Lei de Gauss e suas aplicações

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<p>DESCRIÇÃO</p><p>A construção dos principais conceitos e aplicações fundamentais da Eletrostática para distribuições contínuas de cargas elétricas, Lei de</p><p>Gauss e suas aplicações na moderna teoria eletrodinâmica clássica.</p><p>PROPÓSITO</p><p>Generalizar os conceitos e aplicações de campo elétrico e potencial elétrico para distribuições contínuas de cargas, por meio da Lei de</p><p>Coulomb e da Lei de Gauss, com aplicações diretas na obtenção de potenciais elétricos e capacitâncias de sistemas eletrostáticos.</p><p>PREPARAÇÃO</p><p>Antes de iniciar o conteúdo deste tema, revise seus estudos nos princípios da Álgebra Vetorial e do Cálculo Diferencial e Integral. Também</p><p>será útil ter em mãos uma calculadora científica.</p><p>OBJETIVOS</p><p>MÓDULO 1</p><p>Identificar o campo elétrico de cargas contínuas</p><p>MÓDULO 2</p><p>Aplicar a Lei de Gauss do campo elétrico</p><p>MÓDULO 3</p><p>Calcular o potencial elétrico de cargas contínuas</p><p>MÓDULO 4</p><p>Calcular a capacitância</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A Eletrodinâmica Clássica é a interação fundamental com que experimentamos e observamos a natureza do universo. Nossa ciência e</p><p>tecnologia necessitam desses conhecimentos para continuar progredindo. Vamos generalizar e aprofundar o tema da Eletrostática para</p><p>distribuições contínuas de cargas elétricas, compreender uma das leis fundamentais da natureza, a Lei de Gauss, e aplicar esses</p><p>conhecimentos a alguns de seus subprodutos, o cálculo de potenciais elétricos e capacitâncias: o início da tecnologia elétrica. Bons estudos!</p><p>MÓDULO 1</p><p> Identificar o campo elétrico de cargas contínuas</p><p>LEI DE GAUSS E SUAS APLICAÇÕES</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A Eletrostática não se limita ao estudo dos princípios e fenômenos de cargas e campos elétricos de distribuições discretas de cargas. Na</p><p>verdade, podemos generalizar esses conceitos para fenômenos nos quais as cargas elétricas estão continuamente distribuídas, formando um</p><p>continuum de cargas elétricas e seus campos. Certamente, as cargas elétricas são discretizadas, individuais, como sabemos da Física</p><p>Microscópica, mas vamos considerar que tenhamos tantas cargas elétricas e tão próximas, umas das outras, que possamos considerá-las</p><p>distribuídas continuamente.</p><p> VOCÊ SABIA</p><p>Pense na circunstância de um fluido. Sabemos que um corpo fluídico é composto por moléculas que podem ser individualizadas, mas no</p><p>conjunto formam uma substância fluídica.</p><p>Então, vamos utilizar essa aproximação e tratar de conjuntos contínuos de cargas elétricas, nos quais não mais individualizaremos as cargas</p><p>elétricas de partículas, mas de corpos elétricos carregados por cargas elétricas distribuídas formando um continuum de cargas, isto é,</p><p>distribuições contínuas de cargas elétricas e suas densidades de cargas, que já vamos definir.</p><p>Fonte: James Kirkikis/Shutterstock</p><p>Para distribuições de cargas elétricas discretas, definimos o campo eletrostático, por meio da Lei de Coulomb e do princípio de</p><p>superposição, em que o campo resultante, medido em certo ponto P, é o somatório dos campos de cada carga fonte individualizada.</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Mas se as cargas elétricas formarem um continuum de cargas, precisaremos alterar nossa definição de campo elétrico, na qual</p><p>substituiremos o somatório, que indica a discretização das cargas e posições destas, por uma integral, que indica um continuum de</p><p>elementos de carga e funções contínuas de posição.</p><p>DISCRETIZAÇÃO</p><p>Ato ou efeito de discretizar ou de transformar uma distribuição contínua em unidades individuais.</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Os elementos de carga elétrica, dq, são usualmente definidos em termos de densidades de cargas elétricas. Na equação acima, r indica a</p><p>distância de cada elemento de carga dq ao ponto de medida do campo, e é o vetor unitário direcional de cada elemento de carga ao</p><p>mesmo ponto de medida do campo, não sendo, portanto, um vetor unitário constante, e assim devem ser considerados na integração.</p><p>→</p><p>E (r)≡ ∑n</p><p>i=1 r̂ i</p><p>1</p><p>4π∈0</p><p>qi</p><p>r2</p><p>i</p><p>→</p><p>E (r)= ∫ r̂dq1</p><p>4π∈0</p><p>1</p><p>r2</p><p>r̂</p><p>javascript:void(0)</p><p>DEMONSTRAÇÃO</p><p>Para demonstrar como se processa o cálculo do campo eletrostático para distribuições contínuas de cargas elétricas, precisamos demonstrar</p><p>como definir o que são densidades de cargas elétricas e seu campo elétrico associado.</p><p>DENSIDADES DE CARGAS ELÉTRICAS</p><p>Os materiais elétricos, ou eletrizáveis, podem conter cargas elétricas distribuídas de três formas distintas: linearmente, superficialmente</p><p>ou volumetricamente. Essencialmente, será a relação da carga do material, em uma região delimitada do espaço com simetria linear,</p><p>superficial ou volumétrica, com sua geometria.</p><p>I - DENSIDADE LINEAR DE CARGAS Λ :</p><p>II - DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS Σ:</p><p>III - DENSIDADE VOLUMÉTRICA DE CARGAS</p><p>Ρ:</p><p>Em que dl é o elemento de comprimento ao longo de uma linha, dA é o elemento de área de uma superfície e dV é o elemento de volume.</p><p>dq = λ dl  →  λ =</p><p>dq</p><p>dl</p><p>dq = σ dA  →  σ =</p><p>dq</p><p>dA</p><p>dq = ρ dV →  ρ =</p><p>dq</p><p>dV</p><p>Assim, sempre que tivermos um material carregado num continuum de cargas, para cada simetria de um problema e sua densidade de</p><p>cargas, teremos uma configuração do campo eletrostático. Devemos atentar para o fato de que as cargas são estáticas e conservadas, ou</p><p>seja, dizemos que a totalidade das cargas elétricas com que lidamos na Eletrostática é estacionária.</p><p>CAMPO ELETROSTÁTICO PARA DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE</p><p>CARGAS ELÉTRICAS (LEI DE COULOMB)</p><p>A) PARA DISTRIBUIÇÕES LINEARES DE CARGAS:→</p><p>E (r)</p><p>B) PARA DISTRIBUIÇÕES SUPERFICIAIS DE CARGAS:</p><p>C) PARA DISTRIBUIÇÕES VOLUMÉTRICAS DE CARGAS:</p><p>Ainda vamos definir os conceitos de materiais condutores.</p><p> COMENTÁRIO</p><p>Os materiais carregados podem possuir diferentes densidades de cargas em suas geometrias, definidas por regiões de carga, mas para este</p><p>tema, vamos aplicar a problemas com densidades de cargas constantes ou de funções simples.</p><p>→</p><p>E (r)</p><p>→</p><p>E (r)</p><p>Em quaisquer das situações de simetrias e geometrias, é usualmente conveniente trabalhar com elementos de campo elétrico e, ao final,</p><p>integrá-los para o campo resultante:</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>1. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE NUM PONTO P, SOBRE A MEDIATRIZ DE UM SEGUIMENTO</p><p>DE RETA UNIFORMEMENTE CARREGADO, COM DENSIDADE LINEAR DE CARGA, Λ, CONSTANTE E</p><p>COMPRIMENTO L.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>→</p><p>E (r)  = ∫ d</p><p>→</p><p>E</p><p>−−−→</p><p>E(y) =  [  ] ĵ2kλ</p><p>y</p><p>L</p><p>√L2+ x2</p><p>−−−→</p><p>E(y) =  [  ] ĵ2kλ</p><p>y</p><p>y</p><p>√r2+ y2</p><p>−−−→</p><p>E(y) =  [  ]  î2kλ</p><p>x2</p><p>L</p><p>√L2+ y2</p><p>D)</p><p>2. CONSIDERE UM SEGUIMENTO DE RETA UNIFORMEMENTE CARREGADO, AO LONGO DO EIXO DOS X,</p><p>COM DENSIDADE LINEAR DE CARGA, Λ, CONSTANTE E COMPRIMENTO L. MAS DIFERENTEMENTE DO</p><p>PROBLEMA ANTERIOR, CALCULE O CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE NUM PONTO P, AO LONGO DO EIXO</p><p>DOS Y, CONSIDERANDO QUE A ORIGEM, 0, DO SISTEMA COORDENADO, XY, ESTÁ À ESQUERDA DO</p><p>CORPO CARREGADO, E O COMPRIMENTO L, QUANDO MEDIDO DE , ESTÁ DELIMITADO PELOS</p><p>ÂNGULOS Θ1< Θ2.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>3. UM ANEL CIRCULAR FOI HOMOGENEAMENTE CARREGADO, TEM DENSIDADE LINEAR DE CARGA Λ,</p><p>CONSTANTE, CARGA TOTAL Q E RAIO R. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE EM UM PONTO P AO</p><p>LONGO DO SEU EIXO AXIAL, Z.</p><p>A)</p><p>−−→</p><p>E(y) = [ ] ĵ2kλ</p><p>y</p><p>L</p><p>√L2+ y2</p><p>P0</p><p>→</p><p>E = [(cosθ2 − cosθ1) î + (senθ2 − senθ1) ĵ] k λ</p><p>y</p><p>→</p><p>E = [(senθ2 − senθ1) î + (cosθ2 − cosθ1) ĵ]k λ</p><p>y</p><p>2</p><p>→</p><p>E = [(cosθ2 − senθ1) î + (cosθ2 − senθ1) ĵ]k λ</p><p>y</p><p>→</p><p>E = [(cosθ2 − cosθ1) î + (senθ2 − senθ1) ĵ]k λ</p><p>r2</p><p>−−−→</p><p>E(p)=  r̂</p><p>k Q2</p><p>(R2+ z2)</p><p>3/2</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>4. UM DISCO HOMOGENEAMENTE CARREGADO, COM DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ,</p><p>CONSTANTE, PODE SER CONSTRUÍDO COMO UMA SUCESSÃO DE ANÉIS CONCÊNTRICOS, FAZENDO O</p><p>RAIO, R, DOS ANÉIS VARIAR DESDE A ORIGEM ATÉ O RAIO R. CONSIDERANDO ISSO, CALCULE O CAMPO</p><p>ELÉTRICO DESSE DISCO, NUM PONTO P AO LONGO DO SEU EIXO AXIAL, Z.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>5. CONSIDERE UMA CASCA ESFÉRICA, OCA, HOMOGÊNEA, DE RAIO R, E SUPERFICIALMENTE</p><p>CARREGADA COM UMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, CONSTANTE. CALCULE, VIA LEI DE</p><p>−−−→</p><p>E(p) =  ẑ</p><p>k Q z</p><p>(R2+ z2)</p><p>3/2</p><p>−−−→</p><p>E(p) =  r̂</p><p>k Q</p><p>r2</p><p>−−−→</p><p>E(p) =  ẑ</p><p>k Q R</p><p>(R2+ z2 )</p><p>3</p><p>2</p><p>−−−→</p><p>E(p) =  ẑ</p><p>k Q z</p><p>(R2+ z2)3/2</p><p>−−−→</p><p>E(p) = 2 π k σ z [  ] ẑ1</p><p>(R2+ z2 )</p><p>1/2</p><p>−−−→</p><p>E(p) = 2 π k σ [  −   ] ẑ 1</p><p>z</p><p>1</p><p>(R2+ z2 ) 1/2</p><p>−−−→</p><p>E(p) = 2 π k σ z [  −   ] ẑ 1</p><p>z</p><p>1</p><p>(R2+ z2 ) 1/2</p><p>COULOMB, O SEU CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE EXTERNO À CASCA, COM R≥R.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>6. UM FIO HOMOGENEAMENTE CARREGADO TEM UMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE E</p><p>ESTÁ ENCURVADO AO MODO DE UM ARCO CIRCULAR DE ÂNGULO 2Θ0 E RAIO R, SIMETRICAMENTE EM</p><p>RELAÇÃO AO EIXO Y. CALCULE A COMPONENTE, NÃO NULA, DE SEU CAMPO ELÉTRICO, NO CENTRO DO</p><p>ARCO, NA ORIGEM DO SISTEMA COORDENADO XY.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>GABARITO</p><p>−−−→</p><p>E(p) =  Ŝ</p><p>k Q</p><p>S2</p><p>−−−→</p><p>E(p) =  r̂</p><p>k Q</p><p>R2</p><p>−−−→</p><p>E(p) =  r̂</p><p>k Q</p><p>r2</p><p>−−−→</p><p>E(p) =  r̂</p><p>k Q</p><p>r</p><p>Ex(p)=   sen(θ0)2 k λ</p><p>θ0</p><p>Ey(p)=   cos(θ0)2 k λ</p><p>R2</p><p>Ey(p)=   sen(θ0)2 k λ</p><p>R</p><p>Er(p)=   sen(θ0)2 k λ</p><p>R2</p><p>1. Calcule o campo elétrico resultante num ponto P, sobre a mediatriz de um seguimento de reta uniformemente carregado, com</p><p>densidade linear de carga, λ, constante e comprimento L.</p><p>CAMPO DO SEGMENTO DE RETA</p><p>2. Considere um seguimento de reta uniformemente carregado, ao longo do eixo dos x, com densidade linear de carga, λ, constante</p><p>e comprimento L. Mas diferentemente do problema anterior, calcule o campo elétrico resultante num ponto P, ao longo do eixo dos</p><p>y, considerando que a origem, 0, do sistema coordenado, xy, está à esquerda do corpo carregado, e o comprimento L, quando</p><p>medido de , está delimitado pelos ângulos θ1< θ2.</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>P0</p><p>Fonte: Autor</p><p>d</p><p>→</p><p>E=dEx ı̂+dEy ȷ̂=k r̂</p><p>dEx= sinθ</p><p>dEy= cosθ</p><p>dq=λdx</p><p>cos θ=       ;    r2=x2+y2</p><p>tg θ=      ⇒   dx=y sec2</p><p>θ dθ</p><p>secθ=</p><p>dq</p><p>r2</p><p>k dq</p><p>r2</p><p>k dq</p><p>r2</p><p>y</p><p>r</p><p>x</p><p>y</p><p>r</p><p>y</p><p>3. Um anel circular foi homogeneamente carregado, tem densidade linear de carga λ, constante, carga total Q e raio R. Calcule o</p><p>campo elétrico resultante em um ponto P ao longo do seu eixo axial, z.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>CAMPO DO ANEL</p><p>dEx = − sin θ</p><p>dEx = − λ(y sec2 θ dθ)</p><p>dEx = − λy dθ</p><p>dEx = − λ dθ</p><p>dEy = λ(y sec2 θdθ)</p><p>dEy = λy ⋅ dθ</p><p>dEy = λdθ</p><p>k dq</p><p>r2</p><p>k  sin θ</p><p>r2</p><p>k  sin θ</p><p>r2</p><p>r2</p><p>y2</p><p>k  sin θ</p><p>y</p><p>k  cos θ</p><p>r2</p><p>k cos θ</p><p>r2</p><p>r2</p><p>y2</p><p>k cos θ</p><p>y</p><p>Ex = − ∫ θ2</p><p>θ1</p><p>sen θdθ = (cos θ2 − cos θ1)</p><p>Ey = ∫ θ2</p><p>θ1</p><p>cos θdθ = (sin θ2 − sin θ1)</p><p>→</p><p>E = Ex ı̂ + Ey ȷ̂</p><p>→</p><p>E = [ (cos θ2 − cos θ1)ı̂ + (sen θ2 − sin θ1)  ȷ̂  ]</p><p>kλ</p><p>y</p><p>kλ</p><p>y</p><p>kλ</p><p>y</p><p>kλ</p><p>y</p><p>kλ</p><p>y</p><p>4. Um disco homogeneamente carregado, com densidade superficial de cargas, σ, constante, pode ser construído como uma</p><p>sucessão de anéis concêntricos, fazendo o raio, r, dos anéis variar desde a origem até o raio R. Considerando isso, calcule o campo</p><p>elétrico desse disco, num ponto P ao longo do seu eixo axial, z.</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>CAMPO DO DISCO</p><p>5. Considere uma casca esférica, oca, homogênea, de raio R, e superficialmente carregada com uma densidade superficial de</p><p>cargas, σ, constante. Calcule, via Lei de Coulomb, o seu campo elétrico resultante externo à casca, com r≥R.</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Vamos calcular a contribuição ao campo, no ponto P externo, de cada anel na casca, de área (de perímetro</p><p>e largura ). Devemos encontrar um vínculo entre as três variáveis para simplificar a integração, que será feita na</p><p>variável S. A soma de todas as contribuições de campo resultam não-nulas somente na direção radial esférica, por simetria do problema. A</p><p>carga total será O campo externo será, incrivelmente, como o de uma partícula carregada. Partiremos da relação da lei dos</p><p>cossenos, , aplicada ao problema e depois obteremos a sua derivada. Também usaremos a outra relação da lei</p><p>dos cossenos, ao problema, dada por , ambas para expressar os vínculos entre θ, α e S.</p><p>Fonte: Autor</p><p>dA = 2 πR2senθ dθ</p><p>2 π Rsenθ R dθ θ,α e S,</p><p>Q = σ(4πR2).</p><p>S2 = r2 + R2 − 2rRcosθ</p><p>R2 = r2 + S2 − 2rSco sα</p><p>6. Um fio homogeneamente carregado tem uma densidade linear de cargas, λ, constante e está encurvado ao modo de um arco</p><p>circular de ângulo 2θ0 e raio R, simetricamente em relação ao eixo y. Calcule a componente, não nula, de seu campo elétrico, no</p><p>S2 = r2 + R2 − 2rR cosθ</p><p>2S dS = 2rR senθ dθ</p><p>senθ dθ =</p><p>R2 = r2 + S2 − 2rS cosα</p><p>co sα =</p><p>S dS</p><p>rR</p><p>−R2+S2+r2</p><p>2rS</p><p>dq = σ dA = 2πσR2 sen θdθ</p><p>dEr(p)= co s α</p><p>dEr(p)= sen θdθ cos α</p><p>dEr(p)= ⋅ ⋅[ ]</p><p>dEr(p)= ⋅[ ]dS</p><p>dEr(p)= [1 + ]dS</p><p>k dq</p><p>s2</p><p>k2πσR2</p><p>S2</p><p>k2πσR2</p><p>S2</p><p>SdS</p><p>rR</p><p>−R2+S2+r2</p><p>2rS</p><p>kσπR</p><p>r2</p><p>S2+r2−R2</p><p>S2</p><p>kσπR</p><p>r2</p><p>r2−R2</p><p>S2</p><p>Er(p)= ∫ dEr</p><p>Er(p)= [S − ]</p><p>(r+R)</p><p>(r−R)</p><p>Er(p)= =</p><p>−→</p><p>E (p)= Er(p) ̂r</p><p>−→</p><p>E (p)= r̂</p><p>kσπR</p><p>r2</p><p>(r2−R2)</p><p>S</p><p>kσ4πR2</p><p>r2</p><p>kQ</p><p>r2</p><p>kQ</p><p>r2</p><p>centro do arco, na origem do sistema coordenado xy.</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>A componente x do campo será nula, com a simetria do problema. Somente a componente y não será nula, na origem. O elemento do arco</p><p>será Vamos integrar de</p><p>Fonte: Autor</p><p>dl = R dθ. −θ0 a θ0.</p><p>→</p><p>E (p) = Ex(p) ı̂ + Ey(p)  ȷ̂</p><p>Ex(p) = 0</p><p>Ey(p) = ∫ dEy(p)</p><p>dEy(p) = co s θ</p><p>kdq</p><p>R2</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>Aplicação: Uma das importantes aplicações práticas da Eletrostática diz respeito a esse problema. Considere uma casca esférica, oca,</p><p>homogênea, de raio R, e superficialmente carregada com uma densidade superficial de cargas, σ, constante. Calcule, via Lei de Coulomb, o</p><p>seu campo elétrico interno à casca, com</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>Já fizemos um problema semelhante, porém para o cálculo do campo externo à casca esférica. Todos os passos são idênticos, até antes da</p><p>integração final. Retomemos aquele resultado. Vamos, então, posicionar o ponto P dentro da casca e alterar os limites de integração em S</p><p>para esses pontos internos à casca, de</p><p>Etapa 1</p><p>dq = λdl = λRdθ</p><p>dEy(p) = co s θdθ</p><p>Ey(p) = ∫ θ0</p><p>−θ0</p><p>cos θdθ</p><p>Ey(p) = se n θ0</p><p>kλR</p><p>R2</p><p>kλ</p><p>R</p><p>2kλ</p><p>R</p><p>r < R.</p><p>(R − r)  a (R + r).</p><p>dEr(p)= [1 + ]dSkσπR</p><p>r2</p><p>r2−R2</p><p>S2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Etapa 2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Etapa 3</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Etapa 4</p><p>Er(p) = ∫ dEr</p><p>Er(p)= [S − ]</p><p>(R+r)</p><p>(R−r)</p><p>kσπR</p><p>r2</p><p>(r2−R2)</p><p>S</p><p>Er(p)= [(R + r)−(R − r)− + ]kσπR</p><p>r2</p><p>( r2−R2 )</p><p>(R+r )</p><p>( r2−R2 )</p><p>(R−r )</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O campo elétrico interno a uma superfície esférica, oca e homogeneamente carregada é nulo. Esse fenômeno de blindagem eletrostática,</p><p>muito utilizado tecnologicamente, tem o nome de Gaiola de Faraday. Perturbações elétricas externas à casca fechada não afetam o campo</p><p>elétrico interno à casca, que continua nulo.</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. CONSIDERE NOVAMENTE UM SEGUIMENTO DE RETA UNIFORMEMENTE CARREGADO, AO LONGO DO</p><p>EIXO DOS X, COM DENSIDADE LINEAR DE CARGA Λ E COMPRIMENTO L. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO</p><p>RESULTANTE NUM PONTO P, AO LONGO DO EIXO DOS Y, CONSIDERANDO QUE A ORIGEM, 0, DO SISTEMA</p><p>COORDENADO, XY, ESTÁ À ESQUERDA DO CORPO CARREGADO, E SEU COMPRIMENTO L, QUANDO</p><p>MEDIDO DE , ESTÁ DELIMITADO PELOS ÂNGULOS Θ1 < Θ2. COM ESSE VETOR CAMPO ELÉTRICO</p><p>Er(p)= [2r − r + R − r − R]= 0kσπR</p><p>r2</p><p>→</p><p>E (p)= 0</p><p>P0</p><p>OBTIDO, FAÇA SEU COMPRIMENTO L TENDER A INFINITO E RESPONDA: QUAL É O CAMPO ELÉTRICO</p><p>GERADO POR ESSA RETA HOMOGENEAMENTE CARREGADA, COM DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, E</p><p>COMPRIMENTO INFINITO? UMA RETA INFINITA.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>2. CONSIDERE NOVAMENTE UM DISCO HOMOGENEAMENTE CARREGADO, COM DENSIDADE SUPERFICIAL</p><p>DE CARGAS, Σ, QUE PODE SER CONSTRUÍDO COMO UMA SUCESSÃO DE ANÉIS CONCÊNTRICOS,</p><p>FAZENDO O RAIO DOS ANÉIS VARIAR DESDE A ORIGEM ATÉ O RAIO R. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO</p><p>DESSE DISCO, NUM PONTO P AO LONGO DO SEU EIXO AXIAL, Z. COM ESSE VETOR CAMPO ELÉTRICO</p><p>OBTIDO, FAÇA SEU RAIO R TENDER A INFINITO E RESPONDA: QUAL É O CAMPO ELÉTRICO GERADO POR</p><p>ESSE PLANO HOMOGENEAMENTE CARREGADO, COM DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ</p><p>CONSTANTE, E COM DIMENSÃO INFINITA? UM PLANO INFINITO.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>→</p><p>E =   sen θ ĵ</p><p>2 k λ</p><p>y</p><p>→</p><p>E =    ĵ2 k λ</p><p>y</p><p>→</p><p>E =  0</p><p>→</p><p>E =    ĵ</p><p>2 k λ</p><p>x</p><p>−−−→</p><p>E(p) = ∞</p><p>−−−→</p><p>E(p) = (2πkσ</p><p>z) ẑ</p><p>−−−→</p><p>E(p) = (2πkσ) ẑ</p><p>D)</p><p>GABARITO</p><p>1. Considere novamente um seguimento de reta uniformemente carregado, ao longo do eixo dos x, com densidade linear de carga λ</p><p>e comprimento L. Calcule o campo elétrico resultante num ponto P, ao longo do eixo dos y, considerando que a origem, 0, do</p><p>sistema coordenado, xy, está à esquerda do corpo carregado, e seu comprimento L, quando medido de , está delimitado pelos</p><p>ângulos θ1 < θ2. Com esse vetor campo elétrico obtido, faça seu comprimento L tender a infinito e responda: Qual é o campo</p><p>elétrico gerado por essa reta homogeneamente carregada, com densidade linear de cargas, λ, e comprimento infinito? Uma reta</p><p>infinita.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>−−−→</p><p>E(p) = 0</p><p>P0</p><p>Fonte: Autor</p><p>A partir da figura, e refazendo esse problema, temos o campo elétrico no ponto P:</p><p>Se fizermos , o seguimento de reta carregado, L, tenderá à dimensão infinita. A componente horizontal, na direção</p><p>x, irá desacoplar, anulando-se. A componente vertical, na direção y, se somará, resultando em:</p><p>Ex = − ∫ θ2</p><p>θ1</p><p>sen θdθ = (cos θ2 − cos θ1)</p><p>Ey = ∫ θ2</p><p>θ1</p><p>cos θdθ = (sin θ2 − sin θ1)</p><p>→</p><p>E = Ex ı̂ + Ey ȷ̂</p><p>→</p><p>E = [(cos θ2 − cos θ1)ı̂ + (sen θ2 − sin θ1) ȷ̂ ]</p><p>kλ</p><p>y</p><p>kλ</p><p>y</p><p>kλ</p><p>y</p><p>kλ</p><p>y</p><p>kλ</p><p>y</p><p>θ1 →   −    e  θ2 → π/2,π</p><p>2</p><p>Ou seja, o campo elétrico será inversamente proporcional à distância da linha infinita carregada e não haverá mais a informação angular.</p><p>Esse resultado é importante tecnologicamente quando a distância da fonte do campo é muito menor que a extensão da linha carregada e</p><p>pudermos excluir efeitos de contorno das extremidades da linha</p><p>2. Considere novamente um disco homogeneamente carregado, com densidade superficial de cargas, σ, que pode ser construído</p><p>como uma sucessão de anéis concêntricos, fazendo o raio dos anéis variar desde a origem até o raio R. Calcule o campo elétrico</p><p>desse disco, num ponto P ao longo do seu eixo axial, z. Com esse vetor campo elétrico obtido, faça seu raio R tender a infinito e</p><p>responda: Qual é o campo elétrico gerado por esse plano homogeneamente carregado, com densidade superficial de cargas, σ</p><p>constante, e com dimensão infinita? Um plano infinito.</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>→</p><p>E = ȷ̂2kλ</p><p>y</p><p>Fonte: Autor</p><p>A partir da figura, e refazendo esse problema, temos o campo elétrico no ponto P:</p><p>Se fizermos R→∞, o disco carregado tenderá à dimensão infinita, um plano infinito carregado. O segundo termo da componente axial do</p><p>campo elétrico, na direção z, se anulará, restando uma constante no primeiro termo:</p><p>Nessa solução e nesse limite de plano infinito, não podemos utilizar a carga total, que seria infinita. Assim, temos a densidade superficial de</p><p>cargas para designar a fonte do campo elétrico. Esse resultado é fundamental, tecnologicamente, para os fenômenos de capacitância que</p><p>veremos à frente, quando a distância de separação, ao quadrado, entre as placas de um capacitor é muito menor que a área dessas placas.</p><p>MÓDULO 2</p><p>−→</p><p>dE (p) = ẑ</p><p>dq = σdA = σ2πr dr</p><p>dEz (p) = σ2πr dr</p><p>Ez (p) = ∫ dEz(p)</p><p>Ez (p) = kzσπ ∫ R</p><p>0 dr</p><p>Ez (p) = kzσπ[ ]</p><p>R</p><p>0</p><p>→</p><p>E (p) = 2πk z σ [ − ] ẑ</p><p>kz dq</p><p>(r2+z2)3/2</p><p>kz</p><p>(r2+z2)3/2</p><p>2r</p><p>(r2+z2)3/2</p><p>(r2+z2)−1/2]</p><p>(−1/2)</p><p>1</p><p>z</p><p>1</p><p>√R2+z2</p><p>→</p><p>E (p)= 2πkσ ẑ</p><p> Aplicar a Lei de Gauss do campo elétrico</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Sabemos que cargas elétricas, numa distribuição discreta ou contínua, são fonte de campo elétrico mediador da interação elétrica. Também</p><p>sabemos que os campos elétricos podem ser representados por linhas de força que “nascem ou morrem” em cargas. Usamos uma</p><p>convenção na qual cargas positivas originam linhas de campo repulsivo e cargas negativas recebem linhas de campo atrativo:</p><p>Para cada distribuição de cargas elétricas, teremos uma estrutura de campo elétrico diferente. Cargas puntuais geram uma estrutura de</p><p>campo elétrico divergente, como nas figuras anteriores. Para outras distribuições de cargas, teremos outras estruturas de campo elétrico.</p><p>Quanto maior a carga, mais linhas de campo teremos, (N ~ q).</p><p>Fonte: Autor</p><p>O campo elétrico de cargas puntuais e sua força elétrica se comportam radialmente como ~ 1/r2, descrito pela Lei de Coulomb. A magnitude</p><p>do campo (seu módulo) é proporcional à densidade de linhas, que é o número de linhas de campo por área perpendicular atravessada pelas</p><p>linhas, .</p><p>Quanto maior essa densidade, onde as linhas são mais próximas, mais intenso o campo. Quanto menor a densidade de linhas, menos</p><p>intenso o campo. À medida que nos afastamos das cargas puntuais, as linhas de campo se distanciam, umas das outras, diminuindo sua</p><p>densidade com o mesmo comportamento coulombiano do campo, e na proporção inversa do crescimento da área esferossimétrica ocupada</p><p>por essas linhas.</p><p>Então, vamos enumerar o que sabemos sobre linhas de campo elétrico:</p><p>(δ ~  ~  ~</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>).N</p><p>A</p><p>q</p><p>4πr2</p><p>O número de linhas de campo elétrico é proporcional à carga elétrica, (N ~ q).</p><p>As linhas de campo elétrico de cargas puntuais isoladas são radialmente simétricas, a cada raio esférico ocupando áreas</p><p>descritas por A=4πr 2.</p><p>As linhas de campo são emitidas ou absorvidas por cargas elétricas.</p><p>A densidade de linhas é proporcional à magnitude do campo, .</p><p>Duas ou mais linhas não se interceptam, o que indicaria que uma mesma linha teria mais de uma fonte.</p><p>Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, determinado número de linhas de campo elétrico, em uma distância radial esférica, atravessará certa calota de área na superfície</p><p>esférica de mesmo raio, em um ângulo sólido. O mesmo número de linhas de campo, em outro raio esférico maior, atravessará uma calota da</p><p>superfície esférica, com o mesmo ângulo sólido, de área proporcional ao quadrado do novo raio. Isso significa que, para termos o mesmo</p><p>número de linhas, em raios diferentes, cuja magnitude do campo cai com o quadrado do raio, será preciso aumentar a área de ocupação</p><p>dessas linhas com o quadrado do novo raio. O comportamento do campo , será anulado pelo crescimento da área , para termos</p><p>o mesmo número de linhas de campo elétrico em raios diferentes, como na figura.</p><p>(δ ~  ~  ~</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>)N</p><p>A</p><p>q</p><p>4πr2</p><p>(~ )1</p><p>r2</p><p>(~ r2)</p><p>Fonte: Autor</p><p>FLUXO DE CAMPO ELÉTRICO</p><p>Vamos qualificar e quantificar as linhas de campo elétrico em termos matemáticos com significação fenomenológica. Para isso, vamos definir</p><p>a grandeza fluxo de campo elétrico, , como proporcional ao número de linhas de campo, que é proporcional à carga elétrica. Assim, o</p><p>fluxo de campo será:</p><p>Φ</p><p>Fonte: autor</p><p>Mas,</p><p></p><p>Pois, como explicado anteriormente sobre as linhas de campo,</p><p></p><p>Então,</p><p>O fluxo de campo é entendido como o número de linhas de campo elétrico que atravessam a superfície de área A.</p><p>Essa definição de fluxo de campo elétrico funciona bem para o caso de campos elétricos, , que atravessam perpendicularmente uma</p><p>área, A, como na figura a), a seguir.</p><p>N ~</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>A</p><p>δ ~  ~  ~</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>N</p><p>A</p><p>q</p><p>4πr2</p><p>Φ =</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>A ≈ q</p><p>→</p><p>E</p><p>Fonte: Autor</p><p></p><p>Fonte: Autor</p><p>Repare que essa primeira definição de Fluxo de Campo, não satisfaz a situação da figura b), anterior, do fluxo através de uma superfície</p><p>curva, em que para cada elemento de área, dA, descrito sobre a superfície em cada ponto, tem-se um vetor unitário normal diferente, .</p><p>Assim, devemos redefinir o fluxo de campo como a integral dos elementos de fluxo de campo, , definidos sobre cada elemento de área,</p><p>dA, com seu vetor unitário normal, , por meio do produto escalar com o campo . Contribuirá ao fluxo, a componente de área ( dA)</p><p>projetada na direção do campo .</p><p>n̂</p><p>dΦ</p><p>n̂</p><p>→</p><p>E n̂</p><p>→</p><p>E</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como o fluxo de campo elétrico através de qualquer superfície aberta é igual ao número de linhas de campo que atravessam essa superfície,</p><p>podemos definir o fluxo total que será igual ao número líquido de linhas de campo elétrico que atravessam a superfície fechada, isto é, o</p><p>número de linhas que saem subtraído do número de linhas que entram na superfície</p><p>fechada.</p><p>SUPERFÍCIE FECHADA</p><p>Superfície fechada é aquela que envolve completa e tridimensionalmente as cargas fonte do campo.</p><p>O fluxo total será a soma “líquida” do fluxo positivo, com campo orientado para fora da superfície fechada, subtraído do fluxo negativo,</p><p>com campo orientado para dentro da superfície fechada:</p><p>dΦ =</p><p>→</p><p>E . n̂ dA</p><p>Φ = ∫ dΦ = ∫</p><p>→</p><p>E . n̂ dA</p><p>→</p><p>E</p><p>→</p><p>E</p><p>Φtotal =</p><p>∮</p><p>c</p><p>dΦ =</p><p>∮</p><p>c</p><p>→</p><p>E . n̂ dA</p><p>javascript:void(0)</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que c, define a superfície matemática sobre a qual a integral deve ser calculada, chamada de superfície gaussiana e é o vetor normal</p><p>a cada ponto dessa gaussiana.</p><p>Mas para que serve essa construção do fluxo de campo elétrico total? A resposta é a Lei de Gauss e a sua aplicação imediata é o cálculo do</p><p>campo elétrico.</p><p>DEMONSTRAÇÃO</p><p>Aplicação: Uma carga elétrica puntual, q, fonte do campo elétrico descrito pela Lei de Coulomb, , está na origem de um</p><p>sistema coordenado. Calcule o fluxo de campo elétrico total sobre uma superfície matemática esférica fechada de raio R, centrada na mesma</p><p>origem. Considere a medida de integração de superfície, dA, em coordenadas esféricas .</p><p>Resposta 1:</p><p> Escolha uma das Etapas a seguir.</p><p>ETAPA 1</p><p>ETAPA 2</p><p>ETAPA 3</p><p>Nesta primeira solução, mais simples, vamos considerar que, como o fluxo será calculado ao longo da superfície gaussiana esférica de raio</p><p>R, seu campo elétrico terá módulo constante, com r=R, o vetor unitário normal à superfície esférica será , e o campo</p><p>.</p><p>n̂</p><p>→</p><p>E =    r̂1</p><p>4πϵ0</p><p>q</p><p>r2</p><p>(r, θ,ϕ) : dA =  r2sen θ dθ dϕ</p><p>n̂  =  r̂</p><p>→</p><p>E =    r̂</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>q</p><p>R2</p><p>Então, como , pois o vetor unitário tem a mesma direção e sentido de , e o raio da superfície esférica de cálculo (gaussiana),</p><p>sobre a qual se está calculando o fluxo, é constante, , temos:</p><p>Este é o resultado da Lei de Gauss. O fluxo de campo elétrico total , independente do raio r. O número de linhas de</p><p>campo elétrico será o mesmo para qualquer raio esférico. Na verdade, apesar de não ter sido demonstrado, o fluxo total é o mesmo qualquer</p><p>que seja a superfície fechada que envolva a carga q, não se limitando à esfera.</p><p>Resposta 2:</p><p> Escolha uma das Etapas a seguir.</p><p>ETAPA 1</p><p>ETAPA 2</p><p>ETAPA 3</p><p>Nesta segunda solução, vamos calcular a integral do fluxo total com medida de integração de superfície, em coordenadas esféricas,</p><p>, para qualquer raio da superfície esférica de integração.</p><p>(r̂. n̂)= 1 n̂ r̂</p><p>r = R</p><p>Φtotal =</p><p>∮</p><p>c</p><p>→</p><p>E . n̂ dA =</p><p>∮</p><p>c</p><p>(r̂. n̂) dA1</p><p>4πϵ0</p><p>q</p><p>R2</p><p>Φtotal =</p><p>∮</p><p>c</p><p>dA =</p><p>∮</p><p>c</p><p>dA1</p><p>4πϵ0</p><p>q</p><p>R2</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>q</p><p>R2</p><p>Φtotal =  4πR2 = =  4π k q1</p><p>4πϵ0</p><p>q</p><p>R2</p><p>q</p><p>ϵ0</p><p>Φtotal = =  4π k q</p><p>q</p><p>ϵ0</p><p>dA =  r2sen θ dθ dϕ</p><p>Fonte: Autor</p><p>Em que</p><p>Logo,</p><p>Φtotal =</p><p>∮</p><p>c</p><p>→</p><p>E . n̂ dA =</p><p>∮</p><p>c</p><p>(r̂. r̂) dA1</p><p>4πϵ0</p><p>q</p><p>r2</p><p>Φtotal =</p><p>∮</p><p>c</p><p>r2sen θ dθ dϕ</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>q</p><p>r2</p><p>Φtotal = q  ∫ π</p><p>0</p><p>sen θ dθ  ∫ 2π</p><p>0</p><p>dϕ1</p><p>4πϵ0</p><p>(0 < θ < π);  (0 < ϕ < 2π);      ∫ π</p><p>0</p><p>sen θ dθ = [− cos(π)+ cos(0)] = 2;   ∫ 2π</p><p>0</p><p>dϕ = 2π</p><p>Φtotal = q 4π =   = 4π k q1</p><p>4πϵ0</p><p>q</p><p>ϵ0</p><p>Assim, definimos a Lei de Gauss:</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que qint. é a carga elétrica total interna à superfície gaussiana c, de integração.</p><p>SUPERFÍCIE GAUSSIANA C</p><p>Atenção: A superfície gaussiana é uma superfície matemática de integração, ao longo da qual realizamos a integral. Sua função é</p><p>fornecer o suporte para o cálculo da integral.</p><p>A Lei de Gauss é uma das leis fundamentais da Eletrodinâmica Clássica, será sempre válida quando houver campo elétrico, mas, para o</p><p>propósito de cálculo do campo elétrico, somente será útil quando tivermos elevado grau de simetria no problema, para a escolha da</p><p>superfície gaussiana, de forma que o módulo do campo seja constante ao longo dessa superfície de integração.</p><p>De outra forma, se um sistema físico não tiver as simetrias esférica, cilíndrica ou plana, será mais simples a utilização da Lei de Coulomb e</p><p>seus métodos quando o propósito for o cálculo do campo. Esse resultado da Lei de Gauss, no qual o fluxo de campo total só depende da</p><p>fonte do campo, só foi possível devido ao comportamento da Lei de Coulomb, com 1/r2.</p><p>Φtotal =</p><p>∮</p><p>c</p><p>→</p><p>E . n̂ dA = = 4π k qint.</p><p>qint.</p><p>ϵ0</p><p>javascript:void(0)</p><p>Assim, também por similaridade de comportamento 1/r2, podemos escrever uma Lei de Gauss para a Gravitação Universal de Newton, em</p><p>que:</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Sendo mint. a massa interna à superfície gaussiana c.</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>1) SE UMA CARGA ELÉTRICA FONTE, Q, ESTIVER POSICIONADA NA ORIGEM, 0, DE UM SISTEMA</p><p>COORDENADO, CALCULE SEU CAMPO ELÉTRICO A UMA DISTÂNCIA RADIAL ESFÉRICA, R, DESSA</p><p>ORIGEM, POR MEIO DA APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS. CONSIDERE K A CONSTANTE DE COULOMB.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>Φtotal =</p><p>∮</p><p>c</p><p>→</p><p>g . n̂ dA = −4π G mint. sendo mint.</p><p>−−−→</p><p>E(r) =  k   r̂</p><p>q</p><p>r</p><p>−−−→</p><p>E(r) =  k   r̂</p><p>q</p><p>r2</p><p>C)</p><p>D)</p><p>2. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO GERADO POR UMA LINHA RETILÍNEA INFINITA, CARREGADA</p><p>POSITIVAMENTE, COM DENSIDADE LINEAR DE CARGA UNIFORME, Λ, AO LONGO DO EIXO AXIAL</p><p>CILÍNDRICO Z, POR MEIO DA APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>3. UMA SUPERFÍCIE PLANA DE DIMENSÕES INFINITAS FOI CARREGADA COM UMA DISTRIBUIÇÃO</p><p>CONTÍNUA E UNIFORME DE CARGAS ELÉTRICAS POSITIVAS DE MODO A APRESENTAR UMA DENSIDADE</p><p>SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, CONSTANTE. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO GERADO A PARTIR DESSE</p><p>PLANO, EM UM PONTO P QUALQUER, AO LONGO DE SUA DIREÇÃO NORMAL (PERPENDICULAR AO</p><p>PLANO), POR MEIO DA APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS.</p><p>A)</p><p>−−−→</p><p>E(r) =     r̂</p><p>q</p><p>r2</p><p>−−−→</p><p>E(r) =  k   r̂</p><p>q2</p><p>r2</p><p>−−−→</p><p>E(r) = r̂</p><p>2kλ</p><p>r2</p><p>−−−→</p><p>E(r) = r̂λ</p><p>r2</p><p>−−−→</p><p>E(r) = r̂</p><p>q</p><p>r</p><p>−−−→</p><p>E(r) = r̂2kλ</p><p>r</p><p>−−−→</p><p>E(p) =  2 πk σ ẑ</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>4. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, DE RAIO R, OCA, DE COMPRIMENTO INFINITO, CARREGADA</p><p>UNIFORMEMENTE COM UMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE. OBTENHA O CAMPO</p><p>ELÉTRICO, POR MEIO DA LEI DE GAUSS, EXTERNAMENTE À CASCA, NO QUAL R>R.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>5. UMA CASCA ESFÉRICA HOMOGÊNEA E UNIFORMEMENTE CARREGADA, DE RAIO ESFÉRICO R, POSSUI</p><p>CARGA TOTAL Q. CALCULE, POR MEIO DA LEI DE GAUSS, SEU CAMPO ELÉTRICO EXTERNO, EM QUE R>R.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>−−−→</p><p>E(p) =  k  r̂</p><p>q</p><p>r2</p><p>−−−→</p><p>E(p) =  4π k q</p><p>−−−→</p><p>E(p) =    ẑ</p><p>k Q z</p><p>(R2+ z2 )</p><p>3</p><p>2</p><p>−−−→</p><p>E(r) =  r̂2kλ</p><p>r2</p><p>−−−→</p><p>E(r) =  r̂2kλ</p><p>r</p><p>−−−→</p><p>E(r) =  r̂λ</p><p>r2</p><p>−−−→</p><p>E(r) =  r̂</p><p>q</p><p>r</p><p>−−−→</p><p>E(r) =  k   r̂</p><p>Q</p><p>r</p><p>−−−→</p><p>E(r) =    r̂</p><p>Q</p><p>r2</p><p>C)</p><p>D)</p><p>6. CONSIDERE UMA PLACA DE ESPESSURA D, E ÁREA A, DE UM MATERIAL CONDUTOR ELÉTRICO. UM</p><p>CONDUTOR ELÉTRICO É UM MATERIAL CAPAZ DE TRANSPORTAR CARGAS ELÉTRICAS COM BAIXO</p><p>CUSTO ENERGÉTICO AO SISTEMA FÍSICO. UM CONDUTOR IDEAL É UM MATERIAL IDEALIZADO,</p><p>HIPOTÉTICO, ONDE CARGAS LIVRES, TAMBÉM CHAMADAS DE CARGAS DE VALÊNCIA, PODEM CIRCULAR</p><p>LIVREMENTE POR TODA A SUPERFÍCIE DO MATERIAL. CADA ELEMENTO ATÔMICO QUE COMPÕE UM</p><p>MATERIAL CONDUTOR POSSUI AO MENOS UM ELÉTRON LIVRE QUE PODE TRANSITAR POR TODA A</p><p>SUPERFÍCIE DO MATERIAL. NÃO VAMOS CONSIDERAR A EXISTÊNCIA DE IMPUREZAS NO MATERIAL.</p><p>ENTÃO, PERGUNTA-SE: QUAL É A INTENSIDADE DO CAMPO ELÉTRICO NO INTERIOR DE UM CONDUTOR</p><p>IDEAL?</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>GABARITO</p><p>−−−→</p><p>E(r) =  k   r̂</p><p>Q2</p><p>r2</p><p>−−−→</p><p>E(r) =  k   r̂</p><p>Q</p><p>r2</p><p>−−−→</p><p>E(p) =  2 πk σ ẑ</p><p>−−−→</p><p>E(p) =  k  r̂</p><p>q</p><p>r2</p><p>−−−→</p><p>E(p) =  0</p><p>−−−→</p><p>E(p) =    ẑ</p><p>k Q z</p><p>(R2+ z2 )</p><p>3</p><p>2</p><p>1) Se uma carga elétrica fonte, q, estiver posicionada na origem, 0, de um sistema coordenado, calcule seu campo elétrico a uma</p><p>distância radial esférica, r, dessa origem, por meio da aplicação da Lei de Gauss. Considere k a constante de Coulomb.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Vamos definir uma superfície gaussiana de integração esférica, pois o problema da partícula puntual apresenta simetria esférica. Com a</p><p>simetria do problema, o campo elétrico terá direção radial esférica, e também o vetor normal, , à superfície de integração. O campo será</p><p>calculado a partir da superfície, c, escolhida, mas, ao final, poderemos generalizar a solução para qualquer raio. Repare que definiremos a</p><p>superfície gaussiana de acordo com a simetria do problema e de</p><p>modo que o campo tenha módulo constante ao longo de toda a superfície c.</p><p>Ao final, encontraremos a solução da Lei de Coulomb para a partícula puntual.</p><p>Fonte: Autor</p><p>n̂</p><p>2. Calcule o campo elétrico gerado por uma linha retilínea infinita, carregada positivamente, com densidade linear de carga</p><p>uniforme, λ, ao longo do eixo axial cilíndrico z, por meio da aplicação da Lei de Gauss.</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>CAMPO DA RETA</p><p>ϕtot. =</p><p>∮</p><p>c</p><p>→</p><p>E ⋅ n̂ dA = 4πkq</p><p>→</p><p>E =</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>r̂</p><p>→</p><p>E ⋅ n̂ =</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∮</p><p>c</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>dA = 4πkq</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣c</p><p>4πr2 = 4πkq</p><p>→</p><p>E (r) = r̂</p><p>kq</p><p>r2</p><p>3. Uma superfície plana de dimensões infinitas foi carregada com uma distribuição contínua e uniforme de cargas elétricas</p><p>positivas de modo a apresentar uma densidade superficial de cargas, σ, constante. Calcule o campo elétrico gerado a partir desse</p><p>plano, em um ponto P qualquer, ao longo de sua direção normal (perpendicular ao plano), por meio da aplicação da Lei de Gauss.</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>CAMPO DO PLANO INFINITO</p><p>4. Seja uma casca cilíndrica, de raio R, oca, de comprimento infinito, carregada uniformemente com uma densidade linear de</p><p>cargas, λ, constante. Obtenha o campo elétrico, por meio da Lei de Gauss, externamente à casca, no qual r>R.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>A superfície gaussiana de alto grau de simetria escolhida será outra casca cilíndrica que envolva parte da casca cilíndrica carregada.</p><p>Fonte: Autor</p><p>Assim, a solução externa, r > R, é idêntica ao problema da linha infinita carregada. De fato, à distância, com grande raio, os dois problemas</p><p>coincidem.</p><p>5. Uma casca esférica homogênea e uniformemente carregada, de raio esférico R, possui carga total Q. Calcule, por meio da Lei de</p><p>Gauss, seu campo elétrico externo, em que r>R.</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>A superfície gaussiana de integração escolhida será uma superfície esférica de raio r que envolve a casca esférica carregada, cumprindo a</p><p>exigência de alto grau de simetria para a aplicação da Lei de Gauss no cálculo do campo elétrico.</p><p>ϕtot = ∮</p><p>c</p><p>→</p><p>E ⋅ n̂ dA = 4πkqintC</p><p>qintc = λL                    ∮</p><p>c</p><p>→</p><p>E ⋅ n̂ dA = 4πkλL</p><p>→</p><p>E =</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>r̂</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣c</p><p>2πrL = 4πkλL</p><p>→</p><p>E ⋅ n̂ =</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E (p) = r̂2kλ</p><p>r</p><p>Fonte: Autor</p><p>ϕtot. = ∮</p><p>c</p><p>→</p><p>E ⋅ n̂ dA = 4πk qintc</p><p>→</p><p>E =</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>r̂     →</p><p>→</p><p>E ⋅ n̂ =</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∮</p><p>c</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>dA = 4πkQ</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣c</p><p>4πr2 = 4πkQ</p><p>→</p><p>E (r)= r̂</p><p>kQ</p><p>r2</p><p>6. Considere uma placa de espessura d, e área A, de um material condutor elétrico. Um condutor elétrico é um material capaz de</p><p>transportar cargas elétricas com baixo custo energético ao sistema físico. Um condutor ideal é um material idealizado, hipotético,</p><p>onde cargas livres, também chamadas de cargas de valência, podem circular livremente por toda a superfície do material. Cada</p><p>elemento atômico que compõe um material condutor possui ao menos um elétron livre que pode transitar por toda a superfície do</p><p>material. Não vamos considerar a existência de impurezas no material. Então, pergunta-se: Qual é a intensidade do campo elétrico</p><p>no interior de um condutor ideal?</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Em um condutor, todas as cargas livres circulam nas imediações da superfície do material, formando uma nuvem eletrônica no entorno deste.</p><p>Seja o material eletrizado ou em estado de equilíbrio eletrostático (quando o material tem carga total neutra), as cargas livres, que se</p><p>repelem, transitam em sua superfície. No caso de condutores ideais, as cargas livres estarão totalmente na superfície. No caso de condutor,</p><p>haverá uma pequena penetração (de película) da superfície como região de trânsito das cargas livres. Assim, considerando o material um</p><p>condutor ideal em equilíbrio eletrostático, a carga efetiva interna será nula abaixo da superfície, pois somente as cargas livres, que podem</p><p>transitar, estarão na superfície. Na presença de um campo elétrico externo, as cargas livres se reorganizam de forma a anular o campo no</p><p>interior do material e reproduzem esse campo na face oposta, como na figura a seguir. Então, da Lei de Gauss:</p><p>Se traçarmos uma superfície gaussiana no entorno do material, imediatamente abaixo da superfície e contornando todo o material, como as</p><p>cargas totais internas à gaussiana serão nulas, o campo elétrico no interior do material será zero. Esse fenômeno caracteriza os materiais</p><p>condutores, qualquer que seja sua forma.</p><p>ϕtot =</p><p>∮</p><p>c</p><p>→</p><p>E ⋅ n̂ dA = 4πk qintC</p><p>Fonte: Autor</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>qintc = 0</p><p>∮</p><p>c</p><p>→</p><p>E ⋅ n̂ dA = 0</p><p>→</p><p>E = 0</p><p>Aplicação: Um condutor ideal maciço tem uma cavidade oca em seu interior, como uma bolha. Uma pequena carga elétrica q foi suspensa,</p><p>por um fio não condutor, no interior dessa cavidade oca, sem que a carga toque as paredes da cavidade. Pergunta-se: Qual a carga elétrica</p><p>induzida na superfície interna das paredes da cavidade?</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>CAMPO DE INDUÇÃO ELETROSTÁTICO</p><p>ϕtot = ∮</p><p>c</p><p>→</p><p>E ⋅ n̂dA = 4πk qintc</p><p>A superfície C que envolve a cavidade é a superfície gaussiana. Como no interior de um condutor ideal o campo elétrico deve ser nulo, o</p><p>fluxo total de campo sobre C será zero e a carga total interna a C deve ser zero. Se há uma carga q, no interior da cavidade,</p><p>necessariamente haverá uma densidade de cargas induzidas eletrostaticamente nas paredes internas da cavidade. Esse é o mecanismo da</p><p>eletrização por indução eletrostática. Assim, a carga induzida será:</p><p>.</p><p>Fonte: Autor</p><p>Q = q + q ′ = 0 → q ′ = −q</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. SEJA UMA ESFERA MACIÇA, CONTÍNUA E UNIFORMEMENTE CARREGADA, DE RAIO R E DENSIDADE</p><p>VOLUMÉTRICA DE CARGAS, Ρ, CONSTANTE. CALCULE, VIA LEI DE GAUSS, O CAMPO ELÉTRICO NO</p><p>INTERIOR DESSA ESFERA DENSA E CARREGADA, A UMA DISTÂNCIA R, QUALQUER, DO SEU CENTRO, EM</p><p>QUE R≤R.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>2. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, DE RAIO R, OCA E DE COMPRIMENTO INFINITO, CARREGADA</p><p>UNIFORMEMENTE COM UMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, CONSTANTE. OBTENHA O CAMPO</p><p>ELÉTRICO, POR MEIO DA LEI DE GAUSS, EXTERNAMENTE À CASCA. EXPRESSE A LEI DE GAUSS EM</p><p>TERMOS DE ΕO.</p><p>A)</p><p>→</p><p>E =   −  r̂</p><p>kq</p><p>r2</p><p>→</p><p>E =(  π k ρ r) r̂4</p><p>3</p><p>→</p><p>E =(  π k ρ  )r̂4</p><p>3</p><p>R3</p><p>r2</p><p>→</p><p>E =(  π k ρ   ) r̂4</p><p>3</p><p>r3</p><p>R2</p><p>−−−→</p><p>E(r) = r̂2kσ</p><p>r2</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>GABARITO</p><p>1. Seja uma esfera maciça, contínua e uniformemente carregada, de raio R e densidade volumétrica de cargas, ρ, constante.</p><p>Calcule, via Lei de Gauss, o campo elétrico no interior dessa esfera densa e carregada, a uma distância r, qualquer, do seu centro,</p><p>em que r≤R.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Vamos aplicar a Lei de Gauss. Para isso, vamos definir uma superfície gaussiana matemática esférica, onde queremos calcular o campo,</p><p>com a mesma simetria do problema, exigência do alto grau de simetria para o cálculo do campo por meio da Lei de Gauss. A solução será um</p><p>campo função do raio r, para r≤R.</p><p>−−−→</p><p>E(r) = r̂σ R</p><p>ϵo r</p><p>−−−→</p><p>E(r) = ẑσ R</p><p>ϵo r2</p><p>−−−→</p><p>E(r) = ẑ</p><p>σ</p><p>ϵo r</p><p>Fonte: Autor</p><p>2. Seja uma casca cilíndrica, de raio R, oca e de comprimento infinito, carregada uniformemente com uma densidade superficial de</p><p>cargas, σ, constante. Obtenha o campo elétrico, por meio da Lei de Gauss, externamente à casca. Expresse a Lei de Gauss em</p><p>termos de ϵo.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>ϕtot =</p><p>∮</p><p>c</p><p>→</p><p>E ⋅ n̂ dA = 4πk qintC</p><p>qintc = ρVolumec</p><p>qintc = ρ πr3</p><p>→</p><p>E =</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>r̂</p><p>n̂ = r̂</p><p>→</p><p>E ⋅ n̂ =</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>4</p><p>3</p><p>∮</p><p>c</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>dA = 4πk(ρ πr3)</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣c</p><p>4πr2 = 4πk(ρ πr3)</p><p>→</p><p>E (r)=( πρk r)r̂</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>Fonte: Autor</p><p>O cálculo do campo na curva gaussiana c permitiu que o módulo do campo fosse retirado da integral, pois é constante ali. Essa é a grande</p><p>vantagem do uso da simetria nessa aplicação da Lei de Gauss.</p><p>MÓDULO 3</p><p> Calcular o potencial elétrico de cargas contínuas</p><p>∮</p><p>c</p><p>→</p><p>E ⋅ n̂ dA = qintc</p><p>qintc = σAintc = σ 2πR L</p><p>→</p><p>E =</p><p>∣∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣∣</p><p>∣</p><p>r̂                  n̂c = r̂</p><p>∮</p><p>c</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>r̂ ⋅ r̂  dA = 2πRL</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣c</p><p>∮</p><p>c</p><p>dA =</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣c</p><p>2πrL = 2πRL</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>→</p><p>E</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣c</p><p>=</p><p>→</p><p>E (r) = r̂</p><p>1</p><p>ϵ0</p><p>σ</p><p>ϵ0</p><p>σ 2πRL</p><p>ϵ0</p><p>σ</p><p>ϵ0</p><p>σR</p><p>ϵ0r</p><p>σR</p><p>ϵ0r</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Sabemos, do tema anterior, que a diferença de potencial elétrico é definida como:</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que, no caso eletrostático, o trabalho mecânico numa trajetória fechada será nulo, o que equivale à integral acima ser zero quando a = b.</p><p>Δ V =  Vb − Va =   − ∫ b</p><p>a</p><p>→</p><p>E .  d</p><p>→</p><p>l</p><p>Fonte: Autor</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Isso é válido para campos conservativos, como os campos eletrostáticos. Em termos do potencial elétrico, a diferença de potencial entre um</p><p>ponto e ele mesmo, numa trajetória fechada, será zero.</p><p>∮</p><p>→</p><p>E .  d</p><p>→</p><p>l = 0</p><p>Fonte: rafal.dlugosz /Shutterstock</p><p>Então, relembrando a definição conceitual do potencial elétrico, em sua forma integral, temos:</p><p>Potencial elétrico é o trabalho por unidade de carga, necessário para deslocar uma carga de prova positiva, à velocidade constante, de um</p><p>ponto de referência inicial a ao ponto final r, definido por:</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Sendo a um ponto de referência espacial onde V(a)=0. O potencial será positivo ou negativo a depender da distribuição de cargas fonte do</p><p>campo.</p><p>V (r)=   − ∫ r</p><p>a</p><p>→</p><p>E .  d</p><p>→</p><p>l</p><p>Também podemos relembrar a definição equivalente na forma diferencial do potencial elétrico, que é muito útil quando temos a função</p><p>potencial e desejamos calcular o campo elétrico. O campo elétrico como o gradiente da função potencial.</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como o que nos interessa na grandeza potencial elétrico é uma diferença a partir de uma referência de medida de zero potencial, V(a)=0, a</p><p>cada problema deveremos identificar, ou convencionar, a referência de potencial zero, já que vamos lidar com distribuições contínuas de</p><p>cargas elétricas. Nessas configurações contínuas de cargas, nem sempre a distância infinita será consistente com um potencial nulo de</p><p>referência, como é suficiente para distribuições discretas de cargas.</p><p>Nossa tarefa, agora, será demonstrar como aplicar o conceito e as definições de potencial elétrico para distribuições contínuas de cargas</p><p>elétricas.</p><p>DEMONSTRAÇÃO</p><p>Quando lidamos, no tema anterior, com configurações discretas de cargas elétricas, vimos que o cálculo do potencial elétrico poderia ser</p><p>realizado por meio da definição do potencial, nas formas integral ou diferencial, revisitado nas duas equações anteriores, e demonstramos</p><p>que poderíamos usar o princípio de superposição dos potenciais de cargas individuais para descrever o potencial de uma distribuição</p><p>discreta de cargas elétricas, pela soma dos potenciais de cargas individualizadas:</p><p>→</p><p>E =   −</p><p>→</p><p>∇  V (r)</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Com N cargas qi e distâncias ri de cada carga fonte ao ponto de medida p. Assim, o potencial elétrico total de uma distribuição discreta de</p><p>cargas elétricas será a superposição dos potenciais individuais de cada fonte qi (princípio de superposição).</p><p>No entanto, para distribuições contínuas de cargas elétricas, devemos identificar se a configuração de cargas é finita ou infinita.</p><p>Se for uma distribuição contínua e finita de cargas elétricas, pois o número de cargas é finito, como nos problemas da esfera, do anel e do</p><p>disco, visto do módulo anterior, o potencial elétrico poderá ser definido e calculado por uma generalização da superposição de potenciais</p><p>individuais, da equação anterior.</p><p>Assim, o potencial elétrico para configurações contínuas e finitas de cargas elétricas é:</p><p>Que é a integral de todas as contribuições de potenciais dos elementos dq, no intervalo a ser considerado.</p><p>Se a distribuição de cargas elétricas for contínua e infinita, como nos casos da reta infinita, do plano infinito e do cilindro infinito, o potencial</p><p>elétrico para distribuições contínuas e infinitas de cargas elétricas segue a definição formal de cálculo dos potenciais elétricos, que, aliás,</p><p>aplica-se em qualquer situação de configurações de cargas.</p><p>V (p)= V1 +  V2 + V3 + …VN =  ∑N</p><p>i=1 k</p><p>qi</p><p>ri</p><p>V (p)=   ∫  k dq</p><p>r</p><p>V (r)=   − ∫ r</p><p>a</p><p>→</p><p>E .  d</p><p>→</p><p>l   ou</p><p>→</p><p>E =   −</p><p>→</p><p>∇  V (r)</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Ou seja, a depender da configuração das cargas fonte do campo , se discretas ou contínuas, e se forem contínuas, se finitas ou infinitas,</p><p>teremos os seguintes métodos de cálculo do potencial elétrico:</p><p>Fonte: Autor</p><p>Agora, vamos à prática!</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>→</p><p>E</p><p>1) UM ANEL DE RAIO R FOI HOMOGENEAMENTE CARREGADO COM DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ,</p><p>CONSTANTE. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO, EM UM PONTO P, SOBRE O SEU EIXO AXIAL Z.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>2. UM DISCO HOMOGENEAMENTE CARREGADO, COM DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, PODE SER</p><p>CONSTRUÍDO COMO UMA SUCESSÃO DE ANÉIS CONCÊNTRICOS, FAZENDO O RAIO, R, DOS ANÉIS VARIAR</p><p>DESDE A ORIGEM ATÉ O RAIO R. CONSIDERANDO ISSO, CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO DESSE DISCO,</p><p>NUM PONTO P, AO LONGO DO SEU EIXO AXIAL Z.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>V (p)=</p><p>k Q</p><p>(z2+ R2)</p><p>3/2</p><p>V (p)=</p><p>k Q</p><p>R</p><p>V (p)=</p><p>k Q z</p><p>√z2+R2</p><p>V (p)=</p><p>k Q</p><p>√z2+R2</p><p>V (p)=  2π k σ [ (z2 +  R2) − R ]</p><p>1</p><p>2</p><p>V (p)=  2π k σ [ (z2 +  R2) − z ]</p><p>1</p><p>2</p><p>V (p)=  2π k σ [ (z2 +  R2)  ]</p><p>1</p><p>2</p><p>V (p)=</p><p>2π k σ</p><p>√z2+R2</p><p>3. UMA CASCA ESFÉRICA HOMOGÊNEA E UNIFORMEMENTE CARREGADA, DE RAIO ESFÉRICO R, POSSUI</p><p>CARGA TOTAL Q. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO NO INTERIOR DESSA CASCA ESFÉRICA, PARA A</p><p>DISTÂNCIA RADIAL , EM QUE</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>4. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO DE UMA LINHA RETILÍNEA, DE COMPRIMENTO INFINITO,</p><p>CARREGADA COM UMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE, EM UM PONTO P LOCALIZADO</p><p>PERPENDICULARMENTE À LINHA.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>5. UMA SUPERFÍCIE PLANA DE DIMENSÕES INFINITAS FOI CARREGADA COM UMA DISTRIBUIÇÃO</p><p>CONTÍNUA E UNIFORME DE CARGAS ELÉTRICAS POSITIVAS, DE MODO A APRESENTAR UMA DENSIDADE</p><p>r r < R.</p><p>V (r)= 0</p><p>V (r)=</p><p>k Q</p><p>r</p><p>V (r)=</p><p>k Q</p><p>r2</p><p>V (r)=</p><p>k Q</p><p>R</p><p>V (r) =   − 2kλ  ln r</p><p>R</p><p>V (r) =  0</p><p>V (r) =</p><p>k Q</p><p>r</p><p>V (r)=  2kλ r</p><p>SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, CONSTANTE. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO GERADO A PARTIR DESSE</p><p>PLANO, EM UM PONTO P QUALQUER, AO LONGO DE SUA DIREÇÃO NORMAL (PERPENDICULAR AO</p><p>PLANO).</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>6. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, DE RAIO R, OCA E DE COMPRIMENTO INFINITO, CARREGADA</p><p>UNIFORMEMENTE COM UMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE. OBTENHA O POTENCIAL</p><p>ELÉTRICO, POR MEIO DA LEI DE GAUSS, EXTERNAMENTE À CASCA.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>GABARITO</p><p>V (p)=   − 2π k σ/z</p><p>V (p)=   − 2π k/(σ z)</p><p>V (p)=   − 2π k σ z</p><p>V (p)=   − 2π k σ</p><p>V (r) =  0</p><p>V (r) =   − 2kλ  ln r</p><p>R</p><p>V (r)=</p><p>k Q</p><p>r</p><p>V (r)=  2kλ r</p><p>1) Um anel de raio R foi homogeneamente carregado com densidade linear de cargas, λ, constante. Calcule o potencial elétrico, em</p><p>um ponto p, sobre o seu eixo axial z.</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>Nesse problema, a distribuição de cargas é contínua e finita. Então, vamos usar a definição de potencial elétrico adequada e mais simples,</p><p>ainda que se pudesse usar a definição geral. A distância s, dos elementos de carga ao ponto p, na figura seguinte, será sempre constante no</p><p>entorno do anel.</p><p>Fonte: Autor</p><p>2. Um disco homogeneamente carregado, com densidade superficial de cargas, σ, pode ser construído como uma sucessão de</p><p>anéis concêntricos, fazendo o raio, r, dos anéis variar desde a origem até o raio R. Considerando isso, calcule o potencial elétrico</p><p>desse disco, num ponto P, ao longo do seu eixo axial z.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>POTENCIAL DO DISCO</p><p>3. Uma casca esférica homogênea e uniformemente carregada, de raio esférico R, possui carga total Q. Calcule o potencial elétrico</p><p>no interior dessa casca esférica, para a distância radial , em que</p><p>V (p) = ∫</p><p>s = √R2 + z2</p><p>V (p) = ∫</p><p>V (p) =</p><p>kdq</p><p>s</p><p>kdq</p><p>√R2+z2</p><p>kQ</p><p>√R2+z2</p><p>r r < R.</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>POTENCIAL</p><p>INTERNO À CASCA ESFÉRICA</p><p>4. Calcule o potencial elétrico de uma linha retilínea, de comprimento infinito, carregada com uma densidade linear de cargas, λ,</p><p>constante, em um ponto P localizado perpendicularmente à linha.</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>O problema da linha infinita carregada já foi discutido quando do cálculo do seu campo elétrico, no módulo anterior, sendo .</p><p>Como se trata de um problema com distribuição de cargas contínua e infinita, devemos utilizar a definição geral de potencial elétrico</p><p>. Para definir o necessário ponto de referência de potencial zero, onde V(a)=0, e verificando que a solução terá</p><p>comportamento Logaritmo, vamos considerar que a linha retilínea tenha uma pequena espessura R. Assim, na superfície na linha, o potencial</p><p>será zero, V(R)=0, pois , em que R pode ser bem pequeno.</p><p>−−−→</p><p>E(r) = r̂</p><p>2kλ</p><p>r</p><p>V (r)=   − ∫ r</p><p>a</p><p>→</p><p>E .  d</p><p>→</p><p>l</p><p>lim</p><p>r→R</p><p>ln = 0r</p><p>R</p><p>Fonte: Autor</p><p>→</p><p>E = r̂2kλ</p><p>r</p><p>V(r) = − ∫</p><p>→</p><p>E ⋅ d</p><p>→</p><p>l</p><p>V (r)= − ∫ r</p><p>R (r̂ ⋅ r̂)dr'</p><p>2kλ</p><p>r'</p><p>V (r) = − ∫ r</p><p>R</p><p>dr'2kλ</p><p>r'</p><p>V (r)= −2k λ  ln r</p><p>R</p><p>5. Uma superfície plana de dimensões infinitas foi carregada com uma distribuição contínua e uniforme de cargas elétricas</p><p>positivas, de modo a apresentar uma densidade superficial de cargas, σ, constante. Calcule o potencial elétrico gerado a partir</p><p>desse plano, em um ponto P qualquer, ao longo de sua direção normal (perpendicular ao plano).</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>POTENCIAL DO PLANO INFINITO</p><p>6. Seja uma casca cilíndrica, de raio R, oca e de comprimento infinito, carregada uniformemente com uma densidade linear de</p><p>cargas, λ, constante. Obtenha o potencial elétrico, por meio da Lei de Gauss, externamente à casca.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Já trabalhamos, anteriormente, no cálculo do campo elétrico de uma casca cilíndrica infinita com densidade linear de cargas, λ, constante, no</p><p>qual obtivemos . Então, por razões semelhantes ao descrito no problema da reta infinita carregada, vamos fixar o potencial zero</p><p>sobre a superfície da casca cilíndrica. Assim, para r>R, a solução será semelhante à linha carregada infinita:</p><p>→</p><p>E =  r̂</p><p>2kλ</p><p>r</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>Considere uma esfera, de raio R e carga total Q, geradora de um potencial elétrico esfericamente simétrico. A cada distância radial esférica,</p><p>podemos traçar uma superfície esférica, de raio r, onde o potencial elétrico será o mesmo ao longo de toda essa superfície. Para cada outra</p><p>superfície equivalente, de outro raio, centrada na origem, teremos uma superfície de potencial constante. Pergunta-se: Como é possível ter</p><p>superfícies de mesmo potencial elétrico e qual a sua utilidade?</p><p>RESOLUÇÃO</p><p> Escolha uma das Etapas a seguir.</p><p>ETAPA 1</p><p>ETAPA 2</p><p>ETAPA 3</p><p>As superfícies de mesmo potencial elétrico, chamam-se superfícies equipotenciais. São aquelas nas quais uma carga de prova pode</p><p>mover-se livremente sem alteração de seu potencial elétrico.</p><p>V (r)= − ∫ r</p><p>a</p><p>→</p><p>E ⋅ d</p><p>→</p><p>l</p><p>→</p><p>E (r)= r̂</p><p>V (r)= − ∫ r</p><p>R</p><p>(r̂ ⋅ r̂) dr'</p><p>V (r)= −2kλ l n( )</p><p>2kλ</p><p>r</p><p>2kλ</p><p>r'</p><p>r</p><p>R</p><p>Fonte: Autor</p><p>No caso esférico, o potencial será , e para cada raio esférico, teremos uma superfície equipotencial naquele raio,</p><p>As linhas de campo elétrico serão perpendiculares às superfícies equipotenciais.</p><p>Como cargas elétricas somente são aceleradas na presença de diferenças de potencial elétrico, em superfícies equipotenciais isso não</p><p>ocorre. E assim, nenhum pássaro morre quando pousa em uma única linha de tensão elétrica, por exemplo.</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>V (r)=</p><p>k Q</p><p>r</p><p>VA,VB,VC, … .</p><p>→</p><p>E</p><p>1. UMA AERONAVE EM VOO, QUANDO ATRAVESSA UMA REGIÃO ATMOSFÉRICA COM ATIVIDADE</p><p>ELÉTRICA, É FACILMENTE ATINGIDA POR DIVERSAS DESCARGAS ATMOSFÉRICAS QUE, APESAR DE</p><p>BUSCAR-SE EVITAR, NÃO SÃO CAPAZES DE CAUSAR MAIORES DANOS AOS EQUIPAMENTOS, NEM AOS</p><p>PASSAGEIROS E TRIPULANTES. DA MESMA FORMA, SE UM CABO DE ALTA TENSÃO CAIR SOBRE UM</p><p>CARRO, OU OUTRO VEÍCULO AUTOMOTIVO FECHADO, NÃO CAUSARÁ DANOS AOS PASSAGEIROS, DESDE</p><p>QUE ESTES NÃO SAIAM DO VEÍCULO. APROVEITANDO ESSE FENÔMENO DAS GAIOLAS DE FARADAY, UM</p><p>ENGENHEIRO PRETENDENDO BLINDAR ELETROSTATICAMENTE UM EQUIPAMENTO ELETRÔNICO,</p><p>CONSTRUIU UMA ESFERA OCA CONDUTORA DE RAIO R, E ENVOLVEU SUA ELETRÔNICA. QUAL A</p><p>DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO A QUE ESSE EQUIPAMENTO ELETRÔNICO ESTARÁ SUBMETIDO,</p><p>DENTRO DA ESFERA CONDUTORA E OCA, CASO HAJA UM CAMPO ELÉTRICO EXTERNO À ESFERA</p><p>CONDUTORA?</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>2. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, HOMOGENEAMENTE CARREGADA, COM UMA DENSIDADE LINEAR DE</p><p>CARGAS, Λ, CONSTANTE E RAIO CILÍNDRICO R. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO INTERNAMENTE À</p><p>CASCA CILÍNDRICA, , A UMA DISTÂNCIA RADIAL R.</p><p>A)</p><p>ΔV = k</p><p>q</p><p>r</p><p>ΔV =   − 2π k σ z</p><p>ΔV = 0</p><p>ΔV = k</p><p>q</p><p>R</p><p>r < R</p><p>V(r) =  0</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>GABARITO</p><p>1. Uma aeronave em voo, quando atravessa uma região atmosférica com atividade elétrica, é facilmente atingida por diversas</p><p>descargas atmosféricas que, apesar de buscar-se evitar, não são capazes de causar maiores danos aos equipamentos, nem aos</p><p>passageiros e tripulantes. Da mesma forma, se um cabo de alta tensão cair sobre um carro, ou outro veículo automotivo fechado,</p><p>não causará danos aos passageiros, desde que estes não saiam do veículo. Aproveitando esse fenômeno das Gaiolas de Faraday,</p><p>um engenheiro pretendendo blindar eletrostaticamente um equipamento eletrônico, construiu uma esfera oca condutora de raio R,</p><p>e envolveu sua eletrônica. Qual a diferença de potencial elétrico a que esse equipamento eletrônico estará submetido, dentro da</p><p>esfera condutora e oca, caso haja um campo elétrico externo à esfera condutora?</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Considerando que um campo elétrico externo à esfera seja capaz de rearranjar cargas livres na superfície do condutor esférico, no processo</p><p>de equilíbrio eletrostático e, subdividindo a superfície do condutor em pequenos discos planos que foram carregados por indução elétrica</p><p>devido ao campo elétrico externo, vamos supor uma densidade superficial de cargas locais a cada disco σ. Como não haverá carga livre</p><p>interna ao condutor, pois atingido o equilíbrio eletrostático, uma superfície gaussiana abaixo de cada disco medirá fluxo de campo nulo,</p><p>Isso indicará campo elétrico interno nulo, do que decorre potencial elétrico constante, pois . Assim,</p><p>o potencial elétrico será constante internamente à esfera, independentemente do arranjo de cargas elétricas induzidas na superfície externa</p><p>da esfera condutora e, então, a diferença de potencial elétrico entre dois pontos quaisquer internos à esfera será zero, ∆V=0, qualquer que</p><p>seja o potencial constante interno.</p><p>V (r)=   − 2 k λ  ln r</p><p>R</p><p>V(r)=</p><p>k Q</p><p>r</p><p>V(r)=  2kλ r</p><p>Φ = ∮</p><p>→</p><p>E . n̂ dA =  0.</p><p>→</p><p>E =   −</p><p>→</p><p>∇ V(r)</p><p>2. Seja uma casca cilíndrica, homogeneamente carregada, com uma densidade linear de cargas, λ, constante e raio cilíndrico R.</p><p>Calcule o potencial elétrico internamente à casca cilíndrica, , a uma distância radial r.</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>Já trabalhamos com um problema semelhante do cálculo do potencial elétrico externo a uma casca cilíndrica com densidade linear de carga</p><p>λ. Também já discutimos o potencial elétrico interno a uma casca esférica. Mas, agora, devemos solucionar o potencial interno de uma casca</p><p>cilíndrica. Lembrando que o potencial elétrico é o trabalho por unidade de carga para trazer uma carga de prova, desde a referência em que o</p><p>potencial é zero até o ponto considerado, devemos identificar essa referência de zero potencial. O potencial elétrico externo, já solucionado</p><p>antes, é , em que a região de potencial zero deve ser definida sobre a superfície da casca cilíndrica, quando r=R. Assim,</p><p>V(R)=0. Como o potencial deve ser contínuo em todo o espaço, o potencial elétrico interno à casca cilíndrica deverá ser igual ao potencial da</p><p>superfície dessa casca, ou seja, V(r≤R)=0. Não deve haver trabalho necessário para deslocar uma carga de prova desde a superfície da</p><p>casca cilíndrica até pontos internos à mesma casca.</p><p>MÓDULO 4</p><p> Calcular a capacitância</p><p>CAPACITÂNCIA</p><p>r < R</p><p>V(r)= −2 kλln r</p><p>R</p><p>Chamamos de capacitância a habilidade de</p><p>acumulação de cargas elétricas e energia elétrica por componentes elétricos ou sistemas</p><p>elétricos, diante de diferenças de potencial elétrico.</p><p>É um fenômeno natural, que pode ser identificado na natureza, entre as nuvens e o solo, em materiais que acumularam cargas estáticas e</p><p>sua vizinhança física, em sistemas elétricos e eletrônicos, sendo macroscópicos ou microscópicos (em eletrônica em grande escala de</p><p>integração). Em termos práticos, nosso interesse está na possibilidade de utilização tecnológica dessa energia armazenada.</p><p>Fonte: jultud /Shutterstock</p><p> Figura: Imagem Ilustrativa para Capacitância</p><p>Certamente, ao ler estas linhas, seu equipamento computador, ou mídia eletrônica, possui alguns bilhões de capacitores em seus circuitos</p><p>integrados microscopicamente. Atualmente, convivemos com acumuladores elétricos de energia a todo instante: baterias, pilhas, capacitores</p><p>etc. Essencialmente, todos têm a capacidade de acumular energia em forma elétrica.</p><p> COMENTÁRIO</p><p>A simples habilidade dos materiais de acumular cargas elétricas pode transformar esse sistema em um rudimentar capacitor, e essa</p><p>habilidade pode ser mensurada por sua capacitância.</p><p>Vamos nos limitar aqui aos componentes acumuladores de energia que costumamos chamar de capacitores. A ideia essencial de um</p><p>capacitor é de um componente elétrico, ou eletrônico, composto por duas paredes condutoras separadas mecanicamente por um material</p><p>dielétrico, um não condutor ideal. Vamos deixar o aprofundamento sobre os dielétricos para o Explore+.</p><p>Por ora, vamos pensar no desenho básico de um capacitor: duas placas condutoras, dispostas paralelamente, bem próximas, mas separadas</p><p>por uma distância d. Esses componentes são essenciais à eletrônica e à elétrica em geral. Certamente, você já ouviu falar da necessidade de</p><p>correção de instalações elétricas, em indústrias, com o ajuste necessário de um banco de capacitores. Bem, isso também ficará para mais</p><p>tarde. O importante é compreender que o fenômeno da capacitância é parte da nossa experiência natural e tecnológica.</p><p>Fonte:Designua/ Shutterstock</p><p> Figura: Esquema Simples de um Capacitor</p><p>Vamos definir capacitância como a constante de proporcionalidade, de unidade S.I. Faraday (F), entre as cargas elétricas acumuladas nas</p><p>paredes de um capacitor e a diferença de potencial elétrico necessária para produzir esse acúmulo:</p><p>C =</p><p>Q</p><p>| ΔV |</p><p>Fonte: Muhammad Anuar bin Jamal/Shutterstock</p><p> Figura: Imagem Ilustrativa para Capacitores</p><p>Se um capacitor, em um circuito elétrico, for alimentado com uma diferença de potencial elétrico ∆V, por uma fonte de tensão elétrica e,</p><p>consequentemente, acumular cargas elétricas, Q, em suas paredes, de tal maneira a estabelecer a mesma diferença de potencial na região</p><p>entre essas paredes, o acúmulo de cargas cessará e o capacitor estará carregado eletricamente.</p><p>DEMONSTRAÇÃO</p><p>Os capacitores podem ser conectados em arranjos de capacitores em série e em paralelo. Sempre que conectarmos capacitores, em</p><p>combinações em série e em paralelo, o resultado será o de uma capacitância equivalente. Se precisarmos, como exemplo, de um capacitor</p><p>de determinado valor de capacitância, podemos combinar outros capacitores de forma a obter a capacitância equivalente desejada.</p><p> ATENÇÃO</p><p>Não confunda capacitores (componentes) com capacitância (fenômeno)!</p><p>ARRANJO EM PARALELO</p><p>Vamos considerar a combinação de N capacitores em paralelo, como na figura. Perceba que a carga total acumulada no sistema de</p><p>capacitores será a soma das cargas de cada capacitor Ci, em que . Ou seja, .i = 1, 2, 3, … , N Qtotal =  ∑N</p><p>i=1 Qi</p><p>Fonte:Shutterstock</p><p>Nesse arranjo, em paralelo, cada capacitor será alimentado com a mesma diferença de potencial ∆V. Então, a capacitância equivalente</p><p>Ceqem paralelo será:</p><p>Qtotal = Q1 + Q2 + ⋯ + QN</p><p>ΔV ⋅ Ceq = ΔV(C1 + C2 + ⋯ + CN)</p><p>Ceq = ∑N</p><p>i=1 Ci</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>ARRANJO EM SÉRIE</p><p>Vamos considerar, agora, a combinação de N capacitores em série, como na figura. A diferença de potencial ∆V será a soma dos potenciais</p><p>que alimentam cada capacitor</p><p>Fonte:Shutterstock</p><p>Nesse caso, como cada capacitor acumulará a mesma carga elétrica, Q, em suas paredes, pois estão em série, a capacitância equivalente</p><p>em série será:</p><p>ΔV =  ∑N</p><p>i=1 Vi.</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Vamos à prática!</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>1) UM CAPACITOR DE PLACAS PLANAS É CONSTITUÍDO POR DUAS PLACAS CONDUTORAS, PARALELAS,</p><p>DE ÁREAS IGUAIS, A, E DISTÂNCIA DE SEPARAÇÃO ENTRE AS PLACAS D. CADA PLACA TEM UMA</p><p>DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, E SÃO CARREGADAS COM CARGAS OPOSTAS, +Q E -Q.</p><p>VAMOS CONSIDERAR A SITUAÇÃO DE D2 ≪ A. CALCULE SUA CAPACITÂNCIA.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>ΔV = V1 + V2 + ⋯ + VN</p><p>= + + ⋯ +</p><p>= ∑N</p><p>i=1</p><p>Q</p><p>Ceq</p><p>Q</p><p>C1</p><p>Q</p><p>C2</p><p>Q</p><p>CN</p><p>1</p><p>Ceq</p><p>1</p><p>Ci</p><p>C = ϵ0 d/A</p><p>C = ϵ0 A/d</p><p>C = ϵ0/d</p><p>D)</p><p>2. O CAPACITOR CILÍNDRICO É CONSTITUÍDO POR DUAS CASCAS CILÍNDRICAS DE MESMO EIXO,</p><p>TAMANHOS L E RAIOS DOS CILINDROS R2 > R1. A CASCA CILÍNDRICA INTERNA É CARREGADA</p><p>POSITIVAMENTE, ENQUANTO A CASCA CILÍNDRICA EXTERNA É CARREGADA NEGATIVAMENTE, AMBAS</p><p>COM A MESMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS Λ. CONSIDERANDO HAVER VÁCUO ENTRE AS CASCAS,</p><p>CALCULE SUA CAPACITÂNCIA.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>3. O CAPACITOR ESFÉRICO É CONSTITUÍDO POR DUAS CASCAS ESFÉRICAS CONCÊNTRICAS COM RAIOS</p><p>R2 > R1. A CASCA ESFÉRICA INTERNA É CARREGADA POSITIVAMENTE, ENQUANTO A CASCA ESFÉRICA</p><p>EXTERNA É CARREGADA NEGATIVAMENTE, AMBAS COM A MESMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE</p><p>CARGAS, Σ. CONSIDERANDO HAVER VÁCUO ENTRE AS CASCAS, CALCULE SUA CAPACITÂNCIA.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C = k A/d</p><p>C =</p><p>4πϵ0R1R2</p><p>(R1−R2)</p><p>C = ϵ0 A/d</p><p>C = ϵ0/d</p><p>C =</p><p>2πϵ0L</p><p>ln( )R2</p><p>R1</p><p>C =</p><p>4πϵ0R1R2</p><p>(R2−R1)</p><p>C = ϵ0 A/d</p><p>C)</p><p>D)</p><p>4. CONSIDERE UMA COMBINAÇÃO DE TRÊS CAPACITORES EM SÉRIE, SENDO</p><p>. CALCULE A CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE .</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>5. CONSIDERE UMA COMBINAÇÃO DE TRÊS CAPACITORES EM PARALELO, SENDO</p><p>. CALCULE A CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE CEQ.</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>C = ϵ0/r</p><p>C =</p><p>2πϵ0L</p><p>ln[ ]R2</p><p>R1</p><p>C1 = 5μF ,  C2 = 10μF e C3 = 15μF Ceq</p><p>Ceq = 15μF</p><p>Ceq = 750μF</p><p>Ceq = 0,37μF</p><p>Ceq = 2,73μF</p><p>C1 = 5μF ,  C2 = 10μF e C3 = 15μF</p><p>Ceq = 15μF</p><p>Ceq = 750μF</p><p>Ceq = 30μF</p><p>Ceq = 2,73μF</p><p>6. CONSIDERE UMA COMBINAÇÃO MISTA DE TRÊS CAPACITORES ,</p><p>SENDO QUE ESTÃO EM SÉRIE E ESTES ESTÃO EM PARALELO COM . CALCULE A</p><p>CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE .</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>GABARITO</p><p>1) Um capacitor de placas planas é constituído por duas placas condutoras, paralelas, de áreas iguais, A, e distância de separação</p><p>entre as placas d. Cada placa tem uma densidade superficial de cargas, σ, e são carregadas com cargas opostas, +Q e -Q.</p><p>Vamos considerar a situação de d2 ≪ A. Calcule sua capacitância.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>CAPACITOR DE PLACAS PLANAS</p><p>C1 = 5μF ,  C2 = 10μF e C3 = 15μF</p><p>C1 e C2 C3</p><p>Ceq</p><p>Ceq = 15μF</p><p>Ceq = 18,33μF</p><p>Ceq = 30μF</p><p>Ceq = 2,73μF</p><p>2. O capacitor cilíndrico é constituído por duas cascas cilíndricas de mesmo eixo, tamanhos L e raios dos cilindros R2 > R1. A casca</p><p>cilíndrica interna é carregada positivamente, enquanto a casca cilíndrica externa é carregada negativamente, ambas com a mesma</p><p>densidade linear de cargas λ. Considerando haver vácuo entre as cascas, calcule sua capacitância.</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>CAPACITOR CILÍNDRICO</p><p>3. O capacitor esférico é constituído por duas cascas esféricas concêntricas com raios R2 > R1. A casca esférica interna é carregada</p><p>positivamente, enquanto a casca esférica externa é carregada negativamente, ambas com a mesma densidade superficial de</p><p>cargas, σ. Considerando haver vácuo entre as cascas, calcule sua capacitância.</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>CAPACITOR ESFÉRICO</p><p>4. Considere uma combinação de três capacitores em série, sendo . Calcule a capacitância</p><p>equivalente .</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>Cuidado ao calcular as quantidades inversas! Vamos expressar a resposta em Faraday, unidade S.I., de capacitância, em escala .</p><p>Uma verificação interessante desse cálculo, é que a capacitância equivalente numa</p><p>combinação em série é sempre menor que o menor</p><p>capacitor do arranjo. Isso não ocorre com combinações em paralelo de capacitores.</p><p>C1 = 5μF ,  C2 = 10μF e C3 = 15μF</p><p>Ceq</p><p>μ = 10−6</p><p>5. Considere uma combinação de três capacitores em paralelo, sendo . Calcule a capacitância</p><p>equivalente Ceq.</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Quando precisamos aumentar a capacitância em um circuito elétrico, procedemos ao arranjo em paralelo de capacitores.</p><p>6. Considere uma combinação mista de três capacitores , sendo que estão em série e</p><p>estes estão em paralelo com . Calcule a capacitância equivalente .</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>= ∑N</p><p>i=1</p><p>= + +</p><p>= 0,366 …</p><p>Ceq ≅2,73μF</p><p>1</p><p>Ceq.</p><p>1</p><p>Ci</p><p>1</p><p>Ceq.</p><p>1</p><p>5μF</p><p>1</p><p>10μF</p><p>1</p><p>15μF</p><p>1</p><p>Ceq</p><p>C1 = 5μF ,  C2 = 10μF e C3 = 15μF</p><p>Ceq = ∑N</p><p>i=1 Ci</p><p>Ceq = 5μF + 10μF + 15μF = 30μF</p><p>C1 = 5μF ,  C2 = 10μF e C3 = 15μF C1 e C2</p><p>C3 Ceq</p><p>= +</p><p>= +</p><p>= 0,3</p><p>CeqSérie</p><p>= 3,33μF</p><p>Ceqparalelo = 3,33μF + 15μF</p><p>Ceqparalelo</p><p>= 18,33μF</p><p>1</p><p>CeqSérie</p><p>1</p><p>C1</p><p>1</p><p>C2</p><p>1</p><p>CeqSérie</p><p>1</p><p>5μF</p><p>1</p><p>10μF</p><p>1</p><p>CeqSérie</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>Vamos pensar no processo de carga de um capacitor, cuja capacitância é definida linearmente pela definição padrão, .</p><p>Consideremos que esse capacitor seja alimentado com uma diferença de potencial entre suas paredes. Suponha, ainda, que possa</p><p>acumular uma carga total Q, sendo (+ Q) numa parede e (–Q) na outra. Vamos definir o potencial zero na parede negativa e o potencial na</p><p>parede positiva. Pergunta-se: Qual a é energia potencial elétrica, total, acumulada nesse capacitor?</p><p>RESOLUÇÃO</p><p> Escolha uma das Etapas a seguir.</p><p>ETAPA 01</p><p>A energia potencial elétrica é o potencial elétrico multiplicado pela carga de prova. Mas o capacitor em carga, não apresenta o potencial</p><p>elétrico V0 desde o início do processo de carga. O capacitor, na verdade, vai se carregando desde o potencial zero até o potencial V0. As</p><p>cargas elétricas vão se acumulando desde a carga zero, até a carga total Q. Assim, devemos integrar a energia potencial desde a carga zero</p><p>até a carga máxima Q.</p><p>ETAPA 02</p><p>C =</p><p>Q</p><p>|ΔV |</p><p>V0</p><p>V0</p><p>C =</p><p>Q</p><p>|ΔV |</p><p>ΔV = V0</p><p>V =</p><p>q</p><p>C</p><p>javascript:void(0)</p><p>javascript:void(0)</p><p>ETAPA 03</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. NO PROBLEMA DO CAPACITOR ESFÉRICO ANTERIOR, NO QUAL A CAPACITÂNCIA FOI CALCULADA</p><p>COMO , PENSE NA SEGUINTE CIRCUNSTÂNCIA: DESACOPLAMOS A CASCA ESFÉRICA</p><p>EXTERNA DE RAIO R2 DAS PROXIMIDADES DA CASCA ESFÉRICA INTERNA, LEVANDO-A A UMA DISTÂNCIA</p><p>INFINITA. NESSA SITUAÇÃO, QUAL SERÁ A NOVA CAPACITÂNCIA? OU SEJA, TEMOS CAPACITÂNCIA COM</p><p>UMA ÚNICA ESFERA CARREGADA? QUAL É O SEU VALOR?</p><p>A)</p><p>dU = V dq</p><p>ΔU = ∫ Q</p><p>0</p><p>V dq</p><p>ΔU = ∫ Q</p><p>0</p><p>dq</p><p>q</p><p>C</p><p>ΔU = = CV 2</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>Q2</p><p>C</p><p>1</p><p>2</p><p>C = 4πϵ0R1R2</p><p>(R2−R1)</p><p>C =</p><p>4πϵ0R1R2</p><p>(R2−R1)</p><p>javascript:void(0)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>2. POR MEIO DO CÁLCULO DA CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE ENTRE OS TERMINAIS DO CIRCUITO AO</p><p>LADO, OBTENHA A CARGA TOTAL ARMAZENADA NOS CAPACITORES, SABENDO QUE ,</p><p>,</p><p>C = 0</p><p>C = 4πϵ0R1</p><p>C = ∞</p><p>C1 = 0,2μF</p><p>C2 = 0,4μF C3 = 0,2μF  e  Δ V = 12 V olts.</p><p>FONTE: AUTOR</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>Qtotal = 0,133 μC</p><p>Qtotal = 0,333 μC</p><p>Qtotal = 0,8 μC</p><p>Qtotal = 3,996 μC</p><p>GABARITO</p><p>1. No problema do capacitor esférico anterior, no qual a capacitância foi calculada como , pense na seguinte</p><p>circunstância: desacoplamos a casca esférica externa de raio R2 das proximidades da casca esférica interna, levando-a a uma</p><p>distância infinita. Nessa situação, qual será a nova capacitância? Ou seja, temos capacitância com uma única esfera carregada?</p><p>Qual é o seu valor?</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Partindo da solução obtida no problema do capacitor esférico anterior, vamos fazer o raio . Matematicamente, devemos considerar</p><p>que tanto o numerador quanto o denominador, da capacitância do problema, terão comportamentos assimptóticos, nesse limite infinito.</p><p>Assim, devemos tratar esse comportamento assimptótico por meio do cálculo diferencial e perceber que o termo destacado tenderá</p><p>à unidade, . Então, a resposta ao problema é: Sim, uma única esfera carregada terá habilidade capacitiva, pois se</p><p>carrega eletricamente, e sua capacitância é calculável.</p><p>2. Por meio do cálculo da capacitância equivalente entre os terminais do circuito ao lado, obtenha a carga total armazenada nos</p><p>capacitores, sabendo que , ,</p><p>C =</p><p>4πϵ0R1R2</p><p>(R2−R1)</p><p>R2 → ∞</p><p>R2</p><p>(R2−R1)</p><p>lim</p><p>R2→∞</p><p>= 1</p><p>R2</p><p>(R2−R1)</p><p>C =                           R2 → ∞</p><p>C = 4πϵ0R1                           C = 4πϵ0R1</p><p>4πϵ0R1R2</p><p>(R2−R1)</p><p>R2</p><p>(R2−R1)</p><p>C1 = 0,2μF C2 = 0,4μF C3 = 0,2μF  e  Δ V = 12 V olts.</p><p>Fonte: Autor</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>= +</p><p>= +</p><p>Ceqsrrie</p><p>= 0,133μF</p><p>1</p><p>Ceqsrrie</p><p>1</p><p>C1</p><p>1</p><p>C2</p><p>1</p><p>Ceqserie</p><p>1</p><p>0,2</p><p>1</p><p>0,4</p><p>CONCLUSÃO</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>A compreensão da teoria eletromagnética e seus fenômenos pressupõe a continuação dos estudos dos conceitos e fenômenos da</p><p>Eletrostática, para distribuições contínuas de cargas elétricas e suas relações, como parte fundamental do que compreendemos hoje como a</p><p>Teoria Eletrodinâmica Clássica.</p><p>Esses conceitos são a base de toda a nossa tecnologia e experiência contemporânea. Neste tema, você estudou os fenômenos, conceitos e</p><p>definições de distribuições contínuas de cargas, seus campos, potenciais elétricos, o importantíssimo conceito de fluxo de campo, Lei de</p><p>Gauss e aplicações à capacitância. Não deixe de experimentar as indicações complementares no Explore +.</p><p>Ceqporaldio</p><p>= Ceqsrrie</p><p>+ C3</p><p>Ceqporalclo</p><p>= 0,333μF</p><p>Qtotal = Ceqparalelo</p><p>× ΔV</p><p>Qtotal = 0,333μF × 12V</p><p>Qtotal = 3,996μC</p><p>AVALIAÇÃO DO TEMA:</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BARROS, L. M. Física Teórica Experimental III. 1. ed. Rio de Janeiro: SESES, 2017.</p><p>GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2019.</p><p>HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 3.</p><p>NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. 1. ed. digital. São Paulo: Blucher, 2018.</p><p>TIPLER, P. A. Física para Cientistas e Engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.</p><p>YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III – Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2015. v. 3.</p><p>EXPLORE+</p><p>Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:</p><p>Leia: Capacitância e Dielétricos</p><p>URL: http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/4320292_2012/Cap4.pdf</p><p>Experimente: Simulador de Hockey Elétrico</p><p>URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/electric-hockey</p><p>Experimente: Simulador John-travoltage</p><p>URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/john-travoltage</p><p>Experimente: Simulador de Capacitores</p><p>URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/capacitor-lab</p><p>CONTEUDISTA</p><p>Gentil Oliveira Pires</p><p> CURRÍCULO LATTES</p><p>javascript:void(0);</p>