Exercícios de Radiciação

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Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo 
Matemática Zero 2.0 - Aula 15 - Radiciação - (parte 1 de 2) 
Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=X6fw1EeQs2w 
Gabaritos nas últimas páginas! 
 
Atenção: alguns exercícios podem exigir conhecimentos de Potenciação 
também. Não se esqueça que Potenciação e Radiciação são conceitos 
muito ligados! 
 
• Nota 1: Para todos os exercícios, considere U = ℝ 
• Nota2: Pequenas variações na resposta são normais. Assim, para um 
exercício cuja resposta final seja 
��, as respostas 0,5 ou 2�� são 
corretas também. “Diferente” não significa necessariamente 
“errado”. Na dúvida, pergunte. 
• Nota 3: Alguns exercícios são particularmente difíceis e podem 
exigir conhecimentos adicionais (fatoração, equações etc). Caso não 
saiba, tente entender a resolução e/ou pergunte. Tais questões servem 
para que você consiga aumentar o próprio nível desde já. 
 
E1: Simplifique: 
 
 
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E2: Simplifique (quando possível): 
 
E3: Simplifique: 
 
 
E4: Considere Verdadeiro ou Falso: 
 
E5: Qual o maior número? √27
 ou √3�� ? Justifique. 
E6(Unicamp): Dados dois números positivos, √3
 e √4� , determine o 
maior. 
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E7: Simplifique: 	������
������ (para � � 0 e � � 0). 
E8: Simplifique:�20 � �21 � �8 � √64 
E9: Simplifique: 3√7 2√5 � 4√7 � √20 √28 � √45 
E10 (UEPB): Efetuando !�22 " !20,25" 2 # 66�3$�3�1temos por 
resultado: 
a) 
�%�& b) 712 c) �&�' d) 1 e) 12 
 
E11: Simplifique a expressão: �( � √( ⋅ �( √( 
 
E12 (Colégio Naval): 
Efetuando ��*√���√� ����√��*√� obtém-se: 
a) 4 b) √3 c) √2 d) �� e) 1 
E13 (Colégio Naval): �3 � 2�2√2
 	 �3 2�2√2
 é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 d) 5 
 
 
 
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Complementos de aula – Radical Duplo. 
A expressão �+ � √,		 ou �+ √,		 é um radical duplo. Em muitos 
casos, tal expressão pode ser convertida para a forma √-	� �. ou √-	 �..Por exemplo: considere a expressão �/ � √0		. Ela é 
equivalente à expressão 1 � √2. Note como elas são (aparentemente) 
muito diferentes! Justamente por não ser uma transformação “óbvia”, a 
simplificação de radicais duplos é muito cobrada em vestibulares militares 
(ITA, EN...). 
Como simplificar radicais duplos (quando possível): 
 
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Exemplo: 
Simplifique �3 � √8 : 
Lembrete: �3 4 √5 6 �7*8� 4 �7�8� e 9 6 √3� 5 
9 6 �3� 8⇒ 9 6 1 
�3 � √8 6 �3 � 12 � �3 12 
�3 � √8 6 �42 � �22 
�3 � √8 6 √2 � √1 
�3 � √8 6 1 � √2 
 
E14: Simplifique. 
 
 
 
 
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E15: Qual o valor da expressão: 
;<<
<=>3?,���…A�% 2�B	 � C239 � �4487
 E√3
 F�
GHH
HI √J�
B
 
a) 0,3 b) √3
 c) 1 d) 0 e) 1 
 
E16 (EPCAr Modificado): Simplifique: 1,111… K2√���L√�*� 
 
E17 (Desafio): Determine os números racionais x e y tais que: 
 �10 � 6√3
 6 � � �� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito: 
E1: 
 
E2: 
 
 
 
 
 
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E3: 
 
 
 
 
 
 
 
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E4: 
 
E5: Lembrando da propriedade: √bNO 6 �bNPOQ e que 27 = 3³, temos: 
√27
 6 �3�
 6 �3�⋅��
⋅�� 6 �3��
 √3�� 6 √3'��⋅
 6 √3'
 . 
Observe que agora ambas as raízes possuem mesmo índice (55). Podemos 
então comparar os radicandos: 
Como 3�� �	3', então √27
 � √3�� 
 
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E6: Lembrando da propriedade: √bNO 6 �bNPOQ temos: 
√3
 6 �3�
⋅� 6 �3��� 6 √81�� 
 √4� 6 √4��⋅
 6 √4��� 6 √64�� 	 
Observe que agora ambas as raízes possuem mesmo índice (12). Podemos 
então comparar os radicandos: 
Como 81 � 64, então √3
 � √4� 
E7: 
���R�S
��R�S� 6 ��
R�S
��R�S� 6 �2'�� ⋅ x��� ⋅ y��� 6�2�x�y� 6 2��2y 
E8: �20 � �21 � �8 � √64 6 �20 � �21 � √8 � 8 6 
�20 � �21 � √16 6 �20 � √21 � 4 6 �20 � √25 = 
√20 � 5 = 5 
E9: Nota: você pode fatorar os números 20, 28 e 45 (de forma idêntica ao 
que fizemos no E3). Outra alternativa, mais rápida – se você tiver prática – 
é tentar “quebrar” os números em produtos, de forma que a simplificação 
seja mais imediata. Se for complexo demais para você, use a fatoração 
utilizada no E3. 
 	3√7 2√5 � 4√7 � √20 √28 � √45 6 3√7 2√5 � 4√7 � √5 ⋅ 4 √7 ⋅ 4 � √9 ⋅ 5 = 3√7 2√5 � 4√7 � 2√5 2√7 � 3√5 = 
(Reordenando) 3√7 � 4√7 2√7 2√5 � 2√5 � 3√5 5√7 � 3√5 	
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E10: ALTERNATIVA A 
	!�22 " !20,25" 2 # 66�3$�3�1= 
!�22 " ⋅ 2 0,5 # 616�3$�3�1= 
√�� ⋅ K��L?,' K �&√
⋅&V�L√�*�= 
√�� ⋅ K��L�� K �&√
⋅&V�L√�*�= 
√�� ⋅ √�√� K �&√
V�L√�*�= 
Lembrando que 
�WX 6 a�Z temos: 
�� K6�E√���FL√�*�= �� K6E�√�*�FL√�*�= �� 6E�√�*�F>√�*�A= �� 6E��√�F>�*√�A 
Lembrando que >3 � 5A	>3 5A 	6 3� 5�, temos: �� 6���√��= �� 6�� = �� ��& = �[���& = �%�& 
 
 
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E11: Lembrando que >3	 � 	5A	>3 	5A 	6 3� 5�, temos:	
�( � √( ⋅ �( √( 6 �E( � √(F ⋅ >( √(A 6 �K(2 �(2L 6 
√2( ( 6 √2\ 6 √] ⋅ ( 6 2√( 
 
E12: Alternativa A 
 
 
 
 
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E13: Alternativa B 
 
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E14: Lembrete: �3 4 √5 6 �7*8� 4�7�8� e 9 6 √3� 5 
 
 
 
 
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E14 (continuação): 
 
 
 
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E15: ALTERNATIVA C	
^>3?,���…A�% 2�B	 � �239 � ���[%
 E√3
 F�
_
√J�B
= 
`K3�
L�% 2�	 � �239 � √64
 E√3
 F�%a √J�B = 
b3�B
 2 � �239 � √2&
 3�B
 c √J�B = 
d3J 2 � √239 � 2�
 3Je √J�B = 
d 2 � √243
 e √J�B = d 2 � √3'
 e √J�B = f 2 � 3g √J�B = 
f1g √J�B 6 1 
 
E16:	1,111… K2√���L√�*�= 
1 � 0,111… K2√2 1L√2�1 6 
1 � 19 2E√2 1F⋅>√2�1A 6 109 2E√�����F 6 109 2��� 6 109 2 6 89 
 
 
 
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E17: �10 � 6√3
 6 � � �� 
Elevando-se ao cubo dos dois lados, temos: 
10 � 6√3 6 E� � ��F� ⇔	 
Lembrando que >3 � 5A� 6 3� � 33�5 � 335� � 5�, temos: 
10 � 6√3 6 �� � 3���� � 3���� � ��� ⇔	 
10 � 6√3 6 �� � 3���� � 3���� � ��� ⇔	 
Note que ��� 6 ��� ⋅ � 6 ��� 
10 � 6√3 6 �� � 3���� � 3�� � ��� ⇔	 
Agrupando (no segundo membro) os termos semelhantes, temos: 
10 � 6√3 6 >�� � 3��A � >3���� � ����A ⇔	 
Colocando ��	 em evidência: 
10 � 6√3 6 >�� � 3��A � >3�� � �A�� ⇔ 
Por comparação entre os dois membros, podemos concluir que: 
i�� � 3�� 6 10	>jA3�� � � 6 6	>jjA� 6 3	>jjjA ⇔ 
Substituindo o valor de y (y = 3) na equação II, temos: 3�� � 3 6 6 ⇔ (Por Bhaskara, as raízes são 1 e -1). 
No entanto, ao substituirmos y =3 (único valor de y) e � 6 1 na primeira 
equação, vemos que ela não é satisfeita. Logo, x = 1 e y = 3. 
Portanto, �10 � 6√3
 6 1 � √3