E 001 Solução 2016 04 21

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E 001: Duas pequenas bolas condutoras idênticas, de massa m e carga q , estão 
suspensas por fios não-condutores de comprimento L, como mostra a figura. Suponha 
θ tão pequeno que tan θ possa ser substituída por sen θ com erro desprezível. 
(a) Mostre que, no equilíbrio vale 
 
1/ 322k q L
x
mg
 
=  
 
 
Nesta fórmula x é a distância das bolas, 
9 2 29 10 N m Ck × −≈ é a constante de proporcionalidade 
na lei de Coulomb e 29,81msg −≈ a aceleração da 
gravidade. (b) Sendo 120cmL = , 10gm = , e 
50mmx = , qual é o valor de q? 
Solução: (a) A soma da força peso e da força elétrica tem que apontar 
na direção do fio, pois o fio flexível pode anular somente forças nesta 
direção. Então vale: 
 
2 2/ 2
sen tan
x kq x
L mg
−
= θ ≈ θ = 
 
Resolver para x resulta na fórmula desejada. 
(b) 
 
( )3 23
9 2 2
4 3 2
50 mm 10g 9,81ms
2 2 9 10 N m C 120cm
1,25 10 m 10 kg
x mgq
kL
×
× × ×
× ×
−
−
− −
= = =
=
29,81m s× −
92 9 10 kg× × 2m s−
8
2 2
2,38 10 C
m C 1, 20m
×
×
−
−
=
 
Atenção: A solução 
 
3 4 2
8
9
1, 25 10 10 9,81 2,38 10 C
2 2 9 10 1, 20
x mgq
kL
× × ×
×
× × ×
− −
−
= = = 
está ERRADA, pois q não é um número! 
 
E002: Duas cargas pontuais de valor q estão posicionadas nos pontos P1 e P2, cujas 
coordenadas num sistema de coordenadas cartesianas são 1 1 10, , 0x y a z= = = e 
2 2 20, , 0x y a z= = − = . Uma carga Q está no ponto P cujas coordenadas são 
P P P, 0, 0x L y z= = = , com 0L > . (a) Use a lei de Coulomb para calcular a força que 
atua sobre a carga Q. (b) Calcule esta força supondo agora que 50nCq = , 
200nCQ = , 1cma = e 4cmL = . 
Solução: (a) Vetores posição dos respectivos pontos P1 , P2 e P: 
 1 2ˆ ˆ ˆ, ,r a y r a y r L x= = − =
� � �
 
onde ˆ ˆ,x y e zˆ são os vetores unitários apontando nas direções dos respectivos eixos x,y 
e z. A força que atua sobre a carga no ponto P é: 
x
LL
q q
θ
x
LL
θ
x
y
mgy
kq2x-2x
 2 
 
( ) ( )
( )
2
3 3/ 2 3/ 22 2 2 21
3/ 22 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
2
ˆ
i
i i
r r Lx ay Lx ayF k qQ k q Q
r r L a L a
k q QL
x
L a
=
 
− − + 
= = + = 
− + +  
=
+
∑
� �
�
� �
 
(b) 
 ( ) ( )
9 2 2 8 7
3/ 2 3/ 2 6 32 2
2 9 10 N m C 5 10 C 2 10 C 0,04m 2
ˆ ˆ
16 1 10 m
ˆ0,10 N
k qQLF x x
L a
x
× × × × × ×
×
− − −
−
= =
++
=
�
 
 
 
E 003: Considere um sistema de três cargas: 0q na origem de um sistema cartesiano de 
coordenadas, 1q no ponto 1P com coordenadas 1 1 1, 0, 0x a y z= = = com 0a > , e 
2q no ponto 2P com coordenadas 2 2 20, , 0x y a z= = = . (a) Calcule o campo 
elétrico no ponto P com coordenadas , , 0P P Px a y a z= = = . (b) Calcule o módulo 
deste vetor para o caso de que 0 1 1 Cq q= = µ , 2 2 Cq = − µ e 10cma = . 
Solução: Vetores posição: 
 0 0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ: 0 : , : , : PP r P r a x P r ay P r a x ay= = = = +
� � � �
 
Valor do campo em P: 
 
( ) ( )
( )
( ) ( ){ }
2
3
0
0 1 23/ 2 3 32
3/ 2 3/ 2
0 2 0 12
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2
ˆ ˆ2 2
i P i
P
i P i
q r r
E r k
r r
ax ay ax ay ax ax ay ayk q q q
a aa
k
x q q y q q
a
=
− −
−
=
−
 
+ + − + − 
= + + = 
  
= + + +
∑
� �
�
�
� �
 
(b) 
 
( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ){ }
{ }
3/ 2 3/ 2
0 2 0 12
9 2 2
6 3/ 2 3/ 2
2
5
ˆ ˆ ˆ ˆ2 2
9 10 N m C
ˆ ˆ10 C 2 2 2 1
0,01m
N
ˆ ˆ9 10 1,646 45 1,35355
C
kE a x ay x q q y q q
a
x y
x y
×
×
× ×
− −
−
− − −
+ = + + + =
= − + + =
≈ − +
�
 
Então 
 ( ) 5 Nˆ ˆ 19,18 10
C
E a x ay ×+ =
�
 
 
 
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E 004: Duas cargas positivas pontuais com valor q são colocadas nos pontos P1 e P2, 
cujas posições são dadas pelos vetores posição 1 ˆˆ ˆ0 0 0r i j k= + +� e 2 ˆr Li=� com L > 0 . 
ˆˆ ˆ, ,i j k é uma base ortonormal associada ao espaço físico do referencial do laboratório. 
a) Calcule o campo elétrico em um ponto P genérico (isto é, um ponto qualquer) sobre a 
mediatriz dos pontos P1 e P2 (caso você não saiba o significado de mediatriz, então 
consulte um livro de geometria ou a Wikipídia). 
b) Ao colocarmos uma carga Q sobre o ponto P, qual força ela sentirá? 
c) Vamos agora alterar a distribuição das cargas da seguinte maneira: a carga em P1 é 
mantida no mesmo lugar e a outra carga é levada até o ponto P3 com coordenadas 
0, ,0L ou seja, cujo vetor posição é 3 ˆr Lj=� . Isto significa que os vetores 1r� , 2r� 
sofreram uma rotação de / 2pi no sentido antihorário com eixo de rotação no eixo z. 
Escreva o campo elétrico desta nova configuração de cargas também sobre um ponto 
qualquer da mediatriz do segmento dos pontos P1 e P3. (Observe que não é necessário 
fazer cálculo algum). 
d) Discuta o que ocorre com o campo elétrico quando uma distribuição de cargas é 
girada. 
Solução: 
(a) Os vetores posição 
 1 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ: 0 : , : 2P P P
LP r P r L x P r x y y z z= = = + +� � � 
O campo nos pontos P tem os valores: 
 
( ) ( ) ( )
( )
3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 2
3/ 22 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ/ 2 / 2
/ 4 / 4
ˆ ˆ2 2
/ 4
P P P P
P
P P P P
P P
P P
x L y y z z x L y y z z x LE r kq
z y L z y L
y y z zkq
z y L
 
+ + + + − 
= + = 
+ + + +  
+
=
+ +
�
�
 
 
(b) A força é ( )PQ E r� � . 
(c) O campo gerado pelas cargas 
giradas no ponto girado é o vetor do 
campo no antigo ponto submetido ao 
mesmo giro como mostra a figura. 
Consequentemente temos para um 
ponto P′ na nova mediatriz com 
coordenadas , / 2,P Px L z′ ′ 
 
( ) ( )3/ 22 2 2
ˆ ˆ2 2
, / 2, 0
/ 4
P P
P
P P
x x z zE x L kq
z x L
′ ′
′
′ ′
+
′ =
+ +
�
 
(d) Se o campo gerado por uma configuração de cargas é ( )E r� � , o campo ( )E r′� � 
gerado pela configuração que resulta da original através de um giro R em volta de um 
eixo que passa pela origem é dada por 
 ( ) ( )1E r RE R r−′ =� �� � 
Nesta fórmula R é a transformação linear que atua sobre vetores e descreve o giro. 
P
P
x
y
x
y