Prévia do material em texto
D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 1 www.pontodosconcursos.com.br Olá pessoal! Dando continuidade ao nosso cronograma, nesta aula veremos uma breve exposição teórica sobre os logaritmos, assunto importantíssimo para resolver diversas questões no regime composto. Em seguida estudaremos profundamente o regime composto e a descrição dos diversos tipos de taxas. Logaritmos Os logaritmos serão de uma utilidade extrema em problemas de juros compostos. Primordialmente naqueles em que teremos que resolver equações exponenciais. Teremos agora uma breve exposição teórica com os principais temas de logaritmos essenciais para as soluções dessas equações. Definição Considere dois números reais e positivos ܽ e ܾ. Por motivos que ficam além dos objetivos deste curso, consideraremos que ܽ ് 1. Denominamos logaritmo ܾ na base ܽ o expoente que se deve dar à base ܽ de modo que a potência obtida seja igual a ܾ. Na simbologia algébrica, temos: log ܾ ൌ ݊ ֞ ܽ ൌ ܾ Nomenclaturas Na expressão log ܾ ൌ ݊: Î ܽ é a base. Î ܾ é o logaritmando ou antilogaritmo. Î ݊ é o logaritmo. Logaritmação Qual o significado da expressão logଷ 9? Em suma, como se calcula o valor de logଷ 9? Devemos raciocinar da seguinte forma: 3 elevado a que número é igual a 9? A resposta é 2. Portanto, logଷ 9 ൌ 2. Ou seja, logଷ 9 ൌ 2 ֞ 3ଶ ൌ 9. Vejamos outro exemplo. Calcular o valor de logହ 125. Devemos raciocinar da seguinte forma: 5 elevado a que número é igual a 125? A resposta é 3. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 2 www.pontodosconcursos.com.br Portanto, logହ 125 ൌ 3. Ou seja, logହ 125 ൌ 3 ֞ 5ଷ ൌ 125. Propriedades decorrentes da definição i) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 0. log 1 ൌ 0 Esse fato é de fácil explicação, visto que qualquer número não-nulo elevado a 0 é igual a 1. Exemplo: Qual o valor de logସ 1? Devemos raciocinar: 4 elevado a que número é igual a 1? A resposta é 0. Portanto, logସ 1 ൌ 0 ֞ 4 ൌ 1. ii) O logaritmo da base em qualquer base é igual a 1. log ܽ ൌ 1 Esse fato também é de fácil explicação, visto que qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo. Portanto, temos que: logହ 5 ൌ 1 logଵ 10 ൌ 1 log ݁ ൌ 1 iii) Dois logaritmos são iguais se e somente se os logaritmandos são iguais. log ݔ ൌ log ݕ ֞ ݔ ൌ ݕ Observe, que já que se trata de um “se e somente se”, podemos utilizar essa propriedade nos dois sentidos. Ou seja: Se os logaritmos são iguais, então os logaritmandos são iguais. Se os dois números são iguais (números positivos), então os logaritmos em qualquer base também são. Utilizaremos bastante este fato na solução de equações exponenciais. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 3 www.pontodosconcursos.com.br Bases especiais Existem dois sistemas de logaritmos que são muito importantes (inclusive em Matemática Financeira), que são: i) Sistema de logaritmos decimais É o sistema de base 10. Utilizaremos a seguinte notação: logଵ ݔ ൌ log ݔ Observe que: logଵ 10 ൌ log 10 ൌ 1. ii) Sistema de logaritmos neperianos ou naturais. É o sistema de base ݁ ൌ 2,71828182 … O número ݁ tem uma infinidade de aplicações na Matemática. Utilizaremos o número ݁ em Matemática Financeira no estudo das Capitalizações Contínuas. Adotaremos a seguinte notação: log ݔ ൌ ݈݊ݔ Observe que: log ݁ ൌ ݈݊݁ ൌ 1 Propriedades operatórias i) Logaritmo do produto O logaritmo do produto de dois ou mais fatores reais e positivos é igual a soma dos logaritmos dos fatores (em qualquer base). logሺݔ · ݕሻ ൌ log ݔ log ݕ Exemplo: Sabemos que: logଶ 8 ൌ 3, ݎݍݑ݁ 2ଷ ൌ 8. logଶ 16 ൌ 4, ݎݍݑ݁ 2ସ ൌ 16. Vamos calcular o logaritmo de 128 ൌ 8 ൈ 16 na base 2. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 4 www.pontodosconcursos.com.br logଶ 128 ൌ logଶሺ8 · 16ሻ ൌ logଶ 8 logଶ 16 ൌ 3 4 ൌ 7 Portanto, logଶ 128 ൌ 7 O que é verdade, já que 2 ൌ 128. ii) Logaritmo do Cociente O logaritmo do cociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor (em qualquer base). log ൬ ݔ ݕ ൰ ൌ log ݔ െ log ݕ Exemplo: Sabemos que: logଷ 9 ൌ 2, ݎݍݑ݁ 3ଶ ൌ 9. logଷ 243 ൌ 5, ݎݍݑ݁ 3ହ ൌ 243. Vamos calcular o logaritmo de 27 ൌ 243/9 na base 3. logଷ 27 ൌ logଷ ൬ 243 9 ൰ ൌ logଷ 243 െ logଷ 9 ൌ 5 െ 2 ൌ 3 Portanto, logଷ 27 ൌ 3 O que é verdade, já que 3ଷ ൌ 27. iii) Logaritmo da potência O logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. log ݔ௬ ൌ ݕ · log ݔ Exemplo: Sabemos que: logଶ 8 ൌ 3, ݎݍݑ݁ 2ଷ ൌ 8. Vamos calcular o logaritmo de 512ൌ 8ଷ na base 2. logଶ 512 ൌ logଶ 8ଷ ൌ 3 · logଶ 8 ൌ 3 · 3 ൌ 9 Portanto, D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 5 www.pontodosconcursos.com.br logଶ 512 ൌ 9 O que é verdade, já que 2ଽ ൌ 512. 01. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos problemas da captação de água de rios é a presença de algas potencialmente tóxicas, responsáveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na água. No entanto, se a quantidade de células (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo organismo, as algas não causam riscos à saúde. O padrão considerado preocupante é a partir de 20 mil células por mililitro. Suponha que a quantidade n de células (algas) por mililitro em função do tempo, em semanas, seja dada pela expressão algébrica n(t) = 20 · 2t. Determine, aproximadamente, o tempo necessário, em semanas, para que entre no padrão “preocupante”. (Considere: log10 2 = 0,3) a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 Resolução O padrão preocupante é de 20 mil células por mililitro (no mínimo). O tempo necessário para que entre no padrão é a raiz da equação 20 · 2௧ ൌ 20.000 2௧ ൌ 1.000 O logaritmo de “auxílio” dado pela questão está na base 10. Podemos, portanto “logaritmar” ambos os membros na base 10. Lembre-se da terceira propriedade dos logaritmos. logଵ 2௧ ൌ logଵ 1.000 logଵ 2௧ ൌ logଵ 10ଷ Lembrando que log ݔ௬ ൌ ݕ · log ݔ, ݐ · logଵ 2 ൌ 3 · logଵ 10 Lembrando também que log ܽ ൌ 1, ݐ · 0,3 ൌ 3 · 1 ݐ ൌ 3 0,3 ൌ 10 Letra C D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 6 www.pontodosconcursos.com.br 02. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Usando os valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor correspondente a log 144. a) 2,22. b) 2,19. c) 2,06. d) 2,14. e) 2,27. Resolução Quando a base não é escrita, por convenção, utiliza-se a base 10. Portanto, os logaritmos escritos no enunciado são todos de base 10. Se queremos calcular log 144 dados log 2 e log 3, o primeiro passo é fatorar 144. Temos então que 144 ൌ 2ସ · 3ଶ log 144 ൌ log ሺ2ସ · 3ଶሻ Sabemos que o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos. logሺ2ସ · 3ଶሻ ൌ log 2ସ log 3ଶ Sabemos também que o logaritmo da potência é o produto do expoente pelo logaritmo da base. log 2ସ log 3ଶ ൌ 4 · ݈݃2 2 · ݈݃3 Portanto, ݈݃144 ൌ 4 · ݈݃2 2 · ݈݃3 ൌ 4 · 0,3 2· 0,47 ൌ 1,2 0,94 ൌ 2,14 Letra D 03. (TCM SP 2006/CETRO) A população de uma cidade aumenta segundo a equação ܰ ൌ 30.000 · ሺ1,01ሻ௧, onde N é o número de habitantes e t é o tempo em anos. O valor de t para que a população dobre em relação a hoje é de a) ୪୭ ଶ ୪୭ ଵ,ଵ D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 7 www.pontodosconcursos.com.br b) log 2 െ ݈݃1,01 c) 2 · ሺ݈݃2ሻ · ሺ݈݃1,01ሻ d) ଶ ୪୭ ଶ ୪୭ ,ଵ e) 50 Resolução Para calcular a população hoje, basta fazer t = 0. ܰ ൌ 30.000 · ሺ1,01ሻ ൌ 30.000 · 1 ൌ 30.000 Portanto, queremos saber quando a população será 60.000. Basta fazer N = 60.000 30.000 · ሺ1,01ሻ௧ ൌ 60.000 O 30.000 que está multiplicando “passa para o segundo membro dividindo”. ሺ1,01ሻ௧ ൌ 2 i) Se dois números são iguais, então os seus logaritmos em qualquer base também são. ሺ1,01ሻ௧ ൌ 2 Logaritmando os dois membros: ݈݃ሺ1,01ሻ௧ ൌ ݈݃2 ݐ · ݈݃1,01 ൌ ݈݃2 ݐ ൌ ݈݃2 log 1,01 Letra A 04. (CEF 2010/CESPE-UnB) A população P de uma comunidade, t anos após determinado ano – considerado ano t = 0 - , pode ser calculada pela fórmula ܲ ൌ ܲ · ݁௧, em que k é uma constante positiva, ܲ é a quantidade de indivíduos na comunidade no ano t = 0 e ݁ é a base do logaritmo neperiano. Nesse caso, considerando 0,63 como valor aproximado para ଶ ଷ e que a população ܲ triplique em 6 anos, então ܲ será duplicada em D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 8 www.pontodosconcursos.com.br a) 3,38 anos. b) 3,48 anos. c) 3,58 anos. d) 3,68 anos. e) 3,78 anos. Resolução Quando a população for triplicada, teremos: P = 3P0. Isto ocorrerá em 6 anos. Logo: 3 · ܲ ൌ ܲ · ݁· Ou seja: ݁ ൌ 3 Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação. ݈݊݁ ൌ ݈݊3 6݇ · ݈݊݁ ൌ ݈݊3 Lembre-se que ݈݊݁ ൌ 1. 6݇ ൌ ݈݊3 ݇ ൌ ݈݊3 6 Quando a população for dobrada, teremos: P = 2P0. Isso ocorrerá em t anos. Logo: 2 · ܲ ൌ ܲ · ݁·௧ ݁௧ ൌ 2 Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação. ݈݊݁௧ ൌ ݈݊2 ݇ݐ · ݈݊݁ ൌ ݈݊2 Lembre-se que ݈݊݁ ൌ 1. ݇ݐ ൌ ݈݊2 ݐ ൌ ݈݊2 ݇ Como sabemos que ݇ ൌ ଷ D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 9 www.pontodosconcursos.com.br ݐ ൌ ݈݊2 ݈݊3 6 ൌ ݈݊2 · 6 ݈݊3 ݐ ൌ 6 · ݈݊2 ݈݊3 ൌ 6 · 0,63 ൌ 3,78 ܽ݊ݏ. Letra E Juros Compostos No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”. Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação. Os juros gerados no primeiro ano são ଶ ଵ · 10.000 ൌ 2.000 e o montante após o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000. Os juros gerados no segundo ano são ଶ ଵ · 12.000 ൌ 2.400 e o montante após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400. Os juros gerados no terceiro ano são ଶ ଵ · 14.400 ൌ 2.880 e o montante após o terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280. Os juros gerados no quarto ano são ଶ ଵ · 17.280 ൌ 3.456 e o montante após o quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736. Os juros gerados no quinto ano são ଶ ଵ · 20.736 ൌ 4.147,20 e o montante após o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. Período de Capitalização O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é chamado de período de capitalização. Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, então os juros são calculados todo mês e imediatamente incorporados ao capital. Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao capital uma vez por trimestre. E assim por diante. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 10 www.pontodosconcursos.com.br Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem na mesma unidade de tempo, deverá ser efetuado um “ajuste prévio” para a mesma unidade antes de efetuarmos qualquer cálculo. Abordaremos este assunto em seções posteriores (taxas de juros). Fórmula do Montante Composto Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a seguinte fórmula básica: ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ M → montante (capital + juros). C → Capital inicial aplicado. i → taxa de juros n → número de períodos. Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 8 meses, então o número de períodos é igual a 4 bimestres. Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros compostos. Se por acaso em alguma questão precisarmos calcular o juro composto, utilizaremos a relação: ܯ ൌ ܬ ܥ ֞ ܬ ൌ ܯ െ ܥ Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta Considere a seguinte situação: João aplicará a quantia de R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% ao mês. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes períodos de capitalização: a) 1 mês b) 15 dias (meio mês) c) 2 meses Resolução a) Capitalização Simples ܯௌ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ · ݊ሻ ܯௌ ൌ 1.000 · ሺ1 0,1 · 1ሻ ൌ 1.100 Capitalização Composta D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 11 www.pontodosconcursos.com.br ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ ܯ ൌ 1.000 · ሺ1 0,1ሻଵ ൌ 1.100 Observe que, para ݊ ൌ 1, o montante simples é igual ao montante composto. b) Capitalização Simples ܯௌ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ · ݊ሻ ܯௌ ൌ 1.000 · ሺ1 0,1 · 0,5ሻ ൌ 1.050 Capitalização Composta ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ ܯ ൌ 1.000 · ሺ1 0,1ሻ,ହ ൌ 1.048,81 Observe que, para ݊ ൌ 0,5, o montante simples é maior do que o montante composto. c) Capitalização Simples ܯௌ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ · ݊ሻ ܯௌ ൌ 1.000 · ሺ1 0,1 · 2ሻ ൌ 1.200 Capitalização Composta ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ ܯ ൌ 1.000 · ሺ1 0,1ሻଶ ൌ 1.210 Observe que, para ݊ ൌ 2, o montante simples é menor do que o montante composto. Em resumo, temos as seguintes relações ݊ ൌ 1 O montante simples é igual ao montante composto. 0 ൏ ݊ ൏ 1 O montante simples é maior do que o montante composto. ݊ 1 O montante simples é menor do que o montante composto. Convenção Linear e Convenção Exponencial Vimos que se o número de períodos for menor do que 1, é mais vantajoso para o credor cobrar juros simples. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 12 www.pontodosconcursos.com.br Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalização composta, o número de períodos for fracionário. Por exemplo, estamos fazendo uma aplicação a juros compostos durante 3 meses e meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses é igual a 3 meses + 0,5 meses. Assim, poderíamos calcular o montante no período fracionário sob o regime simples (para ganhar mais dinheiro obviamente). Em Matemática Financeira, quando o número de períodos é fracionário, podemos calcular o montante de duas maneiras: - Convenção Exponencial - Convenção Linear Um capital de R$ 10.000,00 será aplicado por 3 meses e meio à taxa de 10% ao mês, juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado. - Convenção Exponencial A convençãoexponencial diz que o período, mesmo fracionário, será utilizado no expoente da expressão do montante. Assim, (1 )nM C i= ⋅ + 3,510.000 (1 0,10)M = ⋅ + 3,510.000 1,10M = ⋅ O valor 1,103,5 = 1,395964 deverá ser fornecido pela questão. 10.000 1,395964M = ⋅ 13.959,64M = - Convenção Linear A convenção linear considera juros compostos na parte inteira do período e, sobre o montante assim gerado, aplica juros simples no período fracionário. Podemos resumir a seguinte fórmula para a convenção linear: (1 ) (1 )Int fracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅ Nessa formula “Int” significa a parte inteira do período e nfrac a parte fracionária do período. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 13 www.pontodosconcursos.com.br 310.000 (1 0,10) (1 0,10 0,5)M = ⋅ + ⋅ + ⋅ 310.000 1,10 1,05M = ⋅ ⋅ 13.975,50M = Como era de se esperar, o montante da convenção linear foi maior do que o montante da convenção exponencial. Exercícios Resolvidos 05. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 Resolução ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ ܯ ൌ 20.000 · ሺ1 0,50ሻଶ ൌ 45.000,00 Letra A 06. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00 Resolução ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ ܯ ൌ 20.000 · 1,04ଷ O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 14 www.pontodosconcursos.com.br 1,04 ൈ 1,04 ൌ 1,0816 1,0816 ൈ 1,04 ൌ 1,124864 ؆ 1,1249 ܯ ൌ 20.000 · 1,04ଷ ൌ 20.000 · 1,1249 ൌ 22.498,00 Letra E 07. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses Resolução Aplicação a juros compostos: ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ ܯ ൌ 12.500 · ሺ1 0,08ሻଶ ܯ ൌ 14.580 Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital aplicado 14.580 – 12.500 = 2.080. Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo de aplicação será dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a taxa equivalente mensal é 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao mês. ܬ ൌ ܥ · ݅ · ݊ 2.080 ൌ 10.400 · 0,0125 · ݊ 2.080 ൌ 130 · ݊ ݊ ൌ 16 ݉݁ݏ݁ݏ Letra D 08. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Suponha que uma taxa de juros compostos de 10% ao mês acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. Calcule o valor inicial do investimento e assinale a alternativa que indica a resposta correta. a) $ 2.691,43 b) $ 3.691,43 c) $ 4.691,43 d) $ 5.691,43 D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 15 www.pontodosconcursos.com.br e) $ 6.691,43 Resolução Na capitalização composta o montante é dado por ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ 10.000 ൌ ܥ · ሺ1 0, 10ሻହ 10.000 ൌ ܥ · 1,61051 ܥ ൌ 10.000 1,61051 ൌ 6.209,21 Não há gabarito compatível. 09. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre. Aplicou o restante do capital, também durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte do capital aplicado a juros compostos apresentou o valor de a) R$ 14.400,00. b) R$ 14.560,00. c) R$ 14.580,00. d) R$ 16.000,00. e) R$ 16.400,00. Resolução Digamos que o capital total aplicado seja 2x. Assim, como utilizamos a metade do capital em cada uma das aplicações, então o capital das aplicações será x. 1ª aplicação (Regime Composto) Sabemos que ܯ ൌ ܥ ܬ ֞ ܬ ൌ ܯ െ ܥ No regime composto, a relação entre o montante e o capital é a seguinte. ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ A taxa é de 8% ao semestre e o tempo de aplicação é igual a 1 ano (2 semestres). ܯ ൌ ݔ · 1,08ଶ ܯ ൌ 1,1664 · ݔ Como ܬ ൌ ܯ െ ܥ, D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 16 www.pontodosconcursos.com.br ܬ ൌ 1,1664 · ݔ െ ݔ ܬ ൌ 0,1664 · ݔ 2ª aplicação (Regime Simples) ܬௌ ൌ ܥ · ݅ · ݊ Lembrando que a taxa é trimestral e que um ano é composto por 4 trimestres. ܬௌ ൌ ݔ · 0,04 · 4 ܬௌ ൌ 0,16 · ݔ A soma dos juros compostos com os juros simples é igual a R$ 4.080,00. ܬ ܬௌ ൌ 4.080 0,1664 · ݔ 0,16 · ݔ ൌ 4.080 0,3264 · ݔ ൌ 4.080 ݔ ൌ 12.500 Na aplicação do regime composto tivemos o seguinte montante. ܯ ൌ 1,1664 · ݔ ܯ ൌ 1,1664 · 12.500 ൌ 14.580,00 Letra C 10. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 e) R$ 617,40 Resolução Temos nesta questão duas aplicações: uma no regime de capitalização simples e outra na capitalização composta. É fato que o montante na capitalização simples é dado por (1 )SM C i n= ⋅ + ⋅ D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 17 www.pontodosconcursos.com.br A taxa de juros e o tempo de aplicação do capital já estão na mesma unidade. Podemos aplicar diretamente a fórmula acima. O enunciado informou que a taxa é de 4% ao mês e o tempo é igual a 3 meses. Dessa forma, 500 (1 0,04 3)SM = ⋅ + ⋅ 500 1,12SM = ⋅ 560SM = Esse montante obtido na capitalização simples será o capital da segunda aplicação. Teremos agora uma aplicação em juros compostos com capital inicial igual a R$ 560,00, taxa de juros igual a 5% ao mês durante dois meses. O montante da capitalização composta é dado por (1 )nCM C i= ⋅ + . 2560 (1 0,05)CM = ⋅ + 2560 1,05CM = ⋅ 617, 40CM = Letra E 11. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. (Considere que 1,0312 = 1,425760) a) R$ 25 000,00. b) R$ 39 000,00. c) R$ 31 000,00. d) R$ 48 000,00. e) R$ 50 000,00. Resolução D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 18 www.pontodosconcursos.com.br Chamemos o capital total aplicado de 2C. Assim, metade (C) será aplicada a juros compostos e a outra metade (C) será aplicada a juros simples. Em qualquer um dos dois tipos de regime, o montante sempre é a soma do capital com os juros. M CJ J M C= + ⇒ = − Capitalização Composta Capital aplicado: C Taxa de juros: 3% = 0,03 ao mês Tempo de aplicação: 12 meses Assim, o juro da capitalização composta será dado por: 12(1 )CJ M C C i C= − = ⋅ + − 121,03CJ C C= ⋅ − 1, 425760 1CJ C C= ⋅ − ⋅ 0, 425760CJ C= ⋅ Capitalização Simples Capital aplicado: C Taxa de juros: 3,5% = 0,035 ao mês Tempo de aplicação: 12 meses Assim, o juro da capitalização simples será dado por: SJ C i n= ⋅ ⋅ 0,035 12SJ C= ⋅ ⋅ 0, 42SJ C= ⋅ As duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 19 www.pontodosconcursos.com.br 21.144,02S CJ J+ = 0, 42 0, 425760 21.144,02C C⋅ + ⋅ = 0,84576 21.144,02C⋅ = 21.144,02 0,84576 C = 25.000C = O capital total aplicado é 2 · ܥ. Logo, 2 50.000C⋅ = Letra E 12. (AFRE-MG ESAF 2005) A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses. a) 4%. b) 5%. c) 5,33%. d) 6,5%. e) 7%. Resolução Podemos, para facilitar o raciocínio, admitir o que o capital inicial é igual a R$ 100,00. Para que o capital aumente 80%, os juros serão iguais a R$ 80,00 (80% de 100,00). Então o montante será igual a R$ 180,00. A taxa e o tempo estão na mesma unidade. Apliquemos a fórmula dos juros compostos. (1 )nM C i= ⋅ + 15180 100 (1 )i= ⋅ + 151,80 (1 )i= + Foi fornecida uma tabela na prova para o auxílio de questões como essa. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 20 www.pontodosconcursos.com.br De acordo com essa tabela, a uma taxa de 4% temos 151,04 1,80≅ . Letra E 13. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e da Administração – 2005 – FEPESE) Determine o tempo em meses que um capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado. Informações adicionais: log 3 ؆ 0,48 e log 1,03 ؆ 0,012. Assinale abaixo a única alternativa correta. a) 5 meses b) 10 meses c) 20 meses d) 30 meses e) 40 meses Resolução Já que a taxa de juros é mensal, então diremos que a capitalização também é mensal. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 21 www.pontodosconcursos.com.br Queremos que o capital seja triplicado. Ou seja, o montante será o triplo do capital (M = 3.C) Assim, 3M C= ⋅ . Ora, mas sabemos que na capitalização composta o montante é dado por (1 )nM C i= ⋅ + . Temos então: (1 ) 3nC i C⋅ + = ⋅ (1 0,03) 3n+ = 1,03 3n = log1,03 log 3n = log1,03 log 3n ⋅ = log 3 log1,03 n = 0, 48 0,012 n = 0, 480 0480 480 40 meses. 0,012 0012 12 n = = = = Letra E 14. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 22 www.pontodosconcursos.com.br Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. Resolução O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele em que o montante simples foi maior do que o montante composto). Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o juro simples será maior do que o juro composto. Letra E 15. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que: a) ܽ ൌ log ܾ b) ܽ ൏ ܾ c) ܽ ൌ ܾ d) ܽ ൌ √ܾ e) ܽ ܾ Resolução Vimos que: ݊ ൌ 1 O montante simples é igual ao montante composto. 0 ൏ ݊ ൏ 1 O montante simples é maior do que o montante composto. ݊ 1 O montante simples é menor do que o montante composto. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 23 www.pontodosconcursos.com.br Assim, a fração de período pela convenção linear produz uma renda maior do que a convenção exponencial. Letra E 16. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a a) R$ 25.500,00 b) R$ 24.932,05 c)) R$ 24.805,00 d) R$ 23.780,00 e) R$ 22.755,00 Resolução Nesse problema temos uma taxa de 10% ao ano e o capital será investido durante 2 anos e 3 meses. Devemos adotar a convenção linear, então a parte fracionária do período (3 meses) será utilizada no regime simples. Como o ano tem 12 meses, 3 meses é igual a 1/4 do ano= 0,25 anos. Assim, (1 ) (1 )Int fracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅ 220.000 (1 0,10) (1 0,10 0, 25)M = ⋅ + ⋅ + ⋅ 220.000 1,10 1,025M = ⋅ ⋅ 24.805,00M = Letra C 17. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377,10 Resolução D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 24 www.pontodosconcursos.com.br De acordo com a convenção linear, a parte inteira do período será aplicada a juros compostos enquanto que a parte fracionária será aplicada a juros simples. O período de 10 dias equivale a 1/3 do mês. ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻூே் · ሺ1 ݅ · ݊ሻ ܯ ൌ 300 · ሺ1 0,10ሻଶ · ൬1 0,10 · 1 3 ൰ ܯ ൌ 300 · 1,21 · ൬1 1 30 ൰ ൌ 363 · ൬1 1 30 ൰ ܯ ൌ 363 363 30 ൌ 363 12,1 ൌ 375,10 Letra D 18. (AFRF 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502. a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0% Resolução Assuma, por hipótese, que o capital aplicado é de R$ 100,00. Convenção Exponencial ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ ܯ ൌ 100 · ሺ1 0,40ሻଵ,ହ ൌ 100 · 1,40ଵ,ହ ൌ 100 · 1,656502 ൌ 165,6502 Convenção Linear ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻூே் · ሺ1 ݅ · ݊ሻ ܯ ൌ 100 · ሺ1 0,40ሻଵ · ሺ1 0,40 · 0,5ሻ ܯ ൌ 100 · 1,40 · 1,20 ൌ 168,00 Cálculo da perda percentual ܸ ൌ 168,00 ܸ ൌ 165,6502 D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 25 www.pontodosconcursos.com.br ݅ ൌ ܸ െ ܸ ܸ ൌ 165,6502 െ 168 168 ൌ 2,3498 168 · 100% ൌ 234,98 168 % ؆ 1,398% Letra C 19. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento: I – Juros simples de 2% ao mês. II – Juros compostosde 1% ao mês. III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses. Assinale: a) se todas apresentarem o mesmo retorno. b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno. Resolução I – Juros simples de 2% ao mês durante 6 meses. ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ · ݊ሻ ൌ 10.000 · ሺ1 0,02 · 6ሻ ൌ 11.200 II - Juros compostos de 1% ao mês durante 6 meses. ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ ൌ 10.000 · ሺ1 0,01ሻ ൌ 10.615,20 Portanto, a proposta III é a melhor alternativa de investimento. Letra D Taxas Equivalentes Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. Essa definição de taxas equivalentes aplica-se tanto a juros simples quanto a juros compostos. Só que falar em taxas equivalentes no regime simples é o mesmo que falar em taxas proporcionais. Essa afirmação não é verdadeira quando se trata de juros compostos. Exemplo Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de juros compostos de 10% ao mês? D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 26 www.pontodosconcursos.com.br Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. Se considerarmos o tempo igual a um trimestre (três meses), então teremos a seguinte equação: 3 1(1 ) (1 )m tC i C i⋅ + = ⋅ + 3(1 0,10) 1 ti+ = + 1 1,331ti+ = 0,331ti = 33,1%ti = Portanto, a taxa de 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores ሺ1 ݅ሻ Exemplo Qual é a taxa anual equivalente à taxa de juros compostos de 20% ao trimestre? Já que 1 ano é o mesmo que 4 trimestres, temos a seguinte relação: ሺ1 ݅௨ሻଵ ൌ ሺ1 ݅௧௦௧ሻସ 1 ݅௨ ൌ ሺ1 0,2ሻସ 1 ݅௨ ൌ 2,0736 ݅௨ ൌ 1,0736 ݅௨ ൌ 107,36% ܽ ܽ݊ Taxa Nominal e Taxa Efetiva Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporcionais (no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tipo “24% ao ano com capitalização mensal” significa na realidade “2% ao mês”. A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao mês é chamada de taxa efetiva. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 27 www.pontodosconcursos.com.br No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período a que a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exemplo, uma taxa de 24% ao ano com capitalização mensal é uma taxa nominal porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos juros é realizada mensalmente (ou seja, os juros são calculados uma vez por mês e imediatamente incorporados ao capital). Já quando a taxa é efetiva quando o período a que a taxa se refere coincide como período de capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao mês com capitalização mensal é uma taxa efetiva. São exemplos de taxas nominais: - 30% ao mês com capitalização diária. - 48% ao ano com capitalização bimestral. Uma taxa de juro é dita efetiva se o período a que ela estiver referenciada for coincidente com o período de capitalização. Assim, uma taxa de juros de 20% ao ano com capitalização anual é uma taxa efetiva. Nesse caso, podemos dizer simplesmente “taxa efetiva de 20% ao ano” que estará subentendido “20% ao ano com capitalização anual”. A taxa de juros nominal é a mais comumente encontrada nos contratos financeiros. Contudo, apesar de sua larga utilização, pode conduzir a ilusões sobre o verdadeiro custo financeiro da transação, pois os cálculos não são feitos com taxa nominal !!! Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a mesma deve ser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte fórmula: ܶܽݔܽ ݂݁݁ݐ݅ݒܽ ൌ ܶܽݔܽ ݈ܰ݉݅݊ܽ ܰú݉݁ݎ ݀݁ ݁ݎí݀ݏ ݀݁ ܿܽ݅ݐ݈ܽ݅ݖܽçã ܿ݊ݐ݅݀ݏ ݊ܽ ݐܽݔܽ ݈݊݉݅݊ܽ Vejamos alguns exemplos que mostram a conversão de taxa nominal para taxa efetiva. Exemplo 1: Taxa nominal de 60% ao ano com capitalização bimestral. 1 ano corresponde a 6 bimestres. Assim, a taxa efetiva bimestral será 60% 10% a.b. 6b i = = D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 28 www.pontodosconcursos.com.br Se quisermos calcular a taxa efetiva anual, temos que utilizar o conceito de taxas equivalentes. Portanto, a taxa efetiva anual será calculada da seguinte maneira: 1 6(1 ) (1 )a bi i+ = + 61 (1 0,10)ai+ = + 61,10 1ai = − 0,7715ai = 77,15%ai = Ou seja, se a unidade do período utilizado for ano, a taxa que deverá ser utilizada para efeito de cálculo será 77,15% a.a. (essa é a taxa efetiva) e não 60% (taxa nominal). Já se a unidade utilizada for bimestre, a taxa utilizada para efeito de cálculo será 10% a.b.. Para o cálculo dos juros ou do montante, nunca utilizaremos a taxa nominal diretamente. Devemos utilizar a taxa efetiva implícita na taxa nominal. Taxa Real e Taxa Aparente Imagine que Thiago fez uma aplicação financeira durante 2 anos e obteve um rendimento total de 80%. Mas nesse período de 2 anos houve uma inflação total de 60%. Então, na verdade, o ganho real não foi de 80%, pois se assim fosse, não estaríamos levando em conta a perda causada pela inflação! A taxa de 80% do nosso problema é denominada taxa aparente. A taxa real é aquela que leva em consideração a perda influenciada pela inflação. E como calcular a taxa real nessa situação? Para facilitar o processo mnemônico, utilizaremos as seguintes notações: A → taxa aparente I → inflação no período D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 29 www.pontodosconcursos.com.br R → taxa real É válida a seguinte relação: A I R I R= + + ⋅ No nosso exemplo: A = 80% = 0,8 I = 60% = 0,6 R → taxa real = ? A I R I R= + + ⋅ 0,8 0,6 0,6R R= + + ⋅ 0,8 0,6 1,6 R− = ⋅ 1,6 0, 2R⋅ = 0, 2 2 0,125 1,6 16 R = = = 12,5%R = Podemos concluir, que a taxa real de juros nesse ambiente inflacionário foi de 12,5%. A expressão que fornece a taxa real em função da taxa aparente e da inflação é a seguinte: 1 A IR I −= + No nosso exemplo, 0,8 0,6 0, 2 12,5% 1 1 0,6 1,6 A IR I − −= = = =+ + . D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON LINE MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 30 www.pontodosconcursos.com.br Exercícios Resolvidos 20. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0% Resolução Vamos analisar cada parte do enunciado. “ ... uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente”. Já que um quadrimestre (4 meses) é composto por dois bimestres (2 meses), a taxa efetiva bimestral é dada por 40% 20% a.b. 2b i = = Já que a taxa efetiva bimestral é 20%, para calcular a taxa efetiva semestral devemos utilizar o conceito de taxas equivalentes. Lembrando que um semestre é composto por 3 bimestres. 1 3(1 ) (1 )s bi i+ = + 31 (1 0, 20)si+ = + 1,728 1 0,728si = − = 72,8%si = Letra B21. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. a) 12,3600% b) 12,5508% c) 12,6825% d) 12,6162% e) 12,4864% Resolução D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 31 www.pontodosconcursos.com.br Já que um ano é composto por 12 meses, a taxa efetiva mensal é: ݅ ൌ 12% 12 ൌ 1% ܽ ݉êݏ Devemos fazer a comparação dos fatores ሺ1 ݅ሻ para o cálculo da taxa de juros anual. ሺ1 ݅ሻଵ ൌ ሺ1 ݅ሻଵଶ 1 ݅ ൌ ሺ1 0,01ሻଵଶ Consultando a tabela financeira: 1 ݅ ൌ 1,126825 ݅ ൌ 0,126825 ൌ 12,6825% Letra C 22. (Auditor Fiscal – Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. a) R$ 27.200,00 b) R$ 27.616,11 c) R$ 28.098,56 d) R$ 28.370,38 e) R$ 28.564,92 Resolução Já que um ano é composto por 4 trimestres, a taxa efetiva trimestral é: ݅௧ ൌ 24% 4 ൌ 6% ܽ ݐݎ݅݉݁ݏݐݎ݁ O tempo de aplicação é de 18 meses, mas como a nossa taxa efetiva é trimestral, então usaremos o fato de que 18 meses equivalem a 6 trimestres. ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ ܯ ൌ 20.000 · ሺ1 0,06ሻ ൌ 28.370,38 Letra D 23. (SUSEP 2010/ESAF) No sistema de juros compostos, o Banco X oferece uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalização trimestral. Também no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez, obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre. Sabendo-se que D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 32 www.pontodosconcursos.com.br Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário, foram, respectivamente, iguais a: a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre. b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre. c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre. d) 240 % ao ano e 88 % ao ano. e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre. Resolução Banco X: 80% ao ano com capitalização trimestral (taxa nominal). Logo, a taxa efetiva trimestral é 80% /4 = 20% a.t. O custo efetivo pago por Maria ao longo de um ano (4 trimestres) foi de: ሺ1 ݅ሻଵ ൌ ሺ1 ݅௧ሻସ ݅ ൌ ሺ1 ݅௧ሻସ െ 1 ݅ ൌ ሺ1 0,20ሻସ െ 1 ൌ 1,0736 ൌ 107,36% Banco Y: Já que a taxa efetiva trimestral do banco Y é de 20% a.t., a taxa equivalente semestral será (1+20%)2 – 1 = 0,44 = 44% ao semestre. Como Mário pagará sua dívida ao final de um semestre, seu custo percentual foi de 44%. Letra E 24. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é a) 114,70% b) 107,55% c) 109,90% d) 90,00% e) 119,70% Resolução Lembremos que o quadrimestre é um período de 4 meses e que 1 ano é composto por 3 quadrimestres. ሺ1 ݅ሻଵ ൌ ሺ1 ݅ሻଷ 1 ݅ ൌ ሺ1 0,3ሻଷ D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 33 www.pontodosconcursos.com.br 1 ݅ ൌ 2,197 ݅ ൌ 1,197 ൌ 119,70% Letra E 25. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: a) ሾሺ1,02ሻଵ଼ െ 1ሿ b) ൣሺ18 · √1,36భఴ െ 1൧ c) ൣሺ18 · √1,24భమ െ 1൧ d) ൣሺ3 · √1,24 െ 1൧ e) ൣሺ6 · √1,24య െ 1൧ Resolução O primeiro passo é calcular a taxa efetiva mensal. O problema forneceu a taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Portanto, a taxa efetiva mensal é de 24%/12 = 2%. ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ ܥ ܬ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ ܬ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ െ ܥ ܬ ൌ ܥ · ሾሺ1 ݅ሻ െ 1ሿ ܬ ൌ 25.000 · ሾሺ1 0,02ሻଵ଼ െ 1ሿ ܬ ൌ 25.000 · ሾሺ1,02ሻଵ଼ െ 1ሿ Letra A 26. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um empréstimo pós-fixado foi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa de inflação no período do empréstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de a) 12,00% b) 25,52% c) 16,52% d) 33,20% e) 13,20% Resolução Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 34 www.pontodosconcursos.com.br A → taxa aparente I → inflação no período R → taxa real É válida a seguinte relação: ܣ ൌ ܫ ܴ ܫ · ܴ 0,2320 ൌ 0,10 ܴ 0,10 · ܴ 0,2320 െ 0,10 ൌ 1,10 · ܴ 1,10 · ܴ ൌ 0,1320 ܴ ൌ 0,12 ൌ 12% Letra A 27. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de a) R$ 27.060,00 b) R$ 27.000,00 c) R$ 26.460,00 d) R$ 26.400,00 e) R$ 25.800,00 Resolução Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: A → taxa aparente I → inflação no período R → taxa real É válida a seguinte relação: ܣ ൌ ܫ ܴ ܫ · ܴ ൌ , , , · , ൌ , ૠ ൌ , ૠ% Então o montante resgatado pelo investidor é dado por ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻଵ ൌ 24.000 · ሺ1 0,1275ሻଵ ൌ 27.060,00 D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 35 www.pontodosconcursos.com.br Letra A 28. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um período em que a inflação foi de 20%, equivale a uma rentabilidade real de: a) 20% b) 44% c) 50% d) 55% e) 60% Resolução Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: A → taxa aparente I → inflação no período R → taxa real É válida a seguinte relação: ܣ ൌ ܫ ܴ ܫ · ܴ 0,80 ൌ 0,20 ܴ 0,20 · ܴ 0,60 ൌ 1,20 · ܴ ܴ ൌ 0,60 1,20 ൌ 0,50 ൌ 50% Letra C 29. (BNB 2004 ACEP) A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um período de 2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. Se a rentabilidade real no período foi de 100%, qual a inflação medida no mesmo período? a) 100% ao período b) 200% ao período c) 300% ao período d) 400% ao período e) 500% ao período Resolução O problema já nos deu diretamente o valor de R (taxa real): 100% = 1. Calculemos a taxa de juros aparente no período. (1 )nM C A= ⋅ + D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 36 www.pontodosconcursos.com.br O valor de n é igual a 1, pois a taxa real foi dada para todo o período de 2 anos (biênio). 140.000 5.000 (1 )A= ⋅ + 8 1 A= + 7A = Para calcular a inflação no período, vamos utilizar a fórmula descrita anteriormente. A I R I R= + + ⋅ 7 1 1I I= + + ⋅ 6 I I= + 3I = Para transformar a inflação em termos percentuais devemos multiplicar por 100%. 3 100% 300%I = ⋅ = Letra C 30. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no início de um determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 98.280,00, esgotando-setotalmente seu crédito referente a esta operação. Sabe-se que a taxa de inflação referente ao primeiro ano de aplicação foi de 5% e ao segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no período desta aplicação foi de a) 11,25% b) 12,5% c) 12,85% d) 13,65% e) 13,85% Resolução Para calcular a inflação acumulada podemos utilizar a seguinte fórmula: 2 6I⋅ = D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 37 www.pontodosconcursos.com.br ࡵ ൌ ሺ ሻ · ሺ ሻ · ڮ · ሺ ሻ െ Dessa forma, a inflação acumulada nos dois anos foi de: ܫ ൌ ሺ1 0,05ሻ · ሺ1 0,04ሻ െ 1 ൌ 0,092 Para o cálculo da taxa aparente, consideraremos ݊ ൌ 1, pois queremos calcular a taxa real no período de 2 anos. ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ݅ሻ 98.280 ൌ 80.000 · ሺ1 ܣሻଵ ܣ ൌ 0,2285 ܣ ൌ ܫ ܴ ܫ · ܴ 0,2285 ൌ 0,092 ܴ 0,092 · ܴ 0,1365 ൌ 1,092 · ܴ ܴ ൌ 0,1365 1,092 ൌ 0,125 ൌ 12,5% Letra B 31. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007, que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 1º de abril de 2007, é transcrito a seguir: “A partir de 1º de abril de 2007, após a aplicação do percentual correspondente à variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor – INPC, referente ao período entre 1º de abril de 2006 e 31 de março de 2007, a título de reajuste, e de percentual a título de aumento real, sobre o valor de R$ 350,00 (trezentos e cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 (trezentos e oitenta reais).” Considerando que o INPC acumulado no período foi de 3,4%, o percentual a título de aumento real a que a lei se refere foi de: a) 5,2%. b) 4,8%. c) 5,0%. d) 5,8%. e) 5,5%. Resolução Vejamos primeiramente qual foi o aumento aparente do salário mínimo. ܸ ൌ 350 e ܸ ൌ 380 ܣ ൌ ܸ െ ܸ ܸ ൌ 380 െ 350 350 ൌ 8,57% A inflação no período considerado, medido pelo INPC, foi de 3,4%. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 38 www.pontodosconcursos.com.br Calculemos o aumento real: ܣ ൌ ܫ ܴ ܫ · ܴ 0,0857 ൌ 0,034 ܴ 0,034 · ܴ 0,0517 ൌ 1,034 · ܴ ܴ ൌ 0,0517 1,034 ൌ 0,05 ൌ 5% Letra C Capitalização Contínua Voltemos à fórmula ࡹ ൌ · ሺ ሻ. Essa formula é a base para virtualmente todos os cálculos financeiros, aplicando-se a contas bancárias, empréstimos, hipotecas e anuidades. Alguns bancos calculam o juro acumulado não uma vez, mas várias vezes por ano! Se, por exemplo, uma taxa de juros anual de 5% é capitalizada semestralmente, o banco usará metade da taxa de juros anual como taxa por período. Daí que, num ano, um capital inicial de R$ 100,00 será composto duas vezes, cada vez a uma taxa de 2,5%. Assim, teremos 100 x 1,0252 = 105,0625, cerca de seis centavos a mais do que o mesmo dinheiro renderia se fosse composto anualmente a 5%. Na comunidade bancária podemos encontrar todos os tipos de composição de juros - anual, semestral, trimestral, e mesmo diário. Suponha que a capitalização será feita 12 vezes ao ano (uma vez por mês). O banco usa a taxa de juros anual dividida por 12. A taxa usada seria igual a 5% dividido por 12. O montante obtido seria igual a 120,05100 1 12 M ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠ 105,11M = Cerca de 11 centavos a mais do que o mesmo dinheiro renderia se fosse composto anualmente a 5%. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 39 www.pontodosconcursos.com.br Suponha que a capitalização será feita 1000 vezes ao ano . O banco usa a taxa de juros anual dividida por 1000. A taxa usada seria igual a 5% dividido por 1000. O montante obtido seria igual a 10000,05100 1 1000 M ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠ 105,12M = Cerca de 12 centavos a mais do que o mesmo dinheiro renderia se fosse composto anualmente a 5%. Parece que qualquer aumento no número de capitalizações no período não afetará o resultado – as mudanças acontecerão em dígitos cada vez menos significativos. Mas será que esse padrão continua? É possível que, não importa o quão elevado seja n, os valores do montante estacionem em algum ponto. Esta intrigante possibilidade foi de fato confirmada!! Imagine agora que queiramos capitalizar o nosso valor principal a TODO INSTANTE. Não estamos falando a cada hora, nem a cada minuto, nem muito menos a cada segundo. Estamos falando a TODO INSTANTE. Qual seria o montante ao final de um ano? Essa resposta é dada pela fórmula, inM C e= ⋅ , onde 2,7182818...e = . Essa capitalização “a todo instante” é denominada capitalização contínua. Vejamos um exemplo: Calcule o montante após 20 anos, da aplicação, a juros compostos, de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de 5% ao ano, considerando a capitalização contínua. Resolução Devemos aplicar a fórmula do montante em uma capitalização contínua. inM C e= ⋅ D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 40 www.pontodosconcursos.com.br 0,05 201.000M e ⋅= ⋅ 11.000 1.000 2,71828M e= ⋅ = ⋅ 2.718, 28M = Exercícios Resolvidos 32. (Inspetor Fiscal – Prefeitura do Município de São Paulo – 1998) Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado à taxa mensal de 5% por um prazo de 40 meses, com regime de capitalização contínua. Qual o montante resultante dessa aplicação? (Use e = 2,7) a) R$ 62.300,00 b) R$ 63.900,00 c) R$ 66.700,00 d) R$ 72.900,00 e) R$ 75.600,00 Resolução Devemos aplicar a fórmula do montante em uma capitalização contínua. inM C e= ⋅ 0,05 4010.000 2,7M ⋅= ⋅ 210.000 2,7M = ⋅ 72.900,00M = Letra D 33. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao mês, com capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, é igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação é igual a a) 12 meses. b) 15 meses. c) 18 meses. d) 21 meses. e) 24 meses. Resolução D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 41 www.pontodosconcursos.com.br O montante, na capitalização contínua é dado por ܯ ൌ ܥ · ݁ 45.000 ൌ 25.000 · ݁,ସ ݁,ସ ൌ 1,8 ln ݁,ସ ൌ ln 1,8 0,04n · ln ݁ ൌ ln 1,8 0,04݊ · 1 ൌ 0,6 ݊ ൌ 0,6 0,04 ൌ 15 ݉݁ݏ݁ݏ Letra B 34. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado à taxa semestral ݅, durante 2 anos, com capitalização contínua, apresentando, no final do período, um montante igual a R$ 200.000,00. Utilizando ln 2 ൌ 0,69 (ln é o logaritmo neperiano), tem-se que ݅ é igual a a) 14,02% b) 17,25% c) 30% d) 34,5% e) 69% Resolução Observe que como a taxa é semestral, então o número de períodos é igual a 4 semestres. O montante, na capitalização contínua é dado por ܯ ൌ ܥ · ݁ 200.000 ൌ 50.000 · ݁ଶ ݁ସ ൌ 4 ln ݁ସ ൌ ln 4 ln ݁ସ ൌ ln 2ଶ 4݅ · ݈݊݁ ൌ 2 · ݈݊2 4݅ · 1 ൌ 2 · 0,69 ݅ ൌ 0,345 ൌ 34,5% Letra D D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 42 www.pontodosconcursos.com.br Relação das questões comentadas nesta aula 01. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos problemas da captação de água de rios é a presença de algas potencialmente tóxicas, responsáveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na água. No entanto,se a quantidade de células (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo organismo, as algas não causam riscos à saúde. O padrão considerado preocupante é a partir de 20 mil células por mililitro. Suponha que a quantidade n de células (algas) por mililitro em função do tempo, em semanas, seja dada pela expressão algébrica n(t) = 20 · 2t. Determine, aproximadamente, o tempo necessário, em semanas, para que entre no padrão “preocupante”. (Considere: log10 2 = 0,3) a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 02. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Usando os valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor correspondente a log 144. a) 2,22. b) 2,19. c) 2,06. d) 2,14. e) 2,27. 03. (TCM SP 2006/CETRO) A população de uma cidade aumenta segundo a equação ܰ ൌ 30.000 · ሺ1,01ሻ௧, onde N é o número de habitantes e t é o tempo em anos. O valor de t para que a população dobre em relação a hoje é de a) ୪୭ ଶ ୪୭ ଵ,ଵ b) log 2 െ ݈݃1,01 c) 2 · ሺ݈݃2ሻ · ሺ݈݃1,01ሻ d) ଶ ୪୭ ଶ ୪୭ ,ଵ e) 50 04. (CEF 2010/CESPE-UnB) A população P de uma comunidade, t anos após determinado ano – considerado ano t = 0 - , pode ser calculada pela fórmula ܲ ൌ ܲ · ݁௧, em que k é uma constante positiva, ܲ é a quantidade de indivíduos na comunidade no ano t = 0 e ݁ é a base do logaritmo neperiano. Nesse caso, considerando 0,63 como valor aproximado para ଶ ଷ e que a população ܲ triplique em 6 anos, então ܲ será duplicada em D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 43 www.pontodosconcursos.com.br a) 3,38 anos. b) 3,48 anos. c) 3,58 anos. d) 3,68 anos. e) 3,78 anos. 05. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 06. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00 07. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses 08. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Suponha que uma taxa de juros compostos de 10% ao mês acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. Calcule o valor inicial do investimento e assinale a alternativa que indica a resposta correta. a) $ 2.691,43 b) $ 3.691,43 c) $ 4.691,43 d) $ 5.691,43 e) $ 6.691,43 D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 44 www.pontodosconcursos.com.br 09. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre. Aplicou o restante do capital, também durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte do capital aplicado a juros compostos apresentou o valor de a) R$ 14.400,00. b) R$ 14.560,00. c) R$ 14.580,00. d) R$ 16.000,00. e) R$ 16.400,00. 10. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 e) R$ 617,40 11. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. (Considere que 1,0312 = 1,425760) a) R$ 25 000,00. b) R$ 39 000,00. c) R$ 31 000,00. d) R$ 48 000,00. e) R$ 50 000,00. 12. (AFRE-MG ESAF 2005) A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses. a) 4%. b) 5%. c) 5,33%. d) 6,5%. e) 7%. 13. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e da Administração – 2005 – FEPESE) Determine o tempo em meses que um D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 45 www.pontodosconcursos.com.br capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado. Informações adicionais: log 3 ؆ 0,48 e log 1,03 ؆ 0,012. Assinale abaixo a única alternativa correta. a) 5 meses b) 10 meses c) 20 meses d) 30 meses e) 40 meses 14. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada. Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. 15. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que: a) ܽ ൌ log ܾ b) ܽ ൏ ܾ c) ܽ ൌ ܾ d) ܽ ൌ √ܾ e) ܽ ܾ D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 46 www.pontodosconcursos.com.br 16. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a a) R$ 25.500,00 b) R$ 24.932,05 c)) R$ 24.805,00 d) R$ 23.780,00 e) R$ 22.755,00 17. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377,10 18. (AFRF 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502. a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0% 19. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento: I – Juros simples de 2% ao mês. II – Juros compostos de 1% ao mês. III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses. Assinale: a) se todas apresentarem o mesmo retorno. b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostasI e III apresentarem o mesmo retorno. D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 47 www.pontodosconcursos.com.br 20. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0% 21. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. a) 12,3600% b) 12,5508% c) 12,6825% d) 12,6162% e) 12,4864% 22. (Auditor Fiscal – Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. a) R$ 27.200,00 b) R$ 27.616,11 c) R$ 28.098,56 d) R$ 28.370,38 e) R$ 28.564,92 23. (SUSEP 2010/ESAF) No sistema de juros compostos, o Banco X oferece uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalização trimestral. Também no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez, obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre. Sabendo-se que Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário, foram, respectivamente, iguais a: a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre. b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre. c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre. d) 240 % ao ano e 88 % ao ano. e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre. 24. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é a) 114,70% b) 107,55% D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 48 www.pontodosconcursos.com.br c) 109,90% d) 90,00% e) 119,70% 25. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: a) ሾሺ1,02ሻଵ଼ െ 1ሿ b) ൣሺ18 · √1,36భఴ െ 1൧ c) ൣሺ18 · √1,24భమ െ 1൧ d) ൣሺ3 · √1,24 െ 1൧ e) ൣሺ6 · √1,24య െ 1൧ 26. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um empréstimo pós-fixado foi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa de inflação no período do empréstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de a) 12,00% b) 25,52% c) 16,52% d) 33,20% e) 13,20% 27. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de a) R$ 27.060,00 b) R$ 27.000,00 c) R$ 26.460,00 d) R$ 26.400,00 e) R$ 25.800,00 28. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um período em que a inflação foi de 20%, equivale a uma rentabilidade real de: a) 20% b) 44% c) 50% d) 55% e) 60% 29. (BNB 2004 ACEP) A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um período de 2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. Se a rentabilidade real no período foi de 100%, qual a inflação medida no mesmo período? D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 49 www.pontodosconcursos.com.br a) 100% ao período b) 200% ao período c) 300% ao período d) 400% ao período e) 500% ao período 30. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no início de um determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 98.280,00, esgotando-se totalmente seu crédito referente a esta operação. Sabe-se que a taxa de inflação referente ao primeiro ano de aplicação foi de 5% e ao segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no período desta aplicação foi de a) 11,25% b) 12,5% c) 12,85% d) 13,65% e) 13,85% 31. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007, que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 1º de abril de 2007, é transcrito a seguir: “A partir de 1º de abril de 2007, após a aplicação do percentual correspondente à variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor – INPC, referente ao período entre 1º de abril de 2006 e 31 de março de 2007, a título de reajuste, e de percentual a título de aumento real, sobre o valor de R$ 350,00 (trezentos e cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 (trezentos e oitenta reais).” Considerando que o INPC acumulado no período foi de 3,4%, o percentual a título de aumento real a que a lei se refere foi de: a) 5,2%. b) 4,8%. c) 5,0%. d) 5,8%. e) 5,5%. 32. (Inspetor Fiscal – Prefeitura do Município de São Paulo – 1998) Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado à taxa mensal de 5% por um prazo de 40 meses, com regime de capitalização contínua. Qual o montante resultante dessa aplicação? (Use e = 2,7) a) R$ 62.300,00 b) R$ 63.900,00 c) R$ 66.700,00 d) R$ 72.900,00 e) R$ 75.600,00 D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 50 www.pontodosconcursos.com.br 33. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao mês, com capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, é igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação é igual a a) 12 meses. b) 15 meses. c) 18 meses. d) 21 meses. e) 24 meses. 34. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado à taxa semestral ݅, durante 2 anos, com capitalização contínua, apresentando, no final do período, um montante igual a R$ 200.000,00. Utilizando ln 2 ൌ 0,69 (ln é o logaritmo neperiano), tem-se que ݅ é igual a a) 14,02% b) 17,25% c) 30% d) 34,5% e) 69% D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8 CURSO ON‐LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR: GUILHERME NEVES 51 www.pontodosconcursos.com.br Gabaritos Oficiais 01. Letra C 02. Letra D 03. Letra A 04. Letra E 05. Letra A 06. Letra E 07. Letra D 08. Não há gabarito compatível. 09. Letra C 10. Letra E 11. Letra E 12. Letra E 13. Letra E 14. Letra E 15. Letra E 16. Letra C 17. Letra D 18. Letra C 19. Letra D 20. Letra B 21. Letra C 22. Letra D 23. Letra E 24. Letra E 25. Letra A 26. Letra A 27. Letra A 28. Letra C 29. Letra C 30. Letra B 31. Letra C 32. Letra D 33. Letra B 34. Letra D