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UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO ENG. DE PRODUÇÃO, ENG. DE BIOTECNOLOGIA E BIOPROCESSOS E ENG. DE BIOSSISTEMAS UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO – UATEC DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I / PROFESSORA: Aldinete Barreto LISTA II (limites) 1. Usando as propriedades de limite, calcule: 2 4 0 4 2 2 4 3 3 3 2 (3 ) 9 .lim .lim . lim (5 2) 4 4 . lim (5 ) .lim .lim x h x y x p x x h a b c x x h x p x d y e f x p 2 2 3 22 1 4 3 2 3 2 23 2 5 5 1 5 8 1 3 4 .lim .lim .lim 2 6 3 2 1 2 5 2 3 2 .lim . lim 4 13 4 3 4 x x x x x x x x x x g h i x x x x x x x x j k x x x x 3 2 2 22 2 2 23 9 2 3 20 1 2 3 2 . lim 6 16 5 6 2 -3 3 . lim . lim .lim 12 4 9 9 2 4 2 3 .lim . lim 2 x x x x x x x x l x x x x x x m n o x x x x x x x p q x x x 3 2 1 2 2 3 24 2 2 23 0 1 1 .lim 6 5 1 4 9 3 8 16 8 . lim .lim . lim 2 3 2 9 4 2 9 2 2 . lim .lim 2 7 3 x x x x x x x r x x x x x x s t u x x x x x x v w x x x 3 0 1 1 .lim x x x x GABARITO a) ¼ b) 6 c) -18 d) 16 e) 2P f) ½ g) -1/22 h) 3/2 i) 8/27 j) 11/17 k) ∞ l) ½ m) 1/7 n) 1/6 o) 1/6 p) ¼ q) -1 r) ½ s) 0 t) 16/7 u) 12 v) (6/5)1/2 w) (2)1/2/4 x) 1/3 Dica da questão x: Cálculo de um limite com mudança de variável Fazendo y = ( x + 1) 1/3 , temos y 3 = x + 1, e portanto x = y 3 - 1. Quando x tende a 0, y tende a 1 Outra forma seria: Sabe-se que: a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) Considere a=( x + 1) 1/3 e b=1 daí então multiplique a função pelo segundo fator da multiplicação (parte vermelha) UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO ENG. DE PRODUÇÃO, ENG. DE BIOTECNOLOGIA E BIOPROCESSOS E ENG. DE BIOSSISTEMAS 2. Por causa de sua conexão com retas secantes, tangentes, taxas de variação instantâneas, os limites da forma: 0 ( ) ( ) lim h f x h f x h ocorrem frequentemente no Cálculo Diferencial. Nos itens a seguir, calcule o limite para x e função f dadas. 2 3 2 . ( ) 3 5 1, 2 . ( ) , 1 1 . ( ) 3 1, 0 . ( ) , 2 . ( ) 2 , 1 . a f x x x x b f x x x c f x x x d f x x x e f x x x x f f 2 1 ( ) , 1 x x x 3. Ache os limites laterais de f(x), se existir, nos pontos indicados: a) 𝑓(𝑥) = |𝑥 | 𝑥 ; x = 0 b) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 4| 𝑥 − 4 ; x= 4 c) 𝑓(𝑥) = |3− 𝑥| 3−𝑥 ; x = 3 d) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 ; x = - 2 e) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 6 + 𝑥 ; x = 6 f) 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 ; x = 0 g) 𝑓(𝑥) = 1 𝑥2 ; x = 0 h) 𝑓(𝑥) = 1 𝑥3 ; x = 0 4. Dado que f é a função definida por: 2 9, se 3 ( ) 4, se 3 x x f x x . Ache 3 lim ( ) x f x e verifique que 3 lim ( ) ( 3) x f x f . 5. Considere a função 2 , se 1 3, se 1 ( ) 2 , se 1 2 3, se 2 x x x f x x x x x a) Calcule, se existirem, os limites: a) lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) b) lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥) c) f (1) d) lim𝑥→2− 𝑓(𝑥) e) lim𝑥→2+ 𝑓(𝑥) f) lim𝑥→2 𝑓(𝑥) b) Esboce o gráfico de f . UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO ENG. DE PRODUÇÃO, ENG. DE BIOTECNOLOGIA E BIOPROCESSOS E ENG. DE BIOSSISTEMAS 6. Se 2 25 2 ( ) 5x f x x para 1 1x , determine 0 lim ( ) x f x . 7. Seja f uma função e suponha que para todo xR temos que 2| ( ) |f x x . Mostre que 0 lim ( ) 0 x f x . 8. Considere a função 2 1 , se 0 ( ) , se 0 x sen x xf x x x Determine: a) 0 0 lim ( ) e lim ( ) x x f x f x ; b) Com base no item a) é possível dizer algo sobre 0 lim ( ) x f x ? Justifique sua resposta. 9. Calcule os limites a) lim𝑥→∞ 3𝑥2−𝑥+4 2𝑥2+5𝑥−8 b) lim𝑥→∞√ 12𝑥3−5𝑥+2 1+4𝑥2+3𝑥3 c) lim𝑥→∞ 1 2𝑥+3 d) lim𝑥→−∞ 1−𝑥−𝑥2 2𝑥2−7 e) lim𝑥→∞ 3𝑥+5 𝑥−4 f) lim𝑥→∞ 𝑥3+5𝑥 2𝑥3−𝑥2+4 g) lim𝑥→∞ 4𝑥4+5 (𝑥2−2)(2𝑥2−1) h) lim𝑥→∞ 2−3𝑥2 5𝑥2+4𝑥 i) lim𝑥→−∞ 𝑥2+2 𝑥3+𝑥2−1 j) lim𝑥→∞ 𝑥+2 √9𝑥2+1 k) lim𝑥→∞ √9𝑥6−𝑥 𝑥3+1 l) lim𝑥→−∞ √9𝑥6−𝑥 𝑥3+1 m) lim𝑥→∞ √9𝑥2 + 𝑥 − 3𝑥 n) lim𝑥→∞ √𝑥2 + 𝑎𝑥 − √𝑥2𝑏𝑥 o) lim𝑥→∞ √𝑥 p) lim𝑥→−∞(𝑥 + √𝑥2 + 2𝑥) q) lim𝑥→∞ (𝑥 − √𝑥) r) lim𝑥→−∞ √𝑥 3 s) lim𝑥→+∞ 𝑥 3 − 𝑥2 t) lim𝑥→+∞ 5𝑥 2 − 𝑥 10. Considere a função 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 − 2 𝑠𝑒 𝑥 < −1 −2𝑥 − 3 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑥 − 6 𝑠𝑒 1 < 𝑥 ≤ 2 𝑥 + 2 𝑠𝑒 2 < 𝑥 < 3 2 𝑠𝑒 𝑥 = 3 −3𝑥 + 14 𝑠𝑒 𝑥 > 3 Calcule a) lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) b) lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥) c) f (1) d) lim𝑥→3− 𝑓(𝑥) e) lim𝑥→3+ 𝑓(𝑥) f) 𝑓(3) g) Investigue a continuidade de f (x) no ponto x = 1 (justifique sua resposta) h) Investigue a continuidade de f (x) no ponto x = 3 (justifique sua resposta) UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO ENG. DE PRODUÇÃO, ENG. DE BIOTECNOLOGIA E BIOPROCESSOS E ENG. DE BIOSSISTEMAS 11. Calcule k de modo que as funções abaixo sejam continuas a) 𝑓(𝑥) = { 1 − 𝑥2 − 𝑘2, 𝑥 < 1 4 − 4𝑘, 𝑥 ≥ 1 𝑒𝑚 𝑥 = 1 b) 𝑓(𝑥) = { (1 + 𝑥) 1 𝑥⁄ , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0 𝑒𝑘 , 𝑠𝑒 𝑥 = 0 12. Calcule p de modo que as funções abaixo sejam continuas a) 𝑓(𝑥) = { sin𝑥 𝑥 , 𝑥 ≠ 0 𝑝 − 1, 𝑥 = 0 em x = 0 b) 𝑓(𝑥) = { 𝑥2−𝑥 𝑥2−1 , 𝑥 ≠ 1 𝑝, 𝑥 = 1 em x = 1 c) 𝑓(𝑥) = { 1 − 𝑥2, 𝑥 < 1 4 − 𝑝, 𝑥 ≥ 1 𝑒𝑚 𝑥 = 1