ao cubo w

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4. **Problema:** Resolva o sistema de equações \( \begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 
\end{cases} \). 
 **Resposta:** \( x = 7 \), \( y = 3 \). 
 **Explicação:** Somando as duas equações, obtemos \( 2x = 14 \), então \( x = 7 \). 
Substituindo \( x = 7 \) na primeira equação, \( 7 + y = 10 \), então \( y = 3 \). 
 
5. **Problema:** Calcule o determinante da matriz \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 
\end{bmatrix}\). 
 **Resposta:** -2. 
 **Explicação:** O determinante é calculado por \( (2 \times 5) - (3 \times 4) = 10 - 12 = -2 \). 
 
6. **Problema:** Determine o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx \). 
 **Resposta:** 2. 
 **Explicação:** A antiderivada de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x)\). Avaliando entre 0 e \(\pi\), temos 
\(-\cos(\pi) + \cos(0) = -(-1) + 1 = 2\). 
 
7. **Problema:** Encontre a raiz da equação \(x^2 - 4 = 0\). 
 **Resposta:** \( x = \pm 2 \). 
 **Explicação:** A equação \(x^2 - 4 = 0\) pode ser fatorada como \((x - 2)(x + 2) = 0\), dando 
as raízes \(x = 2\) e \(x = -2\). 
 
8. **Problema:** Calcule o valor da série infinita \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi^2}{6}\). 
 **Explicação:** Essa série é conhecida como a série de Basileia, e seu valor é 
\(\frac{\pi^2}{6}\), um resultado famoso de Euler. 
 
9. **Problema:** Resolva a equação \(e^x = 5\). 
 **Resposta:** \(x = \ln(5)\). 
 **Explicação:** Aplicando o logaritmo natural dos dois lados da equação, obtemos \(x = 
\ln(5)\). 
 
10. **Problema:** Determine a integral indefinida \(\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
 **Resposta:** \(x^3 - x^2 + x + C\). 
 **Explicação:** A antiderivada de \(3x^2\) é \(x^3\), de \(-2x\) é \(-x^2\), e de \(1\) é \(x\). 
Então, a integral é \(x^3 - x^2 + x + C\). 
 
11. **Problema:** Encontre o valor de \(\frac{d}{dx}\left(\ln(x^2 + 1)\right)\). 
 **Resposta:** \(\frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, \(\frac{d}{dx}[\ln(u)] = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}\), 
onde \(u = x^2 + 1\), então \(\frac{du}{dx} = 2x\). Assim, a derivada é \(\frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 
12. **Problema:** Calcule a transformada de Laplace de \(f(t) = e^{3t}\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{s - 3}\). 
 **Explicação:** A transformada de Laplace de \(e^{at}\) é \(\frac{1}{s - a}\). Aqui, \(a = 3\), 
então o resultado é \(\frac{1}{s - 3}\). 
 
13. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} - 4y = 0\). 
 **Resposta:** \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\). 
 **Explicação:** A equação diferencial característica é \(r^2 - 4 = 0\), cujas raízes são \(r = 
\pm 2\). Então a solução geral é \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\). 
 
14. **Problema:** Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{2x^2 - 1}\). 
 **Resposta:** \(\frac{3}{2}\). 
 **Explicação:** Divida o numerador e o denominador por \(x^2\). Assim, \(\frac{3 + 
\frac{5}{x^2}}{2 - \frac{1}{x^2}}\). Quando \(x \to \infty\), \(\frac{5}{x^2} \to 0\) e 
\(\frac{1}{x^2} \to 0\), então o limite é \(\frac{3}{2}\). 
 
15. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \cos(x^2)\). 
 **Resposta:** \(-2x \sin(x^2)\). 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, \(\frac{d}{dx}[\cos(u)] = -\sin(u) \frac{du}{dx}\), 
onde \(u = x^2\), então \(\frac{du}{dx} = 2x\). Assim, a derivada é \(-2x \sin(x^2)\). 
 
16. **Problema:** Calcule a integral definida \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\ln(2)\). 
 **Explicação:** A antiderivada de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\). Avaliando entre 1 e 2, temos 
\(\ln(2) - \ln(1) = \ln(2)\).