,
 
 
 
EX.: Um conglomerado é composto de cinco lojas, 
numeradas de 1 a 5. A tabela a seguir apresenta o 
faturamento em dólares de cada loja nos quatro 
primeiros dias de janeiro: 
















1.9502.0402.0201.800
2.6802.3002.4202.500
3.0502.7002.8003.010
1.6801.7401.8201.500
1.9501.8002.0301.950
 
Cada elemento ai j dessa matriz é o faturamento da loja 
i no dia j. 
a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2? 
b) Qual foi o faturamentode todas as lojas no dia 3? 
c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias? 
 
 PRINCIPAIS MATRIZES 
 
a) Matriz quadrada: Possui o número de linhas igual 
ao número de colunas. 
 
Exemplo1: 
 
3 x 3
903
812
475
A










=
(ordem 3 ou terceira ordem ) 
 
b) Matriz identidade ( I n ) : É a matriz quadrada de 
ordem n, onde todos os elementos da diagonal 
principal são iguais a um ( 1) e os demais iguais a 
zero. 
Ex1 .: 
2 x 2
2
10
01
 I 





=
 
 
Ex2 .: 
3 x 3
3
100
010
001
 I










=
 
 
c) Matriz triangular: Quando os elementos acima ou 
abaixo da diagonal principal são todos nulos, dizemos 
que a matriz é triangular ( para a matriz quadrada). 
 
Ex .: 










−
=
597
038
002
A
 
 
d) Matriz Transposta: Dada uma matriz de ordem m x 
n, denominamos transposta de A, a matriz de ordem 
n x m obtida, indicada por At, trocando-se 
ordenadamente as linhas pelas colunas. 
 Ex1: Determine a matriz transposta de 










−=
02
53
21
A
 
 
 
 
 
 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES 
É dada pela operação das respectivas posições das 
matrizes de mesma ordem. 
 
Exemplo: Dadas as matrizes 
 
3 x 23 x 2
272
711
B e 
102
453
A 





=





=
 
 
Determine A + B, A – B. 
 
15 
 
 MULTIPLICAÇÃO DE UM N° REAL POR UMA MATRIZ 
No produto de um número real por uma matriz, cada 
elemento é multiplicado pelo número. 
 
Dada a matriz 





 −
=
930
245
A
 , determine 3. A 
 
 
 
 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 
Mecanismo de multiplicação: O produto de duas 
matrizes é uma operação “ordenada”, isto é, existe uma 
ordem a seguir. Mas para isto, devemos satisfazer a 
seguinte propriedade: 
 
Propriedade: No produto de duas matrizes, o número 
de colunas da 1° deve ser igual ao número de linhas 
da 2°, caso contrário, será impossível haver o produto. 
 
Como multiplicar? 
 
 O produto se dá “de linha por coluna”, ou seja, as 
linhas da primeira matriz se multiplicam com as 
colunas da Segunda. 
 
 Quando multiplicamos linha pela coluna, os termos 
se multiplicam ordenadamente, ou seja, o 
primeiro termo de uma linha só pode multiplicar o 
primeiro termo de uma coluna, o segundo termo de 
uma linha só pode multiplicar o segundo termo de 
uma coluna, o terceiro com o terceiro, o quarto com 
o quarto e assim sucessivamente. 
 
Exemplo1: Dadas as matrizes 






=
025
183
A
 e 










=
53
40
31
B
 determine A. B 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Escreva as matrizes: 
a) A = (a i j) 3 x 3 , 




=
ji para 2,
j i para , 0
 
 
b) B = (bi j )3 x 5, 



+
=
ji para j,i
j i para , i
 
 
 
 
02. Dada as matrizes 𝐴 = [
1 2
0 1
], 𝐵 = [
2
1
], e 𝑋 = [
𝑎
𝑏
], 
assinale os valores de a e b, de modo que AX=B 
a) a=0 e b=1 
b) a=1 e b=0 
c) a=0 e b=0 
d) a=1 e b=1 
e) a=0 e b=-1 
 
03. Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M 
pode ser representado por mij, onde “i” representa a linha 
e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma 
matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante 
da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que 
aij = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos 
x31 e x13 é igual a: 
a) 16 
b) 18 
c) 26 
d) 65 
e) 169 
 
04. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Sejam as 
matrizes 𝐴 = [
1 4
2 6
3 3
] e [
1 3 4
1 2 3
 
5
4
] 
e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X 
=(A.B)t , isto é, a matriz X é a matriz transposta do 
produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 
e x12 é igual a 
a) 2. 
b) 1/2. 
c) 3. 
d) 1/3. 
e) 1. 
05. Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui 
determinante igual a 5. O determinante da matriz 2A é 
igual a: 
a) 5 
b) 10 
c) 20 
d) 40 
e) 80 
06. Sendo 






−
−
=
42
71
A
 e 





 −
=
04
13
B
, então a matriz 
X, tal que 
3
2BX
2
AX +
=
−
, é igual a: 
 





 −−











−






−
−





−
129
87
e)
1210
179
d) 
94
21
c)
80
97
b) 
73
41
a)
 
07. Se 






=
02
21
A
e X = A + A2 , determine a matriz X. 
 
08. Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3 x 4 e p 
x q. Se a matriz A.B é 3 x 5, então é verdade que: 
a) p = 5 e q = 5 
b) p = 4 e q = 5 
c) p = 3 e q = 5 
d) p = 3 e q = 4 
e) p = 3 e q = 3 
 
09. Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente 
iguais a (2x3), (3x4) e (4x2), então a expressão [A . (B . 
C)]2 tem ordem igual a: 
a) 2 x 2 
b) 3 x 3 
c) 4 x 4 
d) 6 x 6 
e) 12 x 12 
 
10. A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, 
não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz 
C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz 
quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: 
a) 𝐴−1𝐵𝐶 
b) 𝐴𝐶−1𝐵−1 
c) 𝐴−1𝐶𝐵−1 
d) 𝐴𝐵𝐶−1 
e) 𝐶−1𝐵−1𝐴−1 
 
 
16 
 
Revisão 1 
 
 
 A B 
Conjunção V V V O resto 
é F 
Disjunção F F F O resto 
é V 
Condicional V F F O resto 
é V 
Biconbicional F F V 
O resto 
é F 
V V V 
 
Raciocínio indutivo : do particular ao geral 
Raciocínio dedutivo: do geral ao particular 
Tautologia: Todos as valorações são V 
Contingência: Pelo menos uma valoração é F 
Contradição: Todos as valorações são F 
 
Testes 
1. Estabelecer o resultado lógico das operações 
representadas na tabela-verdade. 
p q p^q pvq p→q p↔q 
 
 
 
 
 
 
2. Comparar o resultado lógico das operações 
representadas na tabela-verdade. 
p ¬p q ¬q p→q ¬q→¬p 
 
 
 
 
 
3. Julgue os argumentos a seguir, se as orações 
refletem a realidade: 
VI. Lisboa é a capital de Portugal se, e somente 
se Tiradente foi enfocado; 
VII. Se o mês de maio tem 31 dias, então a 
terra é plana; 
VIII. Belém é a capital do Pará e o ano tem 9 
meses; 
IX. A terra é quadrada ou Curitiba é a capital 
de são Paulo; 
Os valores lógicos dos itens acima são: 
a) V,F,F,F 
b) V,F,V,F 
c) V,V,F,V 
d) V,F,FV 
 
 
Equivalências lógicas: 
Diz-se que duas proposições são 
equivalentes quando a ordem dos valores lógicos 
de suas colunas são iguais. 
A tabela a seguir mostra as equivalências 
mais comuns para alguma proporções compostas: 
Propriedade Proposição Equivalência 
Dupla negação ¬¬p p 
Leis 
Idempontentes 
p^p 
pvp 
P 
P 
Leis 
comutativas 
 
pvq qvP 
p^q q^p 
 
Condicional 
 
p→q 
¬q→¬p 
¬pvq 
Negação de 
uma 
Proposição 
Condicional: 
~(p→q) 
¬ (p→q) P^¬Q 
Leis de Morgan 
 
¬(p^q) 
 
¬pV¬q 
¬(pvq) ¬p^¬q 
 
 
 
Diagramas lógicos 
 
Diagramas Lógicos existem três possíveis 
tipos relacionamento entre dois diferentes 
conjuntos: 
 
Indica que o conjunto esta 
completamente Contido no outro, 
mais o inverso não e verdadeiro. 
 
 
 
 
 Indica que os dois conjuntos 
têm alguns elementos em 
comum, mas não todos. 
 
 
 
 
Indica que não existem 
elementos comuns entre os 
conjuntos 
 
 
Exercícios4) Considere verdadeira a declaração: “Se durmo 
cedo, então não acordo tarde”. Assim, é correto 
concluir que: 
(A) se não durmo cedo, então acordo tarde. 
(B) se não durmo cedo, então não acordo tarde. 
(C) se acordei tarde, é porque não dormi cedo. 
(D) se não acordei tarde, é porque não dormi cedo. 
(E) se não acordei tarde, é porque dormi cedo. 
 
 
5) A negação de “não sabe matemática ou sabe 
português” é: 
17 
 
(A) não sabe matemática e sabe português. 
(B) não sabe matemática e não sabe português. 
(C) sabe matemática ou sabe português. 
(D) sabe matemática e não sabe português. 
(E) sabe matemática ou não sabe português. 
 
 
6) Considere a tabela-verdade, onde as colunas 
representantes os valores lógicos para as formulas 
A,B e AˇB, sendo que o símbolo ˇ denota o 
conector ou, V denota verdade e F denota falsa. 
 
 
 
A B AvB 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Os valores lógicos que completa ultima coluna da 
tabela, de cima para baixo, são? 
a) v.f.v.v 
b) v,f,f,v 
c) f,v,f,v 
d) v.v.v.f 
e) f,f,v,v 
 
7) Considere a tabela-verdade, onde as colunas 
apresentam os valores lógicos para as formulas A,B 
e A^B, sendo que o símbolo ^ denota o conector 
e, V denota verdadeira e F denota falsa. 
 
A B A^B 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Os valores lógicos que completa ultima coluna da 
tabela, de cima para baixo, são? 
a) v.v.v.f 
b)v,f,f,f 
c)f,v,f,v 
d)v.v.v.f 
e)f,f,v,v 
 
8) Considere a tabela-verdade, onde as colunas 
representam os valores lógicos as formulas A, B, 
¬A, ¬B e ¬A→B, sendo que o símbolo ¬ denota a 
negação, o símbolo → denota o conector se então,V 
denota verdadeira e F denota falsa. 
 
A ¬A B ¬B ¬A→B 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Os valores lógicos que completam a ultima coluna 
da tabela, de cima para baixo, são: 
a)V,V,V,F 
b)V,F,F,V 
c)F,V,F,V 
d)F,F,V,V 
 
(CESPE-UNB BB08) 
 
Proposição é uma frase que pode ser 
julgada como verdadeira — V — ou falsa — F —, 
não cabendo a ela ambos os julgamentos. Um 
argumento correto é uma seqüência de 
proposições na qual algumas são premissas, e 
consideradas V, e as demais são conclusões, que, 
por conseqüência da veracidade das premissas, 
também são V. 
Proposições simples podem ser 
representadas simbolicamente pelas letras A, B, C 
etc. Conexões entre proposições podem ser feitas 
por meio de símbolos especiais. Uma proposição da 
forma AVB, lida como “A ou B”, tem valor lógico F 
quando A e B são F; caso contrário, é V. Uma 
proposição da forma A^B, lida como “A e B”, tem 
valor lógico V quando A e B são V; caso contrário, 
é F. Uma proposição da forma ¬A, a negação de A, 
é F quando A é V, e é V quando A é F. 
Uma expressão da forma P(x), proposição 
da lógica de primeira ordem, em que P denota uma 
propriedade a respeito dos elementos x de um 
conjunto U, tem a sua veracidade ou falsidade 
dependente de U e do significado dado a P. Se a 
proposição for da forma ∃xP(x), lida como “Existe 
x tal que P(x)”, tem a sua valoração V ou F 
dependente de existir ou não um elemento em U 
que satisfaça a P. 
 
De acordo com as definições apresentadas 
acima e a veracidade de todas as informações 
apresentadas no texto precedente, julgue os itens 
de 9 a 13. 
 
 
9 - A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres 
assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser 
considerada uma proposição. 
 
10 - Suponha um argumento no qual as premissas 
sejam as proposições I e II abaixo. 
 
I Se uma mulher está desempregada, então, ela é 
infeliz. 
II Se uma mulher é infeliz, então, ela vive pouco. 
Nesse caso, se a conclusão for a proposição 
“Mulheres desempregadas vivem pouco”, tem-se 
um argumento correto. 
 
11 - Considere que A seja a proposição “O número 
de mulheres no mercado de trabalho mundial 
atingiu 1,2 bilhão, em 2007” e B seja a proposição 
18 
 
“O percentual de mulheres que trabalhavam no 
campo era maior que o percentual de mulheres que 
trabalhavam em serviços, em 2007”. Atribuindo 
valores lógicos, V ou F, à proposição A e à 
proposição B, de acordo com o referido texto, 
pode-se garantir que a proposição (¬A)^B é V. 
 
 
12 - Suponha-se que U seja o conjunto de todas as 
pessoas, que M(x) seja a propriedade “x é mulher” 
e que D(x) seja a propriedade “x é desempregada”. 
Nesse caso, a proposição “Nenhuma mulher é 
desempregada” fica corretamente simbolizada por 
¬∃x(M(x)vD(x)). 
 
13 - A proposição “Não existem mulheres que 
ganham menos que os homens” pode ser 
corretamente simbolizada na forma ∃x(M(x) → 
G(x)). 
 
Questão 14 Sejam p e q proposições simples e ~p 
e ~q, respectivamente, as suas negações. A 
negação da proposição composta p →~q é 
a) ~p →~q 
b) ~p →q 
c) p →q 
d) p ^ ~q 
e) p ^ q 
 
 
Questão 15 (PRF 2008) 
Em um posto de fiscalização da PRF, os veículos A, 
B e C foram abordados, e os seus condutores, 
Pedro, Jorge e Mário, foram autuados pelas 
seguintes infrações: (i) um deles estava dirigindo 
alcoolizado; (ii) outro apresentou a CNH vencida; 
(iii) a CNH apresentada pelo terceiro motorista era 
de categoria inferior à exigida para conduzir o 
veículo que ele dirigia. Sabe-se que Pedro era o 
condutor do veículo C; o motorista que apresentou 
a CNH vencida conduzia o veículo B; Mário era 
quem estava dirigindo alcoolizado. 
 
Com relação a essa situação hipotética, julgue os 
itens que se seguem. Caso queira, use a tabela na 
coluna de rascunho como auxílio. 
I - A CNH do motorista do veículo A era de categoria 
inferior à exigida. 
II - Mário não era o condutor do veículo A. 
III - Jorge era o condutor do veículo B. 
IV - A CNH de Pedro estava vencida. 
V - A proposição “Se Pedro apresentou CNH 
vencida, então Mário é o condutor do veículo B” é 
verdadeira. 
 
Estão certos apenas os itens 
a) I e II 
B) I e IV 
c) II e III 
d) III e V 
e) IV e V 
 
16) Quatro carros estão parados ao longo do meio 
fio, um atrás do outro: 
 
Um fusca atrás de outro fusca. 
Um carro branco na frente de um carro prata. 
Um uno na frente de um fusca. 
Um carro prata atrás de um carro preto. 
Um carro prata na frente de um carro preto. 
Um uno atrás de um fusca. 
 
Do primeiro (na frente) ao quarto carro (atrás) 
temos então: 
 
a) uno branco, fusca preto, fusca prata e uno 
prata; 
b) uno preto, fusca prata, fusca preto e uno 
branco; 
c) uno branco, fusca prata, fusca preto e uno 
prata; 
d) uno prata, fusca preto, fusca branco e uno 
preto; 
e) uno branco, fusca prata, uno preto e fusca 
prata. 
 
17) Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz 
é bailarina ou Renata não é ruiva. Renata não é 
ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não é 
bailarina então Márcia é magra. Assim, 
a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz 
é bailarina. 
b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é 
bailarina. 
c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não 
é bailarina. 
d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é 
bailarina. 
e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não 
é bailarina. 
 
 
18- Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz 
briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia 
vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com 
Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo, 
a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia 
b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia 
c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga 
com Beatriz 
d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com 
Beatriz 
e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com 
Beatriz 
 
19- Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é 
filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha 
de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então 
Flávia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia é filha de 
Elisa nem Inês é filha de Isa.a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de 
Fernanda. 
b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. 
c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. 
d) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda. 
e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de 
Fernanda. 
 
 
20) Qual a negação da proposição “Algum 
funcionário da agência P do Banco do Brasil tem 
menos de 20 anos”? 
a) Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil 
tem menos de 20 anos. 
19 
 
b) Não existe funcionário da agência P do Banco do 
Brasil com 20 anos. 
c) Algum funcionário da agência P do Banco do 
Brasil tem mais de 20 anos. 
d) Nenhum funcionário da agência P do Banco do 
Brasil tem menos de 20 anos. 
e) Nem todo funcionário da agência P do Banco do 
Brasil tem menos de 20 anos. 
 
 
 
21) Se X está contido em Y, então X está contido 
em Z. Se X está contido em P, então X está contido 
em T. Se X não está contido em Y, então X está 
contido em P. Ora, X não está contido em T. Logo: 
a) Z está contido em T e Y está contido em X. 
b) X está contido em Y e X não está contido em Z. 
c) X está contido em Z e X não está contido em Y. 
d) Y está contido em T e X está contido em Z. 
e) X não está contido em P e X está contido em Y. 
 
 
 
Revisão N° 2 Resoluções de 
Provas 
 
(Cespe-Unb TCU 2004) 
 
Considere que as letras P, Q e R representam 
proposições e os símbolos ¬, ^ e → são operadores 
lógicos que constroem novas proposições e 
significam não, e e então, respectivamente. Na 
lógica proposicional que trata da expressão do 
raciocínio por meio de proposições que são 
avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou 
falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores 
estão definidos, para cada valoração atribuída às 
letras proposicionais, na tabela abaixo. 
 
 
 
Suponha que P represente a proposição Hoje 
choveu, Q represente a proposição José foi à praia 
e R represente a proposição Maria foi ao comércio. 
Com base nessas informações e no texto, julgue os 
itens seguintes. 
 
1 - A sentença Hoje não choveu então Maria não foi 
ao 
comércio e José não foi à praia pode ser 
corretamente 
representada por ¬ P → (¬ R ^ ¬Q). 
 
2 - A sentença Hoje choveu e José não foi à praia 
pode ser corretamente representada por P ^ ¬Q. 
 
3 - Se a proposição Hoje não choveu for valorada 
como F e a proposição José foi à praia for valorada 
como V, então a sentença representada por ¬ P → 
Q é falsa. 
 
4 - O número de valorações possíveis para (Q ^ ¬R) 
→ P é inferior a 9. 
 
(BB 2 2008) 
Proposições são frases que podem ser julgadas 
como verdadeiras — V — ou como falsas — F —, 
mas não ambas; são freqüentemente simbolizadas 
por letras maiúsculas do alfabeto. A proposição 
simbolizada por A→B — lida como “se A, então B”, 
“A é condição suficiente para B”, ou “B é condição 
necessária para A” — tem valor lógico F quando A 
é V e B é F; nos demais casos, seu valor lógico é V. 
A proposição A^B — lida como “A e B”— tem valor 
lógico V quando A e B forem V e valor lógico F, nos 
demais casos. A proposição ¬A, a negação de A, 
tem valores lógicos contrários aos de A. 
 
Com base nas definições apresentadas acima, 
julgue os itens que se seguem. 
 
5 - A negação da proposição A→B possui os 
mesmos valores lógicos que a proposição A^(¬B). 
 
6 - Considere que A seja a proposição “As palavras 
têm vida” e B seja a proposição “Vestem-se de 
significados”, e que sejam consideradas 
verdadeiras. Nesse caso, a proposição A^(¬B) é F. 
 
7 - A negação da proposição “As palavras 
mascaram-se” pode ser corretamente expressa 
pela proposição “Nenhuma palavra se mascara”. 
 
8 - A proposição “Se as reservas internacionais em 
moeda forte aumentam, então o país fica protegido 
de ataques especulativos” pode também ser 
corretamente expressa por “O país ficar protegido 
de ataques especulativos é condição necessária 
para que as reservas internacionais aumentem”. 
 
9 - Considerando todas as 26 letras do alfabeto, a 
quantidade de palavras de 3 letras que podem ser 
formadas, todas começando por U ou V, é superior 
a 2 × 103. 
 
10 - Toda proposição simbolizada na forma A→B 
tem os mesmos valores lógicos que a proposição 
B→A. 
 
11 - Considerando como V as proposições “Os 
países de economias emergentes têm grandes 
reservas internacionais” e “O Brasil tem grandes 
reservas internacionais”, é correto concluir que a 
proposição “O Brasil é um país de economia 
emergente” é V. 
 
Utilize o Texto abaixo para responder as 
questões de 
Considerando que uma palavra é uma 
concatenação de letras entre as 26 letras do 
alfabeto, que pode ou não ter significado, julgue os 
itens a seguir. 
 
20 
 
12 - Com as letras da palavra COMPOSITORES, 
podem ser formadas mais de 500 palavras 
diferentes, de 3 letras distintas. 
 
13 - As 4 palavras da frase “Dançam conforme a 
música” podem ser rearranjadas de modo a formar 
novas frases de 4 palavras, com ou sem 
significado. Nesse caso, o número máximo dessas 
frases que podem ser formadas, incluindo a frase 
original, é igual a 16. 
 
 
Prova CESPE UNB 
Considerando que as equipes A, B, C, D e E 
disputem um torneio que premie as três primeiras 
colocadas, julgue os itens a seguir. 
 
1 - O total de possibilidades distintas para as três 
primeiras colocações com a equipe A em primeiro 
lugar é 15. 
 
2 - Se a equipe A for desclassificada, então o total 
de possibilidades distintas para as três primeiras 
colocações será 24. 
 
3 - O total de possibilidades distintas para as três 
primeiras colocações é 58. 
 
Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e 
Roberto sejam, não necessariamente nesta ordem, 
os cinco primeiros classificados em um concurso, 
julgue os itens seguintes. 
 
4 - Com Bruna, Leila e Roberto classificados em 
posições consecutivas, existem 36 possibilidades 
distintas para classificação. 
 
5 - O número de possibilidades distintas para a 
classificação com um homem em último lugar é 
144. 
 
6 - Existem 120 possibilidades distintas para essa 
classificação. 
 
7 - Com André em primeiro lugar, existem 20 
possibilidades distintas para a classificação. 
Considerando que uma empresa tenha 5 setores, 
cada setor seja dividido em 4 subsetores, cada 
subsetor tenha 6 empregados e que um mesmo 
empregado não pertença a subsetores distintos, 
julgue os itens subsequentes. 
 
8 - O número de subsetores dessa empresa é 
superior a 24. 
 
9 - O número de empregados dessa empresa é 
inferior a 125. 
 
Uma empresa bancária selecionou dois de seus 
instrutores para o treinamento de três estagiários 
durante três dias. Em cada dia apenas um instrutor 
participou do treinamento de dois estagiários e 
cada estagiário foi treinado em dois dias. As escalas 
nos três dias foram: 1.o dia: Ana, Carlos, Helena; 
2.º dia: Helena, Lúcia, Márcio; 3.º dia: Ana, Carlos, 
Lúcia. Considerando que um dos instrutores era 
mulher, julgue os itens que se seguem. 
 
10- Carlos era estagiário. 
 
11 - Um estagiário era Lúcia ou Márcio. 
 
12 - Os dois instrutores eram mulheres. 
 
Com relação a lógica sentencial, contagem e 
combinação, julgue os itens a seguir. 
 
13 - A proposição Se x é um número par, então y 
é um número primo é equivalente à proposição Se 
y não é um número primo, então x não é um 
número par. 
 
14 - Em um torneio em que 5 equipes joguem uma 
vez entre si em turno único, o número de jogos 
será superior a 12. 
 
 
Agente PF 2012 
Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto 
portando certa quantidade de entorpecentes, 
argumentou com os policiais conforme o esquema 
a seguir: 
 
Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; 
 
Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria 
levando uma grande quantidade de droga e a teria