Vetores, ângulo entre vetores e produto escalar

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Geometria Analítica – Lista de exercícios 1 
Vetores, ângulo entre vetores e produto escalar 
Profa. Tereza Melo 
 
1. Determine 𝑥 para que se tenha 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗, sendo 𝐴 = (𝑥, 1), 𝐵 = (4, 𝑥 + 3), 𝐶 =
(𝑥, 𝑥 + 2) e 𝐷 = (2𝑥, 𝑥 + 6). 
2. Dados 𝐴 = (2, 𝑦) e 𝐵 = (3, 3) determine 𝑦 para que o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ tenha módulo √5. 
3. Sabendo que o vetor 𝑣 = (2𝑡, 𝑡) tem módulo 2, calcule os possíveis valores de 𝑡. 
4. Calcule o valor de 𝑛 sabendo que o vetor 𝑢 = (𝑛,
2
√5
 ) é unitário. 
5. Dados os vetores 𝑢 = (2, −1) e 𝑣 = (1,3), determine um vetor 𝑤 tal que 
3(𝑢 + 𝑤) − 2(𝑣 − 𝑤) = 0. 
6. Dados os pontos 𝐴 = (2, 3) e 𝐵 = (5,4) determine um ponto 𝐶 tal que 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ seja 
paralelo ao vetor 𝑢 = (2,1 ) e ‖𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗‖. 
7. Encontre um vetor de módulo 5 perpendicular ao vetor (2,-1). 
8. Determine o valor de 𝑥 para que o vetor (2, 𝑥2 − 1) seja ortogonal ao vetor (6, -
4). 
9. Seja 𝑢 = (3, 1). Determine as coordenadas de um vetor 𝑣, de módulo 2, e que faz 
um ângulo de 300 com o vetor 𝑢. 
10. Escreva o vetor (7, -1) como soma de dois vetores, um dos quais é paralelo e o 
outro é perpendicular ao vetor (1,-1). 
11. Sejam 𝑢 e 𝑣 vetores distintos. Mostre que, se 𝑢+𝑣 é perpendicular a 𝑢-𝑣 então 
‖𝑢‖ = ‖𝑣‖. 
12. Sejam 𝑢, 𝑣 e 𝑤 vetores. Mostre que se 𝑢 é ortogonal a 𝑣 e 𝑤, então 𝑢 é ortogonal 
a 𝑣+𝑤. 
13. Considere a base canônica {𝑒1, 𝑒2} de ℝ
2. Dado um vetor 𝑢 qualquer de ℝ2, 
descreva as coordenadas de 𝑢 em relação à base canônica por meio do produto 
interno de 𝑢 com 𝑒1 e com 𝑒2. 
Gabarito 
1. 𝑥 = 2 
2. 𝑦 = 1 ou 𝑦 = 5 
3. 𝑡 = 1 ou 𝑡 = −1 
4. 𝑛 =
√5
5
 ou 𝑛 = −
√5
5
 
5. 𝑤 = (−
4
5
,
9
5
 ) 
6. 𝐶 = (2 + 2√2, 3 + √2) ou 𝐶 = (2 − 2√2, 3 − √2) 
7. √5(1, 2) ou −√5(1, 2). 
8. 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −2 
9. (
3√30+√10
10
, 
√30−3√10
10
) ou (
3√30−√10
10
, 
√30+3√10
10
) 
10. (7, -1)=(3,-3)+(4,4). 
13. 𝑢 = 𝑎1. 𝑒1 + 𝑎2. 𝑒2, 𝑎1 = 𝑢. 𝑒1 e 𝑎2 = 𝑢. 𝑒2