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<p>Gráficos - Parte I</p><p>Matemática</p><p>3o bimestre - Aula 09 – Sequência de Atividade 3 – Aulas 7 e 8</p><p>Ensino Médio</p><p>● Funções seno e cosseno. ● Construir gráficos das funções seno</p><p>e cosseno a partir da tabela de</p><p>valores;</p><p>● Construir gráficos das funções seno</p><p>e cosseno com o auxílio de um</p><p>aplicativo de geometria dinâmica;</p><p>● Reconhecer as diferenças e as</p><p>semelhanças entre os gráficos das</p><p>funções y = sen(x) e y = cos(x).</p><p>O modelo da circunferência</p><p>trigonométrica precisa ser bem</p><p>compreendido para que o estudo de</p><p>conceitos relacionados a ela possa ser</p><p>realizado com qualidade. Para isso, é</p><p>importante :</p><p>• identificar a posição da extremidade</p><p>final de um arco medido em graus;</p><p>• identificar a posição da extremidade</p><p>final de um arco medido em radianos;</p><p>• converter para radianos uma medida</p><p>de arco expressa em graus.</p><p>#retomando</p><p>Na figura, o ponto azul indica 30º. Quais são</p><p>os valores dos seno, cosseno e tangente de</p><p>30º? Qual é o valor da medida do arco que</p><p>compreende o ângulo de 30º em radianos?</p><p>FAÇA AGORA</p><p>5 MINUTOS</p><p>#retomando a representação gráfica das funções seno e cosseno</p><p>• As curvas obtidas a partir das funções seno</p><p>e cosseno são denominadas senoide e</p><p>cossenoide, respectivamente.</p><p>• O domínio da função é o conjunto dos</p><p>números reais.</p><p>• O conjunto imagem é 𝑦 ∊ ℝ / –1 ≤ 𝑦 ≤ 1 .</p><p>Gráfico da função cosseno</p><p>Gráfico da função seno</p><p>CERTO É</p><p>CERTO 15 MINUTOS</p><p>CONTINUA</p><p>Estudo dos parâmetros das funções trigonométricas seno e cosseno</p><p>https://www.geogebra.org/m/z9gJwjss</p><p>• As funções 𝒇(𝒙)=𝒄𝒐𝒔(𝒙) e 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 são consideradas um caso particular das</p><p>funções trigonométricas do tipo: 𝒇(𝒙)=𝒂+𝒃∙𝒄𝒐𝒔(𝒄𝒙+𝒅) e 𝒇 𝒙 = 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝒄𝒙 + 𝒅),</p><p>respectivamente, pois são obtidas quando os parâmetros: 𝑎 = 0, 𝑏 = 0, 𝑐 = 1 𝑒 𝑑 = 0.</p><p>• O período de uma função trigonométrica é determinado por: 𝑝 =</p><p>2𝜋</p><p>𝑐</p><p>.</p><p>Para facilitar e dinamizar o estudo das alterações causadas pelos parâmetros na</p><p>representação gráfica das funções seno e cosseno, acesse o link:</p><p>https://www.geogebra.org/m/z9gJwjss (acesso em: 04 jun. 2024).</p><p>Neste ambiente interativo, você poderá simular diferentes resultados ao mover os</p><p>controles deslizantes, permitindo a exploração e compreensão dos parâmetros das</p><p>funções trigonométricas. Nesse percurso, poderá avaliar as transformações que as</p><p>constantes a, b, c e d impõem aos gráficos das funções elementares.</p><p>CONTINUA</p><p>https://www.geogebra.org/m/z9gJwjss</p><p>Parâmetros das funções trigonométricas seno e cosseno</p><p>A partir do simulador, conforme sugerido anteriormente, resumimos, a seguir, os papeis dos</p><p>parâmetros a, b, c e d nos gráficos das funções seno e cosseno:</p><p>• Parâmetro “a”: desloca, verticalmente, o gráfico em 𝑎 unidades para cima, se 𝑎 > 0; ou</p><p>para baixo, se 𝑎 < 0.</p><p>• Parâmetro “b”: altera a amplitude (aumenta, se 𝑏 > 1; ou diminui, se 𝑏 < 1).</p><p>• Parâmetro “c”: altera o período da função (diminui, se 𝑐 < 1; ou aumenta, se 𝑐 > 1).</p><p>• Parâmetro “d”: desloca, horizontalmente, o gráfico da função em</p><p>𝑑</p><p>𝑐</p><p>unidades; ou para a</p><p>esquerda, se 𝑑 > 0; ou para a direita, se 𝑑 < 0.</p><p>Esboce o gráfico das funções no plano cartesiano e determine o seu conjunto imagem e o</p><p>período de cada função:</p><p>a)𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠(2𝑥)</p><p>b)𝑔(𝑥)=2,5𝑐𝑜𝑠(𝑥)</p><p>TODO</p><p>MUNDO</p><p>ESCREVE</p><p>15 MINUTOS</p><p>Correção</p><p>Esboce o gráfico das funções e determine o seu conjunto imagem e o período de cada função:</p><p>a)𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠(2𝑥)</p><p>O conjunto imagem da função 𝑓 é dado</p><p>por 𝐼𝑚 𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 .</p><p>O período 𝑝 =</p><p>2𝜋</p><p>𝑐</p><p>=</p><p>2𝜋</p><p>2</p><p>= 𝜋 , logo 𝑝 = 𝜋</p><p>Correção</p><p>Esboce o gráfico das funções e determine o seu conjunto imagem e o período de cada função:</p><p>b) 𝑔(𝑥) = 2,5𝑐𝑜𝑠(𝑥)</p><p>O conjunto imagem da função 𝑓 é dado</p><p>por 𝐼𝑚 𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ −2,5 ≤ 𝑥 ≤ 2,5 .</p><p>O período 𝑝 =</p><p>2𝜋</p><p>𝑐</p><p>=</p><p>2𝜋</p><p>1</p><p>= 2𝜋 , logo 𝑝 = 2𝜋</p><p>Esboce o gráfico das funções no plano cartesiano e determine o seu conjunto imagem e o</p><p>período de cada função:</p><p>a)f x = sen 2x</p><p>b)g x = 2,5sen(x)</p><p>TODO</p><p>MUNDO</p><p>ESCREVE</p><p>5 MINUTOS</p><p>Correção</p><p>Esboce o gráfico das funções e determine o seu conjunto imagem e o período de cada função:</p><p>a) f x = sen(2x)</p><p>O conjunto imagem da função 𝑓 é dado</p><p>por 𝐼𝑚 𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 .</p><p>O período 𝑝 =</p><p>2𝜋</p><p>𝑐</p><p>=</p><p>2𝜋</p><p>2</p><p>= 𝜋 , logo 𝑝 = 𝜋</p><p>Correção</p><p>Esboce o gráfico das funções e determine o seu conjunto imagem e o período de cada função:</p><p>b) g x = 2,5sen(x)</p><p>O conjunto imagem da função 𝑓 é dado por</p><p>𝐼𝑚 𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ −2,5 ≤ 𝑥 ≤ 2,5 .</p><p>O período 𝑝 =</p><p>2𝜋</p><p>𝑐</p><p>=</p><p>2𝜋</p><p>1</p><p>= 2𝜋 , logo 𝑝 = 2𝜋</p><p>Os movimentos ondulatórios (periódicos) são</p><p>representados por equações do tipo ±𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 𝜃), que</p><p>apresentam parâmetros com significados físicos</p><p>importantes, tais como a frequência 𝑤 =</p><p>2𝜋</p><p>𝑇</p><p>, em que T é o</p><p>período; A é a amplitude ou deslocamento máximo; 𝜃 é o</p><p>ângulo de fase 0≤ 𝜃 ≤</p><p>2𝜋</p><p>𝑤</p><p>, que mede o deslocamento no</p><p>eixo horizontal em relação à origem no instante inicial do</p><p>movimento. O gráfico representa um movimento periódico,</p><p>P=P(t), em centímetros, em que P é a posição da cabeça</p><p>do pistão do motor de um carro em um instante t, conforme</p><p>ilustra a figura.</p><p>(ENEM 2019)</p><p>A expressão algébrica que representa a posição P(t), da cabeça do pistão, em função do tempo</p><p>t, é</p><p>a) 𝑃 𝑡 = 4𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 𝑏) 𝑃 𝑡 = −4𝑠𝑒𝑛 2𝑡 c)𝑃 𝑡 = −4𝑠𝑒𝑛 4𝑡 d) 𝑃 𝑡 = 4𝑠𝑒𝑛 2𝑡 +</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>e) 𝑃 𝑡 = 4𝑠𝑒𝑛 4𝑡 +</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>5 MINUTOSMOSTRE-ME</p><p>No gráfico, identificamos o valor da amplitude A = 4,</p><p>o ângulo de fase θ = 0, pois não há deslocamento</p><p>horizontal, o período T = π e calculamos a frequência</p><p>w dada por</p><p>w =</p><p>2π</p><p>T</p><p>⇒</p><p>2π</p><p>π</p><p>⇒ w = 2</p><p>Substituindo os parâmetros A = 4, w = 2 e θ = 0 em</p><p>±Asen(wt+ θ), temos ±4sen(2t) e, observando que o</p><p>gráfico mantem o mesmo comportamento de</p><p>crescimento/decrescimento que a função elementar</p><p>sen(x), a expressão algébrica que representa a</p><p>posição P(t) da cabeça do pistão em função do tempo</p><p>t é P t = 4sen 2t .</p><p>Portanto, alternativa correta: A.</p><p>Correção: (ENEM 2019)</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>AAP – 2019 (Adaptada) - Dado o gráfico da função y = sen(x), no intervalo de 0 a 4𝜋, sabe-se que</p><p>os pontos A e B têm o mesmo seno como indicado. Os pontos A e B pertencem, respectivamente, ao</p><p>1o e 3o quadrantes.</p><p>3o e 4o quadrantes.</p><p>2o e 4o quadrantes.</p><p>2o e 3o quadrantes.</p><p>1o e 4o quadrantes.</p><p>5 MINUTOSMOSTRE-ME</p><p>CONTINUA</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>AAP – 2019 (Adaptada) - Dado o gráfico da função y = sen(x), no intervalo de 0 a 4𝜋, sabe-se que</p><p>os pontos A e B têm o mesmo seno como indicado. Os pontos A e B pertencem, respectivamente, ao</p><p>1o e 3o quadrantes.</p><p>3o e 4o quadrantes.</p><p>2o e 4o quadrantes.</p><p>2o e 3o quadrantes.</p><p>1o e 4o quadrantes.</p><p>Ao analisar o gráfico, nota-se que os pontos A e B</p><p>estão entre π e 2 π. O ponto A está antes de</p><p>3𝜋</p><p>2</p><p>e o</p><p>ponto B está depois, ou seja, A e B se encontram no</p><p>3o e 4o quadrantes, respectivamente.</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>UNESP – 2018 (Adaptada) A figura indica os</p><p>gráficos das funções I, II e III, em que A, B e C</p><p>são pontos de interseção entre as funções.</p><p>Desse modo, 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 é igual a</p><p>538°</p><p>460°</p><p>432°</p><p>540°</p><p>488°</p><p>5 MINUTOSMOSTRE-ME</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>Correção: UNESP – 2018 (Adaptada) A figura indica os gráficos das funções I, II e III, em</p><p>que A, B e C são pontos de interseção entre as funções. Desse modo, 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 é igual a</p><p>538°</p><p>460°</p><p>432°</p><p>540°</p><p>488°</p><p>Ao analisar o gráfico, nota-se que os</p><p>pontos B e C são os simétricos a A no</p><p>3o e 4o quadrantes.</p><p>B = 72° + 180° = 252°</p><p>C = 360° – 72° = 288°</p><p>Logo, 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 = 252° + 288° = 540°</p><p>Alternativa C</p><p>● Construímos gráficos das funções seno e cosseno a partir da tabela de valores;</p><p>● Construímos gráficos das funções seno e cosseno com o auxílio de um aplicativo</p><p>de geometria dinâmica;</p><p>● Reconhecemos as diferenças e as semelhanças entre os gráficos das funções y =</p><p>sen(x) e y = cos(x).</p><p>LEMOV, D. Aula Nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto</p><p>Alegre: Penso, 2023.</p><p>SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista,</p><p>2019. Disponível em:</p><p>https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-</p><p>content/uploads/2023/02/Curriculo_Paulista-etapas-Educa%C3%A7%C3%A3o-Infantil-e-</p><p>Ensino-Fundamental-ISBN.pdf. Acesso em: 5 jun. 2024.</p><p>SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre, 2024. Caderno do</p><p>Aluno, 2o ano do Ensino Médio, v. 2.</p><p>.</p><p>https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/02/Curriculo_Paulista-etapas-Educa%C3%A7%C3%A3o-Infantil-e-Ensino-Fundamental-ISBN.pdf</p><p>https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/02/Curriculo_Paulista-etapas-Educa%C3%A7%C3%A3o-Infantil-e-Ensino-Fundamental-ISBN.pdf</p><p>https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/02/Curriculo_Paulista-etapas-Educa%C3%A7%C3%A3o-Infantil-e-Ensino-Fundamental-ISBN.pdf</p><p>Lista de imagens e vídeos</p><p>Slide 1 – Imagem de capa: SEDUC</p><p>Slides 3, 4, 8, 9, 11 e 12 – elaborado pelo autor.</p><p>Slides 13 e 14 – INEP. Disponível em:</p><p>https://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2019/2019_PV</p><p>_reaplicacao_PPL_D2_CD7.pdf</p><p>https://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2019/2019_PV_reaplicacao_PPL_D2_CD7.pdf</p><p>https://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2019/2019_PV_reaplicacao_PPL_D2_CD7.pdf</p><p>Slide 1</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3: #retomando</p><p>Slide 4: #retomando a representação gráfica das funções seno e cosseno</p><p>Slide 5: Estudo dos parâmetros das funções trigonométricas seno e cosseno</p><p>Slide 6: Parâmetros das funções trigonométricas seno e cosseno</p><p>Slide 7: Esboce o gráfico das funções no plano cartesiano e determine o seu conjunto imagem e o período de cada função:</p><p>Slide 8: Correção Esboce o gráfico das funções e determine o seu conjunto imagem e o período de cada função:</p><p>Slide 9: Correção Esboce o gráfico das funções e determine o seu conjunto imagem e o período de cada função:</p><p>Slide 10: Esboce o gráfico das funções no plano cartesiano e determine o seu conjunto imagem e o período de cada função:</p><p>Slide 11: Correção Esboce o gráfico das funções e determine o seu conjunto imagem e o período de cada função:</p><p>Slide 12: Correção Esboce o gráfico das funções e determine o seu conjunto imagem e o período de cada função:</p><p>Slide 13: (ENEM 2019)</p><p>Slide 14: Correção: (ENEM 2019)</p><p>Slide 15: AAP – 2019 (Adaptada) - Dado o gráfico da função y = sen(x), no intervalo de 0 a 4𝜋, sabe-se que os pontos A e B têm o mesmo seno como indicado. Os pontos A e B pertencem, respectivamente, ao</p><p>Slide 16: AAP – 2019 (Adaptada) - Dado o gráfico da função y = sen(x), no intervalo de 0 a 4𝜋, sabe-se que os pontos A e B têm o mesmo seno como indicado. Os pontos A e B pertencem, respectivamente, ao</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18: Correção: UNESP – 2018 (Adaptada) A figura indica os gráficos das funções I, II e III, em que A, B e C são pontos de interseção entre as funções. Desse modo, x inferior à linha maiúscula B mais x inferior à linha maiúscula C é igual a</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p>