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<p>ac</p><p>C Á L C U L O I N T E G R A L</p><p>— Prof. ADRIANO CATTAI —</p><p>Apostila 03: Funções de Várias Variáveis</p><p>(Atualizada em 4 de novembro de 2014 )</p><p>03</p><p>NOME: DATA: / /</p><p>“Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a matemática”</p><p>(Paulo Carus)</p><p>Sumário</p><p>1 Introdução 2</p><p>2 Funções de Duas Variáveis 4</p><p>2.1 Curvas de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7</p><p>2.1.1 Mapa de Contorno da Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>2.1.2 Roteiro para Construção de Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>3 Derivadas Parciais. Taxa de Variação 11</p><p>4 Derivadas de Ordem Superior 15</p><p>4.1 Teorema de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>4.2 Equação de Laplace e Função Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>4.3 Equação de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>5 Reta Tangente e Interpretação Geométrica da Derivada Parcial 16</p><p>6 Plano Tangente e Diferencial Total 17</p><p>7 Derivadas Direcionais e Gradiente 18</p><p>8 Regra da Cadeia 19</p><p>8.1 Derivada Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>9 Máximos e Mínimos para Funções de Duas Variáveis 20</p><p>9.1 Classificação dos Pontos Críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21</p><p>10 Wolfram|Alpha 22</p><p>11 Referências 23</p><p>1</p><p>Cálculo Integral 1 Introdução</p><p>1 Introdução</p><p>Agradeço por lerem estas notas de aula e por contribuirem nas correções de digitação. Aqui apresen-</p><p>tamos as ideias básicas para introdução dos conteúdos previstos em nossa ementa. Elas foram orga-</p><p>nizadas a partir dos livros indicados na bibiografia, direcionadas às disciplinas Cálculo II (UNEB) e</p><p>Cálculo B (UFBA). Nunca esqueçam que:</p><p>X Esta apostila não substitui o livro e jamais deverá ser tratado como único texto ou como texto</p><p>base para seus estudos;</p><p>X Ela é nosso “ponto de partida” ou nossa orientação na sequência dos contéudos que iremos con-</p><p>versar em sala;</p><p>X Prestem bem atenção com a notação utilizada. A matemática possui uma linguagem própria.</p><p>Considerando o círculo de raio r, vemos que sua área e seu comprimento dependem somente da</p><p>medida do raio, isto é, A(r) = π · r2 e C(r) = 2π · r. No entanto, podemos notar que a análise de</p><p>outros numerosos fenômenos necessitam do emprego de fórmulas/relações que envolvam duas ou</p><p>mais variáveis independentes. Por exemplo:</p><p>⋄ A área de um retângulo de lados x e y é dada por A(x, y) = x · y, em que a cada par de valores x</p><p>e y corresponde um único valor bem determinado x · y;</p><p>⋄ O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z é dado por V(x, y, z) = x · y · z,</p><p>em que a cada terno (x, y, z) o volume corresponde um valor bem determinado x · y · z.</p><p>r</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>Assim, considere a seguinte definição.</p><p>Definição 1 (Função de n Variáveis)</p><p>Seja D um conjunto do espaço n-dimensional (D ⊆ R</p><p>n), isto é, os elementos de D são n-uplas</p><p>ordenadas, (x1, x2, . . . , xn), de números reais. A cada ponto P do conjunto D associamos um</p><p>único elemento z ∈ R, assim temos uma função f : D ⊆ R</p><p>n → R. Essa função é chamada de</p><p>função a n-variáveis reais a valores reais, a qual indicamos por</p><p>z = f (P) = f (x1, x2, . . . , xn).</p><p>Observação 1</p><p>(i) O conjunto D, denominado domínio da função, é o maior subconjunto do R</p><p>n (podendo ser o</p><p>próprio R</p><p>n) em que z = f (P) exista. Usamos a seguinte notação: D = Dom( f );</p><p>(ii) O conjunto de todos os valores possíveis de z que pode ser obtido aplicando a relação f aos</p><p>pontos (x1, x2, . . . , xn) é a imagem de f , a qual indicamos por Im( f );</p><p>(iii) Dizemos que z é a variável dependente e que x1, x2, . . . , xn são as variáveis independentes.</p><p>2</p><p>∣</p><p>∣ Adriano Cattai</p><p>,̈⌣ 1 Introdução</p><p>O gráfico da função f a n-variáveis reais é o conjunto dos pontos (P, z) no espaço (n+ 1)-dimensional,</p><p>em que P(x1, x2, . . . , xn) e z = f (x1, x2, . . . , xn), assim, escrevemos:</p><p>Graf( f ) = {(x1, x2, . . . , xn, z) ∈ R</p><p>n+1; z = f (x1, x2, . . . , xn)}.</p><p>Desta definição, podemos observar que:</p><p>(i) quando n = 1, a função é de uma variável (y = f (x)) e seu gráfico é</p><p>Graf( f ) = {(x, y) ∈ R</p><p>2; y = f (x)},</p><p>que é uma curva no R</p><p>2;</p><p>(ii) quando n = n, a função é de duas variável (z = f (x, y)) e seu gráfico é</p><p>Graf( f ) = {(x, y, z) ∈ R</p><p>3; z = f (x, y)},</p><p>que é uma superfície no R</p><p>3;</p><p>(iii) quando n ≥ 3, o gráfio de f não possui representação gráfica.</p><p>Exemplo 1</p><p>Seja f (x, y) =</p><p>√</p><p>9 − x2 − y2 uma função de 2 variáveis, assim seu domínio é um subconjunto do R</p><p>2</p><p>e seu gráfico é um subconjunto do R</p><p>3. Para que</p><p>√</p><p>9 − x2 − y2 seja um número real devemos ter</p><p>3</p><p>−3</p><p>3−3 x</p><p>y</p><p>9 − x2 − y2 ≥ 0 ⇔ x2 + y2 ≤ 9. Daí, escrevemos:</p><p>Dom( f ) = {(x, y) ∈ R</p><p>2; x2 + y2 ≤ 9}.</p><p>Graficamente, esse domínio representa uma região circular de</p><p>raio 3, como ilustra a figura ao lado.</p><p>A imagem de f é o intervalo [0, 3] e escrevemos Im( f ) = [0, 3].</p><p>Exemplo 2</p><p>Seja f (x, y) =</p><p>1</p><p>√</p><p>x2 + y2 − 4</p><p>uma função de 2 variáveis, assim seu domínio é um subconjunto do R</p><p>2</p><p>e seu gráfico é um subconjunto do R</p><p>3. Para que</p><p>1</p><p>√</p><p>x2 + y2 − 4</p><p>seja um número real devemos ter</p><p>2</p><p>−2</p><p>−4</p><p>2−2−4 x</p><p>y</p><p>x2 + y2 − 4 > 0 ⇔ x2 + y2 > 4. Daí, escrevemos:</p><p>Dom( f ) = {(x, y) ∈ R</p><p>2; x2 + y2</p><p>> 4}.</p><p>Graficamente, esse domínio representa a região do plano que está</p><p>no exterior do círculo de raio 2, como ilustra a figura ao lado.</p><p>A imagem de f é Im( f ) = [0,+∞).</p><p>Exemplo 3</p><p>Seja f (x, y, z) =</p><p>√</p><p>16 − x2 − y2 − z2 uma função de 3 variáveis, assim seu domínio é um subconjunto</p><p>do R</p><p>3 e seu gráfico é um subconjunto do R</p><p>4. Para que</p><p>√</p><p>16 − x2 − y2 − z2 seja um número real</p><p>devemos ter 16 − x2 − y2 − z2 ≥ 0 ou ainda x2 + y2 + z2 ≤ 16, assim</p><p>http://cattai.mat.br</p><p>∣</p><p>∣ 3</p><p>Cálculo Integral 2 Funções de Duas Variáveis</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>Dom( f ) = {(x, y, z) ∈ R</p><p>3; x2 + y2 + z2 ≤ 16}.</p><p>Graficamente, esse domínio representa uma região esférica de</p><p>raio 4, como ilustra a figura ao lado onde A(4, 0, 0), B(0, 4, 0) e</p><p>C(0, 0, 4) e que f (A) = f (B) = f (C) = 0.</p><p>Note que não é possível representar graficamente o gráfico dessa</p><p>função, pois está no R</p><p>4. A imagem de f é o intervalo [0, 4] e es-</p><p>crevemos Im( f ) = [0, 4].</p><p>2 Funções de Duas Variáveis</p><p>Por questões geométricas, iremos concentrar nossas energias às funções de duas variáveis, visto que,</p><p>em geral os resultados são válidos para funções a n-variáveis, n ≥ 3.</p><p>Definição 2 (Função de duas Variáveis)</p><p>Uma função real a duas variáveis é uma relação que transforma em um único número real z cada</p><p>par ordenado (x, y) de números reais de um certo conjunto D ⊆ R</p><p>2, chamado de domínio da</p><p>função, e escrevemos z = f (x, y). Em outras palavras</p><p>f : D ⊆ R</p><p>2 −→ R</p><p>(x, y) 7−→ z = f (x, y)</p><p>x</p><p>y</p><p>( , )x y</p><p>f</p><p>= ( )z f x,y</p><p>0</p><p>Observação 2</p><p>(i) O conjunto D = Dom( f ) é o maior subconjunto do R</p><p>2 (podendo ser o próprio R</p><p>2) em que</p><p>z = f (x, y) exista. Ele é representado através de um conjunto de pontos no planor xy;</p><p>(ii) Na equação z = f (x, y), dizemos que z é a variável dependente e que x e y são as variáveis</p><p>independentes;</p><p>(iii) O conjunto de todos os valores possíveis de z, que pode ser obtido aplicado a relação f aos</p><p>pares ordenados (x, y) ∈ D, é denominado Imagem de f , a qual indicamos por Im( f );</p><p>(iv) O gráfico da função f é o conjunto dos pontos (x, y, z) no espaço tridimensional, tal que</p><p>(x, y) ∈ Dom( f ) e z = f (x, y), em outras palavras</p><p>Graf( f ) = {(x, y, z) ∈ R</p><p>3; z = f (x, y)},</p><p>que é uma superfície no R</p><p>3, cuja projeção perpendicular ao plano xy é D.</p><p>Observe que quando (x, y) varia em D, o ponto correspondente (x, y, z) = (x, y, f (x, y)) varia</p><p>sobre a superfície.</p><p>4</p><p>∣</p><p>∣ Adriano Cattai</p><p>,̈⌣ 2 Funções de Duas Variáveis</p><p>(a) Gráfico de função (b) Curvas de nível</p><p>Dada uma superfície S, podemos nos perguntar se ela sempre representa o gráfico de uma função</p><p>z = f (x, y). A resposta é não! Sabemos que, se f é uma função, cada ponto de seu domínio pode</p><p>ter</p><p>somente uma imagem. Portanto, a superfície S só representará o gráfico de uma função z = f (x, y)</p><p>se qualquer reta perpendicular ao plano−xy corta S no máximo em um ponto.</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>Figura 1: S é gráfico de função z = f (x, y)</p><p>P</p><p>R</p><p>Figura 2: S não é gráfico de função</p><p>Observe que na figura 2 os pontos P(x1, y1, z1) e R(x2, y2, z2) são imagens de um único ponto</p><p>(x, y) do R</p><p>2 com z1 6= z2.</p><p>Exemplo 4</p><p>Seja f (x, y) =</p><p>√</p><p>1 − x2 − y2 uma função de 2 variáveis. Deste modo, seu domínio é um subconjunto</p><p>do R</p><p>2 e seu gráfico é um subconjunto do R</p><p>3. Para que</p><p>√</p><p>1 − x2 − y2 seja um número real devemos</p><p>ter 1 − x2 − y2 ≥ 0 ou ainda x2 + y2 ≤ 1, logo D( f ) = {(x, y) ∈ R</p><p>2; x2 + y2 ≤ 1}.</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>Um ponto (x, y, z) ∈ R</p><p>3 pertence ao gráfico de f se, e somente se,</p><p>z = f (x, y), isto é, z =</p><p>√</p><p>1 − x2 − y2, equivalentemente a z ≥ 0 e</p><p>z2 + x2 + y2 = 1. Deste modo, o gráfico consiste no hemisfério</p><p>superior da esfera z2 + x2 + y2 = 1, conforme figura ao lado.</p><p>A imagem de f é o intervalo [0, 1] e escrevemos Im( f ) = [0, 1].</p><p>http://cattai.mat.br</p><p>∣</p><p>∣ 5</p><p>Cálculo Integral 2 Funções de Duas Variáveis</p><p>Exemplo 5</p><p>Fazer uma representação gráfica do domínio das seguintes funções:</p><p>(a) f (x, y) = ln(x − y); (b) f (x, y) =</p><p>xy</p><p>√</p><p>x2 − y2</p><p>; (c) f (x, y) =</p><p>1</p><p>√</p><p>x2 + y2 − 25</p><p>.</p><p>Solução:</p><p>(a) Sabemos que ln(x − y) é um número real quando x − y > 0 ou</p><p>x > y. Assim, D( f ) = {(x, y) ∈ R</p><p>2; y < x}, graficamente temos a</p><p>figura ao lado.</p><p>2</p><p>4</p><p>−2</p><p>−4</p><p>2 4−2−4 x</p><p>y</p><p>(b) Sabemos que</p><p>xy</p><p>√</p><p>x2 − y2</p><p>é um número real quando x2 − y2 > 0 ou</p><p>(x − y)(x + y) > 0, logo D( f ) = {(x, y) ∈ R</p><p>2; (x − y)(x + y) > 0}.</p><p>Lembrando que (x − y)(x + y) é um número real positivo quando</p><p>x − y > 0 e x + y > 0 ou x − y < 0 e x + y < 0. Na figura, a região A</p><p>representa o primeira caso, enquanto a região B o segundo.</p><p>3</p><p>−3</p><p>2 4−2−4 x</p><p>y</p><p>AB</p><p>(c)</p><p>1</p><p>√</p><p>x2 + y2 − 25</p><p>é um número real quando x2 + y2 − 25 > 0 ou x2 +</p><p>y2 > 25, logo D( f ) = {(x, y) ∈ R</p><p>2; x2 + y2 > 25}. Esse é o conjunto</p><p>dos pontos que estão na região exterior à circunferência x2 + y2 = 25.</p><p>Conforme figura ao lado.</p><p>5</p><p>−5</p><p>5−5 x</p><p>y</p><p>Exemplo 6</p><p>Determinar o domínio da função f (x, y) =</p><p>√</p><p>y2 − 4 · ln(x − y) e esboce o conjunto no plano xy.</p><p>Solução: Nesse caso as restrições para o domínio,</p><p>são:</p><p>{</p><p>y2 − 4 ≥ 0</p><p>x − y > 0</p><p>⇒</p><p>{</p><p>y ≤ −2 ou y ≥ 2</p><p>y < x</p><p>Logo, o domínio de f é:</p><p>D( f ) = {(x, y) ∈ R</p><p>2; y ≤ −2 ou y ≥ 2 e y < x}.</p><p>Veja a representação gráfica do domínio ao lado.</p><p>3</p><p>−3</p><p>2 4−2−4 x</p><p>y</p><p>Questão 1 Determine o domínio das funções dadas a seguir e esboce os conjuntos no plano xy.</p><p>6</p><p>∣</p><p>∣ Adriano Cattai</p><p>,̈⌣ 2 Funções de Duas Variáveis</p><p>(a) f (x, y) =</p><p>√</p><p>x − 1 +</p><p>√</p><p>y;</p><p>(b) f (x, y) = 2x − y;</p><p>(c) f (x, y) = ln(x + y);</p><p>(d) g(x, y) =</p><p>2</p><p>√</p><p>x2 + y2 − 4</p><p>+</p><p>√</p><p>9 − (x2 + y2);</p><p>(e) f (x, y) =</p><p>√</p><p>y − x +</p><p>√</p><p>1 − y;</p><p>(f) f (x, y) =</p><p>x + y − 1</p><p>√</p><p>x2 + 4y2 − 16</p><p>;</p><p>(g) h(x, y) = ln(x2 + y2);</p><p>(h) f (x, y) = 1 − x − 1</p><p>2</p><p>y;</p><p>(i) f (x, y) =</p><p>√</p><p>4 − x2 − y2</p><p>y</p><p>;</p><p>(j) f (x, y) =</p><p>xy</p><p>y − x2 ;</p><p>(k) f (x, y) =</p><p>√</p><p>y − x2;</p><p>(l) f (x, y) = ln(2x + y) =</p><p>√</p><p>y − 1.</p><p>2.1 Curvas de Nível</p><p>No caso das funções de uma variável, uma maneira de obter seu gráfico é elaborar uma tabela deter-</p><p>minando os valores da função para uma série de pontos de seu domínio. Esse método rudimentar,</p><p>embora não muito eficiente, constitui uma ferramenta importante. No entanto, pra esboçar o gráfico</p><p>de uma forma mais precisa, vários outros recursos são utilizados, tais como determinação de raízes,</p><p>assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximos e mínimos etc.</p><p>Para uma função de duas variáveis, é praticamente impossível obter um esboço do gráfico apenas</p><p>criando uma tabela com os valores da função em diversos pontos de seu domínio. Para contornar essa</p><p>dificuldade, vários procedimentos são adotados. O principal deles, muito usado pelos cartógrafos na</p><p>elaboração de mapas de relevo, consiste em determinar os conjuntos de pontos do domínio da função,</p><p>em que esta permanece constante. Esses conjuntos de pontos são chamados curvas de nível da função</p><p>e são definidas assim:</p><p>Definição 3 (Curvas de Nível)</p><p>Seja k um número real. Uma curva de nível, Ck, de uma função z = f (x, y) é o conjunto de todos</p><p>os pontos do domínio da função f , tais que f (x, y) = k, ou seja,</p><p>Ck = {(x, y) ∈ D( f ); f (x, y) = k}.</p><p>Exemplo 7</p><p>Suponha que T(x, y) = 80 − x</p><p>20</p><p>− y</p><p>25</p><p>dê a temperatura em graus F no ponto com coordenadas carte-</p><p>sianas (x, y), onde x e y estão medidos em milhas.</p><p>A equação da curva ao logo do qual a temperatura tem um valor</p><p>constante e igual a 70◦F é T(x, y) = 70, isto é, 80 − 60</p><p>20</p><p>− 75</p><p>25</p><p>= 70, ou</p><p>5x + 4y = 1000.</p><p>Essa última equação, cuja representação geométrica é uma reta, é</p><p>a curva de nível para a função T(x, y), quando k = 70. Isto quer dizer</p><p>que para quaisquer par ordenado (x, y), que satisfaça a equação da</p><p>curva, terá imagem por T igual a 70.</p><p>100</p><p>200</p><p>100 200−100 x</p><p>y</p><p>Questão 2 Seja f (x, y) = ln</p><p>(</p><p>x2 +</p><p>y2</p><p>9</p><p>)</p><p>. Determine e esboce a equação da curva de nível que passa</p><p>pelo ponto (1, 0).</p><p>Dica/Resp.: Determine f (1, 0), obtendo k = ln(1) = 0. Em seguida, iguale a função a 0 para obter x2 +</p><p>y2</p><p>9</p><p>= 1,</p><p>http://cattai.mat.br</p><p>∣</p><p>∣ 7</p><p>Cálculo Integral 2 Funções de Duas Variáveis</p><p>uma elpise. Esta curva é a curva de nível 0.</p><p>Questão 3 Se V(x, y) for a voltagem ou potencial sobre um ponto (x, y) no plano XOY, então as</p><p>curvas de nível de V são chamadas de curvas equipotenciais. Ao longo de tal curva a voltagem</p><p>permanece constante. Dado que V(x, y) =</p><p>8</p><p>√</p><p>15 + x2 + y2</p><p>, identifique e trace a curva equipotencial</p><p>na qual V = 1.</p><p>Dica/Resp.: Iguale a função a 1 para obter a curva x2 + y2 = 49, que é a circunferência de raio 7 e centro (0, 0).</p><p>2.1.1 Mapa de Contorno da Superfície</p><p>Suponha que por uma função f se estabeleça a altura z = f (x, y) de uma certa superfície S do plano</p><p>xy no ponto (x, y). A intersecção de superfície S com o plano z = k produz a curva Ck constituída</p><p>por todos os pontos da superfície que estejam a k unidades acima do plano xy.</p><p>A projeção perpendicular da curva Ck sobre o plano−xy resulta na curva de nível da função f ,</p><p>cuja equação é f (x, y) = k, que também denominada de linha de contorno da superfície S. Como</p><p>ilustra a figura a seguir.</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>k -</p><p>Ck</p><p>(a) Curva de Nível (b) Curvas de nível</p><p>Desenhando um certo número de diferentes linhas de contorno, cada qual identificada pelo pró-</p><p>prio valor de k a ela associada, obtemos o mapa de contorno da superfície. Tal mapa de contorno facilita–</p><p>nos a visualização da superfície como se estivéssemos sobre ela, observando suas intersecções com</p><p>os planos horizontais de alturas variadas. Se essas alturas são consideradas de modo a diferir por</p><p>iguais quantidades, então uma grande quantidade de linhas de contorno sucessivas indica uma parte</p><p>relativamente íngreme da superfície.</p><p>Exemplo 8</p><p>Sejam f (x, y) =</p><p>√</p><p>x2 + y2 e g(x, y) = x2 + y2 duas funções de duas variáveis reais. Fazendo seções</p><p>com planos paralelos ao plano-xy ao gráfico da f e g nas alturas, k = 1, 2, 3 e k = 1, 4, 9 respectiva-</p><p>mente, temos que as curvas de nível das duas funções são circunferências de raio 1, 2 e 3 centradas</p><p>na origem, porém em níveis diferentes.</p><p>8</p><p>∣</p><p>∣ Adriano Cattai</p><p>,̈⌣ 2 Funções de Duas Variáveis</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>x</p><p>y</p><p>4</p><p>1</p><p>9</p><p>Assim usando somente as curvas de nível, podemos ter dificuldade em esboçar o gráfico corre-</p><p>tamente, se não olharmos com cuidado ao mapa de contorno. Observemos que as intersecções do</p><p>gráfico de z =</p><p>√</p><p>x2 + y2 com os planos yz e xz são as semi-retas z = ±y e z = ±x, z ≥ 0, respecti-</p><p>vamente. Por sua vez, a intersecção de z = x2 + y2 com os planos yz e xz são, respectivamente, as</p><p>parábolas z = y2 e z = x2. Essas informações ajudam a ver que o gráfico da f é um cone e que o</p><p>gráfico da g é um parabolóide.</p><p>y</p><p>z</p><p>x</p><p>3</p><p>y</p><p>z</p><p>x</p><p>9</p><p>2.1.2 Roteiro para Construção de Gráfico</p><p>Abaixo, vamos apresentar um pequeno roteiro capaz de nos dar uma ideia do gráfico da função de</p><p>duas variáveis.</p><p>Roteiro para Esboço de Gráfico:</p><p>1. Identificar o domínio da função, não é necessário a representação gráfica;</p><p>2. Encontrar as interseções</p><p>com os eixos coordenados x, y e z;</p><p>3. Interseções com os planos coordenados xy, xz e yz;</p><p>4. Identificar as seções paralelas, fazendo x = k e y = k, sendo k uma constante;</p><p>5. Encontrar as curvas de níveis e fazer o seu esboço gráfico;</p><p>6. Esboçar o gráfico da função.</p><p>Exemplo 9</p><p>Esboce o gráfico da função f (x, y) = 9x2 + 4y2, seguindo o roteiro indicado anteriormente.</p><p>Solução:</p><p>1. Identificar o domínio da função;</p><p>http://cattai.mat.br</p><p>∣</p><p>∣ 9</p><p>Cálculo Integral 2 Funções de Duas Variáveis</p><p>Veja que o domínio da função f (x, y) = 9x2 + 4y2 é D( f ) = R</p><p>2, pois, para cada par ordenado</p><p>(x, y) ∈ R</p><p>2 o valor da função é um número real.</p><p>2. Encontrar as interseções com os eixos coordenados OX, OY e OZ;</p><p>Interseção com OX: y = z = 0 ⇒ 9x2 = 0 ⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0. Logo, o ponto (0, 0, 0) é</p><p>interseção.</p><p>Interseção com OY: x = z = 0 ⇒ 4y2 = 0 ⇒ y2 = 0 ⇒ y = 0. Logo, o ponto (0, 0, 0) é</p><p>interseção.</p><p>Interseção com OZ: x = y = 0 ⇒ z = 0. Logo, o ponto (0, 0, 0) é interseção.</p><p>3. Interseções com os planos coordenados XOY, YOZ e XOZ;</p><p>Interseção com XOY: z = 0 ⇒ 9x2 + 4y2 = 0. Observe que o único ponto que satisfaz a</p><p>equação acima é o (0, 0, 0). Logo, o ponto (0, 0, 0) interseção com o plano XOY.</p><p>Interseção com YOZ: x = 0 ⇒ z = 4y2. Observe que a interseção com o eixo YOZ é uma</p><p>parábola z = 4y2.</p><p>Interseção com XOZ: y = 0 ⇒ z = 9x2. Observe que a interseção com o plano XOZ é uma</p><p>parábola z = 9x2.</p><p>4. Identificar as seções paralelas, fazendo x = k e y = k, sendo k constante:</p><p>Interseção com seções paralelas ao plano YOZ: x = k ⇒ z = 9k2 + 4y2. Observe que se k é</p><p>uma constante a equação z = 4y2 + 9k2 representa parábolas.</p><p>Interseção com seções paralelas ao plano XOZ: y = k ⇒ z = 9x2 + 4k2. Observe que se k é</p><p>uma constante a equação z = 9x2 + 4k2 representa parábolas.</p><p>5. Encontrar as curvas de níveis e fazer o seu esboço gráfico;</p><p>Para encontrarmos as curvas de níveis vamos fazer z = k, k uma constante, ou seja, vamos</p><p>identificar as seções paralelas ao plano XOY. Siga o raciocínio abaixo para verificar que essas</p><p>seções são elipses, cuja equação é dada por:</p><p>x2</p><p>(a)2 +</p><p>y2</p><p>(b)2 = 1, em que a e b são números reais</p><p>que representam os eixos menor ou maior das elipses:</p><p>9x2 + 4y2 = k ⇒ x2</p><p>1/9</p><p>+</p><p>x2</p><p>1/4</p><p>= k ⇒ x2</p><p>(</p><p>√</p><p>k/3)2</p><p>+</p><p>y2</p><p>(</p><p>√</p><p>k/2)2</p><p>= 1.</p><p>Para k ≥ 0 as curvas de níveis são elipses da forma</p><p>x2</p><p>(</p><p>√</p><p>k/3)2</p><p>+</p><p>y2</p><p>(</p><p>√</p><p>k/2)2</p><p>= 1.</p><p>Para k = 0 temos o ponto (0, 0, 0).</p><p>Para k ≤ 0 o conjunto é vazio, ou seja, não temos curvas de níveis.</p><p>10</p><p>∣</p><p>∣ Adriano Cattai</p><p>,̈⌣ 3 Derivadas Parciais. Taxa de Variação</p><p>Assim, fazendo k = 0, k = 1,k = 2, k = 3 e assim por</p><p>diante, obtemos as elipses e podemos traçar as curvas</p><p>de níveis.</p><p>k = 0 ⇒ (0, 0)</p><p>k = 1 ⇒ x2</p><p>(1/3)2 +</p><p>y2</p><p>(1/2)2 = 1</p><p>k = 2 ⇒ x2</p><p>(2/3)2 +</p><p>y2</p><p>(</p><p>√</p><p>2/2)2</p><p>= 1</p><p>k = 3 ⇒ x2</p><p>(3/3)2 +</p><p>y2</p><p>(</p><p>√</p><p>3/2)2</p><p>= 1</p><p>k = 4 ⇒ x2</p><p>(2/3)2 +</p><p>y2</p><p>(1)2 = 1</p><p>...</p><p>x</p><p>y</p><p>Observe que as curvas de níveis estão se afastando da origem. Logo, nossa superfície é uma</p><p>“depressão”.</p><p>6. Esboçar o gráfico da função;</p><p>Agora, com os dados obtidos podemos visualizar a superfície tri-dimensional e esboçar.</p><p>Veja que a nossa superfície é um parabolóide elíptico.</p><p>x y</p><p>z</p><p>3 Derivadas Parciais. Taxa de Variação</p><p>Definição 4 (Derivada Parcial)</p><p>Seja f : D ⊂ R</p><p>n → R uma função real, definida no aberto D. Dado o ponto P(x1, x2, . . . , xn) ∈</p><p>D, a i-ésima derivada parcial de f no ponto P, (em que 1 ≤ i ≤ n), é o limite</p><p>∂ f</p><p>∂xi</p><p>(P) = lim</p><p>t→0</p><p>f (P + tei)− f (P)</p><p>t</p><p>= lim</p><p>t→0</p><p>f (x1, x2, . . . , xi + t, . . . , xn)− f (x1, x2, . . . , xn)</p><p>t</p><p>se esse limite existir.</p><p>http://cattai.mat.br</p><p>∣</p><p>∣ 11</p><p>Cálculo Integral 3 Derivadas Parciais. Taxa de Variação</p><p>Usamos, ainda, as seguintes notações para</p><p>∂ f</p><p>∂xi</p><p>: ∂xi</p><p>f , fxi</p><p>, fi, etc.</p><p>Suponhamos que f é uma função de duas variáveis. Então, a derivada parcial</p><p>∂ f</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) dá a</p><p>razão instantânea de variação de f no ponto P(x0, y0) por unidade de variação de x. Isto é, a taxa de</p><p>variação de f por unidade de x no ponto P(x0, y0).</p><p>Analogamente,</p><p>∂ f</p><p>∂y</p><p>(x0, y0) dá a taxa de variação de f por unidade de y.</p><p>Exemplo 10</p><p>Ache as derivadas parciais</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>e</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>, para as seguintes funções:</p><p>(a) z = x3y4 (b) z = (x + y)2 (c) z = 5x4y2 − 2xy5 (d) z =</p><p>e2x</p><p>y</p><p>(e) z = ln(x · y)</p><p>Solução: Ao derivarmos uma função em relação a uma das variáveis, devemos considerar a</p><p>outra variável constante, ou seja,</p><p>∂F(y)</p><p>∂x</p><p>= 0 e</p><p>∂F(x)</p><p>∂y</p><p>= 0. Assim, utilizamos as mesmas regras de</p><p>derivação vistas em cálculo I.</p><p>(a) Nesse caso vamos precisar da regra de derivação do produto.</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>=</p><p>∂(x3)</p><p>∂x</p><p>· y4 + x3 ·</p><p>=0</p><p>︷ ︸︸ ︷</p><p>∂(y4)</p><p>∂x</p><p>= 3x2y4 + 0 = 3x2y4</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>=</p><p>∂(x3)</p><p>∂y</p><p>︸ ︷︷ ︸</p><p>=0</p><p>·y4 + x3 · ∂(y4)</p><p>∂y</p><p>= 0 + x3 · 4y3 = 4x3y3</p><p>(b) Aqui, usaremos a regra da potência.</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>= 2(x + y)</p><p>∂(x + y)</p><p>∂x</p><p>= 2(x + y)(1 + 0) = 2(x + y)</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= 2(x + y)</p><p>∂(x + y)</p><p>∂y</p><p>= 2(x + y)(0 + 1) = 2(x + y)</p><p>(c) Inicialmente, usaremos a regra da soma de duas funções e depois a regra do produto, em</p><p>cada parcela.</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>=</p><p>∂(5x4y2)</p><p>∂x</p><p>− ∂(2xy5)</p><p>∂x</p><p>=</p><p>∂(5x4)</p><p>∂x</p><p>· y2 + 5x4 ·</p><p>︷︸︸︷</p><p>∂y2</p><p>∂x</p><p>=0</p><p>−</p><p></p><p></p><p>∂(2x)</p><p>∂x</p><p>· y5 + 2x ·</p><p>︷ ︸︸ ︷</p><p>∂(y5)</p><p>∂x</p><p>=0</p><p></p><p></p><p>= 20x3y2 + 0 − [2y5 + 0] = 20x3y2 − 2y5</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>=</p><p>∂(5x4y2)</p><p>∂y</p><p>− ∂(2xy5)</p><p>∂y</p><p>=</p><p>∂(5x4)</p><p>∂y</p><p>︸ ︷︷ ︸</p><p>=0</p><p>·y2 + 5x4 · ∂(y2)</p><p>∂y</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂(2x)</p><p>∂y</p><p>︸ ︷︷ ︸</p><p>=0</p><p>·y5 + 2x · ∂(y5)</p><p>∂y</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= 0 + 5x4 · 2y − [0 + 2x · 5y4] = 10x4y − 10xy4</p><p>12</p><p>∣</p><p>∣ Adriano Cattai</p><p>,̈⌣ 3 Derivadas Parciais. Taxa de Variação</p><p>(d) Vamos utilizar a regra do quociente</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>=</p><p>∂(e2x)</p><p>∂x · y − e2x ·</p><p>=0</p><p>︷︸︸︷</p><p>∂(y)</p><p>∂x</p><p>y2 =</p><p>e2x · ∂(2x)</p><p>∂x · y − 0</p><p>y2 =</p><p>2ye2x</p><p>y2 =</p><p>2e2x</p><p>y</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>=</p><p>=0</p><p>︷ ︸︸ ︷</p><p>∂(e2x)</p><p>∂y</p><p>·y − e2x · ∂(y)</p><p>∂y</p><p>y2 =</p><p>0 − e2x</p><p>y2 = − e2x</p><p>y2</p><p>(e) Finalmente, usaremos a regra de derivação do logaritmo neperiano</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>=</p><p>1</p><p>xy</p><p>· ∂(xy)</p><p>∂x</p><p>=</p><p>1 · y + x · 0</p><p>xy</p><p>=</p><p>y</p><p>xy</p><p>=</p><p>1</p><p>x</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>=</p><p>1</p><p>xy</p><p>· ∂(xy)</p><p>∂y</p><p>=</p><p>0 · y + x · 1</p><p>xy</p><p>=</p><p>x</p><p>xy</p><p>=</p><p>1</p><p>y</p><p>Fique Atento! Como vimos, ao derivarmos uma função em relação a uma das variáveis, devemos</p><p>considerar a outra variável constante, ou seja,</p><p>∂F(y)</p><p>∂x</p><p>= 0 e</p><p>∂F(x)</p><p>∂y</p><p>= 0. Além disso,</p><p>∂[F(x) · G(y)]</p><p>∂x</p><p>= G(y) · ∂F(x)</p><p>∂x</p><p>e</p><p>∂[F(x) · G(y)]</p><p>∂y</p><p>= F(x) · ∂G(y)</p><p>∂y</p><p>, assim o exemplo ante-</p><p>rior pode ser respondido mais rapidamente, veja:</p><p>(a) Vamos usar a regra da potência, apenas.</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>= y4 · ∂(x3)</p><p>∂x</p><p>= 3x2y4</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= x3 · ∂(y4)</p><p>∂y</p><p>= 4x3y3</p><p>(b) Aqui, usaremos a regra da potência.</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>= 2(x + y)</p><p>∂(x + y)</p><p>∂x</p><p>= 2(x + y)(1 + 0) = 2(x + y)</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= 2(x + y)</p><p>∂(x + y)</p><p>∂y</p><p>= 2(x + y)(0 + 1) = 2(x + y)</p><p>(c) Inicialmente, usaremos a regra da soma de duas funções e depois a regra da potência.</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>=</p><p>∂(5x4y2)</p><p>∂x</p><p>− ∂(2xy5)</p><p>∂x</p><p>= y2 · ∂(5x4)</p><p>∂x</p><p>− y5 · ∂(2x)</p><p>∂x</p><p>= 20x3y2 − 2y5</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>=</p><p>∂(5x4y2)</p><p>∂y</p><p>− ∂(2xy5)</p><p>∂y</p><p>= 5x4 · ∂(y2)</p><p>∂y</p><p>− 2x · ∂(y5)</p><p>∂y</p><p>= 10x4y − 10xy4</p><p>http://cattai.mat.br</p><p>∣</p><p>∣ 13</p><p>Cálculo Integral 3 Derivadas Parciais. Taxa de Variação</p><p>(d) Inicialmente, veja que z =</p><p>e2x</p><p>y</p><p>= e2x · y−1.</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>= y−1 · ∂(e2x)</p><p>∂x</p><p>= y−1 · e2x · 2 =</p><p>2e2x</p><p>y</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= e2x · ∂(y−1)</p><p>∂y</p><p>= e2x · (−1) · y−2 = − e2x</p><p>y2</p><p>(e) Finalmente, usaremos a regra de derivação do logaritmo neperiano.</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>=</p><p>1</p><p>xy</p><p>· ∂(yx)</p><p>∂x</p><p>=</p><p>y · 1</p><p>xy</p><p>=</p><p>1</p><p>x</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>=</p><p>1</p><p>xy</p><p>· ∂(xy)</p><p>∂y</p><p>=</p><p>x · 1</p><p>xy</p><p>=</p><p>1</p><p>y</p><p>Questão 4 Ache as derivadas parciais</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>e</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>para as seguintes funções:</p><p>(a) z = x2 + 3y2</p><p>(b) z = xy</p><p>(c) z = ex + y</p><p>(d) z =</p><p>2x + 3</p><p>y − 2</p><p>(e) z = exy</p><p>(f) z = 2x3 − 11x2y + 3y2</p><p>(g) z = 6x + 16xy2 − 9y</p><p>(h) z = arctg</p><p>(</p><p>x</p><p>y</p><p>)</p><p>(i) z = ln(x + y)</p><p>(j) z = (2x + 3)(y − 2)</p><p>(k) z = ln</p><p>(</p><p>sen(x)</p><p>sen(y)</p><p>)</p><p>(l) z = ln</p><p>(</p><p>cos(y)</p><p>cos(x)</p><p>)</p><p>Questão 5 A área A da superfície lateral de um cone circular reto de altura h e raio da base r é dada</p><p>por A = πr</p><p>√</p><p>h2 + r2.</p><p>(a) Se r é mantido fixo em 3cm, enquanto h varia, encontre a taxa de variação de A em relação a h,</p><p>no instante em que a altura é e 7cm;</p><p>(b) Se h é mantido fixo em 7cm, enquanto r varia, encontre a taxa de variação de A em relação à r,</p><p>no instante em que r = 3cm.</p><p>Questão 6 Uma fábrica produz mensalmente x unidades de um produto A e y unidades de um</p><p>produto B, sendo o custo mensal de produção conjunta dado por C(x, y) = 15.000 +</p><p>√</p><p>2x2 + 8y2</p><p>reais. Num determinado</p><p>mês, foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 de B.</p><p>(a) Calcule o custo de produção neste mês;</p><p>(b) Determine</p><p>∂C</p><p>∂x</p><p>e</p><p>∂C</p><p>∂y</p><p>, neste mês;</p><p>(c) Usando o resultado do item (b), o que é mais conveniente: aumentar a produção de A e manter</p><p>a de B constante ou ao contrário? Por que?</p><p>Questão 7 Numa loja, o lucro diário L é uma função do número de vendedores x, e do capital in-</p><p>vestido em mercadorias y, (y em milhares de reais). Numa certa época tem-se, L(x, y) = 500 − (10 −</p><p>x)2 − (40 − y)2, em milhares de reais.</p><p>14</p><p>∣</p><p>∣ Adriano Cattai</p><p>,̈⌣ 4 Derivadas de Ordem Superior</p><p>(a) Calcule o lucro diário se a loja tem 4 vendedores e 30.000 reais investidos;</p><p>(b) Calcule</p><p>∂L</p><p>∂x</p><p>e</p><p>∂L</p><p>∂y</p><p>, no ponto (4, 30);</p><p>(c) É mais lucrativo aumentar o número de vendedores de uma unidade mantendo o capital inves-</p><p>tido ou investir mais 1.000 reais mantendo o número de vendedores?</p><p>4 Derivadas de Ordem Superior</p><p>Seja a função f de n variáveis x1, x2, . . . , xn. As suas derivadas de segunda ordem de f são calculadas</p><p>a partir de suas primeiras derivadas. Assim:</p><p>∂2 f</p><p>∂x2</p><p>i</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>(</p><p>∂ f</p><p>∂xi</p><p>)</p><p>e</p><p>∂2 f</p><p>∂xi∂xj</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>(</p><p>∂ f</p><p>∂xj</p><p>)</p><p>.</p><p>Para funções de duas variáveis, f (x, y), temos</p><p>∂2 f</p><p>∂x2 =</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>(</p><p>∂ f</p><p>∂x</p><p>)</p><p>,</p><p>∂2 f</p><p>∂x∂y</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>(</p><p>∂ f</p><p>∂y</p><p>)</p><p>,</p><p>∂2 f</p><p>∂y∂x</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂y</p><p>(</p><p>∂ f</p><p>∂x</p><p>)</p><p>,</p><p>∂2 f</p><p>∂y2 =</p><p>∂</p><p>∂y</p><p>(</p><p>∂ f</p><p>∂y</p><p>)</p><p>.</p><p>4.1 Teorema de Schwartz</p><p>Se f : D ⊂ R</p><p>2 → R for uma função contínua numa determinada região D com derivadas parciais</p><p>contínuas, então as derivadas mistas de segunda ordem, da função f , são iguais, ou seja:</p><p>∂2 f (x, y)</p><p>∂x∂y</p><p>=</p><p>∂2 f (x, y)</p><p>∂y∂x</p><p>.</p><p>4.2 Equação de Laplace e Função Harmônica</p><p>A equação diferencial parcial</p><p>∂2 f</p><p>∂x2 +</p><p>∂2 f</p><p>∂y2 = 0 é chamada de equação de Laplace em homenagem ao</p><p>matemático Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas de funções harmô-</p><p>nicas e são importantes no estudo da condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico.</p><p>Uma função f (x, y) é dita harmônica se satisfaz a equação de Laplace, ou seja, se</p><p>∂2 f</p><p>∂x2 +</p><p>∂2 f</p><p>∂y2 = 0.</p><p>4.3 Equação de Onda</p><p>A equação de onda</p><p>∂2u</p><p>∂t2 = a2 ∂2u</p><p>∂x2 , em que a é uma constante, descreve o movimento de uma onda</p><p>(onda do mar, onda de som, onda luminosa, onda de uma corda vibrante, etc). Uma solução para a</p><p>http://cattai.mat.br</p><p>∣</p><p>∣ 15</p><p>Cálculo Integral 5 Reta Tangente e Interpretação Geométrica da Derivada Parcial</p><p>equação da onda é uma função u(x, t). Por exemplo, se u(x, t) representa o deslocamento da corda de</p><p>um violino, no instante t e x a distancia a uma extremidade da corda, então u(x, t) satisfaz a equação</p><p>da onda. Neste caso, a constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada.</p><p>Questão 8 Usando as informações acima:</p><p>(a) verifique se as funções são harmônicas:</p><p>f (x, y) = ex sen(y) + ey cos(x); g(x, y) = ln</p><p>(√</p><p>x+y2</p><p>)</p><p>; h(x, y) = arctg</p><p>( y</p><p>x</p><p>)</p><p>.</p><p>(b) verifique se o teorema de Schwartz vale para as funções:</p><p>f (x, y) = ex−y2</p><p>; g(x, y) = ex + sen(x) · cos(y); h(x, y) = ln(xy2) + arctg(x2 − y).</p><p>(c) verifique que a função u(x, t) = sen(x − at), em que a é uma constante, satisfaz a equação de</p><p>onda.</p><p>Questão 9 Se w = f (x − at) + (x + at), com f e g dotadas de derivadas parciais segundas, mostre</p><p>que w satisfaz a equação da onda.</p><p>5 Reta Tangente e Interpretação Geométrica da Derivada Parcial</p><p>O gráfico de uma função de duas variáveis z = f (x, y) é, em geral, uma superfície em R</p><p>3. A in-</p><p>terseção do plano y = y0 (paralelo ao plano xz) com a superfície z = f (x, y), que passa pelo ponto</p><p>(0, y0, 0), é a curva C1, cuja equação é dada por:</p><p>C1 :</p><p>{</p><p>y = y0</p><p>z = f (x, y0) = g1(x)</p><p>Como a curva é plana, podemos considerá-la como o gráfico de uma função de uma variável:</p><p>g1(x) = f (x, y0). Assim, o coeficiente angular da reta tangente t1 à curva C2, no ponto P0(x0, y0, f (x0, y0)),</p><p>é dado por:</p><p>∂ f</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = g′1(x0). Assim, a equação da reta tangente, t1, é dada por:</p><p>t1 :</p><p></p><p></p><p></p><p>y = y0</p><p>z − z0 =</p><p>∂ f</p><p>∂x</p><p>(x0, y0)(x − x0)</p><p>Analogamente, a interseção do plano x = x0 com a superfície z = f (x, y) é a curva C2, cuja equação</p><p>é dada por:</p><p>C2 :</p><p>{</p><p>x = x0</p><p>z = f (x0, y) = g2(y)</p><p>O coeficiente angular da reta tangente t2 à curva C1 no ponto P0(x0, y0, f (x0, y0)) é dado por:</p><p>∂ f</p><p>∂y</p><p>(x0, y0) = g′2(y0). Assim, a equação da reta tangente, t2, é dada por:</p><p>t2 :</p><p></p><p></p><p></p><p>x = x0</p><p>z − z0 =</p><p>∂ f</p><p>∂y</p><p>(x0, y0)(y − y0)</p><p>16</p><p>∣</p><p>∣ Adriano Cattai</p><p>,̈⌣ 6 Plano Tangente e Diferencial Total</p><p>t1t2</p><p>C1C2</p><p>P0</p><p>b</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>Questão 10 Determine a equação da reta tangente ponto (−1, 1, 5) à curva obtida pela interseção da</p><p>superfície z = x2 + 4y2 com os planos (a) x = −1 e (b) y = 1.</p><p>6 Plano Tangente e Diferencial Total</p><p>Seja f : U ⊂ R</p><p>2 → R, U um subconjunto aberto. Se f (x, y) é diferenciável em (x0, y0), então, existe</p><p>um plano tangente a superfície z = f (x, y) no ponto (x0, y0) e esse plano tem por equação:</p><p>z1 = f (x0, y0) +</p><p>∂ f</p><p>∂x</p><p>(x0, y0)[x − x0] +</p><p>∂ f</p><p>∂y</p><p>(x0, y0)[y − y0].</p><p>Um vetor normal a este plano é −→n =</p><p>(</p><p>∂ f</p><p>∂x</p><p>(x0, y0),</p><p>∂ f</p><p>∂y</p><p>(x0, y0),−1</p><p>)</p><p>.</p><p>A diferencial total de f (x, y) é</p><p>d f (x, y) =</p><p>∂ f</p><p>∂x</p><p>(x, y)dx +</p><p>∂ f</p><p>∂y</p><p>(x, y)dy.</p><p>A diferencial total de f (x, y) no ponto (x0, y0) é</p><p>d f (x0, y0) =</p><p>∂ f</p><p>∂x</p><p>(x0, y0)[x − x0] +</p><p>∂ f</p><p>∂y</p><p>(x0, y0)[y − y0].</p><p>Exemplo 11</p><p>Dada a função f (x, y) = 3x3y2 − 2xy3 + xy − 1, temos</p><p>∂ f</p><p>∂x</p><p>= 9x2y2 − 2y3 + y e</p><p>∂ f</p><p>∂y</p><p>= 6x3y − 6xy2 + x</p><p>assim, a diferencial da função é</p><p>d f = (9x2y2 − 2y3 + y)dx + (6x3y − 6xy2 + x)dy</p><p>Questão 11 Encontre diferencial total e a equação do plano tangente das superfícies abaixo, nos pon-</p><p>tos indicados.</p><p>(a) z = 3x2 + xy − 2y3 em (2, 1, 12);</p><p>(b) f (x, y) = xy em (1, 1, 1)</p><p>http://cattai.mat.br</p><p>∣</p><p>∣ 17</p><p>Cálculo Integral 7 Derivadas Direcionais e Gradiente</p><p>7 Derivadas Direcionais e Gradiente</p><p>Teorema 1</p><p>Se f (x, y) é diferenciável em (x0, y0), então para todo vetor não nulo −→u existe a derivada direcional</p><p>∂ f</p><p>∂</p><p>−→u (x0, y0) e é dada por:</p><p>∂ f</p><p>∂</p><p>−→u (x0, y0) = ∇ f (x0, y0) · (a, b),</p><p>em que ∇ f (x0, y0) =</p><p>(</p><p>∂ f</p><p>∂x</p><p>(x0, y0),</p><p>∂ f</p><p>∂y</p><p>(x0, y0)</p><p>)</p><p>é o vetor gradiente de f em (x0, y0), e (a, b) =</p><p>−→</p><p>u◦ =</p><p>−→u</p><p>|−→u | .</p><p>Se ∇ f (x0, y0) 6= 0 e θ é o ângulo entre o vetor gradiente e u, temos que:</p><p>∂ f</p><p>∂</p><p>−→u (x0, y0) = |∇ f (x0), (y0)| · |u0| · cos(θ) = |∇ f (x0, y0)| · cos(θ)</p><p>Observe que o módulo do versor é 1 e, além disso, a variação das derivadas direcionais depende</p><p>apenas do cos(θ). Como o cos(θ) varia de −1 a 1, então num só ponto temos infinitas derivadas di-</p><p>recionais que varia de −|∇ f (x0, y0)| a |∇ f (x0, y0)| . Assim, a maior derivada direcional |∇ f (x0, y0)|</p><p>ocorre quando cos(θ) = 1 ⇒ θ = 0◦, ou seja, ocorre quando o vetor u e o vetor gradiente têm mesma</p><p>direção e sentido. Daí, nós podemos concluir que:</p><p>O vetor gradiente aponta para a direção e sentido em que o crescimento da função é</p><p>maior.</p><p>Da mesma forma, podemos concluir que a menor derivada direcional ocorre para cos(θ) = −1 ⇒</p><p>θ = 180◦, ou seja, se u tem a direção do gradiente e sentido contrário a ele.</p><p>Questão 12 Encontre a derivada direcional</p><p>∂ f</p><p>∂</p><p>−→u (x0, y0), sendo:</p><p>(a) f (x, y) = ex2−y2</p><p>, (x0, y0) = (1, 1) e −→u = (3, 4);</p><p>(b) f (x, y) = arctg</p><p>(</p><p>x</p><p>y</p><p>)</p><p>, (x0, y0) = (3, 3) e −→u =</p><p>(</p><p>1√</p><p>2</p><p>,</p><p>1√</p><p>2</p><p>)</p><p>;</p><p>(c) f (x, y) =</p><p>1</p><p>x2 + y2 , (x0, y0) = (3, 2) e −→u =</p><p>(</p><p>5</p><p>13</p><p>,</p><p>12</p><p>13</p><p>)</p><p>.</p><p>Questão 13 Para cada função e ponto indicado abaixo, determine</p><p>(i) Um vetor unitário na direção da derivada direcional máxima;</p><p>(ii) O valor máximo da derivada direcional.</p><p>(a) f (x, y) = x2 − 7xy + 4y2 e P0(1,−1);</p><p>(b) g(x, y) = x2 − y2 − sen(y) e P0</p><p>(</p><p>1,</p><p>π</p><p>2</p><p>)</p><p>.</p><p>18</p><p>∣</p><p>∣ Adriano Cattai</p><p>,̈⌣ 8 Regra da Cadeia</p><p>Questão 14 Uma chapa de metal aquecida está situada em um plano xy de tal modo que a tempe-</p><p>ratura T é inversamente proporcional à distância da origem. Se a temperatura em P(3, 4) é de 100o,</p><p>determine a taxa de variação de T em P na direção do vetor −→u = (1, 1). Em que direção e sentido T</p><p>cresce mais rapidamente em P? Em que direção a taxa de variação é nula?</p><p>Questão 15 O potencial elétrico V em um ponto P(x, y, z) num sistema de coordenadas retangulares</p><p>é dado por V = x2 + 4y2 + 9z2. Determine a taxa de variação de V em P(2,−1, 3)</p><p>na direção de P</p><p>para a origem. Determine a direção e sentido que produz taxa máxima de variação de V em P. Qual</p><p>a taxa máxima de variação em P?</p><p>8 Regra da Cadeia</p><p>Seja z = f (x, y) uma função diferenciável em que x = g(u, v) e y = h(u, v). Se</p><p>∂x</p><p>∂u</p><p>,</p><p>∂x</p><p>∂v</p><p>,</p><p>∂y</p><p>∂u</p><p>e</p><p>∂y</p><p>∂v</p><p>existem, então:</p><p>∂z</p><p>∂u</p><p>=</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>· ∂x</p><p>∂u</p><p>+</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>· ∂y</p><p>∂u</p><p>e</p><p>∂z</p><p>∂v</p><p>=</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>· ∂x</p><p>∂v</p><p>+</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>· ∂y</p><p>∂v</p><p>.</p><p>Esse resultado pode ser generalizado para n variáveis. Observe que ao derivarmos uma função de</p><p>várias variáveis usamos a notação de ∂ (lê-se derrom) em vez de d.</p><p>Questão 16 Usando a regra da cadeia encontre as derivadas parciais</p><p>∂z</p><p>∂u</p><p>e</p><p>∂z</p><p>∂v</p><p>da função z = 4x3 −</p><p>3x2y3 sabendo que x = u cos(v) e y = v sen(u).</p><p>8.1 Derivada Total</p><p>Seja z = f (x, y) e</p><p>{</p><p>x = g(t)</p><p>y = h(t)</p><p>t ∈ R. Podemos expressar z como uma função de uma variável</p><p>z = (g(t), h(t)). Dizemos que a derivada total de z em relação a t,</p><p>dz</p><p>dt</p><p>é dada por:</p><p>dz</p><p>dt</p><p>=</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>· dx</p><p>dt</p><p>+</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>· dy</p><p>dt</p><p>.</p><p>Exemplo 12</p><p>A derivada da função F(x, y) = x2 + 3y − 5, em que x(t) = et e y(t) = t3, pode ser obtida a partir da</p><p>função, posta em função de t, F(t) = e2t + 3t3 − 5, que é:</p><p>dF</p><p>dt</p><p>= 2e2t + 9t2.</p><p>Fazendo o uso das derivadas parciais, temos:</p><p>∂F</p><p>∂x</p><p>= 2x e</p><p>∂F</p><p>∂y</p><p>= 3.</p><p>As derivadas de x(t) e y(t) são:</p><p>dx</p><p>dt</p><p>= et e</p><p>dy</p><p>dt</p><p>= 3t2.</p><p>Assim</p><p>dF</p><p>dt</p><p>= 2x · et + 3 · 3t2 = 2et + 9t2.</p><p>http://cattai.mat.br</p><p>∣</p><p>∣ 19</p><p>Cálculo Integral 9 Máximos e Mínimos para Funções de Duas Variáveis</p><p>Questão 17 Determine a derivada total da função f (x, y) = x2y + xy2, em que</p><p>{</p><p>x(t) = 2 + t4</p><p>y(t) = 1 − t3 , t ∈</p><p>R.</p><p>Questão 18 Num dado instante, o comprimento de um lado de um retângulo é de 6cm e cresce a</p><p>taxa de a 1cm/s e o comprimento do outro lado é de 10cm e decresce a taxa de 2cm/s. Encontre a</p><p>taxa de variação da área do retângulo, no dado instante. (Sugestão: A equação que define a área do</p><p>retângulo é dada por A = x · y. Encontre a derivada total dessa função).</p><p>Questão 19 A altura de um cilindro reto de base circular está diminuindo à taxa de 10cm por minuto</p><p>e o raio está aumentando à taxa de 4cm por minuto. Encontre a taxa de variação do volume no</p><p>instante em que a altura é 50cm e o raio é de 16cm.</p><p>Questão 20 Em um dado instante, o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 10cm</p><p>e cresce à razão de 1cm por minuto e o comprimento do outro é 12cm e decresce à razão de 2cm</p><p>por minuto. Encontre a razão de variação da medida do ângulo agudo oposto ao cateto de 12cm de</p><p>comprimento, no dado instante.</p><p>9 Máximos e Mínimos para Funções de Duas Variáveis</p><p>Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais, é a da otimização de funções de várias</p><p>variáveis. Otimizar uma função, significa encontrar seu desempenho máximo ou mínimo, numa</p><p>vizanhança. Como para as funções de uma variável, quando as derivadas primeiras forem nulas,</p><p>teremos a oportunidade em avaliar se tais pontos são extremos, podendo ser máximos ou mínimos.</p><p>Para saber de que tipo são esses pontos, teremos de utilizar o Determinante Hessiano calculado no</p><p>ponto (x0, y0), definido a partir da Matriz Hessiana. Assim, primeiramente, vamos definir a Matriz</p><p>Hessiana de uma função f de n variáveis.</p><p>A matriz quadrada n × n</p><p>Hess[ f (x1, x2, . . . , xn)] =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>f11 f12 . . . f1n</p><p>f21 f22 . . . f2n</p><p>...</p><p>...</p><p>. . .</p><p>...</p><p>fn1 fn2 . . . fnn</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>das derivadas parciais de segunda ordem da função, é a Matriz Hessiana de f , em que fij =</p><p>∂ f 2</p><p>∂xi∂xj</p><p>.</p><p>Se f for de duas ou de três variáveis, temos, respectivamante, suas matrizes Hessianas:</p><p>Hess[ f (x, y)] =</p><p>[</p><p>fxx fxy</p><p>fyx fyy</p><p>]</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂ f 2</p><p>∂x2</p><p>∂ f 2</p><p>∂x∂y</p><p>∂ f 2</p><p>∂y∂x</p><p>∂ f 2</p><p>∂y2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>,</p><p>Hess[ f (x, y, z)] =</p><p></p><p></p><p>fxx fxy fxz</p><p>fyx fyy fyz</p><p>fzx fzy fzz</p><p></p><p> =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂ f 2</p><p>∂x2</p><p>∂ f 2</p><p>∂x∂y</p><p>∂ f 2</p><p>∂x∂z</p><p>∂ f 2</p><p>∂y∂x</p><p>∂ f 2</p><p>∂y2</p><p>∂ f 2</p><p>∂y∂z</p><p>∂ f 2</p><p>∂z∂x</p><p>∂ f 2</p><p>∂z∂y</p><p>∂ f 2</p><p>∂z2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>.</p><p>20</p><p>∣</p><p>∣ Adriano Cattai</p><p>,̈⌣ 9 Máximos e Mínimos para Funções de Duas Variáveis</p><p>Como consequência do Teorema de Schwartz, quando as derivadas parciais de primeira ordem</p><p>forem contínuas, a matriz Hessiana será simétrica.</p><p>Esta matriz descreve a curvatura local da função f . A matriz Hessiana foi desenvolvida no século</p><p>XIX pelo alemão Ludwig Otto Hesse, razão porque mais tarde James Joseph Sylvester lhe deu este</p><p>nome. O próprio Hesse, ao contrário, usava o termo determinantes funcionais, pois na otimização é</p><p>utilizado o determinante da matriz Hessiana, o qual definimos como função Hessiana de f e, num</p><p>determinado ponto, o chamaremos de o Hessiano de f no ponto.</p><p>⋄ Função Hessiana: FH(x, y) = det (Hess[ f ]) (x, y) =</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∂2 f</p><p>∂x2</p><p>∂2 f</p><p>∂x∂y</p><p>∂2 f</p><p>∂y∂x</p><p>∂2 f</p><p>∂y2</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>=</p><p>∂2 f</p><p>∂x2 · ∂2 f</p><p>∂y2 − ∂2 f</p><p>∂x∂y</p><p>· ∂2 f</p><p>∂y2 .</p><p>⋄ Hessiano de f no ponto (x0, y0), denotado por H(x0, y0), é:</p><p>det (Hess[ f ]) (x0, y0) =</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∂2 f</p><p>∂x2</p><p>∂2 f</p><p>∂x∂y</p><p>∂2 f</p><p>∂y∂x</p><p>∂2 f</p><p>∂y2</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>(x0,y0)</p><p>=</p><p>∂2 f (x0, y0)</p><p>∂x2 · ∂2 f (x0, y0)</p><p>∂y2 − ∂2 f (x0, y0)</p><p>∂x∂y</p><p>· ∂2 f (x0, y0)</p><p>∂y2 .</p><p>Exemplo 13</p><p>Se f (x, y) = x2y3, então a matriz Hessiana é Hess[ f ] =</p><p></p><p></p><p>2y3 6xy2</p><p>6xy2 6x2y</p><p></p><p> e, a função Hessiana é</p><p>FH(x, y) = det (Hess[ f ]) (x, y) = 12x2y4 − 36x2y4. No ponto (2, 1), temos H(2, 1) = FH(2, 1) = −96.</p><p>9.1 Classificação dos Pontos Críticos</p><p>Como a função cresce no sentido do gradiente e decresce no sentido oposto, nos pontos de máximos</p><p>e mínimos locais o gradiente será nulo, caso exista.</p><p>O ponto P0 tal que ∇ f (P0) =~0 ou não exista ∇ f (P0) é denominado ponto crítico de f . A imagem</p><p>deste ponto é denominado valor crítico de f . Um ponto é dito regular se não for crítico. Veja que, o</p><p>gradiente é nulo em P0 se as derivadas parciais se anulam neste ponto, ou seja,</p><p>∂ f (P0)</p><p>∂x</p><p>=</p><p>∂ f (P0)</p><p>∂y</p><p>= 0,</p><p>pois não há restrição alguma no produto xy.</p><p>Exemplo 14</p><p>Se f (x, y) = xy, então ∇ f (x, y) = (y, x) = ~0 se, e somente se, y = x = 0. Assim, (0, 0) é o único</p><p>ponto crítico de f . Note que não existe (x, y) tal que não exista ∇ f (x, y).</p><p>Exemplo 15</p><p>Seja f (x, y) = x · 3</p><p>√</p><p>y + 1 − x. Temos que ∇ f (x, y) =</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>y + 1 − 1,</p><p>x</p><p>3 3</p><p>√</p><p>(y + 1)2</p><p>)</p><p>, assim:</p><p>⋄ ∇ f (x, y) =~0 ⇔ 3</p><p>√</p><p>y + 1 − 1 = 0 e</p><p>x</p><p>3 3</p><p>√</p><p>(y + 1)2</p><p>= 0 ⇔ x = y = 0;</p><p>⋄ ∄ ∇ f (x, y) ⇔ y = −1, ∀ x ∈ R.</p><p>Portanto, os pontos críticos são (0, 0) e os da forma (x,−1). Note que (x,−1) é toda a reta horizontal</p><p>y = −1.</p><p>http://cattai.mat.br</p><p>∣</p><p>∣ 21</p><p>Cálculo Integral 10 Wolfram|Alpha</p><p>O critério da segunda derivada, o teste do Hessiano, para determinar se um ponto crítico (x0, y0) é</p><p>extremante de f , é:</p><p>(i) H(x0, y0) > 0 e fxx(x0, y0) < 0 (ou fyy(x0, y0) < 0) então (x0, y0) é um máximo;</p><p>(ii) H(x0, y0) > 0 e fxx(x0, y0) > 0 (ou fyy(x0, y0) > 0) então (x0, y0) é um mínimo;</p><p>(iii) H(x0, y0) < 0 então (x0, y0) é um ponto de sela;</p><p>(iv) H(x0, y0) = 0 o teste é inconclusivo.</p><p>Notação:</p><p>fxx(x0, y0) =</p><p>∂2 f (x0, y0)</p><p>∂x2 , fyy(x0, y0) =</p><p>∂2 f (x0, y0)</p><p>∂y2 , fxy(x0, y0) =</p><p>∂2 f (x0, y0)</p><p>∂x∂y</p><p>e fyx(x0, y0) =</p><p>∂2 f (x0, y0)</p><p>∂y∂x</p><p>.</p><p>Questão 21 Para cada função, determine seus pontos críticos e use o teste do Hessiano para classifi-</p><p>car esses pontos.</p><p>(a) f (x, y) = x3 − 3xy + y3;</p><p>(b) g(x, y) = x3 + 3xy + y2 − 2;</p><p>(c) h(x, y) = x5 + y4 − 5x − 32y − 3;</p><p>(d) p(x, y) = 3x4 + 8x3 − 18x2 + 6y2 + 12y − 4.</p><p>Resp.: (a) P1(0, 0) sela, P2(1, 1) mínimo; (b) P1(0, 0) sela, P2(3/2,−9/4) mínimo; (c) P1(1, 2) mínimo,</p><p>P2(−1, 2) sela; (d) P1(0,−1) sela, P2(1,−1) mínimo, P3(−3,−1) mínimo.</p><p>Questão 22 A temperatura T, em graus, em cada ponto de uma região plana é dada por por T(x, y) =</p><p>16x2 + 24x + 40y2. Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região.</p><p>Resp.: P0(3/4, 0), mínimo.</p><p>10 Wolfram|Alpha</p><p>O Wolfram|Alpha é um mecanismo de conhecimento computacional desenvolvido por Stephen Wol-</p><p>fram e sua empresa Wolfram Research. Excelente ferramenta que se demonstra como uma verdadeira</p><p>fonte dinâmica de conhecimento.</p><p>Acesse pelo endereço http://www.wolframalpha.com/ ou baixe seu aplicativo para iOS ou An-</p><p>droid.</p><p>Alguns comandos úteis para funções de duas variáveis:</p><p>1. Digitando “f(x,y)” será exibido o gráfico da função f (x, y), o mapa de contorno</p><p>e algumas</p><p>propriedades, como domínio, imagem e sua forma geométrica;</p><p>2. Digitando “d/dy f(x,y)” ele exibirá a derivada parcial de f (x, y), em relação a y.</p><p>3. Digitando “d/dx d/dy (x,y)” será determinada</p><p>∂2 f</p><p>∂x∂y</p><p>;</p><p>4. Digitando “domain of f(x,y)” ele exibirá o conjunto que representa o domínio da função f (x, y);</p><p>5. Digitando “grad f(x,y)” será exibido o vetor ∇ f (x, y);</p><p>Se o usuário estiver logado terá disponível a versão interativa, clicando em “Enable interacivity”.</p><p>Vale muito a pena!</p><p>22</p><p>∣</p><p>∣ Adriano Cattai</p><p>,̈⌣ 11 Referências</p><p>11 Referências</p><p>1. Diva Flemming – Cálculo B;</p><p>2. Eliana Patres – DMAT/UFBA;</p><p>3. Humberto José Bortolossi – UFF/RJ;</p><p>4. James Stwart – Cálculo;</p><p>5. Louis Leithold – O Cálculo com Geometria Analítica;</p><p>6. Piskunov – Cálculo Diferencial e Integral.</p><p>Texto composto em LATEX 2ε, Cattai, 4 de novembro de 2014</p><p>http://cattai.mat.br</p><p>∣</p><p>∣ 23</p><p>Introdução</p><p>Funções de Duas Variáveis</p><p>Curvas de Nível</p><p>Mapa de Contorno da Superfície</p><p>Roteiro para Construção de Gráfico</p><p>Derivadas Parciais. Taxa de Variação</p><p>Derivadas de Ordem Superior</p><p>Teorema de Schwartz</p><p>Equação de Laplace e Função Harmônica</p><p>Equação de Onda</p><p>Reta Tangente e Interpretação Geométrica da Derivada Parcial</p><p>Plano Tangente e Diferencial Total</p><p>Derivadas Direcionais e Gradiente</p><p>Regra da Cadeia</p><p>Derivada Total</p><p>Máximos e Mínimos para Funções de Duas Variáveis</p><p>Classificação dos Pontos Críticos</p><p>Wolfram|Alpha</p><p>Referências</p>