LISTA EXERCÍCIOS - CILINDRO MATEMÁTICA

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VESTIBULAR: 2016 
PROFESSOR: WALTER TADEU
MATEMÁTICA II
	
GEOMETRIA ESPACIAL – CILINDROS – QUESTÕES - GABARITO
1. (VUNESP) Num tonel de forma cilíndrica, está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de sua capacidade. Retirando-se 40 litros de seu conteúdo, a altura do nível do vinho baixa de 20%. O número que expressa a capacidade desse tonel, em litros é:
a) 200. b) 300. c) 400. d) 500. e) 800.
Solução. Considerando C a capacidade total e Q a quantidade depositada no tonel, temos:
.
2. (FGV) Um produto é embalado em recipiente com formato de cilindros retos.
- O cilindro A tem altura 20 cm e raio da base 5cm.
- O cilindro B tem altura 10 cm e raio da base de 10cm.
a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos material?
b) O produto embalado no cilindro A é vendido a R$4,00 a unidade, e o do cilindro B a R$7,00 a unidade. 
Para o consumidor, qual a embalagem mais vantajosa?
Solução. Observando as figuras, temos:
a) O material gasto corresponde à área total da embalagem.
.
O cilindro da embalagem A utiliza menos material.
b) A embalagem mais vantajosa é aquela com maior volume e menos gasto. Calculando os volumes, temos:
.
Como o custo por cm3 é menor na embalagem B, essa é a mais vantajosa.
3. (UFSM) Uma alternativa encontrada para a melhoria da circulação em grandes cidades e em rodovias é a construção de túneis. A realização dessas obras envolve muita ciência e tecnologia. 
Um túnel em formato semicircular, destinado ao transporte rodoviário, tem as dimensões conforme a figura a seguir.
Qual é o volume, em 
 no interior desse túnel? 
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 
Solução. O raio do túnel mede 6 m e 400 m representa a altura da forma cilíndrica.
.
4. (UEA) As figuras mostram um cilindro reto 
 de raio da base 
 altura 
 e volume 
 e um cilindro reto 
 de raio da base 
 altura 
 e volume 
 cujas superfícies laterais são retângulos, de áreas 
 e 
Nesse caso, é correto afirmar que 
 e 
 valem, respectivamente, 
a) 
 e 
 b) 
 e 
 c) 
 e 
 d) 
 e 
 e) 
 e 
 
Solução. Utilizando as fórmulas convenientes e estabelecendo as razões, temos:
.
5. (UNICAMP) Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro. 
a) é reduzido em 50%. b) aumenta em 50%. c) permanece o mesmo. d) é reduzido em 25%. 
Solução. Considerando V, r e h respectivamente o volume, o raio e a altura do cilindro original, temos:
.
6. (ESPM) Um cilindro circular reto de raio da base igual a 4 cm contém água até uma certa al​tura. Um objeto é colocado no seu interior, ficando totalmente submerso. Se o nível da água no cilindro subiu 3 cm, podemos afir​mar que o volume desse objeto é de, apro​ximadamente: 
a) 174 cm3 b) 146 cm3 c) 162 cm3 d) 183 cm3 e) 151 cm3 
Solução. O volume de água que subiu é equivalente ao volume do objeto que foi mergulhado:
.
7. (ENEM) Um fabricante de bebidas, numa jogada de marketing, quer lançar no mercado novas embalagens de latas de alumínio para os seus refrigerantes. As atuais latas de 350 mL devem ser substituídas por uma nova embalagem com metade desse volume, conforme mostra a figura:
De acordo com os dados anteriores, qual a relação entre o raio r’ da embalagem de 175 mL e o raio r da embalagem de 350 mL? 
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
Solução. Estabelecendo a razão entre os volumes, temos:
.
8. (UFPR) Um reservatório possui internamente o formato de um cilindro com 3,4 m de diâmetro e 10 m de comprimento, conforme indica a figura.
a) Qual o volume total que esse reservatório comporta? 
Solução. O volume total do reservatório é o volume do cilindro de raio 1,7 cm e altura 10 m.
.
b) Num certo momento, a altura do líquido no interior do reservatório é de 2,5 m, como indica a figura. 
Qual a área da superfície do líquido exposta ao ar dentro do reservatório? 
Solução. Observando a figura, calculamos a dimensão (2x) da superfície pedida. A outra dimensão da superfície vale 10 m.
 
.
9. (ESPM) Dois copos cilíndricos têm o mesmo volume. Seus diâmetros internos medem 6 cm e 8 cm, respectivamente. Se a soma das suas alturas é igual a 24 cm, a diferença entre elas é de: 
a) 5,34 cm b) 8,12 cm c) 5,78 cm d) 7,66 cm e) 6,72 cm
Solução. Considerando h e h’ as alturas, respectivamente, dos cilindros de raios 3 cm e 4 cm, temos:
 
.
10. (UFPR) As duas latas na figura abaixo possuem internamente o formato de cilindros circulares retos, com as alturas e diâmetros da base indicados. Sabendo que ambas as latas têm o mesmo volume, qual o valor aproximado da altura h?
a) 5 cm. b) 6 cm. c) 6,25 cm. d) 7,11 cm. e) 8,43 cm. 
Solução. Igualando os volumes dos cilindros, temos:
.
11. (FATEC) O volume de um cilindro circular reto de raio r é 
do volume de um bloco retangular com base quadrada de lado 10. Se o cilindro e o bloco retangular têm alturas iguais, conclui-se que a medida de r é: 
a) 
. b) 
. c) 
. d) 
. e) 
. 
Solução. Comparando os volumes, temos:
.
12. (UFTM) Um paralelepípedo reto-retângulo, de volume V1, e um cilindro circular reto, de raio R = 0,5 m e volume V2, têm a mesma altura h = 4 m. Se 
, então a medida x da aresta da base do paralelepípedo é igual a: 
a) 
 b) 
 c) 
 
d) 
 e) 
 
Solução. Comparando os volumes, temos:
.
13. (ESPM) Um vidro de perfume tem a forma e as medidas indicadas na figura abaixo e sua embalagem tem a forma de um paralelepípedo cujas dimensões internas são as mínimas necessárias para contê-lo. Pode-se afirmar que o volume da embalagem não ocupado pelo vidro de perfume vale aproximadamente:
a) 142 cm3 
b) 154 cm3 
c) 168 cm3 
d) 176 cm3 
e) 182 cm3 
Solução. Para que o vidro de perfume caiba de forma mínima, as dimensões da caixa devem ser 6cm x 6cm x 13cm. O volume não ocupado será a diferença entre o volume da caixa e o do perfume.
.
14. (ENEM) Em uma praça pública, há uma fonte que é formada por dois cilindros, um de raio r e altura h1, e o outro de raio R e altura h2. O cilindro do meio enche e, após transbordar, começa a encher o outro.
Se R = r
e h2 =
e, para encher o cilindro do meio, foram necessários 30 minutos, então, para se conseguir encher essa fonte e o segundo cilindro, de modo que fique completamente cheio, serão necessários:
a) 20 minutos. b) 30 minutos. c) 40 minutos. 
d) 50 minutos. e) 60 minutos. 
Solução. O volume do cilindro externo é calculado com a base sendo uma coroa circular. 
.
Para encher totalmente a fonte são necessários (30 + 10) = 40 minutos.
15. (ENEM) Em uma padaria, há dois tipos de forma de bolo, formas 1 e 2, como mostra a figura abaixo.
Sejam L o lado da base da forma quadrada, r o raio da base da forma redonda, A1 e A2 as áreas das bases das formas 1 e 2, e V1 e V2 os seus volumes, respectivamente. Se as formas têm a mesma altura h, para que elas comportema mesma quantidade de massa de bolo, qual é a relação entre r e L?
a) L = r b) L = 2r c) L = 
r d) L = 
 e) L =
 
Solução. Calculando e igualando os volumes, temos:
.
16. (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 
 (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será: 
a) o triplo. b) o dobro. c) igual. 
d) a metade. e) a terça parte. 
Solução. Construindo os cilindro do Tipo 1 e do Tipo 2 calculando o raio da base comparando com a largura do retângulo, temos:
; 
.
O custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será o dobro.
17. (UFG) Preparou-se gelatina que foi colocada, ainda em estado líquido, em recipientes, como mostram as figuras a seguir. Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi preparada coube em cinco recipientes cilíndricos e em dois recipientes em forma de paralelepípedo, como representado na figura acima, a quantidade preparada, em litros, foi de: (Use = 3,14) 
a) 1,01 b) 1,19 c) 1,58 
d) 1,64 e) 1,95
Solução. Calculando os volumes em dm3, temos:
.
18. (FATEC) Um cilindro circular reto tem volume igual a 250 cm3. Um plano, paralelo ao eixo desse cilindro, à distância de x cm desse eixo, determina uma seção retangular de área igual a 60 cm2. Se a medida da altura do cilindro é igual ao dobro da medida do raio da base, então x é igual a: 
a) 
 b) 4 
c) 2
 d) 
 
 
e) 
 
Solução. Observando a figura e as medidas indicadas, temos:
.
19. (ITA) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360π cm3, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 54
cm2, então, a área lateral da pirâmide mede, em cm2, 
a) 18
 b) 27
 c) 36
 d) 108
 e) 45
 
Solução. Utilizando as fórmulas convenientes, temos:
.
20. (UERJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura.
lmergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando π igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a: 
a) 10
 b) 10 c) 10
 d) 10
Solução. O aumento da altura (0,25 x 40 = 10 cm) na situação 2 foi provocado pelo volume do cubo inserido no cilindro. Logo o volume de água deslocada é o mesmo deste cubo. Temos:
. 
21. (MACK) Um vazamento, em um navio tanque, provoca o aparecimento de uma mancha de óleo que tem forma circular e espessura constante de 2,5 cm, como na figura. O raio da mancha, t minutos depois do início do vazamento, é dado, em metros, pela relação 
.
Adotando π = 3, o volume, em m3, de óleo vazado, após 4 minutos do início do vazamento, é:
a) 0,014 b) 0,016 c) 0,08 d) 0,02 e) 0,012
Solução. Calculando o raio e o volume, temos:
. 
22. (UFPR) A obtenção de lâminas de madeira para a fabricação de compensados consiste em se colocar uma tora em um torno e cortá-la, ao mesmo tempo em que é girada, com uma faca disposta paralelamente ao eixo da tora. O miolo da tora não é utilizável para a produção de lâminas.
 
Uma tora em forma de cilindro circular reto de 40 cm de diâmetro e 2 m de comprimento será utilizada para obter lâminas de 0,1 cm de espessura e 2 m de largura. Considere que: a parte utilizada da tora seja transformada em lâmina, sem perda de madeira; o miolo não utilizado da tora seja um cilindro circular reto com 10 cm de diâmetro; a lâmina obtida, quando estendida sobre uma superfície plana, seja um paralelepípedo retângulo de 0,1 cm de altura. Nessas condições, calcule:
a) O volume (V), em cm3, da lâmina obtida. 
Solução. O volume da lâmina será a diferença entre o volume da tora e o volume do miolo (não utilizado).
. 
b) O comprimento (L), em cm, da lâmina obtida.
Solução. O volume da lâmina vale o produto das três dimensões do paralelepípedo. 
. 
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