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CAPÍTULO 2 
 
TEORIA ATÔMICA 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
2.1 Uma breve introdução......................................................................................... 9 
2.1.1 Composição do átomo amplamente considerada .......................................... 10 
2.1.2 Modelos atômicos .......................................................................................... 11 
2.2 Teoria atômica de Dalton (1803)....................................................................... 12 
2.3 Teoria atômica de Thomson ............................................................................. 12 
2.3.1 A natureza elétrica da matéria ....................................................................... 13 
2.3.2 Experiências em tubos de Crookes: os primeiros experimentos.................... 14 
2.3.3 O modelo eletrônico de J. J. Thomson........................................................... 15 
2.4 Teoria atômica de Rutherford ........................................................................... 18 
2.4.1 Röntgen e os raios X...................................................................................... 18 
2.4.2 A radioatividade.............................................................................................. 18 
2.4.3 A contribuição de Millikan............................................................................... 20 
2.4.4 Experiência e modelo de Rutherford.............................................................. 21 
2.5 Teoria atômica de Bohr: origens da teoria quântica.......................................... 23 
2.5.1 O dilema do átomo estável............................................................................. 23 
2.5.2 A teoria clássica da radiação ......................................................................... 24 
2.5.3 A espectroscopia atômica .............................................................................. 27 
2.5.4 A natureza da luz e a física quântica ............................................................. 30 
2.5.5 O efeito fotoelétrico ........................................................................................ 31 
2.5.6 O espalhamento Compton ............................................................................. 33 
2.5.7 O modelo de Bohr do átomo de hidrogênio (1913) ........................................ 33 
2.5.7.1 Energia em uma órbita circular ................................................................... 34 
2.5.7.2 Os postulados de Bohr................................................................................ 35 
2.5.7.2.1 Resumo do Modelo de Bohr..................................................................... 37 
2.5.7.3 Níveis de energia ........................................................................................ 39 
2.5.8 Limitações do modelo de Bohr....................................................................... 41 
2.6 A mecânica quântica ......................................................................................... 41 
2.6.1 Insucesso da mecânica clássica .................................................................... 41 
 
2
 
 
2.6.2 Dualidade onda-partícula e o comprimento de onda de de Broglie ............... 42 
2.6.3 Ondas, pacotes de onda e partículas............................................................. 45 
2.6.3.1 Localização de uma onda no espaço.......................................................... 46 
2.6.3.2 Localizando uma onda no tempo ................................................................ 47 
2.6.4 O princípio da incerteza de Heisenberg ......................................................... 48 
2.6.4.1 A relação de incerteza de Heisenberg ........................................................ 48 
2.6.4.2 A relação de incerteza energia-tempo ........................................................ 50 
2.6.5 A função de onda ........................................................................................... 50 
2.6.5.1 A equação de Schröndinger........................................................................ 52 
2.6.6 A estrutura atômica do modelo atual.............................................................. 53 
2.6.7 Os níveis eletrônicos de energia .................................................................... 56 
2.6.8 Configuração eletrônica ................................................................................. 57 
2.7 Referências bibliográficas do capítulo............................................................... 60 
 
 
9
 
 
2 TEORIA ATÔMICA 
 
 
 
Objetivos deste capítulo 
 
Finalizado o capítulo, o aluno será capaz de: 
• descrever os modelos atômicos de Dalton, J. J. Thomson, E. Rutherford, Bohr e 
o modelo do átomo da Mecânica Quântica; 
• conhecer os eventos científicos que contribuíram para o desenvolvimento dos 
modelos atômicos; 
• detalhar a constituição moderna da matéria; 
• definir os princípios da mecânica quântica que deram origem ao modelo atual do 
átomo; 
• identificar as propriedades dos números quânticos; 
• escrever a configuração eletrônica dos elementos. 
 
 
2.1 Uma breve introdução 
 
Como foi discutido no capítulo anterior, a disciplina de Química Geral e 
Tecnológica é importante para as engenharias porque inevitavelmente ao longo da 
vida do engenheiro, este encontrará problemas práticos relacionados com os 
diversos aspectos dos materiais, sejam estes sólidos, líquidos ou gasosos. Por outro 
lado, tudo o que conhecemos seja um livro, um pedaço de pizza, o ar, a água, as 
montanhas, etc., é composto de matéria∗. Assim, temos uma experiência sensorial 
direta dos três estados da matéria. Mas, qual a essência do universo? Qual a 
unidade mínima da matéria? O átomo está composto apenas de elétrons, prótons e 
geralmente nêutrons? 
�
�SUPERINTERESSANTE, jul./1999) Atualmente um grupo de físicos afirma estar 
prestes a provar uma teoria que vai mudar nossa visão do mundo. Para eles, o 
universo é orquestrado por cordas minúsculas. São elas que arranjam 
elétrons, prótons, nêutrons e quarks numa melodia harmoniosa. Até uma 
década atrás, acreditava-se que as partículas elementares eram prótons, 
nêutrons, positron, neutrinio, mas em 1964, o físico americano Murray Gell-
Mann vencedor do Nobel de Física de 1969, propôs a idéia de que as partículas 
prótons e nêutrons são formados, cada partícula, por três outras subpartículas 
chamadas quarks, as quais são 10000 vezes menores que as partículas 
nucleares. 
Em 1970 o japonês Yoichiro Nambo, o alemão Holger Nielsen e o americano 
Leonard Susskind anunciaram que ainda não se havia chegado à essência da 
matéria. Segundo eles tudo que existe - elétrons e quarks - é formado por 
cordas infinitamente pequenas, em constante vibração. Tão minúsculas que, 
se um elétron tivesse o tamanho de Júpiter uma corda seria 10000 vezes 
 
∗
 Existem outras formas de matéria das quais não temos uma experiência direta, como o plasma (gás 
no qual os átomos estão ionizados formando uma mistura elétrica e neutra), a anti-matéria e a matéria 
super densa. 
 
 
10
 
 
menor que 1 milímetro. Tudo ainda é hipotético e terá que ser provado para 
gerar a teoria das supercordas. Como a idéia de cordas vibrantes muda a 
compreensão do universo? É que segundo a teoria, a gente pára de vez de 
imaginar o mundo composto de diversas partículas. Elétrons, prótons, 
nêutrons e quarks seriam apenas feições de uma mesma corda. O jeito como 
essa corda vibra é que muda. Ou seja, não importa qual seja a nota na música 
universal, por trás dela sempre haverá uma corda vibrando. 
Se confirmada, esta hipótese deve provocar tal transformação do 
conhecimento humano, tão dramática quanto a provocada pela Teoria da 
Relatividade de Einstein, em 1906 e a Teoria Quânticade Planck em 1900. 
Provavelmente as supercordas constituiriam a teoria unificadora sonhada por 
Einstein para explicar como todas as forças do Universo funcionam, 
interligadas. 
 
2.1.1 Composição do átomo amplamente considerada 
 
 O átomo é composto por elétrons, prótons e geralmente nêutrons que são 
assim definidos: 
• elétron: partícula negativamente carregada que se move descrevendo uma 
trajetória ao redor do núcleo de um átomo. Os elétrons estão dispostos em 
camadas. Cada camada contém elétrons que orbitam a uma mesma distância 
média do núcleo. Eles compensam um igual número de prótons, que têm carga 
positiva, o que possibilita que o átomo todo seja eletricamente neutro. Se um 
átomo ganha ou perde elétrons, o equilíbrio se desfaz, e ele torna-se um átomo 
carregado, ou íon; 
• próton: partícula subatômica que se encontra no núcleo e tem uma carga elétrica 
unitária positiva; 
• nêutron: partícula relativamente estável, influencia na radioatividade e em outras 
formas das reações nucleares, porém tem pouca influência nas propriedades 
físicas e químicas. 
Na tabela 2.1 são apresentadas algumas propriedades das partículas 
subatômicas. 
 
Partícula Símbolo Carga (C) Massa relativa Massa (kg) 
elétron e- -1,6022x10-19 
1836
1
 9,106x10-31 
próton p ou H+ +1,6022x10-19 1 1,67x10-27 
nêutron N 0 1 1,67x10-27 
Tabela 2.1 - Propriedades das partículas subatômicas. 
 
 Um átomo individual é especificado por dois números: 
• número atômico (Z): número de prótons no núcleo. Um átomo eletricamente 
neutro ou estável, tem número de elétrons igual ao de prótons, ou seja, 
-e p Z == ; 
• número de massa atômica (A): número total de núcleons (partículas do núcleo: 
prótons e nêutrons), ou seja, A = p + n. 
 
11
 
 
Para identificar um átomo utiliza-se a seguinte notação: 
XAZ 
sendo que X indica o símbolo do elemento. 
 
 Exemplo: 
O168 
refere-se a um átomo do elemento X com um número atômico 8 e um número de 
massa 16. 
 
 Embora o número de prótons seja o mesmo para todos os átomos de um 
dado elemento, o número de nêutrons pode variar, variando também a massa 
atômica, dando origem aos isótopos de um elemento. Em outras palavras, isótopos 
são átomos de um dado elemento que têm diferentes números de massa por terem 
diferentes números de nêutrons em seu núcleo. Na fig. 2.1 são apresentados 
exemplos de alguns isótopos 
 
 
Figura 2.1 - Exemplos de isótopos. 
 
Exemplo 2.1: O nitrogênio na natureza está formado por dois isótopos cujas 
massas são: 15N =15,0001 e 14N = 14,00307. Calcular a massa atômica do 
nitrogênio sabendo que as riquezas respectivas dos isótopos são 0,37% e 99,63%. 
 
2.1.2 Modelos atômicos 
 
 É interessante comparar o desenvolvimento lógico das teorias sobre a 
estrutura do átomo com a seqüência dos experimentos mais significativos realizados 
no campo da física, que contribuíram de maneira determinante na definição das 
principais características da estrutura atômica. As três principais etapas desta 
evolução foram: 
• a descoberta da natureza da matéria e do elétron; 
 
12
 
 
• a constatação de que o átomo consiste num pequeno núcleo rodeado de 
elétrons; 
• o desenvolvimento das equações da mecânica quântica que explicam o 
comportamento dos elétrons e dos átomos. 
 
 
2.2 Teoria atômica de Dalton (1803) 
 
Desde a mais remota antiguidade, o homem já se preocupava em entender o 
comportamento da matéria que constitui os corpos por meio de especulações 
filosóficas. Dentre os filósofos gregos, Aristóteles acreditava que a matéria poderia 
ser dividida indefinidamente, Leucipo (440 a.C.) foi o primeiro a propor que a matéria 
era formada por partículas indivisíveis que seu discípulo Demócrito (460 a 370 a.C.) 
chamou de átomos. Passaram-se 17 séculos para que alguma contribuição 
significativa fosse acrescentada à teoria atômica. Por volta de 1803, o químico e 
físico inglês John Dalton formulou sua teoria atômica, sendo a primeira tentativa de 
relacionar mudanças químicas a eventos que ocorrem a nível de átomos individuais. 
A teoria de Dalton esta fundamentada em cinco postulados que são apresentados a 
seguir (entre parênteses comentários sobre a validade de cada um deles): 
• toda a matéria é composta de átomos; 
• átomos são permanentes e indivisíveis e não podem ser criados nem destruídos 
(considerando a conservação da massa nas reações químicas e a lei das 
proporções definidas, este postulado está certo mas o átomo não é indivisível, é 
composto por partes ainda menores que ele); 
• os átomos de um elemento são idênticos, mas são diferentes dos átomos de 
outro elemento (mas e os isótopos que são átomos de um elemento que diferem 
em massa atômica?); 
• transformações químicas consistem de combinações, separação ou rearranjo de 
átomos (certo mas não deixa clara a diferença entre átomos e moléculas); 
• compostos químicos são formados de átomos de dois ou mais elementos em 
uma razão fixa (lei da composição definida). 
Com base nesses postulados podemos imaginar o modelo do átomo de 
Dalton como uma estrutura esférica, maciça, indivisível, indestrutível e homogênea 
cuja massa e volume variam de um elemento para outro. Embora tenham sido 
comprovadas falhas nesta teoria, algumas dessas idéias ainda hoje são aceitas, 
mas o principal mérito da mesma foi o estímulo para a pesquisa sistemática sobre a 
natureza do átomo. 
Em 1811, o italiano Amedeo Carlos Avogadro completou a teoria de Dalton 
introduzindo o conceito de molécula. 
 
 
2.3 Teoria atômica de Thomson 
 
A idéia do átomo indivisível de Dalton reinou por 93 anos (1804 a 1897). 
Entretanto, sabe-se que toda descoberta científica resulta da conjunção de uma 
série de eventos sucessivos que permitem finalmente o estabelecimento da mesma. 
Assim, a teoria de Thomson é conseqüência da descoberta da natureza elétrica da 
matéria, e das experiências com tubos de Crookes, uma vez que os físicos 
adotaram o modelo atômico com o qual os químicos trabalhavam. Na fig. 2.2 é 
apresentado um quadro cronológico que mostra os avanços das descobertas no 
 
13
 
 
domínio da química e da física que levaram ao desenvolvimento de um modelo 
atômico unificado. 
 
 
Figura 2.2 - Quadro cronológico comparativo entre os avanços da Química e da 
Eletricidade. 
 
2.3.1 A natureza elétrica da matéria 
 
Os elétrons (partículas subatômicas com carga elétrica negativa) foram 
descobertos por cientistas que estavam mais interessados em eletricidade do que 
em química. Entretanto, sabe-se atualmente que realmente existe uma íntima 
relação entre matéria e eletricidade. 
Os primeiros indícios importantes relativos à natureza elétrica dos átomos 
foram obtidos em 1834, como resultado das experiências sobre eletrólise do físico 
químico inglês Michel Faraday. 
Vejamos as leis de Faraday, que relacionam matéria e eletricidade: 
• I Lei de Faraday: "Quando a corrente elétrica passa através de um sal fundido 
ou em solução com o objeto de decompor o sal nos seus elementos, a ação 
química da eletricidade é proporcional à quantidade absoluta de eletricidade que 
passa”. 
 
Exemplo: O fluxo contínuo de corrente através do NaCl fundido produz o 
dobro de Na(s) e Cl(g) em 10min do que 5min. 
 
 
14
 
 
• II Lei de Faraday: "Se um número definido de átomos se combina com uma 
quantidade definida de eletricidade, parece razoável supor que a própria 
eletricidade seja composta de partículas”. 
 
Exemplo: A massa do produto é proporcional à massa atômica do elemento 
dividido por um número inteiro. 
 
2.3.2 Experiências em tubos de Crookes: os primeiros experimentos 
 
 A natureza elétrica da meteria foi esclarecida notavelmente com as 
informações de W. Crookes obtidas das ao realizar seus experimentos com tubos 
de descargade gás ou tubos de Crookes (1850). Quando os eletrodos de um tubo 
de Crookes, como aquele mostrado na fig. 2.3, são ligados a uma fonte de alta 
tensão, digamos 20000V, e o tubo é evacuado gradativamente por uma bomba 
conectada a ele por um pequeno tubo lateral, uma série de fenômenos pode ser 
observada. A pressões próximas à atmosférica, nada parece acontecer dentro do 
tubo. Com a saída do gás, o gás residual no interior do tubo começa a emitir uma 
leve incandescência cuja cor depende da identidade do gás no tubo. 
Posteriormente, coma maior diminuição da pressão no tubo, o interior 
incandescente desaparece gradualmente e o vidro na extremidade do tudo com o 
eletrodo de carga positiva (o ânodo) começa a emitir uma incandescência 
esverdeada. Colocando-se uma amostra de sulfeto de zinco (este material tem a 
propriedade de transformar energia cinética em luz visível) no interior do tubo 
descrito, o lado da amostra de sulfeto voltado para o cátodo (eletrodo de carga 
negativa) emite uma incandescência composta de minúsculos flashes de luz 
brilhante e uma sombra da amostra pode ser vista no ânodo. Por estas experiências 
ficava evidente que: 
• a baixas pressões, algo sai do cátodo e vai até o ânodo, o que inicialmente foi 
considerado como sendo raios (raios catódicos); 
• um raio catódico é composto por um fluxo de minúsculas partículas individuais 
que, ao colidirem com o sulfeto de zinco, emitem um flash de luz; 
• tais partículas viajam em linha reta, caso contrário, a sombra no ânodo não seria 
definida; 
• a incandescência no interior do tubo a pressões intermediárias resulta das 
colisões dessas partículas em movimento com moléculas do gás; 
Naquela época, a interpretação para tais fenômenos foi que os raios 
catódicos viajavam no espaço entre os eletrodos com energia adquirida devido à 
alta voltagem. Se a pressão fosse diminuída poucas moléculas de gás residual 
permaneciam no tubo de forma que os raios “catódicos” ganhavam bastante energia 
antes de colidir com as moléculas. Quando a colisão acontecia, as moléculas 
perdiam carga negativa e se ionizavam resultando partículas de carga positiva. 
Acreditava-se então que as moléculas ionizadas atraiam os raios negativos e nesse 
processo de recombinação energia era emitida na forma de luz. 
 
15
 
 
 
Figura 2.3 - Um tubo Crookes. O cátodo é o eletrodo carregado negativamente por 
uma fonte de alta voltagem, e o ânodo, o eletrodo carregado positivamente. (a) 
Antes de ser evacuado. (b) A pressões intermediárias. (c) A baixas pressões. (d) A 
pressões ainda menores. 
 
As partículas “catódicas” estão presentes em toda a matéria, uma vez que 
sempre têm as mesmas propriedades, independente do material do cátodo. 
Em 1874, G. J. Stoney sugeriu o nome de elétron para a partícula elétrica 
fundamental. 
 
2.3.3 O modelo eletrônico de J. J. Thomson 
 
 J. J. Thomson, em 1897, demonstrou que os raios catódicos ao se chocarem 
com o eletrodo de um eletrômetro, este acusa uma carga negativa. Demonstrou que 
tais raios são repelidos pelo eletrodo negativo, sendo desviados sob a ação de um 
campo elétrico. Considerando que tais resultados são obtidos independentemente 
do gás ou material do tubo utilizados, Thomson concluiu que, se os raios catódicos 
comportam-se semelhantemente a um corpo carregado negativamente, eles são 
cargas de eletricidade negativa transportadas por partículas de matéria e que, tais 
partículas são encontradas em todos os átomos. Num tubo de raios catódicos como 
 
16
 
 
aquele mostrado na fig. 2.4 Thomson realizou experiências para a caraterização 
quantitativa dos “raios catódicos”. Como mostrado na fig. 2.4a, um feixe de 
partículas carregadas são emitidas pelo cátodo, as mesmas são atraídas pelo ânodo 
que possui um orifício para permitir a passagem de um feixe dessas partículas. 
Essas partículas continuam seu percurso ate colidir com um anteparo de sulfeto de 
zinco. Quando placas eletricamente carregadas são colocadas por cima e por baixo 
do feixe, este é desviado conforme a placa (-) repele e a placa (+) o atrai. A 
magnitude do desvio é proporcional à voltagem das placas. Em outra experiência de 
Thomson foi comprovado que bobinas magnéticas geram trajetória curva no feixe de 
partículas (ver fig. 2.4b). 
A partir dessas experiências, Thomson buscou determinar a relação carga-
massa �
�
�
�
�
�
m
e
 para as partículas que constituem os raios catódicos. Em seus 
experimentos, Thomson dirigiu um feixe monoenergético (de raios X ou de elétrons), 
através de uma delgada película metálica, a um alvo composto por inúmeros 
monocristais orientados ao acaso. Desta forma haveria sempre, aleatoriamente, um 
certo número de cristais orientados a um ângulo apropriado para promover a 
difração do feixe. Um campo magnético, gerado em ângulo reto ao campo elétrico, 
faz com que os elétrons sejam defletidos na direção oposta a que é causada pela 
carga elétrica. Na prática, Thomson aplicou um campo magnético de intensidade 
conhecida através do tubo e verificou a deflexão do feixe de elétrons. Foi então, 
aplicada carga às placas até o feixe retornar ao seu ponto original de impacto, a 
partir da intensidade dos campos. Thomson bombardeou um eletrodo com raios 
catódicos e mediu a corrente elétrica que passava pelo eletrodo e o aumento da 
temperatura causada pelo bombardeamento. Com a temperatura e a capacidade 
calorífica do eletrodo, ele calculou a energia cinética (EC) das partículas que os raios 
catódicos transportavam. Seus cálculos: 
2
NmvE
2
c = , (2.1) 
onde N é o número de partículas de massa m e velocidade v que chagam ao 
eletrodo durante o experimento, 
NeQ = (2.2) 
Q é a carga negativa total no eletrodo e, a carga de cada partícula. Combinando as 
eq. (2.1) e eq. (2.2): 
�
�
�
�
�
�
=
m
e
v
2
E
Q
2
c
. (2.3) 
Como Q e EC já tinham sido medidos, faltava medir v para encontrar a relação 
carga-massa, medindo-se a deflexão provocada por um campo magnético de 
intensidade B sobre um feixe de raios catódicos. As partículas do feixe sob a ação 
de um campo magnético∗ descrevem um movimento circular de raio r, assim se 
relacionando: 
m
erB
v = (2.4) 
 
∗
 A força magnética sobre uma partícula carregada que se desloca num campo magnético é sempre 
perpendicular ao vetor velocidade da partícula (a partícula descreve uma órbita circular). A força 
magnética proporciona a força centrípeta necessária para se ter aceleração centrípeta no movimento 
circular: F=ma=mv2/r, a força que age sobre as partículas tem módulo qvB, pois os vetores v e B são 
mutuamente perpendiculares, assim evB=mv2/r. 
 
17
 
 
e substituindo na eq. (2.3) 
QBr
E2
m
e
22
c
= . (2.5) 
 
 (a) 
 (b) 
Figura 2.4 - (a) Tubo de raios catódicos para estudar o desvio dos elétrons pelas 
forças elétricas e magnéticas. (b) Representação esquemática mostrando como um 
elétron com velocidade v é desviado mediante um campo magnético H. 
 
 Assim, Thomson encontrou o valor de 1,2x108 C/g para a relação 
m
e
. O valor 
atual obtido para essa relação utilizando-se aparelhos sofisticados com cinco 
algarismos significativos é 1,7588x108C/g. Thomson verificou que tal relação 
mantinha-se constante para qualquer gás utilizado, o que levou Thomson a concluir 
que os raios catódicos não são formados por átomos eletricamente carregados, mas 
sim por fragmentos corpusculares de átomos, os quais foram posteriormente 
denominados elétrons. 
 Com a contribuição de Millikan (1908) que será abordada no item 2.4.3, ficou 
demonstrado incontestavelmente que a matéria é formada por partículas carregadas 
eletricamente. Thomson, então, sugeriu que o átomo seria uma esfera uniforme, 
carregada positivamente,com um raio de aproximadamente 10-8cm, na qual os 
elétrons estariam incrustados, semelhante a um pudim de ameixas, como mostrado 
na fig. 2.5. 
 
 
18
 
 
 
Figura 2.5 - Modelo atômico de Thomson. 
 
Exemplo 2.2: Com base nos trabalhos iniciados por Faraday havia sido 
possível estudar a relação carga massa do íon H+ sendo q+/m(H+) =9,573x107C/kg. 
Se a relação 
+
+
Hm
q
 /
m
e
=2000, calcule a massa de um íon H+ em kg. 
 
Exemplo 2.3: O valor aceito internacionalmente para a carga do elétron é 
1,6022x10-19C. Calcule a) a carga de 1mol de alétrons, b) a massa do elétron 
usando a relação determinada por Thomson, c) a massa de um elétron. 
 
 
2.4 Teoria atômica de Rutherford 
 
Para o estabelecimento do modelo de E. Rutherford foi necessário o 
descobrimento dos raios-X e da radioatividade. Assim, será apresentado a seguir 
um breve resumo dessas importantes descobertas. 
 
2.4.1 Röntgen e os raios X 
 
 Ao trabalhar com um tubo de raios catódicos, em 1895, o alemão W. 
Röentgen descobriu que “raios” invisíveis provenientes do tubo podiam passar 
através de materiais opacos à luz e de ativar anteparos fluorescentes ou filmes 
fotográficos. Röentgen não pôde defletir estes raios pela ação de um campo 
magnético, como se poderia esperar se fossem constituídos por partículas 
carregadas e por isso, denominou-os raios X, ele verificou que todos os materiais 
eram transparentes aos raios, em maior ou menor grau, e que a transparência aos 
raios diminuía com o aumento da densidade e do peso atômico do material. Esta 
observação levou à imediata utilização dos raios X na medicina para fazer imagens 
do interior do corpo humano (os ossos, por terem elementos de maior peso atômico 
do que os órgãos e a carne, absorvem mais a radiação e por isso deixam sombras 
mais escuras no filme fotográfico). Pela descoberta do s Raios X, Röntgen foi o 
primeiro físico a receber o prêmio Nobel de física, em 1901. Entretanto foi até em 
1912 que a natureza dos raios X foi desvendada. 
 
Exercício 2.1: Investigue a diferença entre radiografia e difração. 
 
 
 
2.4.2 A radioatividade 
 
19
 
 
 
 Em 1896, o francês Henri Becquerel descobriu que alguns elementos eram 
radioativos. Marie e Pierre Curie reconheceram que radioatividade era de natureza 
atômica e não molecular. Em 1903, Becquerel e o casal Curie, compartilharam o 
premio Nobel de Física pela descoberta da radioatividade. 
São considerados radioativos os elementos cujos núcleos atômicos não são 
estáveis, isto é, decaem espontaneamente em outros núcleos, emitindo partículas 
tais como elétrons, nêutrons ou partículas alfa e também radiação eletromagnética. 
Há três espécies de radioatividade: a desintegração alfa (α), a desintegração beta 
(β) e a desintegração gama (γ). 
 
 Vejamos mais detalhes sobre os três tipos de radiação mencionados: 
• decaimento alfa (α): acontece quando um núcleo (natural ou produzido 
artificialmente), em geral pesado, emite uma partícula composta por dois prótons 
e dois nêutrons, (um núcleo de Hélio). As partículas alfa são emitidas sempre 
com a mesma energia. O (238U) urânio-238, urânio-235 (235U), plutônio-239 
(239Pu) e o paládio-231 (231Pa) são exemplos de emissores alfa. O decaimento 
alfa é usualmente representado segundo o esquema: 
X � Y + α 
Na fig. 2.6 é apresentado um esquema do processo de decaimento α do rádio 
)Ra(22688 para o radônio )Rn(22286 . 
Figura 2.6 - Decaimento α do rádio )Ra(22688 para o radônio )Rn(22286 . 
 
• decaimento beta (β): feixes de elétrons também são obtidos através do 
decaimento de núcleos atômicos excitados. Os elétrons assim obtidos são 
chamados de radiação beta e são idênticos aos elétrons da camada eletrônica, 
diferindo destes apenas quanto à sua origem. A radiação beta é sempre 
acompanhada de uma outra partícula, o neutrino (ν)�. Por não possuir carga e ter 
massa extremamente pequena o neutrino praticamente não interage com a 
matéria sendo, portanto, de difícil detecção. Estrôncio-90 (90Sr), tecnécio-99 
(99Tc) e cálcio-45 (45Ca) são exemplos de fontes de radiação beta. O decaimento 
beta é usualmente representado segundo o esquema: 
X � Y + β + ν, 
que indica que o elemento X decai no elemento Y mais uma partícula beta 
(elétron) e um neutrino. 
• decaimento gama (γ): o núcleo, num estado excitado, decai para um estado de 
energia mais baixa, mediante a emissão de um fóton. Este efeito é semelhante 
 
20
 
 
ao da emissão espontânea de fótons por moléculas ou por átomos. 
Diferentemente da desintegração α ou da β, o núcleo radioativo mantém a sua 
identidade. A emissão de raios gama ocorre, normalmente, após a emissão de α 
ou de β. Por exemplo, se um núcleo desintegra-se por emissão β e decai para 
um estado excitado do núcleo descendente, este novo núcleo decai para o seu 
estado fundamental por emissão γ. Na tabela 2.2 são mostrada algumas formas 
comuns de radiação. 
 
 
Radiação Descrição 
eletromagnéticas 
ultravioleta 1nm < λ < 400nm 
raios X 10-3nm < λ < 10nm 
raios γ λ < 0,1nm 
partículas 
raios α He
2+
 (núcleo de hélio = 2 prótons + 2 
nêutrons) 
raios β e
+
 ou e- (partícula positiva ou negativa 
com massa de um elétron) 
Tabela 2.2 - Formas comuns de radiação. 
 
Exercício 2.2: As doses equivalentes de radiação que uma pessoa recebe é 
medida em Sieverts, unidade que leva em conta não só a energia que o tecido 
recebe, mas o dano ocasionado em função da natureza da radiação. Investigue 
sobre a explosão nuclear em Chernobil e quais foram e serão os efeitos globais do 
desastre. 
 
2.4.3 A contribuição de Millikan 
 
Em 1908, Robert Millikan, além de demonstrar incontestavelmente que a 
eletricidade é constituída por partículas, obteve a carga negativa do elétron. No seu 
experimento da gora de óleo, mostrado na fig. 2.7, Millikan foi capaz de provar que 
todas cargas elétricas são múltiplos de uma unidad elementar definida, cujo valor é 
igaul à 1,6x10-19C. Para realizar o experimento, Millikan espargiu pequenas gotas 
de óleo, provenientes de um atomizador, na câmara de observação. As gotas de 
óleo aspergidas entre duas placas metálicas carregadas opostamente (cujo 
deslocamento observou, através de microscópio) caíam livremente apenas sob 
influência da gravidade na ausência de campo elétrico. As gotas de óleo adquiriam 
carga elétrica pela colisão com íons gasosos produzidos pela interação com 
radiação (raios X ou rádio) com as moléculas dos gases presentes no ar. Uma gota 
carregada eletricamente era facilmente reconhecida pela sua resposta a um campo 
elétrico, monitorando-se seu deslocamento através do microscópio. Carregando a 
placa superior positivamente e a inferior negativamente, seria possível parar a 
queda de uma gota por meio de um ajuste da quantidade de carga elétrica nas 
 
21
 
 
placas e assim determinar a carga de uma única gotícula. Devido à resistência do ar 
a gota não é continuamente acelerada, mas alcança uma velocidade limite 
constante dada por: 
ardoaresistênci
nalgravitacioforça
r6
mg
v
⋅⋅
⋅
=
piη
= , (2.12) 
sendo g a aceleração da gravidade, m e r são a massa é o raio da gota e η, é a 
viscosidade do ar. Utilizando-se esta equação e a expressão 
3r
3
4
mdensidade
pi
= (2.13) 
que relaciona a densidade do óleo com a massa e o raio da gota, é possível 
determinar m e r a partir da medida da velocidade da gota e da densidade do óleo. 
Se a mesma gota contendo uma quantidade de carga q, for submetida a um campo 
elétrico E, a força eletrostática responsável pelo movimento ascendente da gota 
será igual a qE. Devido à ação da gravidade, a força global sobre a gota será igual 
a mgqE − e a velocidade para cima será dada por: 
r6
mgqE
'v
piη
−
= . (2.14) 
Com todas as variáveisconhecidas, dado que v e E podem ser medidos 
experimentalmente em g, e ηe r são conhecidos, q pode se calculado. Millikan pôde 
assim encontrar o valor da carga do elétron e consequentemente de sua massa, 
 
Figura 2.7 - Aparato de Millikan. 
 
Conhecendo a relação carga-massa obtida por Thomson, Millikan pôde 
também determinar a massa do elétron: 9,1x10-28g. 
 
Exercício 2.3: Escreva um texto sobre as experiências de Chadwick que 
levaram à descoberta do nêutron. 
 
2.4.4 Experiência e modelo de Rutherford 
 
 Rutherford, Geiger e Marsden (1911) lançaram um feixe paralelo de 
partículas alfa (que tem carga positiva e massa muito maior do que a de um elétron) 
emitidas por uma amostra de polônio sobre uma fina folha metálica. Observaram 
que muitas partículas atravessassem a folha em linha reta e que algumas foram 
desviadas (espalhadas). Então, projetaram um aparelho (ver fig. 2.8) para medir o 
ângulo de desvio sofrido pelas partículas alfa, quando estas passavam através de 
 
22
 
 
uma fina folha de ouro, que consistia em um anteparo móvel revestido com sulfeto 
de zinco ligado a um transferidor circular que indicaria os ângulos. As partículas 
alfas são detectadas, pois ao colidirem com o anteparo, causam cintilações sobre 
ele. Verificou-se que, embora muitas das partículas atravessassem a folha com 
pouco ou nenhum desvio, algumas foram desviadas a valores superiores a 90º, ou 
seja, foram rebatidas após o choque sem atravessar a folha. Na fig. 2.9 podem ser 
comparados os desvios esperados das partículas alfa segundo o átomo de 
Thomson e o átomo de Rutherford. Rutherford concluiu que um átomo é composto 
por um pequeníssimo núcleo carregado positivamente, concentrando a maior parte 
da massa, no centro do átomo, rodeado por uma região comparativamente maior, 
contendo elétrons distribuídos por seu volume. Isso explica o fato de muitas 
partículas alfa passarem em linha reta e também aquelas partículas que passam 
próximas do núcleo serem fortemente repelidas por sua carga positiva, provocando 
assim os maiores ângulos de espalhamento observados. 
Figura 2.8 - Experimento de Rutherford, Geiger e Marsden. 
 
 
Figura 2.9 - Desvios esperados das partículas alfa: (a) átomo de Thomson (b) 
átomo de Rutherford. 
 
 Rutherford demonstrou também a existência de uma partícula de massa 
muito maior que a do elétron, de carga de igual grandeza, mas de sinal contrário, 
portanto, positiva, que compõe o núcleo dos átomos, denominada próton (1920). 
Em resumo, Rutherford sugeriu uma estrutura planetária, semelhante ao 
sistema solar, onde o núcleo corresponde ao sol e os elétrons aos planetas que se 
movimentas num espaço vazio em órbitas fixas (ver fig. 2.10). 
 
 
23
 
 
 
Figura 2.10 - Modelo atômico de Rutherford. 
 
Por outro lado, Rutherford havia observado que apenas cerca da metade da 
massa do núcleo se justificava pelos prótons. Sugeriu a existência de partículas de 
carga zero e de massa semelhante à do próton no núcleo atômico. Em 1932, o 
cientista inglês J. Chadwick solucionou a questão sobre a massa extra verificada, ao 
bombardear berílio com partículas α e observar que eram emitidas partículas que 
realmente possuíam massa semelhante à dos prótons e que eram eletricamente 
neutras (não carregadas), os nêutrons. 
 
 
2.5 Teoria atômica de Bohr: origens da teoria quântica 
 
 No início do século XX, os cientistas se confrontaram com um conjunto de 
observações que tornavam inconsistente a teoria atômica de Rutherford e que 
precisavam ser efetivamente esclarecidas. As observações do ponto de vista dos 
químicos e dos físicos que precisavam ser explicadas eram: 
• a periodicidade das propriedades dos elementos quando organizados na tabela 
periódica de Mendelee (1869); 
• a regularidade sistemática das frequências das linhas espectrais observadas por 
Balmer (1885); 
• o dilema do átomo instável do modelo de Rutherford e o insucesso da física 
clássica para explicar o comportamento de elétrons em átomos (contradição 
aparente entre a eletrodinâmica e sua aplicação a elétrons); 
• discrepância observada ao explicar os resultados experimentais da radiação 
emitida por sólidos aquecidos via as equações da teoria clássica da radiação 
(1900); 
• insucesso da teoria clássica da radiação para explicar o efeito fotoelétrico (1905). 
Diante de tal situação, era imprescindível que houvesse uma reformulação do 
modelo do átomo. O maior mérito de Niels Bohr é ter concebido uma teoria 
satisfatória em relação à teoria atômica, propondo um modelo revolucionário no seu 
tempo. Bohr percebeu que a elucidação da estrutura atômica seria encontrada na 
natureza da luz emitida pelas substâncias submetidas a altas temperaturas ou a 
cargas elétricas. 
2.5.1 O dilema do átomo estável 
 
 O átomo de Rutherford possuía um sério problema: um átomo contendo um 
núcleo pequeno de carga positiva com elétrons orbitando ao seu redor é instável 
pois: 
 
24
 
 
• se os elétrons (que têm carga negativa) estivessem parados, eles seriam 
atraídos pelo núcleo (positivo) rapidamente, “caindo” no núcleo e entrando em 
colapso, impossibilitando a existência do universo; 
• se os elétrons descrevessem uma trajetória circular ao redor do núcleo, segundo 
a física clássica (eletromagnetismo), a direção de movimento dos elétrons 
precisaria ser mudada constantemente e para isso emitiria energia radiante 
continuamente; perdendo energia, os elétrons cairiam lentamente no núcleo, 
também entrando em colapso. 
Conclusão: os fenômenos envolvendo elétrons não poderiam ser explicados 
em termos de mecânica clássica. Diante disso, Niels Bohr tentou resolver o 
paradoxo utilizando a teoria quântica da energia, desenvolvida por Max Planck. 
 
2.5.2 A teoria clássica da radiação 
 
Vemos a maioria dos objetos devido à luz que é refletida por eles. Até 1900, 
acreditava-se que a luz visível era constituída por ondas eletromagnéticas que, 
combinando um campo elétrico e um magnético oscilantes (fig. 2.11), propagavam-
se pelo espaço, assim como as radiações ultravioleta e infravermelha, ondas de 
rádio, etc. sendo também chamada de radiação eletromagnética e deslocando-se 
através de ondas (ver fig. 2.12). Esse movimento ondulatório é semelhante à 
passagem de uma onda mecânica na água: uma sucessão de cristas e calhas, 
como na fig. 2.13. 
 
 
 
Figura 2.11 - Propagação de uma onda eletromagnética. 
 
 
25
 
 
Figura 2.12 - Espectro eletromagnético. 
 
 
 
Figura 2.13 - Representação de ondas de diferentes comprimentos de onda (λ) e 
frequências (ν). 
 
 Vejamos algumas características das ondas mecânicas. O movimento 
ondulatório é periódico, ou seja, ele se repete no tempo. O tempo necessário para o 
corpo fazer uma oscilação completa (uma calha e uma crista) é o período T, dado 
em unidade de tempo (s). O inverso de T é a frequência ν, que é o número de 
oscilações completas por segundo e tem por unidade s-1, denominada hertz (Hz). O 
A que aparece na fig. 2.10 é a amplitude, que consiste no deslocamento máximo em 
 
26
 
 
relação ao equilíbrio (o eixo, no caso). O comprimento de onda λ corresponde à 
distância entre cristas sucessivas. 
T
1
=ν (2.15) 
 A equação fundamental para o deslocamento de uma onda é 
( ) ( )tkxsenAt,xy ω−= (2.16) 
onde k é uma constante associada ao comprimento de onda conhecida como 
número de onda, sendo que 
λ
pi
=
2k (2.17) 
e ω é a frequência angular, dada em radianos por segundo, que tem valor constante 
de 
T
22 pi=piν=ω . (2.18) 
 
Segundo a teoria clássica da radiação, acreditava-se também que a energia 
das ondas eletromagnéticas que constituíam a luz dependia somente da amplitude e 
não da frequência ou do comprimento de onda dessas ondas. A teoria 
eletromagnéticaexplicava com perfeição fenômenos óticos, tais como difração e o 
espalhamento, mas não era adequada para explicar a natureza da radiação emitida 
por corpos sólidos aquecidos. O corpo passa por estágios nos quais emite luz 
vermelha, amarela e branca à medida que a temperatura aumenta. A curva de 
distribuição das freqüências emitidas por um sólido determinadas utilizando a teoria 
ondulatória é insuficiente para explicar os resultados experimentais. 
 Para melhor orientar o estudo rumo à elucidação da relação entre matéria-luz, 
o foco é saber se a luz é constituída por um feixe de partículas ou é o resultado da 
propagação de ondas. As principais teorias sobre a natureza da luz foram: 
• Newton: sustentava a teoria corpuscular da luz e que esta se propagava em linha 
reta e não sofria difração; 
• Huygens (meados do século XVII): propôs a idéia da luz como sendo um 
fenômeno ondulatório; 
• Thomas Young (primeiro quarto do século XIX): assumiu o comportamento 
ondulatório da luz e suas experiências levaram-no a mensurar o comprimento de 
onda da luz; 
• Augustin Fresnel: experiências sobre interferência e difração demonstraram 
fenômenos ópticos cuja aplicação da teoria corpuscular era inadequada 
(fenômenos ondulatórios). Provou a propagação retilínea da luz; 
• Maxwell (1873): com ele a teoria ondulatória atinge seu apogeu com a 
publicação da teoria matemática do eletromagnetismo. Esta teoria conduzia a 
uma equação de onda que previa, a existência de ondas eletromagnéticas que 
se propagavam com velocidades que podiam ser calculadas pelas leis da 
eletricidade e do magnetismo e que coincidiam com os valores medidos para a 
velocidade da luz (c ≅ 3x108m/s). Maxwell definiu que a luz consistia em ondas 
eletromagnéticas de comprimento de onda extremamente curto, visível ao olho 
humano entre 400 e 700nm; 
• Heinrich Hertz (1888): produziu microondas, de origem evidentemente 
eletromagnética e mostrou que estas possuíam todas as propriedades das ondas 
de luz, consagrando experimentalmente a teoria eletromagnética da luz de 
Maxwell. 
 
27
 
 
Sabia-se, desde então, que a relação entre frequência (ν) e comprimento de 
onda (λ) para a luz propagando-se no espaço é dada por: 
810x3c ≅=νλ m/s, (2.19) 
onde c é a velocidade da luz no vácuo que é constante para todas as ondas 
eletromagnéticas, pelo menos no vácuo. 
 
Exercício 2.4: Investigue a diferença entre fluorescência e fosforescência. 
 
Exercício 2.5: Investigue amplamente sobre quimiluminescência e 
fotoluminescência. 
 
2.5.3 A espectroscopia atômica 
 
 A luz solar (branca) é composta por uma mistura de ondas eletromagnéticas 
de diversos comprimentos de onda do espectro visível. Se a luz branca visível for 
colimada em um feixe estreito, passando por uma fenda e depois atravessar um 
prisma, ao se chocar com um anteparo, observa-se um espectro contínuo 
semelhante a um arco-íris. Este processo é conhecido como espectroscopia. Na 
figura 2.14 é apresentado um esquema deste fenômeno. 
 
Figura 2.14 - Espectro da luz branca de um filamento incandescente de uma 
lâmpada composto por uma banda contínua. 
 
Ao atravessar eletricidade por um gás ou aquecendo-o a altas temperaturas, 
o gás emite luz e esta, ao atravessar um prisma, gera uma linha espectral, um 
conjunto de linhas distintas, cada uma produzida pela luz de um comprimento de 
onda discreto (ver fig. 2.15). 
 
28
 
 
 
Figura 2.15 - Espectro de linhas do hidrogênio. 
 
 A maior parte dos nossos conhecimentos sobre átomos, moléculas e núcleos 
vêm do estudo da radiação emitida ou absorvida por eles. Quando os átomos são 
aquecidos ou submetidos à descarga elétrica, eles absorvem energia que é emitida 
a seguir como uma radiação. No início do século XX, os cientistas já haviam colhido 
uma grande quantidade de dados experimentais a respeito da emissão de luz pelos 
átomos de um gás submetido a uma descarga elétrica. Observada através de um 
espectrômetro com uma abertura em forma de fenda, esta luz aparece como uma 
série de linhas isoladas de diferentes cores (diferentes comprimentos de onda); o 
espaçamento e as intensidades das linhas são característicos de cada elemento. Os 
comprimentos de onda dessas linhas espectrais podiam ser medidos com grande 
precisão e muito tempo e esforço foi gasto na tentativa de encontrar regularidade 
nos espectros. 
 Em 1884, um professor secundário suíço, Johann Balmer, descobriu que os 
comprimentos de onda do espectro visível do hidrogênio podiam ser representados 
pela fórmula 
( )
4n
n
nm6,364 2
2
−
=λ , n = 3, 4, 5... (2.20) 
Balmer sugeriu que este talvez fosse um caso particular de uma expressão mais 
geral que poderia ser aplicada aos espectros de outros elementos. 
Várias séries∗ de linhas espectrais do hidrogênio foram sendo obtidas para 
outros intervalos do espectro eletromagnético, tais como: 
Série de Lyman (no ultravioleta) �
�
�
�
�
�
−⋅=ν
−
22 n
1
1
1R n = 2, 3, 4, ..., ∞ 
Série de Paschen (no infravermelho) �
�
�
�
�
�
−=ν
−
22 n
1
3
1
.R n = 4, 5, 6, ..., ∞ 
Série de Brackett (no infravermelho) �
�
�
�
�
�
−⋅=ν
−
22 n
1
4
1R n = 5, 6, 7, ..., ∞ 
 
∗
 Séries são expressões matemáticas periódicas que descrevem fenômenos físicos. 
 
29
 
 
Série de Pfund (no infravermelho) �
�
�
�
�
�
−=ν
−
22 n
1
5
1
.R n = 6, 7, 8, ..., ∞ 
Nessas equações �
�
�
�
�
�
λ
=ν
− 1
 e R representa a constante de Rydberg. A constante de 
Rydberg é a mesma para todas as séries espectrais do mesmo elemento e varia 
apenas ligeiramente, e de forma regular de elemento para elemento sendo R igual 
a 1,096776x107 m-1, no caso do hidrogênio. Em 1890, Johannes Rydberg e Walter 
Ritz puderam combinar as diferentes equações em uma única, que foi chamada a 
equação de Rydberg-Ritz: 
�
�
�
�
�
�
�
�
−⋅=
λ 2122 n
1
n
1R1 (2.21) 
onde n1 e n2 são números inteiros, com n1 > n2. A fórmula de Rydberg-Ritz permite 
calcular os comprimentos de onda de todas as linhas do espectro do hidrogênio e 
de metais alcalinos como o lítio e o sódio. 
Tem-se para o intervalo estudado por Balmer 
�
�
�
�
�
�
�
�
−⋅=ν 2
1
2 n
1
2
1R , (2.22) 
 
Este intervalo esta representado no espectro da figura 2.16. 
Figura 2.16 - Espectro do hidrogênio na região visível: série de Balmer. 
 
 Os cientistas da época fizeram muitas tentativas para criar um modelo 
atômico que fosse compatível com a fórmula de Rydberg-Ritz. O mais popular 
desses modelos era o de J. J. Thomson. Como a teoria eletromagnética clássica 
previa que uma carga oscilando com freqüência, ν, irradiaria energia 
eletromagnética com a mesma frequência, Thomson procurou configurações 
eletrônicas que fossem estáveis e tivessem modos normais de vibração com 
freqüências iguais às observadas. Uma dificuldade deste modelo e de todos os 
outros era que, de acordo com a física clássica, as forças elétricas, isoladamente, 
não podem produzir um equilíbrio estável. Thomson não conseguiu encontrar um 
modelo cujas freqüências fossem iguais às observadas experimentalmente em 
nenhum tipo de átomo. O modelo de Thomson foi descartado definitivamente após 
os experimentos realizados por H. W. Geiger e E. Marsden sob a supervisão de 
Rutherford, por volta de 1911. 
 Por muitos anos os cientistas não foram capazes de explicar o sucesso da 
equação de Rydberg e muitas tentativas foram feitas para criar um modelo atômico 
 
30
 
 
compatível com ela. A chave para a compreensão da mesma foi elucidada por Bohr, 
em 1913. 
 
2.5.4 A natureza da luz e a física quântica 
 
A teoria eletromagnética clássica explicava com perfeição fenômenos ópticoscomo a refração, reflexão, interferência e difração, via teoria ondulatória. Esses 
fenômenos ocorrem quando as ondas encontram partículas de tamanho semelhante 
ao comprimento de onda da luz. Entretanto, essa teoria não explicava a natureza da 
radiação emitida por corpos aquecidos nem a interação da luz com partículas como 
os elétrons. As diferentes freqüências das radiações, observadas 
experimentalmente, emanadas pelo sólido distribuíam-se de acordo com a curva 
mostrada na fig. 2.17. Observou-se que à medida que a temperatura do sólido 
aumentava, a frequência média da luz emitida também aumentava. Nessa figura, a 
linha tracejada mostra a previsão da teoria clássica, que não coincide com os 
resultados experimentais observados. Experiências deste tipo somente poderiam 
ser explicadas assumindo o ponto de vista corpuscular da radiação eletromagnética 
e a partir daí, o conceito onda-partícula começou a ser aplicado para analisar o fluxo 
de partículas. 
 
Figura 2.17 - Intensidade relativa da radiação de um sólido aquecido em função da 
frequência ou comprimento de onda. A linha tracejada representa a previsão da 
teoria clássica da matéria. 
Em 1900, Max Planck introduziu o conceito revolucionário da quantização da 
energia utilizando conceitos que contrariavam as leis clássicas da física. Planck 
 
31
 
 
havia proposto que um sistema mecânico não poderia ter uma energia arbitrária e 
que somente certos valores definidos de energia seriam permitidos, esta proposta 
viria a ser a hipótese quântica de Planck, expressa por: 
ν= nhE , (2.23) 
Onde n é um número inteiro positivo, ν é a frequência do oscilador (grupo de átomos 
que se encontram na superfície do metal que oscilam com a mesma frequência) e h 
é a constante de Planck, que vale 6,626x10-34 J.s. Ele afirmava que a transferência 
de energia radiante não é transferida de forma contínua mas em unidades discretas, 
na forma de “pacotes” chamados quanta (plural de quantum), de magnitude 
pi2
h
. A 
interpretação física da propagação da radiação seria considerar que o quantum é 
uma partícula com energia, massa e quantidade de movimento. De certo modo, a 
radiação pode ser considerada como um gás de fótons que flui de um lugar a outro. 
Usando a relação relativística, tem-se 
2mcE = � ν= nhE � ν= nhmc 
 Assim, este grupo de átomos (oscilador), não poderia ter uma energia 
qualquer, mas apenas ν= nhE . Além disso, quando estes osciladores emitem 
radiação, eles devem perder energia, portanto, n deve ser maior que zero. No início, 
existência de níveis quantizados de energia foi no início um conceito difícil de 
aceitar, mas foi confirmado por Einstein ao explicar o efeito fotoelétrico. 
Em 1905, Einstein desenvolveu a idéia, proposta por Planck, de que a 
energia de um feixe de luz concentrava-se em pacotes, os fótons. O quantum de 
energia luminosa é o fóton. 
 Restava ainda um vestígio da concepção ondulatória, o de que o fóton era 
considerado como tendo uma frequência, e a energia do mesmo sendo proporcional 
a essa frequência. Outra confirmação notável da natureza corpuscular da luz foi o 
efeito Compton. Em 1921, Compton determinou os movimentos de um fóton e de 
um elétron, antes e depois de “colidirem”, verificando que se comportavam como 
corpos materiais, possuindo energia cinética e momento, que se conservavam na 
colisão. 
A conciliação definitiva destas experiências só ocorreu por volta de 1930, com 
o desenvolvimento da Eletrodinâmica Quântica, uma teoria que inclui ambas as 
propriedades: a corpuscular e a ondulatória. Os fenômenos de propagação da luz 
podem ser mais bem explicados pela teoria ondulatória eletromagnética, enquanto 
sua interação com a matéria, nos processos de emissão e absorção, é um 
fenômeno corpuscular. 
 
2.5.5 O efeito fotoelétrico 
 
 Em 1902, sabia-se que a incidência de luz sobre uma superfície metálica 
limpa e no vácuo provocava a emissão de elétrons da mesma, fenômeno este 
conhecido por efeito fotoelétrico. A existência desse efeito podia ser explicada a 
partir da teoria eletromagnética clássica que concebia que a energia transportada 
pela luz poderia ser utilizada para remover um elétron do metal. Assim, quando um 
feixe de luz incidia sobre a superfície, na colisão do fóton com o elétron, o fóton 
desaparecia e cedia sua energia ao elétron que era emitido da superfície com uma 
energia 2C mv2
1E = . Entretanto, esta teoria era completamente incapaz de explicar 
detalhes experimentais desta ocorrência, tais como: 
 
32
 
 
• havia um valor crítico mínimo (ν0) de frequência da luz para que um elétron fosse 
emitido, ou seja, nenhum elétron era emitido a menos que a frequência ν da luz 
fosse maior que ν0 . Assim, para cada superfície existia uma freqüência de corte 
ν0 sendo que para ν < ν0 não haveria efeito fotoelétrico. A teoria clássica previa a 
existência do efeito fotoelétrico para qualquer freqüência desde que esta fosse 
suficientemente intensa; 
• não se observava lapso de tempo (retardo); 
• o aumento da intensidade (energia) da luz (ou número de fótons) incidente, não 
aumentava a energia (EC) dos elétrons emitidos, mas sim o número destes por 
unidade de tempo, sendo que a teoria clássica preconizava que EC aumentaria 
com o aumento da intensidade da energia luminosa; 
• a energia cinética dos elétrons emitidos aumentava proporcionalmente a 
frequência da luz. 
Na figura 2.18 é ilustrado o aumento da energia cinética dos elétrons emitidos em 
função da freqüência. 
Figura 2.18 - Efeito fotoelétrico: EC máxima dos elétrons em função da freqüência. 
 
Em 1905, baseado nos estudos de Planck, Einstein propôs que a luz não é 
contínua, mas sim constituída por partículas discretas, fótons, de energia hν. Esta 
energia de um fóton de frequência ν seria transferida para um elétron quando ele 
colidisse com a superfície do metal sendo que, uma parte dela (E0) seria usada para 
vencer as forças atrativas entre o elétron e o metal e a outra parte apareceria como 
energia cinética do elétron emitido, ou seja: 
2
0 mv2
1Eh +=ν , (2.24) 
onde E0 é a energia mínima que o fóton deve transmitir ao elétron para este ser 
emitido, que em termos de frequência fica: 
00 hE ν= (2.25) 
e por consequência, a energia cinética (EC) fica: 
)(hEEhh 0CC0 ν−ν=�+ν=ν . (2.26) 
 Previsão audaciosa, pois não havia qualquer indício de h ter qualquer função 
fora do fenômeno ainda misterioso do corpo negro. 
 Qual a interpretação correta do efeito fotoelétrico? A luz se comporta como 
corrente de partículas de energia quantizada hν. Assim, aplicando o conceito do 
fóton, Einstein escreveu o princípio da conservação da energia para o efeito 
fotoelétrico 
hν = EC + φ (2.27) 
 
33
 
 
onde φ seria a parcela de energia utilizada para superar as forças atrativas entre o 
elétron e o metal, o restante deveria aparecer como EC do elétron ejetado de massa 
m, sendo h o coeficiente angular da reta. 
 Assim como as radiações térmicas, a energia da luz não é distribuída suave e 
continuamente por entre as ondas, ao invés disso, é entregue à superfície do metal 
em parcelas discretas, os fótons, com E = hν. Com a hipótese de Einstein até então 
com caráter ondulatório, passa a ser encarada como partícula. A discussão sobre a 
dualidade onda-partícula prevalece. 
 
Exemplo: O limiar fotoelétrico da prata é 262nm. a) Calcular a função trabalho 
da prata. b) Calcular a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela ação da 
radiação com λ=175nm. 
ev73,4
nm262
nm.eV1240h 0 ==ν=φ 
eV35,2eV73,4
nm175
nm.eV1240hEC =−=φ−ν= 
 
Exercício 2.6: Investigue as aplicações práticas do efeito fotoelétrico, nas 
células fotoelétricas, por exemplo. 
 
2.5.6 O espalhamento Compton 
 
 Arthur H. Compton observou e interpretou o espalhamento de raios X por 
elétrons livres.Segundo a teoria clássica, quando uma onda eletromagnética de 
frequência ν1 incide sobre um material que contém cargas elétricas, as cargas 
oscilam com esta frequência e re-irradiarão ondas eletromagnéticas de mesma 
frequência. Compton apontou que se este interação fosse descrita como um 
processo de espalhamento, que envolvesse a colisão entre um fóton e um elétron, o 
elétron recuaria e absorveria parte da energia. O fóton espalhado teria então menos 
energia e, portanto, frequência mais baixa que a do fóton incidente. 
 
2.5.7 O modelo de Bohr do átomo de hidrogênio (1913) 
 
 Niels Bohr, físico dinamarquês, trabalhou na Inglaterra, primeiro com 
Thomson e depois com Rutherford, embora reconhecendo a relevância do modelo 
nuclear proposto por este, identificou que sua teoria violava uma das previsões 
clássicas da física de que um elétron acelerado emitiria um espectro contínuo de 
radiação à medida que fosse perdendo energia e desceria em espiral até colidir com 
o núcleo. 
 Bohr foi o primeiro a usar a hipótese quântica de Planck para explicar a 
estrutura atômica, constatando que a física clássica é falha para partículas 
pequenas. Em seu modelo, ilustrado na figura 2.19, comparava o átomo ao sistema 
solar: o núcleo (o sol) e os elétrons movendo-se rapidamente, em orbitas circulares 
(planetas) em torno do núcleo. 
 
 
34
 
 
 
Figura 2.19 - Representação esquemática do átomo de Bohr. 
 
 Precisamente, Bohr propôs um modelo do átomo de hidrogênio que levava 
em conta os resultados obtidos por Planck, Einstein e Rutherford e era compatível 
com os espectros observados e os resultados dados pela equação de Rydberg e 
Ritz. Segundo o modelo de Bohr, o elétron do átomo de hidrogênio se move sob a 
influência da atração de Coulomb do núcleo positivo de acordo com a mecânica 
clássica, que prevê órbitas circulares ou elípticas com o centro de força em um dos 
focos, como no movimento dos planetas em torno do sol. Por simplificação, ele 
escolheu uma órbita circular, como representada na fig. 2.20. 
Figura 2.20 - Representação esquemática do átomo de hidrogênio de Bohr. 
 
2.5.7.1 Energia em uma órbita circular 
 
 Considere um elétron de carga -e que esteja se movendo em uma órbita 
circular de raio r em torno de uma carga positiva Ze, como no átomo de hidrogênio 
(Z = 1) ou no átomo de hélio monoionizado (Z = 2). A energia total do elétron pode 
ser expressa em função do raio da órbita. A energia potencial (EP) de um elétron de 
carga -e a uma distância r de uma carga positiva Ze é dada por 
r
kZe
r
)e)(Ze(k
r
qkqE
2
21
P −=
−
== (2.34) 
 
35
 
 
onde k é a constante de Coulomb. A energia cinética (EC) pode ser escrita em 
função de r usando a segunda lei de Newton, � = maF , sendo 
r
v
a
2
= aceleração 
de uma partícula (elétron) em trajetória curva de raio r, de massa m e velocidade v. 
Igualando a força atrativa de Coulomb ao produto da massa pela aceleração 
centrípeta, temos: 
r
v
m
r
e)Ze(k 2
2 = . (2.35) 
Assim, multiplicando ambos os lados de (2.35) por r/2, obtemos a energia cinética Ec 
: 
r
kZe
2
1
mv
2
1E
2
2
C == (2.36) 
 Tanto a energia cinética como a energia potencial variam com o inverso de r. 
Observe que a energia potencial é duas vezes maior, em valor absoluto, que a 
energia cinética: 
CP E2E −= (2.37) 
 O sinal (-) da expressão é uma propriedade geral dos sistemas em que a 
força é proporcional a 
2r
1
. A energia total é a soma da energia cinética e da energia 
potencial: 
�−=+=
r
kZe
r
kZe
2
1EEE
22
PC r
kZe
2
1E
2
−= (2.38) 
que é a energia em uma órbita circular para uma força do tipo 2r
1
. 
 
Lei de Coulomb: a força sobre uma carga q2 a uma distância r da carga q1 é 
dada por: 
k
r
qq
4
1
r
qqF 2
21
o
2
21
=
piε
= 
onde εεεεo = 8,85419x10-12 C2/Jm (constante de permissividade no vácuo). Se as 
duas cargas têm igual sinal, elas se repelem, caso contrário, elas se atraem. 
 
 O átomo de Bohr pode ser mecanicamente estável, já que a força atrativa de 
Coulomb mantém o elétron em órbita, mas a teoria eletromagnética clássica diz que 
um átomo desse tipo seria eletricamente instável, pois o elétron, ao se mover em 
círculos, estaria sendo constantemente acelerado e portanto irradiaria energia 
eletromagnética com uma frequência igual à do movimento. Assim, de acordo com a 
teoria clássica, o átomo decairia rapidamente, com o elétron descrevendo uma 
espiral em direção ao núcleo à medida que perdesse energia por radiação. A 
solução para a estabilidade do átomo foi resolvida Bohr enunciando os postulados. 
 
2.5.7.2 Os postulados de Bohr 
 
 O modelo de Bohr do átomo de hidrogênio está baseado nos seguintes 
postulados: 
• Ao elétron, no átomo, somente é permitido estar em certos estados 
estacionários, sendo que cada um deles possui uma energia fixa e definida. 
 
36
 
 
• Quando os elétrons do átomo estiverem nestes estados, ele não pode emitir 
luz. No entanto, quando o elétron passar de um estado de alta energia para um 
estado de menor energia, há a emissão de um quantum de radiação, cuja 
energia hν é igual à diferença de energia entre os dois estados. 
• Se o elétron estiver em qualquer um dos estados estacionários, o elétron se 
movimenta descrevendo uma órbita circular em volta do núcleo do átomo. 
• Os estados eletrônicos permitidos são aqueles nos quais o momento angular do 
elétron (mvr) é quantizado e é um múltiplos inteiro de 
pi2
h
. 
Dentre os quatro postulados, os dois primeiros estão corretos e são mantidos 
pela teoria quântica atual. O quarto postulado está parcialmente certo: o momento 
angular de um elétron é definido, mas não da maneira proposta por Bohr. O terceiro 
está completamente errado e não foi incorporado pela teoria quântica moderna. 
No seu primeiro postulado (órbitas estáveis), Bohr “resolveu” o problema da 
estabilidade dos átomos postulando que apenas certas órbitas, chamadas de 
estados estacionários, são permitidas. Um átomo, portanto, irradia apenas quando o 
elétron sofre uma transição de uma órbita permitida para outra. Em outras palavras, 
o elétron do átomo de hidrogênio pode se mover apenas em certas órbitas circulares 
nas quais não perde energia por radiação. 
O segundo postulado (frequência de fótons a partir da conservação da 
energia) relaciona a frequência da radiação às energias dos estados estacionários. 
Se EI e EF são as energias inicial e final do átomo, a frequência de radiação emitida 
durante uma transição é dada por: 
�ν=−�ν= hEEhE FI 
h
EE FI −
=ν (2.39) 
onde h é a constante de Planck. Este postulado é equivalente à hipótese de 
conservação de energia com a emissão de um fóton de energia hν. Combinando as 
eq. (2.38) e (2.39), obtemos a seguinte expressão para a frequência: 
��
�
�
��
�
�
−=
−
=ν
12
2
21
r
1
r
1
h
kZe
2
1
h
EE
 (2.40) 
onde r1 e r2 são os raios das órbitas inicial e final. 
Na quantização do momento angular (quarto postulado de Bohr), para que as 
frequências calculadas através da eq. (2.40) sejam as mesmas que resultam da 
fórmula de Rydberg-Ritz eq. (2.21), é necessário que os raios das órbitas estáveis 
sejam proporcionais aos quadrados de números inteiros. Bohr procurou uma 
condição quântica para os raios das órbitas estáveis que levasse a este resultado. 
Depois de muitas tentativas, descobriu que obteria a relação correta se postulasse 
que o momento angular de elétron em uma órbita estável é igual a um número 
inteiro vezes � (“h barra”, a constante de Planck dividida por 2pi, ou seja, 
pi
=
2
h
� ). 
Como o momento angular de uma partícula de massa m que está se movendo em 
uma órbita circular de raio r com velocidade tangencialv é igual a mvr, este 
postulado pode ser escrito na forma 
�n
2
nh
mvr =
pi
= , n = 1, 2, 3, ... (2.41) condição quântica 
onde � =1,055x10-34Js = 6,582x10-16eVs. 
 
37
 
 
 A eq. (2.41) relaciona a velocidade tangencial v ao raio r. Mas a eq. (2.35), 
obtida a partir da segunda lei de Newton, fornece outra relação entre a velocidade 
tangencial e o raio: 
�=
r
v
m
r
kZe 2
2
2
mr
kZe
v
2
2
= (2.42) condição clássica 
 Podemos determinar o valor de r eliminando v nas eq. (2.41) e (2.42). 
Explicitando v na eq. (2.41) e elevando os dois membros ao quadrado, temos: 
22
2
22
rm
nv
�
= (2.43) 
Comparando este resultado com a eq. (2.42) obtemos: 
mr
kZe
rm
n
2
22
2
2
=
�
 (2.44) 
Explicitando r, temos: 
Z
a
n
mkZe
nr 022
2
2
==
�
 (2.45) 
onde a0 é o chamado primeiro raio de Bohr: 
nm0529,0
mke
a 2
2
0 ≅=
�
 (2.46) 
Substituindo na eq. (2.40) r (n1) e r (n2) por seus valores, dados pela eq. (2.45), 
obtemos: 
�
�
�
�
�
�
�
�
−
pi
=��
�
�
��
�
�
−=ν 2
1
2
2
3
42
2
12
2
n
1
n
1
4
emkZ
r
1
r
1
h
kZe
2
1
�
 (2.47) 
Fazendo Z = 1 e 
λ
=ν
c
 na eq. (2.47) e comparando o resultado com a fórmula de 
Rydberg-Ritz eq. (2.21), obtemos o seguinte valor para a constante de Rydberg: 
3
42
c4
emkR
�pi
= (2.48) 
Usando os valores de m, e e � conhecidos em 1913, Bohr calculou o valor numérico 
de R e verificou que seu resultado concordava com o valor medido por 
espectroscopia. 
 
Exemplo 2.4: Determine a energia e o comprimento de onda das três 
transições de maior comprimento de onda da serie de Balmer (Ef (nf=2), sabendo 
que 2fn/eV6,13Ef −= no estado fundamental. 
 
2.5.7.2.1 Resumo do Modelo de Bohr 
 
Da eq. (2.34) e (2.35), tem-se que 
fi EEE −= 
E
hc
=λ , 
sendo hc = 1240eV.nm 
r
kZeE
2
P −= (2.34) 
 
38
 
 
r
v
m
r
kZe 2
2
2
= (2.35) 
Por definição, 
2
C mv2
1E = 
dividindo (2.35) por 
2
r
, 
2
2
C mv2
1
r2
kZeE == (2.36) 
o que indica que a energia cinética e potencial variam com 
r
1
. Observe que a 
energia potencial é duas vezes maior em valor absoluto que a energia cinética 
r
ZZe
r2
kZeEEE
22
PC −=+= 
r
kZe
2
1E
2
−= 
Mas, de acordo com a teoria clássica, o átomo decairia. 
 Os postulados: 
• órbitas estáveis com energia fixa e definida; 
• freqüência de fótons a partir da lei da conservação da energia 
h
EE FI −
=ν (2.39) 
onde ν é a freqüência de transmissão, EI e EF as energias inicial e final, 
respectivamente. 
 Podemos combinar a freqüência de transmissão σ com a definição de energia 
total 
i
2
1
r
kZe
2
1E −= energia inicial mais elevada 
i2
2
2
r
kZe
2
1E −= energia final mais baixa 
substituindo na eq. (2.39), tem-se 
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
−−−=ν
21
2
r
1
r
1
h
hZe
2
1
 
��
�
�
��
�
�
−=ν
12
2
r
1
r
1
h
hZe
2
1
 (2.40) 
onde r1 e r2 são os raios inicial (mais alto) e final (mais baixo), respectivamente. 
Substituindo na eq. (2.40) r1 por n1 e r2 por n2, que mantêm as relações 
Z
a
nr 0211 = Z
a
nr 0222 = 
sendo que o raio de Bohr, a0 é 
pi
=
2
a
2
0
�
 
onde 
 
39
 
 
pi
=
2
h
� . 
Efetuando as devidas substituições, 
�
�
�
�
�
�
�
�
−
pi
=�
�
�
�
�
�
�
�
−=�
�
�
�
�
�
�
�
−=ν 2
1
2
2
3
422
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
n
1
n
1
22
eZmk
n
1
n
1
mkZe
h
kZe
2
1
mkZe
1
n
1
n
1
h
kZe
2
1
��
�
 
�
�
�
�
�
�
�
�
−
pi
=ν 2
1
2
2
3
422
n
1
n
1
4
emkZ
�
 (2.47) 
mas 
λ
=ν
c
. 
Mas para que as freqüências calculadas pelos postulados de Bohr (eq. (2.40)) sejam 
iguais àquelas de Rydberg e Ritz 
�
�
�
�
�
�
�
�
−=
λ 2122 n
1
n
1R1 
�
�
�
�
�
�
�
�
−=
λ 2122 n
1
n
1
cRc 
 Era necessário que os raios das órbitas r1 e r2 sejam proporcionais ao 
quadrado dos números inteiros. Bohr propôs uma condição quântica que levasse a 
esse resultado. O quarto postulado: 
�n
2
nh
mvr =
pi
= (2.41) n = 1, 2, 3... 
Que é uma expressão que envolve a v, de origem quântica, mas temos outra 
relação que envolve v obtida a partir da segunda lei de Newton 
r
mv
r
kZe 2
2
2
= (2.35) 
podemos determinar r eliminando v das eq. (2.35) e (2.41) 
22
22
2
rm
n
v
�
= e 
mr
kZe
v
2
2
= 
igualando-se as duas equações anteriores 
Z
a
n
mkZe
n
r
mr
kZe
rm
n 02
2
222
22
22
==�=
��
 
(2.45)
 
 
2.5.7.3 Níveis de energia 
 
A energia total do elétron no átomo de hidrogênio está relacionada ao raio da 
órbita circular pela eq. (2.38). Substituindo r por seus valores quantizados, dados 
pela eq. (2.45), temos: 
2
02
2
2
2
42
n
2
22
2
0
2
22
n
n
EZ
n
Z
2
emkE
mkZe
n
kZe
2
1
Z
an
kZe
2
1
r
kZe
2
1E −=−=�−=−=−=
��
 (2.49) 
com n = 1, 2, 3, ..., onde 
 
40
 
 
eV6,13
a
ke
2
1
2
emkE
0
2
2
42
0 ≅==
�
 (2.50) 
As energias En com Z = 1 são os níveis de energia permitidos para o elétron do 
átomo de hidrogênio. 
Transições entre essas energias permitidas resultam na emissão ou absorção 
de um fóton cuja frequência é dada por 
h
EE FI −
=ν e cujo comprimento de onda é 
dado por 
FI EE
hcc
−
=
ν
=λ (2.51) 
sendo que hc = 1240 eVnm∗. Como as energias são quantizadas, as frequências e 
comprimentos de onda da radiação emitida pelo átomo de hidrogênio também 
devem ser quantizadas, o que está de acordo com o espectro observado, que é 
composto por linhas discretas. Na figura 2.21 é mostrado o diagrama de níveis d 
energia do hidrogênio. 
 
 
Figura 2.21 - Diagrama de níveis de energia do átomo de hidrogênio. 
 Exemplo: Determinar (a) a energia e (b) o comprimento de onda da linha de 
maior comprimento de onda da série de Lyman. Raciocínio da resolução: De acordo 
com a figura 2.24, a série de Lyman corresponde a transições cujo estado final tem 
a energia do estado fundamental, ou seja, EF = E1 = -13,6eV. Como λ varia 
inversamente com a energia, a transição de maior comprimento de onda é a 
 
∗
 Relembrando os valores de algumas constantes: h = 6,626x10-34J.s; 1eV = 1,602x10-19J; 
s/m10x997,2c 8= 
 
41
 
 
transição de menor energia, que é a que envolve o primeiro estado excitado, n = 2, e 
o estado fundamental, n = 1. 
(a) A energia do fóton é a diferença entre as energias dos estados inicial e final do 
elétron: 
eV2,106,1340,3
1
eV6,13
2
eV6,13EEEEE 2212FI =+−=
−
−
−
=−=−= 
(b) O comprimento de onda é dado por: 
nm6,121
eV2,10
nm.eV1240
EE
hc
12
==
−
=λ 
Observação: Este fóton está na região do ultravioleta, fora portanto do espectro 
visível. Como as outras linhas da série de Lyman têm energias ainda maiores e 
portanto comprimentos de onda ainda menores, toda a série de Lyman está fora do 
espectro visível. 
 
2.5.8 Limitações do modelo de Bohr 
 
 Durante algum tempo o modelo de Bohr foi extremamente atraente, ele 
explicava a enigmática regularidade nos espectros de linha (pela dedução do valor 
numérico de R que concordava com o valor medido por espectroscopia, dentro dos 
limites de precisão das constantes conhecidas).Bohr desenvolveu um modelo do 
átomo de hidrogênio que explicava porque as freqüências emitidas obedeciam a 
uma lei tão simples (série de Balmer) baseado nos seus postulados. Os níveis de 
energia quantizados para os elétrons, podiam ser calculados (n = 1, 2, 3, ...). O 
número de elétrons em qualquer nível sendo limitados por 2n2, assim n = 1 contendo 
no máximo 2 elétrons, n = 2, 8 elétrons, n = 3, 16 elétrons e assim sucessivamente. 
 Apesar do sucesso espetacular, o modelo de Bohr do átomo foi abandonado 
12 anos depois por apresentar muitas imperfeições. Não havia nenhuma justificativa 
para os postulados das camadas estacionárias e da quantização do momento 
angular, a não ser a de que esses postulados levavam a níveis de energia que 
estavam de acordo com os resultados experimentais. Além disso, os níveis de 
energia em si não explicavam a regularidade da tabela periódica embora tivessem 
sido introduzidas diversas conexões, o modelo era incapaz de explicar os detalhes 
dos espectros de átomos multieletrônicos e as ligações químicas. 
 A teoria de Bohr estava incorreta, mas trouxe importante contribuição a 
compreensão da estrutura atômica, dando embasamento para a atual teoria 
quântica, sendo a primeira tentativa de descrever os elétrons em átomos em termos 
de posição (órbita) e energia (níveis). 
 
 
 
 
 
2.6 A mecânica quântica 
 
2.6.1 Insucesso da mecânica clássica 
 
 Até então, havia dois pontos mal explicados pela física teórica. Um deles era 
o conflito entre o modelo ondulatório e corpuscular da luz e o outro era o fato do 
conceito da quantização de energia ter recebido um papel inexpressivo diante da 
 
42
 
 
mecânica newtoniana. Por isso, era inevitável o desenvolvimento de uma nova 
teoria uma vez que a mecânica clássica é falha para pequenas partículas e hoje se 
sabe que esta é um caso particular (para objetos macroscópicos) da mecânica 
quântica e não o contrário. 
 Deve-se levar em conta que a radiação eletromagnética não é puramente um 
fenômeno ondulatório e nem uma corrente de partículas e sim que, em certas 
circunstâncias, comporta-se como onda e em outras, como partícula, nesta 
sugestão esta baseada a dualidade onda-particula de de Broglie. 
 
2.6.2 Dualidade onda-partícula e o comprimento de onda de de Broglie 
 
 Sabe-se que a propagação de ondas no espaço é bem diferente da 
propagação de partículas. Ondas curvam-se no espaço perante obstáculos 
(difração) e ondas idênticas interferem superpondo-se e gerando figuras de 
interferência (construtiva ou destrutiva). A propagação das partículas e bem 
diferente, elas deslocam-se seguindo trajetórias bem definidas. Duas partículas que 
se encontram no espaço jamais produzem figuras de interferência. As trocas de 
energia dessas duas entidades são muito diferentes, a energia das ondas se 
espalha no espaço e é continuamente cedida quando as frentes de onda interagem 
com a matéria. As partículas trocam energia em colisões que ocorrem em pontos e 
instantes determinados. Entretanto às vezes não se pode distinguir a propagação de 
uma onda daquela de um feixe de partículas. Quando o comprimento de onda for 
muito pequeno diante do tamanho das aberturas, os efeitos de difração são 
desprezíveis e a onda parece deslocar-se ao longo de trajetórias bem definidas. Os 
máximos e mínimos são tão próximos que se tornam inobserváveis. Analogamente 
quando um conjunto muito numeroso de partículas diminutas, cada qual trocando 
pequenas quantidades de energia, cede energia, o processo não pode ser 
distinguido da troca de energia de uma onda. Por exemplo, não se observam as 
colisões de moléculas de ar com nosso rosto quando sopra o vento. Percebemos, 
porem, as iterações de bilhões de partículas como se fosse uma onda continua. No 
inicio do século XX pensava-se que o som, a luz, ondas de radio e quaisquer outros 
tipos de radiação eletromagnética eram formados por ondas, entretanto elétrons, 
prótons, átomos e outros constituintes da matéria eram partículas. Notáveis 
experiências nos primeiros 30 anos daquele século permitiram verificar que: a luz 
trocava energia em pacotes discretos (os quanta) tal qual fosse um corpúsculo (sem 
troca continua de energia) e que os elétrons experimentavam difração e 
interferência ao propagar-se no espaço tal qual uma onda. 
Em 1924, Louis de Broglie sugeriu que os elétrons (partículas) poderiam ter 
propriedades ondulatórias baseando-se na simetria com a luz, ou seja, uma vez que 
a luz possuía propriedades ondulatórias e corpusculares, talvez a matéria também 
tivesse características de ondas e de partículas. 
A sugestão de de Broglie propõe que se assim como um fóton tem uma 
onda luminosa associada a ele, uma partícula material, por exemplo um elétron, tem 
uma onda associada que governa seu movimento, e uma vez que o universo é 
composto de matéria e radiação, a hipótese de de Broglie é essencialmente um 
estabelecimento da grande simetria da natureza. Segundo esta hipótese, tanto para 
a matéria como para a radiação, a energia total de uma entidade, E, está 
relacionada à freqüência da onda associada, λ, com o seu movimento pela hipótese 
quântica de Planck, 
 
43
 
 
ν=�=ν hE
h
E
 (2.52) 
onde E é a energia do elétron, h é a constante de Planck. Tomando alguma das 
equações de Einstein para descrever o fóton, e rearranjando-as de modo a calcular 
o comprimento de onda propôs para a freqüência e o comprimento de onda da onda 
associada ao elétron: 
Igualando a eq. (2.52) e 2mcE = , tem-se 
pmvhmchmcchmch 22 ==
λ
�=
λ
�=
λ
�=ν 
mv
h
p
h
==λ (2.53) 
e p o seu momento. A eq. (2.53) fundamenta o conceito da dualidade onda-
partícula, de que toda a partícula de matéria em movimento apresenta propriedades 
ondulatórias, uma vez que relacionava propriedades corpusculares (E e p) e 
ondulatórias (ν e λ). 
 As equações de de Broglie eram propostas para qualquer tipo de matéria 
porém, para os corpos macroscópicos, os comprimentos de onda são tão pequenos 
que se torna impossível observar propriedades como a interferência e a difração 
características de uma onda. Não há relevância em considerar a natureza 
ondulatória de partículas macroscópicas como bolas de bilhar e edifícios, pois suas 
propriedades corpusculares são predominantes e suficientes para prever seu 
comportamento. 
 Devemos lembrar que os aspectos de partícula são enfatizados quando 
estudamos emissão ou absorção, enquanto que os aspectos ondulatórios são 
enfatizados quando se estuda o movimento a través de um sistema (uma bola como 
um elétron). Mas é impossível observar ambos comportamentos simultaneamente. 
Até 1927, não havia evidência experimental que comprovasse a teoria de de Broglie 
(sendo uma hipótese inteiramente especulativa). Foi neste ano que, acidentalmente, 
C. J. Davisson e L. H. Germer observaram a difração dos elétrons quando 
estudavam o espalhamento destes por um alvo de níquel. Existe um grande número 
de experimentos cujos resultados somente podem ser explicados se as entidades 
que normalmente descrevemos como partículas se comportarem como ondas. 
Experiências em anos recentes demonstraram que a hipótese de de Broglie 
sobre a natureza dual dos elétrons estava correta, identificando a difração e a 
interferência das ondas associadas a eles. O aparecimento de um padrão de 
difração ou de interferência da radiação eletromagnética é uma característica do 
comportamento ondulatório desta. Portanto, padrões similares evidenciam 
diretamente o comportamento ondulatório de partículas. Na fig. 2.22, quando um 
feixe de elétrons acelerados passa por uma fenda dupla, estes produzem um 
padrão de interferência visível ao atingir uma tela fluorescente, que pode ser 
fotografada. Se os elétrons não apresentassem movimento ondulatório, 
observaríamos regiões iluminadas apenas na frente das duas fendas.44
 
 
 
Figura 2.22 - Esquema para produzir interferência de fenda dupla com elétrons e o 
padrão resultante da interferência. 
 
Uma abertura circular ao invés de uma fenda dupla produz o padrão de 
difração mostrado na fig. 2.23. Na fig. 2.24, podemos comparar os resultados da 
difração da luz e de um feixe de elétrons numa aresta retilínea. A comparação é 
uma evidência de que elétrons apresentam comportamento ondulatório, assim como 
a luz (radiação eletromagnética visível ao olho humano). O mesmo comportamento 
é verificado para nêutrons e átomos de hélio. Mas como uma partícula pode produzir 
padrão de interferência? A resposta pode ser baseada na idéia de que uma única 
frente de onda ao passar através das fendas se divida e depois se recombina sobre 
a tela. 
 
 
Figura 2.23 - Padrão de difração de elétrons utilizando uma abertura circular de 30 
µm de diâmetro e elétrons de 100 keV. 
 
 
45
 
 
 
Figura 2.24 - Difração (a) da luz e (b) de elétrons numa aresta retilínea. 
 
 Como já foi mencionado, essas experiências só foram realizadas 
recentemente, quando os equipamentos disponíveis apresentavam a precisão 
necessária, e portanto, a hipótese de de Broglie foi formulada baseada em 
argumentos indiretos, fundamentados na simetria da natureza. A matéria e a 
radiação tinham em comum o fato de ambas serem formas de energia (uma poderia 
ser transformada na outra) e de serem governadas pela simetria espaço-tempo da 
teoria da relatividade de Einstein. Uma vez confirmada, relação de de Broglie nos 
fornece um meio de calcular o comprimento de onda associado ao comportamento 
ondulatório da matéria. 
 Em resumo: a luz que ordinariamente imaginamos como onda tem 
propriedades corpusculares – efeito fotoelétrico e espalhamento Compton, os 
elétrons comumente considerados partículas sofrem difração e interferência. Assim 
todos os portadores de momento e Energia (e-, átomos, luz, som) tem ambas as 
características propagam-se como ondas e trocam energia como partículas. Estas 
afirmações permitem distinguir um o comportamento clássico e quântico: 
• Partícula clássica: comportasse como bolinha de chumbo, pode ser localizada no 
espaço, sofre desvios por colisões, troca E num instante t, nas colisões obedece 
as leis de conservação de E e quantidade de movimento. Não exibe interferência 
nem difração. 
• Onda clássica: comportasse como onda na água, exibe interferência e difração, 
tem energia distribuída continuamente no tempo e espaço. Nenhuma entidade 
clássica pode ser ao mesmo tempo partícula ou onda. 
 
2.6.3 Ondas, pacotes de onda e partículas 
 
 Conforme acabamos de ver, é muito forte a evidência de que a matéria tem 
caráter ondulatório. Ainda assim, a evidência do caráter corpuscular da matéria é 
tão forte quanto a anterior. A diferença básica entre estes dois pontos de vista é que 
a posição de uma partícula pode ser localizada tanto no espaço quanto no tempo, 
mas uma onda não pode, pois está distribuída ao longo destas duas dimensões. 
 
46
 
 
Vamos tentar conciliar essas duas abordagens vendo se é possível agrupar um 
conjunto de ondas de tal maneira que, ao final, tenhamos alguma coisa que se 
assemelhe a uma partícula. Tudo o que dissermos será válido para todos os tipos 
de onda, sejam ondas mecânicas, ondas eletromagnéticas ou ondas de de Broglie. 
Discutiremos a seguir a localização de uma onda no espaço e no tempo. 
 
2.6.3.1 Localização de uma onda no espaço 
 
A fig. 25a é um “instantâneo” de uma onda, obtido num instante de tempo 
arbitrário, digamos t = 0. A onda se estende desde x = -∞ até x = +∞ e possui bem 
definidos um comprimento de onda λ0 e um número de onda k0 (=2pi/λ0), como 
mostra a fig. 25b. Entretanto, não há nada nesta onda que possa sugerir a 
localização no espaço que associamos à palavra “partícula”. Ou seja, se a onda da 
fig. 28a representa uma partícula, a incertezas ∆x da sua posição ao longo do eixo x 
é infinita: ela poderia estar em qualquer lugar sobre o eixo x. 
 
 
 
Figura 2.25 - (a) Uma onda harmônica observada em t = 0 e (b) a distribuição dos 
números de onda, mostrada na forma de um gráfico da amplitude de um harmônico 
em função do seu número de onda (todas as ondas com k ≠ k0 têm amplitude igual a 
zero). 
 
É possível criar quase qualquer forma de onda que desejarmos fazendo um 
somatório de ondas senoidais com números de onda, amplitudes e fases 
adequadamente escolhidos. A fig. 26a mostra um pacote de onda que pode ser 
construído desta forma. A soma deste conjunto infinito de ondas forma uma onda 
senoidal localizada numa certa região de largura ∆x e, devido à interferência 
destrutiva, é zero em todos os outros pontos. Temos agora uma localização no 
espaço, medida por ∆x, o comprimento do pacote. O preço que pagamos é o 
sacrifício da “pureza” da onda original, pois agora o nosso pacote não contém mais 
um único número de onda k0, mas sim uma distribuição de números de onda 
centrados em torno de k0 (fig. 26b). 
 
 
 
47
 
 
 
Figura 2.26 - (a) Um pacote de onda de comprimento ∆x, observado em t = 0 e (b) 
as amplitudes relativas dos vários harmônicos que se combinam para formar o 
pacote (o pico central tem largura ∆k). 
 
Seja ∆k na fig. 25b uma medida aproximada do espalhamento dos números 
de onda que formam o pacote da fig. 25a. É razoável supor que, quanto mais bem 
definido (isto é, mais semelhante a uma partícula) quisermos que seja o pacote de 
onda, mais larga a faixa de números de onda que precisaremos usar para construí-
lo. Na fig. 24a, por exemplo, o “pacote” não estava de forma alguma definido (∆x → 
∞), mas por outro lado precisávamos combinar apenas de um único número de onda 
para “construí-lo” (∆k = 0). No outro extremo, poderíamos construir um pacote 
extremamente bem definido (∆x → 0), mas para isso precisaríamos de onda (∆k → 
∞). Em geral, à medida que ∆x diminui, ∆k aumenta, e vice-versa. A relação entre 
estas grandezas é muito simples, 
1xk ≈∆⋅∆ . (2.54) 
O símbolo ≈, que aparece na eq. (2.54), deve ser interpretado como “é da ordem 
de”, já que, não definimos ∆x ou ∆k de forma muito precisa. 
 
2.6.3.2 Localizando uma onda no tempo 
 
Uma partícula está localizada no tempo, assim como no espaço. Se 
substituíssemos a variável espacial x na fig. 24a pela variável temporal t (e o 
comprimento de onda λ0 pelo período T0), aquela figura mostraria, então, como a 
nossa onda iria variar no tempo ao passar por um determinado ponto fixo, digamos x 
= 0. Como no caso anterior, nada nesta onda sugere a localização no tempo que 
associamos à palavra “partícula”, porque uma partícula passaria pelo nosso ponto 
de observação num instante de tempo determinado, em vez de se estender por um 
intervalo de tempo infinito. 
Podemos construir um pacote de onda no tempo, assim como no espaço. A 
fig. 25a pode ilustrar este fato, desde que se substituam as variáveis espaciais pelas 
 
48
 
 
variáveis temporais correspondentes, como fizemos anteriormente, e também 
substituíamos o número de onda k0 pela frequência angular ω0. Por analogia com a 
eq. (2.54), a duração t do nosso novo pacote de onda está relacionada com o 
espalhamento ∆ω das frequências angulares necessárias para a construção do 
pacote através da equação 
1t ≈∆⋅ω∆ . (2.55) 
 Esta equação tem muitas aplicações práticas. Por exemplo, a maior parte da 
informação na sociedade moderna, incluindo comunicação telefônica, radar e 
armazenamento de dados em computador, é enviada de um ponto a outro sob a 
forma de pulsos. Os amplificadores eletrônicos através dos quais passam esses 
pulsos devem ser sensíveis a toda a faixa de frequências incluídas nos pulsos que 
eles foram projetados para receber. 
 
2.6.4 O princípio da incerteza de Heisenberg 
 
 Em um teorema famoso denominado “principio da incertezade Heisenberg”, 
O físico alemão Werner Heisenberg, em 1927, demonstrou matematicamente que 
existe uma limitação rígida e natural em nossa capacidade de descrever o 
movimento de partículas muito pequenas. Para partículas macroscópicas, as 
grandezas posição e velocidade podem ser facilmente mensuradas, mas o mesmo 
não acontece para partículas subatômicas. O princípio da incerteza preconiza que 
“não é possível determinar, simultaneamente, a posição e o momento∗ de uma 
partícula subatômica com precisão ilimitada”. Isso ocorre porque para fazer a 
medição da posição de um elétron é necessário interagir o mesmo utilizando outra 
partícula como um fóton, por exemplo, (ou uma força elétrica ou magnética) a qual, 
ao colidir com o elétron, irá alterar seu estado inicial e assim impossibilitar a 
medição precisa do seu momento para aquele estado. 
 
2.6.4.1 A relação de incerteza de Heisenberg 
 
 A eq. (2.54) se aplica a todas as espécies de ondas. Vamos então aplica-la 
às ondas de de Broglie. Escrevamos, para a grandeza ∆k que aparece naquela 
equação, 
x
x p
h
2
h
p22k ∆pi=��
�
�
��
�
� pi∆=�
�
�
�
�
�
λ
pi∆=∆ (2.56) 
onde identificamos λ com o comprimento de onda de de Broglie para a partícula e o 
substituímos por 
xp
h
. O subscrito que a parece no momento linear nos recorda que 
estamos lidando apenas com o movimento ao longo do eixo x. Substituindo este 
resultado na eq. (2.54), temos 
1xp
h
2
xk x ≈∆⋅∆
pi
=∆⋅∆ (2.57) 
ou 
pi
≈∆⋅∆
2
h
xp x . (2.58) 
 
∗
 Como é possível notar na eq. (2.57), momento (p), ou quantidade de movimento, é o produto da 
massa (m) com a velocidade (v). 
 
49
 
 
 Segundo esta expressão o produto dos erros cometidos na medida é sempre 
maior ou igual a h/2pi, você deve observar que novamente h, distingue o resultado 
quântico do clássico, se h=0 não haveria limitação nas medidas e estaríamos 
perante um caso clássico. 
Levando-se em conta o fato de que o momento linear é um vetor, podemos 
generalizar a relação (2.58) para 
pi
≈∆⋅∆
2
h
xp x , (2.59a) 
pi
≈∆⋅∆
2
hyp y , (2.59b) 
pi
≈∆⋅∆
2
h
zp z . (2.59c) 
 As eq. (2.59) são as relações de incerteza de Heisenberg, obtidas pela 
primeira vez por Werner Heisenberg, em 1927. Elas podem ser consideradas como 
a formulação matemática do princípio da incerteza de Heisenberg. Segundo essas 
expressões, as trajetórias muito bem definida do modelo de Bohr não tem nenhum 
significado uma vez que jamais poderão ser demonstradas experimentalmente. 
O objetivo da mecânica quântica é representar uma partícula por meio de um 
pacote de onda cuja amplitude seja grande na posição em que a partícula é mais 
provável de ser encontrada, e seja pequena em todo o resto do espaço. A largura ∆x 
do pacote de onda indica alguma coisa acerca da provável localização da partícula. 
Entretanto, como vimos, a construção de um pacote de onda como este requer a 
superposição de ondas com uma faixa ∆k de números de onda ou, 
equivalentemente, uma faixa ∆px de momentos lineares. Portanto, um outro modo 
de enunciar o princípio da incerteza é: uma partícula pode ser descrita por um 
pacote de onda em que tanto a posição quanto o momento linear variem dentro de 
faixas arbitrariamente pequenas. À medida que você faz a faixa de variação de um 
deles menor, a faixa do outro se torna maior, como mostram as eq. (2.59). 
Muito embora uma medida individual do momento de uma partícula possa 
fornecer um valor arbitrariamente preciso, este valor pode estar em qualquer ponto 
da faixa ∆px em torno do valor “verdadeiro” px. (Na verdade, a mecânica quântica 
nos diz que não podemos determinar o “verdadeiro” valor de px, porque haverá 
sempre uma incerteza ∆px.) Se repetirmos a medição um grande número de vezes 
em sistemas identicamente preparados, nossos resultados se aglomerarão em torno 
px de com uma distribuição estatística caracterizada pela largura ∆px. 
Estas limitações não têm nada a ver com os problemas práticos dos 
processos de medida. De fato, as eq. (2.59) supõem instrumentos ideais. Na prática, 
seu resultado será sempre pior. Às vezes, essas relações são escritas com um 
símbolo ”≥” no lugar do símbolo “≈”, para nos lembrar desse fato. 
Quando usamos a palavra “partícula” para descrever objetos como os 
elétrons, surge na nossa mente a imagem de um pontinho movendo-se numa 
trajetória, sendo sua posição e velocidade bem definidas em todos os instantes. 
Este modo de pensar é uma extensão natural de experiências familiares com 
objetos como bolas de beisebol e pedrinhas, que podemos ver e tocar. Não 
obstante, precisamos aceitar o fato de que esta imagem simplesmente não se 
verifica experimentalmente além dos limites estabelecidos pelo principio da 
incerteza. O universo quântico é um mundo situado além da nossa experiência 
direta, e precisamos estar preparados para novas maneiras de pensar. 
 
 
50
 
 
2.6.4.2 A relação de incerteza energia-tempo 
 
Por analogia com a equação de Einstein para o fóton (E = hν), a incerteza na 
frequência de uma onda material está relacionada com a incerteza na energia E da 
partícula correspondente por meio da expressão 
h
E∆
=ν∆ . Substituindo esta relação 
na eq. (2.55), obtemos, com ∆ω = 2pi∆ν, 
pi
≈∆⋅∆
2
htE (2.60) 
que é a relação matemática do princípio da incerteza expressa em termos de 
parâmetros diferentes. Em palavras, ela diz: “não é possível determinar ao mesmo 
tempo a energia e a coordenada temporal de uma partícula, com precisão ilimitada”. 
 Todas as medidas de energia carregam uma incerteza intrínseca, a menos 
que você disponha de um tempo infinito para a realização da medida. Num átomo, 
por exemplo, o estado de energia mais baixa (estado fundamental) possui uma 
energia bem definida porque o átomo normalmente existe indefinidamente naquele 
estado. As energias de todos os estados de energia mais alta (estados excitados) 
são definidas com menor precisão porque o átomo (mais cedo ou mais tarde) irá 
decair espontaneamente para um estado de menor energia. Em geral, você dispõe 
apenas de um certo tempo ∆t, de modo que a sua medida da energia terá uma 
incerteza ∆E dada por 
t
)2/h(
∆
pi
. 
Deve-se então abandonar o conceito do elétron percorrendo uma órbita 
definida (modelo de Bohr) na qual se conhece ∆p e ∆x, e substituí-lo pela idéia da 
probabilidade de se localizar um elétron em uma determinada posição, ou num 
volume ou região do espaço. 
Estava claro para os físicos teóricos do inicio da década de 20 (1920) que era 
necessário desenvolver uma nova mecânica uma vez que as tentativas de impor as 
condições da quantização nas equações de Newton não tinham sido bem 
sucedidas. Esta iria se denominar mecânica quântica, ou mecânica das ondas, as 
ondas deveriam preencher o espaço em torno das partículas e suas propriedades 
deveriam ser descritas por uma função de onda. As equações fundamentais da 
Mecânica Quântica foram apresentadas entre 1925-1926. No principio haviam dos 
conjuntos de equações independentes, as equações desenvolvidas por Heisenberg 
em 1925 estavam baseadas na álgebra de Matrizes e as equações de Schrodinger, 
se valiam de equações diferenciais de segunda ordem, cedo ficou claro que ambos 
conjuntos de equações eram soluções matemáticas de uma mesma equação 
chamada função de onda. 
 
2.6.5 A função de onda 
 
A esta altura você já deve estar se sentindo à vontade com o fato de que uma 
partícula em movimento pode ser vista como uma onda, e já deve saber como medir 
o seu comprimento de onda. Mas uma pergunta permanece: “Qual é a grandeza 
cuja variação no tempo e no espaço produz esta onda?” Em palavras simples: “O 
que é que está ondulando?” 
Quando lidamos com uma corda, podemosrepresentar a perturbação 
ondulatória pelo deslocamento transversal y. para ondas sonoras, utilizamos a 
pressão superficial ∆p e para ondas eletromagnéticas, o campo elétrico E. Para 
 
51
 
 
ondas que representam partículas, introduzimos a função de onda Ψ. O problema a 
ser resolvido pode ser o de um próton movendo-se ao longo do eixo de um tubo 
onde se fez vácuo num acelerador de partículas, um elétron de condução movendo-
se através de um fio de cobre, ou um elétron orbitando em torno do núcleo de um 
átomo de hidrogênio. Seja qual for o caso, se conhecemos a função de onda Ψ 
(x,y,z,t) em todos os pontos do espaço e em todos os instantes de tempo, 
saberemos tudo o que se pode saber sobre o comportamento da partícula. 
Antes de nos aprofundarmos no significado físico da função de onda, vamos 
analisar um problema que envolve a radiação em vez da matéria: uma onda 
eletromagnética plana que se propaga pelo espaço vazio. Podemos pensar nesta 
onda (seguindo o raciocínio de Maxwell) como uma distribuição de campos elétricos 
e magnéticos que varia no espaço e no tempo ou (seguindo Einstein) como um feixe 
de fótons, cada um movendo-se com a velocidade da luz. Na primeira descrição, a 
taxa por unidade de área com que a energia é transportada pela onda é 
proporcional a E2, onde E é a amplitude do vetor campo elétrico. Na segunda 
descrição, esta taxa é proporcional ao número médio de fótons por unidade de 
volume do feixe, sendo que cada fóton possui uma energia hν. Vemos aqui uma 
conexão entre as descrições corpuscular e ondulatória da radiação, isto é, a noção 
(proposta pela primeira vez por Einstein) de que o quadrado da intensidade do 
campo elétrico fornece uma medida direta da densidade média dos fótons. 
Max Born propôs que a função de onda Ψ para um feixe de partículas fosse 
interpretada desta mesma forma, isto é, que o seu quadrado seja uma medida direta 
da densidade média das partículas do feixe. Em muitos problemas, entretanto, tais 
como a estrutura do átomo de hidrogênio, há apenas um elétron presente. Qual é 
então o sentido de falarmos na “densidade média das partículas”? Born propôs que, 
nestes casos, deveríamos interpretar o quadrado da função de onda em qualquer 
ponto como sendo a probabilidade (por unidade de volume) de que a partícula 
esteja naquele ponto.∗ Especificamente, se dV for um elemento de volume 
localizado num ponto de coordenadas (x, y, z) então a probabilidade de que a 
partícula seja encontrada naquele elemento de volume num instante de tempo t é 
proporcional a Ψ2dV. Talvez por analogia com a densidade de massa comum 
(massa por unidade de volume) denominamos o quadrado do módulo da função de 
onda uma densidade de probabilidade, isto é, uma probabilidade por unidade de 
volume. 
 Observe que a relação entre a função de onda e sua partícula associada é 
estatística, envolvendo apenas a probabilidade de que a partícula se encontre 
dentro de um elemento de volume determinado. Na física clássica, também lidamos 
com partículas em bases estatísticas, mas nesses casos os métodos estatísticos 
são apenas uma forma prática de tratar um grande número de partículas. Na 
mecânica quântica, entretanto, a natureza estatística é intrínseca e ditada pelo 
princípio da incerteza que, como vimos, estabelece limitações sobre o significado 
que podemos atribuir à palavra “partícula”. 
 A probabilidade de que a nossa partícula esteja em algum lugar dever ser 
igual à unidade (correspondente a 100% de chance de encontra-la) de modo que 
temos 
 
∗
 A função de onda Ψ é geralmente uma quantidade complexa; isto é, ela envolve a 1− , que é 
representada pelo símbolo i. O símbolo Ψ2 (escrito de forma mais apropriada como |Ψ|2) significa o 
quadrado do valor absoluto da função de onda. Esta quantidade é sempre real. Somente o quadrado 
da função de onda possui interpretação física, e não a própria função. 
 
52
 
 
	 =Ψ 1dV
2
 (2.61) (condição de normalização) 
sendo a integração estendida a todo o espaço. Normalizar uma função de onda 
significa multiplica-lo por um fator constante, escolhido de modo que a eq. (61) seja 
satisfeita. 
 Por último, temos uma pergunta óbvia: Dado um problema qualquer, como 
sabemos qual é a função de onda? As ondas numa corda e as ondas sonoras são 
governadas pelas leis da mecânica newtoniana. As ondas eletromagnéticas são 
previstas e descritas pelas equações de Maxwell. De onde vêm as funções de 
onda? 
 Em 1926, Erwin Schrödinger, inspirado pelo conceito de de Broglie, pensou 
da seguinte maneira: a ótica geométrica lida com raios e com o movimento da luz 
em linha reta; ela mostrou ser um caso particular de uma ótica ondulatória muito 
mais geral. A mecânica newtoniana também possui “raios” (as trajetórias) e 
movimento em linha reta (das partículas livres). Poderia ser ela um caso particular 
de uma mecânica ondulatória muito mais geral, mas ainda desconhecida? 
Schrödinger construiu uma teoria de notável sucesso baseando-se nesta 
analogia. Sua característica central é uma equação diferencial, conhecida 
atualmente como equação de Schrödinger, que governa a variação da função de 
onda Ψ, no espaço e no tempo, para toda uma extensa gama de problemas. 
 Obtemos soluções para os problemas da mecânica clássica manipulando as 
leis do movimento de Newton; obtemos soluções de os problemas do 
eletromagnetismo manipulando as equações de Maxwell; e, exatamente dentro do 
mesmo espírito, muitas vezes encontramos soluções para os problemas da física 
atômica manipulando a equações de Schrödinger. 
 
2.6.5.1 A equação de Schröndinger 
 
De Broglie sugeriu que as propriedades das partículas podem ser descritas 
por uma onda, 
λ
=
hp . Schrödinger fez a seguinte generalização: qualquer sistema 
quântico pode ser representado por uma equação análoga à das ondas 
estacionárias, chamada função da onda Ψ (letra grega psi). Para uma onda 
estacionária (por exemplo, uma corda vibrante), cuja amplitude em qualquer ponto 
pode ser descrita por uma função f(x), demonstra-se que: 
)x(f4
x
)x(f
2
2
2
2
λ
pi
−=
∂
∂
. (2.62) 
Considerando-se o elétron como uma onda movendo-se em uma direção: 
ψ
λ
pi
−=
∂
ψ∂
2
2
2
2 4
x
. (2.63) 
Para o elétron movendo-se em três dimensões: 
ψ
λ
pi
−=
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
2
2
2
2
2
2
2
2 4
zyx
 (2.64) 
substituindo as diferenciais parciais por ∇ , 
ψ
λ
pi
−=ψ∇ 2
2
2 4
 (2.65) 
substituindo (2.64) nesta equação: 
 
53
 
 
ψpi−=ψ∇ 2
222
2
h
vm4
 (2.66a) 
ou 
0
h
vm4
2
222
2
=ψpi+ψ∇ (2.66b) 
A energia total do sistema é E = EC + EP e 2C mv2
1E = , assim, p2 EEmv2
1
−= e 
( )p2 EEm
2
v −= e introduzindo v2 em (2.66b): 
( ) 0EE
h
m8
p2
2
2
=ψ−pi+ψ∇ . (2.67) 
Esta última expressão é a forma familiar da equação de Schrödinger. 
Diversas funções de onda Ψ1, Ψ2, Ψ3, etc, podem ser obtidas da eq. (2.66a), 
cada uma chamada orbital, correspondendo às energias dos elétrons e às 
distribuições espaciais em torno do núcleo. Para o hidrogênio, o seu elétron ocupará 
o nível energético mais baixo, E1, e a função de onda Ψ1 descreve o correspondente 
orbital. Orbital atômico é a região do espaço ou volume onde há a máxima 
probabilidade de encontrar um elétron (s, p, d e f). Para os outros átomos, existe 
uma série de soluções aceitáveis da eq. (2.66a) e cada orbital pode ser descrito por 
um conjunto de números quânticos. 
As equações matemáticas de Schrödinger forneceram uma descrição 
satisfatória da estrutura atômica em termos de energia, não contrariando o principio 
da incerteza e aceitando as características ondulatórias dos elétrons. Devia ser 
abandonado então o conceito do elétronpercorrendo órbita definida na qual se 
conhece velocidade e posição, o mesmo devia ser substituído pela seguinte 
generalização: qualquer sistema quântico pode ser representado por uma equação 
análoga às equações de onda. 
O modelo atual do átomo consiste na solução da equação de Schrödinger a 
qual fornece os quatro números quânticos característicos para cada elétron os quais 
especificam completamente o orbital (a função de onda). Resumindo, um elétron 
em um átomo fica descrito completamente uma vez que tenham sido especificados 
os quatro números quânticos e levando-se em conta restrições tais como o principio 
de exclusão de Pauli que será estudado a seguir. 
 
2.6.6 A estrutura atômica do modelo atual 
 
 Na figura 2.27 e mostrada um gráfico da distribuição eletrônica segundo o 
modelo de Bohr (a) e o modelo do átomo sugerido pela mecânica quântica (b). 
 
 
 
 
 
54
 
 
 
Figura 2.27 - Distribuição eletrônica segundo o modelo de Bohr (a) e o modelo do 
átomo da mecânica quântica (b). 
 
Bohr, em sua teoria, precisou postular a existência dos números quânticos. Já na 
mecânica quântica, as soluções da equação de Schrödinger resultam em funções 
de quatro números quânticos: 
• número quântico principal n: representa os níveis de energia principais do elétron 
e pode ser imaginado em termos de camadas no espaço nas quais é grande a 
probabilidade de encontrar um elétron com um valor particular de n. Os valores 
de n são inteiros positivos (1, 2, 3, ...) sendo que n = 1 indica a camada mais 
próxima do núcleo. Quanto maior for o valor de n, mais distante do núcleo se 
situa a camada e, por conseguinte, maior é o valor do número quântico principal 
do elétron e mais longe do núcleo se encontra o elétron (em média no tempo). O 
número máximo de elétrons por nível de energia n é igual a 2n2. Para átomos 
monoeletrônicos, indica sua energia por meio da equação: 
222
0
24
hn8
ZmeE
ε
−= , (2.68) 
onde, m e e são a massa e a carga do elétron e Z é o número de prótons do 
núcleo do átomo.
 
• número quântico momento angular orbital, azimutal ou secundário l: define o 
momento angular do elétron. Este número quântico especifica os subníveis de 
energia dentro dos níveis principais de energia e também a subcamada na qual é 
elevada a probabilidade de encontrar o elétron, se esse nível de energia estiver 
ocupado. O número quântico secundário está relacionado com a forma do orbital 
(s, p, d, f). Se o elétron tem momento angular (mvr), terá energia cinética de 
movimento angular, rmv
2
1E 2angular Cmov. = , a qual está limitada pela energia total 
 
55
 
 
do eletro. Portanto, a teoria restringe os valores de l de acordo com n. Os valores 
permitidos de l são números inteiros de 0 a n-1. O número máximo de elétrons 
por subnível é mostrado na tabela 2.3. 
 
Valor de l Subcamada Número máximo de elétrons 
0 s 2 
1 p 6 
2 d 10 
3 f 14 
Tabela 2.3 - Relação l, subcamada e máximo de elétrons por subcamada. 
 
• número quântico orbital magnético ml: fornece informações sobre a orientação 
de um orbital no espaço. Um elétron com momento angular pode ser comparado 
a uma corrente elétrica circulando por uma espira de cobre. Conseqüentemente, 
observa-se um campo magnético devido a esta corrente e, como este 
magnetismo tem sua origem no momento angular l, os valores permitidos de ml 
dependem de l. O termo magnético é relativo ao fato de que os orbitais de uma 
dada subcamada possuem diferentes energias quantizadas na presença de um 
campo magnético. O número de diferentes orientações possíveis de um orbital 
depende do valor de l de cada orbital. Número quântico orbital magnético pode 
assumir valores inteiros no intervalo de –l a +l. Para l = 0 há um só valor possível 
de ml, que é zero. Quando l = 1, há três valores permitidos de ml, -1, 0 e +1. Em 
geral, há 2l + 1 valores permitidos de ml. Em termos da notação s, p, d e f dos 
orbitais, há, no máximo, um orbital s, três orbitais p, cinco orbitais d e sete 
orbitais f para cada subnível de energia s, p, d e f. 
• número quântico magnético de spin do elétron ms: o elétron por si só possui um 
momento angular intrínseco já que uma partícula carregada em rotação 
comporta-se como um pequeno ímã. Este número quântico especifica dois 
possíveis sentidos de rotação do elétron em torno de um eixo próprio, podendo 
assim apresentar dois valores: 
2
1
+ ou 
2
1
− . Note que dois elétrons podem 
ocupar o mesmo orbital, mas se isso acontecer, os seus spins têm que ser 
opostos. 
 
Número quântico Nome Valores 
n principal 1, 2, 3, ... 
l secundário 0, 1 ,2, 3, ... (n-1) 
ml magnético l, ....0, ....-l 
ms spin 2
1
+ e 
2
1
− 
Tabela 2.4 - Números quânticos: intervalos de valores possíveis. 
 A descoberta do spin dos elétrons foi realizada em 1921 pelos físicos 
alemães Stern & Walter Gerlach. Eles observaram que quando um feixe de átomos 
neutros de prata (obtidos pela vaporização do metal) passava entre imãs o feixe se 
separava em dois, isso significava que metades dos atomos de prata atuavam como 
imãs que se orientavam em uma direção e a outra metade em direção oposta, como 
 
56
 
 
mostrado na montagem da fig. 2.28. Dois elétrons no mesmo nível de energia 
apresentam spins opostos e não se atraem como os imãs comuns porque a 
repulsão eletrostática (das cargas iguais) é maior do que a atração magnética. Dito 
par eletrônico não é magnético porque o magnetismo de um spin se cancela com o 
magnetismo do outro. No caso da prata o único elétron 5s não tem companheiro, 
assim seu spin não é cancelado, desta forma a prata é paramagnética. 
 
2.6.7 Os níveis eletrônicos de energia 
 
 A mecânica quântica descreve e deduz um conjunto de níveis de energias 
eletrônicas quantizadas, discretas e específicas que um elétron em um átomo pode 
possuir. Imaginemos uma escada: a energia potencial de um objeto num de seus 
degraus depende da altura em relação ao solo do degrau onde ele se encontra (ver 
fig. 2.28). O objeto só pode assumir os níveis de energia potencial relativos aos 
degraus, não havendo níveis intermediários disponíveis. Além disso, quanto mais 
afastado do chão, maior é a energia potencial associada ao degrau. Os níveis de 
energia funcionam semelhantemente para os elétrons com a diferença de que é a 
energia total do elétron que é quantizada (Ek + Ep) e não apenas sua energia 
potencial. 
 
Figura 2.28 - Analogia aos níveis eletrônicos de energia. 
 
 Um diagrama completo de níveis de energia é mostrado na fig. 2.29, para o 
átomo de sódio usando o modelo da mecânica ondulatória. Pode-se observar que: 
• o menor número quântico é aquele ocupando o mais baixo nível de energia, por 
exemplo, a energia do estado 1s < 2s < 3s; 
• dentro de cada camada, a energia do nível de uma subcamada aumenta com o 
valor de l, por exemplo, a energia do estado 3d > 3p > 3s; 
• há uma superposição de níveis de energia particularmente para os estados d e 
f, por exemplo, a energia do estado 3d > 4s. 
 
 
57
 
 
 
Figura 2.329 - Representação esquemática dos níveis de energia ocupados para 
um átomo de sódio. 
 
2.6.8 Configuração eletrônica 
 
 A configuração eletrônica ou estrutura de um átomo é a representação da 
maneira como os estados são ocupados. Na notação convencional 1s2 representa a 
configuração eletrônica do He. O número 1 representa a camada eletrônica, s a 
subcamada e 2 o número de elétrons. 
 Para entender melhor como se procede a configuração eletrônica, alguns conceitos 
precisam ser bem compreendidos: 
• orbitais: correspondem aos estados individuais (níveis de energia) que podem 
ser ocupados por um elétron em um átomo, que correspondem a regiões do 
espaço com maior probabilidade de se encontrar um elétron. Cada orbital do 
átomo podeabrigar até dois elétrons que são então ditos emparelhados e que, 
obrigatoriamente, possuem spins contrários; 
• spin eletrônico (número quântico ms): é uma propriedade dos elétrons (do inglês: 
girar, rodar). Um elétron pode girar em uma de duas direções possíveis, que são 
contrárias entre si, devido ao seu momento magnético (uma partícula carregada 
em movimento comporta-se como um pequeno ímã). Quando dois elétrons estão 
emparelhados no mesmo orbital, seus spins estão em direções opostas 
(antiparalelos) para que haja uma compensação das forças magnéticas. Quando 
há apenas um elétron num orbital, diz-se que ele está desemparelhado; 
• subcamadas (número quântico l): são os conjuntos nos quais os orbitais em um 
átomo são agrupados, designados por s, p d e f que possuem 1, 3, 5 e 7 orbitais, 
respectivamente. Se cada orbital pode conter até dois elétrons, os valores 
máximos de elétrons por subcamada são 2, 6, 10 e 14; 
• camadas (número quântico n): são os agrupamentos de subcamadas, 
correspondendo assim a conjuntos de níveis de energia. Os elétrons de uma 
mesma camada estão a uma mesma distância média do núcleo atômico. A 
identificação de cada camada pode ser feita por valores inteiros positivos, 1, 2, 3, 
4, ..., correspondentes ao número quântico principal n, onde n = 1 é a camada 
mais próxima do núcleo. Também se utilizam letras (K, L, M, N, ...): K para n = 1, 
L para n = 2, e assim por diante; 
 
58
 
 
• estado fundamental: um átomo encontra-se em seu estado fundamental quando 
está estável, no estado de menor energia possível e portanto, não se encontra 
na forma de íon. Seu número de elétrons é igual ao número de prótons (Z), ou 
seja, não recebeu (ânion) nem cedeu (cátion) elétrons; 
• elétrons de valência: são os elétrons no nível de energia mais externo. O número 
de elétrons de valência de um átomo determina sua reatividade e assim, sendo 
responsável pelas ligações químicas e as propriedades físicas e químicas dos 
sólidos; 
• camada de valência: camada que contém o(s) elétron(s) de valência, sendo esta 
a camada mais externa do átomo. 
 
 
Figura 2.30 - Números quânticos e orbitais. 
 
 A configuração eletrônica da maioria dos elementos pode ser escrita usando 
as três regras seguintes: 
• o procedimento de Aufbau (do alemão: construção): indica a seqüência de 
ocupação dos níveis de energia, assim na estrutura do átomo, os elétrons são 
colocados primeiro nos orbitais atômicos de menor energia, obedecendo a 
ordem dos diagramas das fig. 2.31 e 2.32; 
 
 
59
 
 
Figura 2.31 - Diagrama de Linus Pauling (a seta indica o aumento da energia). 
 
 
Figura 2.32 - Diagrama de Aufbau. 
 
• o princípio de exclusão de Pauli: no máximo dois elétrons podem ocupar o 
mesmo nível de energia (orbital) e eles devem ter spins opostos. O princípio da 
exclusão é consequência da função de onda de dois elétrons idênticos ser anti-
 
60
 
 
simétrica na permuta dos dois elétrons e de uma função de onda anti-simétrica 
(de dois elétrons, que tenham os mesmos números quânticos) ser nula se as 
coordenadas espaciais dos elétrons também forem as mesmas. 
• a regra de Hund: quando elétrons ocupam orbitais de igual energia, cada elétron 
individualmente deve ocupar um orbital até e eles devem conter spins paralelos, 
os próximos elétrons são adicionados em cada orbital com seu spin oposto, em 
resumo, numa mesma subcamada elétrons tendem a permanecer o mais 
desemparelhados possíveis, ou seja, em orbitais separados (e com spins 
paralelos). 
 
2.7 Referências bibliográficas do capítulo 
 
• CALLISTER JR., W. D. Materials science and engineering: an introduction. 4. 
ed. New York: J. Wiley & Sons, 1997. 
• GARRITZ RUIZ, A.; CHAMIZO GUERRERO, J. A. Química. São Paulo: Prentice 
Hall, 2002. 
• HIGGINS, R. A. Propriedades e estruturas dos materiais em engenharia. São 
Paulo: DIFEL, 1982. 
• LEE, J. D. Química inorgânica: um novo texto conciso. 3. ed. São Paulo: E. 
Blucher, 1980. 
• MAHAN, B. H. Química: um curso universitário. São Paulo: E. Blucher, 1995. 
• RUSSELL, J. B. Química geral. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1994. V. 1. 
• SIENKO, M. J.; PLANE, R. A. Química: principios y aplicaciones. México: 
McGraw-Hill, 1990. 
• SCHABERLE, F. A.; SILVA, N. C. da. Introdução à física da radioterapia. 
Disponível na internet. http://fsc.ufsc.br/~canzian/intrort/radiacao.html. 26 fev. 
2003. 
• SMITH, W. F. Princípio de ciência e engenharia de materiais. 3. ed. Lisboa: 
McGraw-Hill, 1998. 
• SEARS, F. W.; ZEMANSKY, M. W.; YOUNG, H. D. Física 4: ondas 
eletromagnéticas, óptica, física atômica. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994. 
• TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros 4: ótica e física moderna. 
3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1995.