2EE_2023 2

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Fundamentos do Eletromagnetismo
Profs. Augusto Otávio, Fabio Rodrigo, José Roberto, Marcone Sena, Renato Barbosa.
Nome:
CPF: Turma: Data: 15/março/2024
GABARITO do Segundo Exercício Escolar de 2023.2
Orientações:
• Leia atentamente todas as questões dispostas na frente e no verso desta prova.
• Os cálculos necessários devem ser realizados na folha de resposta.
• É permitido o uso de calculadora.
• Dados: µ0 = 1, 257 × 10−6 m · kg
s2 · A2 (constante magnética ou constante de pemeabilidade do vácuo).
1º) (2,50 pontos) Um arame AB está apoiando sobre dois tri-
lhos metálicos AC e BD paralelos e separados a uma distância
d = 5, 0 cm, conforme representado na figura ao lado. As ex-
tremidades C e D dos trilhos são conectadas a uma força ele-
tromotriz que fornece uma corrente a este circuito. O conjunto
está imerso em um campo magnético uniforme B⃗ (com mó-
dulo B = 0, 04 T) que entra ortogonalmente no plano horizon-
tal formado pelo circuito contido na página da prova. O arame possui massa m = 2, 0 g e o coeficiente de atrito
estático entre o arame e o trilho é igual a µe = 0, 2. Considere a gravidade igual a g = 10, 0 m/s2.
a) (1,50 ponto) Determine o menor valor da corrente capaz de produzir o deslizamento do arame sobre os trilhos.
b) (1,00 ponto) Desprezando a força de atrito, qual seria a aceleração inicial do arame, utilizando a mesma corrente
elétrica?
Resolução da 1ª) questão
a) A força magnética que age sobre o arame AB é determinada como F⃗mag = i L⃗AB × B⃗, onde L⃗AB = −d ȷ̂ é o
vetor comprimento do arame e B⃗ = −B k̂ é o campo magnético. Portanto, F⃗mag = i d B ȷ̂ × k̂ = i d B ı̂ , que
indica uma força magnética para a direita. (0,75 ponto)
Da condição de equilíbrio, quando o arame está na eminência de entrar em movimento, temos F⃗mag + F⃗at = 0,
ou seja
Fmag = Fat → imín d B = mg µe → imín =
m g µe
d B
=
2, 0 × 10−3 kg × 10, 0 m/s2 × 0, 2
5, 0 × 10−2 m × 4, 0 × 10−2 T
= 2, 0 A (0,75 ponto)
b) Se desprezarmos o atrito quando o arame é percorrido pela corrente imín, a partir da 2a lei de Newton
podemos determinar a aceleração a desenvolvida como
m a = Fmag ≡ imin d B → a =
imin d B
m
=
m g µe
m
→ a = g µe = 0, 2 × 10, 0 m/s2 = 2, 0 m/s2 . (1,00 ponto)
2º) (2,50 pontos) Seja a seção reta de um condutor cilíndrico maciço de raio a, con-
cêntrico a uma casca cilíndrica condutora raio b = 2a com espessura desprezível con-
forme a figura ao lado. O condutor cilíndrico maciço conduz uma corrente uniforme-
mente distribuída i para dentro do papel. A casca condutora cilíndrica conduz uma
corrente total 2i para fora do papel. Determine o sentido e expressão para o módulo
do campo magnético produzido pelo fio em função da distância radial r (e dos parâmetros dados na questão):
a) (1,0 ponto) na região 0 b.
Resolução da 2ª) questão
a) A corrente ienv uniformemente distribuída envolvida pelo circuito circular Cr de raio
r 
2a) cujo centro passa o eixo de simetria do cilindro e orientado no sentido anti-horário, que
envolve a corrente líquida i′′env = −i + 2i = i (0,25), que sai do plano da página, obtemos
∮
C′′
r
d⃗ℓ · B⃗ = µ0 i′′env → 2πr B = µ0 i → B(r) =
µ0 i
2πr
(no sentido anti-horário) para r > 2a (0,50)
onde as linhas do campo magnético se dão em circunferências concêntricas ao eixo de simetria do cilindro
orientadas no sentido anti-horário (em virtude da corrente líquida que sai no plano).
Extra: O campo magnético pode ser expresso como B⃗(r) = Bθ(r) θ̂ (onde θ̂ é o vetor unitário da direção
transversal do sistema polar), onde
|B⃗| ∼ 1
r
|B⃗| ∼ r
r
|B⃗|µ0 i
2πa
a
Bθ(r) =
µ0 i
2πa
×

−r/a, se r ≤ a
−a/r, se a 2a.
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a
b
d
I
3º) (2,50 pontos) Um fio reto e longo transporta uma corrente que cresce line-
armente no tempo como i(t) =
(
20, 0
A
min
)
t. Uma espira retangular de lados
a = 5, 0 cm e b = 10, 0 cm é colocada com seus lados maiores paralelos ao fio. O
lado maior mais próximo do fio está distante deste de d = 2, 0 cm.
a) (1,50 ponto) Determine o fluxo do campo magnético através da espira.
b) (1,00 ponto) Se a espira possui uma resistência de R = 10, 0 Ω, determine a
corrente e o sentido da corrente induzida na espira (justifique).
Resolução da 3ª) questão
a) A partir da lei de Ampère aplicado para um fio infinito per-
corrido por uma corrente i(t), o módulo do campo magnético
que se dá em linhas circulares concêntricos com o fio é dada por
,
B =
µ0 i(t)
2πr
r=d+y−−−−→ B(y, t) =
µ0 i(t)
2π(d + y)
(0,50)
onde r = d + y é a distância da região do espaço até o fio que
transporta a corrente. É tomado y > 0 desde a base da espira.
O fluxo do campo magnético na região 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b é apresentada como
ΦB(t) =
∫
B⃗ · dA⃗ =
µ0 i(t)
2π
∫ a
0
dx
∫ b
0
dy
(d + y)
=
i(t) · µ0 a
2π
· ln
(
1 +
b
d
)
.
• Se o aluno tomar a = 5, 0 cm e b = 10, 0 cm, obtemos
ΦB(t) =
20, 0 t �A
60, 0 s
× 1, 257 × 10−6 m · kg
s2 · A�2
× 5, 0 × 10−2 m
2π
ln
(
1 +
10, 0 cm
2, 0 cm
)
= t
(
0, 597 × 10−8 m2 · kg
s3 · A
)
(1,00)
• Se o aluno tomar a = 10, 0 cm e b = 5, 0 cm, obtemos
ΦB(t) =
20, 0 t �A
60, 0 s
× 1, 257 × 10−6 m · kg
s2 · A�2
× 10, 0 × 10−2 m
2π
ln
(
1 +
5, 0 cm
2, 0 cm
)
= t
(
0, 835 × 10−8 m2 · kg
s3 · A
)
(1,00)
Obs. As unidades dos resultados podem ser apresentadas no SI como
m2 · kg
s3 · A
ou
T · m2
s
ou
Wb
s
ou V.
b) Usando a lei de Faraday, podemos encontrar a força eletromotriz induzida absoluta na espira como
|εind| =
dΦB(t)
dt
=
di(t)
dt
·µ0 a
2π
· ln
(
1 +
b
d
)
=
0, 597 × 10−8 V se o aluno tomar a = 5, 0 cm e b = 10, 0 cm
0, 835 × 10−8 V se o aluno tomar a = 10, 0 cm e b = 5, 0 cm
(0,50)
Sendo R = 10, 0 Ω a resistência da espira, a corrente induzida na espira será
iind =
|εind|
R
=
0, 597 × 10−9 A = 0, 597 nA se o aluno tomar a = 5, 0 cm e b = 10, 0 cm
0, 835 × 10−9 A = 0, 835 nA se o aluno tomar a = 10, 0 cm e b = 5, 0 cm
(0,50)
De acordo com a lei de Lenz, o sentido da corrente induzida na espira deverá ser o horário. Com este sentido,
a corrente induzida irá criar um fluxo magnético para dentro do papel que irá se opor a variação do fluxo do
campo magnético, gerado pelo fio, na região da espira.
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4ª) (2,50 pontos) Um circuito RL é disposto conforme a figura
abaixo com a chave S aberta. Seja i1 e i2 as correntes que atra-
vessam as resistências R1 e R2, respectivamente, no circuito.
Determine as correntes i1 e i2 e seus sentidos:
a) (0,50 ponto) imediatamente após a chave S ser fechada.
b) (0,75 ponto) muito tempo depois da chave S ser fechada.
c) (0,50 ponto) imediatamente após a chave S ser reaberta.
d) (0,75 ponto) muito tempo depois da chave S ser reaberta.
Resolução da 4ª) questão
a)Imediatamente após fechamento da chave S, o in-
dutor do circuito no ramo do resistor R2 se comporta
como um fio partido. O circuito nesta situação pode
ser pensado como um circuito contendo apenas o re-
sistor R2 e a fonte ε. Assim, a corrente i1 = 0 (0,25) e
a corrente i2 = ε/R2 = 3, 00 mA. (0,25)
b) Muito tempo depois da chave S ser fechada, o in-
dutor se comporta como um fio comum. O circuito
pode ser entendido como uma associação em para-
lelo dos resistores R1 e R2. Assim, i1 = ε/R1 =
9, 00 mA (0,375) e i2 = ε/R2 = 3, 00 mA.(0,375)
c) Imediatamente após a chave S ser aberta, a cor-
rente no ramo do resistor R2 não vai a zero instan-
taneamente devido a f.e.m auto-induzida do indutor. Assim, a corrente i1 terá o mesmo valor da corrente
que tinha no momento imediatamento anterior a abertura da chave S, isto é i1 = 9, 00 mA. O circuito com
a chave S aberta pode ser entendido como uma associação em série de R1 e R2 com o indutor L. Como
resutado, temos i2 = i1 = 9, 00 mA (0,25 p/ cada corrente)
d) Após a chave S permanecer muito
tempo aberta, a tensão no indutor irá a
zero (VL = 0). Desta forma, o indutor
comportará como um fio comum no cir-
cuito e termos uma associação em série de
R1 e R2 sem uma fonte de tensão para ali-
mentar o circuito. Logo, i1 = i2 = 0 A
(0,375 p/cada corrente)
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