Transformações Geométricas

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Para fazer outras rotações de polígonos no plano cartesiano, no sentido anti-horário e em torno da origem 
O(0, 0), precisamos considerar a medida de a graus da rotação e calcular o seno e o cosseno de a.
Veja como fica a notação de matrizes nesse caso, para cada vértice (x, y) do polígono.
ñ
? a 2 ? a
? a 1 ? a
















cos sen
sen cos
x
y
x y
x y
Veja um exemplo do polígono B8 obtido da rotação de 72° do polígono B, no sentido anti-horário e em 
torno da origem O(0, 0) do plano cartesiano, e o respectivo cálculo das coordenadas dos pontos.
0
y
x
1–1 2 3
72°
4 5 6
1
2
3
4
5
6
B8
B
ñ
? ° 2 ? °
? ° 1 ? °
â
? 2 ?
? 1 ?
5
23
1
3 cos 72 1 sen 72
3 sen 72 1 cos 72
3 0,31 1 0,95
3 0,95 1 0,31
0,2
3,16
























ñ
? ° 2 ? °
? ° 1 ? °
â
? 2 ?
? 1 ?
5
6
1
6 cos 72 1 sen 72
6 sen 72 1 cos 72
6 0,31 1 0,95
6 0,95 1 0,31
0,91
6,01
























ñ
? ° 2 ? °
? ° 1 ? °
â
? 2 ?
? 1 ?
5
25
3
5 cos 72 3 sen 72
5 sen 72 3 cos 72
5 0,31 3 0,95
5 0,95 3 0,31
1,3
5,68
























As matrizes associadas aos vértices desses polígonos são: 
B 5 3 6 5
1 1 3




 e B8 5 
0,2 0,91 1,3
3,16 6,01 5,68
2 2





Ao girar uma foto na tela do smartphone, estamos fazendo uma rotação de todos os pixels, em 90°, 180° e 270°, 
no sentido anti-horário e em torno do centro da imagem.
W
Y
M
 D
e
s
ig
n
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Transformação homotética
Nem todas as transformações geométricas de figuras planas preservam as me-
didas de comprimento dos lados e as medidas de abertura dos ângulos da figura 
inicial, como as transformações estudadas até aqui. A transformação homotética, ou 
homotetia, é uma transformação geométrica que preserva a forma da figura inicial, 
bem como as medidas de abertura dos ângulos, mas não preserva necessariamente as 
medidas de comprimento dos lados. 
As ampliações e 
reduções de figuras 
planas que você 
estudou no Ensino 
Fundamental 
são exemplos de 
transformações 
homotéticas.
Fique atento
F
o
to
s
: 
N
a
zA
rt
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h
u
tt
e
rs
to
ck
/P
ix
a
b
a
y
/p
ix
a
b
a
y.
c
o
m
101
084a105_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 101084a105_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 101 9/17/20 10:14 AM9/17/20 10:14 AM
Observe a seguir um polígono M que foi ampliado em 100% gerando o polígono M8. 
Nesse novo polígono, as medidas de comprimento dos lados são o dobro das medi-
das correspondentes dos lados no polígono inicial M.
0
y
x
2 4 6 8 10 12
2
4
6
8
10
12
1
3
5
7
9
11
1197531
B8
C8
A
B
C
M
A8
M8
As matrizes relacionadas aos vértices desses polígonos são:
M 5 2 2 6
2 6 2




 e M8 5 4 4 12
4 12 4




Geometricamente, para fazer essa transformação homotética do polígono inicial M, 
fixamos um ponto O como centro da homotetia e traçamos, a partir desse ponto, se-
mirretas que passam pelos vértices do polígono M. Nesse caso, foi escolhido o ponto 
O(0, 0), origem do plano cartesiano.
Então o polígono M8 é obtido fazendo OA8 5 2 ? OA, OB8 5 2 ? OB e OC8 5 2 ? OC. 
Dizemos, nesse caso, que o polígono M8 obtido é homotético ao polígono inicial M, 
com razão k 5 2. 
Dados dois polígonos 
homotéticos em um 
plano cartesiano, 
como podemos 
calcular a razão da 
homotetia? Essa 
razão pode ser igual 
a 0? Justifique sua 
resposta. 
Reflita
Podemos afirmar 
que dois polígonos 
homotéticos são 
sempre semelhantes? 
Por quê?
Reflita
De modo geral, quando fazemos a homotetia de um polígono de vértices (x1, y1), 
(x2, y2), », (xn, yn), de razão k (com k = 0) e com centro na origem O(0, 0) do plano 
cartesiano, obtemos o polígono de vértices (k ? x1, k ? y1), (k ? x2, k ? y2), », (k ? xn, k ? yn).
Usando a notação de matrizes, temos a seguinte representação dessa homotetia:
x x x
y y y
kx kx kx
ky ky ky
n
n
n
n
1 2
1 2
1 2
1 2
»
»
ñ
»
»












Observando a foto destas bonecas russas Matrioskas, podemos fazer aproximações e dizer que a 
imagem de cada boneca é obtida da imagem de outra por homotetia em relação ao ponto indicado.
W
Y
M
 D
e
s
ig
n
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Coordenadas dos vértices do 
polígono M: A(2, 2); B(2, 6) e C(6, 2).
Coordenadas dos vértices do 
polígono M8: A8(4, 4); B8(4, 12) e 
C8(12, 4).
Não escreva no livro.
Exemplo de resposta: 
Dividindo a medida de 
comprimento de um 
dos lados do polígono 
obtido pela medida 
de comprimento do 
lado correspondente 
do polígono inicial. A 
razão não pode ser 0, 
pois, nesse caso, todos 
os pontos obtidos da 
homotetia dos vértices 
do polígono inicial 
seriam coincidentes e 
não haveria polígono.
F
o
to
s
: 
h
a
ra
th
o
rn
ch
a
n
a
k
u
l/
S
h
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to
ck
Sim, pois os ângulos 
correspondentes 
são congruentes 
e as medidas de 
comprimento dos lados 
correspondentes são 
proporcionais (a razão 
entre as medidas de 
comprimento dos lados 
correspondentes é a 
razão da homotetia). 
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