Aula 4 - Máximos e mínimos em contextos de função quadrática

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Máximos e mínimos em contextos de 
função quadrática
Matemática
3o bimestre - Aula 04 – Sequência de Atividades 2 
Ensino Médio
● Funções polinomiais do 2o grau 
(função quadrática): gráfico, raízes, 
pontos de máximo/mínimo, 
crescimento/decrescimento, 
concavidade;
● Gráficos de funções.
● Analisar situações envolvendo ideia 
de máximo e mínimo em contexto;
● Identificar os intervalos de 
crescimento e decrescimento de 
funções polinomiais do 2o grau;
● Estudar o sinal da função polinomial 
do 2o grau. 
No plano cartesiano ao lado está 
representado o esboço de uma função 
polinomial do segundo grau. Colete os 
dados necessários e escreva a lei de 
formação da função.
O que sabemos sobre os coeficientes 
a, b e c dessa função? 
Qual é o ponto mais alto nessa curva? 
#retomando
5 MINUTOS
CONTINUA
VIREM E 
CONVERSEM
Pontos de intersecção com os 
eixos:
Eixo x: (2,0) e (-8,0)
Zeros da função: 𝒙𝟏 = 𝟐 𝒆 𝒙𝟐 = −𝟖
Eixo y: (0,16)
Coeficiente c = 16
Forma fatorada: 
−𝟏 ∙ 𝒙 − 𝟐 ∙ (𝒙 + 𝟖)
Forma polinomial: 
𝐟 𝐱 = −𝐱𝟐 − 𝟔𝐱 + 𝟏𝟔
Correção
Dizemos que o número yM ∈ Im f é o 
valor máximo da função 
y = f x se, e somente se, yM ≥ y para 
qualquer y ∈ Im f .
O número xM ∈ D f tal que
yM = f xM é chamado ponto de máximo 
da função. 
Se a < 0, a função polinomial do segundo 
grau, y = ax
2
+ bx + c admite valor máximo 
yM= −
Δ
4a
para xM = −
b
2a
Máximo e mínimo de uma função 
polinomial do segundo grau
CONTINUA
CERTO É 
CERTO 
10 MINUTOS
Dizemos que o número ym ∈ Im f é o 
valor mínimo da função 
y = f x se, e somente se, ym ≤ y para 
qualquer y ∈ Im f . 
O número xm ∈ D f tal que ym = f xm
é chamado ponto de mínimo da 
função.
Se a > 0, a função polinomial do 
segundo grau, y = ax
2
+ bx + c admite 
valor mínimo 
ym = −
Δ
4a
para xm = −
b
2a
Máximo e mínimo de uma 
função polinomial do segundo 
grau
B
C
D
E
A
Atividade 6 (p. 142, 2024) – Adaptada Sobre a função 
f(x) = x² – 2x – 3, representada na figura, é correto afirmar 
que:
seus valores são negativos para qualquer valor de x. 
seu menor valor ocorre quando x = –1. 
é decrescente para –1 < x < 3.
tem somente valores positivos para x > 0. 
é crescente para x > 1.
CONTINUA
5 MINUTOS
B
C
D
E
A
Correção
Atividade 6 (p. 142, 2024) – Adaptada Sobre a função 
f(x) = x² – 2x – 3, representada na figura, é correto afirmar que:
seus valores são negativos 
para qualquer valor de x. 
seu menor valor ocorre 
quando x = –1. 
é decrescente para –1 < x < 3.
tem somente valores positivos 
para x > 0. 
é crescente para x > 1.
O vértice está em (1, – 4)
Logo, a função f(x) é:
• Crescente para x > 1
• Decrescente para x < 1
B
C
D
E
A
Atividade 3 (p. 140, 2024) – AAP 2018 – Uma empresa produz certo tipo de peça 
que tem seu custo definido pela função C(x) = 2x² – 40x + 2000. 
A quantidade de peças que deve produzir para que o custo seja mínimo é: 
10.
80.
40.
30.
20.
CONTINUA
5 MINUTOS
FAÇA AGORA
B
C
D
E
A
Correção – Atividade 3 (p. 140, 2024) – AAP 2018 – Uma empresa produz certo 
tipo de peça que tem seu custo definido pela função C(x) = 2x² – 40x + 2000. 
A quantidade de peças que deve produzir para que o custo seja mínimo é:
10
80
40
30
20
𝒙𝑽 =
−𝒃
𝟐𝒂
=
− −𝟒𝟎
𝟐 𝟐
=
𝟒𝟎
𝟒
= 𝟏𝟎
Nessa função C(x), a = 2, b = –40 e c = 
2.000
O custo mínimo corresponde ao x do 
vértice é dado por: 
Uma empresa oferece o fretamento de um ônibus de 48 lugares na seguinte condição: cada 
passageiro vai pagar R$ 42,00 fixos mais R$ 3,00 por lugar vago no ônibus. Por exemplo, se 
sobrarem seis lugares vagos, cada passageiro vai pagar R$ 60,00 42 + 6 ∙ 3 = 60 .
Para que a empresa consiga arrecadar a maior quantia possível, quantos lugares devem ser 
ocupados? Nesse caso, qual é a quantia arrecadada pela empresa? 
Otimizando resultados
TODO MUNDO 
ESCREVE 20 MINUTOS
Pelo enunciado temos:
𝐱: 𝐪𝐮𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞 𝐝𝐞 𝐥𝐮𝐠𝐚𝐫𝐞𝐬 𝐯𝐚𝐠𝐨𝐬 𝐧𝐨 ô𝐧𝐢𝐛𝐮𝐬.
𝐟 𝐱 : 𝐪𝐮𝐚𝐧𝐭𝐢𝐚 𝐞𝐦 𝐫𝐞𝐚𝐢𝐬 𝐫𝐞𝐜𝐞𝐛𝐢𝐝𝐚 𝐩𝐞𝐥𝐨 𝐟𝐫𝐞𝐭𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨.
𝟒𝟖 − 𝐱: 𝐪𝐮𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞 𝐝𝐞 𝐥𝐮𝐠𝐚𝐫𝐞𝐬 𝐯𝐚𝐠𝐨𝐬 𝐧𝐨 ô𝐧𝐢𝐛𝐮𝐬.
𝟒𝟐 + 𝟑𝐱: 𝐪𝐮𝐚𝐧𝐭𝐢𝐚 𝐞𝐦 𝐫𝐞𝐚𝐢𝐬 𝐩𝐚𝐠𝐨𝐬 𝐩𝐨𝐫 𝐩𝐚𝐬𝐬𝐚𝐠𝐞𝐢𝐫𝐨.
𝐟 𝐱 = (𝟒𝟖 − 𝐱) ∙ (𝟒𝟐 + 𝟑𝐱)
Correção
CONTINUA
Correção
𝒇 𝒙 = 𝟒𝟖 − 𝒙 ∙ 𝟒𝟐 + 𝟑𝒙
𝒇 𝒙 = 𝟐. 𝟎𝟏𝟔 + 𝟏𝟒𝟒𝒙 − 𝟒𝟐𝒙 − 𝟑𝒙𝟐
𝒇 𝒙 = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟐𝒙 + 𝟐. 𝟎𝟏𝟔
𝒂 = −𝟑, 𝒃 = 𝟏𝟎𝟐, 𝒄 = 𝟐𝟎𝟏𝟔
𝒂 < 𝟎, concavidade voltada para baixo, 
logo a função admite valor máximo. 
Para determinar a quantia máxima que a 
empresa pode arrecadar com o 
fretamento do ônibus, calculamos o valor 
máximo da função. 
∆= 𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄
∆= 𝟏𝟎𝟐𝟐 − 𝟒 ∙ −𝟑 ∙ 𝟐. 𝟎𝟏𝟔
∆= 𝟏𝟎. 𝟒𝟎𝟒 + 𝟐𝟒. 𝟏𝟗𝟐
∆= 𝟑𝟒. 𝟓𝟗𝟔
CONTINUA
Correção
𝒚𝒎 = −
∆
𝟒𝒂
⟹ 𝒚𝒎 = −
𝟑𝟒 𝟓𝟗𝟔
𝟒 ∙ −𝟑
⟹
𝒚𝒎 =
𝟑𝟒 𝟓𝟗𝟔
(−𝟏𝟐)
⟹ 𝒚𝒎 =
𝟑𝟒 𝟓𝟗𝟔
𝟏𝟐
= 𝟐. 𝟖𝟖𝟑
Portanto, a quantia máxima que a 
empresa pode receber pelo fretamento do 
ônibus é de R$ 2.883,00.
Quantidade de lugares vagos, referentes à 
arrecadação máxima:
𝒙𝑴 = −
𝒃
𝟐𝒂
⟹ 𝒙𝑴 = −
𝟏𝟎𝟐
𝟐 ∙ −𝟑
⟹
⟹ 𝒙𝑴 = −
𝟏𝟎𝟐
−𝟔
⟹ 𝒙𝑴 =
𝟏𝟎𝟐
𝟔
⟹ 𝒙𝒎 = 𝟏𝟕
CONTINUA
Correção
Desse modo, podemos concluir que a 
empresa vai arrecadar a quantia máxima 
se 17 lugares ficarem vagos no ônibus, ou 
seja, se 31 lugares forem ocupados. 
Portanto, para que a empresa consiga 
arrecadar a quantia máxima de R$ 
2.883,00 é necessário que 31 lugares 
estejam ocupados. 
B
C
D
E
A
ENEM 2013 (PPL) – Adaptada – O proprietário de uma casa de shows observou que, 
com o ingresso a R$ 10,00, havia 1.000 pessoas por show. Porém, a partir de R$ 
10,00, a cada R$ 2,00 de aumento no valor do ingresso eram 40 pessoas a menos. A 
expressão que relaciona o faturamento (F) com a quantidade de pessoas (P) é:
𝐹 = −
P²
20
+ 60P
𝐹 = −𝑃² + 1.200P
𝐹 = −
P²
20
+ 60
𝐹 = 𝑃2 – 1.200P
𝐹 =
P²
20
– 60P
5 MINUTOS
Dica: considere V como o valor de cada ingresso e n como a 
quantidade de aumentos de R$ 2,00 
CONTINUA
MOSTRE-ME
B
C
D
E
A
Correção – ENEM 2013 (PPL) – Adaptada – O proprietário de uma casa de shows observou 
que, com o ingresso a R$ 10,00, havia 1 000 pessoas por show. Porém, a partir de R$ 10,00, a 
cada R$ 2,00 de aumento no valor do ingresso eram 40 pessoas a menos. A expressão que 
relaciona o faturamento (F) com a quantidade de pessoas (P) é: 
𝐹 = −
P²
20
+ 60P
𝐹 = −𝑃² + 1.200P
𝐹 = −
P²
20
+ 60
𝐹 = 𝑃2 – 1.200P
𝐹 =
P²
20
– 60P
CONTINUA
Aprofundando
O valor do ingresso em função 
dos aumentos de R$ 2,00 é dado 
por: 
V = 10 + 2n
Isolando n, tem-se: n = 0,5V – 5
A cada aumento de R$ 2,00 são 40 
pessoas a menos:
P = 1 000 – 40n
P = 1 000 – 40 (0,5V – 5)
P = 1 000 – 20V + 200 
P = 1 200 – 20V
Correção – ENEM 2013 (PPL) – Adaptada – O proprietário de uma casa de shows observou que, com 
o ingresso a R$ 10,00, havia 1.000 pessoas por show. Porém, a partir de R$ 10,00, a cada R$ 2,00 de 
aumento no valor do ingresso eram 40 pessoas a menos. A expressão que relaciona o faturamento (F) 
com a quantidade de pessoas (P) é 
Isolando V, tem-se:
𝑽 =
𝟏𝟐𝟎𝟎−𝐏
𝟐𝟎
= 𝟔𝟎 −
𝐏
𝟐𝟎
O faturamento (F) é dado pelo produto entre a 
quantidade de pessoas (P) e o valor do ingresso (V):
F = P · V = 𝟔𝟎𝐏 −
𝐏²
𝟐𝟎
Reorganizando, tem-se:
𝑭 = −
𝐏²
𝟐𝟎
+ 𝟔𝟎𝐏
● Analisamos situações envolvendo ideia de máximo e 
mínimo em contexto;
● Identificamos os intervalos de crescimento e 
decrescimento de funções polinomiais do 2o grau;
● Estudamos o sinal da função polinomial do 2o grau. 
LEMOV, D. Aula Nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto
Alegre: Penso, 2023.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista, 2019.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre, 2024. Caderno do 
Aluno, 2o ano do Ensino Médio, Ensino Médio, v.2.
.
Lista de imagens
Slides 3, 4, 5,6 e 13 – Elaborado pelo autor.
Slide 19 – Freepik. Disponível em: https://br.freepik.com/fotos-gratis/estudante-do-ensino-
medio-hispanico-masculino-resolvendo-alguns-problemas-de-matematica-em-um-quadro-
branco-na-escola_27999142.htm
https://br.freepik.com/fotos-gratis/estudante-do-ensino-medio-hispanico-masculino-resolvendo-alguns-problemas-de-matematica-em-um-quadro-branco-na-escola_27999142.htm
https://br.freepik.com/fotos-gratis/estudante-do-ensino-medio-hispanico-masculino-resolvendo-alguns-problemas-de-matematica-em-um-quadro-branco-na-escola_27999142.htm
https://br.freepik.com/fotos-gratis/estudante-do-ensino-medio-hispanico-masculino-resolvendo-alguns-problemas-de-matematica-em-um-quadro-branco-na-escola_27999142.htm
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3: #retomando
	Slide 4: Correção
	Slide 5: Máximo e mínimo de uma função polinomial do segundo grau 
	Slide 6: Máximo e mínimo de uma função polinomial do segundo grau 
	Slide 7: Atividade 6 (p. 142, 2024) – Adaptada Sobre a função f(x) = x² – 2x – 3, representada na figura, é correto afirmar que:
	Slide 8: Correção Atividade 6 (p. 142, 2024) – Adaptada Sobre a função f(x) = x² – 2x – 3, representada na figura, é correto afirmar que:
	Slide 9: Atividade 3 (p. 140, 2024) – AAP 2018 – Uma empresa produz certo tipo de peça que tem seu custo definido pela função C(x) = 2x² – 40x + 2000. A quantidade de peças que deve produzir para que o custo seja mínimo é: 
	Slide 10: Correção – Atividade 3 (p. 140, 2024) – AAP 2018 – Uma empresa produz certo tipo de peça que tem seu custo definido pela função C(x) = 2x² – 40x + 2000. A quantidade de peças que deve produzir para que o custo seja mínimo é: 
	Slide 11: Otimizando resultados 
	Slide 12: Correção
	Slide 13: Correção
	Slide 14: Correção
	Slide 15: Correção
	Slide 16: ENEM 2013 (PPL) – Adaptada – O proprietário de uma casa de shows observou que, com o ingresso a R$ 10,00, havia 1.000 pessoas por show. Porém, a partir de R$ 10,00, a cada R$ 2,00 de aumento no valor do ingresso eram 40 pessoas a menos. A expres
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	Slide 18: Correção – ENEM 2013 (PPL) – Adaptada – O proprietário de uma casa de shows observou que, com o ingresso a R$ 10,00, havia 1.000 pessoas por show. Porém, a partir de R$ 10,00, a cada R$ 2,00 de aumento no valor do ingresso eram 40 pessoas a men
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22