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Estatística para STN 
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AULA 00: Probabilidade 
1. APRESENTAÇÃO .............................................................................................................................. 2 
2. CRONOGRAMA DO CURSO ............................................................................................................. 3 
3. ANÁLISE COMBINATÓRIA ................................................................................................................ 4 
3.1. Princípio fundamental da contagem (PFC) .......................................................................................... 5 
3.2. Arranjos ................................................................................................................................................ 7 
3.3. Permutação. ........................................................................................................................................ 10 
3.4. Combinação ........................................................................................................................................ 11 
4. PROBABILIDADE ............................................................................................................................ 14 
4.1. Introdução. .......................................................................................................................................... 14 
4.2. Abordagem frequentista da probabilidade .......................................................................................... 20 
4.3. Probabilidade condicional .................................................................................................................. 22 
4.4. Fórmula da probabilidade condicional .............................................................................................. 23 
4.5. Probabilidade da união de dois eventos ............................................................................................. 31 
4.6. Probabilidade do evento complementar.............................................................................................. 41 
4.7. Teorema da probabilidade total .......................................................................................................... 51 
4.8. Teorema de Bayes ............................................................................................................................... 59 
4.9. Probabilidade e análise combinatória ................................................................................................ 66 
5. RESUMO ........................................................................................................................................ 75 
6. CONTEÚDO DE DESTAQUE ............................................................................................................ 75 
7. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA........................................................................................... 76 
8. GABARITO ..................................................................................................................................... 84 
 
 
 
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1. APRESENTAÇÃO 
Olá pessoal! 
Meu nome é Vítor Menezes, sou Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas 
da União (turma de 2006), lotado na Secretaria de Controle Externo do TCU em São Paulo. 
Sou um apaixonado por matemática, que certamente é a ciência mais importante do 
mundo. O resto é bobagem ☺ 
Ainda falando um pouquinho de mim. Sou formado em engenharia eletrônica pelo Instituto 
Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Logo na faculdade percebi que meu negócio era fazer 
concurso, e saí da graduação direto para meu primeiro cargo: Auditor Fiscal do ICMS de 
Minas Gerais. Lá fiquei durante 1 ano e meio, e vim parar no cargo que hoje ocupo, no 
Tribunal de Contas. 
Dou aulas para concursos públicos desde 2005, sempre na área de exatas. Hoje tenho a 
felicidade de ser professor do Estratégia Concursos, o melhor curso em pdf do Brasil. 
Também sou professor do excelente site de vídeo-aulas “Eu Vou Passar”. 
Por último, mas não menos importante: sou professor do Tec Concursos, o melhor site de 
questões do país. A propósito, a ferramenta se enquadra perfeitamente como complemento 
para qualquer curso que você fizer. Só de Exatas (RLQ+Mat Fin + Estatística) são 3.181 
questões comentadas (número que aumenta frequentemente), sendo que este professor 
que vos fala comentou 2849. Das 3.181 questões, são 740 só de Esaf. 
 
Bom, chega de falar do prof e vamos falar do curso. 
O conteúdo previsto no edital é o seguinte: 
1. Funções de distribuição e densidade de probabilidade. Momentos das distribuições. 2. 
Teorema de Bayes. 3. Amostragem. 4. Inferência estatística. Estimação por ponto e por 
intervalo. 5. Independência estatística. 6. Expectância. 7. Desvio padrão. 8. Variância. 9. 
Covariância. 10. Correlação. 11. Análise de variância. 12. Intervalo de confiança. 13. Teste 
de hipóteses. 14. Problemas com dados. 15. Regressão simples. 
É curioso observar que os assuntos listados não seguem uma ordem lógica que se esperaria 
em um livro teórico, por exemplo. 
Mais interessante ainda é notar que a redação adotada é absolutamente idêntica à do edital 
do Bacen /2009, feito pela Cesgranrio. Este, por sua vez, é idêntico ao módulo do curso de 
Estatística da Fipe. 
(http://www.fipe.org.br/web/index.asp?c=4&t=342&aspx=/web/cursos/turma.aspx) 
Curiosidades a parte, vamos ao cronograma do curso: 
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2. CRONOGRAMA DO CURSO 
Aula Data Conteúdo Tópicos do edital 
0 Disponível Probabilidade e análise 
combinatória 
Pré requisito para demais tópicos. 
2. Teorema de Bayes. 
5. Independência estatística 
 
1 4/1/2013 Noções de variáveis aleatórias 
(esperança, variância, covariância, 
função densidade de probabilidade, 
função distribuição de 
probabilidade) 
1. Funções de distribuição e densidade de probabilidade. 
5. Independência estatística 
6. Expectância. 7. Desvio padrão. 8. Variância. 9. Covariância. 
2 11/1/2013 Principais distribuições de 
probabilidade (uniforme, normal, 
Bernoulli, Binomial, Poisson). 
Amostragem. 
Momentos das distribuições 
3. Amostragem 
3 18/1/2013 Estimadores pontuais. Distribuições 
amostrais. Distribuição T. Intervalos 
de confiança. 
4. Inferência estatística. Estimação por ponto e por intervalo. 
12. Intervalo de confiança. 
4 25/1/2013 Testes de hipóteses (para média, 
proporção e variância). Distribuição 
de Qui-quadrado. 
13. Teste de hipóteses. 
5 1/2/2013 Correlação linear e Análise de 
Variância 
10. Correlação 
11. Análise de variância 
6 15/2/2013 Regressão linear e Análise de 
Variância da Regressão. 
Problemas com dados 
15. Regressão simples. 
14. Problemas com dados 
 
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3. ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Pessoal, o objetivo aqui não é estudar tudo relacionado a Análise Combinatória. Lembrem-
se de que este tópico não consta do nosso edital. 
Vamos dar apenas uma passada bem rápida por alguns tópicos, ok? Apenas precisamos 
aprender o básico, para depois podermos usar em tópicos como “probabilidade” e 
“distribuição binomial”. 
Tendo isso em mente, vamos à teoria. 
 
Em análise combinatória nós vamos basicamenteaprender a contar. Isso mesmo. O intuito 
aqui será contar de quantas formas um dado processo pode ocorrer. 
Uma forma de resolver este tipo de problema é simplesmente listar todas as situações 
possíveis e, depois, contá-las. Vejamos um exemplo. 
Considere que um guia turístico deseje colocar três pessoas em fila indiana, para percorrer 
uma trilha. De quantas maneiras é possível formar a tal fila? 
É um problema de contagem. Precisamos contar quantas são as maneiras de executar o 
processo descrito, qual seja, formar a fila de três pessoas. 
Chamando as pessoas de A, B e C, temos as seguintes filas possíveis: 
A, B, C 
A, C, B 
B, A, C 
B, C, A 
C, A, B 
C, B, A 
São seis filas possíveis. Listamos todas elas e, depois, contamos. Difícil? Certamente não. 
O problema começa quando o número de casos possíveis aumenta muito. Imaginem se, em 
vez de três pessoas na fila, fossem quinze. E aí? Listar todas as maneiras de formação da fila 
seria algo extremamente trabalhoso. 
Nestas situações, é muito útil conhecer ferramentas de análise combinatória. São 
ferramentas que permitem uma contagem mais rápida. 
A mais importante delas é o princípio fundamental da contagem. Ele pode ser aplicado para 
resolver qualquer problema de análise combinatória. 
A partir do princípio fundamental da contagem, de aplicação geral, é possível chegar a 
fórmulas que se destinam a problemas com certas particularidades. Neste contexto, 
aprenderemos os casos de arranjo, permutação e combinação. 
 
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3.1. Princípio fundamental da contagem (PFC) 
Exemplo 1: 
Em um laboratório estamos fazendo um experimento que envolve o cruzamento de um 
macho e uma fêmea de uma mesma espécie. Temos disponíveis 3 machos e 4 fêmeas. De 
quantos modos podemos formar o casal para cruzamento? 
 
Resolução. 
Vamos designar os machos por letras (A, B, C) e as fêmeas por números (1, 2, 3, 4). 
O esquema abaixo apresenta todas as possibilidades de casal: 
 
 
O diagrama acima representa doze possíveis casais: 
1A, 1B, 1C, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B, 3C, 4A, 4B, 4C 
Há 4 possibilidades para a escolha da fêmea. Escolhida a fêmea, há 3 possibilidades de 
macho. 
E, para obter a quantidade de casais possíveis, basta multiplicar: 
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4 × 3 = 12 
Este resultado decorre do princípio fundamental da contagem (PFC). 
O princípio fundamental da contagem nos diz que, quando uma tarefa puder se dividida em 
n etapas, e cada etapa puder ser realizada de mi maneiras diferentes (com “i” variando de 1 
até n), o número de maneiras pelas quais podemos concluir a tarefa é igual ao produto: 
�� �	 �
 ×⋯×�� 
No exemplo acima, a tarefa de formar o casal podia ser dividida em duas etapas. Na 
primeira etapa, escolhemos a fêmea. Há 4 formas de fazer isso. 
Na segunda etapa, escolhemos o macho. Há 3 formas de fazer isso. 
O número de maneiras de concluirmos a tarefa como um todo é dado por: 
1ª etapa 2ª etapa 
4 3 
4 × 3 = 12 
Bastou multiplicar a quantidade de maneiras de executar cada etapa. 
Na análise combinatória, nós basicamente estudamos como resolver problemas 
semelhantes a este, em que utilizamos o princípio fundamental da contagem para saber de 
quantas formas uma dada tarefa pode ser realizada. 
Neste primeiro exemplo, até que não foi difícil listar todos os casos possíveis para depois 
contá-los. São apenas 12 casais. Fazer uma lista com todos eles não é problema. 
Contudo, imagine se fossem 30 machos e 50 fêmeas. Listar todos os casais possíveis seria 
muito difícil. É aí que o princípio fundamental da contagem nos auxilia. 
O PFC é de aplicação geral (serve para resolver qualquer problema de análise combinatória). 
Há problemas que apresentam certas particularidades, que fazem com que o PFC resulte em 
determinadas fórmulas. Neste contexto, temos as fórmulas de combinação, arranjo e 
permutação. 
 
Um detalhe muito importante sobre o exemplo acima: 
Observe que etapas diferentes estão relacionadas a conjuntos diferentes. 
Seja A o conjunto das fêmeas {1, 2, 3, 4}. Seja B o conjunto dos machos {a, b, c}. 
A primeira etapa (escolha da fêmea) pode ser executada com elementos do conjunto “A”. A 
segunda etapa (escolha do macho) pode ser executada com elementos do conjunto “B”. 
Quando etapas diferentes estão relacionadas a conjuntos diferentes, basta aplicarmos o 
PFC. Certo? 
De outra forma, quando mais de uma etapa estiver relacionada a um mesmo conjunto, aí 
precisaremos tomar alguns cuidados, que serão vistos mais adiante. 
 
Questão 1 TCU 1999 [ESAF] 
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A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LLNNN, onde “L” 
representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 
9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras 
sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não 
faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas 
possíveis é dado por: 
a) 226 310 
b) 262 103 
c) 226 210 
d) 26! 10! 
e) C26,2 C10,3 
 
Resolução: 
Para cada letra temos 26 opções. Para cada número temos 10 opções. Aplicando o PFC: 
26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 26	 × 10
 
Gabarito: b 
 
3.2. Arranjos 
Questão 2 ANEEL 2006 [ESAF] 
Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. 
O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a: 
a) 24.360 
b) 25.240 
c) 24.460 
d) 4.060 
e) 4.650 
 
Resolução: 
Vamos comparar esse exercício com o exemplo dado no início da aula. 
No Exemplo 1:, queríamos formar casais. Para tanto, tínhamos o conjunto das fêmeas – {1, 
2, 3, 4} - e o conjunto dos machos – {a, b, c }. 
A primeira etapa estava relacionada ao conjunto {1, 2, 3, 4} 
A segunda etapa estava relacionada ao conjunto {a, b, c}. 
Ou seja, etapas diferentes estavam relacionadas a conjuntos diferentes. Quando isso ocorre, 
a resolução do problema é bem tranquila, não há maiores cuidados a se tomar. 
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Agora, neste exercício, temos o conjunto das duplas: {1, 2, 3, 4, 5, ..., 30}. Estamos indicando 
cada dupla por um número de 1 a 30. 
Para escolher a primeira colocada, tomaremos um dos elementos deste conjunto. Para 
escolhemos a segunda colocada, novamente tomaremos um dos elementos deste conjunto. 
Para a terceira colocada, idem. 
Agora, um mesmo conjunto está relacionado a mais de uma etapa. Quando isso ocorre, 
antes de fazermos qualquer conta, temos que responder a duas perguntas extremamente 
importantes: 
1 – há reposição? 
2 – a ordem de escolha dos elementos é importante? 
 
Neste problema, não há reposição. 
Serão escolhidas três duplas diferentes. Assim, se uma dupla já ocupa a primeira posição, 
não tem como ela também ocupar a segunda posição. Uma vez que uma dupla já foi 
escolhida para ocupar a posição 1, ela não é reposta no conjunto original, ela não é mais 
uma opção para preenchermos os demais lugares do pódio. 
Dizemos que não há reposição. Uma vez escolhido um elemento, ele não é reposto ao 
conjunto original, elenão é mais uma opção para as próximas etapas. 
 
Vamos dividir o problema em etapas. Em cada etapa, escolhemos uma dupla para ocupar 
cada uma das posições do pódio. 
Para a primeira dupla (vencedora do torneio) temos 30 opções. Para a segunda colocada 
sobram 29 opções (pois não há reposição, não podemos mais usar a dupla que já ocupa a 
primeira posição). Em seguida, para a terceira colocação sobram 28 opções. 
1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 
30 29 28 
Tudo bem até aqui? 
Já vimos o impacto da primeira pergunta. O fato de não haver reposição faz com que o 
número de formas de executar cada etapa vá diminuindo. Agora vamos para a segunda 
pergunta. 
 
A segunda pergunta que temos que responder é: a ordem é importante? 
Ou seja, uma mera alteração na ordem de escolha dos elementos resulta em um novo caso? 
Neste problema, a ordem é importante. Uma alteração na ordem de escolha muda tudo. 
Escolher as duplas “a”, “b” e “c” nessa ordem significa que “a” foi a vencedora do torneio, a 
campeã. E escolhermos “c”, “b”, “a”, agora a dupla “c” é quem foi a vencedora. Uma mera 
alteração na ordem muda tudo, representa um novo caso. 
 
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Dizemos que a ordem de escolha é importante. 
Quando isso acontece, ou seja, quando uma alteração na ordem representa um novo caso, 
não temos maiores preocupações. Basta aplicar o princípio fundamental da contagem. 
 
Aplicando o PFC: 
30 × 29 × 28 = 24.360 
Gabarito: A 
 
Quando a ordem de escolha é importante e não há reposição, estamos diante de um caso 
particular do PFC, denominado arranjo. 
Para quem gosta de fórmulas, existe uma que calcula a quantidade de arranjos. 
A fórmula é: 
��,� = �!�� − ��! 
O sinal “!” indica “fatorial”. 
Exemplos de fatorial: 
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 
3! = 3 × 2 × 1 = 6 
2! = 2 × 1 = 2 
Ou seja, para calcular o fatorial de n, basta multiplicar o número n pelos números naturais 
que lhe antecedem, até chegar em 1. As únicas exceções são: 
1! = 1 
0! = 1 
É muito importante saber como fazer a divisão entre o fatorial de dois números. 
Exemplo: 
Vamos calcular: 
6!
4! 
Sempre que tivermos uma divisão de fatoriais, existe uma técnica interessante que nos 
facilita bastante. É o seguinte. 
Queremos calcular: 6! ÷ 4! 
O maior fatorial é 6! 
Vamos desenvolve-lo. 
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 
6! = 6 × 5 × �4 × 3 × 2 × 1� 
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O que é que nós temos entre parêntesis? É justamente 4!. Ou seja, na hora de desenvolver 
6! nós podemos fazer assim: 
6! = 6 × 5 × 4! 
Desta forma, temos: 
6!
4! =
6 × 5 × 4!
4! = 6 × 5 = 30 
Sabendo disso, podemos resolver esta questão da ESAF usando a fórmula. 
Temos um caso em que não há reposição e a ordem importa. Assim, temos um problema de 
arranjo. De um total de 30 elementos �� = 30�, queremos escolher 3 �� = 3�, sem 
reposição, onde a ordem importa. O número de maneiras de fazer isso é: 
�
�,
 = 30!�30 − 3�! 
��,
 = 30!�27�! 
Agora desenvolvemos o numerador até atingirmos 27!, para podermos simplificar. 
��,
 = 30 × 29 × 28 × 27!�27�! = 30 × 29 × 28 = 24.360 
 
3.3. Permutação. 
Um caso particular de arranjo ocorre quando n = p. Neste caso, temos uma permutação. A 
fórmula fica reduzida a: 
�!
�� − ��! =
�!
0! = �! 
Assim, a permutação de n elementos é dada por: 
�� = �! 
Exemplo 2: 
Qual o número de anagramas da palavra “rato”? 
 
Resolução: 
Como a palavra RATO é pequena, podemos listar todos os anagramas. São eles: 
rato raot rtao rtoa rota roat 
arto arot ator atro aort aotr 
trao troa Taro taor tora toar 
orta orat Otar otra oart oatr 
São 24 anagramas. 
Observem que cada anagrama é formado pelas letras “a, o, r, t”. A partir deste conjunto de 
4 elementos, queremos formar grupos, de 4 elementos, sem reposição, onde a ordem é 
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importante. Ou seja, estamos permutando essas 4 letras. Assim, o número de anagramas é 
igual a: 
� = 4! = 24 
3.4. Combinação 
Questão 3 CGU 2002 [ESAF] 
Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas 
sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, 
consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no 
próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O 
número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve 
fazer para ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja 
correto é: 
a) 8 
b) 28 
c) 40 
d) 60 
e) 84 
 
Resolução: 
Pedro precisa fazer todas as combinações possíveis de 6 dezenas, a partir das 8 dezenas 
com que ele sonhou. 
Então temos 8 dezenas de partida. Trata-se do conjunto abaixo: 
{1, 2, 5, 10, 18, 32, 35, 45} 
Pedro precisa preencher vários cartões de 6 dezenas (apostas simples), utilizando todas as 
combinações possíveis destes números. 
 
Vamos dividir o preenchimento do cartão em etapas. 
Para a primeira dezena preenchida, temos 8 opções. 
 
Em seguida, para a segunda dezena preenchida, sobram 7 opções de números. Isso porque 
não há reposição. Se Pedro já preencheu o número 18, por exemplo, não faz sentido querer 
usar esse número novamente. 
 
Para a terceira etapa, sobram 6 opções de números. 
 
Para a quarta etapa, sobram 5 opções de dezenas. 
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Para a quinta etapa, sobram 4 opções de dezenas. 
 
Para a sexta e última etapa, sobram 3 opções. 
 
Aplicando o PFC: 
8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 
 
Essa seria a quantidade de apostas simples que Pedro deveria realizar. 
Mas tem um problema nessa solução. 
Na solução acima, consideramos que a ordem importa. Ou seja, a aposta {1, 2, 5, 10, 18, 32}, 
feita nessa ordem, seria diferente de {1, 2, 5, 10, 32, 18}, onde invertemos a ordem das duas 
últimas dezenas. 
Mas isso está errado. No preenchimento da aposta simples, o que importa é quais dezenas 
foram escolhidas. Não importa a ordem. 
Dizemos que a ordem não é importante. 
 
Ou seja, no resultado acima obtido temos casos sendo contados repetidas vezes. 
O caso {1, 2, 5, 10, 18, 32}, por exemplo, foi contado inúmeras vezes. Vejam: 
1, 2, 5, 10, 18, 32 
1, 2, 5, 10 ,32, 18 
1, 2, 5, 32, 10, 18 
.... 
Esses são só alguns exemplos de casos contados repetidamente. Na verdade, todos eles são 
um caso só. 
Em síntese, qualquer permutação entre os elementos {1, 2, 5, 10, 18, 32} foi contada 
indevidamente. 
Temos 6 elementos. A permutação de 6 elementos é igual a 6! = 720. 
Ou seja, a aposta {1, 2, 5, 10, 18, 32} foi contada 720 vezes. 
E isso ocorreu com todas as demais apostas. 
Temos então que dividir o resultado obtido por 720 (=6!), para eliminar as contagens 
repetidas. 
Ficamos com: 
8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3
6! =
8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 =
8 × 7
2 × 1 = 28 
São necessárias 28 apostas simples. 
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Gabarito:B 
 
Nesta questão, dizemos que a ordem de escolha dos elementos não é importante. 
Quando isso ocorre, temos que eliminar as contagens repetidas. Isto é feito por uma 
divisão. 
Assim, sempre que a ordem não for importante, após a aplicação do PFC precisamos fazer 
um ajuste. 
Este ajuste destina-se a eliminar as contagens repetidas. Isto é feito por meio de uma 
divisão. 
Como fazer esta divisão? 
 
Neste exercício, a ordem de escolha das seis dezenas não é relevante. Por isso, dividimos 
por 6!, para eliminar as contagens repetidas. 
 
Quando não há reposição e a ordem não é importante, temos um caso de combinação. 
Se tivermos n elementos e quisermos escolher p, sem reposição, de forma que a ordem não 
é importante, temos um caso de combinação de n elementos, tomados p a p. A fórmula da 
combinação é: 
!�,� = �!�� − ��! × �! 
A fórmula da combinação já tem o fator que elimina as contagens repetidas. 
 
Neste exercício da ESAF, poderíamos ter aplicado esta fórmula. 
Temos um caso de combinação de 8 dezenas, tomadas 6 a 6: 
!",� = 8!�8 − 6�! × 6! =
8 × 7 × 6!
2! × 6! = 28 
Fechando o tópico, é pertinente lembrar que existe outro símbolo para a combinação de “n” 
elementos, tomados “p” a “p”: 
#��$ = !�,� =
�!
�! × �� − ��! 
 
Fechando o assunto 
!)!(
!),(
ppn
npnC
×−
=
elimina as contagens repetidas
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Os exercícios de análise combinatória podem ser resumidos da seguinte forma: 
Há reposição? A ordem é importante? Forma de resolução 
Sim Sim PFC 
Não Sim arranjos, permutações, PFC 
Não Não combinações, PFC 
Professor, e quando a ordem não é importante e há reposição? 
Resposta: Não falaremos sobre este tópico. Em um curso completo de RLQ, as questões de 
prova correspondentes são resolvidas com uma ferramenta chamada de “permutação com 
repetição”. Como ela não será utilizada nas questões correspondentes ao nosso edital, não 
aboraremos tal ferramenta. 
 
Qual é a principal mensagem que deve ficar desse trechinho inicial da aula? 
É a fórmula da Combinação. Ela é bastante empregada nesta e em outras aulas. 
 
Ok, vamos finalmente entrar no primeiro tópico previsto no edital: probabilidade. Apesar de 
não constar explícitamente a palavra “probabilidade”, ela entra em absolutamente tudo o 
que vamos fazer daqui para frente. 
4. PROBABILIDADE 
4.1. Introdução. 
Probabilidade tem relação com a chance de um evento ocorrer. 
Passaremos longe, muito longe de uma definição adequada de probabilidade. Vamos dar 
duas definições. A primeira nos diz que a probabilidade é a relação entre número de casos 
favoráveis e número de casos possíveis. Não é uma definição correta, mas nosso propósito 
aqui é apenas resolver questões de concurso, mesmo que para isso tenhamos que deixar 
um pouco de lado o rigor matemático. 
Em seguida, melhoraremos um pouco nossa definição, adotando a abordagem frequentista 
da probabilidade. 
 
Quando falamos em probabilidade, podemos basicamente pensar em casos favoráveis e 
casos possíveis. Sim, apenas isto: casos favoráveis e casos possíveis. 
Vejamos o exemplo do lançamento de um dado. 
Queremos calcular a probabilidade de sair um número múltiplo de três. Então a pergunta é: 
qual a probabilidade de sair um número múltiplo de três quando se lança um dado de seis 
faces? 
A questão é de probabilidade. Probabilidade lembra casos favoráveis e casos possíveis. 
Casos possíveis são todos aqueles que podem ocorrer. No lançamento de um dado, 
podemos obter os seguintes resultados: 
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Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6 
Casos favoráveis são todos aqueles em que estamos interessados. Neste exemplo, estamos 
interessados nos múltiplos de três. 
Casos favoráveis: 3, 6. 
Para resolver o problema, primeiro contamos quantos são os casos favoráveis. 
 
Quantos são os múltiplos de três presentes nas faces de um dado? 
Resposta: são dois os múltiplos de três presentes nas faces de um dado (o número 3 e o 
número 6). 
 
Depois contamos quantos são os casos possíveis. 
 
Quantos são os casos possíveis no lançamento de um dado? 
Resposta: são seis os casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6). 
 
A probabilidade será obtida dividindo o número de casos favoráveis pelo número de casos 
possíveis. Ficaria assim: 
6
2
_
_
=⇒= P
possíveiscasos
favoráveiscasosP 
Estou usando a letra P para indicar a probabilidade. 
Vimos que a probabilidade de sair um número múltiplo de três em um lançamento de um 
dado é de dois sextos. 
O conjunto com todos os casos possíveis é chamado de espaço amostral. No caso do 
lançamento do dado, o espaço amostral é: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Repetindo: espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis. 
Chamamos de evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Geralmente os 
eventos servem para designar um resultado em particular. 
No caso acima estávamos interessados nos resultados que são múltiplos de três. Esses eram 
os nossos casos favoráveis. A esse resultado em particular, qual seja, “sair múltiplo de três”, 
chamamos de evento. 
Neste caso, o evento “sair múltiplo de três” corresponde ao seguinte conjunto: 
{3, 6} 
Veja como o evento é um subconjunto do espaço amostral. 
Com essa noção de espaço amostral e de evento, em vez de dizermos que a probabilidade 
de um dado evento é a relação entre o número de casos favoráveis e o número de casos 
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possíveis, podemos dizer que é a relação entre o número de elementos do evento e o 
número de elementos do espaço amostral. 
 
amostralespaçodoelementosdenumero
eventodoelementosdenumero
possiveiscasosdenumero
favoraveiscasosdenumeroP
_____
____
___
___
== 
A probabilidade só pode ser definida como a relação entre casos favoráveis e casos possíveis 
(ou ainda, como a relação entre o número de elementos do evento e o número de 
elementos do espaço amostral) quando todos os casos têm a mesma chance de ocorrer. A 
resolução acima só é válida se o dado for “honesto”. Ou seja, se for um dado simétrico e de 
material homogêneo. 
Quando dizemos que o dado é “honesto”, estamos considerando que, em um lançamento 
qualquer, a probabilidade de sair a face de número 1 é igual à probabilidade de sair a face 
de número 4, de número 6, ou qualquer outra. Costumamos dizer que todas as faces são 
equiprováveis (ou seja, têm a mesma chance de ocorrer). 
Como já dissemos, é comum se utilizar a expressão “evento” para designar um resultado em 
particular. Assim, no lançamento de um dado, o evento “sair o número 1” tem a mesma 
probabilidade do evento “sair o número 2”, que por sua vez tem a mesma probabilidade do 
evento “sair o número 3”, e assim por diante. Todos esses eventos são equiprováveis. 
 
Aí vem a pergunta: e se todos os casos não tiverem a mesma chance de ocorrer? E se o dado 
não for honesto? E se a probabilidade de sair “1” for diferente da probabilidade de sair “2”? 
Resposta: bom, deixemos isto para depois (daqui a pouco na verdade). Para contornar este 
tipo de problema, utilizaremos a já mencionada abordagem frequentista da probabilidade. 
Por enquanto, vamos apenas ficar com esta noção de casos favoráveis e possíveis, o que já 
ajuda bastante a resolvermos questões de concursos públicos. 
 
O número de casos favoráveis, no mínimo, éigual a zero. 
Quando isso ocorrer, a probabilidade fica: 
� = %casos	favoráveis1%casos	possíveis1 =
0
%casos	possíveis1 = 0 
O número de casos possíveis, no máximo, é igual ao número de casos possíveis. Quando isso 
ocorrer, a probabilidade fica: 
� = %casos	favoráveis1%casos	possíveis1 =
%casos	possíveis1
%casos	possíveis1 = 1 
 
Com isso, concluímos que a probabilidade de um evento qualquer está sempre entre 0 e 1. 
0 ≤ � ≤ 1 
 
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Antes de continuarmos com a teoria, vou responder a uma pergunta em que provavelmente 
vocês estão pensando. 
 
Pergunta: Mas professor, você disse que essa explicação sobre probabilidade não é 
adequada. Por quê? 
Resposta: Em primeiro lugar, nem todas as situações de aplicação da probabilidade podem 
ser resumidas a casos possíveis e casos favoráveis. Imagine que queremos calcular qual a 
probabilidade de, no dia 19/03/2012, a ação da empresa alfa subir. Não dá para transformar 
esse problema numa situação de número casos possíveis e favoráveis. 
Acontece que os problemas em que dá para contar quantos são os casos possíveis e quantos 
são os casos favoráveis são os mais fáceis para gente começar a se acostumar com 
probabilidade. Por isso, de início, vamos focar apenas neles. Ou então, “dar um jeitinho” 
para que a questão possa ser interpretada como uma relação entre casos favoráveis e 
possíveis. 
Outro problema da explicação dada é o que segue. Dissemos que probabilidade é igual à 
divisão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis quando todos os 
casos têm a mesma probabilidade de ocorrer. 
Ou seja, na própria definição de probabilidade estamos usando o conceito de probabilidade. 
Que raio de definição é essa? Se utilizarmos na definição o conceito que pretendemos 
definir, não estamos definindo nada. 
Novamente, deixemos esses problemas de lado. 
Antes de passarmos para os exercícios, só um alerta. Quando usamos as expressões “casos 
favoráveis”/”casos desfavoráveis” (ou ainda: sucessos e fracassos), estamos apenas nos 
referindo aos casos em que estamos ou não interessados. Não estamos fazendo qualquer 
juízo de valor. Não nos preocupamos se estamos diante de algo bom ou ruim, certo ou 
errado. 
Para melhor visualização, considere um estudo sobre a relação entre a utilização de um 
produto e o desenvolvimento de câncer. Queremos saber qual a probabilidade de uma 
cobaia que utilizou o produto por tempo prolongado ter a doença. Nessa situação, os casos 
favoráveis (=sucesso) seriam aqueles em que a cobaia adquiriu a doença, 
independentemente de se considerar que contrair câncer seja bom ou ruim. Ok? 
Continuemos com a matéria. 
 
Questão 4 SEFAZ/SP 2009 [ESAF] 
Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes 
são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma 
pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher? 
a) 44% 
b) 52% 
c) 50% 
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d) 48% 
e) 56% 
 
Resolução: 
Para facilitar a resolução do exercício, vamos supor que a cidade tenha 100 adultos. 
 fumantes não-fumantes total 
Homem 
Mulher 
Total 100 
O enunciado nos diz que 40% dos adultos são fumantes. 
40100%40 =× 
Logo, temos 40 fumantes. 
 fumantes não-fumantes total 
Homem 
Mulher 
Total 40 100 
40% dos fumantes são mulheres. 
16404,0 =× 
São 16 mulheres fumantes. 
 fumantes não-fumantes total 
Homem 
Mulher 16 
Total 40 100 
Se, das 100 pessoas, 40 são fumantes, então há 60 não-fumantes. 
 fumantes não-fumantes total 
Homem 
Mulher 16 
Total 40 60 100 
O enunciado informa que 60% dos não-fumantes são mulheres. Portanto, há 36 mulheres 
não-fumantes (=60% de 60). 
 fumantes não-fumantes total 
Homem 
Mulher 16 36 
Total 40 60 100 
Ao todo, temos 52 mulheres. 
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 fumantes não-fumantes total 
Homem 
Mulher 16 36 52 
Total 40 60 100 
O exercício pediu a probabilidade de, escolhendo uma pessoa adulta ao acaso, ela ser 
mulher. 
Probabilidade tem a ver com a chance de um dado evento ocorrer. Em outras palavras, 
pede-se a chance de a pessoa escolhida ser uma mulher. 
Neste exercício, todas as pessoas têm a mesma chance de serem escolhidas. Quando isso 
acontece, a probabilidade é dada pela divisão entre o número de casos favoráveis e o 
número de casos possíveis. 
possiveiscasosnumero
favoraveiscasosnumeroP
__
__
= 
Os casos favoráveis são aqueles em que estamos interessados. Neste problema, estamos 
interessados que seja escolhida uma mulher. 
Número de casos favoráveis: 52 
Além disso, temos 100 casos possíveis (são 100 adultos na cidade). 
Com isso, a probabilidade fica: 
� = 52100 = 52% 
Gabarito: B 
 
Questão 5 MPOG 2010 [ESAF] 
Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são 
moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona 
Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que será a 
responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três 
pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que 
Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à 
comissão é, em termos percentuais, igual a: 
a) 30 % 
b) 80 % 
c) 62 % 
d) 25 % 
e) 75 % 
 
Resolução. 
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Vamos listar todas as comissões, representando cada pessoa pela inicial do seu nome. 
Comissões possíveis, excluindo Denílson: 
- A, B, C 
- A, B, E 
- A, C, E 
- B, C, E 
São 4 comissões possíveis. Em três delas nós temos a participação de Carlão. 
São 3 casos favoráveis em 4 possíveis. 
Logo: 
� = 34 = 75% 
Gabarito: E 
 
4.2. Abordagem frequentista da probabilidade 
Quando um experimento pode ser repetido inúmeras vezes, dizemos que a probabilidade 
corresponde à frequência relativa que seria obtida com a repetição do experimento. 
Exemplo: seja A o evento que ocorre quando, lançando um dado honesto, obtemos a face 2. 
Queremos calcular a probabilidade de A. 
���� =? 
Quando lançamos um dado inúmeras vezes, é razoável esperar que cada face saia em 1/6 
das vezes. Quanto mais vezes lançamos, mais a frequência relativa associada à face 2 se 
aproxima de 1/6. 
Idealmente, se lançássemos o dado infinitas vezes, a frequência relativa seria igual a 1/6. 
Por isso dizemos que a probabilidade de A é 1/6. 
P(A) = 1/6. 
 
Probabilidade – abordagem frequentista. 
A probabilidade corresponde à frequência relativa que seria obtida em um número muito 
grande de experimentos. 
 
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Questão 6 MPOG 2010 [ESAF] 
Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcação onde estão 
três meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes 
perguntar algo, um responde sempre falando a verdade, um sempre mentee o outro mente 
em 50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante 
perguntou a um dos três meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele 
respondeu que era o da direita. Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido 
ao acaso entre os dois restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o 
caminho da direita? 
a) 1. 
b) 2/3. 
c) 1/2. 
d) 1/3. 
e) 1/4. 
 
Resolução. 
Imagine que vários viajantes passem regularmente por esta bifurcação, e que eles nunca 
saibam qual o caminho correto. 
Esta situação aconteceu durante 60 dias seguidos. Nestes 60 dias, vamos ver como se 
comportam os meninos. 
Seja A o menino que sempre diz a verdade, B o menino que sempre mente e C o menino 
que pode tanto dizer a verdade quanto mentir. 
 
As possíveis maneiras de escolhermos os dois meninos são: AB, AC, BA, BC, CA, CB. 
Todas estas combinações são equiprováveis. 
Nestes 60 dias, temos: 
- AB ocorreu 10 vezes 
- AC ocorreu 10 vezes 
- BA ocorreu 10 vezes 
- BC ocorreu 10 vezes 
- CA ocorreu 10 vezes 
- CB ocorreu 10 vezes 
Como C pode tanto mentir quanto dizer a verdade, então, em 50% das vezes em que ele foi 
escolhido, ele disse a mesma coisa que o outro menino escolhido. E, nas outras 50% das 
vezes, ele disse o contrário do que o outro menino escolhido. 
Vamos detalhar melhor então o que acontece nos dias em que C foi escolhido: 
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- AB ocorreu 10 vezes em todas as 10 vezes A e B dão respostas 
contrárias. 
- AC ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais 
- em 5 vezes eles dão respostas contrárias 
- BA ocorreu 10 vezes em todas as 10 vezes A e B dão respostas 
contrárias. 
- BC ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais 
- em 5 vezes eles dão respostas contrárias 
- CA ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais 
- em 5 vezes eles dão respostas contrárias 
- CB ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais 
- em 5 vezes eles dão respostas contrárias 
Assim, nestas 60 vezes, em 20 ocorrem respostas iguais. Logo, a probabilidade de duas 
respostas iguais é de: 
3
1
60
20
==P 
Gabarito: D 
 
4.3. Probabilidade condicional 
Voltemos ao nosso dado de seis faces. É o mesmo dado honesto, de material homogêneo. 
Só que agora vamos pintar as faces. As faces terão as seguintes cores: 
Cor azul: faces 1 e 2. 
Cor verde: faces 3, 4, 5 e 6. 
Maria lançou esse nosso dado. João não viu o resultado e quer calcular qual a probabilidade 
de ter saído um múltiplo de 3. 
 
Pergunta: Qual a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3? 
Resposta: 
6
2
. 
É exatamente o mesmo problema visto anteriormente. Todas as faces têm a mesma chance 
de sair. Os casos favoráveis são: 3 e 6. Os casos possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. A 
probabilidade fica: 
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6
2
_
_
=⇒= P
possíveiscasos
favoráveiscasosP 
Ok, agora vamos mudar um pouco o problema. Maria lançou esse nosso dado. João não viu 
o resultado. Maria fala para João: “Saiu uma face de cor verde”. 
Aí está a grande diferença: agora João sabe que saiu uma face verde. É uma informação 
nova! Esta informação vai mudar completamente o cálculo. Isto porque já sabemos, com 
certeza, que não saiu uma face azul. 
Queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 sabendo que a face que 
saiu é verde. Esta questão pode ser enunciada como: 
 
Qual a probabilidade do resultado do lançamento ser múltiplo de três dado que saiu uma 
face verde? 
 
Ou seja, a informação de que saiu uma face verde é dada, é sabida. É uma informação 
conhecida e que deve ser usada. 
Se fôssemos escrever os casos possíveis, teríamos: 
Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
Observe que mudaram os casos possíveis. Isto porque sabemos que não é possível terem 
saído os números 1 e 2. Temos certeza de que o resultado foi o de uma face verde. 
Já os casos favoráveis são os mesmos. Continuamos interessados nas faces 3 e 6. E estas 
duas faces podem ter saído, dado que ambas são da cor verde. 
Casos favoráveis: 3,6. 
Fazendo o cálculo, temos: 
Número de casos possíveis: 4 
Número de casos favoráveis: 2 
E a probabilidade fica: 
4
2
_
_
=⇒= P
possíveiscasos
favoráveiscasosP 
A probabilidade agora é de dois quartos. Note como uma informação nova alterou o cálculo 
da probabilidade. Dizemos que a probabilidade é condicional porque teve uma condição a 
ser obedecida. Não era simplesmente calcular a probabilidade de sair um múltiplo de 3. Foi 
dada uma condição, uma informação nova. Justamente esta condição alterou o cálculo da 
probabilidade. 
 
4.4. Fórmula da probabilidade condicional 
Outra forma de resolver exercícios de probabilidade condicional é por meio de uma 
fórmula. 
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Considere o lançamento de um dado. Antes de ver o resultado, queremos calcular a 
probabilidade de ter saído um múltiplo de 3. Qual a probabilidade deste evento? 
A probabilidade é de 2/6. Certo? Temos dois casos favoráveis (3 e 6) em seis casos possíveis. 
Vamos mudar um pouco o exemplo. O dado é lançado. Antes de vermos o resultado, 
alguém nos informa: saiu um número maior que 4. 
Pronto. Agora temos uma informação nova. 
Queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 DADO que saiu um 
número maior que 4. Temos uma informação nova, que devemos utilizar. 
Agora a probabilidade muda. Temos apenas dois casos possíveis (5 e 6). E, dentre os casos 
possíveis, apenas um nos é favorável (6). Neste segundo caso, a probabilidade é igual a 1/2. 
Se fôssemos resumir isto em uma fórmula, ficaria assim: 
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩= 
Nosso espaço amostral pode ser representado pelo seguinte conjunto: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Temos dois eventos. 
Se lançarmos o dado e obtivermos uma face múltipla de 3, temos o evento ‘A’. O evento ‘A’ 
é um subconjunto do espaço amostral. 
A = {3, 6} 
Se lançarmos o dado e obtivermos uma face maior que 4, temos o evento ‘B’. 
B = {5, 6}. 
A intersecção dos dois conjuntos acima é dada por: 
A ∩ B = {6} 
O símbolo que parece um ‘U’ de cabeça para baixo indica a intersecção. Neste exemplo, está 
associado ao resultado do lançamento do dado que é, simultaneamente, maior que 4 e 
múltiplo de 3. 
As probabilidades relacionadas são: 
• )(AP é a probabilidade de o evento A ocorrer. 
• )(BP é a probabilidade de o evento B ocorrer. 
• )( BAP ∩ é a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente. O símbolo que 
parece um “U” de cabeça para baixo indica intersecção. Ou seja, estamos 
interessados nos casos em que os dois eventos ocorrem simultaneamente. 
• )|( BAP é a probabilidade de o evento A ocorrer, DADO que o evento B ocorreu. É a 
probabilidade de A, condicionada ao acontecimento de B. 
No caso do lançamento do dado, ficamos com: 
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6
2)( =AP (casos favoráveis: 3, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
6
2)( =BP (casos favoráveis: 5, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
6
1)( =∩ BAP (caso favorável: 6 – só o número 6 é, ao mesmo tempo, maior que 4 e 
múltiplo de 3; casos possíveis:1, 2, 3, 4, 5, 6) 
Aplicando a fórmula: 
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩= 
2
1
6
2
6
1)|( =÷=BAP 
Portanto, a probabilidade de sair um múltiplo de 3 dado que saiu um número maior que 4 é 
de 50%. 
Um diagrama destes conjuntos ajuda a entender melhor a fórmula. 
 
O nosso espaço amostral é representado pelo retângulo azul. Nele, temos todos os possíveis 
resultados do lançamento do dado {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Dentro do espaço amostral temos dois conjuntos destacados. O conjunto vermelho 
representa o evento A (múltiplos de 3). O conjunto verde representa o evento B (maiores 
que 4). 
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É dado que o resultado do lançamento do dado é maior que 4. Ou seja, já sabemos que o 
resultado, qualquer que seja, deve estar dentro do conjunto verde. 
Todos os resultados fora do conjunto verde são descartados. É como se a condição 
estabelecida modificasse nosso espaço amostral. 
Nosso espaço amostral modificado se reduziria ao conjunto verde. 
 
Agora, a única possibilidade de o evento A ter ocorrido corresponde ao número que, além 
de ser múltiplo de 3, também é maior que 4. Ou seja, corresponde ao elemento que está na 
intersecção entre A e B. 
 
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Ou seja, temos uma condição (o resultado é maior que 4, ou seja, ocorreu o evento B). 
Graças a esta condição, os casos favoráveis estão relacionados à intersecção e os casos 
possíveis estão relacionados ao conjunto B. 
Logo, a probabilidade fica “casos favoráveis” sobre “casos possíveis”. 
Vou indicar por “n( )” o número de elementos de cada conjunto. 
A probabilidade condicional fica: 
)(
)()|(
Bn
BAnBAP ∩= 
Dividindo o numerador e o denominador pelo número de elementos do espaço amostral (S): 
)()(
)()()|(
SnBn
SnBAnBAP
÷
÷∩
= 
O que conduz a: 
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩= 
 
Dizemos que o evento ‘A’ é independente do evento ‘B’ quando )()|( APBAP = . Ou seja, o 
fato de ‘B’ ter ocorrido não influi em nada na probabilidade de ‘A’. 
 
Fórmula da probabilidade condicional. 
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩=
 
Se A e B são independentes, então: 
)()|( APBAP = e )()|( BPABP = 
É interessante observar que, a partir da fórmula da probabilidade condicional, podemos 
chegar à fórmula da probabilidade da intersecção de dois eventos: 
)()|()()(
)()|( BPBAPBAP
BP
BAPBAP ×=∩⇒∩=
 
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Probabilidade da intersecção de dois eventos. 
��� ∩ 8� = ���|8� × ��8� 
Um resultado interessante para eventos independentes é o seguinte: 
���|8� = ��� ∩ 8���8� 	�I� 
Mas, se os eventos são independentes, então o fato de B ocorrer não altera a probabilidade 
de A: 
���|8� = �����II� 
Substituindo II em I: 
���|8� = ��� ∩ 8���8� 
���� = ��� ∩ 8���8� 
��� ∩ 8� = ���� × ��8� 
Ou seja, quando dois eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é o 
produto das probabilidades. 
 
Se A e B são independentes, então: 
��� ∩ 8� = ���� × ��8� 
Para eventos independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das 
probabilidades. 
Questão 7 CGU/2008 [ESAF] 
A e B são eventos independentes se: 
a) )()()( BPAPBAP +=∩ 
b) )()()( BPAPBAP ÷=∩ 
c) )()()( BPAPBAP −=∩ 
d) )()()( ABPAPBAP +=∩ 
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e) )()()( BPAPBAP ×=∩ 
 
Resolução: 
Aplicação direta da fórmula vista. 
Gabarito: E. 
 
Questão 8 STN 2008 [ESAF] 
Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se: 
a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula 
b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. 
d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. 
 
Resolução: 
Aplicação direta do conceito visto acima. 
Gabarito: D 
 
Questão 9 MIN 2012 [ESAF] 
Se A e B são evento independentes, então: 
a) ��� ∩ 8� = ���� − ��8� 
b) ���|8� = ����/��8�, se P(B)>0 
c) ���|8� = ���� 
d) ���|8� = ��� ∩ 8�/����, se P(A)>0 
e) ��� ∪ 8� = ���� + ��8� 
 
Resolução: 
Cobrança direta da definição de eventos independentes. 
Gabarito: C 
 
Questão 10 MPU 2004 [ESAF] 
Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, 
ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a 
probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e 
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Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana 
informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, 
Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em 
Paris é igual a 
a) 2/3 
b) 1/7 
c) 1/3 
d) 5/7 
e) 4/7 
 
Resolução: 
Primeiro vamos resolver sem a fórmula. 
Vamos imaginar a seguinte situação, bem esdrúxula. 
 
Ana sempre vai a Paris na segunda, terça e quarta. 
Beatriz sempre vai a Paris na quarta e quinta. 
 
Carlos sabe dessas informações. Só que Carlos é concurseiro. Ficou tanto tempo estudando 
para concurso, sem parar, que perdeu a noção do tempo e não sabe que dia é hoje. 
Para ele, a probabilidade de hoje ser segunda é de 1/7. E de ser terça também é 1/7. Idem 
para qualquer outro dia da semana. 
E mais. 
A probabilidade de Ana estar hoje em Paris é de 3/7 (casos favoráveis: segunda, terça e 
quarta). 
A probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é de 2/7 (casos favoráveis: quarta e quinta). 
A probabilidade de ambas estarem hoje em Paris é de 1/7 (caso favorável: quarta) 
 
Ana informa a Carlos: hoje estou em Paris. 
Aí Carlos conclui: com certeza hoje só pode ser ou segunda, ou terça ou quarta. 
Ou seja, agora temos três casos possíveis: 
Segunda, terça, quarta. 
E Carlos está interessado nos dias em que Beatriz também vai estar em Paris. Só tem um 
caso favorável: quarta feira. 
Caso favorável: 
Quarta. 
 
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Logo, a probabilidade de Beatriz estar em Paris, dado que Ana está em Paris, é: 
3
1
=P 
Gabarito: C 
 
Agora vamos usar a fórmula. 
Seja “A” o evento que ocorre quando, escolhendo-se um dia da semana ao acaso, ele é um 
dia em que Ana está em Paris. 
Seja “B” o evento análogo, referente aos dias em que Beatriz está em Paris. 
O exercício disse que: 
7/3)( =AP 
7/2)( =BP 
7/1)( =∩ BAP 
E foi pedido: 
?)( =ABP 
Usando a fórmula: 
3
1
7/3
7/1
)(
)()( ==∩=
AP
ABPABP 
 
4.5. Probabilidade da união de dois eventos 
Nós até já vimos alguns exercícios em que calculamos a probabilidade da união de dois 
eventos. Só que não usamos nenhuma fórmula. Lembram do exemplo do dado, lá do 
começo do tópico de probabilidades? Queríamos calcular a probabilidade de sair um 
múltiplo de3. Pois bem, seja ‘A’ o evento que ocorre quando, lançando um dado honesto, 
obtém-se uma face múltipla de 3. 
Sabemos que: 
A= {3, 6}. 
O espaço amostral é dado por: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Na ocasião, para calcularmos a probabilidade de ‘A’, dividimos o número de elementos do 
evento (=2) pelo número de elementos do espaço amostral (=6). 
 
Haveria outra possibilidade de realizarmos este cálculo. Observe que o conjunto ‘A’ ainda 
pode ser decomposto em mais conjuntos. 
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Seja ‘B’ o evento que ocorre quando, lançando o dado, obtém-se a face 3. Seja ‘C’ o evento 
que ocorre quando se obtém a face ‘6’. 
B = {3} 
C = {6} 
Podemos dizer que: 
CBA ∪= 
O evento ‘A’ é igual à união entre os eventos ‘B e ‘C’. Ou seja, a probabilidade de sair um 
múltiplo de 3 (=evento A) é equivalente à probabilidade da união dos eventos “sair 3” e “sair 
6”. 
Assim, em vez de calcularmos diretamente a probabilidade do evento ‘A’, poderíamos ter 
calculado as probabilidades de ‘B’ e ‘C’ e, em seguida, usando a probabilidade da união de 
dois eventos, obtido a probabilidade de ‘A’. 
Logo abaixo veremos que existe uma fórmula para o cálculo da união de dois eventos. Nem 
sempre a gente precisa dela. Aliás, em grande parte dos exercícios, dá para ir bem sem ela. 
Mas é bom saber que existe. 
Antes de entrarmos na fórmula, alguns comentários. O evento ‘A’ pôde ser decomposto em 
outros dois eventos (B e C). Já os eventos ‘B’ e ‘C’ não podem mais ser decompostos. Cada 
um deles é formado por um único elemento. Dizemos que B e C são eventos elementares. 
 
Exemplo 3: 
Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São disponibilizados cursos 
de inglês e espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um ou os dois cursos. 
Atualmente temos a seguinte situação: 
30 alunos fazem inglês. 
20 alunos fazem inglês e espanhol. 
35 alunos fazem espanhol. 
25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol. 
Sorteamos um aluno dessa escola. Qual a probabilidade de o aluno sorteado cursar inglês 
ou espanhol? 
 
Resolução: 
Sorteia-se aleatoriamente um aluno. Quando o aluno sorteado cursa inglês, temos o evento 
‘I’. Quando o aluno sorteado cursa espanhol, temos o evento ‘E’. 
Queremos calcular a probabilidade do aluno fazer inglês ou espanhol. Ou seja, estamos 
interessados naqueles alunos que fazem só inglês, que fazem só espanhol e que fazem 
inglês e espanhol. 
Estamos interessados na união dos eventos “E” e “I”. 
?)( =∪ IEP 
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Esse símbolo que parece um “U” é o símbolo de união. Indica que estamos interessados nos 
casos em que pelo menos um dos dois eventos ocorra. Neste exemplo, estamos 
interessados nos alunos que fazem pelo menos um dos dois idiomas. 
Vamos representar graficamente os alunos dessa escola. 
 
Dentro do círculo azul temos os trinta alunos que fazem inglês. Dez deles estão dentro do 
circulo azul, mas não estão dentro do círculo vermelho. 
Dentro do círculo vermelho temos os trinta e cinco que fazem espanhol. Quinze deles estão 
dentro do círculo vermelho, mas não estão dentro do círculo azul. 
Outros vinte estão nos dois círculos simultaneamente. São os que fazem inglês e espanhol. 
E os 25 que estão de fora dos dois círculos não fazem inglês nem espanhol. 
Casos favoráveis são aqueles que estão em pelo menos um dos dois círculos. Ou seja, são os 
alunos que fazem pelo menos um dos dois idiomas. São 45 casos favoráveis. 
E casos possíveis são todos os alunos da escola. São 45, que fazem pelo menos um curso de 
idioma, e mais 25, que não fazem nenhum curso de idioma, totalizando 70 alunos. 
A probabilidade de o aluno ser sorteado fazer inglês ou espanhol é: 
70
45)( =∪ IEP 
Ok, agora vejamos a fórmula para calcular a probabilidade da união de dois eventos. 
A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês é: 
70
30)( =IP 
A probabilidade do aluno sorteado cursar espanhol é: 
70
35)( =EP 
A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês e espanhol, simultaneamente, é: 
70
20)( =∩ IEP 
alunos que fazem 
espanholalunos que 
fazem ingles
10 20 15
25
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Para encontrar a probabilidade do aluno sorteado cursar inglês ou espanhol, precisamos 
saber quantos são os casos favoráveis. 
São 30 alunos que fazem inglês. São 35 que fazem espanhol. Portanto, para saber quantos 
alunos fazem inglês ou espanhol, somamos esses dois valores. 
 
Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 = 65 
 
Só que tem um problema. Quando fazemos esta conta, estamos ignorando que há alunos 
que fazem, ao mesmo tempo, inglês e espanhol. Esses alunos foram contados duas vezes. 
São 20 alunos que foram contados em duplicidade. Portanto, do total acima, temos que 
tirar 20. 
 
Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 – 20 
 
Pronto. Achamos o total de casos favoráveis. Se dividirmos esse valor pelo total de casos 
possíveis, achamos a probabilidade procurada. 
70
203530)( −+=∪ IEP 
70
20
70
35
70
30)( −+=∪ IEP 
)()()()( IEPIPEPIEP ∩−+=∪ 
Resumindo, quando temos dois eventos quaisquer A e B, a probabilidade da união dos dois 
eventos é: 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
Quando ‘A’ e ‘B’ não têm elementos em comum, isto é, quando a intersecção entre ambos é 
nula, dizemos que são eventos mutuamente excludentes. 
Se os dois eventos forem mutuamente excludentes, temos: 
0)( =∩ BAP 
Neste caso, a probabilidade da união fica: 
)()()( BPAPBAP +=∪ 
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Probabilidade da união de dois eventos. 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
Se A e B forem mutuamente excludentes, a fórmula se reduz a: 
)()()( BPAPBAP +=∪ 
Questão 11 MPU/2004 [ESAF] 
Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o 
nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e 
a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04.Portanto, a 
probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível 
de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a 
a) 0,25 
b) 0,35 
c) 0,45 
d) 0,15 
e) 0,65. 
 
Resolução: 
Primeiro vamos usar a fórmula. 
Vamos calcular a probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo/pneu). 
Dizendo de outra forma: vamos calcular a probabilidade de Lígia verificar o óleo ou o pneu. 
Lígia vai ao posto de gasolina em diversos dias. Selecionando-se ao acaso um desses dias, 
ocorre o evento ‘A’ quando, no dia escolhido, ela verifica o óleo. Ocorre o evento ‘B’ 
quando, no dia sorteado, ela verifica o pneu. 
Temos: 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
O enunciado disse que: 
28,0)( =AP 
11,0)( =BP 
04,0)( =∩ BAP 
 
Portanto: 
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)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
35,004,011,028,0)( =−+=∪ BAP 
A probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo ou pneu) é de 35%. 
Concluímos que a probabilidade de ela verificar nenhum dos dois é: 
%6535,01=−=P 
Gabarito: E. 
 
Outra resolução, agora sem fórmula. 
Lígia foi ao posto durante 100 dias. 
Em 28 dias ela chegou o óleo. Em 11 dias ela checou os pneus. Em 4 dias ela checou os dois 
juntos. 
Vamos representar graficamente o que ocorreu. 
Em 4 dias, Lígia verifica o pneu e o óleo. 
 
Em 28 dias ela verifica o óleo. Já assinalamos 4 desses 28 dias. Faltam 24. 
 
Em 11 dias ela verifica os pneus. Já assinalamos 4 desses 11 dias. Faltam 7. 
 
4
dias em que 
verificou óleo dias em que 
verificou pneu
24 4
dias em que 
verificou óleo dias em que 
verificou pneu
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Ao todo são 100 dias. Já assinalamos 35. Faltam 65, em que Lígia não verifica pneus nem 
óleo. 
 
 
Em 65 dos 100 dias ela não verifica pneus nem óleo. A probabilidade procurada, portanto, é 
de 65%. 
 
Questão 12 CGU 2008 [ESAF] 
Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,4; a 
probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar 
ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar 
Ricardo ou Fernando é igual a: 
a) 0,04 
b) 0,40 
c) 0,50 
d) 0,45 
e) 0,95 
 
Resolução: 
24 74
dias em que 
verificou óleo dias em que 
verificou pneu
24 74
dias em que 
verificou óleo dias em que 
verificou pneu
65
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Seja A o evento que ocorre quando, escolhendo-se ao acaso um dia em que Paulo vai ao 
futebol, ele encontra Ricardo. Seja B o evento equivalente, quando Paulo encontra 
Fernando. 
Temos: 
4,0)( =AP 
1,0)( =BP 
05,0)( =∩ BAP 
A pergunta é: 
?)( =∪ BAP 
Aplicando a fórmula: 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
45,005,01,04,0)( =−+=∪ BAP 
Gabarito: D 
 
Questão 13 ATA MF 2012 [ESAF] 
Soretando-se um número de uma lista de 1 a 100, qual a probabilidade de o número ser 
divisível por 3 ou por 8? 
a) 41% 
b) 44% 
c) 42% 
d) 45% 
e) 43% 
 
Resolução: 
Múltiplos de 3 menores que 100: 
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ..., 99 
Vamos ignorar o 3. 
Partindo do 3, vamos avançando números. Avançamos 1, chegando em 4. Avançamos mais 
1, chegando em 5. Avançamos mais 1, chegando em 6. E assim por diante: 
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... 
De 3 a 99, nós avançamos 96 números. A cada três números, um é múltiplo de 3. Logo, de 3 
a 99 temos 96/3 = 32 múltiplos de 3. Isso sem incluir o próprio 3. Somando tudo, são 33 
múltiplos de 3. 
 
Múltiplos de 8 menores que 100: 
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8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96 
Há 12 múltiplos de 8. 
 
Múltiplos comuns de 3 e 8: 
24, 42, 72, 96 
 
Seja “A” o evento que ocorre quando o número sorteado é múltiplo de 3. Seja B o evento 
que ocorre quando o número sorteado é múltiplo de 8. 
���� = 33100 
Isso porque há 33 múltiplos de 3 em 100 números. 
��8� = 12100 
Isso porque há 12 múltiplos de 8 em 100 números. 
��� ∩ 8� = 4100 
Pois há 4 múltiplos comuns em 100 números. 
A chance de o número sorteado ser múltiplo de 3 ou 8 é: 
��� ∪ 8� = ���� + ��8� − ��� ∩ 8� 
= 33100 +
12
100 −
4
100 =
41
100 
 
Gabarito: A 
 
Questão 14 ATA MF 2012 [ESAF] 
Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 pretas. Duas bolas serão retiradas dessa caixa, uma a 
uma e sem reposição, qual a probabilidade de serem da mesma cor? 
a) 55% 
b) 50% 
c) 40% 
d) 45% 
e) 35% 
 
Resolução: 
1º caso: duas bolas brancas. 
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A chance da primeira bola ser branca é de 3 em 5 (pois há inicialmente 3 brancas num total 
de 5). A chance de a segunda também ser branca, dado que a primeira branca já foi retirada, 
é de 2 em 4. 
Logo, a chance de duas brancas é: 
��>?@A	BC@�D@A� = 35 ×
2
4 =
3
10 
2º caso: duas bolas pretas. 
A chance de a primeira bola retirada ser preta é de 2 em 5. A chance de a segunda também 
ser preta é de 1 em 4 (pois só sobraria 1 preta em 4 bolas restantes). Logo, a chance de duas 
pretas é: 
��>?@A	�CEF@A� = 25 ×
1
4 =
2
20 =
1
10 
 
Seja o evento “A” aquele que ocorre quando as duas bolas são brancas. Seja “B” o evento 
análogo para duas pretas. 
“A” e “B” não têm casos em comum. São mutuamente excludentes. Assim: 
��� ∪ 8� = ���� + ��8� − ��� ∩ 8� 
= 310 +
1
10 − 0 =
4
10 = 40% 
Gabarito: C 
 
Questão 15 MPOG 2012 [ESAF] 
Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então pode-se afirmar que: 
a) A e B são eventos independentes 
b) P(A ∩ B) = P(A) + P(B) 
c) P(B/A) ≠ 0 
d) P(A/B) ≠ 0 
e) P(A ∩ B) = 0 
 
Resolução: 
Alternativa A - INCORRETA. Dois eventos são mutuamente excludentes quando a 
intersecção entre ambos é nula. Por sua vez, dois eventos são independentes quando o fato 
de um ocorrer não afeta a probabilidade do segundo. As duas definições são 
completamente diferentes. Não há qualquer garantia de que dois eventos independentes 
também sejam mutuamente excludentes. E vice-versa. 
 
Exemplificando, considere o lançamento de um dado. Seja "A" o evento que ocorre quando 
o resultado é par e "B" o evento que ocorre quando o resultado é ímpar. 
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"A" e "B" são mutuamente excludentes (intersecção nula). Mas são dependentes. Sem nada 
sabermos, a probabilidade de B é 50%. 
 
No entanto, o fato de "A" ter ocorrido faz com que a probabilidade de B (dado que A 
ocorreu) seja nula. 
 
Alternativa B - INCORRETA. É a probabilidade da união que pode ser escrita como soma de 
probabilidades. 
 
Genericamente, a probabilidade da união entre dois eventos A e B é dada por: 
��� ∪ 8� = ���� + ��8� − ��� ∩ 8� 
Se eles são mutuamente excludentes, a intersecção é nula. A probabilidade da união se 
restringirá a: 
��� ∪ 8� = ���� + ��8� 
 
Alternativa C - INCORRETA. O fato de os dois eventos serem mutuamente excludentes nos 
diz que eles não têm intersecção. Assim, se é dado que um deles ocorreu, a chance de o 
outro ter ocorrido é nula. Vide exemplo dado na alternativa A. 
 
Alternativa D - INCORRETA. Análise idêntica à letra C. 
 
Alternativa E - CORRETA. Já vimos que os eventos são independentes quando a intersecção 
é nula. Logo, a probabilidade da intersecção vale zero 
Gabarito: E 
 
4.6. Probabilidade do evento complementar 
Quando temos um experimento, dizemos que o conjunto de todos os resultados possíveis é 
o espaço amostral. 
Por exemplo, o lançamento de um dado pode resultar em 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. 
O espaço amostral é: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Outro exemplo. Temos um tetraedro com faces 1, 2, 3, 4. Lançamo-lo duas vezes. O espaço 
amostral é: 
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), 
(4,4)} 
 
Dizemos que dois eventos são complementares quando, simultaneamente, temos: 
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• a união dos dois eventos resultano espaço amostral 
• os dois eventos são mutuamente excludentes (eles não têm elementos em comum; 
a intersecção entre ambos é vazia) 
Ou seja, qualquer resultado possível estará contido em dos dois eventos. Os dois eventos, 
juntos, conseguem englobar todos os resultados possíveis. E mais que isso: não há qualquer 
resultado que satisfaça, simultaneamente, aos dois eventos. 
Com alguns exemplos fica mais fácil. 
Novamente, considere o resultado do lançamento de um dado. 
Seja ‘A’ o evento “sair número par”. Seja ‘B’ o evento “sair número ímpar”. 
Os eventos ‘A’ e ‘B’, unidos, englobam todas as possibilidades. Não tem como lançar um 
dado e dar um resultado que não seja um número par e não seja um número ímpar. 
Além disso, não há intersecção entre os dois eventos. Não tem nenhum resultado de um 
dado que seja, ao mesmo tempo, par e ímpar. 
Dizemos que os eventos ‘A’ e ‘B’ são complementares. 
 
Ainda em relação ao lançamento do dado. 
Seja ‘C’ o evento “sair um número maior ou igual a 4”. Seja ‘D’ o evento “sair um número 
menor que 4”. 
Esses dois eventos, unidos, englobam todos casos possíveis. Não dá para lançar um dado e 
obter um resultado que não seja maior ou igual a 4 nem menor que 4. 
Além disso, não há nenhum resultado que pertença ao mesmo tempo aos dois eventos. 
Os eventos ‘C’ e ‘D’ são complementares. 
 
Continuemos com o lançamento do dado. 
Seja ‘E’ o evento “sair um número menor que 5”. Seja ‘F’ o evento “sair um número maior 
que 3”. 
Os dois eventos, juntos, englobam todos os casos possíveis. 
Mas os dois eventos não são complementares. Existe um resultado que pertence aos dois 
eventos. O resultado “4” é maior que 3 e também é menor que 5. 
 
Ainda em relação ao lançamento do dado. 
Seja ‘G’ o evento “sair um número menor que 4”. Seja ‘H’ o evento “sair um número maior 
que 4”. 
‘G’ e ‘H’ não têm elementos em comum. Só que não englobam todos os casos possíveis. O 
resultado 4 não é nem menor que 4 nem maior que 4. Este resultado não está contemplado 
em nenhum dos dois eventos. ‘G’ e ‘H’ não são complementares. 
 
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Geralmente o evento complementar é indicado por uma barra. 
Continuemos com o lançamento do dado. Seja Z o evento “sair um múltiplo de 3”. O 
evento complementar de Z é indicado por: Z 
Z é o evento “não sair um múltiplo de 3”. 
Note que Z e Z , juntos, englobam todos os casos. Além disso, não têm elementos em 
comum. São eventos complementares. 
 
Agora vem o que interessa para gente. Sejam A e A dois eventos complementares. 
Vamos calcular a probabilidade da união desses dois eventos. Usando a fórmula da 
probabilidade da união, temos: 
)()()()( AAPAPAPAAP ∩−+=∪ 
Mas nós vimos que a intersecção entre eventos complementares é vazia. Sua probabilidade 
é nula. 
0)()()( −+=∪ APAPAAP 
)()()( APAPAAP +=∪ 
E nós vimos também que a união entre eventos complementares é justamente o espaço 
amostral. A probabilidade de ocorrer o espaço amostral é sempre igual a 1. 
Ficou em dúvida? 
Considere o lançamento do dado. 
O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Considere o evento que ocorre quando lançamos o dado e sai um número de 1 a 6. Qual a 
probabilidade deste evento? É de 100%. Com certeza, quando lançarmos o dado, vai sair um 
número de 1 a 6. Isto porque esse evento é simplesmente igual ao espaço amostral. A 
probabilidade de ocorrer o espaço amostral é de 100%. 
)()()( APAPAAP +=∪ 
)()(1 APAP += 
E é esse resultado que nos interessa. 
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Probabilidade do evento complementar: 
Sejam A e A dois eventos complementares. Então: 
)()(1 APAP += 
Ou seja: 
���̅� = 1 − ���� 
A probabilidade do evento complementar é algo até bem intuitivo. Nós até já a usamos 
nesta aula, sem comentar. Uma das vezes em que fizemos isso foi lá na fl. 35 (Questão 11). 
Sugiro que vocês parem a leitura da aula e dêem uma revisada lá naquele exercício. Era uma 
questão de Técnico do MPU, em que Lígia ia ao posto e poderia verificar o óleo e o pneu. 
Naquela ocasião, encontramos a probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois 
(óleo/pneu). A probabilidade foi de 35%. 
Com isso, concluímos que a probabilidade de ela não verificar nenhum dos dois era de 65%. 
Ora, ou Lígia verifica alguma coisa (pneu, óleo ou ambos, pneu e óleo) ou não verifica nada. 
Não tem outra possibilidade. Portanto, se há 35% de chance de ela verificar alguma coisa, 
então há 65% de chance de ela não verificar nada. 
São dois eventos complementares. Somando os dois, tem que dar 100%. 
 
Questão 16 TRT 2ª REGIAO 2008 [FCC] 
A probabilidade de que Antônio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% e de que Paulo o 
esteja daqui a 10 anos é 70%. Então, a probabilidade de que somente um deles esteja vivo 
daqui a 10 anos é igual a 
(A) 30% 
(B) 36% 
(C) 56% 
(D) 38% 
(E) 44% 
 
Resolução: 
Seja A o evento que ocorre se Antônio estiver vivo daqui a 10 anos. 
���� = 0,8 
Logo, a probabilidade do evento complementar (Antônio estar morto daqui a 10 anos) é de: 
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���̅� = 1 − ���� = 0,2 
 
Seja B o evento que ocorre se Paulo estiver vivo daqui a 10 anos. 
��8� = 0,7 
Logo: 
��8H� = 1 − ��8� = 1 − 0,7 = 0,3 
Para que somente um dos dois esteja vivo daqui a dez anos, devemos ter: 
- Antônio vivo e Paulo morto (� ∩ 8H) 
ou 
- Antônio morto e Paulo vivo (�̅ ∩ 8) 
 
Logo, temos que calcular a seguinte probabilidade: 
�%�� ∩ 8H� ∪ ��̅ ∩ 8�1 
Entre colchetes, temos dois eventos mutuamente excludentes. A probabilidade da união é 
igual à soma das probabilidades. 
�%�� ∩ 8H� ∪ ��̅ ∩ 8�1 = ��� ∩ 8H� + ���̅ ∩ 8� 
Supondo que os eventos são independentes, ou seja, que o fato de Antônio viver (ou 
morrer) em nada influi na vida de Paulo, temos: 
�%�� ∩ 8H� ∪ ��̅ ∩ 8�1 = ��� ∩ 8H� + ���̅ ∩ 8� 
= ���� × ��8H� + ���̅� × ��8� 
= 0,8 × 0,3 + 0,2 × 0,7 = 0,24 + 0,14 = 0,38 
Gabarito: D 
 
A probabilidade do evento complementar é muito útil em determinados tipos de problema 
em que a probabilidade pedida é muito difícil de ser calculada. Nesses casos, desconfie. Às 
vezes é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar, o que nos ajuda a 
resolver a questão. 
Segue um exemplo. 
 
Exemplo 4: 
Lançamos um dado seis vezes. Qual a probabilidade de sair pelo menos uma vez o número 
5? 
 
Resolução: 
Seja A o evento que ocorre quando, em pelo menos um dos 6 lançamentos, temos o 
resultado 5. 
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Uma primeira forma de resolução seria listar todos os casos possíveis e todos os casos 
favoráveis. 
Casos possíveis: 
1; 1; 1; 1; 1; 1 
1; 1; 1; 1; 1; 2 
1; 1; 1; 1; 1; 3 
[...] 
E a lista continuaria com inúmeras linhas. Ficar listando todos os casos possíveis não dá. 
 
Poderíamos tentar resolver considerando que o evento ‘A’ é, na verdade, uma união de 
vários eventos. 
Precisaríamos calcular a probabilidade de: 
Sair o número 5 exatamente 1 vez 
Sair o número 5 exatamente 2 vezes 
Sair o número 5 exatamente 3 vezes 
Sair o número 5 exatamente 4 vezes 
Sair o número 5 exatamente 5 vezes 
Sair o número