EPs 2018.1

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GABARITO dos Exercícios Programados/EP09-2018-1-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP09 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 12, pa´ginas 149 a 155, do Caderno Dida´tico.
Na˜o leia este gabarito sem ter estudado com afinco o EP09 e tentado resolver os
exerc´ıcios!!! Voceˆ pode, claro, ler a` medida em que resolve cada questa˜o!
Exerc´ıcio 1 Resolva as equac¸o˜es do segundo grau:
a) x2 − 6x + 5 = 0 b) 3x2 − 12x + 6 = 0
c) x2 − 4x = 0 d) x2 − 49 = 0
e) 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0
Soluc¸a˜o:
a) Para resolver a equac¸a˜o do segundo grau x2− 6x+ 5 = 0, vamos usar a fo´rmula de Bhaskara,
com a = 1, b = −6 e c = 5. Temos que:
∆ = b2 − 4ac = (−6)2 − 4(1)(5) = 36− 20 = 16.
Como ∆ > 0, a equac¸a˜o do segundo grau tem duas ra´ızes reais. Ou seja,
x =
−b±√∆
2a
=
−(−6)±√16
2(1)
=
6± 4
2
.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada e´ formado por x =
6 + 4
2
=
10
2
= 5,
ou x =
6− 4
2
=
2
2
= 1. Isto e´, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o x2 − 6x + 5 = 0 e´ o
conjunto
S = {1, 5}.
b) Observe que na equac¸a˜o dada os coeficientes sa˜o mult´ıplos de 3. Assim, multiplicando os dois
membros da igualdade por
1
3
, obtemos a equac¸a˜o
x2 − 4x + 2 = 0,
cujo conjunto soluc¸a˜o e´ o mesmo da equac¸a˜o dada.
Ou seja, o conjunto soluc¸a˜o de 3x2 − 12x + 6 = 0 e x2 − 4x + 2 = 0 sa˜o iguais. Isso, so´ foi
poss´ıvel porque temos uma igualdade. Isoladamente a expressa˜o 3x2 − 12x+ 6 e´ diferente da
expressa˜o x2 − 4x + 2.
Agora, usando Bhaskara para resolver a equac¸a˜o simplificada x2 − 4x + 2 = 0, com a = 1,
b = −4 e c = 2, temos
∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4(1)(2) = 16− 8 = 8,
Me´todos Determin´ısticos I EP10 2
assim,
x =
−b±√∆
2a
=
−(−4)±√8
2
=
4± 2√2
2
= 2±
√
2.
Logo,
x = 2 +
√
2, ou x = 2−
√
2.
Portanto, S = {2−√2, 2 +√2}.
Sugesta˜o:: Resolva este exerc´ıcio usando Bhaskara na equac¸a˜o inicial 3x2 − 12x+ 6 = 0, ou
seja, com a = 3, b = −12 e c = 6. Veja que, de fato, esta equac¸a˜o tem o mesmo conjunto
soluc¸a˜o da equac¸a˜o simplificada.
c) Esta equac¸a˜o na˜o tem termo o independente de x, ou seja, c = 0, o que torna mais simples
sua soluc¸a˜o. Assim,
x2 − 4x = 0 ⇔ x(x− 4) = 0
⇔ x = 0 ou x− 4 = 0
⇔ x = 0 ou x = 4
Portanto, S = {0, 4}.
d) Nesta equac¸a˜o, veja que b = 0. Logo,
x2 − 49 = 0 ⇔ x2 = 49
⇔ x = 7 ou x = −7.
Portanto, S = {−7, 7}.
e) Lembre-se que |x2| = |x · x| = |x| · |x|.
Lembre-se, tambe´m, que
|x| =

x, se x ≥ 0
−x, se x < 0.
Temos, enta˜o de considerar dois casos: quando x ≥ 0, quando x < 0 e, em seguida, fazer a
reunia˜o do conjunto soluc¸a˜o de cada um destes casos.
1o Caso: x ≥ 0
Enta˜o |x| = x e |x2| = |x| · |x| = x · x = x2.
Da´ı, 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0⇐⇒ 2x2 + 3x− 2 = 0. Logo,
x =
−3±√(3)2 − 4(2)(−2)
4
=
−3±√9 + 16
4
=
−3±√25
4
=
−3± 5
4
,
Isto e´, x =
−3 + 5
4
=
1
2
ou x =
−3− 5
4
= −2
Como x ≥ 0, a resposta deste item e´ x = 1
2
.
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 3
2o Caso: x < 0
Enta˜o |x| = −x e |x2| = |x| · |x| = (−x) · (−x) = (−x)2.
Da´ı, 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0⇐⇒ 2(−x)2 + 3(−x)− 2 = 0⇐⇒ 2x2 − 3x− 2 = 0.
Logo,
x =
−(−3)±√(−3)2 − 4(2)(−2)
4
=
3±√9 + 16
4
=
3±√25
4
=
3± 5
4
,
Isto e´, x =
3 + 5
4
= 2 ou x =
3− 5
4
= −1
2
Como x < 0, a resposta deste item e´ x = −1
2
.
Consequentemente, S =
{
−1
2
,
1
2
}
.
Exerc´ıcio 2 Resolva as equac¸o˜es a seguir, utilizando a soma e o produto das ra´ızes, conforme feito
acima:
a) x2 − 6x + 5 = 0 b) 3x2 + 18x + 24 = 0
c) x2 − 3x− 10 = 0 d) −2x2 + 20x− 50 = 0
Soluc¸a˜o:
a) Na equac¸a˜o x2 − 6x + 5 = 0, a soma das soluc¸o˜es sera´ 6 e o produto 5. Assim, temos como
soluc¸a˜o x = 5 e x = 1.
b) A equac¸a˜o 3x2 + 18x + 24 = 0 pode ser reescrita como 3(x2 + 6x + 8) = 0. Logo, a soma das
soluc¸o˜es sera´ −6 e o produto 8. Assim, temos como soluc¸a˜o x = −2 e x = −4.
c) Na equac¸a˜o x2− 3x− 10 = 0, a soma das soluc¸o˜es sera´ 3 e o produto −10. Assim, temos como
soluc¸a˜o x = 5 e x = −2.
d) A equac¸a˜o −2x2 + 20x− 25 = 0 pode ser reescrita como −2(x2− 10x+ 25) = 0. Logo, a soma
das soluc¸o˜es sera´ 10 e o produto 25. Assim, temos como soluc¸a˜o x = 5 e x = 5, ou seja, uma
u´nica soluc¸a˜o!
Exerc´ıcio 3 Escreva os trinoˆmios ax2 + bx + c abaixo na forma a(x− r1)(x− r2):
Atenc¸a˜o! Neste exerc´ıcio na˜o estamos resolvendo uma equac¸a˜o (observe que na˜o ha´ sinal de igual)!, apenas
fatorando um trinoˆmio, mas talvez ajude se pensarmos na equac¸a˜o ax2 + bx+ c = 0.
a) x2 − 6x + 5 b) 3x2 + 18x + 24
c) 3x3 − 4x + 1 d) −4x2 − 4x− 1
Soluc¸a˜o:
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 4
a) Vamos resolver a equac¸a˜o x2 − 6x + 5 = 0 para entender a fatorac¸a˜o do trinoˆmio x2 − 6x + 5.
A equac¸a˜o x2 − 6x + 5 = 0 tem soluc¸a˜o x = 5 e x = 1 (letra (a) do exerc´ıcio anterior). Assim,
x2 − 6x + 5 = (x− 5)(x− 1).
b) Resolvendo 3x2 + 18x + 24 = 0, temos x = −2 ou x = −4. Logo,
3x2 + 18x + 24 = (x− (−2))(x− (−4)) = (x + 2)(x + 4).
c) Resolvendo 3x3 − 4x + 1 = 0, temos (por soma e produto ficou dif´ıcil!)
x =
−(−4)±√(−4)2 − 4 · 3 · 1
2 · 3 =
4±√4
6
=
4± 2
6
.
Assim, x =
4 + 2
6
=
6
6
= 1 ou x =
4− 2
6
=
2
6
=
1
3
. Com isso,
3x2 + 18x + 24 = 3 (x− 1)
(
x− 1
3
)
d) Resolvendo −4x2 − 4x− 1 = 0, temos
x =
−(−4)±√(−4)2 − 4 · (−4) · (−1)
2 · (−4) =
4±√0
−8 =
4
−8 = −
1
2
.
Assim, x = −1
2
e, com isso,
−4x2 − 4x− 1 = −4
(
x−
(
−1
2
))2
= −4
(
x +
1
2
)2
.
Exerc´ıcio 4 Resolva as inequac¸o˜es a seguir:
Atenc¸a˜o! Voceˆ precisara´ trabalhar um pouco algumas das inequac¸o˜es a seguir para que fiquem nas formas
estudadas acima.
a) −
(
x +
1
2
)
(x− 3) + 1
2
(29− 5x) ≤ 0 b) −1
5
(10x2 − 60x + 30)− 12 > 0
c) (x− 1)2 ≥ −x + 3 d) 2x2 − 2x + 10 > 0
e) 2x2 − 2x + 10 < 0 f) x2 ≥ |5x + 6|
Soluc¸a˜o:
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 5
a) Notemos que
−
(
x +
1
2
)
(x− 3) + 1
2
(29− 5x) ≤ 0 ⇐⇒ −
(
x2 − 3x + x
2
− 3
2
)
+
29
2
− 5x
2
≤ 0
⇐⇒ −x2 + 3x− x
2
+
3
2
+
29
2
− 5x
2
≤ 0
⇐⇒ −x2 + 6x− x− 5x
2
+
3 + 29
2
≤ 0
⇐⇒ −x2 + 16 ≤ 0.
Agora, observe que a forma mais pra´tica de resolver inequac¸o˜es do tipo acima e´ fatorando−x2+16
e fazendo uma ana´lise de sinais de cada um dos fatores de −x2 + 16.
Para fazer a fatorac¸a˜o de uma expressa˜o do tipo ax2 + bx + c, lembramos que se a equac¸a˜o do
segundo grau ax2 + bx+ c = 0 tem ra´ızes (soluc¸o˜es) x1 e x2, enta˜o a expressa˜o e´ fatorada como
a(x− x1)(x− x2), ou seja,
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2) .
Assim, como a = −1, temos
−x2 + 16 = −(x + 4)(x− 4).
Logo,
−x2 + 16 ≤ 0 ⇐⇒ −(x + 4)(x− 4) ≤ 0
⇐⇒ (x + 4)(x− 4) ≥ 0.
Vamos fazer a ana´lise de sinal para a u´ltima inequac¸a˜o acima.
Para isso, vamos estudar o sinal de x + 4 e de x− 4;
Estudo do sinal de x + 4
• x + 4 = 0⇐⇒ x = −4
• x + 4 > 0⇐⇒ x > −4
• x + 4 < 0⇐⇒ x < −4
Estudo do sinal de x− 4
• x− 4 = 0⇐⇒ x = 4
• x− 4 > 0⇐⇒ x > 4
• x− 4 < 0⇐⇒ x < 4
Tomando as ra´ızes das equac¸o˜es x + 4 = 0 e x− 4 = 0 como pontos de refereˆncia
constru´ımos
a tabela a seguir para determinar os valores de x que satisfazem a inequac¸a˜o dada.
(−∞,−4) (−4, 4) (4,∞)
sinal de (x + 4) − + +
sinal de (x− 4) − − +
sinal de (x + 4)(x− 4) + − +
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 6
Como vemos na tabela acima,
(x + 4)(x− 4) > 0 ⇐⇒ x < −4 ou x > 4.
E, lembrando que (x + 4)(x− 4) = 0⇐⇒ x = −4 ou x = 4.
Temos que, (x + 4)(x− 4) ≥ 0⇐⇒ x ≤ −4 ou x ≥ 4.
Portanto, x ∈ (−∞,−4] ∪ [4,∞), ou seja, S = (−∞,−4] ∪ [4,∞).
b) Em primeiro lugar, observe que
−1
5
(
10x2 − 60x + 30)− 12 > 0 ⇐⇒ −10x2
5
+
60x
5
− 30
5
− 12 > 0
⇐⇒ −2x2 + 12x− 18 > 0.
Simplificando a inequac¸a˜o (dividindo por -2) obtemos:
−2x2 + 12x− 18 > 0 ⇐⇒ x2 − 6x + 9 < 0
E´ fa´cil fatorar x2 − 6x + 9 pois trata-se de um produto nota´vel:
x2 − 6x + 9 = (x− 3)2
Portanto,
x2 − 6x + 9 < 0 ⇐⇒ (x− 3)2 < 0
Observe que, como o quadrado de qualquer nu´mero real e´ sempre maior ou igual a zero, na˜o ha´
valor de x que satisfaz a inequac¸a˜o.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ o conjunto vazio. Ou seja, S = ∅.
c) Para determinar os valores de x que satisfazem
(x− 1)2 ≥ −x + 3
transformamos esta inequac¸a˜o em uma forma equivalente
Expressa˜o em x ≥ 0.
Assim,
(x− 1)2 ≥ −x + 3 ⇐⇒ (x− 1)2 + x− 3 ≥ 0
⇐⇒ x2 − 2x + 1 + x− 3 ≥ 0
⇐⇒ x2 − x− 2 ≥ 0.
Agora, podemos resolver essa u´ltima inequac¸a˜o pelo processo de fatorac¸a˜o e ana´lise de sinal.
Por Bhaskara determinamos as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau x2−x−2 = 0, que sa˜o x1 = 2
e x2 = −1. Da´ı, segue a fatorac¸a˜o:
x2 − x− 2 = (x− 2)(x + 1)
Portanto,
x2 − x− 2 ≥ 0 ⇐⇒ (x− 2)(x + 1) ≥ 0.
Fazendo a ana´lise de sinal para a inequac¸a˜o (x− 2)(x + 1) > 0, segue a tabela:
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 7
(−∞,−1) (−1, 2) (2,∞)
sinal de (x− 2) − − +
sinal de (x + 1) − + +
sinal de (x− 2)(x + 1) + − +
Como vemos na tabela acima,
(x− 2)(x + 1) > 0 ⇐⇒ x < −1 ou x > 2.
E, como (x− 2)(x + 1) = 0⇐⇒ x = 2 ou x = −1,
temos que, (x− 2)(x + 1) ≥ 0⇐⇒ x ≤ −1 ou x ≥ 2.
Portanto, x ∈ (−∞,−1] ∪ [2,∞). Ou seja, S = (−∞,−1] ∪ [2,∞).
d) Simplificando a inequac¸a˜o (dividindo cada membro da desigualdade por 2) obtemos:
2x2 − 2x + 10 > 0 ⇐⇒ x2 − x + 5 > 0
Ao tentar resolver a equac¸a˜o x2−x+ 5 = 0 por Bhaskara, percebemos que a equac¸a˜o na˜o possui
ra´ızes reais, pois ∆ = (−1)2 − 4(1)(5) = −19, isto e´, ∆ < 0. Isso significa que na˜o existe valor
de x que faz com que x2− x+ 5 = 0, isto e´, x2− x+ 5 nunca se anula, sendo enta˜o, ou sempre
positivo ou sempre negativo.
Para descobrir qual e´ o caso em questa˜o, vamos substituir x por um real qualquer na expressc¸a˜o
x2 − x+ 5. Por exemplo, substituindo x = 0, temos que 02 − 0 + 5 = 5 > 0. Por causa disso, a
expressa˜o x2 − x + 5 e´ sempre maior que zero para qualquer valor de x.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ o conjunto dos nu´meros reais. Ou seja, S = R.
e) Como foi visto no item anterior, na˜o ha´ nenhum valor de x para o qual tenhamos 2x2−2x+10 < 0.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ o conjunto vazio.
f) Para resolver a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x + 6|, precisamos saber qual o valor de |5x + 6|. Aplicando a
definic¸a˜o de mo´dulo, temos que
|5x + 6| =

5x + 6, se 5x + 6 ≥ 0,
−(5x + 6), se 5x− 6 < 0.
Ou seja,
|5x + 6| =

5x + 6, se x ≥ −6
5
,
−(5x + 6), se x < −6
5
.
Tomando como refereˆncia o nu´mero real −6
5
, escrevemos a reta real como a unia˜o dos intervalos
(−∞,−6/5) e [−6/5,∞).
Ou seja, R = (−∞,−6/5) ∪ [−6/5,∞).
Assim, para x ∈ (−∞,−6/5), temos que |5x + 6| = −(5x + 6), de modo que a inequac¸a˜o
x2 ≥ |5x + 6| pode ser escrita como x2 ≥ −(5x + 6).
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E, para x ∈ [−6/5,∞), temos que |5x + 6| = 5x + 6, de modo que a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x + 6|
pode ser escrita como x2 ≥ 5x + 6. Colocando estas informac¸o˜es numa tabela, temos:
(−∞,−6/5) [6/5,∞)
|5x + 6| −(5x + 6) 5x + 6
x2 ≥ |5x + 6| x2 ≥ −(5x + 6) x2 ≥ 5x + 6
De acordo com a subdivisa˜o da reta real, vemos que a resoluc¸a˜o da inequac¸a˜o x2 ≥ |5x + 6|
equivale a` resoluc¸a˜o de duas diferentes inequac¸o˜es dependendo da localizac¸a˜o de x em R. Va-
mos, portanto, dividir em casos e resolver cada uma das inequac¸o˜es encontradas dentro de seus
respectivos intervalos.
Caso 1: x < −6/5.
Conforme verificado, neste intervalo, a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x + 6| equivale a` inequac¸a˜o
x2 ≥ −(5x + 6). De modo que
x2 ≥ −(5x + 6)⇐⇒ x2 + 5x + 6 ≥ 0.
Para resolver a inequac¸a˜o acima, vamos primeiro encontrar as ra´ızes de x2 + 5x + 6 = 0. Utili-
zando a fo´rmula de Bhaskara, com a = 1, b = 5 e c = 6, temos que:
∆ = b2 − 4ac = 25− 24 = 1,
e
x =
−b±√∆
2a
=
−5±√1
2
=
−5± 1
2
.
Logo, as soluc¸o˜es de x2 + 5x + 6 = 0 sa˜o x = −2, x = −3.
Desta forma, podemos escrever que x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3).
Portanto,
x2 + 5x + 6 ≥ 0 ⇔ (x + 2) (x + 3) ≥ 0.
Vamos utilizar uma tabela para fazer a ana´lise de sinal para essa u´ltima inequac¸a˜o:
(−∞,−3) (−3,−2) (−2,∞)
(x + 2) − − +
(x + 3) − + +
(x + 2) (x + 3) + − +
Como vemos na tabela acima,
(x + 2) (x + 3) > 0 ⇐⇒ x < −3 ou x > −2.
E, como (x + 2) (x + 3) = 0⇐⇒ x = −2 ou x = −3,
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temos que,
(x + 2) (x + 3) ≥ 0 ⇔ x ≤ −3 ou x ≥ −2⇐⇒ x ∈ (−∞,−3] ∪ [−2,∞).
Observe, agora, que so´ devemos tomar os valores de x, soluc¸a˜o da inequac¸a˜o x2 + 5x + 6 ≥ 0,
que estiverem no intervalo do caso considerado, que e´ o intervalo (−∞,−6/5).
Desta forma, devemos fazer a intersec¸a˜o da unia˜o de intervalos (−∞,−3] ∪ [−2,∞) com o
intervalo (−∞,−6/5). Temos assim, que o conjunto soluc¸a˜o do Caso 1, o qual chamaremos de
S1, e´ dado por
S1 = ((−∞,−3] ∪ [−2,∞)) ∩ (−∞,−6/5) = (−∞,−3] ∪ [−2,−6/5).
Caso 2: x ≥ −6/5.
Conforme verificado, neste intervalo, a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x+6| equivale a inequac¸a˜o x2 ≥ 5x+6.
Dessa forma,
x2 ≥ 5x + 6⇐⇒ x2 − 5x− 6 ≥ 0.
Para resolver a inequac¸a˜o acima, vamos primeiro encontrar as ra´ızes de x2 − 5x − 6 = 0. Pela
fo´rmula de Bhaskara, com a = 1, b = −5 e c = −6, temos que
∆ = b2 − 4ac = 25 + 24 = 49,
e,
x =
−b±√∆
2a
=
5±√7
2
=
5± 7
2
.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o de x2 − 5x− 6 = 0 e´ formado pelos nu´meros x = 6, x = −1.
Desta forma, temos que
x2 − 5x− 6 = (x + 1) (x− 6) .
Portanto,
x2 − 5x− 6 ≥ 0 ⇐⇒ (x + 1) (x− 6) ≥ 0.
Vamos utilizar uma tabela para fazer a ana´lise de sinal para essa u´ltima inequac¸a˜o:
(−∞,−1) (−1, 6) (6,∞)
(x + 1) − + +
(x− 6) − − +
(x + 1) (x− 6) + − +
Como vemos na tabela acima,
(x + 1) (x− 6) ≥ 0 ⇔ x < −1 ou x > 6.
E, como (x + 1) (x− 6) = 0⇐⇒ x = −1 ou x = 6,
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 10
temos que,
(x + 1) (x− 6) ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ −1 ou x ≥ 6⇐⇒ x ∈ (−∞,−1] ∪ [6,∞).
Observe, agora, que so´ devemos tomar os valores de x, soluc¸a˜o da inequac¸a˜o x2 − 5x − 6 ≥ 0,
que estiverem no intervalo do caso considerado, que e´ o intervalo [−6/5,∞).
Desta forma, devemos interceptar a unia˜o de intervalos (−∞,−1] ∪ [6,∞) com o intervalo
[−6/5,∞).
Temos assim, que o conjunto soluc¸a˜o do Caso 2, o qual chamaremos de S2, e´ dado por
S2 = ((−∞,−1] ∪ [6,∞)) ∩ [−6/5,∞) = [−6/5,−1] ∪ [6,∞).
Unindo as respostas obtidas em cada um dos dois casos, temos que
x2 ≥ |5x + 6| ⇐⇒ x ∈ S1 ∩ S2
⇐⇒ x ∈ ((−∞,−3] ∪ [−2,−6/5)) ∪ ([−6/5,−1] ∪ [6,∞))
⇐⇒ x ∈ (−∞,−3] ∪ [−2,−1] ∪ [6,∞)
⇐⇒ x ≤ −3 ou − 2 ≤ x ≤ −1 ou x ≥ 6 .
Exerc´ıcio 5 Numa situac¸a˜o idealizada de um certo come´rcio foi estabelecido dois grupos de vende-
dores, A e B, para a venda de x unidades de
um produto. Sabendo-se que os lucros dos grupos A
e B sa˜o medidos, respectivamente, por
LA = 5x
2
(
4x
5
− 38
5
)
+ 75 e LB = −(x + 2)(x− 10) + 13,
onde as unidades x do produto pertencem ao conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}.
a) Determine a quantidade vendida pelo grupo A quando o lucro deste grupo e´ de 30 reais.
b) Determine para quais quantidades vendidas, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B.
c) Determine para quais quantidades, o lucro do grupo A e´ menor que o do grupo B.
Soluc¸a˜o:
a) A fim de determinar a quantidade x vendida pelo grupo A, quando LA e´ igual a 30 reais, temos
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de resolver a equac¸a˜o
30 =
5x
2
(
4x
5
− 38
5
)
+ 75
⇐⇒ 30 = 5x
2
· 4x
5
− 5x
2
· 38
5
+ 75
⇐⇒ 30 = 2x2 − 19x + 75
⇐⇒ 2x2 − 19x + 75− 30 = 0
⇐⇒ 2x2 − 19x + 45 = 0
⇐⇒ x = −(−19)±
√
(−19)2 − 4 · (2) · (45)
4
⇐⇒ x = 19±
√
361− 360
4
⇐⇒ x = 19±
√
1
4
⇐⇒ x = 19± 1
4
⇐⇒ x = 5 ou x = 18
4
=
9
2
.
Como x e´ um elemento do conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}, temos que , o grupo A vende uma
quantidade de 5 unidades do produto, quando o lucro deste grupo e´ de 30 reais.
b) Para determinar a quantidade vendida x, para que o LA seja igual a LB, temos de resolver a
equac¸a˜o
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LA = LB
⇐⇒ 5x
2
(
4x
5
− 38
5
)
+ 75 = −(x + 2)(x− 10) + 13
⇐⇒ 2x2 − 19x + 75 = −(x2 − 10x + 2x− 20)+ 13
⇐⇒ 2x2 − 19x + 75 = −(x2 − 8x− 20)+ 13
⇐⇒ 2x2 − 19x + 75 = −x2 + 8x + 20 + 13
⇐⇒ 2x2 − 19x + 75 = −x2 + 8x + 33
⇐⇒ 3x2 − 27x + 42 = 0
⇐⇒ 3(x2 − 9x + 14) = 0
⇐⇒ x2 − 9x + 14 = 0
⇐⇒ x = −(−9)±
√
(−9)2 − 4 · (1) · (14)
2
⇐⇒ x = 9±
√
81− 56
2
⇐⇒ x = 9±
√
25
2
⇐⇒ x = 9± 5
2
⇐⇒ x = 2 ou x = 7.
Portanto, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B quando forem vendidos 2 ou 7 unidades do
produto.
c) Para determinar para quais quantidades, LA e´ menor que LB, temos de resolver a desigualdade
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LA < LB
⇐⇒ 5x
2
(
4x
5
− 38
5
)
+ 75 < −(x + 2)(x− 10) + 13
⇐⇒ 2x2 − 19x + 75 < −x2 + 8x + 33
⇐⇒ 3x2 − 27x + 42 < 0
⇐⇒ 3(x2 − 9x + 14) < 0
⇐⇒ x2 − 9x + 14 < 0
⇐⇒ (x− 2) (x− 7) < 0.
Vamos utilizar uma tabela para fazer a ana´lise de sinal para essa u´ltima inequac¸a˜o:
(−∞, 2) (2, 7) (7,∞)
(x− 2) − + +
(x− 7) − − +
(x− 2) (x− 7) + − +
Da tabela acima, temos que (x− 2) (x− 7) < 0 ⇐⇒ 2 < x < 7.
Como x e´ um elemento do conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}, temos que o lucro do grupo A e´
menor que o do grupo B para as quantidades 3, 4, 5 ou 6 unidades do produto.
Exerc´ıcio 6 Sabe-se que o lucro de uma empresa e´ dado pela relac¸a˜o L = R−C, onde L representa
o lucro, R a receita total e C o custo total da produc¸a˜o.
Em uma empresa que produziu x unidades de um produto, verificou-se que R = 600x − x2 e
C = x2 − 200x. Nestas condic¸o˜es:
i) Obtenha a expressa˜o em x que define o lucro dessa empresa.
ii) Considerando que essa empresa teve um lucro nulo, qual foi a quantidade de unidades que ela
produziu?
iii) Qual o significado da situac¸a˜o considerada no item ii) em termos da receita R e do custo C?
Soluc¸a˜o:
i)
L = R− C = (600x− x2)− (x2 − 200x)
= 600x− x2 − x2 + 200x
= −2x2 + 800x.
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ii)
L = 0 ⇐⇒ −2x2 + 800x = 0
⇐⇒ 2x2 − 800x = 0
⇐⇒ x2 − 400x = 0
⇐⇒ x(x− 400) = 0
⇐⇒ x = 0 ou x− 400 = 0
⇐⇒ x = 0 ou x = 400.
Como essa empresa produziu x unidades, x 6= 0. Consequentemente, com lucro nulo essa
empresa produziu 400 unidades do produto.
iii) O significado e´ que a receita total R e´ igual ao custo total C. De fato, pois para x = 400
R = 600(400)− 4002 = 240000− 160000 = 80000 reais,
bem como
C = 4002 − 200(400) = 160000− 80000 = 80000 reais.
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EP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 1 do Caderno Dida´tico, bem como comec¸ar a relembrar
algumas operac¸o˜es aritme´ticas e expresso˜es alge´bricas.
Exerc´ıcio 1 Considerando o conjunto C = {a, b, p, q}, complete convenientemente as lacunas com
∈, /∈, ⊂, 6⊂ ou = .
a) q . . . C
b) {q} . . . C
c) w . . . C
d) {p, q, w} . . . C
e) {p, a, b, q} . . . C
Soluc¸a˜o: Os elementos de C sa˜o formados pelas letras a, b, p e q do alfabeto portugueˆs.
a) q ∈ C, pois q e´ elemento do conjunto C.
b) {q} ⊂ C, pois {q} e´ um conjunto em que todos os seus elementos, neste caso, q e´ seu u´nico
elemento, tambe´m pertencem ao conjunto C.
c) w 6∈ C, pois w na˜o e´ um elemento do conjunto C.
d) {p, q, w} 6⊂ C, pois para que {p, q, w} seja subconjunto de C, todos os seus elementos deveriam
ser elementos de C e, como vimos no item c), w na˜o e´ elemento de C.
e) {p, a, b, q} = C. Apesar dos elementos de {p, a, b, q} e C na˜o aparecerem na mesma ordem, os
dois conjuntos possuem os mesmos elementos, logo eles sa˜o iguais.
Exerc´ıcio 2 Um conjunto A e´ um subconjunto do conjunto B se A ⊂ B, isto e´, se todos os
elementos de A sa˜o elementos de B. Alguns exemplos:
• A = {1, 3} e´ subconjunto de B = {1, 2, 3, 4};
• A e´ subconjunto de A, pois A ⊂ A (todo elemento de A e´ elemento de A, certo?);
• os subconjuntos na˜o vazios de X = {a, b, c} sa˜o {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c}.
a) Liste todos os subconjuntos na˜o vazios de B = {a, b}.
b) Liste todos os subconjuntos na˜o vazios de C = {1, 2, 3, 4}.
c) Baseando-se nos itens anteriores, voceˆ consegue dizer quantos subconjuntos na˜o vazios possui
um conjunto de exatamente 2 elementos? E se ele tiver exatamente 3 elementos? E se tiver
exatamente 4?
Me´todos Determin´ısticos I EP1 2
Soluc¸a˜o:
a) Os subconjuntos na˜o vazios de A sera˜o:
{a}, {b}︸ ︷︷ ︸
com 1 elemento
, {a, b}︸ ︷︷ ︸
com 2 elementos
b) Os subconjuntos na˜o vazios de B sera˜o:
{1}, {2}, {3}, {4}︸ ︷︷ ︸
com 1 elemento
, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}︸ ︷︷ ︸
com 2 elementos
,
{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}︸ ︷︷ ︸
com 3 elementos
, {1, 2, 3, 4}︸ ︷︷ ︸
com 4 elementos
.
c) Repare que, no item (a) acima, na˜o importam quais sejam os dois elementos de A, teremos sem-
pre o mesmo nu´mero de subconjuntos na˜o vazios. Seriam dois subconjuntos com um elemento
em cada, e um subconjunto (o pro´prio A), com dois elementos. Assim, se A tiver exatamente
dois elementos (quaisquer que sejam eles), A tera´ 3 subconjuntos na˜o vazios.
O conjunto X = {a, b, c} do terceiro exemplo do enunciado da questa˜o possui 3 elementos e
7 subconjuntos. Assim como no para´grafo anterior, o nu´mero de subconjuntos na˜o depende de
quais sejam os elementos, apenas do fato de que sa˜o 3. Assim um conjunto de exatamente 3
elementos tera´ 7 subconjuntos na˜o vazios.
A partir do item (b), e pensando como nos para´grafos anteriores, um subconjunto com exatamente
4 elementos tera´ 15 subconjuntos na˜o vazios.
Antes de resolver o pro´ximo exerc´ıcio, assista a videoaula Conjunto 1, produzida pelas
professoras Magda e Anne Michelle, dispon´ıvel na Semana 1 da Plataforma.
Exerc´ıcio 3 Seja o conjunto U = {−3,−5, 1, 3, 4,−1, 0}. Explicite os elementos de cada um dos
conjuntos
a seguir.
a) A = {x ∈ U | x < 0}
b) B = {x ∈ U | x2 + x− 20 = 0}
c) C = {x ∈ U | − x− 7 = 10}
d) D = {x ∈ U | x2 ≥ 0}
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 3
Soluc¸a˜o:
a) O conjunto A e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que x e´ negativo. Logo,
A = {−3,−5,−1}.
b) B e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que a soma de treˆs termos e´ igual a zero.
O primeiro termo e´ o quadrado de x, o segundo termo e´ x e o terceiro termo e´ o sime´trico de 20.
Para saber quais sa˜o esses elementos, vamos construir uma tabela com duas colunas. Na primeira
coluna escreveremos os valores de x pertencentes a U e na segunda coluna o valor resultante do
ca´lculo de x2 + x− 20.
x x2 + x− 20
−3 (−3)2 + (−3)− 20 = 9− 3− 20 = −14
−5 (−5)2 + (−5)− 20 = 25− 5− 20 = 0
1 (1)2 + (1)− 20 = 1 + 1− 20 = −18
3 (3)2 + (3)− 20 = 9 + 3− 20 = −8
4 (4)2 + (4)− 20 = 16 + 4− 20 = 0
−1 (−1)2 + (−1)− 20 = 1− 1− 20 = −20
0 (0)2 + (0)− 20 = 0 + 0− 20 = −20
Notamos que a soma e´ zero quando x assume os valores −5 e 4.
Portanto, B = {−5, 4}.
c) C e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que o resultado do ca´lculo de −x− 7 seja
igual a 10. Para saber quais sa˜o esses elementos, vamos construir uma tabela com duas colunas.
Na primeira coluna escreveremos os valores de x pertencentes a U e na segunda coluna o valor
resultante do ca´lculo de −x− 7.
x −x− 7
−3 −(−3)− 7 = 3− 7 = −4
−5 −(−5)− 7 = 5− 7 = −2
1 −(1)− 7 = −1− 7 = −8
3 −(3)− 7 = −3− 7 = −10
4 −(4)− 7 = −4− 7 = −11
−1 −(−1)− 7 = 1− 7 = −6
0 −(0)− 7 = 0− 7 = −7
Notamos que o resultado do ca´lculo de −x− 7, na˜o e´ igual a 10 para nenhum valor de x em U .
Portanto, B = ∅.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 4
d) D e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que o quadrado de x e´ maior ou igual
a zero. Como o quadrado de qualquer nu´mero e´ maior ou igual a zero, segue que D = U =
{−3,−5, 1, 3, 4,−1, 0}.
Exerc´ıcio 4 Seja o conjunto U = {3, 5,−1,−7,−5,−2}. Verifique se os conjuntos A e B, a seguir,
sa˜o iguais.
a) A =
{
x ∈ U ∣∣ x− 3
2x
= 0
}
, B =
{
x ∈ U ∣∣ x > 0}.
b) A =
{
x ∈ U ∣∣ x < −2}, B = {x ∈ U ∣∣ x2 + 12x+ 35 = 0}.
Soluc¸a˜o:
a) Vamos explicitar os elementos de A e B, para determinar se os conjuntos sa˜o iguais. Temos que
• A =
{
x ∈ U ∣∣ x− 3
2x
= 0
}
= {3}.
Pois, pela Tabela 1, somente para x = 3, temos que a expressa˜o
x− 3
2x
e´ igual a zero.
• B = {x ∈ U ∣∣ x > 0} = {3, 5}.
Pois somente os elementos 3 e 5 de U sa˜o positivos.
Portanto, como A e B na˜o tem os mesmos elementos, segue que A e B na˜o sa˜o iguais.
Tabela 1: Exerc´ıcio 4–a)
x
x− 3
2x
3
3− 3
2(3)
=
0
6
= 0
5
5− 3
2(5)
=
2
10
=
1
5
−1 (−1)− 3
2(−1) =
−1− 3
−2 =
−4
−2 =
4
2
= 2
−7 (−7)− 3
2(−7) =
−7− 3
−14 =
−10
−14 =
5
7
−5 (−5)− 3
2(−5) =
−5− 3
−10 =
−8
−10 =
4
5
−2 (−2)− 3
2(−2) =
−2− 3
−4 =
−5
−4 =
5
4
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 5
b) Vamos explicitar os elementos de A e B, para determinar se os conjuntos sa˜o iguais. Temos que
• A = {x ∈ U ∣∣ x < −2} = {−5,−7}.
Pois, somente os elementos −5 e −7, de U , sa˜o menores que −2.
• B = {x ∈ U ∣∣ x2 + 12x+ 35 = 0} = {−5,−7}.
Pois pela Tabela 2, somente quando x assume os valores −5, −7, temos que a expressa˜o
x2 + 12x+ 35 e´ igual a zero.
Portanto, como A e B tem os mesmos elementos, segue que A e B sa˜o iguais.
Tabela 2: Exerc´ıcio 4–b)
x x2 + 12x+ 35
3 (3)2 + 12(3) + 35 = 9 + 36 + 35 = 80
5 (5)2 + 12(5) + 35 = 25 + 60 + 35 = 120
−1 (−1)2 + 12(−1) + 35 = 1− 12 + 35 = 24
−7 (−7)2 + 12(−7) + 35 = 49− 84 + 35 = 0
−5 (−5)2 + 12(−5) + 35 = 25− 60 + 35 = 0
−2 (−2)2 + 12(−2) + 35 = 4− 24 + 35 = 15
Exerc´ıcio 5 Pinte nos diagramas, a seguir, os conjuntos indicados.
a) A ∩ (B − A)
(B − A) A ∩ (B − A)
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 6
b) (A ∩B) ∩ C
(A ∩B) (A ∩B) ∩ C
c) O complementar de C em A ∩B
U O complementar de C em U
d) (A ∪B) ∩ C
(A ∪B) (A ∪B) ∩ C
Exerc´ıcio 6 Considere os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C. Ainda, na˜o conhecemos o
conjunto C.
a) Determine A ∪B.
b) Determine A ∩B.
c) Determine B − A.
d) Determine A−B.
e) Determine B × A.
f) Determine A×B.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 7
g) Sabendo que C ∪ A = {1, 2, 3, 6} e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C?
h) Sabendo que C ∪ A = {1, 2, 3, 6} e que C ∩ A = {2, 3} e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C?
Soluc¸a˜o:
a) A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5}.
b) A ∩B = {3}.
c) B − A = {4, 5}.
d) A−B = {1, 2}.
e) B × A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}.
f) A×B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5)}.
g) Na˜o e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C pois ele poderia ser qualquer um dos seguintes conjuntos:
{1, 2, 3, 6}, {2, 3, 6},{1, 2, 6}, {1, 3, 6}, {1, 6}, {2, 6},{3, 6}, {6}. (Verifique fazendo a unia˜o de
cada um destes conjuntos com A).
h) Sim, e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C. Ja´ que dos conjuntos declarados acima, o u´nico cuja
intersec¸a˜o com A da´ {2, 3} e´ o {2, 3, 6}. Logo, C = {2, 3, 6}.
Exerc´ıcio 7 Se A = {−1, 0, 1, 2, 3} e B = {−4,−1, 0, 1, 4},
a) Determine A×B.
b) Determine o conjunto R = {(x, y) ∈ A×B|x2 = y} (isto e´, o conjunto dos pares (x, y) ∈ A×B,
ou seja, com x ∈ A e y ∈ B, satisfazendo x2 = y).
c) Determine o conjunto S = {(x, y) ∈ A × B|x < y} (isto e´, o conjunto dos pares (x, y) com
x ∈ A e y ∈ B satisfazendo x < y).
Soluc¸a˜o:
a) Lembre-se de que A× B e´ o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x, y), com x ∈ A
e y ∈ B. Assim,
A×B = { (−1,−4), (−1,−1), (−1, 0), (−1, 1), (−1, 4),
(0,−4), (0,−1), (0, 0), (0, 1), (0, 4),
(1,−4), (1,−1), (1, 0), (1, 1), (1, 4),
(2,−4), (2,−1), (2, 0), (2, 1), (2, 4),
(3,−4), (3,−1), (3, 0), (3, 1), (3, 4) }
b) O conjunto R pedido e´ o subconjunto de A × B, satisfazendo a propriedade dada. No caso, R
e´ o subconjunto de A× B formado por todos os pares ordenados da forma (x, y) ∈ A× B que
satisfac¸am x2 = y.
Vamos verificar quais dos elementos (x, y) ∈ A×B satisfazem a` propriedade. Primeiro, faremos
testando os pares um a um. Depois, resolveremos de uma forma mais direta.
Testando cada par, temos a tabela abaixo:
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 8
Tabela 3: Exerc´ıcio 7–b)
(x, y) x2 y
(−1,−4) (−1)2 = 1 −4 Logo x2 6= y, e enta˜o (−1,−4) /∈ R
(−1,−1) (−1)2 = 1 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (−1,−1) /∈ R
(−1, 0) (−1)2 = 1 0 Logo x2 6= y, e enta˜o (−1, 0) /∈ R
(−1, 1) (−1)2 = 1 1 Logo x2 = y, e enta˜o (−1, 1) ∈ R
(−1, 4) (−1)2 = 1 4 Logo x2 6= y, e enta˜o (−1, 4) /∈ R
(0,−4) 02 = 0 −4 Logo x2 6= y, e enta˜o (0,−4) /∈ R
(0,−1) 02 = 0 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (0,−1) /∈ R
(0, 0) 02 = 0 0 Logo x2 = y, e enta˜o (0, 0) ∈ R
(0, 1) 02 = 0 1 Logo x2 6= y, e enta˜o (0, 1) /∈ R
(0, 4) 02 = 0 4 Logo x2 6= y, e enta˜o (0, 4) /∈ R
(1,−4) 12 = 1 −4 Logo x2 6= y, e enta˜o (1,−4) /∈ R
(1,−1) 12 = 1 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (1,−1) /∈ R
(1, 0) 12 = 1 0 Logo x2 6= y, e enta˜o (1, 0) /∈ R
(1, 1) 12 = 1 1 Logo x2 = y, e enta˜o (1, 1) ∈ R
(1, 4) 12 = 1 4 Logo x2 6= y, e enta˜o (1, 4) /∈ R
(2,−4) 22 = 4 −4 Logo x2 6= y, e enta˜o (2,−4) /∈ R
(2,−1) 22 = 4 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (2,−1) /∈ R
(2, 0) 22 = 4 0 Logo x2 6= y, e enta˜o (2, 0) /∈ R
(2, 1) 22 = 4 1 Logo x2 6= y, e enta˜o (2, 1) /∈ R
(2, 4) 22 = 4 4 Logo x2 = y, e enta˜o (2, 4) ∈ R
(3,−4) 32 = 9 −4 Logo x2 6=
y, e enta˜o (3,−4) /∈ R
(3,−1) 32 = 9 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (3,−1) /∈ R
(3, 0) 32 = 9 0 Logo x2 6= y, e enta˜o (3, 0) /∈ R
(3, 1) 32 = 9 1 Logo x2 6= y, e enta˜o (3, 1) /∈ R
(3, 4) 32 = 9 4 Logo x2 6= y, e enta˜o (3, 4) /∈ R
Com isso, R = {(−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}.
Poder´ıamos ter feito de uma forma mais direta, escolhendo os valores de x ∈ A e descobrindo
qual(is) valor(es) de y ∈ B satisfazem a` propriedade dada.
• Se x = −1 ∈ A, o u´nico y ∈ B que satisfaz x2 = y e´ o 1, pois (−1)2 = 1
• Se x = 0 ∈ A, o u´nico y ∈ B que satisfaz x2 = y e´ o 0, pois 02 = 0
• Se x = 1 ∈ A, o u´nico y ∈ B que satisfaz x2 = y e´ o 1, pois 12 = 1
• Se x = 2 ∈ A, o u´nico y ∈ B que satisfaz x2 = y e´ o 4, pois 22 = 4
• Se x = 3 ∈ A, na˜o ha´ y ∈ B tal que x2 = y. Note que x2 = 32 = 9, e 9 /∈ B, logo na˜o e´
um valor poss´ıvel para y.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 9
Assim, como na soluc¸a˜o anterior, R = {(−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}.
c) Como no item (b), vamos resolver de duas formas, testando cada par e escolhendo x para procurar
os valores de y adequados.
Testando cada par:
Tabela 4: Exerc´ıcio 7–c)
(x, y) x y
(−1,−4) −1 −4 Logo x > y, e enta˜o (−1,−4) /∈ R
(−1,−1) −1 −1 Logo x = y, e enta˜o (−1,−1) /∈ R
(−1, 0) −1 0 Logo x < y, e enta˜o (−1, 0) ∈ R
(−1, 1) −1 1 Logo x < y, e enta˜o (−1, 1) ∈ R
(−1, 4) −1 4 Logo x < y, e enta˜o (−1, 4) ∈ R
(0,−4) 0 −4 Logo x > y, e enta˜o (0,−4) /∈ R
(0,−1) 0 −1 Logo x > y, e enta˜o (0,−1) /∈ R
(0, 0) 0 0 Logo x = y, e enta˜o (0, 0) /∈ R
(0, 1) 0 1 Logo x < y, e enta˜o (0, 1) ∈ R
(0, 4) 0 4 Logo x < y, e enta˜o (0, 4) ∈ R
(1,−4) 1 −4 Logo x > y, e enta˜o (1,−4) /∈ R
(1,−1) 1 −1 Logo x > y, e enta˜o (1,−1) /∈ R
(1, 0) 1 0 Logo x > y, e enta˜o (1, 0) /∈ R
(1, 1) 1 1 Logo x = y, e enta˜o (1, 1) /∈ R
(1, 4) 1 4 Logo x < y, e enta˜o (1, 4) ∈ R
(2,−4) 2 −4 Logo x > y, e enta˜o (2,−4) /∈ R
(2,−1) 2 −1 Logo x > y, e enta˜o (2,−1) /∈ R
(2, 0) 2 0 Logo x > y, e enta˜o (2, 0) /∈ R
(2, 1) 2 1 Logo x > y, e enta˜o (2, 1) /∈ R
(2, 4) 2 4 Logo x < y, e enta˜o (2, 4) ∈ R
(3,−4) 3 −4 Logo x > y, e enta˜o (3,−4) /∈ R
(3,−1) 3 −1 Logo x > y, e enta˜o (3,−1) /∈ R
(3, 0) 3 0 Logo x > y, e enta˜o (3, 0) /∈ R
(3, 1) 3 1 Logo x > y, e enta˜o (3, 1) /∈ R
(3, 4) 3 4 Logo x < y, e enta˜o (3, 4) ∈ R
Com isso, R = {(−1, 0), (−1, 1), (−1, 4), (0, 1), (0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 4)}.
De forma mais direta,
• Se x = −1 ∈ A, os valores de y ∈ B que satisfazem x < y sa˜o y = 0, y = 1 e y = 4.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 10
• Se x = 0 ∈ A, os valores de y ∈ B que satisfazem x < y sa˜o y = 1 e y = 4.
• Se x = 1 ∈ A, o u´nico valor de y ∈ B que satisfaz x < y e´ y = 4.
• Se x = 2 ∈ A, o u´nico valor de y ∈ B que satisfaz x < y e´ y = 4.
• Se x = 3 ∈ A, o u´nico valor de y ∈ B que satisfaz x < y e´ y = 4.
Assim, como na soluc¸a˜o anterior, R = {(−1, 0), (−1, 1), (−1, 4), (0, 1), (0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 4)}.
Exerc´ıcio 8 Sendo W um conjunto, vamos denotar por n(W), o nu´mero de elementos em W .
Sabendo que A e B sa˜o dois conjuntos em que n(A) = 15, n(B) = 11 e n(A∪B) = 23, determine:
a) n(A ∩B)
b) n(A−B).
c) n(B − A).
Soluc¸a˜o: Vamos denotar por x, y e z, o nu´mero de elementos em A ∩B, A−B e B −A, ou seja
n(A ∩B) = x, n(A−B) = y, n(B − A) = z.
Vamos representar no diagrama de Venn essas informac¸o˜es.
Como n(A ∪B) = 23, segue que x+ y + z = 23.
Como n(A) = 15, segue que x+ y = 15.
Como n(B) = 11, segue que x+ z = 11.
Assim,substituindo x + y = 15 em x + y + z = 23, obtemos que 15 + z = 23. O que significa que
z = 8.
Substituindo z = 8 em x+ z = 11, obtemos que x+ 8 = 11, donde segue que x = 3.
E, finalmente substituindo x = 3 em x+ y = 15, obtemos que 3 + y = 15, ou seja, y = 12.
Portanto,
n(A ∩B) = 3, n(A−B) = 12, n(B − A) = 8.
Antes de resolver o pro´ximo exerc´ıcio, assista a videoaula Conjunto 2, produzida pela
professora Anne Michelle, dispon´ıvel na Semana 1 da Plataforma.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 11
Exerc´ıcio 9 Em um grupo de 100 crianc¸as:
• 80 sa˜o meninas.
• 50 teˆm menos de 10 anos.
O nu´mero m´ınimo de meninas com 10 ou mais anos nesse grupo e´:
(a) 0 (b) 10 (c) 20 (d) 30 (e) 50.
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o da prova para te´cnico em administrac¸a˜o geral da Eletroba´s em 2007. Prova
elaborada pelo CNE/UFRJ
Soluc¸a˜o: Na figura abaixo, o retaˆngulo, o c´ırculo a` esquerda e o c´ırculo a` direita representam,
respectivamente, o conjunto das crianc¸as, das meninas e das crianc¸as com menos de 10 anos.
Conforme a figura, representamos pelas letras x, y, z e w o nu´mero de elementos dos seguintes
conjuntos.
x: nu´mero de elementos do conjunto das meninas que teˆm menos de 10 anos;
y: nu´mero de elementos do conjunto das meninas que na˜o tem 10 anos;
z: nu´mero de elementos do conjunto dos meninos que teˆm menos de 10 anos;
w: nu´mero de elementos dos meninos que na˜o teˆm menos de 10 anos.
Queremos determinar qual e´ o menor valor que pode ser assumido por y.
Sabemos que x+ z = 50. Isto significa que x e´ no ma´ximo 50.
Como x+ y = 80, devemos ter y maior ou igual a 30.
Logo, a resposta correta e´ a alternatica (d).
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 12
Exerc´ıcio 10 Em uma pesquisa entre 3600 pessoas sobre os jornais que costumam ler, obteve-se o
seguinte resultado:
1100 leˆem o JB;
1300 leˆem o Estado;
1500 leˆem a Folha;
300 leˆem a JB e o Estado;
500 leˆem a Folha e o Estado;
400 leˆem a Folha e o JB;
100 leˆem a Folha, o JB e o Estado;
E´ correto afirmar que:
(a) 600 pessoas leˆem apenas o JB.
(b) 500 pessoas leˆem apenas o Estado.
(c) 900 pessoas na˜o leˆem nenhum dos treˆs jornais.
(d) 400 pessoas leˆem apenas o Estado e a Folha.
(e) 1200 pessoas leˆem mais de um dos treˆs jornais.
Ao final desta EP, encontra uma sugesta˜o para a resoluc¸a˜o desta questa˜o.
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o retirada de um concurso para te´cnico em financ¸as e contabilidade elaborado
pela ESAF.
Soluc¸a˜o: Para resolver uma questa˜o deste tipo e´ importante que voceˆ saiba que quando se diz algo
como “1500 leˆem a Folha”, isso significa que ha´ 1500 pessoas no conjunto das pessoas que leˆem
a Folha, mas que algumas destas 1500 podem pertencer a outros conjuntos, isto e´, podem estar
na intersec¸a˜o do conjunto das pessoas que leˆem a Folha com o das pessoas que leˆem o JB, por
exemplo. Uma sugesta˜o para resolver este tipo de questa˜o e´ desenhar o diagrama de Venn e comec¸ar
a escrever o nu´mero de elementos sempre a partir das intersec¸o˜es. Neste caso, por exemplo, vamos
usar as informac¸o˜es que foram dadas (contidas no resultado) de baixo para cima, isto e´, comec¸amos
anotando a u´ltima informac¸a˜o no diagrama de Venn, pois ela e´ a que fornece a intersec¸a˜o entre os
treˆs conjuntos de leitores. Ou seja, 100 leˆem a Folha, o JB e o Estado.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 13
Depois, usamos as informac¸o˜es que dizem respeito a intersec¸a˜o de dois conjuntos. A saber:
400 leˆem a Folha e o JB : observemos que dentre estas pessoas ha´ 100 que tambe´m leˆem
o Estado, logo as que leˆem apenas a Folha e o JB sa˜o 300 (= 400− 100);
500 leˆem a Folha e o Estado: observemos que dentre estas pessoas ha´ 100 que tambe´m
leˆem o JB, logo as que leˆem apenas a Folha e o Estado sa˜o 400 (= 500− 100);
300 leˆem a JB e o Estado: observemos que dentre estas pessoas ha´ 100 que tambe´m leˆem
a Folha, logo as que leˆem apenas a Folha e o Estado sa˜o 200 (= 300− 100);
A seguir, usamos as outras informac¸o˜es obtidas no resultado
1100 leˆem o JB : observemos que
dentre estas pessoas esta˜o sendo consideradas tambe´m,
aquelas pessoas que leˆem o Estado ou a Folha, isto e´, 600 pessoas (= 300+100+200). Logo,
sa˜o 500 (= 1100− 600) pessoas que leˆem apenas o JB.
1300 leˆem o Estado: observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo consideradas tambe´m,
aquelas pessoas que leˆem o JB ou a Folha, isto e´, 700 pessoas (= 400 + 100 + 200). Logo,
sa˜o 600 (= 1300− 700) pessoas que leˆem apenas o Estado.
1500 leˆem a Folha: observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo consideradas tambe´m,
aquelas pessoas que leˆem o Estado ou o JB, isto e´, 800 pessoas (= 400 + 100 + 300). Logo,
sa˜o 700 (= 1500− 800) pessoas que leˆem apenas a Folha.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 14
Finalmente, na˜o podemos nos esquecer que ha´ pessoas que na˜o leˆem nenhum dos 3 jornais. No
total foram entrevistadas 3600 pessoas. Ja´ temos 2800 no diagrama. Conclu´ımos que 800 (=
3600− 1800) pessoas na˜o leˆem nenhum dos 3 jornais:
Portanto, a resposta e´ a alternativa (d).
Exerc´ıcio 11 Numa pesquisa sobre o consumo de ervilhas, milho e palmito foram entrevistadas 3000
pessoas em um supermercado, sendo constatado que:
1440 consomem ervilhas;
1350 consomem milho;
1500 consomem palmito;
540 consomem ervilhas e milho;
750 consomem milho e palmito;
450 ervilhas e palmito;
150 na˜o consomem nenhum dos produtos selecionados;
a) Determine a quantidade de entrevistados que consomem os treˆs produtos.
b) Determine quantos entrevistados consomem um e apenas um dos produtos selecionados.
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o retirada de um concurso para te´cnico em financ¸as e contabilidade elaborado pela ESAF.
Soluc¸a˜o: Vamos resolver este exerc´ıcio representando as informac¸o˜es dadas no diagrama de Venn.
Sabemos que neste tipo de questa˜o devemos comec¸ar com o nu´mero de consumidores na intersec¸a˜o
dos conjuntos envolvidos. Vamos chamar este nu´mero de x. Ou seja, x representa o nu´mero de
elementos do conjunto dos consumidores de palmito, de milho e de ervilha.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 15
Em seguida, utilizamos as informac¸o˜es sobre a intersec¸a˜o de dois conjuntos.
540 entrevistados consomem ervilhas e milho : observemos que dentre estas pessoas ha´
x pessoas que tambe´m consomem palmito, logo as que consomem apenas ervilhas e milho sa˜o
540− x;
750 entrevistados consomem milho e palmito: observemos que dentre estas pessoas ha´ x
pessoas que tambe´m consomem ervilhas, logo as que consomem apenas milho e palmito sa˜o
750− x;
450 entrevistados consomem ervilhas e palmito: observemos que dentre estas pessoas ha´
x pessoas que tambe´m consomem milho, logo as que consomem apenas ervilhas e palmito sa˜o
450− x;
A seguir, usamos as informac¸o˜es sobre o nu´mero de elementos de cada conjunto.
1440 entrevistados consomem ervilhas : observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo
consideradas tambe´m, aquelas pessoas que, ale´m de consumirem ervilhas, consomem tambe´m
milho ou palmito.Ou seja, que representam as
(540− x) + x+ (450− x) = 990− x
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 16
pessoas que ja´ anotamos na figura acima. Logo, sa˜o
1440− (990− x) = 450 + x
as pessoas que consomem apenas ervilhas.
1350 entrevistados consomem milho: notemos que neste nu´mero tambe´m esta˜o sendo con-
tadas aquelas pessoas que, ale´m de consumirem milho, consomem tambe´m ervilhas ou palmito,
que representam as
(540− x) + x+ (750− x) = 1290− x
pessoas que anotamos na figura acima. Logo, sa˜o
1350− (1290− x) = 60 + x
as pessoas que consomem apenas milho.
1500 entrevistados consomem palmito: notemos que neste nu´mero tambe´m esta˜o sendo
contadas aquelas pessoas que, ale´m de consumirem palmito, consomem tambe´m ervilhas ou
milho, que representam as
(450− x) + x+ (750− x) = 1200− x
pessoas que anotamos na figura acima. Logo, sa˜o
1500− (1200− x) = 300 + x
as pessoas que consomem apenas palmito.
Finalmente, na˜o podemos nos esquecer que ha´ 150 entrevistados que na˜o consomem nenhum dos
produtos. Vamos, colocar essa informac¸a˜o no diagrama de Venn.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 17
Observe que o nu´mero de entrevistados que consomem milho ou ervilha ou palmito e´ igual a
(300 + x) + (750− x) + x+ (450− x) + (60 + x) + (540− x) + (450 + x) = 2550 + x.
Desta forma, como, no total, foram entrevistadas 3000 pessoas e descobrimos que 2550+x consomem
milho ou ervilha ou palmito e 150 na˜o consomem nenhum dos treˆs produtos, conclu´ımos que
3000 = (2550 + x) + 150.
Resolvendo a equac¸a˜o acima, segue que
3000 = 2700 + x.
De modo que
x = 300.
Conhecendo o valor de x, podemos responder os itens.
a) O nu´mero de entrevistados que consomem os treˆs produtos e´ representado por x. Desta forma,
temos que 300 entrevistados consomem os treˆs produtos.
b) O nu´mero de entrevistados que consomem apenas um dos treˆs produtos e´ obtido a partir do
diagrama. Temos que
• 300 + x = 300 + 300 = 600 consomem apenas palmito;
• 60 + x = 60 + 300 = 360 consomem apenas milho;
• 450 + x = 450 + 300 = 750 consomem apenas ervilha.
Portanto, os entrevistados que consomem apenas um dos treˆs produtos e´ dado pela soma 600 +
360 + 750 = 1710.
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Exerc´ıcio 12 A operadora de telefonia mo´vel Chabu oferece diversas opc¸o˜es de pacotes de dados e
minutos de voz. As opc¸o˜es de pacote de dados, em gigabytes, sa˜o 0.5, 1, 2, 5, 10 e as opc¸o˜es de
minutos de voz sa˜o 100, 150, 200, 300, 500 e 1000.
Um plano comercializado e´ um par ordenado (p, v) formado por um pacote de dados p e uma
escolha de minutos de voz v, dentre os oferecidos pela empresa (listados acima) e de forma que
sejam satisfeitas, ao mesmo tempo, as desigualdades:
v ≥ 100p e v ≤ 300p.
Por exemplo, (2, 300) e´ um plano comercializado, pois, nele, p = 2 e v = 300, e temos 300 ≥ 100 · 2
e 300 ≤ 300 · 2, de modo que as desigualdades v ≥ 100p e v ≤ 300p sa˜o ambas satisfeitas. Por
outro lado, (0.5, 300) na˜o e´ um plano comercializado, pois a desigualdade 300 ≤ 300 · 0.5 e´ falsa e,
com isso, na˜o e´ satisfeita a segunda condic¸a˜o, v ≤ 300p. Da mesma forma, (10, 100) tambe´m na˜o e´
um plano comercializado, pois a desigualdade 100 ≥ 100 · 10 e´ falsa, na˜o sendo portanto satisfeita a
primeira condic¸a˜o v ≥ 100p. Lembre-se de que, em um plano comercializado, as duas desigualdades
precisam ser satisfeitas.
a) Determine o conjunto PD de pacotes de dados.
b) Determine o conjunto MV de minutos de voz.
c) Determine o conjunto dos planos comercializados pela Chabu.
Soluc¸a˜o:
a) O conjunto PD de pacotes de dados e´ dado por
PD = {0.5, 1, 2, 5, 10}.
b) O conjunto MV de minutos de voz e´ dado por
MV = {100, 150, 200, 300, 500, 1000}.
c) Vamos escolher os elementos p ∈ PD e descobrir quais sa˜o os elementos v ∈MV tais que (p, v)
seja um plano comercializado, isto e´, que
v ≥ 100p e v ≤ 300p.
• Fazendo p = 0.5, temos
v ≥ 100 · 0.5 = 50 e v ≤ 300 · 0.5 = 150,
logo 50 ≤ v ≤ 150. Assim, v pode assumir os valores 100 e 150 em MV . Logo, sa˜o planos
comercializados:
(0.5, 100) e (0.5, 150).
• Fazendo p = 1, temos
v ≥ 100 · 1 = 100 e v ≤ 300 · 1 = 300,
logo 100 ≤ v ≤ 300. Assim, v pode assumir os valores 100, 150, 200 e 300 em MV . Logo,
sa˜o planos comercializados:
(1, 100), (1, 150), (1, 200) e (1, 300).
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 19
• Fazendo p = 2, temos
v ≥ 100 · 2 = 200 e v ≤ 300 · 2 = 600,
logo 200 ≤ v ≤ 600. Assim, v pode assumir os valores 200, 300 e 500 em
MV . Logo, sa˜o
planos comercializados:
(2, 200), (2, 300) e (2, 500).
• Fazendo p = 5, temos
v ≥ 100 · 5 = 500 e v ≤ 300 · 5 = 1500,
logo 500 ≤ v ≤ 1500. Assim, v pode assumir os valores 500 e 1000 em MV . Logo, sa˜o
planos comercializados:
(5, 500), e (5, 1000).
• Fazendo p = 10, temos
v ≥ 100 · 10 = 1000 e v ≤ 300 · 10 = 3000,
logo 1000 ≤ v ≤ 3000. Assim, v pode assumir o apena o valor 1000 em MV . Logo, e´
plano comercializado:
(10, 1000).
Com isso, os planos comercializados pela Chabu sa˜o dados pelo conjnuto
{ (0.5, 100), (0.5, 150), (1, 100), (1, 150), (1, 200), (1, 300), (2, 200),
(2, 300), (2, 500), (5, 500), (5, 1000), (10, 1000) }
Exerc´ıcio 13 A empresa Vaimall S.A. deseja enviar um funciona´rio em uma viagem a um cliente,
para agilizar a aprovac¸a˜o de alguns contratos pendentes. O funciona´rio deve embarcar para o cliente
na semana que comec¸a no dia 1 e termina no dia 7 e deve retornar na semana que comec¸a no dia 8
e termina no dia 14.
Chamaremos de poss´ıvel viagem a cada escolha de data de ida i e de volta v nos crite´rios acima.
Por exemplo, ida no dia 2 e volta no dia 11 e´ uma poss´ıvel viagem, ida em 3 e volta em 9 e´ outra
poss´ıvel viagem. Ida em 1 e volta em 6 na˜o e´ uma poss´ıvel viagem, pois a volta na˜o esta´ na semana
de 8 a 14.
O nu´mero de dia´rias de uma poss´ıvel viagem e´ a diferenc¸a entre as datas de ida e volta, isto e´, v− i,
onde i e´ a data de ida e v a de volta. Por exemplo, a poss´ıvel viagem que comec¸a no dia 2 e termina
no dia 11 tem 11− 2 = 9 dia´rias.
i. Explique como e por que uma poss´ıvel viagem pode ser representada por um par ordenado.
Este par ordenado pertence ao produto cartesiano de quais conjuntos?
ii. De acordo com sua resposta ao item acima, determine o conjunto V de todas as poss´ıveis
viagens.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 20
iii. Como o funciona´rio tera´ muito trabalho em sua ida ao cliente, uma poss´ıvel viagem e´ consi-
derada proveitosa se tiver a durac¸a˜o de, no m´ınimo, 9 dia´rias. Se P e´ o conjunto de todas
as viagens proveitosas, represente o conjunto P por meio de uma propriedade e diga por que
P ⊂ V .
iv. Represente o conjunto P enumerando seus elementos.
O prec¸o da passagem de ida no dia i e´ representado por p(i). Assim, p(2) e´, por exemplo, o prec¸o da
passagem de ida no dia 2. Da mesma forma, o prec¸o da passagem de volta no dia v e´ representado
por p′(v). Assim, p′(10) e´ o prec¸o da passagem de volta no dia 10. Os prec¸os das passagens, para
cada dia, sa˜o dados abaixo:
Viagem de ida:
Dia da viagem 1 2 3 4 5 6 7
Prec¸o em R$ 2000,00 1500,00 1000,00 700,00 500,00 300,00 300,00
Viagem de volta:
Dia da viagem 8 9 10 11 12 13 14
Prec¸o em R$ 500,00 500,00 600,00 700,00 800,00 900,00 1200,00
Como exemplo, temos p(3) = 1000, 00 e p′(12) = 800, 00.
O custo de uma poss´ıvel viagem e´ dado pela soma dos prec¸os das passagens de ida e de volta,
adicionados de R$ 300,00 reais por cada dia´ria.
Assim, por exemplo, a viagem com ida em 3 e volta em 12 tem custo
p(3) + p′(12) + (12− 3)× 300, 00 = 1000, 00 + 800, 00 + 9× 300, 00 = 4.500, 00.
Note que 12− 3 e´ o nu´mero de dia´rias.
O custo-benef´ıcio de uma poss´ıvel viagem e´ obtido dividindo o custo pelo nu´mero de dia´rias. Assim,
a viagem do exemplo acima, de 3 a 12, tem custo-benef´ıcio igual a 4500, 00/9 = 500, 00.
Como a crise obrigou a empresa a fazer cortes de gastos, uma poss´ıvel viagem e´ considerada via´vel,
se o custo benef´ıcio for menor do que R$ 500,00.
v. Qual e´ o custo de uma viagem de data de ida i e data de volta v? Qual o custo-benef´ıcio
desta viagem?
vi. Se A e´ o conjunto das viagens via´veis, represente o conjunto A por meio de uma propriedade.
Diga por que A ⊂ V .
vii. A empresa quer que a viagem de seu funciona´rio seja proveitosa e via´vel. Represente, por meio
de uma expressa˜o envolvendo os conjuntos V , P e A (na˜o necessariamente todos), bem como
as operac¸o˜es entre conjuntos, o conjunto das viagens que se enquadram nestes crite´rios.
Por razo˜es de foro ı´ntimo, o funciona´rio diz que na˜o pode voar a`s quintas-feiras e sextas-feiras, que
caem nos dias 5, 6, 12 e 13. As poss´ıveis viagens que possuem algum voo nestas datas sa˜o chamadas,
pelo funciona´rio, de amaldic¸oadas, e o conjunto das viagens amaldic¸oadas e´ denotado por M .
viii. Represente, por uma propriedade, o conjunto M .
ix. Represente, enumerando seus elementos, o conjunto M .
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 21
x. A empresa resolveu compreender as questo˜es ı´ntimas de seu funciona´rio e na˜o deseja sub-
meteˆ-lo a uma viagem amaldic¸oada, afinal, ele na˜o seria nada produtivo nessas circunstaˆncias.
Determine, por uma expressa˜o envolvendo os conjuntos V, P,A e M (na˜o necessariamente
todos) e suas operac¸o˜es, o conjunto D das viagens que o funciona´rio podera´ fazer.
xi. Represente o conjunto
D
enumerando seus elementos. [Em algum momento, voceˆ precisara´ calcular o custo-benef´ıcio
das viagens. Se prestar atenc¸a˜o ao que esta´ sendo pedido, voceˆ na˜o precisara´ calcular o
custo-benef´ıcio de todas as poss´ıveis viagens (que sa˜o muitas!!!)]
Soluc¸a˜o:
(a) Uma poss´ıvel viagem pode ser pensado como um par ordenado, pois e´ determinada pela escolha
de dois valores, a data de ida e a data de volta, sendo importante a ordem destes valores. Este
par pode ser escrito como (i, v), onde i e´ a data de ida e v a de volta.
(b) I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e R = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.
(c) A data de ida de uma poss´ıvel viagem pertence ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e a de volta a
{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Assim, (i, v) ∈ I ×R. Portanto,
V = I ×R.
(d) P = {(i, v) ∈ V | v − i > 9}. Temos que P ⊂ V pois todas as viagens proveitosas (isto e´,
todos os elementos de P ) sa˜o, pela pro´pria definic¸a˜o, poss´ıveis viagens (isto e´, elementos de V ).
(e) P = {(1, 10), (1, 11), (1, 12), (1, 13), (1, 14), (2, 11), (2, 12), (2, 13), (2, 14), (3, 12), (3, 13), (3, 14),
(4, 13), (4, 14), (5, 14)}
(f) O custo da viagem de ida em i e volta em v e´ dado pela soma do prec¸o p(i) da passagem de
ida e com o prec¸o p′(v) da volta, adicionados de R$ 300,00 reais por cada dia´ria, que sendo o
nu´mero de dia´rias e´ dado por v − i. Assim, o custo desta viagem sera´
p(i) + p′(v) + (v − i) · 300, 00.
O custo-benef´ıcio desta viagem sera´ o custo dividido pelo nu´mero de dia´rias, isto e´,
p(i) + p′(v) + (v − i) · 300, 00
v − i .
(g) Utilizando o item acima, podemos escrever
A =
{
(i, v) ∈ V
∣∣∣∣ p(i) + p′(v) + (v − i)× 300, 00v − i 6 500, 00
}
O subconjunto das viagens via´veis e´ um subconjunto de V pela pro´pria definic¸a˜o de viagem
via´vel: “uma poss´ıvel viagem e´ considerada via´vel, se...”. Assim, viagens via´veis sa˜o aquelas,
escolhidas dentre as poss´ıveis, que cumpram uma dada propriedade, logo, toda viagem via´vel
(todo elemento de A) e´ tambe´m uma poss´ıvel viagem (um elemento de V ).
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 22
(h) As viagens que a empresa gostaria que o funciona´rio fizesse sa˜o proveitosas, logo pertencem a
P , e via´veis, pertencendo portanto a A. Assim, o conjunto destas viagens e´ dada pelo conjunto
P ∩ A.
(i) As viagens amaldic¸oadas sa˜o as poss´ıveis viagens (i, v) ∈ V para as quais a data de ida i seja 5
ou 6 ou a de volta seja 12 ou 13. Assim
M = {(i, v) ∈ V | i = 6 ou i = 5 ou v = 12 ou v = 13}
(j) Listando os elementos, temos
M = {(5, 8), (5, 9), (5, 10), (5, 11), (5, 12), (5, 13), (5, 14),
(6, 8), (6, 9), (6, 10), (6, 11), (6, 12), (6, 13), (6, 14),
(1, 12), (2, 12), (3, 12), (4, 12), (5, 12), (7, 12),
(1, 13), (2, 13), (3, 13), (4, 13), (5, 13), (7, 13)}.
(k) O conjunto
M das viagens que o funciona´rio podera´ fazer sera´ o conjunto das viagens ao mesmo
tempo proveitosas e via´veis, obtido no item vi, excluindo as amaldic¸oadas, logo
D = (P ∩ A)−M.
(l) Para encontrarmos os elementos do conjunto D = (P ∩ A) −M , precisamos descobrir os que
esta˜o em (P ∩A) e retirar os que estejam em M . Os elementos de (P ∩A) sa˜o os que esta˜o ao
mesmo tempo em P em em A, logo, para cada elemento de P , vamos verificar se ele tambe´m
esta´ em A.
Pelo item (e),
P = {(1, 10), (1, 11), (1, 12), (1, 13), (1, 14), (2, 11), (2, 12), (2, 13),
(2, 14), (3, 12), (3, 13), (3, 14), (4, 13), (4, 14), (5, 14)},
Por agora, vamos calcular o custo benef´ıcio de todas estas viagens para descobrir quem tambe´m
e´ elemento de A (no final da questa˜o, veremos que nem seria necessa´rio fazer todas estas contas,
mas, por enquanto, vamos com cuidado).
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 23
Elemento de P Custo-benef´ıcio
(1, 10)
2000 + 600 + 9 · 300
9
' 588, 89
(1, 11)
2000 + 700 + 10 · 300
10
= 570, 00
(1, 12)
2000 + 800 + 11 · 300
11
' 554, 55
(1, 13)
2000 + 900 + 12 · 300
12
' 541, 67
(1, 14)
2000 + 1200 + 13 · 300
13
' 546, 15
(2, 11)
1500 + 700 + 9 · 300
9
' 544, 44
(2, 12)
1500 + 800 + 10 · 300
10
= 530, 00
(2, 13)
1500 + 900 + 11 · 300
11
' 518, 18
(2, 14)
1500 + 1200 + 12 · 300
12
= 525, 00
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 24
Elemento de P Custo-benef´ıcio
(3, 12)
1000 + 800 + 9 · 300
9
= 500, 00
(3, 13)
1000 + 900 + 10 · 300
10
= 490, 00
(3, 14)
1000 + 1200 + 11 · 300
1
= 500, 00
(4, 13)
700 + 900 + 9 · 300
9
' 477, 78
(4, 14)
700 + 1200 + 10 · 300
10
= 490, 00
(5, 14)
500 + 1200 + 9 · 300
9
' 488, 89
Assim,
P ∩ A = {(3, 12), (3, 13), (3, 14), (4, 13), (4, 14), (5, 14)}
Como
M = {(5, 8), (5, 9), (5, 10), (5, 11), (5, 12), (5, 13), (5, 14),
(6, 8), (6, 9), (6, 10), (6, 11), (6, 12), (6, 13), (6, 14),
(1, 12), (2, 12), (3, 12), (4, 12), (5, 12), (7, 12),
(1, 13), (2, 13), (3, 13), (4, 13), (5, 13), (7, 13)}.
temos
(P ∩ A)−M = {(3, 14), (4, 14)}.
Pode parecer que fizemos muitas contas na tabela acima, e fizemos mesmo! Mas se tive´ssemos
pensado antes de sair calculando, ter´ıamos percebido que na˜o era necessa´rio calcular o custo-
benef´ıcio das viagens (1, 12), (1, 13), (2, 12), (2, 13), (3, 12), (3, 13), (4, 13) e (5, 13), pois
estas viagens sa˜o elementos de M e, assim, na˜o estariam em (P ∩ A) −M , independente do
custo-benef´ıcio. Assim, bastava termos calculado os custos benef´ıcio de (1, 10), (1, 11), (1, 14),
(2, 11), (2, 14), (3, 14) e (4, 14). As contas se reduziriam a` metade!
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GABARITO dos Exercícios Programados/EP10-2018-1 gabarito.pdf
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP10 � Gabarito � Métodos Determinísticos I � 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado nas Aula 10 e 11 do Caderno Didático.
Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, represente, no plano cartesiano R2, os pontos A e B e
calcule a distância entre eles usando o Teorema de Pitágoras.
a) A = (−1, 3) e B = (2, 4)
b) A = (3, 1) e B = (2, 2)
c) A = (2,−1) e B = (−2, 2)
Solução:
a) b) c)
1 unid
3 unid
A
B
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
1 unid
1 unid
A
B
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
3 unid
4 unid
A
B
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
Figura 1: Exercício 1
a) No gráfico da Figura 1 - a) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[
d(A,B)
]2
= (2− (−1))2 + (4− 3)2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10
Daí, deduzimos que d(A,B) =
√
10.
b) No gráfico da Figura 1 - b) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[
d(A,B)
]2
= (2− 3)2 + (2− 1)2 = (−1)2 + 12 = 1 + 1 = 2
Daí, deduzimos que d(A,B) =
√
2.
c) No gráfico da Figura 1 - c) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[
d(A,B)
]2
= (−2− 2)2 + (2− (−1))2 = (−4)2 + 32 = 16 + 9 = 25
Daí, deduzimos que d(A,B) =
√
25 = 5.
Métodos Determinísticos I EP10 2
Exercício 2 Represente geometricamente os conjuntos abaixo:
a) {(x, y) ∈ R2; y = 4 e − 2 ≤ x ≤ 2}
b) {(x, y) ∈ R2;x = 3 e y ∈ (0, 5]}
c) {(x, y) ∈ R2;−1 < x ≤ 2}
d) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [−1, 1] e y ∈ (1, 2)}
Solução: A solução está plotada na Figura 2.
a) b)
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
c) d)
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
Figura 2: Exercício 2
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Métodos Determinísticos I EP10 3
Exercício 3 Represente algebricamente os conjuntos A, B, C e D representados na Figura 3 - a),
b), c), d).
a) b)
A
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
B
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
c) d)
C
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
D
-2 -1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
Figura 3: Exercício 3
Solução:
a) {(x, y) ∈ R2;x = 2 e 1 ≤ y < 3}.
b) {(x, y) ∈ R2; y = 1 e 1 ≤ x < 5}.
c) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [1, 5) e y ∈ [2, 4]}.
d) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [−2,−1] e y ∈ (1, 3]}.
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Métodos Determinísticos I EP10 4
Exercício 4 Determine a equação da circunferência de centro C e raio r em cada um dos itens a
seguir.
a) C = (1, 1) e r = 5
b) C = (0,−1) e r = 3
c) C = (0, 0) e r = 2
Solução: A circunferência é formada pelos pontos P = (x, y) que distam r do centro C = (a, b).
Então esses pontos devem satisfazer
d(P,C) = r
ou seja, √
(x− a)2 + (y − b)2 = r,
elevando cada membro da igualdade ao quadrado, obtemos(√
(x− a)2 + (y − b)2 )2 = r2 ⇐⇒ (x− a)2 + (y − b)2 = r2.
Portanto, a equação de uma circunferência de raio r e centro C = (a, b) é escrita usualmente na
forma
(x− a)2 + (y − b)2 = r2 .
a) Como C = (1, 1) e r = 5,
(x− 1)2 + (y − 1)2 = 25
⇐⇒ x2 − 2x + 1 + y2 − 2y + 1 = 25
⇐⇒ x2 + y2 − 2x− 2y = 23
b) Como C = (0,−1) e r = 3,
(x− 0)2 + (y − (−1))2 = 9
⇐⇒ x2 + (y + 1)2 = 9
⇐⇒ x2 + y2 + 2y + 1 = 9
⇐⇒ x2 + y2 + 2y = 8
c) Como C = (0, 0) e r = 2,
(x− 0)2 + (y − 0)2 = 4
⇐⇒ x2 + y2 = 4
Exercício 5 Construa as retas representadas por cada uma das equações listadas nos itens abaixo.
a) y = −2 b) y = 0 c) x = −3/2 d) −x + 2y = 4 e) y = 3x + 1
2
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Métodos Determinísticos I EP10 5
Solução: Todas as equações dos itens acima são representadas graficamente por retas. Para
determinar cada uma delas, basta determinar dois pontos pertencentes a ela.
a) Sendo (x, y) um ponto da reta y = −2, temos que a segunda coordenada deste ponto deve ser
−2. Quanto a primeira coordenada, que é x, ela pode assumir qualquer valor real. Em particular,
para x = 0 temos que o par ordenado (0,−2) é um ponto da reta.
E, para x = 2, temos o par
ordenado (2,−2) da reta. Unindo estes dois pontos temos a reta desenhada na Figura 4-a) que
é paralela ao eixo x.
a) b) c)
1 2
x
-2
-1
y
1
x
1
y
-2
-
3
2
-1 x
1
y
d) e)
-4 -3 -2 -1
x
1
2
y
-1
x
1
2
1
y
Figura 4: Exercício 5
b) A reta deste item está sobre o eixo x, já que a segunda coordenada do ponto (x, y) desta reta é
y = 0 para qualquer valor da primeira coordenada x. Ela está plotada na Figura 4-b).
c) Note que nos pares ordenados (x, y) da reta dada, a primeira coordenada x é igual a −3/2 e a
segunda coordenada y pode assumir qualquer valor real. Assim, essa reta é paralela ao eixo y.
Veja que, em particular, os pontos (−3/2, 0) e (−3/2, 1) pertencem à reta. Ela está plotada na
Figura 4-c).
d) Vamos determinar dois pontos da reta −x + 2y = 4.
• para x = 0, temos −(0) + 2y = 4⇐⇒ y = 2. Logo, o ponto (0, 2) pertence à reta.
• para y = 0, temos −x + 2(0) = 4⇐⇒ x = −4. Logo, o ponto (−4, 0) pertence à reta.
Note que os pontos encontrados são os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados.
Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 4-d).
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Métodos Determinísticos I EP10 6
e) Vamos determinar dois pontos da reta −x + 2y = 4.
• para x = 0, temos y = 3(0) + 1
2
⇐⇒ y = 1
2
. Logo, o ponto
(
0,
1
2
)
pertence à reta.
• para y = 0, temos 0 = 3x + 1
2
⇐⇒ x = −1
6
. Logo, o ponto
(
−1
6
, 0
)
pertence à reta.
Note que os pontos encontrados são os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados.
Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 4-e).
Exercício 6 Um operário tem seu salário representado pela equação y = 2000 +
15x
4
, onde y
representa o valor do salário e x, com x ≥ 0, representa o tempo de horas extras trabalhadas em um
mês.
a) Represente graficamente a equação do salário do operário.
b) Quando o salário é igual a R$ 2030,00 qual a quantidade de horas extras trabalhadas naquele
mês?
c) Quando a quantidade de horas extras trabalhadas é igual a 12 h, qual o valor do salário?
Solução:
a) A equação que forma o salário do operário é representada graficamente por uma reta, temos de
determinar dois pontos pertencentes à reta.
Temos que:
• para x = 0, y = 2000 + 15(0)
4
= 2000. Logo, o ponto (0, 2000) pertence à reta.
• para y = 0, 2000 + 15x
4
= 0. Ou seja,
15x
4
= −2000⇐⇒ x = −2000 · 4
15
⇐⇒ x = −1600
3
.
Logo, o ponto
(
−1600
3
, 0
)
pertence à reta.
Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 5.
b) Quando y = 2030, temos que 2000 +
15x
4
= 2030. Ou seja,
2000 +
15x
4
= 2030⇐⇒ 15x
4
= 2030− 2000⇐⇒ 15x
4
= 30⇐⇒ x = 30 · 4
15
⇐⇒ x = 8.
Portanto, quando o sálario é igual R$ 2030,00, a quantidade de horas extras trabalhadas naquele
mês é igual a 8 h.
c) Quando x = 12, temos que y = 2000 +
15(12)
4
= 2045.
Portanto, quando a quantidade de horas extras trabalhadas é igual a 12 h, o valor do salário é
igual a R$ 2045,00.
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Métodos Determinísticos I EP10 7
-
1600
3
x HhorasL
2000
y HreaisL
Figura 5: Gráfico de y = 2000 +
15
4
x
Exercício 7 Construa, no R2, a parábola representada por cada equação a seguir e, quando possível,
fatore-a.
a) y = x2 − 2x− 3 b) y = −3x2 + 6x− 3
c) y = 3x2 − 4x + 2 d) y = −x
2
2
− x− 3
2
Solução: Para construir o gráfico da equação y = ax2 + bx + c que é representada graficamente
por uma parábola, vamos seguir o seguinte roteiro:
• determinar onde a parábola intercepta o eixo x, o que significa que y = 0. Ou seja, devemos
resolver a equação ax2 + bx + c = 0.
• determinar onde a parábola intercepta o eixo y, o que significa que x = 0. Ou seja, devemos
substituir x = 0 na equação y = ax2 + bx + c para determinar o valor de y.
• determinar o vértice (xv, yv) da parábola, a partir da fórmula (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
.
E, finalmente, lembramos a fatoração ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2), onde x1 e x2 são soluções
de ax2 + bx + c = 0.
a) Temos que
• y = 0⇐⇒ x2 − 2x− 3 = 0.
Usando a fórmula de Baskara para determinar a solução da equação acima, com a = 1,
b = −2 e c = −3, temos
∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16 > 0,
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Métodos Determinísticos I EP10 8
e
x =
−b±√∆
2a
=
−(−2)±√16
2
=
2± 4
2
.
Logo, os valores que satisfazem x2 − 2x− 3 = 0, são
x1 =
2 + 4
2
= 3, x2 =
2− 4
2
= −1.
E, portanto, a parábola intercepta o eixo x nos pontos (−1, 0) e (3, 0).
• x = 0 ⇐⇒ y = (0)2 − 2(0) − 3 = −3. Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto
(0,−3).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
−−2
2
,−16
4
)
= (1,−4)
Como a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Seu gráfico está plotado na Figura 6-a).
Além disso, temos que y = x2 − 2x− 3 = (x− 3)(x + 1).
b) Temos que
• y = 0⇐⇒ −3x2 + 6x− 3 = 0.
Notemos que esta equação é equivalente a equação −x2 + 2x − 1 = 0, cujas raízes deter-
minamos usando a fórmula de Baskara, com a = −1, b = 2 e c = −1, temos
∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4(−1)(−1) = 4− 4 = 0,
e
x =
−b±√∆
2a
=
−(2)±√0
−2 =
−2
−2 = 1.
Logo, temos que x1 = x2 = 1 satisfazem a equação −x2+2x−1 = 0, bem como a equação
−3x2 + 6x− 3 = 0.
Portanto, a parábola dada por −3x2 + 6x− 3 = 0 intercepta o eixo x no ponto (1, 0).
• x = 0⇐⇒ y = −3(0)2 + 6(0)− 3 = −3.
Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0,−3).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 2−2 ,−
0
−4
)
= (1, 0)
Como em y = −3x2 + 6x − 3, a = −3 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Seu gráfico está plotado na Figura 6-b).
Além disso, temos que y = −3x2 + 6x− 3 = −3(x− 1)(x− 1) = −3(x− 1)2.
Observe que as parábola dadas pelas equações y = −3x2 + 6x − 3 e y = −x2 + 2x − 1 são
diferentes, apesar de ambas interceptarem o eixo x nos mesmos pontos e terem o mesmo vértice.
c) Temos que
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Métodos Determinísticos I EP10 9
a) b)
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
c) d)
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
Figura 6: Exercício 7
• y = 0⇐⇒ 3x2 − 4x + 2 = 0.
Usando a fórmula de Baskara, com a = 3, b = −4 e c = 2, temos
∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4(3)(2) = 16− 24 = −8 < 0.
Logo, a equação 3x2 − 4x + 2 = 0 não tem raízes reais.
Ou seja, a parábola não intercepta o eixo x.
• x = 0⇐⇒ y = 3(0)2 − 4(0) + 2 = 2.
Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0, 2).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
−(−4)
2(3)
,−(−8)
2(3)
)
=
(
2
3
,
4
3
)
Como a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Seu gráfico está plotado na Figura 6-c).
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Métodos Determinísticos I EP10 10
Neste caso, não temos como fatorar y = 3x2 − 4x + 2.
d) Temos que
• y = 0⇐⇒ −x
2
2
− x− 3
2
= 0.
A última equação é equivalente a x2 + 2x + 3 = 0.
Usando a fórmula de Baskara nesta equação, com a = 1, b = 2 e c = 3, temos
∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4(1)(3) = 4− 12 = 8 <
0.
Logo, temos que x2+2x+3 = 0 não tem raízes reais, assim como a equação−x
2
2
−x−3
2
= 0.
Ou seja, a parábola y = −x
2
2
− x− 3
2
= 0 não intercepta o eixo x.
• x = 0⇐⇒ y = −(0)
2
2
− 0− 3
2
= −3
2
.
Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto
(
0,−3
2
)
.
• (xv, yv)
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
−(2)
2
,−(−8)
4
)
= (−1,−2)
Como em y = −x
2
2
− x − 3
2
, a = −1
2
< 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Seu gráfico está plotado na Figura 6-d).
Observe que as parábolas dadas pelas equações y = −x
2
2
−x− 3
2
e y = x2+2x+3 são diferentes,
apesar de ambas não interceptarem o eixo x e terem o mesmo vértice.
Exercício 8 Em uma certa plantação, a produção, P, de tomate depende da quantidade, q, de
fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa pela equação
P = −q2 + 28 q + 60,
onde a produção é medida em kg e a quantidade de fertilizante em g/m2.
a) Determine em que ponto(s) o gráfico da equação corta o eixo q e em que ponto(s) corta o eixo
P . Faça um esboço do gráfico no plano cartesiano.
b) Determine o valor da produção, quando o fertilizante não é utilizado.
c) Determine a quantidade de fertilizante que deve ser usado para que a produção seja máxima, bem
como o valor da produção máxima.
d) Determine a partir de que quantidade de fertilizante utilizada, a planta é prejudicada e impedida
de produzir.
Solução:
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Métodos Determinísticos I EP10 11
a) Notemos que a equação P = −q2 + 28 q + 60 que representa a produção de tomate em termos
da quantidade de fertilizante é uma equação quadrática. Logo, seu gráfico é uma parábola.
Como o coeficiente de q2 é negativo, a concavidade da parábola é voltada para baixo.
A parábola corta o eixo q quando P = 0, o que nos leva a
−q2 + 28 q + 60 = 0
cujas raízes, se existirem, são obtidas pela fórmula de Báskara
q =
−28±√(28)2 − 4(−1)(60)
−2 =
−28±√1024
−2 =
−28±
√
210
−2 =
−28± 32
−2 .
Assim, temos duas raízes reais e distintas
q1 =
−28 + 32
−2 = −2 e q2 =
−28− 32
−2 = 30.
O que significa que a parábola corta o eixo q nos pontos q1 = −2 e q2 = 30.
A parábola intercepta o eixo P quando q = 0. Isto é,
P (0) = −02 + 28(0) + 60 = 60.
Ou seja, a parábola corta o eixo P no ponto P = 60.
Na Figura 7, plotamos o gráfico da parábola.
-2 14 30
q
60
256
P
Figura 7: Exercício 8-a)
b) Quando o fertilizante não é utilizado, isso significa que q = 0. Logo, substituindo esse valor na
equação dada, vem que:
P = −(0)2 + 28(0) + 60 = 60,
Nesse caso, o valor da produção será de 60 kg.
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Métodos Determinísticos I EP10 12
c) Como o gráfico da equação é uma parábola, a produção máxima Pv ocorrerá em qv, primeira
coordenada do vértice V =
(
qv, Pv
)
=
(
− b
2a
,−∆
4a
)
da parábola. Ou seja,
V =
(
− (28)
2(−1) ,−
1024
4(−1)
)
= (14, 256).
Portanto, deverá ser usado 14 g/m2 de fertilizante para que a produção seja máxima. O valor
dessa produção será de 256 kg.
d) Os pontos em que a curva corta o eixo q indicam quantidades que fazem a produção se anular
(P = 0) sendo que q1 = −2 não apresenta significado prático neste contexto e q2 = 30 g/m2
representa uma quantidade tão grande de fertilizante a ponto de prejudicar a planta, impedindo-a
de produzir.
Exercício 9 Represente, no plano cartesiano, o conjunto descrito por
a) (x− 1)2 + (y − 2)2 < 9 b) (x− 2)2 + (y + 1)2 6 25
c) (x− 4)2 + (y + 1)2 > 4 d) x2 + y2 + 4x− 2y > 4
Solução:
a) Como
(x− 1)2 + (y − 2)2 < 9⇔ (x− 1)2 + (y − 2)2 < 32,
a desigualdade representa os pontos no interior do círculo de centro (1, 2) e raio 3. Esta região
está esboçada abaixo:
b) Como
(x− 2)2 + (y + 1)2 6 25⇔ (x− 2)2 + (y − (−1))2 6 52,
a desigualdade representa os pontos no interior do círculo de centro (2,−1) e raio 5 ou sobre a
circunferência. Esta região está esboçada abaixo:
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c) Como
(x− 4)2 + (y + 1)2 > 4⇔ (x− 4)2 + (y − (−1))2 > 22,
a desigualdade representa os pontos exteriores ao círculo de centro (4,−1) e raio 2. Esta região
está esboçada abaixo:
d) A inequação dada, em princípio, não se parece com as que descrevem regiões limitadas por
circunferências. Mas vamos completar os quadrados para estudá-la:
x2 + y2 + 4x− 2y > 4⇔ x2 + 4x + y2 − 2y > 4⇔ x2 + 4x+4− 4 + y2 − 2y+1− 1 > 4⇔
⇔ (x2+4x+4)−4+(y2−2y+1)−1 > 4⇔ (x2+4x+4)+(y2−2y+1) > 4+4+1⇔ (x+2)2+(y−1)2 > 9⇔ (x−(−2))2+(y−1)2 > 32.
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Assim, a desigualdade representa os pontos exteriores ao círculo de centro (−2, 1) e raio 3 ou
sobre a circunferência. Esta região está esboçada abaixo:
Exercício 10 Represente, no plano cartesiano, os conjuntos abaixo:
a) {(x, y) ∈ R2; (x− 1)2 + (y − 2)2 < 9 e x ∈ (1, 5]}
b) {(x, y) ∈ R2; (x− 1)2 + (y − 2)2 = 9 e y ∈ [2, 5)}
c) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [1, 4] e y ∈ (2, 5] e x + y = 5}
d) {(x, y) ∈ R2; (x− 3)2 + (y − 3)2 6 4 e x− y = 0}
Solução:
a) Temos duas condições a serem satisfeitas por um ponto para que esteja no conjunto:
• (x− 1)2 + (y − 2)2 < 9:
Esta condição pode ser reescrita como
(x− 1)2 + (y − 2)2 < 9⇔ (x− 1)2 + (y − 2)2 < 32,
que representa os pontos interiores ao círculo de centro (1, 2) e raio 3, esboçados abaixo
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• x ∈ (1, 5]:
Os pontos que atendem a esta condição são aqueles cuja coordenadas horizontal satisfaz
1 < x 6 5, abaixo esboçados
Os pontos do conjunto dado estão na interseção das regiões acima, esboçada abaixo
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b) São duas as condições para que um ponto esteja no conjunto dado:
• (x− 1)2 + (y − 2)2 = 9:
Esta condição pode ser reescrita como
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 9⇔ (x− 1)2 + (y − 2)2 = 32,
que representa os pontos sobre a circunferência de centro (1, 2) e raio 3, esboçados abaixo
• y ∈ [2, 5):
Os pontos que atendem a esta condição são aqueles cuja coordenadas vertical satisfaz
2 6 y < 5, abaixo esboçados
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Os pontos do conjunto dado estão na interseção das regiões acima, esboçada abaixo
Observe que o ponto (1, 5) não está na região estudada, pois, nele, a condição y ∈ [2, 5) não
é satisfeita (pois 5 /∈ [2, 5]). Os dois pontos destacados acima foram obtidos observando que a
reta que limita inferiormente a região dada pela condição y ∈ [2, 5) passa pelo centro (1, 2) do
círculo. portanto estes pontos distam 3 (pois 3 é o raio do círculo) horizontalmente do centro
(1, 2). Assim, os pontos são (1− 3, 2) = (−2, 2) e (1 + 3, 2) = (4, 2).
c) São três as condições para que um ponto esteja no conjunto dado:
• x ∈ [1, 4]:
Os pontos que atendem a esta condição são aqueles cuja coordenadas horizontal satisfaz
1 6 y 6 4, abaixo esboçados
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Métodos Determinísticos I EP10 18
• y ∈ (2, 5]:
Os pontos que atendem a esta condição são aqueles cuja coordenadas vertical satisfaz
2 < y 6 5, abaixo esboçados
• x + y = 5:
Os pontos (x, y) que satisfazem a esta condição estão sobre uma reta à qual pertencem os
pontos (0, 5) e (5, 0). Esta reta está esboçada abaixo:
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Métodos Determinísticos I EP10 19
Os pontos do conjunto dado estão na interseção das três regiões
acima, esboçada abaixo
d) Temos duas condições a serem satisfeitas por um ponto para que esteja no conjunto:
• (x− 3)2 + (y − 3)2 6 4:
Esta condição pode ser reescrita como
(x− 3)2 + (y − 3)2 6 4⇔ (x− 3)2 + (y − 3)2 6 22,
que representa os pontos interiores ao círculo de centro (3, 3) e raio 2 e os pontos sobre a
circunferência. Abaixo, um esboço da região:
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Métodos Determinísticos I EP10 20
• x− y = 0:
Podemos reescrever a equação como y = x e perceber que os pontos que atendem a esta
condição são aqueles que pertencem à reta que passa por (0, 0) e (1, 1). O ponto (3, 3),
centro do círculo, é, inclusive, um ponto desta reta. Abaixo, um esboço:
Os pontos do conjunto dado são aqueles interiores ao círculo ou na circunferência, e que estão
na reta. Abaixo, um esboço:
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Para obter os pontos da interseção entre a reta e a circunferência, marcados no esboço acima,
repare que os pontos da reta são da forma (x, x), pois, sobre a reta, y = x. Se queremos o ponto
(x, x) da reta que também esteja na circunferência (x− 3)2 + (y − 3)2 = 4, basta substituirmos
y = x e resolvermos
(x−3)2+(x−3)2 = 4⇔ x2−6x+9+x2−6x+9 = 4⇔ 2x2−12x+14 = 0⇔ x2−6x+7 = 0⇔
⇔ x = 6±
√
(−6)2 − 4 · 1 · 7
2
=
6±√8
2
=
6± 2√2
2
= 3±
√
2.
Com isso, lembrando que y = x sobre a reta, temos os pontos (3−√2, 3−√2) e (3+√2, 3+√2).
Exercício 11 Uma empresa fará investimentos nas áreas de produção e publicidade. Na reunião em
que se iria decidir como o dinheiro seria investido,
• o diretor de produção disse que investir R$6.000,00 na área seria a opção mais adequada em
termos de custo-benefício, mas que também pode-se trabalhar com a margem de R$2.000,00,
para mais ou menos, a depender das escolhas estratégicas a serem adotadas;
• o diretor de marketing disse que pesquisas apontam o valor de R$5.000,00 como o ideal a ser
investido em publicidade. Ele acredita, porém, que seja razoável considerar uma margem de
erro, para mais ou para menos, de R$1.000,00 neste número;
• e o diretor financeiro lembrou que a soma do investimento nas duas áreas deve ser R$10.000,00.
Podemos representar o investimento a ser feito como um ponto no plano cartesiano, com o investi-
mento em produção representando coordenada horizontal x e o investimento em publicidade repre-
sentando a coordenada vertical y. Um investimento, que chamaremos de I1, de R$2.000 em produção
e R$7.000,00 em publicidade, por exemplo, seria representado pelo ponto I1 = (2.000, 7.000). Um
investimento I2, de R$1.000 em produção e R$5.000,00 em publicidade, por exemplo, seria repre-
sentado pelo ponto I2 = (1.000, 5.000). Estes pontos estão representados no plano abaixo.
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Um investimento que se adequasse à proposta do diretor de produção satisfaria à inequação modular
|x− 6.000| 6 2.000
e estaria na região do plano representada abaixo:
Note que a região acima é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 4.000 6 x 6 8.000, isto
é, o investimento em produção (coordenada horizontal) esteja dentro da margem de R$2.000,00 do
proposto pelo diretor da área. Repare ainda que, na região acima, y > 0, pois não se cogita fazer
um investimento negativo!
A partir disso,
(a) Dê a inequação modular satisfeita por todos os investimentos (x, y) que satisfazem à condição
imposta pelo diretor de marketing.
Solução: O investimento em marketing é representado pela coordenada y. Assim, se o inves-
timento em marketing deve estar próximo a R$5.000,00, não distando deste valor mais do que
R$1.000,00, temos
|y − 5.000| 6 1.000.
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(b) Represente a região do plano onde podem estar os investimentos (x, y), de acordo com o diretor
de marketing.
Solução: Como a inequação |y − 5.000| 6 1.000, obtida no item anterior, corresponde a
4.000 6 y 6 6.000,
a região dos pontos (x, y) que estão de acordo com a proposta do diretor de marketing é dada
por
(c) Expresse, por meio de uma equação em x e y, a condição lembrada pelo diretor financeiro e
represente os pontos correspondentes no sistema de coordenadas.
Solução: Segundo o diretor financeiro, a soma dos investimentos deve ser de R$10.000,00.
Assim,
x + y = 10.000.
Estes representam uma reta. Para obtermos dois pontos desta reta, vamos fazer x = 0 e depois
y = 0.
• Fazendo x = 0, temos y = 10.000 e, portanto, o ponto (0, 10000).
• Fazendo y = 0, temos x = 10.000 e, portanto, o ponto (10000, 0).
Esboçando esta reta, temos
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Métodos Determinísticos I EP10 24
Convém, porém, observar que os investimentos não podem ser negativo, isto é, devemos ter
x > 0 e y > 0. Com isso, a reta acima fica restrita ao segmento esboçado abaixo:
(d) Esboce o conjunto dos pontos do plano que cumprem, simultaneamente, com as três condições
lembradas pelos diretores.
Solução: Vamos, inicialmente, esboçar as três condições no mesmo sistema de coordenadas.
A interseção do segmento de reta com as regiões dadas pelas desigualdades é o segmento
esboçado abaixo.
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Métodos Determinísticos I EP10 25
(e) Quase ao final da reunião, o dono da empresa chegou e alertou que a distância, no sistema de
coordenadas, entre o ponto (4.000, 6.000) e o investimento a ser feito não poderia ser maior
do que 10.000. Dê a inequação satisfeita pelo conjuntos dos investimentos (isto é, dos pontos
(x, y)) que cumprem a condição imposta pelo dono, e esboce a região correspondente no plano.
Solução: A condição imposta pelo dono é dada por√
(x− 4000)2 + (y − 6000)2 6 10000,
ou ainda
(x− 4000)2 + (y − 6000)2 6 100002.
Esta condição representa os pontos interiores ao círculo de centro (4.000, 6.000) e raio 10.000,
bem como os pontos da circunferência. Esta região está esboçada abaixo:
Mais uma vez podemos considerar que os investimentos x e y não podem ser negativos, obtendo
a região esboçada abaixo.
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Métodos Determinísticos I EP10 26
(f) Represente o conjunto dos investimentos (pontos (x, y)) que cumprem todas as condições im-
postas pelos diretores e pelo dono.
Solução: Todos os investimentos que atendem aos diretores de produção, marketing e finan-
ceiros estão dentro das condições impostas pelo dono. Realmente, veja que os extremos do
segmento obtido no item (d) tem seus extremos dentro do círculo. O extremo (4.000, 6.000) é
o próprio centro, logo está dentro do círculo. Já para o extremo (6.000, 4.000), temos
d ((4.000, 6.000), (6.000, 4.000)) =
√
(4.000− 6.000)2 + (6.000− 4.000)2 =
=
√
2.0002 + 2.0002 = 2.000
√
2 6 10.000,
pois
√
2 < 2. Assim, o esboço da interseção das quatro regiões, será o próprio esboço obtido
no item (d).
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GABARITO dos Exercícios Programados/EP11-2018-1-gabarito.pdf
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP11 � Gabarito � Métodos Determinísticos I � 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado na Aula 12, páginas 146 a 149 e páginas 155 a 157, do Caderno
Didático.
Exercício 1 .
a) Determine, caso exista, a solução do sistema de equações do primeiro grau
(
2
3
− x
)
+
(
3y − 2
3
)
= 0
x + 2y = −5
b) Represente, no plano cartesiano, o gráfico de cada uma das equações do sistema do item a) e
localize, também, a solução encontrada
para o sistema, se houver.
c) Qual o significado geométrico para a solução do sistema?
Solução:
a) Temos que
(
2
3
− x
)
+
(
3y − 2
3
)
= 0
x + 2y = −5
⇐⇒

2
3
− x + 3y − 2
3
= 0
x + 2y = −5
⇐⇒
{
−x + 3y = 0 (i)
x + 2y = −5 (ii)
Da Equação (i), temos x = 3y que substituida na Equação (ii) nos dá
3y + 2y = −5⇐⇒ 5y = −5⇐⇒ y = −1.
Consequentemente, de x = 3y segue que x = 3(−1). Ou seja, x = −3. Portanto, a solução do
sistema é o par ordenado (x, y) = (−3,−1) .
-5 -3 -1 1 3
x
-
5
2
-1
y
Figura 1: Exercício 1
Métodos Determinísticos I EP11 2
b) Cada uma das equações do sistema dado é representado no plano cartesiano por uma reta. Na
Figura 1 plotamos em linha contínua rosa o gráfico da reta −x+3y = 0⇔ x = 3y, traçada pelos
pontos (0, 0) e (−3,−1), e em linha tracejada azul o gráfico da reta x+2y = −5⇔ x = −5−2y,
traçada pelos pontos (−5, 0) e (0,−5/2). O ponto (−3,−1) está marcado em vermelho na
Figura 1.
c) O ponto (−3,−1) representa a interseção das duas retas cujas equações são as equações do
sistema.
Exercício 2 Considere o sistema S de equações:
S :
{
x2 − 4x + 2y = 6 (i)
2x + 2y = −1. (ii)
a) Determine a solução do sistema.
b) Faça o esboço do gráfico da Equação (i) de S.
c) Faça o esboço do gráfico da Equação (ii) de S.
d) Qual o significado geométrico da solução do sistema encontrado no item a)
Solução:
a) Da equação 2x+2y = −1, temos 2y = −1−2x. Substituindo essa equação em x2−4x+2y = 6,
obtemos
x2 − 4x + 2y = 6
⇐⇒ x2 − 4x− 1− 2x = 6
⇐⇒ x2 − 6x− 7 = 0
⇐⇒ x = −(−6)±
√
(−6)2 − 4(1)(−7)
2
⇐⇒ x = 6±
√
36 + 28
2
⇐⇒ x = 6±
√
64
2
⇐⇒ x = 6± 8
2
⇐⇒ x1 = 6 + 8
2
, x2 =
6− 8
2
,
⇐⇒ x1 = 7, x2 = −1.
Substituindo x1, x2 na equação 2y = −1− 2x, segue que
• Para x1 = 7,
2y = −1− 2x⇐⇒ 2y = −1− 2(7)⇐⇒ 2y = −15⇐⇒ y = −15
2
.
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Métodos Determinísticos I EP11 3
• Para x1 = −1,
2y = −1− 2x⇐⇒ 2y = −1− 2(−1)⇐⇒ 2y = 1⇐⇒ y = 1
2
.
Portanto, as soluções de S são:
(
7,−15
2
)
e
(
−1, 1
2
)
.
b) Note que a equação x2 − 4x + 2y = 6 pode ser reescrita como
x2−4x+2y = 6⇐⇒ 2y = 6−x2+4x⇐⇒ y = −x
2 + 4x + 6
2
⇐⇒ y = − x
2
2
+ 2x + 3 . (1)
Logo, o gráfico de y = − x
2
2
+ 2x + 3 é representado por uma parábola cuja concavidade está
voltada para baixo, já que o coeficiente de x2 é negativo. Para esboçá-la, vamos determinar onde
seu gráfico intercepta o eixo x e o eixo y, bem como as coordenadas de seu vértice.
• Vamos determinar onde o gráfico da parábola intercepta o eixo x, isto é, vamos determinar
a abscissa x correspondente a ordenada y = 0, a partir da Equação (1). Ou seja, vamos
determinar as raízes de − x
2
2
+ 2x + 3 = 0. Usando Báskara, temos
∆ = (2)2 − 4(−1
2
)(3) = 4 + 6 = 10
e,
x =
−2±√10
2
(
−1
2
) = −2±√10−1 = 2∓√10⇐⇒ x1 = 2−√10, x2 = 2 +√10.
Assim, a parábola intercepta o eixo x nos pontos x1 = 2−
√
10 e x2 = 2 +
√
10. Ou seja,
a parábola contém os pontos (2−√10, 0), (2 +√10, 0).
• Para determinar o ponto em que a parábola intercepta o eixo y, tomando x = 0 na Equa-
ção (1), obtemos que
y = − 0
2
2
+ 2(0) + 3 = 3.
Logo, a parábola intercepta o eixo y no ponto y = 3. Ou seja, a parábola contém o ponto
(0, 3).
• O vértice V da parábola é determinado por V = (xv, yv) =
(
−b
2a
,
−∆
4a
)
. Logo,
V =
(
−2
2(−1/2) ,
−10
4(−1/2)
)
= (2, 5) .
Na Figura 2 � i), traçamos o esboço da parábola x2 − 4x + 2y = 6.
c) Note que a equação 2x + 2y = −1 pode ser reescrita como
2x + 2y = −1⇐⇒ 2y = −1− 2x⇐⇒ y = −1− 2x
2
⇐⇒ y = −1
2
− x . (2)
Logo, o gráfico de 2x + 2y = −1 é uma reta. Para traçá-la, precisamos de dois pontos. Usual-
mente, escolhemos os pontos que interceptam os eixos coordenados. Assim:
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Métodos Determinísticos I EP11 4
• Para x = 0, temos que
y = −1
2
− 0 = −1
2
.
Logo, a reta contém o ponto
(
0,−1
2
)
.
• Por outro lado, para encontrar o ponto em que o gráfico da reta cruza o eixo vertical (ou
das ordenadas), procuramos x que satisfaça y = 0 na Equação (2). Ou seja,
y = 0⇐⇒ −1
2
− x = 0⇐⇒ x = −1
2
.
Logo, a reta contém o ponto
(
−1
2
, 0
)
.
Portanto, temos a reta determinada pelos pontos
(
0,−1
2
)
e
(
−1
2
, 0
)
, conforme esboçada na
Figura 2 � ii).
i) Gráfico de x2 − 4x + 2y = 6 ii) Gráfico de 2x + 2y = −1
2 - 10 2 2 + 10 7
x
3
5
y
-12
x
-12
y
Figura 2: Exercício 2 - Item b) e c)
2 - 10 2 2 + 10 7
x
-
15
2
3
5
y
Figura 3: Exercício 2 - Item d)
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d) Os pontos
(
7,−15
2
)
e
(
−1, 1
2
)
determinados no item a) são os pontos de interseção entre a
reta 2x + 2y = −1 e a parábola x2 − 4x + 2y = 6, marcados com um círculo em vermelho na
Figura 3.
Exercício 3 Resolva os sistemas de equações a seguir em R2:
a)
{
2x + 4y = 3
x− 2y = 1
b)

x
2
− 2y = −2
3x
4
+ y = 4
Solução:
a) Vamos resolver o sistema dado por substituição. Da segunda equação, obtemos x = 1 + 2y
que substituída na primeira equação, dá que:
2x + 4y = 3 ⇐⇒ 2(1 + 2y) + 4y = 3
⇐⇒ 2 + 4y + 4y = 3
⇐⇒ 8y = 1
⇐⇒ y = 1
8
.
Agora, encontramos o valor de x substituindo y =
1
8
em x = 1 + 2y. Ou seja,
x = 1 + 2y = 1 + 2 · 1
8
= 1 +
1
4
=
4 + 1
4
=
5
4
.
Portanto, x =
5
4
e y =
1
8
. Ou seja, o par ordenado solução do sistema é o par
(
5
4
,
1
8
)
.
Observação: Notemos que cada uma das equações do sistema é representada geometrica-
mente por uma reta. Estas retas estão plotadas na Figura 4. Observe que o par ordenado(
5
4
,
1
8
)
solução do sistema é o ponto de interseção das duas retas.
b) Vamos resolver o sistema deste item pelo método da adição. Para isso multiplicamos a segunda
equação por 2, ou seja,
x
2
− 2y = −2
3x
4
+ y = 4
( · (2)) ⇐⇒

x
2
− 2y = −2
3x
2
+ 2y = 8
Em seguida, somamos as duas equações do sistema resultante (cancelando os termos que
dependem de y):
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i) Exercício 3-a) ii) Exercício 3-b)
154
3
2
x
-
1
2
3
4
y
-4 3 163
x
1
7
4
4
y
Figura 4: Exercício 3
x
2
− 2y = −2
3x
2
+ 2y = 8
4x
2
+ 0y = 6
Daí,
4x
2
= 6⇐⇒ 2x = 6⇐⇒ x = 3.
Em seguida, substituimos x = 3 na segunda equação
3x
4
+ y = 4 para determinar y:
3x
4
+ y = 4 ⇐⇒ 3 · 3
4
+ y = 4
⇐⇒ 9
4
+ y = 4
⇐⇒ y = 4− 9
4
⇐⇒ y = 7
4
.
Portanto, x = 3 e y =
7
4
. Ou seja, o par ordenado solução do sistema é o par
(
3,
7
4
)
.
Observação: Notemos que cada uma das equações do sistema é representada geometrica-
mente por uma reta. Estas retas estão plotadas na Figura 4. Observe que o par ordenado(
3,
7
4
)
solução do sistema é o ponto de interseção das duas retas.
Exercício 4 Resolva o sistema: 
y + x2 − 5x = −4
2x + y = 6.
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Solução: Isolando y na segunda equação do sistema, temos y = 6− 2x. Essa equação substituída
na primeira equação
do sistema nos fornece
(6− 2x) + x2 − 5x = −4
que é equivalente a equação
x2 − 7x + 10 = 0.
Usando Bhaskara, com a = 1, v = −7 e c = 10, temos que
∆ = b2 − 4ac = (−7)2 − 4(1)(10) = 49− 40 = 9
e
x =
−b±√∆
2a
=
−(−7)±√9
2(1)
=
7± 3
2
.
Logo, as raízes são:
x1 =
7 + 3
2
= 5 e x2 =
7− 3
2
= 2
A cada uma destas razíes corresponderá um valor de y que obteremos substituindo x em y = 6−2x:
y1 = 5− 2(5) = 6− 10 = −4,
y2 = 6− 2(2) = 6− 4 = 2
Logo, o conjunto solução do sistema tem como elementos os dois pares ordenados (5,−4) e (2, 2)
pertencentes a R2.
Observação: Notemos que a primeira equação do sistema y + x2 − 5x = −4 é a equação de uma
parábola e a segunda 2x+y = 6 é a equação de uma reta. Elas estão plotadas na Figura 5. Observe
que os pares ordenados (5,−4) e (2, 2), soluções do sistema, são os pontos de interseção da parábola
e da reta.
2 5
x
-4
2
y
Figura 5: Exercício 4
Exercício 5 Resolva o sistema de equações abaixo
x2 + (y − 1)2 = 2
x2 = (y − 1)2
Dica: Talvez seja mais simples, antes de resolver os sistema em x e y (isto é, tentar determinar x
e y), obter os valores de termos que se repetem.
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Métodos Determinísticos I EP11 8
Solução: Observe que as duas equações têm os termos x2 e (y−1)2; mais ainda estes são os únicos
termos que possuem incógnitas. Se fizermos a = x2 e b = (y − 1)2, o sistema se transforma em
a + b = 2
a = b,
e, com isso, 
a + b = 2
a− b = 0.
Somando as equações, temos 2a = 2 e, então, a = 1. Substituindo na primeira equação, temos
1 + b = 2, logo b = 1. Lembrando que x2 = a = 1, temos x = ±1. E, como (y − 1)2 = b = 1,
temos y− 1 = ±1, logo y = 1 + 1 ou y = −1 + 1, que nos dá y = 2 ou y = 0. Assim, temos quatro
soluções (x, y), dadas pelos pares
(−1, 0), (−1, 2), (1, 0) e (1, 2).
Exercício 6 Dê todas as soluções do sistema de equações abaixo
x + 2(y + 3)2 = 28 + 12y
4x− y2 = 4
Solução: Simplificando a primeira equação, temos
x+2(y+3)2 = 28+12y ⇔ x+2(y2+6y+9) = 28+12y ⇔ x+2y2+12y+18 = 28+12y ⇔ x+2y2 = 10.
Assim, o sistema se torna 
x + 2y2 = 10
4x− y2 = 4
e, para resolvê-lo, podemos multiplicar a segunda equação por 2, obtendo
x + 2y2 = 10
8x− 2y2 = 8,
e somar as equação, tendo assim
9x = 18,
e então x = 2.
Substituindo em uma das equações, na primeira, por exemplo, temos
2 + 2y2 = 10,
logo 2y2 = 8, e então y2 = 4. Com isso, temos y = −2 ou y = 2. Assim, a solução do sistema é
dada por
S = {(2,−2), (2, 2)}.
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Métodos Determinísticos I EP11 9
Exercício 7 Esboce o conjunto solução da equação (x − 1)2(y + 4)4 = 0, isto é, o conjunto de
todos os pontos (x, y) que satisfazem esta equação. Dica: Lembre-se de que o produto de dois
números reais é 0 se, e somente se, um deles é igual a 0.
Solução: Seguindo a dica,
(x− 1)2(y + 4)4 = 0 ⇔ (x− 1)2 = 0 ou (y + 4)4 = 0
⇔ x− 1 = 0 ou y + 4 = 0
⇔ x = 1 ou y = −4.
Vamos pensar sobre o que acabamos de encontrar. Um ponto (x, y) satisfaz a equação (x− 1)2(y+
4)4 = 0 se, e somente se, x = 1 ou y = −4, isto é, se o ponto (x, y) pertence à reta vertical x = 1
ou à reta horizontal y = −4. Isto significa que todos os pontos que satisfazem à equação estão na
união das retas x = 1 ou y = −4. Assim, o conjunto solução da equação pode ser esboçado como
abaixo:
Exercício 8 Resolva as inequações a seguir:
a) x2 − 6x + 9 ≤ 0
b) x2 − x
2
− 3 > 0
c) −x2 + 5x− 9 < 0
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Métodos Determinísticos I EP11 10
Solução: Para resolver este exercício você pode usar a técnica utilizada no Exercício 2 do EP 9 ou
utilizar seus conhecimentos sobre a parábola, como faremos a seguir.
a) Vamos chamar y de x2 − 6x + 9, isto é y = x2 − 6x + 9. E, em seguida vamos estudar o sinal
de y, ou seja, vamos estudar o sinal do y da parábola.
Inicialmente, determinamos quando y = 0, isto é, quando x2 − 6x + 9 = 0.
Por Bhaskara, temos que a solução desta equação, com a = 1, b = −6 e c = 9 é dada por
∆ = b2 − 4ac = (−6)2 − 4(1)(9) = 0,
assim,
x =
−b±√∆
2a
=
6±√0
2(1)
=
6
2
= 3.
Assim, y = 0 quando x = 3.
Para determinar os valores de x em (x, y), onde o y da parábola é negativo, plotamos o gráfico
da parábola e, olhando para ele, encontramos os pontos no eixo x que possuem o y da parábola
negativo. Veja a Figura 6.
Notamos que o y da parábola é sempre maior ou igual zero para qualquer valor de x real.
Dessa forma, y = x2 − 6x + 9 ≤ 0, somente quando x = 3.
+ +
3
x
y
Figura 6: Exercício 8-a)
b) Vamos chamar y de x2 − x
2
− 3, isto é y = x2 − x
2
− 3.
E, em seguida vamos estudar o sinal de y, ou seja, vamos estudar o sinal do y da parábola.
Inicialmente, vamos determinar quando y = 0, isto é, quando x2 − x
2
− 3 = 0.
Usando Bhaskara, você encontrará que y = 0 quando x = −3
2
ou x = 2.
Para determinar os valores de x em (x, y) onde o y da parábola é maior do que zero, plotamos
o gráfico de y = x2 − x
2
− 3 e, olhando para esse gráfico, encontramos os pontos no eixo x que
possuem o y da parábola maior do que zero. Veja a Figura 7.
Notamos que o y da parábola é maior do zero para x tal que x < −3
2
ou x > 2.
Dessa forma, y = x2 − 6x + 9 > 0, quando x ∈
(
−∞,−3
2
)
∪ (2,∞).
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Métodos Determinísticos I EP11 11
++
-
-
3
2 2
x
y
Figura 7: Exercício 8-b)
c) Vamos chamar y de −x2 + 5x − 9, isto é, y = −x2 + 5x − 9, cujo gráfico sabemos que é o de
uma parábola.
Em seguida, vamos estudar o sinal do y da parábola. Notemos que ela tem a concavidade
voltada para baixo, já que o coeficiente de x2 é negativo. Além disso, quando y = 0, isto é,
quando −x2 + 5x − 9 = 0, usando Bhaskara, temos que ∆ = 25 − 36 = −11 < 0, o que
significa que a parábola não intercepta o eixo x. Temos também que o vértice da parábola é(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 5
2(−1) ,−
−11
4(−1)
)
=
(
5
2
,−11
4
)
. A partir destas informações, plotamos o
gráfico da parábola na Figura 8. Você observará que para qualquer x real, o ponto (x, y) da
parábola, tem o y negativo.
Dessa forma, y = −x2 + 5x− 9 < 0, para todo x ∈ R.
-
-
-
2.5
x
y
Figura 8: Exercício 8-c)
Exercício 9 O custo C de produção de x litros de certa substância é dado pela equação de uma
reta, cujo gráfico está representado na Figura 9, em que x ≥ 0. Nestas condições, determine o custo
de produção em termos da quantidade x. Determine, também, a quantidade de litros produzida que
corresponde ao custo de R$ 800,00.
Solução: Seja C = ax+ b a equação da reta. Lembremos que conhecendo dois pontos pelos quais
ela passa, temos condiç�eos de determinar sua expressão. Pelo gráfico da Figura 9, temos estes dois
pontos, que são (0, 300) e (9, 480). Assim, estes dois pontos satisfazem a equação C = ax + b.
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9
xHlitrosL
300
480
CHxL
Figura 9: Questão 9
Substituindo x = 0, C = 300 em C = ax + b, temos que 300 = a(0) + b, isto é, obtemos que
b = 300. Logo, C = ax + 300.
Substituindo, agora, x = 9, C = 480 em C = ax + 300, obtemos que 480 = a(9) + 300. Ou seja,
9a = 480− 300⇐⇒ 9a = 180⇐⇒ a = 20.
Portanto, o custo de produção em termos da quantidade x é representado pela equação C =
20x + 300.
E quando C = 800, segue que
800 = 20x + 300⇐⇒ 20x = 800− 300⇐⇒ 20x = 500⇐⇒ x = 25.
Assim, a quantidade de litros produzida que corresponde ao custo de R$800,00 é igual a 25 litros.
Um problema muito interessante!
Vamos agora tentar utilizar um pouco
da teoria de sistemas de equações de primeiro
grau para resolver um problema de otimização.
O velho McDonnald tem uma fazenda, ia-ia-ô! E, nessa fazenda, tem porcos e galinhas.
Para criar seus animais, MacDonnald dispõe de uma área de 8km2. Cada mil porcos
criados necessitam de uma área de 4km2, e cada mil galinhas necessitam de 1km2.
Considere, agora, um sistema cartesiano de coordenadas, no qual o x representa a
quantidade de milhares de porcos (por exemplo, x = 2 equivale a 2.000 porcos) e y
representa a quantidade de milhares de galinhas.
a) Qual é a área ocupada por x milhares de porcos? E a área ocupada por y milhares
de galinhas?
Solução:
Se cada mil porcos ocupam 4km2, então x milhares de porcos ocuparão 4x km2.
Cada mil galinhas ocupam 1km2, então y milhares de porcos ocuparão y km2.
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b) Se McDonnald utilizar toda a área disponível para criar os animais, qual será a
equação relacionando x e y?
Solução:
A soma das áreas ocupada por porcos e galinhas será 4x+ y. Se toda a área de
8km2 for ocupada pelos suínos e galináceos criados, então teremos 4x + y = 8.
c) Faça um esboço da figura representada pela equação do item anterior (se neces-
sário, consulte o EP10).
Solução:
Como visto no EP anterior, a equação 4x+y = 8 corresponde a uma reta. Nesta
reta, fazendo x = 0, temos y = 8, logo o ponto (0, 8) pertence à reta. Fazendo
y = 0, temos 4x = 8, logo x = 2; com isso, o ponto (2, 0) também pertence à
reta. Esboçando, temos
Antes de prosseguir, tente resolver os itens (a), (b) e (c) acima e, de-
pois de resolver, consulte o gabarito! Apenas depois de ter acertado ou
compreendido a resposta correta, continue!
No item (b), você deve (deveria!) ter encontrado, como resposta, a equação 4x+y =
8, que representa uma reta.
Note que, quando 4x + y = 8, a área ocupada pelos porcos é de 8km2. Porém
ninguém obriga o Sr. McDonnald a ocupar toda sua área com animais. A soma das
áreas ocupadas por porcos e galinhas deve ser, no máximo 8km2.
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Métodos Determinísticos I EP11 14
d) Dê a desigualdade satisfeita por x e y para que a área ocupada por porcos e
galinhas seja no máximo igual a 8km2.
Solução:
Se a área ocupada pelos animais, dada por 4x + y, deve ser no máximo 8km2,
então esta área é menor ou igual a 8. Com isto, 4x + y 6 8.
Mais uma vez, tente resolver e, depois de acreditar ter a resposta cor-
reta, consulte o gabarito!
e) A reta dada pela equação 4x+y = 8 divide o plano cartesiano em duas �partes",
a parte de um lado da reta, e a parte do outro!. Estas �partes"são chamadas de
semiplanos Em qual destes semiplanos a desigualdade do item (d) é satisfeita?
Se não sabe como responder, teste um ponto de cada semiplano e veja de que
lado a desigualdade é atendida.
Solução:
A origem (0, 0) está em um dos semiplanos. Como 4 · 0 + 0 = 0 6 8, vemos que
o semiplano que satisfaz à desigualdade 4x + y 6 8 é o que contém a origem,
esboçado abaixo.
f) Baseando-se no item anterior, pinte a região do plano que satisfaz a desigualdade
do item (d).
Solução:
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Além da restrição da área, há outras duas restrições óbvias a x e y: não se pode criar
quantidades negativas de algum animal! Com isso, x > 0 e y > 0.
g) Pinte, em um sistema cartesiano de coordenadas, a região representada pelas
duas restrições acima.
Solução: A desigualdade x > 0 representa a região esboçada abaixo.
A desigualdade y > 0 representa, por sua vez, a região esboçada abaixo.
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Métodos Determinísticos I EP11 16
Juntas, as restrições representam a região abaixo:
Mais uma vez, é hora de tentar com afinco e, depois, verificar o gabarito!
Há ainda uma quarta restrição: criar animais é caro! Nosso velho e bom McDonnald
dispõe apenas de R$6.000, 00 para tocar sua produção de animais até o momento em
que estejam prontos para o abate (Sim, abate! Estava pensando que ele fazer o que
com os bichos?). Cada milhar de galinhas consumirá R$1.000, 00 e cada milhar de
porcos custará R$2.000, 00.
h) Determine a expressão do valor gasto com a criação de x milhares de porcos e y
milhares de galinhas.
Solução:
Se cada milhar de porcos gasta R$2.000,00, x mil porcos custarão 2000x reais
ao fazendeiro. Se cada mil galinhas custam R$1.000,00, y mil galinhas custarão
1000y reais. Assim, o valor gasto com x mil porcos e y mil galinhas será de
2000x + 1000y.
i) Determine a desigualdade que representa a restrição de R$6.000,00 aos gastos
com a criação, isto é, dê a desigualdade satisfeita por x e y supondo que o gasto
seja de, no máximo, R$6.000, 00.
Solução:
Para que o gasto seja de, no máximo R$6.000,00, temos
2000x + 1000y 6 6000.
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Métodos Determinísticos I EP11 17
Esta desigualdade pode ser simplificada para
2x + y 6 6.
j) Esboce a região do plano correspondente à restrição imposta pelos R$6.000,00.
Neste item, pode ajudar se você proceder como nos itens (d) e (e).
Solução:
A reta 2x+y = 6 divide o plano em dois semiplanos, e a desigualdade 2x+y 6 6
representa um destes semiplanos. Substituindo (0, 0), vemos que a desigualdade
é satisfeita, pois 2 · 0 + 0 6 6; com isso, a desigualdade 2x+ y 6 6 representa o
semiplano determinado pela reta 2x+y = 6 e contendo a origem (0, 0), esboçado
abaixo.
Para esboçarmos a reta 2x + y = 6, vemos que, quando x = 0, temos y = 6,
logo o ponto (0, 6) e, quando y = 0, temos x = 3, logo o ponto (3, 0).
Bom, agora que você já entendeu as quatro restrições impostas à criação de porcos e
galinhas do sr. McDonnald, utilize os esboços dos itens (c), (g) e (i) para responder
o item seguinte.
k) Esboce a região do plano formada por todos os pontos (x, y) que satisfazem,
simultaneamente, às quatro restrições (área máxima, x > 0, y > 0 e custo
máximo).
Solução:
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Métodos Determinísticos I EP11 18
Considerando as restrições 4x + y 6 8, 2x + y 6 6, x > 0 e y > 0, fazendo a
interseção das regiões correspondentes, temos
l) A região do item acima é limitada por um polígono convexo. Obtenha, encon-
trando as interseções das retas adequadas, os vértices deste polígono.
Solução:
Os vértices sobre os eixos ordenados já foram obtidos anteriormente e são os
pontos (0, 0), (2, 0), (0, 6). Para obter o outro vértice, vemos que ele é a
interseção entre as retas 4x+ y = 8 e 2x+ y = 6, dada pela solução do sistema{
4x + y = 8
2x + y = 6.
Multiplicando a segunda equação por −1, temos{
4x + y = 8
−2x− y = −6.
e, somando, temos 2x = 2, logo x = 1. Substituindo na primeira equação,
temos 4 · 1 + y = 8, logo y = 4. Assim, temos os vértices da figura abaixo.
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Métodos Determinísticos I EP11 19
Chegou a hora de abater e vender os animais! Não acreditamos que McDonnald fique
feliz com isso, mas é necessário pagar as contas...
Cada milhar de porcos será vendido ao preço deR$17.000, 00 e cada milhar de galinhas
será vendido a R$6.000, 00.
m) Dê a expressão, dependendo de x e y, do valor arrecadado com a venda dos
animais abatidos.
Solução:
Cada mil porcos é vendido por R$17.000,00 e cada mil galinhas por R$6.000,00.
Com isso, a venda de x mil porcos e y mil galinhas terá a receita de
17000x + 6000y.
n) Dê a expressão, dependendo de x e y, do lucro arrecadado com a venda dos
animais abatidos (lembre-se de que lucro é igual a receita [obtida em (m)] menos
a despesa [obtida em (h)]).
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Métodos Determinísticos I EP11 20
Solução:
O lucro é dado pela receita 17000x+6000y menos o custo 2000x+1000y, logo,
o lucro será
L = (17000x + 6000y)− (2000x + 1000y) = 15000x + 5000y.
Chegou a hora de entender por que estamos fazendo todas estas contas!
Importantes resultados de garantem que, em condições de restrição
como as acima, e com lucro dado por uma expressão de grau 1 em
duas variáveis, o maior valor possível com a venda dos animais é obtido
em algum dos vértices do polígono, encontrados no item (l). Com isso,
o) calculando, em cada vértice do polígono obtido em (l), o valor do lucro obtido
(a expressão do lucro foi determinada em (n) ), diga em que vértice o lucro com
a venda é máximo (isto é, o maior valor possível), e
Solução:
Vamos calcular o lucro em cada vértice do polígono:
� No vértice (0, 6), o lucro será de 15.000 · 0 + 5.000 · 6 = 30.000.
� No vértice (0, 0), o lucro será de 15.000 · 0 + 5.000 · 0 = 0.
� No vértice (2, 0), o lucro será de 15.000 · 2 + 5.000 · 0 = 30.000.
� No vértice (0, 6), o lucro será de 15.000 · 1 + 5.000 · 4 = 35.000.
Assim, o maior lucro possível é de R$35.000,00, ocorrendo no vértice (1, 4).
o) com isso, diga como McDonnald pode obter o maior lucro possível com a venda
dos animais. Com isso, estamos otimizando o lucro.
Solução:
O fazendeiro McDonnald obterá o maior lucro se criar 1.000 porcos e 4.000
galinhas (isto é, x = 1 e y = 4.).
A técnica acima, utilizada para otimizar lucro (ou outras grandezas) em situações em
que haja limitações lineares de recursos (isto é, limitações que possam ser descritas
por equações de grau 1 em cada variável). Esta técnica se chama Programação Linear,
e é utilizada para muitos fins como, por exemplo, otimização de cadeias de produção
e alocação de recursos. Seu uso data da década de 30, em fábricas soviéticas e
americanas.
Agora, tente resolver sozinho um problema semelhante!
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Métodos Determinísticos I EP11 21
Exercício 10 Aproveitando a moda dos Pokémons, uma fábrica produzirá, para o dia das crianças,
balões de Pikachu e de Charmander. O valor a ser investido é de, no máximo, R$ 3.000,00. Cada
centena de Pikachu tem custo de produção de R$100,00 (o custo de licenciamento do pokémons
mais famoso é alto), e cada centena de Charmander é produzida a o custo de R$70,00. Por outro
lado, o tempo de produção de cem Charmanders é de três horas (entre outros detalhes, aquele
foguinho no final da cauda é colado manualmente...), enquanto cada cem Pikachus levam 2 horas
para serem feitos. Dada a proximidade do dia das crianças, a fábrica possui apenas 100 horas de
trabalho para concluir a produção. Sabendo que, no final, a centena do balão é vendida a R$400,00,
independentemente do tipo, quantos balões de cada tipo de pokémon devem ser produzidos a fim
de otimizar o lucro?
Solução: Chamemos de x e de y as centenas de Pikachu e Charmander produzidos, respectivamente.
O custo de produção é dado por
C = 100x + 70y,
e a produção está restrita à condição
100x + 70y 6 3000,
que pode ser simplificada para
10x + 7y 6 300.
Por outro lado, o tempo de produção é dado por
T = 2x + 3y,
e a produção é limitada por
2x + 3y 6 100.
Observando ainda que x > 0 e y > 0, a produção (x, y) de centenas de Pikachus e Charmanders
está na região esboçada abaixo:
O vértice O é dado por (0, 0). Para achar A, fazemos x = 0 na reta 2x + 3y = 100, encontrando
3y = 100, logo y = 100/3. Assim, A = (0, 100/3). Para achar C, fazemos y = 0 em 10x+7y = 300,
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Métodos Determinísticos I EP11 22
obtendo 10x = 100, logo x = 30. Com isso, C = (30, 0). Para obter B, resolvemos o sistema{
10x + 7y = 300
2x + 3y = 100
Uma forma de resolver este sistema é, por exemplo, multiplicar a segunda equação por −5, obtendo{
10x + 7y = 300
−10x− 15y = −500
Somando, temos −8y = −200, logo y = 25. Substituindo na primeira equação,
10x + 7 · 25 = 300 ∴ 10x = 300− 175 = 125 ∴ x = 12, 5.
Assim, A = (12, 5, 25).
A receita obtida com a venda dos pokémons é dada por
R = 400x + 400y,
e, sendo o custo dado por 100x + 70y, temos, como lucro,
L = (400x + 400y)− (100x + 70y) = 300x− 330y.
Testando o lucro nos vértices, temos
• No vértice (0, 0): L = 300 · 0 + 330 · 0 = 0.
• No vértice (0, 100/3): L = 300 · 0 + 330 · 100
3
= 11.000.
• No vértice (12, 5, 25): L = 300 · 12, 5 + 330 · 25 = 12.000.
• No vértice (30, 0): L = 300 · 30 + 330 · 0 = 9.000.
Como o lucro é uma expressão de grau 1 nas variáveis x e y, o máximo ocorre em um vértice, que, no
caso, é o (12, 5, 25). Assim, para otimizar o lucro, a fábrica deve produzir 12,5 centenas de Pikachus
e 25 de Charmanders, isto é, 1250 Pikachus e 2500 Charmanders.
Exercício 11 Se, no problema anterior, o preço de venda da centena do Pikachu fosse R$600,00 e o
do Charmander fosse R$400,00, quantos pokémons de cada tipo deveriam ser vendidos para otimizar
o lucro?
Solução: Nas novas condições, a receita obtida com a venda dos pokémons é dada por
R = 600x + 400y,
e, sendo o custo dado por 100x + 70y, temos, como lucro,
L = (600x + 400y)− (100x + 70y) = 500x− 330y.
Testando o lucro nos vértices, temos
• No vértice (0, 0): L = 500 · 0 + 330 · 0 = 0.
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Métodos Determinísticos I EP11 23
• No vértice (0, 100/3): L = 500 · 0 + 330 · 100
3
= 11.000.
• No vértice (12, 5, 25): L = 500 · 12, 5 + 330 · 25 = 14.500.
• No vértice (30, 0): L = 500 · 30 + 330 · 0 = 15.000.
Neste caso, para otimizar o lucro, a fábrica deve produzir apenas Pikachu, em um total de 30
centenas (3000 unidades) deste pokémon. Repare que, nesta condição, a fábrica utilizará todo
o capital disponível, mas não toda a capacidade de horas. Ou seja, o problema de otimizar os
pokémons, mais do que definir a escolha certa da quantidade de cada produto, ainda ajuda a definir
como os recursos disponíveis (capital, tempo de produção) devem ser alocados.
Apenas para chamar atenção e reforçar o que acontece no exemplo e exercícios acima, este método
de otimização funciona apenas se:
• A função a ser otimizada (nos exemplos acima, o lucro) tiver apenas as variáveis em grau 1.
• As restrições impostas às variáveis também tiverem grau 1 nestas variáveis.
• As restrições formarem um polígono convexo.
Felizmente, muitos problemas reais de produção cumprem com estas condições. Nos exemplos, as
limitações foram bem gerais (custo e área ou custo e tempo). Várias outras variáveis poderiam ser
pensadas, mas de alguma forma já estariam embutidas nas expressões consideradas (Por exemplo,
custos como licenciamento por unidade, hora extra, etc., poderiam estar todos já contabilizados no
custo por unidade de cada pokémon. Custos com veterinário, ração, transporte até o abatedouro,
por exemplo, poderiam estar nos custos de criação de cada animal do exemplo).
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GABARITO dos Exercícios Programados/EP12-2018-1 gabarito.pdf
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Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP12 � Gabarito � Métodos Determinísticos I � 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado nas Aulas 13 e 14 do Caderno Didático.
Exercício 1 Num baú há 10 brinquedos diferentes. Pedro, Maria e Carlos, 3 crianças, abrem o baú
e Pedro pega 2 brinquedos, Maria pega 4 e Carlos pega 3 brinquedos. Para cada item a seguir, decida
se a relação entre conjuntos indicada é, ou não é, uma função. Justifique.
a) A relação entre o conjunto das crianças
e o conjunto dos brinquedos do baú que liga cada
criança aos brinquedos pegos por ela.
b) A relação entre o conjunto das três crianças e o conjunto dos números naturais que associa
cada criança ao número de brinquedos que ela pegou.
c) A relação entre o conjunto dos brinquedos do baú e o conjunto das crianças que liga cada
brinquedo do baú à criança que o pegou.
d) A relação entre o conjunto dos brinquedos pegos e o conjunto das crianças que associa cada
brinquedo pego à criança que o pegou.
Solução:
a) Não é função, pois cada criança pegou mais de um brinquedo, e uma função deve associar
cada elemento do conjunto domínio a um único elemento do contra-domínio.
b) É função, pois para cada elemento do conjunto domínio, isto é, cada criança, está assinalado
um único elemento do conjunto contra-domínio, isto é, um único número natural.
c) Não é função, pois há brinquedos no baú que não foram pegos por nenhuma criança. Para que
a relação seja função todo elemento do domínio deve estar relacionado a um (e apenas um)
elemento do contra-domínio.
d) É função, pois cada elemento do domínio, isto é, cada brinquedo pego, foi pego por uma e
apenas uma criança, estando assim associado a um único elemento do contra-domínio.
Exercício 2 Considere a função f , dada por
f(x) = −3x
(
x +
2
3
)
+ x2, x ∈ R.
Determine o que é pedido em cada item a seguir.
a) f
(
1
2
)
b) f (a− b) , a, b ∈ R c) f (x2) , x ∈ R
Solução:
Métodos Determinísticos I EP12 2
a)
f
(
1
2
)
= −3
(
1
2
)(
1
2
+
2
3
)
+
(
1
2
)2
= −3
2
(
3
6
+
4
6
)
+
1
4
= −3
2
(
7
6
)
+
1
4
= −7
4
+
1
4
= −6
4
= −3
2
b)
f (a− b) = −3 (a− b)
(
a− b + 2
3
)
+ (a− b)2
= −3
[
(a− b) (a− b) + 2
3
(a− b)
]
+ a2 − 2ab + b2
= −3
[(
a2 − 2ab + b2 + 2
3
a− 2
3
b
)]
+ a2 − 2ab + b2
= −3a2 + 6ab− 3b2 − 2a + 2b + a2 − 2ab + b2
= −2a2 + 4ab− 2b2 − 2a + 2b
c)
f
(
x2
)
= −3 (x2)(x2 + 2
3
)
+
(
x2
)2
= −3
(
x4 +
2
3
x2
)
+ x4
= −3x4 − 2x2 + x4
= −2x4 − 2x2
= −2x2(x2 + 1)
Exercício 3 Em cada item a seguir, considere as funções dadas por suas regras e encontre o domínio
das mesmas. Isto é, para cada caso, encontre o maior subconjunto de R para o qual a regra faz
sentido, ou seja, o maior subconjunto de R, de modo que se aplicarmos a regra dada a um elemento
deste conjunto, obteremos um número real.
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Métodos Determinísticos I EP12 3
a) f1(x) =
√
x + 5 b) f2(x) =
3
√
x + 5
c) f3(x) =
√
x2 − 49 +√−(x− 2)(x− 9) d) f4(x) = x + 2
x− 1
e) f5(x) =
1
x2 − 5x + 6
Solução:
a) Na expressão de f1, como extraímos a raiz quadrada do polinômio x+ 5, é preciso que x+ 5 seja
maior ou igual a zero para que esta raiz esteja definida. Portanto,
Dom(f1) = {x ∈ R;x + 5 ≥ 0}
= {x ∈ R;x ≥ −5}
= [−5,∞).
b) Na expressão de f2, extraímos a raiz cúbica do polinômio x + 5. Como raiz cúbica está definida
para todos os reais, não há qualquer restrição. Portanto,
Dom(f2) = R.
c) Na expressão de f3, como extraímos a raiz quadrada do polinômio x
2 − 49 e do polinômio
−(x− 2)(x− 9), é preciso que estes polinômios sejam ambos maiores ou igual a zero para que estas
raizes estejam definidas. Portanto,
Dom(f3) = {x ∈ R;x2 − 49 ≥ 0 e − (x− 2)(x− 9) ≥ 0}
= {x ∈ R; (x− 7)(x + 7) ≥ 0 e (x− 2)(x− 9) ≤ 0}
= {x ∈ R; (x ≤ −7 ou x ≥ 7) e (2 ≤ x ≤ 9)}
= [7, 9].
Confira pelas tabelas a seguir.
(−∞,−7) (−7, 7) (7,∞)
x + 7 − + +
x− 7 − − +
(x− 7)(x + 7) + − +
(−∞, 2) (2, 9) (9,∞)
x− 2 − + +
x− 9 − − +
(x− 2)(x− 9) + − +
Nas tabelas anteriores trabalhamos com intervalos abertos. Para complementar, é importante obser-
var que:
(x− 7)(x + 7) = 0 ⇐⇒ x− 7 = 0 ou x + 7 = 0
⇐⇒ x = 7 ou x = −7,
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Métodos Determinísticos I EP12 4
e
(x− 2)(x− 9) = 0 ⇐⇒ x− 2 = 0 ou x− 9 = 0
⇐⇒ x = 2 ou x = 9.
Desta forma, segue que
(x− 7)(x + 7) ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ −7 ou x ≥ 7
e
(x− 2)(x− 9) ≤ 0 ⇐⇒ 2 ≤ x ≤ 9.
Finalmente, observe que o intervalo [7, 9] foi obtido pela interseção dos conjuntos
{x ∈ R;x ≤ −7 ou x ≥ 7}
e
{x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 9}.
d) Na expressão de f4, temos o polinômio x − 1 no denominador. Como o denominador não pode
ser zero, devemos excluir a raiz deste polinômio, que é x = 1. Desta forma, segue que
Dom(f4) = R\{1}
= {x ∈ R;x < 1 ou x > 1}
= (−∞, 1) ∪ (1∞).
e) Na expressão de f5, temos o polinômio x
2 − 5x + 6 no denominador. Como o denominador não
pode ser zero, devemos buscar as raízes deste polinômio e excluí-las do domínio. Por Bhaskara,
vemos que as raízes são 2 e 3. Então o domínio é R\{2, 3}.
Dom(f5) = R\{2, 3}
= {x ∈ R;x < 2 ou 2 < x < 3 ou x > 3}
= (−∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3,∞).
Exercício 4 Verifique se as funções f e g dadas abaixo são iguais.
f(x) =
√
(x− 2)(x− 3) e g(x) =
√
(x− 2)
√
(x− 3).
Solução: A função f não é igual à função g, pois seus domínios são diferentes. De fato, na expressão
de f , como extraímos a raiz quadrada do polinômio (x−2)(x−3), é preciso que este polinômio seja
maior ou igual a zero para que esta raiz esteja definida. Desta forma, temos que
Dom(f) = {x ∈ R; (x− 2)(x− 3) ≥ 0}
= {x ∈ R;x ≤ 2 ou x ≥ 3}.
Confira pela tabela a seguir.
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Métodos Determinísticos I EP12 5
(−∞, 2) (2, 3) (3,∞)
x− 2 − + +
x− 3 − − +
(x− 2)(x− 3) + − +
Na tabela anterior trabalhamos com intervalos abertos. Para complementar, é importante observar
que:
(x− 2)(x− 3) = 0 ⇐⇒ x− 2 = 0 ou x− 3 = 0
⇐⇒ x = 2 ou x = 3.
Desta forma, segue que
(x− 2)(x− 3) ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ 2 ou x ≥ 3.
Já na expressão de g, como extraímos a raiz quadrada do polinômio (x− 2) e do polinômio (x− 3),
é preciso que estes polinomios sejam ambos maiores ou iguais a zero para que estas raizes estejam
definidas. Desta forma, temos que
Dom(g) = {x ∈ R; (x− 2) ≥ 0 e (x− 3) ≥ 0}
= {x ∈ R; (x ≥ 2) e (x ≥ 3)}
= {x ∈ R;x ≥ 3}.
Ou seja, Dom(g) 6= Dom(g).
Exercício 5 Considere a função f dada a seguir.
f(x) =
√
−3x2 − 5x + 2.
a) Determine, na forma de intervalo, o domínio da função f .
b) Determine, na forma de intervalo, os valores de x pertencentes ao domínio de f para os quais
3 + (f(x))2 ≥ x|x− 1|+ 5.
Solução:
a) Na expressão de f , como extraímos a raiz quadrada do polinômio −3x2 − 5x + 2, é preciso
que este polinômio seja maior ou igual a zero para que esta raiz quadrada esteja definida. Por
Bhaskara, vemos que as raízes dele são −2 e 1
3
. Desta forma, o polinômio −3x2 − 5x + 2 pode
ser fatorado como,
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Métodos Determinísticos I EP12 6
−3x2 − 5x + 2 = −3
(
x− 1
3
)
(x + 2) = −3
(
x2 +
5
3
x− 2
3
)
.
Portanto,
Dom(f) = {x ∈ R;−3
(
x− 1
3
)
(x + 2) ≥ 0}
= {x ∈ R;
(
x− 1
3
)
(x + 2) ≤ 0}
=
{
x ∈ R;−2 ≤ x ≤ 1
3
}
=
[
−2, 1
3
]
.
Confira pela tabela a seguir.
(−∞,−2) (−2, 1/3) (1/3,∞)
x + 2 − + +
x− 1/3 − − +
(x + 2)(x− 1/3) + − +
Na tabela anterior trabalhamos com intervalos abertos. Para complementar, é importante observar
que:
(x + 2)(x− 1/3) = 0 ⇐⇒ x + 2 = 0 ou x− 1/3 = 0
⇐⇒ x = −2 ou x = 1/3.
Desta forma, segue que
(x + 2)(x− 1/3) ≤ 0 ⇐⇒ −2 ≤ x ≤ 1/3.
b) Observe que
(f(x))2 = −3x2 − 5x + 2, x ∈
[
−2, 1
3
]
.
Para determinar os valores de x ∈
[
−2, 1
3
]
que satisfazem a desigualdade
3 + (f(x))2 ≥ x|x− 1|+ 5,
devemos, portanto, resolver a inequação
3 + (−3x2 − 5x + 2) ≥ x|x− 1|+ 5, x ∈
[
−2, 1
3
]
.
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Métodos Determinísticos I EP12 7
Uma vez que
|x− 1| =
{
x− 1, se x ≥ 1
1− x, se x < 1 ,
como x ∈
[
−2, 1
3
]
, temos que x < 1, de modo que |x− 1| = 1− x.
Desta forma,
3 + (f(x))2 ≥ x|x− 1|+ 5, x ∈
[
−2, 1
3
]
⇐⇒ 3− 3x2 − 5x + 2 ≥ x(1− x) + 5, x ∈
[
−2, 1
3
]
⇐⇒ 3− 3x2 − 5x + 2 ≥ x− x2 + 5, x ∈
[
−2, 1
3
]
⇐⇒ −2x2 − 6x ≥ 0, x ∈
[
−2, 1
3
]
⇐⇒ x2 + 3x ≤ 0, x ∈
[
−2, 1
3
]
⇐⇒ x(x + 3) ≤ 0, x ∈
[
−2, 1
3
]
⇐⇒ x ∈ [−3, 0], x ∈
[
−2, 1
3
]
.
⇐⇒ x ∈ [−2, 0].
Observe que concluímos que x ∈ [−2, 0], uma vez que x deve pertencer ao intervalo [−3, 0] e deve
estar no domínio da função f , que é o intervalo
[
−2, 1
3
]
. Desta forma, x ∈ [−3, 0]∩
[
−2, 1
3
]
=
[−2, 0]
Confira pela tabela a seguir a determinação do conjunto solução da inequação
x2 + 3x = x(x + 3) ≤ 0.
(−∞,−3) (−3, 0) (0,∞)
x + 3 − + +
x − − +
x(x + 3) + − +
Na tabela anterior trabalhamos com intervalos abertos. Para complementar, é importante observar
que:
x(x + 33) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x + 3 = 0
⇐⇒ x = 0 ou x = −3.
Desta forma, segue que
x(x + 3) ≤ 0 ⇐⇒ −3 ≤ x ≤ 0.
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Métodos Determinísticos I EP12 8
Exercício 6 Esboce os gráficos das funções dadas a seguir.
a) f(x) = x2 − x− 2
b) g(x) = x2 + 4x + 6
c) h(x) = −x + 7
d) r(x) = 2x− 5
Solução:
Note que os gráficos das funções f e g são parábolas e os das funções h e r são retas.
a) Usando Bhaskara, podemos encontrar as raízes da equação. A partir das raízes podemos encontrar
o vértice. Veja que estes pontos estão todos marcados no gráfico.
b) Neste item, quando usamos Bhaskara descobrimos que não há raízes reais para essa função. Então
precisamos determinar 3 pontos de alguma outra forma. É simples, vamos encontrar primeiro o ponto
(0, g(0)). Substituindo x por 0, temos g(0) = 6. Podemos, agora, encontrar o outro ponto em que
g vale 6: g(x) = 6⇔ x2 + 4x + 6 = 6⇔ x2 + 4x = 0⇔ x(x + 4) = 0⇔ x = 0 ou x = −4.
Como pode ser visto no gráfico, o valor da coordenada x do vértice deve ser a média entre 0 e -4,
isto é, no vértice temos x = −2. Calculando o valor da função nesse ponto, obtemos nossos três
pontos para traçar o gráfico.
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Métodos Determinísticos I EP12 9
c) Nesse item e no próximo, como os gráficos das funções são retas, basta determinarmos dois pontos
de cada uma das retas. Vamos escolher estes dois pontos como sendo os pontos de interseção destas
retas com os eixos coordenados. Assim, neste caso, em que h(x) = −x + 7, para encontrar os dois
pontos de interseção da reta y = −x + 7 com os eixos coordenados temos:
- para x = 0, y = h(0) = −0 + 7 = 7. Logo, o par ordenado (0, 7) pertence ao gráfico de h.
- para y = 0, 0 = h(x) = −x + 7 = 7 ⇐⇒ x = 7. Logo, o par ordenado (7, 0) pertence ao gráfico
de h.
d) Neste item, caso em que r(x) = 2x − 5, para encontrar os dois pontos de interseção da reta
y = 2x− 5 com os eixos coordenados temos:
- para x = 0, y = r(0) = 2 · (0)0− 5 = −5. Logo, o par ordenado (0,−5) pertence ao gráfico de r.
- para y = 0, 0 = r(x) = 2x− 5 = 7⇐⇒ x = 5
2
. Logo, o par ordenado
(
5
2
, 0
)
pertence ao gráfico
de r.
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Métodos Determinísticos I EP12 10
Exercício 7 Considere as funções f(x) = −x2 + 6x + 10 e g(x) = 3x − 8. Encontre o conjunto
dos valores de x para os quais f(x) ≥ g(x).
Solução:
Devemos resolver a inequação f(x) ≥ g(x). Temos assim, que
f(x) ≥ g(x) ⇔ f(x)− g(x) ≥ 0
⇔ −x2 + 6x + 10− (3x− 8) ≥ 0
⇔ −x2 + 3x + 18 ≥ 0.
Vamos achar as raízes da equação −x2 + 3x + 18 = 0:
∆ = 9 + 4× 18 = 9 + 72 = 81
donde
x =
−3±√81
−2 =
−3± 9
−2
x = 6 ou x = −3.
Temos portanto, que y = −x2 + 3x+ 18 é uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois
a = −1 < 0, cortando o eixo x nos pontos x = 6 e x = −3. Logo, y = −x2 + 3x + 18 será maior
ou igual a zero quando esta parábola estiver acima do eixo x, o que acontece quando −3 ≤ x ≤ 6.
Portanto, teremos f(x) ≥ g(x) quando x pertencer ao conjunto [−3, 6].
Observe que optamos, neste exemplo, por resolver inequação −x2 + 3x+ 18 ≥ 0 verificando quando
o sinal da parábola y = −x2 + 3x + 18 é maior ou igual a zero. Poderíamos ter resolvido esta
inequação fatorando −x2 + 3x + 18 = −(x− 6)(x + 3) e construindo a tabela de sinais. Contudo,
agora que já sabemos construir parábolas, vamos optar por este caminho. Um bom exercício seria
voltar aos exemplos anteriores e resolvê-los através de parábolas.
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Métodos Determinísticos I EP12 11
Exercício 8 Às 11 horas da manhã certa caixa d'água de 1000 litros que encontra-se cheia começa
a perder água por um furo na base com vazão constante. Às 17 horas, ela está com 850 litros.
Responda:
a) A que horas a caixa fica com 700 litros?
b) A que horas a caixa fica com 500 litros?
c) Encontre a função V (t) que para cada t nos dá o volume de água na caixa após t horas.
d) Esboce o gráfico da função V .
e) Quanto tempo levará para que a caixa fique vazia?
Solução:
a) Das 11 às 17 horas, passam-se 6 horas e a caixa d'água perde 150 litros. Isso significa que ela perde
25 litros por hora. Para chegar aos 700 litros, ela terá que perder mais 150 litros, logo decorrerão
mais 6 horas. A caixa ficará com 700 litros às 23 horas.
b) Para chegar aos 500 litros terá que perder mais 200 litros (depois de chegar a 700). Para isso
serão necessárias mais 8 horas. Portq anto a caixa estará com 500 litros às 7 horas da manhã do dia
seguinte.
c) V (t) = 1000− 25t (veja que essa fórmula é válida até a hora em que a caixa fica vazia. Depois
disso, ela continua com zero litros).
d)
e) Façamos V (t) = 0:
1000− 25t = 0⇔ 1000 = 25t⇔ t = 40
Logo ela ficará vazia após 40 horas (como vemos no gráfico).
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Exercício 9 Certo banco cobra taxa de juros diária no cheque especial de 0,3% (isto é, 9% mensal).
Nessas condições se você ficar devendo 1000 reais por x dias no cheque especial, vai pagar como
encargos (juros) um valor
y = 1000× 0, 3
100
× x.
Já o cartão de crédito deste mesmo banco, em caso de atraso de pagamento, cobra uma multa fixa
de 2% mais juros diários de 0,2% (isto é, 6% ao mês) sobre o valor devido. Portanto, se você ficar
devendo 1000 reais no cartão de crédito por x dias (até um mês), terá como encargos (juros +
multa) o valor
y = 1000× 2
100
+ 1000× 0, 2
100
× x.
a) Uma pessoa fica devendo 1000 reais a esse banco por dez dias. Quanto pagará de encargos se
a dívida for no cheque especial?
b) Ainda devendo 1000 reais por 10 dias, quais serão os encargos se a dívida for no cartão de
crédito?
c) Devendo 1000 reais por 30 dias, quais são os encargos se a dívida for no cheque especial e
quais são os encargos se a dívida for no cartão de crédito?
d) Imagine que uma pessoa precisa contrair uma dívida de 1000 reais nesse banco por menos de
um mês e sabe que levará exatamente x dias para pagar a dívida. Quanto deve ser x para que
o cartão de crédito seja mais vantajoso?
Solução:
Observe que quando a pessoa fica devendo 1000 reais no cheque especial por x dias, paga como
encargos
y = 1000× 0, 3
100
× x = 3x
e quando a dívida é no cartão de crédito, os encargos são de
y = 1000× 2
100
+ 1000× 0, 2
100
× x = 20 + 2x.
a) Se a pessoa ficar devendo 1000 reais
por 10 dias no cheque especial pagará como encargos
y = 3× 10 = 30 reais.
b) Se a pessoa ficar devendo 1000 reais por 10 dias no cartão de crédito pagará como encargos
y = 20 + 2× 10 = 20 + 20 = 40 reais.
c) Devendo 1000 reais por 30 dias, os encargos no cheque especial são de
y = 3× 30 = 90 reais.
e os do cartão de crédito são de
y = 20 + 2× 30 = 20 + 60 = 80 reais.
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Métodos Determinísticos I EP12 13
d) Para decidir entre o cheque especial e o cartão de crédito, temos que descobrir qual das duas
formas resultará em menos encargos. Isto é, se vamos levar x dias para pagar a dívida, devemos usar
o cheque especial se
3x < 20 + 2x,
e devemos usar o cartão de crédito se
3x > 20 + 2x
e podemos usar qualquer um dos dois quando valer a igualdade 3x = 20 + 2x.
Vemos que 3x < 20 + 2x⇔ x < 20, isto é, devemos usar o cheque especial se pretendemos pagar a
dívida em menos de 20 dias. Se pagamos em 20 dias, tanto faz usar um ou outro. Para pagamentos
após o vigésimo dia, é melhor que a dívida seja feita no cartão de crédito.
Exercício 10 A empresa de telefonia FALE oferece aos seus clientes diversos planos de serviço para
celulares. Veja alguns deles:
• Plano 60: o cliente paga 60 reais e tem direito a falar 60 minutos para qualquer número fixo
ou móvel (franquia de 60 minutos). Por cada minuto que exceda os 60 da franquia, o cliente
deve pagar mais 90 centavos.
• Plano 110: o cliente paga 80 reais e tem direito a falar 110 minutos para qualquer número
fixo ou móvel (franquia de 110 minutos). Por cada minuto que exceda os 110 da franquia, o
cliente deve pagar mais 60 centavos.
O Plano 60 pode ser modelado pela função f : R+ → R+, onde R+ = {x ∈ R;x ≥ 0}, dada por:
f(t) =
{
60 , se t ≤ 60 (isto é, se a pessoa falar até 60 minutos)
60 + 0.9(t− 60) , se t > 60 (isto é, se a pessoa falar mais que 60 minutos)
Acima, t é o tempo das chamadas feitas pelo cliente e f(t) nos dá quanto o cliente pagará por esse
tempo usando o Plano 60.
Já o Plano 110 é modelado pela pela função g : R+ → R+ dada por:
g(t) =
{
80 , se t ≤ 110
80 + 0.6(t− 110) , se t > 110.
Acima, t também indica o tempo das chamadas feitas pelo cliente e g(t) nos dá quanto o cliente
pagará por esse tempo usando o Plano 110.
A seguir vemos os gráficos de cada uma dessas funções:
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Métodos Determinísticos I EP12 14
Considerando as informações acima, responda aos itens a seguir.
a) Se uma pessoa fala sempre 70 minutos por mês, quanto ela pagará se usar o Plano 60? E se
usar o Plano 110?
b) Se a pessoa falar sempre 100 minutos, quanto ela pagará mensalmente com cada um dos planos
acima?
c) Quanto a pessoa deve falar mensalmente para que o Plano 60 seja mais vantajoso? Qual deve
ser o consumo mensal para que o Plano 110 seja mais em conta?
d) A empresa FALE oferece ainda um terceiro plano, o Plano 170. Neste plano o cliente paga
100 reais por mês e usufrui de uma franquia de 170 minutos. Cada minuto excedente custa
50 centavos. Encontre a função h : R+ → R+ que modela este plano, esboce sobre a figura
acima o gráfico da função h e descubra qual deve ser o consumo mensal para que este plano
seja mais vantajoso que os outros dois.
Solução:
a) Falando 70 minutos por mês, no Plano 60, a pessoa pagará os 60 reais da franquia mais 90
centavos por cada um dos 10 minutos excedentes, resultando em 69 reais. Outra forma de fazer este
cálculo é usar a fórmula da função f que nos dá o valor a ser pago nos plano 60. Para t > 60, a
função nos dá que
f(t) = 60 + 0, 9(t− 60), logo, f(70) = 60 + 0, 9(70− 60) = 60 + 0, 9× 10 = 69
Usando o Plano 110, a pessoa pagará os 80 reais da franquia (não há minutos excedente, pois o
consumo foi menor que a franquia).
b) Pelo Plano 60, a pessoa que fala 100 minutos paga f(100) = 60+0, 9(100−60) = 60+0, 9×40 =
96 reais.
Usando o Plano 110, ela pagará apenas os 80 reais da franquia.
c) No gráfico apresentado na questão está marcado um ponto B. À esquerda do ponto B, vemos
que o Plano 60 sai mais barato, à direita do ponto B, vemos que o custo do Plano 60 ultrapassa o
do Plano 110 e este último fica mais em conta. Temos então que descobrir a que tempo corresponde
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Métodos Determinísticos I EP12 15
o ponto B. Pelo gráfico, vemos que este ponto encontra-se entre as retas t = 60 e t = 110. Logo,
a abcissa, t, do ponto B é o valor para o qual f(t) = 60 + 0, 9(t− 60) se iguala com g(t) = 80:
60 + 0, 9(t− 60) = 80⇔ 0, 9t− 54 = 20⇔ 0, 9t = 74⇔ t = 74/0, 9 ≈ 82, 22
Desta forma, o Plano 60 é mais vantajoso se a pessoa falar até 82 minutos. A partir daí se torna
mais interessante o Plano 110.
d) A função h que corresponde ao Plano 170 é:
h(t) =
{
100 , se t ≤ 170
100 + 0.5(t− 170) , se t > 170.
O gráfico é:
Vemos que o Plano 170 se torna mais vantajoso à direita do ponto P. Vamos achar o tempo corres-
pondente a este ponto igualando h(t) = 100 a g(t) = 80 + 0, 6(t− 110):
80 + 0, 6(t− 110) = 100⇔ 0, 6t− 66 = 20⇔ 0, 6t = 86⇔ t ≈ 143, 33
Logo, a partir de 143 minutos, o Plano 170 é o melhor dos três.
Exercício 11 Acesse na internet a página
http://www.uff.br/cdme/c1d/c1d-html/c1d-br.html
e tente resolver os 6 primeiros desafios.
Exercício 12 Considere as funções f(x) = 7− 4x e g(x) = 6x2 + 5x− 6. A função F é definida
como
F (x) =
√
g(x)√
f(x)
.
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Métodos Determinísticos I EP12 16
a) Esboçe o gráfico da função f
b) Esboçe o gráfico da função g
c) Determine o ponto em que a função g atinge seu mínimo. Qual é este valor mínimo?
d) Determine, na forma de intervalo ou de uma união finita de intervalos, o domínio da função F
Solução:
a) Observe que a função f é uma função afim, de modo que seu gráfico é uma reta. Mais especi-
ficamente, o gráfico da função f é a reta y = 7 − 4x. Desta forma, para determinar o gráfico da
função f , basta determinarmos dois pontos da reta. Vamos determinar as interseções da reta como
os eixos y e x. Neste caso, temos que
• x = 0⇐⇒ y = 7. Ou seja, (0, 7) é um ponto da reta.
• y = 0⇐⇒ 7− 4x = 0⇐⇒ −4x = −7⇐⇒ x = 7
4
. Ou seja,
(
7
4
, 0
)
é um ponto da reta.
Na Figura 1 plotamos o gráfico da função f .
7
4
x
7
y
Figura 1: Questão 12
b) Observe que a função g é uma função quadrática, de modo que seu gráfico é uma parábola. Mais
especificamente, o gráfico da função g é a parábola y = 6x2 + 5x − 6. Note que esta parábola
possui concavidade voltada para cima, pois o coeficiente de x2 é positivo. Lembre-se ainda, que para
determinar a parábola y = 6x2 + 5x− 6 (gráfico da função g), é necessário, no mínimo, três pontos.
Neste caso, vamos encontrar os pontos de interseções da parábola como os eixos coordenados e seu
vértice. Temos assim, que
• x = 0⇐⇒ y = 6(0)2 + 5(0)− 6 = −6.
Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0,−6).
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•
6x2 + 5x− 6 = 0 ⇐⇒ x = −5±
√
52 − 4(6)(−6)
2 · 6
⇐⇒ x = −5±
√
25 + 144
12
⇐⇒ x = −5±
√
169
12
⇐⇒ x = −5± 13
12
⇐⇒ x = −5− 13
12
ou x =
−5 + 13
12
⇐⇒ x = −18
12
ou x =
8
12
⇐⇒ x = −3
2
ou x =
2
3
.
Portanto, a parábola intercepta o eixo x nos pontos
(
−3
2
, 0
)
e
(
2
3
, 0
)
.
• O vértice (xv, yv) da parábola tem coordenadas
(xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 5
2(6)
,−(169)
4(6)
)
=
(
− 5
12
,−169
24
)
.
Na Figura 2 plotamos o gráfico da função f .
-
3
2
-
5
12
2
3
x
-
169
24
-6
y
Figura 2: Questão 12
c) O ponto em que a função g atinge seu mínimo é dado pelo x do vértice da parábola, calculado
acima em xv = − 5
12
e o valor do mínimo é dado pelo y do vértice da parábola, calculado acima em
yv = −169
24
.
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Métodos Determinísticos I EP12 18
d) Observe que na definição da função F , tomamos a raiz quadrada da função f , da função g e ainda
realizamos o quociente entre as duas raizes. Portanto, para que a função F esteja bem definida,
precisamos que todas estas operações sejam válidas. Isto significa que, o que for radicando, ou seja,
o que estiver dentro do símbolo de raiz quadrada, precisará ser maior ou igual a zero e, o que for
denominador, precisará ser diferente de zero. Desta forma, o domínio de F é formado pelos valores
de x ∈ R, tais que f(x) > 0 e g(x) ≥ 0. Desta forma, temos que
f(x) > 0 ⇔ 7− 4x > 0
⇔ −4x > −7
⇔ x < 7
4
⇔ x ∈
(
−∞, 7
4
)
e
g(x) ≥ 0 ⇔ 6x2 + 5x− 6 ≥ 0
⇔ x ≤ −3
2
ou x ≥ 2
3
,
⇔ x ∈
(
−∞,−3
2
]
∪
[
2
3
,∞
)
Portanto, o domínio de F é dado por
x ∈
((
−∞,−3
2
]
∪
[
2
3
,∞
))
∩
(
−∞, 7
4
)
x ∈
(
−∞,−3
2
]
∪
[
2
3
,
7
4
)
Explicamos a seguir como resolver a inequação 6x2 + 5x− 6 ≥ 0.
Podemos resolver a inequação utilizando nossos conhecimentos de parábola. Desta forma, chamando
y de 6x2 + 5x− 6, isto é y = 6x2 + 5x− 6, podemos estudar o sinal da inequação 6x2 + 5x− 6 ≥ 0
estudando o sinal do y da parábola. Conforme calculado na Questão 13, as raízes da equação
6x2 +5x−6 = 0, são x = 2
3
e x = −3
2
. Como a = 6 > 0, temos que a parábola possui concavidade
para cima, cortando o eixo x em x =
2
3
e x = −3
2
. Desta forma, y será positivo para valores de x,
tais que, x ≤ −3
2
ou x ≥ 2
3
.
Uma forma alternativa de fazer a análise de sinal para a inequação
6x2 + 5x− 6 = 6
(
x +
3
2
)(
x− 2
3
)
≥ 0
é utilizar a tabela abaixo.
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Métodos Determinísticos I EP12 19
(−∞,−3/2) (−3/2, 2/3) (2/3,∞)
sinal de 6 + + +
sinal de
(
x +
3
2
)
− + +
sinal de
(
x− 2
3
)
− − +
sinal de 6
(
x +
3
2
)(
x− 2
3
)
+ − +
Como vemos na tabela acima,
6x2 + 5x− 6 = 6
(
x +
3
2
)(
x− 2
3
)
≥ 0 ⇐⇒ x ≤ −3
2
ou x ≥ 2
3
.
Exercício 13 O salário de um vendedor é formado de uma parte fixa igual a R$ 1.050,00, mais
2, 5% do valor das vendas efetivadas no mês.
a) Considere que a variável x representa o valor das vendas efetivadas. Determine uma expressão
que relacione o salário em função de x.
b) Em um mês que o salário foi de R$ 1.730,00, qual foi o valor das vendas?
c) Seu empregador lhe fez uma proposta de diminuir a parte fixa em 15% e aumentar a porcentagem
sobre o valor das vendas realizadas para 3%. Determine a função salário que representa a proposta
feita pelo empregador.
d) Esboce o gráfico da função salário da Questão 8 e o da função salário proposto na Questão 10
em um mesmo sistema de eixos.
e) O funcionário possui uma média de vendas em torno de R$ 28.000,00. Ele deve aceitar a proposta
do empregador, pois será mais vantajosa para ele, ou deve recusar, pois lhe será prejudicial?
Solução:
a) Chamando de S a função que define o salário do vendedor, temos que
S(x) = 1.050 +
2, 5
100
· x, x ≥ 0.
b) Para descobrir o valor das vendas quando o salário foi de R$ 1.730,00, precisamos resolver a
equação
1.730 = 1.050 +
2, 5
100
· x.
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Métodos Determinísticos I EP12 20
Desta forma, segue que
1.730 = 1.050 +
2, 5
100
· x ⇔ 2, 5
100
· x = 1.730− 1.050
⇔ 2, 5
100
· x = 680
⇔ x = 680 · 100
2, 5
⇔ x = 68.000
2, 5
⇔ x = 68.0000
25
⇔ x = 27.200.
Portanto, quando o salário foi de R$ 1.730,00, o valor das vendas foi de R$ 27.200,00.
c) Vamos chamar de PF a parte fixa da proposta feita pelo empregador. Desta forma, como ele
propõe uma diminuição de 15%, temos que
PF = 1.050− 15% · 1.050
= 1.050− 15
100
· 1.050
= 1.050− 15 · 1.050
100
= 1.050− 15.750
100
= 1.050− 157, 50
= 892, 50.
Chamando de Sp a função que define a proposta de salário feita pelo empregador, temos que
Sp(x) = 892, 50 +
3
100
· x, x ≥ 0.
d) Observe que as funções S e Sp são funções afins, de modo que seus gráficos são retas. Mais
especificamente, o gráfico da função S é a reta y = 1.050 +
2, 5
100
· x, x ≥ 0, e o gráfico da função
Sp é a reta y = 892, 50 +
3
100
· x, x ≥ 0 . Desta forma, para determinar o gráfico da funções S e
Sp, basta determinarmos dois pontos de cada reta.
Gráfico de S:
Vamos determinar as interseções da reta com os eixos y e x. Neste caso, temos que
• x = 0⇐⇒ y = 1.050. Ou seja, (0, 1.050) é um ponto da reta.
• y = 0⇐⇒ 1.050 + 2, 5
100
·x = 0⇐⇒ 2, 5
100
·x = −1.050⇐⇒ x = −1.050 · 100
2, 5
= −105.000
2, 5
=
−42.000. Ou seja, (−42.000 , 0) é um ponto da reta.
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Métodos Determinísticos I EP12 21
Gráfico de Sp:
Vamos determinar as interseções da reta com os eixos y e x. Neste caso, temos que
• x = 0⇐⇒ y = 892, 50. Ou seja, (0 ; 892, 50) é um ponto da reta.
• y = 0 ⇐⇒ 892, 50 + 3
100
· x = 0 ⇐⇒ 3
100
· x = −892, 50 ⇐⇒ x = −892, 50 · 100
3
=
−892.500
3
= −29.750. Ou seja, (−29.750 , 0) é um ponto da reta.
Para o esboço ficar mais preciso, vamos identificar a abscissa do ponto de interseção das duas retas.
1.050 +
2, 5
100
· x = 892, 50 + 3
100
· x ⇔ 3
100
· x− 2, 5
100
· x = 1.050− 892, 50
⇔ 0, 5
100
· x = 157, 50
⇔ x = 157, 50 · 100
0, 5
⇔ x = 31.500
Na Figura 3 plotamos o gráfico das funções S e Sp.
S
Sp
-42 000 -29 750 31 500
x
892.5
1050
1837.5
y
Figura 3: Questão 13
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Métodos Determinísticos I EP12 22
e) Graficamente, podemos observar que quando x > 31.500, a reta y = 892, 50 +
3
100
· x, gráfico
da função Sp, está acima da reta y = 1.050 +
2, 5
100
· x, gráfico da função S. Isto significa que
para x > 31.500, Sp(x) > S(x). Já para 0 ≤ x < 31.500, a reta y = 1.050 + 2, 5
100
· x, grá-
fico da função S, está acima da reta y = 892, 50 +
3
100
· x, gráfico da função Sp. Isto significa
que para 0 ≤ x < 31.500, S(x) > Sp(x). Como a média de vendas do vendedor é em torno de
R$ 28.000,00, que é um valor entre 0 e 31.500, a proposta do empregador é prejudicial, pois, ele
ganharia menos com o salário calculado pela função Sp do que com o salário calculado pela função S.
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GABARITO dos Exercícios Programados/EP13-2018-1-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP13 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 16 do Caderno Dida´tico.
Exerc´ıcio 1 Trace os gra´ficos das curvas de demandas descritas pelas func¸o˜es apresentadas abaixo.
a) D = −P 2 + 9 b) D = −P/2 + 3
Soluc¸a˜o:
Observe que por se tratar de uma aplicac¸a˜o pra´tica, onde a varia´vel P representa prec¸o e a varia´vel
D representa quantidade, devemos ter que
P ≥ 0 e D ≥ 0.
Sendo assim, na para´bola que representa o gra´fico da curva demanda no item (a) e na reta
que
representa o gra´fico da curva demanda no item (b), devemos retirar as partes com P e D negativos.
a)
b)
Me´todos Determin´ısticos I EP13 2
Exerc´ıcio 2 Trace os gra´ficos das curvas de ofertas descritas pelas func¸o˜es apresentadas abaixo.
a) Q = (P 2 − 5P + 4)/6, sendo 10 o prec¸o ma´ximo;
b) Q = P/3− 1, sendo 12 o prec¸o ma´ximo.
Soluc¸a˜o:
Mais uma vez, por se tratar de uma aplicac¸a˜o pra´tica, onde a varia´vel P representa prec¸o e a varia´vel
Q representa quantidade, devemos ter que
P ≥ 0 e Q ≥ 0.
Sendo assim, na para´bola que representa o gra´fico da curva oferta no item (a) e na reta que repre-
senta o gra´fico da curva oferta no item (b), devemos retirar as partes com P e Q negativos. Ale´m
disso, devemos obedecer aos prec¸os ma´ximos estipulados.
a)
b)
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Me´todos Determin´ısticos I EP13 3
Exerc´ıcio 3 Considerando as func¸o˜es de oferta e de demanda em cada item, encontre o prec¸o de
equil´ıbrio e a quantidade de equil´ıbrio.
a) Q = (P 2 − P )/2, com prec¸o ma´ximo sendo 5, e D = −P 2/8 + 8
b) Q = (P 2 − 5P + 4)/5, com prec¸o ma´ximo sendo 10, e D = −P/3 + 4
Soluc¸a˜o:
a) Para encontrar o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio temos que descobrir para qual valor de P
obtemos D = Q:
D = Q ⇔ P
2 − P
2
=
−P 2
8
+ 8
⇔ 4P 2 − 4P = −P 2 + 64
⇔ 5P 2 − 4P − 64 = 0.
Vamos resolver esta u´ltima equac¸a˜o por Bhaskara:
∆ = 16− 4 · 5 · (−64) = 16 + 1280 = 1296
⇔ P = 4±
√
1296
10
=
4± 36
10
⇔ P = 4 + 36
10
= 4 ou
4− 36
10
= −16
5
.
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 4.
Resulta enta˜o, que D = Q quando
P =
4 + 36
10
= 4.
Para esse valor de P , temos que
Q = (42 − 4)/2 = −42 + 64 = 6 = −4
2
8
+ 8 = D.
Portanto, o prec¸o de equil´ıbrio e´ 4 e a quantidade de equil´ıbrio e´ 6.
O gra´fico a seguir ilustra as curvas de oferta e demanda e o ponto de intersec¸a˜o que corresponde
aos valores de equil´ıbrio de prec¸o e quantidade.
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Me´todos Determin´ısticos I EP13 4
b) Para encontrar o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio temos que descobrir para qual valor de P
obtemos D = Q:
D = Q ⇔ −P/3 + 4 = (P 2 − 5P + 4)/5
⇔ 4P 2 − 4P = −P 2 + 64
⇔ 5P 2 − 4P − 64 = 0.
Vamos resolver esta u´ltima equac¸a˜o por Bhaskara:
∆ = 100− 4 · 3 · (−48) = 100 + 576 = 676
⇔ P = 10±
√
676
6
=
10± 26
6
⇔ P = 10 + 26
6
= 6 ou
10− 26
6
= −8
3
.
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 6
Resulta enta˜o, que D = Q quando
P =
10 + 26
6
= 6.
Para esse valor de P , temos que
Q = (62 − 5 · 6 + 4)/5 = 10/5 = 2 = −4
2
8
+ 8 = D.
Portanto, o prec¸o de equil´ıbrio e´ 6 e a quantidade de equil´ıbrio e´ 2.
O gra´fico a seguir ilustra as curvas de oferta e demanda e o ponto de intersec¸a˜o que corresponde
aos valores de equil´ıbrio de prec¸o e quantidade.
Exerc´ıcio 4 Encontre o prec¸o de equil´ıbrio e a quantidade de equil´ıbrio considerando a func¸a˜o de
demanda D = −P
2
10
+3 e a func¸a˜o de oferta Q = 1, 5P −2, tendo 5 como prec¸o ma´ximo. Justifique
sua resposta.
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Me´todos Determin´ısticos I EP13 5
Soluc¸a˜o:
Para encontrar o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio temos que descobrir para qual valor de P obtemos
D = Q:
D = Q ⇔ −P
2
10
+ 3 = 1, 5P − 2
⇔ −P
2
10
+ 3− 1, 5P + 2 = 0
⇔ −P
2
10
− 1, 5P + 5 = 0
⇔ −P 2 − 15P + 50 = 0.
Vamos resolver esta u´ltima equac¸a˜o por Bhaskara:
∆ = (−15)2 − 4 · (−1) · (50) = 225 + 200 = 425
⇔ P = −(−15)±
√
425
(−2) =
15± 5√17
(−2)
⇔ P = 15 + 5
√
17
(−2) ≈ −17, 81 ou
15− 5√17
(−2) ≈ 2, 81.
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´
15− 5√17
(−2) ≈ 2, 81.
Resulta enta˜o, que D = Q quando
P =
15− 5√17
(−2) ≈ 2, 81.
Para esse valor de P , temos que
Q = 1, 5× 2, 81− 2 = 2, 215 = −(2, 81)
2
10
+ 3 = D.
Portanto, o prec¸o de equil´ıbrio e´ 2,81 e a quantidade de equil´ıbrio e´ 2,215.
Exerc´ıcio 5 Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o
dadas, respectivamente, por
D(P ) = −2P 2 + 7P + 9 e Q(P ) = 8P − 6,
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
a) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for R$1,20?
b) Qual o prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 5 milho˜es de unidades?
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Me´todos Determin´ısticos I EP13 6
c) Qual e´ o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo?
d) Qual o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta para ele?
e) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Quais sa˜o os valores da demanda e da oferta
referentes a este prec¸o?
f) Determine o prec¸o do produto para o qual a demanda e´ ma´xima? Qual e´ este valor ma´ximo
da demanda?
g) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e de oferta deste produto.
Soluc¸a˜o:
a) Vamos substituir P = 1, 2 na func¸a˜o demanda D. Neste caso, temos que
D(1, 2) = −2(1, 2)2 + 7.(1, 2) + 9 = 14, 52.
Resposta: 14,52 milho˜es de unidades.
b) Vamos igualar a func¸a˜o demanda D a 5 e encontrar os valores de P correspondentes.
−2P 2 + 7P + 9 = 5 ⇔ 2P 2 − 7P − 4 = 0⇔ P = 7±
√
49 + 32
4
⇔ P = 4 ou P = −1/2.
Como trata-se de um problema de aplicac¸a˜o pra´tica e P e´ a varia´vel que representa prec¸o, e prec¸o e´
um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, devemos desprezar o valor negativo e ficar apenas com
o valor positivo de P , que e´ P = 4.
Resposta: O prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 5 milho˜es de unidades e´ R$4,00.
c) Encontramos o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo,
verificando quando temos a demanda igual a zero. Neste caso, temos que
D = 0 ⇔ −2P 2 + 7P + 9 = 0
⇔ 2P 2 − 7P − 9 = 0
⇔ P = 9/2 ou P = −1.
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 9/2 = 4, 5.
Resposta: O prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo, e´ R$4,50.
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Me´todos Determin´ısticos I EP13 7
d) Encontramos o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do mesmo, verificando
quando temos a oferta igual a zero. Neste caso, temos que
Q = 0 ⇔ 8P − 6 = 0
⇔ P = 6/8 = 3/4 = 0.75.
Resposta: O prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta para ele, e´ R$0,75.
e) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, vamos igualar as func¸o˜es demanda, D, e oferta, Q.
D = Q ⇔ −2P 2 + 7P + 9 = 8P − 6
⇔ −2P 2 + 7P + 9− 8P + 6 = 0⇔ −2P 2 − P + 15 = 0
⇔ 2P 2 + P − 15 = 0⇔ P = −1±
√
1 + 120
4
⇔ P = −1± 11
4
⇔ P = 5/2 ou P = −3.
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 5/2 = 2.5.
Resposta: O prec¸o de equil´ıbrio para este produto e´ R$2,50.
f) O gra´fico da func¸a˜o demanda, D, e´ a para´bola y = −2P 2 + 7P + 9. Observe que esta para´bola
possui concavidade voltada para baixo, pois a = −2 < 0. Desta forma, a demanda e´ ma´xima no
ve´rtice da para´bola.
O prec¸o pedido e´ portanto o P do ve´rtice, que chamaremos de Pv. Temos assim
que
Pv = − b
2a
= − 7
(−2) · 2 =
7
4
= 1, 75.
Por outro lado, o valor ma´ximo da demanda, D, e´ o y do ve´rtice, que chamaremos de yv. Temos
assim que
yv = −∆
4a
= −(7)
2 − 4 · (−2) · 9
4 · (−2) =
19 + 72
8
=
121
8
= 15, 125.
Desta forma, temos que a demanda ma´xima e´ de 15,125 milho˜es de unidades e ela ocorre quando o
prec¸o do produto e´ de R$1,75.
g) Observe que pelos itens (c) e (d), temos que a variac¸a˜o de P e´: 0, 75 ≤ P ≤ 4, 5, pois o prec¸o
ma´ximo do produto e´ de R$4,50, uma vez que acima deste valor na˜o ha´ demanda pelo produto, e
prec¸o m´ınimo do produto e´ de R$0,75, uma vez que abaixo deste valor na˜o ha´ oferta do produto.
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Me´todos Determin´ısticos I EP13 8
Exerc´ıcio 6 Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o
dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 4P + 5 e Q(P ) = 5P
2
− 5,
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
a) Quais sa˜o os prec¸os ma´ximo do produto (valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo)? E
qual e´ o prec¸o m´ınimo (valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta)?
b) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Quais sa˜o os valores da demanda e da oferta
referentes a este prec¸o?
c) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e de oferta deste produto, destacando os
pontos onde a oferta ou a demanda sa˜o iguais a zero, os pontos de equil´ıbrio e o ponto de
demanda ma´xima.
Soluc¸a˜o:
a) Encontramos o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo,
verificando quando temos a demanda igual a zero. Neste caso, temos que
D(P ) = 0 ⇔ −P 2 + 4P + 5 = 0
⇔ P 2 − 4P − 5 = 0
⇔ P = −1 ou P = 5.
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Me´todos Determin´ısticos I EP13 9
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e fica-
mos apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 5. Assim, o prec¸o ma´ximo do produto e´ R$5,00.
Encontramos o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do mesmo, verificando
quando temos a oferta igual a zero. Neste caso, temos que
Q(P ) = 0 ⇔ 5P
2
− 5 = 0
⇔ 5P
2
= 5
⇔ P = 5 · 2
5
= 2.
Assim, o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta para ele, e´ R$2,00.
b) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, vamos igualar as func¸o˜es demanda, D, e oferta, Q.
D(x) = Q(x) ⇔ −P 2 + 4P + 5 = 5P
2
− 5
⇔ −2P 2 + 8P + 10 = 5P − 10
⇔ −2P 2 + 3P + 20 = 0
⇔ 2P 2 − 3P − 20 = 0
⇔ P = −(−3)±
√
(−3)2 − 4 · 2 · (−20)
2 · 2
⇔ P = 3±
√
169
4
=
3± 13
4
⇔ P = 4 ou P = −10
4
.
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 4. Assim, o prec¸o de equil´ıbrio e´ de R$ 4,00.
A demanda e a oferta correspondentes a este prec¸o e´ de D(P ) = Q(P ) = 5·4
2
− 5 = 5, isto e´, 5
milho˜es de unidades.
c) Ja´ vimos, na questa˜o anterior, que D(5) = 0, Q(2) = 0 e D(4) = Q(4) = 5. Repare que o ponto
de equil´ıbrio sera´ enta˜o (4, 5).
O gra´fico da func¸a˜o oferta Q e´ uma reta, pois ela e´ uma func¸a˜o de polinomial 1o grau. E, como
ja´ conhecemos dois de seus pontos (2, 0) e (4, 5), podemos esboc¸ar a reta.
O gra´fico da func¸a˜o demanda D e´ uma para´bola. Ja´ conhecemos as duas ra´ızes −1 e 5. O ve´rtice
(xv, yv) desta para´bola representa o ponto de demanda ma´xima, e suas coordenadas sa˜o dadas
por
xv = − b
2a
= − 4
2 · (−1) = 2
yv = −∆
4a
= −4
2 − 4 · (−1) · 5
4 · (−1) = −
36
−4 = 9.
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Me´todos Determin´ısticos I EP13 10
Assim, o ve´rtice e´ o ponto (2, 9).
Esboc¸ando as func¸o˜es, temos
Mas ja´ vimos que os prec¸os para os quais ha´ demanda e oferta satisfazem 2 6 P 6 5, assim,
podemos esboc¸ar o gra´fico das func¸o˜es apenas para estes valores de P , como abaixo:
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GABARITO dos Exercícios Programados/EP14-2018-1-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP14 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 15 do Caderno Dida´tico.
Exerc´ıcio 1 Fatore as expresso˜es que definem as func¸o˜es e determine onde o gra´fico de f intercepta
o eixo das abscissas (eixo x).
a) f(x) = 3x− x2 b) f(x) = 2x− x3 c) f(x) = x4 − 9
Soluc¸a˜o:
a) Chamando y = f(x), temos que y = 3x− x2 ⇐⇒ y = x(3− x) .
Lembrando que o gra´fico de f intercepta o eixo das abscissas, isto e´, o eixo x, quando y = 0,
segue que
y = 0⇐⇒ 3x− x2 = 0⇐⇒ x(3− x) = 0⇐⇒ x = 0 ou 3− x = 0⇐⇒ x = 0 ou x = 3.
Portanto, o gra´fico de f intercepta o eixo x nos pontos (0, 0) e (3, 0).
b) Chamando y = f(x), temos que y = 2x− x3 ⇐⇒ y = x(2− x2) .
Logo:
y = 0⇐⇒ 2x− x3 = 0 ⇐⇒ x(2− x2) = 0⇐⇒ x = 0 ou 2− x2 = 0⇐⇒ x = 0 ou x2 = 2
⇐⇒ x = 0 ou x = ±
√
2.
Portanto, o gra´fico de f intercepta o eixo x nos pontos (0, 0), (
√
2, 0) e (−√2, 0).
c) Chamando y = f(x), temos que y = x4 − 9⇐⇒ y = (x2 − 3)(x2 + 3)
⇐⇒ y = (x−√3)(x +√3)(x2 + 3).
Logo:
y = 0⇐⇒ x4 − 9 = 0 ⇐⇒ (x−
√
3)(x +
√
3)(x2 + 3) = 0⇐⇒ x−
√
3 = 0 ou x +
√
3 = 0
⇐⇒ x =
√
3 ou x = −
√
3,
ja´ que x2 + 3 nunca se anula, pois e´ a soma e´ positiva.
Portanto, o gra´fico de f intercepta o eixo x nos pontos (
√
3, 0) e (−√3, 0).
Exerc´ıcio 2 Encontre, pelo me´todo dos m´ınimos quadrados, uma aproximac¸a˜o linear (diz-se tambe´m,
uma aproximac¸a˜o por uma func¸a˜o linear afim) para a relac¸a˜o de pontos dada pela Tabela 1. Siga
os procedimentos do Exemplo C, mas antes, fac¸a os itens 1 e 2 da Atividade Eletroˆnica M´ınimos
Quadrados na Plataforma. Depois de ter determinado a aproximac¸a˜o, fac¸a o item 3 da Atividade
Eletroˆnica M´ınimos Quadrados na Plataforma.
Me´todos Determin´ısticos I EP14 2
Ponto x y
A 2 2
B 7 4
C 4 2
D 5 4
Tabela 1: Exerc´ıcio 2
Soluc¸a˜o: Seguindo os passos do Exemplo C, temos que:
a) Acrescentando na Tabela 1 mais duas colunas, uma para o produto xy e outra para x2 e, em
seguida, calculando para cada ponto estes valores, a Tabela 1 aumentada fica
ponto x y xy x2
A 2 2 4 4
B 7 4 28 49
C 4 2 8 16
D 5 4 20 25
b) Colocando mais uma linha no fim da tabela obtida no item a) e preenchendo os dois u´ltimos
campos desta linha com
∑
xy e
∑
x2, obtemos a tabela
ponto x y xy x2
A 2 2 4 4
B 7 4 28 49
C 4 2 8 16
D 5 4 20 25
Soma: 60 94
c) Preenchemos os dois elementos que faltavam na tabela do item b) correspondentes a soma e
acrescentamos uma nova linha no fim desta tabela. Em seguida, preenchemos os dois primeiros
campos da linha acrescentada com as me´dias x¯ e y¯, obtendo a tabela
ponto x y xy x2
A 2 2 4 4
B 7 4 28 49
C 4 2 8 16
D 5 4 20 25
Soma: 18 12 60 94
Me´dia: 4,5 3
d) Calculamos o coeficiente a, obtendo que
a =
∑
xy − n · x¯ · y¯∑
x2 − n · x¯2 =
60− 4 · 4, 5 · 3
94− 4 · 4, 52 =
60− 54
94− 81 =
6
13
e) Calculamos o coeficiente b, obtendo que
b = y¯ − ax¯ = 3− 6
13
· 4, 5 = 39− 27
13
=
12
13
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Me´todos Determin´ısticos I EP14 3
f) Portanto, a aproximac¸a˜o linear obtida pelo me´todo dos m´ınimos quadrados a partir da Tabela 1
e´ dada por
y =
6
13
x +
12
13
A seguir encontram-se
o gra´fico da reta encontrada e os pontos A, B, C e D no plano cartesiano.
A
B
C
D
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
x
-2
-1
1
2
3
4
5
6
y
Exerc´ıcio 3 (Exerc´ıcio envolvendo a equac¸a˜o da reta que conte´m dois pontos) Determine uma func¸a˜o linear
afim cujo gra´fico conte´m os pontos P1 = (2, 5 ; 4) e P2 = (2; 6).
Soluc¸a˜o: Uma func¸a˜o linear afim se expressa como y = ax+ b. O gra´fico desta func¸a˜o e´ uma reta.
Para determina´-la, devemos encontrar os valores de a e b.
Como a reta conte´m os pontos P1 e P2, as coordenadas destes pontos devem satisfazer a equac¸a˜o
y = ax + b. Ou seja,
• para P1(2, 5 ; 4), temos que x1 = 2, 5 = 25
10
=
5
2
e y1 = 4. Logo, obtemos a equac¸a˜o
4 =
5
2
a + b.
• para P2(2, 6), temos que x1 = 2 e y1 = 6. Logo, obtemos a equac¸a˜o
6 = 2a + b.
Assim, a e b devem satisfazer as duas equac¸o˜es acima. Ou seja,a e b devem satisfazer o sistema de
duas equac¸o˜es: 
5a
2
+ b = 4
2a + b = 6.
Vamos resolver este sistema pelo me´todo da adic¸a˜o. Para isso multiplicamos a primeira equac¸a˜o por
−4
5
, ou seja,
5a
2
+ b = 4 Multiplicamos esta equac¸a˜o por
(
−4
5
)
2a + b = 6
⇐⇒

−2a− 4b
5
= −16
5
2a + b = 6
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Me´todos Determin´ısticos I EP14 4
Em seguida, somamos as duas equac¸o˜es do sistema resultante (cancelando os termos que dependem
de a):
−2a− 4b
5
= −16
5
2a + b = 6
0 · a +
(
−4
5
+ 1
)
b = −16
5
+ 6
Da´ı, (−4 + 5
5
)
b =
−16 + 30
5
⇐⇒ 1
5
b =
14
5
⇐⇒ b = 14.
Em seguida, substituimos a = 14 na segunda equac¸a˜o, 2a + b = 6, para determinar a. Isto e´,
2a + b = 6 ⇐⇒ 2a + 14 = 6 ⇐⇒ 2a = 6− 14 ⇐⇒ 2a = −8 ⇐⇒ a = −4.
Portanto, a = −4 e b = 14.
Ou seja, a func¸a˜o linear afim cujo gra´fico conte´m os pontos P1 e P2 tem equac¸a˜o y = −4x + 14.
Exerc´ıcio 4 (Exerc´ıcio envolvendo a equac¸a˜o da reta que conte´m um ponto, com coeficiente angular conhecido)
Determine uma func¸a˜o linear afim cujo gra´fico conte´m o ponto P (−2, 1) e tem inclinac¸a˜o a = 5.
Soluc¸a˜o: Seja y = ax+ b a func¸a˜o linear afim procurada. O gra´fico desta func¸a˜o e´ uma reta. Para
determina´-la, devemos encontrar os valores de a e b.
O coeficiente a de x e´ o coeficiente angular da reta ou, como tambe´m e´ chamado, a inclinac¸a˜o da
reta. Neste exerc´ıcio a e´ dado. Logo, temos que a expressa˜o da func¸a˜o e´ y = 5x + b.
Uma outra informac¸a˜o conhecida e´ que o gra´fico da func¸a˜o conte´m o ponto P (−2, 1). Isto e´, as
coordenadas x = −2 e y = 1 de P satisfazem a expressa˜o y = 5x + b. Ou seja,
1 = 5(−2) + b⇐⇒ 1 = −10 + b⇐⇒ b = 11.
Portanto, a func¸a˜o linear afim procurada tem a forma y = 5x + 11.
Exerc´ıcio 5 Represente geometricamente os conjuntos abaixo:
a) C1 = {(x, y) ∈ R2 : x = y e |y| ≤ 2}
b) C2 = {(x, y) ∈ R2 : |x| > 1 e |y| ≤ 3}
c) C3 = {(x, y) ∈ R2 : |2x− y| < 2}
d) C4 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 4}
Soluc¸a˜o:
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Me´todos Determin´ısticos I EP14 5
Figura 1: C1 = {(x, y) ∈ R2 : x = y e |y| ≤ 2}
a) As coordenadas do par ordenado (x, y) que esta´ no conjunto C1 devem satifazer a equac¸a˜o x = y
e a desigualdade |y| ≤ 2. Logo, (x, y) e´ um ponto que pertence a reta x = y. Mas notemos
que (x, y) na˜o e´ qualquer ponto desta reta, ja´ que (x, y) tambe´m deve satisfazer a desigualdade
|y| ≤ 2. Ou seja, y deve pertencer ao intervalo [−2, 2]. Portanto, (x, y) e´ um ponto da reta
y = x, onde y ∈ [−2, 2]. Veja a representac¸a˜o geome´trica na Figura 1.
b) As coordenadas do par ordenado (x, y) que esta´ no conjunto C2 devem satifazer as desigualdades
|x| > 1 e |y| ≤ 3. Ou seja, (x, y) e´ um ponto em que suas coordenadas devem satisfazer(
x > 1 ou x < −1) e −3 ≤ y ≤ 3. Isto e´, (x, y) esta´ sobre ou entre as retas y = −3 e y = 3,
podendo estar a` direita da reta x = 1 ou a` esquerda da reta x = −1. Veja a representac¸a˜o
geome´trica na Figura 2.
c) As coordenadas do par ordenado (x, y) que esta´ no conjunto C3 devem satifazer a desigualdade
modular |2x− y| < 2. Ou seja, devem satisfazer
−2 < 2x−y < 2⇐⇒ −2−2x < −y < 2−2x⇐⇒ 2+2x > y > −2+2x⇐⇒ −2+2x < y < 2+2x.
Logo, o par (x, y) deve ser tal que y < 2 + 2x e y > −2 + 2x.
Vamos determinar o conjunto S1 em que y > −2 + 2x, o conjunto S2 em que y < 2 + 2x e,
finalmente, o conjunto C3 = S1 ∩ S2, representando-o geometricamente em R2.
S1 : Sabemos que os pares ordenados que satisfazem y = −2 + 2x esta˜o sobre a reta que passa
pelos pontos (0,−2), (1, 0).
Sabendo disso, observe que a soluc¸a˜o geome´trica para y > −2 + 2x e´ dada pelo conjunto
de pontos do plano cujas ordenadas sa˜o maiores do que −2 + 2x para uma mesma abscissa
x. Ou seja, todos os pontos situados acima da reta na Figura 3-i). Compare a ordenada do
ponto P sobre a reta com a ordenada do ponto Q situado acima da reta.
O mesmo racioc´ınio pode ser aplicado para deteminar a soluc¸a˜o geome´trica de y < −2+2x.
Dessa forma, o plano, a partir da reta y = −2 + 2x, e´ dividido em duas regio˜es conforme
Figura 3-ii).
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Me´todos Determin´ısticos I EP14 6
Figura 2: C2 = {(x, y) ∈ R2 : |x| > 1 e |y| ≤ 3}
S2 : Sabemos que os pares ordenados que satisfazem y = 2 + 2x esta˜o sobre a reta que passa
pelos pontos (0, 2), (−1, 0). Utilizando o mesmo racioc´ınio usado para S1 conclu´ımos que
o plano, a partir da reta y = 2 + 2x, e´ dividido em duas regio˜es conforme Figura 4.
Assim, fazendo a intersec¸a˜o de S1 e S2, obtemos a representac¸a˜o geome´trica de C3 na Figura 5.
d) As coordenadas do par ordenado (x, y) que esta´ no conjunto C4 devem satisfazer a desigualdade
x2 + y2 > 4.
Para obter a representac¸a˜o geome´trica de C4, notemos que os pontos em R2 que satisfazem
a igualdade x2 + y2 = 4 esta˜o sobre a circunfereˆncia de centro C(0, 0) e raio r = 2. Essa
circunfereˆncia divide o plano cartesiano em duas regio˜es, uma no interior da circunfereˆncia e
outra no exterior.
Considerando um ponto P (X, Y ) no exterior da circunfereˆncia, tracemos a reta que passa por C
e P . Observando a Figura 6 - i), notamos que a distaˆncia de C a P e´ maior que r = 2 e que
P satisfaz a equac¸a˜o x2 + y2 > 4. Ou seja, os pontos no exterior da circunfereˆncia satisfazem
x2 + y2 > 4. Usando racioc´ınio ana´logo tomando um ponto no interior da circunfereˆncia pode-se
concluir que os pontos no interior dela satisfazem x2 + y2 < 4. Veja a Figura 6 - ii).
Na Figura 7 plotamos a regia˜o C4.
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Figura 3: Exerc´ıcio 5 - Item c), referente a S1
Figura 4: Exerc´ıcio 5 - Item c), referente a S2
Figura 5: C3 = {(x, y) ∈ R2 : |2x− y| < 2}
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Figura 6: Exerc´ıcio 5 - Item d)
Figura 7: C4 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 4}
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GABARITO dos Exercícios Programados/EP15-2018-1-Gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP15 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Exerc´ıcio 1 Encontre o conjunto soluc¸a˜o das inequac¸o˜es.
a) −|3− 4x| < −5 (AP2 - 2012.2)
b) 2(x + 5)2 ≥ 2x + 14 (AP2 - 2012.2)
c) |2x + 3| − 2 > 3 (AP2 - 2013.1)
d) |11− x2| > 2 (AP2 - 2014.1)
Soluc¸a˜o:
a) −|3− 4x| < −5⇐⇒ |3− 4x| > 5.
Isso significa que 3− 4x > 5 ou que 3− 4x < −5.
No primeiro caso, temos que 3− 4x > 5⇐⇒ −4x > 2⇐⇒ x < −1/2.
No segundo caso, temos que 3− 4x < −5⇐⇒ −4x < −8⇐⇒ x > 2.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o e´
S =
(
−∞,−1
2
)
∪ (2,∞) .
Outra modo de resolver a inequac¸a˜o −|3− 4x| < −5
−|3− 4x| < −5⇐⇒ |3− 4x| > 5.
Assim, para resolver −|3− 4x| < −5, basta resolver |3− 4x| > 5.
Vamos determinar o valor de |3− 4x|. Temos que
|3− 4x| =

3− 4x, se 3− 4x ≥ 0
−(3− 4x), se 3− 4x < 0,
⇐⇒ |3− 4x| =

3− 4x, se x ≤ 3
4
4x− 3, se x > 3
4
.
Observamos que o valor do mo´dulo, da inequac¸a˜o |3− 4x| > 5, depende da localizac¸a˜o de x em
relac¸a˜o ao ponto 3/4. Tomando como refereˆncia este valor, temos dois casos a analisar.
Caso A: quando x esta´ em (−∞, 3/4], vamos determinar a soluc¸a˜o S1 de |3− 4x| > 5.
Caso B: quando x esta´ no intervalo (3/4,∞), vamos determinar a soluc¸a˜o S2 de |3− 4x| > 5.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o S, da inequac¸a˜o dada em R, sera´ determinada por S = SA∪SB.
Caso A: x ∈ (−∞, 3/4].
Temos que |3− 4x| > 5⇐⇒ 3− 4x > 5⇐⇒ −4x > 2⇐⇒ 4x < −2⇐⇒ x < −1
2
.
Logo, x ∈ (−∞,−1/2). Mas, como somente os valores de x do intervalo que estamos conside-
rando, que e´ (−∞, 3/4], devem fazer parte da soluc¸a˜o deste caso, segue que
SA =
(
−∞,−1
2
)
.
Me´todos Determin´ısticos I EP15 2
Caso B: x ∈ (3/4,∞).
Temos que |3− 4x| > 5⇐⇒ 4x− 3 > 5⇐⇒ 4x > 8⇐⇒ x > 2.
Logo, x ∈ (2,∞). Mas, como somente os valores de x do intervalo que estamos considerando,
que e´ (3/4,∞), devem fazer parte da soluc¸a˜o deste caso, segue que
SB = (2,∞) .
Assim, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´:
S = SA ∪ SB
=
(
−∞,−1
2
)
∪ (2,∞) .
b) 2(x+5)2 ≥ 2x+14⇐⇒ 2x2+20x+50 ≥ 2x+14⇐⇒ 2x2+18x+36 ≥ 0⇐⇒ x2+9x+18 ≥ 0.
Chamando x2 +9x+18 de y, isto e´, y = x2 +9x+18, vamos determinar quando y e´ igual a zero,
para em seguida determinar quando e´ maior do que zero. Para isso, observemos que o gra´fico de
y = x2 + 9x+ 18 e´ uma para´bola com concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente de x2
e´ positivo.
Assim, os valores de x em que y = 0, sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau x2 + 9x+ 18 = 0
que sa˜o obtidas pela fo´rmula de Baskara
x =
−(9)±√81− 4(1)(18)
2(1)
=
−9±√9
2
=
−9± 3
2
Logo, esta equac¸a˜o tem duas ra´ızes reais
x1 = −3 e x2 = −6.
Isto significa que o gra´fico de y = x2 + 9x + 18 corta o eixo x, nos dois pontos acima.
O gra´fico da para´bola esta´ plotada na Figura 1. Observando-o, vemos que o y da para´bola e´
+
-
+
-6 -3
x
y
Figura 1: Exerc´ıcio 1 - Item b)
maior que zero para x > −3 ou x < −6.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ dado por (−∞,−6] ∪ [−3,∞) .
Note que na soluc¸a˜o devemos, tambe´m, incluir os pontos onde x2 + 9x + 18 = 0.
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Me´todos Determin´ısticos I EP15 3
c) |2x + 3| − 2 > 3⇐⇒ |2x + 3| > 5.
Isso significa que 2x + 3 > 5 ou que 2x + 3 < −5.
No primeiro caso, temos que 2x + 3 > 5⇐⇒ 2x > 2⇐⇒ x > 1.
No segundo caso, temos que 2x + 3 < −5⇐⇒ 2x < −8⇐⇒ x < −4.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o e´ S = (−∞,−4) ∪ (1,∞) .
d) Como |11− x2| > 2, isso significa que 11− x2 > 2 ou que 11− x2 < −2.
No primeiro caso, temos que 11 − x2 > 2 ⇐⇒ −x2 + 9 > 0. Chamando −x2 + 9 de y, isto e´,
y = −x2 + 9, vamos determinar quando y e´ igual a zero, para em seguida determinar quando e´
maior do que zero. Para isso, observemos que o gra´fico de y = −x2 + 9 e´ uma para´bola com
concavidade voltada para baixo, ja´ que o coeficiente de x2 e´ negativo.
Assim, os valores de x em que y = 0, sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau −x2 + 9 = 0, ou
seja, x2 = 9⇐⇒ x = ±√9⇐⇒ x1 = −3, x2 = 3. Isto significa que o gra´fico de y = −x2 + 9
corta o eixo x, em x1 = −3 e x2 = 3.
O gra´fico da para´bola esta´ plotada na Figura 2. Observando-o, vemos que o y da para´bola e´
maior que zero para −3 < x < 3.
-
+
-
-3 3
x
9
y
Figura 2: Exerc´ıcio 1 - Item d)
No segundo caso, temos que 11− x2 < −2⇐⇒ −x2 + 13 < 0. Chamando −x2 + 13 de y, isto
e´, y = −x2 + 13, vamos determinar quando y e´ igual a zero, para em seguida determinar quando
e´ menor do que zero. Para isso, observemos que o gra´fico de y = −x2 + 13 e´ uma para´bola com
concavidade voltada para baixo, ja´ que o coeficiente de x2 e´ negativo.
Assim, os valores de x em que y = 0, sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau −x2 + 13 = 0,
ou seja, x2 = 13 ⇐⇒ x = ±√13 ⇐⇒ x1 = −
√
13, x2 =
√
13. Isto significa que o gra´fico de
y = −x2 + 13 corta o eixo x, em x1 = −
√
13 e x2 =
√
13.
O gra´fico da para´bola esta´ plotada na Figura 3. Observando-o, vemos que o y da para´bola e´
menor do que zero para x < −√13 ou x > √13.
Fazendo a reunia˜o do conjunto soluc¸a˜o obtido a partir da ana´lise de cada um dos dois casos acima,
conclu´ımos que o conjunto soluc¸a˜o de |11−x2| > 2 e´ S = (−∞,−
√
13) ∪ (−3, 3) ∪ (
√
13,∞) .
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Me´todos Determin´ısticos I EP15 4
-
+
-
- 13 13
x
13
y
Figura 3: Exerc´ıcio 1 - Item d)
Exerc´ıcio 2 (AP2 - 2017.1) Considere a inequac¸a˜o
|x + 1| > |x− 3|.
a) Reescreva a frase abaixo no caderno de respostas, preenchendo as lacunas com nu´meros e/ou
relac¸o˜es de ordem (maior, menor, maior ou igual, menor ou igual), para obter a interpretac¸a˜o
geome´trica correta da inequac¸a˜o dada:
“O conjunto-soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´ o conjunto dos pontos da reta real cuja
distaˆncia ao ponto e´ a` distaˆncia ao ponto .”
b) A partir da interpretac¸a˜o geome´trica acima da questa˜o ??, deˆ, na forma de intervalo ou de unia˜o
de intervalos, o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
a) O mo´dulo |x − a| representa, geometricamente, a distaˆncia entre os pontos x e a a da reta.
Assim, a interpretac¸a˜o geome´trica correta da inequac¸a˜o |x+ 1| > |x− 3|, que pode ser reescrita
como e´ |x− (−1)| > |x− 3|:
“O conjunto-soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´ o conjunto dos pontos da reta real cuja
distaˆncia ao ponto −1 e´ maior ou igual a` distaˆncia ao ponto 3.”
ou, equivalentemente,
“O conjunto-soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´ o conjunto dos pontos da reta real cuja
distaˆncia ao ponto 3 e´ menor ou igual a` distaˆncia ao ponto −1.”
b) Pela questa˜o 1, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o consiste dos pontos mais pro´ximos de 3 do que de −1, ou
situados a` mesma distaˆncia, representados abaixo:
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Me´todos Determin´ısticos I EP15 5
Repare que o ponto que esta´ a` mesma distaˆncia de −1 e 3 e´ dado por (−1) + 3
2
= 1. Este ponto
pertence a` soluc¸a˜o, pois sua distaˆncia a −1 e´ igual a` distaˆncia ao 3, isto e´, |1− (−1)| = |1− 3|.
Temos como conjunto-soluc¸a˜o, portanto, o intervalo [1,+∞).
Exerc´ıcio 3 Resolva cada um dos sistemas
a) S1 :
{
y + x2 − 2x = −4
x + y = −8 (AP2 - 2012.2)
b) S2 :
{
3x− 4y = −27
5x− 2y = 11 (AP2 - 2013.2)
Soluc¸a˜o:
a) Da segunda equac¸a˜o de S1, temos que y = −8− x. Substituindo-a na primeira equac¸a˜o de S1,
obtemos:
−8− x + x2 − 2x = −4⇐⇒ x2 − 3x− 4 = 0.
Resolvendo essa equac¸a˜o do segundo grau, por Ba´skara, obtemos
x =
−(−3)±√(−3)2 − 4(1)(−4)
2(1)
=
3±√25
2
=
3± 5
2
,
ou seja, as ra´ızes da equac¸a˜o x2 − 3x − 4 = 0 sa˜o x1 = −1 e x2 = 4. Para resolver o sistema
S1, ainda temos que encontrar os valores de y e montar os pares ordenados da resposta.
Para x1 = −1, temos y1 = −8− (−1) = −7
Para x2 = 4, temos y2 = −8− 4 = −12.
Logo, as soluc¸o˜es de S1 sa˜o: (x1, y1) = (−1,−7) e (x2, y2) = (4,−12).
b) Multiplicando por −2, a segunda equac¸a˜o de S2, ficamos com −10x + 4y = −22 que somada a`
primeira equac¸a˜o de S2, resulta −7x = −49. Da´ı, temos que x = 7. Substituindo-a na segunda
equac¸a˜o de S2, temos 35− 2y = 11, donde segue que 2y = 35− 11 = 24. Portanto, y = 12. A
soluc¸a˜o e´ (x, y) = (7, 12).
Exerc´ıcio
4 Represente, no mesmo plano cartesiano, o gra´fico de cada uma das equac¸o˜es do sistema
do Exerc´ıcio 3, item a). Localize tambe´m, graficamente, a(s) soluc¸a˜o (soluc¸o˜es) encontrada(s) para
esse sistema, caso exista(m).
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Me´todos Determin´ısticos I EP15 6
Soluc¸a˜o: Observemos que a primeira equac¸a˜o de S1 pode ser reeescrita por y = −x2 + 2x − 4.
Logo, o gra´fico desta equac¸a˜o e´ uma para´bola cuja concavidade esta´ voltada para baixo, ja´ que o
coeficiente de x2 e´ negativo. Temos que:
• Fazendo y = 0, a para´bola intercepta o eixo-x nos valores de x que satisfazem−x2+2x−4 = 0.
No entanto, por Ba´skara, temos que ∆ = −12 < 0, o que significa que na˜o existem ra´ızes
reais para a equac¸a˜o −x2 + 2x− 4 = 0. Logo, y = −x2 + 2x− 4 na˜o intercepta o eixo x.
• Fazendo x = 0, vemos que a para´bola intercepta o eixo y no ponto y = −02− 2(0)− 4 = −4.
• O ve´rtice V da para´bola e´ determinado por V = (xv, yv) =
(
−b
2a
,
−∆
4a
)
. Logo,
V =
(
−2
2(−1) ,
−(−12)
4(−1)
)
= (1,−3) .
A segunda equac¸a˜o, x + y = −8, de S1 e´ uma reta. Logo, para trac¸a´-la precisamos de dois pontos.
Para x = 0, temos que y = −8.
Para y = 0, temos que x = −8.
Trac¸amos, enta˜o a reta pelos pontos (0,−8) e (−8, 0).
Na Figura 4, trac¸amos o esboc¸o da para´bola e da reta, bem como dos pontos de intersec¸a˜o entre
elas, que foram determinados no item a) do Exerc´ıcio 3.
-8 -1 1 4 x
-12
-8
-7
-4
-3
y
Figura 4: Exerc´ıcio 4
Exerc´ıcio 5 (AP2 - 2012 .2) Certo produto tem sua demanda dada por uma func¸a˜o afim. Ale´m
disso, quando o produto e´ vendido a 2 reais, a demanda e´ de 3000 unidades e, se o prec¸o for elevado
a 6 reais, a demanda cai para 1000 unidades. Sabe-se, ainda, que a oferta deste produto e´ dada pela
fo´rmula Q(x) = 500(x2 − 3x).
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a) Qual a fo´rmula da func¸a˜o D(x) que representa a demanda relacionada a este produto em func¸a˜o
de seu prec¸o x?
b) Qual e´ o prec¸o abaixo do qual na˜o ha´ oferta (prec¸o m´ınimo do produto) e qual o prec¸o acima do
qual na˜o ha´ demanda (prec¸o ma´ximo)?
c) Qual o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio do produto?
Soluc¸a˜o:
a) Sabemos que a func¸a˜o e´ afim, logo sua fo´rmula e´ expressa por
D(x) = ax + b,
onde a e b sa˜o nu´meros reais.
Quando o produto custa 2 reais, sa˜o demandadas 3000 unidades, logo a.2 + b = 3000.
E, quando o produto custa 6 reais sa˜o demandadas 1000 unidades, donde a.6 + b = 1000.
Da primeira equac¸a˜o obtemos b = 3000− 2a, que substitu´ıda na segunda, nos da´
6a + 3000− 2a = 1000.
Resolvendo esta equac¸a˜o, obtemos 4a = −2000, isto e´, a = −500. E, disto segue que
b = 3000− 2a = 3000− 2(−500) = 4000.
Logo, a func¸a˜o demanda e´
D(x) = −500x + 4000 .
b) Para determinar o prec¸o abaixo do qual na˜o ha´ oferta, vamos analisar a func¸a˜o, que nos da´ a
oferta, Q(x) = 500(x2 − 3x). Note que ela e´ igual a zero quando
500(x2 − 3x) = 0⇐⇒ (x2 − 3x) = 0⇐⇒ x(x− 3) = 0⇐⇒ x = 0 ou x = 3.
Como o gra´fico de Q e´ uma para´bola com concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente
de x2 e´ positivo, vemos que, para que a oferta seja positiva, e´ necessa´rio que o prec¸o seja maior
que 3 reais (abaixo disso ter´ıamos “oferta negativa”). Observe o gra´fico de Q, na Figura 5–i).
Portanto, o prec¸o abaixo do qual na˜o ha´ oferta e´ P = 3 reais.
Ja´ quanto a` demanda, vemos que na˜o ha´ demanda, isto e´, ela e´ nula quando −500x+ 4000 = 0,
ou seja, quando 4000 = 500x. Assim, obtemos que o prec¸o ma´ximo, acima do qual na˜o ha´
demanda para o produto, e´ 8 reais. Observe isso no gra´fico da func¸a˜o demanda na Figura 5-ii).
c) Para determinar o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio do produto, devemos encontrar qual o prec¸o
que torna a demanda igual a` oferta:
500(x2−3x) = −500x+4000⇐⇒ x2−3x = −x+8⇐⇒ x2−3x+x−8 = 0⇐⇒ x2−2x−8 = 0.
Resolvendo esta u´ltima equac¸a˜o por Ba´skara ou por soma e produto, obtemos como ra´ızes x = 4 e
x = −2. Observamos que x representa o prec¸o do produto, logo na˜o deve ser negativo. Portanto,
o prec¸o de equil´ıbrio deve ser 4 reais. Para encontrar a quantidade de equil´ıbrio, vamos substituir
este valor na fo´rmula da demanda:
D(4) = −500.4 + 4000 = 2000.
Logo, a quantidade de equil´ıbrio e´ de duas mil unidades.
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Me´todos Determin´ısticos I EP15 8
i) Q(x) = 500(x2 − 3x) ii) D(x) = −500x + 4000
3
x
Q
8
x
4000
D
Figura 5: Exerc´ıcio 5
Exerc´ıcio 6 (AP2 - 2013.1)
Considere que as func¸o˜es de demanda e oferta de certo produto sa˜o dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P
2
4
+ 2 e Q(P ) =
2
3
P − 1
3
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q nos da˜o a demanda e a oferta em milho˜es de unidades.
a) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for de R$0,90?
b) Qual e´ o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do mesmo?
c) Qual e´, aproximadamente, o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo
mesmo?
d) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto?
e) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e oferta deste produto.
Soluc¸a˜o:
a) Lembrando que 0.9 =
9
10
, temos que
D
(
9
10
)
= −(9/10)
2
4
+ 2 = − 81
100
.
1
4
+ 2 = − 81
400
+ 2 =
−81 + 800
400
=
719
400
,
que e´ aproximadamente igual a 1.8.
Logo, a demanda sera´ de aproximadamente um milha˜o e oitocentas mil unidades quando o prec¸o
for de 90 centavos.
b) Para encontrar o prec¸o m´ınimo, devemos descobrir para qual valor de P temos que Q(P ) = 0.
Q(P ) = 0⇐⇒ 2
3
P − 1
3
= 0⇐⇒ 2
3
P =
1
3
⇐⇒ P = 1
2
= 0.5.
Logo, o prec¸o m´ınimo e´ de R$ 0.50. Observe o gra´fico da func¸a˜o Q na Figura 6.
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c) Para encontrar o prec¸o ma´ximo do produto, devemos descobrir para qual valor de P temos
D(P ) = 0.
D(P ) = 0⇐⇒ −P
2
4
+ 2 = 0⇐⇒ P
2
4
= 2⇐⇒ P 2 = 8⇐⇒ P =
√
8⇐⇒ P = 2
√
2.
Logo, o prec¸o ma´ximo corresponde a aproximadamente 2,83 reais. Observe o gra´fico da func¸a˜oD
na Figura 6.
d) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, devemos descobrir para qual valor de P temos D(P ) = Q(P ).
D(P ) = Q(P )⇐⇒ −P
2
4
+ 2 =
2
3
P − 1
3
⇐⇒ −P
2
4
− 2
3
P + 2 +
1
3
= 0⇐⇒ −P
2
4
− 2
3
P +
7
3
= 0
⇐⇒ 3P 2 + 8P − 28 = 0.
Resolvendo por Ba´skara, obtemos ∆ = 400 e duas ra´ızes, sendo uma negativa (que na˜o nos
interessa) e outra dada por P = 2 (calcule esses valores). Logo, conclu´ımos que o prec¸o de
equil´ıbrio para este produto e´ de 2 reais.
e) .
DHPL
QHPL
1
2 2 2 2
P
1
2
Figura 6: Exerc´ıcio 6
Exerc´ıcio 7 (AP2 - 2017.1) Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado
produto sa˜o dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 4P + 5 e Q(P ) = 5P
2
− 5,
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
a) Quais sa˜o os prec¸os ma´ximo do produto (valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo)? E
qual e´ o prec¸o m´ınimo (valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta)?
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b) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Quais sa˜o os valores da demanda e da oferta
referentes a este prec¸o?
c) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e de oferta deste produto, destacando os
pontos onde a oferta ou a demanda sa˜o
iguais a zero, os pontos de equil´ıbrio e o ponto de de-
manda ma´xima.
Soluc¸a˜o:
a) Encontramos o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo,
verificando quando temos a demanda igual a zero. Neste caso, temos que
D(P ) = 0 ⇔ −P 2 + 4P + 5 = 0
⇔ P 2 − 4P − 5 = 0
⇔ P = −1 ou P = 5.
Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e fica-
mos apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 5. Assim, o prec¸o ma´ximo do produto e´ R$5,00.
Encontramos o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do mesmo, verificando
quando temos a oferta igual a zero. Neste caso, temos que
Q(P ) = 0 ⇔ 5P
2
− 5 = 0
⇔ 5P
2
= 5
⇔ P = 5 · 2
5
= 2.
Assim, o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta para ele, e´ R$2,00.
b) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, vamos igualar as func¸o˜es demanda, D, e oferta, Q.
D(x) = Q(x) ⇔ −P 2 + 4P + 5 = 5P
2
− 5
⇔ −2P 2 + 8P + 10 = 5P − 10
⇔ −2P 2 + 3P + 20 = 0
⇔ 2P 2 − 3P − 20 = 0
⇔ P = −(−3)±
√
(−3)2 − 4 · 2 · (−20)
2 · 2
⇔ P = 3±
√
169
4
=
3± 13
4
⇔ P = 4 ou P = −10
4
.
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Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos
apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 4. Assim, o prec¸o de equil´ıbrio e´ de R$ 4,00.
A demanda e a oferta correspondentes a este prec¸o e´ de D(P ) = Q(P ) = 5·4
2
− 5 = 5, isto e´, 5
milho˜es de unidades.
c) Ja´ vimos, na questa˜o anterior, que D(5) = 0, Q(2) = 0 e D(4) = Q(4) = 5. Repare que o ponto
de equil´ıbrio sera´ enta˜o (4, 5).
O gra´fico da func¸a˜o oferta Q e´ uma reta, pois ela e´ uma func¸a˜o de polinomial 1o grau. E, como
ja´ conhecemos dois de seus pontos (2, 0) e (4, 5), podemos esboc¸ar a reta.
O gra´fico da func¸a˜o demanda D e´ uma para´bola. Ja´ conhecemos as duas ra´ızes −1 e 5. O ve´rtice
(xv, yv) desta para´bola representa o ponto de demanda ma´xima, e suas coordenadas sa˜o dadas
por
xv = − b
2a
= − 4
2 · (−1) = 2
yv = −∆
4a
= −4
2 − 4 · (−1) · 5
4 · (−1) = −
36
−4 = 9.
Assim, o ve´rtice e´ o ponto (2, 9).
Esboc¸ando as func¸o˜es, temos
Mas ja´ vimos que os prec¸os para os quais ha´ demanda e oferta satisfazem 2 6 P 6 5, assim,
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podemos esboc¸ar o gra´fico das func¸o˜es apenas para estes valores de P , como abaixo:
Exerc´ıcio 8 (AP2 - 2013.2)
Seja f : R −→ R dada por
f(x) =
x2
4
− x
2
− 6.
a) Encontre as ra´ızes de f;
b) Encontre qual o valor m´ınimo assumido por f(x) e o valor de x no qual este m´ınimo se realiza.
Soluc¸a˜o:
a) Para determinar as ra´ızes de f , devemos resolver f(x) = 0, isto e´,
x2
4
− x
2
− 6 = 0.
Multiplicando ambos os lados por 4, vemos que resolver esta equac¸a˜o equivale a resolver
x2 − 2x− 24 = 0.
Por Ba´skara, temos ∆ = 4 + 96 = 100.
Da´ı, x =
2± 10
2
, o que significa que as ra´ızes sa˜o x1 = −4 e x2 = 6.
b) Observemos que o gra´fico de f e´ uma para´bola cuja concavidade esta voltada para cima, ja´ que
o coeficiente de x2 e´ positivo. Desta forma, o valor m´ınimo assumido por f(x) e o valor de x no
qual esse m´ınimo se realiza sa˜o obtidos pelo ca´lculo das coordenadas do ve´rtice desta para´bola.
A primeira coordenada do ve´rtice, ou seja, o valor de xv = x e´ o ponto me´dio entre as ra´ızes,
logo, xv = (−4 + 6)/2 = 1. Para achar o valor m´ınimo da func¸a˜o basta, agora, encontrar f(1).
Temos que
f(1) =
12
4
− 1
2
− 6 = 1− 2− 24
4
= −25
4
= −6, 25.
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Exerc´ıcio 9 (AP2 - 2017.1) Uma func¸a˜o f e´ definida pela expressa˜o abaixo, no maior dom´ınio onde
ela pode ser avaliada.
f(x) =
√
−x2 − 4x− 3.
Determine, na forma de intervalo, o dom´ınio da func¸a˜o f .
Soluc¸a˜o: Na expressa˜o de f , como extra´ımos a raiz quadrada do polinoˆmio −x2− 4x− 3, e´ preciso
que este polinoˆmio seja maior ou igual a zero para que esta raiz quadrada esteja definida. Por
Bhaskara, vemos que as ra´ızes dele sa˜o −3 e −1. Desta forma, o polinoˆmio −x2 − 4x− 3 pode ser
fatorado como,
−x2 − 4x− 3 = − (x + 3) (x + 1) .
Estudando os sinais dos dois fatores, temos
(−∞,−3) −3 (−3,−1) −1 (−1,+∞)
x + 3 − 0 + + +
x + 1 − − − 0 +
(x + 3)(x + 1) + 0 − 0 +
−(x + 3)(x + 1) − 0 + 0 −
Assim,
−x2 − 4x− 3 > 0⇔ −(x + 3)(x + 1) > 0⇔ x ∈ [−3,−1].
Logo, o dom´ınio de f e´ o conjunto [−3,−1].
Exerc´ıcio 10 Determine o dom´ınio da func¸a˜o
f(x) =
x− 1√
x2 − 5x
3
− 2
3
+
√
2x− 4,
na forma de intervalo.
Soluc¸a˜o: Para que possamos extrair a raiz quadrada de um nu´mero real, esse nu´mero deve ser maior
ou igual a zero. Assim, x deve satisfazer as desigualdades x2 − 5x
3
− 2
3
≥ 0 e 2x − 4 ≥ 0. Ale´m
disso, note que podemos efetuar a operac¸a˜o de divisa˜o, desde que o denominador seja diferente de
zero. Assim, x tambe´m deve satisfazer
√
x2 − 5x
3
− 2
3
6= 0. Ou seja, x2 − 5x
3
− 2
3
6= 0. Logo, o
dom´ınio da func¸a˜o e´ formado pelos nu´meros reais x, tais que x2 − 5x
3
− 2
3
> 0 e 2x− 4 ≥ 0.
Para determinar o dom´ınio na forma de intervalo, vamos seguir o seguinte procedimento:
• primeiro, vamos determinar o conjunto S1 dos nu´meros que satisfazem x2 − 5x
3
− 2
3
> 0;
• em seguida, determinamos o conjunto S2 dos nu´meros que satisfazem 2x− 4 ≥ 0;
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• e, finalmente, fazemos a intersec¸a˜o de S1 e S2, obtendo os nu´meros reais que satisfazem
x2 − 5x
3
− 2
3
> 0 e 2x− 4 ≥ 0. Ou seja, determinamos o dom´ınio.
Determinac¸a˜o de S1 =
{
x ∈ R : x2 − 5x
3
− 2
3
> 0
}
.
Por Bhaskara, temos que a soluc¸a˜o de x2− 5x
3
− 2
3
= 0, com a = 1, b = −5
3
e c = −2
3
e´ dada
por
∆ = b2 − 4ac =
(
−5
3
)2
− 4(1)
(
−2
3
)
=
49
9
,
assim,
x =
−b±√∆
2a
=
−
(
−5
3
)
±
√
49
9
2(1)
=
5
3
± 7
3
2
.
Ou seja,
x1 =
5
3
+
7
3
2
= 2 x2 =
5
3
− 7
3
2
= −1
3
.
Assim, x2 − 5x
3
− 2
3
= 0 em x1 = 2 e x2 = −1
3
.
Na Figura 7-i). plotamos a para´bola y = x2 − 5x
3
− 2
3
. Notamos que o y da para´bola e´ maior
do que zero quando x satisfaz x < −1
3
ou x > 2.
Da´ı, S1 =
(
−∞,−1
3
)
∪ (2,∞).
Determinac¸a˜o de S2 = {x ∈ R : 2x− 4 ≥ 0} .
O valor de x em que 2x− 4 = 0 e´ x = 2.
A reta y = 2x− 4 esta´ plotada na Figura 7-ii). Notamos que o y da reta e´ maior do que zero
quando x > 2. E, que y = 2x− 4 ≥ 0, quando x ∈ [2,∞).
Da´ı, S2 = [2,∞).
Fazendo a intersec¸a˜o de S1 com S2, obtemos o conjunto soluc¸a˜o S, dado pela Figura 7-iii). Ou seja,
S = S1 ∩ S2 = (2,∞).
Exerc´ıcio 11 (AP3 2015-2) Considere o sistema S de equac¸o˜es:
S :
{
x2 − 6x− y = 0 (i)
2x− y = 7. (ii)
a) Determine as soluc¸o˜es do sistema, se existirem.
b) Fac¸a os esboc¸os dos gra´ficos de (i), (ii) e marque, tambe´m, os pontos encontrados no item a)
(se existirem).
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i) ii)
+
-
+
-
1
3 2
x
y
+
-
2
x
-4
y
iii)
S1
S2
S = S1ÝS2
-
1
3 2
Figura 7: Exerc´ıcio 10
Soluc¸a˜o:
a) Multiplicando a equac¸a˜o (ii) por −1 e depois somando as duas equac¸o˜es,
i.e., fazendo (i)− (ii),
temos 
x2 − 6x− y = 0
−2x + y = −7
+
x2 − 8x = −7
Encontramos enta˜o que
x2 − 8x + 7 = 0⇐⇒ x = 8±
√
64− 28
2
⇐⇒ x = 8± 6
2
⇐⇒ x = 7 ou x = 1.
Substituindo x em 2x− y = 7 para determinar o valor de y correspondente, temos que
• para x = 1, 2(1)− y = 7⇐⇒ y = 2− 7⇐⇒ y = −5.
• para x = 7, 2(7)− y = 7⇐⇒ y = 14− 7⇐⇒ y = 7.
Portanto, o sistema S tem como soluc¸o˜es os pares ordenados (1,−5), (7, 7).
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b) As equac¸o˜es x2 − 6x− y = 0 e 2x− y = 7 podem ser reescritas por y = x2 − 6x e y = 2x− 7
cujos gra´ficos sa˜o representados por uma para´bola e por uma reta, respectivamente.
Gra´fico de y = x2 − 6x: a para´bola tem concavidade voltada para cima pois o coeficiente de
x2 e´ positivo. Ale´m disso, a = 1, b = −6, c = 0. Temos tambe´m que
• x = 0⇐⇒ y = (0)2 − 6(0) = 0.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
• y = 0⇐⇒ x2 − 6x = 0⇐⇒ x(x− 6) = 0⇐⇒ x = 0 ou x = 6.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo x nos pontos (0, 0) e (6, 0).
• O ve´rtice V = (xv, yv) da para´bola tem coordenadas
xv = − b
2a
= −(−6)
2(1)
= 3 e †v = x2v − 6xv = (3)2 − 6(3) = 9.
Gra´fico de y = 2x− 7: Para determinar a reta, basta determinarmos dois pontos pelos quais
ela passa. Temos que:
• x = 0⇐⇒ y = 2(0)− 7 = −7. Ou seja, (0,−7) e´ um ponto da reta.
• y = 0⇐⇒ 2x− 7 = 0⇐⇒ x = 7
2
. Ou seja,
(
7
2
, 0
)
e´ um ponto da reta.
Na Figura 8 plotamos os gra´ficos de y = x2 − 6x e de y = 2x− 7.
V
1
7
2 6 7
x
-5
-3
7
-7
-9
y
Figura 8: Questa˜o ??, item b)
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Exerc´ıcio 12 (AP2 - 2017.1) Em um plano cartesiano, represente o conjunto C dos pontos (x, y) que
satisfazem ao sistema 
2 6 x 6 4
1 < y < 4
x + y = 5.
Lembre-se de que um ponto (x, y) estara´ em C se, e somente se, satisfizer todas as equac¸o˜es e
inequac¸o˜es acima simultaneamente.
Soluc¸a˜o: A desigualdade 2 6 x 6 4 representa a regia˜o esboc¸ada abaixo:
A desigualdade 1 < y < 4 representa a regia˜o esboc¸ada abaixo:
A igualdade x + y = 5 representa uma reta. Para esboc¸a´-la, vamos determinar dois de seus pontos.
Fazendo x = 2, temos
2 + y = 5 ∴ y = 5− 2 = 3.
Fazendo x = 4, temos
4 + y = 5 ∴ y = 5− 4 = 1.
Assim, os pontos (2, 3) e (4, 1) esta˜o na reta. A reta enta˜o pode ser esboc¸ada como abaixo:
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Esboc¸ando as treˆs condic¸o˜es, temos
Os pontos que satisfazem a`s treˆs condic¸o˜es simultaneamente sa˜o enta˜o
Exerc´ıcio 13 (AP2 - 2016.1) Vamos imaginar que o bairro B esta´ representado no plano cartesiano,
de forma que a origem e´ o ponto onde o Hospital H se encontra, o norte e o sul sa˜o representados
no eixo y e o leste e o oeste sa˜o representados no eixo x. Sabe-se que uma casa noturna sera´
constru´ıda no bairro e que sua localizac¸a˜o, no plano, corresponde ao ponto
(
−2
5
, 3
)
. Uma fam´ılia
deseja comprar uma casa neste bairro e a localizac¸a˜o da casa nova sera´ representada, no plano, por
(x, y).
a) Pedro, o marido, exige que o corretor procure apenas casas localizadas em pontos (x, y), tais
que a abscissa x diste mais do que 3km da abscissa da futura casa noturna. Qual e´ a inequac¸a˜o
modular (na varia´vel x) que o corretor deve resolver para encontrar os valores de x que satisfazem
a exigeˆncia de Pedro? Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e o apresente na forma de um
intervalo ou de uma unia˜o de intervalos.
b) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano
que satisfazem a` condic¸a˜o imposta por Pedro.
c) Maria, a esposa de Pedro, que e´ matema´tica, disse que ele na˜o podia ignorar a ordenada y e
pediu para o corretor procurar uma casa tal que sua distaˆncia ao ponto onde seria constru´ıda a
casa noturna fosse maior do que 3km. Qual e´ a inequac¸a˜o (nas varia´veis x e y) que o corretor
tera´ que resolver para atender a restric¸a˜o que Maria impoˆs? Na˜o resolva-a! Apenas apresente a
inequac¸a˜o.
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Me´todos Determin´ısticos I EP15 19
d) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano
que satisfazem a` condic¸a˜o imposta por Maria.
e) Mais tarde, preocupada com seu marido, que trabalha no hospital H, ela ligou para o corretor e
incluiu uma nova condic¸a˜o: a distaˆncia da casa ao Hospital H deveria ser menor ou igual a 1km.
Qual e´ a nova inequac¸a˜o que o corretor tera´ que resolver para atender esta u´ltima restric¸a˜o que
Maria impoˆs? Na˜o resolva-a! Apenas apresente a inequac¸a˜o.
f) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano
que satisfazem a` nova condic¸a˜o imposta por Maria.
g) [Este item na˜o constava da questa˜o original] O filho do casal, estudante de direito, vendo a aflic¸a˜o
do corretor, resolveu colocar mais lenha na fogueira e disse que so´ aceitava se mudar se a ordenada
y da casa satisfizesse a inequac¸a˜o
2
(
3
2
− y
)2
− 3y
(
y − 5
3
)
≤
(
4
−√3
)2
.
Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o do filho.
h) O corretor, cansado de tantas inequac¸o˜es, procurou a casa mais bonita. Ela esta´ localizada no
ponto
(
−2
5
,
1
4
)
. Ele apresentou a casa a` fam´ılia. Maria ficou satisfeita? Por queˆ?
i) [Este item na˜o constava da questa˜o original] Como Maria na˜o conseguiu convencer o corretor,
por meio das inequac¸o˜es, de que a casa que ele ofereceu na˜o era adequada, resolveu fazer um
esboc¸o mostrando regia˜o que atende a`s duas condic¸o˜es por ela impostas, e a casa oferecida. Fac¸a
este esboc¸o.
Soluc¸a˜o:
a) Observe que o marido refere-se apenas a`s abscissas da casa e da futura casa noturna. Portanto,
ele esta´ se referindo a pontos da reta. Ale´m disso, sabemos que a distaˆncia entre dois pontos a
e b da reta, i.e. a, b ∈ R, e´ dada por |a − b|. Como a abscissa da futura casa noturna e´ −2
5
e
a da casa e´ x, e a distaˆncia entre elas deve ser maior do que 3, temos que a inequac¸a˜o modular
que modela o problema e´ ∣∣∣∣x− (−25
)∣∣∣∣ > 3,
ou seja,
⇔
∣∣∣∣x + 25
∣∣∣∣ > 3.
Para resolver a inequac¸a˜o acima, vamos utilizar o Teorema 2 do EP9, que diz que para c e d
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Me´todos Determin´ısticos I EP15 20
reais, |c| > d ⇔ (c < −d ou c > d). Desta forma, tomando c = x + 2
5
e d = 3, temos que∣∣∣∣x + 25
∣∣∣∣ > 3 ⇐⇒ x + 25 < −3 ou x + 25 > 3
⇐⇒ x < −3− 2
5
ou x > 3− 2
5
⇐⇒ x < −3 · 5
5
− 2
5
ou x >
3 · 5
5
− 2
5
⇐⇒ x < −15
5
− 2
5
ou x >
15
5
− 2
5
⇐⇒ x < −17
5
ou x >
13
5
.
⇐⇒ x ∈
(
−∞,−17
5
)
∪
(
13
5
,∞
)
.
b) Esboc¸ando o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem x ∈
(
−∞,−17
5
)
∪
(
13
5
,∞
)
, temos a
figura abaixo:
c) Observe que Maria, diferentemente de Pedro, refere-se a pontos do plano. Sabemos que a
distaˆncia, d, entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) em R2 e´ dada por
d =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Desta forma, como, no plano, a casa e´ representada pelo ponto (x, y) e a futura casa noturna,
por
(
−2
5
, 3
)
, a exigeˆncia de que a distaˆncia entre a casa e a futura casa noturna seja maior do
que 3km e´ traduzida, matematicamente, por√(
x−
(
−2
5
))2
+ (y − 3)2 > 3,
ou seja, por √(
x +
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 3,
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Me´todos Determin´ısticos I EP15 21
ou, equivalentemente, por (
x +
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 9.
d) O conjunto dos pontos que satisfazem a` desigualdade
(
x +
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 9 e´ dado pelos
pontos exteriores ao c´ırculo de centro
(−2
5
, 3
)
e raio 3. Assim, temos
e) Como, no plano, o Hospital H corresponde a` origem, i.e. ao ponto (0, 0), a exigeˆncia de que a
distaˆncia entre a casa e o hospital seja menor ou igual a 1km e´ traduzida, matematicamente, por√
(x− 0)2 + (y − 0)2 ≤ 1,
ou seja, por √
x2 + y2 ≤ 1,
ou, equivalentemente, por
x2 + y2 ≤ 1.
f) O conjunto dos pontos que satisfazem a` desigualdade x2 + y2 6 1 e´ dado pelos pontos interiores
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Me´todos Determin´ısticos I EP15 22
ao c´ırculo de centro (0, 0) e raio 1, ou sobre a circunfereˆncia. Assim, temos
g) Resolvendo a inequac¸a˜o, temos que
2
(
3
2
− y
)2
− 3y
(
y − 5
3
)
≤
(
4
−√3
)2
⇐⇒ 2
((
3
2
)2
− 2 · 3
2
· y + y2
)
−
(
3y · y − 3y · 5
3
)
≤ (4)
2(−√3)2
⇐⇒ 2
(
9
4
− 2 · 3 · y
2
+ y2
)
−
(
3y2 − 3y · 5
3
)
≤ 16
3
⇐⇒ 2 · 9
4
− 2 · 6y
2
+ 2y2 − 3y2 + 3y · 5
3
≤ 16
3
⇐⇒ 9
2
− 6y + 2y2 − 3y2 + 5y − 16
3
≤ 0
⇐⇒ −y2 − y + 9
2
− 16
3
≤ 0
⇐⇒ −6y
2
6
− 6y
6
+
3 · 9
6
− 2 · 16
6
≤ 0
⇐⇒ −6y
2
6
− 6y
6
+
27
6
− 32
6
≤ 0
⇐⇒ −6y
2
6
− 6y
6
− 5
6
≤ 0
⇐⇒ −6y2 − 6y − 5 ≤ 0.
Vamos chamar z de −6y2 − 6y − 5, isto e´, z = −6y2 − 6y − 5, e estudar esta equac¸a˜o no plano
yz, onde o eixo horizontal sera´ representado por y e o vertical, por z.
Observe que o gra´fico da equac¸a˜o z = −6y2−6y−5 e´ uma para´bola no plano yz. Vamos, enta˜o,
estudar o sinal da ordenada z da para´bola a partir de seu esboc¸o no plano. Notemos que ela
tem a concavidade voltada para baixo, ja´ que o coeficiente de y2 e´ negativo. Vamos agora fazer
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Me´todos Determin´ısticos I EP15 23
z = 0, isto e´, vamos fazer −6y2−6y−5 = 0, para descobrir os pontos onde a para´bola intercepta
o eixo y. Usando Bhaskara, temos que ∆ = (−6)2 − 4(−6)(−5) = 36 − 120 = −84 < 0, o
que significa que a para´bola na˜o intercepta o eixo y. Temos tambe´m que o ve´rtice da para´bola
e´
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− −6
2(−6) ,−
(−84)
4(−6)
)
=
(
−1
2
,−21
6
)
. A partir destas informac¸o˜es, plotamos
o gra´fico da para´bola na Figura 9. Nele, observamos que para qualquer y real, o ponto (y, z) da
para´bola, tem sempre o valor dez negativo.
Dessa forma, z = −6y2−6y−5 < 0, para todo y ∈ R. Portanto, a equac¸a˜o do filho na˜o fornece,
de fato, nenhuma restric¸a˜o para a ordenada y da casa.
Na Figura 9 plotamos a para´bola z = −6y2 − 6y − 5 para uma melhor visualizac¸a˜o do que foi
exposto acima.
Figura 9: Questa˜o ??
h) O sistema de inequac¸o˜es que modela as exigeˆncias de Maria e´
√(
x +
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 3 (i)√
x2 + y2 ≤ 1 (ii)
,
ou, equivalentemente, { (
x +
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 9 (iii)
x2 + y2 ≤ 1 (iv)
Para sabermos se a localizac¸a˜o da casa apresentada pelo corretor atende a`s restric¸o˜es impostas
por Maria, vamos substituir o ponto dado nas inequac¸o˜es (iii) e (iv). Desta forma, conforme
pode ser visto abaixo, a casa satisfaz a condic¸a˜o representada pela inequac¸a˜o (iv), mas na˜o sa-
tisfaz a condic¸a˜o representada pela inequac¸a˜o (iii).
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Me´todos Determin´ısticos I EP15 24

(
−2
5
+
2
5
)2
+
(
1
4
− 3
)2
> 9(
−2
5
)2
+
(
1
4
)2
≤ 1
⇔
 02 +
(
1
4
− 4 · 3
4
)2
> 9
4
25
+
1
16
≤ 1
⇔

(
1− 12
4
)2
> 9
16 · 4
25 · 16 +
25
16 · 25 ≤ 1
⇔

(
−11
4
)2
> 9
64
400
+
25
400
≤ 1
⇔

112
42
> 9
89
400
≤ 1
⇔

121
16
> 9
89
400
≤ 1
⇔
{
121 > 9 · 16
89 ≤ 400
⇔
{
121 > 144 (Falso)
89 ≤ 400 (Verdadeiro)
Logo, Maria na˜o ficou satisfeita com a localizac¸a˜o da casa, ja´ que a distaˆncia da casa a` casa
noturna na˜o sera´ maior do que 3 km.
i) Representando as condic¸o˜es impostas por Maria (a intersec¸a˜o das regio˜es dos itens (d) e (f)), e
a casa oferecida pelo corretor (o ponto
(−2
5
, 1
4
)
), temos
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Me´todos Determin´ısticos I EP15 25
Exerc´ıcio 14 (AP2 - 2016.2) Uma pesquisa de mercado buscou identificar os gastos mensais dos
consumidores com sau´de e alimentac¸a˜o, em uma certa populac¸a˜o. Depois de processados os dados,
estimou-se que a me´dia do gasto mensal com sau´de era de R$210,00, e o gasto me´dio mensal com
alimentac¸a˜o era de R$352,00. Estes dados, pore´m, possuem uma margem de erro!
(a) A margem de erro e de uma pesquisa e´ o valor ma´ximo, em mo´dulo, da diferenc¸a entre o valor
obtido pela pesquisa e o valor real. Assim, se mc e´ o valor correto e mp e´ o valor obtido na
pesquisa, tem-se sempre que
|mc −mp| 6 e.
Se a margem de erro do gasto me´dio em sau´de e´ de R$ 20,00 e a margem de erro dos gastos
com alimentac¸a˜o e´ de R$ 30,00, determine o intervalo ao qual pode pertencer o gasto
me´dio real com sau´de e o intervalo ao qual pode pertencer o gasto me´dio real com
alimentac¸a˜o.
(b) Considere um sistema de coordenadas no plano que tenha os gastos com sau´de no eixo horizontal
e os gastos com alimentac¸a˜o no eixo vertical. Como exemplo, um gasto de R$100,00 com sau´de
e R$200,00 com alimentac¸a˜o estaria representado no ponto (100, 200).
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Me´todos Determin´ısticos I EP15 26
Verifique se os pontos a seguir podem representar gastos me´dios reais. Justifique sua
resposta.
(i) (200, 380) (ii) (240, 30)
(c) Considere o sistema de coordenadas no plano especificado no item (b). Isto e´, o eixo horizon-
tal representa os gastos com sau´de e o o eixo vertical representa os gastos com alimentac¸a˜o.
Represente o ponto correspondente aos gastos me´dios obtidos na pesquisa no sistema
de eixos fornecido no caderno de resposta. Neste mesmo sistema de eixos, esboce a
regia˜o onde pode estar o ponto correspondente aos gastos me´dios reais, de acordo com
o que voceˆ respondeu no item (a). (Por esboc¸ar a regia˜o, entenda que voceˆ devera´ delimitar
claramente a regia˜o e hachurar a parte a` qual seus pontos pertencem, como feito em EPs e/ou
questo˜es da AD.)
Soluc¸a˜o:
(a) Se o gasto me´dio com sau´de obtido pela pesquisa foi mp = 210, 00 e a margem de erro e´ de
20, 00, o gasto me´dio real com sau´de, que chamaremos de mr, satisfaz
|mr − 210| 6 20.
Com isso, temos
−20 6 mr − 210 6 20.
A primeira desigualdade pode ser reescrita
−20 6 mr − 210⇔ mr − 210 > −20⇔ mr > −20 + 210⇔ mr > 190.
A segunda pode ser reescrita
mr − 210 6 20⇔ mr 6 20 + 210⇔ mr 6 230.
Com isso, 190 6 mr 6 230 ou, ainda, mr ∈ [190, 230].
Se o gasto me´dio com alimentac¸a˜o obtido pela pesquisa foi m′p = 352, 00 e a margem de erro e´
de 30, 00, o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o, que chamaremos de m′r, satisfaz
|m′r − 352| 6 30.
Com isso, temos
−30 6 m′r − 352 6 30.
A primeira desigualdade pode ser reescrita
−30 6 m′r − 352⇔ m′r − 352 > −30⇔ m′r > −30 + 352⇔ m′r > 322.
A segunda pode ser reescrita
m′r − 352 6 30⇔ m′r 6 30 + 352⇔ m′r 6 382.
Com isso, 322 6 m′r 6 382 ou, ainda, m′r ∈ [322, 382].
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Me´todos
Determin´ısticos I EP15 27
(b) Soluc¸a˜o: O ponto (200, 380) representa que o gasto me´dio real com sau´de e´ R$200,00
e com alimentac¸a˜o e´ R$380,00. Este ponto pode representar os gastos me´dios reais, pois
200 ∈ [190, 230] e 380 ∈ [322, 382].
O ponto (240, 30) na˜o pode representar os gastos me´dios reais, pois R$30,00 na˜o pode repre-
sentar o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o, dado que 30 /∈ [322, 382].
(c) No sistema abaixo, representamos o ponto (210, 352), obtido pela pesquisa como sendo os gastos
me´dios. O gasto me´dio real com sau´de (eixo horizontal) deve pertencer ao intervalo [190, 230]
e o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o (eixo vertical) deve pertencer ao intervalo [322, 382].
Assim, a regia˜o onde podem estar os gastos me´dios reais e´ dada por [190, 230] × [322, 382],
esboc¸ada abaixo:
Exerc´ıcio 15 A func¸a˜o de demanda e de um determinado produto e´ dada por
D(P ) = −2P 2 − 3P + 30,
onde P e´ o prec¸o do produto em reais, com 1 6 P 6 3 e D e´ a demanda em milho˜es de unidades.
Determine o valor de P para o qual a demanda e´ ma´xima e calcule esta demanda.
Soluc¸a˜o:
Primeiramente, vamos determinar o valor Pv para o qual a func¸a˜o dada por D(P ) = −2P 2 −
3P + 30 e´ ma´xima, sem preocupac¸a˜o com a restric¸a˜o 1 6 P 6 3 dos valores de P .
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Me´todos Determin´ısticos I EP15 28
Temos (utilizando a fo´rmula xv = − b2a para o x do ve´rtice da para´bola dada por y = ax2+bx+c),
Pv = − −3
2(−2) = −
3
4
.
Acontece que este valor esta´ fora do dom´ınio da func¸a˜o demanda, dado por 1 6 P 6 3. Vamos
enta˜o trac¸ar o gra´fico da demanda para entender o que ocorre. Este gra´fico sera´ uma para´bola
com concavidade para baixo, que corta o eixo vertical em P (0) = 30. Esboc¸ando, sem nos
preocupar com ra´ızes ou outros pontos, temos algo como:
Vemos enta˜o que o maior valor da demanda D, dentro do dom´ınio ocorre para P = 1. A
demanda ma´xima sera´ D(1) = −2 · 12 − 3 · 1 + 30 = 25 milho˜es de unidades.
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GABARITO dos Exercícios Programados/EP2-2018-1-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP2 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 2 e nas pa´ginas 144 e 145 da Aula 12, do Caderno
Dida´tico.
Uma expressa˜o matema´tica e´ uma combinac¸a˜o finita de nu´meros ou letras, as quais chamamos
de varia´veis, que sa˜o ligadas por operac¸o˜es matema´ticas, tais como, soma, diferenc¸a, multiplicac¸a˜o,
divisa˜o, etc e que tambe´m envolvem chaves, colchetes e pareˆnteses para indicar a ordem em que as
operac¸o˜es devem ser efetuadas. As expresso˜es matema´ticas podem ser nume´ricas, quando envolvem
apenas combinac¸o˜es de nu´meros ou alge´bricas, quando envolvem combinac¸o˜es de nu´meros e letras.
Na Aula 2 do Caderno Dida´tico, voceˆ estudou as regras das operac¸o˜es com nu´meros naturais, inteiros
e racionais e, nos pro´ximos exerc´ıcios, voceˆ praticara´ estas regras. Esteja especialmente atento a`
ordem com que as operac¸o˜es devem ser realizadas.
Exerc´ıcio 1 Resolva as expresso˜es nume´ricas abaixo. Lembre-se que as operac¸o˜es de multiplicac¸a˜o
e de divisa˜o devem ser realizadas antes das operac¸o˜es de adic¸a˜o e subtrac¸a˜o.
a) 5 + 7× (−3)× (−2)− (−4)× 5
b) (−16)÷ 4 + (−3)× (−2)
c) 12× 4÷ (−3)× 9
Soluc¸a˜o:
a) 5 + 7× (−3)× (−2)− (−4)× 5 = 5 + 42− (−20) = 47 + 20 = 67
b) (−16)÷ 4 + (−3)× (−2) = −4 + 6 = 2
c) 12× 4÷ (−3)× 9 = 12× 4−3 × 9 =
12× 4× 9
−3 = −
12× 4× 3
1
= −144
Exerc´ıcio 2 Efetue as operac¸o˜es com frac¸o˜es, e obtenha o resultado na forma de uma frac¸a˜o irre-
dut´ıvel
a)
2
5
÷ 1
40
b)
−2
15
× 9−11
c) −7
3
− 4−5
d)
2
5
− 3
4
× 6−5
Soluc¸a˜o:
a)
2
5
÷ 1
40
=
2
5
× 40
1
=
2× 40
5× 1 =
2× 8
1× 1 = 16
Me´todos Determin´ısticos I EP2 2
b)
−2
15
× 9−11 =
(−2)× �
3
9
>
5
15 × (−11)
=
(−2)× 3
5× (−11) =
−6
−55 =
6
55
c) −7
3
− 4−5 = −
7
3
−
(
−4
5
)
= −7
3
+
4
5
=
−35
15
+
12
15
=
−35 + 12
15
= −23
15
d)
2
5
− 3
4
× 6−5 =
2
5
− 3
4
×
(
−6
5
)
=
2
5
+
>
9
18
>
10
20
=
2
5
+
9
10
=
4
10
+
9
10
=
4 + 9
10
=
13
10
Exerc´ıcio 3 Compare as frac¸o˜es a seguir, completando a lacuna de cada item com >, < ou =.
a)
12
7
. . .
5
7
b)
6
4
. . .
6
8
c)
2
3
. . .
5
7
d)
8
9
. . .
9
8
e)
−3
4
. . .
−7
4
f)
6
−5 . . .
1
3
g)
−12
9
. . .
4
−3
Observac¸a˜o: Para comparar dois nu´meros racionais, voceˆ pode optar por igualar os denominadores
ou por utilizar a propriedade apresentada na pa´gina 31 do Caderno Dida´tico. Na soluc¸a˜o a seguir,
optamos por utilizar a propriedade citada.
Soluc¸a˜o:
a)
12
7
>
5
7
, pois 12× 7 > 5× 7.
b)
6
4
>
6
8
, pois 6× 8 > 6× 4.
c)
2
3
<
5
7
, pois 2× 7 < 5× 3.
d)
8
9
<
9
8
, pois 8× 8 < 9× 9.
e)
−3
4
>
−7
4
, pois −3× 4 > −7× 4.
f)
6
−5 <
1
3
equivale a
−6
5
<
1
3
, pois
6
−5 =
−6
5
e −6× 3 < 1× 5.
g)
−12
9
=
4
−3 equivale a
−12
9
=
−4
3
, pois
4
−3 =
−4
3
e −12× 3 = −4× 9.
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Me´todos Determin´ısticos I EP2 3
Exerc´ıcio 4 Desenvolvendo as expresso˜es nume´ricas de ambos os lados das desigualdades, decida
se as desigualdades abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas.
a)
3
7
· −5
2
<
−3
2
+
1
3
b)
−8
3
· −7
8
>
4
5
− 6
8
c) −
(−5
9
÷ −2
7
)
≤ 4
7
·
(
−3
5
)
d)
−4
5
+
3
−8 ≥ −
47
40
e) −10 > 20−3
Soluc¸a˜o: Antes de comec¸armos o gabarito desta questa˜o, por motivo de simplificac¸a˜o e economia
de espac¸o, vamos trocar a expressa˜o “se, e somente se,”pelo s´ımbolo “⇐⇒”. Na Aula 4, falaremos
mais sobre ele.
a)
3
7
· −5
2
<
−3
2
+
1
3
⇐⇒ −15
14
<
−9
6
+
2
6
⇐⇒ −15
14
<
−7
6
⇐⇒ −15 · 6 < −7 · 14
⇐⇒ −90 < −98
Logo, a desigualdade e´ falsa.
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Me´todos Determin´ısticos I EP2 4
b)
−8
3
· −7
8
>
4
5
− 6
8
⇐⇒
*−1−8
3
· −7
�
1
8
>
4
5
− �
3
6
�
4
8
⇐⇒ −1
3
· −7
1
>
4
5
− 3
4
⇐⇒ 7
3
>
16
20
− 15
20
⇐⇒ 7
3
>
1
20
⇐⇒ 7.20 > 3.1
⇐⇒ 140 > 3
Logo, a desigualdade e´ verdadeira.
c)
−
(−5
9
÷ −2
7
)
≤ 4
7
·
(
−3
5
)
⇐⇒ −
(−5
9
· 7−2
)
≤
(
−4
7
· 3
5
)
⇐⇒ −
(
35
18
)
≤ −12
35
⇐⇒ −35 · 35 ≤ −12 · 18
⇐⇒ −1225 ≤ −216
Logo, a desigualdade e´ verdadeira.
d)
−4
5
+
3
−8 ≥ −
47
40
⇐⇒ −32
40
+
−15
40
≥ −47
40
⇐⇒ −47
40
≥ −47
40
Logo, a desigualdade e´ verdadeira.
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Me´todos Determin´ısticos I EP2 5
e)
−10 > 20−3
⇐⇒ −10 > −20
3
⇐⇒ −30 > −20
Logo, a desigualdade e´ falsa.
Exerc´ıcio 5 Efetue as expresso˜es nume´ricas indicadas e obtenha o resultado na forma de uma frac¸a˜o
irredut´ıvel.
a)
12
8
+
8
5
b)
2
7
− 5
4
× 2−3
c) 1 + 2
[
3− 1
4
(
4
6
− 1
2
)
+ 5
]
+ 7
d) 2
{
−1 + 12
[
−13 + 4
(
1− 1
3
)]
+ 5
}
e)
[(
3
6
− 12
48
)
÷ 7
6
+
1
7
(
13
4
− 7
3
+
1
12
)]
× 1
3
÷ 1
7
f)
(
2
3
− 7
4
× 5
6
)
÷ 5
3
− 1
2
× 3
4
g)
1
6
 15
3
+
7
−4
× 9
8
÷ −2
3
.
Lembrete: Lembre-se primeiro resolvemos o que esta´ entre pareˆnteses, depois o que esta´ entre colchetes e, finalmente,
o que esta´ entre chaves. Observe ainda que quando temos dois termos lado a lado sem nenhum sinal entre eles (como
ocorre apo´s 1/7 no item e) a operac¸a˜o a ser realizada e´ multiplicac¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
a)
12
8
+
8
5
=
>
3
12
�
2
8
+
8
5
=
3
2
+
8
5
=
15
10
+
16
10
=
15 + 16
10
=
31
10
b)
2
7
− 5
4
× 2−3 =
2
7
− 10−12 =
2
7
+
>
5
10
>
6
12
=
2
7
+
5
6
=
12
42
+
35
42
=
47
42
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 6
c)
1 + 2
3− 1
4
 �24
�
3
6
− 1
2
+ 5
+ 7 = 1 + 2 [3− 1
4
(
2
3
− 1
2
)
+ 5
]
+ 7
= 1 + 2
[
3− 1
4
(
4− 3
6
)
+ 5
]
+ 7
= 1 + 2
[
3− 1
4
(
1
6
)
+ 5
]
+ 7
= 1 + 2
[
3− 1
24
+ 5
]
+ 7
= 1 + 2
[
72− 1 + 120
24
]
+ 7
= 1 + 2
[
191
24
]
+ 7
= 1 +
191
12
+ 7
=
12 + 191 + 84
12
=
287
12
d)
2
{
−1 + 12
[
−13 + 4
(
1− 1
3
)]
+ 5
}
= 2
{
−1 + 12
[
−13 + 4
(
3− 1
3
)]
+ 5
}
= 2
{
−1 + 12
[
−13 + 4
(
2
3
)]
+ 5
}
= 2
{
−1 + 12
[
−13 + 8
3
]
+ 5
}
= 2
{
−1 + 12
[−39 + 8
3
]
+ 5
}
= 2
{
−1 + >412
[−31
3
]
+ 5
}
= 2 {−1 + 4 [−31] + 5}
= 2 {−1− 124 + 5}
= 2{−120}
= −240
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 7
e)[(
3
�
2
6
− 12
>
4
48
)
÷ 7
6
+
1
7
×
(
13
4
− 7
3
+
1
12
)]
× 1
3
÷ 1
7
=
[(
1
2
− 1
4
)
× 6
7
+
1
7
×
(
39
12
− 28
12
+
1
12
)]
× 1
3
× 7
=
[(
2
4
− 1
4
)
× 6
7
+
1
7
× 12
12
]
× 1
3
× 7
=
 1
�
2
4
× �
3
6
7
+
1
7
× 7
3
=
[
1
2
× 3
7
+
1
7
]
× 7
3
=
[
3
14
+
1
7
]
× 7
3
=
[
3
14
+
2
14
]
× 7
3
=
5
>
2
14
× 7
3
=
5
2
× 1
3
=
5
6
f) (
2
3
− 7
4
× 5
6
)
÷ 5
3
− 1
2
× 3
4
=
(
2
3
− 35
24
)
÷ 5
3
− 3
8
=
(
16
24
− 35
24
)
÷ 5
3
− 3
8
= −19
24
÷ 5
3
− 3
8
= − 19
>
8
24
× 3
5
− 3
8
= −19
8
× 1
5
− 3
8
= −19
40
− 3
8
= −19
40
− 15
40
= −34
40
= −17
20
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 8
g)
1
6
 15
3
+
7
−4
× 9
8
÷ −2
3
=
1
6
 1
5
3
− 7
4
× 9
8
÷ −2
3
=
1
6
 1
20
12
− 21
12
× 9
8
÷ −2
3
=
1
6
 1
− 1
12
× 9
8
÷ −2
3
=
1
6
(
*−2−12
)
× 9
8
÷ −2
3
= *
−1−2 × 9
�
4
8
÷ −2
3
= −9
4
÷ −2
3
= −9
4
×
(
−3
2
)
=
27
8
Exerc´ıcio 6 Simplifique as expresso˜es alge´bricas a seguir, onde a, b e c sa˜o nu´meros com a 6= 0 e
b 6= 0.
a) (7a+ b− 2c) + (2a− 5b− 3c)
b) (a+ 5b)− (4a+ 5b)
c) (3a) · (−9b)
d) 2(a− b) + 2b
e) (25a)÷ (5a)
f)
3a
6
÷ 6
3b
g)
a− 3ba
3a
+ b
Soluc¸a˜o:
a) (7a+ b− 2c) + (2a− 5b− 3c) = 7a+ b− 2c+ 2a− 5b− 3c
= (7a+ 2a) + (b− 5b) + (−2c− 3c)
= (9a) + (−4b) + (−5c)
= 9a− 4b− 5c
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 9
b) (a+ 5b)− (4a+ 5b) = a+ 5b− 4a− 5b
= (a− 4a) + (5b− 5b)
= −3a+ 0
= −3a
c) (3a) · (−9b) = −27ab
d) 2(a− b) + 2b = 2a− 2b+ 2b = 2a
e) (25a)÷ (5a) = 25a · 1
5a
=
>
5
25 a
5a
= 5
f)
3a
6
÷ 6
3b
=
3a
6
· 3b
6
=
9ab
>
4
36
=
ab
4
g)
a− 3ba
3a
+ b =
a− 3ab+ 3ab
3a
=
a
3a
=
1
3
Equac¸o˜es de primeiro grau (com uma varia´vel)
Uma Equac¸a˜o e´ toda sentenc¸a matema´tica aberta que exprime uma relac¸a˜o de igualdade entre ex-
presso˜es matema´ticas.
Exemplos de equac¸o˜es:
• 3x+ 9 = 0
• 4x− 2 = 6x+ 7
• a+ b+ c = 0.
Exemplos de expresso˜es que na˜o sa˜o equac¸o˜es:
• 3 + 7 = 5 + 5 (Na˜o e´ uma sentenc¸a aberta)
• 2x− 4 < 0 (Na˜o e´ uma igualdade)
• 3 6= 7 (na˜o e´ uma sentenc¸a aberta, nem uma igualdade).
Uma equac¸a˜o do primeiro grau e´ toda equac¸a˜o que, depois de simplificada, pode ser escrita na
forma
ax+ b = 0,
onde a e b sa˜o nu´meros conhecidos e a e´ diferente de zero. A letra x e´ a inco´gnita da equac¸a˜o.
Para resolver essa equac¸a˜o efetuamos os seguintes passos:
ax+ b−b = 0−b (subtra´ımos b dos dois lados da equac¸a˜o)
ax = −b
ax
a
= − b
a
(dividimos por a os dois lados da equac¸a˜o)
x = − b
a
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 10
Portanto, x = − b
a
e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o ax + b = 0, isto e´, o valor de x que torna correta
(isto e´, verdadeira) a igualdade ax + b = 0. Note que quando substitu´ımos x = − b
a
na equac¸a˜o,
obtemos, de fato, a igualdade, veja:
a ·
(
− b
a
)
+ b = −ab
a
+ b = −a/b
a/
+ b = − b
1
+ b = −b+ b = 0.
Numa equac¸a˜o, tudo que antecede o sinal da igualdade e´ chamado de primeiro membro, e o que
sucede, de segundo membro. Por exemplo, em 3x + 8 = 2x − 7 temos que 3x + 8 e´ o primeiro
membro e 2x − 7 e´ o segundo membro da equac¸a˜o. Qualquer parcela, do primeiro ou do segundo
membro, e´ um termo da equac¸a˜o.
Resolver uma equac¸a˜o consiste em realizar uma se´rie de operac¸o˜es que nos conduzam a equac¸o˜es
equivalentes cada vez mais simples e que nos permitam determinar as suas soluc¸o˜es.
Exerc´ıcio 7 Resolva as equac¸o˜es:
a)
4x
3
=
11
5
b) 3 (x− 4)− 2 (1− x) = 2 (x− 1)
c) 3
(
1− x− 1
3
)
=
1
3
(3x− 7)
d)
6− 3x
5
=
1
10
e)
3x− 8
4
=
4x− 20
5
Soluc¸a˜o:
a)
4x
3
=
11
5
⇐⇒ 4x
3
·15 = 11
5
·15⇐⇒ 4x(5) = 11(3)⇐⇒ 20x = 33⇐⇒ 20x· 1
20
= 33· 1
20
⇐⇒ x= 33
20
b)
3 (x− 4)− 2 (1− x) = 2 (x− 1)
⇐⇒ 3 · x+ 3 · (−4)− 2 · 1− 2 · (−x) = 2 · x+ 2 · (−1)
⇐⇒ 3x− 12− 2 + 2x = 2x− 2
⇐⇒ 5x− 14 = 2x− 2
⇐⇒ 5x− 14−2x = 2x− 2−2x
⇐⇒ 3x− 14 = −2
⇐⇒ 3x− 14+14 = −2+14
⇐⇒ 3x = 12
⇐⇒ 3x·1
3
= 12·1
3
⇐⇒ x = 4
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 11
c)
3
(
1− x− 1
3
)
=
1
3
(3x− 7)
⇐⇒ 3 · 1− 3 ·
(
x− 1
3
)
=
1
3
· 3x− 1
3
· 7
⇐⇒ 3− (x− 1) = x− 7
3
⇐⇒ 3− x+ 1 = 3x− 7
3
⇐⇒ 4− x = 3x− 7
3
⇐⇒ 3(4− x) = 3x− 7
⇐⇒ 12− 3x = 3x− 7
⇐⇒ −3x− 3x = −7− 12
⇐⇒ −6x = −19
⇐⇒ x = −19−6
⇐⇒ x = 19
6
d)
6− 3x
5
=
1
10
⇐⇒ 6− 3x
5
· 10 = 1
10
· 10
⇐⇒ 6− 3x
5
· >210 = 1
10
· 10
⇐⇒ (6− 3x) · 2 = 1
⇐⇒ 2 · (6− 3x) = 1
⇐⇒ 12− 6x = 1
⇐⇒ −6x = 1− 12
⇐⇒ −6x = −11
⇐⇒ x = −11−6
⇐⇒ x = 11
6
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 12
e)
3x− 8
4
=
4x− 20
5
⇐⇒ 3x− 8
4
· 20 = 4x− 20
5
· 20
⇐⇒ 3x− 8
4
· >520 = 4x− 20
5
· >420
⇐⇒ (3x− 8) · 5 = (4x− 20) · 4
⇐⇒ 5 · (3x− 8) = 4 · (4x− 20)
⇐⇒ 15x− 40 = 16x− 80
⇐⇒ 15x− 16x = −80 + 40
⇐⇒ −x = −40
⇐⇒ x = 40.
Uma observac¸a˜o!
As equac¸o˜es de primeiro grau na˜o devem ser pensadas apenas como “questo˜es”ou “exerc´ıcios”por
si so´. Muitas vezes, elas aparecem quando se esta´ tentando relacionar as informac¸o˜es dadas em
problemas, servindo assim, como ferramenta de modelagem destes problemas.
Nos exerc´ıcios abaixo, equac¸o˜es de primeiro grau sera˜o utilizadas como ferramentas em problemas
envolvendo conjuntos. Experimente utilizar uma varia´vel para representar a quantidade que voceˆ
quer determinar, ou alguma outra quantidade relacionada ao problema.
Tente resolver o primeiro deles, o Exerc´ıcio ?? e, caso na˜o consiga (depois de tentar muito!), leia o
comec¸o do gabarito. Depois, volte ao exerc´ıcio e tente seguir sozinho ate´ o fim.
Nos exerc´ıcios ?? e ??, voceˆ utilizara´ equac¸o˜es de primeiro grau para descobrir nu´meros de elementos
de conjuntos. Experimente denotar por uma varia´vel (x, por exemplo) a quantidade de elementos de
algum dos conjuntos envolvidos.
Exerc´ıcio 8 Numa produc¸a˜o caseira de uma quantidade q de bombons, sabe-se que o custo C e´
igual a soma do dobro da quantidade a ser produzida com um custo fixo de R$ 16,00. A receita R
obtida pela comercializac¸a˜o deste produto e´ igual a 5 vezes a quantidade produzida. Sabendo que
o lucro L e´ dado pela diferenc¸a entre a receita e o custo, escreva a equac¸a˜o que representa uma
produc¸a˜o com lucro igual a R$ 50,00. Neste caso, determine quantos bombons sa˜o produzidos.
Soluc¸a˜o: Pelo enunciado q e´ a quantidade de bombons a ser produzida.
Como o custo C e´ igual a soma do dobro da quantidade a ser produzida com um custo fixo de R$
16,00, temos a equac¸a˜o
C = 2q + 16.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 13
Como a receita R obtida pela comercializac¸a˜o deste produto e´ igual a 5 vezes a quantidade produzida,
temos
R = 5q.
Como o lucro L e´ dado pela diferenc¸a entre a receita e o custo, temos
L = R− C = 5q − (2q + 16) = 3q − 16.
Assim, a equac¸a˜o que representa uma produc¸a˜o com lucro igual a R$ 50,00 e´ escrito por
L = 50 =⇒ 3q − 16 = 50 .
Resolvendo essa equac¸a˜o, vem que:
3q − 16 = 50
⇐⇒ 3q − 16 + 16 = 50 + 16
⇐⇒ 3q = 66
⇐⇒ 1
3
· 3q = 1
3
· 66
⇐⇒ q = 22
Isto significa, que quando o lucro e´ igual a R$ 50,00 sa˜o produzidos 22 bombons.
Exerc´ıcio 9 Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, sendo que cada
um deveria contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes
da arrecadac¸a˜o e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de
pagar R$ 27,00 a mais do que antes. No entanto, o diretor, para ajudar, contribuiu com R$ 630,00.
Quanto pagou cada aluno participante da festa?
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio foi retirado do livro Matema´tica e Lo´gica para Concursos de Jose´ Luiz de Morais, da
Editora Saraiva.
Soluc¸a˜o: Representando o total de alunos que inicialmente faziam parte da classe por a, segue que
o total de alunos que efetivamente contribuiram com a festa foi de a−7, depois que 7 deles deixaram
a escola. Como as despesas na˜o foram alteradas depois da sa´ıda destes alunos, segue que o que os
alunos da classe iam arrecadar inicialmente ficou igual ao que os alunos restantes arrecadaram. Ou
seja,
135 a = (135 + 27)(a− 7)
Resolvendo essa equac¸a˜o obtemos
135 a = (135 + 27)(a− 7)
⇐⇒ 135 a = 162 (a− 7)
⇐⇒ 135 a = 162 a− 1134
⇐⇒ 135 a− 162 a = −1134
⇐⇒ −27 a = −1134
⇐⇒ a = −1134−27
⇐⇒ a = 42.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 14
Encontramos o total de alunos que dividiriam, inicialmente, o total das despesas; esse total e´ igual a
42 ·R$ 135, 00 = R$ 5670, 00.
Como o diretor contribuiu com R$ 630,00, essa despesa diminuiu para R$ 5040,00, montante que
devera´ ser dividido entre os alunos restantes, ou seja, 42− 7 = 35 alunos.
Assim, temos que cada aluno participante da festa pagou
R$ 5040, 00
35
= R$ 144, 00.
Exerc´ıcio 10 Em uma cidade de 100 habitantes, sa˜o vendidas duas marcas de sabonetes, A e B.
Sabe-se que 12 pessoas compram ambas as marcas; que o nu´mero de pessoas que compra a marca
A e´ o triplo do que compra a marca B; e que apenas 16 pessoas na˜o compram A e nem B.
Determine quantas pessoas compram apenas a marca A.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de U o conjunto de todos os habitantes da cidade, de A o conjunto dos
compradores da marca A e de B o conjunto dos compradores da marca B.
A informac¸a˜o de que “12 pessoas compram ambas as marcas”, nos da´ enta˜o que n(A ∩ B) = 12.
Ale´m disso, como “apenas 16 pessoas na˜o compram A e nem B”, temos n(U − (A ∪ B)) = 16.
Temos enta˜o o seguinte diagrama:
Se chamarmos de x o percentual de pessoas que compram exclusivamente a marca B, como no
diagrama abaixo,
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 15
teremos n(B) = x+ n(A∩B) = x+12. Como o nu´mero de compradores da marca A e´ o triplo de
compradores de B, temos
n(A) = 3n(B) = 3 (x+ 12) = 3x+ 36.
Ale´m disso, o nu´mero de compradores exclusivos da marca A sera´ dado por
n(A)− n(A ∩B) = (3x+ 36)− 12 = 3x+ 24.
Reunindo todas as informac¸o˜es no diagrama, temos:
Com isso, podemos ver que
(3x+ 24) + 12 + x+ 16 = 100,
logo
4x = 100− 52 ∴ 4x = 48 · t ∴ x = 12.
O percentual de compradores exclusivos de A sera´ enta˜o
n(A)− n(A ∩B) = 3 · 12 + 24 = 60.
Com isso, 60 pessoas compram apenas a marca A.
Exerc´ıcio 11 Na cidade de Sa˜o Miguel de Longe a` Bec¸a, com populac¸a˜o de 300 habitantes, circu-
lam apenas dois jornais, a Folha da Madrugada e o Correio da Noite Alta. Sabe-se que a Folha da
Madrugada possui o triplo de leitores que seu concorrente e que 50 pessoas sa˜o leitoras de ambos os
jornais. Sabe-se tambe´m que 150 pessoas na˜o leem jornal algum.
a) Quantos moradores desta cidade leem apenas o Correio da Noite Alta?
b) Quantos leitores possui a Folha da Madrugada?
Soluc¸a˜o:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 16
a) Vamos chamar de x o nu´mero de pessoas que leem apenas o Correio da Noite Alta. Assim, o
nu´mero de leitores deste jornal sera´ dado por x + 50 (nu´mero de leitores exclusivos do Correio
somado ao nu´mero de leitores de ambos os jornais).
Desta forma, o nu´mero de leitores da Folha da Madrugada, que e´ o triplo do nu´mero de leitores
do Correio, sera´ dado por 3(x+ 50) = 3x+ 150 e, com isso, o nu´mero de leitores exclusivos da
Folha sera´ 3x+ 150− 50 = 3x+ 100. Temos enta˜o o seguinte diagrama:
Com isso,
(3x+ 100) + 50 + x+ 150 = 300,
logo
4x+ 300 = 300,
e enta˜o x = 0.
Portanto, ningue´m leˆ apenas o Correio da Noite Alta!
b) Como vimos no item anterior, o nu´mero de leitores da Folha da Madrugada e´ dado por 3x+150 =
3 · 0 + 150 = 150.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
GABARITO dos Exercícios Programados/EP3-2018-1-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP3 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 3 do Caderno Dida´tico.
Atenc¸a˜o!!!
Esta e´ o gabarito do EP3. Na˜o estude apenas por ele, antes, leia a versa˜o de questo˜es do EP, que
traz uma breve explicac¸a˜o de alguns pontos importantes da teoria desta aula. E lembre-se sempre
que, antes de consultar os gabaritos das questo˜es, voceˆ deve tentar resolveˆ-las!
Exerc´ıcio 1 Determine se as proposic¸o˜es compostas abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas:
a) O Brasil fica na Ame´rica do Sul e a Inglaterra fica na A´frica.
b) A China fica na Ame´rica do Sul ou o Canada´ fica na Ame´rica do Norte.
c) A Argentina fica na Ame´rica do Sul ou o Chile fica na Ame´rica do Sul.
d) A Coloˆmbia fica na A´frica e Portugal fica na Ame´rica do Sul.
e) Cuba fica na Europa ou o Japa˜o fica na Ame´rica do Norte.
Soluc¸a˜o:
a) Falsa.
O conectivo e´ a conjunc¸a˜o “e”. Logo, uma proposic¸a˜o composta e´ verdadeira se ambas as
proposic¸o˜es envolvidas sa˜o verdadeiras.
Como neste item, a segunda proposic¸a˜o envolvida e´ falsa segue que a proposic¸a˜o composta e´
falsa.
b) Verdadeira.
O conectivo e´ a disjunc¸a˜o “ou”. Logo, para que uma proposic¸a˜o composta seja verdadeira
basta que uma das proposic¸o˜es envolvidas seja verdadeira.
Como neste item, a segunda proposic¸a˜o envolvida e´ verdadeira, segue que a proposic¸a˜o com-
posta e´ verdadeira.
c) Verdadeira.
O conectivo e´ a disjunc¸a˜o “ou”. Logo, para que uma proposic¸a˜o composta seja verdadeira
basta que uma das proposic¸o˜es envolvidas seja verdadeira.
Como neste item, as duas proposic¸o˜es envolvidas sa˜o verdadeiras, segue que a proposic¸a˜o
composta e´ verdadeira.
d) Falsa.
O conectivo e´ a conjunc¸a˜o “e”. Logo, uma proposic¸a˜o composta e´ verdadeira se ambas as
proposic¸o˜es envolvidas sa˜o verdadeiras.
Como neste item, as duas proposic¸o˜es envolvidas sa˜o falsas segue que a proposic¸a˜o composta
e´ falsa.
Me´todos Determin´ısticos I EP3 2
e) Falsa.
O conectivo e´ a disjunc¸a˜o “ou”. Logo, para que uma proposic¸a˜o composta seja verdadeira
basta que uma das proposic¸o˜es envolvidas seja verdadeira.
Como neste item, as duas proposic¸o˜es envolvidas sa˜o falsas, segue que a proposic¸a˜o composta
e´ falsa.
Exerc´ıcio 2 Qual a negac¸a˜o das proposic¸o˜es abaixo:
a) p: Hoje e´ sexta-feira
b) q: O meu pai era paulista
c) r: Amanha˜ na˜o sera´ sa´bado
d) Antes de pensarmos em quantificadores ou coisa do tipo, tente, usando apenas sua intuic¸a˜o
lo´gico-matema´tica, dizer qual e´ a negac¸a˜o da proposic¸a˜o abaixo:
s: Ningue´m e´ forte o bastante para me deter!
Antes que voceˆ diga que
∼ s: Todo mundo e´ forte o bastante para me deter!
lembre-se de que a negac¸a˜o e´ o oposto lo´gico, na˜o o antoˆnimo no portugueˆs. Tente pensar o que
precisa acontecer para que eu esteja mentindo ao fazer a afirmac¸a˜o p.
Soluc¸a˜o:
a) ∼ p: Hoje na˜o e´ sexta-feira
b) ∼ q: O meu pai na˜o era paulista
c) ∼ r: Amanha˜ sera´ sa´bado
d) Ora, para que s seja falso, isto e´, para que seja mentira que Ningue´m e´ forte o bastante
para me deter!, basta que exista pelo menos uma pessoa forte o bastante para me deter!
Assim,
∼ s: Existe alguma pessoa forte o bastante para me deter!
ou ainda
∼ s: Algue´m e´ forte o bastante para me deter!
Entendido?
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 3
Exerc´ıcio 3 Surfo ou estudo. Fumo ou na˜o surfo. Velejo ou na˜o estudo. Ora, na˜o velejo. Assim,
(A) Estudo e fumo.
(B) Na˜o fumo e surfo.
(C) Na˜o velejo e na˜o fumo.
(D) Estudo e na˜o fumo.
(E) Fumo e surfo.
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o da prova da ANEEL (Ageˆncia Nacional de Energia Ele´trica – Aneel – 2004
– Esaf) e e´ uma questa˜o t´ıpica em provas de racioc´ınio lo´gico. Como exemplo, vamos resolveˆ-la.
Soluc¸a˜o: Nesse tipo de questa˜o, primeiro nos da˜o algumas proposic¸o˜es como “fatos”, isto e´, pro-
posic¸o˜es que devemos considerar que sa˜o verdadeiras. Chamamos a essas proposic¸o˜es de premissas.
Neste caso, as premissas sa˜o as seguintes:
Premissas:
Surfo ou estudo.
Fumo ou na˜o surfo.
Velejo ou na˜o estudo.
Na˜o velejo.
Geralmente as premissas sa˜o formadas por proposic¸o˜es compostas (como as treˆs primeiras acima).
A partir delas temos que descobrir quais proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas. Ado-
taremos o seguinte me´todo para resolver estas questo˜es:
1) Escrever as proposic¸o˜es simples e escolher uma letra diferente para designar cada proposic¸a˜o:
Proposic¸o˜es:
s: surfo
e: estudo
f : fumo
v: velejo
Nosso objetivo e´ determinar quais dessas proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas.
2) Escrever as premissas usando as letras que designam as proposic¸o˜es e os s´ımbolos dos conectivos
lo´gicos (o s´ımbolo de “e” e´ ∧ e o de “ou” e´ ∨. A negac¸a˜o e´ representada por ∼.)
Premissas:
s ∨ e
f ∨ ∼ s
v ∨ ∼ e
∼ v
3) Analisar as premissas para descobrir quais proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas:
Comec¸ando pela u´ltima premissa, sabemos que e´ verdade ∼ v (pois isso foi dado como premissa).
Da´ı podemos concluir que v e´ falso (dizer que e´ verdade que na˜o velejo e´ o mesmo que dizer que e´
falso que velejo).
Agora avaliando a penu´ltima premissa, sabemos que v∨ ∼ e e´ verdade. Mas isso significa que pelo
menos uma das duas proposic¸o˜es elementares envolvidas deve ser verdadeira (pois ∨ significa “ou”).
Ja´ sabemos que v e´ falsa (conclu´ımos isso acima). Logo, ∼ e tem que ser verdadeiro. Da´ı podemos
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 4
concluir que e e´ falso.
Sabendo que e e´ falso, e olhando a primeira premissa, descobrimos que s e´ verdadeiro (pois se s
fosse falso, a premissa na˜o seria verdadeira, e premissas sempre sa˜o verdadeiras).
Finalmente, a segunda premissa nos garante que f e´ verdadeiro (pois ja´ vimos que ∼ s e´ falso).
Observando as alternativas da questa˜o, conclu´ımos que a correta e´ a letra E: surfo e fumo.
Exerc´ıcio 4 Leio jornal ou passeio. Passeio ou na˜o como fora. Como fora ou cozinho. Leio jornal
e na˜o cozinho.
a) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas no enunciado acima (escreva-as na forma afirmativa)
e designe para cada uma delas uma letra diferente.
b) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas
no enunciado.
c) Analise as premissas e marque verdadeiro ou falso nos pareˆnteses abaixo:
( ) Leio jornal.
( ) Passeio.
( ) Como fora.
( ) Cozinho.
Soluc¸a˜o:
a) Proposic¸o˜es:
l: leio jornal;
p: passeio;
f : como fora;
c: cozinho;
b) Premissas:
1) l ∨ p (Leio jornal ou passeio.)
2) p∨ ∼ f (Passeio ou na˜o como fora. )
3) f ∨ c (Como fora ou cozinho.)
4) l∧ ∼ c (Leio jornal e na˜o cozinho.)
c) Pela u´ltima premissa ja´ sabemos que l e´ verdadeira e c e´ falsa, isto e´, leio jornal e na˜o cozinho.
Pela terceira premissa, como ja´ descobrimos que c e´ falsa, podemos deduzir que f e´ verdadeira,
ou seja, como fora.
Pela segunda premissa, como f e´ verdadeira, segue que ∼ f e´ falsa, o que implica que p tem
que ser verdadeira (ou a premissa seria falsa). Portanto, passeio.
Repare que mesmo sem usar a primeira premissa ja´ sabemos tudo o que desejamos:
(V) Leio jornal.
(V) Passeio.
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 5
(V) Como fora.
(F) Cozinho.
Exerc´ıcio 5 Sou brasileiro ou sou engenheiro. Sou magro ou na˜o sou brasileiro. Sou engenheiro ou
sou advogado. Na˜o sou magro ou na˜o sou engenheiro. Sou advogado ou sou pedreiro. Na˜o sou
magro
e na˜o sou pedreiro.
a) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas no enunciado acima (escreva-as na forma afirmativa)
e designe para cada uma delas uma letra diferente.
b) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas
no enunciado.
c) Analise as premissas e marque verdadeiro ou falso nos pareˆnteses abaixo:
( ) Sou brasileiro.
( ) Sou engenheiro.
( ) Sou magro.
( ) Sou advogado.
( ) Sou pedreiro.
d) Para resolver o item anterior voceˆ precisou usar todas as premissas?
Soluc¸a˜o:
a) Proposic¸o˜es:
b: sou brasileiro;
e: sou engenheiro;
m: sou magro;
a: sou advogado;
p: sou pedreiro;
b) Premissas:
1) b ∨ e
2) m∨ ∼ b
3) e ∨ a
4) ∼ m∨ ∼ e
5) a ∨ p
6) ∼ m∧ ∼ p
c) Pela u´ltima premissa ja´ sabemos que m e p sa˜o falsas.
Pela quinta premissa, como ja´ descobrimos que p e´ falsa, podemos deduzir que a e´ verdadeira.
Pela segunda premissa, como m e´ falsa, segue que ∼ b e´ verdadeira, isto e´, b e´ falsa.
Pela primeira premissa, como b e´ falsa, e tem que ser verdadeira.
Logo, temos:
(F) Sou brasileiro.
(V) Sou engenheiro.
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(F) Sou magro.
(V) Sou advogado.
(F) Sou pedreiro.
d) Na˜o. Foram utilizadas somente as premissas 1, 2, 5 e 6.
Exerc´ıcio 6 Considere os conjuntos A = {1, 3} e B = {a, b}. Decida se sa˜o verdadeiras ou falsas
as proposic¸o˜es a seguir.
a) 3 ∈ A e a ∈ A;
b) 1 ∈ A ou b ∈ A;
c) 3 ∈ A e {a} ⊂ B;
d) 1 6∈ A ou {b} ⊂ B
Observac¸a˜o: Nesta questa˜o continua-se a trabalhar com os conectivos “e”e “ou”, e se reve as relac¸o˜es de pertineˆncia
e inclusa˜o de conjuntos estudados na Semana 1.
Soluc¸a˜o:
a) Falsa
Como a proposic¸a˜o 3 ∈ A e´ verdadeira, a proposic¸a˜o a ∈ A e´ falsa e a proposic¸a˜o composta
e´ formada pelo conectivo “e”, segue que a proposic¸a˜o composta e´ falsa;
b) Verdadeira
Como a proposic¸a˜o 1 ∈ A e´ verdadeira, a proposic¸a˜o b ∈ A e´ falsa e a proposic¸a˜o composta e´
formada pelo conectivo “ou”, segue que a proposic¸a˜o composta e´ verdadeira;
c) Verdadeira
Como a proposic¸a˜o 3 ∈ A e´ verdadeira, a proposic¸a˜o {a} ⊂ B e´ verdadeira e a proposic¸a˜o
composta e´ formada pelo conectivo “e”, segue que a proposic¸a˜o composta e´ verdadeira;
d) Verdadeira
Como a proposic¸a˜o 1 6∈ A e´ falsa, a proposic¸a˜o {b} ⊂ B e´ verdadeira e a proposic¸a˜o composta
e´ formada pelo conectivo “ou”, segue que a proposic¸a˜o composta e´ verdadeira;
Exerc´ıcio 7 Considere os conjuntos A =
{
−1
2
, −3 , −1
6
}
, B =
{
−6 , −1
3
, 2
}
e C = {6 , 10}.
Escreva por extenso as proposic¸o˜es matema´ticas abaixo, e decida se elas sa˜o verdadeiras ou falsas.
Justifique suas respostas.
a) ∀ x ∈ A, 1/x ∈ B.
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 7
b) ∃ x ∈ A | 1/x ∈ B.
c) ∃ x ∈ B | ∀ y ∈ C, y/x e´ ı´mpar.
d) ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ C | ∃z ∈ A | x = yz.
Soluc¸a˜o:
a) Falsa.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Para todo x que pertence ao conjunto A, tem-se que
1/x pertence ao conjunto B”. Desta forma, para que a proposic¸a˜o seja verdadeira, e´ necessa´rio
que o inverso de todos os elemento do conjunto A pertenc¸am ao conjunto B. Isto e´ falso, pois
existe um elemento que pertence ao conjunto A, tal que seu inverso na˜o pertence ao conjunto
B. De fato, o elemento x = −1/2 ∈ A e´ tal que que 1/x = −2 6∈ B. Para mostrarmos que a
proposic¸a˜o e´ falsa, observe que bastou encontrarmos um elemento de A, o elemento x = −1/2,
tal que seu inverso na˜o pertence ao conjunto B.
b) Verdadeira.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Existe x que pertence ao conjunto A, tal que 1/x
pertence no conjunto B”. Para que a proposic¸a˜o acima seja verdadeira, devemos encontrar,
pelo menos, um elemento do conjunto A, de modo que 1/x pertenc¸a ao conjunto B. Isto e´
verdadeiro, pois, para x = −3 ∈ A, temos que 1
x
= −1
3
∈ B. Para mostrarmos que a proposic¸a˜o
e´ verdadeira, observe que precisamos pegar apenas um dos elementos de A e mostrar que o
inverso dele e´ um elemento de B.
c) Verdadeira.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Existe x que pertence ao conjunto B, tal que para
todo y que pertence no conjunto C, temos que y/x e´ ı´mpar”. Para que a proposic¸a˜o acima seja
verdadeira, devemos encontrar, pelo menos, um elemento do conjunto B, de modo que para todo
elemento y do conjunto C, o quociente y/x e´ um nu´mero ı´mpar. Isto e´ verdadeiro. Os elementos
do conjunto C sa˜o: 6 , 10. Se tomarmos o elemento x = 2 ∈ B , para y = 6 ∈ C, temos que
y
x
=
6
2
= 3 e´ ı´mpar e para y = 10 ∈ C, temos que y
x
=
10
2
= 5 e´ ı´mpar.
d) Falsa.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Para todo x que pertence ao conjunto B, existe y
que pertence no conjunto C e existe z que pertence no conjunto A, tal que x = yz”. Para
que a proposic¸a˜o acima seja verdadeira, para todo elemento x do conjunto B, devemos en-
contrar, pelo menos, um elemento y do conjunto C e, pelo menos, um elemento z do con-
junto A, tal que x seja o produto de y com z. Isto e´ falso. Os elementos do conjunto
A sa˜o: −1
2
, −3 , −1
6
, os elementos do conjunto B sa˜o: −6 , −1
3
, 2 e os elemen-
tos do conjunto C sa˜o: 6 , 10. Se tomarmos, por exemplo, o elemento x = −6 ∈ B ,
temos que −6 6= 6 ×
(
−1
2
)
= −3, −6 6= 6 × (−3) = −18, −6 6= 6 ×
(
−1
6
)
= −1,
−6 6= 10×
(
−1
2
)
= −5, −6 6= 10× (−3) = −30, −6 6= 10×
(
−1
6
)
= −5
3
. Para negarmos a
proposic¸a˜o, observe que bastou encontramos um elemento de B, o elemento x = 6, tal que todas
as combinac¸o˜es poss´ıveis de produtos envolvendo todos os elementos de C e todos os elementos
de A, onde uma das parcelas e´ um elemento de C e a outra e´ um elemento de A, nunca gera
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 8
x = −6 como resultado.
Exerc´ıcio 8 Escreva por extenso as proposic¸o˜es matema´ticas abaixo, e decida se sa˜o verdadeiras ou
falsas. Justifique suas respostas.
a) ∀x ∈ Q; x > 1
b) ∃y ∈ Z | y + 1 = −3
c) ∃z ∈ Z | z + 3 = 1/3
d) ∀m ∈ N; m+ 1 > 3
e) ∀p ∈ Z; ∃q ∈ Z | p+ q = 0
f) ∃q ∈ Z | ∀p ∈ Z, p+ q = 0
Soluc¸a˜o:
a) Para todo x racional, x e´ maior que 1. Falso, pois -1 e´ racional e na˜o e´ maior que 1.
b) Existe y inteiro tal que y + 1 = −3. Verdadeiro: considere y = −4.
c) Existe z inteiro tal que z + 3 = 1/3. Falso: para que z + 3 = 1/3, z teria que ser igual a
−8/3, que na˜o e´ um nu´mero inteiro.
d) Para todo m natural, m+ 1 > 3. Falso: para m = 1, m+ 1 = 2 < 3.
e) Para todo p inteiro, existe q inteiro tal que p + q = 0. Verdadeiro. Para cada p inteiro,
podemos tomar q = −p, enta˜o teremos p+ q = 0 (e q sera´ inteiro tambe´m).
f) Existe q inteiro tal que para todo p inteiro p+q = 0. Falso, pois existe, por exemplo, q = 2 ∈ Z
tal que nem todo elemento p de Z satisfaz p + 2 = 0. Considere, por exemplo, p = −3 ∈ Z.
Note que escolhendo um outro valor para q ∈ Z, sempre se conseguira´ encontrar p ∈ Z tal que
a soma p+ q na˜o seja igual a zero.
Observac¸a˜o para os itens (e) e (f): e´ muito importante perceber que o simples fato de ter mudado a
ordem dos quantificadores nos dois u´ltimos itens, muda totalmente o significado das proposic¸o˜es. Em
(e) pergunta´vamos se para cada p existe um q que “o anula”, ja´ no item seguinte, pergunta´vamos
se existe um mesmo q que “anula” todo e qualquer p.
Exerc´ıcio 9 Em uma sala de aula, estudam:
• Ana, que na˜o usa o´culos e e´ loira.
• Joa˜o, que na˜o usa o´culos e e´ ruivo.
• Maria, que na˜o usa o´culos e tem cabelos castanhos.
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 9
• Matheus Reis, que usa o´culos e tem cabelos azuis.
• Matheus Vieira, que na˜o usa o´culos e tambe´m tem cabelos azuis.
• Pedro, que usa o´culos e tem cabelos castanhos.
• Zulmira, que na˜o usa o´culos e e´ ruiva.
Sobre esta turma, sa˜o feitas as seguintes afirmac¸o˜es.
p: Se usa o´culos, enta˜o e´ homem.
q: Se e´ homem, enta˜o usa o´culos.
r: Se tem cabelos azuis, enta˜o se chama Matheus
s: Se se chama Matheus, enta˜o tem cabelos azuis
t: Se tem cabelos azuis, enta˜o e´ homem.
u: Se na˜o usa o´culos, enta˜o e´ mulher
v: Se aluno e´ mulher, enta˜o na˜o usa o´culos
w: Se e´ ruivo, enta˜o na˜o usa o´culos
Preencha as lacunas abaixo com V (verdadeiro) ou F (falso), justificando minuciosamente:
( ) r e s
( ) u e v
( ) v ou t
( ) q ou w
( ) (∼t e q) ou u
Soluc¸a˜o:
(V) r e s
Precisamos verificar se r e s sa˜o ambas verdadeiras.
A afirmac¸a˜o
r: Se tem cabelos azuis, enta˜o se chama Matheus
diz que todo aluno de cabelos azuis se chama Matheus. Ela sera´ falsa se existir algum aluno
que tenha cabelos azuis e na˜o se chame Matheus (hipo´tese verdadeira e tese falsa), o que na˜o
e´ o caso. Assim, r e´ verdadeira.
A afirmac¸a˜o
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 10
s: Se se chama Matheus, enta˜o tem cabelos azuis
diz que todo aluno que se chama Matheus tem cabelos azuis. Ela sera´ falsa se existir algum
aluno que se chame Matheus e na˜o tenha cabelos azuis (hipo´tese verdadeira e tese falsa), o
que na˜o e´ o caso. Assim, s e´ verdadeira.
Com isso, “r e s”e´ verdadeira!
(F) u e v
Precisamos verificar se u e v sa˜o ambas verdadeiras.
A afirmac¸a˜o
u: Se na˜o usa o´culos, enta˜o e´ mulher
diz que todo aluno que na˜o usa o´culos e´ mulher. Ela sera´ falsa se existir algum aluno que na˜o
use o´culos e na˜o seja mulher (hipo´tese verdadeira e tese falsa). Tal aluno existe, veja o Joa˜o
e o Matheus. Com isso, u e´ falsa.
Com isso, a afirmac¸a˜o “u e v”e´ falsa, na˜o sendo necessa´rio avaliar v. Avaliaremos v, pore´m,
por diversa˜o e tambe´m porque pode ser u´til mais tarde.
A afirmac¸a˜o
v: Se aluno e´ mulher, enta˜o na˜o usa o´culos
diz que todo aluno que e´ mulher na˜o usa o´culos. Ela sera´ falsa se existir algum aluno mulher
e que use o´culos (hipo´tese verdadeira e tese falsa), o que na˜o e´ o caso. Assim, v e´ verdadeira.
(V) v ou t
Precisamos verificar se pelo menos uma das duas afirmac¸o˜es v e t e´ verdadeira.
Como vimos acima, v e´ verdadeira, logo “v ou t”e´ verdadeira. Na˜o precisamos avaliar t, mas
faremos!
A afirmac¸a˜o
t: Se tem cabelos azuis, enta˜o e´ homem.
diz que todo aluno de cabelos azuis e´ homem. Ela sera´ falsa se existir algum aluno que tenha
cabelos azuis e na˜o seja homem (hipo´tese verdadeira e tese falsa), o que na˜o e´ o caso. Assim,
t e´ verdadeira.
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 11
(V) q ou w
Precisamos verificar se pelo menos uma das duas afirmac¸o˜es q e w e´ verdadeira.
A afirmac¸a˜o
q: Se e´ homem, enta˜o usa o´culos.
diz que todo aluno que e´ homem usa o´culos. Ela sera´ falsa se existir algum aluno homem e que
na˜o use o´culos (hipo´tese verdadeira e tese falsa). Tal aluno existe, veja o Joa˜o e o Matheus.
Com isso, q e´ falsa.
A afirmac¸a˜o
w: Se e´ ruivo, enta˜o na˜o usa o´culos
diz que todo aluno ruivo na˜o usa o´culos. Ela sera´ falsa se existir algum aluno ruivo e que use
o´culos (hipo´tese verdadeira e tese falsa), o que na˜o e´ o caso. Assim, w e´ verdadeira.
Com isso, “q ou w”e´ verdadeira!
(F) (∼t e q) ou u
Ja´ vimos que t e´ verdadeira, q e´ falsa e u e´ falsa. Com isso,
(∼t e q) ou u = (∼V e F) ou F = (F e F) ou F = F ou F = F.
Exerc´ıcio 10 Escreva a negac¸a˜o das afirmativas abaixo:
a) Toda casa tem um dono.
b) Existe gato que gosta de a´gua.
c) Existe cachorro que na˜o persegue gato.
d) Toda menina baiana tem um jeito que Deus da´.
e) Todo boteco que se preza diz que na˜o vende fiado.
Soluc¸a˜o:
a) Existe casa que na˜o tem um dono.
b) Todo gato na˜o gosta de a´gua (ou nenhum gato gosta de a´gua, ou, ainda, na˜o existe gato que
gosta de a´gua).
c) Todo cachorro persegue gato.
b) Existe menina baiana que na˜o tem um jeito que Deus da´.
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 12
b) Existe boteco que se preza que na˜o diz que na˜o vende fiado.
Exerc´ıcio 11 O conjunto A∪B pode ser descrito, por uma propriedade satisfeita por seus elementos,
como
A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Descreva, por meio de uma propriedade satisfeita por seus elementos (isto e´, na forma {x|...}), os
conjuntos
a) A ∩B
b) A−B
c) A ∩B ∩ C
d) (A ∪B)− C
Soluc¸a˜o: Descrevendo cada conjunto por meio de uma propriedade, temos
a) A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
b) A−B = {x|x ∈ A ∧ x /∈ B} ou ainda A−B = {x|x ∈ A∧ ∼ (x ∈ B)}
c) A ∩B ∩ C = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C}
d) (A ∪B)− C = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x /∈ C} ou ainda
(A ∪B)− C = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B)∧ ∼ (x ∈ C)}
Exerc´ıcio 12 A proposic¸a˜o “A ⊂ B”pode ser escrita, utilizando quantificadores, como
“∀x ∈ A, x ∈ B”. Note que as duas expresso˜es sa˜o equivalentes. Escreva, utilizando quantifi-
cadores, expresso˜es equivalentes a
a) A 6⊂ B
b) A ⊂ (B ∪ C)
c) A−B = ∅
Soluc¸a˜o: Descrevendo cada conjunto por meio de uma propriedade, temos
a) A 6⊂ B equivale a ∃x ∈ A|x /∈ B
b) A ⊂ (B ∪ C) equivale a ∀x ∈ A, x ∈ B ∨ x ∈ C
c) A−B = ∅ equivale a ∀x ∈ A, x ∈ B ou ainda @x ∈ A|x /∈ B
Exerc´ıcio 13 Considere os conjuntos A = {7, 8} e B = {9, 10}.
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 13
1. Escreva por extenso a proposic¸a˜o abaixo e decida se ela e´ verdadeira ou falsa, justificando
cuidadosamente sua resposta.
p : ∀a ∈ A, ∃b ∈ B | b = a+ 2.
2. Escreva por extenso a proposic¸a˜o abaixo e decida se ela e´ verdadeira ou falsa, justificando
cuidadosamente sua resposta.
q : ∃b ∈ B | ∀a ∈ A, b = a+ 2.
Soluc¸a˜o:
a) Vamos, primeiramente, escrever a proposic¸a˜o p por extenso.
p : Para todo a pertencente a A, existe b pertencente a B tal que b e´ igual a a mais dois.
A proposic¸a˜o p e´ verdadeira.
Para a = 7, tomamos b = 9 e temos que b = a+ 2.
Para a = 8, tomamos b = 10 e temos que b = a+ 2.
b) Vamos, primeiramente, escrever a proposic¸a˜o p por extenso.
q : Existe b pertencente a B tal que, para todo a pertencente a A, b e´ igual a a mais dois.
A proposic¸a˜o q e´ falsa.
Para b = 9, tomamos a = 8, de modo que b 6= a+ 2.
Para b = 10, tomamos a = 7, de modo que b 6= a+ 2.
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GABARITO dos Exercícios Programados/EP4-2018-1-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP4 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado nas Aulas 4 e 5 do Caderno Dida´tico.
Exerc´ıcio 1 Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposic¸o˜es compostas a seguir. Jus-
tifique.
a) Se a Amazoˆnia e´ uma floresta enta˜o ha´ praias no Rio de Janeiro.
b) Se respiramos oxigeˆnio, enta˜o temos guelras.
c) Se o Snoopy era um gato, enta˜o o Garfield era um cachorro.
d) Se Salvador e´ a capital do Brasil, enta˜o o Rio de Janeiro fica na regia˜o Sudeste.
e) Se existe chuva de canivete, enta˜o os canivetes evaporam quando deixados no Sol.
Soluc¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ sobre a ana´lise do valor-verdade de proposic¸o˜es condicionais. Neste
caso, sabemos que a proposic¸a˜o condicional so´ podera´ ser considerada falsa se a primeira proposic¸a˜o
elementar do condicional for verdadeira e a proposic¸a˜o elementar que ela implica
for falsa. Em todos
os outros casos, a proposic¸a˜o condicional sera´ verdadeira. Confira abaixo.
a) Verdadeira. A primeira proposic¸a˜o elementar e´ verdadeira e a proposic¸a˜o elementar que ela
implica tambe´m e´ verdadeira.
b) Falsa. A primeira proposic¸a˜o elementar e´ verdadeira, pore´m aparece implicando uma proposic¸a˜o
que e´ falsa.
c) Verdadeira. A primeira proposic¸a˜o elementar e´ falsa, logo qualquer que seja a segunda pro-
posic¸a˜o o resultado e´ verdadeiro. (Veja que a proposic¸a˜o na˜o faz nenhuma afirmac¸a˜o sobre a
espe´cie de Garfield, caso Snoopy na˜o seja um gato).
d) Verdadeira. Como no item anterior, aqui tambe´m a primeira proposic¸a˜o do condicional e´ falsa.
Logo, o resultado e´ verdadeiro qualquer que seja a segunda proposic¸a˜o (Se Salvador na˜o e´ a
capital do Brasil, a frase na˜o representa nenhum comprometimento quanto a` localizac¸a˜o do
Rio de Janeiro.)
e) Verdadeira. Vale o mesmo que nos dois itens anteriores, como a primeira afirmativa e´ falsa,
na˜o importa o absurdo que venha depois, o resultado na˜o representa uma mentira.
Exerc´ıcio 2 Determine se as proposic¸o˜es compostas abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique.
a) Bananas sa˜o vermelhas se e somente se existem mac¸a˜s verdes.
b) A bandeira brasileira e´ lila´s se e somente se ha´ peixes no mar.
c) Os peixes sabem respirar sob a a´gua se e somente se ha´ elefantes que voam.
Me´todos Determin´ısticos I EP4 2
d) As bananeiras da˜o mac¸a˜s se e somente se os golfinhos teˆm asas.
Soluc¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ sobre a ana´lise do valor-verdade de proposic¸o˜es bicondicionais. Neste caso,
sabemos que a proposic¸a˜o bicondicional so´ podera´ ser considerada falsa se as proposic¸o˜es elementares
possu´ırem valores-verdade opostos. Confira abaixo.
a) Falsa. A primeira proposic¸a˜o elementar e´ falsa, mas a segunda e´ verdadeira, logo o resultado
do bicondicional e´ falso.
b) Falsa. Vale o mesmo do item anterior.
c) Falsa. A primeira proposic¸a˜o elementar e´ verdadeira, mas a segunda e´ falsa, logo o resultado
do bicondicional e´ falso.
d) Verdadeira. A primeira proposic¸a˜o elementar e´ falsa, mas a segunda tambe´m e´ falsa, logo o
resultado do bicondicional e´ verdadeiro (as duas proposic¸o˜es elementares teˆm o mesmo valor
lo´gico).
Exerc´ıcio 3 Complete a tabela verdade a seguir.
p q p⇒ q p ∨ q p∨ ∼ p q∧ ∼ q p ∧ q ∼ p⇒ q ∼ q ⇒∼ p
V V
V F
F V
F F
Soluc¸a˜o:
p q p⇒ q p ∨ q p∨ ∼ p q∧ ∼ q p ∧ q ∼ p⇒ q ∼ q ⇒∼ p
V V V V V F V V V
V F F V V F F V F
F V V V V F F V V
F F V F V F F F V
Observac¸a˜o: Se voceˆ resolveu o exerc´ıcio acima, descobriu que o resultado da primeira proposic¸a˜o
composta e´ igual ao da u´ltima em todas as linhas da tabela. Quando isso ocorre dizemos que as
duas proposic¸o˜es sa˜o equivalentes. Ja´ a terceira proposic¸a˜o composta, voceˆ deve ter visto que e´
sempre verdadeira. Isso e´ o que chamamos de tautologia. Ao contra´rio desta, ha´ a quarta proposic¸a˜o
composta, que e´ sempre falsa, e´ o que chamamos de contradic¸a˜o.
Exerc´ıcio 4 Andre´ e´ inocente ou Beto e´ inocente. Se Beto e´ inocente, enta˜o Caio e´ culpado. Caio
e´ inocente se e somente se Deˆnis e´ culpado. Ora, Deˆnis e´ culpado. Logo,
(A) Caio e Beto sa˜o inocentes.
(B) Caio e Andre´ sa˜o inocentes.
(C) Andre´ e Beto sa˜o inocentes.
(D) Caio e Deˆnis sa˜o culpados.
(E) Andre´ e Deˆnis sa˜o culpados.
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Me´todos Determin´ısticos I EP4 3
Observac¸a˜o: Essa questa˜o foi desenvolvida pela Escola de Administrac¸a˜o Fazenda´ria (ESAF) – (Fiscal Recife/2003/Esaf).
Soluc¸a˜o:
a) Proposic¸o˜es simples:
a: Andre´ e´ inocente
b: Beto e´ inocente
c: Caio e´ inocente
d: Deˆnis e´ inocente
b) Premissas:
1) a ∨ b
2) b⇒∼ c
3) c⇔∼ d
4) ∼ d
c) Vamos analisar as premissas. Ja´ sabemos pela 4 que d e´ falsa, isto e´, Deˆnis e´ culpado. Logo,
pela premissa 3, seque que c e´ verdadeira, ou seja, Caio e´ inocente. Mas isso significa que ∼ c e´
falsa, logo como a premissa 2 tem que ser verdadeira, podemos concluir que b e´ falsa (caso contra´rio
ter´ıamos uma afirmativa verdadeira implicando uma falsa, o que resultaria na falsidade da premissa
2). Da´ı sabemos que Beto e´ culpado. Mas se b e´ falsa, pela premissa 1 a e´ verdadeira, isto e´, Andre´
e´ inocente.
Conclusa˜o: Andre´ e´ inocente, Beto e´ culpado, Caio e´ inocente e Deˆnis e´ culpado. A resposta correta
na questa˜o da Esaf e´ a letra B.
Exerc´ıcio 5 Considere a afirmac¸a˜o P: “A ou B”, onde A e B, por sua vez, sa˜o as seguintes
afirmac¸o˜es:
A: “Carlos e´ dentista.”
B:“Se Eˆnio e´ economista, enta˜o Juca e´ arquiteto.”
Ora, sabe-se que a afirmac¸a˜o P e´ falsa. Logo,
(A) Carlos na˜o e´ dentista, Eˆnio na˜o e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto.
(B) Carlos na˜o e´ dentista, Eˆnio e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto.
(C) Carlos na˜o e´ dentista, Eˆnio e´ economista, Juca e´ arquiteto.
(D) Carlos e´ dentista, Eˆnio na˜o e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto.
(E) Carlos e´ dentista, Eˆnio e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto.
Observac¸a˜o: A questa˜o a seguir foi desenvolvida pela Escola de Administrac¸a˜o Fazenda´ria (ESAF) para um concurso
de gestor fazenda´rio em 2005.
Soluc¸a˜o: Para que uma disjunc¸a˜o, isto e´, uma proposic¸a˜o tipo “A ou B” seja falsa, e´ necessa´rio
que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, a premissa diz que A e´ falsa e B tambe´m e´ falsa.
Dizer que A e´ falsa e´ dizer que Carlos na˜o e´ dentista.
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Me´todos Determin´ısticos I EP4 4
Por outro lado, a proposic¸a˜o B e´ uma condicional, logo, se ela e´ falsa, significa que Eˆnio e´ economista
mas Juca na˜o e´ arquiteto. A resposta correta e´ a letra B.
Exerc´ıcio 6 (Esaf/2002) O Rei ir a cac¸a e´ condic¸a˜o necessa´ria para o duque sair do castelo e e´
condic¸a˜o suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa e´
condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para o bara˜o sorrir e e´ condic¸a˜o necessa´ria para a duquesa ir ao
jardim. O bara˜o na˜o sorriu. Logo:
(A) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.
(B) se o duque na˜o saiu do castelo, enta˜o o conde encontrou a princesa.
(C) o rei na˜o foi a` cac¸a e o conde na˜o encontrou a princesa.
(D) o rei foi a cac¸a e a duquesa na˜o foi ao jardim.
(E) o duque saiu do castelo e o rei na˜o foi a cac¸a.
Soluc¸a˜o: Vamos usar a mesma estrate´gia que ja´ usamos antes. Primeiro vamos escrever as pro-
posic¸o˜es elementares e representa´-las por letras:
r: Rei ir a cac¸a;
d: duque sair do castelo;
j: duquesa ir ao jardim;
c: conde encontrar a princesa;
b: bara˜o sorrir.
Agora vamos escrever as premissas usando os s´ımbolos lo´gicos:
d⇒ r (o rei ir a cac¸a e´ condic¸a˜o necessa´ria para o duque sair do castelo);
r ⇒ j (o rei ir a cac¸a e´ condic¸a˜o suficiente para a duquesa ir ao jardim);
c⇔ b (o conde encontrar a princesa e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para o bara˜o sorrir);
j ⇒ c (o conde encontrar a princesa e´ condic¸a˜o necessa´ria para a duquesa ir ao jardim);
∼ b (o bara˜o na˜o sorriu).
Falta apenas analisar as premissas que temos.
Pela u´ltima ja´ sabemos que b e´ falsa.
Pela terceira premissa, se b e´ falsa, c tambe´m tem que ser falsa.
Pela quarta premissa, se c e´ falsa, j tambe´m tem que ser falsa.
Pela segunda premissa, se j e´ falsa, r tambe´m tem que ser falsa.
Pela primeira premissa, se r e´ falsa, d tambe´m tem que ser falsa.
Logo, todas as proposic¸o˜es elementares que consideramos sa˜o falsas:
O rei na˜o foi a cac¸a, o duque na˜o saiu do castelo, a duquesa na˜o foi ao jardim, o conde na˜o
encontrou a princesa e o bara˜o na˜o sorriu.
A resposta correta e´ a letra C.
Exerc´ıcio 7 Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}. Escreva por extenso as proposic¸o˜es abaixo e
decida se sa˜o falsas ou verdadeiras justificando sua resposta. A primeira esta´ resolvida como exemplo.
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Me´todos Determin´ısticos I EP4 5
a) x ∈ A⇒ x < 5
Por extenso: se x pertence a A, enta˜o x e´ menor que 5.
E´ verdadeira: veja que quando a primeira proposic¸a˜o elementar e´ verdadeira, isto e´, x ∈ A,
tambe´m temos a segunda verdadeira, pois todos os elementos de A sa˜o menores que 5. Observe
ainda que, quando usamos varia´veis como x para que uma proposic¸a˜o como essa seja verdadeira,
ela deve ser verdadeira para todos os valores de x poss´ıveis. Basta que um valor de x falhe
para que a proposic¸a˜o seja considerada falsa. Assim, se a questa˜o fosse x ∈ A ⇒ x ≤ 3, ela
seria falsa, pois um dos valores poss´ıveis para x e´ o 4 (veja que 4 ∈ A), mas 4 na˜o e´ menor
ou igual a 3.
b) x ∈ A⇒ x+ 2 ∈ B.
c) x ∈ A⇔ x+ 2 ∈ B.
d) y ∈ B ⇒ (y − 2 ∈ A ou y e´ ı´mpar)
e) ∀x ∈ N, x e´ par ⇒ x+ 1 e´ ı´mpar
f) ∀x ∈ R, x2 > 1⇔ x > 1
Soluc¸a˜o:
b) Se x pertence a A enta˜o x+ 2 pertence a B
A proposic¸a˜o e´ verdadeira, pois a primeira proposic¸a˜o elementar sera´ verdadeira quando x for
1, 2, 3 ou 4, e nesses casos, x+2 sera´ 3, 4, 5 ou 6, todos pertencentes a B, logo, sempre que
a primeira proposic¸a˜o for verdadeira a segunda tambe´m sera´.
c) x pertence a A se e somente se x+ 2 pertence a B
A proposic¸a˜o e´ falsa. Ja´ vimos que sempre que x pertence a A, x+2 pertence a B, entretanto
ha´ casos em que x+2 pertence a B e x na˜o pertence a A: basta tomar x = 5 (5 /∈ A, pore´m
7 ∈ B). Logo, as duas proposic¸o˜es na˜o sa˜o equivalentes (para que elas fossem equivalentes,
sempre que uma delas fosse verdadeira a outra tambe´m deveria ser).
d) Se y pertence a B, enta˜o: y − 2 pertence a A ou y e´ ı´mpar.
Verdadeira: Para que a primeira afirmativa seja verdadeira, y deve valer 3, 4, 5, 6 ou 7. Se
y for 3, 4, 5 ou 6, y − 2 sera´ 1, 2, 3 ou 4, e portanto pertencera´ a A. Falta apenas pensar
no caso em que y = 7. Mas, nesse caso, y e´ ı´mpar. Logo, em qualquer caso, se y pertence a
B e´ verdadeira a proposic¸a˜o y − 2 ∈ A ou y e´ ı´mpar, o que garante que nossa implicac¸a˜o e´
verdadeira.
e) Para todo x pertencente aos naturais, se x e´ par enta˜o x+ 1 e´ ı´mpar.
Verdadeira: sempre que a primeira proposic¸a˜o for verdadeira, isto e´, x for par, sabemos que a
segunda tambe´m sera´ verdadeira, isto e´, x+ 1 sera´ ı´mpar.
f) Para todo x real, x2 > 1 se e somente se x > 1.
Falso: como vimos, basta mostrar um x real para o qual uma das duas proposic¸o˜es elementares
seja verdadeira e a outra na˜o. Tomemos, por exemplo, x = −2 (e´ um nu´mero real). Enta˜o a
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Me´todos Determin´ısticos I EP4 6
proposic¸a˜o x2 > 1 e´ verdadeira pois (−2)2 = 4 > 1, pore´m a proposic¸a˜o x > 1 e´ falsa (pois
−2 < 1).
Exerc´ıcio 8 Classifique em va´lido ou inva´lido cada um dos argumentos abaixo. Justifique.
a) Premissas:
Se eu estudo, eu aprendo.
Se eu aprendo, eu passo de ano.
Eu estudo.
Conclusa˜o:
Eu passo de ano.
b) Premissas:
Se eu tenho sede, bebo a´gua.
Se eu bebo a´gua, na˜o me desidrato.
Conclusa˜o:
Se eu tenho sede, na˜o me desidrato.
c) Premissas:
Se eu estudo, na˜o vou ao cinema.
Se na˜o vou ao cinema, na˜o janto fora.
Hoje janto fora.
Conclusa˜o:
Hoje na˜o estudo.
d) Premissas:
Se o Pedrinho na˜o se comportasse, ficaria de castigo
Pedrinho ficou de castigo.
Conclusa˜o:
Pedrinho na˜o se comportou.
Soluc¸a˜o:
a) Este argumento e´ va´lido: Pela premissa 3, eu estudo. Juntando isso com a premissa 1, con-
clu´ımos que eu aprendo. Agora com a premissa 2, podemos concluir que passo de ano. Vamos
resolver usando a linguagem e a simbologia da lo´gica:
Proposic¸o˜es simples:
e: eu estudo;
a: eu aprendo;
p: eu passo de ano.
Premissas:
e⇒ a
a⇒ p
e
Ana´lise:
Pela premissa 3 e e´ verdadeira, logo pela premissa 1 a e´ verdadeira, logo pela premissa 2 p e´
verdadeira. Conclusa˜o: p e´ verdadeira, isto e´, passo de ano.
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Me´todos Determin´ısticos I EP4 7
b) Este argumento e´ va´lido: Pela premissa 1, se eu tenho sede, enta˜o eu bebo a´gua, e pela pre-
missa 2, enta˜o eu na˜o me desidrato. Vamos resolver usando a linguagem e a simbologia da
lo´gica:
Proposic¸o˜es simples:
s: tenho sede;
a: bebo a´gua;
d: me desidrato.
Premissas:
s⇒ a
a⇒∼ d
Ana´lise:
Se s e´ verdadeira, a e´ verdadeira pela premissa 1, mas se a e´ verdadeira, d e´ falsa pela premissa
2. Logo, se s e´ verdadeira, enta˜o d e´ falsa, isto e´, s⇒∼ d, que e´ a conclusa˜o (se tenho sede,
enta˜o na˜o me desidrato).
c) Este argumento e´ va´lido. Vamos resolver usando a linguagem e a simbologia da lo´gica:
Proposic¸o˜es simples:
e: eu estudo;
c: vou ao cinema;
j: janto fora.
Premissas:
e⇒∼ c
∼ c⇒∼ j
j
Ana´lise:
Pela premissa 3 j e´ verdadeira, logo a u´nica forma de que a premissa 2 seja verdadeira, e´
tendo ∼ c falso, isto e´, c verdadeiro. Da´ı, sabendo que c e´ verdadeiro, a u´nica forma de ter a
primeira premissa verdadeira e´ tendo e falso. Logo conclu´ımos que e e´ falso, isto e´, na˜o estudo.
d) O argumento na˜o e´ va´lido. Vamos resolver usando a linguagem e a simbologia da lo´gica:
Proposic¸o˜es simples:
p: Pedrinho se comporta;
c: Pedrinho fica de castigo.;
Premissas:
∼ p⇒ c
c
Ana´lise:
Sendo c verdadeiro (pela premissa 2), a premissa 1 na˜o nos permite concluir que p e´ falso,
pois como sabemos, quando o lado direito de uma implicac¸a˜o e´ verdaderio, nada podemos
afirmar sobre a proposic¸a˜o do lado esquerdo. Assim, na˜o e´ poss´ıvel concluir que Pedrinho na˜o
se comportou, o que torna o argumento inva´lido.
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Me´todos Determin´ısticos I EP4 8
Exerc´ıcio 9 Determine se o argumento abaixo e´ va´lido ou inva´lido.
Premissas:
Desempregados na˜o trabalham.
Se uma pessoa precisa de dinheiro, enta˜o ela trabalha.
Conclusa˜o
Desempregados na˜o precisam de dinheiro.
Soluc¸a˜o: O argumento e´ va´lido. Vamos resolver usando a linguagem e a simbologia da lo´gica:
Proposic¸o˜es simples:
d: esta´ desempregado;
p: precisa de dinheiro;
t: trabalha.
Premissas:
d⇒∼ t
p⇒ t
Ana´lise: Se d e´ verdadeiro, pela premissa 1, t e´ falso. Mas se t e´ falso, a premissa 2 na˜o nos permite
concluir que p e´ falso, pois, como sabemos, quando o lado direito de uma implicac¸a˜o e´ falso, para
que a proposic¸a˜o composta seja verdadeira, o lado esquerdo tambe´m tem que ser falso. Assim, se d e´
verdadeiro, enta˜o p deve ser falso, isto e´, matematicamente, d⇒∼ p, e literalmente, desempregados
na˜o precisam de dinheiro.
E´ claro que do ponto de vista do senso comum a conclusa˜o acima e´ um absurdo. Na verdade, chega-
mos a isso porque o argumento inclu´ıa uma premissa que tambe´m e´ falsa em nossas vidas, sabemos
que ha´ muita gente que precisa de dinheiro, mas na˜o trabalha porque na˜o consegue emprego, o que
equivale a dizer que a segunda premissa era falsa. Pore´m, do ponto de vista da resoluc¸a˜o de uma
questa˜o de lo´gica matema´tica, tudo isso e´ irrelevante.
Exerc´ıcio 10 Determine se o argumento abaixo e´ va´lido ou inva´lido.
Premissas:
Joa˜o sabe f´ısica quaˆntica.
Joa˜o e´ doutor em matema´tica.
Joa˜o e´ formado em filosofia.
Joa˜o ganhou o preˆmio Nobel da literatura.
Conclusa˜o:
Joa˜o e´ inteligente.
Soluc¸a˜o: O argumento na˜o e´ va´lido. Na˜o ha´ nas premissas nada que nos permita concluir atrave´s
da lo´gica matema´tica que Joa˜o e´ inteligente. O que nos faz pensar que Joa˜o e´ inteligente, neste
caso, na˜o e´ a lo´gica matema´tica, mas sim nossa pro´pria experieˆncia de vida.
Proposic¸o˜es simples:
q: Joa˜o sabe f´ısica quaˆntica.
m: Joa˜o e´ doutor em matema´tica.
f : Joa˜o e´ formado em filosofia.
n: ganhou o preˆmio Nobel da literatura.
i: Joa˜o e´ inteligente.
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Me´todos Determin´ısticos I EP4 9
Premissas:
q
m
f
n
Ana´lise:
Como podemos ver nas premissas acima, nenhuma delas faz qualquer refereˆncia a` proposic¸a˜o i que
esta´ nas concluso˜es. Logo na˜o podemos concluir i a partir das premissas, o argumento na˜o e´ va´lido.
Exerc´ıcio 11 Determine se o argumento abaixo e´ va´lido ou inva´lido.
Premissas:
Joa˜o sabe f´ısica quaˆntica.
Joa˜o e´ doutor em matema´tica.
Joa˜o e´ formado em filosofia.
Joa˜o ganhou o preˆmio Nobel da literatura.
Qualquer pessoa que saiba f´ısica quaˆntica e seja doutor em matema´tica e seja
formado em filosofia e tenha ganho o preˆmio Nobel da literatura e´ inteligente.
Conclusa˜o:
Joa˜o e´ inteligente.
Soluc¸a˜o: A u´nica diferenc¸a entre esta questa˜o e a anterior e´ que temos a u´ltima premissa que diz
que se uma pessoa satisfaz todas as outras premissas, enta˜o ela e´ inteligente. Enta˜o nosso conjunto
de premissas pode ser reescrito assim (considerando as letras que usamos na questa˜o anterior):
Premissas:
q
m
f
n
(q ∧m ∧ f ∧ n)⇒ i
Ana´lise:
Agora sim, as quatro primeiras premissas nos dizem que sa˜o verdadeiras q, m, f e n e a quinta
premissa nos diz que se todas essas sa˜o verdadeiras, enta˜o tambe´m e´ verdadeira i. Portanto agora
o argumento e´ va´lido e podemos matematicamente concluir que Joa˜o e´ inteligente.
Exerc´ıcio 12 Decida se cada um dos argumentos abaixo e´ ou na˜o va´lido e justifique sua resposta:
a) Premissas: Se o do´lar cai os produtos brasileiros ficam mais caros no mercado internacional; Se
os produtos brasileiros ficam mais caros no mercado internacional, caem as nossas exportac¸o˜es;
Em 2012 o do´lar na˜o caiu.
Conclusa˜o: Nossas exportac¸o˜es na˜o ca´ıram em 2012.
b) Premissas: Se as vendas da empresa ABC ca´ırem, a empresa se endividara´ com empre´stimos
ou demitira´ empregados; A diretoria da ABC na˜o permitira´ que a empresa contraia d´ıvidas com
empre´stimos.
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Me´todos Determin´ısticos I EP4 10
Conclusa˜o: Se a empresa ABC na˜o demitir, e´ porque suas vendas na˜o ca´ıram.
Soluc¸a˜o:
a) O argumento na˜o e´ va´lido. As premissas nos permitem concluir que se o do´lar cair as ex-
portac¸o˜es tambe´m caira˜o, mas as premissas na˜o nos fornecem as rec´ıprocas das implicac¸o˜es,
na˜o sendo poss´ıvel concluir que se o do´lar na˜o cai as exportac¸o˜es tambe´m na˜o caem. Podemos
ter do´lar subindo e exportac¸o˜es caindo sem violar nenhuma das premissas.
b) O argumento e´ va´lido. Se as vendas cairem a primeira premissa nos garante que havera´ d´ıvidas
ou demisso˜es. Contudo a segunda premissa nos garante que na˜o havera´ d´ıvidas. Logo, se as
vendas cairem, necessariamente havera´ demisso˜es. O que equivale a dizer que se a empresa
na˜o demitir e´ porque as vendas na˜o ca´ıram (forma contrapositiva da proposic¸a˜o anterior).
Exerc´ıcio 13 Sobre o clima na praia de Icara´ı, costuma-se dizer que esta´ chovendo sempre que o
vento sudoeste esta´ soprando.
Considerando as proposic¸o˜es
p: ”O vento sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”
q: ”Esta´ chovendo em Icara´ı”
(a) Escreva a frase do enunciado utilizando p, q e o conectivo lo´gico adequado.
(b) Minha tia acredita que a regra do enunciado nunca falha. Desta forma, em um dia em que o
vento sudoeste na˜o estava soprando, ela afirmou: “Como o vento na˜o esta´ soprando, na˜o esta´
chovendo, logo na˜o vou levar o meu guarda-chuva”. Ha´ algum erro na argumentac¸a˜o de minha
querida tia? Justifique.
(c) Se o ditado “Em Icara´ı, esta´ chovendo sempre que o vento sudoeste esta´ soprando”for verdadeiro,
e, em um certo meˆs, o vento sudoeste tiver soprado em 10 dias, e´ correto dizer que:
( ) choveu em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias.
( ) choveu em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias.
( ) choveu em Icara´ı em exatamente 10 dias.
( ) nenhuma das alternativas anteriores.
Justifique.
(d) Supondo novamente que o ditado e´ verdadeiro, se, em um certo meˆs, em Icara´ı, tiver chovido
em 10 dias, e´ correto dizer que:
( ) o sudoeste soprou em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias.
( ) o sudoeste soprou em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias.
( ) o sudoeste soprou em exatamente 10 dias.
( ) nenhuma das alternativas anteriores.
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Me´todos Determin´ısticos I EP4 11
Soluc¸a˜o:
(a) A afirmac¸a˜o pode ser escrita como
“esta´ chovendo em Icara´ı”(q)
sempre que
“O vento sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”(p),
isto e´, sempre que p acontece, q acontece. Isto significa que p implica q, ou que se “esta´
chovendo em Icara´ı”, enta˜o “o vento sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”. Assim,
p⇒ q.
(b) Uma poss´ıvel soluc¸a˜o:
Como visto acima, o ditado diz que p ⇒ q. A contrapositiva deste ditado e´ ∼ q ⇒∼ p (Se
“na˜o esta´ chovendo em Icara´ı”enta˜o “o sudoeste na˜o esta´ soprando”). Estas afirmac¸o˜es sa˜o
logicamente equivalentes, ou seja, se assumimos que o ditado e´ correto, temos que ∼ q⇒∼ p.
Pore´m, a argumentac¸a˜o de minha tia e´ “O sudoeste na˜o esta´ ventando, logo na˜o esta´ chovendo”,
que pode ser escrita como ∼ p⇒∼ q, que na˜o e´ o ditado (e´ sua conversa˜o, na verdade).
Veremos na soluc¸a˜o seguinte que, mesmo que o ditado seja verdadeiro e que na˜o esteja ventando,
pode estar chovendo.
Outra poss´ıvel soluc¸a˜o:
Acreditando que o ditado e´ verdadeiro, ele pode ser tomado como uma premissa. Assim, no dia
em questa˜o, a primeira argumentac¸a˜o de minha tia (”Como o vento na˜o esta´ soprando, na˜o esta´
chovendo”) tem as seguintes premissas em sua argumentac¸a˜o:
premissa 1: p ⇒ q (“Se o vento sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”enta˜o “esta´ chovendo
em Icara´ı.”)
premissa 2: ∼ p (O vento sudoeste na˜o esta´ soprando.)
Sua conclusa˜o e´
conclusa˜o: ∼ q (Na˜o esta´ chovendo)
Este argumento e´ falho! Vamos listar todas as possibilidades de valores para p e q e verificar
que as premissas podem ser verdadeiras sem que a conclusa˜o o seja.
premissas conclusa˜o
p q p⇒ q ∼ p ∼ q
V V V F F
V F F F V
F V V V F
F F V V V
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Me´todos Determin´ısticos I EP4 12
A terceira linha nos mostra que o ditado (p ⇒ q) pode ser verdadeiro e na˜o estar ventando
(∼ p), sem que a conclusa˜o (∼ q) seja va´lida.
(c) Assumindo que o ditado p⇒ q (Se “o sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”enta˜o “esta´ chovendo”)
e´ verdadeiro, em todos os dias que o sudoeste ventar (p for verdadeiro), tambe´m devera´ chover
(q tambe´m tera´ de ser verdade). Assim, para cada dia de vento havera´ pelo menos um dia de
chuva. Com isso, como foram 10 dias de vento, teremos no m´ınimo 10 dias de chuva, logo a
opc¸a˜o “choveu em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias”e´ correta.
A opc¸a˜o “choveu em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias”na˜o e´ correta, visto que, ale´m de chover nos
dez dias de vento, pode ter chovido em algum outro dia. Em outras palavras, podemos ter q
verdadeiro com p falso, e ainda continuara´ sendo verdade que p⇒ q (relembre a tabela verdade
de ⇒). Poder´ıamos ter tido, por exemplo, 15 dias de chuva, com vento em apenas 10 deles.
Pelo mesmo motivo, a afirmac¸a˜o “choveu em Icara´ı em exatamente 10 dias”na˜o e´ correta.
(d) Como vimos acima, em todos os dias que o sudoeste ventar, tambe´m devera´ chover, logo o
nu´mero de dias de chuva sera´ menor ou igual ao nu´mero de dias de vento. Equivalentemente, o
nu´mero de dias de vento e´ maior ou igual ao nu´mero de dias de chuva.
Com isso, se choveu em 10 dias, tera´ ventado em 10 ou menos dias. Logo a opc¸a˜o “o sudoeste
soprou em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias”e´ correta.
As opc¸o˜es “o sudoeste soprou em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias”e “o sudoeste soprou em
exatamente 10 dias”na˜o esta˜o corretas, pois poder´ıamos ter tido, por exemplo, 10 dias de chuva
com vento em apenas 5 deles.
Qual e´ a moral
desta questa˜o?!?!
Ale´m de fazer argumentac¸o˜es (incorretas!) sobre o clima em Icara´ı, minha tia costuma diz (correta-
mente, neste caso!) que toda boa histo´ria tem uma moral.
A moral desta questa˜o e´ que uma implicac¸a˜o p⇒ q jamais deve ser confundida com sua conversa˜o
p⇒ q. Elas representam relac¸o˜es de causa e consequeˆncia muito diferentes.
Vamos a um exemplo muito claro disso: e´ verdade que “se a > b enta˜o a + 1 > b”. Isto pode ser
provado de forma muito simples; assumindo a > b, temos a+ 1 > a > b, logo a+ 1 > b. Por outro
lado, na˜o e´ verdade que “se a + 1 > b enta˜o a > b”. Tome, por exemplo, a = 0 e b = 0; teremos
a+ 1 > b, pois 0 + 1 > 0, mas na˜o e´ verdade que 0 > 0 (a > b). Outro contraexemplo e´ a = 0, 5 e
b = 1.
Temos uma tendeˆncia muito forte a confundir implicac¸o˜es (⇒) com equivaleˆncias (⇔), o que pode
nos conduzir a inu´meros mal-entendidos, ou nos fazer utilizar argumentac¸o˜es falaciosas.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
GABARITO dos Exercícios Programados/EP5-2018-1-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP5 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 6 do Caderno Dida´tico.
Exerc´ıcio 1 Escreva a expressa˜o decimal associada ao nu´mero racional dado pela frac¸a˜o:
a)
12
5
b) −27
18
c)
2
6
d)
1998
6000
Soluc¸a˜o:
a) Efetuando, a divisa˜o obtemos 12/5 = 2, 4.
b) Efetuando, a divisa˜o obtemos −27/18 = −1, 5.
c) Efetuando, a divisa˜o obtemos 2/6 = 0, 33333 . . . .
d) Efetuando, a divisa˜o obtemos 1998/6000 = 0, 333.
Exerc´ıcio 2 Escreva a expressa˜o decimal associada ao nu´mero racional dado pela frac¸a˜o:
a)
7
9
b)
4
33
c)
44
3
d)
16
11
e)
20
7
Soluc¸a˜o:
a) Efetuando a divisa˜o, obtemos 7/9 = 0, 77777 . . . .
b) Efetuando a divisa˜o, obtemos 4/33 = 0, 121212 . . . .
c) Efetuando a divisa˜o, obtemos 44/3 = 14, 66666 . . . .
d) Efetuando a divisa˜o, obtemos 16/11 = 1, 454545 . . . .
e) Efetuando a divisa˜o, obtemos 20/7 = 2, 857148571485714 . . . .
Exerc´ıcio 3 Converta cada uma das d´ızimas dadas a seguir num nu´mero racional.
a) 14, 66666 . . . b) 1, 454545 . . . c) 2, 857142857142857142 . . .
Soluc¸a˜o:
a) Seja x = 14, 66666 . . . , enta˜o 10x = 146, 66666 . . . . Assim,
10x− x = 146, 66666 · · · − 14, 66666 . . .
9x = 132
x = 132/9
x = 44/3 .
Me´todos Determin´ısticos I EP5 2
b) Seja x = 1, 454545 . . . enta˜o 100x = 145, 454545 . . . . Assim,
100x− x = 145, 454545 · · · − 1, 454545 . . .
99x = 144.
x = 144/99
x = 16/11.
c) Seja x = 2, 857142857142857142 . . . enta˜o 1.000.000x = 2.857.142, 857142857142 . . . e
1.000.000x− x = 2.857.142, 857142857142 · · · − 2, 857142857142857142 . . .
999.999x = 2.857.140
x = 2.857.140/999.999 (Simplifique dividindo o numerador e o denominador por 142.857)
x = 20/7.
Exerc´ıcio 4 (SEFAZ – AM –2005) A frac¸a˜o que representa a d´ızima 3, 0121212 . . . e´:
(A)
3012
99
(B)
3012
999
(C)
3012
9999
(D)
2982
990
(E)
2982
999
Soluc¸a˜o: Seja x a frac¸a˜o que representa a d´ızima 3, 0121212 . . . . Isto e´,
x = 3, 0121212 . . . ,
enta˜o
100x = 301, 212121 . . . .
Efetuando a diferenc¸a entre 100x e x, temos que
100x− x = 301, 212121 · · · − 3, 012121 . . .
99x = 298, 2
99x = 2982/10
x = 2982/990.
Logo, a alternativa correta e´ aquela dada pela letra (D).
Exerc´ıcio 5 (ANTT-2005) Ao fazer uma divisa˜o entre dois nu´meros inteiros, numa calculadora,
Josimar obteve, no visor, como resultado, 0,1234123412341234. Assinale o item que pode indicar a
divisa˜o feita por Josimar.
(A) 999/1234
(B) 1000/1234
(C) 12/34
(D) 12341234/9000000
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Me´todos Determin´ısticos I EP5 3
(E) 1234/9999
Soluc¸a˜o: Chamando de x o quociente da divisa˜o entre os dois nu´meros inteiros, temos que
x = 0, 123412341234 . . . .
Logo,
10000x = 1234, 123412341234 . . . .
Fazendo a diferenca entre 10000x e x, obtemos que
10000x− x = 1234, 123412341234 · · · − 0, 123412341234 . . .
9999x = 1234
x = 1234/9999.
Portanto, x =
1234
9999
. Logo, a alternativa correta e´ aquela dada pela letra (E).
Exerc´ıcio 6 Calcule o valor de cada uma das expresso˜es nume´ricas.
a)
4
5
(
3 + 0, 4
)− 3, 21
b) 4 + 2
[
1− 1
4
(
4
6
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
1
2
− 1
)
÷ (0, 22 + 1)
Soluc¸a˜o:
a)
4
5
(
3 + 0, 4
)− 3, 21 = 0, 8(3, 4)− 3, 21 = 2, 72− 3, 21 = −0, 49 = − 49
100
b) Chamando y de 4 + 2
[
1− 1
4
(
4
6
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
1
2
− 1
)
÷ (0, 22 + 1), temos que
y = 4 + 2
[
1− 1
4
(
4
6
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
1
2
− 1
)
÷ (0, 22 + 1)
= 4 + 2
[
1− 1
4
(
2
3
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
−1
2
)
÷
(
22
100
+ 1
)
= 4 + 2
[
1− 1
4
(
2
3
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
−1
2
)
÷
(
22
100
+ 1
)
= 4 + 2
[
1− 1
4
(
1
3
)
+ 2
]
+
61
50
÷
(
11
50
+ 1
)
= 4 + 2
[
1− 1
12
+ 2
]
+
61
50
÷
(
11
50
+
50
50
)
= 4 + 2
[
12
12
− 1
12
+
24
12
]
+
61
50
÷ 61
50
= 4 + 2
[
35
12
]
+
61
50
· 50
61
= 4 +
35
6
+ 1 =
24
6
+
35
6
+
6
6
=
65
6
Portanto, y =
65
6
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP5 4
Exerc´ıcio 7 Numa situac¸a˜o idealizada de um estabelecimento comercial sabe-se que para a venda
de x unidades de um produto, o lucro L deste estabelecimento e´ medido por
L = 0, 2 x+ 4
0, 5
− 5.
Sabendo disso, determine a quantidade que deve ser vendida por este estabelecimento, para que ele
obtenha um lucro de 125 reais.
Soluc¸a˜o: A fim de determinar a quantidade x vendida pelo estabelecimento, quando L e´ igual a
125 reais, temos de resolver a equac¸a˜o
125 =
0, 2 x+ 4
0, 5
− 5 ⇐⇒ 125 =
2x
10
+ 4
5
10
− 5
(
pois 0, 2 =
2
10
e 0, 5 =
5
10
)
⇐⇒ 125 + 5 =
x
5
+ 4
1
2
⇐⇒ 130 =
(
x
5
+ 4
)
2
⇐⇒ 130
2
=
(
x
5
+ 4
)
2
2
⇐⇒ 65 = x
5
+ 4
⇐⇒ 65− 4 = x
5
⇐⇒ 61 = x
5
⇐⇒ 61× 5 = x
5
× 5
⇐⇒ 305 = x ⇐⇒ x = 305 .
Portanto, o estabelecimento vende uma quantidade de 305 unidades do produto, quando o
lucro deste estabelecimento e´ de 125 reais.
Exerc´ıcio 8 (FCC) Em 2001 a fa´brica ABC exportou 44% de sua produc¸a˜o. Em 2002 esse ı´ndice
passou para 55%. Nessas condic¸o˜es, o acre´scimo percentual nas exportac¸o˜es da fa´brica ABC foi de:
(A) 11% (B) 20% (C) 25% (D) 30% (E) 50%
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de P a quantidade produzida. Enta˜o antes a fa´brica exportava 44P/100,
e em 2002 passou a exportar 55P/100. A diferenc¸a e´ de 11P/100, quantos porcento de 44P/100
isso representa? Temos que calcular:
11P
100
÷ 44P
100
=
11P
100
× 100
44P
=
25
100
Portanto, a resposta e´ 25%.
Uma forma alternativa de resolver este tipo de questa˜o, onde se deseja encontrar um acre´scimo/de-
cre´scimo (aumento/diminuic¸a˜o) percentual seria utilizando a regra de treˆs. Neste caso, temos que
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio
CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP5 5
100% corresponde a` quantidade que era exportada antes, ou seja,
44P
100
, e queremos descobrir quanto
porcento de
44P
100
o acre´scimo
11P
100
representa. Desta forma, montamos a seguinte regra de treˆs.
100% −−− 44P
100
x% −−− 11P
100
Exerc´ıcio 9 (FCC) Um terreno foi vendido por R$ 27.500,00, com lucro de 10%. Em seguida foi
revendido por R$ 33.000,00. O lucro total das duas transac¸o˜es representa sobre o custo inicial do
terreno um percentual de
(A) 20% (B) 22% (C) 26% (D) 30% (E) 32%
Soluc¸a˜o: Primeiro vamos calcular o valor inicial do terreno. Vamos chamar este valor de V . Se ele
foi vendido com lucro de 10%, enta˜o foi vendido por V +0, 1V , isto e´, 1, 1V = 27500. Enta˜o o valor
do terreno seria V = 27500/1, 1. Deste valor para 33000, qual o aumento percentual? Chamando
de x este aumento, temos:
33000 =
27500
1, 1
+
x
100
27500
1, 1
ou, multiplicando tudo por 1, 1,
36300 = 27500 +
x
100
27500.
Ou seja,
36300− 27500 = x
100
27500
8800 =
x
100
27500
8800
27500
=
x
100
Isto e´,
x
100
=
8800
27500
=
32
100
Logo o lucro total foi de 32%.
Exerc´ıcio 10 (CESPE-94) Um trabalhador gastava 30% de seu sala´rio com aluguel. Apo´s certo
per´ıodo seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto seu sala´rio foi reajustado em 500%. Enta˜o, a
porcentagem do sala´rio que ele passou a gastar com aluguel foi:
(A) 34% (B) 38% (C) 40% (D) 52% (E) 45%
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP5 6
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de s o sala´rio inicial. Enta˜o o trabalhador gastava 0, 3s com aluguel. Se
o aluguel teve um aumento de 700%, enta˜o o aluguel passou ao valor de 8× 0, 3s, isto e´, 2, 4s. Por
outro lado, o sala´rio foi reajustado em 500%, isto e´, o trabalhador passou a receber 6s. Precisamos
ver que porcentagem deste novo sala´rio e´ gasta com o aluguel. Chamando esta porcentagem de x
temos:
2, 4s =
x
100
6s
x
100
=
2, 4s
6s
x
100
= 0, 4 =
40
100
Portanto, o aluguel representa agora 40% do sala´rio do trabalhador.
Outra soluc¸a˜o: Vamos chamar de s o sala´rio inicial, de S o sala´rio final, de a o aluguel inicial e de
A o aluguel final. Enta˜o, de acordo com o enunciado, temos
a = 0, 3s
(pois o trabalhador gastava 0, 3s com aluguel). Temos tambe´m
A = a+ 7a = 8a
e
S = s+ 5s = 6s
(pois o aluguel aumentou 700% e o sala´rio foi reajustado em 500%).
Queremos saber qual a porcentagem do novo sala´rio que e´ gasta com o novo aluguel, logo devemos
descobrir quanto vale A/S:
A
S
=
8a
6s
=
8× 0, 3s
6s
=
2, 4
0, 6
= 0, 4
Portanto, o trabalhador passou a gastar com aluguel 40% de seu sala´rio.
Exerc´ıcio 11 Foi publicada no Globo de 12/08/09 uma not´ıcia sobre a variac¸a˜o das taxas de juros
na qual podemos ler as seguintes frase:
“Cinco das seis principais linhas de cre´dito do pa´ıs reduziram suas taxas mensais
para pessoas f´ısicas de junho para julho, segundo pesquisa divulgada nesta quarta-feira
pela Associac¸a˜o Nacional dos Executivos de Financ¸as, Administrac¸a˜o e Contabilidade
(Anefac). O cheque especial foi a linha de cre´dito em que houve a maior reduc¸a˜o de
juros no per´ıodo: a taxa mensal caiu 1,33%, passando de 7,54%(139,24% ao ano)
para 7,44% (136,59% ao ano), menor patamar da se´rie histo´rica iniciada em janeiro
de 1995.” (O Globo, 12/08/09)
Explique como foi calculada a queda percentual de 1,33% relativa a` variac¸a˜o da taxa de juros do
cheque especial.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP5 7
Soluc¸a˜o: A not´ıcia diz: “ a taxa mensal caiu 1,33%, passando de 7,54%(139,24% ao ano) para
7,44% (136,59% ao ano)”.
Se passou de 7,54% para 7,44%, recuou em 0,1%. Mas isso significa uma queda de quantos porcento
da taxa anterior? Temos que calcular quantos porcento de 7,54 e´ 0,1. Por regra de treˆs, dir´ıamos
que 7,54 esta´ para 100% assim como 0,1 esta´ para x%. Ficamos com:
x = (0, 1× 100)/7, 54 ≈ 1, 326
Assim foi calculada a queda de 1,33% relativa a` variac¸a˜o da taxa de juros do cheque especial.
Exerc´ıcio 12 Um gerente forneceu um desconto de 20% sobre o prec¸o de venda de uma televisa˜o
e, mesmo assim, conseguiu para a loja um lucro de 15% sobre o prec¸o de custo da televisa˜o. Ao ver
um outro cliente muito interessado no mesmo televisor, ele resolveu na˜o dar mais desconto algum.
Apo´s realizar esta venda nestas condic¸o˜es (sem desconto), seu lucro, em porcentagem, foi de quanto?
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de V o prec¸o de venda da televisa˜o e de P o prec¸o custo da televisa˜o.
Vamos listar as informac¸o˜es que temos:
• na primeira transac¸a˜o comercial, como o gerente forneceu um desconto de 20% sobre o prec¸o
de venda da TV, ela foi vendida por 0.8 V ;
• na segunda transac¸a˜o comercial, como o gerente na˜o forneceu desconto sobre o prec¸o de venda
da TV, ela foi vendida por V .
Para resolver o exerc´ıcio, temos que encontrar o lucro na segunda transac¸a˜o comercial, ou seja,
precisamos escrever V como o produto entre um nu´mero centesimal e P .
Como sabemos que na primeira transac¸a˜o comercial, houve um lucro de 15% sobre o prec¸o custo da
TV, temos a seguinte uma relac¸a˜o entre V e P
0.8 V = 1.15 P .
Desta forma, encontramos que
V = 1.15
0.8
P = 115
80
P = 1, 4375 P = 143, 75
100
P .
Descobrimos portanto que
V = 143, 75% P .
Conclu´ımos, assim, que houve um lucro de 43, 75% na segunda transac¸a˜o comercial.
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Me´todos Determin´ısticos I EP5 8
Exerc´ıcio 13 Numa certa localidade foi introduzida uma quantidade inicial de coelhos. No primeiro
ano, a populac¸a˜o de coelhos aumentou de 90% em relac¸a˜o a quantidade inicial. No segundo ano
essa populac¸a˜o sofreu um decre´scimo de 70% em relac¸a˜o ao primeiro ano.
(a) Determine, em termos percentuais, o quanto diminuiu a populac¸a˜o de coelhos nos dois primeiros
anos em relac¸a˜o a quantidade inicial.
(b) Considerando que inicialmente havia 100 coelhos. Determine qual a quantidade atual de coelhos.
Soluc¸a˜o:
(a) O primeiro passo e´ identificar a quantidade inicial de coelhos. Como essa quantidade na˜o foi
mencionada, vamos supor que Q e´ essa quantidade.
O segundo passo e´ aplicar os acre´scimos e os decre´scimos percentuais a quantidade de coelhos
conforme descrito no enunciado da questa˜o. Desta forma, temos:
• acre´scimo de 90% em relac¸a˜o a quantidade Q de coelhos. Isto significa que o acre´scimo e´
calculado por
90% de Q =
90
100
· Q = 9Q
10
= 0.9M
assim, a nova quantidade de coelhos e´: Q + 0.9Q = 1.9Q
• descre´scimo de 70% em relac¸a˜o a quantidade 1.9Q. Isto significa que o decre´scimo e´ cal-
culado por
70% de 1.9Q =
70
100
· 1.9Q = 7
10
· 1.9Q = 1.33Q
assim, a nova quantidade de coelhos e´: 1.9Q - 1.33Q = 0.57Q
Desta forma, para determinar o decre´scimo percentual em relac¸a˜o a quantidade inicial de coelhos,
faz-se:
quantidade inicial−quantidade final = Q− 0.57Q = 0.43Q = 43
100
Q = 43%Q
Resposta: A populac¸a˜o de coelhos teve uma diminuic¸a˜o de 43% nos dois primeiros anos em
relac¸a˜o a quantidade inicial.
(b) Como a quantidade inicial de coelhos e´ Q= 100, temos que a quantidade atual de coelhos e´
igual a 0.57Q, ou seja, 0.57·(100) = 57 coelhos.
Exerc´ıcio 14 Se um prec¸o e´ aumentado em 10% para depois ser reduzido em 10%, qual sera´ a
variac¸a˜o porcentual final deste prec¸o?
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de P o prec¸o inicial do produto. O primeiro aumento sera´ dado por
10% de P =
10
100
·
P = 10P
100
=
P
10
.
logo, o prec¸o se torna
P +
P
10
=
10P + P
10
=
11P
10
.
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Me´todos Determin´ısticos I EP5 9
A reduc¸a˜o de 10% sobre este novo prec¸o sera´ dada por
10% de
11P
10
=
10
100
· 11P
10
=
11P
100
,
logo, o novo prec¸o e´
11P
10
− 11P
100
=
110P − 11P
100
=
99P
100
.
Repare que a diferenc¸a entre este prec¸o e o anterior e´ de
99P
100
− P = 99P − 100P
100
= − P
100
= −1% · P.
Assim, a variac¸a˜o no prec¸o foi de −1%, isto e´, uma reduc¸a˜o de 1% no prec¸o.
Outra poss´ıvel soluc¸a˜o: Um aumento de 10% no prec¸o P resulta em um novo prec¸o dado por
(10% + 1)× P =
(
10
100
+ 1
)
× P =
(
10
100
+
100
100
)
× P = 110
100
× P = 11
10
× P.
Uma reduc¸a˜o de 10% neste prec¸o resulta no prec¸o dado por
(1− 10%)× 11
10
× P =
(
1− 10
100
)
× 11
10
× P =
(
100
100
− 10
100
)
× 11
10
× P =
=
90
100
× 11
10
× P = 990
1000
× P = 99
100
× P.
O novo prec¸o e´ enta˜o dado por 99
100
× P , ou ainda
99
100
× P =
(
100
100
− 1
100
)
× P = (1− 1%)× P,
ou seja, e´ o prec¸o original apo´s uma reduc¸a˜o de 1%.
Exerc´ıcio 15 Uma camiseta custava R$200,00 e, apo´s dois aumentos sucessivos de a%, seu prec¸o
foi para R$246,42. Determine a.
Observac¸a˜o: Para ajudar nas contas, segue uma pequena taboada:
1, 012 = 1, 0201 1, 062 = 1, 1236 1, 112 = 1, 2321 1, 162 = 1, 3456
1, 022 = 1, 0404 1, 072 = 1, 1449 1, 122 = 1, 2544 1, 172 = 1, 3689
1, 032 = 1, 0609 1, 082 = 1, 1664 1, 132 = 1, 2769 1, 182 = 1, 3924
1, 042 = 1, 0816 1, 092 = 1, 1881 1, 142 = 1, 2996 1, 192 = 1, 4161
1, 052 = 1, 1025 1, 102 = 1, 2100 1, 152 = 1, 3225 1, 202 = 1, 4400
Soluc¸a˜o: Apo´s o primeiro aumento de a%, o prec¸o da camisa, antes R$200,00, se tornara´
P1 = 200 ·
(
1 +
a
100
)
.
Apo´s novo aumento de a%, teremos o prec¸o
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP5 10
P2 = P1 ·
(
1 +
a
100
)
=
(
200 ·
(
1 +
a
100
))
·
(
1 +
a
100
)
= 200 ·
(
1 +
a
100
)2
.
Mas o prec¸o P2 calculado acima, apo´s o segundo aumento, e´ de R$246,42. Logo,
200 ·
(
1 +
a
100
)2
= 246, 42,
e enta˜o (
1 +
a
100
)2
=
246
200
= 1, 2321.
Com isso, consultando a taboada fornecida, vemos que
1 +
a
100
= 1, 11,
logo
a
100
= 0, 11 ∴ a = 11.
Exerc´ıcio 16 Para a pro´xima black friday, as Lojas Tabajaras S.A. estudam a possibilidade de dar
um grande desconto no prec¸o de um certo modelo de televisa˜o. O percentual deste desconto ainda
na˜o foi definido pela equipe de marketing, e e´ denotado apenas por d%. Pore´m, para que tal desconto
na˜o pese muito em seu faturamento, as Lojas Tabajaras pretendem aumentar, alguns meses antes, o
prec¸o da mesma televisa˜o, em um percentual a%.
Determine o valor m´ınimo de a para que, apo´s o aumento de a% e o desconto de d% da black friday,
o prec¸o da televisa˜o na˜o seja inferior a 80% do prec¸o inicial.
Atenc¸a˜o!!! Observe que a resposta que voceˆ encontrara´ estara´ em func¸a˜o de d, isto e´, inevitavel-
mente o d aparecera´ em sua resposta.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de P o prec¸o da televisa˜o antes do aumento e do desconto da black friday
(tambe´m conhecida como black fraude!).
Vamos inicialmente interpretar nosso problema, enquanto identificamos o que e´ dado e o que esta´
sendo pedido.
Temos um certo modelo de televisa˜o que possui um prec¸o inicial P . Este prec¸o P sofrera´ um aumento
de a%, e a televisa˜o tera´ um prec¸o novo, que chamaremos de Pa. Durante a black friday, este novo
prec¸o Pa, sofrera´ um desconto de d%, e a televisa˜o passara´ aa ter prec¸o final, que chamaremos de
Pf . Deseja-se que o prec¸o final Pf na˜o seja inferior a 80% do prec¸o inicial P . Em outras palavras,
queremos que o prec¸o final Pf seja maior ou igual a 80% do prec¸o inicial P .
Pronto. Ja´ traduzimos nosso problema. Precisamos agora relacionar nossas varia´veis. Isto na˜o sera´
complicado, pois sabemos que nossas varia´veis foram sendo alteradas atrave´s de aumentos/diminuic¸o˜es
percentuais.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP5 11
Vamos comec¸ar determinando quem e´ Pa. Observe que Pa resulta de um aumento de a% no prec¸o
inicial P . Desta forma, o prec¸o no Pa e´ obtido efetuando-se um acre´scimo de a% em P . Sendo
assim, apo´s um aumento de a%, novo prec¸o Pa da televisa˜o e´ dado por
Pa = P + a%P = P +
a
100
P =
(
1 +
a
100
)
P =
100 + a
100
P. (1)
Vamos agora descobrir quem e´ Pf . Observe que Pf resulta de um desconto de d% no novo prec¸o
Pa. Portanto, o prec¸o final Pf e´ obtido aplicando-se uma subtrac¸a˜o de d% em Pa. Temos enta˜o,
que apo´s um desconto de d%, o prec¸o final Pf da televisa˜o e´ dado por
Pf = Pa − d%Pa = Pa − d
100
Pa =
(
1− d
100
)
Pa =
100− d
100
Pa. (2)
Observe que nosso objetivo recai em uma relac¸a˜o entre o prec¸o final Pf e o prec¸o inicial P . Entretanto,
na Equac¸a˜o (2) obtivemos Pf em func¸a˜o Pa. Mas, isto na˜o e´ problema, pois, em (1), obtivemos que
Pa em func¸a˜o de P . Substituindo, enta˜o (1) em (2), temos que
Pf =
100− d
100
Pa =
100− d
100
· 100 + a
100
P =
(100− d)(100 + a)
1002
P.
logo
Pf =
(100− d)(100 + a)
1002
P. (3)
Voltando agora ao nosso objetivo, queremos que Pf na˜o seja inferior a 80% do prec¸o original, isto
e´, queremos que o prec¸o final Pf seja maior ou igual a 80% do prec¸o inicial P . Matematicamente,
nossa condic¸a˜o se traduz em
Pf >
80
100
P. (4)
Substituindo-se na inequac¸a˜o (4) o valor obtido para Pf em (3), temos
(100− d)(100 + a)
1002
P > 80
100
P. (5)
Dividindo-se por P (que e´ positivo) a inequac¸a˜o (5), temos
(100− d)(100 + a)
1002
> 80
100
. (6)
Podemos multiplicar ambos os lados da inequac¸a˜o (6) por 1002, resultando em
(100− d)(100 + a) > 100 · 80. (7)
Observe que a inequac¸a˜o (7), embora apresente uma relac¸a˜o entre a e d, na˜o deixa muito claro qual
deve ser o valor de a para um determinado d dado. Para termos esta relac¸a˜o clara, precisaremos
isolar a. Para isto, temos que dividir por 100− d ambos os lados da inequac¸a˜o. Teremos enta˜o que
nos certificar que 100− d > 0. De fato, como d e´ um desconto percentual, temos que 0 < d < 100.
De fat, se d = 0, na˜o ha´ desconto e se d = 100, a televisa˜o e´ dada e na˜o vendida. Dividindo-se
enta˜o (7) por 100− d (que ja´ sabemos ser positivo), temos
100 + a > 100 · 80
100− d.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP5 12
Assim,
a > 100 · 80
100− d − 100.
Simplificando, temos
a > 100 · 80− 100(100− d)
100− d
∗
=
100(d− 20)
100− d .
(Observe que em (*), utilizamos que BC − BE = B(C − E), B, C,E ∈ R. No caso, B = 100,
C = 80 e E = 100− d.)
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
GABARITO dos Exercícios Programados/EP6-2018-1-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP6 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 7 do Caderno Dida´tico.
Neste EP, abordaremos os seguintes temas: radiciac¸a˜o, potenciac¸a˜o e um pouco de fatorac¸a˜o. No
material impresso, voceˆ encontra toda a teoria que necessita
para resolver os exerc´ıcios deste EP.
Recomendamos fortemente que voceˆ estude e fac¸a os exerc´ıcios do Caderno Dida´tico, especialmente
aqueles que envolvem racionalizac¸a˜o (Exerc´ıcio 7.5 - pa´gina 100 e 101).
Exerc´ıcio 1 Efetue:
a) 3× 34 × (33 ÷ 35) b) 51234 × (5−533 ÷ 5700) c) √80÷√5
d) 3
√
25 3
√
5 e)
√√
16 f)
66
√
434
Soluc¸a˜o:
a) 3× 34 × (33 ÷ 35) = 3× 34 × (3−2) = 35 × 3−2 = 33 = 27
b) 51234 × (5−533 ÷ 5700) = 51234 × 5−1233 = 5
c)
√
80÷√5 =
√
80√
5
=
√
80
5
=
√
16 = 4
d) 3
√
25 3
√
5 = 3
√
25× 5 = 3√53 = 5
e)
√√
16 =
√
4 = 2
f)
66
√
434 = 66
√
(22)34 =
66
√
268 = 66
√
266 × 22 = 66√266 × 66√22 = 2 66√22 = 2 33√2
Exerc´ıcio 2 Fatore o radicando e, em seguida, simplifique.
a)
√
162 b) 3
√−216 c) −√0, 98 d) 3√750
Soluc¸a˜o:
a)
√
162 =
√
2 · 34 = √2 · √34 = √2 · 32 = 9√2
b) 3
√−216 = 3√−23 · 33 = 3√−23 · 3√33 = −2 · 3 = −6
c) −√0, 98 = −
√
98
100
= −
√
98√
100
= −
√
2 · 72√
102
= −
√
2 ·
√
72
10
= −7
√
2
10
d) 3
√
750 =
3
√
2 · 3 · 53 = 3√2 · 3 · 3√53 = 5 3√6
Me´todos Determin´ısticos I EP6 2
Exerc´ıcio 3 Desenvolva:
a) (x+ 3)(x− 3) b) (3x+ 2)(3x− 2) c) (5x− 3)(3 + 5x)
d)
(
x
4
+
1
3
)(
x
4
− 1
3
)
e) (x+ 5)2 f) (3x− 5)2
g)
(
x
2
− 1
3
)2
Soluc¸a˜o:
a) (x+ 3)(x− 3) = x2 − 9
b) (3x+ 2)(3x− 2) = 9x2 − 4
c) (5x− 3)(3 + 5x) = (5x− 3)(5x+ 3) = 25x2 − 9
d)
(
x
4
+
1
3
)(
x
4
− 1
3
)
=
x2
16
− 1
9
e) (x+ 5)2 = x2 + 10x+ 25
f) (3x− 5)2 = 9x2 − 30x+ 25
g)
(
x
2
− 1
3
)2
=
x2
4
− x
3
+
1
9
Exerc´ıcio 4 Fatore, usando produtos nota´veis:
a) x2 − 4 b) 16x2 − 9 c) x
2
4
− y
2
16
d) x2 + 2x+ 1 e) x2 − 6x+ 9 f) 9x2 − 6x+ 1
Soluc¸a˜o:
a) x2 − 4 = (x+ 2)(x− 2)
b) 16x2 − 9 = (4x+ 3)(4x− 3)
c)
x2
4
− y
2
16
=
(
x
2
+
y
4
)(
x
2
− y
4
)
)
d) x2 + 2x+ 1 = x2 + 2 · x · 1 + 12 = (x+ 1)2
e) x2 − 6x+ 9 = x2 − 2 · x · 3 + 32 = (x− 3)2
f) 9x2 − 6x+ 1 = (3x)2 − 2 · (3x) · 1 + 12 = (3x− 1)2
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 3
Exerc´ıcio 5 Simplifique as expresso˜es alge´bricas, assumindo que as expresso˜es nos denominadores
sa˜o sempre diferentes de zero e (a+ b) > 0.
a)
a2(b2)3
a3
b)
3a− 3
a2 − 2a+ 1 c)
4a2 − 4
8a2 − 16a+ 8
d)
a2 − 9
a− 3 e)
(3 + a)2 − 9
a
f)
a2 − b2
ab
− ab− b
2
ab− a2
g)
(a− b)2
a2 − b2 +
2b
a+ b
h)
2(a+ b)√
a2 + b2 + 2ab
i)
[
ab+ b2
a2 − b2 + 1
]−1
+ ba−1
Soluc¸a˜o:
a)
a2(b2)3
a3
=
a2
a3
(b2)3 =
b6
a
b)
3a− 3
a2 − 2a+ 1 =
3(a− 1)
(a− 1)2 =
3
a− 1
c)
4a2 − 4
8a2 − 16a+ 8 =
4(a2 − 1)
8(a2 − 2a+ 1) ==
4(a+ 1)(a− 1)
8(a− 1)2 =
a+ 1
2(a− 1)
d)
a2 − 9
a− 3 =
(a+ 3)(a− 3)
a− 3 = a+ 3
e)
(3 + a)2 − 9
a
=
(
(3 + a) + 3
) (
(3 + a)− 3)
a
=
(
6 + a
)
a
a
= 6 + a
f)
a2 − b2
ab
− ab− b
2
ab− a2 =
a2 − b2
ab
− b(a− b)
a(b− a)
=
a2 − b2
ab
− b (a− b)
(−a)(a− b)
=
a2 − b2
ab
+
b
a
=
a2 − b2
ab
+
b2
ab
=
a2 − b2 + b2
ab
=
a2
ab
=
a
b
Portanto,
a2 − b2
ab
− ab− b
2
ab− a2 =
a
b
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 4
g)
(a− b)2
a2 − b2 +
2b
a+ b
=
(a− b)2
(a+ b)(a− b) +
2b
a+ b
=
a− b
a+ b
+
2b
a+ b
=
a− b+ 2b
a+ b
=
a+ b
a+ b
= 1.
Portanto,
(a− b)2
a2 − b2 +
2b
a+ b
= 1 .
h)
2(a+ b)√
a2 + b2 + 2ab
=
2(a+ b)√
(a+ b)2
=
2(a+ b)
(a+ b)
= 2
i) [
ab+ b2
a2 − b2 + 1
]−1
+ ba−1 =
[
ab+ b2
a2 − b2 +
a2 − b2
a2 − b2
]−1
+
b
a
=
[
ab+ b2 + a2 − b2
a2 − b2
]−1
+
b
a
=
[
ab+ a2
a2 − b2
]−1
+
b
a
=
[
a(b+ a)
(a+ b)(a− b)
]−1
+
b
a
=
[
a
(a− b)
]−1
+
b
a
=
(a− b)
a
+
b
a
=
a− b+ b
a
=
a
a
= 1
Portanto,
[
ab+ b2
a2 − b2 + 1
]−1
+ ba−1 = 1 .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 5
Exerc´ıcio 6 Determine o valor de cada expressa˜o nume´rica apresentada a seguir.
a)
[(
1
3
)3
÷
(
1
3
)−3]( 1
27
)−1
3 ×
(
−1
3
)−2
b)
[(
−1
2
)4
÷
(
−1
2
)3](
−1
2
)−2
+ (−64)1/3
c)
( √
5 3
√−36
(5× 36)1/2
)3
−
[
(−0, 2)13 ÷
(
−1
5
)12](
−1
5
)−3
Soluc¸a˜o:
a)
[(
1
3
)3
÷
(
1
3
)−3]( 1
27
)−1
3 ×
(
1
3
)−2
=
[(
1
3
)3
÷
(
3
1
)3](27
1
)1
3 ×
(
3
1
)2
=
[
1
33
÷ 3
3
1
]
3
√
27× 32
=
[
1
33
× 1
33
]
3× 32
=
1
36
× 33
=
1
33
=
1
27
b) [(
−1
2
)4
÷
(
−1
2
)3](
−1
2
)−2
+ (−64)1/3 =
[(
−1
2
)4
÷
(
−1
2
)3](
−1
2
)−2
+ 3
√−64
=
[
1
24
÷
(
− 1
23
)](
−2
1
)2
+
3
√
−26
=
[
− 1
24
× 2
3
1
]
22 + (−22)
= −1× 2
3 × 22
24
+ (−4)
= −2− 4
= −6
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 6
c) ( √
5 3
√−36
(5× 36)1/2
)3
−
[
(−0, 2)13 ÷
(
−1
5
)12](
−1
5
)−3
=
(√
5 3
√−36√
5
√
36
)3
−
[(
− 2
10
)13
÷
(
−1
5
)12] [(
−1
5
)−1]3
=
(
3
√−36
6
)3
−
[(
−1
5
)13
÷
(
+
1
512
)] [
−5
1
]3
=
( 3
√−36)3
63
−
[
− 1
513
× 512
]
(−5)3
=
−36
6
−
[
−1
5
]
(−5)3
= −1
6
− 1
5
× 53
= −1
6
− 25
= −1
6
− 150
6
=
−1− 150
6
= −151
6
Exerc´ıcio 7 Resolva cada item, passo por passo.
a) Verifique que
3√
5− 1 −
3
√
5
4
e´ igual a
3
4
.
b) Determine o valor de 5
√−32 + (27)−1/3.
c) Determine o valor de 5− 2
[(
1
2
− 3
)2
÷ 1
4
− 26
]
Soluc¸a˜o:
a)
3√
5− 1 −
3
√
5
4
=
3√
5− 1 ·
√
5 + 1√
5 + 1
− 3
√
5
4
=
3(
√
5 + 1)
5− 1 −
3
√
5
4
=
3
√
5 + 3
4
− 3
√
5
4
=
3
4
b) 5
√−32 + (27)−1/3 = −2 + 1
(27)1/3
= −2 + 1
3
√
27
= −2 + 1
3
=
−6 + 1
3
= −5
3
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 7
c)
5− 2
[(
1
2
− 3
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[(
1− 6
2
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[(−5
2
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[
25
4
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[
25
�4
· �4
1
− 26
]
= 5− 2 [25− 26]
= 5− 2[−1]
= 5 + 2
= 7
Exerc´ıcio 8 Determine o valor de m+ n, dado que
m =
3
√
−1
27
− (32)−1/5 e n =
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
.
Soluc¸a˜o:
m =
3
√
−1
27
− (32)−1/5
=
3
√
−1
33
− (25)−1/5
=
−1
3
− (2)−1
= −1
3
− 1
2
= −2
6
− 3
6
= −5
6
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio
CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 8
e
n =
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
=
(
2
3
− 1
4
)2
.
4
5
=
(
8
12
− 3
12
)2
.
4
5
=
(
5
12
)2
.
4
5
=
25
144
.
4
5
=
5
36
.
Logo,
m+ n = −5
6
+
5
36
= −30
36
+
5
36
= −25
36
.
Conclusa˜o: 3
√−1
27
− (32)−1/5 +
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
= −25
36
.
Expresso˜es Alge´bricas
Chamaremos de E(x) (leˆ-se “E de x”) uma expressa˜o alge´brica onde a varia´vel envolvida e´ a letra
x. Por exemplo, se quisermos representar a expressa˜o x2 − 3, escreveremos
E(x) = x2 − 3.
O sinal de igualdade aqui utilizado, significa que foi atribu´ıda a` E(x) a expressa˜o x2−3. Fornecendo
um valor para x, podemos determinar o valor de uma expressa˜o E(x). No caso da expressa˜o definida
anteriormente, fazendo x = 2, temos que
E(2) = 22 − 3 = 4− 3 = 1.
Exerc´ıcio 9 Para cada uma das expresso˜es alge´bricas E(x) seguintes, calcule o valor da expressa˜o
no valor de x dado. Tenha atenc¸a˜o ao calcular x2 e −x2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 9
a) E(x) = −x2 + x
2
− 1
5
, E(0, 1)
b) E(x) = −x2 + x
2
− 1
5
, E(−0, 1)
c) E(x) = x2 +
x
2
− 1
5
, E(0, 1)
d) E(x) = x2 +
x
2
− 1
5
, E(−0, 1)
Soluc¸a˜o:
a) Como 0, 1 =
1
10
, temos que
E(0, 1) = −
(
1
10
)2
+
1
10
2
− 1
5
= −
(
12
(10)2
)
+
1
10
· 1
2
− 1
5
= −
(
1
100
)
+
1
20
− 1
5
= − 1
100
+
1
20
− 1
5
= − 1
100
+
5
100
− 20
100
=
−1 + 5− 20
100
= − 16
100
= − 4
25
Portanto, E(0, 1) = − 4
25
= −0, 16
b) Como −0, 1 = − 1
10
=
−1
10
, temos que
E(−0, 1) = −
(−1
10
)2
+
(−1
10
)
2
− 1
5
= −
(
(−1)2
(10)2
)
+
(−1
10
)
· 1
2
− 1
5
= −
(
1
100
)
+
(
− 1
20
)
− 1
5
= − 1
100
− 1
20
− 1
5
= − 1
100
− 5
100
− 20
100
=
−1− 5− 20
100
= − 26
100
= −13
50
Portanto, E(−0, 1) = −13
50
= −0, 26 .
c) Como 0, 1 =
1
10
, temos que
E(0, 1) =
(
1
10
)2
+
1
10
2
− 1
5
=
(
12
(10)2
)
+
1
10
· 1
2
− 1
5
=
(
1
100
)
+
1
20
− 1
5
=
1
100
+
1
20
− 1
5
=
1
100
+
5
100
− 20
100
=
1 + 5− 20
100
= − 14
100
= − 7
50
Portanto, E(0, 1) = − 7
50
= −0, 14
d) Como −0, 1 = − 1
10
=
−1
10
, temos que
E(−0, 1) =
(−1
10
)2
+
(−1
10
)
2
− 1
5
=
(
(−1)2
(10)2
)
+
(−1
10
)
· 1
2
− 1
5
=
(
1
100
)
+
(
− 1
20
)
− 1
5
=
1
100
− 1
20
− 1
5
=
1
100
− 5
100
− 20
100
=
1− 5− 20
100
= − 24
100
= − 6
25
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 10
Portanto, E(−0, 1) = − 6
25
= −0, 24 .
Exerc´ıcio 10 Determine o valor de x que satisfaz a equac¸a˜o dada em cada um dos itens a seguir.
a) x2 = 0 b) x3 = 27 c) x3 = −27 d) x2 = 16 e) x2 = −16
Soluc¸a˜o:
a) A u´nica soluc¸a˜o e´ x = 0 pois 0 · 0 = 0.
b) A u´nica soluc¸a˜o e´ x = 3 pois 3 · 3 · 3 = 27.
c) A u´nica soluc¸a˜o e´ x = −3 pois (−3) · (−3) · (−3) = −27.
d) Nesse caso, as duas soluc¸o˜es poss´ıveis sa˜o os nu´meros x1 = 4 e x2 = −4 .
Pois para x1 = 4, vale que (4)
2 = 4·4 = 16. E, para x2 = −4, vale que (−4)2 = (−4)·(−4) = 16.
e) Veja que em x2 = −16, x2 e´ sempre um nu´mero positivo e −16 e´ um nu´mero negativo. Logo,
na˜o existe um nu´mero real que satisfaz a equac¸a˜o dada.
Assim, pelo que foi estudado no Caderno Dida´tico (pa´ginas 91, 92 e 93) e tendo como exemplo o
exerc´ıcio acima, concluimos que a equac¸a˜o xn = a, com n > 0 inteiro, possui:
• uma so´ soluc¸a˜o x = 0, se a = 0.
• uma so´ soluc¸a˜o, de mesmo sinal que a, se n e´ ı´mpar.
• duas soluc¸o˜es sime´tricas, x1 = n
√
a e x2 = − n
√
a, se n e´ par e a > 0.
• a equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o real, se a < 0 e n e´ par.
Os exerc´ıcios abaixo trazem discusso˜es muito importantes!
Exerc´ıcio 11 A igualdade
√
b2 = b e´ verdadeira para todo b ∈ R?
Soluc¸a˜o: A expressa˜o na˜o e´ verdadeira para b negativo. Veja, por exemplo, o que acontece quando
b = −1:
√
b2 =
√
(−1)2 =
√
1 = 1,
que, obviamente, na˜o e´ igual a b, pois b = −1.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 11
Exerc´ıcio 12 A igualdade m
√
bmn = bn e´ verdadeira para todo b real e m,n naturais?
Soluc¸a˜o: A expressa˜o e´ falsa, por exemplo, se b = −1 e m = 2 e n = 1. Veja:
m
√
bmn = 2
√
(−1)2·1 =
√
1 = 1,
pore´m
bn = (−1)1 = −1.
Na verdade, a igualdade na˜o se verifica quando b for negativo, m par e n ı´mpar. Sendo m par, mn
sera´ tambe´m par. Assim, bmn e´ positivo, e enta˜o m
√
bmn existe e e´ positivo. Por outro lado, como b
e´ negativo e n e´ ı´mpar, bn sera´ negativo. Com isso teremos m
√
bmn 6= bn (o lado direito e´ positivo e
o lado esquerdo e´ negativo).
Exerc´ıcio 13 A igualdade mn
√
bm = n
√
b e´ verdadeira para todo b real e m,n naturais?
Soluc¸a˜o: Mais uma vez, a igualdade na˜o e´ verdadeira para todo b real e m,n naturais. Ela e´ falsa,
por exemplo, se b = −1, m = 2 e n = 3 (na verdade, sera´ falsa para b negativo, m par e n ı´mpar).
Veja:
mn
√
bm = 6
√
(−1)2 = 6
√
1 = 1
e
n
√
b = 3
√−1 = −1.
Vamos pensar um pouco mais sobre os exerc´ıcios acima?
E´ muito comum acreditar na possibilidade de “cortar”ou “cancelar”o ı´ndice de uma raiz com o
expoente do radicando, isto e´, acreditar que as igualdades
m
√
bmn = bn,
mn
√
bm =
n
√
b
mn
√
bmp =
n
√
bp
sa˜o verdadeiras. Estas igualdades trazem uma grande armadilha, que e´ o fato de a base poder ser
negativa e o expoente m poder ser par. Neste caso, no lado esquerdo teremos bm, sendo a base b
negativa e o expoente m par, o que fara´ com que o radicando seja positivo. Quando “cortamos”ou
“cancelamos”o m, perdemos este sinal positivo. Quando o n ou p acima forem ı´mpares, isto repre-
sentara´ um grande problema, pois teremos um positivo de um lado e um negativo de outro.
Uma situac¸a˜o ainda pior pode acontecer, veja o caso de
4
√
b6. Se escrevermos
4
√
b6 na forma
2·2√
b2·3
e “cortarmos”o 2 do ı´ndice com o do expoente do radicando, teremos
2
√
b3. Para b = −1, teremos
4
√
b6 = 4
√
(−1)6 = 4
√
1 = 1
e
2
√
(−1)3 = √−1, que na˜o existe!.
Ou seja, a igualdade
4
√
b6 =
2
√
b3 na˜o so´ esta´ errada, como sequer faz sentido para b < 0.
Portanto, muito cuidado antes de sair por a´ı cortando ou cancelando ı´ndice com expoente!
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
GABARITO dos Exercícios Programados/EP7-2018-1-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP7 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 8 do Caderno Dida´tico.
Exerc´ıcio 1 Coloque em ordem crescente os nu´meros reais:
a)
3
4
,
3
5
, −5
3
, −4
3
b) −1, −2, −5, −9
4
b)
2
8
,
2
4
,
3
4
, −4
4
Soluc¸a˜o:
a) −5
3
< −4
3
<
3
5
<
3
4
b) −5 < −9
4
< −2 < −1 (Observe que −9
4
= −2, 25).
c) −4
4
<
2
8
<
2
4
<
3
4
Exerc´ıcio 2 Encontre, na forma de intervalos, os conjuntos resultantes das unio˜es/intersec¸o˜es abaixo:
a) (−5, 10) ∩ [6, 12) b) [10, 30) ∩ (15, 23] c) [−1, 5) ∩ (5, 10] d) [−3, 2) ∪ [1,∞)
Soluc¸a˜o:
a) O primeiro intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores que -5 e menores que 10. O segundo
intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores ou iguais a 6 e menores que doze. A intersec¸a˜o deles
consiste dos nu´meros que sa˜o maiores ou iguais a 6 (e portanto tambe´m sa˜o maiores que -5) e
menores que 10 (logo tambe´m sa˜o menores que 12). Resposta: [6, 10).
Note que a soluc¸a˜o tambe´m pode ser determinada graficamente. Nas co´pias da reta real repre-
sentamos, respectivamente, os subconjuntos (−5, 10), [6, 12) e (−5, 10) ∩ [6, 12). Logo, se x
pertence a (−5, 10) e a [6, 12), segue que 6 ≤ x < 10.
b) O primeiro intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores ou iguais a 10 e menores que 30. O segundo
intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores que 15 e menores ou iguais a 23. A intersec¸a˜o deles
consiste dos nu´meros que sa˜o maiores que 15 (e portanto tambe´m sa˜o maiores que 10) e menores
ou iguais a 23 (logo tambe´m sa˜o menores que 30). Resposta: (15, 23].
Note que a soluc¸a˜o tambe´m pode ser determinada graficamente. Nas co´pias da reta real repre-
sentamos, respectivamente, os subconjuntos [10, 30), (15, 23] e [10, 30) ∩ (15, 23]. Logo, se x
pertence a [10, 30) e a (15, 23], segue que 15 < x ≤ 23.
Me´todos Determin´ısticos I EP7 2
c) O primeiro intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores ou iguais a -1 e menores que 5. O segundo
intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores que 5 e menores ou iguais a 10. Para um nu´mero estar
na intersec¸a˜o destes conjuntos ele tem que ser menor que 5 (para estar no primeiro conjunto)
e ao mesmo tempo, maior que 5 (para estar no segundo intervalo). Como na˜o existe nenhum
nu´mero com esta propriedade, a intersec¸a˜o e´ vazia. Resposta: ∅.
Note que a soluc¸a˜o tambe´m pode ser determinada graficamente. Nas co´pias da reta real repre-
sentamos, respectivamente, os subconjuntos [−1, 5), (5, 10] e [−1, 5) ∩ (5, 10]. Logo, na˜o existe
x tal que x pertenc¸a a [−1, 5) e a (5, 10].
d) O primeiro intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores ou iguais a -3 e menores que 2. O segundo
intervalo e´ o conjunto dos nu´meros maiores ou iguais a 1. A unia˜o destes intervalos consiste dos
nu´meros que sa˜o maiores ou iguais a -3. Resposta: [−3,∞).
Note que a soluc¸a˜o tambe´m pode ser determinada graficamente. Nas co´pias da reta real repre-
sentamos, respectivamente, os subconjuntos [−3, 2), [1,∞) e [−3, 2) ∪ [1,∞).
Logo, se x pertence a [−3, 2) ou a [1,∞), segue que x ≥ −3.
Exerc´ıcio 3 Verifique se sa˜o falsas ou verdadeiras as proposic¸o˜es abaixo. Justifique sua resposta.
a) (−3, 4) ⊂ [−3, 4] b) [10, 30) ⊂ (10,∞)
c) [−1, 5) ∪ (5, 10] = [−1, 10] d) (−∞, 5) ∪ [3,∞) = R
Soluc¸a˜o:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP7 3
a) Verdadeira. Todos os elementos do primeiro intervalo tambe´m pertencem ao segundo intervalo.
b) Falsa. O nu´mero 10 pertence ao primeiro intervalo mas na˜o ao segundo.
c) Falsa. O nu´mero 5 na˜o pertence nem a [−1, 5) nem a (5, 10], logo na˜o pertence a` unia˜o destes
dois intevalos e 5 ∈ [−1, 10].
d) Verdadeiro. A unia˜o do conjunto de todos os nu´meros menores que 5 com o conjunto de todos
os nu´meros maiores ou iguais a 3 resulta no conjunto de todos os nu´meros reais.
Exerc´ıcio 4 Encontre o conjunto soluc¸a˜o de cada uma das inequac¸o˜es a seguir. Escreva-os na forma
de intervalos.
a) x+ 10 > 7 b) −x < 34 + 3x c) 7x+ 12 ≤ 0 d) 4x+ 3 ≥ 5x+ 2
e) −0, 2 x ≥ 0, 6 f) x+ 1
3
≥ 4 g) 2− x
5
≤ 4x+ 1
3
h) −1
3
x+
1
7
≥ −x+ 5
Soluc¸a˜o:
a) x+ 10 > 7 ⇐⇒ x > 7− 10 ⇐⇒ x > −3.
Resposta: (−3,∞).
b) −x < 34 + 3x ⇐⇒ − x− 3x < 34 ⇐⇒ − 4x < 34 ⇐⇒ x > −34
4
⇐⇒ x > −17
2
.
Resposta:
(
−17
2
,∞
)
.
c) 7x+ 12 ≤ 0 ⇐⇒ 7x ≤ −12 ⇐⇒ x ≤ −12
7
.
Resposta:
(
−∞,−12
7
]
d) 4x+ 3 ≥ 5x+ 2 ⇐⇒ 4x− 5x ≥ 2− 3 ⇐⇒ − x ≥ −1 ⇐⇒ x ≤ 1.
Resposta: (−∞, 1]
e) −0, 2 x ≥ 0, 6 ⇐⇒ − 2
10
x ≥ 6
10
⇐⇒ − x
5
≥ 3
5
⇐⇒ x ≤ −3
Resposta: (−∞,−3]
f)
x+ 1
3
≥ 4 ⇐⇒ x+ 1 ≥ 12 ⇐⇒ x ≥ 12− 1 ⇐⇒ x ≥ 11
Resposta: [11,∞)
g)
2− x
5
≤ 4x+ 1
3
⇐⇒ 3(2− x) ≤ 5(4x+ 1) ⇐⇒ 6− 3x ≤ 20x+ 5 ⇐⇒ − 3x− 20x ≤ 5− 6
⇐⇒ − 23x ≤ −1 ⇐⇒ x ≥ 1
23
Resposta:
[
1
23
,∞
)
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP7 4
h) −1
3
x+
1
7
≥ −x+5 ⇐⇒ − x
3
+x ≥ 5− 1
7
⇐⇒ − x
3
+
3x
3
≥ 35
7
− 1
7
⇐⇒ 2x
3
≥ 34
7
⇐⇒ x ≥ 34
7
· 3
2
⇐⇒ x ≥ 61
7
.
Resposta:
[
61
7
,∞
)
Exerc´ıcio 5 Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os nu´meros reais
que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3).
Soluc¸a˜o:
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3) ⇔
2
(
x2 + x+
1
4
)
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 3
2
⇔
2x2 + 2x+
1
2
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 3
2
⇔
2x2 − x+ 1
2
< 2x2 + 2x− 3
2
⇔
2x2 − x+ 1
2
− 2x2 − 2x+ 3
2
< 0 ⇔
−3x+ 2 < 0 ⇔
−3x < −2 ⇔
x >
2
3
.
Conclusa˜o: Os valores de x que satisfazem a desigualdade 2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3),
sa˜o x ∈
(
2
3
,∞
)
.
Exerc´ıcio 6 Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os nu´meros reais
que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2(x− 1)2 + (x− 2)
(
2x− 1
2
)
> (2x− 1)(2x+ 1)
Soluc¸a˜o:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP7 5
2(x− 1)2 + (x− 2)
(
2x− 1
2
)
> (2x− 1)(2x+ 1) ⇔ 2(x2 − 2x+ 1) +
(
2x2 − x
2
− 4x+ 1
)
> (2x)2 − 1
⇔ 2x2 − 4x+ 2 + 2x2 − x
2
− 4x+ 1 > 4x2 − 1
⇔ 2x2 − 4x+ 2 + 2x2 − x
2
− 4x+ 1− 4x2 + 1 > 0
⇔ −8x− x
2
+ 4 > 0
⇔ −16x− x
2
+ 4 > 0
⇔ −17x
2
+ 4 > 0
⇔ −17x
2
> −4
⇔ 17x
2
< 4
⇔ x < 4 · 2
17
⇔ x < 8
17
Assim, os nu´meros reais que tornam verdadeira a desigualdade sa˜o
x ∈
(
−∞, 8
17
)
.
Exerc´ıcio 7 Numa situac¸a˜o idealizada de um estabelecimento comercial sabe-se que para a venda
de x unidades de um produto, o lucro L deste estabelecimento e´ medido por
L = 0, 2 x+ 4
0, 5
− 5.
Para que este estabelecimento tenha um lucro maior ou igual a 125 reais, qual deve ser a quantidade
m´ınima vendida do produto?
Soluc¸a˜o: Quando L e´ maior do que 125 reais, temos que
0, 2 x+ 4
0, 5
− 5 ≥ 125 ⇐⇒
2x
10
+ 4
5
10
− 5 ≥ 125
(
pois 0, 2 =
2
10
e 0, 5 =
5
10
)
⇐⇒
x
5
+ 4
1
2
≥ 125 + 5 ⇐⇒
(
x
5
+ 4
)
2 ≥ 130
⇐⇒
(
x
5
+ 4
)
2
2
≥ 130
2
⇐⇒ x
5
+ 4 ≥ 65
⇐⇒ x
5
≥ 65− 4⇐⇒ x
5
≥ 61
⇐⇒ x ≥ 305.
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Me´todos Determin´ısticos I EP7 6
Portanto, para que este estabelecimento tenha um lucro maior ou igual a 125 reais, ele deve vender
no m´ınimo 305 unidades do produto.
Exerc´ıcio 8 Numa produc¸a˜o caseira de uma quantidade q de bombons sabe-se que o custo C e´
igual ao dobro da quantidade a ser produzida somada a um custo fixo de R$ 16,00. A receita R
obtida pela comercializac¸a˜o deste produto e´ igual a 5 vezes a quantidade produzida. Sabendo que
o lucro L e´
dado pela diferenc¸a entre a receita e o custo, escreva a inequac¸a˜o que representa uma
produc¸a˜o com lucro superior a R$ 50,00. A seguir, resolva essa inequac¸a˜o. Determine a quantidade
m´ınima de bombons que devera´ ser produzida neste contexto.
Soluc¸a˜o: Consideremos que q e´ a quantidade de bombons a ser produzida.
Como o custo C e´ igual ao dobro da quantidade a ser produzida somada a um custo fixo de R$
16,00, temos a equac¸a˜o
C = 2q + 16.
Como a receita R obtida pela comercializac¸a˜o deste produto e´ igual a 5 vezes a quantidade produzida,
temos
R = 5q.
Como o lucro L e´ dado pela diferenc¸a entre a receita e o custo, temos
L = R− C = 5q − (2q + 16) = 3q − 16.
Assim, a inequac¸a˜o que representa uma produc¸a˜o com lucro superior a R$ 50,00 e´ escrito por
L > 50 =⇒ 3q − 16 > 50 .
Resolvendo essa inequac¸a˜o, vem que:
3q − 16 > 50
⇐⇒ 3q − 16 + 16 > 50 + 16
⇐⇒ 3q > 66
⇐⇒ 1
3
· 3q > 1
3
· 66
⇐⇒ q > 22
Isto significa, que neste contexto, a quantidade m´ınima de bombons a ser produzida devera´ ser de
23 bombons.
Exerc´ıcio 9 Racionalize, desenvolva e decida se a desigualdade A < B e´ verdadeira ou falsa, con-
siderando que
A =
3
−√3−√(−2)2 − 9√3 e B = −
√
18√
2
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Me´todos Determin´ısticos I EP7 7
Soluc¸a˜o:
A =
3
−√3−√(−2)2 − 9√3
=
−3√
3 +
√
4
− 9√
3
.
√
3√
3
=
−3√
3 + 2
− 9
√
3
3
=
−3√
3 + 2
.
(
√
3− 2)
(
√
3− 2) − 3
√
3
=
−3√3 + 6
(
√
3)2 − 22 − 3
√
3
=
−3√3 + 6
3− 4 − 3
√
3
=
−3√3 + 6
−1 − 3
√
3
= 3
√
3− 6− 3
√
3
= −6
e
B =
−√18√
2
= −
√
18
2
= −
√
9
= −3.
Como −6 < −3, temos que a desigualdade A < B e´ verdadeira.
Exerc´ıcio 10 Racionalize a e b e ordene, do menor para o maior, os treˆs nu´meros reais
a =
4
1−√5 , b =
4
1 +
√
5
e c = 1.
Soluc¸a˜o: Racionalizando a, temos
a =
4
1−√5 =
4
1−√5 ·
1 +
√
5
1 +
√
5
=
4(1 +
√
5)
1− 5 =
4(1 +
√
5)
−4 = −(1 +
√
5) = −
√
5− 1.
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Me´todos Determin´ısticos I EP7 8
Racionalizando b, temos
b =
4
1 +
√
5
=
4
1 +
√
5
· 1−
√
5
1−√5 =
4(1−√5)
1− 5 =
4(1−√5)
−4 = −(1−
√
5) =
√
5− 1.
Observe que a < 0, logo a < c. Por outro lado, como
√
5 >
√
4 = 2, temos
b =
√
5− 1 > 2− 1 = 1 ∴ b > c.
Com isso, temos
a < c < b.
Os exerc´ıcios abaixo trazem discusso˜es muito importantes!
Exerc´ıcio 11 Se a > b, podemos dizer que a desigualdade a ·c > b ·c e´ verdadeira para todo c ∈ R?
Soluc¸a˜o: Sendo a > b, a desigualdade a · c > b · c sera´ falsa se c ≤ 0.
Se a = 1, b = 2 e c = −1, teremos a = 1 < 2 = b, pore´m a·c = 1·(−1) = −1 e b·c = 2·(−1) = −2,
e portanto teremos a · c > b · c (pois −1 > −2).
Se c = 0, teremos tambe´m ac = 0 = bc, sendo enta˜o falso que ac > bc
Exerc´ıcio 12 Se a > b, podemos dizer que a desigualdade a2 > b2 e´ verdadeira?
Soluc¸a˜o: Falso! Se, por exemplo, a = 1 e b = −2, teremos a > b, pore´m a2 = 1 e b2 = (−2)2 = 4,
logo b2 > a2.
Outro exemplo poss´ıvel de que a afirmac¸a˜o nem sempre vale e´ a = 1 e b = −1, que nos da´ a > b,
pore´m a2 = b2.
Exerc´ıcio 13 Se a > b > 0, podemos dizer que a desigualdade a2 > b2 e´ verdadeira?
Soluc¸a˜o: Sim. Suponhamos a > b > 0. Multiplicando os dois lados da desigualdade a > b por a,
como a > 0 temos a2 > a · b (sendo a positivo, multiplicar por a na˜o muda o sinal da desigualdade).
Assim, a2 > ab. Por outro lado, como a > b, multiplicando a desigualdade por b temos ab > b2
(multiplicar por b > 0 na˜o altera o sinal). Assim temos a2 > ab > b2.
Exerc´ıcio 14 E´ sempre verdade que a2 > a?
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Me´todos Determin´ısticos I EP7 9
Soluc¸a˜o: Falso! Se a =
1
2
, por exemplo, temos
a2 =
(
1
2
)2
=
1
4
<
1
2
= a,
logo a2 < a.
Um contraexemplo ainda mais interessante e´ a = 1. Neste caso, temos a2 = a.
Exerc´ıcio 15 Se a2 < b2, podemos afirmar que a < b?
Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ FALSA!
Ela na˜o vale, por exemplo, para a = 0 e b = −1. Temos, neste caso, a2 < b2, mas a > b.
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GABARITO dos Exercícios Programados/EP8-2018-1-gabarito.pdf
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Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP8 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 9 do Caderno Dida´tico.
ATENC¸A˜O!!! Na˜o comece seu estudo por este documento! A versa˜o deste EP contendo
as questo˜es, sem o gabarito, traz tambe´m uma revisa˜o da teoria do Caderno Dida´tico.
Essa revisa˜o deve ser estudada.
Exerc´ıcio 1 Calcule |x| para os valores de x dados abaixo:
a) x = 1 b) x =
√
2 c) x = 1
2
d) x = −1
e) x = −√2 f) x = 0 g) x = √2− 1 h) x = 1−√2
Soluc¸a˜o: Nos itens (a) a (f), e´ simples marcar no eixo real os pontos correspondentes aos nu´meros
dados:
Assim, podemos verificar que
a) |1| = 1 b) ∣∣√2∣∣ = √2 c) ∣∣1
2
∣∣ = 1
2
d) | − 1| = 1 e) ∣∣−√2∣∣ = √2 f) |0| = 0
No item (f), note que a distaˆncia entre 0 e o pro´prio 0 e´ 0, logo |0| = 0.
No item (g), precisamos saber se
√
2 − 1 e´ positivo ou negativo. Mas sabemos que √2 > 1, logo√
2− 1 > 0. Observe ainda que o valor do item (h), 1−√2 e´ tal que 1−√2 = − (√2− 1), isto e´,
e´ o sime´trico do valor do item (g). Com isso, eles tera˜o a mesma distaˆncia ao 0, portanto o mesmo
mo´dulo.
Com isso, a)
∣∣√2− 1∣∣ = √2− 1 b) ∣∣1−√2∣∣ = √2− 1
Me´todos Determin´ısticos I EP8 2
Exerc´ıcio 2 Calcule os mo´dulos abaixo:
a)
∣∣√3−√2∣∣ b) ∣∣√2−√3∣∣ c) |a|, com a > 0
d) |a|, com a < 0 e) | − a|, com a > 0 f) | − a|, com a < 0
g) |a− 1|, com a > 1 h) |a− 1|, com a < 1 i) |2− a|, com a < 2
j) |2− a|, com a > 2
Soluc¸a˜o:
a) Como
√
3 >
√
2, temos
√
3−√2 > 0, logo, aplicando a definic¸a˜o, ∣∣√3−√2∣∣ = √3−√2.
b) Como
√
3 >
√
2, temos
√
2−√3 < 0, logo, aplicando a definic¸a˜o, ∣∣√2−√3∣∣ = − (√2−√3) =√
3−√2.
c) Como a > 0, aplicando a definic¸a˜o, |a| = a.
d) Como a < 0, aplicando a definic¸a˜o, |a| = −(a) = −a.
e) Como a > 0, temos −a < 0, logo, aplicando a definic¸a˜o, | − a| = −(−a) = a.
f) Como a < 0, temos −a > 0, logo, aplicando a definic¸a˜o, | − a| = −a.
g) Como a > 1, temos a− 1 > 0, logo |a− 1| = a− 1.
h) Como a < 1, temos a− 1 < 0, logo |a− 1| = −(a− 1) = 1− a.
i) Como a < 2, temos 2 > a, logo 2− a > 0. Assim, |2− a| = 2− a.
j) Como a > 2, temos 2 < a, logo 2− a < 0. Assim, |2− a| = −(2− a) = a− 2.
Exerc´ıcio 3 Utilizando as propriedades acima [veja EP08], resolva as equac¸o˜es:
a) |x2 − 3x+ 2| = 0 b) |ax| = |a|, sabendo que a 6= 0 e x > 0
c)
∣∣∣∣x− 2x
∣∣∣∣ = 0 d) ||x|+ 2| = 2x.
Soluc¸a˜o:
a) observe que, fatorando, |x2 − 3x + 2| = |(x − 1)(x − 2)|. Aplicando a propriedade M4, temos
enta˜o |x2− 3x+2| = |(x− 1)(x− 2)| = |x− 1| · |x− 2|. Com isso, a equac¸a˜o pode ser reescrita
como
|x− 1| · |x− 2| = 0.
Temos dois nu´meros reais cujo produto da´ 0. Com isso, pelo menos um deles deve ser igual a 0,
isto e´,
|x− 1| = 0 ou |x− 2| = 0.
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Me´todos Determin´ısticos I EP8 3
Pela propriedade M1, isso so´ ocorre se o que esta´ dentro de cada mo´dulo for igual a 0, isto e´,
x− 1 = 0 ou x− 2 = 0.
Assim, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´
x = 1 ou x = 2.
b) Aplicando a propriedade M4 ao lado esquerdo da equac¸a˜o, temos |ax| = |a| · |x|, logo a equac¸a˜o
se transforma em
|a| · |x| = |a|.
Como a 6= 0, temos, pela Propriedade M1, que |a| 6= 0, logo podemos dividir a equac¸a˜o acima
por |a|. Assim, temos
|x| = 1.
Mas, como x > 0, temos que |x| = x, logo a equac¸a˜o se transforma em
x = 1,
sendo essa, portanto, a soluc¸a˜o procurada.
c) Pela M5, temos
∣∣∣∣x− 2x
∣∣∣∣ = |x− 2||x| , logo a equac¸a˜o se transforma em
|x− 2|
|x| = 0.
Para que a frac¸a˜o da esquerda seja igual a 0, precisamos ter |x − 2| = 0 e |x| 6= 0. Com isso,
temos x− 2 = 0 e x 6= 0. Assim, a soluc¸a˜o e´ x = 2.
d) Observando a equac¸a˜o dada, vemos que, do lado esquerdo, temos um mo´dulo. Pela propriedade
M1, mo´dulos sa˜o sempre maiores ou iguais a 0, portanto 2x > 0 e, com isso, x > 0. Sendo
x > 0, temos |x| = x, e a equac¸a˜o se transforma enta˜o em
|x+ 2| = 2x.
Mas, como x > 0, temos x+ 2 > 2 > 0, logo |x+ 2| = x+ 2. Assim, temos a equac¸a˜o
x+ 2 = 2x ∴ x = 2.
Exerc´ıcio 4 Calcule |x− y| para os valores de x e y dados abaixo:
a) x = 10 e y = 7 b) x = 7 e y = 10 c) x = 3 e y = −4
d) x = −4 e y = 3 e) x = −5 e y = −7 f) x = −7 e y = −5
Soluc¸a˜o:
a) |10− 7| = |3| = 3
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Me´todos Determin´ısticos I EP8 4
b) |7− 10| = | − 3| = 3
c) |3− (−4)| = |3 + 4| = |7| = 7
d) | − 4− 3| = | − 7| = 7
e) | − 5− (−7)| = | − 5 + 7| = |2| = 2
f) | − 7− (−5)| = | − 7 + 5| = | − 2| = 2
Exerc´ıcio 5 Para cada um dos itens da questa˜o anterior, marque na reta orientada os pontos x e y
e conte quantos intervalos unita´rios ha´ entre x e y. Tome como modelo a reta abaixo.
Soluc¸a˜o:
Exerc´ıcio 6 Em cada item a seguir, encontre o conjunto soluc¸a˜o.
a) | − 2x+ 1| = 0 b) | − 2x+ 1| = 3 c) | − 2x+ 1| = −7
d) |3x+ 6| = x
2
e) |1, 5x+ 5| = 1, 5x+ 5 f) |x| = 2x+ 1
Soluc¸a˜o:
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Me´todos Determin´ısticos I EP8 5
a) Pelo Teorema 1, temos que
| − 2x+ 1| = 0 ⇔ −2x+ 1 = 0
⇔ x = 1
2
.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o | − 2x+ 1| = 0 e´ o conjunto S, dado por
S =
{
1
2
}
.
b) Pelo Teorema 1, temos que
| − 2x+ 1| = 3 ⇔ −2x+ 1 = −3 ou − 2x+ 1 = 3
⇔ −2x = −4 ou − 2x = 2
⇔ x = 2 ou x = −1
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o | − 2x+ 1| = 3 e´ o conjunto S, dado por
S = {−1, 2} .
c) Como |y| ≥ 0, ∀ x ∈ R, a equac¸a˜o | − 2x+ 1| = −7 na˜o possui soluc¸a˜o.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o | − 2x+ 1| = −7 e´ o conjunto S, dado por
S = ∅.
d) De acordo com o Teorema 1, sabemos que a equac¸a˜o |3x+6| = x
2
so´ possui soluc¸a˜o se
x
2
≥ 0.
Ou seja, se x ≥ 0. Neste caso, segue que
|3x+ 6| = x
2
⇔
(
3x+ 6 = −x
2
ou 3x+ 6 =
x
2
)
e x ≥ 0
⇔
(
3x+
x
2
= −6 ou 3x− x
2
= −6
)
e x ≥ 0
⇔
(
7x
2
= −6 ou 5x
2
= −6
)
e x ≥ 0
⇔
(
x = −12
7
ou x = −12
5
)
e x ≥ 0.
Como x deve ser positivo ou nulo e os valores encontrados sa˜o negativos, segue que o conjunto
soluc¸a˜o da equac¸a˜o |3x+ 6| = x
2
e´ o conjunto S, dado por
S = ∅.
e) De acordo com o Teorema 1, sabemos que a equac¸a˜o |1, 5x+5| = 1, 5x+5 so´ possui soluc¸a˜o
se
1, 5x+ 5 ≥ 0 ⇔ 3x
2
+ 5 ≥ 0⇔ 3x
2
≥ −5
⇔ x ≥ −10
3
.
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Me´todos Determin´ısticos I EP8 6
Neste caso, segue que
|1, 5x+ 5| = 1, 5x+ 5 ⇔ (1, 5x+ 5 = −(1, 5x+ 5) ou 1, 5x+ 5 = 1, 5x+ 5) e x ≥ −10
3
⇔ (3x = −10 ou 0.x = 0) e x ≥ −10
3
⇔
(
x = −10
3
ou 0.x = 0
)
e x ≥ −10
3
∗⇔ (x ∈ R) e x ≥ −10
3
⇔ x ≥ −10
3
.
(*) Note que a equac¸a˜o 0.x = 0 e´ satisfeita para todo valor x ∈ R.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o |1, 5x+ 5| = 1, 5x+ 5 e´ o conjunto S, dado por
S =
[
−10
3
,∞
)
.
f) De acordo com o Teorema 1, sabemos que a equac¸a˜o |x| = 2x + 1 so´ possui soluc¸a˜o se
2x+ 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1
2
. Neste caso, segue que
|x| = 2x+ 1 ⇔ (x = −(2x+ 1) ou x = 2x+ 1) e x ≥ −1
2
⇔ (3x = −1 ou − x = 1) e x ≥ −1
2
⇔
(
x = −1
3
ou x = −1
)
e x ≥ −1
2
⇔ x = −1
3
.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o |x| = 2x+ 1 e´ o conjunto S, dado por
S =
{
−1
3
}
.
Exerc´ıcio 7 Em cada item a seguir, encontre o conjunto soluc¸a˜o. Escreva-o, se poss´ıvel, na forma
de intervalo ou de unio˜es de intervalos.
a) |8x− 12| ≥ 3 b) |3x− 1| ≤ x c)
∣∣∣∣2− x3
∣∣∣∣ < 20− x
d)
∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ ≤ 0 e) ∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≥ 0 f) |2x− 1| < 0
Soluc¸a˜o:
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Me´todos Determin´ısticos I EP8 7
a) Vamos utilizar o Teorema 2 do Enunciado do EP8, item (4): |y| ≥ a ⇔ y ≤ −a ou y ≥ a,
tomando y = 8x− 12 e a = 3. Temos enta˜o, que
|8x− 12| ≥ 3 ⇔ 8x− 12 ≤ −3 ou 8x− 12 ≥ 3
⇔ 8x ≤ −3 + 12 ou 8x ≥ 3 + 12
⇔ 8x ≤ 9 ou 8x ≥ 15
⇔ x ≤ 9
8
ou x ≥ 15
8
.
Conclusa˜o: |8x− 12| ≥ 3 ⇔ x ≤ 9
8
ou x ≥ 15
8
.
x £
9
8
x ³
15
8
x £
9
8
ou x ³
15
8
-1 0 1 98
15
8 2
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S =
{
x ∈ R | x ≤ 9
8
ou x ≥ 15
8
}
=
(
−∞, 9
8
]
∪
[
15
8
,∞
)
.
b) Vamos utilizar o Teorema 1 do Enunciado do EP8, item (2): |y| ≤ a⇔ −a ≤ y ≤ a, tomando
y = 3x− 1 e a = x. Temos enta˜o, que
|3x− 1| ≤ x ⇔ −x ≤ 3x− 1 ≤ x
⇔ −x ≤ 3x− 1 e 3x− 1 ≤ x
⇔ −x− 3x ≤ −1 e 3x− x ≤ 1
⇔ −4x ≤ −1 e 2x ≤ 1
⇔ 4x ≥ 1 e x ≤ 1/2
⇔ x ≥ 1/4 e x ≤ 1/2.
Conclusa˜o: |3x− 1| ≤ x ⇔ 1/4 ≤ x ≤ 1/2.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S =
{
x ∈ R | 1
4
≤ x ≤ 1
2
}
=
[
1
4
,
1
2
]
.
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Me´todos Determin´ısticos I EP8 8
x £
1
2
x ³
1
4
1
4
£ x £
1
2
-1 0 14
1
2 1 2
c) Vamos utilizar o Teorema 2 do Enunciado do EP8, item (1): |y| < a⇔ −a < y < a, tomando
y =
2− x
3
e a = 20− x. Temos enta˜o, que∣∣∣∣2− x3
∣∣∣∣ < 20− x ⇔ −(20− x) < 2− x3 < 20− x
⇔ −3(20− x) < 2− x < 3(20− x)
⇔ 3x− 60 < 2− x < 60− 3x
⇔ 3x− 60 < 2− x e 2− x < 60− 3x
⇔ 4x < 62 e 2x < 58
⇔ x < 31
2
e x <
58
2
⇔ x < 31
2
e x < 29.
⇔ x < 31
2
.
x <
31
2
x < 29
x <
31
2
e x < 29
31
2 29
Conclusa˜o:
∣∣∣∣2− x3
∣∣∣∣ < 20− x ⇔ x < 312 .
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S =
{
x ∈ R | x < 31
2
}
=
(
−∞, 31
2
)
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 9
d) Como |y| ≥ 0, ∀ y ∈ R, a inequac¸a˜o
∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ ≤ 0 so´ possui soluc¸a˜o se ∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ = 0, pois na˜o
existe nu´mero real tal que
∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ < 0. Desta forma, segue que∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ = 0 ⇔ 12 − x = 0⇔ x = 12 .
Conclusa˜o:
∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ ≤ 0 ⇔ x = 12 .
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S =
{
1
2
}
.
Caso voceˆ na˜o tivesse percebido isto, e partisse direto para aplicar o item (2) do Teorema 2
do EP8: |y| ≤ a ⇔ −a ≤ y ≤ a, tomando y = 1
2
− x e a = 0, na˜o teria problema, pois voceˆ
chegaria ao mesmo resultado. Confira abaixo.
Aplicando o teorema, segue que∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ ≤ 0 ⇔ −0 ≤ 12 − x ≤ 0
⇔ 0 ≤ 1
2
− x ≤ 0⇔ 1
2
− x = 0.
e) Como |y| ≥ 0, ∀ y ∈ R, a inequac¸a˜o
∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≥ 0 e´ satisfeita para todo nu´mero real x.
Conclusa˜o:
∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≥ 0 ⇔ x ∈ R.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S = R.
Caso voceˆ na˜o tivesse percebido isto, e partisse
direto para aplicar o item (4) do Teorema 2
do EP8: |y| ≥ a ⇔ y ≤ −a ou y ≤ a, tomando y = 3x− 1
4
e a = 0, na˜o teria problema, pois
voceˆ chegaria ao mesmo resultado. Confira abaixo.
Aplicando o teorema, segue que∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≥ 0 ⇔ 3x− 14 ≤ −0 ou 3x− 14 ≥ 0
⇔ 3x− 1
4
≤ 0 ou 3x− 1
4
≥ 0.
Isto significa que x ∈ R, pois ao se substituir qualquer real x na a expressa˜o 3x− 1
4
, teremos
como resultado um nu´mero real que e´ positivo, negativo ou nulo e os treˆs casos sa˜o permitidos.
Logo,
S = R.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 10
f) Como |y| ≥ 0, ∀ x ∈ R, a inequac¸a˜o |2x − 1| < −3 na˜o possui soluc¸a˜o, pois na˜o existe
nu´mero real tal que |2x− 1| < 0. Desta forma, segue que o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o
e´ o conjunto S, dado por
S = ∅.
Caso voceˆ na˜o tivesse percebido isto, e partisse direto para aplicar o item (1) do Teorema 2
do EP8: |y| ≥ a ⇔ −a < y < a, tomando y = 2x − 1 e a = −3, na˜o teria problema, pois
voceˆ chegaria ao mesmo resultado. Confira abaixo.
|2x− 1| ≤ −3 ⇔ −(−3) ≤ 2x− 1 ≤ −3
⇔ 3 ≤ 2x− 1 ≤ −3.
Observe que na˜o existe x real que satisfac¸a a inequac¸a˜o acima, pois 3 > −3.
g) Como |y| ≥ 0, ∀ x ∈ R, a inequac¸a˜o |3, 9x − 1| > 0 e´ sempre va´lida para todo x real,
excetuando o valor de x que satisfaz |3, 9x − 1| = 0, pois na˜o existe nu´mero real tal que
|3, 9x− 1| < 0. Desta forma, segue que
|3, 9x− 1| 6= 0 ⇔ 3, 9x− 1 6= 0⇔ x 6= 1
3, 9
6= 139
10
6= 10
39
.
Conclusa˜o: |3, 9x− 1| > 0 ⇔ x 6= 10
39
.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S = R\ {10/39} .
Caso voceˆ na˜o tivesse percebido isto, e partisse direto para aplicar o item (3) do Teorema 2
do EP8: |y| > a ⇔ y < −a ou y > a, tomando y = 3, 9x − 1 e a = 0, na˜o teria problema,
pois voceˆ chegaria ao mesmo resultado. Confira abaixo.
|3, 9x− 1| > 0 ⇔ 3, 9x− 1 < −0 ou 3, 9x− 1 > 0
⇔ 3, 9x− 1 < 0 ou 3, 9x− 1 > 0⇔ 3, 9x− 1 6= 0.
Exerc´ıcio 8 Encontre o conjunto soluc¸a˜o dos nu´meros reais que satisfazem ao mesmo tempo a`s
duas inequac¸o˜es a seguir:
|3x+ 5| ≤ 8 e | − 6x+ 3| − 4 < 10
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Me´todos Determin´ısticos I EP8 11
Soluc¸a˜o: Primeiro, vamos encontrar em separado o conjunto soluc¸a˜o de cada uma das inequac¸o˜es.
Em seguida, determinamos o conjunto soluc¸a˜o, S, dos nu´meros reais que satisfazem simultaneamente
a`s duas inequac¸o˜es, fazendo a intersec¸a˜o do conjunto soluc¸a˜o de cada uma das inequac¸o˜es.
Para resolver |3x+ 5| ≤ 8, vamos utilizar o Teorema 2 do Enunciado do EP8, item (2): |y| ≤ a ⇔
−a ≤ y ≤ a, tomando y = 3x+ 5 e a = 8. Neste caso,
|3x+ 5| ≤ 8
m
−8 ≤ 3x+ 5 ≤ 8
m
−13 ≤ 3x ≤ 3
m
−13
3
≤ x ≤ 1
—
Logo, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S1, dado por
S1 =
{
x ∈ R | − 13
3
≤ x ≤ 1
}
=
[
−13
3
, 1
]
.
Agora, vamos resolver a segunda inequac¸a˜o.
Observe que |−6x+3|−4 < 10⇔ |−6x+3| < 14. Desta forma, vamos utilizar utilizar o Teorema
2, item (1) do Enunciado do EP8: |y| < a ⇔ −a < y < a, tomando y = −6x+ 3 e a = 14. Neste
caso,
| − 6x+ 3| < 14
m
−14 < −6x+ 3 < 14
m
−17 < −6x < 11
m
17
6
> x > −11
6
m
−11
6
< x <
17
6
Logo, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S2, dado por
S2 =
{
x ∈ R | − 11
6
< x <
17
6
}
=
(
−11
6
,
17
6
)
.
Para encontrar o conjunto S, dos nu´meros reais que satisfazem ao mesmo tempo a`s duas inequac¸o˜es,
temos que determinar o conjunto dos nu´meros que esta˜o ao mesmo tempo nos dois intervalos
encontrados, isto e´, a intersec¸a˜o destes intervalos.
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Me´todos Determin´ısticos I EP8 12
S1
S2
S1 Ý S2
-
13
3 -
11
6 1
17
6
Conclusa˜o:
S = S1 ∩ S2 = [−13/3, 1] ∩ (−11/6, 17/6) = (−11/6, 1]
Exerc´ıcio 9 Em cada item a seguir, extraia a raiz quadrada.
a)
√
4 b)
√
(2)2 c)
√
(−2)2 d)
√
(1−√2)2
Soluc¸a˜o:
a)
√
4 = 2
b)
√
(2)2 = |2| = 2
c) |√(−2)2 = | − 2| = 2
d)
√
(1−√2)2 = |1−√2| = √2− 1, pois √2 > 1
Exerc´ıcio 10 Em cada item a seguir, encontre o conjunto soluc¸a˜o.
a)
√
x2 = 5 b)
√
(x− 3)2 = 1
2
c)
√
(3x− 2)2 − x > 5
Soluc¸a˜o:
a)
√
x2 = 5 ⇔ |x| = 5⇔ x = −5 ou x = 5.
Conclusa˜o:
√
x2 = 5 ⇔ x = −5 ou x = 5.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S = {−5, 5} .
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Me´todos Determin´ısticos I EP8 13
b) √
(x− 3)2 = 1
2
⇔ |x− 3| = 1
2
⇔ x− 3 = −1
2
ou x− 3 = 1
2
⇔ x = 3− 1
2
ou x = 3 +
1
2
⇔ x = 5
2
ou x =
7
2
Conclusa˜o:
√
x2 = 5 ⇔ x = −5 ou x = 5.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S =
{
5
2
,
7
2
}
.
c) √
(3x− 2)2 − x > 5 ⇔
√
(3x− 2)2 > 5 + x
⇔ |3x− 2| > 5 + x⇔ 3x− 2 < −(5 + x) ou 3x− 2 > 5 + x
⇔ 3x− 2 < −5− x ou 3x− 2 > 5 + x
⇔ 3x+ x < −5 + 2 ou 3x− x > 5 + 2
⇔ 4x < −3 ou 2x > 7
⇔ x < −3
4
ou x >
7
2
Conclusa˜o:
√
(3x− 2)2 − x > 5 ⇔ x < −3
4
ou x >
7
2
.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S =
{
x ∈ R | x < −3
4
ou x >
7
2
}
=
(
−∞,−3
4
)
∪
(
7
2
,∞
)
.
Exerc´ıcio 11 Sabe-se que a distaˆncia entre o triplo de um nu´mero ao nu´mero 0,25 e´ maior do que
1 e menor ou igual a 5. Encontre o conjunto soluc¸a˜o dos nu´meros reais que satisfazem a restric¸a˜o
imposta acima.
Soluc¸a˜o: Primeiro, vamos modelar nosso problema. Vamos chamar de x o nosso nu´mero. Desta
forma, temos que o triplo do nu´mero e´ dado por 3x. A distaˆncia entre dois nu´meros a e b reais
e´ dada por |a − b|. Portanto, a distaˆncia entre o triplo de um nu´mero e nu´mero 0,25 e´ dada por
|3x− 0, 25|. Como esta distaˆncia e´ maior do que 1 e menor ou igual a 5, temos que
1 < |3x− 0, 25| ≤ 5.
Desta forma, temos que
1 < |3x− 0, 25| ≤ 5 ⇔ 1 <
∣∣∣∣3x− 25100
∣∣∣∣ ≤ 5 ⇔ 1 < ∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≤ 5
⇔ 1 <
∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ e ∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≤ 5
⇔
∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ > 1 e ∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≤ 5.
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Me´todos Determin´ısticos I EP8 14
Vamos encontrar em separado o conjunto soluc¸a˜o de cada uma das inequac¸o˜es.
Para resolver |3x− 0, 25| > 1, vamos utilizar o Teorema 2 do Enunciado do EP8, item (3): |y| > a
⇔ y < −a ou y > a, tomando y = 3x− 0, 25 e a = 1. Neste caso,∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ > 1 ⇔ 3x− 14 < −1 ou 3x− 14 > 1
⇔ 3x < −1 + 1
4
ou 3x > 1 +
1
4
⇔ 3x < −3
4
ou 3x >
5
4
⇔ x < −1
4
ou x >
5
12
.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S1, dado por
S1 =
{
x ∈ R | x < −1
4
ou x >
5
12
}
=
(
−∞,−1
4
)
∪
(
5
12
,∞,
)
.
Agora, vamos resolver a segunda inequac¸a˜o.
Para resolver |3x− 0, 25| ≤ 5, vamos utilizar o Teorema 2 do Enunciado do EP8, item (2): |y| ≤ a
⇔ −a ≤ y ≤ a, tomando y = 3x− 0, 25 e a = 1. Neste caso,∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 3x− 14 ≤ 5
⇔ −5 + 1
4
≤ 3x ≤ 5 + 1
4
⇔ −19
4
≤ 3x ≤ 21
4
⇔ −19
12
≤ x ≤ 21
12
.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S2, dado por
S2 =
{
x ∈ R | − 19
12
≤ x ≤ 21
12
}
=
[
−19
12
,
21
12
]
.
Para encontrar o conjunto S, dos nu´meros reais que satisfazem ao mesmo tempo a`s duas inequac¸o˜es,
temos que determinar o conjunto dos nu´meros que esta˜o ao mesmo tempo nos dois intervalos
encontrados, isto e´, a intersec¸a˜o destes intervalos.
Conclusa˜o:
S = S1 ∩ S2 =
((
−∞,−1
4
)
∪
(
5
12
,∞,
))
∩
[
−19
12
,
21
12
]
=
[
−19
12
,− 3
12
)
∪
(
5
12
,
21
12
]
.
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Me´todos Determin´ısticos I EP8 15
S1
S2
S1 Ý S2
-
19
12 -
1
4
5
12
7
4
Exerc´ıcio 12 Para determinar se uma moeda e´ imparcial (se possui a mesma probabilidade de dar
cara ou coroa), um experimentador joga-a 100 vezes, anotando o nu´mero de caras, x. A teoria
estat´ıstica diz que a moeda e´ tendenciosa se∣∣∣∣x− 505
∣∣∣∣ ≥ 1, 645.
Para que valores de x a moeda e´ declarada tendenciosa?
Soluc¸a˜o: Para resolver a inequac¸a˜o
∣∣∣∣x− 505
∣∣∣∣ ≥ 1, 645, vamos utilizar o Teorema 2 do Enunciado
do EP8, item (4): |y| ≥ a ⇔ y ≤ −a ou y ≤ a, tomando y = x− 50
5
e a = 1, 645 =
1645
1000
=
329
200
.
Temos enta˜o, que
∣∣∣∣x− 505
∣∣∣∣ ≥ 329200 ⇔ x− 505 ≤ −329200 ou x− 505 ≥ 329200
⇔ x− 50 ≤ −329
40
ou x− 50 ≥ 329
40
⇔ x ≤ −329
40
+ 50 ou x ≥ 329
40
+ 50
⇔ x ≤ −329
40
+
2000
40
ou x ≥ 329
40
+
2000
40
⇔ x ≤ 1671
40
ou x ≥ 2329
40
Conclusa˜o:
∣∣∣∣x− 505
∣∣∣∣ ≥ 329200 ⇔ x ≤ 167140 = 41+ 3140 ou x ≥ 232940 = 58+ 940 . Desta forma, a
moeda e´ declarada tendenciosa se o nu´mero de caras e´ menor ou igual a 41 ou maior ou igual a 59.
Exerc´ıcio 13 Em uma refinaria, a produc¸a˜o de petro´leo e´ estimada a partir da desigualdade
|p− 2.250.000| < 125.000,
onde p e´ medido em barris de petro´leo. Sabendo disto, determine os valores de p em que se teˆm os
n´ıveis de alta e baixa produc¸a˜o.
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Me´todos Determin´ısticos I EP8 16
Soluc¸a˜o: Para resolver a inequac¸a˜o |p− 2.250.000| < 125.000, vamos utilizar o Teorema 2 do
Enunciado do EP8, item (1): |y| < a ⇔ −a < y < a, tomando y = p− 2.250.000 e a = 125.000.
Temos enta˜o, que
|p− 2.250.000| < 125.000 ⇔ −125.000 < p− 2.250.000 < 125.000
⇔ −125.000 + 2.250.000 < p < 125.000 + 2.250.000
⇔ 2.125.000 < p < 2.375.000
Conclusa˜o: |p− 2.250.000| < 125.000 ⇔ 2.125.000 < p < 2.375.000. Desta forma, a produc¸a˜o
mais baixa e´ de 2.125.001 barris de petro´leo e a produc¸a˜o mais alta e´ de 2.374.999 barris de petro´leo.
Exerc´ıcio 14 A altura, h de uma selec¸a˜o de membros de uma determinada populac¸a˜o satisfazem a
desigualdade ∣∣∣∣h− 173, 56, 5
∣∣∣∣ ≤ 1,
onde h e´ medido em cent´ımetros. Determine o intervalo da reta real que coincide com o conjuntos
destas alturas.
Soluc¸a˜o: Para resolver a desigualdade
∣∣∣∣h− 173, 56, 5
∣∣∣∣ ≤ 1, vamos utilizar o Teorema 2 do Enunciado
do EP8, item (2): |y| ≤ a ⇔ −a ≤ y ≤ a, tomando
y =
h− 173, 5
6, 5
=
h− 1735
10
65
10
=
10
(
h− 1735
10
)
65
=
10h− 1735
65
e a = 1. Temos enta˜o, que
∣∣∣∣h− 173, 56, 5
∣∣∣∣ ≤ 1 ⇔ ∣∣∣∣10h− 173565
∣∣∣∣ ≤ 1
⇔ −1 ≤ 10h− 1735
65
≤ 1
⇔ −65 ≤ 10h− 1735 ≤ 65
⇔ −65 + 1735 ≤ 10h ≤ 65 + 1735
⇔ 1670 ≤ 10h ≤ 1800
⇔ 167 ≤ h ≤ 180.
Conclusa˜o:
∣∣∣∣h− 173, 56, 5
∣∣∣∣ ≤ 1 ⇔ 167 ≤ h ≤ 180. Desta forma, o intervalo da reta real que
coincide com o conjuntos das alturas que satisfazem a desigualdade acima e´ [167, 170].
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Me´todos Determin´ısticos I EP8 17
Exerc´ıcio 15 Uma indu´stria de grande porte ira´ se instalar a`s margens de uma rodovia, pro´xima a
uma cidade localizada no quiloˆmetro 60 da rodovia e a um porto, cujo terminal rodovia´rio esta´ no
quiloˆmetro 100.
Segundo a legislac¸a˜o ambiental local, a distaˆncia, medida ao longo da rodovia, entre a cidade e a
indu´stria na˜o deve ser menor do que 40km.
Para facilitar e baratear o escoamento da produc¸a˜o, a indu´stria deve ser instalada a` distaˆncia ma´xima
de 30km do terminal rodovia´rio do porto. Pore´m a indu´stria na˜o pode se instalar a uma distaˆncia
menor do que 20km deste terminal, devido ao prec¸o proibitivo dos terrenos.
Determine o trecho da rodovia no qual a indu´stria pode se instalar, segundo os crite´rios acima.
Soluc¸a˜o:
Para acompanhar melhor o soluc¸a˜o apresentada abaixo, antes, estude com muita atenc¸a˜o o Teorema
2 do EP8.
Abaixo, vemos uma mapa da rodovia:
Vamos chamar de x a poss´ıvel localizac¸a˜o da indu´stria. Se a distaˆncia entre a cidade e a indu´stria
na˜o deve ser inferior a 40km, temos
|x− 60| > 40,
logo
x− 60 > 40 ou x− 60 6 −40,
e assim, x− 60 > 40 ou x− 60 6 −40. Com isso, x > 100 ou x 6 20. Assim, a condic¸a˜o relativa
a` distaˆncia m´ınima a` cidade nos leva a x ∈ (−∞, 20] ∪ [100,+∞), condic¸a˜o representada na figura
abaixo:
Como a distaˆncia entre a indu´stria e o terminal do porto deve ser, no ma´ximo, de 30km, temos
|x− 100| 6 30,
ou, equivalentemente,
−30 6 x−100 6 30⇔ x−100 6 30 e x−100 > −30⇔ x 6 130 e x > 70⇔ 70 6 x 6 130⇔ x ∈ [70, 130].
Esta condic¸a˜o esta´ representada na figura abaixo:
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Me´todos Determin´ısticos I EP8 18
Pore´m, a distaˆncia entre a indu´stria na˜o deve ser inferior a 20, logo, deve ser maior ou igual a 20.
Assim,
|x−100| > 20⇔ x−100 6 −20 ou x−100 > 20⇔ x 6 80 ou x > 120⇔ x ∈ (−∞, 80]∪[120,+∞).
Esta condic¸a˜o esta´ representada na figura abaixo:
Como TODAS as treˆs condic¸o˜es referidas anteriormente precisam ser satisfeitas, precisamos que a
localizac¸a˜o x da cidade obedec¸a a:
x ∈ (−∞, 20] ∪ [100,+∞)
e
x ∈ [70, 130]
e
x ∈ (−∞, 80] ∪ [120,+∞).
Sendo assim, temos que ter
x ∈ ((−∞, 20] ∪ [100,+∞)) ∩ [70, 130] ∩ ((−∞, 80] ∪ [120,+∞))
Para realizar as intersec¸o˜es acima, representamos, na figura abaixo, os treˆs trechos dados, cada um,
como resultado de uma das condic¸o˜es impostas. A intersec¸a˜o encontra-se destacada em preto.
A intersec¸a˜o dos treˆs intervalos obtidos anteriormente representa o trecho da rodovia onde pode se
instalar a indu´stria, pois esta deve cumprir TODAS as treˆs condic¸o˜es. Com isso,
x ∈ [120, 130].
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
QUESTÕES dos Exercícios Programados/EP09-2018-1-questoes.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP10 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 12, pa´ginas 149 a 155, do Caderno Dida´tico.
Prezados alunos,
Este EP procura complementar a teoria contida no Caderno Dida´tico, trazendo uma visa˜o amplifi-
cada do conteu´do. Procuramos enfatizar a parte pra´tica, mas sem descuidar dos aspectos teo´ricos
envolvidos, o que julgamos essencial para evitar que erros acontec¸am.
Procuramos ilustrar cada discussa˜o abaixo com muitos e variados exemplos. Estes exemplos devem,
na medida do poss´ıvel, ser pensados como exerc´ıcios. Procure pensar sozinho sobre cada um deles
antes de comec¸ar a ler sua resoluc¸a˜o.
Os exerc´ıcios esta˜o distribu´ıdos ao longo das sec¸o˜es. E´ fundamental que voceˆ tente resolveˆ-los antes
de ler o gabarito... do contra´rio, eles na˜o adiantara˜o de nada! Sugerimos tambe´m que sejam resolvi-
dos a` medida em que o texto e´ lido, evitando-se seguir para uma nova sec¸a˜o sem que os exerc´ıcios das
anteriores tenham sido resolvidos. Tudo bem que podem ser muitos exerc´ıcios, enta˜o tente resolver
pelo menos alguns enquanto leˆ o texto... mas depois, volte e resolva todos!
Abrac¸os,
Denise e Leonardo
1 A equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0
O conteu´do desta semana e´ algo que, certamente, esta´ entre os assuntos mais lembrados da Ma-
tema´tica do Ensino Me´dio. A cla´ssica expressa˜o
−b±√∆
2a
so´ rivaliza
em apelo pop a` igualmente
famosa a2 = b2 + c2! Claro que tudo isso dito assim, sem qualquer sentido ou utilidade... Sa˜o
expresso˜es lembradas mas, como todas as outras, na˜o necessariamente entendidas.
Esta expressa˜o e´ parte da famosa ”Fo´rmula de Bhaskara”para soluc¸a˜o da equac¸a˜o do segundo grau.
De maneira geral, se uma equac¸a˜o de varia´vel x puder ser escrita na forma
ax2 + bx + c = 0,
com a 6= 0, ela sera´ chamada de equac¸a˜o de grau 2 na varia´vel x. Esta equac¸a˜o tem como soluc¸a˜o,
falando de forma bem descuidada, os nu´meros
x1 =
−b +√b2 − 4ac
2a
e x2 =
−b−√b2 − 4ac
2a
.
Quando dizemos que os valores acima sa˜o as duas soluc¸o˜es da equac¸a˜o, estamos dizendo que
ax2 + bx + c = 0⇔ x = −b +
√
b2 − 4ac
2a
ou x =
−b−√b2 − 4ac
2a
.
Como os dois valores de x acima diferem apenas por um sinal (aquele entre o −b e o √b2 − 4ac), e´
comum escrevermos que as soluc¸o˜es x1 e x2 da equac¸a˜o sa˜o dadas por
Me´todos Determin´ısticos I EP10 2
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
,
isto e´, uma soluc¸a˜o e´ dada lendo o ± como + e a outra e´ dada lendo ± como −. Ou seja,
ax2 + bx + c = 0⇔ x = −b±
√
b2 − 4ac
2a
.
Atenc¸a˜o!!! Estamos falando de forma bem descuidada! Ha´ muitas armadilhas no que esta´ escrito
acima, principalmente no fato de os nu´meros x1 e x2 poderem na˜o existir! Mas por agora, vamos
ficar felizes com o que temos e tentar utilizar essa (velha) ferramenta!
Observac¸a˜o!!! Daqui para a frente, nos referiremos a` expressa˜o “x =
−b±√b2 − 4ac
2a
”como
Fo´rmula de Bhaskara ou fo´rmula ma´gica, para banalizar a coisa e quebrar seu encanto.
Exemplo 1: Resolver a equac¸a˜o 4x2 + 4x− 3 = 0.
Antes de continuar a ler, tente resolver sozinho!
A equac¸a˜o 4x2 + 4x+ 3 = 0 esta´ na forma ax2 + bx+ c = 0, com a = 4, b = 4 e c = −3. Aplicando
levianamente o que vimos acima, as soluc¸o˜es sa˜o dadas enta˜o por
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
=
−4±√42 − 4 · 4 · (−3)
2 · 4 =
−4±√16 + 48
8
=
−4±√64
8
=
−4± 8
8
.
Temos enta˜o duas soluc¸o˜es, uma obtida lendo a expressa˜o com +, que sera´
x =
−4 + 8
8
=
4
8
=
1
2
,
e uma obtida com o −,
x =
−4− 8
8
=
−12
8
= −3
2
.
Assim, resumindo,
4x2 + 4x− 3 = 0⇔ x = 1
2
ou x = −3
2
.
Agora vamos comec¸ar a entender por que precisamos ter cuidado com a fo´rmula ma´gica. No´s
dissemos que os nu´meros x1 e x2 obtidos eram as soluc¸o˜es da equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0. Isto e´
muito forte. Estamos dizendo que sa˜o as u´nicas soluc¸o˜es, isto e´, que na˜o havera´ uma outra soluc¸a˜o
da equac¸a˜o que na˜o seja escrita na forma
−b±√b2 − 4ac
2a
. Em linguagem da Lo´gica,
ax2 + bx + c = 0⇔ x = −b±
√
b2 − 4ac
2a
.
(lembre-se de que o “⇔”e´ um “se, e somente se”).
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 3
Existe uma forma de garantirmos que, de fato, so´ existem estas duas ra´ızes (quando existirem...
espere um pouco para entender do que estamos falando), mas deixaremos esta discussa˜o para o final,
quando apresentaremos uma demonstrac¸a˜o da fo´rmula ma´gica.
Uma maneira inicial de pensar e´ verificar que o trinoˆmio 4x2 + 4x − 3 pode ser escrito como
4
(
x− 1
2
)
·
(
x +
3
2
)
, ou ainda como 4
(
x− 1
2
)
·
(
x−
(
−3
2
))
. Com isso, a equac¸a˜o
4x2 + 4x− 3 = 0
e´ equivalente a`
4
(
x− 1
2
)
·
(
x−
(
−3
2
))
= 0,
porque a segunda e´ simplesmente a primeira reescrita. Para que o produto de treˆs nu´meros deˆ 0, e´
necessa´rio e suficiente que um deles seja igual a 0, logo
4
(
x− 1
2
)
·
(
x−
(
−3
2
))
= 0⇔ 4 = 0 ou x− 1
2
= 0 ou x−
(
−3
2
)
= 0.
A primeira condic¸a˜o, 4 = 0 nunca acontecera´, a segunda acontecera´ quando x =
1
2
e a terceira
quando x = −3
2
. Assim,
4
(
x− 1
2
)
·
(
x−
(
−3
2
))
= 0⇔ x = 1
2
ou x = −3
2
.
Mas repare que essa discussa˜o apenas esta´ tentando te convencer de que as duas ra´ızes encon-
tradas sa˜o realmente as duas u´nicas. Esta forma de proceder na˜o e´ uma te´cnica aplica´vel de
soluc¸a˜o na maior parte dos casos; no´s so´ conseguimos aplica´-la pois ja´ sab´ıamos de antema˜o que
4x2 + 4x − 3 = 4
(
x− 1
2
)
·
(
x−
(
−3
2
))
. E como sab´ıamos disso? Ora, no´s que elaboramos o
exemplo... Ate´ e´ poss´ıvel resolvermos uma equac¸a˜o de segundo grau “adivinhando”uma fatorac¸a˜o
como essa, mas deixaremos essa discussa˜o para mais tarde.
Por agora, vejamos outro exemplo, que nos mostra como a fo´rmula ma´gica pode ser bastante travessa.
Exemplo 2: Resolver a equac¸a˜o x2 + 6x + 9 = 0.
Antes de continuar a ler, tente, novamente, resolver sozinho!
A equac¸a˜o x2 + 6x + 9 = 0 esta´ na forma ax2 + bx + c = 0, com a = 1, b = 6 e c = 9 (Por que
a = 1? Note que x2 = 1x2.). Aplicando a fo´rmula ma´gica, temos as soluc¸o˜es
x =
−6±√62 − 4 · 1 · 9
2 · 1 =
−6±√36− 36
2
=
−6±√0
2
=
−6± 0
2
.
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E agora??? Lendo a expressa˜o com + e com−, temos um u´nico valor para x, dado por x = −6
2
= −3,
pois a soluc¸a˜o obtida lendo a expressa˜o com +, que sera´
x =
−6 + 0
2
=
−6
2
= −3,
que e´ a obtida com o −,
x =
−6− 0
2
=
−6
2
= −3.
Isto e´,
x2 + 6x + 9 = 0⇔ x = −3.
Isto faz sentido?
Note que x2 + 6x + 9 = (x + 3)2, logo
x2 + 6x + 9 = 0⇔ (x + 3)2 = 0⇐ x + 3 = 0⇔ x = −3.
Ou seja, x = −3 e´ a u´nica soluc¸a˜o da equac¸a˜o. Ningue´m prometeu que seriam necessariamente duas
soluc¸o˜es diferentes!
Como bem mostra o exemplo acima, a equac¸a˜o do segundo grau pode ter uma u´nica soluc¸a˜o. Ou,
como dizem alguns, pode ter “duas soluc¸o˜es iguais”. Para no´s, absolutamente tanto faz a forma que
voceˆ utilize.
Equac¸o˜es como a do primeiro exemplo (4x2 + 4x − 3 = 0), diremos explicitamente duas soluc¸o˜es
distintas ou duas soluc¸o˜es diferentes.
Mas podemos ir ale´m e encontrar situac¸o˜es ainda mais interessantes. Veja o exemplo abaixo.
Exemplo 3: Resolver a equac¸a˜o x2 + 4x + 5 = 0
Antes de continuar a ler... ja´ sabe, tente resolver o exemplo acima!
A equac¸a˜o x2 + 4x + 5 = 0 e´ do segundo grau com a = 1, b = 4 e c = 5, Aplicando a fo´rmula
ma´gica,
x2 + 4x + 5 = 0⇔ x = −4±
√
42 − 4 · 1 · 5
2 · 1 ⇔ x =
−4±√16− 20
2
⇔ x = −4±
√−4
2
Ops... melhor parar e tentar entender o que apareceu!
A Matema´tica e´ bem clara... vamos ler. Esta´ escrito que x2 +4x+5 sera´ igual a 0 quando, e apenas
quando, x =
−4±√−4
2
. Mas x e´ um nu´mero real, e
−4±√−4
2
na˜o representa um nu´mero real,
pois na˜o foi definida, nos reais,
√−4. Assim, para que x2 +4x+5 = 0, o x na˜o pode ser um nu´mero
real, ou seja, a equac¸a˜o x2 + 4x + 5 = 0 na˜o tem soluc¸a˜o em R.
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Voceˆ pode dizer que a equac¸a˜o x2 + 4x+ 5 = 0 “na˜o tem soluc¸a˜o em R”, ou, como nesta disciplina
so´ estamos trabalhando com nu´meros reais, poderia dizer simplesmente que “a equac¸a˜o na˜o
tem soluc¸a˜o”. Nosso contexto, ou seja, o conjunto universo com o qual trabalhamos nesta disciplina,
e´ bem claro e na˜o ha´ necessidade de ficar dizendo a toda hora que estamos buscando soluc¸o˜es apenas
em R.
Tentando englobar as treˆs situac¸o˜es acima em uma u´nica explicac¸a˜o, dada a equac¸a˜o
ax2 + bx + c = 0,
chamamos ∆ = b2 − 4ac e
• Se ∆ > 0, a equac¸a˜o tem duas soluc¸o˜es distintas, dadas por x1 = −b +
√
∆
2a
e x2 =
−b−√∆
2a
• Se ∆ = 0, a equac¸a˜o tem uma u´nica soluc¸a˜o (ou duas soluc¸o˜es iguais, se preferir), dada por
x =
−b +√∆
2a
=
−b
2a
.
• Se ∆ < 0, a equac¸a˜o na˜o tem soluc¸o˜es reais.
Posto isso, vamos ao trabalho!
Exerc´ıcio 1 Resolva as equac¸o˜es a seguir:
a) x2 − 6x + 5 = 0 b) 3x2 − 12x + 6 = 0
c) x2 − 4x = 0 d) x2 − 49 = 0
e) 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0
2 Uma forma simples de resolver equac¸o˜es simples
Lembre-se, primeiramente, que dados dois nu´meros reais, r1 e r2, temos que
(x− r1) · (x− r2) = x2 − xr2 − r1x + r1r2 = x2 − (r1 + r2)x + r1r2.
Com isso, a equac¸a˜o
x2 − (r1 + r2)x + r1r2 = 0,
pode ser reescrita como
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 6
(x− r1) · (x− r2) = 0.
Para que o produto do lado esquerdo da equac¸a˜o acima resulte em 0, precisamos ter
x− r1 = 0 ou x− r2 = 0.
Assim, temos
x = r1 ou x = r2,
ou seja, r1 e r2 sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o x
2 − (r1 + r2)x + r1r2 = 0.
Se chamarmos de S a soma r1 + r2 e de P o produto r1r2, isto e´,
S = r1 + r2 e P = r1r2,
a equac¸a˜o
x2 − Sx + P = 0,
tera´, como soluc¸a˜o, x = r1 ou x = r2. Isto fornece uma forma simples de resolvermos equac¸o˜es
(simples) do segundo grau, sem termos que utilizar a fo´rmula ma´gica.
Exemplo 4: Resolver a equac¸a˜o x2 − 6x + 5 = 0
Se pensarmos na equac¸a˜o acima como sendo x2 − Sx + P = 0, teremos S = 6 e P = 5. Voceˆ
consegue pensar em dois nu´meros cuja soma seja 6 e o produto seja 5? Sim, 1 e 5. Assim, temos,
como soluc¸a˜o x = 1 ou x = 5. Observe que, realmente temos
(x− 1)(x− 5) = x2 − 5x− 1x + 5 = x2 − 6x + 5,
logo a equac¸a˜o
x2 − 6x + 5 = 0
equivale mesmo a
(x− 1)(x− 5) = 0.
Exemplo 5: Resolver a equac¸a˜o x2 + 5x + 6 = 0.
Se pensarmos na equac¸a˜o acima como sendo x2 − Sx + P = 0, teremos S = −5 e P = 5. Na˜o
percebeu por que S = −5? Note que x2 + 5x+ 6 = 0⇔ x2− (−5)x+ 6 = 0, logo, S = −5 (repare
que a forma geral x2 − Sx + P = 0 tem um − antes do S).
Agora precisamos pensar em dois nu´meros cuja soma seja −5 e o produto seja 6? Eles precisam ter
ambos o mesmo sinal, para que o produto deˆ o nu´mero positivo 6. Ale´m disso, como a soma e´ −5,
ambos teˆm de ser negativos. Assim, temos −2 e −3.
Veja que
x2 + 5x + 6 = 0⇔ (x− (−2)) · (x− (−3)) = 0,
pois
(x− (−2)) · (x− (−3)) = (x + 2) · (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6.
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A soluc¸a˜o da equac¸a˜o sera´ enta˜o x = −2 ou x = −3.
Exemplo 6: Resolver a equac¸a˜o x2 − 3x− 10 = 0.
Se pensarmos na equac¸a˜o acima como sendo x2 − Sx + P = 0, teremos S = 3 e P = −10.
Agora precisamos pensar em dois nu´meros cuja soma seja 3 e o produto seja −10? Eles precisam
ter sinais contra´rios, para que o produto deˆ o nu´mero negativo −10. Ale´m disso, como a soma e´ 3,
o que tiver maior mo´dulo devera´ ser positivo. Assim, temos 5 e −2.
Veja que
x2 − 3x + 10 = 0⇔ (x− 5) · (x− (−2)) = 0,
pois
(x− 5) · (x− (−2)) = (x− 5) · (x + 2) = x2 − 5x + 2x− 10 = x2 − 3x− 10.
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o sera´ enta˜o x = 5 ou x = −2.
Exemplo 7: Resolver a equac¸a˜o x2 + 4x− 5 = 0.
Se pensarmos na equac¸a˜o acima como sendo x2 − Sx + P = 0, teremos S = −4 e P = −5.
As soluc¸o˜es precisam ter sinais contra´rios, para que o produto seja −5. E, como a soma e´ −4, o que
tiver maior mo´dulo devera´ ser negativo. Assim, temos −5 e 1.
Veja que
x2 + 4x− 5 = 0⇔ (x− 1) · (x− (−5)) = 0,
pois
(x− 1) · (x− (−5)) = (x− 1) · (x + 5) = x2 + 5x− x− 5 = x2 + 4x− 5.
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o sera´ enta˜o x = 1 ou x = −5.
Exemplo 8: Resolver a equac¸a˜o 3x2 + 12x− 15 = 0.
Observe que
3x2 + 12x− 15 = 0⇔ 3(x2 + 4x− 5) = 0⇔ x2 + 4x− 5 = 0,
que e´ a equac¸a˜o que acabamos de resolver! Assim,
3x2 + 12x− 15 = 0⇔ x2 + 4x− 5 = 0⇔ x = 1 ou x = −5.
Para verificar se fizemos a coisa certa, note que
3x2 + 12x− 15 = 3(x2 + 4x− 5) = 3(x− 1)(x + 5),
logo a equac¸a˜o 3x2 + 12x− 15 = 0 realmente equivale a 3(x− 1)(x+ 5) = 0, cujas soluc¸a˜o e´ x = 1
ou x = −5.
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 8
Exerc´ıcio 2 Resolva as equac¸o˜es a seguir, utilizando a soma e o produto das ra´ızes, conforme feito
acima:
a) x2 − 6x + 5 = 0 b) 3x2 + 18x + 24 = 0
c) x2 − 3x− 10 = 0 d) −2x2 + 20x− 50 = 0
3 Fatorando o trinoˆmio ax2 + bx + c
Resolver uma equac¸a˜o do segundo grau e´, na realidade descobrir, para que valores de x, o trinoˆmio
ax2 + bx + c se anula. Vimos, nas sec¸o˜es anteriores que, se r1 e r2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o
ax2 + bx + c = 0,
enta˜o podemos escrever ax2 + bx + c = a(x− r1)(x− r2).
Isto nos permite fatorar o trinoˆmio ax2 + bx + c = 0, isto e´, escreveˆ-lo na forma de um produto
de fatores de primeiro grau da forma x − k. Isto sera´ especialmente importante na resoluc¸a˜o de
inequac¸o˜es de segundo grau, que veremos logo abaixo.
Exemplo 9: Fatorar o polinoˆmio x2 + 2x− 3.
Repare que na˜o estamos tentando resolver uma equac¸a˜o do segundo grau, mas sim fatorar um
polinoˆmio. Pore´m, resolver a equac¸a˜o x2 + 2x− 3 = 0 nos ajudara´ a descobrir como sa˜o os fatores
de primeiro grau do polinoˆmio. Resolvendo x2 + 2x − 3 = 0 (pode ser por Bhaskara ou soma e
produto), encontramos x = −3 e x = 1 (verifique!). Assim,
x2 + 2x− 3 = (x− (−3))(x− 1) = (x + 3)(x− 1).
Exemplo 10: Fatorar o polinoˆmio 4x2 + 4x− 3.
Resolvendo a equac¸a˜o 4x2 +4x−3 = 0, encontramos x = −3
2
ou x =
1
2
(veja no Exemplo 1). Logo
4x2 + 4x− 3 = 4
(
x−
(
−3
2
))(
x− 1
2
)
= 4
(
x +
3
2
)(
x− 1
2
)
.
Exemplo 11: Fatorar o polinoˆmio −2x2 + 12x− 18.
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Resolvendo a equac¸a˜o −2x2 + 12x− 18, encontramos a soluc¸a˜o u´nica x = 3. Com isso
−2x2 + 12x− 18 = −2 (x− 3) (x− 3) = −2 (x− 3)2 .
Exerc´ıcio 3 Escreva os trinoˆmios ax2 + bx + c abaixo na forma a(x− r1)(x− r2):
Atenc¸a˜o! Neste exerc´ıcio na˜o estamos resolvendo uma equac¸a˜o (observe que na˜o ha´ sinal de igual)!, apenas
fatorando um trinoˆmio, mas talvez ajude se pensarmos na equac¸a˜o ax2 + bx+ c = 0.
a) x2 − 6x + 5 b) 3x2 + 18x + 24
c) 3x3 − 4x + 1 d) 4x2 + 4x + 1
4 Inequac¸o˜es do segundo grau
Agora vamos tentar resolver inequac¸o˜es que possam ser (re)escritas em uma das formas abaixo:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c 6 0
Ja´ vimos anteriormente que resolver a equac¸a˜o do segundo grau
ax2 + bx + c = 0,
quando ela possui soluc¸a˜o, se resume a reescreveˆ-la na forma
a(x− r1)(x− r2) = 0,
e concluir que a soluc¸a˜o e´ dada por x = r1 ou x = r2. Para uma inequac¸a˜o de um dos tipos acima,
o que faremos e´ exatamente reescreveˆ-la em uma das formas
a(x− r1)(x− r2) > 0
a(x− r1)(x− r2) > 0
a(x− r1)(x− r2) < 0
a(x− r1)(x− r2) 6 0
e estudar o sinal do lado esquerdo da inequac¸a˜o. Observe que os nu´meros r1 e r2 acima sa˜o as
soluc¸o˜es da equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0, e podem ser obtidos como na sec¸a˜o anterior, por soma e
produto, ou utilizando a fo´rmula de Bhaskara, isto e´
r1 =
−b +√∆
2a
e r2 =
−b−√∆
2a
.
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Exemplo 12: Resolver a inequac¸a˜o x2 − 5x + 6 > 0.
As soluc¸o˜es da equac¸a˜o de segundo grau x2 − 5x + 6 = 0 sa˜o x = 2 e x = 3. Isto pode ser visto
utilizando soma e produto, como na sec¸a˜o anterior, ou vendo que
x2 − 5x + 6 = 0⇔ x = −(−5)±
√
(−5)2 − 4 · 1 · 6
2 · 1 =
5±√1
2
=
5± 1
2
⇔ x = 2 ou x = 3
Assim, podemos escrever o trinoˆmio x2−5x+6 como (x−3)(x−2). Com isso, voltando a` inequac¸a˜o
que estamos resolvendo, temos
x2 − 5x + 6 > 0⇔ (x− 3)(x− 2) > 0.
Observe que estamos lidando com um produto com dois fatores. Desta forma, o produto sera´ positivo
se, e somente se, os dois fatores (x− 3) e (x− 2) tiverem ambos os mesmos sinais; sera´ negativo se,
e somente se, os dois fatores (x− 3) e (x− 2) tiverem sinais opostos e sera´ nulo de um dos fatores
for nulo.
Sendo assim, precisamos determinar quando os fatores (x− 3) e (x− 2) sa˜o positivos, negativos ou
nulos.
Ana´lise do fator (x− 3):
• O fator (x− 3) e´ positivo se, e somente se,
x− 3 > 0⇔ x > 3.
• O fator (x− 3) e´ negativo se, e somente se,
x− 3 < 0⇔ x < 3.
• O fator (x− 3) e´ nulo se, e somente se,
x− 3 = 0⇔ x = 3.
Ana´lise do fator (x− 2):
• O fator (x− 2) e´ positivo se, e somente se,
x− 2 > 0⇔ x > 2.
• O fator (x− 2) e´ negativo se, e somente se,
x− 2 < 0⇔ x < 2.
• O fator (x− 2) e´ nulo se, e somente se,
x− 2 = 0⇔ x = 2.
Assim, o produto (x− 3)(x− 2) sera´
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• positivo quando x < 2 ou x > 3, pois ambos os fatores sa˜o negativos para x < 2 e ambos sa˜o
positivos para x > 3;
• zero quando x = 2 ou x = 3, pois um dos fatores e´ zero quando x = 2 ou x = 3;
• negativo quando 2 < x < 3, pois um dos fatores e´ negativo e o outro e´ positivo.
Repare que so´ utilizamos a regrinha de sinal do produto, retratada no quadrinho abaixo!
2 3
x− 3 − − − 0 +
x− 2 − 0 + + +
(x− 3)(x− 2) + 0 − 0 +
Assim, para que x2 − 5x + 6 > 0, temos x < 2 ou x > 3, isto e´,
x2 − 5x + 6 > 0⇔ x < 2 ou x > 3⇔ x ∈ (−∞, 2) ∪ (3,+∞).
Note que os nu´meros 2 e 3 na˜o entram na soluc¸a˜o acima, pois, para x = 2 ou x = 3, temos
x2 − 5x + 6 = 0 e queremos x2 − 5x + 6 > 0.
Exemplo: Resolver a inequac¸a˜o 3x2 + 12x− 15 6 0.
Ja´ vimos que 3x2 + 12x − 15 = 0 se, e somente se x = 1 ou x = −5 (verifique!). Assim,
3x2 + 12x− 15 = 3(x2 + 4x− 5) = 3(x− 1)(x + 5). Com isso,
3x2 + 12x− 15 6 0⇔ 3(x− 1)(x + 5) 6 0.
O fator x− 1 e´ positivo para x > 1, negativo para x < 1 e zero quando x = 1.
O fator x + 5 e´ positivo para x > −5, negativo para x < −5 e zero quando x = 5.
Assim, o produto (x− 1)(x + 5) sera´
• positivo quando x < −5 ou x > 1, pois ambos os fatores sa˜o negativos para x < −5 e ambos
sa˜o positivos para x > 1;
• zero quando x = −5 ou x = 1, pois um dos fatores e´ zero quando x = −5 ou x = 1;
• negativo quando −5 < x < 1, pois um dos fatores e´ negativo e o outro e´ positivo.
−5 1
x− 1 − − − 0 +
x + 5 − 0 + + +
(x− 1)(x + 5) + 0 − 0 +
Multiplicar por 3 na˜o altera os sinais acima, pois 3 > 0. Assim, o produto 3(x− 1)(x + 5) sera´
• positivo quando x < −5 ou x > 1;
• zero quando x = −5 ou x = 1;
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 12
• negativo quando −5 < x < 1.
−5 1
x− 1 − − − 0 +
x + 5 − 0 + + +
3 + + + + +
3(x− 1)(x + 5) + 0 − 0 +
Assim, para que 3(x2 + 4x− 5) 6 0, temos −5 6 x 6 1, isto e´,
3x2 + 12x− 15 6 0⇔ −5 6 x 6 1⇔ x ∈ [−5, 1].
Note que os nu´meros −5 e 1 entram na soluc¸a˜o acima, pois, para x = −5 ou x = 1, temos
3x2 + 12x− 15 = 0 e queremos 3x2 + 12x− 15 6 0.
Exemplo 13: Resolver a inequac¸a˜o 3x2 + 12x− 15 > 0.
Ja´ vimos que
3x2 + 12x− 15 > 0⇔ 3(x− 1)(x + 5) > 0.
Pelo estudo de sinais feito no exemplo anterior, percebemos que 3x2 + 12x − 15 > 0 para x < −5
ou x > 1. Assim,
3x2 + 12x− 15 > 0⇔ x < −5 ou x > 1⇔ x ∈ (−∞,−5) ∪ (1,+∞).
Exemplo 14: Resolver a inequac¸a˜o −2x2 − 4x + 16 6 0.
Observe que −2x2 − 4x + 16 = 0 se, e so´ se, x = 2 ou x = −4 (verifique!). Com isso,
−2x2 − 4x + 16 = −2(x2 + 2x− 8) = −2(x− 2)(x + 4)
Assim,
−2x2 − 4x + 16 6 0⇔ −2(x− 2)(x + 4) 6 0.
O fator x− 2 e´ positivo para x > 2, negativo para x < 2 e zero quando x = 2.
O fator x + 4 e´ positivo para x > −4, negativo para x < −4 e zero quando x = 4.
Assim, o produto (x− 2)(x + 4) sera´
• positivo quando x < −4 ou x > 2, pois ambos os fatores sa˜o negativos para x < −4 e ambos
sa˜o positivos para x > 2;
• zero quando x = −4 ou x = 2, pois um dos fatores e´ zero quando x = −4 ou x = 2;
• negativo quando −4 < x < 2, pois um dos fatores e´ negativo e o outro e´ positivo.
−4 2
x− 2 − − − 0 +
x + 4 − 0 + + +
(x− 2)(x + 4) + 0 − 0 +
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 13
Multiplicar por −2 altera os sinais acima, pois −2 < 0. Assim, o produto −2(x− 2)(x + 4) sera´
−4 2
x− 2 − − − 0 +
x + 4 − 0 + + +
−2 − − − − −
−2(x− 2)(x + 4) − 0 + 0 −
• negativo quando x < −4 ou x > 2;
• zero quando x = −4 ou x = 2;
• negativo quando −4 < x < 2.
Com isso,
−2x2 − 4x + 16 6 0⇔ x 6 −4 ou x > 2⇔ x ∈ (−∞,−4] ∪ [2,+∞).
Note que os nu´meros −4 e 2 entram na soluc¸a˜o acima, pois, para x = −5 ou x = 2, temos
−2x2 − 4x + 16 6 0 e queremos −2x2 − 4x + 16 6 0 6 0.
Exemplo 15: Resolver a inequac¸a˜o −2x2 − 4x + 16 > 0.
Como no exemplo acima, podemos escrever
−2x2 − 4x + 16 > 0⇔ −2(x− 2)(x + 4) > 0.
Pelo estudo de sinais feito, podemos ver que −2(x− 2)(x+ 4) e´ positivo para −4 6 x 6 2. Assim,
−2x2 − 4x + 16 > 0⇔ −4 < x < 2⇔ x ∈ (−4, 2).
Exemplo 16: Resolver a inequac¸a˜o x2 + 4x + 5 > 0
Vamos tentar escrever x2 + 4x + 5 na forma de um trinoˆmio, como feito nos exemplos anteriores.
Para isso, buscamos as soluc¸o˜es de x2 + 4x + 5 = 0. Note, pore´m, que
∆ = 42 − 4 · 1 · 5 = −4 < 0,
logo a equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o!
Isto indica que na˜o podemos escrever x2+4x+5 na forma (x−r1)(x−r2). E agora, o que fazemos?
A inequac¸a˜o ainda precisa ser resolvida...
Vamos pensar no que ocorre. O que significa o fato de a equac¸a˜o x2 + 4x+ 5 = 0 na˜o ter soluc¸a˜o?
Significa que x2 + 4x + 5 nunca e´ igual a zero. Com isso, o trinoˆmio x2 + 4x + 5 nunca muda de
sinal, isto e´, ou e´ positivo para todo x real, ou negativo para todo x. E qual e´ o caso? Escolha um
valor para x (qualquer um!) e descubra! Fazendo x = 0, por exemplo, temos 02 + 4 · 0 + 5 = 5,
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 14
logo o trinoˆmio e´ sempre positivo. Com isso, x2 + 4x + 5 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, temos
x2 + 4x + 5 > 0⇐ x ∈ R.
Exemplo 17: Resolver a inequac¸a˜o x2 + 4x + 5 < 0
Pelo visto acima, x2 + 4x + 5 sera´ sempre positivo, portanto na˜o existe valor de x para o qual
x2 + 4x + 5 < 0.
Exemplo 18: Resolver a inequac¸a˜o x2 + 4x + 5 6 0
Pelo visto acima, x2 +4x+5 sera´ sempre positivo (logo tambe´m diferente de 0), portanto na˜o existe
valor de x para o qual x2 + 4x + 5 6 0.
Exemplo 19: Resolver a inequac¸a˜o x2 + 4x + 5 > 0
Pelo visto acima, x2 + 4x + 5 sera´ sempre positivo, isto e´, x2 + 4x + 5 > 0 para todo x ∈ R. Com
isso, para todo x ∈ R, x2 + 4x + 5 > 0 (lembre-se de que todo nu´mero maior que zero e´ tambe´m
maior ou igual a zero!).
x2 + 4x + 5 > 0⇔ x ∈ R.
Exemplo 20: Resolver a inequac¸a˜o −3x2 + x− 2 6 0
A equac¸a˜o −3x2 + x − 2 = 0 na˜o tem soluc¸a˜o (pois ∆ = 12 − 4 · (−3)(−2) = −23 < 0).
Com isso, o trinoˆmio −3x2 + x − 2 e´ sempre positivo ou sempre negativo. Para x = 0, temos
−3(0)2 + 0− 2 = −2 < 0, logo o trinoˆmio sempre e´ negativo. Assim, −3x2 + x− 2 6 0 para todo
x ∈ R, isto e´,
−3x2 + x− 2 6 0⇔ x ∈ R.
Exemplo 21: Resolver a inequac¸a˜o −3x2 + x− 2 > 0
Pelo exemplo anterior, o trinoˆmio −3x2 + x− 2 e´ sempre negativo. Assim, na˜o existe x ∈ R tal que
−3x2 + x− 2 > 0.
Exemplo 22: Resolver a inequac¸a˜o x2 − 2x + 1 > 0
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A equac¸a˜o x2−2x+1 = 0 tem soluc¸a˜o u´nica, dada por x = 1 (verifique!). Assim, podemos escrever
x2 − 2x + 1 = (x− 1)(x− 1) = (x− 1)2. Com isso,
x2 − 2x + 1 > 0⇔ (x− 1)2 > 0.
Como (x− 1)2 e´ um quadrado, ele sera´ maior ou igual a zero para todo x ∈ R, logo
x2 − 2x + 1 > 0⇔ x ∈ R.
Exemplo 23: Resolver a inequac¸a˜o x2 − 2x + 1 > 0
Vimos acima que
x2 − 2x + 1 > 0⇔ (x− 1)2 > 0.
A desigualdade da direita so´ na˜o vale quando x− 1 = 0, isto e´, quando x = 1 (para qualquer outro
valor de x, temos x− 1 6= 0, logo (x− 1)2 > 0). Assim,
x2 − 2x + 1 > 0⇔ x 6= 1.
Exemplo 24: Resolver a inequac¸a˜o x2 − 2x + 1 < 0
Como vimos anteriormente (dois exemplos acima), x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 > 0 para todo x ∈ R,
logo nunca teremos x2 − 2x + 1 < 0. Assim, na˜o existe x ∈ R tal que x2 − 2x + 1 < 0.
Exemplo 25: Resolver a inequac¸a˜o x2 − 2x + 1 6 0
Como ja´ vimos (treˆs exemplos acima), x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 > 0 para todo x ∈ R. Portanto, a
u´nica forma de termos x2 − 2x + 1 6 0 e´ quando x2 − 2x + 1 = 0, ou seja, quando x = 1.
Assim,
x2 − 2x + 1 6 0⇔ x = 1.
Exerc´ıcio 4 Resolva as inequac¸o˜es a seguir:
Atenc¸a˜o! Voceˆ precisara´ trabalhar um pouco algumas das inequac¸o˜es a seguir para que fiquem nas formas
estudadas acima.
a) −
(
x +
1
2
)
(x− 3) + 1
2
(29− 5x) ≤ 0 b) −1
5
(10x2 − 60x + 30)− 12 > 0
c) (x− 1)2 ≥ −x + 3 d) 2x2 − 2x + 10 > 0
e) 2x2 − 2x + 10 < 0 f) x2 ≥ |5x + 6|
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 16
Voceˆ pode estar se perguntando onde, na vida de um administrador, ele encontrara´ uma equac¸a˜o ou
inequac¸a˜o do segundo grau e, mais ainda, quando ele precisara´ resolveˆ-la. Pois bem, uma situac¸a˜o
pra´tica em que nos deparamos com trinoˆmios do segundo grau se da´ quando queremos obter a re-
ceita, considerando o prec¸o e a quantidade comercializada de um certo produto.
A receita R decorrente da venda de um produto e´ dada por
R = p.q,
onde p representa o prec¸o unita´rio do produto e q sua quantidade comercializada.
Por exemplo, se considerarmos que o prec¸o da garrafa de vinho de uma determinada marca e´ dado
por
p = −3q + 600,
onde q e´ a quantidade de garrafas comercializadas, temos que a receita decorrente da venda do vinho
e´ dada por
R = (−3q + 600)q = −3q2 + 600q.
noindentObs: Observe que na pra´tica, p e´ sempre maior do que zero, pois na˜o existe quantidade
comercializada que fac¸a o prec¸o ser nulo, muito menos negativo! Contudo, por questo˜es dida´ticas,
vamos considerar que, quando q = 200, temos p = 0.
Se considerarmos que o custo C na fabricac¸a˜o do vinho e´ dado por
C = 30q + 18.000,
teremos que o lucro L obtido na comercializac¸a˜o do vinho e´ dado por
L = R− C
= −3q2 + 600q − (30q + 18.000) = −3q2 + 570q − 18.000
Neste caso, poderemos querer saber quando o lucro e´ zero, i.e. quando a receita e´ igual ao custo, que
recaira´ na resoluc¸a˜o de uma equac¸a˜o do segundo grau; quando o lucro e´ maior que um determinado
valor, que recaira´ na resoluc¸a˜o de uma inequac¸a˜o do segundo grau, etc.
[O texto acima se baseia no livro Matema´tica Aplicada a` Administrac¸a˜o, Economia e Contabilidade,
de Murolo e Boneto.]
Vamos a uns exemplos nesta linha.
Exerc´ıcio 5 Numa situac¸a˜o idealizada de um certo come´rcio foi estabelecido dois grupos de vende-
dores, A e B, para a venda de x unidades de um produto. Sabendo-se que os lucros dos grupos A
e B sa˜o medidos, respectivamente, por
LA = 5
2
x
(
4
5
x− 38
5
)
+ 75 e LB = −(x + 2)(x− 10) + 13,
onde as unidades x do produto pertencem ao conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}.
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 17
a) Determine a quantidade vendida pelo grupo A quando o lucro deste grupo e´ de 30 reais.
b) Determine para quais quantidades vendidas, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B.
c) Determine para quais quantidades, o lucro do grupo A e´ menor que o do grupo B.
Exerc´ıcio 6 Sabe-se que o lucro de uma empresa e´ dado pela relac¸a˜o L = R−C, onde L representa
o lucro, R a receita total e C o custo total da produc¸a˜o.
Em uma empresa que produziu x unidades de um produto, verificou-se que R = 600x − x2 e
C = x2 − 200x. Nestas condic¸o˜es:
i) Obtenha a expressa˜o em x que define o lucro dessa empresa.
ii) Considerando que essa empresa teve um lucro nulo, qual foi a quantidade de unidades que ela
produziu?
iii) Qual o significado da situac¸a˜o considerada no item ii) em termos da receita R e do custo C?
5 Sobre a fo´rmula de Bhaskara
Neste EP, voceˆ viu como resolver a equac¸a˜o do segundo grau, e esperamos que tenha praticado
bastante! Em grande parte dos casos, sera´ utilizada a famosa “Fo´rmula de Bhaskara”, que diz que
as soluc¸o˜es da equac¸a˜o
ax2 + bx + c = 0
sa˜o dadas por
x =
−b±√∆
2a
,
com ∆ = b2 − 4ac. Isto quando ∆ > 0, pois, no caso em que ∆ < 0, a equac¸a˜o na˜o possui soluc¸a˜o
(em R, pelo menos, que e´ o conjunto que nos interessa nesta disciplina).
Vamos tentar entender de onde vem esta fo´rmula, ate´ agora de existeˆncia quase que sobrenatural.
Partindo da equac¸a˜o
ax2 + bx + c = 0,
como a 6= 0, vamos reescreveˆ-la na forma
a
(
x2 +
b
a
x +
c
a
)
= 0.
O pro´ximo passo e´ tentar escrever o x2 + b
a
x + c
a
como um quadrado perfeito, isto e´, na forma
(x + k)2 (se for poss´ıvel!).
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 18
Como (x + k)2 = x2 + 2kx + k2, precisamos que 2kx seja igual a b
a
x, isto e´,
2k =
b
a
∴ k = b
2a
.
Com isso, o quadrado perfeito seria
(x + k)2 =
(
x +
b
2a
)2
= x2 + 2 · b
2a
x +
(
b
2a
)2
= x2 +
b
a
x +
b2
4a2
.
Mas isso na˜o e´ igual a x2 +
b
a
x +
c
a
... e agora?
Na equac¸a˜o que temos,
a
(
x2 +
b
a
x +
c
a
)
= 0,
podemos somar e subtrair
b2
4a2
dentro do pareˆntese, o que na˜o altera a equac¸a˜o. Obtemos enta˜o
a
(
x2 +
b
a
x +
c
a
+
b2
4a2
− b
2
4a2
)
= 0.
Agrupando dentro dos pareˆnteses, temos
a
((
x2 +
b
a
x +
b2
4a2
)
+
c
a
− b
2
4a2
)
= 0,
ou, equivalentemente,
a
((
x +
b
2a
)2
− b
2
4a2
)
= 0.
Multiplicando o a pelos termos de dentro dos pareˆnteses,
a
(
x +
b
2a
)2
+ a · c
a
− a · b
2
4a2
= 0,
ou ainda
a
(
x +
b
2a
)2
+ c− b
2
4a
= 0.
Com isso,
a
(
x +
b
2a
)2
=
b2
4a
− c,
que equivale a (colocando o lado direito sobre o mesmo denominador 4a)
a
(
x +
b
2a
)2
=
b2 − 4ac
4a
.
Lembrando que ∆ = b2 − 4ac, temos
a
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a
,
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 19
que, dividindo por a, equivale a (
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
.
Assim,
x +
b
2a
= ±
√
∆
4a2
.
A raiz quadrado existira´ se, e somente se, o que estiver dentro dela for maior ou igual a zero. Mas,
como o denominador 4a2 e´ sempre positivo, isto equivale a ∆ > 0. Assim, a equac¸a˜o tem soluc¸a˜o
se, e somente se, ∆ > 0. Neste caso, temos
x +
b
2a
= ±
√
∆
4a2
= ±
√
∆
2a
,
que equivale a
x = ±
√
∆
4a2
= ±
√
∆
2a
− b
2a
,
ou ainda
x = ±
√
∆
4a2
=
−b±√∆
2a
.
Eis a raza˜o de ser da Fo´rmula de Bhaskara!
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
QUESTÕES dos Exercícios Programados/EP1-2018-1-questoes.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro